C04 teoria de errores en topografia

los errores en la topografia

1. -46-
Pontificia Universidad Católica del Perú
TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
INTRODUCCION A LAS MEDICIONES Y
TEORIA DE ERRORES
•EXACTITUD Y PRECISION
•ERRORES Y FUENTES DE ERROR
•TEORIA DE PROBABILIDADES
•METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS

2. -47-
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TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
MEDICIONES Y TEORIA DE ERRORES
INTRODUCCION
Comocadatécnicademedicióntendráerroresinevitables,elingenierodebe
considerartodaslasfuentesyclasedeerror,asícomolaformaenquese
combinanafindeminimizarlos.
Enelcasoderealizarunamedición:sielerrorobtenidoesmenoraltoleradoes
posiblerealizarunajuste,encasocontrario,esprecisorealizareltrabajode
camponuevamente.
Elprocesodeefectuarmedicionesyrealizar
cálculos,requiereunacombinacióndeequipo
adecuado,destrezahumanaybuencriterio.
Sinembargo,apesarderealizarestas
operacionesconmucho cuidadolas
medicionesnuncasonexactasysiempre
contendránerrores.

3. -48-
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EXACTITUD Y PRECISION
EXACTITUD:deunamedidaestáenfuncióndesu
absolutacercaníaconlamedidareal.
Para conocer el valor más probable deuna medición necesitamos una muestra
de mediciones finitas, las cuales pueden ser exactas o precisas:
Ejemplo:Silalongitudverdaderaes100m,ylasmedicionesefectuadas
danlossiguientesvalores:
100.04 m
99.98 m
99.95 m
100.03 m
El promedio = “valor real”, entonces la medición es exacta
VALOR REAL = 100 M

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PRECISION:eselgradoderefinamientoconelquesepueden
realizarunconjuntodemediciones,lascuales
presentanpequeñasdiscrepancias.Esdecir,se
refiereaquétancercaestáunamedidadelaotra.
Laprecisióndependedelgradodeperfeccióndelosequiposy/oprocedimientos
aplicados.
Recomendación:Antesdeiniciaruntrabajoverifiquelosinstrumentosafinde
evitarerroresdecalibración.
EJEMPLO: Si la longitud verdadera es 100 m, y las mediciones efectuadas dan los
siguientes valores:
90.05 m
89.98 m
90.02 m
El promedio “valor real”, entonces la medición NO es exacta
Una medición es muy similar a la siguiente, entonces es precisa
VALOR REAL = 100 M
EXACTITUD Y PRECISION

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ERRORES
Apesardequeseobtengalaprecisiónrequerida,esnecesariopresentar
unplanoquenopresenteerroresdecierre,paralocualserealizaun
ajuste.
Error:esladiferenciaqueexisteentreelvalormedidoyelvalorrealdeuna
magnitud.
Loserrorespuedenminimizarsemedianteuntrabajocuidadosocombinado
conlaaplicacióndeciertascorreccionesnuméricas,sinembargonunca
puedeneliminarse.Error
Perímetro
1
Precisión

6. -51-
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FUENTES DE ERROR
a)FuentesdeerrorInstrumentales:sedebenaimperfeccionesenla
construcciónoajustedelosinstrumentosempleados.
Fuentesdeerror.-sondetrestipos:
b)FuentesdeerrorPersonales:seoriginanbásicamenteenlas
limitacionespropiasdelossentidoshumanos.Ejemplo:hiloverticaldel
teodolitonoalineadosobreelobjetivo;estadalnovertical.
c)FuentesdeerrorNaturales:soncausadosporvariacionesdelviento,
temperatura,humedad,presiónatmosférica,etc.Ejemplo;longitud
variabledeunacintadebidaacambiosdetemperatura.

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CLASES DE ERROR
a)Equivocación:esunerrordelobservadorcometidopordescuido,
fatiga,errordecomunicaciónounaapreciaciónequivocada.Porlo
generalsonequivocacionesgrandesyporellonosepueden
compensar.Sedebeeliminarrevisandocuidadosamentetodoel
trabajoopartedeél.
Clasesdeerror:
Ejemplo: 30.368
30.366
30.635
30.364

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Clasesdeerror:
b)ErroresSistemáticos:resultandefactoresquecomprendenel
“sistemademedición”(medioambiente,instrumentosyobservador).
Sonerroresqueenigualdaddecondicionesserepitensiempreenla
mismaproporciónoconelmismosigno.
Debidoalascondicionesdelsistemaloserroressemantendrán
constantesovariables.Sonfactiblesdecorregir.
20.456 m
20.462 m
A B
CLASES DE ERROR
Error por Catenaria= 0.006 m

9. -54-
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Clasesdeerror:
c)ErroresAleatorios:ocasionadosporfactoresquequedanfueradel
controldelobservador.Dependendelazar;sonfactiblesdeajustarsies
quesehaalcanzadolaprecisiónrequerida.Secaracterizanpor:
Sonerrorespequeños.
Sontantopositivoscomonegativos.
Estoserroresobedecenlasleyesdeprobabilidadypuedenajustarse
aplicandoel“MétododelosMínimosCuadrados”
CLASES DE ERROR

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Error Total
CLASES DE ERROR
Equivocaciones
Errores Sistemáticos Errores Aleatorios
Se eliminan
Se corrigen Se redistribuyen
“Mínimos Cuadrados”

11. -56-
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TEORIA DE PROBABILIDADES
Probabilidad:
Eslarelaciónentreelnúmerodevecesqueunresultadodebeocurriren
elnúmerototaldeposibilidades.
Ejemplo:
Silanzamosundado,existeuna
probabilidadde1/6queaparezcael
número3.

12. -57-
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TEORIA DE PROBABILIDADES
Parapoderaplicarlateoríadeprobabilidadesenelajustedeerroresse
debehabereliminadolasequivocacionesycorregidoloserrores
sistemáticos,demodotalquequedensóloloserroresaleatoriosque
procederemosaajustar.
•Losresiduospequeñosocurrenconmayorfrecuenciaquelosgrandes,es
decirsuprobabilidaddeocurrenciaesmayor.
•Loserroresgrandesocurrenconpocafrecuenciaylos“muygrandes”son
porlogeneralequivocaciones.
•Loserrorespositivosynegativosdelamismamagnitudocurrenconigual
frecuencia.
•Elvalorverdaderodeunacantidadeslamediadeunnúmeroinfinitode
observacionesanálogas.
LeyesGeneralesdelaProbabilidad:

13. -58-
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TEORIA DE PROBABILIDADES
Valormásprobable:
Sepuedeobtenersiserealizanmedicionesredundantes.Elvalormás
probabledeunamagnitudmedidavariasvecesconelmismoequipo,mismo
personal,procedimientoybajocondicionesclimatológicassimilares,esla
mediaaritmética.
Esladiferenciaentrecualquiervalormedidodeunamagnitudysuvalormás
probable.
Residuo:

14. -59-
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TEORIA DE PROBABILIDADES
= 164.120 m
Histograma
Histograma:
Muestralostamañosdelas
medidasoresiduosversussu
frecuenciadeaparición.
Valor medido (m)Nº de veces
164.086 1
164.095 1
164.101 2
164.108 4
164.123 10
164.126 4
164.129 1
164.136 1
164.140 2
164.15 1
27
Valor medido (m)Nº de vecesVi (cm)
164.086 1 -3.4
164.095 1 -2.5
164.101 2 -1.9
164.108 4 -1.2
164.123 10 0.3
164.126 4 0.6
164.129 1 0.9
164.136 1 1.6
164.140 2 2.0
164.15 1 3.0
27
0
2
4
6
8
10
12
-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.5
residuos
frecuencias

15. -60-
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TEORIA DE PROBABILIDADES
ConstruccióndelHistograma:
Primeroestablecemoslamarcadeclase,queeslamínimadivisiónconstante
devariacióndelasmediciones(paraelejemploanterior1cm):
Intervalo del Frecuencia
Histograma (cm)Absoluta
-3.5 a -2.5 1
-2.5 a -1.5 3
-1.5 a -0.5 4
-0.5 a +0.5 10
+0.5 a +1.5 5
+1.5 a +2.5 3
+2.5 a +3.5 1
Luegotabulamoslasmedidasdecampo,teniendo
encuentala“marcadeclase”
0
5
10
15
-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.5
Marca de clase
(residuos)

16. -61-
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TEORIA DE PROBABILIDADES
Sobreelhistograma,siunimosconlíneasrectaslospuntossuperiores
centralesdecadabarraobtenemoselllamado“polígonodefrecuencias”
Siseincrementaelnúmerodemediciones,disminuyeelintervalodeclase.
Finalmenteelpolígonodefrecuenciasseaproximaráaunacurvauniforme
continuaenformadecampana,denominada“curvadedistribuciónnormal”.
Polígono de frecuencias
Curva de Distribución Normal
0
2
4
6
8
10
12
-4-3.5-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.533.5
residuos
frecuencias

17. -62-
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Esuntérminoestadísticoutilizadoparaparaexpresarlaprecisióndeunconjunto
demedidas.1
2



n
v
i

TEORIA DE PROBABILIDADESxxv
ii
n:#demediciones
x:promediodemediciones
Sin>30eldenominadordel
radicalseconvierteenn
DesviaciónEstándaróErrorEstándar():
fija los límites dentro de los cuales se espera que las
mediciones queden el 68% de las veces. E
68= 
Punto de
Inflexión

68% del
área total
Error

18. -63-
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Punto de
Inflexión
 
1.645 1.645
(E
90) (E
90)]2x,2x[E95%deadprobabilidconerrordeIntervalo
σ]x,x[68%deadprobabilidconerrordeIntervalo




)(
)(
95
Errores 50%, 90% y 95%:
E
50(error50)eselllamadoerrorprobabley
fijaloslímitesdentrodeloscualeshande
permanecerlasmedicionesun50%delas
veces:
E
50= ±0.6745 
LoserroresE
90yE
95seusancomúnmente
paraespecificarprecisionesnecesariasen
trabajostopográficos:
E
90= ±1.645 
E
95= ±1.960 = ±2
2 
(E
95)
2 
(E
95)
Error

19. -64-
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TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
Errores 50%, 90% y 95%:
Para determinar el grado de precisión de un trabajo utilizamos la relación:
Error de la media:
Es el intervalo (-E
m, + E
m) dentro de cuyos límites puede encontrarse el verdadero
error, producido en forma accidental por el cálculo de valores medidos de manera
individual:
TEORIA DE PROBABILIDADES95E
X
1
Precisión
E
p
:Errorconundeterminadoporcentajede
probabilidad
n:Númerodetérminosdelamuestra.

20. -65-
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PROPAGACION DE ERRORES
Comotodaslasmedicionestienenerrores,lascantidadescalculadascon
dichosvalorescontendránasimismoerrores.Elprocesodeevaluarestos
erroresseconocecomo“PropagacióndeErrores”.
SitenemosunafunciónM=f(x,y,z)conerroresE
x
,E
y
,E
z
,elerrorE
Mse
calcula:
Ejemplo:
SetieneuntanquecilíndricoderadioRyalturaH,lasdimensiones
obtenidasconun95%deerrorfueron:R=12±0.005m,H=15±0.007m.
Calculeelerroresperadoaldeterminarelvolumen.222
...



























zyxM E
z
M
E
y
M
E
x
M
E

21. -66-
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TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
PROPAGACION DE ERRORES
Solución:
Paracalcularelvolumen:M=V=πR
2
H22
..


















HRM E
H
M
E
R
M
E 2
2 R
H
M
HR
R
M
 





ReemplazandoenE
M
Derivadasparciales:  
  
3
2
22
2
22
48.6
007.012005.015122
.2
mE
E
ERERHE
M
xxxxx
M
HR
x
M






22. -67-
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TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
PROPAGACION DE ERRORES
Siserequierecalcularlapropagacióndeerroresenlasumade
cantidadesquecontiene,cadauna,diferenteserrores:
Error de una suma:
Error de una serie:
Sicadacantidadmedidatieneunerrordeigualmagnitud,enesecasola
fórmulaanteriorsesimplifica:

23. -68-
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TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
EL METODO DE LOS MINIMOS CUADRADOS
Eslatécnicaautilizarparaajustarocorregirloserroresaleatorios.
Tambiénseempleapararealizarlascurvasdeajustecuandoserealizan
variasobservaciones.
Elmétododelosmínimoscuadradosconsisteenquelasumade
cuadradosdelosresiduosseamínima.
Cuandoseutilizanvariastécnicas,condiferentespesossepuede
emplear:mínimaV
n
i
i

1
2 mínimaVp
n
i
ii

1
2 2
1
i
i
p


Donde:

24. -69-
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TOPOGRAFÍA Profesor: José L. Reyes
1.Expresarcadamedidacomoelvalormedidomásunresiduo(V
i).
2.Expresarcadaresiduocomounafuncióndelasmediciones.
3.EscribirlasumatoriaV
i
2
4.Hallarlasderivadasparcialesdelafunciónmínimoscuadradosconrespecto
alasmedicioneshalladaseigualaracero.
5.Resolverelsistemadeecuacionesobtenido.
Pasos para aplicar el método de los Mínimos Cuadrados:
Ejemplo:
ParahallarladistanciaentrelospuntosAyBsetomaronlassiguientes
medidas.DetermineelvalormásprobabledeAB.
26.462 m
11.134 m 15.322 m
A B

25. -70-
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PROPAGACION DE ERRORES
Solución:



mdmymx
yx
yx
sistemaeloresolviendyceroaderivadaslasIgualando
yyx
y
V
xyx
x
V
V
yxyxV
yV
xV
yxV
Vy
Vx
Vyx
AB
i
i
i
i
460.26324.15136.11
784.412
596.372
:
)322.15(2)462.26(2
)(
)134.11(2)462.26(2
)(
0)(4
)322.15()134.11()462.26(3
322.15
134.11
462.262
322.15
134.11
462.261
2
2
2
2222
3
2
1
3
2
1

















