ANGULO DIEDRO - POLIEDROS

1.                                                       Prof: Toribio Córdova C. 

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO





 
 
 
 
 
 
ÁNGULOS DIEDROS
 
Es la figura geométrica formada por la unión 
de  sus  semiplanos  que  tienen  una  recta  en 
común  a  la  cual  se  le  denomina  arista  del 
ángulo diedro. 
 

Notación:  
Ángulo Diedro AB ó 
Ángulo Diedro  
P - AB- Q 
 
θθθθ:  Medida del ángulo 
     Diedro 


Á PLANOS PERPENDICULARES
 

Dos  planos  son  perpendiculares,  cuando 
determinan diedros que miden 90º. 


θθθθ: Medida  del 
ángulo diedro. 

Si    θθθθ  = 90º 

⇒ P Q



Observación.- Dos diedros adyacentes son 
suplementarios. 
 
 
 
 
 









Á PROYECCIÓN  ORTOGONAL  SOBRE 
UN PLANO  

Por  definición  la  proyección  ortogonal  de  un 
punto  sobre  un  plano  es  el  pie  de  la 
perpendicular trazada de este punto al plano. De 
esto se concluye que la proyección ortogonal de 
cualquier figura geométrica sobre un plano es la 
reunión de las proyecciones 
ortogonales  de  todos  sus  puntos  sobre  dicho 
plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea 
'PP          Q     ⇒        P’  es  la  proyección  del   
punto P sobre el plano Q
 

Además
Mes  la  proyección  ortogonal  de 
Lsobre el plano Q. 
 
P   Q
cara   cara   
x   y  
θθθθ
B  
A
Arista    
θ 
P  
Q
   
P  
αααα θθθθ
Q 
α + θ = 180º 
P’ 
θ 
m 
P  L 
Q  

2.                                                       Prof: Toribio Córdova C. 

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO





 
POLIEDROS 
 
Poliedro  es  un  sólido  completamente 
limitado por polígonos. El mínimo número de 
caras que tiene un poliedro es cuatro. 
 



Á ELEMENTOS DE UN POLIEDRO
 
Los elementos principales de un poliedro son:
 
Arista
Cara
Vértice
Diagonal


Caras 
  Son los polígonos que limitan los poliedros. 
 
 Aristas 
Son las intersecciones de las caras. 
 
  Vértice 
  Son los puntos donde se encuentran las 
aristas- 
 
 Ángulos Diedros 
 Son los formados por dos caras consecutivas. 
   
 Ángulos Poliedros 
  Son los formados en los  vértices del 
poliedro 
 
 Diagonal  
 Es el segmento que une dos vértices no 
situados en la misma cara 


Á CLASIFICACION
 
 
1) Por el número de caras:  
 
- Tetraedro: cuando tiene 4 caras 
  - Pentaedro: cuando tiene  5 caras 
  - Hexaedro: cuando tiene 6 caras 
  - Heptaedro: cuando tiene 7 caras 
  - Octaedro: cuando tiene 8 caras 
 
 
2) Según sus características: 
 
a. Poliedro  Convexo.-    Cuando  cualquiera 
de  sus  secciones  planas  es  un  polígono 
convexo,  o  equivalentemente,  si  el 
segmento  que  une  dos  puntos 
cualesquiera del poliedro está totalmente 
contenido en el poliedro. 
 
 
 
b. Poliedro  no  convexo.- Cuando alguna de 
las  secciones  planas  es  un  polígono 
cóncavo.  Al  trazar  una  recta  secante 
corta en más de 2 puntos de intersección 
a su superficie poliédrica. 
 

3.                                                       Prof: Toribio Córdova C. 

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO






 
1
2
3
4
5
6
 
 
c. Poliedro Regular.- Cuando todas sus 
caras son polígonos regulares  e iguales, y 
sus ángulos diedros y triedros también 
son iguales.
 
 
 
d. Poliedro  Irregular.-  Cuando  sus  caras 
son  polígonos  irregulares  y  desiguales,  y 
sus  angulos  poliedros  no  son  todos 
iguales. 
 

 
 
 
 
Á TEOREMA DE EULER
 

En todo poliedro convexo el número de caras 
aumentado en el número de vértices es igual 
al número de aristas más dos. 
 
