Apostila 001 operacoes algebricas

1. MATEMÁTICA 

Editora Exato 7
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS 
1. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
Monômio ou Termo 
É a expressão algébrica mais sintética. É a ex-
pressão formada por produtos e quocientes somente.
2
3x y
3 4
2 x x⋅
2
5x
4y

8
24x−
x
z
− 4a
Um monômio tem sempre dois componentes:
A parte numérica, chamada coeficiente, que é
seguida pelas letras. As letras de um termo recebem o
nome de parte literal.
Dizemos que dois monômios ou temos são se-
melhantes quando tiverem a mesma parte literal.
Exemplo:
3 4
2x y z é semelhante a
3 4
3x y z− .
Adição e Subtração de Monômios 
Só podemos somar dois monômios, se eles fo-
rem semelhantes. Caso contrário, a operação fica in-
dicada.
Comumente a adição e subtração de Expres-
sões algébricas é chamada de redução de termos se-
melhantes:
A redução de dois termos semelhantes se faz
conservando-se a parte literal e somando-se os coefi-
cientes.
O último exemplo não satisfaz à condição. No-
te que as partes literais são distintas.
Multiplicação e Divisão de Monômios 
Multiplicam-se (dividem-se) os coeficientes e
multiplicam-se (dividem-se) as partes literais, obede-
cendo às regras de potenciação.
Exemplo:
()( )
( ) ( )
3 2 2 3 5
4 3 2 2 2
2xy 3x y 6x y
3
3x y z : 2x y x y z
2
=
=

Adição e Subtração de Polinômios 
Opera-se como na adição e subtração de mo-
nômios.
Exemplo:
( )( )
( ) ( )
+ + + + + + + = + + +
+ + − + − + =
= + + − − + − =
= − − +
3 2 2 3 3 2
3 4 3
3 4 3
4 3
x x x 1 3x 8x x 4 9x 4x 2x 5
x 5x 2 2x 3x x 2
x 5x 2 2x 3x x 2
2x 2x 6x



Multiplicação de Polinômios 
Multiplica-se cada termo do primeiro por todos
os termos do outro e a seguir reduz-se os termos se-
melhantes.
Exemplo:
3xy   (2x + 4xy - 3y)=
2
22
(x   - 3x   + 2x + 1) (x   + x + 1)=
3
(a + b)  (x + y) = ax + ay + bx + by

2. PRODUTOS NOTÁVEIS 
Quadrado da soma 
( )()()
( ) ( ) ( )
2
2 2
2
2 2 2
a b a b a b a 2ab b
a b c a b c a b c
a b c 2ab 2bc 2ac
+ = + + = + +
+ + = + + + + =
= + + + + +

Quadrado da diferença 
()()()
2
2 2
a b a b a b a 2ab b− = − − = − +
Produto da soma pela diferença 
( )()
2 2
a b a b a b+ − = −
3. FATORAÇÃO  DE  EXPRESSÕES  ALGÉ-
BRICAS 
Fator comum 
Por certo, você se lembra de que
()a b c ab ac+ = + . Pela propriedade simétrica, temos.
()ab ac a b c+ = + .
Exemplo:
2 2
3x y 9xy+ =
O fator comum é:
Evidenciando-o fica ( )
2 2
3x y 9xy 3xy x 3y+ = + .
Agrupamento 
A expressão não admite um mesmo fator co-
mum a todos os seus termos, mas, agrupando-os, po-
demos fatorar a expressão pelo caso anterior.
4. EQUAÇÃO DO 1º GRAU 
É toda sentença aberta, redutível e equivalente
a ax b 0+ =, com ∈a R * e b R∈.
Exemplos:
São equações do 1º grau as sentenças abertas
5x 12− e
3x x 3
1
2 2
+
− = .

2. Editora Exato 8
Resolução:
Notando que
b
ax b 0 ax b x
a
+ = ⇔ = − ⇔ = − para
a 0≠, concluímos que o conjunto-verdade da equa-
ção é
b
V
a
 
= − 
 
.
Exercício resolvido:
( )
3x x 3
1 2 3x x 3 4
2 4
7
6x x 3 4 5x 7 x
5
7
V .
5
+
− = ⇔ ⋅ − + = ⇔
− − = ⇔ = ⇔ = ⇔
 
= 
 

5. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU 
Quando temos duas ou mais equações, em que
a solução de uma equação deve satisfazer as outras
equações, tem-se um sistema de equações. Existem
vários processos de solução, porém estudaremos os
dois mais importantes:
ADIÇÃO  eSUBSTITUIÇÃO

Substituição 
Consiste em escolhermos uma das duas equa-
ções e isolarmos uma incógnita, substituindo-a na ou-
tra equação:
Adição 
Consiste em adicionar os membros das equa-
ções de forma que se anule uma das incógnitas. Caso
não ocorra, devemos preparar as equações.
6. EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
É toda a sentença aberta, em x, redutível e e-
quivalente a:
2
ax bx c 0+ + = , com a ∈a R *, b R∈ e
c R∈.
Resolução do caso geral 
Utilizando “alguns artifícios”, Baskara verifi-
cou que a equação
2
ax bx c 0+ + = é equivalente à e-
quação ( )
2
2
2ax b b 4ac+ = − .
De fato:
2
ax bx c 0+ + = ⇔
2
ax bx c+ = −, multi-
plicando ambos os membros desta última igualdade
por 4a, obtém-se:
2
ax bx c+ = − ⇔
2 2
4a x 4abx 4ac+ = − .
Somando b
2
aos dois membros da igualdade
assim obtida, resulta:
2 2 2 2
4a x 4abx b b 4ac+ + = − ⇔ ( )
2
2
2ax b b 4ac+ = − .
Assim, representando por ∆ o discriminante
2
b 4ac−, tem solução em R.
a) 0∆ <⇒a equação não tem solução em R.
b) 0 2ax b 2ax b∆ ≥⇒ + = ± ∆ ⇔ = − ± ∆ ⇔
b
x
2a
− ± ∆
⇔ = .
Portanto, sendo V o conjunto verdade em R,
conclui-se que:
b b
0 V ;
2a 2a
 − + ∆ − − ∆ 
∆ >⇒= 
  

b
0 V
2a
− 
∆ =⇒= 
 

0 V∆ <⇒= φ
Propriedades 
Se 0∆ ≥ e { }
1 2
x ; x é conjunto verdade da equa-
ção
2
ax bx x 0+ + = , com a 0≠, então:
1 2
b
S x x
a
−
= + =
1 2
c
P x x
a
= ⋅ =
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
1 Resolva a expressão algébrica a seguir:
+ =
2 2
3x y 7x y
Resolução:
( )+ =
2
2
3 7 x y
10x y


2 Resolva os seguintes agrupamentos:
a) ab + ax + bx + x
2

Resolução:
a(b + x) + x(b + x)=
(b + x) (a + x)

b)
3 2
2x   + 3x   - 3x - 2x
Resolução
2
3 2
2x   + 3x   - 3x - 2x
2x(x   - 1) + 3x(x - 1)
2x(x + 1) (x - 1) + 3x(x - 1)x(x - 1) [2(x + 1) + 3]
ou x(x - 1) [2x + 2 + 3] x(x - 1) (2x + 5)


3 Resolva o sistema a seguir:
+ =

+ =
x y 4
2x y 7

+ =
= −
x y 4
x 4 y

Substituindo na 2ª equação
( )
2x y 7
2 4 y y 7
8 2y y 7
8 y 7
y 1
+ =
− + =
− + =
− =
=
Então:

3. Editora Exato 9
x 4 y
x 4 1
x 3
= −
= −
=


4 Resolva:
+ =


x y 3
2x-y=3

Resolução:
+ =//

− =
 
x y 3 I
2x y 3 II

= ⇔ =
3x = 6
6
x x 2
3

Volta em I:
x y 3
2 y 3
y 3 2
y 1
+ =
+ =
= −
=


5 Resolver, em R, a equação
2
10x x 2 0+ − =.
Resolução:
Notando que ()
2
1 4 10 2 81∆ = − ⋅ ⋅ − = , temos:
1 81 1 9 1 9
x x ou
2 10 20 20
1 9 8 10 2 1
x x ou x V ;
20 20 20 5 2
− ± − ± − +
= = ⇔ =
⋅
− −  
= ⇔ = = − ⇔ =  
 


6 Determinar a soma e o produto das raízes da e-
quação
2
2x 7x 3 0− − =
Resolução:
Lembrando que se
2 2
2x 7x 3 ax bx c− − = + + ,
temos a 2=, b 7= − e x 3= −. A soma das raízes é
()7 7b 7
S
a 2 2
− −−
= = = e o produto é
c 3
P
a 2
−
= = .

EXERCÍCIOS 
1 Resolver as equações:
a) 4x+6=5x+9
b) 2(x+3)=3x+7(x+4)
c) 5(x+1)–2(x–3)=10–(2x+3)





2 O número 2 é raiz da equação:
a) x + 4=7
b) x + 2=4
c) 2x – 1=0
d) x + 6=12
e) Nenhuma.

3 A raiz de
2x 2 x 3
1
2 2
− −
− = é:
a) –5
b) +1
c) 7
d) 2
e) Nenhum.

4 Resolva:
x y 2
x y 4
+ =

− =

a) x 3
b) x 1
c) x 1
d) x 2
=
= −
=
=

; y 1
; y 3
; y 4
; y 2
= −
= −
=
= −

e) nenhuma.

5 Resolva:
x 3y 5
x 8y 0
− =

− =

a) x 8
b) x 8
c) x 8
d) x 8
= −
=
= −
=

; y 1
; y 1
; y 1
; y 1
= −
= −
=
=

e) Nenhuma.

6 O valor de x em:
2x 3y 8
5x 2y 1
+ =

− =
é:
a) 3
b) 2
c) 1
d) –1
e) Nenhuma.

7 A soma de dois números é 14, a diferença é 2.
Quais são esses números?
a) 9 e 5
b) 10 e 4
c) 8 e 6
d) 11 e 3

4. Editora Exato 10
8 Resolva: x
2
–4x+3=0
a) x´ 1
b) x´ 1
c) x´ 1
d) x´ 1
=
= −
=
= −

e x´´ 2
e x´´ 2
e x´´ 3
e x´´ 3
=
= −
=
= −

e) Nenhuma.

9 Resolva: x
2
–10x+25=0
a) =x´ 1   e  x´´=25
b) =x´ 5  e  x´´=-5
c) = =x´ x´´ 5
d) =x´ 2  e  x´´=5
e) Nenhuma.

10 Na equação x
2
–10x+24=0, a soma e o produto
das raízes valem, respectivamente:
a) { }10; 24−
b) { } 24;10
c) { } 10; 24
d { } 10; 24−
e) Nenhuma.

11 As raízes de x
2
-2x-3=0, são:
a) 3 e–1
b)–3 e 1
c) 1 e 3
d) –1 e –3
e) 2 e 3

12 O valor de m na equação x
2
–8x+m=0, de modo
que essa equação não tenha raiz real:
a) m=16
b) m<16
c) m>16
d) m<–16
e) Nenhuma.

13 Resolva: 16x
2
+3x–10=0
a) {}0;3
b)
3
0;
16
 
 
 

c) {}4;1
d) {}1; 4−
e) Nenhuma.







14 Resolva: x
2
+9x
2
–4x=7x]
a) {}3, 5
b)
10
0;
11
 
 
 

c)
11
0;
10
 
 
 

d)
11
3;
10
 
 
 

e) Nenhuma.

15 Resolva:x 2 4+ =
a) 14
b) 12
c) 0
d) 1
e) 2

16 Resolva:x 2=
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12

17 Resolva:x 2 2x+ =
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) 0


18 Resolva:3x 1 2x 1+ = +
a) 1 d) –4
b) 0 e) 3
c) –1

5. Editora Exato 11
GABARITO 
1
a) x=–3
b)
11
4
−
c)
4
5
−

2 B
3 B
4 A
5 D
6 C
7 C
8 C
9 C
10 C
11 A
12 C
13 E
14 C
15 A
16 A
17 A
18 B