Atividades Aula 2 Semana 2

1. Atividades Aula 2
•Formas geométricas
básicas e a crença nos
postulados
•Módulo 2

2. Geometria: Conceitos básicos
•Ponto, Reta e Plano são noções primitivas dentre os conceitos
geométricos. Os conceitos geométricos são estabelecidos por meio de
definições. As noções primitivas são adotadas sem definição. Como
podemos imaginar ou formar idéias de ponto, reta e plano, então serão
aceitos sem definição.
•Podemos ilustrar com as seguintes idéias para entender alguns
conceitos primitivos em Geometria:
•Ponto: uma estrela, um pingo de caneta, um furo de agulha, ...
Reta: fio esticado, lados de um quadro, ...

3. Plano: o quadro negro, a superfície de
uma mesa, ...
•Notações de Ponto, Reta e Plano: As representações de objetos
geométricos podem ser realizadas por letras usadas em nosso cotidiano,
da seguinte forma:
•Pontos A, B, L e M representados por letras maiúsculas latinas;
•Retas r, s, x, p, q, u e v representados por letras minúsculas latinas;
•Planos Alfa, Beta e Gama representados por letras gregas minúsculas.
Plano Alfa (rosa), Plano Beta (azul claro) e Plano Gama (amarelo).

4. •Uma vez que você entendeu as idéias
de ponto, reta e plano, vamos praticar
novas atividades que nos levem a
enunciar alguns fatos novos,
envolvendo esses três elementos
básicos da Geometria. Mas, antes
lembremos o que significa axioma ou
postulado.

5. •Um axioma é uma sentença ou proposição
que não é provada ou demonstrada e é
considerada como óbvia ou como um
consenso inicial necessário para a
construção ou aceitação de uma teoria. Por
essa razão, é aceito como verdade e serve
como ponto inicial para dedução e
inferências de outras verdades
(dependentes de teoria).

6. •Na Matemática, um axioma é uma hipótese inicial
de qual outros enunciados são logicamente
derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição,
um enunciado ou uma regra que permite a
construção de um sistema formal. Diferentemente
de teoremas, axiomas não podem ser derivados
por princípios de dedução e nem são
demonstráveis por derivações formais,
simplesmente porque eles são hipóteses iniciais.
Isto é, não há mais nada a partir do que eles
seguem logicamente (em caso contrário eles
seriam chamados teoremas). Em muitos contextos,
"axioma", "postulado" e "hipótese" são usados
como sinônimos.

7. •Como foi visto na definição, um
axioma não é necessariamente uma
verdade auto-evidente, mas apenas
uma expressão lógica formal usada
em uma dedução, visando obter
resultados mais facilmente.

8. Postulados de determinação
•De reta: dois pontos distintos determinam uma única reta que
passa por eles.
•De plano: três pontos não-colineares determinam um único plano
que passa por eles.
Postulado de inclusão
•Se uma reta passa por dois pontos distintos de um mesmo plano,
então essa reta está contida nesse plano.
r
.A.B
αα
•A
•B
•C

9. •Observação: Por um único ponto passam infinitas retas. De um
ponto de vista prático, imagine o Pólo Norte e todas as linhas
meridianas (imaginárias) da Terra passando por este ponto. Numa
reta, bem como fora dela, há infinitos pontos, mas dois pontos
distintos determinam uma única reta. Em um plano e também fora
dele, há infinitos pontos.
Pontos colineares: são pontos que pertencem a uma mesma reta.
Na figura da esquerda, os pontos A, B e C são colineares, pois
todos pertencem à mesma reta r. Na figura da direita, os pontos R,
S e T não são colineares, pois T não pertence a reta s.

10. •Semi-retas: Um ponto O sobre uma reta s, divide esta reta em duas
semi-retas. O ponto O é a origem comum às duas semi-retas que são
denominadas semi-retas opostas.
•As semi-retas AB e AC estão na mesma reta, têm a mesma origem e são
infinitas em sentidos contrários, isto é, iniciam em um ponto e se
prolongam infinitamente.
•Segmentos Consecutivos, Colineares, Congruentes e Adjacentes
•Dada uma reta s e dois pontos distintos A e B sobre a reta, o
conjunto de todos os pontos localizados entre A e B, inclusive os
próprios A e B, recebe o nome de segmento de reta, neste caso,
denotado por AB. Às vezes, é interessante trabalhar com
segmentos que tem início em um ponto chamado origem e terminam
em outro ponto chamado extremidade. Os segmentos de reta são
classificados como: consecutivos, colineares, congruentes e
adjacentes.

11. Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são
consecutivos se, a extremidade de um deles é também
extremidade do outro, ou seja, uma extremidade de um
coincide com uma extremidade do outro.
EF e GH
não são
consecutivos
MN e NP
são
consecutivos
AB e BC
são
consecutivos

12. Segmentos Colineares: Dois segmentos de reta são colineares
se estão numa mesma reta.
EF e FG
não são
colineares
MN e NP
são
colineares
AB e CD
são
colineares

13. •Sobre segmentos consecutivos e colineares, podemos ter algumas
situações:
•Os segmentos AB, BC e CD são consecutivos e colineares, mas os
segmentos AB e CD não são consecutivos embora sejam colineares,
mas os segmentos de reta EF e FG são consecutivos e não são
colineares
•Segmentos Congruentes: são aqueles que têm as mesmas medidas.
No desenho ao lado, AB e CD são congruentes.
•Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e
colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas
uma extremidade e não têm outros pontos em comum. MN
e NP são adjacentes, tendo somente N em comum. MP e
NP não são adjacentes, pois existem muitos pontos em
comum.

14. Alguns axiomas sobre
segmento de reta
•Ver axiomas 6, 7 e 8 da página 11 do
módulo 2

15. Ângulo
•É uma figura formada por duas semi-
retas com a mesma origem.

16. •Ângulos consecutivos: têm o mesmo vértice e um dos lados comum.
•Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não têm pontos
internos comuns.
V.
C .
B .
A .

17. Transferidor

18. •Ver axioma 10 na página 14 do módulo
2.

19. Atividades
1) A foto mostra uma corda de barco
amarrada. À parte destacada sugere
a idéia de ângulo? Justifique.

20. 2) Na figura, você vê uma ilha Grande
(ponto G), um farol (ponto F) e uma
pessoa (ponto A). Observe o
triângulo imaginário GAF. Usando o
transferidor, determine:
•med( GAF)
•med (AGF)
•med ( AFG)

21. 3) Observe as figuras I, II, III e
IV:Agora identifique pelo número:
•semi-reta BA
•semi-reta AB
•reta AB
•segmento de reta AB

22. 4) Trace uma reta x e considere, nessa
reta, 5 pontos distintos, A, B, C, D e
E. Agora, responda:
a) Quantas semi-retas de x existem
com origem nesses pontos?
b) Quantos e quais são os segmentos de
reta com extremos nesses pontos?

23. 5) Ângulos opostos pelo
vértice

24. a) Na figura do slide anterior, quanto
mede o ângulo a?
b) E quanto mede os outros ângulos?
c) O que é ângulo reto?
d) O que é ângulo agudo? E obtuso?
e) Se os 4 ângulos da figura do slide
anterior medissem 90º o que
aconteceria com as retas?
f) O que são ângulos complementares e
suplementares?