      Si para un poliedro convexo: 
   
       C → número de caras 
       V → número de vértices 
       A → número de aristas 
 
      Entonces se verifica que: 

C + V = A + 2 
 
Á POLIEDROS REGULARES
 
 
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son 
polígonos regulares iguales entre si: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.                                                       Prof: Toribio Córdova C. 

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO











 
A) TETRAEDRO: Sus  caras  son  cuatro 
regiones triangulares equiláteras. 
 
A
B
C
O
G


Notación:
  Tetraedro Regular O – ABC  
 
Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G) 
 
     
3
6
OG
l
=    
   
Volumen 
(V):     
 
     
12
2
V
3
l
=  
 
Superficie total o Área 
(A):  
     
3A
2
l=  
 
 
 
B) HEXAEDRO
: Sus caras son seis regiones 
cuadradas, también se le denomina cubo. 
 
B
A
G
C
E
D
F
H



Notación:
   Exaedro Regular   ABCD – EFGH 

Diagonal (BH): 
3BHl=

Volumen 
(V):   

3
vl=


Superficie total o Área 
(A):  


2
6Al=
 
C) OCTAEDRO
: Sus  caras  son  ocho 
regiones triangulares equiláteras. 
 
B
C
D
A
M
N


Notación:
  Octaedro Regular        M – ABCD – N  

Diagonal (MN): 
2MNl=

Volumen  (V):   

3
2
V
3
l
=



Superficie total o Área 
(A):  


32A
2
l=
 
 
 

5.                                                       Prof: Toribio Córdova C. 

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO









 
D) DODECAEDRO: Sus  caras  son  doce 
regiones pentagonales iguales. 
 



Volumen 
(V):   
10
52147
2
5
V
3
+
=l


Superficie total o Área (A):  


5
525
15A
2+
=
l
 
 
E) ICOSAEDRO: Sus  caras  son  veinte 
regiones triangulares equiláteras. 
 
a


Volumen
 (V):   

2
537
6
a5
V
2
+
=


 
Superficie total o Área
(A):



3a5A
2
=
 
 
 
 
 
 
 
1. En un  poliedro, la suma del número de 
caras, vértices y aristas es 32. Calcule 
el número de aristas de dicho poliedro. 
 
      a) 12     b) 13     c) 14    d) 15     e) 16 
 
2. Si la arista de un tetraedro regular es 
3cm, calcular su altura. 
 
a) 3cm           b) 
63cm           c) 6cm    
d) 32           e) 34 
 
3. Calcula  el  área  de  un  tetraedro  regular 
cuya arista es  3cm. 
 
a)  
3cm       b)33cm          c)32 cm   
d)   34cm     e) 23cm 
 
4. Calcular  el  volumen  de  un  tetraedro 
regular  sabiendo  que  su  área  total  es 
318 cm2. 
 
a)  
3 cm3        b)9 cm3           c)
12 cm3   
d)  29 cm3   e) 1 cm3 
 
5.
Calcular  la  arista  de  un  hexaedro 
regular  sabiendo  que  su  área  total  es 
18 
m2. 
 
a)  
3m           b)32m             c)33m    
d)  34m         e) 35m 

6.                                                       Prof: Toribio Córdova C. 

I.E. N° 0095 “MARIA AUXILIADORA” 3er Año GEOMETRÍA DEL ESPACIO





 
6.
Calcular el volumen de un cubo donde el 
área  y  el  volumen  son  numéricamente 
iguales. 
 
a)  196 
u3         b) 206 u3         c) 336 u3   
d)  366 
u3        e) 216 u3 
 
7.
La suma de las aristas de un cubo es 72 
cm. Calcula el volumen de dicho cubo. 
 
a)  206 
cm3     b) 106 cm3       c) 216 cm3   
d)  336 
cm3     e) 356 cm3 
 
8.
Calcular  el  área  total  de  un  octaedro 
regular de arista 2cm. 
 
a)  
8cm2           b)9cm2          c)
39cm2    
d)  38cm2       e) 12cm2 
 
9.
Calcular  el  volumen  total  de  un 
octaedro regular de arista 3 cm. 
 
a)  
29cm3       b)8cm3          c)9cm3    
d)  38cm3       e) 12cm3 
 
10.
Si  la  arista  de  un  icosaedro  regular 
mide 
4
3m,  calcula  el  área  de  su 
superficie. 
 
a)  
15m2           b)9m2          c)13m2    
d)  
6m2            e) 
36m2