Clase de matemáticas unidad 2 para pre universitarios

Diapositivas acerca de matemáticas, números reales

1. MATEMÁTICAS UNIDAD II n ÚMEROS REALES Y COMPLEJOS.

2. Expresiones algebraicas Definición de los números reales Los números reales son el conjunto de todos los números que se pueden representar en la recta numérica. Los números reales son aquellos números que pueden ser representados por una expansión decimal infinita que puede ser finita o periódica. En otras palabras, un número real es cualquier número que puede ser expresado como una fracción decimal finita, una fracción decimal infinita periódica o una fracción decimal infinita no periódica.

3. Existen 4 tipos de números reales NATURALES ENTEROS RACIONALES IRRACIONALES

4. Numeros Naturales (N) Los números naturales son aquellos números que se utilizan para contar y enumerar elementos en una colección finita. Estos números comienzan desde el número 1 y continúan indefinidamente hasta el infinito. Si se agrega a estos el numero cero 0 , se convierte en números enteros positivos ( )  

5. Numeros enteros (z) Son un conjunto numérico que incluye tanto a los números naturales como a sus opuestos negativos, junto con el cero. Estos números se utilizan para representar cantidades enteras y se extienden hacia los lados tanto en la dirección positiva como en la negativa. Los números enteros son el conjunto de todos los números naturales (1,2,3,...) junto con sus opuestos negativos (−1,−2,−3,...) y el cero (0). En notación matemática, el conjunto de números enteros se denota como 𝑍={...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}

6. Numeros RACIONALES (q) Un número racional es cualquier número que pueda ser expresado en forma de fracción, donde tanto el numerador como el denominador son números enteros y el denominador no es cero. En notación matemática, el conjunto de números racionales se denota como 𝑄. Los números racionales también pueden representarse en forma decimal. Exacta: Periódica pura: Periódica mixta:

7. Numeros irRACIONALES (I) Un número irracional es cualquier número real que no puede ser expresado como una fracción de dos enteros. En notación matemática, el conjunto de números irracionales se denota como 𝐼. Los números irracionales tienen una expansión decimal infinita no periódica. Esto significa que sus dígitos decimales no se repiten en un patrón. Los números irracionales no pueden ser representados como raíces exactas de números enteros. Por ejemplo, RAIZ de 2​, 𝜋, 𝑒 son números irracionales. Algunos números irracionales tienen representaciones decimales que son aproximaciones decimales, ya que no pueden ser escritos con precisión finita.

8. Resumen de números reales Los números reales son un conjunto de números que incluye a todos los números racionales e irracionales. Este conjunto es fundamental en matemáticas y se denota por la letra 𝑅R. A continuación, se detalla un resumen de sus principales características y subgrupos: Características de los Números Reales Continuidad: Los números reales llenan de manera continua la recta numérica, sin huecos. Densidad: Entre dos números reales cualesquiera siempre existen otro número real. Orden: Los números reales están ordenados, es decir, para cualquier par de números reales 𝑎a y 𝑏b, se puede determinar si 𝑎<𝑏a<b, 𝑎=𝑏a=b o 𝑎>𝑏a>b. Operaciones: Se pueden realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división (excepto por cero) con números reales, manteniendo siempre el resultado dentro del conjunto de los números reales.

9. Resumen de números reales Subconjuntos de los Números Reales Números Naturales (𝑁): Conjunto: {1,2,3,…} Propiedades: Incluyen solo los números positivos sin decimales ni fracciones. Números Enteros (𝑍): Conjunto: {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…} Propiedades: Incluyen números positivos, negativos y el cero, sin fracciones ni decimales. Números Racionales (𝑄): Conjunto: {𝑎𝑏∣𝑎,𝑏∈𝑍,𝑏≠0} Propiedades: Números que se pueden expresar como el cociente de dos enteros. Incluyen fracciones y números decimales finitos o periódicos. Números Irracionales: Conjunto: Números que no se pueden expresar como fracción de dos enteros. Propiedades: Decimales no periódicos ni finitos. Ejemplos incluyen 𝜋 y .  

10. Operaciones CON NÚMEROS REALES Las operaciones aritméticas son los PROCEDIMIENTOS matemáticos BÁSICOS que se pueden realizar con números REALES mediante reglas definidas y tienen como objetivo obtener un nuevo valor o resultado. Estas operaciones permiten RESOLVER PROBLEMAS, ESTABLECER RELACIONES CUANTITATIVAS Y COMPRENDER EL COMPORTAMIENTO DE LOS NÚMEROS.

11. Operaciones Básicas

12. SUMA O ADICIÓN. SUMANDO 1 SUMANDO 2 SUMA TOTAL Representación gráfica Ejemplos: 3+5=8 22+15+43=80 110+53+64=227 14+45+37+148=227

13. Propiedades de la suma o adición

14. Sumatoria de números quebRados

15. Resta o sustracción. MINUENDO SUSTRAENDO DIFERENCIA Representación gráfica Ejemplos: 8-5=3 85-43=42 130-45=85 1045-32=1013

16. Propiedades de la RESTA O DIFERENCIA

17. Multiplicación o producto. MULTIPLICANDO MULTIPLICADOR PRODUCTO Representación gráfica Ejemplos: 8*5=40 5*3=15 150*4=600 1050*3=3150 (n) n veces

18. Propiedades de la MULTIPLICACIÓN O PRODUCTO

19. multiplicación DE NÚMEROS QUEBRADOS

20. división. DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE Representación gráfica Ejemplos: 35/5=7 15/3=5 150/4=37.5 1000/8=125 (n) n veces

21. Propiedades de la DIVISIÓN

22. DIVISIÓN DE NÚMEROS QUEBRADOS

23. Ejercicios propuestos. 1.   2 .   3 .   4 .  

24. Ejercicios propuestos. 1. =   2 .   3 .   4 .   5 . 5 .  

25. Deber n 1. 1.   2 .   3 .  

26. Ejercicio propuestos 1.   2 .   3 . =   3 .  

27. división. DIVIDENDO DIVISOR COCIENTE Representación gráfica Ejemplos: 35/5=7 15/3=5 150/4=37.5 1000/8=125 (n) n veces

28. Suma algebraica La suma o adición combina dos números o expresiones de la misma especie, denominados sumandos, en un solo número o expresión denominado suma total. Al sumar términos algebraicos, se deben seguir ciertas reglas para simplificar y combinar términos similares correctamente Términos Similares: Los términos similares son aquellos que tienen la misma parte variable (las mismas letras con los mismos exponentes). Ejemplo: y son términos similares, mientras que y 4𝑥 no lo son. Regla para Sumar Términos Similares: Se suman los coeficientes de los términos similares y se mantiene la parte variable. Ejemplo: = = .  

29. Suma algebraica Ejemplos de Suma de Operaciones Algebraicas Suma de Monomios: 2𝑥+3𝑥=(2+3)𝑥=5𝑥. Suma de Polinomios: Primero, agrupamos los términos similares: Luego, sumamos los coeficientes de los términos similares: ) Suma de Expresiones Algebraicas Más Complejas: Agrupamos los términos similares: Sumamos los coeficientes de los términos similares: 1  

30. Suma algebraica Procedimiento General para Sumar Expresiones Algebraicas Identificar Términos Similares: Busca términos que tengan la misma variable. Agrupar Términos Similares: Agrupa los términos similares para facilitar la suma. Sumar los Coeficientes: Suma los coeficientes de los términos similares y mantén la variable sin cambios. Escribir la Expresión Simplificada: Combina todos los términos sumados para obtener la expresión algebraica simplificada.

31. resta algebraica La resta de operaciones algebraicas implica sustraer un término algebraico de otro. Al restar términos algebraicos, es fundamental seguir reglas específicas para simplificar y combinar términos similares correctamente. Términos Similares: Los términos similares son aquellos que tienen la misma variable. Ejemplo: y son términos similares, mientras que y 4𝑥 no lo son. Regla para RESTAR términos Similares: Se restan los coeficientes de los términos similares y se mantiene la variable. Ejemplo: = = .  

32. resta algebraica Ejemplos de resta de Operaciones Algebraicas Suma de Monomios: 3𝑥-2𝑥=(3-2)𝑥=1𝑥 o x. Suma de Polinomios: Primero, agrupamos los términos similares: Luego, restamos los coeficientes de los términos similares: ) Suma de Expresiones Algebraicas Más Complejas: Agrupamos los términos similares: Sumamos los coeficientes de los términos similares:  

33. RESTA algebraica Procedimiento General para Restar Operaciones Algebraicas Identificar Términos Similares: Busca términos que tengan la misma parte variable. Cambiar el Signo de los Términos a Sustraer: Cambia el signo de cada término del segundo polinomio o expresión. Agrupar Términos Similares: Agrupa los términos similares juntos para facilitar la resta. Restar los Coeficientes: Resta los coeficientes de los términos similares y mantén la parte variable sin cambios. Escribir la Expresión Simplificada: Combina todos los términos restados para obtener la expresión algebraica simplificada.

34. MULTIPLICACIÓN algebraica La multiplicación algebraica es una operación fundamental en álgebra que consiste en combinar términos algebraicos (que pueden incluir números, variables y constantes) de manera que se sumen repetidamente según las reglas de la aritmética y del álgebra. 1. Multiplicación de Monomios Un monomio es una expresión algebraica que contiene solo un término. La multiplicación de monomios sigue estas reglas: Multiplica los coeficientes (los números) entre sí. Suma los exponentes de las variables iguales.

35. MULTIPLICACIÓN algebraica 2. Multiplicación de Polinomios Un polinomio es una expresión que contiene dos o más términos. Al multiplicar polinomios, cada término de un polinomio se multiplica por cada término del otro polinomio. La multiplicación se realiza utilizando la propiedad distributiva. a. Multiplicación de un Monomio por un Polinomio Multiplica el monomio por cada término del polinomio.

36. MULTIPLICACIÓN algebraica b. Multiplicación de Binomios Un binomio es un polinomio con dos términos. La multiplicación de binomios se puede realizar mediante la regla FOIL ( First , Outer , Inner , Last ), que es una forma de aplicar la propiedad distributiva.

37. MULTIPLICACIÓN algebraica c. Multiplicación de Polinomios de Mayor Grado Multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro polinomio y luego suma los términos semejantes.

38. Título de la diapositiva Propiedades de la Multiplicación Algebraica Propiedad conmutativa: 𝑎×𝑏=𝑏×𝑎 Propiedad asociativa: (𝑎×𝑏)×𝑐=𝑎×(𝑏×𝑐) Propiedad distributiva: 𝑎×(𝑏+𝑐)=𝑎×𝑏+𝑎×𝑐

39. DIVISIÓN algebraica La división algebraica es una operación que implica repartir un término (el dividendo) por otro término (el divisor). En álgebra, esta operación puede realizarse entre monomios, polinomios y otros tipos de expresiones algebraicas. 1. División de Monomios Para dividir monomios, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes de las variables que son iguales. 2. División de Polinomios La división de polinomios se puede realizar de varias maneras, siendo las más comunes la división larga y la división sintética. a. División Larga La división larga es similar al método de división larga utilizado en aritmética. Se divide el término de mayor grado del dividendo por el término de mayor grado del divisor y se resta el resultado del dividendo. Este proceso se repite hasta que el grado del residuo sea menor que el grado del divisor.

40. DIVISIÓN algebraica

41. DIVISIÓN algebraica b. División Sintética La división sintética es un método más rápido y eficiente para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma 𝑥−𝑐

42. DIVISIÓN algebraica Propiedades de la División Algebraica No Conmutativa: 𝑎/𝑏≠𝑏/𝑎​. Distribución sobre la adición: (𝑎+𝑏)/𝑐=𝑎/𝑐+𝑏/𝑐. División por uno: 𝑎/1=𝑎

43. POTENCIACIÓN La potenciación algebraica es una operación matemática que implica elevar un número o una expresión algebraica a una potencia. La potencia, también llamada exponente, indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Definición de Potenciación Si 𝑎 es la base y 𝑛 es el exponente, la potenciación se denota como: Donde: 𝑎 es la base. 𝑛 es el exponente. es el resultado de multiplicar 𝑎 por sí mismo 𝑛 veces. Ejemplos: 2×2×2=8 =𝑥×𝑥×𝑥×𝑥 =(3𝑦)×(3𝑦)=  

44. RADICACIÓN ALGEBRAICA

45. RADICACIÓN La radicación algebraica es una operación matemática que se utiliza para encontrar un número que, elevado a una determinada potencia, da como resultado un número dado. Esta operación es la inversa de la potenciación. En otras palabras, si 𝑎𝑛=𝑏, entonces =𝑎. Aquí, 𝑎 se llama raíz 𝑛- ésima de 𝑏. Notación y Terminología Radicando: Es el número del que se desea encontrar la raíz. En la expresión ​, 𝑏 es el radicando. Índice: Es el número que indica la raíz que se va a calcular. En ​, 𝑛 es el índice. Radical: Es el símbolo ​ utilizado para denotar la operación de radicación. Raíz: Es el resultado de la operación. En la expresión =𝑎​, 𝑎 es la raíz.  

46. RADICACIÓN Tipos de raíces Raíz cuadrada (𝑛=2): Es la más común y se denota simplemente como ​. Ejemplo: ​=3 porque . Raíz cúbica (𝑛=3): Se denota como ​. Ejemplo: =3 porque =27. Raíces de orden superior: Se denotan con el índice explícito, como porque . Propiedades de la radicación  

47. Deber Investigar a mano Familias de productos notables Factorización Materia , propiedades , ejercicios, y ejemplos Conclusiones y bibliografía Taller en grupo Números reales y operaciones algebraicas

48. FAMILIA DE PRODUCTOS NOTABLE

49. FAMILIA DE PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de estas. Los polinomios son multiplicados entres si, por lo tanto, es posible que tengan una gran cantidad de términos y variables. Para hacer más corto el proceso, se usan las reglas de los productos notables, que permiten hacer las multiplicaciones sin tener que ir término por término .

50. Binomio cuadrado Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados: Cuadrado de una suma El cuadrado de una suma, o suma al cuadrado, es una de las principales identidades notables. En concreto, se trata de un binomio con dos términos positivos elevado a la 2, es decir, su expresión algebraica es ( a+b )2. De modo que el cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo.

51. DEMOSTRACIÓN

52. Cuadrado de una diferencia El cuadrado de una diferencia, o diferencia al cuadrado, es otra de las 3 identidades notables más utilizadas. En particular, corresponde a un binomio formado por un término positivo y otro término negativo elevado a la 2, esto es, su expresión algebraica es (a-b)2.

53. Suma por diferencia El producto de una suma por una diferencia es una de las 3 identidades notables más usadas. Tal y como indica su nombre, se trata de un binomio positivo multiplicado por su binomio conjugado (mismo binomio, pero con el signo intermedio cambiado), es decir, la expresión algebraica de este tipo de producto notable es ( a+b )·(a-b).

54. Demostración

55. Producto de binomios con un término común Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente: El cuadrado del término común. Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común. Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

56. Cuadrado de un trinomio El cuadrado de un trinomio (polinomio formado por 3 términos) es igual al cuadrado del primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término, más el doble del primero por el segundo, más el doble del primero por el tercero, más el doble del segundo por el tercero.

57. demostración

58. Cubo de una suma El producto notable del  cubo de una suma  es un binomio (polinomio con solo dos monomios) elevado a la 3 cuyos dos elementos son positivos. Por lo tanto, algebraicamente el cubo de una suma se expresa como  ( a+b ) 3 . En definitiva, una suma elevada a la 3 es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

59. Demostración Participación 3 personas

60. Cubo de una diferencia El  cubo de una diferencia , o  cubo de una resta , es un binomio elevado a la 3 que tiene un término con signo negativo. Así pues, la expresión matemática de este tipo de producto notable es  (a-b) 3 .

61. Tabla resumen de las PRODUCTOS notables

62. EJERCICIOS Desarrolla las siguientes identidades notables (sumas al cuadrado): (x+3)^2 (6x+2)^2 (x^2+7)^2 (5x+8y)^2

63. EJERCICIOS Resuelve todas las siguientes identidades notables: (x^2+10) (x^2-10) (4x^2+2y^3)^2 (6x^3-4y^4)^2 (8x^3+y^2)(8x^3-y^2) (5x^2-9x)^2

64. FACTORIZACIÓN

65. FACTORIZACIÓN La factorización es un método que consiste en descomponer una expresión algebraica en forma de producto, con la finalidad de simplificarla en términos llamados factores para llegar a su mínima expresión. Una manera sencilla de comprender este proceso es el siguiente: considere que se desea factorizar el número 40, el método consiste, en encontrar los números que multiplicados den como resultado 40. Los números pueden ser 8 * 5, 10 * 4, 20 * 2. Los números seleccionados que multiplicados dan como resultado 40, se conocen como factores y el proceso que se realizó para hallar los factores, se conoce como factorización. Es decir, se descompuso el número 40 en forma del producto de sus factores.

66. Importancia de la Factorización Resolución de Ecuaciones: Permite encontrar las raíces de polinomios y resolver ecuaciones cuadráticas y de mayor grado. Simplificación de Expresiones: Ayuda a reducir expresiones complejas a formas más manejables. Análisis Matemático: Facilita el estudio de funciones y sus propiedades, como los puntos críticos y las asíntotas. Aplicaciones en la Ciencia e Ingeniería: Se utiliza en diversas aplicaciones prácticas, como en la física y la ingeniería, para simplificar cálculos y modelos matemáticos. Tipos más comunes de factorización: 1. Factor Común 2. Factor Común por Agrupación de Términos 3. Diferencia de Cuadrados 4. Trinomio Cuadrado Perfecto 5. Trinomio de la Forma 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐x2+bx+c 6. Suma y Diferencia de Cubos 7. Factorización de un Trinomio Cuadrático General 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐ax2+bx+c 8. Factorización de Polinomios por División Sintética 9. Factorización de Expresiones Racionales 10. Factorización de Polinomios Simétricos

67. Factor común Al factor que aparece en todos los términos de una expresión se le llama factor común. Si en una expresión todos sus términos tienen factor común, este será uno de los factores de factorización. Por lo cual lo primero que se tiene que hacer es determinar en la expresión el factor común, y luego dividir todo el binomio o polinomio dado entre dicho factor, indicando la factorización como el producto del factor común por el cociente obtenido. 4ab + 10ac= El factor común es a, por lo tanto la expresión quedaría de la siguiente manera: a(4b + 10c) ó 2a(2b + 5c), ya que en la expresión anterior todavía se puede seguir factorizando.

68. Agrupación de términos Algunos polinomios no tienen un factor común a todos los términos; pero puede ocurrir que grupos de términos tengan cierto factor común. Agrupándolos y factorizando cada grupo puede resultar un factor común a todos los grupos del polinomio. Estas factorizaciones se llaman por agrupación de términos. Factoricemos ax + 2a + bx + 2b, notemos que el polinomio no tiene un factor común a todos los términos, pero se puede agrupar tomando en cuenta los términos que tengan algún factor común. ( ax + bx ) + (2a + 2b), donde los dos primeros términos tienen a x como factor común, y los dos últimos 2. Factorizando cada grupo quedaría: x(a + b) + 2(a + b). Resulta que (a + b) es un factor común de todo el polinomio, por lo que factorizándolo se tiene: x(a + b) +2(a + b)= (x + 2)(a + b) Así ax + 2a + bx + 2b= (x + 2) (a + b)

69. Diferencia de cuadrados La diferencia de cuadrados es igual al producto de dos binomios conjugados formados por las raíces cuadradas de los términos de esta diferencia, teniendo en cuenta que los términos simétricos de los binomios conjugados deben corresponder a la raíz cuadrada del sustraendo en la diferencia de cuadrados. Factoricemos 9a 2 – 16b 2 Obtengamos la raíz cuadrada de 9a 2 es: 3a Determinamos la raíz cuadrada de 16b 2 es: 4b Obtenemos los binomios conjugados multiplicando la suma de estas raíces (3a +4b) por su diferencia (3a – 4b) y tendremos: 9a 2 – 16b 2 = (3a + 4b)(3a - 4b)

70. Trinomio Cuadrado Perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando su raíz cuadrada es racional. Al elevar un binomio al cuadrado se obtiene un trinomio, este se denomina trinomio cuadrado perfecto , ya que se obtiene al elevar al cuadrado el binomio a + b, es decir: (a + b) 2 = a 2 + 2ab +b 2 X 2 + 14x + 49 La raíz cuadrada del primer término x 2 es: x La raíz cuadrada del tercer término 49 es: 7 Por lo tanto, x 2 y 49 son cuadrados perfectos y ambos términos tienen signos positivos. El doble del producto de las raíces es (2)(7)(x)= 14x, el segundo término Así x 2 + 14x + 49 es cuadrado perfecto

71. Trinomio de la forma x 2 + bx +c A el resultado del producto de dos binomios con un término común se le conoce como: trinomio de la forma x 2 + bx +c, cuyo primer término es cuadrado perfecto, el segundo término tiene un factor igual a la raíz cuadrada positiva del primero y el tercer término es independiente de la letra del primer término. x 2 + 5x + 6 Se debe obtener dos binomios cuyo primer término sea x, osea la raíz cuadrada del primer término del trinomio (x )(x ). Ahora se debe encontrarlos segundos términos, que deben ser 2 números cuyo producto debe ser igual a 6 (el término independiente), y cuya suma sea 5 (el coeficiente de x) El producto (+6) es positivo, lo que indica que ambos términos deben ser positivos o negativos, además la suma también es positiva (+5), por lo que ambos deben ser positivos. Los números buscados son 2 y 3, ya que el producto de estos da 6, y la suma de los mismos da 5. Por lo cual x2 + 5x + 6= (x +2)(x + 3)

72. Trinomio de la forma ax 2 + bx + c Trinomios de este tipo provienen de multiplicar dos binomios, donde los términos de un binomio son semejantes a los términos del otro binomio. Factoricemos 5x 2 + 16 x +3 Una forma de resolverlo es la siguiente: podemos convertir este trinomio en otro que tenga la forma x 2 + bx + c, esto es posible multiplicándolo por el coeficiente del primer término así: 5(5x 2 ) +5(16x) +5(3) Escribiéndolo de otro modo (5x) 2 + 5(16x) + 5(3) Los factores deben ser dos binomios cuyo primer término sea 5x y los segundos términos deben ser dos números cuyo producto sea 15 y cuya suma sea 16: (5x)2 +16(5x) +15= (5x + 15)(5x + 1) Factorizando: = 5(x + 3)(5x + 1) Debido a que al trinomio original lo multiplicamos por 5, la expresión anterior la dividiremos entre 5 para tener la factorización del trinomio original: 5x2 +16x + 3= (x + 3)(5x + 1)

73. Suma y diferencia de cubos Se tiene una suma o diferencia de cubos cuando en un binomio ambos términos tienen raíz cúbica racional. La suma de los cubos de 2 términos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la suma de las raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas raíces, disminuida en su producto. La diferencia de los cubos de dos términos se factoriza como el producto de dos factores, uno de los cuales es la diferencia de las raíces cúbicas de esos términos, y el otro es la suma de los cuadrados de las mismas raíces, incrementada en su producto. Factoricemos x 3 + 27 La Raíz cúbica de x 3 + 27 es: (x + 3) El binomio anterior (x + 3) se eleva al cuadrado (x + 3)[(x) 2 -3(x) + 3 2 )= (x + 3)(x 2 - 3x + 9)

74. Estrategia general para factorizar Cuando se te presente un expresión para factorizar, después de observarla debes analizar si tiene un factor común, en caso de que lo tenga lo factorizas. Si no tiene factor común pasa a contar el número de términos que tiene. Si es un binomio, analiza si es una diferencia de cuadrados, diferencia de cubos o suma de cubos y lo factorizas según el caso. Si la expresión no es binomio puede ser un trinomio, en caso de serlo analiza si es trinomio cuadrado perfecto, trinomio de la forma x 2 + bx +c, o trinomio de la forma ax 2 + bx + c, y lo factorizas según el caso. Si la expresión no es binomio ni trinomio, puede ser un polinomio de más de 3 términos y en ese caso debes analizar si se puede factorizar por agrupación; en caso contrario ya habrás terminado la secuencia. Después de factorizar de alguna de las formas mencionadas debes analizar cada uno de los factores obtenidos, realizando nuevamente la secuencia, ya que es posible que alguno de los factores se pueda factorizar.

75. ECUACIONES

76. UNA IGUALDAD CON INCOGNITAS Una ecuación es una igualdad algebraica que establece una condición sobre las variables que forman parte de dos expresiones algebraicas. Las ecuaciones pueden incluir letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. El objetivo de resolver una ecuación es determinar el valor o valores de las incógnitas que transformen la ecuación en una identidad. Existen diferentes tipos de ecuaciones, como: De primer grado o lineales De segundo grado o cuadráticas De tercer grado o cúbicas Diofánticas o difantinas Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinomios 

77. IGUALDAD 5=5 IGUALDAD Una ecuación es una igualdad matemática que involucra una o más variables. Estas variables representan cantidades desconocidas que queremos encontrar o resolver. Una ecuación típicamente tiene dos partes: el lado izquierdo (L.I.) y el lado derecho (L.D.) 5=4+2 IGUALDAD FALSA __ + 4 = 5 INCOGNITAS ASI SE HACE UNA ECUACION Una igualdad es una relación matemática entre dos expresiones o cantidades que indican que son exactamente iguales entre sí. En otras palabras, cuando se establece una igualdad, se está afirmando que dos cosas son idénticas o equivalentes en valor o cantidad.

78. ECUACIONES DE PRIMER GRADO La forma general de una ecuación de primer grado es: ax+b =0 Donde: a y b son coeficientes constantes (números) y a≠0 x es la variable. El objetivo al resolver una ecuación de primer grado es encontrar el valor de la variable x que satisface la igualdad. Este valor se llama "solución" de la ecuación. también conocidas como ecuaciones lineales, son un concepto fundamental en álgebra y matemáticas en general. Son ecuaciones algebraicas que involucran una variable (generalmente denotada como x) elevada a la primera potencia, junto con constantes y operadores aritméticos.

79. Métodos de Resolución: Hay varios métodos para resolver ecuaciones de primer grado: Aritmética Básica: Se pueden usar operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación, división) para despejar la variable x y encontrar su valor. Propiedades de las Ecuaciones: Se pueden aplicar las mismas operaciones a ambos lados de la ecuación para mantenerla equilibrada y aislar la variable x. Despeje de la Variable: Se pueden despejar x moviendo términos de un lado de la ecuación al otro, manteniendo siempre el equilibrio. Ejemplo: Considera la ecuación de primer grado: 2x+3=7

80. Ecuación de primer grado con paréntesis 1. Multiplicar el término por todo lo que está dentro del paréntesis, con lo cual la ecuación quedaría de la siguiente forma: 2. Una vez que se ha resuelto la multiplicación, queda una ecuación de primer grado con una incógnita, que se resuelve como hemos visto anteriormente, es decir, agrupando los términos y haciendo las operaciones respectivas, cambiando los signos de aquellos términos que pasen al otro lado de la igualdad:

81. Ecuación de primer grado con fracciones y paréntesis 1. En primer lugar, hay que obtener el mínimo común múltiplo de los denominadores (el múltiplo más pequeño que sea común a todos los denominadores presentes). En este caso, el mínimo común múltiplo es 12. 2. Luego, se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores originales. El producto resultante va a multiplicar al numerador de cada fracción, los cuales ahora van entre paréntesis. 3. Se multiplican los productos por cada uno de los términos que se encuentran dentro de los paréntesis, tal y como se haría en una ecuación de primer grado con paréntesis. Al culminar, se procede a simplificar la ecuación eliminando los denominadores comunes: El resultado es una ecuación de primer grado con una incógnita, que se resuelve de la manera habitual:

82. Ecuaciones de segundo grado Una ecuación de segundo grado, también llamada ecuación cuadrática, es una ecuación polinómica en la que el mayor exponente de la incógnita es dos. La forma general de una ecuación de segundo grado es ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0. En esta ecuación, ax2 representa el componente cuadrático, bx es el término lineal y c es el término constante o independiente.

83. Ecuaciones de segundo grado Las ecuaciones de segundo grado se clasifican en ecuaciones completas e incompletas. Completas : Es aquella ecuación que tiene término cuadrático, lineal e independiente. En general toda ecuación de ese tipo es de la forma: ax 2 +bx+c=0 5x 2 +4x+1=0 Incompletas : Son ecuaciones que carecen del término lineal o del término independiente. – Ecuación cuadrática pura. Es aquella ecuación cuadrática que carece del término lineal, en general toda ecuación de ese tipo es de la forma ax 2 +c=0 5x 2 -10=0 –  Ecuación cuadrática mixta . Es aquella ecuación cuadrática que carece del término independiente, en general toda ecuación de este tipo tiene la forma: ax 2  + bx =0 4x 2 +16x=0

84. Solución de la ecuación cuadrática pura ax2+c=0 La solución de la ecuación cuadrática pura ax 2 +c=0, la puedes obtener si aplicas la propiedad multiplicativa para despejar la variable «x» ; o también si utilizas la factorización de diferencia de cuadrados. Los siguientes ejemplos muestran estos métodos de solución: Desarrolla la solución de la ecuación 5x 2 -9=0: Primero aplica la propiedad aditiva para despejar la constante de la ecuación 5x 2 =9 Luego, aplica la propiedad multiplicativa para despejar la variable: Por último, aplica la propiedad de la igualdad (ejecutar una misma operación en ambos miembros de la ecuación) para extraer la raíz cuadrada.

85. Solución de la ecuación cuadrática pura ax2+c=0 Otro método de solución de la ecuación cuadrática pura ax 2 +c=0 es por medio de la factorización de diferencia de cuadrados, tal y como se muestra a continuación:  Desarrolla la solución de la ecuación 9x 2 -25 =0 por factorización. Recuerda que una diferencia de cuadrados es el resultado de multiplicar dos binomios conjugados (binomios  que son diferentes en un signo).  De modo que si aplicas la factorización de diferencia de cuadrados a 9x 2 -25=0 Obtienes que (3x-5)(3x+5) = 0

86. Solución de la ecuación cuadrática mixta ax 2  + bx = 0 La solución de la ecuación cuadrática mixta ax 2 +bx = 0 a puedes obtener por medio de la factorización por factor común, recuerda que el factor común de un polinomio es el máximo común divisor de los términos del polinomio. A continuación, se muestra la solución de este tipo de ecuación: Asimila la solución de la ecuación cuadrática mixta 3x 2  – 7x = 0 Primero, identifica que el factor común de la ecuación es «x» Por lo que su factorización es x(3x – 7) = 0 Luego, iguala a cero cada factor: x = 0, 3x-7 = 0 Por último, despeja la variable en cada factor: x = 0, x = 7/3.

87. Solución de la ecuación ax 2  + bx + c = 0 por factorización La solución de la ecuación de segundo grado ax 2  + bx + c = 0, puede obtenerse por factorización del trinomio ax 2  + + bx c  tal y como se muestra en los siguientes ejemplos: Recuerda que el trinomio ax 2  + + bx c puede factorizarse como ( mx + p)( nx + q) si: Factorizas ax 2  =( mx )( nx ) Factorizas c= (p)(q) Compruebas que ( mx )(q)+( nx )(p) = bx Los siguientes ejemplos muestran este método de solución: Analiza la solución de la ecuación x 2  − 5x + 6 = 0 por factorización: Factorización de x 2  = (x)(x) Factorización de 6=(-2)(-3) Comprobación de que (x)(-3)+(x)(-2) = -5x Por lo tanto, la factorización de la ecuación x 2 -5x+6=0 es (x-2)(x-3)=0 Luego, iguala a cero cada factor: x − 2 = 0, x − 3 = 0 Por último, despeja la variable «x» en cada factor: x = 2, x=3.

88. Analiza la solución de la ecuación 5x 2  − x − 6 = 0 por factorización: Factorización de 5x 2  = (5x)(x) Factorización de  −6 =(-6)(1) Comprobación de que (5x)(1)+(x)(−6) = -x Luego la factorización de la ecuación  5x 2  −x-6=0 es (5x-6)(x+1)=0  Iguala a cero los factores: 5x −6 = 0, x + 1= 0 Despeja la variable «x»: x= 6 / 5, x=−1 Analiza la solución de la ecuación 121x 2  −110x + 9 = 0 por factorización: Factorización de 121x 2  = (11x)(11x) Factorización de 9=(-1)(-9) Comprobación de que (11x)(−9)+(11x)(−1) =-110x Luego la factorización de la ecuación 121x 2  −110x + 9 = 0 es (11x-1)(11x-9) =0 Iguala a cero los factores: 11x −1=0, 11x − 9= 0 Despeja de la variable «x»: x = 1/11, x = 9/11

89. Solución de la ecuación ax 2  + bx + c = 0 por fórmula general  2x2 + 2x + 5 = 0 Primero identifica que en la ecuación: a = 2, b = 2, c = 5 Luego aplica la propiedad de sustitución en la fórmula general:

90. Sistemas de ecuaciones lineales

91. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten las mismas variables. Cada ecuación en el sistema es lineal, lo que significa que las variables aparecen sólo en primer grado (no se elevan a ninguna potencia mayor a uno), no están multiplicadas entre sí, ni involucradas en funciones no lineales (como seno, coseno, etc.). La forma general de una ecuación lineal con n variables x1,x2,…, xn a1​x1​+a2​x2​+⋯+ an ​ xn ​=b donde a1,a2,…, an ​ son los coeficientes de las variables, y b es una constante. Ejemplo de un Sistema de Ecuaciones Lineales Consideremos un sistema con dos ecuaciones y dos variables: Aquí, tenemos dos ecuaciones lineales con dos variables x y y . La solución del sistema es (4/7,9/7)

92. Solución de un Sistema de Ecuaciones Lineales La solución de un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de valores para las variables que satisfacen todas las ecuaciones simultáneamente. Es decir, si sustituimos estos valores en cada una de las ecuaciones del sistema, todas las ecuaciones se cumplen. Para nuestro ejemplo anterior, la solución del sistema es ( x,y )=(4/7,9/7​). Al sustituir x=4/7​ y y=9/7 en ambas ecuaciones, ambas se satisfacen: Primera ecuación: Segunda ecuación:

93. Tipos de soluciones Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener diferentes tipos de soluciones. Dependiendo de la relación entre las ecuaciones del sistema, podemos clasificar las soluciones en tres tipos principales: Solución única: Ocurre cuando las rectas (en el caso de dos variables) o planos (en el caso de tres variables) se intersecan en un solo punto. Infinitas soluciones: Ocurre cuando todas las ecuaciones representan la misma recta o plano, es decir, son dependientes. Ninguna solución: Ocurre cuando las rectas o planos son paralelos y no se intersecan.

94. Métodos de resolución Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, entre los más comunes se encuentran: Método de sustitución: Resolver una de las ecuaciones para una de las variables. Sustituir esa expresión en la otra ecuación. Resolver la ecuación resultante. Método de eliminación (o reducción): Sumar o restar las ecuaciones para eliminar una de las variables. Resolver la ecuación resultante. Método de igualación: Despejar la misma variable en ambas ecuaciones. Igualar las dos expresiones obtenidas. Resolver la ecuación resultante. Método gráfico: Graficar las ecuaciones en un plano cartesiano. Identificar el punto de intersección (solución). Método de matrices (Método de Gauss- Jordan o de Gauss): Representar el sistema como una matriz aumentada. Utilizar operaciones de fila para reducir la matriz a una forma escalonada o escalonada reducida.

95. Método de sustitución Consiste en despejar de una de las ecuaciones, una de las incógnitas y sustituirla (reemplazarla) en la otra ecuación. Ejemplo: Resuelva el sistema: Paso 1: De la ecuación (1) despejamos la variable «x»: Paso 2: Sustituimos la variable «x» en la ecuación (2) Entonces y=3 Reemplazamos el valor «y» en 1:

96. Método de IGUALACIÓN Este método consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones y luego igualarlas para calcular el valor de la otra variable. Ejemplo: Resuelva el sistema: Paso 1: Despejamos la variable «y» en la ecuación (1) Paso 2: Despejamos «y» ahora, en la ecuación (2) Paso 3: Ahora, ambas ecuaciones son iguales:

97. METODO DE REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN Se trata de eliminar una de las variables (la que sea más simple) para calcular otra de la(s) variable(s). En algunos casos la reducción no es sencilla, se multiplicará por una cantidad a una u otra ecuación para luego reducirla. Ejemplo: Sumando las ecuaciones (I) y (II) miembro a miembro, entonces: Entonces: x = 3 Reemplazando en (I) el valor de x: Entonces: y = 2 Por lo tanto:

98. Sistema de ecuaciones lineales método gráfico Las ecuaciones presentadas en un sistema se pueden graficar en el plano cartesiano, simplemente haciendo una tabulación y dando valores a x, para luego encontrar y. Así tenemos, de los ejercicios anteriores: Dando valores de 0 a x y y en ambas ecuaciones La solución al sistema de ecuaciones lineales, la encontramos en el punto de intersección de ambas rectas

99. Tipos de soluciones 1. Solución Única Un sistema de ecuaciones lineales tiene una solución única si hay exactamente un conjunto de valores para las variables que satisface todas las ecuaciones simultáneamente. Esto ocurre cuando las ecuaciones representan líneas (en 2D) o planos (en 3D) que se intersecan en un solo punto. Resolviendo el sistema: Sumar las dos ecuaciones para eliminar y: ( x+y )+(x−y)=2+0  ⟹  2x=2  ⟹  x=1 Sustituir x=1 en la primera ecuación: 1+y=2  ⟹  y=1 Solución única: ( x,y )=(1,1)

100. Tipos de soluciones 2. Infinitas Soluciones Un sistema de ecuaciones lineales tiene infinitas soluciones si hay más de un conjunto de valores para las variables que satisface todas las ecuaciones. Esto ocurre cuando las ecuaciones representan la misma línea (en 2D) o el mismo plano (en 3D), es decir, las ecuaciones son dependientes. Ejemplo en 2D: La segunda ecuación es simplemente la primera ecuación multiplicada por 2, lo que significa que ambas representan la misma línea. Cualquier punto que satisfaga una de las ecuaciones también satisfará la otra. Infinitas soluciones: cualquier punto de la forma (x,2−x).

101. Tipos de soluciones 3. Ninguna Solución Un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución si no hay ningún conjunto de valores para las variables que satisfaga todas las ecuaciones simultáneamente. Esto ocurre cuando las ecuaciones representan líneas paralelas (en 2D) o planos paralelos (en 3D) que nunca se intersecan. Ejemplo en 2D: Las dos ecuaciones representan líneas paralelas que nunca se intersecan, ya que tienen la misma pendiente, pero diferentes intersecciones en el eje y. Ninguna solución: no existe ningún punto que satisfaga ambas ecuaciones simultáneamente.

102. INTERVALOS QUINTA SEMANA DE CLASES

103. INTERVALOS El intervalo, en matemáticas, es un subconjunto de números reales que se encuentran entre dos valores que delimitan un extremo inferior y/u otro superior, los cuales pueden o no estar incluidos en el intervalo. En matemáticas, los intervalos se utilizan para describir rangos continuos de valores y se pueden clasificar de varias maneras según los límites estén incluidos o no.

104. Notación de Intervalos Paréntesis ( ): Indican que los extremos no están incluidos en el intervalo. Corchetes [ ]: Indican que los extremos están incluidos en el intervalo. Ejemplos (3,7): Incluye todos los números entre 3 y 7, sin incluir el 3 ni el 7. [1,4]: Incluye todos los números entre 1 y 4, incluyendo el 1 y el 4. (−∞,5): Incluye todos los números menores que 5, pero no incluye el 5. [2,∞): Incluye todos los números mayores o iguales a 2.

105. CLASIFICACION DE INTERVALOS Intervalo abierto Intervalo abierto, (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. No incluye sus extremos. Se denota como ( a,b ), donde a y b son los extremos del intervalo. En algunos casos se representa con corchetes abiertos ][ Ejemplo: (2,5) incluye todos los números entre 2 y 5, pero no incluye el 2 ni el 5. a < X < b}  

106. CLASIFICACION DE INTERVALOS Intervalo cerrado Intervalo cerrado, [a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [ a,b ] a ≤ X ≤ b}   Incluye sus extremos. Se denota como [ a,b ]. Ejemplo: [2,5] incluye todos los números entre 2 y 5, incluyendo el 2 y el 5.

107. CLASIFICACION DE INTERVALOS Intervalo semiabierto por la izquierda Intervalo semiabierto por la izquierda, (a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b. ( a,b ] a < X ≤ b}  

108. CLASIFICACION DE INTERVALOS Intervalo semiabierto por la derecha Intervalo semiabierto por la derecha, [a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b. [ a,b ) a ≤ X < b}  

109. CLASIFICACION DE INTERVALOS INTERVALO INFINITO Significa que el intervalo está limitado solo en un extremo, ya sea en el inferior o en el superior, prolongándose hacia el infinito. Es decir, si tenemos x≤n , significa que el intervalo comprende todos los números mayores a x. También podemos expresarlo de la siguiente forma: [x;∞). [ a, ∞ ) X ≥ a }   (a, ∞ ) X > a }   (- ∞, a] X ≤ a }   (- ∞, a) X < a }  

110. el corchete no puede estar en el mismo lado que el infinito en la notación de intervalos. El infinito es un concepto que representa algo sin límite y no puede ser alcanzado o incluido como un número finito. Por lo tanto, no es posible escribir un intervalo con corchetes en el infinito. Aquí está el por qué y cómo se utilizan adecuadamente: Razón Concepto de Infinito : El infinito no es un número finito que pueda ser alcanzado o incluido, sino una idea de algo sin límite. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de "incluir" el infinito como si fuera un número concreto. Notación Correcta Intervalo Abierto en el Infinito : (−∞,a): Incluye todos los números menores que a, pero no incluye a. (a,∞): Incluye todos los números mayores que a, pero no incluye a. Intervalo Cerrado en el Infinito : (−∞,a]: Incluye todos los números menores o iguales a a . [a,∞): Incluye todos los números mayores o iguales a a .

111. Ejemplos Adicionales Intervalo Abierto : (−1,1) Incluye todos los números entre -1 y 1, pero no incluye el -1 ni el 1. Intervalo Cerrado : [−2,4] Incluye todos los números entre -2 y 4, incluyendo el -2 y el 4. Intervalo Semiabierto a la Izquierda : (−5,0] Incluye todos los números entre -5 y 0, incluye el 0 pero no el -5. Intervalo Semiabierto a la Derecha : [0,10) Incluye todos los números entre 0 y 10, incluye el 0 pero no el 10. Intervalo Abierto en el Infinito a la Derecha : (0,∞) Incluye todos los números mayores que 0, pero no incluye el 0. Intervalo Cerrado en el Infinito a la Derecha : [1,∞) Incluye todos los números mayores o iguales a 1. Intervalo Abierto en el Infinito a la Izquierda : (−∞,3) Incluye todos los números menores que 3, pero no incluye el 3. Intervalo Cerrado en el Infinito a la Izquierda : (−∞,−1] Incluye todos los números menores o iguales a -1. Notación Mixta Intervalo Abierto : (−∞,∞) Incluye todos los números reales, sin límites.

112. Operaciones con intervalos Las operaciones con intervalos son fundamentales en el análisis matemático y se utilizan para describir y manipular conjuntos de números reales. Las operaciones más comunes incluyen la unión, la intersección y la diferencia de intervalos.

113. Operaciones con intervalos Unión de Intervalos La unión de dos intervalos A y B es el conjunto de números que pertenecen a A , a B, o a ambos. Notación: A∪B Ejemplo 1: A=(1,4) B=(3,6) A∪B=(1,6) Intersección de Intervalos La intersección de dos intervalos A y B es el conjunto de números que pertenecen tanto a A como a B Notación: A∩B Ejemplo 1: A=(1,4) B=(3,6) A∩B=(3,4) Diferencia de Intervalos La diferencia de dos intervalos A y B (también llamada complemento relativo de B en A) es el conjunto de números que pertenecen a A pero no a B. Notación: A-B Ejemplo 1: A=(1,5) B=(3,4) A-B=(1,3)∪(4,5)

114. Operaciones con intervalos Complemento de un Intervalo El complemento de un intervalo A con respecto a la recta real es el conjunto de números que no pertenecen a A . Notación: A´ Ejemplo 1: A=(2,5) A´=(−∞,2]∪[5,∞) Ejemplo 2: A´=[3,∞) A´=(−∞,3)

115. Ejemplos Completos Unión de Intervalos Solapados : A=(1,3) B=(2,4) A∪B=(1,4) Intersección de Intervalos Solapados : A=[1,5] B=(3,7) A∩B=(3,5] Diferencia de Intervalos : A=[1,6] B=(4,5] A-B=[1,4]∪(5,6] Complemento de Intervalo Infinito : A=(−∞,0) A´=[0,∞)

116. INECUACIONES

117. Inecuaciones Definición Es la desigualdad existente entre dos expresiones algebraicas, conectadas a través de los signos: > : mayor que < : menor que ≥ : mayor o igual que ≤ : menor o igual que A diferencia de las ecuaciones, que afirman que dos expresiones son iguales, las inecuaciones indican que una expresión es mayor, menor, mayor o igual, o menor o igual que otra. Los símbolos utilizados en las inecuaciones

118. Ejemplo Problema : Resolver la inecuación 2x+3>7. Escribe la inecuación : 2x+3>7 Resta 3 de ambos lados : 2x+3−3>7−3 2x>4 Divide ambos lados entre 2 : x >2 Comprobación con x=3 : 2(3)+3>7 9>7(Verdadero)

119. Inecuaciones de primer grado Las inecuaciones de primer grado son expresiones algebraicas que involucran variables de primer orden y expresan relaciones de desigualdad.  Estas inecuaciones tienen la forma general: ax+b {<,>,≤,≥}0 donde a y b son números reales, X es la variable y {<,>,≤,≥} son los signos de desigualdad. Y a es diferente de 0

120. Pasos para Resolver Inecuaciones de Primer Grado Para resolver una inecuación de primer grado se deben hacer los siguientes pasos: Eliminar las fracciones de la inecuación multiplicando cada término por el mínimo común múltiplo de los denominadores. Quitar los paréntesis de la inecuación aplicando la propiedad distributiva. Trasponer los términos de manera que los monomios con x queden al primer miembro de la inecuación y los términos independientes al segundo miembro. Agrupar los términos de cada miembro de la inecuación. Despejar la incógnita x. Expresar la solución de la inecuación de forma analítica, gráfica y por intervalos.

121. Ejemplo de inecuación de primer grado resuelta Esta inecuación no tiene fracciones, pero sí que tiene paréntesis. Por lo tanto, primero aplicamos la propiedad distributiva para resolver el paréntesis: En segundo lugar, transponemos los términos con x al lado izquierdo de la inecuación y los términos sin x al otro lado. Igual que con las ecuaciones, cuando un término cambia de lado también cambia de signo: Sumamos y restamos los términos de cada miembro:

122. Ejemplo de inecuación de primer grado resuelta Una vez hemos calculado el resultado numérico de la inecuación, debemos representarlo en la recta real. Para ello, primero representamos el -1 en la recta: Ahora cogemos cualquier otro punto, por ejemplo, x=0, y comprobamos si cumple la inecuación del ejercicio: Efectivamente, 1 sí que es más pequeño 7, por lo que x=0 sí que cumple la inecuación. Entonces, como el 0 está a la derecha del -1, quiere decir que todos los números a la derecha del -1 también serán solución de la inecuación:

123. Ahora ya sabemos que todos los números a la derecha del -1 son solución. Pero…¿y el -1? ¿también forma parte de la solución? En este caso el resultado de la inecuación es x>-1. Como el signo es “más pequeño que”, no está incluido el -1. En cambio, si el signo hubiera sido ≥, que quiere decir “más pequeño o igual que”, sí que se hubiera incluido el -1. En consecuencia, como el -1 no se incluye se representa con un punto abierto, que consiste en un círculo vacío: Finalmente, tenemos que representar el resultado de la inecuación en forma de intervalo. Para ello, hay que seguir las siguientes reglas: Si el signo es < o >, no se incluye el número obtenido en la solución de la inecuación. Y se representa con un punto abierto. En cambio, si el signo de la inecuación es ≤ o ≥, se incluye el número obtenido en la solución. Y se representa con un punto cerrado. Si el punto de la recta es abierto, es decir, está representado con un círculo vacío, hay que poner un paréntesis en el intervalo:     ( ; )     Si es cerrado será corchetes [ ; ] Por último, la flecha hacia la derecha corresponde al símbolo +∞, y la flecha hacia la izquierda a -∞. Además, los infinitos siempre se representan con paréntesis: (-∞ o +∞)

124. A partir de estas reglas, en el intervalo debemos poner el inicio y el final de la solución. En nuestro caso, la solución va desde el -1 hasta el final de la recta, es decir +∞, de modo que el intervalo que le corresponde es: Fíjate que hemos puesto en el lado del -1 un paréntesis porque el -1 está representado con un punto abierto. Asimismo, tanto +∞ como -∞ siempre van con paréntesis. En la siguiente tabla puedes ver un resumen de cómo se expresa la solución de una inecuación de primer grado (o lineal) de manera numérica, gráfica y por intervalos: X>1} (1 , +∞ )  

125. Ejercicios de inecuaciones de primer grado

126. Inecuaciones de segundo grado (o cuadráticas) Las inecuaciones de segundo grado son desigualdades que involucran una expresión cuadrática. Tienen la forma general: ax2+bx+c {<,≤,>,≥} 0 donde a, b, y c son coeficientes reales y a≠0.

127. PASOS PARA resolver una inecuación de segundo grado (o inecuación cuadrática) Operar con los términos de la inecuación hasta obtener solamente un término cuadrático, un término lineal y un término independiente. Aplicar la fórmula general de la ecuación de segundo grado para hallar dos valores. Dividir la recta numérica con los valores calculados en el paso 2. Se obtendrán tres tramos. Evaluar un valor de cada tramo en la inecuación de segundo grado. La solución de la inecuación de segundo grado son los tramos que cumplen con la desigualdad.

128. Ejemplo de inecuación de segundo grado resuelta En este caso no debemos hacer ninguna operación previa, porque no hay ni paréntesis ni fracciones. Entonces, igualamos la expresión de la inecuación a 0, y la resolvemos como si fuera una ecuación de segundo grado aplicando la fórmula general: Hemos obtenido los valores de x=3 y x=-2. Ahora debemos representar dichos valores en la recta numérica:

129. Una vez hemos representado en la recta los valores hallados, tenemos que comprobar qué tramo es la solución de la inecuación. Para ello, cogemos cualquier número de cada tramo, lo sustituimos en la inecuación, y comprobamos si cumple la inecuación o no. Si un número de un tramo cumple con la desigualdad, significa que todos los números de ese tramo también cumplen con la desigualdad. Por lo tanto, los tramos que cumplen con la inecuación de segundo grado son los extremos: Como puedes ver, hemos representado los números con puntos cerrados, porque la inecuación tiene el signo ≥. Pero si la inecuación cuadrática hubiera tenido el signo >, deberíamos haber representado los puntos abiertos (los puntos no estarían incluidos). Finalmente, debemos expresar la solución en forma de intervalo. El intervalo del tramo de la izquierda es (-∞,2], y el intervalo del tramo de la derecha corresponde a [3,+∞). De manera que la solución de la inecuación de segundo grado es:

130. ▷ Inecuaciones (ejerciciosecuaciones.com) FUENTE

131. Inecuaciones polinómicas Las inecuaciones polinómicas son aquellas inecuaciones en las que intervienen polinomios, es decir, expresiones algebraicas compuestas de términos que son múltiplos de potencias de la variable. Se presentan en la forma general: P(x)>0, P(x)<0, P(x)≥0, P(x)≤0 donde P(x) es un polinomio. Resolver una inecuación polinómica implica encontrar los valores de x que hacen que la desigualdad sea verdadera. ​  

132. Pasos Detallados para Resolver Inecuaciones Polinómicas Paso 1: Encontrar las raíces del polinomio Las raíces de un polinomio P(x) son los valores de x para los cuales P(x)=0. Esto se hace factorizando el polinomio o utilizando el método de la fórmula cuadrática, el teorema del factor, el método de prueba y error, o técnicas más avanzadas para polinomios de grado mayor. Paso 2: Dividir la recta numérica en intervalos Usamos las raíces encontradas para dividir la recta numérica en intervalos. Las raíces son los puntos críticos donde el signo del polinomio puede cambiar. Paso 3: Probar un valor en cada intervalo Seleccionamos un valor de prueba dentro de cada intervalo y evaluamos el polinomio en ese valor para determinar el signo del polinomio en dicho intervalo. Paso 4: Determinar los intervalos que satisfacen la inecuación Dependiendo del símbolo de la inecuación (>,<,≥,≤) determinamos en qué intervalos el polinomio cumple con la condición dada. Paso 5: Escribir la solución La solución se escribe en términos de intervalos que satisfacen la inecuación, teniendo en cuenta si las raíces mismas están incluidas (para ≥ o ≤) o excluidas (para > o <).

133. Factorizacion ruffini

134. Ejemplo Completo Consideremos la inecuación cúbica: x ^ 3+4x ^ 2 ≥ 6 – x x ^ 3+4x ^ 2 + x - 6 ≥ 0 Paso 1: Encontrar las raíces del polinomio Para encontrar las raíces, factorizamos el polinomio: (x-1)(x+2)(x+3) X1 = 1 X2= -2 X3= -3

135. Se busca el positivo ya que la inecuación pide mayor o igual que cero

136. x3−6x2+11x−6≥0 Paso 1: Encontrar las raíces del polinomio x3−6x2+11x−6=(x−1)(x−2)(x−3) Las raíces son: x=1,x=2,x=3 Paso 2: Dividir la recta numérica en intervalos Ordenar las raíces : Ya están ordenadas: 1,2,3. Usar las raíces para dividir la recta numérica : Las raíces 1, 2 y 3 dividen la recta numérica en los siguientes intervalos: (−∞,1),(1,2),(2,3),(3,∞) Hacer el cuadro Menos mas menos mas La evaluación muestra que el polinomio es negativo en (−∞,1) y (2,3), y positivo en (1,2) y (3,∞). Escribir la Solución Finalmente, considerando la inecuación x3−6x2+11x−6≥: El polinomio es cero en las raíces 1,2,3 La solución de la inecuación ≥0 es: x∈[1,2]∪[3,∞) Esta solución incluye las raíces 1,2 y 3 porque la inecuación es no estricta (≥).

137. Inecuaciones racional Las inecuaciones racionales son inecuaciones que involucran funciones racionales, es decir, razones (o cocientes) de polinomios. Estas inecuaciones pueden tener una forma general como: P(x)/Q(x)>0 P(x)/Q(x)<0 P(x)/Q(x)≥0 P(x)/Q(x)≤0 donde P(x) y Q(x) son polinomios. Resolver una inecuación racional implica determinar los valores de x que satisfacen la desigualdad dada.

138. Resolución de inecuaciones racionales Las desigualdades racionales se resuelven de manera similar a una desigualdad cuadrática, utilizando el numerador y el denominador como factores de la fracción. Algunas recomendaciones para resolver desigualdades racionales: Se trasladan todos los términos, al miembro de la izquierda, y se deja cero en el miembro de la derecha. Es decir, se debe pasar todos los términos al lado izquierdo y poner cero en el lado de la derecha. Se resuelve la suma o resta de las expresiones algebraicas. Se busca los números críticos, estos números se encuentran igualando a cero los factores del numerador y el denominador. Luego colóquelos en la recta real, y escriba los intervalos que se obtienen al ubicarlos. Luego se resuelve similar a la desigualdad cuadrática: Se toman valores de pruebas, y evalúan los factores con los valores de pruebas. Se confecciona una tabla. Luego la respuesta se obtiene seleccionando el intervalo o la unión de intervalos que satisfacen la desigualdad, considerando el signo que se obtiene en la última columna de la tabla. Si la desigualdad es mayor que cero el signo que se debe seleccionar es “+”, si es menor que cero, es el signo «-«. Se debe recordar que debemos excluir de la solución los valores de la variable que hacen cero al denominador, ya que la división entre cero no existe. Sacar los puntos criticos

139. X-2 - + + X-4 - - + X-2/x-4 + - +     2 4

140. X2-1 = (x-1) (x+1) X=3

141. Solución: Factorizando el numerador obtenemos: Igualando a cero cada factor, tenemos: Los puntos críticos son: x=-2,  x=0   y   x=3 Para determinar el conjunto solución evaluemos la inecuación cuadrática con: Un número menor que -2 Un número mayor que -2, pero menor que  0 Un número mayor que 0, pero menor que  3 Un número mayor que 3

142. Notación de intervalo: (-∞, -2) U [0, 3]. Notación de conjunto: S={x ∈ R/ x < -2  o  0 ≤ x ≤ 3}

143. inecuaciones irracionales Las inecuaciones irracionales son inecuaciones que involucran raíces, como raíces cuadradas, cúbicas, etc., de polinomios. Estas inecuaciones pueden tener una forma general como: donde f(x) y g(x) son funciones algebraicas. Resolver una inecuación irracional implica determinar los valores de x que satisfacen la desigualdad dada.  

144. Pasos para resolución de ecuaciones irracionales Se aísla un radical en uno de los dos miembros, pasando al otro miembro el resto de los términos, aunque tengan también radicales. Se elevan al cuadrado los dos miembros. Se resuelve la ecuación obtenida. Se comprueba si las soluciones obtenidas verifican la ecuación inicial. Hay que tener en cuenta que al elevar al cuadrado una ecuación se obtiene otra que tiene las mismas soluciones que la dada y, además las de la ecuación que se obtiene cambiando el signo de uno de los miembros de la ecuación. Si la ecuación tiene varios radicales, se repiten las dos primeras fases del proceso hasta eliminarlos todos.

145. [4 a 13)   (1;2]  

146. Inecuaciones con valor absoluto Las inecuaciones de valor absoluto son inecuaciones que involucran la función de valor absoluto ∣x∣, la cual mide la distancia de un número x a cero en la recta numérica. Estas inecuaciones pueden tener varias formas, tales como: donde f(x) y g(x) son funciones algebraicas.  

