Asesoría_16Abril_CálculoDiferencial.pptx

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1. ASESORÍA CCT CÁLCULO DIFERENCIAL Material: José Torres Instructor: Junior Veli CENTRO CULTURAL DE TELECOMUNICACIONES

2. 00 LÍMITES SOLUCIONES CENTRO CULTURAL DE TELECOMUNICACIONES

3. Para la 3:

4. 01 LÍMITES POR DEFINICIÓN CENTRO CULTURAL DE TELECOMUNICACIONES

5. 𝐺 𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑟 : 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 16𝑥 − 12 𝑥 − 3 x f(x) 2.5 0.25 2.75 0.5625 2.95 0.9025 2.995 0.990025 2.9999 0.99980001 x f(x) 3.5 2.25 3.25 1.5625 3.05 1.1025 3.005 1.010025 3.0001 1.00020001 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2 ; 𝑥 ≠ 3 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 𝑡𝑜𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑎 3 "𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎" "𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎"

6. l im 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖 < 𝑥→𝑐 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 →   𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀

7. 𝑅𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟 𝑓(𝑥) − 𝐿 𝑐𝑜𝑛 𝑥 − 𝑥 : 𝑓(𝑥) − 𝐿 = 𝑥 − 𝑥 𝑔(𝑥) 𝑃𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠: 𝑥 − 𝑥 < 𝛿, luego falta acotar 𝑔(𝑥) ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 b : 𝑔(𝑥) < b 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑎 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑟 𝑢𝑛 𝛿 1 = 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑖𝑙𝑖𝑡𝑒 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑟 𝑔(𝑥) 𝑈 𝑛 𝑎 𝑣𝑒𝑧 𝑡 𝑒 𝑛𝑔𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑏 , 𝑡 𝑒 𝑛 𝑑 𝑟 𝑒 𝑚 𝑜𝑠 𝑞 𝑢 𝑒 𝑥 − 𝑥 𝑔 ( 𝑥 ) < 𝛿 . 𝑏 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀 → 𝜀 = 𝛿. 𝑏 → 𝛿 = 𝜀 𝑏 𝜀 𝐹 𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑚 𝑒 𝑛 𝑡 𝑒 , 𝑒𝑙𝑖 𝑔 𝑖𝑒 𝑛 𝑑𝑜 𝛿 = mi n ; 𝛿 1 𝑏 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 demostrado el límite

8. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒: lim 2𝑥 + 4 = 6 𝑥→1 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 → 1 l i m 2 𝑥 + 4 = 6 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖 < 𝑥 − 1 < 𝛿 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 2𝑥 + 4 − 6 < 𝜀 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑃 𝑜𝑟 ℎ 𝑖𝑝ó𝑡 𝑒 𝑠 𝑖 𝑠 : < 𝑥 − 1 < 𝛿 → 2 𝑥 − 1 < 2 𝛿 ⋯ ( 𝛼 ) 𝑡 𝑒 𝑠 𝑖𝑠 𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 2𝑥 + 4 − 6 = 2𝑥 − 2 = 2 𝑥 − 1 𝐵 𝑢 𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝜀 𝑡 𝑎 𝑙 𝑞 𝑢 𝑒 2 𝑥 − 1 < 𝜀 ⋯ ( 𝛽 ) 𝜀 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝛼 𝑐𝑜𝑛 𝛽 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝜀 = 2𝛿 → 𝛿 = 2 𝜀 𝐹 𝑖 𝑛𝑎 𝑙𝑚𝑒 𝑛𝑡 𝑒 , 𝑒 𝑠 𝑐 𝑜𝑔𝑖 𝑒 𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝛿 = 2 , s e c o m p ru e ba q u e : 𝑥 − 1 < 𝛿 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 2𝑥 + 4 − 6 < 𝜀 ∀ 𝜀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖 < 𝑜𝑠𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒: lim 2𝑥 + 4 = 6 𝑥→1

