Aula 15 - Posições relativas entre duas retas.ppt

Geometria analítica

1. Posições relativas entre duas retas
Duasretasnoespaçopodemsercoplanaresenãocoplanares.
Observequequandoosvetoresdireçãodasretassãoparalelos,essas
retaspodemsercoincidentesouparalelas.
Coincidentes Paralelas Concorrentes
Asretascoplanarespodemser:
Paraidentificarseessasretassãoparalelasoucoincidentes,basta
verificarseumpontodeumadessasretaspertenceaoutra.
Emcasoafirmativo,asretassãocoincidentes,casocontrário,asretas
sãoparalelas.

2. Asretasnãocoplanaressãochamadasdereversas.
Observequequandoosvetoresdireçãodasretasnãosãoparalelos,
essasretaspodemserconcorrentesoureversas.
Concorrentes
reversas
Paraidentificarseessasretassão
concorrentesoureversas,basta
verificarseosvetores
SR e v , v
sr

,ondeReSsãopontosdasretasres,respectivamente,sãocoplanares,
ouseja,
Emcasoafirmativo,asretassãoconcorrentes,casocontrário,asretas
sãoreversas.0SR ,v , v
sr 









3. Exemplo1
Emcadaitemaseguir,determineainterseçãodasretasres.
a)Rt ,
tz
t-1y
2t-2x
r 








1
3: 2z
3
2y
2-
x
:s 


Solução:
Vocêdevecomeçarverificandoaposiçãorelativadasretasres. 1,3,2v
r
  1,3,2v
s

Observequeessesvetoressãoparalelos,assimessasretassão
coincidentesouparalelas.
Considereumpontodaretar,porexemplo,A(2,-1,1)everifiquese
essepontopertenceàretas.(V) 111 
Comoessasubstituiçãoconduzauma
verdade,vocêpodeconcluirqueopontoA
pertenceàretas.
Logo,asretasressãocoincidentese21
3
21
2-
2


 rsr

4. b)Rt ,
t1z
t3-1y
2t-2x
:r 







 z
3
y
2-
x
:s 
Solução:
Vocêdevecomeçarverificandoaposiçãorelativadasretasres. 1,3,2v
r
  1,3,2v
s

Observequeessesvetoressãoparalelos,assimessasretassão
coincidentesouparalelas.
Considereumpontodaretar,porexemplo,A(2,-1,1)everifiquese
essepontopertenceàretas.(F) 1
3
1
1 


Comoessasubstituiçãoconduzauma
falsidade,vocêpodeconcluirqueopontoA
nãopertenceàretas.
Logo,asretasressãoparalelase1
3
1
2-
2


 sr 

5. c)Rt ,
t1z
t3-1y
2t-2x
:r 







  Rh ),0,1,1(h2,2,0 X:s 
Solução:
Vocêdevecomeçarverificandoaposiçãorelativadasretasres. 1,3,2v
r
 0,1,1v
s

Observequeessesvetoresnãosãoparalelos,assimasretasrespodem
serconcorrentesoureversas.
ConsidereumpontoRdaretareumpontoSdaretas,porexemplo:
R(2,-1,1)eS(0,2,2).Daí, 1,3,2SR 

Então,132
011
132
SR ,v , v
sr










 32
11
32

 0)302(302 







SR ,v , v
sr

Logoasretasressãoconcorrentesem
umpontoP.

6. ParacalcularopontoP,interseçãoderes,vocêpodeescreveras
equaçõesparamétricasdaretas,igualarascoordenadasx,yeze
resolverosistemaemtehobtido.Rt ,
t1z
t3-1y
2t-2x
:r 







  Rh ),0,1,1(h2,2,0 X:s  Rt ,
tz
t-1y
2t-2x
r 








1
3: Rh ,
z
h2y
hx
s 








2
:
Então,
2t
ht1-
h2t-2








1
23 1t h 22 0h
Substituindoovalordetemrou,ovalordehems,vocêobtémoponto
P(0,2,2).
Logo,  2,2,0sr

7. d)Rt ,
t1z
t3-1y
2t-2x
:r 







 zyx:s 
Solução:
Vocêdevecomeçarverificandoaposiçãorelativadasretasres. 1,3,2v
r
 1,1,1v
s

Observequeessesvetoresnãosãoparalelos,assimasretasrespodem
serconcorrentesoureversas.
ConsidereumpontoRdaretareumpontoSdaretas,porexemplo:
R(2,-1,1)eS(3,3,3).Daí,
Então,241
111
132
SR ,v , v
sr










 41
11
32

 0)681(434 







SR ,v , v
sr

Daí,asretasressãoreversas. 2,4,1SR 

Logo, sr 

8. Definição
Seosvetoresdireçãodasretasressãoortogonaisdiz-sequeessas
retassãoortogonais.
Retasortogonaiseconcorrentessãochamadasperpendiculares.
Exemplo1
DeterminearetasquepassapelopontoP(1,-2,-1)eéperpendicularà
retardadaaseguir.
Solução:ComeceobservandoqueopontoPnãopertenceàretar,pois,zy1x:r  (F) 1211 
ConsidereentãoquearetaspassaporPeéperpendicularàretarno
pontoC.ComoopontoCéumpontodaretar,vocêpodeescrever: zzzC ,,1
Assim,0PCv
r 

   1,2,)1(),2(,11 

zzzzzzPC  01,2,1,1,1  zzz 012  zzz 1z3z3   0,1,1PC

Daí,
Observeque
Logo,  Rh h Xs  ),0,1,1(1,2,1: