calculo monovariable, presentado por el profesor eduar, explicado de la mejor manera, empezando por limites

Matematicas monovariable(limites),
profesor Eduar Valencia Morales

1. Cálculo de una variable Semana 2 – Introducción a los límites Curso: 111021C Docente: Eduar Valencia Morales

2. Objetivos de la semana Comprender la idea intuitiva del límite Diferenciar entre límites laterales Analizar límites infinitos Aplicar en ejercicios gráficos y numéricos

3. Motivación ¿ Qué ocurre con una función al acercarse a un valor? ¿ Puede aproximarse aunque no lo tome? Ejemplo : velocidad instantánea de un auto

4. Empezamos con un número c y una función f definida cerca de c aunque no necesariamente en el mismo c . El número L es el límite de f cuando x se aproxima a c , y se escribe Idea intuitiva del límite si y sólo si los valores de la función f ( x ) se aproximan ( tienden ) a L cuando x se aproxima a c .

5. Límites y continuidad Podríamos empezar diciendo que los límites son importantes en el cálculo , pero afirmar tal cosa sería infravalorar largamente su auténtica importancia . Sin límites el cálculo sencillamente no existiría . Cualquier noción del cálculo es un límite en uno u otro sentido . ¿ Qué es la velocidad instantánea ? Es el límite de las velocidades medias. ¿ Qué es la pendiente de una curva ? Es el límite de las pendientes de las rectas secantes . ¿ Qué es la longitud de una curva ? Es el límite de la longitud de los caminos poligonales . ¿ Qué es la suma de una serie infinita ? Es el límite de las sumas finitas . ¿ Qué es el área de una región limitada por curvas ? Es el límite de la suma de las áreas de las regiones delimitadas por segmentos de rectas poligonales .

6. Idea intuitiva de límite lim f(x) = L ( x→c ) Ejemplo : lim x² = 4 (x→2) En la medida en que x toma valores cada vez más próximos a “c”, ¿a quién se acerca f(x)? Límites de funciones en un punto f(x) x f (x) = x²

7. Límites laterales Por la izquierda : lim f(x) ( x→c ⁻) Por la derecha : lim f(x) ( x→c ⁺) +∞ -∞ x F(x)=y lim 1/x = -∞, (x→0⁻) lim 1/x = +∞ (x→0⁺)

8. Ejercicio: G ráfica f(x)=1/x² F(x) x

9. En la medida en que x se hace muy grande, con valores positivos ¿a quién se acerca f(x)? En la medida en que x se hace muy grande, con valores negativos ¿a quién se acerca f(x)? Límites de funciones en el infinito

10. Significado geométrico del límite infinito de una función para x tendiendo a un número real

11. Significado geométrico del límite finito de una función, para x  + 

12. límites infinitos y límites en el infinito . Si una función f ( x ) crece indefinidamente cuando el valor de la variable x tiende a c , se dice que su límite es infinito (+ ∞, si el crecimiento es en sentido positivo , y – ∞, si lo es en sentido negativo ). Análogamente , también es posible definir límites de una función cuando el valor de x tiende a + ∞ o a – ∞.

13. Ejemplo numérico con tablas f(x) = (x²-4)/(x-2) x: 1.9, 1.99, 1.999, 2.001, 2.01, 2.1 f(x): 3.9, 3.99, 3.999, 4.001, 4.01, 4.1 Conclusión : lim (x²-4)/(x-2) = 4 (x→2)

14. En el cálculo de límites , se dice que hay una indeterminación cuando el límite de la función no se obtiene directamente de los límites de las funciones que la componen . Indeterminaciones Las indeterminaciones son: En algunos casos , simplificando las expresiones u obteniendo expresiones equivalentes a las iniciales , se puede resolver la indeterminación y calcular el límite . En otros casos , se requerirá el uso de otras herramientas más potentes .

15. Para calcular el límite de una función suelen aplicarse las propiedades generales de los límites . Sin embargo, a veces aparecen indeterminaciones que es preciso resolver. Cálculo de límites Infinito entre infinito : si se trata de funciones polinómicas , se divide el numerador y el denominador por el término de mayor grado . Si las funciones presentan radicales , se multiplican el denominador y el numerador por el conjugado de la expresión que contiene el radical . Cero entre cero: si se trata de funciones polinómicas , se factorizan el numerador y el denominador y se simplifican los polinomios iguales resultantes . En funciones con radicales , se multiplican el numerador y el denominador por la expresión conjugada de la que contiene el radical. Cero por infinito : si f ( x ) tiende a 0, y g ( x ) tiende a infinito , la expresión f ( x ) ⋅ g( x ) se puede sustituir por f ( x ) / (1 / g ( x )), que es del tipo / 0. También podemos sustituir f ( x ) ⋅ g ( x ) por g ( x ) / (1 / f ( x )) que es una indeterminación del tipo infinito entre infinito . Infinito menos infinito : si se trata de una diferencia de funciones , se realiza la operación de manera que se obtenga una expresión como cociente de funciones , para después calcular el límite . Si aparecen radicales , se multiplica y se divide por la expresión conjugada de la que contiene el radical.

16. 1 No hay indeterminación Cálculo de límites (I)

17. 1 2 Cálculo de límites (II)

18. 2 1 -1 Cálculo de límites (III)

19. Pregunta interactiva 1 lim sin(x)/x = ? (x→0) Opciones: a) 0, b) 1, c) No existe, d) ∞ Respuesta: b)1

20. Límites de funciones trigonométricas

21. - 10 - 5 5 10 - 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 La función no está definida en 0. Pero está definida en las proximidades del punto 0

22. Pregunta interactiva 2 lim (x→∞) 1/x = ? Opciones: a)0, b)1, c)No existe, d)∞ Respuesta: a)0

23. Definición de limite a L Significa que: Dada cualquier tolerancia T para L Podemos encontrar una tolerancia t para a Tal que, Si x esta entre a-t and a+t , pero x no es a , f(x) estará entre L-T y L+T .   L+T L-T a+t a-t Recuerde : el punto. ( a,f (a)) esta excluido . ! (Gráficamente, esto significa que la parte del gráfico que se encuentra en la franja vertical amarilla. Es decir, los valores que provienen de ( a-t,a+t ) también estarán en la franja horizontal azul.

24. Resumen El límite describe el comportamiento cercano de una función Existen límites laterales y límites infinitos Son base para continuidad y derivadas

25. Taller sábado Calcular lim (x→0) sin(x)/x Estudiar lim (x→∞) 1/x Graficar f(x)=1/x² y discutir comportamiento

26. Tarea Resolver Stewart, Sección 2.1, ejercicios impares del 1 al 15