Classical And Modern Methods In Summability Johann Boos

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Johann Boos: Classical and modern methods in summability

Classical and Modern Methods
in
Summability
JOHANN BOOS
Fachbereich Mathematck
Fern Universitdt-Gesamthochschule
Hagen, Germany
assisted by
PETER CASS
Department of Mathematics
The University of Western Ontario
London, Ontario, Canada
OXFORD
UNIVERSITY PRESS

OXFORD
UNrvsRSITY PRESS
Great Clarendon Street, Oxford OX2 6DP
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Oxford is a registered trade mark of Oxford University Press
in the UK and in certain other countries
Published in the United States
by Oxford University Press Inc., New York
Johann Boos, 2000
The moral rights of the authors have been asserted
Database right Oxford University Press (maker)
First published 2000
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(Data available)
ISBN 0 19 850165 X
Typeset by the author using LaTeX
Printed in Great Britain
on acid-free paper by
T.J. International Ltd., Padstow, Cornwall

to
Christiane
and to
Daniela and Nicolas

Preface
In its broadest meaning, summability theory, or in short summability, is
the theory of the assignment of limits, which is fundamental in analysis,
function theory, topology and functional analysis. For instance, we are in-
terested in the assignment of limits in the case of
real or complex sequences (x,,) for the limit process `n -i cc'.
series (convergence of series),
sequences and series of functions like power series, Fourier series, etc.
(pointwise, uniform or compact convergence),
limit of a function at a point (continuity, continuous extension),
differentiation of functions,
integration of functions,
sequences and series in topological (vector) spaces.
Except for examples of applications, we deal in this book with summability
in a narrower sense, that is, with the assignment of limits in the case of
real or complex sequences by so-called summability methods which are
most often defined in this book by an infinite matrix (matrix method) or
by a power series (power series method).
We aim to give a broad introduction to summability theory and develop
some of its most important methodology. We distinguish between classical
('hard') methods and modern ('soft') methods which are essentially based
on analytical and functional analytic methods, respectively'.
The book is subdivided into three parts which are, roughly speaking,
devoted to classical methods (Part I, Chapters 1-5), modern methods (Part
II, Chapters 6-8) and the combination of classical and modern methods
(Part III, Chapters 9-11). Concerning summability, the heart of Part I is
contained in Chapters 2-4 where we deal mainly with inclusion, Toeplitz-
Silverman-type theorems, consistency theorems and the like. In Chapters 2
and 3 we discuss matrix methods like Cesaro methods, Hausdorff methods
and others, and power series methods like the Abel method and the Borel
method. Chapter 4 deals with Tauberian theorems for certain (classes of)
summability methods. Some applications are given in Chapter 5.
In Part II we investigate the structure of the domains of matrix meth-
ods, that is the set of all sequences which are `summable' by the method in
' This distinction comes from the fact that functional analysis is the younger theory
and should not be understood in the sense that classical analysis has nothing new to
offer.

viiiPreface
question. We apply modern methods, that is functional analytic methods,
to these matters in Chapter 8. The essential tool here is FK-space theory
which is due mainly to K. Zeller and which we develop in outline in Chap-
ter 7. All functional analytic tools beyond the basics, which are applied
in Part II or III, are discussed in Chapter 6. So in this sense the book
is self-contained. To give an impression of the advantages and elegance of
functional analytic methods of proof we prove anew the Toeplitz-Silverman
theorems that we proved earlier in Part I by classical methods. Whereas
the classical methods require detailed and technical arguments, the func-
tional analytic methods shorten these arguments and provide new insights
into the meaning of some of the conditions that arise in the theorems being
proved. The functional analytic methods, however, are not constructive and
this can be a disadvantage in some situations. Both points of view should
be appreciated for what each can offer.
In Part III we continue certain investigations of Part I and II, for exam-
ple the `consistency examinations', where we combine classical and modern
methods of proof. Often we can handle broad steps of the proofs with
functional analytic methods but we must still perform the fine work by
relatively extensive and technical classical methods. Whereas in Chapters
9 and 10 we deal with problems concerning the `consistency' of matrix
methods which arise in summability and are solved by using the tools of
topological sequence spaces, in Chapter 11 we deal with problems in this
theory and solve them by the application of results from summability. So
in Parts II and III we show--by way of examples-the connection between
summability and topological sequence spaces and demonstrate how each
field helps the other.
The book is designed as a textbook for a variety of courses on summa-
bility and its applications at the graduate level. Its study requires solid
knowledge of calculus and linear algebra as well as a basic knowledge of
function theory and, concerning the applications, of numerical analysis.
The study of Parts II and III requires very little knowledge of topology
but basic knowledge of functional analysis concerning metric and normed
spaces. As already mentioned, functional analytic tools, beyond the basic
ones, are discussed in Chapter 6.
At this time no textbook or monograph is available that presents
summability and its applications in the breadth undertaken here. Recent
developments and applications to some related topics are discussed and
open questions of interest to current research are posed. Thus this book
should be of interest to those conducting research in summability or topo-
logical sequence spaces. Mathematicians working in areas bordering on
summability should find much of interest. This book should also serve well
as a textbook for a variety of graduate courses in summability and topo-
logical sequence spaces and provides ample background to books or papers
which present the subject in overview, such as, for example, Kangro's paper

Prefaceix
[123] and Zeller and Beekmann's book [267] which, in spite of databases like
NfathSciNet from the American Mathematical Society and ZMATH from
Zentralblatt der Mathematik (etc.), retain their value and importance.
HagenJ. B.
April 2000

Acknowledgements
This book arose from a course for distance learning, entitled `Limitierungs-
theorie' (Limitierungstheorie is the German term for summability theory)
which was written by me with the assistance of Georgia Thurner, typeset
by C. Maurer and S. Sikora, and revised by me with the aid of K: E. Spreng.
Some parts of Chapter 3 and 4 come from another summability course for
distance learning (cf. [227]) which was written by U. StadtmUller.
H. Tietz and K. Zeller drew my attention to a recent paper (cf. [240]) in
which they give a modification of Wielandt's well-known elegant proof of
the Hardy-Littlewood JD-Tauberian theorems for the Abel method. This
is an elementary proof and I decided to use the material of this paper for
the important part of Section 4.4. Similarly, W. Kratz gave-for use in
this book-an elementary proof of the D-Tauberian theorem for the Borel
method which he adapted from a more general situation in a joint paper
with U. Stadtmuller (cf. [134]). I use this material in Section 4.5.
In the fall of 1998 I stayed for a couple of weeks at the University of
Manitoba (Winnipeg, Canada) at the invitation of M. R. Parameswaran.
We had fruitful discussions concerning `potent matrices' and I wrote, in
this period, Section 2.9 and the corresponding part in Section 3.2.
The Summability/Functional Analysis Group in my department, con-
sisting of W. Beekmann, K.-G. Grof3e-Erdmann, K: E. Spreng (and me)
discussed many aspects of the work for my book. My doctoral student and
colleague D. Seydel spent a lot of time proof reading and gave many hints
and valuable suggestions. Sylvia Sikora supported me in typesetting the
book in I}TEX2e. She typed some parts of the book and made thousands
of corrections and changes with incredible patience and accuracy.
I thank all these friends and colleagues for their support.
A special word of thanks goes to Peter Cass (The University of Western
Ontario in London (Ontario, Canada)). From the beginning he aided the
project with discussions and suggestions. He went very carefully through
the whole book and gave a 'nearly uncountable' set of suggestions and
corrections concerning both the language and the mathematical contents.
Last but not least, thanks to my loving family-my wife Christiane,
my daughter Daniela and my son Nicolas-who provided an atmosphere of
unerring support and patience to make possible the realization of such a
large project as this book.
J. B.

Contents
PART ICLASSICAL METHODS IN SUMMABILITY
AND APPLICATIONS
1Convergence and divergence3
1.1The early history of summability-the devil's in-
vention3
1.2Summability methods: definition and examples5
1.3Questions and basic notions20
1.4Notes on Chapter 125
2Matrix methods: basic classical theory26
2.1Dealing with infinite series27
2.2Dealing with infinite matrices34
2.3Conservative matrix methods39
2.4Coercive and strongly conservative matrix methods51
2.5Abundance within domains; factor sequences61
2.6Comparison and consistency theorems75
2.7Triangles of type M82
2.8The mean value property87
2.9Potent matrix methods92
2.10 Notes on Chapter 297
3Special summability methods99
3.1Cesaro and Holder methods100
3.2Weighted means, Riesz methods112
3.3Norlund methods126
3.4Hausdorff methods136
3.5Methods of function theoretical type152
3.6Summability methods defined by power series157
3.7Notes on Chapter 3165
4Tauberian theorems167
4.1Tauberian theorems for Cesaro methods168
4.2Tauberian theorems for Riesz methods178
4.3Tauberian theorems for power series methods186
4.4Hardy--Littlewood'sD-theoremsfortheAbel
method191

xiiContents
4.5Hardy-Littlewood'sID-theoremfortheBorel
method
4.6Notes on Chapter 4
5Application of matrix methods
5.1Boundary behaviour of power series
5.2Analytic continuation
5.3Numerical solution of systems of linear equations
5.4Fourier effectiveness of matrix methods
5.5Notes on Chapter 5
PART IIFUNCTIONAL ANALYTIC METHODS IN
SUMMABILITY
6Functional analytic basis
6.1Topological spaces
6.2Semi-metric spaces
6.3Semi-normed spaces, Banach spaces
6.4Locally convex spaces
6.5Continuous linear maps and the dual space of a
locally convex space
6.6Dual pairs and compatible topologies
6.7Frechet spaces
6.8Barrelled spaces
7Topological sequence spaces: K- and FK-spaces
7.1Sequence spaces and their c-duals
7.2K-spaces
7.3FK-spaces
7.4Functionalanalyticproofsof some Toeplitz-
Silverman-type theorems
7.5The dual of FK-spaces
7.6Distinguished subspaces of FK-spaces
7.7Notes on Chapter 7
8Matrix methods: structure of the domains
8.1Domains of matrix methods as FK-spaces
8.2Distinguished subspaces of domains
8.3Replaceability and it-uniqueness of matrices
8.4Examples
8.5Bounded divergent sequences in the domain
8.6Consistency and perfectness
8.7Replaceability and invariance
8.8Notes on Chapter 8

Contentsxiii
PART IIICOMBINING CLASSICAL AND
FUNCTIONAL ANALYTIC METHODS
9Consistency of matrix methods
9.1Consistency and theorems of Mazur-Orlicz type
9.2p-bounded sequences and domains
9.3p-consistency and p-comparison
9.4Singularities of matrices
10 Saks spaces and bounded domains
10.1 Saks spaces and mixed topologies
10.2 The Saks space m fl WE
10.3 A theorem of Mazur-Orlicz type
10.4 b-comparison through quotient representations
10.5 Notes on Chapter 10
11 Some aspects of topological sequence spaces
11.1 An inclusion theorem
11.2 Gliding hump and oscillating properties
11.3 Theorems of Toeplitz-Silverman type via sectional
convergence and ...
11.4 Barrelled K-spaces
11.5 The sequences of zeros and ones in a sequence space
11.6 Notes on Chapters 9 and 11
Bibliography
459
460
475
483
500
515
516
522
527
529
536
538
538
540
546
550
557
561
563
Index575

Part I
Classical methods in
summability and applications
In Part I we develop basic theory in summability by applying exclusively
classical (analytical) methods of proof. In Parts II and III we will re-prove
some of the results of Part I by using modern (functional analytic) methods.
Chapter 1 has an introductory character. After making some remarks
on the early history of summability we introduce the basic notation and
formulate the main problems in summability.
In Chapter 2 we present some of the most important results in summa-
bility by applying exclusively classical methods of proof; thus the spectrum
of the results presented reach from very classical theorems like the well-
known Toeplitz-Silverman theorem to recent results generalizing a well-
known theorem of Hahn on matrix methods summing all sequences of zeros
and ones.
Chapter 3 is devoted to the consideration of examples of (classes of)
matrix methods and power series methods; in fact, we present them in
consideration of the theory developed in Chapter 2.
Whereas in Chapter 2 the problem of characterizing matrix methods,
which sum given classes of sequences, is the main priority, we deal in Chap-
ter 4 with the converse problem. For a given (class of) regular matrix
method(s) or power series method(s) we seek for sufficient conditions such
that each sequence, summable by the method under consideration, is con-
vergent. Such conditions are called Tauberian conditions and the corre-
sponding theorems are called Tauberian theorems.
In closing Part I we consider in Chapter 5 some applications of matrix
methods to other fields of mathematics. The reader should note that Section
5.5 contains hints and references to further applications of summability
methods.

1
Convergence and divergence
This first chapter has an introductory character. We start in Section 1.1
with some remarks about the early history of summability, that is about the
history from the time when the essential evolution of summability started
until the end of the nineteenth century.
Based on both Cauchy's and Abel's theorems (cf. 1.2.7 and 1.2.9), in
Section 1.2, we agree what we should understand by a summability method.
By way of examples we then develop further this agreement, which appears
at first to be artificial and abstract.
The notion of a summability method and the examples, considered in
Section 1.2, give rise to natural questions and problems. We list some of
them in Section 1.3. Some of these problems may only be understandable
when we deal with them seriously in the subsequent chapters.
1.1The early history of summability-the devil's
invention
Tracing the origins and development of the ideas that crystallized towards
the end of the nineteenth century to form the basis of the theory of summa-
bility is a complex undertaking. A full discussion of the historical issues
involved is beyond the scope of this book. An admirable and full treatment
is given in chapters 1 and 2 of Hardy's book Divergent Series (cf. [108]) to
which we enthusiastically refer the reader. To help motivate and introduce
the first ideas of summability we offer some comments which borrow from
Hardy's discussion.
Hardy writes
Newton and Leibniz, the first mathematicians to use infinite se-
ries systematically, had little temptation to use divergent series
(though Leibniz played with them occasionally). The temptation
became greater as analysis widened, and it was soon found that
they were useful, and that operations performed on them un-
critically often led to important results which could be verified
independently.
The formula, for example,

4Convergence and divergence
1-1+1-1+
can be arrived at as follows. Let
s=1-1+1-1+
Then,
1-s.
Thus, s = 2.
Hardy carries out various manipulations arriving eventually at the for-
mula
and notes that
(1-1+1-1+ )(1-1+1-1+ ) = 1.1-(1.1+1.1)+(1.1+1.1+1.1)- ,
so that equation (1.1:2) can be `obtained' by squaring equation (1.1:1) using
Cauchy's rule.
Later Hardy describes a valid process of arriving at a `sum' of a diver-
gent series that yields the bizarre result
1+2+4+8+=-1.
Hardy states that
It is plain that the first step towards such an interpretation [of
his various calculations] must be some definition, or definitions,
of the `sum' of an infinite series, more widely applicable than the
classical definition of Cauchy.
In 1828 Abel wrote `Divergent series are the invention of the devil, and
it is shameful to base on them any demonstration whatsoever.' Such was
the authority of Cauchy, Abel and their successors that divergent series
were, in Hardy's words, `gradually banished from analysis'.
It was not until 1890 when Cesaro published a paper about the multi-
plication of series that, according to Hardy, `for the first time a "theory of
divergent series" is formulated explicitly'. Indeed, Cesaro's idea was quickly
picked up and applied fruitfully to Fourier series. One of the early successes
was a beautiful theorem of Fejer's which we state after first giving the sim-
plest form of Cesaro's idea.-
The limit of a sequence (x,,) according to Cesaro can be defined to be
limy,, where (y,,) is the sequence of Cesaro means of the sequence (x,,)
given by
n
ynExi
i=O
Fejer's theorem states that if f is in LP(0, 21r),1 < p < oo, then the
Cesaro means yn of the partial sums of the Fourier series of f converge

Summability methods: definition and examples5
to f in the LP-norm. If, in addition, f is continuous and f (7r) = f (-ir),
then the y converge uniformly to f (cf. 5.4.15).
Bibliography: [204]; [267]
1.2Summability methods: definition and examples
The essential content of this section is the agreement on what is meant
by a summability method, that is a method generating a limit map, and
the consideration of examples of summability methods. With the aim to
encompass all well-established summability methods, we will give a very
general definition and we will take the bad with the good that the defini-
tion provides. In the next two chapters we will consider almost exclusively
matrix methods.
Before we discuss the notion of a summability method, we introduce
some simplifying notation. We will introduce further notation in the course
of the book.
General assumption 1.2.1. In the sequel let K := C or lid := R be the
field of all complex or real numbers, respectively. Further, let N be the set
of all positive integers (natural numbers) and N° := N U {0}.L\
Throughout the book sequence spaces will be in the foreground; we will
understand the following:
Definition 1.2.2 (sequence space).If
w :=KN°:= IT = (Xk)kEN°j x : No -* K, k --+ Xk := x(k)} 1
denotes the set of all sequences, then w together with coordinatewise
addition and scalar multiplication defined by
((xk), (yk)) -+ (xk + Yk)and(.\, (xk)) -} (Axk),
respectively, is a linear space (over K). Each linear subspace of w (with the
induced addition and scalar multiplication) is called a sequence space. If
x = (xk) E w, then we also use the notation [x]k for the kth coefficient xk
of X.
Examples and Notation 1.2.3 (sequence spaces). Besides w the fol-
lowing subsets of w are obviously sequence spaces:
mx = (xk) E w 1Ilxlk := sup IxkI < 00
lkEN°
1 In the sequel we specify the domain of the running index of a sequence only if it is
different from NO. Furthermore, we use the notation (xk), (xk)k and (xk),
n
where
n E N. Analogously we make use of limk' and `Ek' instead of limk...,,o' and `E0k0=°',
respectively.

6Convergence and divergence
(the set of all bounded sequences).
The map rIIm -- R, x -4 IIxII is called the supremum norm.
c :_{ x = (Xk) E w f(xk) converges2, that islim Xk exists
111k-ooI
(the set of all convergent sequences).
Note, lim : c -+ K, x = (xk) -4 limk xk is a linear functional.
co{ x = (xk) E c Ilir xk = 0 }(the set of all null sequences)
bs{x=(xk)Ew
IIxIIbs:=suPxk <o}
nk=OI)JJ
(the set of all sequences with bounded partial sums).
csx = (Xk) E w I(Xk)
EcI
l
(the set of all summable3 sequences).
e = el :_{x=(xk)E
IIlxlliIxkl <}
k=a
(the set of all absolutely summable sequences).
The maps 11 llbs:bs-->R, x -+IIxIIbs and 1111, :£-+R, x --lxlll
are called bs-norm and 11-norm, respectively.
by[x = (xk) E w IIIxIIbv := Ixol + E Ixk - xk+i I < oo }
k)
(the set of all sequences with bounded variation).
bvo:= by fl co.
The map IIIlbv: by -+ R, x -4 IIxIIbv is called the by-norm.
cp:= {x=(xk)Ew13NE`l° dk>N:xk=O}
(the set of all finitely non-zero sequences)
4({enInENa})
.
where
2 (in the ordinary sense)-
3 in the sense that the series Z. xk converges
4If M is a (non-empty) subset of a linear space V, then we use the notation (M) for
the span of M; for a E V we put (a) := ({a}). Furthermore, if U and W are linear
subspaces of V, then the sum U+W = (UUW) is called a direct sum, if UnW = {0}
holds; in such a case we use the notation U EB W.

Summability methods: definition and examples7
e' :_ (snk)kENowith6,,k :=
1ifk=n
0if k o n
(k, n E ll°)
denotes the n'' unit vector (in w). It is an easy exercise to check
p CPCcsCcoCc=c:°®(e)CmCw(1.2:1)
and
eCbv°Cbv=by°®(e)Cc,(1.2:2)
where e := (1,1.... ).A
Throughout the book the so-called thin sequences and the sequences
of zeros and ones will play an important role, so we introduce here some
notation for the corresponding sets and their spans.
Notation and Remarks 1.2.4. We put
X{x=(xk)EwI dkE No: xkE{0,1}}
(the set of all sequences of zeros and ones),
m°(X) _ {x = (xk) E w I {xk I k E No }is a finite set} .
By definition, a sequence x = (xk) E X is called thin, if there exists an
index sequencewithk - oo (v -* oo) and with Xk = 1 if
k = k (v E N°) and Xk = 0 otherwise. Further,
T := {x E w I x is thin}(the set of all thin sequences).
Obviously, cp C T C X C (X) = m°. (Note, each e'is representable as the
difference of two thin sequences.]
We are going to find and motivate a usable notion of a summability
method. We base our decision on the following.
Problem: Let D C w with D 0 0 be given. We ask for a rule which gives
for each x E D a `generalized limit' in 1K, that is a map D -> 1K (for
example, D := c and lim : c - 1K, (Xk) -+ limk Xk ).
To accomplish this, we often start with two subspaces D C w and
E C w and a map ip: D -+ E. The map zbis often required to be
linear in such cases. We then consider those sequences x E D for which
Vi(x) E c and define the ip-limit of x to be fi(x) = lim'(x). We thus
base our notion of a generalized limit on the ordinary notion of limit. In
the case that c C D and z/i(c) C c we sometimes require that lim '(x) =
lim x for all x E c. Such summability methods are called regular. This
`natural' requirement is, however, not always appropriate and much would
be lost from our theory were we always to insist on it. Similar ideas can be
formulated in other contexts. For example, we may work in situations where
E is a double sequence space or a function space instead of a sequence
space. We now give some examples of summability methods to bring this

8Convergence and divergence
broad outline into focus. The first example may appear trivial but arises
naturally when one considers the possibility of addition and subtraction of
different summability methods.
Example 1.2.5 (zero map). We take as a basis the notion of ordinary
convergence of sequences and consider for D := w the map V : w -+ c,
x -* (0, 0, ...) as well as the `limit functional' lim oV : w -4 K which
is obviously the null functional. Nevertheless, in this way, we get for the
sequence x of the partial sum of the series 1 - 1 + 1 - ... considered by
Euler, that is for x = (1, 0,1.... ), the limit (lim oV) (x) = 0.A
If one had data in the form of a set of measurements from an experiment,
it may make sense to consider one of the following `notions of convergence':
Examples 1.2.6. Again, we take as a basis the ordinary limit of sequences,
that is lim : c --- 1K.
(a) Let D := w and
re_1
Z1:w->w, x=(xk)--+
C
2
x
+xn)
(with x_1 := 0)
_1
czi
{x E w I Z, X E c} = Z (c).
Then we obtain for every x E
czj
a (generalized) limit by the setting
Z -lim := limz:= lim oZj. :
cz
-i K, x -+ lim Zix.
Obviously,
c C
cz#
andlimz1 x = lim x(x E c).(1.2:3)
Also
(1,0,1,0 ....) E
cz
andlimza (1, 0,1, ...) =
1
2*
Thus we see that Z2 assigns limits to some divergent sequences.
(b) Using the arithmetic mean, we obtain a further notion of a limit. Let
D := w and
/(
1"
C1 : w -f W, x = (xk) -+
l TL + l
xk
k=0)n-
Also let
_1
CC, :_ {x E W I C1x E c} = C1(c).
Then for each x E cc, a (generalized) limit is defined by
C1- lim := limo, := lira o C1 : cc, --- K, x -* lim Cl x

Summability methods: definition and examples9
and, as we may easily check, we have
y := (1, 0,1.... ) E cc,withlime, y =
2
and
x := (1, 0, -1,1, 0, -1, ...) E cc,withlimci x = 0.
Note, however, that xCZ.0
In (1.2:3) we saw that limz iis defined on c and extends lim from c
to
czj
; that is, the `new' notion of convergence is defined for each conver-
gent sequence and each convergent sequence is assigned the `right' limit.
That these observations are valid also in the case of limc1 is confirmed by
the following theorem which-as we will see-follows as a special case of
Theorem 2.3.711.
Theorem 1.2.7 (Cauchy's limit theorem).c C cc, and limc, x =
lim x for every x E c.
-1
Proof. First we note that C1 : w -* w is linear and that cc, = C1(c) is
consequently a sequence space and limc, is linear. Because e = Cle and
c = co ® (e), to prove the statements in the theorem, it is sufficient to show
co C cc, and limci y = 0 (y E co). For that let y = (Yk) E co be given
and let
_i
n
tn. nEYk (nEN°).
k=0
Then we have to verify t := (tn) E co. For an arbitrarily given E > 0 we
may choose a ko E No with
Iyk I <
E
2
for each k > ko[since y E co ]
and then choose no E No such that
ko < noand
I.-
E
Iykl <
I
no+i2
k=0
This gives for all n > no the inequalities
kon
Yk + Y Yk
k=0k=ko+1
k
°n-ko eEE
<
n
< 2+2 = E.
k=0
Hence t E co.

10Convergence and divergence
Thus, in Example 1.2.6 we have encountered two (generalized) `notions
of convergence' which are reasonable-in the sense of our broad outline
discussed above. That is, the limit functional is based on a proved `notion
of convergence' (here on lim) and a suitable map (here it is Zj and C1,
respectively) and the new `notion of convergence' extends the functional
lim beyond c. To motivate further the notion of a `summability method',
we consider in the next example a `notion of convergence' which is based
on the `limit of a function at a given point'.
Example 1.2.8. Let D1 := {z E K Iizi < 11,
C :=If:D1 -+K It->1-l tmD
f (t) exists } ,
CA,{x= (Xk) E w Ig(t)xktk converges for Its < 1,
k
and f E C is given by f (t) := (1 - t)g(t) }
and
Al : CA, -* C, x -+ fwithf (t) := (1 - t)g(t).
Then a (generalized) limit is defined on CA, by
Al-lim : CA, -* K, x = (xk) -+lira(1 - t) E xktk.
t->1-,tE1k
It is an easy exercise to verify
cp C CA,and A1- lim x = 0(x E W),(1.2:4)
e E CA,and A,-lime=l,(1.2:5)
(1, 0,1, 0, ...) E CA,andAl-lim (1, 0,1....) =
1
2'
Beyond the statements in (1.2:4) and (1.2:5) we also have
c C CA,and.41- lim x = lim x for every x E c,(1.2:6)
as we will deduce from the following theorem.A
Theorem 1.2.9 (Abel's theorem). Let (ak) E w and Ek akrk be con-
vergent for a given r > 0. Then Ek aktk converges for all Itl < r and
ark=lim7
k
aktk
t-r-, tER
k
holds.

Summabilitymethods:definition and examples11
Proof of (1.2:6) in Example 1.2.8. Let x = (Xk) E c. Then F_k ak
converges where ak := xk - xk-1(k E No and x_1 := 0). Because the
power series >k xktk converges for each ItI < 1 since x E c C m, we
obtain for every Iti < 1 the equalities
E aktk= E(xk - xk_t)tk = (1 - t) E xktk.(1.2:7)
kkk
Therefore, by Abel's theorem 1.2.9 (in the case r = 1), the statement
lira Xk = E ak =limaktk =lim(1 - t)xkt
kt->1-, tERt-+ 1-, tER
kkk
k
holds. This shows in particular that x E CA, .
Proof of 1.2.9. Without loss of generality we may assume r = 1 since
otherwise we may consider the sequence (bk) with bk := akrk (k E NO).
Thus, let (ak) E cs be given. If we put xkv0 a (k E N°), then we
obviously have x = (xk) E c and Ek xktk converges for each ItJ < 1. In
particular, we retrieve (1.2:7). Now, if we put
f(t):=(i-t)Y' xktk (It{<1)anda:=Ea,,
kv
as well as
00
rk:= 57xk(kEN°),
v=k+1
we obtain for all Iti < 1 the identities
a - f (t) = (1 - t) E(a - xk)tk = (1 - t) E rktk.(1.2:8)
kk
The remaining part of the proof is quite similar to the corresponding
part of the proof of Cauchy's limit theorem. For a given r > 0 we may
choose for (rk) E co a k0 E N° with Irkd < i (k > k0). If we now put
5 := min {1,
2{TI+1i
} with M := Fkk.° 0 Irkl, then we get, by (1.2:8), for
1 - 8 < t < 1 the inequality
Ia - f (t)I<
ko00
(1-t)E1rkl+(1-t) 1 Irkltk
k=0k=ko+1
00
<(1-t)M+(1-t)2
61:
tk < 2+2 = e.
k=ko+1
Consequently, a =limf (t). Thus Abel's theorem is proved.
t-+1 -, tCR

12Convergence and divergence
What is common among the examples of `new notions of convergence'
considered in 1.2.5, 1.2.6 and 1.2.8 are three important principles.
the choice of a `standard' notion of convergence, on which the new
notion of convergence will be based;
the definition of the map, by which one connects to the `standard'
notion of convergence;
the determination of the set of all sequences, on which the new notion
of convergence is applicable.
On the basis of these observations we now formulate a general notion of
a summability method. (It is not really a definition since we do not make
precise exactly what we mean by a 'standard' notion of convergence.)
Formulation 1.2.10 (summability method). A summability me-
thod V is a triple (V,Nv, V-lim) consisting of
a map V : Dv -* M, where DV C w and (roughly speaking) M is
a set such that at least on a suitable subset N, 0 $ N C M, there
exist a (standard) limit functional f : N - K,
-2
the domain Nv := V(N) of V and
the summability functional V-lim := f a V INv : Nv -+ K5
Each x E Nv is called summable (by V to the value V-limx) or
V-summable to V-lim x. A series Fv a, is called summable (by V to
the value a), if (xk) with xk :_
FY=°a
(k E N°) is summable (and
a = V-limx holds).A
It may appear at first unnatural to consider the map V on Dv instead
of directly on Nv, but examples and also the theory which we develop
subsequently will prove that it is more sensible to do it this way, since often
we may know Dv precisely but not be able to determine Nv exactly.
Now, we give some examples of summability methods. The first series of
examples is based on the ordinary notion of convergence. In particular, we
will verify that the examples in 1.2.5 and 1.2.6 are summability methods
in the sense of 1.2.10.
Examples and Notation 1.2.11. Let M := w, N := c and f := lira
(in 1.2.10).
(a) Putting V := id,,,: w ---* w, x -+ x we get cv = c and V- lim = lim;
therefore (id,,,, c, lim) is a summability method which is just the ordinary
notion of convergence.
(b) If V : w -t w is the zero map (cf. 1.2.5), then cv = w and V-lim =
lira o V is the zero functional. In accordance with our formulation in 1.2.10
(V, w, V- lim) is a summability method that sums each sequence to zero.
(c) If Z I., cZi and limZ3 are defined as in 1.2.6(a), then (Z , cza , limz, }
222 23
I In the following we will not distinguish between the notation for maps and their
restrictions to subsets of their domains.

Summability methods: definition and examples13
is a summability method which is called the Zweier method6 (of order
1)
2
(d) If C1, cc, and limc, are defined as in 1.2.6(b), then the summability
method (C1 i cc, , limc,) is called the Cesaro method (of order 1) or
briefly the Cl-method,A
The last examples of summability methods have in common that the
defining map in the definition of the method is representable by a matrix.
We emphasize that property of such summability methods by the following
definition.
Definition 1.2.12 (matrix method). Let
aoo
aol
aloall
A = (ank) =
a02
a12
aok
alk
anoandarz2...ank...
t`T11
kthcolumn
E- nth row
with [A]nk := ank E K (n, k E N°) an infinite matrix and let
wA{x= (xk) E W I Ax := (1:ankxk)exists,
n
}that is all series 57, ankxk converge
kJ
(application domain of A),
A : WA -> W, x -+ Ax (matrix map induced by the matrix A),
CA :_{x Ew I Ax Ec}= A(c)(domain of A),
limA := A-lim := lim oA : CA -+ K, x -+ lim Ax.
Then the summability method (A, CA, lima), A for short, is called a ma-
trix method. (Note, we use the letter A for the matrix A, the matrix
map A : WA -4 w and the summability method (A, CA, limA).) Moreover,
coA :_ {x E cA IlimA x = 0} = A(co)andrn fl cA
are called the null domain and the bounded domain of A, respectively.
6The name `Zweier method' comes from the German word Zweier-Verfahren where
zwei means `two' and Verfahren means `method'.

1 4Convergence and divergence
Examples 1.2.13 (matrix methods).(a) If
100...
1010...
A:= I:=
001...
is the identity matrix, then the corresponding matrix method yields ob-
viously the summability method (id,,, c, lim) in 1.2.11(a).
(b) The zero matrix (all coefficients are equal to zero) corresponds to the
summability method in 1.2.11(b).
(c) The Zweier matrix
and the Cesaro matrix (of order 1)
1
2
C1 :=
1
2a
111
n+1n+1...n+1
[nn+l
repeated (n + 1)-times in the nth row] yield the Zweier method in
1.2.11(c) and the Cesaro method in 1.2.11(d), respectively7.
(d) If Bi(e-n k,`),then the matrix Bi and the matrix method
Bi = (B1y' , CBi , limBi) are called the Borel matrix and the discrete
Borel method, respectively.0
In the course of this book we will encounter many examples of (classes
of) matrix methods and we will subsequently deal almost exclusively with
matrix methods. However, to demonstrate the scope of the notion of a
summability method introduced in 1.2.10, we identify first the example in
1.2.8 as a summability method. After that we will examine some summa-
bility methods which are not based on the notion of ordinary convergence
of sequences.
'The big `0' indicates that in the corresponding domain, that is over the main diag-
onal, the coefficients are equal to zero.

Summability methods: definition and examples15
Examples 1.2.14 (Abel and Borel methods). (a) Let M := N:= C.
Referring to Example 1.2.8, let
F : C -* K, f -3 F(f) :=limf (t).
t-+1-, tE?t
Then (A1,CA1,A1-lim), Al for short, is a summability method and is
called the Abel method. (Here A1, CA, and Al-lim are defined as in
1.2.8, and we have Al-lim = F o A1. )
(b) Let
CB,
j:=f :Ilk -4 K IJima-t f (t) exists IIf:
11t-'+°°
B1 : CB, -+ j, (xk) -* f with f : K -+ K, t --- f (t)tk
l
and
k
B1-lim : CB, -> K, (xk) -3lima-t 1: Lk tk.
lit a t-r+oo
k
ThenB1 for short, is a summability method which is
called the Borel method.
We have, as the reader should prove in Exercise 1.3.11,
cc CB,and B1- lim x = lim x(x E c).
Further, as in the case of the Abel method, we have
because
and
x :_ (1,0, 1,...) E CB,withB1-limx =
2
.f (t) _
xk
tk =
t2k
=
et + e-t
kkl1..F2 k-)-!2
(tEK)
tzt
lime-
e+e-t)
lim
1+e=
rat->+oo2H2at-4+oo222*
We will return to the Abel and Borel methods in Section 3.6 where we
will study more generally the so-called power series methods.
The last class of examples of summability methods which we consider
in this section is based on the uniform convergence of double sequences.
For that we introduce some notation.
Note that other authors (cf., for example. [267]) use the notation B0 instead of B1
and Bo instead of B,*. Our notation is consistent with that in 3.6.10(b).

16Convergence and divergence
Notation and Remarks 1.2.15 (double sequences). Let
{y = (ynp)I y : No x No -) K, (n, p)Yap := y((n,p))}
(the set of all double sequences),
C{yE11 3aEK: ynp-4a (n -oo uniformly for pENo)}
{y=(ynp)Efl I 3aEK VE>O 3n°EN°
bn>n° VpEN° :(ynp-al <e}
(the set of all (uniformly) convergent double sequences)
and
Lim:C--+K, y -- Limy:=a
(where a is chosen in accordance with the definition of C).
Obviously, 11 is a linear space (over K), where the addition and the
(scalar) multiplication are defined coordinatewise, C is a linear subspace
of 1 and Lim is a linear functional on C. Moreover, we remark that
(uniformly) convergent double sequences are not necessarily (uniformly)
bounded. That is, there exists a y = (ynp) E C with sup,,
,
l ynpl = oo;
for example, y = (ynp) with ynp := p, if n = 0 and p E ld, and ynp :=
O otherwise, is an unbounded member of C. However, as an immediate
consequence of the definition of C we have
VyEC 3noEN0:supIynpl<oo.
n> no, p£N°
First we consider some trivial examples of summability methods based
on the notion of convergence in 1.2.15.
Examples 1.2.16. (a) Let V : w -a fl, x = (xk) --+ (ynp) with Yap :
-1
xn (n, p E No). Then Cv = V (C) = c and V- lim = lim holds obviously;
that is, the summability method (V, c, lim), as that in 1.2.11(a), reduces
to the notion of ordinary convergence of sequences.
(b) If V : w --+ 1 is the zero map, then we see that Cv = V(C) = w,
and V- lim = Limo V is the zero functional. Thus the summability method
(V, w, V- lim) provides the same (trivial) notion of convergence as that in
1.2.11(b).
(c) If A = (ank) is an infinite matrix and
V : wA -* Il, (xk) 4 (ynp) with ynpankxk(n,p E N°),
k
-1
then, since Yap does not depend on p, we obtain Cv = V(C) = CA and
V-lim = lima.Thus the summability method (V, cA, lima) provides the
same notion of convergence as the matrix method A.L1

Summability methods: definition and examples17
So, there is not yet anything new in the examples in 1.2.16 and the
question arises whether there exist examples of summability methods which
are based on the (uniform) convergence of double sequences and are not
identical to a matrix method. As we will prove subsequently the notion
of almost convergence, introduced in 1948 by G. G. Lorentz (cf. [148]),
provides such an example.
Example and Definition 1.2.17 (almost convergence). Let
P+n
F:w-+f2, x_ (xk) ---+F(X) :=
n+lXk
k=p
be given. Then
-1
f := CF = F(C)
1
P+n
{x=(xk)EIaEK:Exkna(uniformlyforP)
k=p
is a sequence space, F-lim := Lim o F is a linear functional and
(F, f,F- lim) is a summability method. The notion of convergence gen-
erated in this way is called almost convergence, and the elements of f
are called almost convergent (sequences).A
We now state some important properties of almost convergence.
Theorem 1.2.18 (almost convergence).
(a) c C f C m and F-lim I, = lim.
(b) If A is a matrix method, then f 54 CA (that is, almost convergence is
not representable by a matrix method) and, moreover, f ,-£ m fl CA.
Proof. (b) Later we will see from 2.5.8 that there is no matrix A with
f = CA. We omit the proof that f 54 m fl CA and refer the reader to [148,
Theorem 11].
(a) Let x = (xk) E c and a := lima. For a given e > 0 we choose an
NEN° with Ixk-aI<2 (k>N)(1.2:9)
and for N an
no E Nosuch that no > N and
2(N
no+Ilxll< 2
We then obtain for p E No and n > no the inequalities
n+F1
xk-a
n+1
k=P
1
n + I
n+p
1: (xk - a)
k=p
n+p
<1: jxk- a,
n + 1
k=p
(1.2:10)

18Convergence and divergence
<
n+1(n+1)2, ifp> N[cf. (1.2:9)]
Nn+p
1
fxk -al+
1
Ixk-al, ifp<N
L1;T+-1
k=pn+ l
k=N+1
1ifp>N
<
2
(N-p+1)2I1xII.+n+p-NF
ifp<N
n+1n+12
[cf. (1.2:9)]
<e[by (1.2:10) and the choice of N and no ].
Thus x E f and F- lim x = a, that is c C f and F- lim l c = lim .
Now, we verify x = (xk) : _ (1, 0,1, ...) E f and F- lira x = 1; hence,
cf. Obviously, we have
n+p
n21
-1 < Exk <
n21
+1(n,pE No),
k=p
therefore
11
2n+1
n+p
1n+ 1\1
n+1C2
-l t<
n+1xk
k=p
1
(n21+1)
=2+n+1(n,pENO),
which implies
n+p1
1E'rk--42
k=p
(n -3 oo uniformly for p E N° ),
that is x E f .
We next prove f C rn. Let x = (xk) E f, a E K and no E N° with
1
n+1
p+n
(xk - a)
k=p
<1(n>noandpe °)
be given. Then we have for each p E N° the inequalities
p+no+lp+no+1
E xk - E xk
k=pk=p+1
(1.2:11)
p+no+1p+no+1
(xk - a) -
L.1
(xk - a) + a
k=pk=p+1

Summability methods: definition and examples19
< no+2+no+1+lal[cf. (1.2:11)]
=2no+3+lal.
That is, x E in.
It remains to show f C m. For that we put
x = (xk)0 , 0 ,... , 0 ,
te=:
1, ...}
(n + 1)-times (n + 1)-times
and
n-1
p0 := 0, pi := 2, A2 := 6, ... , An := 2J(v + 1) = n(n + 1),... .
v-0
Note, Itn is the index at which the (n + 1)th block of ones begins. Thus
1
n+1
An +n{h.+2n+1
E xk=1 and
n+1E xk=0 (nEN°)
k=knk=un+n+1
and therefore xf. Obviously, x E m. This gives (a).0
As a generalization of almost convergence G. G. Lorentz (cf. [148]),
later G. M. Petersen (cf. [193]), and later still M. Stieglitz (cf. [230]) along
with other mathematicians have considered summability methods defined
by sequences of infinite matrices.
Examples and Notation 1.2.19 (SM-methods). Let A := (Atp))p
be a sequence of matrices A(P) =let
A :
fl
WA(P) --4 it , x = (xk) '-} U=0 ankxkp=0n,pEN°
and
-1
CA := A(C)and LimA := Lim o A : CA --+ K
The summability method (A, CA, LimA), A for short, generated by the
sequence A of matrices, is called an SM-method.
Special cases: (a) Let A be an (infinite) matrix and Abp} := A (p E N°).
Then we obtain CA = CA and LimA = IimA for the SIN-method A, that
is A and A generate the same notion of convergence.
(b) For p E No let AW = (ank) be defined by
ask
n+1>
if p:5 k < n + p
(n kEN°).
I`l
0otherwise
Then F = A, f = CA, and F-lim = LimA (cf. 1.2.17), that is the
methods (F, f,F- lim) and (A, CA, LimA) coincide.A

20Convergence and divergence
We will encounter and discuss almost convergence several times in the
sequel, but we will not examine SM-methods in detail. In this connection
it is obvious to require for the existence of SM-methods whose domains are
different from f and which are (as (F, f,F-lim)) not representable by a
matrix method. G. G. Lorentz (cf. [1481) and subsequently other authors
(see for instance [230], [229), [31] and [1781) have dealt with this question.
For the moment, we just present these examples of summability meth-
ods. In the course of the book, particularly in Chapter 3, we will study
many other examples of (classes of) summability methods.
Exercise 1.2.20. Verify the (strict) inclusions in (1.2:1) and (1.2:2).
Exercise 1.2.21. Give an example of a bijective map T : e --i by with
pTxjjb = jjxjji(x E f) and determine its inverse map.
Exercise 1.2.22. Prove
cZi
C cc, and limZ# x = lime, x (x E cz,) for
the matrix methods ZI and Cl (cf. 1.2.6 and 1.2.13).
Exercise 1.2.23. Verify the following facts for almost convergence:
(a) x((-1)k) E f and F-limx = 0.
(b) x = (Xk) := (1,0,-1,1,0,0,-1,1,-1,0,0,0,1,-1,1,-1,0,...) E f
and F-limx = 0, but jxj := (jxkj) V f.
(c) f C m fl cc,.
(d) T C fo := {x E f I F-limx = 0}. Hint: Show first T C coc,.
Bibliography: [267], [196], [108], [216], [148]; [193], [230], [178]
1.3Questions and basic notions
Throughout this section let two summability methods V = (V, Nv, V-lim)
and W = (W, Nw, W-lim) according to 1.2.10 be given (where they may
be based on different notions of convergence).
From the definition it is evident that the essential `entries' of a summa-
bility method (V, Nv, V-lim) are the domain NV and the summability
map V- lim and that (for a given notion of convergence) these are essen-
tially determined by the map V, which, in the case of matrix methods A,
is the defining matrix A. Thus it may be fruitful and natural to ask for nec-
essary and sufficient conditions on V (or the defining matrix A) that give
a minimal or maximal size of the domain or also for the summability of a
certain class of sequences. Moreover, it is interesting to compare two given
summability methods, that is to compare their domains and summability
functionals, respectively.
Now, we define these questions more precisely, and introduce corre-
sponding notation and definitions, and-as far as possible-we shed light
upon the questions and definitions by the consideration of examples.

Questions and basic notions21
1.3.1. Inclusion theorems
Question: Does D C Nv hold for a fixed D C w?
Definitions: V = (V, NV, V-lim) is called
conservative for null sequences if co C NV,
conservative if c c NV,
strongly conservative if f C Nv, and
coercive if m c NV.
In the case of matrix methods we call the (defining) matrix conservative
for null sequences, conservative, strongly conservative and coer-
cive, if the matrix method has the corresponding property.
Remark: Because co C c C f C m the notion of `conservative for null
sequences' is the weakest condition and `coercive' is the strongest condition.
Examples: (a) All the examples considered in Section 1.2 are conserva-
tive, and thus conservative for null sequences (cf. 1.2.13, 1.2.14, 1.2.16 and
1.2.17).
(b) Almost convergence, that is (F, f, F-lim), Ci and Ai are strongly
conservative since f C cc, C CA, (cf. Exercise 1.3.10 for the latter in-
clusion). I and ZZ are not strongly conservative and consequently not
coercive. [To prove the last statement note that cj = c g f (cf. 1.2.18(a))
and that f ¢ czi holds since x(1, 0, -1,1, 0, 0, -1,1, -1, 0, ...) E f
(cf. 1.2.23(b)) and Z,x=(I,1,-i0,.1,0,-2,0,0,-2,...)c.]
5
22
(c) The zero matrix is coercive (cf. 1.2.17(b)); Ci thus (F, f, F-lim) is
not coercive. [To prove the last statement it is sufficient to verify m 5t cc,
since f C cc,. For that we consider the sequence
k=40k=4'k=42
x=(xk):=(0,1,0,0,1,1,1,0,...,0,...,1,0,...
41-times42-times
This is obviously bounded, but because
n-1
[Cix]4°-l = 4n 1: 4k =
3 4n3
k=0
and
(n -+ oo)
1*L
4n+i _ 12
[Cix]2.4°-i =4nE 4
k
= 3. 2.4n3
(n --+ oo)
k=0
it is not Ci-summable.]0
In Chapter 2 we will characterize matrices which are conservative for
null sequences, conservative, strongly conservative and coercive, respec-
tively.

22Convergence and divergence
1.3.2. Tauberian theorems
Wanted:
(a) Necessary and sufficient conditions for the V-summability (non-sum-
mability) of sequences.
()0) Determination of certain subsets L of w having the following prop-
erty: x E L fl Nvx E c. A theorem of this type is called a Tauberian
theorem, and a condition, determining L, is called a Tauberian condi-
tion.
(-y) More generally, as in (;Q), in the case of two summability methods
V and W which satisfy Nw C Nv, we like to determine sets L of se-
quences with the following property: x E L fl Nvx E Nw. A theorem
of this type is also called a Tauberian theorem, and a condition which
determines L is called a Tauberian condition.0
We will consider (a) in Chapter 2 in connection with factor sequences,
and (0) in Chapter 4.
As we have already observed and will state subsequently, two summa-
bility methods (V,NV,V-lim) and (IT',Nw,IV-lim) may be different in
all three components or only partially. In the following we will focus our
attention on the comparison of their domains and we will also compare
their summability functionals pointwise. In the case of equal domains we
see from Example 1.2.19(a) that, in general, the summability functionals
are different. We now define precisely the questions connected with the
comparison of summability methods, which we will examine later in the
case of special as well as general (classes of) summability methods.
1.3.3. Comparison of domains
Questions:
(a) Are (the domains of) V and VV comparable; that is, does Nv C NW
or Nw C Nv hold?
(J3) Let L C w be given. Are (the domains of) V and W comparable
relative to L; that is, does L fl Nv C Nw or L fl Nw C Nv hold?
Definitions: If 0 $ L C w, then V is called stronger than W relative
to L (and W is called weaker than V relative to L), if L fl Nw C Nv
holds. By definition, V and W are equivalent relative to L, if Lf1Nv =
L fl Nw. Instead of `equivalent' the notion equipotent is also used. In the
case of L = w we speak simply about stronger, weaker and equivalent
(equipotent) whereas in the case L = m we speak of b-stronger, b-
weaker and b-equivalent. Further, V is called equiconvergent, if Nv =
C. A
Subsequently to 1.3.5 we will consider examples pertaining to 1.3.3 (and
also to 1.3.4 and 1.3.5).

Questions and basic notions23
1.3.4. Consistency of summability methods
Questions:
(a) Does V- lim x = W- lim x hold for each x E Nv n Nw?
(,3) Is V-limx = W-limx true for a given L C w and for every
x E LnNvnNw?
Definitions: Let 0 4 L C w be given. Then V and W are called consis-
tent relative to L, if V- lim x = W- lim x for each x E L n Nv n Nw is
valid. In the case of L = w we speak simply about consistency whereas,
if L = m, we speak of b-consistency.0
We emphasize a question which is already contained in 1.3.1, 1.3.3 and
1.3.4. Namely, from the fact that a summability method generates a notion
of convergence, one may expect that the minimal size of the domain is c and
that the method coincides on c with the `ordinary' notion of convergence.
1.3.5. Regularity
Question: Do c C Nv and V- lim. = lim or at least co C Nv and
V- lim x = 0 (x E co) hold?
Definitions: V is called regular for null sequences, if co c NV and
V- lim x = 0 (x E co), and regular, if c C Nv and V- lim x = lim x
(x E c) are valid.d
Before we consider some examples pertaining to 1.3.3-1.3.5, we point
out that in applications of summability methods, non-regular, and even
non-conservative, methods play an important role.
Examples 1.3.6. (a) Except for the zero matrix, which is regular only
for null sequences, all examples considered so far are regular (cf. 1.2.13(a),
(c) and (d), 1.2.14, 1.2.16(a) and (c) as well as 1.2.17 and 1.3.1).
(b) Zi is weaker than and consistent with C1 (cf. Exercise 1.2.22), but
Z! and C1 are not equivalent (cf. 1.2.6(b)).
(c) Almost convergence, that is the method (F, f, F-lim) in 1.2.17, is
neither equivalent nor b-equivalent to a matrix method (cf. 1.2.18(b)).
(d) Al is stronger than and consistent with C1 (cf. Exercise 1.3.10).
(e) The matrix
/ 1
(-11
A:=
a
-11
is conservative and regular for null sequences, but it is not regular. [Note
that Ax = (xk - xk-1) with x-1 := 0 holds for all x = (xk) E w. Thus
c C CA and IimA x = 0 (x E c).] Moreover, A and Zi are not comparable
[since x := ((-1)k) E cZ, CA and y :_ (k) E CA CZ, J.
3E
In connection with the comparison and the question of consistency of
summability methods (and the examination of other questions) it is very

24Convergence and divergence
important to study as far as possible the structure of their domains. This
study will be taken up in Part II.
1.3.7, Structure of domains
Let a summability method of a distinguished type, for example a 'conser-
vative matrix method', be given.
Questions:
(a) Algebraic structure of the domain?
(;0) Topological structure of the domain (with respect to various topolo-
gies)?A
In general we will consider `linear' methods, that is the domain is a linear
space and the limit functional is linear. For instance, matrix methods are
linear in this sense. So, the algebraic structure is clear. We will start in
Chapter 6 with an examination of the topological structure of the domains
of matrix methods. The results will prove to be very useful, for example, to
obtain (under certain assumptions) general statements on the consistency
of matrix methods.
1.3.8. Applications
Summability originated in other fields of mathematics like function theory
and applied mathematics, so it is important
to point out applications of summability methods in other branches of
mathematics;
to stimulate the development of other fields in mathematics by using
tools from summability.
Mainly in Chapter 2, but also in other chapters, for example in Chapter
11, we will deal with applications of summability. For further information
the reader should particularly note the corresponding remarks in Sections
5.5, 10.5 and 11.6.
We will leave the incomplete list of questions at that and turn to the
examination of matrix methods and other methods like the Abel and Borel
methods.
Exercise 1.3.9. Let (ak) E w with ak _> 0 (k E N°) be given, and
assume that the limit limt._41_, tER Ek aktk =: a exists. Show that then
the converse of the statement in Abel's theorem holds. That is, Ek ak
converges and Ek ak = a.
Exercise 1.3.10. Prove that the Cesaro method Cl is weaker than and
consistent with the Abel method Al.
Exercise 1.3.11. Verify the regularity of the Borel method B1. (In par-
ticular, the Borel matrix B*tis also regular.)
Bibliography: [267]; [196], [128]

Notes on Chapter 125
1.4Notes on Chapter 1
More detailed historical overviews of the development of summability are
given in various books. Here we draw attention to the book [216, Chapterl]
of Shawyer and Watson and also to Hardy's book [108, I. Introduction]. At
the end of Chapter 2 in the survey book [267] of Zeller and Beekmann
there are references to papers and books containing historical material.
Generally, the interested reader may find historical remarks in Zeller and
Beekmann's book which gives a general survey of methods, problems and
results in summability along with some history of the subject. It covers very
well the period 1880-1968. Later Kangro extended this survey to cover the
period 1969-1976 in his paper [123].
Besides the examples of (classes of) summability methods, introduced
in Section 1.2, there are many other types of summability methods. In
Section 7.2 we will touch on strong summability which was introduced
in the case of the Cesaro method in connection with Fourier series by Hardy
and Littlewood [109] and Fekete [81]. Almost all papers concerning strong
summability are connected with Fourier series or orthogonal series9 (cf.
[267, Chapter 6] and [123]).
Another regular summability method introduced by H. Fast (cf. [77])
and which is not equivalent to any regular matrix method is called statis-
tical convergence. During the last decades statistical convergence played
an important role in the literature and was investigated by J. Fridy (cf.
[85]) and in joint papers with H. I. Miller (cf. [86]) and C. Orhan (cf.
[87]), by J. Connor (cf. [67], [60], [61]) and in joint papers with J. Fridy
and J. Kline (cf. [64],[65]), by J. Maddox (cf. [160], [161]) and by E. Kolk
(cf. [129], [130], [131]). Using regular matrices with non-negative entries the
concept of statistical convergence leads to T-statistical convergence. An
overview of the theory of statistical convergence is given by J. Connor in
[63]. For further remarks concerning T-statistical convergence see Section
10.5.
Other keywords for (classes of) summability methods are, for instance,
absolute summability, intersection method and union method (cf.
[267, Chapters 6 and 7]). Because we restrict our interest to sequences in
K we do not deal with summability methods for multiple sequences. In the
case of double sequences these are very often matrix methods defined by
four-dimensional matrices and based, respectively, on the notion of conver-
gence due to Pringsheim and to Hardy (cf. [267, Chapter 8]).
For information on other questions, problems and applications we refer
the reader to the books [267], [123] and [108].
9To get an overview in the database ibfathSci use the keywords strong summability,
or the German keywords starke Limitierbarkeit and starke Summierbarkeit.

2
Matrix methods:
basic classical theory
As we have already mentioned, in this and the following chapters we will
deal mainly with matrix methods, in particular with their domains and the
notion of convergence generated by them. Corresponding to the questions
formulated in Section 1.3 we aim in Chapter 2 to give the most basic inclu-
sion, comparison and consistency theorems. We will make use exclusively
of classical (analytical) methods; some of these results we will re-prove in
Parts II and III by functional analytic methods.
First of all, in Sections 2.1 and 2.2 we develop useful tools for dealing
with series and infinite matrices.
After that we turn our attention to matrix methods and present in-
clusion theorems in Sections 2.3 and 2.4. In 2.3 we characterize, in the
Toeplitz-Silverman-Kojima-Schur theorem, matrix methods which are
conservative for null sequences and those which are conservative. In addi-
tion, we characterize matrix methods which are regular for null sequences
or which are regular. Section 2.4 includes the characterization of matrix
methods which are coercive (Schur theorem) or which are strongly conser-
vative. All these characterizations have in common that the corresponding
inclusion is characterized entirely by conditions in terms of the defining ma-
trix and that in each case the non-trivial part of the proof is based on the
`gliding hump method' which is an essential tool in summability, functional
analysis and other fields of mathematics using analytic methods.
In Section 2.5 we prove-again by applying the gliding hump method
and by the consideration of `factor sequences'-that the domain of a ma-
trix method contains a extensive `parcel' of sequences, when the domain
contains sequences having certain properties. In this connection we speak
about `abundance within domains'. As an immediate corollary of these con-
siderations we find that a conservative matrix method sums an unbounded
sequence if it sums at least one bounded divergent sequence. As a further
corollary we get in Section 2.6 the bounded consistency theorem, due to
Mazur, Orlicz and Brudno, which tells us that regular matrices A and B
are b-consistent, when B is b-stronger than A. Also we prove in 2.6 some
simple, but very useful, results on the comparison and consistency of matrix

Dealing with infinite series27
methods.
We continue the consistency considerations in 2.7. Motivated, for in-
stance, by the bounded consistency theorem, we look for a class of regular
triangles A such that each matrix, which is stronger than A, is consistent
with A. This leads us to the class of all matrices of `type M' which we
investigate in this section.
In Section 2.8 we deal with the `mean value property' of matrices which
turn out to be sufficient for the property of type M in the case of regular
triangles. Since, in the case of special matrices, it is not easy to verify
directly the definition of the mean value property, we give necessary and
sufficient conditions for the mean value property.
Hahn's theorem (cf. 2.4.5) tells us that a matrix which sums all se-
quences of zeros and ones sums all bounded sequences. In this connection
the question arises whether for a given matrix A another matrix B has
to be b-stronger than A, if B sums all sequences of zeros and ones which
are summable by A. Such matrices A are called `potent'. In Section 2.9
we give necessary and sufficient conditions for matrices to be potent. We
will continue in Chapter 3 the study of the potency of special (classes of)
matrices.
2.1Dealing with infinite series
In the sequel, for example in connection with matrix methods, we have
to deal with infinite series. For that purpose, in this section we present
Abel's partial summation formula and some convergence tests which follow
from it. Furthermore, we discuss the major rearrangement theorem which
contains as a special case Cauchy's theorem for double series. First of all,
we turn to Abel's partial summation formula and Abel's test.
Theorem 2.1.1 (Abel's partial summation formula). Let (av), (bv)
E w. xn := _V_° av (n E 1`V° } and x_1 := 0. Then the equality
ntkn+k
E avbv = E xvbv - by+1) - xn-i bn + xn+kbn+k+1(2.1:1)
v=nv=n
(Abel's partial summation formula)
holds for all n, k E N. If (xvbv+l) E c, the series F_v a,bv converges if
and only if the series >v x, (bv - by+i) does, that is
(avbv) E cs(xv(bv - by+i)) E cs(Abel's convergence test).
Proof. Because av = xv - xv_1 (v E N°) we obtain
avbv = xvbv - by+1) - xv-lbv +xbv+l(v E NO),
which implies (2.1:1) by summation. Abel's test is an immediate conse-
quence of (2.1:1) if we note that (xvbv+l) E c and consider the case n := 0
and let k -* oo.0

28Matrix methods: basic classical theory
As special cases of Abel's test we get some convergence tests which are
sufficient for series of the type F,v avb,,. (Of course, we may write every
series in the form Ev avbv, but the applicability of the tests depends on
the clever choice of the factors av and bv.)
Theorem 2.1.2 (Abel's test).If (av) E cs and (bv) is bounded and
monotone', then (avbv) E cs.
Proof. By assumptionE c where x := L.v-oav (n E N°). More-
over, (bv) E c since (bv) is assumed to be monotone and bounded. Hence
(xvbv+i) E c and, becauseFv-o(bv-br}1) = bo-b,,+1 (n E N°) and (bv)
is monotone and bounded, the seriesby}1) converges absolutely.
Thus, E, xv(bv -converges, and (avbv) E cs by 2.1.1.0
Theorem 2.1.3 (Dirichlet's test).If (av) E bs and (bv) is a monotone
null sequence, then (avbv) E cs.
Proof. Clearly (xvbv+l) E co where xn := Ev=0av (n E N°), and the
convergence of Ev xv (bv - by+1) follows as in the proof of 2.1.2. Now 2.1.1
again implies (avbv) E cs.0
Theorem 2.1.4 (Du Bois-Reymond's/Dedekind's test).
(a) If (bv) E by and (av) E cs, then (avbv) E cs.
(b) If (bv) E bvo and (av) E bs, then (avbv) E cs.
Proof. Let xn :=v=0 av (n E NO). As in the above proofs it is easy
to deduce the convergence of Ev xv(bv - by+1) and of (xvbv}1) from the
hypothesis of (a) and (b). Now (2.1:1) yields the result.0
One of the aims of this section is to prove Cauchy's theorem for double
series (cf. Theorem 2.1.11). We begin by discussing the effect of rearranging
the terms of a series.
Definition 2.1.5 (rearrangement).If v :NO -* NO is a bijective
map, then for a given series Ev av the series Ell a,(v)is called a re-
arrangement of it.
Theorem 2.1.6. If Ev av is absolutely convergent with sum s := Ev av,
then each rearrangement Ev a,(v)is absolutely convergent with sum
E. aa(v) = S.
Proof. Let x and y, be the ntt' partial sums of E, av and Ev a,(v),
respectively, and let xn and y be those of F_v (avI and Ev la,(v)I. First
we prove (a,(,)) E t which is equivalent to (yrz) E m sinceis mono-
tonically increasing. Putting N := max {o (v)i v E 1"12, we see that
0 < yn G 2N. HenceE m because (i,_) E m. Thus E. a,(v) con-
verges (absolutely) with sum t say. It remains to show that t = s. To
1 The monotonicity ofincludes b E R.
2 NO

Dealing with infinite series29
that end, for given n we set no = min I k E NoIIC {o (O), ... , o(k) } } .
Obviously n < no. Thus the finite sum yno - xn contains only, terms a
with v > n. Hence jyno - xnj < F_'.+, la,j, so
jS - tj<18-xnj+jxnYnoj+jyno-tj
<js - xnj+jyno -tj+lad -+ 0 asn -aoo.
v=n+1
This gives s = t.0
As a consequence (cf. Corollary 2.1.8) of our next theorem we will see
that E,, a, converges absolutely if each rearrangement Ev a0.(v) converges
(not a priori absolutely).
Theorem 2.1.7. Let (av) be a real sequence withE cs 2.
(a) For each s E IR there exists a rearrangement > a,(,,) of EV a, such
that Ev a,(,,) = S.
(b) For s = +oo and s = -oo there are rearrangements 57,and
which diverge definitely to +oo and -oo respectively.
Combining Theorems 2.1.7(b) and 2.1.6 we obtain the following corol-
lary, which holds for av complex as well as real. The proof is left to the
reader.
Corollary 2.1.8. A series converges absolutely if and only if each rear-
rangement of it is convergent.
Proof of 2.1.7. ForE cs e we build the subsequencesand
(cv) from the non-negative terms and the negative terms ofrespec-
tively. The series J: by and F_v cv diverge definitely to +oo and -00
respectively since otherwise we would haveE P contradicting our as-
sumption.
Now, let s E R be given. Because F_ b = +oo and F-v c = -oo we
can define
n-1
nl=min n>2 jEb,, >s( 2.1:2)
and then
nl-1n-1
kl=min n>2I(2.1:3)
_°v=o
We define inductively index sequences (nr) and (kr) with no = ko = 0,
n1 and k1 given by (2.1:2) and (2.1:3) respectively, and assuming n, and
k, to be defined, we set
rn-1
nr+1=min n>nr I E E bv+cE
µ=1v=n,.

30Matrix methods: basic classical theory
s
nr + kr_1 - Inr + k,. - In,.+1 + kr - 1nr+1 + kr+1 - I
Fig. 2.1.1: Illustration of the choice of the index sequences
and
kr+l = minn > krE
µ-1
n,,-1k,-1
v=np_1v-kY_1
/
nr+1-1n-1
+ Y' by +cv < s
v=nrv=kr
))1!!1!
See Figure 2.1.1 for an illustration of the choice of these index sequences.
On the vertical axis the sum s is marked, and we indicate how
En
V=0
dv
varies for nr + kr_1 - 1 < n < nr+1 + k,.+1 - 1 where
(dv) := (bo,...,bn,-1,CO,...,Ck1-1,bnl,...,bnz-1,Ck1.... ).
We now prove that the series Fv d,,, which is obviously a rearrangement
of F_v a,,, converges to s. Using
dn =
Jbywithnr_1 :5 v<nrifdn>0
cvwith k,._1 < v < kr if do < 0,
where r is suitably chosen, we obtain for the partial sums sn :_ J:u=o di.,
(n E N°) the estimation ((cf. Figure 2.1.1)
max{lC-, -11.if d
Is - snI < 4
max{bnkr_1,
Ickif do < 0
and therefore sn -+ s since (a,,) E co; thus (be,) E co and (cv) E co.
Altogether we have proved the theorem in the case of s E lit

Dealing with infinite series31
If s :_ +oo we modify the choice of do as follows. First take terms
bo, ... , bn, until the sum bo + ... + b,, exceeds 1 for the first time. Then
take co. Next take terms bn,+i,... ,bn2if necessary until the sum bo +
... +bn, + co + bn,+1 +... + bn2 exceeds 2 for the first time. Then take cl
continuing in this way and using the fact that E., b, = oo and that (cu)
is a null sequence, we obtain a rearrangement E1 a,(v) of F, a with
Eoo. The case s = -oo is similar.
As a further corollary of 2.1.6 we get a theorem on the convergence of
the product of two series.
Theorem 2.1.9 (product of series).Let E a and E. b be abso-
lutely convergent series with sum a and b, respectively. If (c,)is any
arrangement of the products anbk (n, k E N°) into a sequence, then the
series F_,, c, is absolute convergent with the limit ab.
In particular, if we arrange `in diagonals', then
(av) (b)
_C
E
akbn-k)
where the absolute convergence of the series on the right hand side is as-
sured and the sum is ab. This series is called the Cauchy product of
Ev a and E b,,.
Proof. LetE e,F_, la,I =: a. rb, and let (cv) be
an arbitrary arrangement of anbk (n, k E N°) into a sequence. First we
prove (cu) E e. To that end let p E N° be given and let A denote the
largest of the indexes n or k in the products anbk determining co,... , cµ.
Obviously,
< ab;E Ic-I <l(EIb')
thus (cv) E f. Now, we have ab = F c,, from Theorem 2.1.6. Therefore
we can choose a special arrangement of anbk (n, k E N°) into a sequence.
Let
do := aobo , d1 := a,bo , d2 := aob1 , d3 := a,bi,
that is
(ao + al)(bo + bl) = do + dl + d2 + d3.
Continuing in this way we get
=do+...+d(n+1)2-1
Thus abd if n tends to oo. In particular, we obtain the equality
En
(Ek=o akbn_k) = ab for the arrangement `in diagonals'.

32Matrix methods: basic classical theory
In the last'part of this section we deal with a major rearrangement
theorem which contains as special case Cauchy's theorem for double series.
The latter gives us sufficient conditions for the convergence of double series
=o a,,and tells us that-under suitable assumptions-convergence
does not depend on the order of summation. This means for example that
we get the same convergence behaviour and the same sum if we write the
coefficients of the double series as an infinite matrix and `sum' first the
coefficients in the rows and then add the row sums, or if we `sum' first the
coefficients in the columns and then add the column sums. That is, under
suitable assumptions, we have
E E avµ = E E avµ)
which means that the double series are both convergent and their limits
are equal. First of all, we give a very general rearrangement theorem.
Theorem 2.1.10 (major rearrangement theorem). Let I be an ar-
bitrary countable index set and let (Io,1i, I2....) be a partition of I (that
is, I=UvIv, I"0- O (vEN°) andv#µand v,pEN°).
Let (ai!i E I) be a family of numbers in K such that
sup tiEJ E jaili J C I, J isfinite } < oo,(2.1:4)
J
and for each v E No let
(cvo, CO, cv2, ...) be any arrangement of all ai(i E Iv)(2.1:5)
into a (finite or infinite) sequence. Then the sums3 cv := >u cv, exist
for v E N°, and the series Ev c,, converges absolutely. Moreover, the sum
s := EL, c,, = F_,, . cvu, is independent of the chosen partition I and the
arrangement in (2.1:5).
Note, if each I is an one-element set, thenis an arrangement
of ai(i E I) so that we have the situation of Theorem 2.1.6.
Proof of 2.1.10. Let (bk)kENo be an arrangement of (aiCi E I) into a
sequence. Because of (2.1:4) the series Ek bk is absolutely. convergent and
its limit r := Ek bk is independent of the chosen arrangement of ai by
Theorem 2.1.6. Thus s, defined in the theorem, is proved to be independent
of the chosen partition of I (and from the arrangement in (2.1:5) if we can
verify r = s). To that end we consider an arbitrary partition (I,,I v E NO)
of I and for every v E N° an arrangement of all ai (i E Iv) into a (finite or
3 As a finite sum or limit of the series under consideration which is absolutely conver-
gent because of (2.1:4).

Dealing with infinite series33
infinite) sequence (coo, cvli ...) as formulated in the theorem. Then >µ evµ
is for each v E No either a finite sum or, by (2.1:4), an absolutely convergent
series, and in both cases we denote the value (sum or limit) by ev. To prove
the convergence of Ev cv and r = s := F_v cv let e > 0 be arbitrarily
given. Since (bk) E f we may choose a K E No with Ek
K+1(bkj < e
and then an N E No such that bo,... , bK are contained in the families
(atIi E Iv) with v E N. Since the series F,µ evµ (v E N°) and Ek bk
are absolutely convergent we obtain for each n > N that
r -Cv
L,=o
n
bk - E Cl,
kv=°
CO
< E JbkJ < 6-
k=K+1
Thus Fv cv converges to r, so r = s. Moreover, the convergence of Fv cv
is absolute since, as we may easily show, _v =o icv4 < Ek JbkJ < oo holds
for each n E N°.0
As already mentioned above, our next theorem, Cauchy's theorem for
double series, is a special case of the major rearrangement theorem and we
will apply it several times throughout the book.
Theorem 2.1.11 (Cauchy's theorem for double series). Let avµ E
K (v, µ E N°) be given such that supra
Eµ
=ov=o Iav,I < oo. Then
all of the series E. avµ (v E N°) and Ev avµ (p E N°) converge abso-
lutely. If av = E. avµ and bµ = F. avµ, then F-v av and Eµ bµ converge
absolutely and we have
av=EEavµ
=
avt' _
bµ
vµµvµ
for the limits.
Proof. In Theorem 2.1.10 we take I := No x No as our countable index
set and consider the partitions (IvI v _E N°) and (Iv1 v E N°) of I
defined by Iv := { (v, n)I n E No } and Iv := { (n, v)Iit E No } (v E NO),
respectively, with the natural ordering. Now, it is an easy exercise to check
that Theorem 2.1.10 is applicable to the present situation and that the
desired results follow.0
Exercise 2.1.12. The well-known Leibniz test tells us that ((-1)"bo) E cs
if (bv) is a monotonically decreasing null sequence. Give a proof of that
theorem by applying one of the convergence tests 2.1.2-2.1.4.
Exercise 2.1.13. Use the convergence tests in the present section to prove
the following statements:
(a) If (av) E cs, then (a,,+ ) E cs.
(b) If (a,,) E cs, then the power series Eo avty converges for t E [0, 1].
(c) Let (av) E w and to E ]0, oo[ be given. If E. avv-t0 converges, then

34Matrix methods: basic classicaltheory
Ev avv-t converges for every (real) t > to. Series of the form F_
avv-t
are examples of Dirichlet series.
Exercise 2.1.14. Let (bv) E w,E cs and zak (v E No).
Apply Abel's partial summation formula to prove that
n+kn+k
E avbv = E zv(bv -znbn_1 - zn+k+lbn+k(n, k E N°).
v=nv=n
Bibliography: [128]
2.2Dealing with infinite matrices
As we mentioned above, matrix methods will play an essential role through-
out. We must therefore understand how to work with infinite matrices.
Calculations with infinite matrices are quite different from those with fi-
nite matrices. We use this section to introduce some of the most basic
ideas.
Throughout this section let A = (ank)n,kENo, B = (bnk)n.kENo and
C _ (cnk)n,kENo be infinite matrices with ank, bnk, cnk E 1K (n, k E N°).
Definition 2.2.1 (addition and multiplication by scalars).Inthe
case of infinite matrices addition and multiplication by scalars are defined
componentwise analogously to the case of sequences (cf. 1.2.2). More pre-
cisely
A + B := (ank + bnk)n,kENo and AA := (Aank)n,kENo(A E K).
With these definitions of addition and multiplication by scalars, the set of
all infinite matrices is a linear space over KIL
Formally the product of infinite matrices is defined similarly as in the
case of finite matrices. However, because the formal definition of the prod-
uct of infinite matrices involves infinite series, the existence of the product
is not assured for arbitrary matrices A and B. The same issue arises in
the case of the product of a matrix and a sequence. We make the following
definition.
Definition 2.2.2 (products).Let x = (xk), y = (Yk) E w and A =
(ank) and B = (bnk) be infinite matrices. We define
yx E ykxk(scalar product of sequences),(2.2:1)
k
Ax :=(ankxk)
nE
and yB :=(Ynbnk)(2.2:2)
kFI°nkENo
(product of a matrix and a sequence),

Dealing with infinite matrices35
AB :_ (Cnk) where cnkan.,,bvk (n,k E N0)(2.2:3)
(product of matrices),
provided all of the series appearing in (2.2:1), (2.2:2) and (2.2:3) converge.
In such a case we say that yx, Ax, yB and AB exist or are defined.
The following remarks apply to products of matrices. There are, of
course, corresponding results for the other products defined in 2.2.2.
Remarks 2.2.3. (a) If AC and BC exist, then so does (A + B)C and
(A+B)C = AC+BC holds. The corresponding statement holds for A(B+
C) when AB and AC exist (distributive laws).
(b) Just as with finite matrices, the product of infinite matrices is not, in
general, commutative. That is, there exist matrices A and B with AB #
BA. Moreover, we can choose A and B so that AB exists and BA does
not. An example of this is obtained by taking A and B to be the matrices
B and C respectively that are given in the following part (c). Then AB
does not exist while BA does exist.
(c) In contrast with finite matrices the associative law is not true in general
as the following example proves. If
A:=00000
and
,B:=
10101
then AB =000x0
and (AB)C = 0. However, BC, and thus A(BC), does not exist (whereas
CB does), as we may easily verify. As we will see in 8.5.7, it is also possible
.B and C for which all of the products AB, BC,to find matrices A.
(AB)C and A(BC) exist but still (AB)CA(BC) holds.d
Since associativity plays an important role, we give in the next three
theorems broadly applicable sufficient conditions that ensure associativity
for various types of products that arise.
Theorem 2.2.4 (associativity of t(Bx) ).Let B be an infinite ma-
trix and x = (xk),t = (tk) E w. If
(i)x E wn and t e caor

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XIX.
Ma questa triplice composizione dell’atto malvagio mi fece pensare
all’imperador del doloroso regno, che ha tre facce alla sua testa:
quella dinanzi, vermiglia, la destra, fra bianca e gialla, la sinistra,
nera. E vidi subito che la faccia vermiglia era la volontà di cui
obbietto è il male, la nera l’intelletto che ha per obbietto il falso,
quella tra bianca e gialla il metaforico appetito sensitivo che ha per
obbietto il male sensibile e che si divide in irascibile e concupiscibile,
come può essere indicato dai due colori di essa faccia; e che può
chiamarsi la possa, quanto a dire la possibilità di fare il male, che
l’intelletto suggerisce e la volontà comanda. Ora poi che in 'benigna
volontade... si liqua (Par. XV 1) Sempre l’amor che drittamente spira,
Come cupidità fa nell’iniqua’, sì che io vedevo al mal volere
corrispondere l’amor perverso o l’amor del male o cupidità, mi
pareva chiaro come le tre facce di Lucifero simboleggiassero la
Trinità del male, essendo la faccia vermiglia o l’iniqua volontà in cui
si liqua l’amore che non spira drittamente, opposta al primo amore,
e la bianca e gialla che significa la possa diabolica, essendo contraria
alla divina potestate, come la nera, che esprime l’argomento della
mente, quale è nei demoni, alla somma sapienza. Di che io avevo
una conferma nella collocazione stessa delle tre teste, poi che
dubitando da principio che bene fosse in mezzo posta la faccia
contraria all’amore, cioè allo Spirito Santo, che procede dal Padre e
dal Figlio, e perciò ultimo credevo dovesse essere messo, come è
scritto ultimo nella porta dell’inferno; lessi in Tomaso (1ª XXXVII 1)
che lo Spirito Santo secundum originem, è la terza persona, ma,
prout est amor, è il medio nesso dei due, Padre e Figlio. Sì che
Dante nella Porta Inferni aveva annoverate le tre persone secundum

originem, e nelle tre facce di Lucifero le aveva disposte secondo
l’abitudine d’amore del Padre al Figlio. Era dunque Lucifero l’Anti-Dio
uno e trino, e nel tempo stesso era il tricipite peccato, costante di
mal volere, d’intelletto e di possa; era la superbia origine d’ogni
peccato ed era la superbia peccato speciale. E le sei grandi ali, che
uscivano due sotto ciascuna faccia, mi pareva dovessero essere gli
altri sei peccati, ma come fossero disposti a due a due non sapevo; e
dei tre venti sospettavo bensì che cosa fossero, ma non osavo
affermare. Vedevo bensì non solo perchè Giuda fosse nella bocca del
mal volere o dell’odio e Bruto, il filosofo, fosse in quella
dell’intelletto, ma anche perchè Cassio fosse in quella della possa e
dell’appetito sensitivo e perchè fosse accennato come sì membruto,
una specie di Gigante. Ma a me premeva procedere ed esaminare il
tricorpore Gerione, che io credevo simbolo dell’invidia come il
tricipite Lucifero era simbolo della superbia, peccato in generale e in
ispecie. Gerione in fatti mi si mostrava misto di tre nature, avendo la
faccia d’Uomo, il fusto di Serpente e due branche pilose infin
l’ascelle. Ora, come l’invidia assomiglia alla superbia, così mi
attendevo di trovare in tali tre nature l’intelletto, il mal volere, la
possa o appetito sensitivo. E poi che Dante diceva la frode essere
proprio male dell’uomo, perchè senza intelletto non può darsi, nella
faccia d’uom giusto con la quale soltanto poteva compiersi detta
frode, non solo perchè di giusto, ma perchè d’uomo, vedevo
l’intelletto, e nel fusto di serpente quale fu il primo autore d’ogni
male, il mal volere; e non restavano che le branche le quali per
essere due mi fecero ricordare la faccia a due colori di Lucifero e
l’appetito sensitivo che si divide in irascibile e concupiscibile. E in che
differiva il simbolo dal simbolo? in quello in cui il peccato dal
peccato. Ora la invidia non differendo dalla superbia se non in
questo, che la prima per far l’ingiuria ha bisogno sempre
d’ingannare, mentre la seconda non ne ha bisogno, Gerione ha la
faccia d’uom giusto e benigna di fuor la pelle e il fusto di serpente e
il dosso e il petto e le coste dipinte di nodi e di rotelle; ed essendo
poi la superbia, per la persona che offende, la trasgressione suprema
e totale della legge, Lucifero ha la cresta, come a dire la corona, da
imperadore che egli è.

XX.
E tornavo a Vanni Fucci, che più d’ogni altro peccatore di Malebolge
fa pensare all’invidia con quel sinistro vaticinio, che fa solo perchè
Dante doler sen debbia. Nel fatto, anche dopo che Dante se ne sarà
doluto, che ne viene al ladro di quel dolore? Così l’invidia si strugge
sempre in un lavorìo vano; chè l’abbassamento altrui non limiterà
mai il suo timore di perdere quello che ha, di podere, di grazia,
d’onore, di fama. Ma Vanni Fucci si vergogna d’esser colto nella
miseria, dove Dante lo vede, egli che si professa con orgoglio bestia
e d’aver amato vita bestiale e non umana. E nè anche Dante
avrebbe pensato di vederlo in giù messo tanto, perchè il peccato,
che Vanni sconta, falsamente già fu apposto altrui ed esso Dante
vide lui uomo di sangue e di crucci, ciò è, come spiega l’antico,
uomo di brighe e d’omicidi. Or dove Dante si sarebbe aspettato di
vedere questo peccatore? dove appunto il peccatore vorrebbe dare a
credere di meritare d’essere messo: dove si espia la 'morte per forza
e le ferute dogliose che nel prossimo si danno,’ nel 'La riviera del
sangue, in la qual bolle Qual che per violenza in altrui noccia’. Il che
non solo Dante ha accennato chiaramente dicendo d’averlo veduto
uomo di sangue e di crucci, ma egli stesso ha più chiaramente
espresso professando: Vita bestial mi piacque e non umana. Di fatti
tra la malizia con forza e quella con frode, quella è meno punita
perchè non dell’uom proprio male, come la frode, essendo comune
con le bestie. Onde il ladro che dalle parole e dal tono di esse
parrebbe tutt’altro che ipocrita e sembra più tosto voler accrescere
che diminuire la sua colpa, in verità si trova che con quelle parole
stesse attenua la sua malizia, come quello che afferma di non aver
posto in essa la intelligenza: il che non era. Tuttavia quando ancor

dopo scoperto per quello che è, grida: 'Togli, Dio, chè a te le
squadro’, si comprende bene che il ladro vuol continuare il suo gioco
di passare per quello che non è, mostrando di meritare pena diversa
da quella che ha avuta dalla Giustizia di Dio, ma non si comprende
bene se egli ora pretenda di meritare più grave o più leggera la pena
e di essere meglio violento o superbo, violento come Capaneo o
superbo come Lucifero; sì che Dante stesso, che con la distinzione
Aristotelica delle disposizioni mostra di non ritrovar più la divisione
cristiana, soggiunge:
Per tutti i cerchi dell’inferno oscuri
Non vidi spirto in Dio tanto superbo,
Non quel che cadde a Tebe giù da’ muri.
[42]
E in verità Vanni Fucci è acerbo, come Capaneo non è maturato dalla
pioggia di fuoco. Ma Capaneo giace dispettoso e torto, e il ladro
fugge senza parlare più verbo, quando è rilegato dalle serpi, simboli
di frode. Ora nè Capaneo è reo veramente di quella superbia che
Virgilio suppone in lui dicendo, 'in ciò che non s’ammorza La tua
superbia se’ tu più punito’, nè Vanni Fucci è quello spirto in Dio tanto
superbo che pare a Dante; perchè la superbia è con intelletto e
Capaneo è violento e nella violenza intelletto non ha luogo, e Vanni
Fucci alla sua volta non riesce con la sua bestemmia che a farsi
simigliante a Capaneo e a confermarsi bestia, ciò è tale da
commettere un peccato bestiale e non umano. Ora quale è questo
peccato?

XXI.
Così cercavo; e confesso che con meraviglia vedevo qui che non tutti
gl’interpreti del Poema Sacro trovavano l’Aristotelica disposizione
detta matta bestialitate tutt’una con la malizia con forza o violenza.
Nulla in verità era più chiaro. Vanni Fucci, conosciuto come violento,
come uomo di sangue e di crucci, che come tale si sarebbe creduto
di trovare nel giron primo del primo cerchio dentro dai sassi dell’alta
ripa, professa bensì d’essere bestia e d’avere condotta vita bestiale e
non umana, ma deve confessare di necessità, perchè il luogo e il
modo della pena non concordano con ciò che professa, d’avere
anche commesso un dell’uom proprio male e di stare per questo di
sutto: oh! come non comprendere subito che la violenza è senza
intelletto, ciò è bestiale e che matta bestialitate e violenza sono una
cosa? E sì che sopra veniva subito un centauro pien di rabbia a
confermare e ribadire la cosa. Caco in vero, semi-homo e semifer
come lo chiama Virgilio, non è come gli altri centauri nel giron primo
del primo cerchietto, sebbene vi avesse luogo non solo come simbolo
ma come reo, poi che 'sotto il sasso di monte Aventino Di sangue
fece spesse volte laco’; ma egli fu anche frodolento, ciò è, per
quanto bestiale, come quello che era mezzo uomo e mezzo bestia,
commise un fatto di quella frode che è dell’uom proprio male. Onde
al centauro, oltre le bisce che ha sul dosso,
Sopra le spalle, dietro dalla coppa,
Con l’ale aperte gli giacea un draco;
E quello affoca qualunque s’intoppa.
[43]

Ma qui mi soffermavo prima dubitando e poi mutando a mano a
mano il dubbio in ammirazione profonda e lunga. Perchè questo
draco che affoca qualunque s’intoppa? io domandai. E cambiai subito
la domanda. Perchè i centauri simboli di violenza? Non soltanto
perchè tutti solean nel mondo andar a caccia, non soltanto perchè
Nesso fe’ di sè la vendetta egli stesso, non soltanto perchè Folo fu sì
pien d’ira, ma anche e più perchè i Centauri sono mezzo uomini e
mezzo bestie o bestiali, o a dirittura fiere. Così l’infamia di Creti che
sembra simbolo più generale ancora dei centauri, è detta bestia e
paragonata a un toro e chiamata ira bestiale. Ma un altro simbolo
era in questo primo cerchietto: le brutte Arpie. Ora Minotauro,
Centauri, Arpie hanno una cosa in comune tra loro e differente dai
simboli Gerione e Lucifero del secondo e terzo cerchietto. Quale? le
duo nature, mentre Gerione ne ha tre, e tre faccie ha Lucifero. Ma se
le tre faccie di Lucifero e le tre nature di Gerione raffiguravano il mal
volere, l’intelletto e la possa, necessari elementi o capi del peccato di
superbia e d’invidia; le duo nature dei simboli del peccato punito nel
primo cerchietto, peccato in cui non ha luogo l’intelletto, perchè la
forza non è, come la frode, dell’uom proprio male, raffiguravano
certamente la possa, che io chiamai appetito sensitivo e il mal
volere. E che le duo nature del Minotauro, dei Centauri, delle Arpie
raffigurassero gli elementi subbiettivi del peccato, era chiarito dal
fatto che il centauro Caco, essendo posto in altro cerchietto, per il
furar frodolente che fece, ossia per aver aggiunto alla sua Malizia
bestiale o violenta un terzo elemento, l’intelletto, assumeva un terzo
corpo o una terza natura che dir si voglia: 'il draco Sopra le spalle,
dietro dalla coppa, Con l’ale aperte’. La quale a me pareva
convenevolissima aggiunta, pensando alle serpi della bolgia e più
alla sozza imagine di froda che aveva il fusto di serpente. Bene: ma
qui ripensavo che nel tricorpore Gerione la natura serpentina io
avevo concluso significasse il mal volere, mentre mi pareva che
l’intelletto fosse rappresentato dalla faccia d’uom giusto; e qui in
vece, in Caco, dovevo ammettere che dal draco fosse significato, non
il mal volere, ma l’intelletto. Ma Dante creando il simbolo della
violenza, peccato bestiale, ne significava, di necessità, la bestiale
natura con escludere dal simbolo l’elemento che avrebbe

rappresentato l’intelletto; tuttavia, avendo il peccato, per quanto
bestiale, de’ due elementi che rimanevano, uno umano e non ferìno,
perchè la volontà non è dei bruti ma solo degli uomini, il simbolo era
semiumano e semiferino. La parte dunque che ne’ centauri, nelle
Arpie, e nel Minotauro, avrebbe potuto rappresentare la ragione, era
già stata dal simboleggiatore usata per la volontà; sì che quando egli
volle poi dare la mente ad un Centauro, fu costretto a prendere, per
simboleggiarla, il Serpente che altrove aveva simboleggiato il mal
volere. Eppure, mirabile accortezza!, egli seppe riparare il difetto
come meglio non avrebbe potuto, ponendo in Caco il serpente in
modo che sormontasse la testa e fosse in certa guisa la testa
medesima del Centauro, mentre il serpente in Gerione era il fusto e
la coda. E ciò confermava facendo che tale nuova testa del
Centauro, la quale affoca qualunque s’intoppa, somigliasse negli
effetti appunto alla coda di Gerione, la quale passa i monti e rompe
mura ed armi. Così dunque era tricorpore anche Caco: mentre
bicorpori erano i suoi fratelli e il Minotauro e le Arpie, perchè di due
elementi soli è commisto il peccato, di cui sono simboli e guardie e
punitori. E di questo mi soccorreva una riprova tale, da sommergere
in me ogni dubbio. Io leggevo che il peccato più grave di violenza
era, oltre spregiar natura e sua bontà,
far forza nella deitade
Col cor negando e bestemmiando quella;
onde nell’infimo girone, oltre Sodoma e Caorsa, è posto chi
spregiando Dio, col cor favella. Io non sapeva se altri avesse intese
queste parole di negare Dio e favellare spregiando Dio col core:
sapevo che non potevano intendersi che in un modo: soltanto col
cuore, ossia col ΘΥΜΟΣ, con l’irascibile, con la parte sensitiva
dell’anima, senza concorso d’intelletto. Nel fatto Capaneo
stolidamente minaccia Dio di non allegra vendetta, anche se lo saetti
di tutta sua forza; ed è nell’inferno precipitatovi appunto dalla saetta
di Dio! Onde le parole di Virgilio. E che l’intelletto mancasse nel
primo girone, Dante lo aveva detto esplicitamente, cieca chiamando

la cupidigia e folle l’ira che si puniva nel fiume di sangue. Non
restava dunque che sapere del secondo, poi che senza concorso
d’intelletto avevano peccato quelli del primo, come gli omicide, e
quelli del terzo, come Capaneo. Ma quelli che privano sè del mondo,
o biscazzano e fondono la loro facoltà e piangono dove devono
essere giocondi, sono così manifestamente pazzi nel loro operare,
che non occorreva che Dante lo dicesse altrimenti che raccontando
che cosa avevano operato. Ora quale era questo peccato o
disposizione cattiva, chiamata malizia che persegue il suo fine solo
con la forza, senza concorso d’intelletto, chiamata ancora matta
bestialitade? Io rileggevo: l’infamia di Creti...
Quando vide noi, sè stesso morse,
Sì come quei, cui l’ira dentro fiacca;
[44]
poi è in furia, poi è detta ira bestiale; ira folle è chiamata quella che
immolla nel fiume di sangue; un de’ centauri, sebben da lungi,
minaccia di tirar subito l’arco, e Chiron prende subito uno strale,
appena veduti Dante e Virgilio; Pier della Vigna dichiara d’essere
stato mosso da disdegnoso gusto e feroce chiama l’anima che si
disvelle dal corpo da sè stessa; di rabbia è ancora compreso
Capaneo, che giace dispettoso e i cui dispetti 'Sono al suo petto
assai debiti fregi’. E poi i peccatori che parlano, parlano
sdegnosamente, sì che d’ira pare fosse il loro abito da vivi se da
morti lo conservano: sdegnosamente parla non solo Pier della Vigna
della meretrice delle corti, ma colui che fe’ giubbetto a sè delle sue
case, e ser Brunetto ricordando la città del Batista e il suo ingrato
popolo maligno, e Iacopo Rusticucci, domandando se cortesia e
valore del tatto se n’è gita fuori della sua città, e lo Scrovegni
dicendo a Dante, Or te ne va, e predicendo sventura al suo vicin
Vitaliano. Il loro peccato sarebbe dunque l’ira? Oh! che hanno che
vedere Sodoma e Caorsa con l’ira? Nella violenza entra qualche volta
bensì l’ira, ma non è l’ira. Così pensavo e m’indugiavo perplesso.

XXII.
Io doveva a ogni modo comprendere come il Poeta sotto il
medesimo concetto di violenza o di malizia con forza raggruppasse
oltre omicidi e predoni, oltre suicidi e dissipatori, i bestemmiatori, i
sodomiti e gli usurieri. Di questi ultimi specialmente non intendevo il
come e il perchè. In ciò era veramente un groppo, che Dante
pregava Virgilio di solvergli. Dante non capisce come usura offenda
la divina bontà, e Virgilio spiega acconciamente come l’usuriere
dispregi la natura (e perciò Dio) in sè stessa e nell’arte. Bene: ma
come in tale offesa o in tale dispregio è violenza? è forza? Perchè
offese Dio nella sua bontà anche Lucifero, ma non fu violento, sì
superbo; e lo offendono tutti i peccatori, i quali sono detti rei di
questo o quel peccato, non necessariamente di violenza. Costringere
il danaro a fruttar danaro, senza altra propria operazione: questa era
la risposta che trovavo ai miei dubbi. Ma mi pareva un parlar per
metafora, un arzigogolo ingegnoso quanto si voglia, non degno di
Dante. E veramente in sì fatto “costringere„ come non è intelletto?
Anzi vi abbonda, e sottile; mentre nella violenza non avrebbe a
essere. Bisognava attendere alle parole proprie di Virgilio per
giungere al pensiero di Dante. Alla domanda di Dante, in che usura
offende la divina bontà, Virgilio, risponde che l’usuriere dispregia la
natura e Dio, perchè altra via tiene da quella assegnata da Dio agli
uomini. Dalla natura e dall’arte conviene che l’uomo tragga il suo
sostentamento e avanzamento. Conviene, perchè Dio così volle, ed è
scritto nello Genesi. Così volle nella sua bontà, perchè chi altrimenti
fa, offende quella. Ora in che principalmente Dio mostrò all’uomo la
sua bontà? nel crearlo simile a sè, non solo intelligente quindi ma
operante. Dice lo Genesi dal principio: 'Posuit Deus hominem in

Paradiso ut operaretur...’ E Tomaso (1ª CII 3) riporta qui il comento
di Agostino che dice che quell’operare 'non sarebbe stato faticoso,
come dopo il peccato, ma giocondo per lo sperimento della virtù
naturale’. Ma poi il lavoro e la fatica, e in particolare l’agricoltura, fu
all’uomo imposta da Dio 'in poenam peccati (ib.),’ chè Dio era irato,
come l’ira e simili si attribuiscono a Dio, secondo la simiglianza
dell’effetto; or poi che proprio dell’irato è punire, il suo punire si
chiama metaforicamente ira. Disse dunque Dio all’uomo: 'Vesceris
pane tuo in sudore vultus tui’. Ma quale di questi due passi dello
Genesi dobbiamo noi recarci a mente per intendere il pensiero di
Dante? Nel primo è espresso un atto della bontà di Dio, nel secondo
un atto della sua giustizia: quindi il primo parrebbe più a noi
opportuno che il secondo. Ma, oltre che il bene sta al giusto come il
genere alla specie, non dovremmo noi credere che la giustizia di Dio,
nella punizione del primo uomo, Dante ritenesse più tosto
'condecentia suae bonitatis’ che 'retributio pro meritis’? Per la prima
infatti risparmia, per la seconda punisce i cattivi (S. 1ª XXI 1). Ora
l’Uomo predestinato già nella pena a essere riparato dalla divina
bontà con 'Sì alto e sì magnifico processo (Par. VII 109, 113)’ non fu
certo punito 'pro meritis’, ed ebbe dunque piuttosto un perdono che
una pena e ricevè la prova meglio della bontà che della giustizia di
Dio. Agostino poi (De Civ. D. XIV 21) ha per l’esortazione 'crescite et
multiplicamini’ un comento, che Dante poteva essersi appropriato
per questo altro monito divino. Dice egli che tale benedizione di
nozze 'fu data avanti il peccato, perchè si conoscesse che la
procreazione dei figli pertiene alla gloria del connubio, non alla pena
del peccato’. E così l’operare, perchè dato come fine prima del
peccato, conservava dopo il peccato la nota della bontà divina per
una parte, e per un’altra prendeva la nota della giustizia, come il
procreare figli era segno della prima e il partorir con dolore della
seconda. E concludevo che nel pensiero di Dante l’usuriere,
negandosi di lavorare, disubbidiva a un precetto in cui era bensì il
castigo dell’antico peccato, ma che era stato dato prima ancora di
esso per divina bontà. Quindi offendeva la bontà anche ricusando di
fare ciò che la giustizia di Dio aveva ingiunto, nè soltanto perchè ciò
che la giustizia aveva ingiunto, la bontà aveva destinato, ma perchè

la giustizia fu nel punire piuttosto una condecenza della bontà di Dio
che una retribuzione secondo il merito dell’uomo, e perchè a ogni
modo la giustizia è contenuta nella bontà, come la specie nel
genere. Ma in tanto l’usuriere, pure riuscendo a offendere la bontà
divina, faceva però direttamente contro la giustizia, perchè solo
Adamo nel paradiso terrestre avrebbe potuto fare contro la bontà
ricusando di operare. Ma i figli di Adamo nel paradiso non sono più,
e per essi l’operare non è più disgiunto dalla fatica: dunque
immediatamente si ribellano alla giustizia e solo mediatamente
offendono la bontà.

XXIII.
Questo posto, io chiedeva; come l’uomo può ribellarsi alla Giustizia?
come può misconoscerla? La Giustizia sta nel dare a ognuno 'suum
ius’: la misconosce chi ritiene 'iniuria’ il 'ius’, e Ingiustizia la Giustizia.
L’usuriere dunque tiene ingiuria quello che è giusto; e si ribella. Ma
io leggevo (S. 1ª 2
ae
XLVII l) che 'ira est appetitus nocendi alteri sub
ratione iusti vindicativi’; e così da Tomaso e da altri apprendevo che
l’irato in tanto cerca vendetta (vindictam) in quanto gli par giusta; e
vendetta giusta non si dà se non di ciò che ingiustamente fu fatto: e
quindi ciò che provoca all’ira è sempre alcunchè sotto la ragion
dell’ingiustizia (ib. 2); e che l’ira è 'libido ulciscendi (De Civ. Dei XIV
15)’ e che, per non dire d’altri,
è chi per ingiuria par ch’adonti
Sì che si fa della vendetta ghiotto,
E tal convien che il male altrui impronti,
[45]
come Dante definisce. Ed ecco, io comprendeva assai meglio come
quel della scrofa azzurra e grossa fosse collocato sotto le falde del
fuoco nello stesso girone di colui che disse: Primus in orbe deos fecit
timor. Poi che chiaro mi appariva, ora che violenza avevo fatta
uguale a ira, come violenti potessero essere chiamati sì Capaneo e sì
lo Scrovegni. Di vero gli usurieri par che adontino, come
d’un’ingiuria, del castigo giustamente dato da Dio agli uomini 'di
nutrirsi del pane loro nel sudore del loro volto’, e si fanno ghiotti
della vendetta. Ma come può essere vendetta di Dio? A questo
proposito sapevo bene che il peccatore peccando 'non può in nulla
nuocere effettivamente a Dio, tuttavia da parte sua doppiamente fa

contro Dio: primamente, in quanto dispregia i suoi comandi,
secondo, in quanto porta nocumento a qualcuno, a sè o ad altrui: il
che pertiene a Dio, per il fatto che quegli, cui si porta nocumento, si
contiene sotto la provvidenza e tutela di Dio (S. 1ª 2
ae
XLVII 1)’. Ora
che è vendetta? Me lo spiegava Dante con l’ultimo verso del ternario
sopra scritto, verso che vedevo non troppo ben inteso: chè egli dice
male tal, come a dire sì fatto o uguale, a quello che ha ricevuto, gli
bisogna rendere subito a quello che glielo ha fatto. Ora è opportuno
considerare che secondo Tomaso, che segue Aristotele, tutte le
cause d’ira si riducono alla 'parvipensio’ o 'despectio’, ossia disprezzo
(1ª 2
ae
XLVII 2). Dunque l’usuriere si vendica di Dio opponendo al
disprezzo il disprezzo, poi che dispregia per sè natura e per la sua
seguace, e perciò Dio; come Capaneo, che giace dispettoso ed ebbe
e par ch’egli abbia Dio in disdegno. Ma come l’usuriere può credere
d’essere spregiato da Dio? La 'parvipensio’ o disprezzo, dice Tomaso
(ib.), 'si oppone all’eccellenza dell’uomo; chè gli uomini ciò che in
nessun modo stimano essere degno, disprezzano, come è detto nel
secondo della Retorica: or dai nostri beni vogliamo alcuna
eccellenza: e perciò qualunque nocumento a noi si porti, in quanto
deroga dall’eccellenza, pare appartenere al disprezzo’. Si pensi ora
alla tasca che avea certo colore e certo segno, in cui si pasce l’occhio
di questi peccatori: si vedrà con quanta accortezza il Poeta significhi
come essi fossero teneri d’alcuna eccellenza e come perciò propensi
a considerare disprezzo il comandamento di trarre il sostentamento
dalla propria fatica. Chi può affermare d’aver capito qualche cosa in
questa strana comune “nobiltà„ degli usurai di Dante? E se ne
conferma che il loro peccato è ira, perchè tutte le cause d’ira si
riducono alla parvipensio. Sono poi collocati su per la strema testa di
quel settimo cerchio, come i superbi imitatori di Caino sono finitimi
agl’invidi; per mostrare come la loro colpa abbia qualche cosa della
frode; poi che pur volendo vendicarsi di Dio “portano nocumento...
ad altrui„. Ma pur facendo direttamente contro Dio, non sono più giù
messi, perchè il loro peccato, che non è dell’uom proprio male, è
senza concorso d’intelletto e non può quindi essere che ira.

XXIV.
La violenza è senza lume d’intelletto; dunque è matta bestialitade o
ira che è 'furor brevis’; la bestialità è appetito di vendetta; dunque è
ira. Così avevo concluso, così dovevo concludere. Ma l’ira è con
ragione: dice Tomaso. Sì; ma egli disputa (1ª 2
ae
XLVI 4) che con
ragione ella è quodammodo, poi che la ragione non le si
accompagna se non come denunziatrice dell’ingiuria da vendicare;
ed essa 'non perfettamente la ode, poichè non osserva la regola
della ragione nel far vendetta; sì che all’ira si richiede qualche atto
della ragione e si aggiunge impedimento di essa ragione’. Ora io
vedevo a questo concetto rispondere esattamente il subito adirarsi
del Minotauro, chè questi, quando vide Dante e Virgilio, 'sè stesso
morse, Sì come quel, cui l’ira dentro fiacca’. Perchè? perchè egli
crede, come lo rimbrotta Virgilio, che lì sia il duca d’Atene, il suo
uccisore. Qui è dunque un atto di ragione la quale manifesta o
ricorda all’infamia di Creti l’antica ingiuria; onde s’adira, appena
veduti i due visitatori d’Inferno, appetendo vendetta. Ma Virgilio vuol
renderne vana l’azione, e perciò più vivo gli desta nell’anima il
ricordo di quella ingiuria; onde l’uomo-toro si fa e sembra toro
soltanto, e diventa bestiale: ciò è all’atto di ragione, che gli denunzia
l’ingiuria che è nelle parole di Virgilio, segue impedimento di essa
ragione: il che fa sì che i due possano agevolmente correre al varco,
mentre ch’è in furia. Così vedevo che a tutti i violenti la ragione
bensì denunziava un’ingiuria o supposta o vera, di cui essi
bramavano, anzi facevano vendetta, ma che essi, nel farla, obliavano
la ragione. Così dei tiranni mi pareva che Dante pensasse come
appunto tiranni fossero perchè il loro giudizio non era stato quel che
doveva essere, che Dante significa, parlando di Arrigo (Ep. V 3):

'semper citra medium plectens’. Di Arrigo egli dice che, come Cesare,
perdonerà a chi implorerà misericordia, poi che la sua maestà 'de
fonte defluat pietatis’; e come Augusto, 'relapsorum facinora
vindicabit’. In simile guisa i sovrani devono bensì vendicare i delitti,
ma hanno a castigare 'citra medium’ e ascoltare la pietà: se no, sono
tiranni. Or di questi nel fiume di sangue si piangono appunto gli
spietati danni, ossia le pene date senza ascoltare la pietà, che è
giustizia e ragione ascoltare. Quanto poi alla vendetta privata, che
Dante tien giusta (Inf. XXIX 16 e segg.), pone l’esempio di Guido di
Monforte, che avendo ragione di vendicarsi di Eduardo Re, non seguì
ragione in rependendo vindictam, e per la persona sulla quale si
vendicò e per il luogo, in grembo a Dio, e per il modo come si
vendicò. Nè i guastatori e ladroni sono puniti nel settimo cerchio
invece che nell’ottavo, per altro che per avere sì con la ragione
appresa un’ingiuria, di cui o ragionevolmente o no appetirono
vendicarsi (il che dei guerrieri di strada maestra è ancora
consuetudine ed opinione), ma non aver poi seguito ragione nel
vendicarsi stesso, specialmente col prendersela con tutti, senza più
attendere se rei verso loro o no: onde la loro cupidigia cieca. Ciò in
nessuno appariva più manifesto che in Pier della Vigna: al quale il
Poeta fa dimostrare e giurare che non ruppe fede al suo signore e
perciò fu a torto accusato e abbacinato o imprigionato, donde in lui
giusto risentimento per vera ingiuria. Ma la ragione dopo
l’abbandonò:
L’animo mio per disdegnoso gusto
Credendo col morir fuggir disdegno
Ingiusto fece me contra me giusto:
[46]
nel qual luogo è da notarsi 'l’animo mio’, che è precisamente il θυμός
di cui è parola di Tomaso (1ª 2
ae
XLVI 8), dove si conclude: nihil
autem prohibet, ut θυμός graece, quod latine furor dicitur, utrumque
importet, et velocitatem ad irascendum, et firmitatem propositi ad
puniendum. Anche Pier della Vigna adunque, abbandonato dalla
ragione, la qual pur rettamente gli designava l’ingiuria e

l’ingiuriatrice, scambiò nella vendetta la persona, punendo sè stesso
e non altri. L’ira invero è matta, è folle, è una “pazzia breve„; una
pazzia che può, per il momento che arde, trovarsi in persone per
solito e per altre parti ragionevolissime; onde Dante sotto la guardia
del Semifero ci fa vedere uomini come Pier della Vigna e altri che
posero gli ingegni a ben fare, e cui abbracciare Dante avrebbe
voluto, e avanti i quali egli poteva andare reverente. Ma qui anch’io
esclamai, come Dante, vedendo uno in cotal famiglia: Siete voi qui,
Ser Brunetto? Il peccato di cui foste lercio, come può essere ira? Ma
mi soccorse lo Genesi, e subito compresi, che come gli eccellenti e
nobili usurieri erano violenti contro l’Arte e perciò contro la Natura e
quindi rei d’ira contro Dio, così questi letterati grandi e di gran fama
erano rei d’ira contro Dio perchè colpevoli di violenza contro la
Natura. Nel fatto il loro peccato è contro natura, 'in quantum
impeditur generatio prolis (S. 1ª 2
ae
CLIV 1)’. E in somma contro il
dolce comando di Dio: 'Crescete e moltiplicate ed empite la terra e
sottomettetela...’. Il qual comando, poi che fu dato prima che i primi
parenti mangiassero del pomo, attestava la santità delle nozze ed
era argomento della divina bontà. Ma dopo il peccato sonarono le
lugubri parole: Dio 'alla donna ancora disse: Moltiplicherò i dolori
tuoi e i concepimenti tuoi: nel dolore farai figli e sotto il potere
dell’uomo sarai ed esso dominerà su te. E ad Adamo disse: Perchè
udisti la voce della moglie tua e mangiasti del legno del quale ti
avevo comandato che tu non mangiassi, maledetta la terra
nell’operar tuo! nelle fatiche mangerai da lei in tutti i giorni della vita
tua; spine e triboli ti germinerà e mangerai le erbe della terra. Nel
sudore del volto tuo ti ciberai del pane tuo, finchè ritorni nella terra
dalla quale preso fosti; perchè polvere sei e in polvere tornerai!’. Ora
l’invito alle nozze che resta anche dopo questa intimazione di morte
e di sventura, può fare apparire maledizione quella che fu una
benedizione, e credere pena del peccato quella che è gloria del
connubio: onde gli uomini respingono, nell’ira loro, la provvidenza di
Dio che 'masculum et feminam fecit eos’. Perchè “crescere„
l’infelicità? perchè “moltiplicare„ la morte? Così non vollero che per
loro seguisse 'generatio prolis’, e spregiando natura e perciò Dio,
vollero vendicarsi del dispregio di Dio, che essi letterati grandi e di

gran fama più che altri sentivano nel cuore. In tal modo cominciavo
a comprendere come il peccato, di che era lercio ser Brunetto, non
impedisse che Dante tenesse il capo chino come uom che reverente
vada; anzi come Dante potesse porre tra tale masnada chi nel
mondo ad ora ad ora gli insegnava come l’uom s’eterna. E ricordavo
che a quei tempi erano sette o congreghe che erano riputate ree di
simile ribellione a Dio, e che i Cathari, come diceva il Moneta,
affermavano illegittima, cioè contro la legge di Dio la congiunzione
pur nel matrimonio, 'quia credunt corpus maris et foeminæ a diabolo
fuisse factum’ (Tocco, Eresia, p. 90, n. 1), e gli Almariciani, partendo
dal principio che la distinzione del sesso si dovesse al peccato, 'et
stupra, come Martino Polono asseriva, et adulteria in charitatis
nomine committebant’ (ib. p. 413, n. 2); e ammiravo il Poeta che
così altamente concepiva il peccato degli uomini, raffigurandolo in
quel primo eterno drama, dentro e fuori il paradiso deliziano, dove
sonava la voce di Dio e fiammeggiava la spada del Cherubino; di che
Dante aveva ammonito il discreto lettore ricordando lo Genesi:
quando in me patii, quello che il primo Angelo patì nel sentire che il
suo levarsi era cadere. Udii in fatti nella settima cornice del
Purgatorio una delle due schiere di lussuriosi sopragridar, Soddoma e
Gomorra. Erano essi manifestamente rei del peccato di Ser Brunetto,
e il loro peccato era manifestamente di lussuria: dunque io avevo
errato e tutto il mio argomentare era stato, per questo punto, e forse
per tutti, in vano.

XXV.
Peraltro io pensai come già avessi veduto che tra il Purgatorio e
l’Inferno si doveva attendere una differenza, in quanto che nei
peccati che si puniscono nell’Inferno, sono l’odio di Dio e l’odio di sè,
i quali non sono nei peccati che si scontano nel Purgatorio. Onde
m’incorai a cercar meglio la cosa. Come in vero potrebbe entrare a
farsi bella anima che odiasse ciò che veramente ella è, e volesse
cose contrarie alla ragione? come potrebbe odiar Dio chi appunto, se
a Dio non si rivolgesse in un empito d’amore, non salirebbe il santo
monte? Dice Manfredi:
[47]
Io mi rendei
Piangendo a Quei che volentier perdona.
Orribil furon li peccati miei,
Ma la bontà infinita ha sì gran braccia,
Che prende ciò che si rivolge a lei.
Senza quel pianto di contrizione, egli meritava forse la Ghiaccia; ma
si rese in tempo, sebbene in punto di morte, a Quello da cui si era
allontanato in vita co’ suoi peccati. E quali fossero questi, non dice
Dante, e non si sa se credesse a quello a cui molti credevano: a ogni
modo, in ogni peccato è allontanamento da Dio, è 'aversio’; anzi
esso peccato è allora mortale e da punirsi eternalmente, quando
giunge sino all’allontanamento dall’ultimo fine, ciò è Dio (S. 1ª 2
ae
LXXII 5): ora questa aversione non è più certo in chi si converte o si
rivolge. Il che è significato da Tomaso con queste parole: 'Quando
per la grazia si rimette la colpa, si toglie l’allontanamento (aversio)

dell’anima da Dio, in quanto per la grazia l’anima a Dio si congiunge.
Onde e per conseguente insieme si toglie la condanna alla pena
eterna (3ª LXXXVI 4)’. Ma aggiunge: 'Può tuttavia rimanere la
condanna a qualche pena temporale’. Or come questo? Perchè in
ogni peccato è non solo l’’aversio ad incommutabile bono’, ma anche
la 'inordinata conversio ad commutabile bonum (lª 2
ae
LXXXVII 4 e
passim)’. Quale per la superbia, per la invidia, per l’ira sia questo
commutevole bene, Dante dice (Purg. XVII 115 e segg.):
l’eccellenza, che il superbo spera; podere, grazia, onore, fama, che
l’invido teme di perdere; la vendetta, di cui l’iroso è ghiotto. Tace poi
quale sia l’altro ben che non fa l’uom felice, a cui troppo
s’abbandonano gli avari e prodighi, i golosi, i lussuriosi; ma
facilmente s’intende, quale è. E io m’indugiavo a solvere un dubbio,
che qui mi si presentò d’un tratto. I peccati si dividono dai Teologi in
spirituali e carnali. Carnali sarebbero, secondo Gregorio, soli la
lussuria e la gola; ma altri, seguendo San Paolo (Ad Ephes. V) che
nomina l’avaritia accanto alla fornicatio e all’immunditia, aggiungono
l’avarizia; e di questi era certo Dante: il quale in altra cosa (lasciando
l’opinione sulle gerarchie angeliche; Par. XXVIII 132) pare non si
accordi con Gregorio, poi che, dicendo questi che i peccati carnali
sono minoris culpae ma infamiae maioris, esso, come correggendo,
dice dell’incontinenza (Inf. XI 84) che men Dio offende e men
biasimo accatta. Pone dunque Dante l’avarizia o meglio il malo
spendio tra i peccati carnali o d’incontinenza, seguendo Tomaso che
spiega (1ª 2
ae
LXXII 2) Potest dici, quod res, in qua delectatur
avarus, corporale quoddam est; e come il più grave dei tre. Ma
questi tre sono pur meno gravi dei peccati spirituali, i quali (S. 1ª 2
ae
LXXIII 5) 'pertengono allo spirito, di cui è proprio il volgersi a Dio e
l’allontanarsi da lui, mentre i peccati carnali si consumano nella
dilettazione dell’appetito carnale, a cui principalmente pertiene
volgersi al bene corporale; e perciò il peccato carnale, in quanto è
tale, ha più della conversione, perchè è anche di maggiore adesione;
ma il peccato spirituale ha più di aversione, dalla quale procede la
ragione della colpa, e perciò il peccato spirituale in quanto è tale è di
maggior colpa’. Ora il mio dubbio era qui: poi che nel purgatorio i rei
di peccati spirituali non possono essere più con allontanamento da

Dio, perchè non sono essi posti nelle cornici superiori? In vero
osserva S. Tomaso (2ª 2
ae
CLXII 6) che 'dalla parte della conversione
non ha la superbia di che essere il più grande de’ peccati: perchè
l’altezza (celsitudo) che il superbo inordinatamente appetisce,
secondo la ragion sua non ha la più grande ripugnanza al bene della
virtù’. E pure anche nel Purgatorio pone Dante la superbia come il
massimo dei peccati, ponendola nell’ima cornice, sebbene dichiari
ch’ella non altro appetisce se non quella stessa eccellenza 'che
secondo la ragion sua non ha la più grande repugnanza al bene della
virtù’. E qui il dubbio si sciolse; diceva infatti Dante:
È chi per esser suo vicin soppresso
Spera eccellenza;
e così della superbia, come dell’invidia e dell’ira, affermava che il fine
era il mal del Prossimo. Aveva dunque Dante concepiti questi tre
peccati, o almeno la superbia, in un modo tutto suo; sì che nessuno
avrebbe dovuto meravigliarsi di ciò che m’era parso: che egli avesse
agguagliate la superbia e la invidia e l’ira punite in inferno al
tradimento o frode in chi si fida, alla frode in chi non si fida, alla
violenza o bestialità. E così tornavo al punto in cui avevo perduto la
speranza dell’altezza; al punto in cui tutti i miei ragionamenti avevo
veduti vani, accorgendomi che Soddoma, che io credevo fosse per
Dante peccato d’ira o violenza o bestialità, che sono una cosa, era
invece per lui, come per tutti, peccato di lussuria. Oh! ma, io dissi, i
soddomiti del Purgatorio si resero a Dio, entrarono nel Purgatorio
dopo giusto pentere. Ora la penitenza di che effetto era stata nel
loro reo? Rispondeva S. Tomaso (3ª 86 4): 'Per la grazia si toglie
l’aversione della mente da Dio, insieme con la condanna alla pena
eterna: rimane tuttavia ciò che è materiale, cioè l’inordinata
conversione a un bene creato, per la quale si deve condanna a pena
temporale’. Tolto dunque nel peccato de’ soddomiti ciò per cui esso
era più veramente un allontanamento da Dio, ciò è la volontà
d’impedire la generazione della prole, rimaneva pur sempre l’atto
materiale, che è di lussuria. E così non solo io mi confermava nei

miei ragionamenti, ma vi trovava una forza nuova che mi spingeva a
cercare sempre più, con la certezza che avrei trovato. Di vero io mi
rivolgeva agli altri interpreti e domandava loro, perchè non avessero
spiegato come Dante in Inferno non avesse posto Brunetto coi
lussuriosi, poi che nel Purgatorio vi aveva posto il Guinizelli; e
sentivo che non avrebbero potuto o non potrebbero darne ragione,
che stesse. Io in vece poteva anche ricordare, che Tomaso afferma
come in un peccato possono concorrere più difformità e, a modo
d’esempio, riportare che egli dice dell’adulterio come non solo
pertenga al peccato di lussuria ma sì anche a quello d’ingiustizia (1ª
2
ae
LXXII 2).

XXVI.
Nei peccati adunque del Purgatorio sapevo mancare l’aversione da
Dio e di essi punirsi soltanto la conversione a un commutevole bene.
Al contrario in quelli dell’Inferno, si puniva con pena eterna
l’aversione da Dio. Il Purgatorio era tutto d’uomini conversi a Dio;
l’Inferno era d’uomini aversi da Dio. Il che vedevo significato dal
Poeta col fare che nessuno de’ rei pronunziasse il nome di Dio; salvo
Capaneo, il violento contro Dio, che nomina sdegnosamente Giove
(Inf. XIV 52), e Vanni Fucci, il finto violento, che con lo sconcio gesto
grida: Togli, Dio (Inf. XXV 3). Quante volte un dannato vuole
significare Dio, accenna o vela; e così Francesca (V 91) dice, il Re
dell’universo; e Farinata, il Sommo Duce (X 102); e Ulisse, altrui
(XXVI 141); e Maestro Adamo, la rigida giustizia (XXX 70); nello
stesso modo che Virgilio, il quale pure pronunzia il nome di Dio,
accenna però e vela quello di Cristo, chiamandolo un Possente (IX
53); Colui che la gran preda Levò a Dite (XII 38), l’Uom che nacque
e visse senza pecca (XXXIV 115). E tralascio, come evidente a tutti,
che l’Inferno stesso è volto alla parte contraria a quella donde si sale
a Dio e che, rispetto a Dio, Lucifero e tutto il suo gregge doloroso
sono capovolti. Ora io notava che in ogni peccato mortale è
aversione e conversione; ma che tuttavia il peccato carnale ha più
della conversione, e lo spirituale più dell’aversione, e che perciò
questo è più grave di quello (S. 1ª 2
ae
LXXIII 5). E questo sapeva
essere la ragione per cui Dante aveva collocato i peccati carnali, dei
quali per lui era anche l’avarizia, fuori di Dite e oltre lo Stige. Men
Dio offende, dice esso, l’incontinenza; tuttavia l’offende e con
conseguenza anche di pena eterna. Perchè, mentre in ogni peccato
mortale è aversione e conversione, in alcuni peraltro è principale

quella, in altri questa; e l’una porta con sè l’altra (S. 2ª 2
ae
XX 1).
Così nel peccato di lussuria, è la conversione al piacere carnale che
porta seco l’aversione da Dio e nel peccato di superbia è invece
l’aversione da Dio che produce la conversione a qualcosa di terreno.
E gli altri peccati carnali sono come la lussuria, e gli altri spirituali,
come la superbia. E la superbia, dice S. Tomaso (2ª 2
ae
CLXII 6),
'excedit in aversione’. Il che, come dà l’esatta spiegazione dell’ordine,
in cui sono puniti nell’Inferno questi sei peccati, lussuria, gola,
avarizia, carnali, ira, invidia, superbia, spirituali, così ci illumina di
nuova luce la profonda coscienza di Dante. Poi che noi vediamo
come egli punisca tra i lussuriosi gli adulteri Paolo e Francesca,
significando con ciò che in loro la conversione aveva preceduto
l’aversione; che colpa d’amore era la loro, d’amor che a cor gentil
ratto s’apprende, d’amor ch’a nullo amato amar perdona; che nel
loro adulterio incestuoso non era peccato d’ingiustizia; che l’uccisore
della moglie e del fratello, sebbene colpevoli, era più reo di loro; e
mostrando così prima ancora di venir meno e cadere, la pietà per i
duo cognati. E vediamo altresì che, nei peccati spirituali, l’aversione
da Dio per desiderio o di primazìa assoluta, o di podere, onore,
grazia e fama, o di vendetta, doveva suggerire all’intelletto volto al
male un’ingiuria contro Dio e contro chi di Dio più tiene o contro gli
uomini, oppure alla passione, al core, un’ingiuria contro Dio, contro
sè stesso, contro il Prossimo; perchè ella fosse eternalmente punita.
Così Dante non poneva nell’Inferno la superbia se non come
tradimento, l’invidia se non come frode, l’ira se non come bestiale
violenza contro il prossimo, contro sè stesso, contro Dio, la Natura e
l’Arte.

XXVII.
Ma se l’ira è punita nel settimo cerchio, quali sono nel pantano di
Stige 'L’anime di color cui vinse l’ira’? Così tornavo al luogo e all’ora
oscura dell’Inferno; a cui quante volte avevo pensato interrompendo
i miei ragionamenti, tante dicevo a me stesso che io doveva
ossequio ad essi, anche quando parevano contradire la verità meglio
apparente. Ora, dunque, riprendevo l’esame della questione, dalla
quale avevo mosso, e domandavo quali erano esse anime, e di che
ree. Una cosa era chiarissima, che essi, della palude pingue, come i
lussuriosi, golosi, avari e prodighi, avevano peccato per quella
disposizione che l’Etica chiama incontinenza, allo stesso modo che di
malizia erano rei i felli dell’ottavo e nono cerchio e di matta
bestialitate quelli del settimo. E incontinenza è, secondo lo stesso
Dante (Purg. XVII 136 e segg.), l’abbandonarsi troppo con l’amore
d’animo a un bene, che è bene sì ma non fa l’uom felice; è (ib. 97 e
segg.) il non misurarsi che faccia il detto amore ne’ beni terrestri, è il
correre suo nel bene con più cura che non dee. E anche nell’inferno
egli definisce gl’incontinenti in genere, pure adombrando i lussuriosi
in ispecie (Inf. V 38 e segg.): 'i peccator carnali, Che la ragion
sommettono al talento’. Ora il talento che è? È quello che Dante
chiamò ancora libito; è l’appetito sensitivo; anzi, quella sua parte che
è detta il concupiscibile. Dunque nei peccatori carnali la ragione non
fa più il suo ufficio di muovere essa la volontà, la quale è media tra
la ragione e il concupiscibile (S. 2ª 2
ae
CLV 3); ma lascia che l’altro la
muova a suo piacere. E io mi domandavo, con altri molti: Può essere
incontinenza d’altro che di concupiscibile? L’Etica in vero (VII 4)
distingue gl’incontinenti assolutamente, cioè quelli che tali sono
intorno ai piaceri del corpo, e gl’incontinenti secondo l’aggiunta

intorno a questo o quello. E nel capo sesto distingue gl’incontinenti
d’ira e quelli della concupiscenza, e dice quelli meno turpi di questi;
quelli in qualche parte seguendo la ragione, e questi no. Vi è dunque
come un’incontinenza di concupiscibile, così un’incontinenza
d’irascibile, parti, questo e quello, dell’appetito sensitivo; il che
conferma Tomaso in molti punti della Somma (2ª 2
ae
LIII 6, CLVI 4,
CLVIII 4, CLV 2, CLVI 2). Bene: ma che altro è essere incontinente
d’ira da essere reo d’ira o violenza o bestialità? E pure Dante i rei
d’ira pone nel settimo cerchio, dentro Dite, con ciò affermando che
non sono incontinenti. E che sono dunque? Sono uomini che fecero
ingiuria, in seguito a incontinenza d’ira. Poi che per Dante l’ira non è
ira se non ha per fine il male, come nè la invidia è invidia, nè la
superbia è superbia senza altrui danno. Or dunque, se noi
supponiamo che incontinenti d’irascibile siano quei della palude
pingue, cui vinse l’ira, come incontinenti di concupiscibile sappiamo
che sono quelli dei tre cerchi anteriori, che la ragion sommettono al
talento, dobbiamo inferire che essi non fecero ingiuria, perchè
altrimenti sarebbero stati messi più giù, nel settimo cerchio. Così
pensavo; e vedevo che nel pantano erano genti fangose con
sembiante offeso, di cui uno solo era nomato, Filippo Argenti, che
all’ultimo in sè medesmo si volgea coi denti; e di questo non era
ricordata alcuna reità e solo se ne diceva: 'Bontà non è che sua
memoria fregi’. E concludevo che ben poteva essere che il bizzarro e
le altre genti ignude fossero stati incontinenti d’ira, ma che male
altrui non avessero fatto, sì l’avessero voluto fare, rodendosi
continuamente per l’odio e la rabbia: il che era significato sì dal male
che erano, per divina giustizia, costretti a farsi laggiù, 'Troncandosi
coi denti a brano a brano’, e sì volgendosi, come l’uno d’essi fa, coi
denti in sè medesimi. E subito le genti ignude tutte mi richiamarono
al pensiero altri sciaurati anch’essi ignudi (Inf. III 64 e segg.),
anch’essi continuamente in moto, anch’essi continuamente
tormentati, sebbene da mosconi e da vespe e non dai compagni di
pena o da loro stessi. Le somiglianze erano altre molte: Virgilio lassù
garrisce Dante, dicendo 'Non ragioniam di lor, ma guarda e passa’;
qua Virgilio cinge a Dante il collo con le mani e lo bacia e lo chiama
'Alma sdegnosa’, perchè ha ributtato l’Argenti; là e qua conosce

un’Ombra, e della prima non dice il nome, la seconda non noma
esso, sì il volgo delle anime; 'Fama di loro il mondo esser non lassa’,
dice Virgilio degli sciaurati; 'Bontà non è che sua memoria fregi’, dice
di Filippo Argenti. Cattivo il coro degli angeli che furono per sè, dei
cattivi è tutta quella setta; bontà non fregia la memoria della
persona orgogliosa. E questa esclama: 'Vedi che son un che piango’;
e di lagrime è mischiato il sangue che riga il volto dei vili. E là sono
angeli, e qua staranno gran regi. E sopra tutto così dalla riviera
d’Acheronte, presso cui era la setta dei cattivi, come dalla secca ripa
della palude, in cui stavano i vinti dall’ira, Dante vedeva arrivare per
il fiume e per il pantano una nave, e nella nave là Caron, qua
Flegias; e tutti e due gridano e tutti e due tacciono alle parole di
Virgilio. Che dovevo concludere?

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Classical And Modern Methods In Summability Johann Boos

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