147. Propiedades básicas del valor absoluto La función de valor absoluto ∣x∣ tiene las siguientes propiedades:

148. Resolución de inecuaciones de valor absoluto Para resolver inecuaciones de valor absoluto, es útil convertirlas en inecuaciones equivalentes sin valores absolutos. Aquí hay una guía paso a paso sobre cómo hacerlo: 1. Inecuaciones del tipo ∣f(x)∣ < g(x) y ∣f(x)∣ ≤ g(x) Estas inecuaciones se resuelven dividiéndolas en dos inecuaciones lineales: ∣f(x)∣ < g(x) -g(x) < f(x) < g(x) y ∣f(x)∣ ≤ g(x) −g(x) ≤ f(x) ≤ g(x)

149. Resolución de inecuaciones de valor absoluto 2. Inecuaciones del tipo ∣f(x)∣ > g(x) y ∣f(x)∣ ≥ g(x) Estas inecuaciones se resuelven dividiéndolas en dos inecuaciones separadas: ∣f(x)∣ > g(x) f(x) > g(x) o f(x) < −g(x) y ∣f(x)∣ ≥ g(x) f(x) ≥ g(x) o f(x) ≤ −g(x)

150. , 9

151. INECUACIONES EXPONENCIALES Las inecuaciones exponenciales son inecuaciones en las que la variable aparece en el exponente. Estas inecuaciones pueden tomar la forma general de a^x (donde a es una base positiva distinta de 1 y x es la variable) y pueden ser de tipo a^x > b , a^x ≥b , a^x < b, a^x≤b . Resolver una inecuación exponencial implica encontrar los valores de la variable que hacen que la inecuación sea verdadera. Aquí hay un resumen de los pasos y consideraciones para resolver inecuaciones exponenciales:

152. 1. Igualar las bases Si puedes escribir ambos lados de la inecuación con la misma base, puedes comparar los exponentes directamente. Ejemplo 1: 2^x > 2^3 Aquí las bases ya son iguales (ambas son 2). Por lo tanto, simplemente comparamos los exponentes: x>3. Ejemplo 2: 4^x ≤16 Escribe 16 como una potencia de 4: 16=4^2. La inecuación se convierte en 4^x≤42. Comparamos los exponentes: x≤2. 2. Convertir a la misma base A veces, una de las bases puede ser convertida a la misma base que la otra. Ejemplo 3: 8^x > 2^{3x+1} Escribe 8 como una potencia de 2: 8 = 2^3. La inecuación se convierte en (2^3)^x > 2^{3x+1}. Simplifica usando la propiedad de los exponentes: 2^{3x} > 2^{3x+1}. Aquí, las bases son iguales, así que comparamos los exponentes: 3x > 3x + 1. Al restar 3x de ambos lados, obtenemos: 0 > 1, lo cual nunca es cierto. Así que no hay solución para esta inecuación.

153. 3. Ejemplo 4: 3^{2x} < 3^5 Las bases son iguales (3). Dado que 3 es mayor que 1 y la función exponencial es creciente, comparamos los exponentes: 2x < 5. Despeja x: x< 5/2​. 4. Usar propiedades de desigualdad para simplificar A veces, puedes simplificar una inecuación exponencial usando propiedades de desigualdad y álgebra básica antes de resolverla. Ejemplo 6: 2^{x+2} > 16 Escribe 16 como una potencia de 2: 16=2^4. La inecuación se convierte en 2^{x+2} > 2^4. Las bases son iguales, así que comparamos los exponentes: x+2>4. Despeja x: x>2.

154. inecuaciones logarítmicas Las inecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece dentro de un logaritmo. Resolver una inecuación logarítmica implica encontrar el conjunto de valores que satisfacen la inecuación, teniendo en cuenta las propiedades y restricciones de los logaritmos. Propiedades del Logaritmo Antes de abordar las inecuaciones logarítmicas, es importante recordar algunas propiedades fundamentales del logaritmo:

155. Ejemplo de Inecuación Logarítmica Consideremos una inecuación logarítmica simple: Para resolver esta inecuación, seguimos los siguientes pasos: Reescribir la inecuación en forma exponencial: Utilizamos la definición del logaritmo para convertir la inecuación en una forma exponencial. 2. Simplificar: Entonces, la solución de la inecuación es Consideraciones Importantes Dominio: Al resolver cualquier inecuación logarítmica, es crucial considerar el dominio del logaritmo. Por ejemplo, en debe ser mayor que cero. Base del logaritmo: La base del logaritmo debe ser positiva y distinta de 1. Es decir, b>0 y b≠1. Casos complejos: Para inecuaciones más complejas, es posible que se requiera el uso de propiedades de logaritmos, manipulación algebraica y, en algunos casos, análisis gráfico.  

156. Ejemplo más complejo Resolvamos la inecuación: Simplificas Considerar el dominio : El argumento del logaritmo debe ser mayor que cero: Entonces, combinando las dos condiciones, tenemos: Por lo tanto, la solución de la inecuación es  

157. Resumen Resolver inecuaciones logarítmicas implica: Reescribir la inecuación logarítmica en su forma exponencial. Resolver la inecuación resultante. Considerar el dominio del logaritmo para obtener la solución correcta. Unir las restricciones obtenidas para encontrar el conjunto solución.

158. TALLER DE INECUACIONES  

159. Números complejos

160. Un número complejo es una entidad matemática que puede ser expresada en la forma a+bi , donde: a y b son números reales. i es la unidad imaginaria, que se define como y cumple con la propiedad En esta notación: a se llama la parte real del número complejo y se denota como ℜ(z)=a. b se llama la parte imaginaria del número complejo y se denota como ℑ(z)=b.   Por ejemplo, en el número complejo 3+4i: La parte real es 3. La parte imaginaria es 4.

161. Unidad imaginaria Se llama así al número  y se designa por la letra i La raíz cúbica de  -1  no es un numero imaginario ni complejo. Ejemplos con unidad imaginaria       

162. Formas de representación de números complejos Los números complejos se pueden representar de varias formas, cada una con sus propias ventajas y aplicaciones. A continuación, se describen las formas más comunes de representación de los números complejos: 1. Forma Binómica (o Algebraica) Esta es la forma más común y directa de representar números complejos. Un número complejo se escribe como: z= a+bi donde: a es la parte real. b es la parte imaginaria. i es la unidad imaginaria, que cumple i^2 = −1.

163. 2. Forma Polar En esta forma, un número complejo se representa en términos de su módulo (o magnitud) r y su argumento (o ángulo) θ: z=r(cos⁡ θ+ i sen⁡ θ) donde: r=∣z∣= . Es el módulo del número complejo. θ= arg ⁡ ( z ) es el argumento, que puede calcularse como θ= 3. Forma Exponencial Utilizando la fórmula de Euler, un número complejo puede ser expresado en forma exponencial: z= donde: r es el módulo. Θ es argumento. = cos⁡ θ+ i sen⁡ θ ( fórmula de Euler).  

164. 4. Forma Trigonométrica Esta forma es similar a la forma polar y utiliza las funciones trigonométricas seno y coseno: z=r (cos⁡ θ + i sen⁡ θ ) Es útil en contextos donde las propiedades trigonométricas son convenientes. 5. Forma Matricial Los números complejos también se pueden representar como matrices 2×2: Esta representación es útil en ciertas áreas de la teoría de matrices y álgebra lineal. 6. Forma Vectorial Un número complejo se puede ver como un vector en el plano complejo (plano de Argand ), con la parte real como la componente x y la parte imaginaria como la componente y: z=a + b i≡( a,b ) Esta representación es útil para visualizar números complejos como puntos o vectores en un plano bidimensional.

165. OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

166. Suma   Para sumar dos números complejos, simplemente sumamos sus partes reales e imaginarias por separado.

167. Ejemplos

168. Resta Para restar dos números complejos, restamos sus partes reales e imaginarias por separado.

169. Multiplicación de números complejos   La multiplicación de dos números complejos se realiza usando la propiedad distributiva (igual que la multiplicación de binomios), teniendo en cuenta que i2=−1.

171. Conjugado de un Número Complejo   El conjugado de un número complejo  

172. División de números complejos   La división de dos números complejos se realiza multiplicando el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

173. Resuelve la división    Multiplicamos tanto al denominador como al numerador por el conjugado del denominador el cual es igual a  4−2𝑖 :   =  = Ya obtuvimos la respuesta, pero tenemos que escribirla en la forma  𝑎+𝑏𝑖 :  

174. Forma Polar de un Número Complejo Un número complejo también se puede representar en forma polar donde: