Attractors Of Hamiltonian Nonlinear Partial Differential Equations 1st Edition Alexander Komech

Attractors Of Hamiltonian Nonlinear Partial
Differential Equations 1st Edition Alexander
Komech download
https://ebookbell.com/product/attractors-of-hamiltonian-
nonlinear-partial-differential-equations-1st-edition-alexander-
komech-42467412
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Global Attractors Of Nonautonomous Dissipative Dynamical Systems David
N Cheban
https://ebookbell.com/product/global-attractors-of-nonautonomous-
dissipative-dynamical-systems-david-n-cheban-2600046
Global Attractors Of Nonautonomous Dynamical And Control Systems 2nd
Edition 2nd Edition David N Cheban
https://ebookbell.com/product/global-attractors-of-nonautonomous-
dynamical-and-control-systems-2nd-edition-2nd-edition-david-n-
cheban-5150896
Strange Attractors Poems Of Love And Mathematics Sarah Glaz Joanne
Simpson Growney
https://ebookbell.com/product/strange-attractors-poems-of-love-and-
mathematics-sarah-glaz-joanne-simpson-growney-4422242
The Theory Of Chaotic Attractors 1st Edition Brian R Hunt Tienyien Li
https://ebookbell.com/product/the-theory-of-chaotic-attractors-1st-
edition-brian-r-hunt-tienyien-li-4210988

A Gallery Of Chua Attractors Hardvdr Eleanora Bilotta Pietro Pantano
https://ebookbell.com/product/a-gallery-of-chua-attractors-hardvdr-
eleanora-bilotta-pietro-pantano-1076748
Infinitedimensional Dynamical Systems An Introduction To Dissipative
Parabolic Pdes And The Theory Of Global Attractors 1st Edition James C
Robinson
https://ebookbell.com/product/infinitedimensional-dynamical-systems-
an-introduction-to-dissipative-parabolic-pdes-and-the-theory-of-
global-attractors-1st-edition-james-c-robinson-2260258
The Creation Of Strange Nonchaotic Attractors In Nonsmooth Saddlenode
Bifurcations Tobias H Jager
https://ebookbell.com/product/the-creation-of-strange-nonchaotic-
attractors-in-nonsmooth-saddlenode-bifurcations-tobias-h-jager-5251084
Attractors Shadowing And Approximation Of Abstract Semilinear
Differential Equations Sergey I Piskarev
https://ebookbell.com/product/attractors-shadowing-and-approximation-
of-abstract-semilinear-differential-equations-sergey-i-
piskarev-51292438
Chaotic Modelling And Simulation Analysis Of Chaotic Models Attractors
And Forms Skiadas Ch
https://ebookbell.com/product/chaotic-modelling-and-simulation-
analysis-of-chaotic-models-attractors-and-forms-skiadas-ch-2047690

C A V I B R I D G t:T R A C T SrsM A t H E Mi T I C S
224
ATTRACTORSOF
HAMILTONIAN
NONLINEARPARTIAL
DIFFERENTIAL
EQUATIONS
,\UXASKERKOMKI:
AMII Il\AKOPYLOVA
C A M M J O C EIMVIAMIV I I U C S S

CAMBRIDGE TRACTS IN MATHEMATICS
General Editors
J. BERTOIN, B. BOLLOB ´AS, W. FULTON, B. KRA,
I. MOERDIJK, C. PRAEGER, P. SARNAK, B. SIMON, B. TOTARO
224 Attractors of Hamiltonian Nonlinear Partial Differential Equations

CAMBRIDGE TRACTS IN MATHEMATICS
GENERAL EDITORS
J BERTOIN, B BOLLOB `AS, W FULTON, B KRA, I MOERDIJK,
C PRAEGER, P. SARNAK, B SIMON, B TOTARO
A complete list of books in the series can be found at www.cambridge.org/mathematics Recent
titles include the following:
190. Jordan Structures in Geometry and Analysis. By C.-H.Chu
191. Malliavin Calculus for L´evy Processes and Inﬁnite-Dimensional Brownian Motion.
By H.Osswald
192. Normal Approximations with Malliavin Calculus. By I.Nourdinand G.Peccati
193. Distribution Modulo One and Diophantine Approximation. By Y.Bugeaud
194. Mathematics of Two-Dimensional Turbulence. By S.Kuksinand A.Shirikyan
195. A Universal Construction for Groups Acting Freely on Real Trees. By I.Chiswell
and T.M¨uller
196. The Theory of Hardy’sZ-Function. By A.Ivi´c
197. Induced Representations of Locally Compact Groups. By E.Kaniuthand K. F.Taylor
198. Topics in Critical Point Theory. By K.Pereraand M.Schechter
199. Combinatorics of Minuscule Representations. By R. M.Green
200. Singularities of the Minimal Model Program. By J.Koll´ar
201. Coherence in Three-Dimensional Category Theory. By N.Gurski
202. Canonical Ramsey Theory on Polish Spaces By VKanovei,MSabok,andJZapletal
203 A Primer on the Dirichlet Space By OEl-Fallah,KKellay,JMashreghi,
and TRansford
204. Group Cohomology and Algebraic Cycles By B.Totaro
205 Ridge Functions By APinkus
206. Probability on Real Lie Algebras By UFranzand NPrivault
207 Auxiliary Polynomials in Number Theory. By D.Masser
208 Representations of Elementary Abelianp-Groups and Vector Bundles. By D. JBenson
209. Non-homogeneous Random Walks By MMenshikov,SPopov,andAWade
210. Fourier Integrals in Classical Analysis (Second Edition). By C DSogge
211 Eigenvalues, Multiplicities and Graphs By C RJohnsonand C MSaiago
212. Applications of Diophantine Approximation to Integral Points and Transcendence.
By P.Corvajaand U.Zannier
213. Variations on a Theme of Borel. By S.Weinberger
214. The Mathieu Groups. By A. A.Ivanov
215. Slenderness I: Foundations. By R.Dimitric
216. Justiﬁcation Logic. By S.Artemovand M.Fitting
217. Defocusing Nonlinear Schr¨odinger Equations. By B.Dodson
218. The Random Matrix Theory of the Classical Compact Groups. By E. S.Meckes
219. Operator Analysis. By J.Agler,J.E.Mccarthy,andN.J.Young
220. Lectures on Contact 3-Manifolds, Holomorphic Curves and Intersection Theory.
By C.Wendl
221. Matrix Positivity. By C. R.Johnson,R.L.Smith,andM.J.Tsatsomeros
222. Assouad Dimension and Fractal Geometry. By J. M.Fraser
223. Coarse Geometry of Topological Groups. By C.Rosendal
224. Attractors of Hamiltonian Nonlinear Partial Differential Equations. By A.Komech
and E.Kopylova

Attractors of Hamiltonian Nonlinear
Partial Differential Equations
ALEXANDER KOMECH
Universit¨at Wien
ELENA KOPYLOVA
Universit¨at Wien
CAMBRIDGE
UNIVERSITYPRESS

University Printing House, Cambridge CB2 8BS, United Kingdom
One Liberty Plaza, 20th Floor, New York, NY 10006, USA
477 Williamstown Road, Port Melbourne, VIC 3207, Australia
314 321, 3rd Floor, Plot 3, Splendor Forum, Jasola District Centre,
New Delhi 110025, India
103 Penang Road, #05–06/07, Visioncrest Commercial, Singapore 238467
Cambridge University Press is part of the University of Cambridge
It furthers the University’s mission by disseminating knowledge in the pursuit of
education, learning, and research at the highest international levels of excellence.
www.cambridge.org
Information on this title:www.cambridge.org/9781316516911
DOI:10.1017/9781009025454
© Alexander Komech and Elena Kopylova 2022
This publication is in copyright. Subject to statutory exception
and to the provisions of relevant collective licensing agreements,
no reproduction of any part may take place without the written
permission of Cambridge University Press.
First published 2022
A catalogue record for this publication is available from the British Library.
ISBN 978-1-316-51691-1 Hardback
Cambridge University Press has no responsibility for the persistence or accuracy
of URLs for external or third-party internet websites referred to in this publication
and does not guarantee that any content on such websites is, or will remain,
accurate or appropriate
CAMBRIDGE
UNIVERSITYPRESS

In memory of Mark Vishik

Contents
Preface pageix
Introduction 1
1 Global Attraction to Stationary States 13
1.1 Free d’Alembert Equation 13
1.2 A String Coupled to a Nonlinear Oscillator 14
1.3 String Coupled to Several Nonlinear Oscillators 28
1.4 Space-Localized Nonlinearity 43
1.5 Wave–Particle System 56
1.6 Maxwell–Lorentz Equations: Radiation Damping 66
1.7 Wave Equations with Concentrated Nonlinearities 68
1.8 Comparison with Dissipative Systems 76
2 Global Attraction to Solitons 77
2.1 Translation-Invariant Wave–Particle System 77
2.2 The Case of Weak Coupling 89
3 Global Attraction to Stationary Orbits 91
3.1 Nonlinear Klein–Gordon Equation 91
3.2 Generalizations and Open Questions 94
3.3 Omega Limit Trajectories 95
3.4 Limiting Absorption Principle 96
3.5 A Nonlinear Analog of Kato’s Theorem 99
3.6 Splitting into Dispersive and Bound Components 102
3.7 Omega-Compactness 103
3.8 Reduction of Spectrum to Spectral Gap 104
3.9 Reduction of Spectrum to a Single Point 105
3.10 On the Nonlinear Radiative Mechanism 107
3.11 Conjecture on Attractors ofG-Invariant PDEs 111
vii

viii Contents
4 Asymptotic Stability of Stationary Orbits and Solitons114
4.1 Orthogonal Projection 114
4.2 Symplectic Projection 116
4.3 Generalizations and Applications 120
4.4 Further Generalizations 122
4.5 The 1D Schrodinger Equation Coupled to an Oscillator124
5 Adiabatic Effective Dynamics of Solitons 166
5.1 Solitons in Slowly Varying External Potentials 166
5.2 Mass–Energy Equivalence 168
6 Numerical Simulation of Solitons 170
6.1 Kinks of Relativistic Equations 170
6.2 Numerical Observation of Soliton Asymptotics 174
6.3 Adiabatic Effective Dynamics of Relativistic Solitons174
7 Dispersive Decay 178
7.1 The Schrodinger and Klein–Gordon Equations 178
7.2 DecayL
1
L
∞
for 3D Schrodinger Equations 180
8 Attractors and Quantum Mechanics 192
8.1 Bohr’s Postulates 192
8.2 On Dynamical Interpretation of Quantum Jumps 194
8.3 Bohr’s Postulates via Perturbation Theory 197
8.4 Conclusion 198
Bibliography 200
Index 212

Preface
We present the theory of attractors of nonlinear Hamiltonian partial differential
equations in inﬁnite space. This is a new branch of the theory of attractors of
PDEs initiated by one of the authors in 1990. This theory differs signiﬁcantly
from the case of dissipative systems. In particular, this theory has no analog
for ﬁnite-dimensional Hamiltonian equations.
This book is the ﬁrst monographic publication in this direction. Included
are results on global attraction to stationary states, to solitons, and to stationary
orbits; results on adiabatic effective dynamics of solitons and their asymptotic
stability; and results on dispersive decay for linear Hamiltonian PDEs. The
obtained results are generalized in the formulation of a new mathematical
conjecture on global attractors ofG-invariant nonlinear Hamiltonian partial
differential equations.
We also describe the results of numerical simulations.
In conclusion, we discuss possible relations of this theory with the problem
of mathematical interpretation of Bohr’s transitions between quantum station-
ary states. The book is intended for
1. graduate and postgraduate students working with partial differential
equations;
2. lecturers on PDEs;
3. mathematicians working in PDEs, mathematical physics, and
mathematical problems of quantum theory.
On the Required Knowledge
All proofs are self-contained, and their overwhelming parts rely on traditional
methods of analysis: ODEs, general theory of Hilbert and Banach spaces,
ix

x Preface
distributions and their Fourier transform, Sobolev spaces, and deﬁnitions of
Lie groups and Lie algebra and of their representations.
The key points of the proofs rely on a novel application of subtle methods
of harmonic analysis: the Wiener Tauberian theorem, the Titchmarsh theorem
on convolution, the theory of multipliers in the space of quasimeasures, and
others. The applications are explained in detail and with exact references to
the corresponding textbooks.
Acknowledgments
The authors express their deep gratitude to H. Spohn and B. Vainberg for long
time collaboration on attractors of Hamiltonian PDEs and to A. Shnirelman
for useful long term discussions. We are also grateful to A. Comech and
V. Imaykin for their collaboration.
The authors are indebted to the Faculty of Mathematics of Vienna Univer-
sity and the Institute for the Information Transmission Problems of the Russian
Academy of Sciences for providing congenial facilities for the work.
The authors are grateful to the Max Planck Institute for Mathematical
Sciences (Leipzig) and to the M¨unchen Technical University for their
hospitality.
The work was supported in part by the Department of Mechanics and
Mathematics of Moscow State University, by the Alexander von Humboldt
Foundation, by the Austrian Science Fund (FWF) (projects P28152 and
P34177), and by grants from the Deutsche Forschungsgemeinschaft and the
Russian Fund for Basic Research.

Introduction
This monograph presents the theory of global attractors and of the long time
behavior of solutions of nonlinear Hamiltonian partial differential equations
in inﬁnite space. This theory was initiated by one of the authors in 1990, and
it has been developed in collaboration with H. Spohn since 1995 and with
V. S. Buslaev, A. Comech, V. Imaikin, E. Kopylova, D. Stuart, and B. Vainberg
since 2005. The theory resulted, in particular, in the ﬁrst rigorous solution of
the problem of radiation damping in classical electrodynamics and in the ﬁrst
rigorous model of Bohr’s transitions between quantum stationary states. This
progress became possible due to novel application of subtle methods of the
Wiener Tauberian theorem and the Titchmarsh convolution theorem.
The theory of attractors for nonlinear PDEs began in Landau’s famous 1944
paper [22], where he proposed the ﬁrst mathematical interpretation of the onset
of turbulence as the growth of the dimension of attractors of the Navier–Stokes
equations when the Reynolds number increases.
The foundation for the corresponding mathematical theory was laid in 1951
by Hopf, who ﬁrst established the existence of global solutions of the 3D
Navier Stokes equations [5]. He introduced themethod of compactness, which
is a nonlinear version of Faedo–Galerkin approximations. This method is based
on a priori estimates and Sobolev embedding theorems and has had an essential
inﬂuence on the development of the theory of nonlinear PDEs (see [2, 3,12]).
The modern development of the theory of global attractors fordissipative
PDEs, that is, PDEs with friction, originated in 1975 1985 in publications by
J. Ball, C. Foias, J. M. Ghidaglia, J. K. Hale, D. Henry, and R. Temam and was
developed further by M. I. Vishik, A. V. Babin, V. V. Chepyzhov, A. Haraux,
A. A. Ilyin, A. Miranville, V. Pata, E. Titi, S. Zelik, and others. An essential
part of the theory up to 2000 was covered in the monographs [16]–[23].
1

2 Introduction
One of the central subjects of research in this theory is the global attractor of
all bounded subsets of the corresponding Banach phase space. Typically, this
attractor is a submanifold connecting stationary states, which is an analog of
separatrices. Each single point also attracts to this submanifold and eventually
converges to one of stationary states,
ψ(x,t)→S(x), t→+∞, (1)
where the convergence holds in appropriate norm on the Banach phase space.
In particular, therelaxation to an equilibrium regimein chemical reactions is
due to energy dissipation.
The results obtained concern a wide class of nonlineardissipativePDEs,
including fundamental equations of applied and mathematical physics: the
Navier–Stokes equations, nonlinear parabolic equations, reaction–diffusion
equations, wave equations with friction, integro-differential equations, equa-
tions with delay, equations with memory, and so on. The techniques of
functional analysis of nonlinear PDEs were developed for the study of the
structure of different types of attractors; their smoothness and their fractal and
Hausdorff dimensions; and their dependence on parameters, on averaging, and
so on.
The development of a similar theory forHamiltonian PDEsseemed at
ﬁrst to be unmotivated and even impossible in view of energy conservation
and time reversal for these equations. However, it turned out that such
a theory is possible, and its development was inspired by the problem of
mathematical interpretation of basic postulates of quantum theory. These
relations to quantum theory are discussed in the ﬁnal chapter (Chapter 8). More
details can be found in [214].
Results obtained between 1990 and 2020 suggest that long-time global
attraction to a ﬁnite-dimensional submanifold in the corresponding Hilbert
phase space is, in fact, a typical feature for nonlinear Hamiltonian PDEs in
inﬁnite space. These results are presented in our monograph.
For Hamiltonian PDEs in inﬁnite space, the theory of attractors differs
signiﬁcantly from the case of dissipative systems, where the global attraction
to stationary states is caused by an energy dissipation that is due to friction.
For Hamiltonian PDEs the friction and energy dissipation are absent, and
the global attraction is caused by radiation that irreversibly carries energy
to inﬁnity. This peculiarity required novel tools for analysis of nonlinear
Hamiltonian PDEs, which are presented in this monograph.
Let us note, however, that this theory is only at an initial stage of its devel-
opment and cannot be compared with the theory of attractors of dissipative
PDEs with regard to richness and diversity of results.

Introduction 3
The modern development of the theory of nonlinear Hamiltonian PDEs
dates back to K. Jorgens [7], who ﬁrst established the existence of global
solutions for nonlinear wave equations of the form
¨ψ(x,t)=→∞(x,t)+f(ψ(x,t)), x∈R
n
, (2)
by developing the Hopf method of compactness. Subsequent studies of the
well-posedness for nonlinear PDEs were presented by J.-L. Lions [12] and by
T. Cazenave and A. Haraux [2, 3].
The ﬁrst results onlong-time asymptoticsforlinear hyperbolic PDEsin
inﬁnite space were established in the scattering theory by P. D. Lax, C. S.
Morawetz, and R. S. Phillips for the wave equation in the exterior of a star
shaped obstacle [31]. This is thelocal energy decay: for any ﬁniteR>0,
∞
|x|<R
[|ψ(x,t)|
2
+|∇ψ(x,t)|
2
+|ψ(x,t)|
2
]dx→0,t →±∞.(3)
This decay means that the energy escapes each bounded region for large times.
For general linear hyperbolic PDEs and systems, similar local decay was
established by B. R. Vainberg [37]. The extension of this decay tononlinear
Hamiltonian PDEswas established ﬁrst by I. Segal, C. S. Morawetz, and W.
Strauss [32]–[36]. In these papers the local energy decay (3) was proved for
solutions of equations (2) with small initial data in the case ofdefocusing
nonlinearitiessimilar to
f(ψ)=m
2
ψ∈|ψ|
p−1
ψ, (4)
wherem
2
≥0,∈>0, andp>1. Moreover, in these articles the corresponding
nonlinear wave operators and scattering operators are constructed. In [77,78],
W. Strauss established the completeness of the scattering for small solutions of
more general equations.
For convenience, characteristic properties of all ﬁnite-energy solutions of
an equation will be referred to asglobalto distinguish them from the corre-
spondinglocalproperties of the solutions with initial data sufﬁciently close to
an attractor. Note that global attraction to a (proper) attractor is impossible for
ﬁnite-dimensional Hamiltonian systems because of energy conservation. All
the aforementioned results [32]–[36] on local energy decay (3) for nonlinear
Hamiltonian PDEs mean that the correspondinglocal attractorof solutions
with small initial states consists of only the zero point.
Theory of global attractorsThe ﬁrst results onglobal attractorsfor non-
linear Hamiltonian PDEs were obtained by one of the present authors in 1991–
1995 for 1D equations [40,41,42] and were extended to multidimensional

4 Introduction
equations in 1995–2020 in collaboration with A. Comech, V. S. Buslaev, E.
Kopylova, H. Spohn, D. Stuart, B. R. Vainberg, and others. These results were
obtained from an analysis of the irreversible energy radiation to inﬁnity, which
plays the role of dissipation. This progress was achieved by a novel application
of subtle methods of harmonic analysis: the Wiener Tauberian theorem, the
Titchmarsh convolution theorem, the new theory of multipliers in the space of
quasimeasures, and other methods.
The questions of asymptotic stability required the use of the stationary scat
tering theory of Agmon, Jensen, and Kato [171,183] and of the eigenfunction
expansion for non-selfadjoint Hamiltonian operators [137,138] based on M.
G. Krein’s theory ofJ
One of the key observations is that the results obtained so far indicate
a certain dependence of long-time asymptotics of solutions on the symmetry
group of the equation. For example, it may be the trivial groupG={e},or
the group of translationsG=R
n
, or the unitary groupG=U(1),orthe
orthogonal groupSO(3). This observation suggests general conjecture for
nonlinear HamiltonianautonomousPDEs of type
∇(t)=F(∇(t)), t∈R, (5)
with a Lie symmetry groupG, which acts on the Hilbert or Banach phase space
Eof the equation via a representationT.
Conjecture A(On attractors)Forgenericnonlinear Hamiltonian PDEs (5)
with a Lie symmetry groupG, any ﬁnite-energy solution admits the asymptotics
∇(t)∼e
ˆλ
±t
∇±,t →±∞ (6)
in the appropriate topology of the phase spaceE.
Hereˆλ
±=T
ω
(e)λ±, whereλ ±belong to the corresponding Lie algebrag,
while the∇
±(x)are somelimiting amplitudesdepending on the trajectory
∇(x,t)considered. Both pairs(∇
+,ˆλ+)and(∇ −,ˆλ−)are solutions of the
correspondingnonlinear eigenvalue problem(3.11.5); see more details in
Section 3.11.
Let us specify the asymptotics (6) for the four symmetry groups mentioned
above.
1. Equations with trivial symmetry groupG={e}For suchgenericequa-
tions, the conjecture (6) meansglobal attraction to stationary states
ψ(x,t)→S
±(x), t→±∞, (7)

Introduction 5
Figure1Convergencetostationarystates.
asisillustratedinFigure1.HerethestatesS±
(x)dependonthetrajectory
x/
f(x,t)underconsideration,andtheconvergenceholdsinlocalseminormsof
typeL
2
(\x\<R)withanyR>0.Thisconvergencecannotholdinglobal
norms(i.e.,innormscorrespondingtoR=oo)duetoenergyconservation.
Theasymptotics(7)canbesymbolicallywrittenasthetransitions
(8)St—S
+
,
whichcanbeconsideredasthemathematicalmodelofBohr’squantumjumps
(8.1.1).
Suchanattractionwasestablishedin[40]—
[52]foravarietyofmodel
equations:(1)forastringcoupledtononlinearoscillators,(2)fora3Dwave
equationcoupledtoachargedparticleandfortheMaxwell-Lorentzequations,
andalso(3)forwaveequationsandDiracandKlein-Gordonequationswith
concentratednonlinearities.
Allproofsrelyontheboundsforradiationwhichirreversiblycarriesenergy
toinfinity.Theproofsofglobalattractionin[44,45]relyonanovelapplication
oftheWienerTauberiantheorem[15],whichprovidestherelaxationofthe
accelerationoftheparticle
q{t)0,t±oo (9)
undertheWienercondition(1.5.13)ontheparticlechargedensity.These
resultsgavethefirstrigorousproofofradiationdamping(9)inclassical
electrodynamics,whichhasbeenanopenproblemforabout100years.
Theresultsof[40]-[44]and[50]arepresentedwithdetailinChapter1.
Inallproblemsconsideredhere,theconvergence(7)impliesbytheFatou
theoremtheinequality
ft(S±
)<y.(Y(t))=
const,teR, (10)

6 Introduction
whereHis the corresponding Hamiltonian (energy) functional. This inequality
is an analog of the well-known property of the weak convergence in the Hilbert
and Banach spaces. Simple examples show that strong inequality in (10)is
possible, which means the irreversible scattering of energy to inﬁnity.
Example 1 The d’Alembert wavesIn particular, the asymptotics (7) and the
strong inequality (10) can easily be demonstrated for the d’Alembert equation
with general solutionψ(x,t)=f(x−t)+g(x+t). Namely, the local
convergenceψ(·,t)→0inL
2
loc
(R)obviously holds for allf,g∈L
2
(R).On
the other hand, the convergence to zero in the global norm ofL
2
(R)obviously
fails iff(x)≡0org(x)≡0.
Example 2 Nonlinear strong Huygens principleSimilarly, a solution of the
3D wave equation with unit speed of propagation is concentrated in spherical
layers|t|R<|x|<|t|+Rif the initial data have support in the ball|x|≤R.
Therefore, the solution converges to zero inL
2
loc
(R
3
)ast→±∞, although
its energy remains constant. This also illustrates the strong inequality in (10).
This convergence corresponds to the well-knownstrong Huygens principlein
optics and acoustics (see [1]). Thus, global attraction to stationary states (7)is
a generalization of the strong Huygens principle to nonlinear equations. The
difference is that for the linear wave equation the limit is always zero, while
for nonlinear equations the limit can be any stationary solution.
2. Equations with the symmetry group of translationsG=R
n
Let us
consider, as an example, the case of the simplest representation
[T(a)ψ](x):=ψ(xa), x∈R
n
(11)
fora∈R
n
. Then the asymptotics (6) meansglobal attraction to solitons
(traveling waves)
ψ(x,t)∼ψ
±(x−v ±t), t→±∞, (12)
where the asymptotics holds in local seminorms of typeL
2
(|xv ±t|<R)
with anyR>0, that is,in the comoving frame of reference.
Such soliton asymptotics was proved ﬁrst forintegrable equations
(Korteweg–de Vries equation (KdV), etc.); see [53,59]. Moreover, for the
Korteweg–de Vries equation, more accurate soliton asymptotics inglobal
normswith several solitons were ﬁrst discovered by M. Kruskal and N. J.
Zabuzhsky in 1965 by numerical simulation: it is the decay to solitons
ψ(x,t)∼
→
k
ψ±(xv
k
±
t)+w ±(x,t), t→±∞, (13)

Introduction 7
wherew
±are some dispersive waves. A trivial example is provided by
the d’Alembert equation¨ψ(x,t)=ψ
ωω
(x,t), for which any solution reads
ψ(x,t)=f(xt)+g(x+t).
Later on, such asymptotics were proved by the method of theinverse
scattering problemfor nonlinearintegrableHamiltonian translation-invariant
equations (KdV, etc.) in the works of M. J. Ablowitz, H. Segur, W. Eckhaus,
A. van Harten, and others [53,59].
Fornonintegrableequations the global attraction to solitons (12)was
established for the ﬁrst time in [54]–[57] for translation-invariant systems of
the wave and Maxwell equations coupled to a charged relativistic particle.
The result of [55] gives the ﬁrst rigorous proof of theradiation dampingfor
the translation invariant system of classical electrodynamics.
The proofs in [54] and [55] rely on a canonical transformation to the comov
ing frame and variational properties of solitons, as well as on the relaxation of
the acceleration (9) under the Wiener condition for the particle charge density.
The multisoliton asymptotics (13)fornonintegrable equationswere
observed numerically in [58] in the case of 1Drelativisticnonlinear wave
equations.
The results of [54] and [58] are presented with details inChapters 2and6,
respectively.
3. Equations with the unitary symmetry groupG=U(1)Let us consider
for example the case of the simplest representation
[T(e
iθ
)ψ](x):=e
iθ
ψ(x), x∈R
n
(14)
forθ∈R. Then the asymptotics (6) means thesingle frequency asymptotics
ψ(x,t)∼ψ
±(x)e
−iω±t
,t →±∞, (15)
whereω
±∈R.
Example 3For the case of the coupled Maxwell–Schrodinger equations
(8.2.1) with the symmetry groupU(1), the conjecture (6) reduces to the
asymptotics (8.2.8) similar to (15).
The asymptotics (15) also means the global attraction to the solitary man-
ifold formed by allstationary orbitswhich are solutions of typeψ
ω(x)e
−iωt
.
The asymptotics are expected in the local seminormsL
2
(|x|<R)with any
R>0. The global attractor is a smooth manifold formed by the circles which
are the orbits of the action of the symmetry groupU(1)(seeFigure 2).

Introduction8
Figure2Convergencetostationaryorbits.
SuchanattractioninlocalseminormsL
2
(\x\<R)wasproved(1)in[61]—
[67]fortheKlein-GordonandDiracequationscoupledtoai/(l)-invariant
nonlinearoscillator;(2)in[60],fordiscreteapproximationsofsuchcoupled
systems,i.e.,forthecorrespondingdifferenceschemes;and(3)in[69]—
[71]for
thewave,Klein-Gordon,andDiracequationswithconcentratednonlinearities.
Moreprecisely,wehaveprovedglobalattractiontothesolitarymanifoldofall
stationaryorbits,thoughglobalattractiontoparticularstationaryorbits,with
fixed(o±
,isstillanopenproblem.
Alltheseresultswereprovedundertheassumptionthattheequationsare
“strictlynonlinear.”Forlinearequations,theglobalattractionobviouslyfails
ifthediscretespectrumconsistsofatleasttwodifferenteigenvalues.
Theproofsoftheseresultsrelyon(1)theconceptofomegalimittrajectory,
(2)anonlinearanalogoftheKatotheoremontheabsenceofembedded
eigenvalues,(3)newtheoryofmultipliersinthespaceofquasimeasures,and
(4)novelapplicationoftheTitchmarshconvolutiontheorem.Theresultsof
[62]-[64]arepresentedwithdetailsinChapter3.
ExistenceandorbitalstabilityofstationaryorbitsTheexistenceofsolu
tionse^'
(stationaryG-orbits)forG-invariantnonlinearwaveequations(2)
inthecasesG—
U{1)andG—
IR"wasextensivelystudiedinthe1960s—1980s.
ThemostgeneralresultswereobtainedbyW.Strauss,H.Berestycki,andP.-L.
Lions[24,25,30],M.Esteban,V.Georgiev,andE.Sereconstructedin[27]
stationaryorbitsfortherelativisticnonlinearMaxwell-Diracsystem(8.2.7)

Introduction 9
and for the Klein–Gordon–Dirac system. The key role in these papers was
played by the Lusternik–Schnirelmann theory of critical points [28,29].
In [26] G. M. Coclite and V. Georgiev constructed stationary orbits for the
nonlinear Maxwell–Schrodinger system with the external Coulomb potential.
General theory oforbital stabilityof stationaryG-orbits was developed by
M. Grillakis, J. Shatah, and W. Strauss in [100,101].
4. Equations with the orthogonal symmetry groupG=SO(3)For such
generic equations, the asymptotics (6) means that
ψ(x,t)∼e
iˆ ±t
ψ±(x), t→±∞, (16)
whereˆ
±are suitable representations of real skew-symmetric 3×3 matrices

±∈so(3). This means that global attraction to “stationarySO(3)-orbits”
occurs. Such asymptotics are proved in [88] for the Maxwell–Lorentz equa-
tions with rotating particle.
Generic equationsLet us emphasize that, for example, we are conjecturing
asymptotics (15)forgenericU(1)-invariant equations. This means that the
long-time behavior of solutions may be quite different forU(1)-invariant
equations of “positive codimension.” In particular, for solutions of the linear
Schrodinger equation
i˙ψ(x,t)=−→∞(x,t)+V(x)ψ(x,t), x∈R
n
,
the asymptotics (15) generally fail. Namely, any ﬁnite-energy solution admits
the spectral representation
ψ(x,t)=
→
C
kψk(x)e
−iωkt
+
∞ψ
0
C(ω)ψ(ω,x)e
−iωt
dω,
whereψ
kandψ(ω,)are the corresponding eigenfunctions of the discrete and
continuous spectrum, respectively. The last integral is a dispersive wave, which
decays to zero in the normsL
2
(|x|<R)with anyR>0 (under appropriate
conditions on the potentialV(x)). Correspondingly, the attractor is the linear
span of the eigenfunctionsψ
k. Thus, the long-time asymptotics does not reduce
to a single term like (15), so the linear case is degenerate in this sense. Note
that all our results [61]–[67] are established for astrictly nonlinear case(see
the condition (3.1.16)), which eliminates linear equations).
Higher symmetry groupsFor more sophisticated symmetry groups
G=U(N), the asymptotics (6) mean the global attraction toN-frequency

10 Introduction
trajectories, which can be quasi-periodic. In particular, the symmetry groups
SU(2),SU(3), and others were suggested in 1961 by M. Gell-Mann and
Y. Ne’eman for strong interaction of baryons [222,224]. This theory provides
empirical evidence for the asymptotics (6), seeSection 3.11.
On relations with Soffer’s conjecturesNote that our conjecture (6) speciﬁes
the concept oflocalized solution/coherent structuresfrom the “Grande Conjec-
ture” and the “Petite Conjecture” of A. Soffer (see [161], p. 460) in the context
of the Banach spaces. The Grande Conjecture was proved in [47] for the case
of a 1D wave equation coupled to a nonlinear oscillator (1.2.1). Moreover,
suitable versions of the Grande Conjecture were also proved in [57,88]forthe
3D wave and Klein–Gordon and Maxwell equations coupled to a relativistic
particle with sufﬁciently small charge (2.2.1)(seeRemark 2.2.1). Finally, for
any matrix symmetry groupG, the asymptotics (6) corresponds to the Petite
Conjecture since then the localized solutionse
g±t
ψ±(x)are quasi-periodic.
In this book we present available results on the global attraction (7)–
(16) and related numerical experiments. Moreover, we survey the results on
asymptotic stability of solitons and their adiabatic effective dynamics, on the
dispersive decay and relations to quantum mechanics.
Asymptotic stability of solitonsMore precisely, we should phrase “asymp-
totic stability of solitary manifolds,” which means a local attraction, i.e., for
states sufﬁciently close to the manifold. There is a huge body of literature
on this subject. InChapter 4we review the results on such local attraction
that were developed in a series of articles [162]–[170] by V.S. Buslaev, G.
Perelman, A. Soffer, D. Stuart, C. Sulem, T. P. Tsai, M. Weinstein, H. T. Yau,
and others.
The crucial peculiarity of this attraction is the instability of the dynamics
along the solitary manifold. This follows directly from the fact that soli
tons move with different speeds and therefore run away for large times.
Analytically, this instability is caused by the presence of the eigenvalue
λ=0 in the spectrum of the generator of linearized dynamics. Namely,
the tangent vectors to the solitary manifold are eigenvectors and associated
vectors of the generator. They correspond to zero eigenvalue. Respectively, the
Lyapunov theory is not applicable to this case.
This is why in the articles [162]–[169] an original strategy was developed
for proving asymptotic stability of solitary manifolds. This strategy allows one
to separate the unstable motion along the solitary manifold and the attraction
in transversal directions to this manifold.

Introduction 11
This approach relies on (1) a special projection of a trajectory onto the soli-
tary manifold, (2) modulation equations for parameters of the projection, and
(3) time decay of the transversal component. It is a far-reaching development
of the Lyapunov stability theory.
Adiabatic effective dynamics of solitonsInChapter 5we describe adiabatic
effective dynamics for solitons in slowly varying external potentials, when the
corresponding external force is small. The existence of solitons and the global
attraction to solitons (12) are typical features of translation-invariant systems.
However, if the deviation of a system from translational invariance is in some
sense small, the system can admit solutions that are close forever to solitons
with time-dependent parameters (e.g., velocity). Moreover, in some cases it
is possible to identify an “effective dynamics” that describes the evolution of
these parameters.
We present without proofs the results of [84] and [85]onadiabatic effective
dynamics(5.1.5), (5.1.6) for the wave–particle system (1.5.1)–(1.5.2) and the
Maxwell–Lorentz system (1.6.1), respectively, in the case of slowly varying
external potentials. We also discuss the relatedmass–energy equivalence.
InChapter 6we present results of numerical simulation of soliton asymp-
totics and on the corresponding effective dynamics for relativistic equations.
Dispersive decayInChapter 7we give (1) a brief survey of basic results on
the dispersive decay and (2) a new short and simpliﬁed proof of the funda-
mental results on theL
1
→L
∞
dispersive decay established by J.-L. Journ´e,
A. Soffer, and C. D. Sogge in [184] for the Schr¨odingerequation (7.1.2)with
n≥3.
The dispersive decay of the corresponding linearized equations plays the
key role in all results on long-time asymptotics for nonlinear Hamiltonian
PDEs. One of the ﬁrst fundamental results on the dispersive decay is the local
energy decay (3) established in [31].
Relations to quantum mechanicsIn the ﬁnal chapter,Chapter 8,
possible relationships between the theory of attractors of Hamiltonian nonlin-
ear equations and quantum mechanics. The theory of global attraction (15)was
inspired by postulates of N. Bohr on transitions toquantum stationary states
and by Schrodinger’s deﬁnition of these quantum stationary states as solutions
of typeψ(x,t)=ψ(x)e
−iωt
(seeChapter 8for details). Our results conﬁrm
such attraction forgenericU(1)-invariant nonlinear equations of type (3.1.1)
and (3.2.1)–(3.2.3). However, for the semiclassical self-consistent Maxwell–

12 Introduction
Schrodinger system of quantum mechanics (8.2.1), this attraction is still an
open, challenging problem.
On related surveysIn conclusion, let us mention the related surveys in this
area [8,11,46]. The results on asymptotic stability of solitary manifolds were
described in detail in [124] for linear equations coupled to a particle and in
[144] for the relativistic Ginzburg Landau equations.

1
Global Attraction to Stationary States
In this chapter we present with details the results on global attraction to
stationary states (7) for nonlinear Hamiltonian PDEs in inﬁnite space.
InSection 1.2we present the ﬁrst result of this type obtained in [40,41]for
a 1D wave equation coupled to one nonlinear oscillator (“the Lamb system”).
The second result [42] for a 1D wave equation coupled to several nonlinear
oscillators is presented inSection 1.3,and the third result – for a 1D wave
equation coupled to a “continuum of nonlinear oscillators” – is presented in
Section 1.4.The proof of the last result relies on calculation of energy radiation
to inﬁnity and uses the concept of omega-limit trajectories.
InSections 1.5and1.6are presented the results [44] and [45], which
concern, respectively, 3D wave equations and Maxwell’s equations coupled
to a charged relativistic particle with density of charge satisfying the Wiener
condition. In particular, the radiation damping in classical electrodynamics is
rigorously proved for the ﬁrst time. The proofs rely on calculation of energy
radiation to inﬁnity and use the Wiener Tauberian theorem.
Section 1.7concerns the result [50] on a 3D wave equation with concen-
trated nonlinearities. The key step in the proof is an investigation of a nonlinear
integro differential equation.
1.1 Free d’Alembert Equation
The global attraction (7) can easily be demonstrated using the trivial (but
instructive) example of the d’Alembert equation
ψ(x,t)=ψ
ωω
(x,t), x∈R, (1.1.1)
13

14 Global Attraction toStationaryStates
where˙ψ:=
∂ψ
∂t
,ψ
ω
:=
∂ψ
∂x
. All derivatives here and below are understood
in the sense of distributions. This equation is formally equivalent to the
Hamiltonian system
ψ(t)=D
πH,π(t)=D ψH (1.1.2)
with Hamiltonian
H(ψ,π)=
1
2
∞
[|π(x)|
2
+|ψ
ω
(x)|
2
]dx,
(ψ,π)∈E:=H
1
c
(R)⊕[L
2
(R)∩L
1
(R)], (1.1.3)
whereH
1
c
(R)is the Hilbert space of continuous functionsψ(x)with ﬁnite
norm
αψα
H
1
c
(R)
:=αψ
ω
α
L
2
(R)
+|ψ(0)|. (1.1.4)
Let us consider solutions(ψ(x,t),π(x,t))of (1.1.2) with initial states
(ψ(x,0),π(x,0))=(ψ
0(x),π0(x))∈E. Let us assume, moreover, that
ψ
0(x)→C ±,x→±∞. (1.1.5)
For such initial data the d’Alembert formula gives
ψ(x,t)=
ψ
0(x+t)+ψ 0(x−t)
2
+
1
2
x+t∞
x−t
π0(y)dy

t→±∞
S±(x)=
C
++C
2
±
1
2
∞∞
−∞
π0(y)dy, (1.1.6)
where the convergence is uniform on every ﬁnite interval|x|<R. Moreover,
˙ψ(x,t)=
ψ
ω
0
(x+t)ψ
ω
0
(xt)
2
+
π
0(x+t)+π 0(x−t)
2
→0,t→±∞,
(1.1.7)
where the convergence holds inL
2
(R,R)for eachR>0. Thus, the set of sta
tionary states(ψ(x),π(x))=(C,0), whereC∈Ris any constant, is an attrac
tor. Note that for positive and negative times the limits (1.1.6) may be different.
1.2 A String Coupled to a Nonlinear Oscillator
In this section we present the ﬁrst results on global attraction to stationary
states (7) for nonlinear Hamiltonian PDEs obtained in [40,41] (and developed
in [47]) for thenonlinear Lamb systemwith a point nonlinearity:

1.2AStringCoupledtoaNonlinearOscillator 15
r/
/(x,t)=
r/r"(x,t),JceR\{0],
my(t)=F(y(t))+t'(+0,t)
*
'(0,t);y(t)=
x/r(0,t),
(1.2.1)
wherem>0.Solutionsi]/(x,t)takethevaluesinW
1
withd>1.Thissystem
canformallybewrittenasthenonlinearwaveequation
(1+m8lx))jr(x,t)=xlr"(x,t)+S(x)F(x/
/(0,t)),xeR.(1.2.2)
Theproblem(1.2.1)describessmallcrosswiseoscillationsofaninfinitestring
stretchedparalleltothex-axis;aparticleofmassm>0isattachedtothestring
atthepointx=0;F{y)isanexternal(nonlinear)forceperpendiculartothe
string;theforcesubjectstheparticle(seeFigure1.1).
Thesystem(1.2.1)hasbeenintroducedoriginallybyH.Lamb[51]inthe
linearcasewhenF(y)=
ap-y.TheLambsystemwithnonlinearforceF(y)
hasbeenconsideredin[39],wherethequestionsofirreversibilityandnonre-
currencewerediscussed.Thesystemwasstudiedfurtherin[40,41,47],where
theglobalattractiontostationarystateshasbeenestablishedforthefirsttime,
andin[38],wheremetastableregimeswerestudiedforthestochasticLamb
systemwithwhitenoise.
TheLambsystem(1.2.1)isasimplestnontrivialnonlineartime-reversible
infinite-dimensionalHamiltoniansystemallowinganeffectiveanalysisof
variousquestions.
Ourmainresultsforthissystemareasfollows.Hereweestablishthe
existenceofafinitedimensionalglobalattractorandestablishthenonlinear
scattering:
y
F
m
f/
T
x
0
Figure1.1Stringcoupledtoanoscillator.

16 Global Attraction toStationaryStates
Each ﬁnite-energy solution decays in long time limits to a sum
of a stationary state and a dispersive wave.
The asymptotics holds in global energy norm. Moreover, in [48,49], we
have established the asymptotic completeness of the corresponding nonlinear
scattering operators.
We consider the Cauchy problem for the system (1.2.1) with the initial
conditions
ψ|
t=0=ψ0(x),˙ψ| t=0=π0(x),˙y| t=0=p0. (1.2.3)
DenoteY(t)=(ψ(x,t),ψ(x,t),y(t)). Then the Cauchy problem (1.2.1),
(1.2.3) can be written as
˙Y(t)=F(Y (t))fort∈R,Y(0)=Y
0, (1.2.4)
whereY
0=(ψ0,π0,p0)and
F(Y (t))=(˙ψ(·,t),ψ
ωω
(x,t)| x=0,F(ψ(0,t))+ψ
ω
(+0,t)−ψ
ω
(−0,t)).
An exact statement of the Cauchy problem will be formulated in the next
section.
We will establish the scattering asymptotics
Y(t)∼S
±+˜W(t)∇±,t→±∞, (1.2.5)
whereS
±are some stationary states of the system (1.2.1),˜W(t)is the
dynamical group of the free wave equation, and∇
±∈Eare the corresponding
scattering states. The asymptotics (1.2.5) holds if the following limits exist:
ψ
+
0
:=lim
x→+∞
ψ0(x), ψ
−
0
:=lim
x→−∞
ψ0(x), I0:=
∞ψ
−∞
π0(y)dy. (1.2.6)
1.2.1 Hilbert Phase Space and Dynamics
Let us introduce a Hilbert phase spaceEof ﬁnite-energy states for the system
(1.2.1). Denote byα?αresp.α?α
Rthe norm in the Hilbert spaceL
2
:=
L
2
(R,R
d
)resp.L
2
([R,R],R
d
)and byE c:=H
1
c
(R)⊗R
d
, whereH
1
c
(R)is
the Hilbert space with the norm (1.1.4).
Deﬁnition 1.2.1(i)Eis the Hilbert space of triples(ψ(x),π(x),p)∈E
c⊕
L
2
⊕R
d
with ﬁnite energy norm
α(ψ,π,p)α
E=αψα Ec
+απα+|p|=αψ
ω
α+|ψ(0)|+απα+|p|.
(1.2.7)

1.2 AString Coupled to a Nonlinear Oscillator 17
(ii)E
Fis the spaceEendowed with the topology deﬁned by thelocal energy
seminorms
α(ψ,π,p)α
E,Rπαψ
ω
αR+|ψ(0)|+απα R+|p|,R>0. (1.2.8)
The spaceE
Fis not complete, and convergence inE Fis equivalent to
convergence in the metric
dist[Y
1,Y2]=
∞
→
1
2
−R
αY1−Y2αE,R
1+αY 1−Y2αE,R
,Y1,Y2∈E. (1.2.9)
We assume that
F(y)∈C
1
(R
d
,R
d
), F (y)= ∇V(y), (1.2.10)
V(y)→+∞,y→∞. (1.2.11)
In this case the system (1.2.1) is formally Hamiltonian with the Hilbert phase
spaceEand the Hamiltonian functional
H(ψ,π,p)=
1
2
ψ
[|π(x)|
2
+|ψ
ω
(x)|
2
]dx+m
|p|
2
2
+V(ψ(0))(1.2.12)
for(ψ,π,p)∈E. We consider solutionsψ(x,t)such thatY(t)=(ψ(·,t),
˙ψ(·,t),˙y(t))∈C(R,E), wherey(t):=ψ(0,t).
Let us discuss the deﬁnition of the Cauchy problem (1.2.1), (1.2.3)forthe
trajectoriesY(t)∈C(R,E).Atﬁrst,ψ∈C(R
2
,R
d
)forY(t)∈C(R,E). Hence,
the ﬁrst equation in (1.2.1) is equivalent to the d’Alembert decomposition
ψ(x,t)=f
±(xt)+g ±(x+t),±x>0, (1.2.13)
where
f
±,g±∈C(R,R
d
).
Therefore,
˙ψ(x,t)=f
ω
±
(xt)+g
ω
±
(x+t),
ψ
ω
(x,t)=f
ω
±
(xt)+g
ω
±
(x+t)for±x>0,
where all the derivatives are understood in the sense of distributions. The
assumptionY(t)∈C(R,E)implies
f
ω
±
,g
ω
±
∈L
2
loc
(R,R
d
).
Now we explain the second equation of (1.2.1).

18 Global Attraction toStationaryStates
Deﬁnition 1.2.2In the second equation of (1.2.1)weset
ψ
ω
(0±,t):=f
ω
±
(t)+g
ω
±
(t)∈L
2
loc
(R,R
d
), (1.2.14)
while the derivative¨y(t)ofy(t)≡ψ(0,t)∈C(R,R
d
)is understood in the
sense of distributions.
Note that the functionsf
±andg ±in (1.2.13) are unique up to an additive
constant. Hence deﬁnition (1.2.14) is unambiguous.
Proposition 1.2.3(cf. [41])Let the conditions (1.2.10), (1.2.11) hold,m>0,
andY
0∈E. Then
(i) The Cauchy problem (1.2.4) admits a unique solutionY(t)∈C(R,E).
(ii) The mapU(t):Y
0 →Y(t)is continuous inEand inE F.
(iii) The energy is conserved,
H(Y (t))=const,t∈R. (1.2.15)
(iv) The a priori bounds hold:
sup
t∈R
αY(t)α E<∞.
1.2.2 Main Results
The stationary statesS=(s(x),0,0)∈Efor the system (1.2.1) are evidently
determined: the setSof all stationary statesS∈Eis given by
S={S
z=(z,0,0):z∈Z},whereZ:={z∈R
d
:F(z)=0}.
(1.2.16)
The next theorem means that the setSis the global point attractor of the system
(1.2.1) in the spaceE
F.
Theorem 1.2.4(cf. [40,41])Let all assumptions ofProposition 1.2.3hold and
an initial stateY
0∈E. Then
(i) The corresponding solutionY(t)∈C(R,E)to the Cauchy problem (1.2.4)
attracts to the setS,
Y(t)
EF
S,t →±∞ (1.2.17)
in the metric (1.2.9). This means that
dist[Y(t),S]:=inf
S∈S
dist[Y(t),S]→0,t →±∞. (1.2.18)

1.2 AString Coupled to a Nonlinear Oscillator 19
(ii)Suppose additionally that the setZis a discrete subset inR
d
. Then any
solutionY(t)∈C(R,E)attracts to some stationary statesS
±∈Sdepending
on the solution,
Y(t)
EF
−→S ±,t→±∞, (1.2.19)
as is illustrated inFigure 1.
Remarks 1.2.5(i) The discreteness of the setZis essential for the global
attraction to stationary states (1.2.19). For example, let us consider the
nonlinearity which vanishes on aC
1
R
d
,
F(ψ)≡0,ψ ∈I. (1.2.20)
Then, in the casem=0, any smooth functionf(xt)with values inIis the
solution to the system (1.2.1). In particular, ford=1 andI=[−1,1], we can
take the function
ψ(x,t)=sin log(|x−t|+2), (x,t )∈R
2
. (1.2.21)
In this case the function(ψ(x,t),˙ψ(x,t),ψ(0,t))∈C(R,E)is the solution to
equation (1.2.4)withm=0, and for this solution the attraction to stationary
states (1.2.19) obviously breaks down. On the other hand, (1.2.17) for this solu-
tion holds. Form>0, similar examples can be easily constructed; see [41].
(ii) The “weak convergence” (1.2.19) and (1.2.11), (1.2.12)imply(10)bythe
Fatou lemma.
Furthermore, let us denoteE
0={(ψ,v,0)∈E}and˜W (t)(ψ,v,0):=
(W(t)(ψ,v),0), whereW(t)is the dynamical group of free wave equation
(1.1.1).
Theorem 1.2.6([47])Let all assumptions ofProposition 1.2.3hold, and
additionally, the ﬁnite limits (1.2.6) exist. Then thescattering asymptotics
hold:
Y(t)=S
±+˜W(t)∇±+r±(t), (1.2.22)
withS
±∈S, and some asymptotic states∇ ±∈E0; the remainder is small in
theglobal energy norm(1.2.7):
αr
±(t)αE→0,t→±∞. (1.2.23)
In [48,49] the asymptotic completeness of the corresponding nonlinear
scattering operatorS:∇
− →∇ +has been proved forequation (1.2.1)in
the casem=0.

20 Global Attraction toStationaryStates
1.2.3 Well-Posedness
Recall, since we need some of its constructions later, the proof ofProposition
1.2.3from [41] in the proofs ofTheorems 1.2.4and1.2.6.
The construction of solutions relies on the d’Alembert representation
(1.2.13). For±z>0 the functionsf
±(z)andg ±(z)are deﬁned by the
d’Alembert formulas
f
±(z):=
ψ
0(z)
2
−
1
2
z∞
0
π0(y) dy,
g
±(z):=
ψ
0(z)
2
+
1
2
z∞
0
π0(y) dy,
±z>0. (1.2.24)
These formulas imply that
f
ω
±
(z),g
ω
±
(z)∈L
2
(R
±
,R
d
), (1.2.25)
since(ψ
0,π0)∈E.Thereﬂected outgoing wavesf +(z)forz<0 andg −(z)
forz>0aregivenby
f
+(−t):=y(t)−g +(t), g −(t):=y(t)−f −(−t), t >0
(1.2.26)
due to the gluing conditionsy(t):=ψ(0,t)=f
+(t)+g +(t)=f (t)+
g
(t). Hence,
ψ(x,t)=
∈
y(t−x)+g
+(x+t)−g +(t−x), 0<x<t
y(t+x)+f
(xt)f (xt), t<x<0
∇
∇
∇
∇
∇
t>0.
(1.2.27)
Substituting these representations into the second equation of (1.2.1), we
immediately get thereduced equationfor the oscillator,
my(t)=F(y(t))2y(t)+2w
in(t), t >0;y(0)=ψ 0(0);y(0)=p 0,
(1.2.28)
where
w
in(t)=g +(t)+f −(−t), t >0 (1.2.29)
is theincident wave. Multiplyingequation (1.2.28)by˙y(t)and integrating, we
get the energy balance

1.2 AString Coupled to a Nonlinear Oscillator 21
m˙y
2
(t)
2
+U(y(t))=
m˙y
2
(0)
2
+U(y(0))−2
tψ
0
˙y
2
(s)ds+2
tψ
0
˙win(s)˙y(s)ds.
(1.2.30)
Note that
w
in∈L
2
(R
+
,R
d
) (1.2.31)
by (1.2.25). Hence (1.2.30) and (1.2.11) imply that the Cauchy problem
(1.2.28) admits a unique solution for allt>0, and the a priori bound holds:
sup
t>0
|y(t)|+sup
t>0
|y(t)|+
∞ψ
0
|y(t)|
2
dt≤B<∞, (1.2.32)
whereBis bounded for bounded normα(ψ
0,π0,p0)αE. These arguments
imply that the Cauchy problem (1.2.4) admits a unique solutionY(t)=
(ψ(x,t),˙ψ(x,t),˙y(t))∈C(R,E)for anyY
0∈E, whereψ(x,t)is deﬁned
by (1.2.13), (1.2.24), and (1.2.27)(see[41]).
The a priori bound (1.2.32)impliesthaty(t)∈C(
R
+
). Hencey(0)
exists and
f
+(−0)=f +(+0), g −(0)=g −(+0) (1.2.33)
since
f
+(0)=y(0)g +(+0)=
ψ
0(0)
2
,f
+(+0)=
ψ
0(0)
2
(1.2.34)
and
g
−(−0)=
ψ
0(0)
2
,g
−(+0)=y(0)f −(0)=
ψ
0(0)
2
(1.2.35)
by (1.2.26) and (1.2.24).
Corollary 1.2.7Formulas (1.2.32) and (1.2.26) imply that
f
ω
+
∈L
2
(R,R
d
), g
ω
−
∈L
2
(R
+
,R
d
) (1.2.36)
by (1.2.25). Hence, (1.2.33)impliesthat
f
ω
+
,g
ω
−
∈L
2
(R,R
d
). (1.2.37)
The formulas (1.2.24) and (1.2.27) determine the solutionψ(x,t)uniquely,
andY(t):=(ψ(x,t),ψ(x,t),ψ(0,t))∈C(R,E)due to (1.2.37). Finally, the
energy conservation (1.2.15) follows by differentiation; see [41]. Now
Proposition 1.2.3is proved.
Remark 1.2.8In the energy balance (1.2.30) the integral 2
λ
t
0
˙y
2
(s)dsis the
energy radiated by the oscillator over the time interval [0,t].

22 Global Attraction toStationaryStates
1.2.4 A Relaxation for Reduced Equation
The following lemma on relaxation for the reduced equation plays a crucial
role in the proofs ofTheorem 1.2.4andTheorem 1.2.6.
Z={(z,0)∈R
d
×R
d
:z∈Z}.
Lemma 1.2.9Let all assumptions ofTheorem 1.2.4hold. Then
(i) For every solutiony(t)of theequation (1.2.28),
(y(t),˙y(t))→Z,t→∞. (1.2.38)
(ii) Let, additionally,Zbe a discrete subset inR
d
. Then there exists a point
(z,0)∈Zsuch that
(y(t),y(t))→(z,0), t→∞.
ProofObviously, (ii) follows from (i). Let us check that (i) follows from
(1.2.32). Namely, (1.2.38) is equivalent to the system
y(t)→Z, t→∞, (1.2.39)
˙y(t)→0,t→∞. (1.2.40)
•First, let us prove (1.2.40). Assume the contrary, that
|y(t
k)|≥ε>0 (1.2.41)
for a sequencet
k→∞. Integrating theequation (1.2.28),
m(˙y(t)−˙y(s))=
t∞
s
F (y(τ))dτ−2
t∞
s
˙y(τ)dτ+2
t∞
s
˙win(τ)dτ, s,t≥0.
(1.2.42)
Let us estimate each of three integrals in the RHS. The ﬁrst isO(|ts|),
sincey(τ)is a bounded function by (1.2.32). The second and third integrals
areO(|ts|
1/2
)by (1.2.32), (1.2.31), and the Cauchy Schwarz inequality.
Hence, (1.2.42)impliesthaty(t)is a H¨older function of degree 1/2, i.e.,
|˙y(t)−˙y(s)|≤C|t−s|
1/2
,s,t≥0,|t−s|≤1.
Therefore,
≥
∞
0
˙y
2
(t)dt=∞by (1.2.41), which contradicts (1.2.32).
•Now we can prove (1.2.39). Again, assume the contrary. Then
F(y(t
k))→
F=0
for a sequencet
k→∞sincey(t)is a bounded function. Moreover, (1.2.40)
implies the uniform convergence
F(y(τ))→
F,|τ−t k|≤T

1.2AStringCoupledtoaNonlinearOscillator 23
foranyT>0.Now(1.2.42)and(1.2.40),(1.2.31)implythat
m(y(tk+T)-y(tk-T) )=2TF+o(l),tk->oo,
whichcontradicts(1.2.40)sinceF
^
0.
1.2.5Examples
LetusillustrateLemma1.2.9byanexample.Forsimplicity,letusassumethat
r/rolx)-C±,uo(-
r)=0,±x>r0
withsomeC±eRandro>0.Then(1.2.29)impliesthatw(t)=0fort>ro
andthat(1.2.28)isanautonomousequationfort>ro.Inthephaseplane
ly,y),theorbitsofthereducedequation(1.2.28)aredeterminedbythe
followingsystem:
mvlO=F(y(t))-2v(t),
Letuscomparethissystemwithafreeoscillatorthatisnotcoupledtothe
string,
y(t)=
v(t), (1.2.43)t>r0.
(1.2.44)mv—
F(y).y=v,
Therearesimplerelationshipsbetweenphaseportraitsofthesetwosystems.
AThesesystemshavethesamestationarypoints.
BTheverticalcomponentvofthephasevelocityvectorof(1.2.43)islessthan
thatof(1.2.44)ifv>0andisgreateriff<0.Thehorizontalcomponentsof
thesevectorsareequal.
CHencetheorbitsof(1.2.43)intersectthoseof(1.2.44)fromaboveinthe
half-planev>0andfrombelowinthehalf-planev<0.Letusconsider,for
instance,anondegeneratepotentialofGinzburg-Landautype
1
V(y)=-(y
2
l)
2
,y e R. (1.2.45)
Itsatisfiesconditions(1.2.10)and(1.2.11).Thenthesystem(1.2.44)hasthe
followingorbits:
closedcurvescorrespondingtoperiodicsolutions,
twoseparatricesbothleavingandenteringthepoint(0,0),
threestationarypoints:asaddleatthepoint(0,0)andtwocentersatthe
points(±1,0)(seeFigure1.2).
TakingintoaccountthepropertyC,weseethatforthesystem(1.2.43)with
potential(1.2.45),

24 GlobalAttractiontoStationaryStates
8
6
4
2
“
0
-2
-4
-6
-8
-3 -2 -1 0 1 2 3
u
Figure12Hamiltoniansystem
8
6
4
2
“
0
-2
-4
-6
-8
-2 -1 0 1 2 3
u
Figure1.3Systemwithafriction.
thepoints(±1,0)arestablefoci,
thepoint(0,0)isasaddle(seeFigure1.3).
1.2.6ConvergencetoGlobalAttractor
NowwecanproveTheorem1.2.4.Itsufficestoproveitfort-
Lemma1.2.10LetalltheassumptionsofTheorem1.2.4hold.Then
oo.
£r
T(f)->Sastoc.

1.2AStringCoupledtoaNonlinearOscillator 25
ProofItsufficestoconstructz(t)eZfort>0suchthat
Ill'll)Sztoll/f0astoo.
Theconvergence(1.2.39)meansthatthereexistsafunctionz(t)eZ,t>0,
suchthat
(1.2.46)|y(0—z(OI
->0,
Bydefinitions(1.2.8)and(1.2.16),
linoSz(oiiR=u
^
'(,oii/?+iimoz(oi+ii
^
(,on
*
+
iy(oi.
t-
*
oo.
Herebothnorms||...||«—*
0dueto(1.2.13),(1.2.25),(1.2.36)and(1.2.37).
Therefore,(1.2.46)and(1.2.40)completetheproof.
NowTheorem1.2.4(i)isproved.ThenTheorem1.2.4(ii)follows,since
thesetS,isomorphictoZ,isdiscrete.
Remark1.2.11Thebound(1.2.32)isprovidedbythefrictionterminthe
reducedequation(1.2.28)forthenonlinearoscillator.Thefrictionmeans
theenergyradiationbytheoscillator,andtheintegralin(1.2.32)represents
theenergyradiatedtoinfinity.Thus,ourproofofTheorem1.2.4reliesonthe
energyradiationtoinfinity.
1.2.7TheTransitivityoftheTransitions
Thenextlemmashowsthatthetransitionsoftype(8)existforanytwo
stationarystatesS±.
Lemma1.2.12LetconditionsofTheorem1.2.4hold.Then,foreverytwo
stationarystatesS±e5,thereexistsolutionsY(t)C(R,£)tothesystem
(1.7.13),intertwiningS±inthesense(1.2.19).
ProofLet5±=
(i±
(x),0,0)withs±
(x)=z.±
<zZ.Itispossibletoprovide
thetransitionS_
5
+
indifferentways.Wechooseoneofthem,which
ispossiblymostobvious.Namely,weconstructasolutionY(t)=
(M(,/),
;/(,t),y(t))eC(M,£)to(1.7.13)suchthat
Z-fort<—
1,
fort>1.
Weextendy(t)forte(1,1)arbitrarilysothatyeC
2
(R,Rrf).Thenweset
g
+
(z)=z~anddetermine/
_
by(1.2.28):
my(t)=F(y(D)+2(/l(-f)-y(0),1eR.
(1.2.47)y(f):=u(0,t)=
z
+
(1.2.48)

26 GlobalAttractiontoStationaryStates
Thenf'_(z)C(R,Rrf).SinceF(z±
)=
0,wehave
f'_
{t)=0fort<1andfort>1. (1.2.49)
Todetermine/
_
uniquely,wemayrequirethat
(1.2.50)/-
(t)=z~fort<1.
Thenthereflectedwavesg_
and/+
aredeterminedby(1.2.26).
Sincey(0,/-
(0,andg
+
(t)areconstantforlarge|f|,/+
(t),g-
(t)are
alsoconstantforlarge|f|.Then,foru(x,t)definedby(1.2.27),thefunction
T(0=
(«(-,0,ii(-,0,fi(0,0)eC(R,£)
isasolutionto(1.2.1),and(1.2.19)holds.
Remark1.2.13Physically,theinequalityz+
^
Z-meansthecaptureof
radiationbytheoscillatorifV(z+
)>V(Z-
)ortheemissionofradiationby
theoscillatorifV(z+
)<V(Z-
).
1.2.8DivergentWave
HereweproveTheorem1.2.6.First,letusconstructthedivergentwave
VV(t)
'
P
+=
(wou,(ar,/),wou,(ar,f),0),t>0.
Herewout(x,t)isafiniteenergysolutiontothefreed’Alembertequation.Let
usset
wOut(
*
,0=
C0+f
+
(xf)+g_
(
*+r), (1.2.51)
wheretheconstantCowillbechosenbelow.Itremainstocheck(1.2.22)and
(1.2.23)fort—
>oc,whichmeanstherepresentation
(tlr(x,t),\jr(x,t),y(t))=
(j
+
(v),0,0)
+(wOut(x,t),wout(v,r),0)+r
+
(f),t>0,
where
(1.2.52)
s
+
(x)=Z+
:=limv(t)
/—
-|-oo
'
and
||r
+
(t)||£0,t->+oo. (1.2.53)

1.2 AString Coupled to a Nonlinear Oscillator 27
By deﬁnition of the norm (1.2.7), (1.2.53) is equivalent to
αψ
ω
(,t)w
ω
out
(,t)α
L
2
(R,R
d
)
+|ψ(0,t)z +wout(0,t)|
+αψ(,t)w
out(,t)α
L
2
(R,R
d
)
→0,t→∞
(1.2.54)
sincey(t)→0by(1.2.40).
Step (i).Let us start with the second term in the LHS of (1.2.54). Since
ψ(0,t)=y(t)→z
+, it sufﬁces to prove that
w
out(0,t)=C 0+f+(t)+g (t)→0,t→+∞. (1.2.55)
First, (1.2.6) and (1.2.24) imply that
lim
t→∞
f−(−t)=
ψ
0
2
−
1
2
∞
0
π0(y)dy,
lim
t→+∞
g+(t)=
ψ
+
0
2
+
1
2
∞∞
0
π0(y)dy. (1.2.56)
Second, we have by (1.2.26) and (1.2.52) that
lim
t→∞
f+(t)=z + lim
t→+∞
g+(t);lim
t→+∞
g−(t)=z +lim
t→∞
f−(t).
Substituting (1.2.56), we obtain
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
lim
t→∞
f+(t)=z +
ψ
+
0
2
1
2
∞∞
0
π0(y)dy,
lim
t→+∞
g−(t)=z +
ψ
−
0
2
+
1
2
−∞∞
0
π0(y)dy.
Hence, (1.2.55) holds if we choose
C
0:=
ψ
+
0
2
+
ψ
−
0
2
+
I
0
2
2z
+, (1.2.57)
whereI
0is deﬁned in (1.2.6).
Step (ii).Now, let us consider the ﬁrst term in the LHS of (1.2.54). It sufﬁces
to prove, for example, that
αψ
ω
(,t)w
ω
out
(,t)α
L
2
(R
+
,R
d
)
→0,t →∞.
Using (1.2.51) and the d’Alembert representation (1.2.13)forx>0, we get
ψ
ω
(x,t)−w
ω
out
(x,t)=g
ω
+
(x+t)−g
ω
−
(x+t), x≥t.

