Clase 1- Variables. Funciones. Cálculo diferencial e Integral

Clase de funciones y variables

1. UNIDAD I: VARIABLES. FUNCIONES.
Coordenadas cartesianas ortogonales y polares.
Transformación (proyección). Funciones.
Campo de definición de una función. Cotas.
Clasificación de las funciones. Composición de
funciones. Funciones monótonas. Funciones
escalonadas.
Objetivos Instructivos.Con esta clase pretendemos que los alumnos
sean capaces de conocer:
•Las diferentes formas de representar un punto en un plano, mediante
coordenadas.
•La definición defunción.

2. 2

3. 3
Coordenadas

4. 4

5. 5
Unaforma deindicarunadirección,cuandono
sabemoslacalley elnúmeroexactoesdecir,“debes
caminar5cuadrasal Este y 2cuadrasal Sur”.
Otraforma deproporcionarunadirecciónesdecir
“Caminamediokilómetroenesadirección”
Matemáticamenteexistendosformasdedaruna
dirección,mediantecoordenadascartesianaso
mediantecoordenadaspolares. En laprimera,cada
puntoesdeterminadapordosnúmeros, en lasegunda
esdeterminadaporunadistanciay unángulo.

6. 6
¿Por quéno formar dos
direcciones básicas, una tomada
horizontalmente y la otra vertical
(a partir de un punto central O,
llamadoorigen) que se utilizasen
como líneas de medición para
situar en un plano, cualquier
punto P deseado?
A cada punto del plano le corresponde, un par de números
reales x e y, inversamente, a cada par de números reales
le corresponde un punto y sólo uno. Los dos números
escritos "(x,y)" se dicen lascoordenadasdel punto P,
respectivamente la coordenada x y la coordenada y
(llamadas abscisa y ordenada).

7. 7

8. 8

9. 9

10. 10
?q
RadioInicial
r
Lascoordenadaspolares
?(?),r?q
Determinanlaposiciónde un
punto.

11. 11
1 2 0
2
r
?p
?q? ? ? ?
r a?=
o
?q ?q?=
Circunferenciacentradaen elorigen
Rectaquepasaporelorigen
Ciertascurvassonmásfácilesdedescribiren
coordenadaspolares.
Sector Circular

12. 12
30
o
2
Másde un par decoordenadaspuedenreferirseal
mismopunto.
?(?)2,30
o
?(?)2,210
o
?= ?-
?(?)2, 150
o
?= ?- ?-
210
o
150
o
?-
Todaslascoordenadaspolaresdelpuntosonentonces:
?( ?)
?( ?)
2,30 360
2, 150 360 0, 1, 2 ...
o o
o o
n
n n
?+ ??
?- ?- ?+ ?? ?= ? ?

13. 13
PruebaparalaSimetría:
Ejex: Si (r,?q)estáen elgráfico,tambiénloestá(r,-θ).
-1
0
1
1 2
?q
r
2cosr ?q?=
?q?-
r

14. 14
PruebaparalaSimetría:
Ejey: Si (r,?q)estáen elgráfico,tambiénestá(r,?p-θ)ó(-r,-θ).
?q
r
2sinr ?q?=
?p ?q?-
r
0
1
2
-1 1
?q?-

15. 15
PruebaparalaSimetría:
Origen: Si (r,?q)estáen elgráfico,entoncesestá(-r,θ)ó(r,θ+?p)
?q
r
?q ?p?+
r
-2
-1
0
1
2
-2 -1 1 2
tan
cos
r
?q
?q
?=?

16. 16
PruebaparalaSimetría:
Si ungráficoposeedossimetrías,entoncesposeelastres:
-2
-1
0
1
2
-2 -1 1 2
?(?)2cos 2r ?q?=

17. 17
Funciones
Greg Kelly, Hanford High School, Richland, WashingtonPhoto by Vickie Kelly, 2004
Golden Gate Bridge
San Francisco, CA

18. 18
Unarelaciónesunafunciónsi:para
cadaxexisteunúnicovalor de y.
Unarelaciónse diceuno-a-unosi
también,paracaday,existeunúnico
valor de x.
Enotraspalabras,unafunciónesuno-
a-unosobreundominioD,si:
?(?)?(?)f a f b? siendoa b?

