Capitulo 1 vetores - Geometria Analítica

Geometria analítica

1. AL0002 –Geometria Analítica
Prof. Lucas Compassi Severo
[email protected]
Engenharia de Telecomunicações
Campus Alegrete

2. Conteúdo
•Introdução aos Vetores
•Operação com vetores
•Tratamento Algébrico
•Produto entre Vetores
•Aplicações de Vetores
2
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3. 3
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4. Introdução aos Vetores
•Os eventos matemáticos ou físicos podem ser
descritos através de grandezas:
•Escalares: representados totalmente com apenas
um valor e sua unidade.
–Exemplo: Temperatura (27°C), Luminosidade (870
lux)
•Vetoriais: representados totalmente por
magnitude, direção, sentido e uma unidade.
–Exemplo: Velocidade, Força e Potência Elétrica
4
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5. Introdução aos Vetores
•Grandeza Vetorial:
–Magnitude: Comprimento do Vetor (Módulo)
–Direção: Inclinação do Vetor
–Sentido: definem o início e o fim do vetor
–Unidade: relacionam à grandeza e referência
adotada
5
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6. Introdução aos Vetores
•Representação do Vetor:
–A representação por ser realizada:
•Plano (|R
2
): Plano cartesiano formado pelos eixos X e Y
–A(0,0) e A(-2,3)
•Espaço (|R
3
): Espaço tridimensional formado pelos eixos X,
Y e Z
–A(0,0,0) e A(-2,3,1)
•Multidimensões (R
N
): Espaços não representáveis
graficamente
–A(0,0,0,0,0) e A(-2,-5,-2,3,4,7)
6
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7. Introdução aos Vetores
•Exemplo1:
7
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V1:
•Magnitude: 3
•Direção: horizontal
•Sentido: Esquerda para Direita
V2:
•Magnitude: 3
•Direção: horizontal
•Sentido: Direita para Esquerda

8. Introdução aos Vetores
•Exemplo 2: Um avião se desloca de São
Paulo para o Canadá (noroeste) com
velocidade constante de 800 km/h.
–Esboce o vetor velocidade deste avião.
•Magnitude = 800 km/h
•Direção = 45°em relação ao norte
•Sentido = Origem ao noroeste
8
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800

9. Introdução aos Vetores
•Casos Particulares:
–Vetores Paralelos: todo vetor que possui merma
direção é dito paralelo (“//”)
–Vetores Iguais: todo vetor que possui mesma
magnitude, direção e sentido são ditos iguais
–Vetor Oposto: A cada vetor não-nulo �
corresponde um vetor −Ԧ�com mesma amplitude
e direção, mas sentido contrário
–Vetor Unitário: Todo vetor cuja amplitude é igual a
1. Este vetor é chamado versor dos vetores que
possuem mesma direção e sentido, porém com
amplitude diferente
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10. Introdução aos Vetores
•Casos Particulares:
–Vetores Ortogonais:dois vetores �e Ԧ�são
ditos ortogonais (�⊥Ԧ�) se entre eles é
formado um ângulo reto (90°)
–Vetores Coplanares:dois ou mais vetores são
ditos coplanares se existir algum plano onde
estes vetores são representados.
•OBS.: dois vetores sempre serão coplanares
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11. Introdução aos Vetores
•Exemplo 3: Considerando os nove quadrados
congruentes (mesmo tamanho) para responder se
os itens abaixo são verdadeiros ou falsos:
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11
a)��=��
b)��=��
c)��=��
d)��=−��
e)��∥��
f)��=��
g)��⊥��
h)��=��
i)|��|=2|��|

12. 12
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13. Operações com Vetores
•Assim como as grandezas escalares,
também podemos realizar operações com
vetores:
–Multiplicação, Soma, Subtração, Divisão ...
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13

14. Multiplicação por Escalar
•Neste caso o vetor é apenas esticado,
encolhido ou invertido.
–Escalar Positiva e maior que 1:
•O vetor é esticado
–Escalar Positiva e menor que 1:
•O vetor é encolhido
–Escalar Negativa:
•O vetor é invertido e, ao mesmo tempo pode ser
encolhido ou esticado.
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14

15. Multiplicação por escalar
•Exemplo 4:
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15

16. Multiplicação por escalar
•Propriedades:
–Distributiva sobre os vetores:
�∙(�+Ԧ�)=�∙�+�∙Ԧ�
–Distributiva sobre os escalares:
(�+�)∙�=�∙�+�∙�
–Associativa:
�∙(�∙�)=�∙�∙�
–Unitária:1∙�=�
1∙�=�
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16

17. Multiplicação por escalar
•Exemplo 5:
–Considere o vetor �=1,2,5para calcular:
•A) Ԧ�=−3∙�
•B) Ԧ�=0,2∙�
•C) Ԧ�=8∙�
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17

18. Adição de Vetores
•A adição de vetores pode ser realizada
através do posicionamento de um vetor
logo após o outro, partindo da origem.
–O vetor soma será igual ao vetor partindo da
origem à posição final
18
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19. Adição de Vetores
•Alternativamente, pode-se utilizar a regra
do paralelogramo:
–Assumindo dois vetores não nulos �e Ԧ�, a
soma �+Ԧ�será dada pela diagonal dos
paralelogramo formado.
19
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20. Adição de Vetores
•Propriedades:
–Comutativa
�+Ԧ�=Ԧ�+�
–Associativa
�+Ԧ�+�=�+(Ԧ�+�)
–Elemento neutro
Ԧ�+0=Ԧ�
–Elemento oposto
Ԧ�+−Ԧ�=0
20
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21. Adição de Vetores
•A subtração de vetores pode ser escrita
com uma adição, sabendo que:
�−Ԧ�=�+−Ԧ�=�+(−1∙Ԧ�)
•No paralelogramo o vetor subtração é
visto comoa diagonal opostaaovetor
soma
21
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22. Adição de Vetores
•Exemplo 6: Com base na figura abaixo,
calcule os seguintes vetores:
22
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a)��+��
b)��+��
c)��+��
d)��−��
e)��−��

23. 23
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24. Tratamento Algébrico
•Os vetores são representados no plano e no espaço
através de vetores base unitários e ortogonais (Ԧ�e Ԧ�)
24
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Ԧ�=�.Ԧ�+�.Ԧ�
�:componente abscissade Ԧ�
�:componente ordenadade Ԧ�
Ԧ�=(�,�) Expressão Analítica

25. Tratamento Algébrico
•Operação com Vetores
Sejam �=�
1,�
1eԦ�=�
2,�
2e α∈ℝ
1.�+Ԧ�=�
1+�
2,�
1+�
2
2.��=��
1,��
1
•Exemplo 7: Dado os vetores �=2,−3e Ԧ�=−1,4,
determiner:
–A) 3�+2Ԧ�
–B) 3�−2Ԧ�
•Exemplo 8: Determinar o vetor Ԧ�na igualdade 3Ԧ�+2�=
1
2
Ԧ�+Ԧ�, sendo �=3,−1e Ԧ�=−2,4
25
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26. Tratamento Algébrico
•Vetores definidos por dois pontos
–Considerando o vetor��de origem no ponto A=�
1,�
1e
término no ponto B=�
2,�
2
–Este vetor será dado por ��=B−A=(�
2−�
1,�
2−�
1)
26
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Por ser um vetor, sua representação
pode ocorrer em qualquer lugar do
plano: ��=�

27. Tratamento Algébrico
•Vetores definidos por dois pontos
•Exemplo 9: Dado os pontos A=−1,2, B=3,−1e ,C=
−2,4, determinar o ponto D, de modo que ��=
1
2
��
27
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28. Tratamento Algébrico
•Ponto Médio
–O Ponto médio de um vetor pode ser calculado como a média
de suas coordenadas
28
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Exemplo 10: Dado os pontos A=−2,3
e B=6,2, calcular o ponto médio M.

29. Tratamento Algébrico
•Paralelismo de dois vetor
–Dois vetores �=�
1,�
1e Ԧ�=�
2,�
2são ditos paralelos
somente se existir um valor real �tal que �=�Ԧ�
–Ou seja:
�1
�2
=
�1
�2
=�
29
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Exemplo 11:Verifique se os vetores abaixo são paralelos:
a) �=2,3e Ԧ�=−6,−9
b) Ԧ�=5,7e Ԧ�=15,28

30. Tratamento Algébrico
•Módulo
O módulo de um vetor pode ser calculado através de suas
coordenadas da seguinte forma:
Assumindo �=�
1,�
1, logo |�|=�
1
2
+�
2
30
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Exemplo 12:Considere os vetores �=−1,3e
Ԧ�=−4,3para calcular os seguintes
módulos:
a)|�|+|Ԧ�|
b)�+Ԧ�
c)|2�−3Ԧ�|

31. Tratamento Algébrico
•Módulo
O cálculo do módulo de um vetor também é útil como
ferramentas para as seguintes aplicações:
–Cálculo da distância entre dois pontos
•a distância entre dois pontos A e B (d
AB) pode ser calculada como sendo o
módulo do vetor ��
–Cálculo do vetor versor
•Como estudado, o versortem a mesma direção e sentido de um dado vetor, mas
como módulo igual a 1
Ԧ�=
�
|�|
31
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Exemplo 13:Represente os pontos A(2, -1) e B(-1,4) no plano XY e
calcule a distância entre os pontos.
Exemplo 14:Calcule o versordo vetor �=2,−3e esboce
ambos osvetoresno planoXY.

32. Tratamento Algébrico
•Conversão de coordenadas retangulares
As coordenadas de um vetor podem ser obtidas com base
na sua magnitude e ângulo entre os vetores
–??????
32
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x=|�|.cos??????
y=|�|.sen(??????)
??????
Exemplo 15:calcule as coordenadas X e
Y do vetor �que possui módulo igual a
12 e orientação na direção nordeste.

33. Tratamento Algébrico
•Representação com vetores unitários
Os vetores podem ser representados com base em vetores
unitários ortogonais:
–�: orientação em x
–�: orientação em y
–�: orientação em z
Exemplo:
•�=1,−5=�−5�
33
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34. Tratamento Algébrico
•Representação no espaço
–Todos os conceitos estudados anteriormente são válidos no
espaço tridimensional.
–Porém, sua representação é mais difícil à mão livre.
•Neste caso recomenda-se utilizar outro software de visualização
–Exemplo: Geogebra3D = https://www.geogebra.org/3d
34
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35. 35
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36. Utilizando o GeogebraOnline
•O GeoGebraé um aplicativo de matemática que
combina conceitos de geometria e álgebra em uma
interface gráfica.
•Este softwares foi criado em 2001 por um professor
de matemática como uma forma de facilitar a
compreensão dos conteúdos estudados em sala de
aula
•Nele é possível realizar cálculos com pontos, vetores,
equações, entre outros, e gerar a sua representação
gráfica no plano 2D e 3D
–Além disso, o software possui um interface de
programação que permite a geração de appletsdidáticos.
•Existe várias comunidades de professores desenvolvendo
appletspara o GeoGebra
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37. Utilizando o GeogebraOnline
•2D
–Acesso através do endereço
https://www.geogebra.org/calculator
–Pode ser utilizado a interface gráfica ou linha
de comando para inserir os pontos e vetores.
•Vejamos a seguir alguns exemplos de
utilização da ferramenta online
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38. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra1:
–Criar os pontos A(-3,2), B(1,3) e C(3,-5).
•A=(-3,2)
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39. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra2:
–Criar os vetores �=��e Ԧ�=��
•u=vector(Ponto1,Ponto2)
–u=vector((-3,2),(1,3)) ou u=vector(A, B)
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40. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra3:
–Criar os vetores Ԧ�=�+Ԧ�
•t=u+vou t=vector(A,C)
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40

41. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra4:
–Calcular o módulo do vetor Ԧ�
•|t| ou |vector(Ponto1,Ponto2| ou abs(t)
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42. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra5:
–Repetir o Exemplo 6, considerando que os
quadrados possuam lado igual 1 usando o
quadrante positivo
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42
a)��+��
b)��+��
c)��+��
d)��−��
e)��−��

43. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra5:
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43

44. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra5:
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44

45. Utilizando o GeogebraOnline
•3D
–Acesso através do endereço
https://www.geogebra.org/3d
–A utilização é semelhante à versão 2D, mas
utilizando os eixos X, Y e Z!
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46. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra6:
–Criar os pontos A(-3,2,4), B(1,3,1)
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47. Utilizando o GeogebraOnline
•Exemplo GeoGebra7:
–Criar o vetor �=��
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47