28 Global Attraction toStationaryStates
Finally, (1.2.25) and (1.2.36) imply that
αg
ω
+
(x+t)g
ω
−
(x+t)α
2
L
2
(R
+
,R
d
)
≤C
∞∞
0
∩
|g
ω
+
(x+t)|
2
+|g
ω
−
(x+t)|
2
α
dx
=C
∞∞
t
∩
|g
ω
+
(z)|
2
+|g
ω
−
(z)|
2
α
dz→0,t→∞.
Step (iii).The third term in the LHS of (1.2.54) can be handled similarly.
Theorem 1.2.6is proved.
1.3 String Coupled to Several Nonlinear Oscillators
Here we present the results [42], which extend the results of the previous
section 1.2to the case of a string with several nonlinear oscillators:
¨ψ(x,t)=ψ
ωω
(x,t)+
N
→
1
δ(xx k)Fk(ψ(xk,t)), x∈R.
This equation reduces to a system ofNordinary differential equations with
delay. Its study required a new approach relying on a special analysis of a
relaxationof all trajectories.
1.3.1 Introduction
LetQ={x 1,...,xN}be a ﬁnite set ofNpointsx k∈R. We establish global
attraction to stationary states (7) for all ﬁnite-energy solutions to the system of
equations
¨ψ(x,t)=ψ
ωω
(x,t), x∈R\Q, (1.3.1)
together with the gluing conditions at the pointsx
k∈Q,
∈
ψ(x
k+0,t)=ψ(x k0,t)
0=F
k(ψ(xk,t))+ψ
ω
(xk+0,t)−ψ
ω
(xk−0,t)
∇
∇
∇
∇
∇
. (1.3.2)
In the caseN=1, this system coincides with the Lamb system (1.2.1) with
m=0. The solutionsψ(x,t)take the values inR
d
withd≥1. Note that the
system (1.3.1) is formally equivalent to the 1D nonlinear wave equation with
the nonlinear term concentrated at the setQ(cf. (1.2.2)),

1.3StringCoupledtoSeveralNonlinearOscillators 29
y
0*2
X
*1
Figure1.4Stringcoupledtononlinearoscillators.
N
\f r(x,t)=V(x,t)+
^
S(
*
Xk)Fk(\lr(xk,t)), xe1.(1.3.3)
i=
1
Physically,thesystem(1.3.1),(1.3.2)describessmallcrosswiseoscillationsof
astringthatissubjecttoconstraintforcesFkatthepointsxk,andtheforces
areperpendiculartothestring.Forexample,Fk(y)=—
<w
^
yifthestringis
attachedtoalinearspringatthepointxk(seeFigure1.4).Butingeneral,the
functionsFk(y)arenonlinear.
WeintroducetheHilbertphasespace£offinite-energystatesforthesystem
(1.3.1),(1.3.2).
Definition1.3.1(i)£=Ec$L
2
istheHilbertspaceofpairs(ip(x),n(x) ),
withthenorm
(1.3.4)m,tt)\\£=11
*
11
*
+||jr||.
(ii)£fisthespace£endowedwiththetopologydefinedbytheseminorms
II(1M)II
*
sHf
'H
*
+|
^
(0)|+||JT||
*
,R>0. (1.3.5)
Weassumethefollowingconditions:
allFkC'(Mrf,Rd),Fk(x/r)=
VVk(
^
)
Vk=1,...,N
ooforsomek—1,...,N
infveRdVk(y)>-oo,
Vk(y)-
*+00as|y|
(1.3.6)

30 Global Attraction toStationaryStates
Then the system (1.3.1), (1.3.2) is formally Hamiltonian with the Hilbert
phase spaceEand the Hamiltonian functional
H(ψ,π)=
1
2
ψ
R
[|π(x)|
2
+|ψ
ω
(x)|
2
]dx+
N
→
k=1
Vk(ψ(xk)), (ψ,π)∈E.
(1.3.7)
We consider solutionsY(t)=(ψ(·,t),˙ψ(·,t))∈C(R,E), and we write the
system (1.3.1), (1.3.2) in the form
Y(t)=F(Y (t)), t∈R. (1.3.8)
Let us discuss the deﬁnition of the Cauchy problem for the functionsY(t)∈
C(R,E). The ﬁrst equation of (1.3.2) makes sense and holds automatically
becauseψ∈C(R
2
,R
d
)by the Sobolev embedding theorem due toY(t)∈
C(R,E).Theequation (1.3.1)is understood in the sense of distributions of
(x,t)∈[R\Q]×R. Hence, this equation is equivalent to the d’Alembert
decompositions for everyk=1,...,N+1,
ψ(x,t)=f
k(xt)+g k(x+t), x∈→ k:=(xk1,xk), t∈R,(1.3.9)
wheref
k,gk∈C(R,R
d
)due toψ∈C(R
2
,R
d
), and we denotex 0:= ∞
andx
N+1=+∞. Hence, for allk=1,...,Nand(x,t)∈→ k×R,
ψ
ω
(x,t)=f
ω
k
(xt)+g
ω
k
(x+t),ψ(x,t)=f
ω
k
(xt)+g
ω
k
(x+t),
(1.3.10)
where all derivatives are understood in the sense of distributions. The assump-
tionY(t)∈C(R,E)implies
f
ω
k
(·),g
ω
k
(·)∈L
2
loc
(R,R
d
),∀k=1,...,N+1. (1.3.11)
We now explain the second equation of (1.3.2).
Deﬁnition 1.3.2In the second equation of (1.3.2), for everyk=1,...,N,
∈
ψ
ω
(xk0,t):=f
ω
k
(xkt)+g
ω
k
(xk+t)∈L
2
loc
(R,R
d
)
ψ
ω
(xk+0,t):=f
ω
k+1
(xkt)+g
ω
k+1
(xk+t)∈L
2
loc
(R,R
d
)
∇
∇
∇
∇
∇
. (1.3.12)
Note that the functionsf
kandg kin (1.3.9) are unique up to an additive
constant, so the deﬁnition (1.3.12) is unambiguous.

1.3String Coupled toSeveral Nonlinear Oscillators 31
1.3.2 Main Results
We start with the existence of the dynamics.
Proposition 1.3.3Letd≥1and assumptions (1.3.6) hold. Then
(i) For every initial stateY(0)∈E,equation (1.3.8)has a unique solution
Y(t)∈C(R,E).
(ii) The mappingW(t):Y(0) →Y(t)is continuous inEand inE
Ffor every
t∈R.
(iii) The energy (1.3.7) is conserved,
H(Y (t))=const,t ∈R. (1.3.13)
This proposition will be proved in the next section.
Deﬁnition 1.3.4Sdenotes the set of all stationary statesS=(s(x),0)∈Eof
the system (1.3.8).
The next proposition gives a criterion for the setSbeing a nonempty
discrete subset ofE
F.
Proposition 1.3.5Let conditions (1.3.6) hold,d=1, and all functionsF
k(y)
withk=1,...,Nbe real analytic onR. ThenSis a discrete subset ofE
F.
The main result of this section means that the setSis the global attractor of
the system (1.3.8) in the topology of the spaceE
F.
Theorem 1.3.6Letd≥1, assumptions (1.3.6) hold, and an initial state
Y(0)∈E. Then
(i) The corresponding solutionY(t)∈C(R,E)ofequation (1.3.8),
to the setSin the sense (1.2.18)
Y(t)
EF
S,t →±∞. (1.3.14)
(ii) Let, moreover,d=1and all functionsF
k(yk)be real analytic onR.
Then any solutionY(t)∈C(R,E)attracts to some stationary statesS
±∈S
depending on the solution,
Y(t)
EF
S ±,t →±∞. (1.3.15)
Remarks 1.3.7(i) The assertion (ii) of this theorem follows from (i) due to
Proposition 1.3.5.
(ii) The convergence (1.3.15) and (1.3.7), (1.3.6)imply(10)bytheFatou
theorem.

32 GlobalAttractiontoStationaryStates
1.3.3Well-PosednessandAPrioriEstimates
ProofofProposition1.3.3ThesolutionY(t)C(R,£)to(1.3.8)canbecon-
structedbythed’Alembertrepresentations(1.3.9)similarlytothecaseN=1,
consideredinSection1.2.However,forN>1,weneedtofindrepeatedly
reflectedwavesfromallpointsXkwithk=1,...,N.Theenergyconservation
(1.3.13)followsbymethodsof[41]usingthed’Alembertrepresentations
(1.3.9).
Letusshowthattheenergyconservationimpliesthefollowingapriori
estimate,whichwewillneedintheproofofTheorem1.3.6.
Proposition1.3.8Lettheconditions(1.3.6)hold.Then,foreverysolution
Y(t)eC(R,£)of(1.3.8),allfunctionsyk(t):=
x/
/(xk,t)arebounded:
(1.3.16)k=sup\yk(t)\<oc,
/R
ProofWeproveinfactaslightlystrongerstatement.Namely,denoteyk=
ykW)=f(
xk
)andy=J
(f)=
(yi,
,}N)f
°
rifeEc.DenotebyUthe
potentialenergyfunctional:
00
N
=Tf\if'(x)\
2
dx+J2
^
k=
1
x/
feEc.(1.3.17)U(i f)
^n(i f,0) Vk(yk),
—oc
Then(1.3.16)followsfrom
U(i
/)—>ooas|y(t(r)|—
»oo. (1.3.18)
Toprovethis,itsufficestoshowthat
(1.3.19)sup|v(i/D|<oo
U(t
)<E
'
forevery£e R.First,allpotentialsV
*
areboundedbelowby(1.3.6).Hence,
oc
J
\if\x)\
2
dx=
(1.3.20)D<oo.sup
U(\/r)<E
—
OO
Second,theCauchy-Schwarzinequalitygives,foreveryk,j=l,...,N,
xi
J
if\x)dx<\xk-X j\
l/2
D l
/2
.(1.3.21)
Xk
sup\y k-
y j\=sup
M(<l
'
)<E U(<ID<E
Therefore,(1.3.19)followsfromthelastconditionof(1.3.6).

1.3String Coupled toSeveral Nonlinear Oscillators 33
1.3.4 Stationary States
In this section we proveProposition 1.3.5. ψ(x,t)=s(x)for
(1.3.1), we obtain thats
ωω
(x)=0forx∈R\Q. Hence,
s(x)=a
kx+b kforx∈→ k:=(xk−1,xk), k=1,...,N+1,
(1.3.22)
wherex
0:=−∞andx N+1:=+∞. The conditions
ω
∈L
2
(R)implies
a
1=aN+1=0. (1.3.23)
Substituting (1.3.22)intoequations (1.3.2),
∈
a
kxk+bk=yk=ak+1xk+bk+1
0=F k(yk)+a k+1 ak
∇
∇
∇
∇
∇
,k =1,...,N. (1.3.24)
Hence,equations (1.3.23)imply that the function (1.3.22) is uniquely deﬁned
by its valuesy
k=s(xk)at the pointsx k,k=1,...,N:
a
k=
y
kyk−1
lk
,bk=ykakxk,k=1,...,N+1. (1.3.25)
Herey
0:=y1,yN+1:=yN,lk:=xkxk1fork=2,...,N, andl 1:=1,
l
N+1:=1 (for instance). For unknowny k,k=1,...,N, the system (1.3.24)
is equivalent to
F
k(yk)+
y
k+1 yk
lk+1
y
kyk−1
lk
=0,k=1,...,N. (1.3.26)
Sinces(x)∈C
2
(
→k), the variationDU(s)exists and
DU(s)=s
ωω
(x)+
N
→
k=1
(s
ω
(xk+0)s
ω
(xk0)V k(yk))δ(xx k).
Therefore, the system (1.3.1), (1.3.2) for stationary states implies the variation
equation
DU(s)=0. (1.3.27)
Proof ofProposition 1.3.5Let us deﬁne the function inR
N
UN(y1,...,yN)=U(s), (1.3.28)

34 Global Attraction toStationaryStates
wheres=s(x)is the stationary solution (1.3.22) witha
kandb kdeﬁned by
(1.3.25). Then (1.3.17) implies
U
N(y1,...,yN)=
1
2
N
→
k=2
∇
∇
∇
∇
y
kyk−1
lk
∇
∇
∇
∇
2
lk+
N
→
k=1
Vk(yk). (1.3.29)
Now (1.3.27) gives for stationary solutions
∂U
N
∂yk
(y1,...,yN)=0,k=1,...,N. (1.3.30)
On the other hand, (1.3.18) implies
U
N(y1,...,yN)→∞ as|(y 1,...,yN)|→∞. (1.3.31)
Hence,U
Ngets a minimal value at a certain point(y 1,...,yN)∈R
N
,so
S=∅.
Takey
0(λ)=y 1(λ)=λ∈R. Then we can deﬁne uniquelyy 2(λ), . . . ,yN(λ)
in a sequel according to formulas (1.3.26) withk=1,...,N1. Therefore,
the continuous mapI
1:EF→R
d
deﬁned by
I
1(ψ(x),π(x))=ψ(x 1)
is an isomorphism onS. Hence,Proposition 1.3.5obviously follows from the
next lemma.
Lemma 1.3.9Z
1:=I1Sis a discrete subset ofR.
ProofAll functionsy
k(λ)are real-analytic onRfork=2,...,N.Thelast
equation of (1.3.24) withk=Ngives
a
N+1=aNFN(yN)=
y
NyN−1
lN
FN(yN). (1.3.32)
The vector{y
k(λ):k=1,...,N}deﬁnes the stationary solutions λ(x)via
(1.3.25), (1.3.22) if and only ifa
N+1=0. Thus, we get the following equation
forλ∈Z
1:
T(λ):=
y
N(λ)y N−1(λ)
lN
FN(yN(λ))=0. (1.3.33)
The mapλ →T(λ)is real-analytic onλ∈R. Hence, the setZ
1of all solutions
to (1.3.33) is either a discrete set inRorZ
1=R.
Let us show that the caseZ
1=Ris impossible under conditions (1.3.6)
even if the functionsF
kare not real analytic. Assume the converse:Z 1=R.
Then
U
N(y1(λ),...,yN(λ))=const,λ ∈R. (1.3.34)

1.3StringCoupledtoSeveralNonlinearOscillators 35
Indeed,sinceF
*
C
1
(R),wehavev
*
(A.)eC
1
(R)forall/r=1,...,N.Then,
by(1.3.30),weobtain
N
dxUN(yiW,...,yN(k))=J2-
j
^
y'
k
(X)=
°-
kR. (1.3.35)
*=
i
Ontheotherhand,(1.3.29)implies
utt\\ n u ^
y t c-lMl
Hulyilk),...,yiv(k))=-
2_
^
N
Ik+ VkiykW).
(1.3.36)
Therefore,(1.3.34)andthemiddlecondition(1.3.6)implythatthefirstsumon
theRHSof(1.3.36)isboundedforkeR.Hence,
Ik
k—
2 k=
1
00,Vit=2 N. (1.3.37)yk(k)-400as|yi(A)l=
|A|
However,thenthesecondsumontheRHSof(1.3.29)tendstoinfinityas|A|
ocduetothelastconditionof(1.3.6).Hence,
f7jv(yi(A),...,
>w(A))->ooas\k\-4oo, (1.3.38)
whichcontradicts(1.3.34).
1.3.5Examples
Inthissectionweconsiderexamplesofsystems(1.3.1)withd=1.
Example1.3.10LeteachpotentialV/t(y)beapolynomialofanevendegree
pic+1>2withpositiveleadingcoefficient.ThenallfunctionsF/t(y)=
VVHv)arepolynomialsofdegreespk>1andallconditionsofProposition
1.3.5hold.By(1.3.26),eachfunctiony
*
(A.),k>2isapolynomialofdegree
lessthanorequaltotheproductp\...pk-\Hence,theequation(1.3.33)has
nomorethan
~
p:=p\...p,vrootskeR,andtheset5hasnomorethan
~
p
points.
ThenextexamplesshowthatifthepotentialsV
*
donotsatisfyeither
someofconditions(1.3.6)ortheanalyticitycondition,thenthesetScanbe
nondiscrete.
Example1.3.11Themiddleandthelastconditionsof(1.3.6)breakdownfor
thesystem(1.3.1)withN=2,x\=1,
*
2=Land
*=1,2. (1.3.39)V k l y)--
2
'

36 GlobalAttractiontoStationaryStates
y
X
0 +1
x
-1
-X
Figure1.5Stationarystates.
ThenFk(y)=
yistheforcerepulsingfromtheequilibriumpositionv=0.
Inthiscasethesystem(1.3.1)hasacontinuumofsolutionsofthetype(see
Figure1.5)
x<-1,
—1X<1,
*
>1.
Hereyi=s
^
(1)=Xisanarbitraryrealnumber,soFi=R.Thepotentials
Vk(y)arereal-analytic.
Thelastconditionof(1.3.6)canbeformallyprovidedbyintroductionof
theelasticforceFT,(V)=ywiththepotentialVs(y)=y
2
/2atthepoint
*3=0.Thenthefunctions(1.3.40)remainstationarysolutionstothenew
systeminvolvingthethreeforces,sinceSA(0)=0forallAeIK.Sothefirst
andlastconditionsof(1.3.6)andtheanalyticityconditionhold,butthemiddle
conditionof(1.3.6)breaksdown,andthesetSisnotdiscrete.
Example1.3.12Thelastcondition(1.3.6)breaksdownforthesystemwith
V/t(y)=Qforallk.Inthiscase,
F k(y)=o.
x,
(1.3.40)
*A(
*
)= —Xx,
-X,
yR.
Then$
*
(
*
)=XforxRisthestationarysolutiontothesystem(1.3.1)for
anyAeR.Thus,T|=R,asinthepreviousexample.Thefirstandthemiddle
conditionsof(1.3.6)andtheanalyticityconditionhold,butthelastcondition
of(1.3.6)breaksdown,andthesetSisnotdiscrete.

1.3String Coupled toSeveral Nonlinear Oscillators 37
Example 1.3.13Now let us neglect the analyticity condition. Consider
potentialsV
k(y)such that
(i)V
k(y)∈C
2
(R)satisfy all conditions (1.3.6).
(ii)V
k(y)→∞as|y|→∞for everyk=1,...,N.
(iii)V
k(y)≡C kfory∈[a,b], wherea<b. Then
F
k(y)≡0,y ∈[a,b],∀k=1,...,N. (1.3.41)
It is clear that such functionsV
kexist and are not analytic. Hence, the functions
s
λ(x)≡λare stationary solutions to the system (1.3.1), ifλ∈[a,b]. Thus, the
setSis not discrete, though all conditions (1.3.6) hold. Let us note, however,
thatZ
1=Rhere in accordance withLemma 1.3.9.
Remark 1.3.14InExamples 1.3.12and1.3.13the global attraction (1.3.14)
holds while (1.3.15) breaks down. Namely, each functionf(xt)with values
in the interval [a,b] is a solution to the system (1.3.1). It is easy to construct
such solution with(ψ,˙ψ)∈C(R,E). For example, in the casea=1 and
b=1, we can take the function (1.2.21).
1.3.6 Long-Time Asymptotics
In this section we proveTheorem 1.3.6.
Compact Attracting Set and Global Attraction
First, we construct a ﬁnite-dimensional attracting setA. The set consists of
piecewise linear functions (1.3.22). Namely, for anyα={(a
k,bk)∈R
2d
:
k=1,...,N+1}∈(R
2d
)
N+1
, let us denote
ψ
α(x)=a kx+b k,x ∈→ k,k=1...,N+1 (1.3.42)
and
A
E={α∈(R
2d
)
N+1
:ψα(xk−0)
=ψ
α(xk+0), k=1,...,N;a 1=aN+1=0}.
Then(ψ
α(x),0)∈Efor everyα∈A E.
Deﬁnition 1.3.15A={S
α=(ψα(x),0):α∈A E}.
Obviously,Ais a locally compact subset inE
F. We prove the next lemma
in the following section.

38 GlobalAttractiontoStationaryStates
Lemma1.3.16LetallassumptionsofTheorem1.3.6hold.Then
£F
Y{t) (1.3.43)t->oo.
LetusdeduceTheorem1.3.6fromthislemma.
Definition1.3.17Denotebya>(Y)theomega-setofthetrajectoryY(t)inthe
topologyofthespace£p:Yeoj(Y)ifandonlyif
£F
Y(t/c)-AY (1.3.44)
forsomesequencetk—*
00.
Thefollowinglemmaimplies(1.3.14).
Lemma1.3.18(i)co(Y)0and(ii)to(Y)CS.
Proof(i)Lemma1.3.16meansthatthereexistsafunctiona(t)C[0,oc;As)
suchthatforeveryR>0,
(1.3.45)IIY(t)S a(,
)||/f0ast-
*+00.
Here£„
(,
)=
(V
^^
.O)andtyu(t)(x)isdefinedby(1.3.42)witha=or(t)=
{(flt(/),i
*
(f))elM:
*
=1 N+1).
Theorbit{Sa
^
):t>0}isprecompactin£phythebounds(1.3.16).Hence,
thelimit(1.3.45)impliesthattheorbit{T(0:t>0)alsoisprecompactin
£p.Therefore,w(Y)0.
(ii)o)(Y)CAby(1.3.43).Moreover,thesetM(Y)isinvariantwithrespectto
dynamicalgroupW(t)duetothecontinuityofWit)in£p.Hence,forevery
Y <w(T),thereexistsaC
’
-curvet(-»ot(t)6AesuchthatW(t)Y=S
0(().
ThenSa(t)(x)=
(il
/a(n
{x),0)isasolutiontothesystem(1.3.8).Inparticular,
9,
fcdlfi
)=
0.Therefore,a(t)—
aandY=SaeS.
1.3.7AttractiontoaCompactSet
ItremainstoproveLemma1.3.16.Itsufficestoconstructafunctionor(t)
C[0,00;A
^
)satisfying(1.3.45).
Wemayassumewithoutlossofgeneralitythat,V|=0.Thenfa(n
(0)=
b\(t),and(1.3.45)accordingtothedefinitionofthenorm(1.3.5)meansthat
R
J
\xf'(x,t) rlr'
a(l)
(x)\
2
dx
R
R
M01-
*
0,t (1.3.46)+ oo.
R

1.3String Coupled toSeveral Nonlinear Oscillators 39
We chooseb
1(t)=y 1(t)fort>0. Then (1.3.46)forR>max(|x 1|,|xN|)
becomes
x1ψ
−R
|ψ
ω
(x,t)|
2
dx+
→
2≤k≤N
x
kψ
xk−1
|ψ
ω
(x,t)−a k(t)|
2
dx+
Rψ
XN
|ψ
ω
(x,t)|
2
dx
+
Rψ
R
|˙ψ(x,t)|
2
dx→0ast→+∞. (1.3.47)
It remains to check this convergence with appropriatea
k(t).
1.3.8 Relaxation
To prove (1.3.47), we introduce an appropriate notion ofrelaxation. We deﬁne
the Sobolev norm of the spaceH
1
(−R,R)as usual:
|||z|||
2
R
παz
ω
α
2
R
+αzα
2
R
. (1.3.48)
Deﬁnition 1.3.19(i) A functionz(t)∈L
2
loc
(R
+
)is called relaxing inL
2
if
there exists a function
z(t)such that for everyR>0,
αz(·+t)−
z(t)α
2
R
→0ast→+∞. (1.3.49)
We denote this byz(t)
L
2
∼
z(t)ast→+∞.
(ii) A functionz(t)∈H
1
loc
(R
+
)is called relaxing inH
1
if there exists a
function
z(t)such that for everyR>0,
|||z(·+t)
z(t)|||R→0ast→+∞. (1.3.50)
We denote this relation byz(t)
H
1
∼
z(t)ast→+∞.
The following properties of the relaxation are evident.
R0.We may assume
z(t)≡z(t)in (1.3.50) without loss of generality.
R1.If the functionz(t)is relaxing inH
1
, then it is relaxing inL
2
as well.
R2.For the functionz(t)to be relaxing inL
2
, it sufﬁces that
∞ψ
0
|z(t)|
2
dt <∞. (1.3.51)
In this case we may set
z(t)≡0, i.e.,z(t)
L
2
∼0ast→+∞.

Another Random Document on
Scribd Without Any Related Topics

The Project Gutenberg eBook of Palóc
népköltemények

This ebook is for the use of anyone anywhere in the United
States and most other parts of the world at no cost and with
almost no restrictions whatsoever. You may copy it, give it away
or re-use it under the terms of the Project Gutenberg License
included with this ebook or online at www.gutenberg.org. If you
are not located in the United States, you will have to check the
laws of the country where you are located before using this
eBook.
Title: Palóc népköltemények
Compiler: Gyula Pap
Release date: September 12, 2012 [eBook #40740]
Most recently updated: October 23, 2024
Language: Hungarian
Credits: Produced by Albert László, Ildikó Róth, Tamás Róth and
the
Hungarian Distributed Proofreading Team at
http://dphu.aladar.hu (This book was produced from
scanned
images of public domain material from the Google
Books
project.)
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK PALÓC
NÉPKÖLTEMÉNYEK ***

Megjegyzés:Az eredeti képek elérhetők innen:
http://books.google.hu/books?id=FKQWAAAAYAAJ
Facebook oldalunk:
http://www.facebook.com/PGHungarianTeam
PALÓC
NÉPKÖLTEMÉNYEK.
GYÜJTÖTTE ÉS KIADTA

PAP GYULA.

SÁROSPATAK.
NYOMTATTA FORSTER R. A REF. FŐISKOLA BETŰIVEL.
1865.

Támadj fel meséid szép álmával,
Szineidnek tündérpompájával,
Magyarok elsülyedt dalkora!
Toldy Ferenc irod. arck.
KÁROLY TESTVÉREMNEK.

Előszó.
Nógrádból a palócföldről egy csomó vadvirágot vesz e könyvben
a t. közönség.
Nincs helye, hogy előszavunkban e gyüjtemény érdemét,
jelességét hangoztassuk, a nép költészet becsét elismerte az
eszthetika, a nyelvtan, s ezzel együtt az irodalomtörténet; inkább ide
iktatunk nehány vonást e sajátos ősi népfajról, hogy tájékozhassa
magát a más vidéken lakó olvasó, s hogy álláspontot szerezhessen s
kellőleg méltányolhassa, ki netalán a palóc népköltészetet fogja tenni
tanulmánya tárgyává.
Forduljunk először is a történelemhez! Mit látunk a palócnép
hajdanáról feljegyezve?
Toldy Ferenc (A magyar irodalom története első kötet. Pest.
Emich Gusztáv bizománya 1851. 21 lap) így ír róla: „Már a tizedik
század közepe felé találjuk Constantinus Porphyrogenitus bizanti
császárnál a magyar nyelvjárások legrégibb nyomdokát. Nyilván
mondja t. i. ez, hogy a kazarok közt belső háború támadván, a
meggyőzöttek egy része a magyarokhoz futott s köztök
letelepedvén, Kabaroknak (kétségkivül Kóboroknak)
neveztettek; s hogy ezek a magyarokat kazar nyelvre tanítván,
beszélik ugy mond mind maig ugyanazon dialectust, de élnek a
magyarok másik nyelvével is. Tekintetbe vevén már
most a legujabb történet nyomozásoknak, főleg Horváth Istvánéinak
eredményeit, alig kételkedhetünk többé, hogy itt a kazar nyelv alatt
egyenesen a palóc nyelvjárást kell érteni, melyen valamint régenten
a palócok, besenyők, kunok, kazarok, jászok és székelyek szólottak,
ugy mai napiglan szólnak azoknak külön időkben magyarországba
letelepült utódaik mindenütt hol nagyobb tömegekben laknak, habár
nagyobb kisebb eltérésekkel. Ezekhez képest a palóc dialectus, mely

régi épségében leginkább a Gömör, Borsod, Nógrád és Hevesmegyék
összeszögellő hegyes vidékein maradt fen, hol előkelőleg palócnak
neveztetik s határozottabban közép palócnak hívathatik, a nevezett
törzsökök különbsége szerint mai nap is több ágakra oszlik, milyenek
az éjszaki vagy is barkó Gömörben; a déli palóc vagy göcsei
Szalában s részint Somogyban és Veszprémben is; a duna drávai
palóc Baranyában s az ormányságban a Dráva mellett, a csángó
Moldvában; a székely Erdélyben; végre a jász-kun, de a mely a XVII.
század óta nagy részben elváltozott. Alig hibázunk, ha e palóc
nyelvjárásban keressük a közönségesen elveszettnek tartott hun
vagy kun nyelvet; mindenesetre az közelebb áll a hun-magyar néptő
régi nyelvéhez, melylyel részint még a XI. század emlékeiben is
találkozunk, mint ama másik nyelvjárás, melyet Constantinus a
magyarok másik nyelvének nevez, s melyet mi elökelőleg magyar,
vagy különböztetés okáért ujmagyarnak nevezhetünk.“
Im e szavakból láthatni, hogy a palóc név hajdani keletében nem
mintegy speciális népágazat kizárólagos jelzője tekintendő, de gyüjtő
név levén magába foglalta a székely, csángó, jász-kun sat.
népcsoportokat is.
Gyüjteményünk keletkezéshelye Nógrádmegye Salgóvidéke – e
tájnak kíván tűköre lenni, következéskép csak a nógrádi palóc
ismertetését adhatjuk im e csekély vázlatban.
Vallásukra nézve általán a római hitet követik, honnan helylyel
közzel ha találkozunk ágostai és helvét vallású községekkel bizton rá
mondhatjuk, hogy az előbbi szláv, utóbbi pedig a Toldy által felfogott
uj magyar néphez – ha tetszik nemzethez – sorolandó. Az egész
palócság ismeretes vallásosságáról s szigorú erkölcsösségéről. Az
ünnepnapokat hűségesen megszentelik, templomba szorgalmasan
eljárnak. Felette szent nálok a hajadoni szűzesség, honnét 1850-ig
igen kevés eset volt rá, hogy a hajadon elveszítette volna szívének
zománcát lelkének tisztaságát; ma az ily eset nem ép ritkaság,
honnét nem igen hibázunk, ha alapokát a házasság korlátozása és a
szabadságos katonák tulnyomó számában keresendjük. Általában
még most is uralg közöttök a régi patriarkális élet, az ugynevezett

volt jobbágyok most is többnyire együtt lakoznak, némely faluban
harminc negyven tagból álló család is tartózkodik egy fedél alatt;
választván tekintettel a korra és ügyességre egy gazdát s egy
gazdasszonyt, előbbit a kölső ügyvitel, utóbbit a belső gondokra,
rendelkezésre. A gazdának – korra való tekintet nélkűl minden
családtag kész köteles hódoló szolgája. Ő köt minden űzletet, vesz,
ad, az engedetlent meg is fenyíti, mit az – sorsában megnyugodva
tűrni tartozik. A komolyabb ügyeknél p. u. ingó, vagy ingatlan
eladásánál az éltesebbek tanácsát s beleegyezését is tartozik kikérni.
Az egyes köz tag jogi cselekménye – ha az a többség, s a gazda
tudta s beleegyezése nélkül vitetett véghez, érvénytelennek
nyilváníttatik. Ő vesz a többieknek ruhát, s egyébb szükséges
tárgyakat, ő szemeli ki a házasulandó suhancnak jövendőbeli
hitestársát, ő a parancs, a többi, hogy szavaival éljünk: „az én
cselédem.“
A gazda mezei munkát – kivált tehetősebb családoknál soha –
csak igen ritka esetben végez, farag szerszámfát, vagy az épületen,
kerten igazit egyet mást, oltogat, nyes, s a többieknek kiadja a napi
múnkát. Bizonyos időkben az egyes hadak, vagy felekezetek
éltesebbjei meg is szokják számoltatni a gazdát. Ha nagyon
részeges, vagy felette hanyag leteszik, s helyette a legalkalmasbbat
választják. Különben a gazdai hivatal élethosszig a végső
tehetlenedésig folytattatik.
Ime mintha csak a vérszerződés lebegne szemeink előtt! Ismerek
egy volt jobbágy családot, mindössze valami 30 tagból, négy
felekezetből állhat az egész, s az a különös, hogy az egyes
felekezetek egymás iránt való rokonságukat sem tudják kimutatni.
Bátran eljegyezhetnék egymást, de nem teszik, véteknek tartván
ugyanazon családból házasodni.
Egy név, egy jelleg, egy erkölcs, egy tűzhely köti össze őket
századok óta!
Egy pár évtől gyakoriak a válakozások. A család két, három sat.
felekezetekre oszolva egymástól külön szakad, érdekből, hogy

emancipálhassák magokat a gazda önkénye alól, s hogy több
vagyont produkálhassanak. Ám – figyelve őket – a tapasztalat azt
mutatja, hogy az elválást elszegényedés szokta követni.
Családi életük magán hordja a régi magyar életnek képét,
kinyomatát. A férfi tegezi nejét, a nő kied-nek (kendnek) szólítja
férjét, a gyermekek éldes szüléim névvel tisztelik szüléiket. A
lakszobában, mit közönségesen háznak neveznek, semmi
butorzat sincs egy asztalon, hosszúlócán s óriási kemencén kivül. A
téli estéket többnyire a kemence előtt töltik, az asszonyok fonogatva,
a férfiak pedig pipázva s beszélgetve. Beszélgetésök tárgyát a
faluban előjött apró események, házasságok, időjárás s a termények
minéműsége teszi. Éjfél után elszállingóznak a hálókomrába, –
miután jósort imádkozott, többnyire legutólszor tér nyugalomra a
legöregebb nő, a családfő neje, vagy a gazdasszony; már akkor van
1–2 óra is midőn ez lefekszik, és a hajnali első kakasszóláskor már
ismét talpon van, legelőször tüzet gyujt a kemencébe, aztán felkölti
a többieket is s hozzáfognak a fonáshoz. Egy kettő még álmos is
közűlök, s kegyetleneket ásít, száját kezével veregetvén.
A fiatalságnak a hosszas téli estéken egyetlen mulató helye a
fonóház. Ez közönségesen egy kibérlett hely, melyet a tél beálltával
közös akarattal bérlenek ki, s érte mindenik tartozik fizetni valamit,
vagy nehány fő kendert, vagy búzát, főzeléket (ázalék) sat.
A mint a lányok dolgaikat végzik, cifra guzsalyaikat magokhoz
vévén itt jelennek meg, hol már akkor nehány éltes asszony is helyet
foglalt a kemence előtt; midőn jó sokan összegyűltek, dalólni
kezdenek, s ekkor a legények is szállingóznak befele, mindenik szive
választottja mellett foglalván helyet; s jaj azon leánynak kinek a
fonóházban nincs mulattatója! Fel sem veszik mintha ott se volna,
vagy csak lenézés tárgyául tűzik ki a többi leányok. A legények
megérkeztével van dal, meg dal, tréfa, egyik élc a másikat éri, végre
ebbe is bele unván, a kemence megől megszólal az öreg mesélő,
hogy az ifjabbak képzelődését a tündér világ bájkörébe
kalandoztassa, ezen aztán itt ott jót kacagnak, majd sóhajtanak,
olykor könnyeznek, míg ismét a legderültebb nevetésben törnek ki.

Ilyesmik történnek a fonóházban, ezenkivül itt történnek az
ismeretségek, itt köttetik a szerelem; mert a fonóházban más
falubeli legények is megjelennek. Két óratájban aztán szétoszlanak,
haza mentökben mindenik lát egy egy kisértetet elhaladni maga előtt
s ezt másnap reggel még esküvel is kész bebizonyitani.
Téli időben naponként csak kétszer étkeznek reggel és este; a
mikor a ház gazdasszonya feltálalja az eledelt, aztán legelőször a
családfő megszegi a kenyeret s azt tovább adván a férfi nép a
közöstálból hozzálát az étkezéshez. Asszony ritkán ül az asztal mellé,
kiki magának szed egy tálkára s azt elfordulva a többitől mintegy
észrevétlenül akarja megélvezni. Legfelötlőbb étkezési módjuk:
először a keményebb tésztás vagy husféle eledeleket költik el s csak
azután kerül a sor a levesre, mit ők általán lé néven neveznek; innen
azon enyelgő megjegyzés a lakodalomról: „olyan hires
lakzija vót hogy a lé is hétfélyi vót benne.“
Legkedvesebb eledelök a hus, aztán a ganca, bukta
(mindkettő tészta étek) végül a mákos ferentő (mely hasonlit
a réteshez primitiv kiadásban) s a mákoscsik (mákos metélt).
Mindezek lakomáknál, keresztelőknél, stb. különösen szerepelnek s
kivált a mákosferentő lakodalomból el nem maradhat.
Testökre nézve mindkét nembeliek eléggé kifejlettek, a nők
különösen eredeti magyar s hóditó külsejüek. A leány tiszta, öltözete
ragyogó, kedveli a magossarku piros csizmát, rózsaszinkelméket,
hajafürtébe isten tudja mennyi cifra pántlikát befűz, nyakán
garályist (nyakék) ujjain öt hat rézgyűrőt (gyűrű) visel, mikkel
többnyire mátkája szokta megajándékozni. Ha templomba megy,
rézkapcsos imakönyvét százszorszép kendőjébe hajtja s hóna alá
helyezi, másik kezébe piros csizmáját fogja s így ballag a távolabb
eső filialis helyekről is mezitláb, s csak a templomajtó előtt huzván
fel csizmáját. Fiatal menyecske legfőbb díszruhája a rókásmente. A
nők többnyire fiatal korukban szoknak férjhez menni, s a
csinosságot, tisztaságot mindig, a szépséget pedig igen sokáig
megtartják. A férjezett nő még jó darabig le nem veti cifra ruháit, s
csak midőn a 35–40 évet betöltötte, ölt komolyabb barna szinü

öltözéket. Férjét felette becsüli, örömest tűri szitkait, gáncsait sőt
veréseit is, csak férje tul ne lépjen a házasság céljának korlátain.
A férfiak szinte eléggé kifejlettek szép külsejüek. Megtermettebb
szállasabb legénységet alig látni országszerte mint itt. Az öregek
általán vállig érő göndör hajat viselnek, bajusz, vagy barkó felette
ritkaság az egész vidéken, tiszta sima arcot szeretnek hordani. A
fiatalság öltözete kanász kalap, bőujju ing, pitykés veres mellény,
térdigérő bő gatya, cifra szűr, hosszu száru csizma. Kedvenc
bokrétájuk az árvalányhaj s az ugynevezett szentkuti
bokréta. Melynek története következő: május első reggelén a
legény májfát állit a kedves ablaka elé, a lány annál jobban örül
mennél magasabb az oda állitott fa; mert a fa nagysága többnyire a
legény szerelmének fokozata, Pünköst napján aztán – mikor
országos bucsu zarándokol a Verebély helység mellett levő szentkuti
kolostorhoz – a szerelmespár is hűségesen lerándul, s itt a leány
mintegy viszonzásul a májfáért csinált virágból himzett bokrétát vesz
szeretőjének, melyet az jövő májusig, vagy ha addig éppen véghez
menne, lakodalmáig hord. Ha azonban az ifjunak komoly szándékai
vannak az éj leple alatt egyszer kétszer megjelenik a lányos háznál;
később bemutatja magát a szülőknek is, s ha ezek szivesen látják,
kérőket indit a házhoz, a kik ékes szavakban előadják kivánságukat,
ha meghallgattatnak nem sokára megtörténik a kendőlakás,
mely nem áll egyébből minthogy a szerelmesek kendőt cserélnek
melybe diót vagy almát kötöttek.
Ezentul jegyeseknek tekintetnek.
A lakodalmat szüret után tartják, meg. Az esketésre kitűzött nap
előtt a nagynász összejárja a falut s a vendégeket behivja. Más
nap a nagynász felkerekedvén összegyült népével, elbúcsúzik s
zene kisérettel utnak indul a menyasszony házafelé, itt megállnak a
kapu előtt s csupán a vőfély megy be egyedűl felszólitván a
menyasszonyt az indulásra, ki nyoszolyó asszonya s leányaival
atyafiaitól kisértetve, kimegy és a násznéphez csatlakozik, egyenesen
a hitletételre menendő. Mely meglevén atyai házához
visszakisértetik; hol rövid reggelit kapván a násznép visszatér a

vőlegény házához, a menyasszony pedig odahaza marad, mig nem
hosszas kérések és ceremóniák után csakugyan elszállitják a
vőlegény lakására, hol az örömatya a kapunál várja menyét, s nem is
hinné az ember, mely édesded gyöngéd érzelmek előadásával jelenti
örömét s fogadja azt, kitől fia boldogulását, háza gyarapodását,
szerencséjét és fényét mint az Isten áldását várja; kézen fogva viszi
be házába és bemutatja nejének, fiainak s atyafiainak, s ez által be
van igtatva nemzetségébe s él a szülött jogaival holtaig, sőt férje
halála után is mig más házasságra nem lép.
Most bevégzett s tökéletes az öröm s lakják a lakodalmat,
melyhez minden hivatalos tehetsége szerint adakozott.
Ebéd alatt szolgál a vőfély, behordván az ételeket, mely
alkalommal minden ételt megdicsér többnyire cikornyás versekben.
Estebéd után a vőfély három szál gyertyát fogva balkeze ujjai
közé a menyasszonyt a komrába viszi, hol leveszi fejéről a pártát s
által adja a fektető vagy nyoszolyó asszonynak. A vőfély a pártát
fokosára veszi és árulgatja s ekkor mondja el vig szavakkal az
ugynevezett fektető verset melyet mindnyájan nagy figyelemmel
hallgatnak.
Másnap reggel a kiadó háztól két asszony megy felkölteni a
menyasszonyt, ki már akkor valamely zugban ül; ezek a féketőt
fejére kötvén, az uj házasokat kalácscsal és mézes pálinkával
megajándékozzák.
Ezalatt megérkezik a hérész (a kiadó ház vendégei menyegzői
ajándokokkal) s kérdezik a nagynászt, hogy nem tévedt-é ide egy
gyönyörű aranybárányka? A nagynász igennel felel, de először
kivánja tőlök jeleit tudni, ekkor aztán előhoz egy öreg vagy görbe
hátu egyént s kérdezi hogy nem ez volna-é voltaképen kit keresnek?
Azok ezt természetesen visszaküldik állitván hogy az övék ép és szép
volt, s midőn ezután a valódit eléjök állitják mindnyájan kezet fognak
vele s tehetségök szerint megjutalmazzák.

Több helyen a lakzi egy hétig is el tart, mig nem ismét a kis
hérész következik, melyben az előbbihez csaknem hasonlók
történnek.
Ennyit a lakadalomról.
Az öregek félre tevén a cifra öltözetet, többnyire egyszerű, kék
szegélyzetű szűrt, gyolcs vagy legalább jól kifehéritett vászon gúnyát
s télbe néhol szűrnadrágot is hordanak, mit ők hunya néven
neveznek.
Miveltségi álláspontjuk még sok kivánni valót hagy fen, a férfiak
között igen ritka a ki olvasni, még ritkább a ki irni tud. A nők
legalább tanulnak annyit, hogy saját könyvükből tudnak akadozva
imádkozni. Irodalomról, könyves miveltségről furcsa fogalommal
birnak, nyomtatványok alatt nem képzelnek mást mint politikai
ujságot és imádságos könyvet, a ki e hiedelmükből ki akarná
vetkeztetni, bizony falra hányná a borsót. Csak egy példát jegyzek
ide! Egy izben mezei munkát dolgoztatván, hogy a hosszu nap
unalmát elűzhessem, könyveimhez voltam kénytelen folyamodni.
Este egy éltes palóc igy szólt hozzám: „bijony (bizony) az
ur má’ (már) csakugyan a membe (menybe)
mehet ha mindennap ennyit imádkozik.“
Még ma is közönséges rovással élnek kénytelenségből. Erre
jegyzik jövedelmeiket, kiadásaikat. Világitóul mécsest, vagy bikkfából
hasgatott s jól kiszáraztott ugynevezett fáklyát használnak.
Politikai miveltségük legdicsérendőbb, az uri rendet becsülik,
tanácsait szivesen fogadják s ügyeiket készek a szerint irányozni.
Általában egy lelkes arisztokracia mellett soha sem engedik magukat
alacsony eszközzé silányitani; példa rá hogy az egész országban
sehol sem történnek oly barátságos tagositások mint a palócságon.
Ezelőtt kedvenc zenéjök a duda volt, de ez már nagyobb részt
kiveszett, s mai napság itt ott látni csak egy egy szomoru dudást
pedig még ezelőtt néhány évvel is ez mulattatá őket lakomájokban,

ezen járta a lakodalmasnép ugy a sebes kopogót, mint a szomoru
verbunkot.
A férfiak kivált az éltesbek ritkán dalolnak, az ifjabbak is
többnyire csak áldomás közben, vagy ha mezei munkát dolgoznak
magánosan. Ellenben az asszonyszemélyek semmi cselekményt sem
végeznek nóta nélkül. Felette kedvelik a szomoru dalokat, dallamaik
kevésbé változatosak, többnyire vontatottak, de érzésben, hatásban
felül mulhatlanok! Részemről mi sem tud annyira meginditani mintha
csendes, holdas éjszakán nehány palóc lánykát hallok dalolni. Ime
mily hasznot tenne a Kisfaluditársaság nemzeti zenészetünknek, ha
gondoskodnék a különböző lokalitások szerint a dallamok hangjegyre
tevéséről! Hogy zeneszerzőink kik többnyire városon lakva,
hallhatnának olykor olykor egy, kristály tiszta hangot a nép ajkairól s
istenesen neki feküdhetnének a népzenészet tanulmányának!
Bizonyára sok gyöngy vesz igy el a feledés tengerében. Aztán a
népköltészetben a dallam annyira össze van forrva a szöveggel, hogy
egymás nélkül nem is boncolandó. Egyik kiegésziti a másik hiányait,
eltakarja fogyatkozásait s mint férj és feleség csak együtt képeznek
egy testet és egy lelket. Máskép van a műzenészetnél; itt többnyire
más szerzi a szöveget, más a dallamot, s a szöveg csak nem mindig
másodrendű dolog. A népnél a dallam a szöveggel egyszerre jő, mint
napból a világosság és melegség, mint Jupiter agyából Minerva
páncélosan derekasan megteremve.
Ime, oda értem hogy a nyelvjárásról is elmondhatom
mondandóimat!
Figyelmes fül közönségesen három a-t különböztethet meg. Első
a tiszta, második a hosszu vagy ékezett s harmadik a közép a,
melyet az l előtt au, ó, vagy av-nak is ejtenek ki p. u. eme versben
„A kanász az erdőben
A baltával játszik,
Ugy forgatja a baltát
Csak az éle látszik.“

A baltát háromfélekép is mondják. Irjuk ide legalább
egyfélekép:
A kanász az erdőbe’
A bautávó játszik,
Ugy forgatja a baútát
Csak az élyi látszik.
E-t négyet lehet megkülönböztetni. Van rövid e, hosszu e és
rövid é, hosszu é.
Kár hogy e hangokat betűk nemléte miatt nem lehet jelölni.
Az i-t gyakran felcserélik az e-vel és viszont, p. u. csillag helyett
csellag, biró helyett béró, gyik helyett gyék, fejér helyett fejir
stb.
Az ó néha uó-, néha ou-ra változik, p. u. luó (ló), fokóu (fakó).
Az u o-ra változik bizonyos esetekben p. u. uronk urunk helyett.
Az ü némely szavaknál i-re, a minőséget kifejező mellékneveknél
ő-re változik p. u. gyimőcs (gyümölcs), aranyfejő (aranyfejű),
éleshegyő (éleshegyű) aztán hegedő (hegedű) gyűrő (gyűrű)
helyett stb.
A mássalhangzók közzűl:
A d az i előtt állandólag gy-re változik p. u. diák, dió, disznó,
dicsekszik, dicsér helyett lesz gyiák, gyesznó (itt az i e-re
változik) gyicsekszik, gyicsér.
A g néha t-re néha pedig a gy g-re változik p. u. legédesebb,
legjobb helyett, letéldesebb, letjobb, gyenge helyett genge.
A meg szóban a g betű ha igével van összetéve azon igének első
betűjévé válik melylyel egybe van ragadva p. u. megveszem,
megjárom, meghuzom: mevveszem, mejjárom, mehhuzom.

A j olykor gy-re keményedik p. u. jer helyett gyer, (innen a
palóc igy szólitja meg egymást: „gyerjék má’ sógor“ jőjjön már
sógor helyett. Ennek ellentéte az ered szó honnan igy is mondják
egymásnak „eregygyék má’ bátya“ stb) jőjj helyett győjj.
Az l gyakran ly-re lágyul p. u. éle (valaminek) igy ejtetik ki élyi,
néha u-ra p. u. szalma helyett lesz szauma. Szóvégéről mindig,
szóközépről pedig gyakran kihagyatik p. u. a Szász Ferenc cimű dal
11–12. során e helyett:
Jól tudod hogy a halálért
Halált kell szenvedni.
Ez áll:
Jó’ tudod hogy a haláé
Halá’t kell szenvedni.
E szónak: halál még a többeséből is kihagyatik az utolsó l p. u. a
második mesében:
Jaj de szépen süt az hód az hódvilág,
Jaj de szépen masirolnak a halák.
(halálok helyett).
Továbbá: szál, száll, szél, tál, kanál, ól helyett szá, szá, szé,
tá, kaná, ó-t hangoztatnak.
Az n az infinitivus végén mindég ny p. u. menni, enni helyett
mennyi, ennyi, e végzetet gyűjteményünkből szebb hangzás
kedveért jónak láttuk kihagyni.
Az ny hasonlit a francia orrhanghoz p. u. szegény, legény, igy
ejtetik: szegén, legén.
Az r a szók végén szinte gyakorta kihagyatik p. u. má’ bá’, már,
bár helyett.

A t az i előtt rendesen ty-re változik p. u. tiz, titok, tilalom lesz
tyiz, tyitok, tyilalom.
Nem hagyhatjuk itt érintetlen Toldy-nak azon állitását, miszerint a
palóc az igék határozott módú harmadik személyét alhangú szókban
is i raggal képzi. Ennek több évi tapasztalatból ellene kell szólanunk:
a palóc (legalább Nógrád, Heves, Gömör s Borsod
összeszögellő bércein) sehol sem conjugál: adi, vági, dobi
formára, hanem kimondja kereken: adja, vágja, dobja; ugy
beszél a zempléni, abauji köznép, de világért sem a palóc.
Ennyit a dialektusról, a többi önként ki fog tűnni a figyelmes
olvasó előtt, mivel a költeményeket igyekeztünk nagyobbrészt
eredeti kiejtésben nyomda alá bocsátani. Mindent úgy írtam le a
mint találtam, se el nem vettem belőle, se ki nem toldozgattam
egyiket a másikból. Sokan mondták, hogy az olyan apró négy soros
dalocskákat hagyjam ki gyüjteményemből. Én nem fogadtam meg
tanácsukat; mert ki tudja egy négy soros dalocskában is nincs-é
magva, embriója egy műegésznek, ha nem is egy Kalevalának,
de legalább egy csinos kerekded románcnak vagy balladának. Ime
tekintélyes gyüjtőnk Erdélyi János csak 8–10 sort adott Déva
vára építéséről s már Kriza János és F. Szabó Sámuel urak
gyönyörű balladákat fedeztek fel róla. Végre egy négy soros dalocska
is lehet mű egész!
Soraimat Erdélyi ime kenetes soraival rekesztem be: „Akár ki
szerzette igen szépek vannak a nép költemények közt; mert
különben micsoda érdek kötötte volna ugy a nép nyelvére, hogy
századokig énekelje azokat? Ha szeretettel vagyunk poroslevelekhez,
söt egy lópatkóhoz is, mely a régi apák idejéből való, nem arany
volna e minden szó azon dalból, mely őseink szivének is örömet
szerzett? De az idő anyagi szellemet öltött, s eltiprással fenyegeti a
hagyományokat; azért annál ébrebben kell lenni azoknak, kiket Isten
adván beléjök lelkéből való lelket, a népek szívének éltetőiként
küldött a világra, hogy megőrizzék, mit a nép eddig megőrze, a tiszta
és igaz nyelvet s annak emlékeit.“

Végezetre el nem mulaszthatom, hogy Erdélyi János urnak hálás
köszönetemet ne nyilvánítsam azon szíves sorokért, melyekkel jelen
gyüjteményt előfizetési ivemen, az olvasó közönség pártoló
figyélmébe ajánlotta. Ez a törekvésnek valódi irányadója, jutalma.
Kívánom, tartson meg ezentúl is jóemlékébe’, szíves indúlatába’.
Sárospatak. 1865.
P. Gy.

NÉPKÖLTEMÉNYEK.
1. Szép piros Örzsébet.
Elattalak férhe’
Szép piros Örzsébet.
Szép fejír legényhe’,
Orczája oly fejir
Mint a fejir hattyú,
Még anná’ fejirebb
Mint a báránygyapjú.
Elmegyen Örzsébet
Cínteremkomrába,
Felőtözik czifrán
Ződ selyem ruhába.
Hányja a zsebibe
Számtalan pótráját,
Kerülyi, fordolja.
A szegények házát.
Szegények, szegények,
Isten szegényei!
Kérjétek az istent,
Hogy engem vegyen el!
Mikó’ hitre menek
Hideg borzongasson,
Mikó’ hitet mondok,
Szörnyen ki is fogjon!
Kocsisom, kocsisom,
Én első kocsisom!

Vágd meg azt a lovat
Hadd ugorjon hármat.
Kocsisom, kocsisom,
Én első kocsisom,
Adj egy pohár vizet!
Szörnyet halok szomjan.
– De nem vizet adok,
Ha piros bort adok.
– Mikulám, Mikulám,
Én német Mikulám,
Adj egy pohár vizet!
Szörnyet halok szomjan.
– De nem vizet adok,
Ha piros bort adok.
– Fiam, éldes fiam
Én német Mikulám
Mi menyasszonyt hoztá’
Hogy nem szó’ én hozzám?
Se kezit nem nyujtja,
Se szavat nem adja,
Lábát se mozdétja.
Menyem, édes menyem,
Szép piros Örzsébet,
Nem is ösmertelek,
Mégis szerettelek.
Sok szép vendégeim
Gyászba őtöztetted,
Fiamot, magamat
Mekkeserítetted!
2. Szász Ferenc.
Én Nyirba indoltam,
Két kisasszonyt hor’tam,

Visszafelé gyövetelen
Egy zsidót megő’tem.
Megő’tem a zsidót
Tyizenkét forinté’,
Elvesztettem a lelkemet
Egy pogány zsidóé’.
– Szász Ferenc, a zsidót
Hogy merted megő’ni?
Jó’ tudod, hogy a halá’é’
Halá’t kell szenvedni?
De akkó’ Szász Ferenc
Nem tudja mit tegyen,
A megő’t zsidó legényé’
Katonának megyen.
Katona vagyok má’
Senkitő’ se félek,
A mit cselekettem
Mindent kibeszélek.
Akkó’ Szász Ferencrő’
Lehányták a mundért.
Kezit, lábát, nyakát
Keresztvasba tették.
Agygyig a béróná’
Vason várakozott
Míg az igaz törvény
Igazságot hozott.
Három szó’gabéró
Ugy végezte sorát,
Hogy az akasztófán
Szé’ fujja ruháját.

Három eladó lyány
Le akarta vágni,
Vice szó’gabéró
Nem akarta hagyni.
Verje meg az isten
Vice szó’gabérót!
Hogy jobban könyörőtt
Egy rosz pogány zsidót.
Ne sirass má’ engem
Többet éldes anyám!
A te sok szép átkod
Szállott má’ én reám.
Ne veress má’ engem
Többet az Istenvel!
Jaj keserves annak
Kit az isten mevver!
3. A három árva.
A temető árokjába
Kiballagott három árva.
– Keljen kend fel éldes anyám,
Lerongyollott az én ruhám!
– Nem kelhetek éldes lyányom,
Szanaszét van minden csontom.
Van má’ nektek mostohátok,
A ki gondot visel rátok.
Mikó’ a fejetek féslyik,
Két orcátok pofonverik.

Mikó’ a levest beviszik,
Három árvát kikergetyik.
4. Nagy Jancsi.
Ki hallotta annak hírit nem régen,
Hogy Nagy Jancsit agyon vágták Bikkvő’gyön?
Ugy levágta Barna Andris egyszerre,
Mingyá’ leboró’t a ház közepire.
Oda ugrott az ő kedves pajtása,
De má’ akkó’ nem segithetett rajta,
Ugy meffürdött maga piros véribe,
Mint mikó’ az anyja meffürösztötte.
Feötették a háromlovas kocsira,
Ugy vitték ki a hármas kis határra.
Mé’tóságos grófné azt nem engette,
Magáho’ Kis Terennére vitette.
A ki őtet kimosdatta a vérbő’
Ágygya meg a szentlélek az egekbő’!!
5.
Angyalom, angyalom,
Mi bajod érkezett?
Talán a vacsorád
Nem jó ézűn esett?
Itt van egy pohár bor
Igyá’ hát belőle!
Szomoró a szived –
Mevvidámol tőle.

Nem kell nekem borod,
Csak te magad igyá’!
Szüzliány koromba
Hogyha nem sajná’tá’.
Sajná’talak babám
Mikó’ mecscsaltalak –
De má’ most az isten
Viselje gondodat!
– Kertek alatt lakom
Keress meg galambom!
Csendes folyóviznek
Csak zúgását hallom.
Két ut van előttem –
Melyiken indoljak?
Kettő a szeretőm
Melyikhe’ fordoljak.
Az egyikhe’ menek –
A másik haragszik.
Igy hát az én szivem
Soha mennem
1)
nyugszik.
6.
Jaj istenem, bó’dogtalan órába
Indó’tam ki Gyöngyösrő’ Pásztohára.
Zsidó legényt felvettem a kocsimra,
A szurdokba megő’tem bánatomra.
A hogy én a zsidó legényt megő’tem,
Aranyórát, magyar ruhát elvettem.
Aranyórát od’attam a rózsámnak,

Vele együtt a garisba csukattak.
Má’ Pásztohán kimeszeöték azt a fát,
Kire szegény katonát felakasztják.
Fujja a szé’ pamuk ingit, gatyáját,
Veri öszsze rézsarkantyus csizmáját.
Keresztény közt csak egy vót a pártfogóm,
Akit anyám én mellettem egyet szó’t,
Akit anyám én mellettem egyet szó’t:
Hogy akaszszák fel én mellém a zsidót.
Piros borvav, bárányhusvav é’tem én –
Az urakvav egy pohárbó’ ittam én.
Az urakvav ettem, ittam egy tá’bó’,
Mégis ki kellett mú’nom e világbó’.
7. Darvas Kis Kelemen.
Táncó’nak, táncónak
A sári legények
A sári ivóba.
Köztök van, köztök van
Darvas Kis Kelemen.
Nem eszik, nem iszik,
Sem a táncba nem á’.
Elmentek, elmentek
A sári legények
Sári béróného’,
Sallai Katáho’:
– Jó napot, jó napot
Jó sári béróné,
Elgyöttőnk, elgyöttőnk
Sári béróného’,

Sallai Katáho’.
– Anyám, éldes anyám,
Gazdag éldes anyám,
Hozza be hát nekem
Azt a bályi ruhám!
Aranyfejő pártám,
Kis kamuka szoknyám,
Keskeny talpó csizmám!
– Elmentek, elmentek
A sári legények
A sári ivóba.
– Gyere hát táncó’ni
Sári béró lyánya
Sallai szép Kata!
– Nem menek, nem menek,
Darvas Kis Kelemen
Piszkos a te ruhád,
Szennyes leszek tőle.
– Másodszor is mondom
Gyere hát táncó’ni
Sári béró lyánya
Sallai szép Kata!
– Nem menek, nem menek
Darvas Kis Kelemen,
Piszkos a te ruhád,
Szennyes leszek tőle.
– Még harmadszor mondom
Gyere táncba, gyere!
Sallai Szép Kata!
Csufot tetté’ rajtam,
Csufot teszek rajtad.
– Anyám, éldes anyám
Hozza be hát nekem
Azt a bályi ruhám!
A selyem kalapom,

A bársony kabátom,
A zsebit rakja meg
Aranyvav ezüstvev!
Gyere hát táncó’ni
Sári béró lyánya
Sallai szép Kata!
Muzsikás, muzsikás,
Tyizenkét muzsikás,
Ha este mehhuzod
Regvő legyen végi.
Ha regvő mehhúzod
Este legyen végi!
– Ereszsz eö ereszsz eö
Darvas Kis Kelemen!
Aranyfejő pártám
A fejembe dagadt.
– Dehogy eresztelek,
Hétszer kérettelek –
Ha nekem nem adtak,
Másnak se adjanak!
Muzsikás, muzsikás,
Tyizenkét muzsikás,
Ha regvő mehhuzod
Este legyen végi.
Ha este mehhuzod
Regvő legyen végi!
– Ereszsz eö ereszsz eö
Darvas Kis Kelemen!
Kis kamuka szoknyám
Derekamra dagadt.
– Dehogy eresztelek,
Hétszer kérettelek, –
Ha nekem nem adtak,
Másnak se, adjanak.
Muzsikás, muzsikás,
Tyizenkét muzsikás,

Ha regvő mehhuzod,
Este legyen végi.
Ha este mehhuzod,
Regvő legyen végi.
– Ereszsz eö, ereszsz eö
Darvas Kis Kelemen!
Vékony talpó csizmám
Telyi alutt vérvev!
Dehogy eresztelek,
Hétszer kérettelek,
Ha nekem nem adtak,
Másnak se adjanak.
Muzsikás, muzsikás,
Tyizenkét muzsikás,
Ha regvő mehhuzod,
Este legyen végi.
Ha este mehhuzod
Regvő legyen végi.
– Ereszsz eö ereszsz eö,
Darvas Kis Kelemen!
Jaj má’ oda vagyok,
Mingyá’ szörnyűt halok.
Fogjatok meg engem
Jó lyány pajtásnéim!
Vigyetek eö engem
Sári béróného’
Az éldes anyámho’.
Nyis’ ki anyám, nyis’ ki
Leveles kapudot!
Vesd me’ nekem, vesd me’
A fekő ágyamot!
Keresd is ki nekem
A haló ruhámot.
– Anyám, éldes anyám,
Ugyan kinek húzzák
A hármas harangot?

– Fiam, éldes fiam
Darvas Kis Kelemen,
Sári béró lyánynak
Sallai Katának.
– Jó napot, jó napot
Jó sári béróné!
Elgyöttem még egyszer
Sári béróného’
Sallai Katáho’.
2)
8. Fekete Miklós.
Véres a Fekete Miklós gatyája,
Véres lehet, mevverték a csárdába.
– Kilenc zsandár véres testem mevverte,
A tyizegyik a babámot ölelte.
– Béró uram, agyon isten jó napot!
– Agyon isten éldes fiam, mi bajod?
– Béró uram, nagy is az én esetem,
Kilenc zsandár véres testem mevverte!
– – – – –
Nem akarnék a babámtó’ mevvá’ni,
Az irigy is akár mit mond felőle,
A halá’ se választhat el ő tőle.
9. Fehér Anna.
– Béró, béró, Horvát béró
Tá’ aranyat, tá’ ezüstöt,
Csak ereszd ki a bátyámat!
– Nem keö nekem Fehér Anna
Tá’ ezüstöd, tá’ aranyad…

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Attractors Of Hamiltonian Nonlinear Partial Differential Equations 1st Edition Alexander Komech

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Attractors Of Hamiltonian Nonlinear Partial Differential Equations 1st Edition Alexander Komech

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Slide 82