Critérios de paralelismo e perpendicularidade

1. 0

Escola dos 2ºe 3ºciclos D. João I da Baixa da Banheira


Critérios de Paralelismo e
Perpendicularidade entre
rectas e planos e entre
planos






Trabalho realizado por: Inês Gonçalves nº13, Joana Ferreira nº15, Pedro
Ribeiro nº23, Sara Candeias nº24
Ano/Turma: 9ºA
Professor: Francisco Louro
Ano Lectivo: 2010/2011
Disciplina: Matemática

2. 1

Índice

Introdução …………………………………………………………….. Página 2
O que é uma recta? ……………………………………………………. Página 3
O que é um plano? ...…………………………………………. … ……. Página 5
O que significa paralelismo? ………………………………………….. Página 6
O que significa perpendicularidade? ………….……………………… Página 7
Critérios de paralelismo:
- Entre rectas e planos ….………...…………………………….. Página 8
- Entre planos ……...…………………… ……………………… . Página 9
Critérios de perpendicularidade:
- Entre rectas e planos ..………………………………...……... Página 10
- Entre planos ……..……………………………………………. Página 1 1
Conclusão ……………………………………………………………... Página 12
Bibliografia ……………………………………………………………. Página 13

3. 2

Introdução
Este trabalho foi realizado no âmbito da disciplina de Matemática, a
pedido, do professor Francisco Louro.
Ao realizarmos este trabalho pretendemos enriquecer os nossos
conhecimentos matemáticos para que num futuro próximo nos possa vir a
ser útil.
A nossa intuição leva-nos, muitas vezes, a afirmar que dois planos são
paralelos ou que uma recta é perpendicular a um plano.
Como garantir que a nossa intuição está correcta?
Utilizando critérios de paralelismo e perpendicularidade.

4. 3

Rectas
Paralelas
(Quando não têm nenhum
ponto em comum, tendo
sempre a mesma distância
entre si)
Concorrentes
(Quando têm um só
ponto em comum)
Complanares
(Quando pertencem ao
mesmo plano)
Não Complanares
(Quando não pertencem
ao mesmo plano)
O que é uma recta?
Uma recta é um conjunto de pontos todos na mesma direcção, ou uma
linha, que não tem princípio ou fim. É representada ou por uma letra
minúscula (neste caso, r), ou por dois dos seus pontos (AB).










Exemplos:

São paralelas as rectas m e n; perpendiculares as rectas l e m. ->

5. 4

Podemos observar rectas em praticamente todas as situações do
quotidiano:

Em qualquer um dos degraus destas
escadas podemos observar rectas, como
também o podemos fazer no chão ou até
mesmo no corrimão.






Na cozinha, tanto nos
armários, como nas bancadas, e
até nas prateleiras.





No parque infantil, tanto no
escorrega, nos baloiços, no
caixote do lixo… em tudo,
praticamente.

6. 5

O que é um plano?
Um plano é um objecto geométrico infinito a duas dimensões.
Representa-se normalmente por um paralelogramo e identifica-se por uma
letra grega ou por três dos seus pontos não colineares.










Exemplos de planos na vida real:


Numa baliza simples de
futebol, podemos observar três
planos, onde dois são paralelos.

7. 6

O que significa paralelismo?
Paralelismo é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou planos)
estão na mesma direcção, com a mesma distância entre si (em qualquer
ponto dos seus pontos), sem nunca se tocarem.
Exemplos de paralelismo na vida real:

- Estes lápis de cor estão colocado
de forma a ficarem paralelos uns aos
outros (representa rectas paralelas);





- Nesta vedação, por exemplo,
verificamos que todos os barrotes
verticais estão paralelos uns aos outros,
e que ambas as tábuas horizontais
também o estão. (de novo, representa
rectas);



- Neste quarto podemos
verificar que as paredes são
paralelas duas a duas, estando,
neste caso, representadas por
cores;

8. 7

O que significa perpendicularidade?
Perpendicularidade é uma noção que indica se dois objectos (rectas ou
planos) fazem um ângulo de 90º entre si.
Duas rectas podem ser perpendiculares, tal como dois planos o podem
ser, mas pode uma recta ser perpendicular a um plano? Sim, pode.





Neste caso são duas rectas (s e r) perpendiculares, ou no caso da
janela, várias (10 rectas) perpendiculares.




Dois planos (α e β) perpendiculares; dois livros perpendiculares.




Uma recta perpendicular a um plano; uma vara perpendicular à água.

9. 8

Critérios de paralelismo

É fácil observar e verificar que duas rectas ou dois planos são
paralelos, mas para o justificar é necessário enunciar teoremas a que se
chamam critérios de paralelismo (entre rectas e planos, obviamente).

- Entre rectas e planos

Se existir num plano uma recta
paralela a uma recta dada complanar (ou
seja, que não está contida nesse plano),
a recta e o plano são paralelos.




No caso de uma baliza,
acontece isso mesmo, tendo em
atenção a recta a, e a recta b que
está contida no plano α, o que torna
a recta a paralela ao plano α.





a
b
a
b α

10. 9

- Entre planos


Se duas rectas concorrentes (a e
b) de um plano (α) são paralelas a outro
plano (β), então os planos são paralelos.






No caso de uma simples
sala de aula podemos verificar
que o tecto e o chão (dois
planos, portanto, α e β) são
paralelos.








A
a
b
a
b
β
α

11. 10

Critérios de perpendicularidade

É igualmente fácil observar que duas rectas ou dois planos são
perpendiculares, mas, mais uma vez, para o justificar é necessário enunciar
os critérios de perpendicularidade (de novo entre rectas e planos,
obviamente).

- Entre rectas e planos

Se uma recta (r) é perpendicular a
duas rectas concorrentes (a e b) de um
plano (α), então a recta (r) é
perpendicular ao plano.




Considerando a árvore a
recta perpendicular (r) às duas
rectas concorrentes, esta acaba
por ser perpendicular ao plano
(chão, representado por α).





r
a
r
a
a
b
α

12. 11

t
a
- Entre planos


Se num plano (α) existe um recta
perpendicular (t) a outro plano (β),
então os planos são perpendiculares.












Denominando a parede lateral da casa como plano α e a parede frontal
como plano β, temos assim dois planos perpendiculares.





α β
α
β

13. 12

Conclusão

Através da realização deste trabalho pudemos compreender uma das
bases mais importantes para construção da geometria.
Um critério é uma afirmação que necessita de demonstração para ser
considerada verdadeira e, com estes simples conhecimentos aqui explícitos,
conseguimos confirmar e provar o paralelismo e a perpendicularidade de
objectos, com uma certa facilidade.

14. 13

Bibliografia

Para a realização destes trabalhos recorremos às seguintes fontes:

I – Manuais:
- Neves, Maria Augusta Ferreira; Guerreiro, Luís; Neves, Armando
“Matemática”, 2ª Parte 9ºano, 1ª edição, Porto Editora, 2009.

II – Internet:
- http://geomdesc.no.sapo.pt/pag6.htm
- http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm22/representa.htm
- http://www.google.pt