48. 48
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49. Produto de Vetores
•A multiplicação ou produto entre vetores é
dividida em 2 tipos:
–Produto Escalar
•Resulta em um valor escalar
–Produto Vetorial
•Resulta em um vetor
49
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50. 50
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51. Produto Escalar
•Definição algébrica :
–Considerando dois vetores �=�
1�+
�
1�+�
1�e Ԧ�=�
2�+�
2�+�
2�
–O produto escalar entre �e Ԧ�é dado por:
�∙Ԧ�=�
1�
2+�
1�
2+�
1�
2
Exemplo 15: Dado os vetores �=3�−5�+8�e Ԧ�=
4�−2�−�, calcule �∙Ԧ�
Exemplo 16:
51
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52. Produto Escalar
•Propriedades:
•Exemplo 17:
52
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53. Produto Escalar
•Definição Geométrica:
•Exemplo 18:
53
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54. Produto Escalar
•Observações:
54
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Pode ser utilizado para
verificar de dois
vetores são ortogonais!

55. Produto Escalar
•Exemplo 19:
•Exemplo 20:
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55

56. Produto Escalar
•Calculo do ângulo entre dois vetores
•Exemplo 21
•Exemplo 22:
56
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57. Produto Escalar
•Ângulos diretores e cossenos diretores
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57
Pode ser utilizado para calcular o
versor!

58. Produto Escalar
•Exemplo 23:
•Exemplo 24:
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58

59. Produto Escalar
•Projeção de um vetor sobre outro
–Muitas vezes é interessante encontrar a projeção de um vetor
em outra direção ou outro vetor.
•Essa projeção pode ser vista como a “sobra” do vetor naquela direção.
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59

60. Produto Escalar
•Projeção de um vetor sobre outro
–Exemplo 25:
–Exemplo 26:
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60

61. 61
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62. Produto Vetorial
•O produto vetorial pode ser calculado
como sendo o determinante da matriz
formada pelos vetores e seus vetores
bases
62
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63. Produto Vetorial
•Revisão –Cálculo do determinante de
uma matriz:
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63
Fonte: https://blogdoenem.com.br/determinantes-definicao-calculo/

64. Produto Vetorial
•Exemplo 27:
64
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65. Produto Vetorial
•Propriedades:
–Vetor Oposto
–Vetores Paralelos
65
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66. Produto Vetorial
•Propriedades:
66
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67. Produto Vetorial
•Características do produto vetorial:
–Direção de �×Ԧ�:
•Ortogonal a �e Ԧ�
Exemplo 28: Verifique a ortogonalidade do produto
vetorial dos seguintes vetores
67
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68. Produto Vetorial
•Características do produto vetorial:
–Sentido de �×Ԧ�:
•O sentido é definido pela regra
da mão direita (forma gráfica)
68
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69. Produto Vetorial
•Características do produto vetorial:
–Comprimento de �×Ԧ�:
•Analítico:
•Geométrico:
–Área do paralelogramo formado entre �e Ԧ�
69
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70. Produto Vetorial
•Características do produto vetorial:
–Exemplo 29
70
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71. Produto Vetorial
•Relações com o paralelogramo:
71
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72. Produto Vetorial
•Relações com o paralelogramo:
72
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73. 73
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74. Produto Misto
•O produto misto é visto como o produto
escalar de um vetor com o produto vetorial
de dois outros vetores
•Exemplo 30
74
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75. Produto Misto
•Propriedades:
75
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76. Produto Misto
•Exemplo 31:
•Exemplo 32:
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76

77. Produto Misto
•Interpretação Geométrica
–O módulo do produto misto entre os vetores não
coplanares �, Ԧ�e �é igual ao volume paralelepípedo
formado pelos vetores
77
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78. Produto Misto
•Interpretação Geométrica
–Da mesma forma, o volume de tetraedros podem ser
calculados pela relação com o paralelepípedo:
78
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79. Produto Misto
•Exemplo 33:
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79

80. Próxima Aula
•Capítulo 2 –Reta
80
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