Circunferencia trigonométrica

problemas resueltos de Circunferencia Trigonométrica
VISITA: piloge

1. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA

1. ¿Qué valores puede tomar “x”
para que se cumpla: x 2 x 1
Sen
32
siendo
un arco del tercer cuadrante?

A) 5
3
;
5
1 B) 5
2
;
5
1 C) 1
1;
5
D) 5
2
;0 E) 5
3
;0

RESOLUCIÓN
6
15
2
1
3
2 xxx
Sen

Como: 01SenCIII

5x 1
10
6
6 <5x 1 > 0
5 <5x < 1
1 < x < 1
5

5
1
;1x
RPTA.: C

2. Si:1-2x
sen " " IIIC
3 ;
Halle la variación de “x”
A) 2;
2
1 B) 2
1
;2
C) 2;
2
1 D) 2;2
E) 1;1







RESOLUCIÓN
Si: CIII"" 01sen

Como: 0
3
21
1
3
21 xx
sen
0213 x


1
"x" ;2
2

RPTA.: C

3. Indique el producto de los
valores mínimo y máximo de la
expresión: ;2cos34
32
senQ


A) 18 B) 36 C) 9
D) 40 E) 20

RESOLUCIÓN
Sabemos:
3cos301cos0
22 ….(i)
.(ii)

(i) + (ii):




Mínimo
Q “Q” Màximo
Q

mínimo máximo
Q 18


RPTA.: A




124x 2
1
2x 22211
33
sensen 52cos32
32
sen 92cos342
32
sen

2. 4. Determine la veracidad (V) o
falsedad (F) de c/u de las
siguientes proposiciones
(I) sen2 > sen1 > sen3 ( )
(II) sen 6 > sen4 > sen5 ( )
(III)cos 6 cos1 cos5 ( )
(IV)cos 2 cos4 cos3 ( )

A) FFVV B) VVFF
C) VVFV D) FVFV
E) VFVF

RESOLUCIÓN
1,57
2











Según la C.T. las proposiciones
serán:
(I) (V)
(II) (V)
(III) (F)
(IV) (F)
RPTA.: C

5. Si:21
xx
2 ; analizar la
verdad (v) ó falsedad (F) de las
siguientes proposiciones:
I. 12
senx senx
II. 12
cos( x ) cos( x )
III. 12
tgx tgx
IV. 12
ctg( x ) ctg( x )

A) VVFV B) VFVF
C) VVVF D) VFFV
E) VFFF
RESOLUCIÓN









I. 2, xsenxsen (V)
II. )cos()(cos
21 xx (F)
III. 21 xtgxtg (F)
IV. )()1(
2xctgctg (F)
RPTA.: E

6. Halle el mínimo valor de: 2
E 5 cos a 3sen b
siendo “a” y
“b” ángulos diferentes.

A) -4 B) -5 C) -6
D) -7 E) -8

RESOLUCIÓN

Como:
Min
E 5 1 3(1)
Min
E8

RPTA.: E

7. Calcule el valor máximo que
toma la expresión:
4senx 3
E
4 senx

1
6
4
2
O
52 6,28
cos 2
cos 1
cos 3
cos 4
cos 5
cos 6
sen
1
sen
2
sen
4
sen
5
sen 3314
3
sen
63
4,71
2 2
x 1
x 2 2
E 5cosa 3senb MínMín Máx

3. A) 3
7 B) 5
1 C) 5
2
D) 4
7 E) 5
3



RESOLUCIÓN
Como: 44
4
34
xsen
xsen
E
4
4
19
xsen
E


Pero: 11 xsen 543 xsen

3
1
4
1
5
1
xsen 5
1
5
1
3
7
máxEE

RPTA.: B

8. Si: x IVC y 3a 1
cosx
4
Entre que límites está “a”

A) 1;
3
1 B) 1;1
C) 1;
2
1 D)
E) 2;1

RESOLUCIÓN
Como:1cos0 x

1
3
1
a
1;
3
1
a
RPTA.: A

9. Calcule el intervalo de y (2senx 1)(2senx 1)


A) 3;2 B) 3;0
C) 3;1 D) 4;1
E) 2;1

RESOLUCIÓN
Como: 14
2
xseny
Pero: 10
2
xsen
440
2
xsen
31y
3;1y
RPTA.: C

10. Halle los valores de cos x 30
, si x 0;30

A) 1;
2
1 B) 1;
2
3
C) 2
3
;
2
1 D) 2
1
;
2
3
E)

RESOLUCIÓN

Como:










2
3
;
2
1
30cosx

RPTA.: C
1;
4
1 1
4
13
0
a 1;1 300x 603030x 30º
60º
cos 60º
cos 30º
C.T.
O
O

4. 11. Si II C y
determine la variación de “2
csc
”

A) B)
C) 4
3
;
4
3 D) 5
7
;
5
3
E) 4;
4
9

RESOLUCIÓN
1
1
1csc
sen
Como CII
21110 sensen
2
1
1
1
2
3
1
1
1
2
1
sensen

csc
Luego: 4csc
4
9
2
4;
4
9
csc
2
RPTA.: E

12. Determine la extensión de “ ”
que cumple con:
2 2sen 1 3 1
1
22

A) 6
5
;
3
2 B) 6
5
;
3
2
C) 6
5
;
3 D) 6
5
;
3
2
E) 6
5
;
3
2





RESOLUCIÓN
2
13
2
12
1
sen
2
3
2
1
sen










25
;
36
RPTA.: C

13. En la figura mostrada halle las
coordenadas del punto “P”














A) P sen ; cos
B) P sen ; cos
C) P sen ; cos
D) P cos ; sen
E) P sen ; cos 1
2
csc
sen
sen 10;
2
9 5
2
;
5
3
O
P(x,y)
x
y
C.T.
A1
1
1 2
3
5
6
O
C.T.

5. RESOLUCIÓN









RPTA.: E

14. En la circunferencia
trigonométrica mostrada halle
el área de la región sombreada.











A) 2
1,5.sen .cos
B) 2
1,5.sen .cos
C) 2
3.sen .cos
D) 2
3.sen .cos
E) 2
sen .cos

RESOLUCIÓN










Del gráfico: 2 cos cos
S sen
2

3 cos
S sen
2

3 cos
S sen
2


2
S 1,5 sen cos
RPTA.: A

15. En la figura halle PR , si: 5
sen
7












A) 11
7 B) 10
7 C) 7
11
D) 7
10 E) 2

RESOLUCIÓN













O
x
y
C.T.
1
1
1 x
y

R
C.T.
P
A
1
1 O
x
y
C.T.
cos ;sen
sen ;cos P sen ;cos O
x
y
S 2cos sen cos
C.T. x
R
C.T.
1
y
cos 5
sen
7
M
O
P
1

6. 49
24
cos
2
222
cos2senPR
222
cos4senPR
49
24
4
49
252
PR
49
1212
PR

11
PR
7
RPTA.: C

16. En la circunferencia
trigonométrica determine el
área de la región en término de
“ “ siendo OP PB .














A) sen
2cos 1 B) sen cos
2

C) 2
2cos
2sen 1 D) sen cos
2sen 1

E) 1 2cos .sen
sen
RESOLUCIÓN












() (+) cos sen 1
S2
22

2
.
2
cos.
u
sen
S
RPTA.: B

17. Del gráfico mostrado calcule el
área del cuadrilátero
sombreado.













A) 0,5 sen cos
B) 0,5 sen cos
C) 0,5 cos sen
D) 0,5 sen cos 2
2
2
cos
7
5
1:PMO 222
: MRPMPRPMR y
A
P
M
Q
B’
o
C.T. x
y
´ y

B’cos
2 cos sen

7. E) 0,5sen cos

RESOLUCIÓN 21SSS

Calculamos














1
1
S (cos )
2
2
1
S (sen )
2
S 0,5(sen cos )

RPTA.: A

18. Si se sabe que: “ ” 210;135
, dar la variación de:1cos.2P


A) 2
2
;1 B) 0;21
C) 1;2 D) 0;21
E) 0;21
RESOLUCIÓN











Se observa:
Si: 210135
2
2
cos1 1cos22
01cos221

0;21P
RPTA.: D


19. Si:2 sen 1 8 5cos ,
halle: “csc sec “

A) 2 B) 4
9 C) 4
1
D) 4
9 E) 4
1

RESOLUCIÓN
Condición: cos5812sen


Se observa que: 101 sensen

1sen 1sen 1csc
¡Incompatible!
Reemplazando en la condición: cos5802
2
S
1
S
sen
cos x
y
C.T.
210º
180º
135ºcos cos180º 1 2
cos135º
2 3
cos210º
2

8. 5
4
cos 1csc
4
1
4
5
1seccsc
RPTA.: C

20. Si 3
;
4 , de la
circunferencia trigonometrica
determina la variación de la
región sombreada.











A) 2
2
;
2
1 B) 2
2
;0
C) 2
1
;0 D) 2
2
;
2
1
E) 2
3
;
2
1

RESOLUCIÓN








cos1
2
1
senS
)cos(
2
1
senS
4
2.
2
1
senS

Como: 4
3 4
3
42
1
42
2
sen
2
2
4
.
2
2
2
1
sen

2
2
;
2
1
S
RPTA.: A


21. Halle el área de la región
sombreada en términos de “
”.












A) 1 cos B) 1 sen
C) 1 sen D) 1 cos
E) 2sen
22
x y 1 y
x cos sen;cos sen cos;sen

9. RESOLUCIÓN














A = (1 + sen) x 1
A = 1 + sen
RPTA.: C


22. Calcule “tg ” en el siguiente
circulo trigonométrico.

A) 2
2
B) 2
C) 2
1
D) 2
3
E) 1

RESOLUCIÓN
a + b = 1 …
( OBT) = BPR b
a1
2
1
1


2b = 1 + a

2b - a = 1...

3b = 2 3
2
b
3
1
a

b
a
tg ,CIII )(tg 2
1
3
2
3
1
tgtg

RPTA.: C

23. El siguiente gráfico es una
circunferencia trigonométrica.
Calcule el área del triángulo
EBF.









A) cos B) 2cos
C) sen D) 2sen
E) 1
sen
2
==
x
y
1
A
C.T. x
y
A
C.T.
B
F
E y
x cos sen
1 + Sen

1

10. RESOLUCIÓN














Área cos)2(
2
1
EBF
Área cosEBF
RPTA.: A

24. Si: 132 xtg , entonces
todos los valores de “x” en ;0
que verifique la
desigualdad, se encuentran
comprendido en:

A) ;
32 B) ;
43
C) 23
;
32 D) ;
63
E) 6;0

RESOLUCIÓN


3
3
3
1
xtg 3
;
6
x
3
3 3

RPTA.: D


1331tan321 xtgx B
F
E
cos
1