Calculo mental fracciones y decimales

Calculo Mental

1. Apuntes para la enseñanza

Cálculo mental
con números racionales

2. "v"9 9'9

3. G.C.B.A.

Matematica

Calculo mental con numeros racionales

Apuntes para la enseñanza

Gobicino de a Ciudad de Buenos Aires. Secretaría de Educación
Dirección General de Plancamiento . Dirección de Cunicula

4. culo mental con números raionls: punts ara la enseñanza |
coordinado por Susana Wolman = 19 ed = Buenos Ares
Secretari de Eduación - Gbicna det Cdad de Buenos ie,
2006

72p.; 20:02 cm. (Pan plana! para el mejoramiento de a
enseñanza 2004-2007)

¡SON 987-549-300-7

1 Nimes Raconas-Enschnza.1 Wolman, Susan, cor, Tu
Ganz

Tapa: La casa e os eines, Roberto Delaunay (1805194

ISDN-0: 4e7-549-300+7
SON: 978-087-549-200-1

© Gobierno de a Cuda de Buenos Aes
Sectea de Educación

Drescón encraldePlncamiento

ecm de Cuca, 2006

Hecho el depósito que mara la Leyn+11.723

Paso Colón 256 9 piso.
CPACIOS3co Buenos As
Care electónico: cur @buenosaires ar

C.B.A.

Pesmitida la Wansricn parcial elos texts incluidos en esta ota, hasta 1.00 palabras,
Segin Ley 11729, ar. 10, colocando el aprtado consultado entre comi y citando la fuente
si éste exctir la extensión mencionada deberá sits autorización a I Dirección de
Curl, Distribución ratita. Prohibida su vent.

G

5. G.C.B.A.

GOBIERNO DE LA CIUDAD DE BUENOS AIRES

Jefe de Gobierno
Dr. Anita. lg

Vieejefe de Gobierno
Sr. Jonae Tecna

‘Secretaria de Educación
Le Roxana Peraza

Subsceretaria de Educación
Le Faw Tero!

Directora General
de Planeamiento

Diteetora General
de Educación Superior

Le Gracia MoneAne Uc. Fiorenc Fco

Directora General
de Educación
ror, Haroée oc DE CAraRENA

Directora Director de Área

de Curtcula
Uc. Groua Pare

de Educación Primaria
Pror, Casos Praoo

6. “Plan Pluianual para el Mejoramiento de la Ensehanza 2004-2007"

Dirección de Cucuta
Dirección: Cecilia Pan
Coordinación del rea de Educación Prima: Susana Wolman,
Colaboración en el área de Educación Primaria: Adiana Casamajr
Coordinación del rea de Matemática: Patricia Sadovshy

Maras. CACHO aa CN NÚMEROS RACENLES APUNTES PRA LA SA
COORONACIÓN AUTOR: PATRICIA Saovse.
Ea nación De mana Masa Ean Quaranta, Heron Pouce

ono À amO ne LA DREN ne IRALA.

Porn cta: vii ic

Coordinación gráfica: Paticia Leguizamón
[Diseno gráfico y supervisión de iin: Mai Laur Ciacil, Pata Pers
“Paula Gaitan.

(Doro sito y tico: Oe ete Lou, Miu age Ra

7. Int
Cálculo mental y edleuo lgoitmio .
Dos clases de conocimientos en el trabajo obre edeulo men
La actividad matemática en el ula a propósito del cleulo mental.
La gestión docente delas class de edlelo Mental.

El uso dela calculadora...
cera de este document nnn

a Cälulo mental con fracsiones sn
‘Acro 1. Comparación de fracciones
Acnvoso 2. Fracciones: sumas y tetas
‘Acros 3. Mu plicción y división de una facción
por un número natu
Acmvos 4 Fracción de una coleción de objet =
AcivoxO 5 Fraciones decimales —.

“Cálculo mental con números deeimales
Acıvono 1. Números decimales y raciones deamales _
AAcivoso 2. Relaciones de onen en ls números decimales
‘Acruow 3. Sumas y ests: una oportunidad para analzar
escitas decimales un
Acnvoso 4. Encuadra intercalar números decimales
"Acivoxo 5. Los números decimales yla muliicación y a división
por 10,100 1.000...

Acnvoso 6. Mulliphcar y dividir por 01; 001; 000...
AAcruoso 7. Mulipicación de un número decimal por un nümero natura 64
‘Acivo 8 Multplcaciôn de dos números decimales ente si “65

Acnvoso 9. Algunas multiplcacones particules on 57
ACIVOSO 10. Estimaciones……. SE 57
Acnvoso 11. Porcentajes. ‘69

G.C.B.A.

utenti iodo mena con nine acess «putes pul men

8. 1a Secretaria de Educación del Gobiemo de la Cudad de Buenas Ares se propone
en el marco de polities educativa desplegar una seve de acciones para Impul-
sar el mejoramiento dela enseñanza en el vel pimato, En pos de ee propósito
puso en marcha, para el periodo 2004-2007, e “Plan uranual para el Mejra-
iento de a Enseñanza e el Segundo Cielo del Nivel mario” de las escuelas de
la Ciudad, Dento de las acciones previstas, se asume el compromiso de proveer
recursos de enseñanza y materiales destinados a maestros yahımnas.

Ya han sido presentadas ala comunidad educativa las siguiente publica
ones para el trabajo en el aula en la áreas de Matematica y Prácticas del
Lenguaje:

+ Matemática, Fracciones y números decimales. Apuntes poro le enseñonzo

de # a7 y Pigmosporoelolumno de # a 6.

+ Prácticas del Lenguaje. Robin Hood, Novela, Orientaciones para el docente

y Aiginas por ef alumna.

+ Prácticas del Lenguaje. El diablo en la bote
el docente y Púginosparo clone.
+ Prácticas dl Lenguaje. Don Quijote de la Mancha. Selección de la novela,

Onientocionespara el docente y Páginas por tores cominontes!

Novela. Oentocones poro

En contimidad con el compromiso asumido, se presenta ahora los sguien=
tes materiales:
+ Prácticas del Lenguaje. El Negro de París Orentciones pore docente y
Púginos poro el lomo.
+ Prácticas del Lenguaje. Mitos, Selección. Onentacones pora ef docente y
Púginos pora el tana.
+ Matemática, Cálculo mental con números naturales. Apuntes poro In en-
+ Matemática, Cálculo mental con números racionales. Apuntes por In en-
señonza.
Los documentos y bros son concebidos como recursos disponibles para el
“equipo docente, que es quien decide su uiización. Se incorporan al ibkoleca de
A! sucia pr fit que os mesos dspongan de les und lo rn
La voluntad de aportar al trabajo pedagógico de los docente en as escue=
"tas logrará mejores concteiones s se alimenta de informadones y de una el
braun, lo más compartida posible, de eins con ls que tomar decisiones.
“Por ll, resalta fundamental que docentes y directives los van y hagan
llegar todos os comentaros y sugerencias que permitan un mejoramiento delos
materials a favor desu efectiva utilidad en las escuela y las aulas

9. Pa PLURAL PARA EL MEIORAMIENTD DE LA Enseñanza
En & Sccunge Co oc Na Prato
Punucacones

SE
Matemática. Fracciones y números decimale integra un conunto de documen
tos destinados a cada grado del segundo ciclo en los que se aborda el tratamien-
o dicto delos números racionales contemplando el complejo problema de su
continuidad y profundización al arg de cio. La serie se compone de Apuntes
pora ll enseñonz, destinados a docente de 4, 8, 6° 7 grado, yde Péginospo=
ra olumnode # a 6 grado. Cada documento de Apuntes paro lo enseñonzoes-
organizado en actividades que implican una secuencia de trabajo en relación
con un contenido, En ada actvida, les docentes encontrarán una introducción
al tema, problemas para los alumnos, su andi y otto aportes que contbuyen
la gestión dela clase, En Pégines para el alumno se presentan esos problems
en formato integrable a as carpetas de trabajo.

em ©...
Prácticas del Lenguaje. Robin Hood. Novela Oienteciones poro el docentey P=
‘gin0s pero e/olumno tienen el propósito de alentar la lectura de novelas desd e
inicio del segundo ciclo. La ectura de novels por a extensión de las mismas, da
la oportunidad de sostener el tema a lo argo de varias cases permitiendo que
los lectores se introduzcan progresivamente en el mundo narrado y lan cadaver
con mayor conocimiento de las aventuras y desventura delos personajes Esta
propuesta, particularmente, ofrece a los alumnes la oportunidad de enfrentarse
simultáneamente con una experiencia iteraria interesante, sostenida en lem
po, y con diversos textos informativos —ariculosde enciclopedia, esquemas con
referencias, notas al pe de página y numerosos epigrfes.

kx ©.
Prácticas del Lenguaje. EI diablo en la botella, de R L Stevenson. Novela
Orientaciones paro el docente y Páginas poro clclumno también tienen el propö-
sito de alentar la lectura de novelas peto se dirige, en ete caso, a 6 y 7 gra
do, Se oftece información sobre el tempo histrieo en el que ocure ls hechos.
natrados, las realidades delas regiones a ls que alude el relato y datos sobre el
autor. Peto sobre odo invita à un interminable reorido por el "mundo delos
bles enla MHeratura jalonado por bellas imágenes.

kz ———— ©
Prácticas del Lenguaje. Don Quijote de la Mancha. elección Tene el propistode
‘poner en contacto alos alumnos con la abr de Miguel de Cervantes Saavea

En Piginos pro el docente, s sugieren actividades orientadas a hacer ace
sible interesante y placentera la lectura de la obra, También se busca compari
diferentes miadas sobre Don Quijote de la Mancha que contribuirán a comentar
el ext y aprecialo con profundidad.

En Par lectores cominontes los alurmos encontrarán información sobre la
vida de Cervantes, sobr la scítura dela novela, el mapa de la uta del Quijote
Y algunas de las obras de oros autors inspirados por el idalgo caballero

10. LS o

Prácticas del Lenguaje, El Negro de Paris de Osvaldo Soriano El negro. y otros
gatos Orientaciones pora el docente y Pógias pora el alumno Esta propuesta, de
tues titulo, permit a alumnos de 4 o 5 acercarse a un relato con aspectos
propios del cuento marawllso, en el que, desde las iventas de un niño, se alu-
a a dictadura militar enla Argentina yal xi, Soriano rene memoria y ma
ravilla en una sintesis que pocos autores pueden logra. Réginos por e alumno
incluye una biografía de auto y delos muchos gatos quelo acompañaron ash
‘como os cuentos, poesias y teftanes y adivinanzas abitados por gatos.

—_ T>——

Prácticas del Lenguaje. Mitos comprende una selección de mitos griegos y ati
os destinados a los alumnos delos últimos grados de la primaria. En Püginaspo-
o elolumno se ofrece información sobre el engen de ls mios, texts informa-
vos sobre el sistema solar y los Juegos Olimpcos -que, como sabemos, uv
ron impulso u origen entre los gregos- y mátos americanos. Orientaciones poro
el docente propone actividades para emiquecer el acercamiento al inabarcable
mundo de Is mios, tan lejano y tan presente.

== =
Matet, Ciao mental on número nature ie ment! on nú
ers nal contin eng ara o dcente del und o:
Ia! lcd a netos maak se real cn ls cones de 4 y 5
Ada y lalo ers ak ando 647 gta nc
Barge ac a posi) de que am e 6 gg hayan tee o:
(3 expen eta conc mental Lom etc con gunas e
ls proc cha el docment sobe mts lr

Vos mals comia ae de na nein Iba sobe la cn-
(era de lo mental as les y iones ete Gto ety
ao rise crc del ein dec, tee ser de
ads pas san dl mental y dls de alos dels p=
Sete recente ego lama de #75617 ree
tamer

E ambos documents ploponen cines ue ion coronene
tos ndo bce e commen en aos pets cn ci mo sho
avé deines que an emo dr un sno, con inten de
‘loner conto came num pr alzar gas ae
Sons nens € nic pets de eu sy cons Po a mt
arn end nl dome de Maen, Cle mental nnd.

—Lonerosrocinaes teens als documentos Matemático. Fracciones y núme-

os dcinasy menos

11. Introducción B

Este documento unto con Cálculo mental con números naturales, integra una
coleeción de materiales para el segundo ciclo que se publican en el marco del
Plan Plaiamal par el Mejoramiento de la Enseñanza en e Segundo Cielo del
Nivel Primaro. A través de este materia, e propone discutir bajo qué condicio»
es didácticas el cäkulo mental puede constuirse en una práctica relevante
par la construción del sentido de los números y ls operaciones. Se busea,ade=
más, comparbr con los docentes algunas secuencias de trabajo posibles, ente
las muchas que se podrian disch

CALA MENTAL Y ALO Moni

Desde la perspectiva propuesta en el Diseño Curriculor? los procedimientos de
ciao mental se deine pr contraste con aqueos que responden celos
algoitizaos Esto tos consisten en una sete de regla aphables en un
Orden determinado, simpre dl miso mado, nependienement dels dls,
que garantizan aaa lesa buscado en un nimeo it de ass las
cuentas comencoals que se tan paa resolve las operaciones costtayen
procedimientos de este por en elas se secu a una única té para una
perl dada, sempre Ya misma, ndependentemente de cuáles sca los
mers en juego Dentro de estos tines podemes mencionar, pr ejemplo, cl
Elgotmo para obtener facciones equivalentes, consistente cn mulipear o
diri el umendos yl denominado por un mise mo; ago de
divin defacons, el lgontno de dvisón de un número deal por oo
mer decimal; etter 2 0084. Seren de
1 &lehkulo mental, en cambio, reir al “onjuno de procedimientos que, Eau Sn e
analizando los dats por taa, se riclan sin recur a un loro presta: na em
po ten ds cron opinado? ado secan. cre
ea por la presencia de una divested de éticas qe se adaptan los úmeos Se Are
CLV ison asics aces does dep Sperone
nens 1; acc dell mel en cn on dl Son

Pro
Aa area de compara dos racine puede ser aborada sempre a part det mn ns = 6
secu general de “rats común denominador compara los mms. Ferne Kine es,

‘Sin embargo, en algunos casos particulares, exten estrategias más económicas Poss 1%

o algorítmico a pare de un par de ejemplos

12. que el procedimiento general Pr ejemplo, se tratara de compara 2/3 con 75.¢5
Inferesante que fos nis reparen en que la primera ación es menor que y la
‘segunda, es mayor, Obviamente no e tata de que los alumnos mecaricen ests
estrategias que son ús sólo paa aso particulares sino de que tengan un amplio
repertno de procedimientos posbles y de que construyan una posición activa que
no los deje pendientes de una única posiblidad.

1) ¿Cuánto es 11 - 1,9, podria responders apando al algoritmo de la

Sin embargo, forma parte de una posición sóida con tación a fo numérico,
poder establecer que 19 e próximo a 2 y aprovechar esa relación para resolver
el cleo, Se presentan diversas posibilidades:

+ Calcutar el complemento de 1,9 a 11,“Hegando” primero a un número natural:

19+01=2 y 2+9=11,entonces se sum 01 +

+ Restar 2 a 11 para luego agregar 0,1:
1-2=9 9401-91

‘Aqui puede obsemarse que la distinción entre cálculo algrltmic y cálculo
mental no reside en que el primero sea escrito yl segundo nose apoye en el uso
“de lápiz papel. Como mencionamos anteriormente, el cálculo algoritmico uti
2a siempre la misma técnica para una operación dad, cualquier sean ls núme:
ros Encambio, cuando se propone un trabajo de cleulo mental no se espera una
"nica manera posible de proceder, La idea es instala una práctica que requiera
ferentes estrategas basadas cn propiedades de ls operaciones. Al desplegar
stas estrategias en una situación especifica, se hace posible el análisis de las
relaciones involucradas en las mismas

Los algoritmos convencionales también apelan a propiedades de los núme-
1os y de las operaciones, sólo que, una vez automatizados los mecanismos, no es
necesario tenerla en cuenta.

El cálculo mental, al oxgi a puesta en juego de estrategias especificas en
unción de los números con los que se trabaja, habita un mayor control de las
propiedades que hacen válida la estrategia quese delega

Por oto lado, como se verá lo Largo de este documento, para que ls alum-
nos produzcan estrategias de clculo mental cadaver más eahoradas, es nece-
anio que puedan apoyarse tato en el conocimiento de las propiedades de as
‘operaciones como en resultados que deberán tener disponibles en su memoria,

EL hecho de que el álulo mental se distinga del cálulo algoitmico no supo-
e que se oponga a lodo lo contar, los conocimientos construidos acerca de
uno y otro po decákulose alimentan reiprocamente. Es finalidad de la escue-
ta que los alummos se apopien delos algoritmos convencionales par resolve las

DE teeta tata erreurs

13. ‘operaciones Todo cluloagoritmic contempla momentos de apelación al cle
lo mental ye emiquece con sus apart tanto para anticipar y controlar la magni-
{ud del resaltado como para comprender el sentido de sus pasos.

Los algoritmos convencionales constituyen técnicas de cálculo valiosas por
la economia que procuran y pr el alivio que supone la automatización de cer-
Los mecanismos. La riqueza del trabajo sobre el cálulo «mental y algortmico=
incluye el hecho de que los alumnos se ven confrontados a tener que decidir la
estrategia mis convenient frente a cada situación en particular. Apuntamos 2
una automatización pero en simultáneo con un largo trabajo de elaboración y de
reflenón sobre las razones que fundamentan los mecanismos. A mismo tempo,
la disposición de certos mecanismos automatizados eniquece la posbildades
de cálculo mental

En otros términos el céleule no algoitizado abona la construción de rela
«iones que permiten un aprendizaje delos procedimientos convencionales basa
do en a comprensión de sus pasos, en un contol delos resaltados intermedios
y finale que se obtienen Al mismo tiempo, la finalidad de transmitir ls algorit-
mos vinculados con las operaciones se insert en el marco dela transmisión de
‘un ampko abanico de recursos de cálculo y de su adecuación con las situaciones
que enfrentan os nos, La práctica de cäkulo mental, bajo ciertas condiciones,
hace evolucionar ls procedimientos de cäkulo de ls alumos y eniquece las
‘coneeptuaizaciones mumérces delos niños

DoS CLASES DE CONOCMENTOS EN EL TABA SOBRE CAO MENTAL

En el trabajo con cálculo mental es posible distingir dos aspects: por un lado,
la sistematización de un conjunto de resultados, porel oto, la construción de
procedimientos personales Veamos en qué consiste cada uno de ellos, Enel caso
de as facciones y delos números decimales, esperamos que, alo largo de todo
«el segundo ico os alurmos puedan llega a disponer de:

3) Algunos resultados memarzados o fácilmente recuperables, como:

+ sumas y tetas que involucren mes y cuartos;
+ la mitad y el doble de una fracción;
«complementos de ls décimos; centéimos a las unidades de orden superior

03. 034. = ch
+l de amar ost; O01; 00%; ce; en
Sans ets que compogan 02: 080 075; wen Sel
mule ibn de cles ner por 10; 100 Lona, aan rine

<L: mutipiean ynisiön por 1; 001; 0001 Pr

O, sumas tant ac met ac sates me: na

rien certos resultados o puedan recuperarlos fácilmente. nsstimas en que esta Pente ara
"memorización debe apoyarse enla construción y la identificación previa de PDT
relaciones que tja una red desde la cual sosenela y dale sentido. hemos. Pago
. (VE ae

1) Procetimients “más personals, que permiten dar respuesta a una dar DE FPT
ción Est aspecto ha sido denominado "álulopersado o rflsonado" Al no ‘sn

e nm al

14. aus de procesos autorizados, consten enel despegue de diferents cami-
osa parir de decisions que los alumnos van tomando durante a resolución. Tales
decisiones e vinculan con fa comprensión del tara, con detente eacones que
€ establecen, con el contol de lo que va sucediendo en a resolución.

Por ejemplo, paa responder “¿cuánto es necesario restar 7/4 para obtener
12°, es pouble pensar en que 1 es equivalente a 4/, entonces será necesario res
tar 3/4

Para averiguar Ia mitad de 23, es posible pensar 23 a partir de diferentes
descomposiiones: 2+ 0.3; 2 + 030; 2,2 + 04; ete Sumando la mitad de cada
una de esas "parts" del número, se obtiene la mila de todo el nimer: 1,15.

Er cálculo mental permite, aver, un trabajo sobre los números de manera
descontexuakzada, famariza a os alumnos con una actividad matemática que
también encuenta sentido en si misma: halla un procedimiento, confrontar dife
rentes estrategias, analizar su valdez. Pone a los niños en situación de “vérelas
conos números"; expresar un mismo número de diferentes maneras. Pr ejemplo,
"establecer cuáles de as ftaciones de esta sta equivalen númeos enteros
30110; 27/100; 20010; 25/10; 10; 8/2” require analizar e sigrifiado de cada
una de las racines, de las relaciones entr numerador y denominador. Pr eje
po, 10/10 consuyen Y enteo, 3O/ O equivalen a3; etcétera.

De este modo, la enseñarza del cálculo mental también oltece a los alum-
‘nos a oportunidad de tomar conciencia de que alguns culs son más sencillos
que os, y de que es posible valerse de ellos para resolver otros más complejos.
Por ejemplo, 53 x 40, puede reslversea partir de hacer 5,3 x 4x10= 6,3 x 10
x4= 53x42 212.

lands dela vader de ls rela pladas en cada cas resultará de un tra=
bajo de reflexion sabe las resoluciones que el docente gestione con toda a case,

Dentro de as estrategas de cálculo mental, también se espera que los akım-
mos desarrollen, basándose en cálculos más sencillos, estrategias de cálculo
“aproximado, Por ejemplo, para 121 - 9:36, es posible anticipar que el resiltado
será algo mayor que 111 porque se está restando un poco menos que 10. Para
algunas situaciones la búsqueda de un resltadoaptoximado es suicient; otras
requieren hallar un resultado exacto. Para estas últimas, el clcuo aproximado
constituye una poderosa herramienta de anticipación y de contol, Para que los
ahımnas comiencen a ponla en Juego es necesario -aungue no suficiente que el
docente “empuje” en sa deci,

La ACMADAD MATEMATICREN EL AUA A PROFÓST DEL CALCLO MENTAL

las deciones a cargo del alumno que resuche, los ands que puede hacer mien
as trabaja, las discusiones acerca dela valdez de sus razonamientos con sus pares
Yeon el docente, van tendo un red de conocimiento que fundamentan el fun-
«cionamiento de los números y de las operaciones. Abrir el juego de à clase la
búsqueda de estrategas, a su excitación y confrontación, asu circulación y difu-
sión en momentos de intercambio, permite à los alumnos ayudados por el
docente= identificar os conocimientos a retener relativos a Jos números y alos
culos A mismo tempo, los is partipan dela constuccóndeeiteos de val-
dación de los procdimients claborados [cómo es posible star seguro de que una
Estrategia es conecta, cómo mostrar el or de un procedimiento) y de cites de

15. elección de procedimientos adecuados en función de la tarea. De este modo, ata
vés eun tipo de práctica se está comunicando ala clase que se espera que as pro=
ducciomes sean vlıladas y que hay modos de hacerlo, que hay razones que hacen
“la corrccióno inconeción de las resoluciones, que hay cites para la sleción
‘de modos de esole más o menos adaptados en función dels situaciones parti
cures, que no e trata de hecho ararosos Estos aspectos podrán er objeto de
reflión en a case paa que puedan sr identificados por los alumnos

ES decir del mismo modo que para todo el trabajo matemático, se apunta a
posicionar a ls alumnos desde cert actitud intelectual frente los problemas
para que se animen a abordar la tarea con los conocimientos disponible, a
explorar, buscar por diferente vas, equivocarse, comunicar a oro, analizarla
valdez de procedimientos, ee. veces se cree que este posicionamiento depen=
de de aptitudes 0 voluntades particulares de los alumnos; desde nuestra pes=
peetiva,consttuye un aprendizaje que se logra por un po de práctica sosteni-
da en el tempo,

LA CESIÓN DOCENTE DE LAS CASES DE CALOXO MENTAL

La enseñanza de cel se enmarca, pues, enel nism "ma" de trabajo mate-
ático que queremos instalar en las clases: búsquedas, reltones, dscstones
“argumentaciones producción y ands de escturas matemáticas dentlca-
‘in de nuevos conocimientos En ete sentido, a intención del docente es
fundamental: hacer cxplcitar y compara los procedimientos para ka a los
“alumnos a anakzrls y explicas —colaborado él mismo en estas tareas,
‘consitiyen condicions esenciales para promover avances en los conocimientos
producidos en este espacio.

El despliegue del trabajo quese propone no puede quedar relegado a clases
“sados, sino que es necesario organizar una progresión de aprendizaje, plan
ficar una secuencia de enseñanza en la cual cada nuevo conccimiento pueda
“apoyarse eno que ls alumnos ya conocen al nismo emp que introduce nove

des, siendo por su pare base para nuevos aprendizajes, Est requiere de un

proyecto de enseñanza cuya global el docente pueda concebir

Un proceso de eta naturaleza quer considerar tiempos de adquisición a

largo plazo, con secuencias que involucren una variedad de situaciones que se

“ocupen de diferentes aspectos de los conceplos y ala vez, etomen cestones
atados en sucess velas.

Si bien os avances en los recursos de ello mental son beneficiosos ara

todos fo on en particular para ques alumnos que presentan mayor diicul-

Sad porque le permite accede a estateaias que, a veces, ots alumnos lb

an pr a cuenta; estrategias qe los posiciona mejor ante le situaciones ya

sca porque les are diferentes posblidades de solución o porque les permit ta
liza antiipaciones y levar un contol sobre ls soluciones más convencionales
OM Pree resaltar paradoja que e cálculo mental beneficie mäs a quienes e-

“nen mayor delta para acceder a é En efecto, esos alumnos es sul n=

(Jr much tempo 1 propició de stes qe os ac muy it
"damente Sin embargo, omo son sts mimos alumnos los que con frecuencia

2 no secuedan ls técnicas (¿cómo se hacian?” o nen bajo contol sobre elas

( sc ovidan un pasoo cometen un eo, no saben cómo conbruar o cones,

rn a 1

16. son particularmente relevantes las intervenciones del docente
sión idenblicación y práctica de ciertos procedimientos de cleulo mental para
genera avances en los alumnos quese presentan como “más flojos".

¿Cómo gestionar esta diversidad? No hay evidentemente una nica posibili
dad. La organización de las clases deberá plaificarse de acuerdo on las inten-
ones del docente frente a cada situación en particular, A veces, conviene pro-
poner el trabajo en pareja, para promover intercambio en el momento de reso=
lución; en otras ocasiones, el trabajo individual, para que cada niño tenga la
‘oportunidad de interactuar sol frente al problema; y otras, con oda la clase;
eltern,

‘Cuando se trabaja colectivamente, suele ocunir que ls alımnos que más
recursos tenen, dan respuestas rápidamente sin dejar tempo suficiente para que
algunos de sus compañeros puedan pensar. El cálculo pensado no se identifea
con la velocidad Instalar un trabajo sobre el cálculo mental demanda concebir
la organización de la clase tato como el trabajo sobre otros asuntos matemái-
«ss, Forma parte de fa consigna plantear cómo, quiénes, cuándo pueden interve-
ft. Algunas veces trabajarán con la misma Situación en forma individual, en
parc, en pequeños grupos, el. y presentarán su trabajo designados por el
docente, o al azar, o por elección dentro del grupo. Olras veces, lo alumnos
podrin tabajar en pequeños grupos ante disintas situaciones mientas el
docente se dedica especialmente a aquellos que más o necesitan. Es dec, en
algunas ocasiones podrán gestarse espacio diferenciados que posten a rev
sión de conocimientos (repertonos, procedimientos, reglas) de manera más is-
temática para algunos grupos.

(Cuando se busca quelo alurmos exploten procedimientos de resolució, ls
anotaciones delo que van realizando son eseniales Lo son por varios motivos.
Porn tado, constituyen un soporte para pensar la solución, tato para recordar
pasos y resultados intermedios, como para rflexiona sobre e procedimiento
que se est siguiendo, en tato l escritura "esteioriza” algunos aspectos de se
‘conocimiento,convirtiéndolo de ese modo en objeto de anätss Por oto lado,
(ichs anotaciones constituyen medios de comunicación de los procedimientos,
indispensables cuando se trata de esplitalos ante fa clase.

Si se asume que la fase colectiva es pate del trabajo de producción matemá-
‘ia, hay dos aspects del rl docente que cobran relevania. En primer lugar, cómo
idenúiar qué cuesbones merecen discute y, en segundo, en qué situaciones
puede resltr interesante que los alumnas confonten sus punts de vista

Es interesante tene en cuenta que, las respuestas que los alumnos ofte-
cen provienen de ideas similares entre si posiblemente no aporte demasiado ala
clase alentar que se comenten tods en el u. S la estrategias no comparten
la misma ida, es importante sostener el debate precisando qué cuestiones se
están discutiendo.

Señalamos -y queremos volver a rsllar la necesidad de identifica los
nuevos conocimientos que se van elaborando en el transcurso de actividades de
culo mental y dela discusiones generadas a partir de elas. Est es, no basta
con quese explten y valden los procedimiento yla reglas establecidas, sino
que es necesano que algunos los que tenen un alcance más general, san 1
ocios y nombrados po el docente y se desarrolle una práctica en tomo a ellos
que permita cert automatización. Esto a veces puede resultar fil: qué poner

CT

17. ‘en común acerca de procedimientos ajustados a situaciones particulares, ¿cuáles
son ls aspectos generalzables de dichos procedimientos, etcéera.

EL 45008 LA nano

La inclusión dela calculadora en « trabajo matemático dela escuela primaria
resul esencial por dversos motivos Por un lado, como se ha convertido en una
herramienta de cálculo muy extendida en la sociedad -llegando incluso a modi-
fica os hábitos de cálculo, sostenemos que la formación matemática delos
“alumnos debe inehir el aprender a decidir cuándo ulkzarla y para él, su so,
‘en términos generale, debe estar plenamente autorizado.

“Lo la vieja pregunta “ne que usar ls alamnoscacuadora en clase” no
tiene ya sentido, dado que las calculadoras existen, están ahí, en las manos de
los alumnos y s eidente que tenen una relación intima con el mundo del el
ul aritmético y con las matemáticas en general, Una pregunta más interesan-
le e, a muestro juicio, la siguiente: ¿Cómo hay que usarla calculadora en clase
‘de matemáticas pora que e comiera en un poderoso auxilar didáctico y para
‘eta los pelos de su wühzachn nefleva?"7

Muchas veces, os docentes admiten el uso dela calculadora para que sus
‘alumnos venfiquen cálculos resueltos de otro modo; otras veces, lo admiten
para hallar resultados queriendo ala la tarea del cálculo. Éstos son los usos
más habituales cuando se autoriza este recurs, Sin embargo, habrá momen=
tos en los que, dado el asunto especifico que se est trabajando, el maestro
decidirá no habit.

‘Queremas resaltar oto uso posible, menos extedi y, sin enbargo, suma-
ment relevante, Muchas vecs las iuaciones plantadas requieren uso particu
lates dela calculadora, usos que no necesariamente están en función de obtener
‘un resultado, Veamas dos ejemplos:

3) Imaginate que el visor de la calculadora muestra el 20056, ¿Cómo se
podra hacer para que, sin bora el 2006, el visor muestre Qs sólo se pueden
‘sar las teclas 110: y=?

a
ian

[er ln =

< = =

ca = E

En estos ejemplos, la caluladora no se convert en un intrumento para
halla el resultado, sino en un soporte part del cual proponer el problema. El a bls, eine
stabajo del alumno require una anticipación que luego podrá constatar. ind y alado
En sintesis la calculadora también constuye un soporte sobre el cual pro- mn si.
poner problemas y una dinámica de trabajo muy fructfros desde el punto de Sivas 82

A on ninae ere A

18. vista de los conocimientos que pone en escena y de las posibilidades de verfica-
«ión que oftce. or esa razón, el trabajo con calculadora no degrada ni reempla-
Za el tratamiento de los cálculos convencionales con tpi y papel otos él
los mentales, sino que lo eniquece,

ACERCA DE ESE DOCUMENT

Este documento presenta actividades para la enseñanza del clculo mental en
relación con las fracciones y los números deciles. Encontrarán una parte dedi-
cada fracciones y otr a decimales. Dentro de cada una de ells, ls actvida-
des se organizan según una progresión de dificultades.

(Como ya se ha señalado, cai todas as actividades que aqi se incluyen pro
ponen un tabajo con las fracciones y los números decimales en un contexto
exclusivamente numérico. Se está suponiendo entonces que los alumnos ya han
abordado estos contenidos en un trabajo —absolu tamente necesario con itua-
ones que apelen a ottos contextos de referencia, como la medida oe reparto,
"Nos ocupamos aqu de un trabajo posterior dirigido a emiquecer un sentido de
lo numénico, paa lo cual también es neeesaria una descontextualización de los
conocimientos

En ese sentido esta propuesta para la enseñanza del cielo mental con
números tcionaes complementa el ecomido didáctico comunicado en la serie
“Motemética raciones y números decimals 47 grad. Es decir, e tata de
materials pensados para ser uiizados cojuntamente, cda uno de ellos apoya
y emiquece el trabajo que puede hacerse con el otto. Para dich propósito, en el
desarollo delo distintos temas, se incluyen referencias pecas que remiten a
los titulos mencionados, acerca de puntos de contacto entre ambos trabajos.

En relación con ls fracciones y los número decimales, encontrarán en pr
‘mer lugar tareas de comparación y orden, y no directamente de operaciones Vale
la pena aclarar os motivos por los cuales este tipo de actividades tiene aquí una
presencia queno tiene en el material de Céeulo mento con números naturels.
Estos nuevos objetos matemáticos lo números racionales, plantean un asunto
que es dificultoso alos ojo de los alumnos quelo están aprendiendo; un mismo
número puede admitir múltiples representaciones, Una de ls dificultades con las
cuales deben enfrentarse al trabajar en este conjunto numérico es que existen
diversas maneras par producir escrituras equivalentes Las actividades de cam
paracdn y orden ponen esta cuestión en el centro del análisis blign à consi
dera la relación entre numerador y denominador; a poner en relación denami-
adores ente si y numeradores entr si: a referencarbs a nümeros naturales,
ete. para dar cuenta de qué número se trata, si es mayor, menor o igual a otro
dado, Esto es diferente delo que suceda al tratar con los mimeros naturals.

En ste material, encontrarán actividades que involucran conocimiento que
habrán sido objeto de elaboración en ottos momentos del aprendizaje de los
ños y que acá se tetoman y se profundizan.

Será interesante que, a propósito de algunas de las actividades propues-
tas el docente solicite alos alumnos que elaboren otras similares a las reali
zadas par plantar a sus compañeros oa chicos de otr grado), Esta tarea per
mile revisar lo trabajado en dichas actividades desde un posicionamiento dife-
rente, levando alos niños a plantearse nuevas cuestiones acerca delas tareas

19. realizadas: anakzar qu se busca poner en prática debiendo resolverlos y ver
fiarlos, prever dificultades que puedan tener sus compañeros desarollando
aclaraciones al tespeto,elcétera

Frente a cada tarea hemos decidido mostrar el tipo de actividad al que se
“apunta, identificando el aspecto del contenido que se busca colocar en el entro
‘el ans para que el docente pueda, a partir deal, decidir los ejemplos a pro-
poner resealos, agregar nuevos.

Para concu, 1eteramos la necesidad de abrir un luar importante a cle
lo mental, porque es un espacio de problemas privilegiado para alcanzar un
«conocimiento fundamentado delos números y de la operaciones.

G.C.B.A.

ir a al

20. Actividad

también eudto le flo cuento se pasa de 1.

E nn

Se busca que los alumnos puedan retomar y apoyarse en una idea básica:
n vecs In es equivalente 1. Se busca que consideren cl entero expresado.
‘como una facción conveniente que facilite establecimiento de reaciones. Por
‘ejemplo, 33 equivale a 1; entonces 4/3 es igual at + 1/3.

Com consecuencia del análisis de esta tara, se podrá establecer —o recordar
la tela que establece que una fracción es mayor que 1 el numerador es mayor
que el denominador, y menor que el numerador es menor que el denominador
¿Será también ntresante discutir con os nos que esta regla permite hallar a solu-

<* buscada aualquiera sea el numerador o denominador que se esté analizando.

py anna unaee
2) Completas siguientes sumas y stas

meo
a.

CEE
CT A

G.C.B.

tend ie mena con sume cl «Aus pul men

21. 3) Complet el quiet cuatro:

Gun fata? | Poa gara Para gata? Pan gata 3
12
us
alt
21
EJ

El propósito de a tre 3 es extender a tos enteros ls relacione antes
establecidas etre una faci yla unidad As pr ejemplo sa 12 e falta 1/2
para Negar a1, abr que rear a ee resultado 2/2 más, s dc un entero,
Eamoos ae | para lega 2 y os 22 más pra lega a3.

{ste trabajo pere sintetizar dos caras de un nismo aspecto que se ha esta
anta | o atando hasta cl momento; relctn ene a faci dada ye enero, yla
sacs ne © POSÍiidd de pensar un entero expresado en términos de los denominador de

«ada una de as facies dadas.

rocas
4 Para od una dels siguientes acens anol secrets
dus a Que a aseas

9 utes de ets racines son eures ete?

Me 2a ect

Para el trabajo con fracciones equivalents, es probable que los nos apelen
=i fo conocen al algontmo convencional basado en a multiplicación ola dn
sión del numerador y el denominador por un mismo número. La trea es algo más.
“compleja cuando los números están expresados como suma de unentero más una
fracción: en ese aso, pueden optar po transformar sólo la parte facconara 0
por expresar el nmero como una única fracción y luego obtener fracciones equi
valentes.

Ara de eta taa, resultará Interesante que se vue a analiza en la clase
porqué funciona el algoritmo mencionado. Por ejemplo, como 1/8 es una frac
ción tal que se necesitan 8 de esa cantidad para tener un ener, para tener 1/2
hacen falta 4 de 18, es decir 4/8 Por tant, 4/8 y 1/2 son equivalentes; o bien,
714 y fe son equivalentes porque 1/8 la mitad de 1/4, entonces 1/4 equiva-
Lea 28, asi que 7/4 equivale a 14/8 ete.

DE teeta tetera nam

22. Si bien movilizar estos razonamientos es más costoso que apear solamente
al mecanismo para obtener facciones equivalentes, creemos que permiten emi
quecer el conjunto de relaciones que los niños establecen entr las fracciones.
Construir una red de relacione los ayudaa sostener” el ema de una maneta más
sólida.

Y vaca mas

©) Completas siguientes raciones ara que resulten quienes en cada caso:
Me MA TBB NB lA

7) Dicuon entre todos sa siguen

facons sn equivalents omo I son:

a) an2=1an

‘Se propone um trabajo que complementa el reeurso de mu plicar numerador
y denominador por un mésmo número y, portant, ampli I conección de frac-
ciones equivalentes. En efecto, tal como están esca las fracines, sólo se
«conociera la tela utilzada hasta el momento, parecer que no e posible esta-
blecer la equivalencia entre 8/12 y 12/18, porque no hay ningún número natural
que, multipicad por 12, € 18 ni un número que, mulipiado por 8, dé 12 Sin
embargo, ss simplifica la facción 8/2, se estable que es equivalente a 2/3,
que ala vez e equivalente a 12/18.

Aunque más compleja, ola posiblidad para establecer la equivalencia es
analizar la relación entre mumerador y denominador de cada fracción.
Efectivamente, pr ejemplo, 8/12 es una ración tal que el numerador “entra”
na ve y medi en el denominador, cualqier or fracción que respete esta rela | Gras mus anaes
«ción será una escíura equivalente del mismo número. Por tant, como 12 tam | coges ut Aus
bién “entra una vez y media en 1 resulta que 812 es equivalente a 12/18 No | son stucnues semana
e espera que los mios produzcan Solos esta relación pero si es interesante que | LAN ares
«el maestro la sele como un modo de amplar el horizonte de relacione en las
que os nios se pueden apoyar, Como puede verse, un procedimiento “ilumina”.
aspectos y relaciones que no son uisbls" se la oto.

= La misma tarea se puede plantear para ottos pares de fracciones; por

ejemplo:
ca SR = 1510
= means

o

o

ir a al

23. eos siguentes tacones pra

Que san menors que 1 y cuáles podran tenes para que san mayores que 1. Ant ejemplos en los

cosieroscoesponients:

Fracción a completa [Facies menes der Fracciones mayores de

Te

sl

E

Se espera retira una regla que seguramente ya estuvo en juego en otras
Situaciones: $ el denominador es menor que el numerador, la facción será
mayor que 1; si el denominador es mayor que el numerador, la fración será

refleinar en cada caso sobre la cantidad de sok-
«ciones posibles apuntando a concluir que cuando se tata de completar el deno-
minador, para formar una facción mayor que 1, hay tantas posbilades como
ümeros (naturals) inferiores al el numerador, porque cuando el numerador es
gua al denominador, s forma 1 entero, Por ejemplo, 7. puede ser compet
do por, 2,3, 4,5 06, para obtener una facción mayor que 1.

Par formar una fracción menor que 1, el denominador puede ser cualquier
número mayor que el numerador, Será interesante analzar con los nos que hay
finies posibilidades. Los alunos suelen confundir “infini” con “todos” 0 con
“cualquier número, Será esta una oportunidad para comenzara diferencia estos
“asuntos: aunque hay infinita cantidad de soluciones (ualquier número a parti
‘el 8), no todos los números son solución (no lo son ls que están ente 1 y 7.

AAnlogamente, se podrá analizar qué sucede cuando se trata de completar el
numerador: hay iniias soluciones para esenbirfracciones mayores que 1
(pudiéndose realizar el mismo comentario que enel aso ateo) y una cantidad
Tinta —tantas como números menores que el denominador hay= para esnbir
‘una facción menor que 1. Por ejemplo para. , anotando nämeros mayores que
3 en el mumerador, se garantiza que la fracción sca mayor que 3/3; para que sea
menor que 1, es posible anotar 1 62 solamente.

26 GCBA Sev oe veins Dre Gare Panico Orn dr Cum

24. D mena maos

9) Los siguientes números se encucntran ente 0 y 3 Ubials enla colma que cars pond
25 = SA = 43 = 1915 = 1077 = 1307 = Se 136 = MÍ = 715 = 2719

CTI Ear ETE

Un recurso posible para ubicar una fracción entre dos números naturales
esto e oque require la area er "pasando" por lo mimeros enteros usan=
do fraciones con el mismo denominador que la fracción dada. Por ejemplo,
par ubica 13/6: 16 es 1, 12/6es2 y 18/6 es 3; por tanto, 13/ es mayor que
2 peso no llega 2 3, Usado un recurso de este tipo, el docente podria anakzar
que finalmente se rata de ver cuántas veces “entra 6 en 13. Ésto es equiva-
lent à establece el cociente entero ente 13 y. El cociente entero de esa divi
sión (2) indica la cantidad de enteros que pueden formarse con 1/6 y el resto
(1) corresponde à la cantidad de sextos que se pasan” de 2, Resulta entonces.
que did es también una estateía posible para resolver el problema, pero
probablemente esto recién sea visualizado por los alumnos a partir de un ani
‘ss realzado por el docente y no como estratega inca.

DY amcnumane
la tara siguente apunto a generakzar La posiidd de ubicar una faci ene dos enteros.
10) ¿Ente qué números enteros se encuentran cada una de as siguentes fracciones:

m ma au sas

ACERCA DELA COMPARACIÓN E FRACTIONS.

$a tarea de comparar Fracciones puede ser abordada através de diferentes recur
sos. Disponer de un único algritino de comparación que englobe todos los casos.
“posibles -educi ls fraciones a comin denominador paa luego compararlas=
(AQ étant económico. Sn embargo, también hay un "nic dc
{ico al movilizar diferents estrategas ya que se eniquecen las relaciones que

"los alumnos pueden establecer, Desde sta idea, explcitamos a continuación una
see de estrategias de comparación que no son generales pero que, a nuestro
“Juicio, son útiles para ampliar a perspectiva delos alumnos Se trata de que el
¡docente las vaya tratando en las clases con a intención de comunicar a los
alumnos que, para algunos caso particulares, existen recursos allenalvos que

a am al

25. En ra Pucon
$ mur most.
fo es. D 8.05

resultan más económicos que el aso general Aspitamos a que ls nos vayan
«construyendo una posición activa frente alas treas que se les proponen, psi-
ción que incluye decidi en cada caso cul es el recurs que resulta para ellos
más adecuado, sn necesidad de que queden pendiente e una única pobildad.
No se espera que mecanicen estos recursos: lograr que usen lo más conveniente
en cada caso e un objetivo a largo plazo que conseguirán sen el aula, ya pro-
pit de as diferentes actividades que se realizan, está presente el andiis de
la diversidad de posibilidades y de la economia que éstas procuran.

a) A veces, es úl comparar con 1. Por ejemplo, se tratara de comparar 1/3 y
715 es más fc analizar que 1/3 es menor que 1 y 7/5 es mayor, que "pasa" a
denominador 35 ambas facciones. El docente podria proponer una sere de pates
de facciones en ls que una sea mayor que 1 y a otra menor, con la intención
de identifica esta estrategia y también establecer los limites de u alcance.

1) También es “fácil” comparar fracciones cuando las mismas tienen el mismo.
numerador: 1/5 es menor que 1/4 porque para formar un enero con parts de
1/5 se ecesta 5 parts y, para formatl con partes de 1/4, se necesitan 4. Por
anto, las partes de 1/5 son "más chicas" y, como en ambos casos se ha tomado
‘una, entonces 1/5 e menor que 1/4

9 Quando se comparan dos fracciones en las que en ambas el numerador es uno.
menos que el denominador, result posible considerar cuánto le falta a cada
fracción para completar el enter. Pr ejemplo ara 9 y 3/4 puede pensarse
que a 8/9 le falta 1/9 para cl entero y a 3/ I falta 1/4, Como a 8/9 le falta
menos porque 1/9 es menor que 1/4), 8/9 es mayor

Las tareas de cálculo mental con sumas y resta que se proponen en esta activi
dad requieren la movilización de diferents recursos: pensar los números nau-
‘ales como fracciones inversamente, considerar una fración mayor que 1 como
suma de un número atural y una facción menor que 1, concebir una facción
en téminos de distancia a un cierto entero, analizar un céleul y obtener ifor-
mación sobre el resultado sin realiza de manera efectiva

La primer taea consiste en sumar o restar } a una fracción. Una estrateía
comveniente es pensar el 1 como una facción cuyo denominador es igual al de
la ración dada, Se proponen slo algunos ejemplos, el docente podrá seleccio-
ar cules realizar, lo considerara necesaño, podrá agregar otros del mismo
tipo. Será interesante explicita, luego de haber resuelto algunos ejercicios, una
estrateía que permita abordarlos rápidamente. Dicha estratega podrá exten-
derse luego para sumar una fracción más un número entero mayor que 1.

CH

26. Boy mcs vs

1) Calculé mentalmente. Nose puede scr a respuesta como número miso.

TT am gars
ET dise W 2-4
dire ETES a

2) Call mentalmente qué número debe colonic en cado aso para completar ls 4
culos
ase ar.
vine as.
dase ERES

La tara anterior eige pensar cuánto le falta a cada una de las fracciones
adas para obtener el número natural que se da ala derecha del igno "=". Un
recurso posible cs que los alumnos completen cuánto “fala” para cl entero más
próximo y luego agreguen lo que falta para el enero quese sola Por ejemplo,
Para obtener 1 parti de 1/5 hay que sumar 4 y luego S/S más para obtener
2 en toll hay que sumar 9/5 a 1/5 para obtener 2. Este trabajo está “emparen-
lado” con el quese propuso en la actividad anterior de ubica una facción entre
dos enteros acá también es necesano pensar la facción dada como un entero
ás “algo. Será interesante hacer explicita la relación ente ls dos tatas,tela=
“ión que no necesariamente los alumnos harán espontáncamente. “Mirar las
cosas de distintas maneras ayuda a adquitrlxblldad También será Interesan-
te pensar estos cálculos en términos de distancia de las raciones dadas ls es
peetivos números naturales propuestos.

Oi

3) Dec sin cle ee, set que:
A 11241 es mayor que 4) 92114 es menor que 2
1501 9/4 esmayorque7 5 189 esmayor que 10
9 5-54 es menor que 4 9 10 +147 esigualar2

G.C.B.A.

ir a 1

27. La tarea anterior punta a quelo ios puedan, sin realizar el câlulo efec=
vo, analizar y establecer si sono no verdaderas las afrmaciones propuestas Por
ejemplo, paa establecer que 9 = 1/4 no es menor que 8 deberán dase cuenta
de que, para "legar a8" a parti de 9, hay que restar AA Para realizar este ra
‘bajo resultarán de gran apoyo las relaciones establecidas a part de las tareas 1
2, y las ealizadas en la actividad anterior.

4) haot cata una dels siguentes taciones como sumas de un número entero más una tacón
menor que

am ain
u oo
a DEN

La tara 5 que se propone a continuación apunta a que los alumnos cons
{uuyan un repertorio aio con algunas fracciones

Recunir a usar fracciones equivalente en casos files" pr ejemplo cuan
do uno de ls denominadores es miliplo del or es una estrategia que se
‘espera moviliza y acerca de la cual se puede reflcionar

Zn

9) Cale mentalmente

a an
ETS 0-115 =
6 +113 = OS

En toda esta secuencia se espera quelo niños puedan buscar qué tareas de
las que ya resahieron ayudan a tesover una nueva y más compleja. Este es un
tipo de acbtud queno surge espontáneamente ente los alumnos y que sräInte-
resante que el docente pueda promover

Fam

28. En mao oc
pres
roe ca,
on (9027 mL
ecos
oo won

natural

Activi

Las taras que se proponen a continuación exigen poner en juego el concepto
básico de fracción El objetivo es que los alumnos vayan caborando relaciones
parles que permitan enftentar de manera más sólida el trabajo futuro con
multpicación de fracciones. En cadauna de las areas que componen esta"acti-
vidad” se proponen vanos ejemplos, el docente podrá elecionar algunos de
ellos yo agregar os del mismo tipo slo considera necesario.

EY mena mes ce

1) Primera parte: se propone que ls alumnos calcule mentalmente el resultado de mulipicaciones
de tipo Hm x, recuperando la dfnición de ración. Eletivament, neta aura los alumnos ya
an estudiado que es una facción al que veces In 61. Está cho quel hicieron art de

eentes taciones yn necesariamente en forma ent. Se tata ahora de expresar a misma

1a como una multiplicación: 1a sun fracción tl que 4 veces 1465, entonces ax = 1

a) taxa amas.
AS 915 x25~
CONTE

Ser interesante gneakzr estos resultados fn xn 1

‘Segunda parte: Por cuánto hay que mulipcr un número natural para obtener I como resultado?
(Po cuánto ay que muiphca una ración del ipo Jn pata obtener 17 Se trata demi a misma
relación antro desd ot costado.

dar ama
OS Kat Dax

2) Matipicr un acción del tip tJ por un mümro tal que pemit obtener como restado un met
enteo.

Call mentalmente pr cudnt hay que muet a cada una de as siguientes accones

< tee tat ne

aus

osx
m aan

aux.
ails.

= Estatara retoma y profundiza la anterior. Lada que se bus trabajar esque,
(Era "esa muliicatvamente dese una facción del po tn un nto, se

ir a al

29. puede “conseguir” primero llar a 1 y ego obtener el mimero buscado Por ejem
plo, hay que buscar por cuánto hay que mulipica a 1/5 para obtener 2 se puede
hacer primero 1/5x 5 que da 1 y luego multar po 2 Componiend las dos mul
"plcaciones resulta que 15 x5 x2, que es gual a 15 x 10, da como resllado 2
ES importante vsalta que “mullíplicar y luego volver a mula” es equivalente
a "muliiar por el producto”, Es un eo habitual en lo alumnos sumar ls fac-
tores en lugar de mulipeatlos po so será importante someter a discusión as dis
"tas estrategas que surjan en a cae,

3) Setata de que os anos esten una estrategia par “pasar” mupkcand de un número nata

rala ott nümeo natural Acá también se suite la utiizació del como intermediario para dicho
pasaje. La primera parte retoma la tra para luego extender, Como siempre, el docente puede
inventa tos ejemplos de mismo tipo 0 seleccionar slo algunos dels quese proponen, en fun-
ión desu propio proyecto

Cae mentalmente por cuánto hay que mutíplicar a cada uno de los siguientes números para
bene el estado indicado:

A] ax

Osx es dons 45x24

Para realizar la segunda pare, los anos deberán comprender que, por
‘ejemplo, 4x 1/4=1 yse quere obtener com resultado 2 (el doble de 1) man
teniendo uno de fs factores (4), deberá dupliare el oto factor: 4 x 2/4 = 2.
‘tra manera de pensar por cuánto hay que multiplier 4 para obtener 2 es pen=

lo para obtener y lego mulliplicar por el resultado
x 2h.

La secuencia delas res tareas anteiore apunta a tratar una idea que es
‘iil para los niños: en el conjunto de ls números taconales siempre se puede
pasar multplcatamentede un número otto. Pr hora, es "pasaje se pro-
pone considerando número naturales para los números de parida" y de “e-
ada", aunque, obviamente el acto debe ser una fracción. Esto puede resultar
extraño a los alumnos porque “rampe” con ideas elaboradas a propósito de los
naturales pero que ya no son válidas al incluir os racionales: por empl, no hay
ringün númeso natural que multipicado por 9 dé 4; en cambio, 9 x 49 = 4 Por
«so, en un primer momento, ls niños suelen responder “no hoy ningún número,
no tiene solución”.

Como mostramos, es importante que los alumnos comprendan ta conve-
iencia de usar 1 como itermediaio.

CH

30. DY manon man ci MED IE

4) Cata ob
1 ss
w we
an a
us m
Se trata de que os niños encuentren era regultidad que es permita el
bora la estrategia de duplicar los numeradores Muchas veces los chicos suelen
escribir que el doble de 1/3 e 2/6, sin notar que están proponiendo una fracción
equivalente la dada. S no aparecer en a clase, sería interesante que el docen-
e comentara est respuesta para someterla à anis.
ES posible que este problema no genere dificultades ya que puede tratarse
amente
[EGY waren nero mc na oa
5) Cale la mis de:
m 1B
Y 1
us 1

Se espera que os alunos deerminen que, par call mitad de una fac

«ión con numerada (aunque larga general e propone tratada pe para
«ste caso) Hay que dpcardenominador Pare pensa al vz los alumnas necc-
ten volvera usar como referenda alguna situación concreta de par: perto
anchocolote en cinco pate ole cada porte es 5; coda una de stos potes
¿E Patepolo mtod queden 10 arects que omen ado cl choot.
Descontextuatzando un poco la eetenci:

ir a 1

31. Descontextualizando un poco mis aún: si 5 x 1/5 es 1, al considerarla mitad
de 1/5 que es uno delo factors, para oblene el mismo resultado, el oto fac-
tor, que es 5, debe duplicase Resalta entonces que 10 veces o mad de 1/5 es
1.1 cual indica que lo mitad de 1/5 es 1/10.

9 Cae la mitos de:

REY Mus cA OV DE LA ACE FO UNE TU.

a am
vus om
aaa na

Se apunta aqui aque os nis puedan generalizar la estrategia de duplicar
«denominador y dejar fijo el numerador. La tarea es más dificil que a anterior
porque los numeradores no son 1. Para calcular la mad de 1/4 e esperan tazo=
ramienos de este po: “como lo mitod de 1/4 es 1/8 lo mitad de 3/4 es 38°.
AAhora bien, en los casos en los que el numerador es pa, también se resuelve
la tarea haciendo la mitad de dicho numerador: a mitad de 49 es 2/9 porque
219 2/9 es 4/9. Habrá que comparar entonces 2/9 obtenido mediante la tr
tegia de hace la mitad del numeradoh con 418 [obtenido mediante la estrate=
gi de duphcar el denominado).
A raiz de stas tareas será interesante analizar con ls alumnos que:

+ dada una facción, se hace la mitad del numerador yla mátad del
“denominador, se obtiene una fracción equivalente a a dada y no su mit
+ 3.5 la mitad de 6, per 1/3 no es la mad de 16, elta.

SI el docente lo considera convenient, podrá extender sta tareas para el
cálulo del tpl y la tercera parte,

A continuación se propone una fracción y rs alternativas para establecer el
doble la mitad, Las opciones propuestas en cda caso recogen serres más fre-
cuentes que los nos suelen cometer en relación con las raciones cuando exten-
den a este domino numérico ideas construidas propósito de los números natura»
les. Por ejemplo, pensar que, para calcular el doble de una facción, es necesario
operar simultäncamente sobre el numerador y el denominador

A renner erry

32. EGY Mam nn ms ro o non

7) Pra cada fa ela guiente aa seña cul esa respuesta conecta y exis cómo I pensaste:

dob de 45 es as ano ano

amid de q es 45 ao 215

La argumentación necesana para aceptar las respuesta conectas yrecha-
a ls que no lo son constitue un espacio de producción de relaciones mucho.
más ico que la simple actividad de optar y veia la respuesta. Aun cand los
‘alumnos hayan respondido correctamente, es productivo que el docente pro-
mueva ta explcitación de ls razones por las cuales no son válidas ls opciones
incorrctas, De al que resulte muy ya la discusión posteñor a la elección
que cada alummo pueda realizar

[EG sermon no vu me oro nam.

8) Did facciones de tip Vn por números naturals cunesquica.

Catral mentalmente

pire 5:2
ES ansias
ES ONE

La idea que se juega es que 1 (en términos para ls docented) se vide | eat
por ejemplo en tes pares se tipca la cantidad de partes necesaias para. | man ucmune
reconstmir el 1, o cual jstifica que se tipique el denominador Esta ea está | cous roo aa nt.
presente en muchas dels areas propuestas. ore

Op unse 1 ios sten faniaizads cn non de ción en un conecto

continuo, "pasa" a callar la fracción de una colección suele presenta dificul-

® tades Las mismas pueden explicarse cuando se toma conciencia de que la tarea

implica reconocer al mismo tiempo dos unidades de medida: el objeto de la

+ coleción yla colección complet. As, por ejemplo, para calcular 1/3 de 15afa-

(torna ts iy 1
alfajores

E
E

ne een 1 (à

33. rc cua
Done
Mur Ana
os na 320
D reno

En a siguiente area se plantean enunciados en los que hay que calcula frac
ones “ies de una colección: mitad, cuarta parte, ercera parte, ete

La primera parte apunta a recordar el tema; cn la segunda, se propone el
cileulo de diferentes fracciones de la misma colección. La intención de esta
segunda parte es establecer con lo alummos algunas relaciones ya tratadas: por
ejemplo, 1/6 de 18 alfajores se puede calcular dviiendo 18 por 6, pero también
e puede pensar que 1/6 de 18 alfajores la mitad de 1/3 de 18 alfajores a que
A6 esla mitad de 13. De esta manera una delas relaciones actúa como con-
ol dela ota. Es importante resaltar que esto tene sentido cuando se trabaja

sabre la misma coleción

FN ru EO 0

2) omit de

ores,
1 sx parte de 14 ajos,

1) Primera parte: Cuánto es?
a mit de 12 aos,
1) eur pare de 20 alors,

¿la mitad de 16 cames,
(fa cuarta pate de tras.

a teca parte de 18 los,
0 io novena parte de 18 ajos,

Se trata ahora de exter la relacions anteriores a cäkubs con fracciones
de numerador mayor que 1, apuntando a que los anos se basen en que por

ejemplo, 23 es el doble de 1/3, 4/3 es cuatro veces 1/3, ete De esta
1/3 de 9earamelos son 3 caramels, 2/3 de 9 caramels son 6 (cl doble.

5 Pene on ca

2 Caluld mentalmente:

écustes arme ¿cuántos carame-[¿Cuitos came
Sisctienen- |g sen 1/3 dela | fos son 23 dela | Tos son 39 dela

colocado? | "colección? | olsen?
ETES
ETT
caramels

¿Cuántos crane: ¿cuántos crame-[¿Cuámtoscoame- ¿Cuántos came

Stsctionen hs sn 1/4 deta | ls son 24 dela | os son 414 dea | ls Son 74 dela

con? | "colección? | "colección? | coteción?
LEDO
DETTES
6 cames

F

34. Actividad

Se propon un trabajo que “ponga a punt" ls relaciones entre facons deci IN
mes y la unidad (10 x 110 = 1;100x 1/100 = 1) y entr distintas facines N
decimales (10x 1/100 = 110; 10 11.00 = 1/100,Diponc de estasrelac-
‘es "beneiiar el bajo con expresiones decimales ala vez que es una opor
"unidad paa seguir 'vsitado” des básicas relabvas al concept de facción.
En st sentido, será interesante que ls alumnos anakcn cuestiones como
las siguientes: X

E res
>

A1 ¿Cuántas veces hay que sumar 1/10
1 ¿Cuántas veces hay que sumar 1/100 aro que el resultado se 17
+) ¿Cuántas veces hay que sumar 11.000 para que e resultado sea 17

4) ¿Cuotas veces hay que sumar 1/1 para que erste se 2? ¿Y para que el resultado se 57
+) ¿Cuántas veces hay que sumar 1100 para que e restate se 27

Las preguntas anteriores se pueden formula apelando ala multiplicación.
Porejemplo, "¿or cuánto hay que multpiar 1/10 para que el resultado sea 17

El docente puede generar preguntas de este ipo "a voluntad", es decir, pd
los alummos que compongan un número entero con décimos o centésimos

od Fico ems

a
a) ¿Cuántas veces hay que sumar 1/100 pata quee rsultado se 110?
1) ¿Cuántas veces hay que sumar 11.000 para que e resultado sa 11007
9 ¿Cuántas veces hay que sumar 1/1 900 ataque el resultado sea 110?
+) ¿Qué pate del décimo cs un centésmo? ¿Yun mismo?

Una vez que haya cierta fami con ls relacione ente facciones decimales con numerador 1 se
pueden proponer ars relacione. Pr ejemplo:

9 ¿Cuántas veces hay que sumar 1/100 para obtener 3107
1 ¿Cuántas veces hay que sumar 11000 pata obtener 21007

G.C.B.A.

ir a =]

35. Como resultado de cálculos como los anteriores se espera establecer ste
cones de valor entre décimos y 1, ente milésimos, centésimos y décimo, ete:

1OX1MO=1
10x1/100= 1/10
10x 1/1.000= 11100.
10x 11100 = 1/10
10x 11.000 = 1/100,

Se propone a tara de ubica una fracción decimal entre ds números nat
tales Se trata deidentficar un modo rápido de hacerlo a prt de la Facilidad en
los cálulos que permiten los denominadores que son potencias de 10. Por ejem
plo, se puede pensar que 19/10 es 10/10 + 9/1O y establecer, en consecuencia,
que 19/10 está entr 1 y 2

04 cons cs

D ¿Entre qué números naturales consecutivos € ubican ls siguientes fracciones?

9.100.
9.148100.
dao.

94700
4 300/00.

Ubicadas ls fraciones entre dos números naturals consecuivos se puede
preguntar de cuál de los dos números naturales está más ceca,

nen ann

36. _______Calculo mental con números MW
decimales

i

(Como venimas planteando, ls situaciones de äkulo mental son un modo de
profundizar las relaciones numéricas que ls alumnos van elaborando, al tempo
que constituyen una manera de revisar y mantener "actualizado el tema, En este
sentido ls freas que se proponen continuación han sid formuladas bajo el
supuesto de que losalumos ya han trabajado con escituras decimales y cono»
(en pero se pudieron haber olidado- ls relaciones que hay que poner en juego
‘para tesolveras Para poder controlar su trabajo, básicamente os alumnos debe-
rían disponer de las siguentes relaciones:

+ la primera posición después dela coma corresponde alos décimos, la segun-
da a os centésimos ete;

‘+ las escrtuas 01 y 1/10 son dos modos diferentes de notar el nismo nûme-
10: del mismo modo, las escñturas 01 = 1/100; 0001 = 1/1.000, ete.

+ 10x01=1,10x001=01;10x0.01 = 0/1; ete
+ 01 esta décima parte de 10/01 es la décima pate de Qi ete
1:10= 0:04 : 10 = ao: ete

{Un modo de "habla" sobre las relaciones antriores puede consistir en plan=
ar algunas preguntas que den lugar a reflexiones obre la notación decimal.

37 mes ss mee ss

1) ¿Cuántos veces hy que sma O pra obtener 17 ¿CU e el eta de mutica 0107

G.C.B.A.

ir a 1

37. Luego de que los alumnos obtengan que 01 x 10 es 1, se podrá recordar que
es resultado indica que O1 es 1/10 de 1. Talvez sea “cle” analizar cuánto es
09 + 01. Algunos alumnos inssten en suponer que 09 + 0, es 0,10 dando
cuenta con esta respuesta quese olvidan" del "0 y se manejan como si est
vieran trabajando con números naturals La referencia à los "décimos” puede
constituir un buen punto de apoyo para ayudara revisar ese cor: 9 décimos,
más 1 décimo es igual a 10 décimos, que es 1. Proponemos a contimación una
serie de preguntas que apuntan a revisar y exphiar relaciones entre posiciones
contiguas y no contiguas ena notación dedmal El docente seleccionar cuáles
le resultan interesntes en función de los conocimientos de sus alumnos.
Cualquiera sa la selección que se rca, nos inerea resaltar que los argu-
mentos que ls niños proponen para fundamentar sus respuestas suelen ser una
fuente muy rca de producción de relaciones, de comprensión y de profundiza
ción del trabajo:

+ ¿Cuántas veces hay que sumar OT para obtener 17
+ ¿Cuántas veces hay que sumar OO! para obtener 017
+ ¿Cuánto es 401 x 107 ¿Y 001 x 1002, tcétera.

+ ¿Cuántas veces hay que sumar 0, para obtener 3 como resultado?
+ ¿Cuántas veces hay que sumar 01 para obtener 1,2 como resultado? ¿Y
para obtener 2,3 como resultado? ¿Y para obtener 12,22

+ ¿Cuántas veces hay que sumar 0,01 para obtener 3 como resultado? ¿Y
pars obtener 02 como resultado? ¿Y para obtener 008 como resultado?
+ ¿Cuántas veces hay que sumar OO! para obtener 328 como resultado?

A
nos que:

ir de una pregunta como la anterio, puede analzarse con ls alum-

328 =3 +02 + 008 = 300 x DO! +20x001-+8X001 = 328x001

as.
CE
9 503
04363
à S001 =

309 mans mer mse on

2) Esl ls quienes eros como una descomposición de número entero yracines decimales:

CH

38. Dado que diferentes descomposiiones son posibes para cada uno delos
números la puesta en común será una ocasión para analiza su validez a partir
de a explcitaión de equivalencias.

Por ejemplo: 6,24 puede ser 6+ 24/100 6 642/10 + 4100.

Es interesante detenerse en la importancia del cero, conftontando su papel
na escritura decimal con lo que sucede enla escritura fraccionar. Mientras
en esta tia no aparece ninguna notación para indicar que no hay unidades de
un orden dado (por ejemplo, 5.03 = 5+ 3100, no require de ninguna marca que
‘stale en la escritura fracconaria la ausencia de décimo) en los números dec
males es necesrio indicarlo con un cero.

os análiás de esta actividad seirän de base als cálculos sencillos quese
plantean en la actividad siguiente

Como conclusión de la actividad, se puede pedir los alumnos que escriban
las relaciones en as que se apoyan para hacer ls cálculos. Estas anotaciones
podrán rctomase cuando sea necesario,

Actividad

Con frecuencia, al comparar expresiones decimals, muchos alumnos cometen
or como resultado de intentar extender alos números decimales algunas.
ideas que han elaborado a propósito de ls mümeros naturales. Un ejemplo tipi-
0 seguramente el lector lo reconocerá inmediatamente- se da cuando los
“alumnos dicen que “36 es menor que 2,28 porque 6 es menor que 28", Pareciera
que los niños que producen argumentos como éstos pensaran los decimales
‘como dos números naturales separados por una coma, y que esto ls permit
tar la parte ener yla pate decimal de manera independiente.

Notemos también que los niños han aprendido que, entre dos números natu=
rales, es mayor el que se esrbe con más ts, esta propiedad del sistema de
notación para nümeros naturales deja de ser Vida cuando se trabaja con los
meros decimales.

El intento obstinado de ls alumnos por aplicar a los decimales aquello
“aprendido para ls naturals hace necesano proponer staciones que es permi-

fan poner en juego lo que saben sobre los naturales, analiza a validez de esas.
relaiones en el campo de os decimales, rlativzaras, definir los límites de su
funcionamiento, descubri taciones propia de estos nuevos números.

7 El trabajo en este y otto problemas sobre orden en los números decimales

(reinó os stos an oumeno qu open sados

nsieradas en sus decisiones. Como parte de la construcción de justificaciones

válidas, se busca también rechazar algunas relaciones errónea basadas en

modes de pensar ls decimales “caleados sobre los conocimientos construidos
par los números naturales.

©

e al

39. 1 Complets cm <i>

9) 410.08
2.1510
à 310 ..0007
a 3410..2
4 anoo 0956

2 Complet con <> 6 =

25h03
D 6 +ah00. 81
9 TANDO. 78
95 +27N00..54

GY reco ccs mss seau

9124810 + 3100 12098

Bu ra Fueron
nes us +
Jers pas cc.
ere

Y nom sents

las taras y 2, que solicitan comparar una escritura fracconaria con una
esctura decimal, vuelven a rar a escena, ahora para comparar números, las
relaciones entre ambas notadones la primera cita después dela coma repre-
senta la cantidad de décimos; a segunda, la cantidad de centéimos, et. Desde
sa idea, se puede stablcer, por ejemplo, que 22.05 3 + 2/10 y que, por consi-
guiente, 3 es menor que 3 + 8/10. La misma relación puede pensarse transfor=
‘mando en eseitura decimal 3 + 510.

na próxima tarea se proponen algunas posbles comparaciones que apun-
an a poner de relieve ciertas reglas:

+ Si dos números decimales tenen diferente parte ener, es mayor el que
‘ene mayor parte enter.

+ SH las pares enteras son Iguales, es mayor aquel que ene mayor la ca
delos décimos yeso independientemente de cómo "continia" cada número. Si
los décimos fueran iguales, se compararán los centésimos,etétera

Los números quese proponen apuntan a reflexionar sobre aspectos acerca
delos cuales los alumnos suelen dudar Se plantean sólo algunos ejemplos y el
docente podrá incl oros similares slo consider neces

RT

40. G.C.B.A.

ES) ones Ge ON EN LOS os OMS
3) Completa con <> 6 =:
2275.48

En st cos, Is alumnos podran du

o el hecho de que 275 ine tes citas y 43 ene dos.

994.38

Este es un ejemplo no problemático ya que “cal” bien en los razonamientos que suelen haces los
ios: 4 <6 y 24 € 26. La inención es hace funcioner algunas reglas ambien establecer ss In
tes Seat de que los lımnos empiecen comprender que e necesario comparas “ta por
Ser interesante poner e ei la comparación ante cn, pr ejemplo la comparación ete
345 con 36. Ac se pola considerar que 10+ 5/100 es menor que SO y, or tant, menor que
10, Seguramente “vendrá bie” recordar que 1/10 6 110 de 110 y que, en consecuencia, 10
es 1/100 es 10.

13420 343,

Seguramente en este empl muchos alumos dudan, Un camino posible es compara 410 +
21100 + 81.000 con 4/10 3/100, ¿Cómo establecer que 2100 + 91.000 es menor que 3100?
Habe que coordina vais relaciones:

3100 = 2100+ 1/100
101.00 es 1100

9h 000 <10f.000; por anto
9h 000 < 11100

21100 + 91.000 < 100 + 1/100
2100 + 91.000 < 100

Es proble que ete conjunto de clins result arduo para Los am pro es nuestra it
«ión starts compleidad iherente a algunas comparacons, complejidad que muchas veces
«queda oculta en ela quelo niños no teminan de ented

467.60

‘Ad sed importante analzar par Qu 6,60 = 66, apoyándose en la descomposición decimal:
6 + 6110-07100 » 6 + ro.

990.0

Der a a al

41. 4) 01den os siguentes números de me

265 28 264 27 270

En esta tre se agrega la compljidad de sar vais relaciones al mismo temp. El docente
reproduc jriis de est tip fo consider ces, For ejemplo ordenar ls Siguientes náme=
ros de menor a mayor

am 42 ae ae

5) Complet el espacio en blanco con una cita, de modo que ls
maya:

0.5

u ss e But

Algunos números admiten més de una respuesta posible. Std interesante analizar cn los alumnos
cles son ls diferentes poses para cada cir brad

eos siguentes números para que queden odendos de mayo a meno.
ms mt Der")

{te problem amie free espuestas. Por ejempl, primer número poda se 2357 6235.

escrituras decimales

Los números decimales.

sumandos y poner el", s se sigue apretando varias veces la tech

‘Otas calculadoras hacen lo mismo al seguir apretando la tecla +".

constatar que la anticipación fue conecta

Ena siguiente area se propone explotar el uso de las catuladoras no cient
‘as para poner de relieve relaciones aritméticas que subyacen las esrituras de

En la mayoría de las calculadoras simple, luego de hacer una suma de dos

‘sigue sumando el segundo sumando tantas veces como se presione la teca.

‘Aunque la tarea que proponemos podría realzarse sin calculadora, para los
“alumnos resulta más estimulante hacerla usando este instrumento, sobretodo si
primero tienen que anticipar ls resultados sin calculadora y después pueden

CT

42. Jo m

»
1) Sisehace 3.6 401 se conti apretando lea
siamente?

¿qué ndmeosiin apareciendo suce

Se pes identifier cómo se modlica la suma de ts dimos alsma 0, eqn Sadik cir
9/0 un número diferente de 8. Una tare como sta se puede sept en diferents ocasiones A
continuación proponemos un “tal de jrs similares par que el docente sl según
sus needs,

1 se hacelo mismo que na) per patient del número, cuántas veces habrá que sumar 04
paca ga a 6, y para lear 4107

AS se anota 25 +02 = ye cntina apretado la teca "=" durante 10 veces, ¿qué números

paa ga 9107

9 Sscanota “8.5 +055 =y seconds apretando ta tecla =" 5 vecs, ¿qué men in pare
‘endo en I cakulndra?

9 ise sum retsadamente 08 a part de 11,2 durante 8 vecs, qué números irá aparecen
na calada?

1) Ss parte del mer ¿cuántas veces hay que sumar 03 para Negar a 57
IS anota el número 6 ys suma 20 veces el número 0, ¿qué número se obtiene?

1) S se parte det número 8,6, ¿cuántas veces hay que sumar 0 para Negar à 92, ¿y para ear a
107, ey par ear 2207

D Sise parte dt número 7, cuántas veces hoy que sumar 02 para akanzu el número 107

1) Separe del ner 10, se rest sucestramente 1, ¿qué número in aoreciendos e rests

. nee

=

tos cállos que siguen apuntan a analwar cómo se van modificando las citas de una

[Sua decimal cados suman sucesramete “eines ysis tea uses

poner de manifiesto ls relacione de valor ente las diferentes posiciones en a organización

de la notación decimal delos números racionales Uno de los nimeros considerados (24485)

ha incluido en todos los casos para reaar las modificaciones de la escítua en función de

os diferentes números que se van agregando. Será interesante hacer explicito con los alum-
Dun

Der a a 1

43. Del mismo modo en que fo venimos haciendo, se propone una lista de posibles ejercicios
entre os que el docente necesariamente deberá opar

ÉD sonora enorme maa come rmns

2
3 Complets qué nimess id apareciendo en la akuladra si, después de anotar el número dela
cam gris, s suma sucestamente 001

306
127
xa
Eu

1 Complet qué números in apareciendo en La cakuladrn $, dspués de anotar el número dela
com gts s uma sucestamente 05:

9 Complet qué números in apareciendo en la cakuladra si después de anotar el número dela
column gis s uma sucesvamente 001

3m
127

Exa
El

4 Completa qué números in apaecendo en la caculadora si dspués de anotar el número dela
aa gis s suma sucetamente 0,005

vos
928
LE
Ce

La area que se propone continuación es similar ala anterior per más ex
gente par los alumnos, ya que se trata de testar sucesivamente algún número.
de manera de ir poniendo de reve aspectos de a organización decimal de as
escritura. También aqui se spe el 24485 para que se analicen las diferentes
"modificaciones en función de los númetos que se resta.

Como se ha señalado repetida veces, e incluyen más ejes de lo que es
posbe realza, con la intención de que el docente pueda slecionar o eventual»
mente resewar algunos para los alumnos que necesiten tratar más esto asuntos.

44. ON sur AD PA ALZA STUN CES

a
4 Complet qué números in apareciendo en a cakuladr i, dspué à
colina gis s testa suesvamente OPT:

Ez]

297
LEZ

ta el número de la

near € nomeo de a

1 Complet qué mers id apareciendo en la cakuladra si después
column gis s eta sucesivamente 095:

3m
127

EXT

1 Complet que nümeros rn apreciendo en a caleuladora s, después de anotar e número dela
column gis s esta sucesivamente 0001

4 Complet qué números ir apareciendo n a caeuladora si después de anotar el número dela

columna gs esta sceshamene 0705:

ENT
1258
LE

LL

A pa els as queen dee ese qe pa sao
ir A oes peo ;
1 pl a ma 0. cnt sa read pr >
Sin On ana y tran na con pote
tr? sma on in, Reme sts eee ae
rot apr dels dst ses sat pcs en er
al qb seme compen conta ce ps tr gs
LL unt eri anos cope ce F
“vatente sumar 0,9 a sumar 1 y luego restar 0.1; etcétera.

G.C.B

e al ê

45. JD se mone ci om es
4) Busch una manera rápida de resolves siguentes ckuas

a
13409
1524 20-
1238-4089 =
128 +099
257 +399

D
25-092
35-192
10-49

Pens un plein que psmita oto chico usar el método que vos usaste par ese fie
mente stos celos.

(9 Prope otras sumas y resta con números decimales como as anteriores, para as cuales reste
‘i pesar en un número entero, nercmbiaas co un compañero y anote en qué mero se
ape cad vez y qué cálculos hacen para ese.

Los problemas que siguen apuntan 3 relacionar el análisis de significado de as tas en
los esrituras decimales con las operaciones de suma y resta. Se espera pone de eleve la com
posición adiiva de los números a partir de cantidades de diferente orden: decenas, unidades,
cima, centésimos, milésimo, ete

07 an ms

3) ¿Cómo se podian anotar en I clelaor los siguentes números usando solamente ls teclas
nov

aa
rasos

©) ¿Cómo se poda hacer en 1 cakulador, sin to
eos sl se pueden usr ls elas 150; y

lega a ceo a parti de los siguientes

san

20086

nen ann

46. A través de la actividad que sigue se buses llevara los alumnos a iden-
tiear quelo que conocen sobre los números naturales acerca delas sumas.
que dan 10, también sirve de apoyo para pensar sumas de décimos que dan
1, sumas de centésimos que dan un décimo; o de milésimos que dan un cen-
Lésimo. As, por ejemplo, es posible basarse en 3 + 7 = 10, para saber que
03 +07 = 1 porque 3/10 + 710 = 1O/10= 1, 0 también que 094 + 006 = 01
porque 4/100 + 6/100 = 107100 = 1/10; etcétera.

Fn

7) ¿Cuánto hay que suma

cada uno dels siguientes números pra obtener 17
PET
Dos.
CPS

9 Cakes:

006 +008 =
002 +008 =

9 éCunte hay que sumar a cada uno de os guientes números para obtener 0,7
2095+ 01
[Ir gern
à 040 +. = 04

(cuando los alumnos realizan cálculos, es importante pies que estimen el
Orden de magnitude resaltado. Esta anticipación uega las veces de conto sobre
la resolución Por ejemplo, 08 + 20 no puede superarlos 21; 4 a 27,75 e reta
5, no puede dar un número menor que 27 porque se le está restado menos que
démos.

Dentro de repertoro de cálculos que los alumnos conocen para los números
naturales, se encuentran sumas tales como:

25 +28 = 60
26428 +25 =75

G.C.B.A.

A A

47. y tetas asociadas els, como

100-25 = 75
100-75 = 25
75-50-25
elo

Estos conocimientos podrán usarse par los números decimales p
ileus como:

pensar

025 +025
0.25 +506025 +05
028 + 025 +025 + 0.25,
1-075

0005 + 0.075

01 - 9025

elo

La tarea siguiente apunta aque ls alumnos se den cuenta de que, para llegar
al número natura más cercano, es suficiente halla el complemento a de la parte
decima.

Sas GE a Pa ALAN ES BE

10) ¿Cuánto ay que sumarle cada uno de ls siguientes mets para alcanzar e número natural más
cercano?

2.
v0
a
006
9 ass

En as tareas que siguen, se busca extender las relaciones a propósito de los
complementos de números decimales al entero más cecano, a olas transforma
ones adiivas que permitan establecer cómo "i" de un mimero a to. AS, por
ejemplo, para averiguar cuánto sumar a 275 para obtener 282,5 puede pensar
en sumar 05 para obtenet 28 y, luego, 02 para obtener finalmente 282. Se ha
sumado entonees 05 +02, 0 se 07.

Peares nas

48. or sas UR CORT PA ALZA SUS GLS

la cons de la derecha:

11) Completa l guiente cuadro on ls celos que pesmirian obtener e estado que aparece en

S anoto ete número yiesimo ooo

cn calado
= Ena
E Er
En ET
Ez] Er
So n
5925 10

1a colma de la derecha:

12) Complete quen cuadro con ls celos que pesmian obtener e estado que aparece en

anoto ste mere HT ago
nl css.
EJ SE
EX Er
Ex 3806

13) Completa colina de centro con un kul que permita obtener elresultado que aparece en a

tercer coımna pari del número que se indica en la primer:
San vio es

en neato,
‘3751 ENT
3751 oy
ENT aus
375 370

14) Anot en cada cairo vc qu cel se podra har enla
part de mero de squid

eze como read el número dela dscha:

Calculadora cada vez para que, a

Ex Ex E

EU) EE)

G.C.B.A.

49. La tarea que sigue apunta a que los alumnos analicen ls cálculos sn rea
anos de manera efectiva y puedan estima a parr de dicho ands los esl
ados son mayores menores que un número dado. La riqueza dela tarea radica
en la cxigenda de producir algún argumento que justifique la respuesta, Por
ejemplo, para decidir 625 + 12,5 es mayor o menor que 17, se esper que los
alumnos puedan establecer que 6 + 12 = 18, por lo cual la suma en cuestión debe
ser mayor que 17.

9 625 +1285 es mayor o menos que 17.

1 724243 es mayor o menor que 3

913764235 es mayor o meno que 1.

los problemas 16 y 17 tienen por objetivo caborar estrategias para calcular
doble y mitades para los números decimales. Se busca llevar a los alumnos a
reconocer que, por ejemplo, a parir del conocimiento del doble de 3 pueden
determinar el doble de 03. Será necesa presta atención a lo que sucede con
«el cálculo de dobles que requieren agrupamientos; por ejemplo, cl doble de 8.
Es comin que algunos alumnos respondan que es 0.6. La aparición de estos
es =0 su presentación por parte del docente para er anakzados- es una
ocasión sumamente fuciera para volver sobre el significado de estos números
110 + 8/10 = 16/10 = 1 +G/10, Por oto lado, se os puede remit al doble de
(5 para anticipar que el doble de 08 será mayor que I
Fl doble de 0,5 puede pensarse de diferentes manera:

+ el doble de 0,7 más el doble de 005;

+ como 075 = 0,50 + 0.2, eldoble de 0,75 es el doble de 050 más el doble de
025;

+ a part del conocimiento sobre e diner, el doble de 76 centavos es igual à
$1.50;

"teten.

Respecto del cálculo de mitades, algunos números resultan més sencillo que
tos Para calcular la mitad de 12 es posble pensar que 06 + 06 = 1.2, apo-

vändose en 6 +6 = 12; o hace la mitad de 1 más la mitad de 02, e decir 05
+01; etter
También puede resultar fc calcular la mad de 006 aunque puedan apa

ce eres respecto dela posición de los números, dando 03 como respuesta En
es cas, se volver sobre la sigrficaión de a escritura,

A erent eer erry

50. En cambio, calcular la mitad de números como 1.7 puede resultar más com
co. Una posibilidad e que los alamo entiendan que 1,7 eso nismo que 1,70
y calculen la mitad de 1 más la mitad de 070, resultando entonces 85.

El clculo dela mitad de un número como 07 también puede sr fic ya
que enel resultado se “agrega” una cita ala parte decimal,

As

16) Anot lobe de os siguientes nimens: | 17) An

201 at
bos one
90 928
aux 20
dus 90
12 a3
Der 932
mass maa

En el conjunto de problemas que configuran esta actividad, se retoma y avanza
sabre el abajo de comparación y orden ya realizado, Se tata de comenzar ra-
bajar la idea de que, entre dos números decimales, siempre cs posible encontar
‘otro nimero decimal. Esta idea rompe con lo quelo alumnos ya conocen y es
válido para los múmeros naturals. Esta profundización, entonces, alcarza una
introducción a la idea de densidad en el conjunto delos números decimales idea
«compleja que ls alumnos teminarán de elaborar más all dela escuela primaria. ee

37 beret mous ous

1) Una primera actividad puede consisten proponer alos alumnos que ubique un número dei
tr os enteros, Damos algunos ejemplos

Ete qué números enteros se encuenta los siguientes números decias:

3.35. 9.1398 9.390. 3.0908.
u. 0.00 0020 0906.

G.C.B.A.

ir a 1

51. La tarea que se propone a continuación requiere ubicar algunos números
decimales entre dos decimales dados cuya distancia es "próxima" (del orden de
los décimos o de los centésimos). Est hace insuficiente analizar so a parte
entra y exige poner en juego estrategas de comparación que involucran las
relaciones de valor de la escuitura decimal. Una idea que subyace a estos pro-
blemas es que, entr dos números, por próximos que sean, pueden intercalar
odos ls decimales que se deseen agregando ctas decimales.

D ¿Cute de los números que aparecen continuación e encuentran entre 24 y 25

246 255 241 28 20

A propósito de a tarea anterior se puede conclut que cualquier nimero de
la forma 24. esti entre 24 y 25, y que un número dela forma 2.5.5 mayor
que 25. Insishr en stas relaciones bla a repensar odo el tiempo los signi
cados de las escrituras decimales.

307 vrs css

3 Ubi fos números del siguente sta en I columna que cos
una colma y Los en ingun

a Algunos pueden en más de

O tos? 25 tse

Enteoys Inve22yss ] tmvesyiozs [ tmucoyo,s

3 Cues son Is dos números decimales con
siguientes números?

sola ita después de a coma más cercanos alos

3 308 ES as

UA ¿Cuáles Son Is dos mámeos decimales cn sl ds citas después de I coma más cercanos
ada uno de ls números de a sta anterio?

A man on

52. El amäbsis de este problema apuntar a resalta que, pensando en décimos,
3 se encuentra entre 29 y 31; pensando en centésimes, 3 se encuenta ente
299 301

Notemos que, sien entre dos decimales hay infinitos decimales, i e are=
gan resticiones como, por ejemplo, Imitars a ds ias después de la coma,
la propiedad de la densidad deja de ser válida,

Los problemas que sguen solicitan intercalar nümeros decimales entre dos
ados; es dect, en ellos se establecen ls limites de un intervalo dentro del cual
los alumnos deberán proponer números. Existe una infinidad de respuesta vi
‘das para cada uno de ellos Será interesante retomar diferentes producciones y
“argumentar cómo es posible estar seguro de que son conectas, s decir, cómo es
posible saber si os números propuestos se encuentran entre los números dados
y cómo estas razones pueden establecerse a part de un alii sus escritura.

Como mencionamos anteriormente, la telacién de orden presenta particu
vidades dentro de los números racionales en relación con lo que los niños han
aprendido para los números naturales, A través de este conjunto de problemas,
se busca que los alumnos lleguen a reconocer explkcitamente que, entre dos
números decimales siempre se pueden intercalar decimales, e recu a sub=
“divisiones cada vez menores. En relación con esta idea, 025 puede pensarse
‘como ubicado entre 02 y 03 dela misma manera que 0258, Éste último, a su
vez, puede pensarse como ubicado entre 025 y 03; ete Y sea para encuadrar
un número decimal (ar dos números entre os cuales se encuentra) como para
intercalar números decimales entre dos dados, se vuelven a poner en Juego los.
«conocimientos utitzados a propésito de las areas de comparación y orden En
‘ecto, pensar un número ene otros dos implica pensaos alos es en una serie
ordenada. Po ello, ta comparación de números conftontando las cifras del mismo
rango se convierte en una herramienta central en los problemas de esta actividad,

menor 9 mayer:
a) 9,3 0
bats s
9 02 09 …
goss 4
a0

0 32

'5) En cad cso, compet con un número de moner a que os tes mets queden adenados de

G.C.B.A.

ir al

53. La inteniön es trabajar estas consigas de a una e rachicando" cada vez
«el intervalo con el quese trabaja para que los alumnos empiecen a reconocer la
densidad delos múmetos decimales. Se esprallear a identificar que es posible
segur intercalando mimeros entre dos dados, de modo que hay infinitos

Fl ands reacrá también en cómo generar esos número, profundizando
Sobre la base delas ideas constwidas a propósito de la comparación. En defini-
‘wa, en ls efledonesabirtas en telacón con este problema se puede estable-
‘cero retomar el hecho de que la idea de mümeros consecutivos no es utilizable
par los meros decimales porque, como entre dos números decimals existen
infinitos mümeros, no es posible determinar un siguente

‘A modo de teuiización de estas taciones, el docente puede proponer alos
alumnos por ejempl, que escriban 15 números entr O y 02; ete A continua
«ión, siguen trs problemas que retoman los mismos conocimientos.

From e man nes HIS

©) ropone dos mars decimales entre Is cule se encuentren Is siguientes meros

u.
28.
Peers
a 1

CH

54. Este problema pone en juego encuadramientos y aproximaciones, vinculan= | x ra Focos.
do fracciones cualesquiera y decimales. En a discusión colectiva, a parir del | "es Cm 6

A de esquestas coects | MAB MMU Dac
{ue se pueden free es posible establecer que lcnadiamento se puedo a | este na
tar sempre más. recuperando ta idea de que, ne dos números Goma, | musee r

‘sempre es posible encontrar oto. seco.

y la división por 10, 100 y 1.000

A lo largo de esta actividad, se busca elabora reglas para a mullpicación yla
“visión por potencias de 10 en los números decimales, que permitan también
reinterpeta las reglas construidas en e trabajo con los números naturales. La
«comprensión de las mismas se fundamentar en el significado de las escritura.
ruméreas. Es dei, se rata de que no existan regles aisladas par las multiple
«caciones y divisiones por 10, 100 y 1.000 para números naturales por un ado y
‘ecimales por otto, sino de que aquellas reglas acerca de "agregado o quitado”
de ceros, de la determinación de cociente y resto al dividir por 10,100, 1.000,
‘te cobren un nuevo significado en relación con el conimiento en el orden de
magnitud de cada cfr.

Esta tarea remite al trabajo realizado a propósito del actividad 1. Antes de
realzar los cálculos que aqui se proponen puede resultar interesante que se
repasen ls relaciones establecida en sa oportunidad, e les puede pedir a los
“alumnos que revisen ls anotaciones realizadas a propósito de las malliplicaco-
es por potencias de 10 en aquell oportunidad, Luego del epaso se puede pro=
ponerla siguente taea,

a) cakes
10102 1:100- 10:100 - 100:1000 =
10x04 = 10x001 = 1000 20,001 =

1 Busch una manera de reser el guiente cálculo y exp cómo encontraste el estic:

1225x10=

G.C.B.A.

ir a al

55. Se trata de llevar al grupo a analizar esta mulipicación a partir dela ut
ación de a propiedad distibutiva,

12,25 =12 +210+ 5/100,
1225 x10= 1210+ 20x10 +5/100x10=
= 120 +20/10+ 501100 =
120+2+5/10-1225

Será interesante organiar una instancia de discusión con toda la clase Para
lo, el docente puede reseñar las diferentes respuestas de ss alumnos y agte-
ar alguna que coresponda a eos frecuentes en eta tara, aunque no hayan
surgido en se momento en el grupo. Ota posbilidad es comentar à los akım-
mos que, em otro grado, partir de esta misma actividad surgiron las respuestas
que él a a transcribir en el pizarón. Por ejemplo, para esta mulipicación podi
an aparecer (ose podrian analiza):

1250 1725 12250 12045 1225 120250

Esimportanteque, porel momento, el docente nose pronuncie acerca de los
resultados par dar lugar a que scan ls alunos quienes busquen argumentos
favor 0 en contra de cada uno de ls númeios que sean presentados.

Se puede ptr a los niños que copien ls resultados y anote, paa cada uno
de elles, si es parece conto o inconeto y expliguen por qué, Este tabajo
poda se realizado en pequeños grupos. Los argumentos podrán ser expuestos
nun fiche para organizar un andi colectivo, Luego, el docente podrá slec-
orar algunos resaltados y argumento diferente argumento paa un mismo
resultado,

‘Una vez expuestos, se dejará un tempo para que todos los grupos puedan
conoce ls observaciones de ls demás y pronunciarse acerca de si están de
acuerdo ono, a sa acerca dela cocción ola incomección de la respuesta, ©
aerea dela explicación

En la discusión posterior, se tata de poner en evidencia y rechaza las
(extension erróneas de fa egla de os ceros y pone de releve procedimientos
de ci quese apoyen en la significación de a ctas y en a referencia alas
fraciones decimales

CH

56. Den 10011000

»

+ Seta opi caret: ¿Sor qué te parce que la que elegiste es a
conectar

PTE

Mas 4m ms

La parte) de esta tara retoma as mismas relaones: nuevamente e con=
onta alos alumnos con la necesidad de elegir entre 3 resultados dados que
«contemplan enores frecuentes. Para ello, deben considerar en principio Is tes
respuestas posbls y producir alguna explicación par s mismos que os leven
a legit la opción conecta y rechazar ls erróneas.

Ty vecu cc arameo

2) Buscó una manera de tsar bs siguientes mutipiccines

2 02x10= opt x10= a) 2ax10-
doaxto= oz x10= 010x145 =
9 10x3= 9 10x054= a 2315x10=
8 10x34= 410x545 = a 12x00.

Después de resolver el primer grupo de cálculos, es poble retomar las rele
ones calzadas anteriormente y se podrá establecer que:

01 x 10 =1:entonees 02 x 10 = 2. js
ES decir, a part de 01 x 10 pueden explicarse las muliplicationes de déc
mos por 10.

{à Una relación a la que puede tecumise en la primera parte esa fa de com
poner un producto apartir elos resultados de otros. Por ejemplo, para hacer 10
44 es posbl apoyarse en que “se sabe" que 10 x 04 = 4 y que 3 x 10 = 30,
“porque ya fueron results. Entonces, 10 x 3,4 ene que dar la suma de os dos

Op ees nes
‘También podr apelars a explicaciones basadas en ls facciones decimales:

[Sur

o]

ir a 1

0x 34/10 = 3410-34

57. De manera análoga, podrán explicarse las multpicaiones por 10 de näme-
os decimales que contengan centésimos o milésimos

Como 10 x 04 = 1 y10x001 = 0,1, entonces.
10x054=10x05+10x004

o también
10 x54/100 = 540/100 = 5 + 4O/100 = 54
o también

10x 54/100 = 10 x 5/10 + 10 x 41.00 = 50/10 +-40/100 = 5 + 40/100 =
= 5 +410

En sintesis esta trea apunta a que se despegue un conjunt de relacions
que enlace el valor posicional ls escrituras, las facciones decimales y las mul»
füphcaiones por 10.

Más all delas explicaciones a las que reeurran ls ns, seguramente sea
Anccesaio que el maestro ls retome y sistematice en un dscuso coherente y
articulado en el que explcite que la multpicaciónpor 10 "convierte à los cen-
ésmos en décimos ya los décimos en entes y sta explicación justifica el fun
onamento de la operación.

Dr nc o aro
2) eis a tate y 2 e est via at derer ls int maipcaciones:

12325 x100 =
1228 x1 000 =

st tara permite extender el trabajo realizado sabre Las multlcaciones
por 10a otoscálulos donde uno de ls Factors es 1006 1.000.A su ve, we
ve sobre el análisis de fos erore usuales -que posiblemente aparezcan otra vez
qui que fue moto de estudio en a primera parte de sta actividad.

Será interesante analiza tanto las diferentes soluciones ensayalas po los
alumnos como también o procedimientos -cotects no- que el docente de
da presentar paa ofrecer a discusión de todo el grupo.

‘A partir del culo, el maestro puede explctar distinta relacione. Algunas
de ells basadas en la distribución del 1225:

12x100:+ 025 x 100

CH

58. 12100 + 02 x 100 + 005 x 100 =
= 122100 + 210. 100 + 5/100. 100

Y tras wnculadas con el use ela asociatividad
1225x10x10

Se puede aprovecha esta explicación para analizar y generalizar la eq
lencia entre multipiar dos veces por 10 y una vez por 100; mulúpiar res
veces por 10 y una vez por 1.000; mulllcar pr 1O y por 100 y multiplicar por
1.000. Estas equivalencias deben quedar fundamentadas en que el número 100
puede pensarse como 10 x 10 y el número 1.000 puede pensarse como 10 x 10
X106 100 x 10.

GY tos nas ons YA MULA Y A SN OR 1,10 y 1.00
a
9) Reco lega que uss pata mutator 10,100 1.000 un número entero. Aor,
plan sc una el para mulpkar por 10,100 y 1.000 cualquier númeso decimal?

1 Pensn ses posible scr una nic ela que iva para Is entre y os ecimaes.

Luego de respondes el item a) será necesario revisar y releonar con los
“alumnos acerea de las reglas anotadas evindols a fundamentarlas, discutir si
están de acuerdo, s esas reglas funcionaran ara cualquier número decimal En
este momento, será important detenese en la comprensión del funcionamien-
Lo de stas multiphcaciones.

La multiplicación de números dedmales por 10, 100 0 1.000 no da lugar a
1a formulación de una regla por parte de los niños tan rápidamente como acute
‘on los números naturales.

El propósito del item 1) consiste en que los alumnos puedan advertir que
“ambas reglas, aquella constuida para los números naturals (regla de los
cet) y una regla sobre el comimiento dela coma par los decimales, están

basadas en un funcionamiento común: debido a que el sistema de numeración
1 organizado en agupamientos de a 10, cada vez que se muliplica po 10,
las cifras de una posición alcanzan la posición inmediata super; e dect,
“las unidades se convierten en decenas, las decenas en centenas, ls décimos.

[ASA vidades o centimos en décimo, ci Sta, por un Ido, de er
ia propósito de los dos itemes= por qué, al mullipiar por 10, se corten

todas las cifras un rango; al mulilicar por 100, se corren dos rangos, et. y

ver sobre la regla de “agregar ceros" poniendo estas dos cuestiones enrla=
ción. Nos proponemos entonces invitar los nios a revisar la regla de los

©

ir al

59. cer, ubicándola en una fundamentación de alcance más genera. Esta expli
cación integra en una única regla la mulliplicación por potencias de 10 de
cualquier número. Más adelante, a lo largo de esta misma actividad, se inclui
la explicación dela división por potencias de 10,

Silos ores nos muestran concepciones erróneas de los chicos, el to no
Anccesariamente nos da cuenta de una comprensión adcuada, Puede sr futo de
una aplicación mecánica de reglas. No podemos suponer, parir dela ausencia
de eores que los alumnos están atibuyenio una significación correcta a las
diferente cifras de la escítura decimal y alas transformaciones que sufren al
multipicals por potencias dela base. En ese sentido, también cobra particular
interés generar y sostene process de argumentación para ls respuestas obte-
idas, que permitan trae escena as razones del funcionamiento de as reglas.

} llos]
5) Reso estos culos

2110. 01:10 54:10
8154100 = 1180 100 « ES

Esta divisiones comienzan retomando una relación que ya fu abordada al
comienzo de eta actividad: 1 10 = Q1. Este cáulo result clave par realizar
los siguente ya que, por ejemplo, para 0,1: 10 se puede pensar que 01 esla
décima parte de 1, entonces el resultado de esta cuenta deberá sr la décima
parte del clculo anterior Esta no es la única manera de pensal, peo debe que
dat explcitada la relación Invers ente multiplicar y dvdr por la potencia de la
base(1:10=0,1y01 x10= 1).
Para hacer 54: 10 se puede apa a a ropedaddistbutva:

5:10+04:1

5 + 0,04 = 054

En todos ls casos se podrá apelar a la mulipicación para verificar os
resultados hallados. En ste timo ejemplo, 054 10 = 5, 4

4) Cuando dvds por 10,100 y 1.00 en los números enteo, vos ya sabés una tela paa halla
fdcimente el cociente y lrsto. Reval

1 Resohist vias divisiones de decimales pr 10 y 100. ¿Podras escribir una rela que permits
vega fácilmente el resta de esas dvisiones?

CH

60. + jte ahora es posible amar una única regla que sin para ls números entro y decimaes
‘uizs te pueda servi que pensaste para las mulipcacines por 10, 100 y 1.00,

De mann sar que para as ulin por polen det bs se
tata aora desviar s consti par vn por 0,100 y 1000 en
Vs números natura Et rg det admet tambin en lamba de d
nde des unidades l ls por 10 Do que amande ls sc

Ars drame que tene fd nuesto sistema de numeración ba en a
Deruparacis de a 9, cal vz que un undad se Aid por 0s com fa
uta da del oes mini cn marcas nes con pS
Vete en decenas ns deseas nude a aes en dico los edo

mos en centimes ct. Es dc, game 2 na explicación cosida
para la mp: mulas dd pr 0, 10, 100,0 que ls
¿las cambien de orden ts lps or ss men se come eu
es eur ode sueno ed, cn add nen ter.

Esas rio pein tnbn bl bajo rte tn nt y
acta trar rente y tl or 0 eto cs oti por a
ade sonas ue o ego ora to gp de 10 nl sn ac:
tac undads man dimos Ago ar podía eis en o 100
11.00 y os cents y msn qu seman sión act

GY 15 nas SEAS Y A MULA YA ÓN 1,10 y 1.900

ee enla colma dela izquierdo, ¿cómo se pola
que aparece enla columna dela derecha?

MS en I cakuladra se anota einúmer qu
haces, con un solo ciclo, para obtener el esla

Numero anotado “Cael propuesto estado esperado
Wa Vs
Da E
ws va

Diner anotado He proue ouate parado
one En
El 0
is D
E 210

Eu

G.C.B.A.

ir a 1

61. £8) Sen I catuadra se anota elnimero que aparece en la columna e liquido, cómo se poda
hacer, sand as elas + yx pra obtener e resultado que aparece en la columna de
Esta vz podés hace más de un cálculo

echa?

Nina ana Ce propuesto estado prado
Et El
ee
3207 GT
a Er

Cada uno de estos cálculos requiere de una suma y una mullipicaiön.
sisten diferentes caminos de resolución según cuál delas dos operaciones e
calce primero. Por ejemplo, para conver 35,62 en 356,23 es posible sumar
primero 0003 y luego multpicar por 10 el número, o multiplicar pr 10 y luego
sumar 008.

1) Pimer parte
ak

ar
Bis:10«

gro POS 91:10
1100 :10 = LITE

La relación 1 : 10 = O resulta clave para que los nos avancen en sta
area. Se buscar que reconozcan que dividir un número por 10 es equivalente a
mulbphearo por 0,1. Una forma de pensar esta relación puede se, por ejemplo
para el primer leo:

Heder eteterento=
2 0 401 FON +01 +0) +01 +01 =
7x0,

CH

62. El maestro puede proponer olos ejemplos para que los alumnos explore y
onstaten que dividir por 10s lo mismo que multipicar por 01. De manera and
Toga, se puede proponer que investiguen a reacón ente la división por 100 y
mulphcar por 001.

Marne voran
Dsesundaparte

Cet:

a exor= RARO] dx KOI

a 100x01 =

En esta tarea se propone a los fos una ete de multplcacions por 0,
Retomemas,por ejemplo, ta multiplicación 50 x01 = 5.De esta relación surgen
dos divisiones

5:01=50 y 5:50=01

Se es ped a los niños que, a partir de las mulúpcaciones anteriores,
‘xploren el resultado de dividir por 0, el producto obtenido en cada cas,

tra altemativa puede ser analizar que 1 301 es hallar un número que,
multiplicado por 0. dé por resultado 1; ese número es 1O Esta relación ya está
‘disponible, srd importante identificas y conchir que dividir por 01 slo mismo
‘que multiplicar por 10. De la misma manera, dividir por 0,01 es lo mismo que
muliplica por 100.

001; 0001

2) Sabiendo que 42 x26 = 1092, ck

Dax 2x2

IS

942x200

Resolver esta trea ofece la oportunidad de tar las relaciones recién
“analizadas En efecto, para poder hallar el resultado en el caso a}, es necesaio
"establecer que 42 es 10 vecs el 42 del cálculo original por tato, el resultado
OO) mstomente el producto de 1092 10
Este mismo razonamiento se puede desplegar ao lago de los cálculos
"siguientes, pero es necesario tener presente que en algunos casos hay más de
(una retación en juego. Por ejemplo, para 42 x26 debe considerarse que:

©

ir =]

63. 42x26 = 42 x10x2,610= 4226x1010.
100 = 1.092

2*2,6x 100-1092

Es decir el resultado deber ser 100 veces 1092 porque cada node os fac=
tores que estan en juego es 10 veces el correspondiente acto original.

3 por un número natural

Denn ss

1) Ano el resultado dels siguentes maisons:

d04x3- 46x08-
dosx4= CENTER
d23x2

Se espera que los mio realien esta tte ( las delos problemas que
En rca uc | ¿oyen an eat 2 again conenconles Los aleros quizás teschan
pace. | tas mulipicaciones aplando a sumas. En el ands colectivo se intentará
Fes ez semuom | Mostrar que, por ejemplo, paa 0, x3, puede pensas como 4x0, x3 = 12x
ma stains | Qt = 1,20, pra 6x09, como 6x90, = 54x t= 54. Es det, cs posible
‘ovens tem | pensarl como una multiplicación de enters por números del ipo 01; 001,
normes | Qoot Cto,

vc nt Fs importante recalar a os niños que pueden apela aquí al repertti de

resultados mulipAcatios de que disponen.

Fxaminemos oto ejemplo: 35 x 4, puede explicarse a partir de su descompos-
din coma 3 x 4 + 05% 4 12 + 5x01 x4=12+20x01 =12+2=14.

‘Una vez comprendidas estas relaciones, el docete podrá presentarla regla
consistente en multiplicar ls números como s fueran enteros y ubicar lego la

En el problema siguiente se extiende esta relación 3 números mayores pero
redondos. A partir de su análisis, se espera que los niños reconozcan que, del
mismo modo que hacen con los números naturales, multiplica por ejemplo por
20 equivale a mulliplicar primero por 2 y luego por 10.

CH

64. [IY womens num
2) Reso ls siguientes muliptcaciones

d02x20- — WOSxH= 0 25x02~

[través de esta actividad se busca revisar la sega según la cual, para multi
‘at decimales, se mullplican los números "como no tuvieran coma” y luego se
"ubica a coma en función de a cantidad de eftas decimales de ls factores, Para.
el, el punto de apoyo elegido es descomponer ada factor en producto de un.
número natural por un decimal del ipo 0. 6 0,01 60,001, etéter.

El canino propuesto no es el único posible para reconstuit la regla para
multiplicar decimales Se ha hecho esta opción porque fuerza a que los alumnos
“piensen los dedmales como el producto de un natural por un número del ipo
(01; 001; ele, lo eval oie la posibilidad de revisar -una vez mäs= el sigui
‘ado dela notación decimal. la vez, habrá que aplica la propiedad conmuta-
la yasocativa de la multiplicación.

La idea es entonces que, por ejemplo, paa calcular 08 x 06, los alumnos
puedan hacer la siguiente descomposición:

08x 06 = 8x0,1 x6x01 = 8x6 x 01 xO = 48x O01 = 048

Es claro que, para que puedan comprender los pasos anteriores, necesitan un
‘buen dominio dela mulbpicación por números del Bio 0.1; QI, ete, asunto
‘ayo tratamiento se ha propuesto en I actividad A modo de ejempl, se sugie-
ren algunos cálculos que el docente podr "recrear en función de las necesida-
des de su grupo. La consigna elegida remite relacionar ests cäkulos con los
calzados en a actividad 6. Se han elegido números de modo tal que la multi»
phcacin delos números "sin coma" que se require para el cálculo sea sencilla.
De esta manera, se puede hacer énfasis en discutir =est es, decidir y Justficar=

la ubicación de la coma,

G.C.B

ir a =]

Ana ca ia,
Ds 504 mana Y
cn ee nace

65. —

1) En vais de los problemas anteriores usaste | ¿Cómo podras usar so que sabs pra res
we

+ 04 puede pensarse come 4 x03 a 08 x08 =

+ 095 puede pensais como 5 x01 d 05x05

+ 36 puede pensas como 36 x04 9 03x008 -

ét 4 09502 =
9 0008 x07 =
9 242022
91125202 =

que se han realzado.

de que la mulilicación “agranda” los números.

pheaciôn, dado otr factory el produto.

En contimidad con los análisis reabzados para las actividades 6 y 7, se
podrän generalizar ess relaciones a cualquier mulilicacón con decimales. La
actividad es una oportunidad para tratar explilamente en la clase la rlación
nte la rgla para multiphcar decimales y as descomposicones delos números

los cálculos involucrado en esta actividad serän también una oportunidad
para analizar qué sucede cuando se malipca un nümeo poroto menor que 1
y relatviza aida consti por los niños sobre los números naturales acerca.

La tarca siguiente imite los conocimientos sobre multiplicación con
números decimales. Ahora se pide buscar un factor desconocido de una multi

Den

2) Complet os siguentes eels

9) 6x. 08 asx
Yaxuaız Dax
912x012 ax
Msn. max

2 analizar que mulphear por 0,5, equivale a dvi por 2.

Nótese que los puntos) y 9) pueden constituir una oportunidad para volver

nenn

66. 3
3
El

3) Multipicar por 05

Se propone retomar algunos de los casos de la actividad anterior ypregun-
tar à os akımnas si es cierto que “muliplcar por 0, equivale a calcular la
td”, Se trata de una conjetura que los niños deberán explorar y validar, Se
espera legara establecer que:

+05 =1/2, por tanto muliicar por 05 es equivalente calcular la mitad;
+05=5x01=5x1=1
16 7

Establecida la reg, el docente podrá proponer ejemplos para que Los au
os la pongan en juego. Damos sólo algunos:

12x05
12x08
72x06
12x08
04x05
04x05
eltern

9) Multipkcar por 025

De manera análoga a la propuesta para que ls akımnos exploten el resul=
tado de multiphea por QS, se propone que analicen el ecto de multipiar por
(0.25. Se espera que los niños lleguen a establecer que 0,25 equivale a 1/4 y que,
portant, mulligiar por 025 es lo mismo que dividir por 4. La riqueza dela
actividad consiste en que explren y formulen una conjetura para que luego pro-
can argumentos para vldara.

Una vez desplegado los arguments, e puede per a os niños que ellos mis
os progongan ejemplos que "muestren" el funcionamiento de la sega producida.

¿Estimacione:
<

em et acid se propane que los nos cme lato de multi
"caciones de wos decals, Ens ds cas dados diferentes nes
Poste, ks alumnos desen seleciona en cu de lasse encuenta l salta
cdo de ura mp. À dni de a púmer ne, la sgund nce
ences

ir a =1

67. La actividad apunta a construir cies de estación, ls que, en general,
1 e elaboran de manera espontánea. Será necesario orienta el po de eälu-
lo en el que se pueden basar ls alumnos. Por ejemplos se tratara de estable-
«eri 25 x 74 se encuenta ente 70 y 80, entre 100 y 200 ente 10 y 20, se
podra analizar que, mulliphcar por 25, es hacer dos veces y media el número.
Para encuadrar el resultado de 13,2 x9 puede resultar tl mulúpiar el núme-
0 por 10; paa 2 x 1245, podrá pensarse que e mayor que 20x12, que es 240,
y Menor que 22 x 13, que es 286, Para estima el intervalo en el que se encuen-
a 043 x 49, se puede analizar que el resultado de dicho cálculo es cercano a
la mitad de 50; eeétera

Como pods notarse, noes posible identificar modos ánicos de estima: e
puede apelara diferentes recursos en función de los números en juego.

Es tambien una oportunidad para volver sobre el análisis de una cuestión que
los niños se resten a acepta: cuando uno delos factores es menor que 1, el
resultado dela multiplicación es menor que e otr factor.

1) Sn hace ls cuentas, señal entre qué números e encuenta el resultado e las siguentes multi

UE enue7oyso | enweroyaoo [cate 10970
1a2x0 ne 70y50 | ente 100,200 | ent 900 y 1000
EZRA te 20 y 300 —| ente 2000 3000 | — entr 60 y 700
LO AO eave 36y EL

2) Sn hacer ascents, seal entre qué números se encuenta el estado de ls siguientes mul

DT ETATS ae 20 ym cayo
CET aie 10 15 cn 100 190 À entre 20 y 30
BE xO ie 1020] entre 9 LC LE ZI

CH

68. Actividad

Porcentaje es una noción que se encuentra en el cruce entre proporcionalidad
ect y raciones. Es conceptualmente importante porque permite “ata” dife-
rentes cabos: es una manera de representar la fración de una cantidad y, al
mismo tiempo, es una noción que puede inscrire en el contexto de a pro
«onalidad directa (calcula, por ejemplo, el 30% de diferentes cantidades remite
auna relación entr dos magnitudes de la misma naturaleza enla que la cons-
tante de proporcionalidad es 030)

El concepto de porcentaje también adquiere relevancia por su uso social
ampllamente difundido (y exigido po la sociedad ala escuela). Además del ra-
tamiento en profundidad que el tema require, e central que ls niños dispo
gan de manera sólida del significado de algunos “porcentajes famosos":

112596 de una cantidades equivalent 1/4 de dicha camidad.
‘+ £150 de una cantidades 1/2 de dicha cantidad.
‘+ £110 es a décima parte

También es rekvante qu los niños puedan comprender que, s bien el 10%
“de una cantidad es equivalente 1/10 de dicha cantidad, no es certo que el 30%
‘ea equivalente a 1/30.

Para el cálculo de porcentajes "redondos" (20%, 30%, 60%, ec) es inter=
sante diluir que es posible apoyarse en el cálculo del 10%, Asi deberán com
prendes que para calla, por ejemplo, el 40% de una cantidad, deben dividir
or 10 y multiplier por 4, lo cual asu vez equivale a multiplier por 0:40.

Bajo a modalidad del culo mental se puede analizar también cómo realizar
«el cálculo delcomplemento a 100 de un cero orcentaj. Pr ejemplo: descuen-
lan el 20% del precio de una mercadería, hay que paga el 80%; si hubo un 30%
de insistencia a una reunión so significa que concur el 70%, etétera.

Teniendo en cuenta las consideraciones anteriors, el docente puede propo-
me calcula el 50%; el 25%, el AO, et, de diferentes catidads (naturales y
decimales.

También será e interés que plantee actividades del siguiente tip:

DN roma

1) Subo un 30% e ausentismo aa eunin de coopradora y aisticron 140 persons, ¿cuts per-
508$ habran concunido 5 hubiera habido asistencia erecta?

2) Me descontaron el 20% y pagué $160. ¿Cul ea preci ginal sin dese

G.C.B.A.

ir a =1

69. G.C.B.A.

La publicación Matemática. Cölul mento con ndmeresracioneles Apunte paro lo ensehanzo
ha sido elaborada por la Secretaria de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Ares.
Las opiniones de directivos, maestros, padres y alumnos son muy importantes
para mejorar In calidad de estos materiales. Sus comentarios pueden ser enviados a
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