9. 𝑃𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠: < 𝑥 − 2 < 𝛿 → 𝑥 − 2 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑞𝑢𝑒: lim 𝑥 2 + 3 = 7 𝑥→2 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 → 2 l i m 𝑥 2 + 3 = 7 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝛿 > 0 / 𝑠 𝑖 < 𝑥 2 + 3 − 7 < 𝜀 𝑥 − 2 < 𝛿 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 < 𝛿 ⋯ ( 𝛼 ) 𝑡 𝑒 𝑠 𝑖𝑠 = 𝑥 2 − 4 = 𝑥 − 2 𝑥 + 2 , 𝑡 𝑒 𝑛 𝑒 𝑚 𝑜𝑠 𝑞 𝑢 𝑒 𝑎𝑐𝑜 𝑡 𝑎𝑟 𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑥 2 + 3 − 7 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑥 + 2 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙𝑙𝑜, 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝛿 1 = 1 → 𝑥 − 2 < 𝛿 1 → −1 < 𝑥 − 2 < 1 → 3 < 𝑥 + 2 < 5 → 𝑥 + 2 < 5 ⋯ ( 𝛽 )

10. < 𝛿 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑥 2 + 3 − 7 < 𝜀 ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > /𝑠𝑖 < 𝑥 − 2 𝑜𝑠𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒: lim 𝑥 2 + 3 = 7 𝑥→2 𝜀 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑒𝑠𝑐𝑜𝑔𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛 𝛿 = 𝑚𝑖𝑛 5 ; 1 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒: 𝐷𝑒 𝛼 𝑦 𝛽 , 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝑥 − 2 𝑥 + 2 < 5𝛿 𝑥 − 2 𝑥 + 2 < 𝜀 𝑄𝑢𝑒𝑟𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝜀 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝜀 𝐿𝑢 𝑒 𝑔 𝑜 , 𝜀 = 5 𝛿 → 𝛿 = 5

11. 𝐷𝑒 𝑚 𝑜 𝑠 𝑡𝑟𝑎 𝑟 , 𝑎𝑝𝑙 𝑖 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙 𝑎 𝑑 𝑒 𝑓𝑖 𝑛 𝑖𝑐𝑖 ó 𝑛 , 𝑞 𝑢𝑒 lim 𝑥 = 𝑐 ,para c > 𝑥 →c 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: l im 𝑥 = 𝑐 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑥→𝑐 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠   𝑥 − 𝑐 < 𝜀 𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 = 𝑥 + 𝑐 𝑥 − 𝑐 𝑥 + 𝑐 𝑥 + 𝑐 𝑥 − 𝑐 = 𝑥 − 𝑐 ∙ 𝑃𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠: 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 , 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑎𝑐𝑜 𝑡 𝑎𝑟 1 𝑥 + 𝑐 𝑥 > 0, ∀𝑥 > → 𝑥 + 𝑐 > 𝑐 > → < 1 𝑥 + 𝑐 < 1 𝑐

12. 𝐶𝑜𝑚𝑜 < 1 𝑥 + 𝑐 𝑐 < 1 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 →   𝑥 − 𝑐 𝑥 + 𝑐 < 𝛿 𝑐 𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝜀 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑥 − 𝑐 𝑥 + 𝑐 < 𝜀 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝜀 = 𝛿 𝑐 → 𝛿 = 𝜀 𝑐 𝐹 𝑖 𝑛𝑎 𝑙𝑚𝑒 𝑛𝑡 𝑒 , 𝑒 𝑠 𝑐𝑜 𝑔 𝑖 𝑒 𝑛 𝑑 𝑜 𝑢𝑛 𝛿 = 𝜀 𝑐 , s e c o m p ru e ba q u e: ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/𝑠𝑖 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ٿ𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑥 − 𝑐 < 𝜀 𝑜𝑠𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒: l im 𝑥 = 𝑐 𝑥→𝑐

13. 3 𝑈𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛, 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟: lim 3𝑥 2 − 11 = 1 𝑥 → 2 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 3 lim 𝑥→2 𝑓 3 3𝑥 2 − 11 = 1 ↔ ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/𝑠𝑖 < 𝑥 − 2 < 𝛿 𝑥 ∈ 𝐷 → 3𝑥 2 − 11 − 1 < 𝜀   ℎ 𝑖𝑝ó𝑡 𝑒 𝑠 𝑖𝑠 𝑡 𝑒 𝑠 𝑖𝑠 3 3𝑥 2 − 11 − 1 = 3 3𝑥 2 − 11 − 1 ∙ 3 2 3𝑥 − 11 2 3 2 + 3𝑥 − 11 + 1 3 3𝑥 2 − 11 2 = 3𝑥 2 − 11 − 1 3 2 3 3𝑥 2 − 11 + 3𝑥 2 − 11 + 1 = 3 𝑥 − 2 3 + 3𝑥 2 − 11 + 1 𝑥 + 2 3 2 3 3𝑥 2 − 11 + 3𝑥 2 − 11 + 1

14. 𝑃𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠: 𝑥 − 2 < 𝛿 ⋯ ( 𝛼 ) 3 3 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 3𝑥 2 − 11 → 3𝑥 2 − 11 2 3 + 3𝑥 2 − 11 + 1 = 𝑢 2 + 𝑢 + 1 = 𝑢 + 1 2 2 + 3 4 1 → 𝑢 + 2 2 2 1 3 3 → 𝑢 + 2 + 4 ≥ 4 → 1 1 2 3 𝑢 + 2 + 4 4 ≤ 3 → 3 3 + ≥ 4 4 1 3 2 3𝑥 2 − 11 + 3 3𝑥 2 − 11 + 1 4 ≤ 3 ⋯ ( 𝛽 ) 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑟 3 𝑥 + 2 3 2 3 3𝑥 2 − 11 + 3𝑥 2 − 11 + 1

15. 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑎𝑟 3 𝑥 + 2 𝑒𝑙𝑒𝑔𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝛿 1 = 1 → 𝑥 − 2 < 𝛿 1 → − 1 < 𝑥 − 2 < 1 → 3 < 𝑥 + 2 < 5 → 3 𝑥 + 2 < 1 5 ⋯ ( 𝜃 ) 𝐷𝑒 𝛼 , 𝛽 𝑦 (𝜃)𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 3 𝑥 − 2 𝑥 + 2 3 2 3 3𝑥 2 − 11 + 3𝑥 2 − 11 + 1 < 20𝛿 3 3𝑥 2 − 11 − 1 < 𝜀 𝜀 𝐹 𝑖 𝑛𝑎 𝑙𝑚𝑒 𝑛𝑡 𝑒 , 𝑒 𝑠 𝑐𝑜 𝑔 𝑖 𝑒 𝑛 𝑑 𝑜 𝑢𝑛 𝛿 = 𝑚 𝑖𝑛 2 ; 1 𝑠 𝑒 𝑑𝑒 𝑚 𝑢 𝑒𝑠𝑡 𝑟𝑎 𝑞 𝑢 𝑒 : 𝑄𝑢𝑒𝑟𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑟 𝑢𝑛 𝜀 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝜀 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝜀 = 20𝛿 → 𝛿 = 20 ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > 0/𝑠𝑖 < 𝑥 − 2 3 𝑜𝑠𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒: lim 3𝑥 2 − 11 = 1 𝑥→2 3 < 𝛿 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 3𝑥 2 − 11 − 1 < 𝜀

16. 02 LÍMITES LATERALES CENTRO CULTURAL DE TELECOMUNICACIONES

17. 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑒𝑛 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑆𝑖 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑠, 𝑦 𝑡𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠: ∞ ∞ 1 ∞ ∞ ∙ ∞ ∞ − ∞ 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑎𝑛𝑖𝑝𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝐸𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎, 𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒: −𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑟 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 −𝑆𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 −𝐹𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑜 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑏𝑜𝑠

18. li m 𝑘 = 𝑘 ; 𝑘 𝑐 𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎 𝑛 𝑡𝑒 𝑥→𝑐 𝑥 → 𝑐 lim 𝑘𝑓(𝑥) = 𝑘 𝑥 → 𝑐 lim 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = li m 𝑓 ( 𝑥 ) + li m 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 𝑥 → 𝑐 lim 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔(𝑥) = li m 𝑓 ( 𝑥 ) ∙ li m 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥→𝑐 𝑥→𝑐 lim 𝑥→𝑐 1 li m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥→𝑐 = 1 li m 𝑔 ( 𝑥 ) 𝑥→𝑐 ; li m 𝑔 ( 𝑥 ) ≠ 𝑥→𝑐 𝑆 𝑒 𝑎 𝑛 𝑓 𝑦 𝑔 𝑓𝑢 𝑛 𝑐 𝑖 𝑜𝑛 𝑒 𝑠 𝑐 𝑢 𝑦𝑜𝑠 𝑙í 𝑚 𝑖 𝑡 𝑒 𝑠 𝑐 𝑢 𝑎𝑛𝑑 𝑜 𝑥 𝑡 𝑖 𝑒 𝑛𝑑𝑒 𝑎 𝑐 𝑒𝑥𝑖 𝑠 𝑡 𝑒 𝑛 , 𝑒 𝑛 𝑡 𝑜𝑛𝑐𝑒 𝑠 : 𝑥 → 𝑐 lim 𝑓 𝑛 (𝑥) = li m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥→𝑐 𝑛 𝑛 li m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥→𝑐 𝑛 = li m 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥→𝑐

19. 𝐶 𝑎 𝑙 𝑐 𝑢 𝑙𝑎 𝑟 : lim 𝑥→1 + 𝑥 37/5 + 𝑥 8 − 1 − 1 𝑥 4 − 1 l im 𝑥→1 + 𝑥 37/5 + 𝑥 8 − 1 − 1 𝑥 4 − 1 𝑥→1 + 𝑥→1 + = l im ( 𝑥 4 − 1 ) − 1 / 2 . ( 𝑥 8 − 1 ) 1 / 2 + l im ( 𝑥 37 / 5 − 1 ). ( 𝑥 4 − 1 ) − 1 / 2 𝑥→1 + sea: 𝑥 37/5 = 𝑢 → 𝑢 5 = 𝑥 37 = lim (𝑥 4 −1) −1/2 . (𝑥 4 −1) 1/2 . (𝑥 4 +1) 1/2 + 𝑥→1 + l i m ( 𝑥 4 −1 ) − 1 / 2 . ( 𝑢 − 1 ). ( 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1 ) . ( 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1 ) − 1

20. 1 = 2 + l im ( 𝑥 4 − 1 ) − 2 . ( 𝑢 5 − 1 ). ( 5 ) − 1 = 𝑥→1 + 𝑥→1 + 1 2 + ( 5 ) − 1 . l im 𝑥 37 − 1 . ( 𝑥 4 − 1 ) − 2 = 2 + 1 5 𝑥 → 1 + 1 1 1 l im ( 𝑥 − 1 ) 𝑥 3 6 + ⋯ + 𝑥 + 1 . (𝑥 − 1 ) − 2 . (𝑥 + 1 ) − 2 . ( 𝑥 2 + 1 ) − 2 1 5 𝑥→1 + 1 1 1 = 2 + [ l im 𝑥 − 1 − 2 ]. ( 37 ). ( 2 ) − 2 ( 2 ) − 2 = 2 + 0 = 𝟐

21. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: lim 𝑥→0 3 1 + 2𝑥 1 + 𝑥 − 1 𝑥 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 3 1 + 2𝑥 1 + 𝑥 → lim 𝑥→0 (𝑢 − 1)(𝑢 5 + 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1) = lim (𝑢 6 − 1) 𝑥→0 𝑥(𝑢 5 + 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1) = lim 𝑥(𝑢 5 + 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1) ((1 + 2𝑥) 2 (1 + 𝑥) 3 −1) 𝑥→0 𝑥(𝑢 5 + 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1) = lim 𝑥→0 4𝑥 5 + 16𝑥 4 + 25𝑥 3 + 19𝑥 2 + 7𝑥 𝑥(𝑢 5 + 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1) = lim 𝑥→0 4𝑥 4 + 16𝑥 3 + 25𝑥 2 + 19𝑥 + 7 (𝑢 5 + 𝑢 4 + 𝑢 3 + 𝑢 2 + 𝑢 + 1) = 7 6

22. 𝐴 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑜𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑖 𝑛𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑒𝑙 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥

23. l im 𝑥→𝑥 − 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖 < 𝑥 − 𝑥 < 𝛿 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 →   𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀 lim 𝑥→𝑥 + 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖 < 𝑥 − 𝑥 < 𝛿 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 →   𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀 𝑥→𝑥 − lim 𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑦 lim 𝑓 𝑥 𝑥→𝑥 + = 𝐿 ↔ lim 𝑓 𝑥 = 𝐿 𝑥→𝑥

24. 𝑥 → 2 − : 1 2 3 3 2 𝑥 < 2 → 𝑥 − 2 = 2 − 𝑥 2 𝐴 𝑑𝑒𝑚á 𝑠 : 𝑥 𝑥 − 1 = = 1 + 1 1 1 + 𝑥 − 1 𝑥 − 1 𝐶 𝑜 𝑚 𝑜 𝑥 → 2 − , 𝑑 𝑖 𝑔 𝑎 𝑚 𝑜𝑠 𝑞 𝑢 𝑒 ∶ 3 < 𝑥 < 2 → 1 < 1 𝑥 − 1 < 2 → 1 𝑥 − 1 = 1 → 𝑥 𝑥 − 1 = 1 + 1 𝑥 − 1 = 1 + 1 = 2

25. 3 𝑥 2 4 2 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 3 < 𝑥 < 2 → < < 1 → < 3 𝑥 4 2 < < 1 → 𝑥 2 = 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜, 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: l im 𝑥→2 − 3 2 − 𝑥 . 2 𝑥 . 0 − 1 = 𝑥 → 2 + : 1 2 3 5 2 𝑥 > 2 → 𝑥 − 2 = 𝑥 − 2 𝐴 𝑑𝑒𝑚á 𝑠 : 𝑥 𝑥 − 1 = = 1 + 1 1 1 + 𝑥 − 1 𝑥 − 1 1 𝐶 𝑜 𝑚 𝑜 𝑥 → 2 + , 𝑑 𝑖 𝑔 𝑎 𝑚 𝑜𝑠 𝑞 𝑢 𝑒 ∶ 2 < 𝑥 < 5 → < 2 < 2 3 𝑥 − 1 < 1 → 1 𝑥 − 1 = → 𝑥 𝑥 − 1 = 1 + 1 𝑥 − 1 = 1 + = 1

26. 5 𝑥 5 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 2 < 𝑥 < 2 → 1 < 2 < 4 → 𝑥 2 = 1 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑜, 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎: l im 𝑥→2 − 3 𝑥 − 2 1 𝑥 − 1 = l im 𝑥→2 − 3 𝑥 − 2 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 𝑥 2 − 1 = l im 𝑥→2 + 3 𝑥 − 2 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 𝑥 2 − 1 = → 𝒍𝒊𝒎 𝒙→𝟐 𝟑 𝒙 − 𝟐 𝒙 𝒙 − 𝟏 𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟏 = 𝟎

27. 03 LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS CENTRO CULTURAL DE TELECOMUNICACIONES

28. 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 𝐼 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐 𝑦 𝑠𝑒𝑎𝑛 𝑓, 𝑔 𝑦 ℎ 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑖 𝑑 𝑎 𝑠 𝑒𝑛 𝐼 , 𝑒 𝑥𝑐 𝑒 𝑝 𝑡 𝑢𝑎 𝑛𝑑 𝑜 𝑞 𝑢 𝑖𝑧 á 𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎 . 𝑆𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒: ∗ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑒𝑛𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝐼 𝑦 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑎: ℎ ( 𝑥 ) ≤ 𝑔 ( 𝑥 ) ≤ 𝑓 ( 𝑥 ) lim ℎ ( 𝑥 ) = lim 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 𝑥→𝑎 𝑥→𝑎 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: lim 𝑔 ( 𝑥 ) = 𝐿 𝑥→𝑎

29. 𝑆𝑖 lim ∎ = 𝑥→𝑐 * lim 𝑥 → 𝑐 𝑠𝑒 𝑛 ( ∎) ∎ = 1 * lim 𝑥 → 𝑐 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝑎∎) ∎ = * lim 𝑥 → 𝑐 1 − cos 𝑎∎ ∎ 2 = 𝑎 2 2 * lim 𝑥 → 𝑐 𝑠𝑒 𝑛 ( 𝑎 ∎) ∎ = 𝑎

30. 𝐿 = lim 𝑥→2 𝑠𝑒 𝑛 ( 𝜋 𝑥 ) 𝑥 − 2 . co s(𝜋 𝑥 ) s ea : x − 2 = ℎ , 𝑠𝑖 𝑥 → 2 𝑒 𝑛 𝑡𝑜 𝑛𝑐 𝑒 𝑠 ℎ → → 𝐿 = lim ℎ→0 = lim ℎ→0 𝑠𝑒 𝑛 ( 𝜋 ( ℎ + 2 ) ) 𝑠𝑒 𝑛 ( 𝜋 ℎ ) ℎ . co s( 𝜋 ( ℎ + 2 ) ) ℎ . co s( 𝜋 ℎ ) = [ lim ℎ→0 𝑠𝑒 𝑛 ( 𝜋 ℎ ) ℎ ] . [ li m s e c ( 𝜋 ℎ ) ] = 𝜋 . 1 = 𝜋 ℎ→0

31. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: lim 𝑥→0 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠5𝑥 𝑥 2 = lim 𝑥 → −2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 5𝑥 2𝑥 − 5𝑥 2 2 𝑥 2 𝑥 → 2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑠𝑒𝑛 7 𝑥 3 𝑥 = lim 2 2 𝑥 2 𝑥 → 𝑥 → 𝑠𝑒𝑛 𝑠𝑒𝑛 7 𝑥 3 𝑥 𝑥 𝑥 = 2lim 2 ∙ lim 2 = 2 ∙ ∙ 7 3 2 2 = 21 2

32. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟: lim 𝜋 𝑥→ 3 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑛 𝑥 3𝑥 − 𝜋 3 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥) lim 𝑥→ 𝜋 3 3 𝑠𝑒 𝑛 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 3𝑥 − 𝜋 3 (𝑠𝑒𝑛𝑥 − 3 𝑐𝑜 𝑠 𝑥 ) = lim 𝜋 𝑥→ 3 3 1 − 𝑐𝑜𝑠 2(1 − cos 𝜋 − 𝑥 2 3𝑥 − 𝜋 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝜋 3 𝑆𝑒 𝑎 : 𝑥 − 𝜋 3 = 𝑢 , 𝑒 𝑛 𝑡 𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑥 → 𝜋 3 ⇒ 𝑢 ⟶ 𝐴 𝑑 𝑒 𝑚 á 𝑠 , 3 𝑥 − 𝜋 = 3 𝑢

33. 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜, 𝑟𝑒𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜: lim 𝑢 → 3 2 ( 3 𝑢 ) 𝑠𝑒𝑛 𝑢 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ( 1 − cos − 𝑢 1 = lim 5 4 𝑢 → 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ( 1 − cos 𝑢 3 𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑢 = 1 lim ( 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 ( 1 − cos 𝑢 )(1 − cos 𝑢 ) 2 𝑠𝑒𝑛 3 (𝑢) 𝑢 3 𝑠𝑒𝑛 𝑢 (1 − cos 𝑢 ) 2 𝑠𝑒𝑛 3 (𝑢) = 5 4 𝑢 → 1 lim 5 4 𝑢 → ( 1 − 𝑐 𝑜𝑠 2 ( 1 − cos 𝑢 ) ( 1 − cos 𝑢 ) 2 lim 𝑢 → 𝑠𝑒𝑛 3 (𝑢) 𝑢 3 lim 𝑢 → (1 − cos 𝑢 ) 2 4 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑢 ) 𝑆𝑖 lim ∎ = → lim 𝑥 → 𝑐 𝑥 → 𝑐 1 − cos 𝑎∎ ∎ 2 = 𝑎 2 2 = 1 2 2 5 4 2 ∙ ∙ 1 3 ∙ lim 𝑢→0 (1 − cos 𝑢 ) 2 𝑠𝑒𝑛 4 (𝑢)

34. = 1 27 lim 𝑢 → ( 1 − cos 𝑢 ) ( 1 + cos 𝑢 ) 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑢 )( 1 − cos 𝑢 ) 2 = 1 lim 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑢) 2 2 7 𝑢 → 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑢 ) ( 1 + cos 𝑢 ) 2 = 1 lim 1 2 7 𝑢 → ( 1 + cos 𝑢 ) 2 = 1 1 ∙ = 1 2 7 4 108 1 2 2 5 4 2 = ∙ ∙ 1 3 ∙ lim 𝑢→0 ( 1 − cos 𝑢 ) 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑢) 2 = 1 27 lim 𝑢 → ( 1 − cos 𝑢 ) 2 𝑠𝑒𝑛 ( 𝑢 ) 2

35. 04 LÍMITES INFINITOS CENTRO CULTURAL DE TELECOMUNICACIONES

36. 𝐴 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛 𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑚𝑖𝑛𝑢𝑦𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑚𝑒𝑠𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑝𝑟ó𝑥𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑎 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑓 𝑥 = arctan x

37. lim 𝑥 → − ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝑁 > / 𝑠 𝑖 𝑥 < − 𝑁 < ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀 𝑥 → ∞ l i m 𝑓 ( 𝑥 ) = 𝐿 ↔ ∀ 𝜀 > , ∃ 𝑁 > / 𝑠 𝑖 < 𝑁 < 𝑥 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓(𝑥) − 𝐿 < 𝜀

38. 1 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 𝐴 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑎𝑐𝑒𝑟𝑐𝑎𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑥, 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑚ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 − 2 2 1 𝑓 𝑥 = 𝑥

39. l im 𝑓 ( 𝑥 ) = + ∞ ↔ ∀ 𝑀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖 < 𝑥→𝑥 𝑥 − 𝑥 < 𝛿 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓 𝑥 > 𝑀 l im 𝑓 ( 𝑥 ) = − ∞ ↔ ∀ 𝑀 > , ∃ 𝛿 > / 𝑠 𝑖0 < 𝑥→𝑥 𝑥 − 𝑥 < 𝛿 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓 𝑥 < −𝑀

40. lim 𝑓(𝑥) = +∞ ↔ ∀𝐾 >> 0, ∃𝑀 > 0/𝑠𝑖 𝑥 > 𝑀 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓 𝑥 > 𝐾 𝑥→+∞ lim 𝑓(𝑥) = −∞ ↔ ∀𝐾 >> 0, ∃𝑀 > 0/𝑠𝑖 𝑥 > 𝑀 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓 𝑥 < −𝐾 𝑥→+∞ lim 𝑓(𝑥) = +∞ ↔ ∀𝐾 >> 0, ∃𝑀 > 0/𝑠𝑖 𝑥 < 𝑀 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓 𝑥 > 𝐾 𝑥→−∞ lim 𝑓(𝑥) = −∞ ↔ ∀𝐾 >> 0, ∃𝑀 > 0/𝑠𝑖 𝑥 < −𝑀 ٿ 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 𝑓 𝑥 < −𝐾 𝑥→−∞ 𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠. 𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑢 𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑚𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑟 todas estas supone un gran uso de la RAM de tu cerebro y no lo recomiendo de ninguna forma. Apréndete las anteriores y deduce estas. Ayuda mucho tratar de “graficarlas”

41. 𝑥→0 + 𝑥 lim 𝑛 = +∞ 𝑆𝑒𝑎 𝑛 𝑢𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 1 𝑥 → lim − 1 𝑥 𝑛 = ቊ − ∞ ; +∞ ; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝐶 𝑜 𝑛 𝑠𝑖 𝑑 𝑒 𝑟𝑎𝑛 𝑑 𝑜 𝑞𝑢 𝑒 li m 𝑔 𝑥 = 𝑦 𝑞𝑢 𝑒 li m 𝑓 𝑥 = 𝑎 ; 𝑎 ≠ 𝑥→𝑐 ± 𝑥→𝑐 ± 𝑓 𝑥 → lim 𝑥→𝑐 ± 𝑔 𝑥 = ±∞ ; 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒 𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑑 𝑒 𝑝 𝑒 𝑛 𝑑 𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓 𝑦 𝑔

42. 𝑆𝑒𝑎 𝑘 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑘 + +∞ = +∞ +∞ + +∞ = +∞ +∞ +∞ +∞ = +∞ −∞ = −∞ +∞ 𝑛 = +∞; 𝑛 ∈ ℤ + +∞ 𝑛 = ቊ + ∞ ; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒 𝑠 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑜 𝑠 𝑖 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 − ∞ ; 𝑠𝑖 𝑛 𝑒 𝑠 𝑖𝑚 𝑝𝑎𝑟 𝑝𝑜 𝑠 𝑖 𝑡 𝑖 𝑣 𝑜 𝑘 + ∞ = ቊ + ∞ ; 𝑠𝑖 𝑘 > − ∞ ; 𝑠𝑖 𝑘 < 𝑘 + −∞ = −∞ −∞ + −∞ = −∞ −∞ −∞ = +∞ 𝑘 ± ∞ =

43. 2 𝜋 𝑢→ 3 𝜋 3 3 1 1 cot( + ∙ − 1 − − − ) = lim 2 2 2 2 2 𝜋 cos(tan( 3 + 𝑢)) − 1 = l im 3 cot( 𝜋 − 1 2 4 ) 𝑢→ 2𝜋 cos(tan( 𝜋 3 + 𝑢)) − 1 2𝜋 𝑠 𝑖 𝑢 → 3 , 𝑒 𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐 𝑒 𝑠 ; 𝑥 → = tan ∙ lim 1 1 4 𝑥→0 cos(𝑥) − 1 = −∞ 1 = tan 4 ∙ lim 3 1 𝑢→ 2𝜋 cos(tan( 𝜋 3 + 𝑢)) − 1 𝜋 3 ; 𝑠𝑒𝑎: 𝑥 = tan( + 𝑢)

44. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥 → − ∞ lim (1 − 𝑥 3 ) = +∞ ↔ ∀𝑁 > 0, ∃𝑀 > 0/𝑠𝑖 𝑥 < −𝑀 𝖠 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 1 − 𝑥 3 > 𝑁 𝑡 𝑒 𝑠 𝑖𝑠 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠 𝑃𝑜𝑟 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠: 𝑥 < −𝑀 < → 𝑥 3 < −𝑀 3 < → 1 − 𝑥 3 > 1 + 𝑀 3 > 𝐵𝑢𝑠𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑁 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 1 − 𝑥 3 > 𝑁 > 𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜: 𝑁 = 1 + 𝑀 3 → 𝑀 = 3 𝑁 − 1 1 3 → 2 < 𝑥 < 2

45. 3 𝐹 𝑖 𝑛𝑎 𝑙𝑚𝑒 𝑛 𝑡 𝑒 , 𝑒 𝑠 𝑐𝑜 𝑔 𝑖 𝑒 𝑛 𝑑 𝑜 𝑢𝑛 𝑀 = 𝑁 − 1 , s e c o m p ru e b a q u e : ∀ 𝑁 > , ∃ 𝑀 > / 𝑠 𝑖 𝑥 < − 𝑀 𝖠 𝑥 ∈ 𝐷 𝑓 → 1 − 𝑥 3 > 𝑁 𝑜𝑠𝑒𝑎 𝑞𝑢𝑒: lim (1 − 𝑥 3 ) = +∞ 𝑥→−∞

46. 𝑥→𝑥 − lim 𝑓(𝑥) = ±∞ lim 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑥 + lim 𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑥→𝑥 lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥→∞ lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥→𝑥 + lim 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥→𝑥 𝑥 = 𝑥 𝑦 = 𝑎 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 lim 𝑥 → ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 = 𝑚 lim (𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑏 𝑥→∞ lim 𝑥 → − ∞ 𝑓 ( 𝑥 ) 𝑥 = 𝑚 lim (𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑏 𝑥→−∞

47. 𝑓 𝑥 = 𝐵𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑗𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑓 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 𝑥 2 𝑥 2 − 4 𝑥 2 4 − 𝑥 2 ; 𝑠𝑖 𝑥 > 2 → 𝑥 𝜖 < −2 ; 2 > ; 𝑠𝑖 𝑥 < 2 → 𝑥 𝜖 < − ∞; − 2 > 𝖴 < 2 ; + ∞ > 𝐼𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑠 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠. 𝑆𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑎𝑧ó𝑛, 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟𝑙𝑎 𝑒𝑛 [0; +∞ > para luego reflejarla tanto 𝑙𝑎 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑢𝑠 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑌

48. 𝑃 𝑎𝑟 𝑎 : 𝑥 𝜖 [ ; 2 > 𝑥 2 𝑥→2 − 4−𝑥 l im = l im 1 𝑥 2 𝑥→2 − 4 −1 = 1 + = +∞ → 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = −2 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃 𝑎𝑟 𝑎 : 𝑥 𝜖 < 2 ; + ∞ > = l im 𝑥→2 + 𝑥 4 1 − 𝑥 2 2 = + = + ∞ ; 𝑐𝑜𝑚𝑜𝑥 → 2 + 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 > 2 > 0, 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑥 = 𝑥 l im 𝑥→2 + 𝑥 2 −4 = l im 𝑥→2 + 𝑥 2 𝑥 2 𝑥 1− 4 𝑥 2

49. 𝑃 𝑎𝑟 𝑎 : 𝑥 𝜖 < 2 ; + ∞ > 𝑚 = lim 𝑥 → + ∞ 𝑥 𝑥→2 + 𝑓(𝑥) = lim 1 1− 4 𝑥 2 = 1 𝑏 = lim (𝑓 𝑥 − 𝑚𝑥) = 𝑥→+∞ lim 𝑥→+∞ 𝑥 2 𝑥 2 −4 − 𝑥 = lim 𝑥 → + ∞ 𝑥(𝑥− 𝑥 2 −4) 𝑥 2 −4 = lim 𝑥 → + ∞ 𝑥(𝑥 − 𝑥 2 − 4) 𝑥 2 − 4 ∙ 𝑥 + 𝑥 2 − 4 𝑥 + 𝑥 2 − 4 = lim 𝑥 → + ∞ 𝑥 𝑥 2 − 4 ∙ 4 𝑥 1 + 1 − 4 𝑥 2 = 4 + ∞ . 2 = → 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑥 𝑦 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑦 = −𝑥 𝑠𝑜𝑛 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎𝑠 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎𝑠