Computational Methods For Pde In Mechanics Berardino Dacunto

Computational Methods For Pde In Mechanics
Berardino Dacunto download
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-pde-in-
mechanics-berardino-dacunto-4644440
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Computational Methods For Data Analysis Yeliz Karaca Carlo Cattani
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-data-analysis-
yeliz-karaca-carlo-cattani-50339314
Computational Methods For Applied Inverse Problems Yanfei Wang
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-applied-
inverse-problems-yanfei-wang-52534034
Computational Methods For Fluid Dynamics 4th Ferziger Joel H
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-fluid-
dynamics-4th-ferziger-joel-h-54885676
Computational Methods For Counterterrorism 1st Edition Ophir Frieder
Auth
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-
counterterrorism-1st-edition-ophir-frieder-auth-2011716

Computational Methods For Geodynamics Ismailzadeh A Tackley P
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-geodynamics-
ismailzadeh-a-tackley-p-2044462
Computational Methods For Modelling Of Nonlinear Systems A Torokhti
And P Howlett Eds
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-modelling-of-
nonlinear-systems-a-torokhti-and-p-howlett-eds-2048216
Computational Methods For Algebraic Spline Surfaces Esf Exploratory
Workshop 1st Edition Tor Dokken
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-algebraic-
spline-surfaces-esf-exploratory-workshop-1st-edition-tor-
dokken-2187912
Computational Methods For Deep Learning Theoretic Practice And
Applications Wei Qi Yan
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-deep-learning-
theoretic-practice-and-applications-wei-qi-yan-21963068
Computational Methods For The Innovative Design Of Electrical Devices
Wiak
https://ebookbell.com/product/computational-methods-for-the-
innovative-design-of-electrical-devices-wiak-22059262

FFIRS.qxd 6/16/04 8:37 AM Page iv Quark03 Quark03:Desktop Folder:Chapter-FM:

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A catalogue record for this book is available from the British Library.
For photocopying of material in this volume, please pay a copying fee through the Copyright
Clearance Center, Inc., 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, USA. In this case permission to
photocopy is not required from the publisher.
ISBN 981-256-037-8
All rights reserved. This book, or parts thereof, may not be reproduced in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying, recording or any information storage and retrieval
system now known or to be invented, without written permission from the Publisher.
Copyright © 2004 by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
Published by
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
5 Toh Tuck Link, Singapore 596224
USA office: 27 Warren Street, Suite 401–402, Hackensack, NJ 07601
UK office: 57 Shelton Street, Covent Garden, London WC2H 9HE
Printed in Singapore.
COMPUTATIONAL METHODS FOR PDE IN MECHANICS
Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences — Vol. 67

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
To my wife Silvana
and my daughters Lucia and Erica
v

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
vi

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Preface
Several physical phenomena are governed by partial diﬀerential equations.
Obviously, this is not a mere chance. Indeed, scientists and technicians,
following the scientiﬁc method introduced by Galilei, know very well that
every natural event can be analyzed by means of a related mathematical
model. This is very often based on partial diﬀerential equations. A cel-
ebrated and historical example is given by the Maxwell equations, which
admirably describe the electro-magnetic ﬁeld. Other emblematic, not less
important, models are: Fourier (heat) equation, D’Alembert (wave) equa-
tion, Laplace/Poisson (potential) equation, Euler/Stokes (ﬂuid) equations.
Mathematical modeling has been successively adopted by researchers
working in several other ﬁelds and so, at present, partial diﬀerential equa-
tions can help to explain phenomena occurring in Biology, Medicine, Econ-
omy, Sociology, and so on.
During the last two hundred years, applied mathematician involved in
the above topic have never ended. The ﬁrst pioneers concentrated their
eﬀorts on the exact solutions. Next, the attention was focused on the
qualitative analysis in order to obtain information on the solutions even
when these could not be explicitly found. In the last sixty years, also the
quantitative analysis has been strongly developed in parallel with the great
growth of computers power. At present, numerical methods provide a pow-
erful approach for solving partial diﬀerential equations and their knowledge
becomes more and more a necessary cultural luggage of applied researchers
and technicians.
This book is an elementary introduction to computational methods,
based on the ﬁnite diﬀerences, for parabolic, hyperbolic and elliptic partial
diﬀerential equations. The numerical discussion of each type of equation
is always preceded by the introduction of models in Mechanics, which are
vii

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
viii Computational Methods for PDE in Mechanics
carefully derived. In particular, the role of the initial and boundary con-
ditions is pointed out with reference to physical situations. The numerical
analysis is concerned with the most used ﬁnite-diﬀerence methods for each
type of equation. Several examples are solved and exercises proposed to
give the Reader the opportunity to practice. Since there is no numerical
method without approximations, the accuracy of the schemes is also ana-
lyzed. Special attention is devoted to the propagation of rounding errors,
which inevitable arise during the computational process. This leads to dis-
cuss the basic concepts of stability, consistency and convergence, which are
illustrated by inductive procedures and then formalized.
Dealing with applied numerical methods sooner or later requires that
own programs have to be developed. Therefore, some examples are provided
by using the C++ language. The classic C language was evolved after 1970
by B. W. Kernigham and D. M. Ritchie. C++, developed by B. Stroustrup
in 1980s, is an extension of C. It provides the capabilities of object-oriented
programming. It is considered the most powerful and ﬂexible language. The
Visual C++
1
compiler is quickly introduced and Windows
2
programs are
built step by step. These programs can be easily ﬁtted to other situations,
with small changes. The codes of the programs developed in this book are
also supplied with the enclosed CD-Rom.
Chapter 1 deals with the most used ﬁnite-diﬀerence approximations of
derivatives. In particular, the forward, central and backward approxima-
tions are derived. Chapter 2 presents the classical model of heat conduction
in solids, based on Fourier law. Also, phase-change problems are illustrated.
Chapter 3 introduces the classical explicit method for the one-dimensional
heat equation. The concepts of stability, consistency and convergence are
applied. Developing programs in C++, related to the heat equation, is
the topic of Chapters 4 and 5. Chapter 6 describes numerical methods for
parabolic equations. Some nonlinear case is also considered and a melting
problem is discussed. Furthermore, the classical explicit method is gener-
alized to the heat equation in two and three space dimensions. A program
related to this case is developed in Chapter 7. Chapter 8 is devoted to
wave motions. At ﬁrst, the wave equation is derived from the model of
one-dimensional continuum. Next, we introduce the equations governing
the motions of general continuous systems. As special cases the elastic and
ﬂuid media are examined in order to point out wave phenomena. Finally,
a free-boundary value problem is presented. Explicit and implicit ﬁnite-
1
Visual C++ is a registered trademark of Microsoft Corporation
2
Windows is a registered trademark of Microsoft Corporation

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Preface ix
diﬀerence methods for the wave equation are illustrated in Chapter 9. An
example of third-order equation is provided. Chapter 10 deals with ﬁnite-
diﬀerence methods for linear and nonlinear hyperbolic systems. Elliptic
equations are considered in Chapter 11. The motions of ﬂuids through
porous media are examined. In Appendix A the classiﬁcation of partial dif-
ferential equations is given for second-order equations and general systems
of ﬁrst-order equations. Elements of Linear Algebra are brieﬂy provided in
Appendix B.
The author is grateful to Professor N. Bellomo for encouraging him to
write this book and the pertinent suggestions, for reading the manuscript
and making various useful criticisms.
Especial thanks are due to World Scientiﬁc Publishing Co.
B. D’Acunto
University of Naples “Federico II”, 2004.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
x Computational Methods for PDE in Mechanics

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Contents
Preface vii
1. Finite diﬀerences 1
1.1 Functiondiscretization..................... 2
1.2 Finite-diﬀerence approximation of derivatives . . . . . . . . 3
1.3 Approximation for higher-order derivatives . . . . . . . . . 5
1.4 Finite-diﬀerenceoperators................... 7
2. Fourier model of heat conduction 9
2.1 Fourier model of heat conduction . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Heatequation.......................... 10
2.3 Initial and boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Phase-changeproblems..................... 14
2.5 Heat conduction in a moving medium . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Fick’slawanddiﬀusion .................... 17
3. An explicit method for the heat equation 21
3.1 Non-dimensional form of the heat equation . . . . . . . . . 22
3.2 Theclassicalexplicitmethod ................. 23
3.3 Matrixform........................... 24
3.4 Stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.5 Consistency........................... 28
3.6 Convergence........................... 30
3.7 Neumann boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.8 Boundary conditions of the third kind . . . . . . . . . . . . 33
xi

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
xii Computational Methods for PDE in Mechanics
4. A Windows program 35
4.1 Introduction........................... 36
4.2 Creatinganewproject..................... 37
4.3 Equationdata.......................... 40
4.4 Initialdata ........................... 45
4.5 Boundary data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Numericalresults........................ 55
4.7 Analysisofdata ........................ 59
4.8 Graphicalresults.Examples.................. 60
4.9 Icons............................... 66
5. The Heat2 project 67
5.1 Introduction........................... 68
5.2 Theproject ........................... 69
5.3 Documentclass......................... 70
5.4 Equationclass ......................... 74
5.5 Initial and boundary data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.6 Viewclass............................ 83
5.7 Examples ............................ 91
6. Parabolic equations 93
6.1 Asimpleimplicitmethod ................... 94
6.2 Crank-Nicolsonmethod .................... 97
6.3 Von Neumann stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.4 Combinedscheme........................ 106
6.5 An example of unstable method . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6.6 DuFort-Frankel method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.7 Matrix stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.8 Stability analysis by the energy method . . . . . . . . . . . 116
6.9 Variable diﬀusivity coeﬃcient . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.10 Heat equation in two and three space dimensions . . . . . . 121
6.11 Diﬀusion-convection equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.12Nonlinearequation....................... 126
6.13 A free boundary problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
7. The Heat3 project 133
7.1 Introduction........................... 134
7.2 Mainmenu ........................... 137

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Contents xiii
7.3 Implementingthedocumentclass............... 138
7.4 Dialogresources ........................ 143
7.5 Implementingtheviewclass.................. 157
7.6 Usingtheprogram ....................... 171
8. Wave motions 175
8.1 One-dimensionalcontinuum.................. 176
8.2 Flexiblestrings ......................... 179
8.3 Waveequation ......................... 179
8.4 Wavesinelasticsolids ..................... 182
8.5 Motionofﬂuids......................... 186
8.6 Freepistonproblem ...................... 189
9. Finite-diﬀerence methods for the wave equation 191
9.1 Courant-Friederichs-Lewy method . . . . . . . . . . . . . . 192
9.2 Implicitmethods ........................ 196
9.3 Perturbedwaveequation.................... 201
10. Hyperbolic equations 209
10.1 First-order equations. Explicit methods . . . . . . . . . . . 210
10.2Implicitmethods ........................ 218
10.3 Systems of ﬁrst-order equations . . . . . . . . . . . . . . . . 221
10.4Nonlinearsystems ....................... 226
11. Elliptic equations 229
11.1Historicmodel ......................... 230
11.2Porousmedia.......................... 230
11.3Dirichletproblem........................ 233
11.4 Curved boundary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
11.5 Three-dimensional applications . . . . . . . . . . . . . . . . 241
11.6 Green’s identities. Consequences . . . . . . . . . . . . . . . 242
11.7Neumannproblem ....................... 245
11.8 Third boundary value problem . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Appendix A Classiﬁcation of PDEs 255
A.1 Second-order partial diﬀerential equations . . . . . . . . . . 256
A.2Systemsofﬁrst-orderPDEs.................. 258

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
xiv Computational Methods for PDE in Mechanics
Appendix B Elements of linear algebra 263
B.1 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
B.2 Vector and matrix norms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
Bibliography 273
Index 277

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Chapter 1
Finite diﬀerences
The scientiﬁc community agrees that ﬁnite-diﬀerence schemes were ﬁrst
used by Euler (1707-1783) to ﬁnd approximate solutions of diﬀerential equa-
tions. The technique is known asEuler method. However, only after 1945
systematic research activity on the above topic has been strongly developed,
when high-speed computers began to be available.
At present, ﬁnite-diﬀerence methods provide a powerful approach to
solve diﬀerential equations and are widely used in any ﬁeld of applied sci-
ences. Equations with variable coeﬃcients and even nonlinear problem can
be treated by these techniques. Generally, the error of an approximating
solution can be made arbitrary small. Rounding errors, which inevitably
arise during the computational process, can be controlled by a preliminary
analysis of the numerical stability of ﬁnite-diﬀerence schemes. Furthermore,
numerical solutions can give suggestions to more general questions.
This chapter introduces to the most used ﬁnite-diﬀerence approxima-
tions of derivatives. In particular, the well-known forward, central and
backward approximations are presented. The analysis systematically starts
from Taylor’s series expansion so that the truncation error can be imme-
diately pointed out. Firstly, the approximation of ﬁrst-order derivatives
is dealt with, and, subsequently, the analysis is developed for higher-order
derivatives. Exercises are proposed to give the Reader the opportunity to
practice. Finally, we present some ﬁnite-diﬀerence operators, which are fre-
quently found in literature. Their use can help to shorten long formulas in
some cases.
1

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
2 Computational Methods for PDE in Mechanics
1.1 Function discretization
Let us consider a functionu(x, t) depending on two variablesx∈[0,L]and
t∈[0,T]. A discretization of functionuis obtained by considering only
the valuesu
i,j
on a ﬁnite number of points (x i,tj)
u
i,j=u(x i,tj)=u(i∆x, j∆t),i=0, ..., m, j=0, ..., n,(1.1.1)
where ∆x=L/m,∆t=T/n, ﬁg. 1.1.1. Usually, instead ofu
i,j
,the
notationu
j
i
is also used.
Fig. 1.1.1 Space-time grid
The formula for a function of one variable is immediately derived from
(1.1.1). In addition, generalizing it in obvious way yields the case regarding
a function of three or more variables.
A basic role to estimate the error involved inﬁnite-diﬀerence approxi-
mationsof function derivatives is played by the well-known Taylor’s series
expansion
f(x+∆x)=f(x)+
n−1
−
h=1
f
(h)
(x)
(∆x)
h
h!
+f
(n)
(x+θ∆x)
(∆x)
n
n!
,(1.1.2)
where 0<θ<1andf
(h)
denotes thehth derivative off. Noting that the
last term is of order (∆x)
n
, (1.1.2) can also be written as
f(x+∆x)=f(x)+
n−1
−
h=1
f
(h)
(x)
(∆x)
h
h!
+O((∆x)
n
), (1.1.3)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Finite diﬀerences 3
where the symbolO(big o) has been used, deﬁned as follows
g(y)=O(y
n
),y∈Ω⇔|g(y)|≤cy
n
,∀y∈Ω, (1.1.4)
wherecis a positive constant.
1.2 Finite-diﬀerence approximation of derivatives
Let us deﬁne theforward approximationfor the partial derivativeu
t.Ap-
plying Taylor’s series expansion (1.1.3) tou(x
i,tj+∆t)gives
u(x
i,tj+∆t)=u(x i,tj)+u t(xi,tj)∆t+O((∆t)
2
) (1.2.1)
which, by using notation (1.1.1), is written as
u
i,j+1=ui,j+(u t)i,j∆t+O((∆t)
2
), (1.2.2)
that is,
(u
t)i,j=
u
i,j+1−ui,j
∆t
+O(∆t). (1.2.3)
Hence, it follows the approximation formula for the partial derivative ofu
with respect tot, calledforward approximation,
(u
t)i,j≈
u
i,j+1−ui,j
∆t
. (1.2.4)
Formula (1.2.4) evidently implies a leading error of order ∆t. Similarly,
from
(u
x)i,j=
u
i+1,j−ui,j
∆x
+O(∆x) (1.2.5)
it follows the forward approximation foru
x
(ux)i,j≈
u
i+1,j−ui,j
∆x
, (1.2.6)
with a leading error of order ∆x.
Thebackward approximationis inferred in analogous way. Applying
Taylor’s expansion (1.1.3) tou(x
i,tj−∆t)andu(x i−∆x, tj) implies, re-
spectively, the following
(u
t)i,j≈
u
i,j−ui,j−1
∆t
, (1.2.7)
(u
x)i,j≈
u
i,j−ui−1,j
∆x
, (1.2.8)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
4 Computational Methods for PDE in Mechanics
which give thebackward approximationsfor the ﬁrst partial derivatives,
with the same leading error of the last case.
Let us deﬁne thecentral approximation. Applying Taylor’s expansion
(1.1.3) withn=4yields
u
i,j+1=ui,j+(ut)i,j∆t+(u tt)i,j
(∆t)
2
2!
+(u
ttt)i,j
(∆t)
3
3!
+O((∆t)
4
),(1.2.9)
u
i,j−1=ui,j−(ut)i,j∆t+(u tt)i,j
(∆t)
2
2!
−(u
ttt)i,j
(∆t)
3
3!
+O((∆t)
4
).(1.2.10)
Subtracting the second expression from the ﬁrst gives
u
i,j+1−ui,j−1=2(u t)i,j∆t+O((∆t)
3
), (1.2.11)
that is,
(u
t)i,j=
u
i,j+1−ui,j−1
2∆t
+O((∆t)
2
). (1.2.12)
Hence, we obtain thecentral approximationforu
t
(ut)i,j≈
u
i,j+1−ui,j−12∆t
, (1.2.13)
with a leading error of order (∆t)
2
. Similarly, it follows
(u
x)i,j=
u
i+1,j−ui−1,j
2∆x
+O((∆x)
2
). (1.2.14)
Hence,
(u
x)i,j≈
u
i+1,j−ui−1,j
2∆x
, (1.2.15)
which gives the central approximation foru
xwith the same error.
The preceding ﬁnite-diﬀerence approximations consider the values of a
function on two points of thextgrid and are the most used. However,
formulas involving three or more grid points can also be deduced with a
smaller error, in general. Firstly, let us discuss thethree-point forward
approximationforu
t. Using again Taylor’s expansion (1.1.3) gives
u
i,j+1−ui,j=(u t)i,j∆t+(u tt)i,j(∆t)
2
/2+O((∆t)
3
), (1.2.16)
u
i,j+2−ui,j=(u t)i,j2∆t+(u tt)i,j2(∆t)
2
+O((∆t)
3
), (1.2.17)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Finite diﬀerences 5
which imply
(u
t)i,j=
4u
i,j+1−3u i,j−ui,j+2
2∆t
+O((∆t)
2
). (1.2.18)
Hence it follows thethree-point forward approximation
(u
t)i,j≈
4u
i,j+1−3u i,j−ui,j+2
2∆t
, (1.2.19)
with a leading error of order (∆t)
2
. Similarly, the three-point forward
approximation foru
xcan be obtained
(u
x)i,j≈
4u
i+1,j−3u i,j−ui+2,j
2∆x
. (1.2.20)
Exercise 1.2.1Show the following three-point backward approximations
(u
t)i,j≈
−4u
i,j−1+3u i,j+ui,j−2
2∆t
, (1.2.21)
(u
x)i,j≈
−4u
i−1,j+3u i,j+ui−2,j
2∆x
. (1.2.22)
Exercise 1.2.2Deduce the following four-point forward and backward
approximations
(u
t)i,j≈
−u
i,j+2+6u i,j+1−3u i,j−2u i,j−1
6∆t
, (1.2.23)
(u
t)i,j≈
u
i,j−2−6u i,j−1+3u i,j+2u i,j+1
6∆t
, (1.2.24)
and verify that the leading error is of order (∆t)
3
. Write similar formulas
for the partial derivativeu
x.
1.3 Approximation for higher-order derivatives
Let us introduce theforward approximationfor the second derivativeu
tt.
Multiply (1.2.16) by 2 and subtract the result to (1.2.17)
(u
tt)i,j=
u
i,j+2−2u i,j+1+ui,j
(∆t)
2
+O(∆t). (1.3.1)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
6 Computational Methods for PDE in Mechanics
Hence, it follows the quoted approximation
(u
tt)i,j≈
u
i,j+2−2u i,j+1+ui,j
(∆t)
2
(1.3.2)
with a leading error of order ∆t. A similar result holds for the second
derivativeu
xx
(uxx)i,j≈
u
i+2,j−2u i+1,j+ui,j
(∆x)
2
. (1.3.3)
By analogous arguments thebackward approximationsof the same
derivatives can be inferred
(u
tt)i,j≈
u
i,j−2−2u i,j−1+ui,j
(∆t)
2
, (1.3.4)
(u
xx)i,j≈
u
i−2,j−2u i−1,j+ui,j
(∆x)
2
, (1.3.5)
with a leading error of order ∆tand ∆x, respectively.
Summing (1.2.9), (1.2.10)
u
i,j+1+ui,j−1=2u i,j+(u tt)i,j(∆t)
2
+O((∆t)
4
) (1.3.6)
and solving with respect to (u
tt)i,jgives thecentral approximation
(u
tt)i,j≈
u
i,j+1−2u i,j+ui,j−1
(∆t)
2
. (1.3.7)
Formula (1.3.7) is more accurate than (1.3.2), (1.3.4), because its leading
error is of order (∆t)
2
. A similar result holds foru xx
(uxx)i,j≈
u
i+1,j−2u i,j+ui−1,j
(∆x)
2
. (1.3.8)
When functions of two or more variables are considered, the mixed
derivatives must also be discussed. Let us start with theforward approxi-
mationtou
xt. Applying (1.2.3) to the derivativeu xyields
(u
xt)i,j=
(u
x)i,j+1−(u x)i,j
∆t
+O(∆t). (1.3.9)
Hence, considering (1.2.5) implies
(u
xt)i,j=
u
i+1,j+1 −ui,j+1−ui+1,j+ui,j
∆x∆t
+O(∆x)+O(∆t),(1.3.10)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Finite diﬀerences 7
and, therefore, with a leading error of orderO(∆x)+O(∆t),
(u
xt)i,j≈
u
i+1,j+1 −ui,j+1−ui+1,j+ui,j
∆x∆t
. (1.3.11)
The same formula is found by applying (1.2.5) tou
tand using (1.2.3), as
it is easily veriﬁed.
Similarly, thebackward approximation
(u
xt)i,j≈
u
i−1,j−1 −ui,j−1−ui−1,j+ui,j
∆x∆t
, (1.3.12)
and thecentral approximation
(u
xt)i,j≈
u
i+1,j+1 −ui−1,j+1 −ui+1,j−1 +ui−1,j−1
4∆x∆t
, (1.3.13)
can be derived with a leading error of orderO(∆x)+O(∆t)andO((∆x)
2
)+
O((∆t)
2
), respectively.
Higher order derivatives can be evaluated by analogous arguments.
Exercise 1.3.1Mix suitably the ﬁrst derivative approximations and de-
rive the other (six) ﬁnite-diﬀerence formulas foru
xt.
1.4 Finite-diﬀerence operators
Sometimes ﬁnite-diﬀerence formulas can become very long. Using ﬁnite-
diﬀerence operators can be convenient in these situations. With reference
to an arbitrary functionf(x), frequently used operators are the following
∆f
i=fi+1−fi,(forward), (1.4.1)
∇f
i=fi−fi−1,(backward), (1.4.2)
δf
i=f
i+1/2 −f
i−1/2,central), (1.4.3)
µf
i=(f
i+1/2 +f
i−1/2)/2,(average), (1.4.4)
Ef
i=fi+1,(shift). (1.4.5)
When functionsu=u(x, t) depending on two or more variables are
considered, the variable which the operator is applied to must be speciﬁed;

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
8 Computational Methods for PDE in Mechanics
for example
∆
tui,j=ui,j+1−ui,j, (1.4.6)
∇
xui,j=ui,j−ui−1,j. (1.4.7)
Exercise 1.4.1Verify that
δµf
i=(f i+1−fi−1)/2, (1.4.8)
δ
2
fi=δδfi=fi+1−2f i+fi−1. (1.4.9)
Further Reading:[Ames (1992)],[Collatz (1966)],[Lapidus and Pinter
(1982)],[Mitchell and Griﬃths (1995)],[Morton and Mayers (2002)],[Necati
Ozisik (1994)],[Smith (1985)],[Thomas (1995)].

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Chapter 2
Fourier model of heat conduction
The classical model of heat conduction in solids is the main topic of this
chapter. It is based on two principles: Fourier’s law and energy balance.
The ﬁrst is an experimental law which is so named in honor of the French
scientist who ﬁrst used it. The second is related to the law of energy
conservation. Considering both models yields the so-calledheat equation
involving only the temperature. Solving this partial diﬀerential equation
enables us to determine the thermal evolution within a solid when the initial
temperature as well as the thermal conditions at the bounding surface of
the body are known.
The results obtained by Fourier law agree very well with experimental
data in most applications. Nevertheless, there exist thermal processes which
the heat equation is unable to describe adequately, mainly when extremely
high rate of changes of heat ﬂux are involved. Recently, more general models
have been introduced. We shall mention them in Chapter 10.
Boundary conditions play an important role in solving the heat equa-
tion. So, the main kinds of these conditions are introduced and the related
physical meaning pointed out. Furthermore, some phase-change processes
are considered. Their formalization leads to mathematical problems, which
are technically diﬃcult to solve because the moving boundary is another
unknown. The last sections are devoted to the heat propagation in a moving
medium and to diﬀusion processes.
9

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
10 Computational Methods for PDE in Mechanics
2.1 Fourier model of heat conduction
The classical model of the heat propagation in solids is based onFourier’s
law(1822). This phenomenological model follows from observations and
experiences which make evident that in homogeneous and isotropic solids,
the heat ﬂux is proportional to the thermal gradient and it moves from hot
regions towards those cooler. Let us denote by:
•q(x,t)theheat ﬂux vectorwhich gives the thermal ﬂow per unit
time and per unit isothermal surface; generally,qdepends on the
timetand the positionxin the solid, ﬁg. 2.2.1;
•u(x,t)thetemperatureand∇u=(∂u/∂x
1,∂u/∂x2,∂u/∂x3)its
gradient with respect to the space variables.
Using these notations Fourier’s law is stated as follows
q(x,t)=−k∇u(x,t), (2.1.1)
where the positive scalarkrepresents thethermal conductivityof the mate-
rial. Ifqis expressed inW/m
2
anduin
◦
C,thenkis inW/m
◦
C.Itvaries
with material and temperature; for example, whenu=0
◦
Cthe thermal
conductivity isk= 418.7W/m
◦
Cfor the silver andk=2.215W/m
◦
Cfor
the ice.
2.2 Heat equation
This section deals with derivation of the partial diﬀerential equation which
governs the temperature evolution in a solidB. Let us start from the energy
balance equation for a generic control volumeVincluded inB:therateof
energy inVequates the rate of energy production inVplus the heat ﬂow
entering intoVthrough the bounding surface∂V, ﬁg. 2.2.1. Now, this must
be formalized.
Let us denote bye(x,t) the internal energy per unit mass andρ(x)the
density of the solid, supposed at rest. Then, the time rate of energy inVis
◦
V
ρ(x)e t(x,t)dx. (2.2.1)
The internal energy depends on temperature:e=e(u). For many materials
and for a wide range of temperatures,eis expressed by a linear function
e=c
pu, (2.2.2)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Fourier model of heat conduction 11
Fig. 2.2.1 Control volume
wherec
p
is thespeciﬁc heatat constant pressure. Substituting (2.2.2) into
(2.2.1) yields
,
V
c
p
ρutdx. (2.2.3)
Furthermore, letF(x,t) be the amount per unit time per unit volume of
heat produced by internal sources, as electric resistances, chemical reac-
tions, nuclear radiations or other thermal generators;Fis expressed in
W/m
3
and the total amount inVis
,
V
F(x,t)dx. (2.2.4)
Finally, the heat ﬂow entering through the surface∂Vper unit area per
unit time is expressed by
−
,
∂V
q·ndS, (2.2.5)
wherendenotes the exterior unit normal to∂Vat the integration point.
Applying the Gauss divergence theorem yields
−
,
∂V
q·ndS=−
,
V
∇·qdx, (2.2.6)
where∇·q=∂q
1/∂x1+∂q2/∂x2+∂q3/∂x3denotes the divergence ofq
with respect to the space variables.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
12 Computational Methods for PDE in Mechanics
By using (2.2.3), (2.2.4), (2.2.6) the energy conservation law is written
as follows
,
V
c
pρutdx=
,
V
Fdx−
,
V
∇·qdx. (2.2.7)
Hence, considering (2.1.1) gives
,
V
j
c
p
ρutdx−F−∇·(k∇u)
n
dx=0. (2.2.8)
Equality (2.2.8) holds for everyVincluded inB; therefore, if the integrand
functions are continuous it follows
c
p
ρut−∇·(k∇u)=F. (2.2.9)
Whenkis constant, (2.2.9) simpliﬁes in
c
p
ρut−k∆u=F, (2.2.10)
where
∆=∂
2
/∂x
2
1
+∂
2
/∂x
2
2
+∂
2
/∂x
2
3
is the Laplace operator. Lastly, by deﬁning thethermal diﬀusivity
α=k/c
p
ρ, (2.2.11)
we obtain theheat equation
u
t−α∆u=f,x∈B,0<t≤T, (2.2.12)
wheref=F/c
pρ. Solving partial diﬀerential equation (2.2.12) yields
the unknown functionu(x,t) which describes the temperature evolution
in solids. Then, the heat ﬂuxqis determined by (2.1.1). However, the
problem can be successfully solved only when theinitial conditionsand the
boundary conditionsare prescribed too. These will be discussed in the next
section.
If the thermal process depends on one variable, sayx, then from (2.2.12)
it follows theone-dimensional heat equation
u
t(x, t)−αu xx(x, t)=f(x, t),0<x<L,0<t≤T, (2.2.13)
which is used in many applications. When there are no internal heat sources
or sinks it isf= 0, and equations (2.2.12), (2.2.13) becomehomogeneous.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Fourier model of heat conduction 13
2.3 Initial and boundary conditions
As already mentioned, the complete resolution of (2.2.12) requires the initial
condition, which describes the initial temperature distribution in the solid
u(x,0) =ϕ(x),x∈B. (2.3.1)
In particular, in the one-dimensional case
u(x,0) =ϕ(x),0<x<L. (2.3.2)
In addition, in most applications further data are prescribed on the bound-
ary∂B:theboundary conditions, which we are going to examine.
Boundary conditions of the ﬁrst kind(conditions with given bound-
ary temperature,orDirichlet boundary conditions):
u(x,t)=g(x,t),x∈∂B. (2.3.3)
In the one-dimensional case
u(0,t)=g
1(t),u(L, t)=g 2(t). (2.3.4)
Boundary conditions of the second kind(boundary conditions with
prescribed heat ﬂux,orNeumann boundary conditions,orderivative bound-
ary conditions):
k
∂u
∂n
(x,t)=g(x,t),x∈∂B, (2.3.5)
where∂/∂ndenotes the derivative with respect to the outward normal to
the boundary surface. In the one-dimensional case
−ku
x(0,t)=g 1(t),ku x(L, t)=g 2(t), (2.3.6)
because atx= 0 the outward normal is opposed tox-direction.
Boundary conditions of the third kind(Robin conditions):
k
∂u
∂n
(x,t)+hu(x,t)=g(x,t),x∈∂B. (2.3.7)
In the one-dimensional case
−ku
x(0,t)+h 1u(0,t)=g 1(t),ku x(L, t)+h 2u(0,t)=g 2(t).(2.3.8)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
14 Computational Methods for PDE in Mechanics
Condition (2.3.7) models the physical situation of a solid dissipating heat
through its bounding surface by convection, according toNewton’s law of
cooling
−k
∂u
∂n
(x,t)=h[u(x,t)−u
s(x,t)],x∈∂B, (2.3.9)
whereu
sdenotes the known surroundings temperature andhis the heat
transfer coeﬃcient. Settinghu
s=g, (2.3.9) reduces to (2.3.7).
Wheng= 0 in (2.3.3), or in (2.3.5), or in (2.3.7), the corresponding
boundary condition of the ﬁrst, second, or third kind is calledhomogeneous.
Also, partial diﬀerential equation (2.2.12) is said to behomogeneousin the
special casef= 0. Consider an initial-boundary-value problem, deﬁned by
(2.2.12), (2.3.1) and (2.3.3), or (2.3.5), or (2.3.7). This problem is referred
to ashomogeneous problemif both the equation and the boundary condition
are homogeneous.
Finally, let us mention the problem of solving the heat equation when
only the initial data are prescribed, for example, in the one-dimensional
case
u(x,0) =ϕ(x),x∈IR. (2.3.10)
This question is very interesting from the mathematical point of view and
it is often the ﬁrst step for solving physical problems.
2.4 Phase-change problems
Some problems of physical interest are such that the boundary can move
during the physical process. It cannot be prescribedaprioriand represents
a further unknown of the problem, to be determined together with the
temperature. These problems are calledfree boundary value problems.The
phase-change problems are typical examples where this occurs. Indeed,
let us consider the melting process and refer to one-dimensional models,
ﬁg. 2.4.1, where the liquid and the solid phases are separated by a sharp
interface of equation
x=s(t). (2.4.1)
Assume that there is no internal heat generation and the heat transfer in
both phases is by conduction. Then, the temperature evolution in each

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Fourier model of heat conduction 15
Fig. 2.4.1 Phase-change problem
phase is governed by the equations
u
1t
(x, t)=α
1
u
1xx
(x, t),0<x<s(t),0<t≤T, (2.4.2)
u
2t(x, t)=α
2u
2xx(x, t),s(t)<x<a,0<t≤T, (2.4.3)
where the subscripts 1 and 2 characterize the liquid and the solid phase,
respectively. Suitable initial and boundary conditions must be added to the
last equations. In a melting process, it is quite reasonable that the boundary
x= 0 is heated and the sidex=ais kept at a preﬁxed temperature or
insulated; therefore, examples of boundary conditions are
u
1(0,t)=g 1(t)>u m,0≤t≤T, (2.4.4)
u
2(a, t)=g 2(t)=u m,0≤t≤T, (2.4.5)
whereu
mdenotes the melting temperature. The initial situations are char-
acterized by the following conditions
u
1(x,0) =ϕ 1(x)≥u m,0≤x≤s(0), (2.4.6)
u
2(x,0) =ϕ 2(x)≤u m,s(0)≤x≤a. (2.4.7)
Now, let us examine the liquid-solid interface. The hypothesis that the
temperature varies continuously requires
u
1(s(t),t)=u 2(s(t),t)=u m,0≤t≤T. (2.4.8)
A further equation is given by the energy balance. The mass of liquid con-
verted from the solid times the latent heatLrepresents the heat absorbed.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
16 Computational Methods for PDE in Mechanics
This must equate the net amount of heat that ﬂows
Aq
1(s(t),t)−Aq 2(s(t),t)=AρL˙s(t),0≤t≤T, (2.4.9)
whereρis the liquid density andAthe area of the section perpendicular to
x-direction. Considering Fourier’s law (2.1.1), the last equation is rewritten
as
−k
1u1x(s(t),t)+k 2u2x(s(t),t)=ρL˙s(t),0≤t≤T, (2.4.10)
calledStefan condition.
A special case of the preceding problem is obtained when the tempera-
ture of the solid phase is constant during the whole melting process. This
occurs, for example, if condition (2.4.7) is replaced by the following
u
2(x,0) =u m,s(0)≤x≤a. (2.4.11)
In such a case problem (2.4.3), (2.4.8), (2.4.11) has the trivial solution
u
2(x, t)=u m,s(t)≤x≤a,0≤t≤T, (2.4.12)
which is also unique under quite general hypotheses on the functions(t).
Therefore, we realize that the phase-change process is completely deter-
mined by the liquid phase evolution (one-phase Stefan problem).Inthis
situation, only the equations for the liquid phase must be considered
u
t(x, t)=αu xx(x, t),0<x<s(t),0<t≤T, (2.4.13)
u(x,0) =ϕ(x)≥u
m,0≤x≤s(0), (2.4.14)
u(0,t)=g(t)>u
m,0≤t≤T, (2.4.15)
u(s(t),t)=u
m,0≤t≤T, (2.4.16)
−ku
x(s(t),t)=ρL˙s(t),0≤t≤T, (2.4.17)
whereuis the liquid temperature. The last equation enables us to deter-
mine the unknown free boundaryx=s(t) and the interface position. The
other equations give the temperature evolution. The diﬃculty lies in the
fact that both problems must be jointly solved.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Fourier model of heat conduction 17
2.5 Heat conduction in a moving medium
When the thermal process occurs in a moving medium, the heat equa-
tion must be modiﬁed to consider the convective terms due to the motion.
Consequently, ifv=˙xdenotes the velocity of the generic particlex,the
expression of the heat ﬂux to substitute into (2.2.7) is given by[Carslaw
and Jager (1959)]
q=−k∇u+ρc
puv. (2.5.1)
Now, the discussion proceeds as in Section 2.2. By assumingc
p= constant,
it follows
u
t
+
3
i
i=1
u
xi
v
i
−α∆u=f, (2.5.2)
which replaces (2.2.12) under the same hypotheses. In this situation the
thermal process depends on the heatdiﬀusion, but it is inﬂuenced by the
heatconvectiontoo. For this reason (2.5.2) is calledconvection-diﬀusion
equation. If the total derivative
d
dt
u(x(t),t)=u
t
+
3
i
i=1
u
xi
˙x
i
=u
t
+
3
i
i=1
u
xi
v
i
, (2.5.3)
is introduced into (2.5.2), it follows
du
dt
−α∆u=f. (2.5.4)
It is obvious that, if the solid motion is known, then (2.5.2) and the initial-
boundary conditions are enough to determine the temperature evolution.
Otherwise, the motion equations of the special system must be associated
to (2.5.2). In the one-dimensional case (2.5.2) simpliﬁes in
u
t
+u
x
v−αu xx=f, (2.5.5)
wherevdenotes the only non-vanishing velocity component.
2.6 Fick’s law and diﬀusion
Diﬀusionis the process by which the matter is transferred from one part to
another in a system (ﬂuid, gas). The phenomenon shows evident analogies
with the heat propagation and it is modelled by similar equations. It is

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
18 Computational Methods for PDE in Mechanics
basedontheFick’s law(1855), which follows from physical experiences
showing that the diﬀusing matter moves from higher concentration regions
towards lower concentration zones. Consequently, ifqdenotes the mass ﬂux
vector per unit area per unit time, the direction ofqis opposite to that of
increasing concentration. In other words,qis opposite to the gradient of
theconcentrationC, deﬁned by the mass per unit volume dissolving into
the ﬂuid system. For isotropic medium at rest, all this is summarized by
the Fick’s law
q=−D∇C, (2.6.1)
whereDisdiﬀusioncoeﬃcient. In general,Ddepends on space, time and
concentration too.
Relation (2.6.1) is completed by themass conservation principle,which
states that the time rate of mass change in a volumeVequates the mass
ﬂowing intoV, if there is no internal mass production,
,
V
Ctdx=−
,
∂V
q·ndS, (2.6.2)
wherendenotes the exterior unit normal to the boundary∂Vat the inte-
gration point. Applying the Gauss divergence theorem to (2.6.2) gives
,
V
[Ct+∇·q]dx=0. (2.6.3)
Hence, sinceVis arbitrary,
C
t+∇·q=0. (2.6.4)
Now, insert (2.6.1) into (2.6.4) to obtain thediﬀusion equation
C
t=∇·(D∇C), (2.6.5)
which, for constantD, reduces to the heat equation
C
t=D∆C. (2.6.6)
For moving ﬂuids, relationship (2.6.1) is replaced by
q=−D∇C+Cv, (2.6.7)
wherevdenotes the velocity of the generic particle. Under the same hy-
potheses as before, from (2.6.4) and (2.6.7) it follows
C
t=D∆C−∇·(Cv), (2.6.8)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Fourier model of heat conduction 19
Ct−D∆C+v·∇C+C∇·v=0. (2.6.9)
Further Reading:[Bellomo and Preziosi (1995)],[Cannon (1984)],[Crank
(1979)],[Necati Ozisik (1993)],[Rubinstein (1971)].

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
20 Computational Methods for PDE in Mechanics

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Chapter 3
An explicit method for the heat
equation
This chapter deals with the classical explicit method for the one-
dimensional heat equation. This scheme has been widely experienced and
applied. It is simple too. So, it seems to be the ideal candidate by which to
start the theory of the ﬁnite-diﬀerence approximations to partial diﬀerential
equations.
Firstly, the heat equation is transformed into dimensionless form. Then,
the ﬁnite-diﬀerence formulas developed in Chapter 1 are used to infer the
quoted scheme. Its practical application is shown with reference to a prob-
lem with Dirichlet boundary conditions. In addition, the matrix form of
the scheme is also introduced. This gives compactness to the numerical
method and represents the starting point for further developments. The
main questions, related to the correct use of ﬁnite-diﬀerence methods, are
discussed in the following sections. The basic concepts of stability, con-
vergence and consistency are plainly introduced and formalized. Examples
are given to illustrate the theory. Approximations of boundary derivatives
occur frequently, when the Neumann and Robin problems are considered.
The related ﬁnite-diﬀerence techniques are presented in the last sections.
21

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
22 Computational Methods for PDE in Mechanics
3.1 Non-dimensional form of the heat equation
Transforming equations to non-dimensional form is always convenient, be-
cause this gives them greater generality and reduces the number of variables.
If the equations have to be integrated numerically, there is a further reason.
Indeed, inessential numerical constants could yield unexpected rounding er-
rors. Consider the following initial-boundary value problem
u
τ−αuξξ=f,0<ξ<L,0<τ≤τ
∗
, (3.1.1)
u(ξ,0) =u
0
(ξ),0≤ξ≤L, (3.1.2)
−ku
ξ(0,τ)+h 1u(0,τ)=g 1(τ),0≤τ≤τ
∗
, (3.1.3)
ku
ξ(L, τ)+h 2u(L, τ)=g 2(τ),0≤τ≤τ
∗
. (3.1.4)
Let us deﬁne the new unknown function and variables as follows
U=u/u
∗
,x=ξ/L, t=ατ/L
2
, (3.1.5)
whereu
∗
represents a reference temperature andLis the solid length.
Evidently, it is
u
ξξ=Uxxu
∗
/L
2
,uτ=Utu
∗
α/L
2
. (3.1.6)
Using (3.1.6) in (3.1.1) yields
U
t−Uxx=F,0<x<1,0<t≤T(=τ
∗
α/L
2
), (3.1.7)
whereF=fL
2
/u
∗
α. Dimensionless process (3.1.5) produces eﬀects on the
initial-boundary conditions too. Indeed, it is
U(x,0) =u
0
(Lx)/u
∗
=U
0
(x),0≤x≤1, (3.1.8)
−U
x(0,t)+H 1U(0,t)=G 1(t),0≤t≤T, (3.1.9)
U
x(1,t)+H 2U(1,t)=G 2(t),0≤t≤T, (3.1.10)
where
H
i=Lhi/k, Gi(t)=g i(tL
2
/α)L/ku
∗
,i=1,2.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
An explicit method for the heat equation 23
Finally, let us remark that other changes of variables can be considered,
lightly diﬀerent from (3.1.5). The choice always depends on the special
boundary conditions involved in the problem.
3.2 The classical explicit method
Consider equation (3.1.7) and use the forward approximation for the time
derivativeU
tand the central approximation forU xx. From deﬁnitions
(1.2.3), (1.3.8) it follows
u
i,j+1−ui,j
∆t
−
u
i+1,j−2u i,j+ui−1,j
(∆x)
2
=fi,j, (3.2.1)
where
f
i,j=F(x i,tj). (3.2.2)
Note that the solution of ﬁnite-diﬀerence equation (3.2.1) has been denoted
byuto avoid confusion with a solutionUof partial diﬀerential equation
(3.1.7). These notations will always be used in the following chapters. From
(3.2.1) it follows
u
i,j+1=r(u i+1,j+ui−1,j)+(1−2r)u i,j+∆tf i,j, (3.2.3)
where
r=∆t/∆x
2
. (3.2.4)
Formula (3.2.3) provides anexplicit methodto evaluate the solution, be-
cause the unknown valuesu
i,j+1can be found directly by those ofu i,j,
assumed to be available, ﬁg. 3.2.1. Indeed, consider, for example, the
Fig. 3.2.1 Classical explicit scheme

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
24 Computational Methods for PDE in Mechanics
following initial and boundary conditions for equation (3.1.7)
∈
U(x,0) =ϕ(x),0≤x≤1,
U(0,t)=g
1(t),U(1,t)=g 2(t),0<t≤T,
(3.2.5)
which are discretized as
∈
u
i,0=ϕi,i=0, ..., m, m∆x=1,
u
0,j=(g
1)j,um,j=(g
2)j,j=1, ..., n, n∆t=T,
(3.2.6)
whereϕ
i=ϕ(x i), (g
1
)j=g1(tj), (g
2
)j=g2(tj). The starting values
u
i,j,i=0, ..., m, j= 0 are given by (3.2.6) 1. Next, for every ﬁxedj,the
valuesu
i,j+1,i=1, ..., m−1, are computed by means of (3.2.3). Lastly,
the valuesu
0,j+1,um,j+1 are provided explicitly by (3.2.6)2.
However, reliable results are guaranteed only when the method isstable
with respect to data perturbations (errors) which inevitably arise during the
computational process. Furthermore, theconsistencyof the ﬁnite-diﬀerence
scheme,aswellastheconvergence, must be analyzed. All these questions
will be discussed in the next sections.
3.3 Matrix form
Formula (3.2.3) can be organized in a more compact form, which will be
used later. Indeed, by deﬁning the column vectoru
j
u
T
j
=[u 1,j...um−1,j], (3.3.1)
and the (m−1)×(m−1) matrixA
A=









1−2r
r
r
1−2r
·
r
·
·
·
·
r
·
1−2r
r
r
1−2r









, (3.3.2)
the following matrix form can be given to (3.2.3)
u
j+1=Au j+bj, (3.3.3)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
An explicit method for the heat equation 25
where
b
j=






ru
0,j+∆tf 1,j
∆tf2,j
·
∆tf
m−2,j
rum,j+∆tf m−1,j






.
This vector is a known term, if boundary conditions (3.2.6)
2have been
prescribed.
3.4 Stability
A crucial test for a ﬁnite-diﬀerence equation is that related to itsstability.
Astablealgorithm tries to vanish rather than to grow any error which is
inevitably committed during the computational process. To better under-
stand the problem, consider the classical explicit scheme withf
i,j=0and
simulate an arising round-oﬀ error, due, for example, to the computer. Let
ube the exact solution of equation (3.2.3) of a special problem and suppose
that an erroreoccurs at the grid point (h, k). It is obvious that the error
propagates to the next rows. Its inﬂuence can be examined by considering
the perturbed solutionu
∗
i,j
which coincides withu i,jwhenj<kand feels
the mentioned error whenj=k
u
∗
i,j
=ui,j,j<k;u
∗
i,k
=ui,k,i =h;u
∗
h,k
=uh,k+e. (3.4.1)
It is more convenient to analyze the evolution ofe
i,jdeﬁned by
e
i,j=u
∗
i,j
−ui,j. (3.4.2)
Since the ﬁnite-diﬀerence operator is linear from (3.2.3) it follows
e
i,j+1=(1−2r)e i,j+r(e i+1,j+ei−1,j). (3.4.3)
Using this expression we can investigate the error behavior for some values
ofr, deﬁned by (3.2.4). Whenr=1/2, formula (3.4.3) simpliﬁes in
e
i,j+1=(e i+1,j+ei−1,j)/2, (3.4.4)
and the computed values are shown in ﬁg. 3.4.1. Note a decreasing evolution
of the error, which tends to damp out; this leads to guess that algorithm

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
26 Computational Methods for PDE in Mechanics
Fig. 3.4.1 Error propagation:r=1/2
(3.2.3) is stable in this case. Next, considerr= 2. Formula (3.4.3) becomes
e
i,j+1=2(u i+1,j+ui−1,j)−3u i,j, (3.4.5)
and the results are shown in ﬁg. 3.4.2. The error grows and its sign oscil-
lates. The solutions obtained in this way are unreliable because the error
amplitude is out of control. The algorithm (3.2.3) is unstable when this
second value ofris considered. To avoid this undesirable phenomenon,
Fig. 3.4.2 Error propagation:r=2
restrictive actions must be adopted, such as limiting the mesh size. This
is the task of the stability analysis. To formalize the concept, denote by
u
1
the solution of generic equation (3.5.3) related to an initial-boundary
value problem and byu
2
the solution of the same equation with the same
boundary data, but with perturbed initial conditions. Furthermore, letu

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
An explicit method for the heat equation 27
be the diﬀerence
u=u
1
−u
2
. (3.4.6)
A ﬁnite-diﬀerence scheme is said to beunconditionally stablewith respect
to a preﬁxed norm if there exists a positive constantK, independent of
∆x,∆t,||u
0||, such that
||u
j|| ≤K||u 0||,forj∆t≤T. (3.4.7)
Remark 3.4.1If (3.4.7) holds, but∆tis functionally related to∆x,the
scheme is called conditionally stable, or simply, stable. This is just the case
of the next example.
Consider the classical explicit scheme (3.2.3), with Dirichlet boundary
conditions (3.2.6). This scheme is stable under the hypothesis
0<r=∆t/∆x
2
≤1/2. (3.4.8)
Indeed, from (3.2.3) and (3.4.6) it follows
∈
u
i,j+1=r(u i+1,j+ui−1,j)+(1−2r)u i,j,i∈I=1, ..., m−1,
u
0,j=um,j=0,
(3.4.9)
and therefore,
|u
i,j+1|≤r(|u i+1,j|+|u i−1,j|)+(1−2r)|u i,j|. (3.4.10)
Hence, by using the sup-norm
||u
j||∞=sup
i∈I
|u
i,j|, (3.4.11)
it follows
|u
i,j+1|≤||u j||∞. (3.4.12)
Consequently,
||u
j+1||∞|| ≤ ||u j||∞, (3.4.13)
||u
j+1||∞|| ≤ ||u 0||∞, (3.4.14)
proving the stability, as deﬁnition (3.4.7) is satisﬁed withK=1.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
28 Computational Methods for PDE in Mechanics
3.5 Consistency
The analysis of theconsistencygives a measure of the local error which
arises when partial diﬀerential equation is approximated by the correspond-
ing ﬁnite-diﬀerence equation. In order to formalize this concept, let us
deﬁne the diﬀerential operator
D=∂
t−∂xx, (3.5.1)
so that heat equation (3.1.7) can be written more compactly as
DU(x, t)=F(x, t). (3.5.2)
Next, denote byL
i,jthe ﬁnite-diﬀerence operator on the left-hand side of
(3.2.1), so that ﬁnite-diﬀerence equation (3.2.1) can be shortly written as
L
i,ju=f i,j. (3.5.3)
For simplicity, notations (3.2.2) and (3.2.3) have been introduced with ref-
erence to (3.1.7) and (3.2.1), respectively, but it is clear that they can
represent diﬀerent equations.
Let us deﬁne thetruncation errorof a ﬁnite-diﬀerence scheme at the grid
point (i∆x, j∆t). With reference to a generic functionv(test function), it
is expressed by
T
i,jv=L i,jv−f i,j−(Dv−F) i,j. (3.5.4)
A suitable test function is the solutionUof partial diﬀerential equation
(3.5.2). Indeed, in such a case formula (3.5.4) simpliﬁes in
T
i,jU=L i,jU−f i,j, (3.5.5)
which is calledlocal truncation error. Now, let us introduce the deﬁnition
of consistency. A ﬁnite-diﬀerence scheme is said to beconsistentwith the
approximating partial diﬀerential equation ifT
i,jUgoes to zero as the mesh
is reﬁned, that is, ∆x,∆t→0. In other words, a consistent scheme ap-
proximates the analyzed partial diﬀerential and not some other. Instead of
consistent, the adjectivecompatibleis also used to express the same concept.
The classical explicit method (3.2.1), approximating the heat equation,
fulﬁlls such a deﬁnition. Indeed, applying Taylor’s series expansion gives
U
i,j+1=Ui,j+(U t)i,j∆t+(U tt)i,j
(∆t)
2
2
+O((∆t)
3
), (3.5.6)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
An explicit method for the heat equation 29
Ui,j+1−Ui,j
∆t
=(U
t)i,j+(U tt)i,j
∆t
2
+O((∆t)
2
). (3.5.7)
Similarly, from (1.1.2) it follows
U
i+1,j=Ui,j+(U x)i,j∆x+(U xx)i,j
(∆x)
2
2
+(U
xxx)i,j
(∆x)
3
6
+(U
xxxx)i,j
(∆x)
4
4!
+(U
xxxxx)i,j
(∆x)
5
5!
+O((∆x)
6
), (3.5.8)
U
i−1,j=Ui,j−(U x)i,j∆x+(U xx)i,j
(∆x)
2
2
−(U
xxx)i,j
(∆x)
3
6
+(U
xxxx)i,j
(∆x)
4
4!
−(U
xxxxx)i,j
(∆x)
5
5!
+O((∆x)
6
). (3.5.9)
Hence,
U
i+1,j−2U i,j+Ui−1,j
(∆x)
2
=(U xx)i,j+(U xxxx)i,j
(∆x)
2
12
+O((∆x)
4
).(3.5.10)
Substituting (3.5.7), (3.5.10) into the expression ofL
i,jyields
L
i,jU−f i,j=(U tt)i,j
∆t
2
−(U
xxxx)i,j
(∆x)
2
12
+O((∆t)
2
+(∆x)
4
),(3.5.11)
where it has been considered that
(U
t−Uxx)i,j=Fi,j=fi,j. (3.5.12)
Therefore, the principal part of the truncation error is
(U
tt)i,j
∆t
2
−(U
xxxx)i,j
(∆x)
2
12
, (3.5.13)
and the explicit method is consistent with the heat equation. Evidently,
T
i,jU=O((∆x)
2
)+O(∆t); (3.5.14)
therefore, the method isaccurate of order(2,1).
Exercise 3.5.1Under the hypothesisF= 0, show that
T
i,jU=O((∆x)
4
)+O((∆t
2
)), (3.5.15)
when ∆t=∆x
2
/6.

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
30 Computational Methods for PDE in Mechanics
3.6 Convergence
In the last section we analyzed the error which arises when a diﬀeren-
tial equation is replaced by the approximating diﬀerence equation. In this
section we discuss the concept ofconvergencewhich is related to the com-
parison of solutions. Denote byUthe solution of an initial-boundary value
problem for a partial diﬀerential equation and assume that the problem is
well posed, that is, the solution exists and depends continuously on the data.
Furthermore, letu
i,jbe the solution of the corresponding ﬁnite-diﬀerence
problem. The diﬀerence
E=U−u (3.6.1)
of these two solutions, evaluated at the grid point (i, j), represents the
discretization errorat that point. Clearly, the convergence depends onE.
A ﬁnite-diﬀerence scheme approximating an initial-boundary value problem
is said to beconvergentat timetif||E
j||=||U j−uj||tends to zero as ∆x,
∆t→0andj∆t→t. Here,||.||means a suitable norm depending on the
problem.
When the ﬁnite-diﬀerence operatorL
i,jis linear, as the explicit heat
operator (3.2.1), then
L
i,jE=L i,jU−L i,ju=L i,jU−f i,j. (3.6.2)
Hence, by (3.2.1)
L
i,jE=T i,jU. (3.6.3)
Considering (3.6.3) enables us to show that the solution of the ﬁnite-
diﬀerence problem (3.2.1), (3.2.6) converges to the solution of the initial-
boundary value problem (3.1.7), (3.2.5), under the assumption (3.4.8). In-
deed, note that (3.5.14) implies
|T
i,jU|≤A(∆t+(∆x)
2
), (3.6.4)
whereAis the constant related to the symbolO. Then, in formula (3.6.3),
use deﬁnition (3.2.1) of the operatorL
i,jto obtain
E
i,j+1=(1−2r)E i,j+r(E i+1,j+Ei−1,j)+∆tT i,jU, (3.6.5)
wherei∈I={1, ..., m−1}.Furthermore,
E
i,0=0,i=0, ..., m, E 0,j=0,E m,j=0,j=1, ..., n,(3.6.6)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
An explicit method for the heat equation 31
becauseuandUsatisfy the same initial and boundary conditions. From
(3.6.4) and (3.6.5) it follows
|E
i,j+1|≤(1−2r)|E i,j|+r(|E i+1,j|+|E i−1,j|)+∆tA(∆t+(∆x)
2
),(3.6.7)
where the hypothesis (3.4.8) has been employed. Hence, by using the sup-
norm deﬁned by (3.4.11), we obtain
|E
i,j+1|≤||E j||∞+∆tA(∆t+(∆x)
2
), (3.6.8)
||E
j+1||∞≤||E j||∞+∆tA(∆t+(∆x)
2
). (3.6.9)
This implies
||E
j||∞≤||E 0||∞+j∆tA(∆t+(∆x)
2
). (3.6.10)
Finally, considering thatj∆t≤T, we have the estimate
||E
j||∞≤TA(∆t+(∆x)
2
), (3.6.11)
which proves the convergence of the scheme in the sup-norm.
Let us emphasize that the arguments, we have just used, are very simi-
lar to those developed to prove the stability; also, the hypothesis is exactly
the same. Actually, the two concepts are strictly related by a remark-
able result. This isLax equivalence theorem: a consistent, two-level ﬁnite-
diﬀerence method, corresponding to a well-posed linear initial-boundary-
value problem, is stable if and only if it is convergent. The proof of
this theorem can be found, for example, in[Morton and Mayers (2002);
Thomas (1995)].
3.7 Neumann boundary conditions
Consider one-dimensional heat equation (3.1.7) together with initial data
(3.1.8) and the boundary conditions
−U
x(0,t)=G 1(t),U x(1,t)=G 2(t). (3.7.1)
Then, consider the corresponding ﬁnite-diﬀerence problem. Equation
(3.2.3) and discretized initial conditions (3.2.5)
1hold. Then, the condi-
tions approximating (3.7.1) must be given. Use the central approximation
for the partial derivatives to obtain
−
u
1,j−u−1,j
2∆x
=(g
1
)j,(g
1
)j=G1(j∆t), (3.7.2)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
32 Computational Methods for PDE in Mechanics
um+1,j−um−1,j
2∆x
=(g
2
)j,(g
2
)j=G2(j∆t). (3.7.3)
The ﬁctitious valuesu
−1,jandu m+1,jcan be eliminated by means of equa-
tion (3.2.3). Indeed, under the assumption that the heat equation holds at
the boundariesx=0andx= 1, from (3.2.3) we obtain
u
0,j+1=(1−2r)u
0,j
+r(u 1,j+u−1,j)+∆tf 0,j, (3.7.4)
u
m,j+1=(1−2r)u m,j+r(u m+1,j+um−1,j)+∆tf m,j, (3.7.5)
fori=0andi=m, respectively. From (3.7.2) and (3.7.4) it follows
u
0,j+1=(1−2r)u 0,j+2r[u 1,j+(g
1
)j∆x]+∆tf 0,j. (3.7.6)
Similarly,
u
m,j+1=(1−2r)u m,j+2r[u m−1,j+(g
2
)j∆x]+∆tf m,j. (3.7.7)
Then, the remaining valuesu
i,j+1,0<i<m , are evaluated by (3.2.3).
The accuracy of formulas (3.7.6), (3.7.7) is of orderO((∆x)
2
).
Also in this case, the ﬁnite-diﬀerence equations can be arranged in ma-
trix form. Indeed, deﬁne the column vectoru
j
u
T
j
=[u 0,j...um,j], (3.7.8)
the (m+1)×(m+1)matrixA
A=









1−2r
r
2r
1−2r
·
r
·
·
·
·
r
·
1−2r
2r
r
1−2r









, (3.7.9)
and the column vector of known terms
b
j=






2r(g
1
)j∆x+∆tf 0,j
∆tf1,j
·
∆tf
m−1,j
2r(g
2)j∆x+∆tf m,j






. (3.7.10)
It is easy to realize that (3.2.3), (3.7.6), (3.7.7) are equivalent to
u
j+1=Au j+bj. (3.7.11)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
An explicit method for the heat equation 33
Finally, we remark that boundary conditions (3.7.1) can be expressed
by means of forward and backward approximations
−
u
1,j−u0,j
∆x
=(g
1)j,
u
m,j−um−1,j
∆x
=(g
2)j. (3.7.12)
However, these are less accurate than (3.7.6), (3.7.7), because they are
O(∆x).
3.8 Boundary conditions of the third kind
Consider one-dimensional heat equation (3.1.7) together with initial data
(3.1.8) and boundary conditions of the third kind
−U
x(0,t)+H 1U(0,t)=G 1(t),U x(1,t)+H 2U(0,t)=G 2(t),(3.8.1)
where, with the notations of Section 3.1,
H
i=Lhi/k, i=1,2. (3.8.2)
As in the last section, using the central approximations gives
−
u
1,j−u−1,j
2∆x
+H
1u
0,j
=(g
1
)j,(g
1
)j=G1(j∆t), (3.8.3)
u
m+1,j−um−1,j
2∆x
+H
2um,j=(g
2
)j,(g
2
)j=G2(j∆t). (3.8.4)
The ﬁctitious valuesu
−1,jandu m+1,j can be eliminated by equations
(3.7.4), (3.7.5), exactly as in the last section. It results
u
0,j+1=[1−2r(1 +H 1∆x)]u 0,j+2r[u 1,j+∆x(g
1)j]+∆tf 0,j,(3.8.5)
u
m,j+1=[1−2r(1 +H 2∆x)]u m,j+2r[u m−1,j+∆x(g
2)j]+∆tf m,j.(3.8.6)
Also, the ﬁnite-diﬀerence problem can be arranged in matrix form
u
j+1=Au j+bj, (3.8.7)

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
34 Computational Methods for PDE in Mechanics
whereAis the (m+1)×(m+1)matrix
A=









1−2r(1 +H
1∆x)
r
2r
1−2r
·
r
·
·
·
·
r
·
1−2r
2r
r
1−2r(1 +H
2∆x)









(3.8.8)
andu
j,bjare deﬁned by (3.7.8), (3.7.10), respectively.
Finally, note that forward and backward approximations can also be
applied
−
u
1,j−u0,j
∆x
+H
1u0,j=(g
1
)j,
u
m,j−um−1,j
∆x
+H
2um,j=(g
2
)j.(3.8.9)
Further Reading:[Ames (1992)],[Bellomo and Preziosi (1995)],[Collatz
(1966)],[Crank (1979)],[DuChateau and Zachmann (1989)],[Lapidus and
Pinter (1982)],[Mitchell and Griﬃths (1995)],[Morton (1996)],[Morton
and Mayers (2002)],[Necati Ozisik (1994)],[Richtmyer and Morton (1967)],
[Smith (1985)],[Thomas (1995)].

July 3, 2004 23:17 WSPC/Book Trim Size for 9in x 6in wsdac04
Chapter 4
A Windows program
Today complex problems arising in science and in engineering are often
solved by computers. Many applications ﬁnd successful answer by means of
powerful packages for computing mathematics. However, many other prob-
lems would beneﬁt greatly from using modern programming languages, as
C++. This language has recently received increasing attention in numerical
applications, as in any other ﬁeld.
In this chapter the Visual++
1
compiler is used to produce a Windows
2
program for the one-dimensional heat equation. The interested Reader can
consult the suggested textbooks to learn more about the quoted compiler,
although most of them are not speciﬁcally intended for scientiﬁc applica-
tions. Here, the numerical programs are developed essentially by proceeding
by examples, rather than formal deﬁnitions.
1
Visual C++ is a registered trademark of Microsoft Corporation
2
Windows is a registered trademark of Microsoft Corporation
35

Another Random Document on
Scribd Without Any Related Topics

The Project Gutenberg eBook of Az uj földesur
(2. kötet)

This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States
and most other parts of the world at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it
under the terms of the Project Gutenberg License included with this
ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the
United States, you will have to check the laws of the country where
you are located before using this eBook.
Title: Az uj földesur (2. kötet)
Author: Mór Jókai
Release date: September 20, 2013 [eBook #43778]
Most recently updated: October 23, 2024
Language: Hungarian
Credits: Produced by Albert László from page images generously
made
available by the Google Books Library Project
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK AZ UJ FÖLDESUR
(2. KÖTET) ***

Megjegyzések:
A tartalomjegyzék a 179. oldalon található.
Az eredeti képek elérhetők innen: http://books.google.com/books?
id=gRkQAAAAYAAJ.
Facebook oldalunk: http://www.facebook.com/PGHungarianTeam.
AZ UJ FÖLDESUR.
REGÉNY.

IRTA

JÓKAI MÓR.

II. KÖTET.

(A forditás jogát szerző fenntartja magának).

PEST.
EMICH GUSZTÁV KIADÁSA.

1862.
Pest, 1862. Nyomatott Emich G. m. akad. nyomdásznál.

VII.
Az a másik.
Ankerschmidt fényes uj kastélya, mely renaissance-stylben
1)
épült, az utfelől egészen eltakarta amaz ócska épületet, melynek
birtokába Garanvölgyi Ádám oly makacsul nem bocsáta senkit. Csak
a midőn az ember a házat megkerülte, tünt szemébe az ódon emlék,
vén vadgesztenye fáktól környezve, mik tetején körül összehajlottak,
mintha ők vállalták volna magukra, hogy majd védeni fogják a
viharok ellen. Hasonló szivességgel volt a megkoppadt téglafalakhoz
a zöld folyondár, melynek repkényindái az ablakok közeit egész a
tetőig befutották, mig tőszáraik olyan bolyhosak voltak már, mint egy
őzláb.
A ház környékét egész a fák tövéig szépen körülnőtte a fű, addig
volt az Garanvölgyi birtoka, azon innen be volt hintve kavicscsal a
tér, ez már Ankerschmidt lovagé volt. Ankerschmidt korlátokkal is
elkülöniteté az idegen tért nehogy valami szekérrel vagy lóval
rátévedjenek.
Az ó kastély környékén tehát akkorát nőhetett a fű tavasztól
őszig, a mekkorát akart, azt se nem aratták, se nem taposták.
Hanem négyszer egy évben, rendesen elválasztott időszakokban
el szokott oda jönni Kampós uram, egy csomó kulcscsal;
felnyitogatta az ajtókat, kiszellőztette a szobákat, odabenn tett vett,
ki tudja mit? félórai motozás után ismét bezárt maga után mindent s
eltávozott.
Hogy e rendes negyedéves megjelenés az ócska házban fel ne
ötlött volna Straffnak, a kit most már csak nevezzünk a maga nevén,
alig föltehető.

Straff csakugyan ott maradt a lovag családjánál, zongora-tanitói
hivatalos minőségben. Mint tudjuk, igen jól tudta játszani a zongorát
és a lengyel menekültet; a minek őt utoljára maga Ankerschmidt is
hitte.
Egy ilyen negyedév-fordulati napon Straff, a mint megsejté
Kampós uram közeledtét, utána osont, s mig az maga után bezárta a
ház ajtaját, addig ő egy orgonabokor árnyában elbujva, rálesett azon
szoba ablakán át, a melybe az ajtók nyitása után hallotta őt
bemenni.
Kampós ur a szobába lépve, elébb körülnézett, hogy jól be
vannak e vonva az ablakokon a függönyök. Az kikerülte figyelmét,
hogy az egyik ablak ónkarikája ki van esve, s azon keresztül egy
benyuló szalmaszálacskával valaki a függönyt annyira felemelheti,
hogy a nyiláson át megláthassa, a bennlevő mit csinál?
Kampós uramon nagy ujjas csurapé volt, a mi igen alkalmas arra,
hogy tárgyakat láthatókká és láthatlanokká tegyen, mint az
ezermester japonicája.
Egyszerre csak egy kis négyszöglábnyi szekrényke látszott a
kezében. Honnan vette elő? azt nem lehetett jól észrevenni. A
szekrényke ébenfából volt. Legalább fekete volt, annyi igaz.
Kampós uram egy kis kulcsot vett elő mellényzsebéből s azzal a
szekrénykét felnyitotta. – Kár, hogy ugy állt vele, miszerint a
szekrényke felnyilt teteje egészen eltakarta azt, a mi benne lehet.
Pedig valami nagy dolognak kell benne lenni, mert Kampós uram
sokáig nézeget a szekrénybe, mindaddig, a mig szemei meg nem
telnek valami nedüvel, akkor kezével megtörli két szemét; s azután
ökölre szoritva markát, csunya fenyegetőző mozdulatokat tesz a
levegőben.
Hát aztán mit csinál tovább?
Azután iratokat vesz elő bekecse zsebéből s azokat a szekrényke
fiókjába elhelyezi.

Igen gyanús manipulatio! Azután gyertyát gyújt; spanyolviaszkot
keres elő, lehúzza ujjáról pecsétnyomó gyürűjét, s a ládikót
lepecsételi.
Legfőbb mértékben gyanus működés!
Akkor ismét felveszi a ládát, egyet kerül fordul; s végre elhagyja
a szobát. Letette-e a szekrénykét valahová, vagy elvitte-e magával?
azt a bünrészes csurapé miatt nem lehete kivenni. Annyi bizonyos,
hogy a mint a házat ismét elhagyta, nem látszott, hogy vinne
magával valamit.
A corpus delicti tehát okvetlenül itt „loco“ maradt.
Ez nagybecsü fogás lesz több oldalra. Ilyen felfedezésekért sokat
adhatnak a „committens“-ek.
Levél iratik rögtön Bräuhäusel urnak; extrapostának adatik;
sietség ajánltatik.
A sietség ellen nem is lehet panasz.
Éjfél után két órakor a legnagyobb csendben megérkezik
Bräuhäusel ur, titkárja, irnoka, biztosa és megfelelő fegyveres
assistentia kiséretében, melynek egy része, miután az ócska kastély
kijárásaihoz állomásoztaték, más része magával a hivatalos
személyzettel a főczinkos, Kampós, kézrekeritésére indul.
Sikerült őt megelőzni a netaláni menekülésben. Egészen öltözve
volt már s az istállók felé menni készült.
– Megállj! Riadt rá Bräuhäusel; hová?
– Az istállóba. Felelt Kampós uram ártatlanul.
– Mit keres ön ott késő éjjel?
– Gazdatiszt vagyok. Oculus domini saginat boves; ezt tetszik
tudni; most pedig nincs már éjjel, mert reggel van.
É

– Micsoda reggel? Éjfélután három óra.
– Hát hiszen ez a reggel. Parasztembernek ez a bureaubamenés
órája.
– Semmi élczeskedés. Ön jön velünk. Hozza magával a puszta
kastély kulcsait. Mikucsek ur két legénynyel kisérni fogja.
Mikucsek ur sovány, vékony nyaku egyéniség volt, szük,
tubákszin téli kabát verte az inát, a miben nagyon fázott volna, ha
egy nagy tarka szőrkendő nem lett volna védelmére; igy is azonban
alig tudta összefogni a száját az éjjeli dértől.
– No csak jőjjön utánam amice; inte neki Kampós uram, kinek
végtelen kedve volt e perczben épen pipára gyujtani s tüzkővel
kicsiholni hozzá; hadd álljon addig a fagyon a sok nagyságos ur.
Mikucsek ur azonban sarkában volt mindenütt. Egy kézi lámpás
segélyével előkeresték a kulcscsomagot, azzal az egész convoy ment
az ó kastély felé: elől Bräuhäusel ur, középen Kampós uram a
didergő Mikucsekkel, körös körül fegyveres csendőrök.
A régi kastély elé érve, Kampós uram hivatalosan felszólittaték,
hogy haladéktalanul nyissa fel a zárt ajtókat.
Kampós uram engedelmeskedett a hatósági rendeletnek.
– Két legény az ajtónál marad! és senkit se ki, se be nem ereszt!
hangzék Bräuhäusel ur parancsszava. Előre, ön azokkal a kulcsokkal.
Kampós uramnak nem mondta senki, hogy mit keresnek? ő pedig
nem kérdezte, hogy mit akarnak megtalálni?
Azzal aztán megindult a rendszeres kutatás.
Első rendben jött a szobák padlója, azt falmentében szálankint
nagy műértelemmel fölbontogatták, s vizsgálatot tartának rejtekeik
fölött. Titkos menetü egér- és patkánylyukak labyrintjai jöttek
lámpavilág elé, miknek felriasztott lakói szétfutottak a motozók lábai
alatt s nem álltak helyt a kérdőrevonatásnak; ott tünt ki a szögletben

a világtól megvált özvegy prücsök tanyája is, meghordva rágott
szalmával, s a százlábu titkos tenyész verme, és a pinczeáska
agglomerativ telepei; de azokon kivül semmi titokszerü sem
fedeztetett föl.
Ezután került a sor a kemenczékre.
Itt már elemében volt Mikucsek ur; neki is vetkőzött. Mint nagy
practikus talentum, jól tudá, hogy a kemenczék, kályhák, kandallók
üregei nagyon alkalmasak titkos rejtekhelyek képzésére. Azok tehát
egyenkint szétszedettek; darabjaik megvizsgáltattak, egy pár urna-
alaku diszitmény, melybe szük volt a bejárás, oldalán be is
lyukasztatott. Nem volt bennük semmi; az az, hogy nagyon is sok
korom volt; a mitől Mikucsek ur rövid időn olyan lett, mint egy
czéhbeli kéményseprő.
Sokkal tisztább munka volt már a folyosók márvány koczkáinak
felszedése; az csákányal mehetett végbe s nem piszkolta össze az
embernek a kezét.
Ott sem találtatott semmi. Az albiztos ur kénytelen volt
kalamárisa tetejét ismét felsrófolni s aprotocollumot oldalzsebébe
dugni minden feljegyezhető adat nélkül; mig Bräuhäusel ur
személyesen világitott oda a kézilámpával, nehogy valami
csempészet mehessen végbe.
Innen lemenének a pinczébe. Nehány üres hordó állt még ott
korhadt ászok gerendáin, azoknak fenekei felnyittattak, s belsejük
hivatalosan igen dohosnak és azonkivül egészen üresnek találtatott.
Hanem Mikucsek ur praktikus ember. Pinczéket nem igy szokás
motozni. Parancsára egy üres hordót oda fenn megtöltöttek vizzel;
azután lehengergették, s akkor fenekét beütve felforditották, hogy a
viz egyszerre szétömöljön. Ez azért történik, hogyha valahol el van
ásva valami a pinczében, a viz ott gyorsan összefut s a taposott
földről a porhanyóbb felé siet s igy a rejtekhelyet elárulja.

A vizsgáló bizottmány ezalatt az ászokra állt fel, nehogy az
özönviz bemenjen a lábtyűje torkán.
Kampós uram, két legény közé fogva, csak nézte mosolyogva ezt
a furfangos műtételt.
Ime azonban egyszerre elkezdett a viz épen azon a helyen, a hol
Kampós uram állt az ászok gerendán, gyorsan összefutni s egy
nyilván besüppedő mélyedésbe sebesen eliszamodni.
– Ott van! megvan! Kiáltának egyszerre hárman, s Mikucsek ur
buzgalmában akkorát lépett, hogy bokáig esett a tocsogóba. Félre
innen! Ide az ásókkal!
Az a „félre innen“ nyilván Kampós uramnak szólt, ki nagy
mértékben gyanussá tette magát az által, hogy épen a veszélyes
hely fölé állt, mintha testével akarta volna azt eltakarni.
– Ásókat ide! – Az ászok gerendákat félreháriták, s gyorsan ásni
kezdtek. Mikucsek ur a struflijait is legombolta, hogy jobban
hozzáférjen.
Valami csörrent!
Aha! Itt van valami. Kampós uram maga is kiváncsi volt
megtudni, vajjon mi lehet ott elásva?
– Csak csendesen, vigyázni kell. Ovatosan. Mikucsek ur kezével
háritgatá félre az iszapos göröngyöket a gödörből. Végre kezébe
akadt valami; kihuzta: mi volt az? Egy üres palaczk. Semmi sem volt
benne. Tovább. Azután megint egy üres palaczk. És azután még egy.
És azután még vagy tizenöt palaczk, mindenféle alaku, kisebb
nagyobb, itczés, meszelyes, kék üveg, zöld üveg, sárga üveg; tokaji,
ménesi, pezsgő; de mind egymással megegyező abban a
tulajdonságban, hogy semmi tartalom bennök nem találtatik.
A vizsgáló urak megakadva néztek egymásra. Mit jelent ez?
É

Kampós uram csak hallgatott. Nem kérdezték. És ő hallgatott.
Pedig ő mindjárt kitalálta, hogy volt egyszer a tekintetes urnak egy
részeges hajduja, a kit aztán el is kellett bocsátani; ennek a révén
sok palaczkokra elrakott bor elpusztult a pinczéből, miket Ádám ur
csak kedves vendégei számára tartogatott; bizonyosan ez a kópé
volt az, a ki a pinczemagányt arra használta fel, hogy büntette néma
tanujeleit, a már élettelen palaczkokat, azoknak gyilkos kiüritése
után az ászok közé elássa, De hát Kampós uramtól ezt nem kérdezte
senki, s ő bizony ráért elnézni, hogy ülnek neki a vizsgáló urak, s egy
hordó-fenéken illő buzgalommal beirják a protocollumba, miszerint
egy nagyon gyanus földalatti üregben találtatott egy rendkivül
rejtélyes gyüjtemény, tizenhét darab üres palaczkból, melynek
összefüggése leend később kiderülendő eseményekkel: a palaczkok
hivatalosan lepecsételtetvén.
E közben megvirradt; világos levén, most már a padlást lehetett
vizsgálat alá venni. E helyen nagyon meggyült a baja Mikucsek urnak
a denevérekkel; a kik sehogy sem akarták az ő hivatalos küldetését
elismerni, minden zugból, repedésből a szemének repültek, s ha
valami rejtélyes odúba bedugta a kezét, megharapták az ujjait.
Pedig olyan szép hely volt ez az ősi padlás egy motozó bizottság
számára, keresztbe rakott gerendák, a mikre fel lehetett
kapaszkodni, szük léczkorlátok, a hova csak hason lehetett bebujni:
omlatag tűzfalak, miknek tátványai mind meg annyi kész
rejtekhelyek összeesküvők és vércsetojások számára, ócska butor-
maradványok, miket összerágott a szu; minden padlás-ablaknak
külön házikója, a mit külön ki lehete kutatni; azután ki lehetett bujni
a szelelőn át a háztetőre, bele lehetett nézni a kémények lyukaiba
felülről, nincs-e ott a keresett tárgy? Sőt Mikucsek urat annyira vitte
az elismerésre méltó buzgalom, hogy egy helyütt meglelve a
kandalló kürtőjét, derekára kötött zsinegen lebocsátatá bele magát, s
ugy jött vissza onnan, telepókhálózott arczczal, mint egy második
Klimius Miklós; Kampós uramnak rettentő mulatságára.
Positiv eredményt a padlás sem nyujtott.

Innen a kamarákba tértek vissza. Itt egy festett deszkaláda vonta
magára a figyelmet, mely szinültig volt ócska papirossal. Lehetett az,
szerényen becsülve, három mázsa.
– Micsoda iratok ezek? Kérdé Bräuhäusel ur visszaborzadva,
Kampóstól.
Kampós uramban volt annyi malitia, hogy vállat vonitson s azt
felelje „biz én nem tudom; tessék megvizsgálni.“
Átkozott feladat! De hátha épen itt van, a mit keresni kell?
Nagy fanyarodtan neki álltak a vizsgáló férfiak s elkezdék a fakó
iratok fülledt boglyáját széjjel szedni, egyik levelet a másik után
felbontogatni, megnézegetni; ha nem ez-e az, a mit meg kellett
találni. Dehogy volt az. Mind két-háromszáz esztendős dolgokról
tudósitottak azok, olyan emberek által alá irva, a kik régen porrá
váltak, s olyan tintával, a mi régen megveresült.
Ez már keserü munka volt.
Épen délre harangoztak, midőn ötvenedrészével elkészültek a
rettenetes talált kincsnek.
Bräuhäusel ur készen volt arra a grátiára, hogy ha Kampós uram
kérezkedni fog, hogy már ebédelni kellene menni: nagy nehezen
megengedi neki, hogy őrizet alatt haza mehet; s addig majd
bezárják a szállást, s ők is felmennek a kastélyba ebédelni; azonban
a practicus férfiu egészen meghiusitá e szándokát az által, hogy a
mint a déli harangszót hallotta csendülni, felült az ablak hidjára,
kihuzott a bekecse zsebéből egy zsiros papirosba csomagolt valamit;
s azt kibontva, nyilván valóvá tette, miszerint alkalmasint a tanyákra
készülve, egy nagy darab kenyérrel és sonkával látta el magát,
melyet is az éhen szomjan kutató társaság láttára nagy lelki
nyugalommal fogyaszta el, csizmaszár mellől előszólitott bicska
segitségével.
Miután pedig az utolsó falatot is legyűré, Kampós uram nagy lelki
nyugalommal ismét visszabocsátá kését a csizmaszár mellé s azután

egy kis szalmás butykost vonva ki másik zsebéből, jót húzott belőle:
tenyereiről leverte a morzsákat, s szépen zsebbe dugta a kezeit s
nézte tovább, hogy vizsgálnak egyik paksamétát a másik után a
nagyon tisztelt urak.
E gonosz flegma kezdte kihozni türelméből Bräuhäusel urat. Ez
nagyon is természetes. Egy csoport éhező, dolgozó, turkáló ember
közepett látni egyet olyat, a ki csak néz és néz, és falatozik hozzá, a
nélkül, hogy a dolgozóktól azt kérdezné, hogy miben fáradnak? a
kutatóktól azt, hogy mit akarnak feltalálni? vagy valamelyiket
megkinálná, hogy „nem tetszik egy korty ebből a szilvapálinkából?“
– Fel kell forditani az egész ládát, ugy könnyebben
megtalálhatjuk! Rikácsola Bräuhäusel ur, méregtől veresen, jól látva,
hogy igy levelenkint nagyon soká lesznek készen, s nehány férfi
mindjárt neki is veté a vállát, hogy kiteremtse a földre az egész
ócska levélhalmazt.
Kampós uram, a mint e veszedelmes vállalkozást meglátta,
mindjárt tudta, hogy mi lesz ennek a legközvetlenebb következése? s
nagy hirtelen felszedte a lábait, miket eddig kedélyesen himbálva
lóggatott alá, az ablak hidjára magához; mely elővigyázati
rendszabálya hogy nem volt indokolatlan, az a következő perczben
mindjárt bebizonyult.
Ugyan is, a mint a roppant láda papirtartalma kiömlött a
téglázatra, abban a pillanatban egy legiója az ifjabb és idősb
patkánynemzetségnek, mely azt már évek óta elfoglalva tartá s
magát benne egészen etablirozta, e sürgős birtokháboritási tényre
vijjogva riadt szét ősi fekhelyéből, s vaktában iramodott holt és
eleven tárgyaknak, nem válogatva, hogy asztalláb-e vagy emberláb,
butor-e vagy nadrág, a mire felszalad? Lett iszonyu csata és
tombolás; csizmasark, székláb, puskaagy pufogott, recsegett,
topogott, ember káromkodott, a künnlevő strázsák azt hitték,
haramiabanda tusáz a bennlevőkkel s rohantak segitségökre, a mint
aztán az ajtót nyitották, a patkányok vert serege iramodott a támadt

nyiláson kifelé, hátrahagyva halottait és sebesülteit s menekülve
mindenféle lyukakba odakünn.
A mi részünkről nem esett más kár, minthogy egy puskatussal
Mikucsek urnak ugy megtalálták ütni hátulról a balszemét, hogy
mindjárt feldagadt a képe: a zsebkendőjével mindjárt be is kellett
kötni azt a szemét, s már most csak egy szemmel folytathatta a
vizsgáló motozást.
Kampós urnak olyan nagyon tetszett ez a mulatság, onnan a
biztos páholyból nézve, hogy most már ő biztatta a tisztelt urakat,
hogy van ám még itt egy irtóztató lomtár, a mihez még ő is csak
elszánt pillanatokban mert közeliteni, abban lehet még csak valami!
Bräuhäusel ur gyanus szemmel nézett az inditványozóra. Azt nem
gondolhatta, hogy a veszélyben forgó férfiunak ily komoly
helyzetben holmi tréfálkozási viszketeg csiklandja a bőrét. Sőt sokkal
helyesebben ugy fogta fel az ajánlatot, mint a nyomozó bizottmány
figyelmének félrevezetésére intézett kisérletet, melyet csak azért
sem kell elfogadni.
Bizonyosan közel vagyunk a rejtekhelyhez; azért akar bennünket
másfelé elutasitani, vigyázni kell, nagyon vigyázni.
A felturkált papirosok közt már látni való, hogy semmi gyanura
méltó nincsen.
– Topp! Megvan. Kiálta fel hirtelen Bräuhäusel, Mikucsek barátom
vállára ütve, mint kinek egyszerre villámlott keresztül agyán a
felvilágositó eszme. Menjünk vissza a legelső szobába. A kasznárt
két legény kisérje. Gyerünk a legelső szobába.
Azzal Bräuhäusel ur balkezét kabátja szárnya alá dugva hátul,
jobbjába pálczáját ragadva, maga legelől megostromolta ujból a
felszedett padlóju szobát.
Annak a közepén állt egy ódon iróasztal, melynek olyan furcsa ki
s behuzható tetője volt, mint a milyen egy chinai ablakernyő; apró
léczczel összecsatolva; mik a lezárás pillanatában egy domboru tetőt

képeznek, s ha feltolatnak, valami nyiláson bemennek az asztal
belsejébe.
Bräuhäusel ur maga körül gyüjtve személyzetét, diadallal állt meg
az asztal előtt, melyből minden fiók ki volt már szedve.
– Látja ön ezt az asztalt; szólt Mikucsek urhoz intézve szavait.
– Igen is, látom, szólt az, félszemével intve. A másikkal nem
láthatta, mert az be volt kötve.
– Ugy-e ezt már megvizsgáltuk?
– És nem találtunk benne semmit.
– Semmit?
– Épen semmit.
– Még gyanura való okot sem?
– Azt sem.
– Mikucsek, Mikucsek! Ön tapasztalt ember; de látni fogja, hogy
a vén róka még is tovább lát. Ide nézzen.
Mikucsek ur annyira subordinálta magát, hogy még a kendőt is
felemelte szeméről, hogy jobban lásson.
– Látja ön ezt a gömbölyü ernyő-födelet? Most ki van huzva.
– Igen is.
– Mostan pedig be van tolva.
– Az igaz,
– De hát hova lett most ez a födél?
Mikucsek ur megnézte az asztalt kivül, belül, alája bujt, ott sem
látott semmit.

– Eltünt valahol a deszkák között.
– Ugy-e hogy eltünt a deszkák között. E szerint ennek az
asztalnak van olyan rejteke, a hova a födél eltünhet. A hova a födél
eltünhet, oda más is eltünhet.
– Ez valóságos igaz! Kiálta fel Mikucsek ur, tiszteletteljes
bámulással főnöke leleményessége fölött.
– Ennek az asztalnak a hátulsó deszkáját fel kell feszitenünk.
Monda Bräuhäusel ur, minden szónál, mintegy taktusra, egyet ütve
tenyerével az asztalra.
Mikor már Kampós uram látta, hogy de most mindjárt szétszedik
ám azt a tisztességes ócska butort, nem állhatá tovább, hogy meg
ne kérdje.
– Ugyan tisztelt uraságok nem mondhatnák meg, hogy mit
akarnak itten találni?
Bräuhäusel ur, látva, hogy áldozata már meg nem menekülhet, s
kénytelen megadni magát, megfogá annak bekecsén az egyik
leffentyüt s igy horkanta reá.
– Azt a bizonyos ébenfa ládikót, a mibe ön szokott leveleket
rejtegetni.
– Hisz uraim, az itt áll az önök szemei előtt, csak hogy meg nem
szólal.
A keresett szekrényke valóban ott hevert az asztal emelvényére
téve, két kötet ócska kutyabőrös corpus juris között; ott senki sem
kereste.
Bräuhäusel urnak az orra szemlátomást megnyult e fölfedezésre.
Ők reggeli három óra óta délutáni háromig kutatnak égen földön
valamit, a mi nyiltan ki van téve az asztalra.
Hogy emberi tévedését álczázza, hirtelen rárivallt Kampósra.

– Mi van ebben a ládában?
– Tessék megnézni. Itt a kulcsa.
– Miért van e szekrényke lepecsételve? Kérdé szigoru szemölddel
Bräuhäusel ur.
– Azért, hogy valamit bele ne tegyenek, a mit nem én tettem
oda.
– Mit tartalmaz e szekrény?
– Azért van uraságodnak a kezében, hogy nézze meg.
– Kinek a tulajdona? Miért van ide rejtve? Mi titka van e
dugdosásnak.?
– Már megbocsásson tisztelt uraságod; ezek olyan kérdések, a
mikre, ha kell, akármely törvényszék előtt megfelelek; de most, és
itt, ennyi szájtátó embernek azt az orrára nem kötöm.
– Úgy? Nem akarja megmondani. Őrmester! Ez ember itt e
percztől fogva fogoly.
Kampós uram egy cseppet sem volt megrémülve: a mint a
csendőraltiszt odalépett mellé, Kampós, mint ki a szabályokat
legjobban ismeri, egyetlen fegyverét, a csizmaszárba dugott
fehérvári bicsakot elővoná s rendületlen nyugalommal és
elszántsággal nyujtá át fogságra vetőjének: „fogja ön.“
Az által, hogy bicskáját önkényt átszolgáltatá, elég biztosan
fejezé ki, hogy védelmezni nem akarja magát.
– Ön be fogja ez embert szállitani a városba, s ott őrizet alá teszi.
– Ráérek; majd kieresztenek; szólt szelid daczczal Kampós uram.
Gyalog menjünk-e, vagy befogassak?
Bräuhäusel urnak már a nyelvén lebegett az a boszutöltő
sententia, hogy gyalog kisértesse be a refraktáriust; de azután

eszébe jutott, hogy ezt a mulatságot a kisérők nem köszönnék meg;
annálfogva megengedé Kampós uramnak, hogy a tiszti lakba
izenhessen, hogy a kocsis a lovakkal és a csézával rukkoljon ide;
azután lelkére kötve az őrmesternek, hogy minden vagyonával
felelős ez emberért, hóna alá vevé a szekrénykét, s indult volna
kifelé, ha Kampós uram egy szerény ellenvetéssel még egyszer meg
nem állitotta volna.
– Hát azután engemet azért méltóztatik elfogatni, a mi abban a
szekrénykében van?
– No, és?
– S hátha abban a szekrényben semmi sincs.
– Semmi?
– Azért adtam oda a kulcsot, hogy bontsák fel; s ha már most
uraságod ezt a szekrényt hazaviszi felnyitatlan; engem törvényszék
elé állit, ott felnyitják a zárt és találnak benne egy nagy ürességet,
majd meglássák az urak, hogy milyen nagy lármát csapok én ottan!
– Hát mit gondol ön?
– Azt gondolom, hogy elébb nézzék meg az urak, hogy van-e
abban a ládában valami, a mit nagy triumphussal elvigyenek, vagy
nincs; mert ilyen ládát kapni ám az esztergályosnál Pesten sokat, s
nem hiszem, hogy ennek a puszta fájáért fáradtak volna ide.
Ez bizony igaz.
Nosza feltörék tehát a pecsétet; felnyiták a zárt, s feltárták a láda
tetejét hivatalosan.
Akkor aztán megtudták, hogy van abban egy arczkép, mely egy
fiatal huszárt ábrázol, ez a láda tetejére van belül illesztve, a fiókban
pedig találtatik, mintegy husz darab levél.
– Kinek a képe ez? kérdezé Bräuhäusel ur.
Á

– Ez Garanvölgyi Aladár, Garanvölgyi Ádám ur fogadott fia és
rokona.
– S micsoda levelek ezek?
– Azok Aladár urfi levelei, miket minden évnegyedben ir Ádám
urnak *steinból, a hol státus-fogoly. Tetszik a levelek boritékán látni,
hogy azok mindennemü ellenőrségen keresztül érkeztek ide. Először
elolvastattak a *steini vár-kormányzóság által, azután felküldettek
Bécsbe a főrendőrséghez, ott megvizsgáltattak criticai és chemiai
uton, nincs-e bennük titkos czélzás, kulcsos crytographia, vagy
láthatlan tintával irt sorok? ezek nem találtatván, visszaküldettek
ismét *steinba, onnan leküldettek a magyarországi főrendőr-
igazgatósághoz s az által kézbesittettek az illetőnek; mindezek
megpecsételve és vidimálva láthatók a leveleken.
Valóban Bräuhäusel ur és vizsgáló társai egy betüt sem találtak a
leveleken, mely gyanura adhatott volna legkisebb okot.
– De hát minek volt akkor az a titkolózás? Minek dugdosták önök
ide ezen leveleket?
Kampós uram vállat vonitott, elmosolyodva.
– Hát tetszik látni, hogy ezek a levelek valami idegen nyelven
vannak irva; minthogy másképen nem lehet. Az én uram pedig azt
mondá, hogy ő ilyen formáju betükkel egy házban nem hál; elégetni
pedig nem akarta, mivelhogy az öcscse irta, tehát azt parancsolá,
hogy dugjam el azokat valahol a házon kivül. Én e szerint,
valahányszor az érkezett levél tartalmát elmagyaráztam előtte, mert
ő kezébe nem fogta, mindjárt hoztam ide s tettem a ládába.
Gondoltam, itt senkinek sem akadékoskodnak.
Bräuhäusel ur átkozottul dühbe jött e magyarázatra.
A ki csak távolról is hallott valamit a vén kurucz makacs
szeszélyeiről, ezt a magyarázatot a legfőbb mértékben
természetesnek fogja találni.

– Hallja az ur; rivallt Bräuhäusel, most már komolyan sarkára
állva Kampós uram ellen. Ha az urak bolondok; ne tartsák bolonddá
a hatóságot! Mit csinálnak az urak mysteriumot ilyen
hitványságokból, s ide fárasztanak bennünket és engednek kutatni
reggeltől estig, étlen, szomjan. Ez nem tréfa! Ilyen enyelgések
nagyon közel zsurlódnak a hatóságok tekintélye ellen intézett
törekvésekhez. Azért ezennel komolyan és hivatalosan megintem
önöket, hogy jövőben minden olyan müködéstől óvják magukat,
mely a közigazgatás intézményeire zavarólag hathatna, s az
államföltételek legfelsőbbikét, a minden állampolgárnak együttes
hatását a közrend és csend megszilárditására, ellenállhatlan
előrehaladásában akadályozná; s ha ezuttal önök és vonatkozólag ön
maga, minden egyéb tényleges és tettleges következményei nélkül a
magukra idézett felsőbbségi szigor meghiusitási törekvésének,
bocsáttatnak el a magányéletbe; ezt vegyék ugy, mint a hatalom
kifolyásának azon kettős czélu irányát, mely a mig egyfelől a
büntettek megtorlásában, ugy másfelől a megtérés bánatának
szemléleténél, jól gyümölcsöző kegyelmezésben is nyilatkozik.
E czifra mondásból Kampós uram annyit értett, hogy „e szerint
tehát nem vagyok többé fogoly?“
Bräuhäusel ur néma leereszkedés mozdulatával inte, hogy fel van
oldva.
– Tehát fel vagyok oldva minden vád alól?
Mikucsek ur nagy boszusan csapta hóna alá a protocollumot.
Ezért ugyan érdemes volt akkora ütleget kapni a szemére!
Mikor már induló félben voltak az urak, Kampós utánuk kiálta.
– Kérem uraim, még egy szóra.
– Nos, mi tetszik.
– Önök látják, hogy én már veszélyen kivül jutottam; a láda
kezemben; semmi vád nem terhel; semmitől sem tarthatok. No hát

már most tudják önök meg, hogy igen is van ebben a ládában
valami, a mit még nem láttak.
Azzal egy sarkát megnyomva a láda födélnek, hirtelen fölpattant
az arczkép porczellán lapja, s mögötte volt látható nehány sürűn
vékony szalmapapirlap.
Mikucsek ur megint nagy örömmel vette elő a protocollumot. –
Mik azok?
– Mik? Tud valaki itt magyarul? Nem? Annál jobb. Már most tehát
csakugyan mégis be kell engemet kisértetni a városba, mert én itt el
nem fogom mondani, mi van e levelekbe irva. Én akarom, hogy ezt
minél magasabb urak megtudják. Hol van az az őrmester? Barátom,
itt a szekér, van-e kézre való vas? Kössön meg szaporán, aztán
menjünk.
Kampós urnak értésére adatott, hogy nem fog ugyan
megvasaltatni, de aztán el ne szökjék; ő pedig csak arra kérte még a
nagyságos urakat, hogy a kályhákat megint rakják össze, s aztán
mindent jól bezárjanak, a kulcsokat adják át a kulcsárnak; azzal
kisérőit felszedve magához, a szekérrel sok szerencse-kivánás
közben eltávozott.
– Ördöngös ficzkó! Dörmögött utána Bräuhäusel ur. Ördöngös
ficzkó! – Az lett volna még nagyobb ördöngösség, ha érteni lehetett
volna, hogy miért jelentette fel azokat a már megmenekült rejtett
iratokat? meg, hogy mi lehet azokba irva? Hanem hát Bräuhäusel ur
annak oka nem volt, ha a világfolyását intéző bölcsességnek ugy
tetszett, hogy a Bábeltornya épitésekor a pallérok a kőmüvesek
nyelvét ne értsék.
– Ördöngös egy ficzkó!
Hanem már most csakugyan ideje volna, ha az ebédre gondolna
valaki, mert ide-stova este lesz.
Oh van gondoskodva e felől!

Ankerschmidt maga ugyan nincs itthon, de Misz Natalie tudja,
mivel tartozik a ház hasonló helyzetben ily ünnepélyes vendégeknek?
valamint azt is, hogy a Hof-Schematismus szabályai szerint kit miféle
kanál illet meg. Annálfogva a kis Gyuszi (mert a vadászt magával
vitte a lovag) már tizenegy órakor (Staatsvizit órája) e következő
utasitást kapta: „lemégy az ócska kastélyhoz, a hol az urak vannak,
azt az urat, a melyiknek három csillagja van, meghivod ide fel a
kastélyba ebédre; a másik két urnak, a kiknek egy csillaguk van,
tudtára adod, hogy az inspector urnál van számukra teritve; a
csendőröknek is megmondod, hogy majd az ispán háznál kapnak
enni.“
Le is jött Gyuszi ez üzenettel a motozott házig legalább tizszer, de
az ajtóban állt egy mérges fegyveres, a kinek az volt adva utasitásul,
hogy egy lelket se bocsásson se ki se be; s az Gyuszit is léleknek
nézve, mindanyiszor rárivallt keményen: Czurukk! s előkészületeket
tett rá, hogy közelités esetében arra a hegyes vasra felszurja, a mi a
puskája végén van, mire aztán Gyuszi legelőször is megfutamodott,
haza szaladt, s elmondta, hogy őt nyársra akarták huzni.
Misz Natalie másodszor is visszaküldé, azon parancscsal, hogy ha
az őrhöz ér, tegye magát állásba, sipkájához a kezét s mondja el
neki, hogy miért jött? majd akkor beereszti.
A világ folyását rendező hatalmak azonban ugy intézék a dolgot,
hogy az őrt-álló csendőr ne értse azt a nyelvet, a min Gyuszi beszél,
levén ő becsületes cseh ember; azért is ez azt most már kémnek
gyanitva, nagy toporzékolva kergeté el ujra „nem takarodol innen, te
spion!“
Már harmadszor, a hogy messziről meglátta Gyuszit, előre
fenyegette ököllel, hogy „gyere csak közelebb.“
A negyedik visszajövetelnél neki toporzékolt, ugy kergette el.
Az ötödik kisérletnél ravasz fogást tett, meghuzta magát az ajtó
mellé s a mint Gyuszi jött az ebédre hivással, hirtelen nyakon
ragadta, jól felpofozta, s megtépte az üstökét.

De azért a kis Gyuszinak még vagy négyszer meg kellett
kisértenie a vizsgáló urakhoz való juthatást. Egyszer a ház háta
mögé került, hogy majd az ablakon kiált be nekik; az őr onnan is
elkergette; majd meg azt gondolta ki, hogy felmászik egy
gesztenyefára s onnan mondja meg, hogy miért küldték? De már
ezen rajtakapatva, csakugyan megtelt a mértéke; a haragos vitéz
lehuzta a fáról, s gallérjánál fogva bevitte a nagyságos urak elé;
jelentve, hogy itt fogott egy veszedelmes kémet, ki már tizedszer
akar áttörni a vesztegzáron. Gyuszi rugdalozott kézzel lábbal.
– Hát te gazember, mit akartál? förmedt rá egyszerre mind a
három ur. Szegény kis Gyuszival jó hogy valami nem történt, a mint
három ilyen kerékbeforgó szempár vette kereszttüzbe s minden
oldalról azzal biztatták, hogy megeszik. Szerencséje, hogy eszébe
jutott, a miért jött.
– Az urakat kell ebédre hivnom.
Oh egyszerre milyen gömbölyüre nyilt mind a három haragos
ábrázat; hogy megczirogatták a kis ficzkó pofácskáját mindnyájan:
„derék kis fiu! hisz ez a lovag ur kastélyából való cseléd.“
Azzal aztán egyszerre mind a hárman neki az ártatlan
csendőrnek, ki még egyre fogta a fiu gallérját, annak aztán volt mit
hallani „ügyetlenségről, eszetlenségről, stb.“; szerencséje, hogy nem
értett belőle semmit. Az szegény tán maig is töri rajta a fejét, hogy
mi megoldása lehet e rejtélynek?
– Megijedtél kis fiacskám? – szólt Bräuhäusel ur, ismét Gyuszihoz
fordulva, kinek arczán barázdákat vont a sirás, mint a záporpatak az
agyagföldön. Megijedtél nagyon?
– Az ám.
– A nagyságos ur küldött?
– Nem a küldött, mert a nincs itthon, hanem a Misz küldött, hogy
nem akarnak-e ebédelni?

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Computational Methods For Pde In Mechanics Berardino Dacunto

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Computational Methods For Pde In Mechanics Berardino Dacunto

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 6

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80

Slide 81

Slide 82

Tags