Calculo UNIVERSIDAD de huánuco tema 2 - 2024 JERRY.pptx

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1. “UNIVERSIDAD DE HUÁNUCO” FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICA PROFESIONAL DE:

2. CÁLCULO II Mg. Ricardo Manuel Sachún García

3. Mg. Ricardo Manuel Sachún García INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES CASO 1 Y 2: EL DENOMINADOR SOLO TIENE FACTORES LINEALES Una función racional se definió como una que pueda ser expresada como el cociente de dos funciones polinomiales. Esta es, la función H es una función racional si H(x)=P(x)/Q(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios. Anteriormente vimos que en el grado del numerador no es menor que el grado del denominador tenemos una fracción impropia, y en este caso dividimos el numerador entre el denominador hasta que obtengamos una fracción propia en la cual el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. Por ejemplo: Así si queremos integrar El problema se reduce a integrar

4. Mg. Ricardo Manuel Sachún García En general, entonces, estamos interesados en la integración de expresiones de la forma, Donde el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Para hacer esto frecuentemente es necesario escribir P(x)/Q(x) como la suma de fracciones parciales. Los denominadores de las fracciones parciales se obtienen factorizando Q(x) como un producto de factores lineales y cuadráticos. Algunas veces puede ser difícil encontrar estos factores de Q(x); sin embargo, un teorema de algebra avanzada afirma que teóricamente esto siempre se puede hacer. Enunciamos este teorema sin demostración. TEOREMA Cualquier polinomio con coeficientes reales pueden ser expresado como un producto de factores lineales y cuadráticos de tal forma que cada uno de los factores tienen coeficientes reales. Después que Q(x) ha sido factorizado en productos de factores lineales y cuadráticos, el método de determinar las fracciones parciales dependen de la naturaleza de estos factores.

5. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Consideramos varios casos separadamente. Los resultados de algebra avanzada, los cuales no demostramos aquí, nos proporcionan la forma de las fracciones parciales en cada caso. P odemos suponer, sin pedida de generalidad, que si Q(x) es polinomio de grado n entonces el coeficiente de x es 1 ya que si Q(x)= + + . . . + X+ Entonces si dividimos el numerador y el denominador de la fracción P(x)/Q(x) entre   CASO 1: Loa factores de Q(x) son todos lineales y ninguno se repite. Esto es, Donde no hay dos identifica. En este caso escribamos  

6. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Donde son constantes que van a ser determinadas. Nótese que usamos “ ” (léase como “idénticamente igual”) en lugar de “ “ en (1). Esto es porque (1) es una identidad para el valor de cada . El siguiente ejemplo ilustra como se encuentran los valores de . Ejemplo 1: Encontrar   SOLUCION: Factorizamos el denominador y tenemos Así escribimos La Ec. (2) es una identidad para toda x (excepto x = 0,2, -1). De (2) obtenemos

7. Mg. Ricardo Manuel Sachún García La Ec.(3) es una identidad la cual es cierta para todos los valores de x incluyendo 0, 2 y -1. deseamos encontrar las constantes A, B y C. S ustituyendo 0 por x en (3) obtenemos -1 = -2 A o A = Sustituyendo 2 por x en (3) obtenemos 1 = 6B o B = Sustituyendo -1 por x en (3) obtenemos -2 = 3C o C = - Existe otros métodos para encontrar los valores de A, B y C. Si en el lado derecho de (3) combinamos términos, tenemos X - 1 ( A +B +C ) +( -A +B -2C) X – 2A   TECNICAS DE INTEGRACION

8. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Para que (4) sea una identidad, los coeficientes en la izquierda deben ser iguales a los coeficientes correspondientes en la derecha. Por tanto, Resolviendo estas ecuaciones simultáneamente, obtenemos A = B = y C = - . Sustituyendo estos valores en (2) obtenemos Por lo tanto nuestra integral dada puede ser expresada como sigue:  

9. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Caso 2. los factores de Q(x) son todos lineales y algunos están repetidos. Supongamos que (x – ) es un factor que se repite p veces. Entonces correspondiente a este factor habrá la suma de p fracciones parciales Donde son contantes que van a ser determinadas. El ejemplo 2 ilustra este caso y el método para determinar cada   Ejemplo 2: E ncontrar SOLUCION La fracción en el integrando se escribe como una suma de fracciones parciales como sigue:

10. Mg. Ricardo Manuel Sachún García La anteriormente es una identidad para toda x (excepto x = 0, 2). Multiplicando en ambos lados de (5) por el mínimo común denominador obtenemos Igualando los coeficientes de potencia iguales de x obtenemos

11. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Resolviendo obtenemos A = B = C = D = E =- Por lo tanto, de (5) tenemos De este modo  

12. Mg. Ricardo Manuel Sachún García EJEMPLO 3. Encontrar SOLUCION : Multiplicando por (u – a ) (u + a ) obtenemos 1 O 1 Igualando los coeficientes tenemos A + B = 0 Aa + Ba = 1 Resolviendo simultáneamente obtenemos A= y B= -   Por lo tanto,

13. Mg. Ricardo Manuel Sachún García El tipo de integral del ejemplo anterior ocurre frecuentemente como para anotarla como una formula. No es necesario memorizarla porque una integración por fracciones parciales es muy simple. Si tenemos , escribimos Esta también se anota como una formula  

14. Mg. Ricardo Manuel Sachún García En química, la ley de acción de masa nos proporciona una aplicación de la integración que implica el uso de fracciones parciales. Bajo ciertas condiciones se encuentra que una sustancia A reacciona con una sustancia B para formar una sustancia C de tal forma que la razón de cambio de la cantidad de C es proporcional al producto de las cantidades de A y B restantes en cualquier momento dado. Supongamos que inicialmente hay a gramos de A y gramos de B y que r gramos de A se combinan a como s gramos de B para conformar ( r + s ) gramos de C. Si x es el número de gramos de sustancia C presente en t unidades de tiempo, entonces C contiene r x/( r +s ) gramos de A y s x/( r + s ) gramos de B. el numero de gramos de sustancia A restante es entonces , y el número de gramos de sustancia B restante es . Por lo tanto la ley de accción de masa nos da  

15. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Donde K es la constante de proporcionalidad. Esta ecuación se puede escribir como Haciendo La Ec. (8) se transforma en Podemos separar las variables en la Ec. (9) y obtenemos

16. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Si a = b, entonces el lado izquierdo de la ecuación anterior puede ser integrado por la formula de potencias. Si a b, se pueden usar fracciones parciales para la integración. Ejemplo 4: En una reacción química se combina una sustancia A con una sustancia B para formar una sustancia C de tal forma que la ley de acción SOLUCION: Sean x gramos la cantidad de sustancia C presente en t minutos, en la tabla se muestran las condiciones iniciales. La Ec. (9) se transforma en   TECNICAS DE INTEGRACION Masa se cumple. Si en la Ec.(9) a=8 y b=6 y se forman 2 g de sustancia C en 10 min, ¿Cuántos gramos de C se forman en 15 min? t 0 10 15 x 0 2 t 0 10 15 x

17. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Separando las variables tenemos Escribiendo el integrando como la suma de fracciones parciales da De lo cual obtenemos Sustituyendo 6 por x da B = ½ , y sustituyendo 8 por x da A = -1/2 por lo tanto la Ec. (10) se escribe como Integrando tenemos

18. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Sustituyendo x = 0, t = 0 en la Ec. (11) obtenemos C = ¾ .por tanto Sustituyendo x = 2, t = 10 en la Ec. (12) tenemos Sustituyendo x = , t = 15 en la Ec. (12) obtenemos Por lo tanto, habrá 2.6 g de sustancia C formada en 15 min  

19. Mg. Ricardo Manuel Sachún García EJERCICIO En los ejercicios del 1 al 16 calcular la integral indefinida Los ejercicios del 17 al 24 calcular la integral definida

20. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Encontrar el área de la región acotada por la curva Y = ( x – 1 )/( +5x+6), el eje x las rectas x = 4 y x = 6. Encontrar el centroide de la región del ejercicio 25 Encontrar el volumen del solido de revolución generado al notar la región del ejercio 25 alrededor del eje y Y Encontrar el área de la región en el primer cuadrante acotada por la curva (x + y = 4 – x Encontrar el centroide de la región del ejercicio 28 Encontrar el volumen del solido de revolución generado si la región del ejerció 28 se nota alrededor del eje x Supongamos que en el ejemplo 4 que a = 5 y b = 4 y que se forma 1g de sustancia C en 5 min. ¿ cuantas g de C se forman en 10 min? Supongamos que en el ejemplo 4 que a = 6 y b = 3 que se forma un numero 1g se sustancia C en 4 min. ¿Cuánto tiempo tardara en formarse 2g de sustancias C?  

21. Mg. Ricardo Manuel Sachún García 33. En cualquier instante la rapidez en la cual una sustancia se disuelve es proporcional al producto de la cantidad de las sustancias presentes en ese instante y la diferencia entre la concentración de la sustancia en solución en ese instante y la concentración de la sustancia en una solución saturada. Una cantidad de material insoluble se mescla inicialmente con 10lb, y la sal de disuelve en un tanque que contiene 20gal de agua. Si 5 lb de sal de3 disuelve en 10 min y la concentración de sal en una solución satura es de 3lb/ gal, ¿ que cantidad de sal de disolverá en 20. 34. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de tal forma que si u p / seg es la velocidad de la a partícula t seg entonces v = Encontrar la diferencia recorrida por la aprticula apartir del tiempo cuando t = 0 al tiempo cuando t = 2  

22. Mg. Ricardo Manuel Sachún García INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES POR FRACCIONES PARCIALES CASO 3 Y 4. EL DENOMINADOR CONTIENE FACTORES CUADRATICOS CASO 3: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y ninguno de los factores cuadráticos se repite. Correspondiente al factor cuadrático + p x + q en el denominador esta la fracción parcial de la forma Ejemplo 1: Encontrar SOLUCION: la fracción en el integrando se escribe como una suma de fracciones parciales como sigue  

23. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Multiplicando en ambos lados de (1) por el mínimo común denominador tenemos Igualando coeficiente de potencias iguales de x da Resolviendo para A, B y C obtenemos A = B = C = Sustituyendo estos valores en (1) obtenemos  

24. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Asi Para entregar + 2x +2), vemos que la diferencial del denominador es 2( x +1 )dx; sumamos y restamos 1 en el numerador, con lo cual nos da Sustituyendo de (3) en (2) y combinando terminus obtenemos  

25. Mg. Ricardo Manuel Sachún García En el ejemplo anterior nos habríamos algunos pasos si en lugar de (1) hubiéremos expresado la fracción original como NOTA: Escribimos D(2x +2) + E en lugar de Ax + B ya que Entonces resolviendo para D, E y F obtenemos

26. Mg. Ricardo Manuel Sachún García CASO 4. los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten. Si es un factor cuadratico de Q(x) que se repite n veces, entonces, correspondiente a este factor ( tenemos la suma de las sigueintes n fracciones parciales: Por ejemplo, si el denominador contiene el factor ( ,tenemos correspondiente a este factor, O, más convenientemente,  

27. Mg. Ricardo Manuel Sachún García EJEMPLO 2: Encontrar SOLUCION :   Multiplicando en ambos lados de (5) por el mínimo común denominador tenemos

28. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Igualando coeficientes y resolviendo simultáneamente, obtenemos A = - B = C = D = E = - - Por lo tanto, Calculamos separadamente las integrales en el tercero y quinto termino en ele lado derecho de (6)  

29. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Sea x -2 = tan , donde 0  

30. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Ya que tan s en de las figuras.10.5.1 (si x y 10.5.2 (si x en cualquier caso   Así tenemos

31. Mg. Ricardo Manuel Sachún García Considerando ahora la otra integral en el lado derecho de (6). Tenemos Sustituyendo de (7) y (8) en (6) obtenemos Ejercicios 10.5 En los ejercicios del 1 al 16 calcular la integral indefinida

32. Mg. Ricardo Manuel Sachún García En los ejercicios del 17 al 24 calcular la integral definida.

33. Mg. Ricardo Manuel Sachún García 25. Encontrar el área de la región acotada por la curva y=4/( +8), el eje x, el eje y la recta x=2 . 26. Encontrar la abscisa del centroide de la región en el ejercicio 25 . 27. Encontrar la masa de una lámina que tiene la forma de la región del ejercicio 25 si la densidad del área en, cualquier punto ( x,y ) es k slugs/ . 28. Encontrara el volumen del sólido de revolución generado al rotar la región del ejercicio 25 alrededor del eje y . 29. La partícula se mueve a lo largo de una línea recta de tal forma que si up/ seg . Es la velocidad de la partícula en t seg. Entonces Encontrar una fomula para la distancia recorrida por la partícula a partir del momento cuando t=0 al momento cuando t=t1.  

34. Mg. Ricardo Manuel Sachún García INTEGRALES QUE QUEDAN COMO RESULTADO FUNCIONES HIVERBOLICAS INVERSAS Como se mencionó en la sec. 9.11, las funciones hiperbólicas inversas se pueden aplicar en integración, y algunas veces su uso simplifica los cálculos consideradamente. Debe notarse, sin embargo, que usarlas no se calculan nuevos tipos de integrales. Solamente se obtienen nuevas formas de los resultados. De la fórmula (15) en sec. 9.11 tenemos De lo cual obtenemos la fórmula de integración Expresando sen u como un logaritmo natural usando la formula (8) de la sec 9.11 obtenemos INTEGRALES QUE QUEDAN COMO RESUK  

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