bilngan berpangkat untuk pelajar yang ingin belajar

belajar bilangan berpangjat dengan happy

1. BILANGAN REAL
BILANGAN BERPANGKAT
RUDY R. TUMURANG, S.Pd

2. AdaptifHal.: 2 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Sifat-sifat Bilangan Berpangkat
2  2  2  2  ...
 2
Faktor n
Dilambangkan dengan 2
n
Definisi: 1)

= a

a

a

a

 . . .

a

Faktor n
2)
= a
a
n
a
1
3  3  3  3  ...  3Dilambangkan dengan 3
n
8  8  8  8  ...  8
Dilambangkan dengan 8
n
Faktor n
Faktor n

3. AdaptifHal.: 3 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Perkalian Bilangan Berpangkat
a  a  a  …
 a
p faktor number a
a a  a  …  a
berarti a
p+q
q faktor number a
(p + q) faktor bilangan a

 a
p


a
q
= a
p+q
3
2


3
3
= 3
2+3
= 3
5
7
6


7
13
= 7
6+13
= 7
19
x
5
 x
12
= x
5+12
= x
17
4
4
3





 5
4
3






54
4
3








9
4
3







Contoh :

4. AdaptifHal.: 4 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Pembagian Bilangan Berpangkat
a
p
=
Contoh :
1. 5
4
: 5
2
=5
4-2
= 5
2
= 25
2.
a
q
a
p-q
, a = 0












35
2
1
:
2
1






35
2
1






2
2
1
4
1

5. AdaptifHal.: 5 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Perpangkatan Bilangan Berpangkat
(a
p)q
=
Jadi :
1. (5
2
)
3
=(5)
2.3
=5
6
2.
a
p
, a
p
, a
p
… a
p…
4
3
)81( 4
3
)34(
q factor
= a
p.q
Jadi (a
p
)
q
=
a
p.q
=15625
= 3
3=27

6. AdaptifHal.: 6 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Perpangkatan dari perkalian dua atau lebih
bilangan
(ab)
p
=(ab)(ab)(ab) . . .(ab)
p faktor (ab)
=(a  b)(a  b)(a  b)  . . . (a  b)
p factor aand p factor b
=(a  a  a  . . . a)  (b  b  b  . . . b)
=
menurut definisi menurut definisi
a
p
 b
p
=a
p
b
p
p faktor ap faktor ap factor a
p faktor bp faktor bp factor b
Jadi (ab)
p
=a
p
b
p
Contoh :
1. 21
5
=(3 7)
5
=3
5
7
5
2. 12
5
=(2 2  3)
5
=2
5
2
5
 3
5
=2
10
 3
5
=2
10
3
5

7. AdaptifHal.: 7 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Perpangkatan Bilangan Pecahan

p
b
a 
p
b
a
p
b
a
 
p
b
a
  
p
b
a

p faktor 
p
b
a
=
a  a  a  a  a  a … 
a
_______________________
b  b  b  b  b  b … 
b
p faktor bilangan a
=
a
p
____
p faktor bilangan b
b
p
Jadi :
p
b
a a
p
____
b
p

8. AdaptifHal.: 8 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Perpangkatan Bilangan Pecahan
a  a  a  a  a  a … 
a
a a  a … a
Berarti
q faktor bilangan a= a
pangkat

berapa
?
 a
p
:

a
q
= a
p ‑ q
3
6
:

3
4
=
7
13
:

7
8
=
_______________________= a  a  a...  a
Contoh :
p – q factor
= a
p-q
a
p
: a
q
=
(p >q)
3
6 4
‑
=3
2
7
13-8
=7
5












58
3
2
:
3
2
58
3
2







3
3
2







9. AdaptifHal.: 9 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bilangan Berpangkat Nol
Jika p, q bilangan bulat positif dan p = q dan a
p-q
= a
0
Untuk menentukan nilai dari bilangan pangkat nol, perhatikan uraian
berikut:
Jadi, untuk setiap a R dan a = 0 berlaku a
0
= 1 
a
0
=a
p-p
a
p
a
p
=1
=

10. AdaptifHal.: 10 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bilangan Berpangkat Negatif
a
0
a
p=
1
a
p
a
0
a
p=a
0-p
=a
-p
a
-p
=
1
a
p
Jadi, untuk setiap a R, a = 0, dan p bilangan
bulat positif berlaku a
-p
= dan a
p
=

p
a
1 1
a
-p
Contoh :
1. 5
-1
=
1
5

27
1
33
3
1
81
1
3
43
4
43
4
43











 
2.

11. AdaptifHal.: 11 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bilangan Berpangkat Pecahan
qp
a
Bilangan berpangkat yang yang dipangkatkansebesar n dapat ditulis
sebagai berikut:
p
q
as much as q
=
=
a
q.
a
p
(a )
p
q =

qp
a
Diartikan sebagai akar pangkat ke-q dari a
p
, sehingga:
qp
aa =
a , a , a , … a (a )
p
q
q
=
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
p
q
q
p

12. AdaptifHal.: 12 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bilangan Berpangkat Pecahan
33232
2555 
25555
24848

888
212
1

Contoh :
aa
2
1

1.
2.
3.
4.