19. 19
Para serunafunciónuno-a-uno,sugráficosolodebe
intersectarunarecta horizontal y vertical en unúnico
punto.
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5-4-3-2-1 12345
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5-4-3-2-1 12345
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5-4-3-2-1 12345
31
2
y x?=
21
2
y x?=
2
x y?=
uno-a-uno noesuno-a-unoNoesunafunción
(tampocoesuno-a-uno)

20. 20
Sean dados dos conjuntos X e Y. Si a cada elemento
x??Xse le hace corresponder, por una cierta relación
uno y solamente unelementoy??Y, el cual denotaremos
y=f(x), entonces se dice que sobre el conjunto X está
definida lafunciónf. Al conjunto X se le llamadominio
de definición de la función f y al conjunto de todos los
y??Ypara los cuales existe unx??X, tal quef(x)=y se le
llama imagen de X por la función f o, simplemente,
imagende f. A la cantidad variable x se le llama
argumento o variable independientey a la cantidad y se
le denominavalor de la función en el punto x, variable
dependiente de x o también imagen de x por f. Al
conjunto Y en el cual toma valores la función, se le
llama frecuentementecodominiode la función f.

21. 21
Se define comográficode la función y=f(x) al conjunto
de los puntos del plano cartesiandocon las
coordenadas (x,f(x)), dondex??Domf.
Funciones compuestas
Seanf:A?Ryg:B?Rdos funciones reales tales que
Imf??Domg entonces, a cadax??Domf le hacemos
corresponder de manera natural el número z tal que
z=g[y], donde y=f(x). La función definida por la relación
z=g[f(x)] se le llamafunción compuestaosuperposición
de las funciones f y g, y se denota z=(gof)(x).

22. 22
Funcionesinversas:
?(?)
1
1
2
f x x?= ?+
Dado un valor dex,podemosencontrarun
valor dey.
1
1
2
y x?= ?+
1
1
2
y x?- ?=
2 2y x?- ?=
2 2x y?= ?-
Intercambiandoxey:
2 2y x?= ?- ?(?)
1
2 2f x x
?-
?= ?-
(lainversade f)
Losgráficosde
las funciones
inversas, son
simétricos
respectoay=x.
Despejandox:
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5-4-3-2-1 12345

23. 23
Funciones elementales
y=c, c constante
y=x
r
, r real
y=a
x
, a>0, a?1,
y=log
a
x, a>0
y=sen x, y=cos x, y=tan x, y=cot x
Cuando una función solo toma valores constantes,
es decir, cuando toma diferentes valores sobre
distintos subconjuntos de su dominio (intervalos), se
dice que es unafunción escalonada.

24. 24
Consideremos ?(?)
x
f x a?=
Estaesunafuncióninyectiva,portanto,poseeinversa.
Lainversaesllamadalafunciónlogaritmo.
Ejemplo:
4
16 2?=
2
4 log 16?= O sea, 2¿aquépotencia
es16?
Las basesmáscomunesson 10:
10
log logx x?=
ye: log ln
e
x x?=
lny x?= esllamadalafunciónlogaritmonatural.
logy x?= esllamadalafunciónlogaritmocomúno decimal.

25. 25
En el Calculus seusacasiexclusivamenteel
logaritmonatural.
y=lnx.
y=logx.

26. 26
Propiedadesde loslogaritmos
log
a
x
a x?=log
x
a
a x?=?( ?)0 , 1 , 0a a x?> ? ?>
Puestoquelog y laexponenciaciónsonfunciones
inversas,podemoshacer-deshacer,unaapartirde laotra.
Regladelproductolog log log
a a a
xy x y?= ?+
Regladelcocientelog log log
a a a
x
x y
y
?= ?-
Reglade lapotencialog log
y
a a
x y x?=
Fórmuladecambiode base
ln
log
ln
a
x
x
a
?=

27. 27
Ejemplo:
$1000esinvertidoal 5.25 % deinterésanualcompuesto.
¿Enquétiempotendré$2500?
?(?)1000 1.0525 2500
t
?=
?(?)1.0525 2.5
t
?= Usamos logaritmoscuando
tenemos un exponente
desconocido.?(?)ln 1.0525 ln2.5
t
?=
?(?)ln 1.0525 ln2.5t ?=
?(?)
ln2.5
ln 1.0525
t?= 17.9? 17.9años
En lavidareal,Ud.tendráque
esperar18años.

28. 28
Ejemplo:
Produccióndecrudode Indonesia (millonesde
barrilesporaño):
1960 20.56
1970 42.10
1990 70.10
Use ellogaritmonatural,para
estimarlaproduccióndecrudo
en 1982 y en el 2000.
¿Comosabemosqueunaecuaciónlogarítmicaesapropiada?
En lavidareal,necesitamosmáspuntosomásexperiencia.

29. 29
FuncionesExponenciales
Greg Kelly, Hanford High School, Richland, WashingtonPhoto by Vickie Kelly, 2008
Acadia National Park, Maine

30. 30
Recordemos, avecesloscontenidos
estánen loslibros, avecesno,es
necesariotomarnotasde lomás
trascendente.

31. 31
ElCrecimientode laPoblaciónpuedesermodeladoconuna
funciónexponencial:
Razón:
5023 4936 1.0176? ?
5111 5023 1.0175? ?
1.0176
1.0246
1.0175
PoblaciónMundial
1986 4936millones
1987 5023
1988 5111
1989 5201
1990 5329
1991 5422
Lapoblaciónmundialencualquieraño,es1.018veces
(aproximadamente) la delañoanterior.
en el 2010: ?(?)
19
5422 1.018P?= ?? 7609.7?
Sobre7.6billonesde personas
Añosdesde1991.

32. 32
ElDecrecimientoRadioactivotambiénpuedesermodelado
conunafunciónexponencial.
Supongaquecomienzaatrabajarcon 5gramosdeuna
sustanciaradioactiva,queposeeunavidamedia de 20días.
¿Cuándotendremossolo ungramo?
Despuésde 20días:
1 5
5
2 2
?? ?=
40días:
2
51
5
42
?? ??
?? ?=?? ??
?? ??
tdías:
201
5
2
t
y
?? ??
?= ???? ??
?? ??
Paradeterminart,usaremoslogaritmo.

33. 33
Porloquea los 46días, 10horas, 31minutos, 31
segundosy 7479diezmilésimas,tendremosungramode
lacantidadoriginal.
20
2
1
5lnln
t
y ??
??
??
??
??
??
?=
20
2
1
ln5lnln
t
y ??
??
??
??
??
??
?+?=porpropiedades
Dedonde ??
??
??
??
??
??
?=
2
1
ln
205
ln
ty
buscamost,cuandoy=1,luego:
4385619.46
2ln
5ln
20??=t

34. 34
CrecimientoExponencial

35. 35

36. 36
Elnúmerodecabrasenunamanada,creceenunarazón
queesproporcionalalnúmerodeellasencadamomento.
Asísecomportacualquierpoblacióndecriaturasvivas.
No obstante,lassustanciasradioactivasy losdepósitos
bancariosbajointerés,tambiéncrecenodecrecenenuna
razónproporcionala lacantidaden untiempodado.
Si larazóndecambioesproporcionala lacantidad
presente, elcambiopuedesermodeladoporlaecuación:
dy
ky
dt
?=

37. 37
0
kt
y ye?=LeydeCrecimientoExponencial
y
0
eslapoblaciónoriginal. Si laconstantekespositiva
entonceslapoblacióncreceysikesnegativaentonces
lapoblacióndecrece.
Existeninnumerablesyexcelentesejemplosen la
bibliografíaindicada, loquehaceinnecesario
presentarlosaquí.

38. 38
InterésCompuestoContinuo
Si un capitalesinvertidoconinteréscompuesto,dondela
capitalizaciónserealizakvecesen elaño, elmonto
obtenidodespuésde tañoses:
?(?)
0
1
kt
r
A t A
k
?? ??
?= ?+
?? ??
?? ??
Si lacapitalizaciónserealizamásffrecuentemente,es
claroqueseobtendráunmontomayor.
Lomejorquepuedepasar,es
quelacapitalizaciónsea
continua.

39. 39
Porsupuesto, elbanconoempleaestacapitalización,pues
elcálculodeinteresesdebehacerlodemaneracontinua y
no hayequipamientocapazdehacerlo.
Sedemuestraque
0
lim 1
kt
k
r
A
k
??
?? ??
?+
?? ??
?? ??
esel mayormontoposibley se llamaMontoMáximo.
Elinterésesproporcionalal capital en unmomentodado,
loquetransformalaleyen:
0
rt
A Ae?=
Tambiénseescribe:
queeslamismacosa.
rt
eAM
0?=

40. 40
DecrecimientoRadioactivo
Laexpresiónparalacantidad
de unelementoradioactivo,
despuésde untiempotes:
0
kt
y ye
?-
?=
Paraqueestoilustreel
decrecimiento, laconstantek,
debeserpositiva.
Comodijimos, lavidamediaeseltiemporequeridopara
quesedesintegrelamitaddelelemento.

41. 41
Vida Media
0 0
1
2
kt
y ye
?-
?=
?(?)
1
ln ln
2
kt
e
?-?? ??
?=
?? ??
?? ??
ln1 ln2kt?- ?=?-
0
ln2kt?=
ln2
t
k
?=
Vida Media
k
VM
2ln
?=

42. 42
LeydeEnfriamientode Newton
Uncortadoenunataza, seenfríaa latemperatura
ambiente. Larazóndeenfriamientoesproporcionala la
diferenciaentre latemperaturadellíquidoy elaire.
(asumamosquelatemperaturadelaireesconstante)
Asítenemoslaecuación: ?[?]
s
dT
k T T
dt
?=?- ?-
Yobtenemos:
LeydeEnfriamientode Newton
?[?]
0
kt
s s
T T T T e
?-
?- ?= ?-
dondeT
seslatemperatura
ambiente,tomadaconstante.

43. 43
Hyperbolic Functions
FuncionesHiperbólicas

44. 44

45. 45
Consideremoslassiguientesdosfunciones:
2 2
x x x x
e e e e
y y
?- ?-
?- ?+
?= ?=
Estasfuncionesaparecenfrecuentemente,porloque
sehizonecesariodarlesnombres.
Elcomportamientodeestasfuncionestienesimilitud
con el delasfuncionestrigonométricas,porloque
ellashanrecibidonombressimilares.

46. 46
SenoHiperbólico: ?(?)sinh
2
x x
e e
x
?-
?-
?=
CosenoHiperbólico:?(?)cosh
2
x x
e e
x
?-
?+
?=

47. 47
TangenteHiperbólica: ?(?)
?(?)
?(?)
sinh
tanh
cosh
x x
x x
xe e
x
x e e
?-
?-
?-
?= ?=
?+
CotangenteHiperbólica:?(?)
?(?)
?(?)
cosh
coth
sinh
x x
x x
xe e
x
x e e
?-
?-
?+
?= ?=
?-
SecanteHiperbólica: ?(?)
?(?)
1 2
sech
cosh
x x
x
x e e
?-
?= ?=
?+
CosecanteHiperbólica: ?(?)
?(?)
1 2
csch
sinh
x x
x
x e e
?-
?= ?=
?-

48. 48
Primero,unafácil:
Porsupuesto,sitenemosfuncionessemejantesalas
trigonométricas,tambiéntendremosidentidades
semejantesalastrigonométricas.
?(?)?(?)sinh cosh
x
x x e?+ ?=

49. 49
?(?)?(?)sinh coshx x?+
?(?)?(?)sinh cosh
x
x x e?+ ?=
2
2
x
e
?=
x
e?=
2 2
x x x x
e e e e
?- ?-
?- ?+
?= ?+
Debemosdestacar,queéstanotieneninguna
analogíaenlasidentidadestrigonométricas.

50. 50
2 2
cosh sinh 1x x?- ?=
2 2
1
2 2
x x x x
e e e e
?- ?-
?? ?? ?? ???+ ?-
?- ?=?? ?? ?? ??
?? ?? ?? ??
2 2 2 2
2 2
1
4 4
x x x x
e e e e
?- ?-
?+ ?+ ?- ?+
?- ?=
4
1
4
?=
1 1?=

51. 51
2 2
cosh sinh 1x x?- ?=
Notemosqueessimilar,peronoeslomismoque:
2 2
sin cos 1x x?+ ?=

52. 52
Applicacionesde
lasFunciones
Hiperbólicas
Greg Kelly, Hanford High School, Richland, Washington

53. 53

54. 54
Pareceunaparábola,
perono loes!!!!
Uncablecolgantetoma
unaformallamadauna
catenaria.
cosh
x
y b a
a
?? ??
?= ?+
?? ??
?? ??
(paraciertaconstantea)

55. 55
Otroejemplodecatenariaesel Gateway Arch en St. Louis,
Missouri.

56. 56
Otroejemplodecatenariaesel Gateway Arch en St. Louis,
Missouri.

57. 57
Si laresistenciadelairees
proporcionalalcuadrado
de lavelocidad:
?(?)ln coshy A Bt?=
yesladistanciaqueelobjeto
recorrreentsegundos.AyBson
constantes.

58. 58
bote
camión
Unaterceraaplicacióneslatractrix
(curvadepersecución).
Unejemplode lavidareal,modelado
porunatractrix,esuncamióncon
acopladoaldoblarunaesquina.
Otroejemploesunbote,sostenido
conunacuerda,porunapersona
quesedesplazaen laorilla.

59. 59
Ambassituaciones(yotras,por
supuesto)puedensermodeladas
por:
1 2 2
sech
x
y a a x
a
?-?? ??
?= ?- ?-
?? ??
?? ??
bote
a
camión
a
Unaterceraaplicacióneslatractrix
(curvadepersecución).

60. 60
Eltérminotractrixvienedellatíntractus,quesignifica
“para drenar, tirar o remolcar”.Nuestrofamiliar“tractor”
vienede lamismaraíz.
Otrosejemplosdeunacurvatractriz,eslatrayectoria
de unmisilquepersigueunavión, y la de uncorredor
quesedesplazaporlaveredaydebecambiarsu
rumbo.

61. 61
Funciones Monótonas
Si para dos valores x
1<x
2del dominio de la función f, se
cumple quef(x
1
)<f(x
2
), se dice que la función esmonótona
creciente en sentido estricto, sif(x
1
)≤f(x
2
) se dice que es
monótona creciente en sentido amplio. Si la conclusión es
f(x
1)>f(x
2) se dice entonces que esmonótona decreciente
en sentido estricto, si se tienef(x
1
)?f(x
2
) se diráentonces
que esmonótona decreciente en sentido amplio.
Es claro que si una función es monótona, entonces es uno a
uno, o sea, inyectiva.

62. 62
Una función se diceacotada superiormente, si existe una
constante K, tal quef(x)<K, para todo valor del dominio,
seráacotada inferiormentesi existe una constante k, tal
quek<f(x), para todo valor de su dominio. Una función es
acotadacuando es acotada superior e inferiormente, es
decir, cuando existen constantes k y K, tal quek<f(x)<K,
para todo elemento del dominio de la función. Los
números k y K son llamadoscotas de la función,inferiory
superior, respectivamente. Es claro que si existe una
cota, entonces existen infinitas. A la menor de las cotas
superiores se le denominasupremode la función, a la
mayor de las cotas inferiores se le llamaínfimode la
función. En caso que la función alcance su supremo,
este se llamarámáximo, análogamente, si alcanza su
ínfimo, se llamarámínimo.