13. AdaptifHal.: 13 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Sifat Operasi Bilangan Berpangkat
1.a
p
 a
q
= a
p+q

2.a
p
: a
q
= a
p-q
; a  0
3.(a
p
)
q
= a
pq

4.(ab)
p
= a
p
b
p

5. ; b  0
6.a
-p
= ; a  0.
7.a
0
= 1, a  0
8.b

p
b
p
a
p
b
a

p
a
1
Jika a, b adalah bilangan real dan p, q adalah bilangan bulat maka :
asal
q
a
q
p
a
p/q
a terdefinisi

14. AdaptifHal.: 14 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
aa
2
1

etc ,50 ,15 ,8 ,3 ,2
rootsnot are 64 and ,4 ,1
Seperti yang sudah dibahas pada sub bab sebelumnya, bahwa
Bentuk akar adalah bilangan –bilangan di bawah tanda akarnya tidak
dapat menghasilkan bilangan Rasional.
Examples :
Meanwhile :
Because :
8.64 2,4 1,1 
1, 2, and 8 are not irrational numbers
1. Definisi Bentuk Akar

15. AdaptifHal.: 15 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
242 . 1616.232 
2. Menyederhanakan Bentuk Akar
Bentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di
dalam akar tersebut menjadi dua bilangan dimana bilangan yang satu
dapat diakarkan sedang bilangan yang lain tidak dapat diakarkan.
Contoh :
1.
2.
555 . 2525.5125 

16. AdaptifHal.: 16 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
baba 
2,n A,n baba
nnn

3. Operasi Bentuk Akar
Dasar Operasi untuk a ≥ 0 dan b ≥ 0
Perkalian bentuk akar dengan menggunakan sifat
Pejumlahan dan pengurangan dapat disederhanakan apabila akar-akar
sejenis.
4814775  343735 
 3475
32
,a.bba
nnn

Contoh :
=
=
=
1.
2.
Contoh : 426.76.7 
246123.22  61262.6 
real a ifasal a,a
nnn


17. AdaptifHal.: 17 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
b
a
b
ba
b
b
b
a
b
a

24
2
28
2
2
2
8
2
8

Pembagian Bentuk Akar
(i) Bentuk
5
52
510
5
5
52
10
52
10



Contoh :
1.
2.

18. AdaptifHal.: 18 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
ba
b)k(a
ba
ba
ba
k
ba
k
2









ba
k

31
2

(ii) Bentuk
=
1.
2.
31
31
31
2



 31
)31(2


2
)31(2


)31( 13
175
8

175
175
175
8



 1725
)175(8


8
)175(8
175
Contoh :
=
= = =
= =
= =

19. AdaptifHal.: 19 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
ba
k

ba
)bak(
ba
ba
ba
k
ba
k









23
23


(iii) Bentuk
=
=
=
=
23
23
23
23





23
)23(
2


1
2623 
625
Contoh :

20. AdaptifHal.: 20 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
12
9
x x34
27

4. Menyelesaikan persamaan dalam bentuk pangkat
Sifat yang digunakan :
a
p
a
q
= p = q
Contoh :
Carilah nilai x yang memenuhi persamaan di bawah ini:
x3
4
=
=
=641.
2.

21. AdaptifHal.: 21 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Bentuk Akar
Jawab :
1.
x3
4=64
x3
4=4
3↔
=3x 3↔
2.
x343
)3(

x34
27
12
9
x
=
122
)3(
x
=↔
24
3
x x912
3

=↔
24x x912=↔
94x 212=↔
x13 14=↔
13
14
x=↔
=1x↔

22. AdaptifHal.: 22 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Logaritma
Perhatikan : a
b
= c
a
b
= …. Mencari hasil pemangkatan
…
b
= x mencari akar pangkat b dari x
a
...
= x mencari pangkat dari a, agar hasilnya x

= mencari logarima dengan bilangan pokok a
dari bilangan b
=
a
log b = x
a
log b = x  a
x
= b dengan a > 0 , a  1 dan b > 0
a = Disebut bilangan pokok logaritma/ basis
b = Disebut bilangan yang dicari nilai logaritmanya
c = Hasil logaritma

23. AdaptifHal.: 23 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Logaritma
Sifat-sifat
Jika a > 0 , a  1 , m > 0 , n > 0 dan x  R, then :
 a
log a
x
= x


 a
log (m.n) =
a
log m +
a
log n
 a
log (m/n) =
a
log m -
a
log n
 a
log m
x
= x.
a
log m
 a
log m = jika g > 0 , g  1 etc.
a
n
log b =
a
log b
a
n
log b
m = a
log b
na
n
a

log
q
p
alog
pa
q

a
m
g
g
log
log
n
1
n
m

24. AdaptifHal.: 24 Isi dengan Judul Halaman Terkait
Logaritma
22
2log
3log2
2
63
2log2
Contoh :
3
6
)8.4log(
2
8log4log
22
 32
)
4
8
log(
2
4log8log
22

32
16log 16log.3
2
4.3
2=
3=
=
= = 5=
23 1===
12== =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
8log
2
2log
8log
2
2
1
3
= =
8log2
3
8log
3
1
2
 3
3
1

42
8log2 8log
2
4
2
 32
1===
6== =
7.
8.
9.