Curso abreviado de fisica teorica 1 landau-editorial mir

Libro de física

1. LLL

3. ©

EDITORIAL MIR

4. KPATKUM KYPC
TEOPETUYECKOU PDU3ZUKU

Knuea I

A. AAHAAY, E. AUDIIMU
MEXAHUKA
SAEKTPOAMHAMUKA

Nsdamemcmso «Hayras

5. L. LANDAU

E. LIFSHITZ

CURSO ABREVIADO DE FISICA
TEORICA

Libro 1

MECANICA Y
ELECTRODINAMICA

Traducido del ruso por el ingeniero
ANTONIO MOLINA GARCIA

Tercera edicion

EDITORIAL. MIR. MOSCU

6. Sogunda edición 1979
Tercera edición 1982

Ha uenanerow 19900

IMPRESO EN LA URSS

©) Traducción al español. Editorial Mir. 1979

7. INDICE

Notaciones empleadas . ㆍ ㆍ. > AREA
Prélogo . .

Parte 1. Mecánica
Capitulo 1. Ecuaciones del movimiento
$ 1. Coordenadas generalizadas

$2. Principio de mínima acción . . . -
$3, Principio de la relatividad" de Galileo . . > > /
$ 4. Función de Lagrange de una particula libre , . >.
$5. Función de Lagrange de un sistema de partículas +s. >

Capitulo 16. Leyes de conservación

$6, Energia eos
$7. Impulsión

$8. Centro de inercia . <<.
$9. Momento de impulsión

Capitulo 111. Integración de las ecuaciones del movimiento
$ 10. Movimiento lineal... . . . . . . ..
$ 11. Masa reducida E
$ 12. Movimiento en un campo central
$19. El problema de Kepler .
Capítulo IV. Choques de particulas
$ 14. Choques elásticos de particulas . . . . . - Sie

$ 15. Dispersión de las partículas . :
$ 16. Fórmula de Ruthectord . . . 2. > ‘

Capitulo V. Oscilaciones pequeñas
$ 17. Oscilaciones. límeales libres...
$ 18. Oscilaciones forzadas . 00002.
$ 19. Oscilaciones de los sistemas con muchos. 애써 logtd
$20. Oscilaciones amorliguadas . . . , の bg
$21. Oscilaciones forzadas con rozamiento . |
$22. Resonancia paramblrica . . . .
§ 23. Oscilaciones “anarmónicas . . . -

Capitulo VI. Movimiento del sólido

$24, Velocidad angular 0 lisa
$95, Tensor de inercia... le een =
$26. Momento de impulsión del sélido ! ! ! ! !
$27. Ecuaciones del movimiento del 90000 . 2 !
$28 Contacto de cuerpos sólidos . .

$29. Movimiento en un sistema de relerencia no inercial

38% 5888 28NR きき らら ニ >

332288

2588

101
106

8. o Indie

Copitalo VII. Ceuaciones canónicas
$30. Ecuaciones de Hamilton awar
§ 31 Ecuación de Hamilton-Jacobi»... .
$32. invariantes adiabiticas sie

Capitulo VIII. Principio de la relatividad
$3. Velcade propagación dels neo + +
$34. Intervalo . .
§ 35. Tiempo propio... =...
$56. Transformación de Lorentz
$37. Transformacién de la velocldad . . . . .
§ 38. Vectores tetradimensionales ㆍ à

Capitulo 1X. Mecánica relativista
$39. Energia e impulsión se .
$40. impulsión. teiradimensional tai ait
$41. Desintegraciön de las parliculas > 1000000
$ 42. Choque elástico de partículas o

Parte 11. Electrodinámica

Capitulo X. Carga en un campo electromagnético
$43. Potencial tetredimensional de un campo... -
$ 44. Ecuaciones del movimiento de una carga en un compo
$ 45. Invariancio de contraste 190 E
$46. Campo electramagnético constante . . . - ㆍ

$47. Movimiento en un compo eléctrico unilorme constante :
$48, Movimiento en un campo magnélico uniforme constante ㆍ

$49. Movimiento de una carga en campos cruzados . . .
$50. Temor de campo eletromugntco st
$ 51. Invaciontes del campo. «++ -

Capitulo XI. Ecuaciones del campo electromagnético
$ 52. Primer par de ecuaciones de Maxwell . . . +
588. Acción del campo electromagnético . 0 --
$ 54. Tetravector de corlente - x
$55. Ecutción de continuldad .
§ $8. Segundo par de ccusciones de Maxwell
$57. Densidad y flujo de energla . . . -
$58, Densidad y flujo de impulsión ㆍ . . -

Capitulo X11. Campo electromagnético constante
$ 59, Ley de Coulomb

$60. Energie elecrostélca de las cargas ， none
$ 61. Campo de una carga con movimiento unitorme . . . -

§ 62. Momento dipolar .
$ 68. Momento cuadrupolar 、
3 64. Sistema de cargas en un campo exterior ㆍ

ue
114
2

m
E
12
mi
135
is

13
16
1
150

9. Indice 了
$65. Campo magnético constante . . . m
§ 66. Momento magnético . . 2 2 2 2 | Phe hanes BD
$67. Precesion de Larmor. LLL TTD 207

Copituto X111. Ondas electromagnéticas
$68, Ecuación de la onda see E
$69. Ondas planas - coco en
$70. Onda plana moncerométics : : : oer)
§ 7. Efecto Doppler . . 22026
$72. Descomposición espectral. an
$73. Luz polarizada parcialmente ・ Dil ale
$74. Optica geométrica . …
$75. Limites de la éptica geométrica . . ! …‥… e
§ 76. Difracción de Fresnel... . … sw 97
$77. Difraceién de Fraunhofer . |. | tie 0
$ 78, Oscilaciones propias del campo …~ 3
Capítulo XIV. Radiación de ondas electromagnéticas

$79. Potenciales retardados ㆍ ae 2... M0
$80. Potenciales de Lienard-Wiechert en)
§ 81. Campo de un sistema de cargas alejadas - u... on 26
§ 82. Radiación dipolas . - iii: 20
§ 83. Radi Ln deu arg que mue ran vieiad + sors a
$84. Frenado por radiación Qro 26
$85. Dispersión por cargas libres |! |. 20
§ 86. Dispersión por un sistema de cargas . romeros 2
Indice allabéllco . . - - . . . fears, 30

10. NOT ACIONES EMPLEADAS

Magnitudes mecánicas

Coordenadas generalizadas e impulsiones qu pr

Funciones de Lagrange y de Hamilton L y À
(en la segunda parte, L y #)

Energia e impulsión de las partículas E y p
ten a segunda parte, y P)

Momento de impulsión M

Momento de una fuerza K

Tensor de inercia iy

Magnitudes electromagnäticas

Potenciales escalar y vector del campo
electromagnético @ y A

Intensidad del campo eléctrico E

Excitación del campo magnético H

Densidad de las cargas y de las corrientes p y j

Momentos dipolares eléctrico y magnético d y m

Nofaciones matemáticas

Volumen, superficie y longitud elementales dV, di y di

Los indices de los veclores y tensores” tridimensionales
se designan con las letras latinas í, を & ... que toman
los valores de x, y, 2

Los indices de los vectores y tensores tetradimensionales
se designan con las letras griegas A, uw, v,... que toman
los valores 0, 1, 2, 3

La regla para subir o bajar los indices tetradimensionales
se encuentra en la pág. 137

La regla de sumación según los indices dobles (mudos) se encuentra
en las págs. 90 y 138

11. PROLOGO

El volumen de los tomos de nuestro Curso de Fisica Teórica
va aumentando de edición en edición a pesar del gran interés que
hemos puesto en seleccionar severamente el material. Esto es con-
secuencia natural e inevitable de la rapidez con que se desarrolla
la ciencia, pero al mismo tiempo hace que el libro sea cada vez
más dificil de utilizar por los estudiantes, como obra de texto,
y en general por los físicos teóricos no profesionales,

Esta circunstancia indujo a Lev Davidovich Landau, en los
años que precedieron a su fatal catástrofe automovilística, a acoger
con gran entusiasmo la idea de escribir un Curso Abreviado de Fi-
sica Teórica, basándose en el curso completo. En opinión suya este
curso deberia contener los conocimientos mínimos necesarios a
todo fisico moderno cualquiera que sea su especialización. Pero
L. D. Landau no pudo ver realizado su propósito y estos libros
aparecen hoy después de su trigico fin.

El Curso Abreviado constará de tres libros: 1. Mecánica y Elec-
Irodinámica; 2. Mecánica Cuántica, 3. Fisica Macroscópica.

El le libro ha sido compuesto en lo fundamental a base de
resumir meticulosamente el texto de nuestra “Mecánica” y “Teo-
ria del Campo”. Al hacer este resumen he procurado tener en cuenta
los deseos expresados por L. D. Landau durante la discusión pre-

12. via del plan de la presente edición, asi como los planes pedagó-
gicos de los cursos que, en diferentes años, explicó en la Univer-
sidad de Moscú. Lev Davidovich consideraba concretamente
que en este Curso Abreviado no debería incluirse la expos
de la teoría general de la relatividad. El opinaba que las ideas
fisicas fundamentales y los resultados de estas teorías del
explicarse en los cursos de Fisica General y que su aparato mate-
mético completo necesitan estudiarlo solamente (por lo menos en
la actualidad) los especialistas teóricos.

El resto del material de estos dos tomos del curso completo
ha sido reducido aproximadamente a la mitad. Y como el pro-
pósito de este Curso Abreviado no es enseñar a manejar profe-
sionalmente todo el aparato de la Fisica teórica, los problemas
ilustrativos que en él han quedado son los más sencillos.

Mayo de 1568
= E. M. Lifshitz

13. PARTE I MECANICA

CAPITULO I
ECUACIONES
DEL MOVIMIENTO

$ 1. COORDENADAS GENERALIZADAS

Uno de los conceptos fundamentales de la mecánica es el de
punto material”. Por esta denominación se entiende un cuerpo
cuyas dimensiones se pueden despreciar al describir su movimien-
to. Naturalmente, la posibilidad de hacer esta omisión depende
de las condiciones concretas de cada problema. Asi, los planetas
se pueden considerar puntos materiales cuando se estudian sus
movimientos alrededor del Sol, pero no cuando se analiza la rola:
ción diaria de los mismos

La posición de un punto material en el espacio se define por
su radio vector r, cuyas componentes coinciden con sus coordenadas
cartesianas x, y, 2. La derivada de r respecto al tiempo (

으

ra

se llama velocidad, y la segunda derivada d’r/df es la aceleración
del punto. En adelante designaremos la derivación respecto al
tiempo poniendo un punto sobre la letra, por ejemplo, v=+.
Para defirir la posición en el espacio de un sistema de N pun-
tos materiales hay que tomar N radios vectores, es decir, 3N coor.
denadas. En general, el número de magnitudes independientes
necesarias para determinar univocamente la posición del sistema
se llama número de grados de libertad del sistema; en nuestro ca
so este número será igual a 3N Estas magnitudes no tienen que
oriamente las coordenadas cartesianas de los puntos,
sino que de acuerdo con tas condiciones del problema puede re-

가 En lugar cel término “punto material” utilizaremos con frecuencia el de
particular,

14. 12 Capitulo 1. Ecvaciones del movimiento

sultar más conveniente elegir otras coordenadas. Se da el nombre
de coordenadas generalizadas de wn sistema de s grados de libertad
a las s magniludes cualesquiera qu, qa, - . -. 9, que caracterizan
dotalmente su posición, y el de velocidades generalizadas a sus
derivadas 4.

Los valores de las coordenadas generalizadas no bastan para
definir el “estado mecánico” del sistema en un momento dado,
puesto que no permiten predecir las posiciones que tendrá dicho
sistema en los instantes sucesivos. Con unos valores 07005 de las
coordenadas el sistema puede tener velocidades arbitrarias, y en
función de estas últimas podrá ser diferente la posición que 00006
en el instante siguiente (es decir, dentro de un intervalo de tiempo
infinitamente pequeño de)

Pero si se dan simulténeamente todas las coordenadas y las
velocidades, la experiencia demuestra que queda periectamente
determinado el estado del sistema y que es posible predecir, en
principio, su movimiento ulterior. Desde el punto de vista mate.
mático esto quiere decir, que al dar todas las coordenadas 9 y las
velocidades 4 en un instante delerminado, quedan al mismo tiempo
determinados univocamente los valores de las aceleraciones の
en dicho instante”

Las ecuaciones que relacionan las aceleraciones con las coor-
denadas y las velocidades se llaman ecuaciones del movimiento
Con respecto a las funciones 9(0) éstas son ecuaciones diferenciales
de segundo orden cuya integración da, en principio, la posibilidad
de delerminar estas funciones, es decir, la trayectoria del movi-
miento del sistema mecánico.

$2. PRINCIPIO DE MINIMA ACCION

La expresión más general de l ky del movimiento delos ise-
mas mecánicos viene dada por el llamado principio de minima
acción (o principio de Hamilton). Según este principio cada sistema
mecanico se caracleriza por una función determinada

lan Qu 0001 Qu de Bie ces Got)

o, abreviadameate, L(g, d, 9: en este caso el movimiento del
sistema satisiace la condición siguiente

Supongamos que en los instantes (=i, y f=, el sistema ocupa
unas posiciones delerminadas que se caracterizan por los dos con-
juntos de valores de las coordenadas 4% y q". Entonces, entre

1 Eresentemente, con objeto de abreviar desgteremos de mantra con
vencional el conjunto de todas as coordenadas gu. q. «= 8, por medio de unt 9
(9, por analogía, el conjunto de todas las velocidades por medio de una の

15. $2. Principio de minima acción 13

estas posiciones, el sistema se moverá de forma que la integral
S= Lt, à nd 1)

tendrá el menor valor posible. La función L se Hama función de
Lagrange del sistema dado, y la integral (1) ss 10 00000

EI hecho de que en la función de Lagrange figuren solamente
q y 9 y no las derivadas superiores de las coordenadas respecto al
tiempo es la expresión de que el estado mecánico queda completa-
mente definido si se conocen los valores de las coordenadas y de
las velocidades.

Deduzcamos ahora las ecuaciones diferenciales que dan solu:
ción al problema de la determinación del mínimo de la integral
(2.1). Para simplificar la escritura de las fórmulas supondremos
primeramente que el sistema posee un solo grado de libertad,
de manera que podrá ser definido por una sola función 4()

Sea g=9(9 precisamente la función para la cual S tiene un
minimo. Esto significa que S aumentará si gif) se sustituye por
cualquier función de la forma

09+ 60 2.2)

siendo 69(f) una función pequeña en todo el intervalo entre 4, y な
(que se llama variación de la función 6(0): y puesto que para
y t=, todas las funciones como (2,2) deberán tomar los mismos
valores de の" y 4%, ocurrirá que

CTRECTO EN es)

La variación que experimenta S al sustiluir 9 por +89
viene dada por la diferencia
{L(g +59, 9480, Lig, q. Hal.

El desarrollo en serie de esta diferencia según las potencias de
89 y 6 (en la expresión subintegral) comienza por los términos
de primer orden. La condición necesaria para que S sea minima es
que el conjunto de todos los términos se anule; esto se llama pri-
mera variación (o simplemente variación) de la integral, Por lo
tanto, el principio de mínima acción se puede escribir de la forma

¿s=SÍ Li, à, 0dt=0 24)

16. 14 Capitulo 1. Ecuaciones del movimiento

efectuando la variación:
€ (28g 0

) (5709 + E) atmo,

Teniendo en cuenta que 5g = 을 6, integramos el segundo término por
partes y obtenemos:

so] +f (G4 oro en

Pero en virtud de la condición (2,3), el primer término de esta
expresión desaparece. Queda, pues, la integral, que ‘debe ser igual
a cero para cualquier valor de 63. Esto sólo es posible en el caso
en que la subintegral se anule idénticamente. De esta forma ob-
tenemos la ecuación

4a Ay

dx a

Si el sistema posce varios grados de libertad, las s funciones
diferentes gut) del principio de minima acción deberán variar
independientemente. Es evidente que en este caso obtendremos s
ecuaciones de la forma

4 &
D m0 6002 이와 26)

Estas son las ecuaciones diferenciales buscadas, que en mecánica
reciben el nombre de ecuaciones de Lagrange”. Si se conoce la fun.
ción de Lagrange de un sistema mecánico dado, las ecuaciones (2.6)
establecen la relación entre las aceleraciones, las velocidades
y las coordenadas, es decir, son las ecuaciones del movimiento del
sistema, Desde el punto de vista matemático las ecuaciones (2,6)
forman un sistema de s ecuaciones de segundo orden para 5 funci
nes incógnitas g(9. La solución general de este sistema tiene 25
constantes arbitrarias. Para determinar estas constantes y, por
consiguiente, para definir por completo el movimiento del sistema
mecánico es preciso conocer las condiciones iniciales que caracte:
rizan el estado de- dicho sistema en un instante determinado, por
ejemplo, los valores iniciales de todas les coordenadas y veloci
dades.

Supongamos que un sistema mecánico consta de dos partes
A y B, las cuales, de ser cerradas, tendrían respectivamente por

い En el chlculo de varlaciones, que estudla el problema formal dela deter:
minación de los extremos de as integrates el tipo (2, 1), estas ecuaciones dile.
Feneiales se llaman ecuaciones de Euler

17. $ 2. Principio de minima acción 15

función de Lagrange las funciones Ly y La. En este caso, si las
parles se separan tanto que la interacción entre ellas se puede
despreciar, la función lagrangiana de todo el sistema tenderá al
limite

mL=Lyt bn en

Esta propiedad aditiva de la función de Lagrange expresa de por
si el hecho de que las ecuaciones del movimiento de.cada-una de las
partes que no interaccionan no pueden contener magnitudes rela-
cionadas con las otras partes del sistema

Es evidente que el producto de la función de Lagrange de un
sistema mecánico por una constante arbitraria no influye de: por
sí en las ecuaciones del movimiento. De esto se. podria ¡deducir
al parecer, una indeterminación importante: las funciones de La
grange de distintos sistemas mecánicos aislados podrían ser mu
fiplicadas por constantes diferentes cualesquiera. Pero la propiedad
aditiva elimina esta indeterminación, permitiendo únicamente la
multiplicación simultánea de las funciones lagrangianas de todos
Jos sistemas por una misma constante, lo gie se reduce simplemente
a la libertad natural de elegir la unidad de medición de esta mag-
nitud fisica; pero de esto volveremos a tratar en el § 4.

Debemos hacer también la advertencia general “siguiente:
si consideramos dos funciones L*(g, à, 0 > Lig, à, que se dife-
rencien entre si en la derivada total respecto al tiempo de cual-
quiera de las funciones de las coordenadas y del tiempo f(q. 0,
tendremos:

LU à = LG à OF FFG の es

las integrales (2,1) calculadas por medio de estas dos funciones
estarán ligadas entre sí por la correlación

Ss Susa de na=| Lig. 4 Odt+

+f tat S41 (a, W100, 4),

es decir, se diferenelarän entre sí por un término suplementario
que desiparecerá al variar la alé, de manera que la condición

'=0 coincidirá con la 8S=0, y la forma de las ecuaciones del
movimiento permanecerá invariable. Por lo tanto, Is función de
Lagrange queda determinada únicamente con la exactitud de hasta
su aumento en la derivada total de una función cualquiera de las
coordenadas y del tiempo.

18. 16 Capitulo I. Ecuaciones del movimiento

$3. PRINCIPIO DE LA RELATIVIDAD
DE GALILEO

Para describir los procesos que se producen en la naturaleza
hay que elegir un sistema de referencia. Se entiende por sistema de
referencia un sistema de coordenadas, que sirve para indicar la
posición de las partículas en el espacio, junto con un reloj, adscrilo
a dicho sistema, que sirve para indicar el tiempo.

En los distintos sistemas de referencia las leyes naturales,
incluidas las del movimiento, tienen, en general, formas diversas.
Si se toma un sistema de relerencia cualquiera puede ocurrir que
hasta las leyes de los fenómenos más simples tomen en él formas
complicadas. Por esto se plantea el problema de elegir un sistema
de referencia en el cual las leyes naturales tomen su forma más
simple.

La forma més sencilla de movimiento es la del cuerpo libre,
es decir, del cuerpo que no experimenta ninguna acción exterior
Existen sistemas de referencia en los cuales el movimiento libre
se realiza con velocidad constante en magnitud y dirección. Estos
sistemas de referencia se llaman inerciales, y la afirmación de su
existencia constituye la esencia de la ley de la inercia

La propiedad inercial se puede enunciar también como la con-
firmacien de la homogeneidad y de la isotropia del espacio y de la
uniformidad del tiempo con respecto a un sistema de referencia
de este tipo, La unilormidad del espacio y del tiempo significa
que todas las posiciones de una particula libre en el espacio, en
todos los instantes de tiempo son equivalentes, y la isolropia del
espacio, que son equivalentes las distintas direcciones en el mismo.
La invariabilidad del carácter del movimiento libre de la particula
en cualquier dirección del espacio es una consecuencia evidente
de estas propiedades.

Si dos sistemas de referencia se mueven rectilinea y uniforme-
mente el uno con respecto al olro y uno de ellos es inercial, es
evidente que el otro también lo sera: cualquier movimiento libre
se realizará en este sistema con velocidad constante. De esta forma,
existen tantos sistemas inerciales de referencia como se desee,
que se miuevan con velocidades constantes el uno con respecto al
otro,

‘No obstante, resulta que distintos sistemas inerciales de refe:
rencia son equivalentes no sólo con relación à las propiedades del

premia demuesre que = cumple el
principio de la rela De acuerdo con este principio todas
fas leyes de la naturaleza son iguales en todos los sistemas iner-
ciales de referencia, En otras palabras, las ecuaciones que expresar
lis leyes naturales son invariantes respecto & la transformación
de las coordenadas y del tiempo de un sistema inercial a otro.

19. § 4, Función de Lagrange de una particule libre 17

Esto quiere decir, que las ecuaciones de las leyes de la naturaleza,
al ser expresadas por medio de coordenadas y de tiempo en siste
mas, inerciales distintos, no cambian de forma.

Junto al principio de la relatividad, en la base misma del
concepto de mecánica clásica (o newtoniana) Y, se halla la hipd-
tesis del tiempo absoluto, es decir, de que el tiempo transcurre
igualmente en todos los sistemas inerciales de referencia. La-uni-
ficación de esta hipótesis con el principio de la relatividad se
conoce con el nombre de principio de la relatividad de Galileo.

Las coordenadas r y 『 de un mismo punto en dos sistemas
inerciales de referencia distintos K y X”, de los cuales el segundo
se mueve con la velocidad V respecto al primero, están ligadas
entre sí por la correlación

rer + Ve 60
donde el tiempo es igual en ambos sistemas, es decir,
tat 62

Derivando con respecto al tiempo los dos miembros de la igual-
das (81) se obtiene la ley de la suma de velocidades en su forma
abitual

v=v+V. 3,3)

Las fórmulas (3,1—3,2) se conocen con el nombre de transfor-
mación de Galileo. El principio de la relatividad de Galileo requiere
la invariancia de las leyes de la naturaleza respecto a esta trans-
formación.

De todo lo expuesto se deduce con suficiente claridad que los
sistemas inerciales de referencia poseen unas propiedades extra-
ordinarias, en virtud de las cuales son estos sistemas precisamente
los que, por regla general, se emplean para el estudio de los fend-
menos mecánicos. En adelante, siempre que no se diga lo contra:
rio, se entenderá que el sistema de referencia que se loma es de
este tipo.

La completa equivalencia física de todos los sistemas iner-
ciales de referencia demuestra al mismo tiempo que no existe
Ningún sistema “absoluto” que pueda preferirse a los demás.

$4. FUNCION DE LAGRANGE DE UNA
PARTICULA LIBRE
Al pasar a determinar la forma de la función de Lagrange,
empezaremos por el caso más sencillo, es decir, por el del movi:

기 Para ifeeneiarla de 10 mecánico rloiista ( einstenian), de 12 que
hablaremos en los capítulos Vill y 1X. dé dl y

20. 18 Capitulo 1. Bev

us del movimiento

miento libre de una partícula (respecto a un sistema inercial de
referencia). .

‘Como el espacio y el tiempo son uniformes, la función de La-
grange de una partícula libre no puede depender explícitamente
mi del radio vector de la partícula ni del tempo 6 65 deci, し 연
función exclusiva de la velocidad v. Pero en virtud de la isofropia
del espacio la función lagrangiana tampoco puede depender de la
dirección del vector v, de manera que únicamente es función de su
valor absoluto, es decir, de v”-

LoL).

La forma unívoca de esta función la define el principio de la
relatividad de Galileo. De acuerdo con este principio la función
(の) deberá tener la misma forma en todos los sistemas inerciales
de referencia. Por otra parte, al pasar de un sistema de referencia
a otro, la velocidad de la partícula se transforma según (3,3). de
manera que 上 (oj pasa a ser L{(v +V)*], Por consiguiente, es ne-
cesario que, si esta última expresión es diferente de L(o”), se dife-
rencie de ella únicamente en la derivada total de la función de las
coordenadas y del tiempo, puesto que, como indicamos al final
del $2, esta derivada puede omitirse siempre.

Esta condición puede ser cumplida únicamente por una función
que tenga la forma

Lan,

En este caso, al hacer la transformación v=

74V, tenemos:
L(0)=a%=a (Y + Vie av + av V + apr,

o, teniendo en cuenta que v' = dr'/dl,
Le =L(0)+ Gar V.

El, término sobrante que aquí aparece resulta ser, en efecto, la
derivada total y, por lo tanto, puede ser omitido.

La constante a se designa. generalmente por m/2, con lo que
en definitiva la función de Lagrange del punto material con movi-
miento libre se puede escribir de la. forma

1-9. 60

La magnitud m se Mana masa del punto material. En virtud de
la propiedad aditiva de la función de Lagrange, para los sistemas

21. § 5. Fonción de Lagrange de una porticulá tibre 19

de puntos que no interaccionan, tenemos que”
LD rg, (4.2)

Deere remarcar que la definición, de masa que hemos dado
adquiere sentido real únicamente cuando se fiene.en,cuenta esta
propiedad. Como ya dijimos en el $2, la función de Lagrange se
puede multiplicar siempre por cualquier constante...lo.que no in
fluye en las ecuaciones del movimiento. Para. la función. (4,2)
esla multiplicación se,reduce a variar las, unidades, de. medición
de la masa; pero, las, relaciones entre las mases de Jas distintas
particulas, que es lo único que tiene sentido físico real, permane-
cen invariables al hacer esta Transformación. Ñ

Se ve fácilmente que la masa no puede ser negativa. En electo,
de acuerdo con el principio de mínima acción, para el caso del
movimiento real de una partícula desde el punto 1 del esp
hasta el 2, la integral

sa

tiene un mínimo. Pero si la masa fuera negativa, tendríamos que
para la trayectoria que sigue la particula, alejándose primero
rápidamente del punto 1 y acercándose después rápidamente al
punto 2, la integral de acción tomaría valores negativos que po-
drian ser lan grandes como se quisiera en valor absoluto, es decir,
no podría tener un mínimo.

Conviene advertir que

a\

Pa (5) = $ (4,5)
Por esto, para plantear la función de Lagrange basta hallar el cua-
drado de la longitud del elemento de arco dí en el sistema de coorde-
nadas correspondiente.

En unsistema de coordenadas cartesianas, por ejemplo, dlt=dx*-+-
十 网 十 和 y, por lo tanto,

Leg (++: (4,4)

En uno de coordenadas cilíndricas dl? = dr + r° dy 4 det, de donde

Les +ng +2) (45)

"> Como subindices indicadores del número de la partícula utilizaremes las
primeras letras del affabeto latino, y como subindices de Numeración de las
coordenadas, los leas 1, 시 시 we

22. 20 Capitulo 1. Ecuaciones del movimiento

Y en uno de coordenadas esféricas dl = dr’ + rid 0* +r? sent 6 dg y
46)

BPE PE 4 sent 8

$5. FUNCION DE LAGRANGE DE UN SISTEMA
DE PARTICULAS

Consideremos ahora un sistema de particulas que interaccionan,
pero que están aislades de todo cuerpo exterior: un sistema asi
recibe el nombre de sistema cerrado. La acción mutua entre las
articulas se puede definir añadiendo a la función de Lagrange de
ES puntos materiales que no interaccionan (4,2) una unción de-
terminada de las coordenadas (dependiente del carácter de la
interacción) Y. Llamando 一 a esta función, podemos escribir:

DE un) 60

{fa es el radio vector del punto a-ésimo). Esta es la forma general
de la función lagrangiana de un sistema cerrado.
La suma

"228

se llama energia cinética, y la función U, energía potencial del
sistema; el sentido de estas denominaciones será explicado en el $ 6.
El hecho de que la energía potencial dependa únicamente de
Las posiciones que ocupan todos los puntos materiales en un mismo
instante determina el que cualquier variación de la posición de
uno de ellos influya inmediatamente en todos los demás; puede
decirse que las interacciones se “propagan”. instantáneamente.
En la mecähica clásica este carácter de las interacciones es inevi-
table y se deduce directamente de sus postulados fundamentales,
ds dei de la sposition de que el tiempo es absolute y del prin
‘de la: relatividad de Galileo. Si 1a interacción se propagara

de forma no instantánea, es decir, con velocidad finita, esta velo-
ridad sería diferente en distintos sistemas de referencia (que se
movieran el uno respecto al otro), puesto que del concepto de tiem-
po absoluto se deduce automáticamente que 10 rela habia! de
la suma de velocidades es aplicable 0 todos los fenómenos. Pero
en este caso las leyes del movimiento de los cuerpos que interac:
で lonan entre sf serían distintas en diferentes sistemas (inerciales)

Esto se relire inicimente 2 la mecánica clásica.

23. § 5. Función de Lagrange de un sistema de partículas 21

de referencia, lo que estaría en contradicción con el principio de
la relatividad.

En el $ 3 hablamos de la unilormidad del tiempo. Pero la jorma-
(5.1) de la función de Lagrange demuestra que, en mecánica, el:
tiempo no sólo es uniforme, sino también isótropo, es que
sus propiedades son iguales en los dos sentidos. En’electo, al sus.
tituir £ por —{ (inversión del tiempo) la función de Lagrange y,
por consiguiente, las ecuaciones del movimiento permanecen
lables. En otras palabras, si en un sistema es posible un movi-
miento cualquiera, también será posible cl movimiénto inverso,
es decir, aquel durante el cual el sistema vuelve à pasar por- ios.
mismos estados en orden inverso. En este sentido, todo movimiento,
que se efectúe según las leyes de la mecánica clásica strá re-
versible.

Conociendo ia función de Lagrange podernos plantear las ecua-
ciones del movimiento »

aa a
Hong ore (5.2)
Poniendo aqui los valores de (5,1), oblenemos que
tee ow
mg. 63)

Las ecuaciones del movimiento que tienen esta forma se llaman
ecuaciones de Newton y constituyen la base de la mecánica del
sistema de partículas que interaccionan entre si, El vector

A 64

que figura en el segundo miembro de la ecuación (5,3) es la fuersa
que actúa sobre la partícula a-Ésima (es decir, cuyo Número de
arden es a). Lo mismo que U, esta fuerza depende solamente de las
coordenadas de todas las partículas, pero no de sus velocidades.
Por esto, la ecuación (6,3) demuestra que los vectores aceleraci
de las particulas son también funciones de las coordenadas ús
camente,

La energía potencial es una magnitud que se puede determinar
únicamente con la exactitud de hasta una constante aditiva arbi-
iraria; esta constante aditiva no deberá cambiar la ecuación del
movimiento (caso particular de la no uniformidad de la función
de Lagrange que se indica al final del $2). El procedimiento más
natural y Corriente de elegir esta constante consiste en hacer que
Ja energía potencial tienda a cero al aumentar la distancia entre
Jas partículas.

# Se entiende por derivada de una magnitud escalar respecto 2 un vector,
etro vector cuyas componentes son iguales 3 la derivada de dicha megnilud res
pecto a las correspondientes componentes del vector.

24. ze Capitulo 1. Eeuscionts del movimiento

Si para definir el movimiento no se utilizan las coordenadas
cartesianas de los puntos, sino unas coordenadas genesalizadas
arbitrarias g;, para obtener la función de Lagrange hay que reali»
zar la translormación correspondiente
u;

Le du EN DEL
Poniendo estas expresiones en la función

Le Lait 4,
obtenemos la función de Lagrange buscada, que tendrá la forma

OS 65

a

siendo aj, una función de las coordenadas solamente. La energía
cinética en coordenadas generalizadas sigue siendo una función
cuadrática de las velocidades, pero también puede depender de
les coordenadas.

Hasta ahora hemos hablado solamente de sistemas cerrados.
Veamos lo que ocurre en un sistema 4 no cerrado que interacciona
con otro sistema 8 que realiza un movimiento dado. En este caso
se dice que el sistema A se mueve en un campo exterior dado (crea-
do por 8). Como las ecuaciones del movimiento se deducen del
principio de mínima acción por variación independiente de cada
uns de las coordenadas (es decir, como si se consideraran conocidas
165 demás), para hallar la función de Lagrange L del sistema A
podemos utilizar la lagrangiana L de todo el sistema A+B susti
endo en ella las coordenadas 06 por las funciones del tmpo

as.

Suponiendo que el sistema A+ es cerrado, tendremos:

LT (ar da) + Taler U (ar Gn)

donde los dos primeros términos expresan la energía cinética de los
sistemas A y B, y el lercer término la energía potencial común.
Poniendo en lugar de q las lunciones del tiempo dadas y omitiendo
el término :7(ga(9..9a(9), que depende Gnicamente del tiempo
y que; por lo tanto, es la derivada total de otra función del tiem.
Po), obtenemos:

Lam Tada da) U (a, 99 0).
De esta forma, el movimiento de un sistema en un campo ex-
terior se define por una función de Lagrange de lipo ordinario,

con la única diferencia de que ahora la energía potencial puede
depender explicitamente del tiempo,

25. $ 5: Función de Lagrange de un sistema de partículas 23

Así, para el movimiento de una partícula en un campo exterior
la forma general de la función de Lagrange será

と = 党 一 Ve の (6,6)
y la ecuación del movimiento
m=—E 67)

Cuando en todos los puntos de un campo la fuerza F que actúa
sobre las partículas es la misma, se dice que este campo es nr
forme, En este caso la energía potencial será, evidentemence

U=—Fr. (5,8)

Antes de terminar éste párrafo creémos conveniente hacer la

nie observación sobre la forma de aplicar la ecuación de
Lagrange en la resolución de algunos problemas concretos. Fre-
cuentemente nos encontramos con sistemas mecánicos en los cuales
la interacción entre los cuerpos (puntos materiales) tiene, como
suele decirse, carácter de enlaces; es decir, de limitaciones estable-
cidas en las posiciones mutuas de dichos cuerpos. Estos enlaces se
realizan en la práctica sujetando los cuerpos entre sí por medio de
varillas, hilos, charnelas, etc. La circunstancia antedicha aporta
un nuevo factor al movimiento. Este factor consiste en que el
movimiento de los cuerpos va acompañado de rozamiento en sus
puntos de contacto, como resultado de lo cual el problema se sale,
hablando en general, de los límites de la mecánica pura (véase
el $20). No obstante, en muchos casos el rozamiento que se pro-
duce en el sistema es tan débil, que la influencia que ejerce sobre
el movimiento se puede despreciar por completo. Si se puede des-
preciar además la masa de los “elementos de enlace”, el papel de
estos últimos se reduce simplemente a disminuir el número de
grados de libertad s del sistema (en comparación con 3N). En este
caso, para definir el movimiento del sistema se puede utilizar
también la función de Lagrange bajo la forma (5,5), tomando el
número de coordenadas generalizadas independientes que co-
rresponda al número real de grados de libertad.

nge de los sistemas siguientes, que se encuentran en
el campo uniforme de la gravedad (la aceleración de la gravedad es の)
1. Del péndulo plano doble de la fig. 1.

Solución. Como coordenadas tomamos os ángulos 9, y 9, que forman res-
pectivamente loo llos Y y le con 보 verlief. Eon: Ja el punto ms (ee

26. 24 Capitulo 1. Ecuaciones del movimiento

demos que
Ten Ln y Um mati Qu.

Para hallar ia energía cinética del segundo punto expresaremos sus coordenadas
cartesianas 자, 8. (lomando como origen de las mismas el punto de suspensión
y como dirección del eje yla vertical hacía abajo)por medio de los ángulos $, y 9:

xl, sen tle sen pa € gal, £05 qu 605 Qe
Hecho esto obtenemos

가 = BG B= DAS + Pa cos (py

Y, en definitive,

Le EM ote FRE NUT
+ (mm heu gi + mal and
4

1

も

h
1
1
i

Fig 上

Fig. 2

2. De un péndulo ploro cuyo punto de suspensión ls veticalmante
de agierdo copla ley a cos yO ig 3)

Solución. Los coordeneday del unto m srta:

me © galos p tacos.

Y la función de Lagrange

mal cs yt cos gg cos q.

En este caso se omilen Les términos que dependen únicamente del tiempo y se
excluye In derivada total respect al empo de oe >

27. CAPITULO II

LEYES
DE CONSERVACION

$6. ENERGIA

Cuando un sistema mecánico se mueve, las 2s magnitudes q;
y di =I, 2, ..... 와 que determinan su estado varían con el tiem-
po. No obstante, existen ciertas funciones de estas magnitudes que
conservan constante su valor durante el movimiento y que dependen
únicamente de las condiciones iniciales. Estas funciones se llaman
integrales del movimiento

1 número de integrales del movimiento independientes que
puede tener un sistema mecánico cerrado de grados de libertad
es igual a 25—1. Esto se deduce evidentemente de los razonamientos
simples siguientes. La solución general de las ecuaciones del mo-
vimiento contiene 2s constantes arbitrarias (véase la pág. 14)
Pero como en las ecuaciones del movimiento de un sistema cerrado
no figura explícitamente el tiempo, la elección del origen de refe-
rencia del tiempo es completamente arbitraria y, al resolver las
ecuaciones, una de las constantes arbitrarias se puede tomar siem-
pre en forma de constante aditiva 4, del tiempo. Eliminando t+‘,
de las 2s funciones

UTAH tue Cy Co soo Can)
Gad Aly Cp Cu 의기 가
podemos expresar las 25—1 constantes arbitrarias Cu Cx...» Ca

en forma de funciones de q y 4, que serán las integrales del movi-
miento.

Pero no todas las integrales del movimiento desempeñan un
papel de igual importancia en la mecánica. Entre ellas hay algu-
nas cuya constancia tiene un origen muy profundo, ligado a las
propiedades fundamentales del espacio y del tiempo, es decir,
a su uniformidad e isotropia. Todas estas magnitudes, que, como
suele decirse, son conservativas, tienen una propiedad general muy
importante: la de ser aditivas, es decir, que su valor para un siste-
ma formado por varias partes que no interaccionen entre sí será
igual a la suma de los valores de cada una de dichas partes.

Esta propiedad aditiva confiere a las magnitudes correspon-
dientes un papel importantísimo en la mecánica. Supongamos, por

28. 26 _Copitulo 11. Leyes de conservación

ejemplo, que dos cuerpos interaccionan durante cierto tiempo
solamente. En este caso, como tanto antes como después de la
interacción cada una de las integrales aditivas de todo el sistema
es igual a la suma de los valores correspondientes a ambos cuerpos
por separado, las leyes de la conservación de estas magnitudes dan
inmediatamente la posibilidad de hacer toda una serie de conclu-
siones sobre el estado de dichos cuerpos después de la interacción,
siempre que su estado antes de ésta sea conocido.

'mpecemos por la ley de la conservación que se deduce de la
uniformidad del tiempo.

De acuerdo con esta uniformidad la función de Lagrange de
un sistema cerrado no depende explicitamente del tiempo. Por
esto la derivada total respecto al tiempo de la función lagrangiana
se puede escribir de la forma siguiente:

ALS AL 00

ao Ed
(si L dependiera explicitamente del tiempo al segundo miembro"
de esta igualdad habría que añadirle el término 0L/0f). Susti-

tuyendo las derivadas 06700, por los valores y SE, de acuerdo

con las ecuaciones de Lagrange, se obtiene:
4 aa yal a fal
ae E)
o
4 aL
¿(Es HS)
De donde puede verse que la magnitud
-也 LEE À (6,1)

CA

permanece constante mientras se mueve el sistema cerrado, o sea,
que es una de las integrales del movimiento. Esta magnitud se
loma energía del sistema. La adilividad de la energia se deduce
«directamente de la aditividad de la función de Lagrange, por medio
de la cual Se expresa según (6,1) de forma. lineal.

La ley de la conservación de la energía es válida no sólo para
Jos sistemas cerrados, sino también para los sistemas que se encuen-
{ran en un campo exterior constante (es decir, que no depende
del tiempo): en efecto, la única propiedad de la función de Lagran-

6 que hemos utilizado en los razonamientos expuestos, es decir,
la falta de dependencia explícita del tiempo, también se observa
en este caso. Los sistemas mecánicos cuya energia se conserva se
Haman a veces sistemas conservativos.

29. 57 Impulsión 27

Como vimos en el $5, la función de Lagrange de un sistema
cerrado (o que se encuentra en un campo constante) tiene la forma

L=T(. YU.
donde T es función cuadrática de las velocidades. Aplicéndole el
conocido teorema de Euler para las funciones homogéneas, obte-
nemos:

Lil Di?

Poniendo este valor en (6,1), hallamos:

E=T (9. DHU (x (6.2)
y en coordenadas cartesianas

ES DAB tue te 63)

De esta manera, la energia del sistema se puede representar
en forma de suma de dos términos esencialmente diferentes: la
energía cinética, que depende de las velocidades, y la energía
potencial, que sólo depende de las coordenadas de las partículas.

$7. IMPULSION

Otra ley de la conservación se debe a la uniformidad del espacio.

En virlud de esta uniformidad las propiedades mecánicas de
un sistema cerrado no varian si dicho sistema, en conjunto, expe-
rimenta cualquier desplazamiento paralelo en el espacio. De acuer
do con esto, consideremos un desplazamiento infinitesimal 6
imponiendo la condición de que la función de Lagrange permanezca
invariable.

Un desplazamiento paralelo es una transformación en la cual
todos los purtos del sistema se desplazan en un mismo segmento,
es decir, que sus radios vectores rer, de. La variación de la fun-
ción L correspondiente a una Variación infinitamente pequeña
de las coordenadas cuando las velocidades de las partículas perm:
necen invariables, es

Eon

donde la suma se realiza por todos los puntos materiales del sis-
tema, Como e es una magnitud arbitraria, la condición 6 し =0

aL
qe

30. 28 Capítulo 11. Leyes de conser

equivale a
at,
ba Ge

an

De donde, en virtud de la ecuación de Lagrange (5,2), obtenemos:
SA
Lama

De esta forma llegamos a la conclusión de que en un sistema
mecánico cerrado la magnitud vectorial

3 0.

permanece invariable durante el movimiento. Este vector P se
lama impulsión ' del sistema. Derivando la función de Lagrange
(5,1) hallamos, que la impulsión se expresa en función de las velo
cidades de los puntos de la forma siguiente:

PE mo. 00

La aditividad de la impulsión es evidente. Es más, a diferen-
cia de la energía, la impulsión del sistema es igual a la suma
de las impulsiones

Pen me
de las distintas partículas, independientemente de que sea posible
despreciar o no la interacción entre las mismas.

La ley de la conservación de las tres componentes del vector
impulsión se cumple solamente en ausencia de campo exterior.
Sin embargo, algunas de estas componentes pueden conservarse en.
presencia de un campo, si la energía potencial no depende en él
de cualquiera de las coordenadas cartesianas. En este caso, al
trasladarse a lo largo del eje de coordenadas correspondiente, es
evidente que las propiedades mecánicas del sistema no varian,
4 Por ste mismo procedimiento hallamos que la proyección de la
impulsión sobre este eje se conserva. Asi, por ejemplo, en un campo
uniforme dirigido según el eje z se conservan las componentes de la
impulsión a lo largo de los ejes x e y.

La igualdad de partida (7,1) tiene un sentido físico simple.
La derivada OL/är,==— OU/ör, es la fuerza F, que actúa sobre la
partícula a-ésima. Por lo tanto, la igualdad (7,1) significa que la
Suma de las fuerzas que actúan sobre todas las particulas del sis
tema cerrado es igual a cero, es decir,

SF.=0 0

기 Rates se llamaba cantidad de movimiento.

31. $ 8. Centro de Inercia 29

En el caso particular de un sistema que conste solamente de dos.
yunlos materiales, F,+F, 0, es decir, la fuerza ejercida sobre
De primera parlícula por parte de la segunda es igual en magnitud,
pero de sentido contrario, a la fuerza que sobre la segunda partie
Eula ejerce la primera. Éste hecho se conoce con el nombre de
principio de la acción y reacción.

Si el movimiento se describe por medio de las coordenadas
generalizadas qh las derivadas de la función de Lagrange respecto
a las velocidades generalizadas

au
ate (3
Lair (7,5)
se llaman impulsiones generalizadas, y las derivadas
a
Fok a.

llaman fuerzas generalizadas. Teniendo en cuenta estas delini-
ciones, la ecuación de Lagrange toma la forma

Pi=Fi an

En las coordenadas cartesianas las impulsiones generalizadas
coinciden con las componentes de los vectores ps. Pero en el caso
general las magnitudes pi son funciones lineales homogéneas de
las velocidades generalizadas q;, que no se reducen ni mucho me-
nos a los productos de la masa por la velocidad.

$6. CENTRO DE INERCIA

La impulsión de un sistema mecánico cerrado tiene valores
diferentes con relación a distintos sistemas (inerciales) de refe-
rencia. Si un sistema de referencia X’ se mueve con respecto a
otro sistema de referencia K con la velocidad V las velocidades
vs. y Va de las partículas con relación a estos sistemas estarán
ilgadas entre sí por la correlación v,=vi+V. Por esto, la rela-
ción entre los valores P y P” de la Impulsiön en estos sistemas
viene dada por la fórmula

P=Emov, =D m,vi+V Zo

o
P=P+V Em. (8.1)

En particular, siempre existe un sistema de referencia K' en el
cual la impulsión total se anula. Suponiendo en (8,1) P'=0, ha-

32. 30 Capitulo 11. Leyes de conservación

llamos que la velocidad de este sistema de referencia será

Si la impulsión total de un sistema mecánico es igual a cero,
se dice que este último está en reposo respecto al sistema de re
ferencia correspondiente. Esta es una generalización completa
mente natural del concepto de reposo de un punto material aislado.
De acuerdo con esto, la velocidad V, que da la fórmula (8,2), ad-
quiere el sentido de velocidad del “movimiento conjunto” de un
sistema mecánico cuya impulsión es distinta de cero. De esla forma
vemos, que-la ley de la conservación de la impulsión permite enun-
ciar de forme natural los conceptos de reposo y velocidad de un
sistema mecánico como un todo único.

La fórmula (8,2) muestra que la relación que existe entre la
impulsión P y ta velocidad V de un sistema en conjunto es la misma
que la que existiría entre la impulsión y la velocidad de un punto
material cuya masa w=Zm, fuera igual a la suma de las masas
de todas las particulas del Sistema. Este hecho se puede conside-
rar como la confirmación de la aditividad de la masa.

El segundo miembro de la fórmula (8,2) se puede representar
como la derivada total respecto al tiempo de la expresión

RR.

Puede decitse que la velocidad del sistema en conjunto es la velo-
cidad de traslación en el espacio de un punto cuyo radio vector
viene dado por la fórmula (8,3). Este punto se llama centro de
inercia del sistema

La ley de la conservación de la impulsión de un sistema cerrado
se puede enunciar como la confirmación de que su centro de iner
cia se desplaza con movimiento rectilineo y uniforme. De esta
forma, ésta es-una generalización de la ley de la inercia, que enun-
ciamos en et $3 pará el caso de un punto material libre cuyo “centro
de inercia” coincide con él mismo.

Cuando se estudian las propiedades mecánicas de un sistema
cerrado, lo natural es utilizar como sistema de referencia aquel
en que su centro de inercia se encuentra en reposo. De esta forma
se excluye el movimiento rectilineo y uniforme dl sistema en con-
junto.

La energía en reposo de un sistema mecánico en conjunto se
suele llamas energía interno Ej del sistema. Esta energía está
constituida por la energía cinélica del movimiento relativo de las
partículas dentro del sistema y por la energía potencial de la in-
teracción entre las mismas. La energie total de un sistema que sc

63)

33. $9. Momento de impulsión 31

mueve, en conjunto, con la velocidad V se puede expresar de la
forma

yn

Lt iw CO)
Aunque esta fórmula es de por si bastante evidente, daremos su
deducción directa. La relación que existe entre las energías E

y E del sistema mecánico en los dos sistemas de referencia K y K
es la siguientes.

ELE matt Um (vt VIH Us

LE + VE mv +

o
Ene sve + 5)

Esta fórmula define la ley de la transformación de la energía al
pasar de un sistema de referencia 2 otto, de forma semejante a
como, para la impulsión sta ley venía expresa pr la fórmula
(8,1). Si en el sistema K” el centro de inercia está en reposo, P
E’=Eig y volvemos a la fórmula (8,4)

$9. MOMENTO DE IMPULSION »

Pasemos ahora a deducir la ley de conservación debida a la
isotropia del espacio.

Esta isolropía significa que las propiedades mecánicas de un
sistema cerrado no varian si dicho sistema en conjunto experi
menla un giro cualquiera en el espacio. De acuerdo con esto, con-
sideremos un giro infinitesimal del sistema y pongamos la con
diciôn de que su función de Lagrange no varie al ocurrir esto.

Tomemos un vector 6@ de rotación infinitamente pequeña
cuya magnitud absoluta sea igual al ángulo de giro Sp y cuya
dirección coincida con la del eje de rotación (de forma que la di-
tección de giro corresponda a la regla del tornillo con relación
a la dirección de 69).

Hallemos en primer lugar a qué es igual durante este giro el
incremento del radio vector trazado desde el origen común de
ecordenadas (situado en el eje de rotación) hasta cualquiera de los

Feres si comeniene coser au min Moment de im,
sión". al que los autors dan preferencia, sungue en Le Itealura española es
nis recuento d de "momento cineca". (Wael 7)

34. 32 Capítulo 11. Leyes de conservación

puntos materiales del sistema que se hace girar. El despiazamien
lo lineal. del extremo del radio vector va ligado al ángulo por

1a relación
TE
(lig. 3). Pero la dirección del vector 6r es perpendicular al plano
que pasa por r y 6g. Por lo tanto, está claro que
or= foo). en
Al girar el sistema varia no sólo la dirección de los radios vectores,
ino también la. de las velocidades de todas las
ie particulas, con la peculiaridad de que todos los
dp, Vectores Se transforman según una misma ley.
ャ テー Por esto, el incremento de la velocidad respecto
al sistema de coordenadas inmóvil es
Sv=(8p-v) 0.2)
Poniendo esta expresión en la condición de

invariancia de la función de Lagrange para la rotación

se

y sustituyendo las derivadas OL/0v,=P, y AL/ar, =, oblenemos:
lyrlre (sex) =0

Finalmente, haciendo la permutación ciclica de los factores y
sacando fuera del signo suma 60, hallamos que

해 À rade 1+ 000) = 505 Y tropa =0.
Y como Se es arbitraria, se deduce que
FE fro) =

es decir, Negamos a la conclusión de que durante el movimiento
del sistema cerrado se conserva la magnitud vectorial

= 了 rp, 03)

que se llama momento de impulsión 10 simplemente momento) del

35. $9. Momento de impulsión 38

sistema! La aditividad de esta magnitud es evidente, con la par-
ticularidad de que, lo mismo que la impulsión, no depende de que
exista o no interacción enlre las partículas.

Con esto se agotan las integrales aditivas del movimiento. Por
lo tanto, todo sistema cerrado tiene en tolal siete integrales de este
género, a saber: la energía, las tres componentes del vector impul-
sión y las tres componentes del vector momento.

Como en la definición del momento entran. los radios vectores
de las particulas, su valor, en general, depende del origen de coor-
denadas que se elija, Entre los radios vectores-r, y ra de un mismo,
punto, con respecto a dos origenes de coordenadas que se encuén-

Iren entre si a la distancia a, existirá la relación t,-sr,-+a. Por
consiguiente

の BED

Mam + lap) @9

De sta fórmula se deduce que ünicamente hay un caso en el cual
el momento no depende del origen de coordenadas que se elija:
cuando el sistema en conjunto está en reposo (es decir, cuando
P-.0). Esta indeterminación de su valor no influye, claro está,
en la ley de la conservación del momento, puesto que todo sistema
cerrado también conserva la impuisión

Pasemos a deducir la fórmula que relaciona entre si los valores
del momento de impulsión en dos sistemas inerciales de referencia
distintos K y K’, el segundo de los cuales se mueve sespecto al
primero con la velocidad V. Supongamos que los orígenes de coor-
denadas de los sistemas K y K’ coinciden en un instante dado.
Entonces, los radios vectores de las partículas en ambos sistemas
serán iguales, pero entre las velocidades existirá la relación
Va Ver V. Por esto lendremos que

M= Zim [rave] = Bon, (reve) + Bite [FeV].

La primera suma del segundo miembro de esta igualdad es el 피다
mento M en el sistema KC; introduciendo en la segunda suma el
radio vector del centro de inercia, de acuerdo con (8,3), obtenemo::

MoM'-+p [RV]. (8,5)

Esta formula define la ley de la transormación del momento de
impulsión al pasar de un sistema de referencia a otto, de forma
semejante a como las fórmulas (8,1) y (8,5) daban las leyes corres-
pondientes para la impulsión y la energía.

También se suele llamar momento ungular. momento de la contidad de
‘mucimiento, memento cindfie, moment din. ele

36. 34 Capitulo 11. Leyes de comervación

Si el sistema de referencia K’ es aquel en el cual se encuentra
‘en reposo el sistema mecánico dado en conjunto, tendremos que V
es la velocidad del centro de inercia de este último, y HV será su
impulsión total P (respecto a K). Entonces

M=M'+(RP] en

En olras palabras, el momento de impulsión M de un sistema
mecánico se compone de su “momento propio”, con relación al
sistema de referencia en que se encuentra en reposo, y del momento
[RP}, ligado a su movimiento conjunto.

, Aunque la ley de la conservación de las tres componentes del
momento (respecto a un origen de coordenadas arbitrario) sola-
mente se cumple cuando el sistema es cerrado, de una forma más
limitada también se puede cumplir esta ley cuando se trata de
sistemas que se encuentran en un campo exterior. La deducción
que hemos hecho anteriormente evidencia que la proyección del
momento se conserva siempre sobre el eje con respecto al cual
es simétrico el campo dado; por esto las propledades mecánicas
del sistema no varian cuando éste experimenta un giro cualquiera
alrededor de dicho eje; está claro que, en este caso, el momento
debe determinarse con relación a un punto cualquiera (origen de
coordenadas) que se encuentre en este mismo eje.

El caso más importante de este género es el de un campo de
simetría central, es decfr, un campo en el cual la energía potencial
depende solamente de la distancia a un punto determinado (centro)
del espacio. Es evidente que cuando el movimiento tiene lugar en
un campo asl, se conserva 10 proyección del momento obre cual
quier eje que pase por el centro. En otros términos, se conserva
todo el vector M del momento, pero determinado no respecto
a un punto cualquiera del espacio, sino con relación al centro del
cam,

ro ejemplo: en un campo uniforme a lo largo del eje z, en el
cual se conserva la proyección M, del momento, el origen de coor-
denadas se puede elegir de forma arbitraria.

La proyección del momento sobre cualquier je (lamémosio 2)
se puede hallar derivando la función de Lagrange según la fórmula

DER en

donde la coordenada q es el ángulo de giro alrededor del eje 2.
Esto se comprende claramente por el carácter que tiene la deduc-
ción expuesta anteriormente de la ley de la conservación del mo
mento, pero también es fácil convencerse de lo mismo por medio
del cálculo directo. En coordenadas cilíndricas r, 9, z (poniendo

M

37. $9, Momento de impulsión 95

Kur, COSY, € 如 一 re sen qa), tenemos:
세 = Ems (rato v)= Em (9.8)

Por otra parte, la función de Lagrange, expresada en estas varia-
bles, tiene la forma

bag Em (a+ ri+ à) 0

Ye

y su sustitución en la fórmula (9,7) conduce a la expresión (9,8).

Problema.

¿Qué componentes de a impulsión P y del momento M ae conservon cusndo
ane Vs Tage en on pod aguante?
+) De un pleno uniforme infinito.
Respuesta: Py. Py, My (ei plano infinito es el 2)
b) De un cilindro tniierme 3000.
Respuesta: M.
의 De un prima uslforme infinite,
Respuese: Py (os aisas del prisma son paralelas aleje D.
6) De dos puntos,
Respuestas M, os puntos se encuentran en el je 小
+) De un semiplano unirme ‘infin.
Respuesta: Py (의 semiplano imto es la parle del plano xy limitada
por el eje y):
1) De un cono uniferme
Respuesta: My (el je del cono es et).

38. CAPITULO III

INTEGRACION

DE LAS ECUACIONES
DEL MOVIMIENTO

$ 10. MOVIMIENTO LINEAL

Se llama lineal el movimiento de un sistema que tiene un solo
grado de libertad. La forma más general de la función lagrangiana
de un sistema de este tipo que se encuentra en condiciones exte-
riores constantes es

Leto ug. (10,1)

donde a(q) es una función de la coordenada generalizada q. En
particular, sig es una coordenada cartesiana (llamémosle x),

La tu. (10,2)

Las ecuaciones del movimiento correspondientes a estas fun-
ciones de Lagrange se integran en la forma general. En este caso
no es necesario ni escribir la propia ecuación del movimiento,
puesto que se puede partir directamente de su primera integral,
5 decir, de la ecuacién que expresa la ley de la conservación de la
energía. Así, para la función de Lagrange (10,2), tenemos:

DUE,

Esta es una ecuación diferencial de primer orden que se integra
separando las variables. Tenemos que

£- y Eleva),
de donde

VIE + tons. (10.3)
2) YT

39. § 10, Movimiento finest 37

El papel de las dos constantes arbitrarias de la solución de la
ecuación del movimiento lo desempeñan aqui la energía total E
y la constante de integración (const).

Como la energía cinética es una megnitud esencialmente posi-
tiva, durante el movimiento la energía total es siempre mayor
que la potencial, es decir, el movimiento puede tener lugar ünica-
mente en aquellas regiones del espacio en que W(9<E.

Supongamos, por ejemplo, que la función U(x) iene la forma
representada en la fig. 4. Trazando en esta gráfica una recta hori-
acntal que corresponda al valor dado de la energía total hallamos
inmediatamente las posibles regiones de movimiento. Asi, en el
caso que representa la lg. 4
el movimiento puede tener lugar
únicamente en la región AB oen
la que se encuentra a la derecha
de €.

Fig. 4

Los puntos en Jos cuales la energía potencial es igual a la total,

UM=E, (10,4)

determinan los límites del movimiento. Estos puntos se llaman
“puntos de detención”, porque en ellos la velocidad se hace igual
a cero. Si la región de movimiento está limitada por dos de estos
puntos, el movimiento se produce en una región Jimitada del espa-
cio; se dice entonces que el movimiento es finito. Pero si la región
de movimiento no está limitada o lo eslá solamente por un lado,
el movimiento es infinito y la partícula se aleja hasta el
infinito,

Un movimiento lineal finito es el oscilatorio, en el cual la
partículu efectúa un movimiento que se repite periódicamente entre
dos limites (en la fig, 4, en el pozo de potencial AB entre los puntos
지 y x). En este caso, de acuerdo con la propiedad general de la
reversibilidad (pág. 21). el tiempo que dura el movimiento del
punto desde x, hasta x: es igual al que necesita para volver de
지 a 3. Por esto, el periodo de oscilación T, es decir, el tiempo
que tarda el punto en ir desde x, hasta x, y viceversa, es igual al
doble del tiempo que tarda en recorrer el segmento xx: 0, de

40. 38 Capítulo 111. Integraciôn de las ccuaciones del movimiento

acuerdo con (10,3),
so
元 a
2177 E 10,5
700 Al TETE (10,5)
con la particularidad de que los limites x, y x, son las raíces de la
ecuación (10,4) para el valor dado E. Esta fórmula determina el

periodo del movimiento en funciön de la energia total de la parti
cula.

$11. MASA REDUCIDA

El problema muy importante, del movimiento de un sistema
‘compuesto solamente de dos particulas que interaccionan (problema
de dos cuerpos) admite una solución completa de la forma general.
Como paso preliminar para la solución de este problema mostra-
emos la forma en que se puede simplificar considerablemente des:
componiendo el movimiento del sistema en movimiento de su
centro de inercia y movimiento de sus puntos respecto a este último.
La energia potencial de la interacción entre les dos partículas
depende únicamente de la distancia que hay entre ellas, es decir,
del valor absoluto de la diferencia entre sus radios vectores. Por lo
tanto, la función lagrangiana de un sistema de este tipo será

PRESENT à an

Introduciendo el vector de la distan
entre

que separa los dos puntos

reno

y tomando como origen de coordenadas el centro de inercia, te-
hemos;

mary +m,==0.
De estas dos últimas igualdades se deduce que

(11,2)

a.)

(011,9

41. $ 12: Movimiento en un campo mt 39

ge signa la magnitud m que recibe el nombre de masa reducida

La función (11,8) coincide lormalmente con la de Lagrange: de un
unto material de masa m que se mueve en un campo exterior
(の simétrico con relación a un origen de coordenadas Hijo.

De esta forma, el problema del movimiento. de dos puntos mar
1eriales que interaccionan entre si se reduce a resolver un problema
de movimiento de un punto en-un campo exterior U(r) dado. Por
Ja solución r=r(#. de este: problema, las trayectorias r,=sr,(d)
y rs=r,(9) de cada una de las partículas m, y- my: (con relación a
‘su centro de inercia común) se obtienen separadamente por las
Tórmulas (11,2)

$ 12. MOVIMIENTO EN UN CAMPO CENTRAL

Después de reducir el problema del moviiniento de dos cuerpos
al del movimiento de uno solo, nos planteamos el siguiente: doler.
minar el movimiento de una partícula en un campo exterior en el
cual su energía potencial dependa solamente de su distancia r
hasta un punto inmóvil dado; todo campo de este tipo se llama
central. La fuerza
ETE

DOI
que actúa sobre la partícula, depende, en valor absoluto, exclu-
sivamente de r y en cada punto está dirigida a lo largo del radio
vector.

Como indicamos en el $9, cuando el movimiento tiene lugar
en un campo central, se conserva el momento del sistema respetto
al centro del campo. Para una partícula este momento es

Mo (ro).

Teniendo en cuenta que los vectores M y r son perpendiculares
entre sí, la constancia de M significa que mientras se mueve la
partícula su radio vector permanece todo el tiempo en un mismo
plano, a saber, en el plano perpendicular 3 M

Por lo tanto, la trayectoria del movimiento de una partícula
en un campo central se encuentra totalmente en un plano. Tomando
en él las coordenadas polares r y @ podemos escribir la función
de Lagrange de la forma (compárese con (4,5))

LaF +ry)—U(n. (12,1)
Esta funcién no contiene de forma explicita la coordenada @.

Toda coordenada generalizada q, que, como ésta, no figure expli-
citamente en la función lagrangiana se llama cíclica. De acuerdo

42. 40 Capitulo 111. Integración de las ecuaciones del movimiento

con la ecuación de Lagrange, para esta coordenada, tenemos:

es decir, que la impulsión generalizada p,=2 que le corresponde

a
es una integral del movimiento. Este hecho conduce a una simpli-
ficación considerable del problema de la integración de las ecuacio-
nes del movimiento cuando existen coordenadas cíclicas.

En este caso la impulsión generalizada

Pom mrtg

coincide con el momento M,=M_(véase (9,8)), de manera que
volvemos a encontrarnos con la ley de la conservación del mo-
mento

M= mg = const. (22

Debemos advertir que para el movimiento plano de una par-
ticula en un campo central esta ley permite una interpretación
geométrica simple. La expresión 글 r-rdg representa el área del

sector formado por los dos radios vectores infinitamente próximos
y el elemento de arco de la trayectoria (fig. 5). Llamando df a esta
superficie, podemos escribirla expresión del momento de la parti
cula bajo la forma

M=2mf, (12,3)
donde la derivada f es la llamada velocidad areolar, Por lo tanto,
la conservación del momento significa que la velocidad areolar
es constante, es decir, que en tiempos iguales el radio vector del
punto que se mueve barre áreas iguales (segunda ley de Kepler").

La solución completa del problema del movimiento de una
partícula en un campo central se puede obtener fácilmente partien-
00 de las leyes dela conservación de la energía y del momento,
sin-necesidad de escribir las propias ecuaciones del movimiento.

Expresando @ en función de M, de acuerdo con (12,2), y poniendo
este valor en la expresión de la energía, obtenemos:

En 49) UI = un. (24)
De donde

am (125)

과 La ley de la conservación del momento para uns p

Heute que se mueve
en un campo central se lama a vecs integral de las áreas,

43. $12, Movimiento en un compo central_41

o, separando las variables e integrando,

fi 2 098
ECTS

Escribiendo (12,2) de la forma
to = Meat.

poniendo aquí el valor de dt que da (12,5) e integrando, hallamos:

‘

Las fórmulas (12,6) y (12,7) dan la solución general del proble»
ma planteado, La segunda de estas fórmulas define la relación que
existe entre r y <, es decir, la ecuación
de la trayectoria. La (12,6) determina
de forma implicita la distancia r del
punto en movimiento ai centro, en nlp

u NK

(12,7)

Var

función del tiempo. Hay que remarcar que el ángulo y varía con
el tiempo de forma monótona; por ia fórmula (12,2) se ve clara-
mente que @ no cambia jamás de signo.

La expresión (12,4) muestra que la parte radial del movimiento
se puede considerar como un movimiento lineal en un campo de
energía potencial “eficaz”

Va=U Ot (12,8)

La magnitud M'/2m/* es la energía centrifuga, Los valores de r
para los cuales

vores

Im”
determinan los límites de la región en que se efectúa el movi-
miento por la distancia al centro. Cuando se cumple la igualdad
(12,9), la velocidad radial 7 se anula. Esto no quiere decir que la
partícula se pare (como ocurre en el movimiento lineal verdadero),
puesto que la velocidad angular q no se anula. La igualdad 7=0

Es (12,9)

44. 42 Capítulo 111. Integración de las ecuaciones del movimiento

representa un punto de viraje de la trayectoria en el cual la fun-
ción 7(0 pasa de aumentar a disminuir o viceversa.

Si la región o dominio de la variación posible de r está limitada
solamente por la condición r>rmin, el movimiento de la part
cula será infinito, es decir, su trayectoria vendrá del infinito y se
irá al infinito

Si el dominio de la variación de r tiene dos limites, fmo y
max, el movimiento será finito y la trayectoria estará contenida
totalmente dentro del anillo limitado por las circunferencias

mtx Y = Fmune Esto no significa, sin embargo, que la trayecto:
ria fenga que ser necesariamente una curva cerrada. Durante el
tiempo que tarda r en variar de /mix /min y luego otra vez a
Tris» el radio vector gira un ángulo Ag, que según (12,7), es

(12, 10)

La condición necesaria para que la trayectoria sea cerrada es,
que este ángulo sea igual a una fracción racional de 21, es decir,
que tenga la forma Ap=2nn,/ms, donde n, y ny son números ente
zos. Entonces, al cabo de na repeticiones de este periodo de tiempo
el radio vector del punto, después de dar n, vueltas completas,
tecobrará su valor inicial, es decir, se cerrará la trayectoria.

Pero estos casos son excepcionales, y cuando la forma de U(r)
es arbitraria el ángulo A no es.una fracción racional de 2x. Por

esto, en el caso general la trayec.
toria del movimiento finito no es
cerrada, sino que pasa una can-
lidad innumerable de veces por
las distancias minima y máxima
(como, por ejemplo, en el caso
de la fig. 6) y en un intervalo
infinito de tiempo llena todo el
anillo comprendido entre las dos
circunferencias límites,

Fig 6

Existen únicamente dos tipos de campos centrales en los cuales
todas las trayectorias de los movimientos finitos son cerradas.
Estos son los campos en los que la energía potencial de la parti-

45. $ 13. El problema de Kepler 43

cula es proporcional a 1/r o a rt. El primero de-estos casos se estu.
dia en el párrafo siguiente, y el segundo es el correspondiente al
llamado oscilador espacial (véase el problema 3 del $19).

$13. EL PROBLEMA DE KEPLER

Uno de los casos más importantes de campos centrales es aquel
en el cual la energía potencial es inversamente proporcional a r y,
respectivamente, las Juerzas.son inversamente proporcionales 0 73.
‘A este tipo de campos corresponden: los. campos. de-gravitación
de Newton y los campos electrostáticos de Coulomb, los -primeros,
como sabemos, tienen cardcter de: campos de atracción, mientras
que los segundos pueden ser tanto de atracción como de repulsión.
“Consideremos primeramente un cam-
po de atracción en el cual Yer

リーー キ (13,0)

la constante a es positiva, La grä-
Tica de la energía potencial “eficaz”

Ua (13,2)

Fig. 7

tiene la forma representada en la fig. 7. Cuando r+0 la energía
potencial eficaz tiende a 十 co y cuando r»oo, tiende a cero por
la parte de los valores negativos; si r=M:/am, la energía potencial
eficaz tiene un minimo

Unis En (13,3)

Esta gráfica evidencia, que cuando E>>0 el movimiento de la par
ticula será infinite, y cuando E<0, será finito.

La forma de la trayectoria se deduce en este caso de la fórmula
general (12,7). Suponiendo en dicha fórmula U=—a/r y efectuando
tna integración elemental, obtenemos:

m

7H
= arcos — ーー 11
= arecoi + cons

Eligiendo el origen de los ángulos y de manera que la const

46. ‘4 Capítulo 111. Integración de las ecuaciones del_movimiento

€ introduciendo las designaciones

Eye ya, (13,4)

podemos escribir la fórmula de la trayectoria de la forma
L=l+ecos q. (13,5)

Esta es la ecuación de una sección cónica cuyo foco se encuentra
en el origen de coordenadas; p y e son respectivamente el pará»
metro y la excentricidad de la Órbita. La elección que hemos hecho
del origen de los ángulos @, como se deduce de (13,5), consiste en
que el punto tomado, para el cual 9--0, es el más cercano al centro
(es decir, el perihetio de la órbita).

En el problema equivalente de dos cuerpos que interaccionan
entre si según la ley (13,1), la órbita de cada una de las particu-
las también será una sección cónica, cuyo foco se encontrará en el
centro de inercia común a ambas.

Como puede verse por (13,4), cuando E<0 la excentricidad
el, es decir, la órbita es una elipse (fig. 8) y el movimiento fi-

fo, de acuerdo con lo dicho al prin-
cipio del párrafo. Según las lörmu-
las de la geometría analítica ge:
neralmente conocidas, los semiejes

Fig. 8

mayor y menor de esta elipse son
a A ER
ca pes cp (13,6)
El valor minimo posible de ta energía coincide con (13,3), en cuyo

caso e=0, es decir, la elipse se convierte en una circunferencia.
Debemos advertir que el semieje mayor de la elipse depende ni.

47. $13. El problema de Kepler 45

camente de la energía (y no del momento) de la partícula, Las dis-
tancias, minima y máxima, al centro del campo (9 foco de la etip-
se) serán

Fin de y

(13,7)

Estas expresiones, (en las cuales los valores de a y e se toman res
pectivamente de (13.6)) y (13,4) se podían haber obtenido, como es
natural, directamente, como raíces de la ecuación (ひと

El tiempo que tarda la partícula en recorrer.la Grbila elipti-
ca, es decir, el periodo 7 del movimiento, se puede determinar
fácilmente utilizando la ley de la conservación del momento en su
forma de “integral de las áreas" (12,3). Integrando esta ecuación
con respecto al tiempo, entre los limites de cero a T, obtenemos:

2m/=TM.

donde / es el área de la órbita. Para la elipse
ayuda de las fórmulas (13,6), hallamos:

T=2m y E mao Y Sep us)

Como puede verse, el periodo depende únicamente de la energía
de la particula. En este caso el cuadrado del periodo es proporcio-
nal al cubo de las dimensiones lineales de la órbita (ésta es la
llamada fercera tey de Kepler).

Cuando E>0 el movimiento es infinito, Si E>>0, la excentri-
cidad el, es decir, la trayectoria es una hipérbola que rodea al
centro del campo (loco) como se muestra en la fig. 9. La distancia
más corta al centro

ab, y con

(e— 1), (13,9

es el “semieje” de la hipérbola

En el caso en que £--0 la excentricidad e=1, es decir, la par-
ticula se mueve según una parábola y la distancia minima fnin—p/2-
Este caso ocurre si la partícula empieza a moverse partiendo de su
estado de reposo en el infinito.

Consideremos ahora el movimiento en un campo de repulsión
en el cual

u-8 (13,10)

48. 48 Capitulo 111. Integración de las ecuaciones del movimiento
gra

(> 0). En este caso la energía potencial eficaz

24
어우

inuye.monôtonamente desde 十 co hasta cero cuando r va
desde cero hasta infinito. La energía de la partícula puede ser tn
camente positiva y el movimiento es siempre infinito. En este

caso todos los cálculos son idénticos a
los hechos anteriormente. La trayectori
es una hipérbola;

2

L=—1+ecosp (13,11)

如 y e se determinan por las fórmulas
(13,4). Esta trayectoría pasa cerca del

Fig. 10

sentro del campo, como puede verse en la fig. 10. La distancia
mínima al centro

2
ra

ae+l), (13,12)

49. CAPITULO IV

CHOQUES
DE PARTICULAS

$ 14. CHOQUES ELASTICOS DE PARTICULAS

Las leyes de la conservación de la impulsión y de la energía
permiten hacer en muchos casos toda una serie de deducciones
importantes sobre las propiedades de diversos prossos mecánicos
En estos casos tiene especial importancia el hecho de que estas
propiedades no dependan en absoluto del género concreto de las
interacciones que existen entre las particulas que intervienen en
el proceso

Examinemos el caso del choque elástico de dos particulas, es
decir, del choque durante el cual no varia el estado interno de
dichas partículas. De acuerdo con esta propiedad, cuando aplica-
mos la ley de la conservación de la energía a un choque elástico
no hace falta tomar en consideración a energía interna de las par.
iculas.

Llamaremos sistema de referencia de laboratorio a aquel en el
cual una de las partículas (que puede ser la m.) está en reposo hasta
que se produce el choque, mientras la otra (m) se mueve con la
velocidad v. No obstante, el choque es más fácil de analizar en
iro sistema de referencia, en el cual se considera en reposo el
centro de inercia de las dos partículas (sistema del centro de iner-
cia); los valores de las magnitudes referidas a este sistema los dis-

inguiremos por medio del subíndice O. Entre la velocidad de la
partícula en el sistema del centro de inercia y la velocidad v en el
sistema de laboratorio existe la correlación

Yao Yen

a
而 十 而
(compárese con (11,2).

De acuerdo con la ley de la conservación dé la impulsión,
después del choque los impulsos de ambas partículas seguirán te-
niendo el mismo valor y sentido contrario, y, según la ley de la
conservación de la energía, sus valores absolutos deberán perma-
necer invariables. Por lo tanto, el resultado del choque se reduce,
en el sistema del centro de inercia, a un giro de las velocidades
de ambas partículas, de manera que seguirán siendo contrarias

50. 48 Capitulo IV. Choques de particulas

à y conservarán sus valores. Llamando n, al vector unitario
tri ar fe drccciôn de la velocidad de la partícula m, después
del choque, tendremos que las velocidades de ambas partículas
después de dicho choque (diferenciándolas entre sí por medio de
un apéstrofo), serán:

a I hm e, 1
en Ye en

Para volver al sistema de referencia de laboratorio hay que
añadir a estas expresiones ja velocidad V del centro de Inercia.
esta forma, en el sistema de laboratorio, las velocidades de las
partículas después del choque serán:

に エー スム
Cc に エッ (14.2)

en tm

Estos son todos los datos que se pueden obtener de un choque
si se parte exclusivamente de las leyes de la conservación. La di-
rección del vector rw depende de la ley de la interacción entre las
partículas y de su posición mutua al producirse el choque.

Las fórmulas (14,2) se pueden interpretar geométricamente,
para lo cual resulta cómodo pasar de las velocidades a las impul-
siones. Multiplicando las igualdades (14,2) por m, y m, respecti-
vamente, obtenemos:

(14,3)

4 ,maJim,+m) es Ja masa reducida). Tracemos una
circunferencia de radio mu y hagamos la construcción que indica

la fig. 11: Si el'vector unitario n, tiene la dirección OC, los vecto-

res AC y CB dan respectivamente las impulsiones pi y pj. Para
une p, determinada el radio de la circunferencia y la posición del
punto 4 son invariables, mientras que el punto 6 puede ocupar
cualquier posición en la circunferencia. El pee A estará dentro
de I rence ms (8. 11703 y 1009 de la mm,

los O, y Ba que se indican en las figuras representan
los ángulos de desviación de las partículas después del choque,
respecto.a la dirección de este último (es decir, de py). Y el éngulo
central, que en la figura se designa con la letra y (y que determina
Ja dirección de ny), representa el ángulo de desviación de la primera

51. 14. Choques elásticos de partieulas 49

partícula en el sistema del centro de inercia. En la figura se ve
claramente que los ángulos 8, y-8, se pueden expresar en función
de x por medio de las fórmulas

AS (44
때 1 ln Gp Mi

Igualmente podemos escribir la förmulas que expresan el valor
absoluto de las velocidades de ambas partículas después del choque
en función de este mismo ángulo x:

y EE y y

tm

La suma 0,+0, es el ángulo que forman las partículas al sepa-
rarse después del choque. Es evidente que 0, +0/>n/2 cuando
mms y 0, +0r<n/2 cuando m>m,. Al caso en que después
del choque ambas partículas se mueven siguiendo una misma rect
(choque frontal”) le corresponde x=x, es decir, el punto C esta
situado sobre el diámetro y a la izquierda del A (fig. 11, a; pi y py
tienen sentidos contrarios) o entre A y O (fig. 11, b; en cuyo caso
pi y ps tienen el mismo sentido). Las velocidades de las particu-
las después del choque, en este caso, serán;

y y. 4046

El valor de u; es aquí el mayor posible; Ja energía máxima que
puede recibir, como resultado del choque, la partícula que al prin-
cipio estaba en reposo será, por consiguiente,

El máx (14,7)

52. {0 Capitulo IV. Choques de particulas

donde E,=m,vi/2 es la energi jal de la particula incidente
Si mm, la velocidad de la primera partícula después del cho-
que puede tener cualquier dirección. Pero si m,>mw el ángulo
de desviación de la partícula incidente no puede superar cierto
valor máximo, que corresponde a la posición del punto C (fig. 11, 9)
en la cual la recta AC es tangente a la
circunferencia. Es evidente que
sen Ojmsx = OC/OA, © sea,

e. 048

Fig 12

Un caso muy simple es el del choque de dos particulas de igual
masa de las cuales una se encuentra inicialmente en reposo. En
este caso no sólo el punto B, sino también el A, se encuentra en
la circunferencia (fig. 12). Entonces

x ax
이중. 0-2 (14,9)
mocos, di=usenk. 14,10)

En estas condiciones las parliculas se alejan una de otra después
del choque formando un ángulo recto.

$ 15. DISPERSION DE LAS PARTÍCULAS

Como dijimos en el párrafo anterior, para determinar totalmente
el resultado del choque de dos partículas (es decir, el ángulo x)
hay que resolver las ecuaciones del movimiento tenierido en cuenta
la ley-conerela de la interacción entre” dichas particul
De acuerdo con la rela general empezaremos considerando el
problema equivalente de 12 desviación de una partícula de masa m,
en el campo U (1), de un centro de fuerza fijo situado en el centro de
inercia de la partícula.
La trayectoria de la partícula en el campo central es simétrica
respecto a la recta que une el centro con el punto de la órbita más
réximo a él (OA-en la fig. 13). Por esto, las dos asintotas de la
bita cortan: dicha. recta formando ángulos iguales. Llamando pa
estos ángulos, el ángulo x de desviación de la partícula, al pasar
cerca del centro, será, como se puede ver en la figura,

ィ ニ | ュー2。 | (15,1)

53. $ 15. Dispersión de las partculas sl

El ángulo 9, se determina, según (12,7), por la integral

ao = (15,2)

Jade
"mio.

tomada entre ta posición de la partícula más próxima al centro
y su posición alejada at infinito. Debe recordarse que ain es la
raz de la expresión subradical

Cuando se trala de un movimien-
lo, infinito, como el que estudia:
mos, resulta cómodo utilizar, en Iu-
gar de las constantes £ y M, la
velocidad 0. de la partícula en el
infinito y el llamado parámetro de
choque p. Este último es la longitud
de la perpendicular bajada desde el

Fig 13

centro a la dirección v„, es decir, la distancia más próxima a
que la particula pasaría del centro’ si no existiera el campo de
fuerza (fig. 13). La energia y el momento se expresan en función
de estas magnitudes por

B=" y Momo, (15,3)

y ja förmula (15,2) toma la forma

(15,4)

Esta fórmula, junto con la (15,1), determina la relación que existe
entre y y

En las aplicaciones físicas hay que operar generalmente no con
la desviación individual de una particula sino, como suele decirse,
con la dispersión de todo un haz de particulas iguales que inciden
sobre el centro de dispersión con la misma velocidad v.. Las
distintas particulas del haz tienen parimetros de choque diferentes
y, por consiguiente, se dispersan @fmando ángulos 《 distintos.
1lamemos dW al número de partículas que se dispersan en la unidad

54. $2 Capitulo IV. Choques de particules

de tiempo formando los éngulos comprendidos en el intervalo x
y array. Este número no es cómodo para caracterizar el proceso
de dispersión, ya que depende de 18 densidad del haz incidente
(siendo. proporcional a ella). Por esto, introduciremos la razón

doa, (15,5)
donde n es el número de partículas que en la unidad de tiempo
pasan por unidad de superficie de la sección transversal del haz
(suponiendo, naturalmente, que dicho haz es homogéneo en toda
su sección). La dimensión de ‚esta razón es la de una superficie,

jue se llama sección eficaz (o simplemente sección) de dispersión.

sta sección depende totalmente de la forma del campo de disper-
sión y es una de las características más importantes del proceso
de dispersión.

Supongamos que la ligazón entre x y p es mutuamente unívoca;
esto es asi si el ángulo de dispersión es una función monótona de-
«reciente del parámetro de choque. En este caso, dentro del intervalo
de ángulos dado entre y y x-+dx solamente se dispersan aquellas
partículas cuyo parámetro de choque viene determinado por el in-
Fervlo entr 060 y Pl de, El número de estas partculs es
igual al producto de n por el area del anillo comprendido entre las
circunferencias cuyos radios son p y p-+dp, es decir, dN =2npdp x n.
Por lo tanto, la sección eficaz

do = 2npdp. (15,5)

Para hallar la sección eficaz en función del ángulo de dispersión
basta escribir esta expresión de la forma

a= 2p 00 ler. (15,7)

Escribimos aquí el valor absoluto de la derivada dp/dx teniendo
en cuenta que ésta puede ser negativa (cosa que suele ocurrin.
Con frecuencia 00 se reliere no a un elemento de ángulo plano
dy, sino a un elemento de ángulo sólido do. El ángulo sólido com-
prendido entre los conos cos ángulos de abertura x y x+dx es
do=2n send. Por lo tanto, de acuerdo con (15,7), tenemos:

do= 210 de do. (158)

Volviendo al problema real de la dispersión de un haz de par:
tículas no por un centro de fuerza inmóvil, sino por otras partículas.
que inicialmente están en reposo, podemos decir que la fórmula
(15,7)-determing la sección eficaz en función del ángulo de disper-
sión en el sistema del centro de inercia. Para hallar ia sección
eficaz en función del ángulo de dispersión @ en el sistema de labo-

55. $ 15. Dispersión de las particules 53

ratorio hay que expresar en esta lörmula y por medio de O, de acuer-
do con las fórmulas (14,4). Asise obtiene 1a:expresión tanto de
la sección de dispersión del haz de partículas iricidente (y expre:
sado en función de 8,) como de las partículas que inicialmente
estaban en reposo (x expresado en función de 6,

Problemas.

1. Hallar la sección eficaz de dispersión de las partículas por una esfera
facto sido de rai fa dc par una fe de Inline en qu UL O
ando res y 00 cuando op

“Solaclon’ Coma fuera de a fea cada partícula se mueve libremente y
dentro de ella no puede pensrar en absolute, a trayecto se na de 4,
rectas dispuestas skmdtricamente respecto al
‘ed trazado por ay unio de Inicnección
Zona eters (hg 10. Como puede vers en
Sibu

pasen quae sen Ecos e

Fig 4

Poniendo este valor en (15,7) o en (15,8), oblenemas
zu a
0 sen xd do, 0

ds decir, que en el sistema del centro de inercia 12 dispesión es Ióiropa. te
grands 40 respecto a todos los ángulos hallamos que la sección follen
rsa que etd de acuerdo con ei ech de que el parer de choque qe a
inci la partlula paro que e pueda dspecsa es la superficie de la soi de
Para este mismo caso expresar ja sección 01002 en función de la energía e

que pies es puc ue dis
ción “13 energie que pers Io el es ig la eg que

recibe la partícula my. De acuerdo con (14.5) y (18,2), tenemos:

À aX
sent La eg ent,

[Pontendo el valor que aqui se obtiene en la férmula (1) del problema {,
amos que

anne 구 쁘 ~

La ¡lotribución de Jos partículas 13709 según los valores de € results ser
"WIerme en tado el Inirvalo de dichos valores comprendido ene cero 3 más,

56. 54 Capitulo IV. Choques de partículas

3, Determinar 1a sesión ecu e incidence elas pra (fe mia m)
sobre le superficie de un cuerpo esférico (de masa m, y radio R), que las atrae de
“cuerdo con la ley de Newton.

“Solución, La condicion de incidencia viene dada por la desigualdad sein <
siendo resin el punto dela trayectoria dela partícula més próximo al centro de 1a
sers, El valo! máximo que puede tensr p e determina por la condición mt R.
Io que se reduce a resolver la ecuación Ús(R)=E 0

mob rh a me

A,
dende amy mym, (endo y la cola de gravitación), y 08000 maim,
Pareado de que mm hallamos py, y ebenemos

oman (14-2154).

‘Cuando ons 10 sección elicz tlende, como es natural ser igual
geométrica de la sección de la ester.

superticle

$ 16. FORMULA DE RUTHERFORD

Una de las aplicaciones más importantes de las fórmulas que
acabamos de obtener es la investigación de la dispersión de las
partículas cargadas en un campo coulombiano.

Suponiendo en (15,4) U=a/r y realizando una integración
elemental, se obtiene que

に ロ

om arccos 6
V me
er
de donde
pP y Pe
© sustituyendo, de acuerdo con (15,1), Go=(%—x)/2:

p= (16,1)

Diferenciando esta expresión con respecto a x y haciendo
sustituciones en (15,7) o en (15,8), obtenemos:

an(s) cos À
(nez) sens

(16,2)

57. $ 16. Fórmula de Rutherford 55

EA 16,3)
(ore) 27 bd

Esta es la llamada fórmula de Rutherford. Como puede verse, la
sección eficaz no depende del signo de a, de manera que el resul-
tado oblenido se puede referir tanto a un campo coulombiano de
repulsión como de atracción. n

La fórmula (16,3) da la sección: eficaz:en el sistema ‘de refe
rencia en el cual el centro de inercia de las particulas. que chocan
está en reposo. La transformación al sistema de laboratorio se rea-
liza por medio de la fórmula (14,4). Para la partícula que inicial-
mente se encuentra en reposo, poniendo en (167) xenー20 se
obtiene:

ECS
sto) ae (a ) ae (15,4)
Pero para las particulas incidentes esta transformación conduce
en el caso general a una fórmula muy complicada. Por esta razón
mencionaremos solamente dos casos particulares

Si la masa m, de la partícula dispersora es grande en compara-

ción con la masa m, de la partícula dispersa, x0, y mavm,, de
manera que

do (fe) 2 " (16,5)

un.

donde £,= mai? es la energía de la partícula incident
Si ambas partículas tienen igual masa (m, =m,, カー

de acuerdo con (14,9) x=20,, y la sustitución en (16,2) di
a jee, 으 년 따리
dm (E (E) sae ee 188)

‘Si ambas partículas además de tener igud masa son idénticas entre
si, carece de sentido interior distinguir, después de la dispersión,

artieula inicialmente en movimiento de la partícula in
cialmente en reposo. La sección eficaz general para todas las pa
1iculas se obtiene en este caso sumando do, y da, y sustituyendo
8, y 6。 por el valor común 6:

(홈 (ent a) cos de Ge の

Retornemos de nuevo a la fórmula general (16,2) y determine-
mos con ella la distribución de las partículas dispersas por la ener-

58. 156 _Capitulo IV. Choques de particulas

gia que pierden a consecuencia del choque. Cuando la relación entre
Ta masa de la particula dispersa (m) y la masa de la partícula dis-
ersora (m) tiene caricter arbitrario, la velocidad que adquiere
la última se expresa, en función del ángulo de dispersión, en el
sistema del centro de inercia por la relación
EEN x
의 send,
(véase (14.5). Por consiguiente, la energía adquirida por esta
particula, y por Jo tanto perdida por la m. es

Sustituyendo aqui sen À por su valor en función de e y po-
niendo el resultado en (16,2), se obtiene:
dom de
E
Esta fórmula responde a la cuestión planteada, puesto que define
la sección eficaz en función de la pérdida de energía e; esta última

toma todos los valores desde cero hasta emix FE

06,8)

59. CAPITULO V

OSCILACIONES
PEQUENAS

$ 17. OSCILACIONES LINEALES LIBRES

Un tipo de movimiento de sistemas mecánicos muy extendido
es el denominado de oscilaciones pequeñas, que el sistema efectia
en las proximidades de su posición de equilibrio estable. Empeza-
remos el estudio de estos movimientos por el caso más simple, es
decir, por el de un sistema que tiene un solo grado de libertad.

Al equilibrio estable le corresponderá aquella posición del
sistema en la cual su energía potencial U(g) sea minima; la desvia-
ción de esta posición hará que aparezca una (uerza—dU/dg que
tenderá a hacer que el sistema vuelva a su punto de partida. Ll
memos q al valor correspondiente de 10 coordenada generaliza
Si las desviaciones de la posición de equilibrio son pequeñas,
al desarrollar la diferencia U(q)—U(q,) Según las potencias de
4 一 % basta conservar el primer término que no se anule, En el
caso general este término es el de segundo grado

YV@M—UG) =z 웅 6 ㅡ 90",

donde k=U* (4) es un coeficiente positivo, En adelante conta-
remos la energie potencial a partir de su valor minimo (es deci,
suponiendo U(q)=0) y llamaremos

070

ión de la coordenada de su valor de equilibrio.

뿌 (17.2)

La energía cinética de un sistema de un grado de libertad
tiene, en el caso general, la forma

60. $8 Capítulo V. Osellaciones pequeñas

Dentro de la misma aproximación se puede sustituir la fun
ción a(g) por su valor para Y tomando, para simplificar
la escritura Y,

OO

obtenemos en definitiva la siguiente expresión para la función
de Lagrange de un sistema que efectúa pequeñas oscilaciones
lineales >:

Ln (17,3)

La ecuación del movimielo correspondiente a esta función es

Tr (74)
o

i+ow=0, (78)
donde

총 076

Las dos soluciones independientes de la ecuacién diferencial li-
neal (17,5): cos ut y 56000, dan su solución general

x=c, eos of +, senal, 072
Esta expresión se puede escribir también de la forma
x=acos (of +a), (17,8)

Y como cos (at-+a)=cos wt cosa 一 sen wf sena, la comparación
con (17,7) muestra que las conslantes arbitrarias a y a están lige-
das a las constantes c, y c, por medio de las correlaciones

a=VaFa y tgg=ー き (17,9)

De esta forma, cerca de la posición de equilibrio estable el sis-
tema efectúa tun movimiento oscilatorio armónico. El coeficiente
a del factor periódico, en (17,8), recibe el nombre de amplitud
de la oscilación, y el argumento del coseno es su fase; a es el valor
inicial de la fase y depende, evidentemente, del origen de los tiem-
Pos que se elija, La magnitud o se llama frecuencia angular (eit.
cular) de las oscilaciones; en física teórica se suele llamar simple-
mente frecuencia, como haremos en lo sucesivo.

a No obstante, subrayaremos que la magnitud m sólo coincide con la masa
cuando x es la coordenada carteslana de la particule
® Los sistemas de este tipo suelen llamarse ociadores lineales.

61. $37, Oscilaciones lineales libres_59

La frecuencia 65 la característica fundamental de las-oscila
ciones y no depende: de las condiciones iniciales del movimiento.
De acuerdo con la fórmula (17,6), la frecuencia queda perfectamente
definida por las propiedades del propio sistema mecánico. Remar-
caremos, no obstante, que esta propiedad de la frecuencia va li:
gada a la supuesta pequeñez de las :oscilaciones y, desaparece en
cuanto se pasa a aproximaciones de mayor grado. Desde el punto
de vista matemático esto se explica porque la enetía potencial
es función cuadrática de la coordenada. 5

de un sistema que efectúa oscilaciones pequeñas es

A)
o, poniendo aqui (17,8),
Emo. (17,10)

Es decir, la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud de
las oscilaciones.

Con frecuencia resulta cómodo representar 10 relación entre
la coordenada del sistema oscilante y el tiempo por la parte real
de una expresión compleja

x= Re {4er (17,0)
siendo A una constante compleja; escribiéndola de la forma

Azara, (47.12)

volvemos a la expresión (17,8). La constante A se llama amplitud
compleja; su módulo coincide con la amplitud ordinaria y su argu-
mento con la fase inicial.

Desde el punto de vista matemático es más fácil operar con facto-
res exponenciales que con factores trigonométricos, puesto que la
diferenciación no cambia su, forma. En este caso, mientras no
efectuamos más que operecfones lineales (suma, multiplicación
por coeficientes constantes, diferenciación e integración), se puede
omitir en gereral el signo con que se toma la parte real, teniéndolo
en cuenta ún camente en el resultado final del cálculo.

Problemas.

1. Expresar la amplitud y la fase Inelal de la oscilación en función de los
valores inleisles xo y u, de la coordenada y la velocidad.
Respuesta:

ae VE. wen.

62. © Capítulo V. Oscilaciones pequeñas.

2. Hallar la selación entre Las frecuencias 0 y u” de tas oscilaciones de dos
moléculas dialómicas formadas por átomos de distintos isótopos; las masas
de los álomos son iguales cespectivamente a my. y mi. my
Solución. Como los átomos de los isitopos interaccionun entre si de igual
forma, RR’, Pero el papel de los coeficientes m en las energias cinélicas de las
moléculas lo desempeñan sus masas reducidas. Por
lo tanto, de acuerdo con (17, 6). tenemos

i (mm)

3. Hater lo keoweet de a olacons de
sn punto de masa m que puede moverse según una
nen recta, estando suelos un muelle <a

remo opucsto se fj en ei punto À (

distancia de a reta, El muelle, con lo longitud 1 se encuentra tenado por
Una fura

Sn, La nea otenca det nucle con essa de puta pequeñas
magnitudes del orden Superior) es igual al producto dela luerza F por al aarge
miento 의 del muelle Si, lendremas.

par lo tanto, = Ft. Y como la energía cinética es mit/2,

a

$ 18. OSCILACIONES FORZADAS

Pasemos ahora a estudiar las oscilaciones en un sistema sobre
인 cual actúa un campo exterior variable; esas oscilaciones se 112:
man forzadas, para diferenciarlas de las que hemos considerado en el
párrafo anterior, que se llaman oscilaciones libres, Como seguimos
Suponiendo que las oscilaciones son pequeñas, tenemos que admitir
al mismo tiempo que el campo exterior es suficientemente débil,
puesto que en el caso contrario podría producir una elongación
x demasiado grande.

En este caso, el sistema, además de su energía potencial propia

+ he”, tiene la energía potencial U,fs, 9 debida a la acción del
campo exterior. Desarrollando este término adicional en serie

63. $ 18, Ouilaciones forzadas_6t

de potencias de la amplitud pequeña x, obtenemos:

we 9 を の 0. 0423 ER

El primer término es función del tiempo solamente y, por lo tanto,
puede ser omitido en la función de Lagrange (como derivada total
respecto a £ de otra función del tiempo). En el segundo término,
.00 766 es la "fuerza" exterior que actúa sobre el sistema en la Po-
sición de equilibrio, siendo una función dada del tiempo que no-
sotros designaremos por F(9. De esta forma, en-la energía poten-
cial aparece el término—xF(0), de manera que Ja función de Lage
range del sistema será:
mit he

Pe PY (18,0
La ecuación del movimiento correspondiente es
十 好 = 下 人，

Fora E FO, (18,2)

dande hemes vuelo a introducir a frecuencia. de as oscilaciones
bres.

‘Como sabemos, la solución general de una ecuación diferencial
ineal no homogénea (es decir, con segundo miembro) con coeli-
¡entes constantes se obtiene en forma de una suma de dos expre-
siones: x=x,7-,, donde x, es la solución general de la ecuación
homogénea y x, la integral parcial de la ecuación no homogénea.
En el caso que consideramos x, representa las oscilaciones libres
que estudiamos en el párralo anterior

Veamos ahora el caso, muy importähte, en que la fuerza impul-
sora también es una función periódica simple del tiempo, de fre-
cuencia y:

F(= eos (yt +B). (18,3)
Buscamos la integral patcial de la ecuación (18,2) bajo la forma
x,=0 cos (p£++B) con el mismo factor periódico. La sustitución
enla ecuación da: 6=[/m (os 一 Pi y añadiendo la solución de la
ecuación homogénea, obtenemos la integral general de la forma

x= a cos (ol +6) + am sos (+ 8 (18,4)

Las constantes arbitrarias a y a se determinan por las condiciones
iniciales.

Por lo tanto, bajo la acción de una fuerza impulsora periódica
el sistema efeciáa un movimiento que de por sí es la composición

64. 82 Capitulo V. Oscilaciones pxews

de dos oscilaciones, una con la frecuencia propia w del sistema
y otra con la frecuencia y de la fuerza impulsora.

La solución (18,4) no es aplicable al caso de la resonancia,
en el cual la frecuencia de la fuerza impulsora coincide con la
frecuencia propia del sistema. En este caso, para hallar la solución
general de la ecuación del movimiento hay que escribir la expre-
sión (18,4), con el correspondiente cambio en la designación de
las constantes, de la forma

22 acos (wl +2) + Ls [005 (vi HD cos (ut + BI]

Si y 一 @ el segundo término da una indeterminación del tipo
0/0. Procediendo de acuerdo con la regla de L'Hospital, obie-
remos:

x=acos(wl +a)-+ 55 ¿sen (ut +). (18,5)

De esta forma, en el caso de la resonancia la amplitud de las os-
cilaciones crece linealmente con el tiempo (hasta que dejan de ser
pequeñas y la teoría expuesta deja de ser aplicable).

Pero veamos además cómo se manifiestan las oscilaciones pe-
queñas cerca de la resonancia, cuando y=o-+e, siendo e una mag.
nitud pequeña, Figurémonos la solución general en forma compleja
como

= Aer! Bowl tote! (A+ Berto emia, (18,6)
Como quiera que la magnitud A+Be~" varia poco durante el
período 2006 del factor et, el movimiento cerca de la resonan-
cia se puede considerar como oscilaciones pequeñas, pero de ampli-
tud variable,

Llamando ¢ a esta última, tendremos:

cm [A+ Bet),
Y designando A y B respectivamente por medio de 0679 y de“;
= 6 +H +-2ab COS (et +$—a). (18,7)

Por lo tanto, la amplitud:oscila periódicamente con ia frecuen-
cia.e, variando entre dos limites
© le=blgege+e.
Este fenómeno recibe el mombre de pulsación.

La ecuación del movimiento (18,2) se puede integrar también
en la forma general cuando la fuerza impulsora F{) es arbitraria
Esto se consígie fácilmente éscribiéndola primero de la forma

Lio) + io (i—iox)= L ri

65. $18, Oscilaciones forradas 68

Erir=LF0. (18,8)
donde se incluye la magnitud compleja

Bi fo (18,9)
La ecuación (18,8) ya no es de segundo orden, sino de primero.
Sin el segundo miembro, su solución seria E=Ae=(41.con la cons:
lante A. “Siguiendo la regla general buscamos para la ecuación

no homogénea una solucién del lipo E=A($e='*! y para la función
4(9 obtenemos la ecuación:

40

1

Leet
Integrando obtenemos la solución de la ecuación (18,8) de la
forma

A (8.20)

donde la constante de integración E, se elige de manera que repre-
sente el valor de & en el instante (=0. Esta es la solución general
que buscábamos; la función (0 viene dada por la parte imagi
naria de la expresión (18,10) (dividida por—a) ®.

La energia del sistema que electüa las oscilaciones forzadas no
se conserva; el sistema adquiere energía a costa de la fuente de
fuerza exterior. Hallemos la energía total que se le cede al sistema
durante todo el tiempo que actúa la fuerza (desde 00 hasta
+00), suponiendo que la energía inicial es igual a cero. De acuerdo
con la fórmula (18,10) (tomando el límite inferior de integración
一 co en lugar de cero y § (—00)=0), cuando roo, lenemos:

16609 +1 neta]

Por otra parte, la energía del sistema como tal viene dada por
la expresión
E

2 (44 ore) (18,11)

En ete caos sobrenende quel ur AL) debe escribi en fone

66. 64 Capitulo V. Osellaciones pequeñas

Y poniendo aquí [5 (ce) |*, obtenemos la energía transmitida que
buscábamos

Ex] Treu (18.12)

viene definida por el cuadrado del módulo de la com-

esta ener
igual a la

ponente de Fourier de la fuerza (の con una frecuenci
propia del sistema,

En particular, si la fuerza exterior actúa solamente durante
un corto periodo de tiempo (pequeño en comparación con 1/0),
se puede suponer que etl. Entonces

e-5(Í 104)

El sentido de este resultado es evidente: expresa el hecho de que
una fuerza cuya acción dura poco tiempo le comunica al sistema un
impulso | Fat, sin tener tiempo de provocar un desplazamiento
notable.

Problemas

1 Determinar is oricone orde un sistema sometido una Lara
fo, len mente Tal Too do san el en fess an poc
サー ヤツ ーー
BSH

Rats = by ico; ein del as comtate hace que
인 step se desvía a poción de qui en toro 0 10 cu cian
PS
© Poa

Respuesta: r= Es (of sen 00.

ent

oF

iz
Rogue le (turen)
의 Fa Fee-* cos Pl
re

Es 十 oa BR)
a] teca
+ orar sen ot bent (or + ar) cos rap sen fh
ar esolveeate problema result cómodo escribi Is fuerza en 12 Irma compleja
(pages proba rest cómodo eee ur e oa come

2 Hallar la amplitud final de los oscilaciones de un sistema después de
actuar sobre & una fuerza exterior que varia según la ley siguiente: Fo=O cuando

67. § 16. Oscilaciones forzadas _65

1<0, F=FUT cuando 0<t<T y FaF, evando't>T (lig: 16} haste el instante
£50 al sistema se encuentra en reposo en su posición de equilibrio.

Solución. En el Intervalo 0<1<7 las oscilaciones, que Cumplen ia condición
Inicia, tienen Ta forma

E
vegane).

Cuando £ > T tenemos la solución

ac cos (7) es eno (11) + E

Y de la condición de continuidad de x y à, cuando £=7, hallamos:

E Fy
asset y mins)

Entonces la amplitud de las oscilaciones será

FAm 26。 ul.
ARA pa
ñ
q
T
Fig. 16 Fig 17

‘Como puede verse la amplitud será tanto menor cuanto més lentaménte se
"aplique" la fuerza Fa (es decir, cuanto mayor sea 7). k
‘El mismo problema, pero en el caso de una fuerza constante Fo que actúe
uranie un tiempo 7 Iimitado (lg. 17. =
Solución. Se puede proceder) Time que en el problema 2, pero es mis
sencillo aplicar la f6emula (18,10). Cuando (>7 tenemos oscilaciones libres en
temo 2 は posición «20; en este caso

|

el cuadrado del módulo E da la amplitud de acuerdo con la fórmula
ctas. En definitiva. hallamos

(Eu enim;

EN

or
sen D.

68. 56 Capitulo V. Oscilaciones pequeñas

$ 19. OSCILACIONES DE LOS SISTEMAS CON MUCHOS
GRADOS DE LIBERTAD

La teoría de las oscilaciones libres de los sistemas con varios
grados de libertad (s) se plantea de forma análoga a como estudi
mos en el $ 17 las oscilaciones lineales.

Supongamos que la energia potencial U del sistema, como fun-
ción de las coordenadas generalizadas q; (i=1, 2, .... 와, tiene un
mínimo cuando q;=qis. Introduciendo pequeños desplazamientos

X=: Gi (19,1)

y desarrollando U respecto a ellos con la exactitud de hasta los
frminos de segundo orden, obtenemos la energía potencial en la
forma cuadrática definida positiva,

u “Zt (19,2)

donde volvemos a contar la energía potencial a partir de su valor
mínimo. Como los coeficientes kj y kar figuran en la férmula
(19,2) multiplicados por la misma cantidad xx, está claro que
se pueden considerar siempre como simétricos con respecto a sus
subíndices

Bn hu

En la energia cinética, que en general tiene la forma
Fand Ic
À

(véase (5,5)) suponemos que los coeficientes q=q y, designando
las constantes ai4(q,) por medio de ma, obtenemos dicha energía
en la forma cuadrática definida positiva

SL (19,3)
A

Los coeficientes my, también se pueden considerar simétricos con
relación a sus subíndicés:

し た
De esta forma, la funcién de Lagrange de un sistema que efec-
túa pequeñas oscilaciones libres es

Km) (19,4)

=

69. 66 Capítulo V. Oxilaciones pequeñas

$19. OSCILACIONES DE LOS SISTEMAS CON MUCHOS
GRADOS DE LIBERTAD

La teoría de las oscilaciones libres de los sistemas con varios

grados de libertad (5) se plantea de forma análoga a como estudia-
mos en el $17 las oscilaciones lineales.

Supongamos que la energia potencial U del sistema, como fun-

de las coordenadas generalizadas q, ( 9, tiene un

mínimo cuando g=qu. Introduciendo peque

Ki Ge (19,1)
y, desarrollando U respecto a ellos con la exactitud de hasta los

Términos de segundo orden, obtenemos la energía potencial en la
forma cuadrática definida positiva,

y ¿Euros (19,2)

donde volvemos a contar la energía potencial a partir de su valor
mínimo. Como los coeficientes 4 y k,; figuran en la fórmula
(19,2) multiplicados por la misma cantidad xix, está claro que
se pueden considerar siempre como simétricos con respecto a sus
subindices

73

En la energía cinética, que en general tiene la forma

¿Eu

ease (5,5)) suponemos que los coeficientes qi 一 qu y, designando
las constantes a,(g,) por medio de my, obtenemos dicha energía
en la forma cuadrática definida positiva

¿Emir 098
A

Los coeficientes my, también se pueden considerar simétricos con
relación a sus subindices:

ma

a

De esta forma, la función de Lagrange de un sistema que efec-
102 pequeñas oscilaciones libres es

Led meteo). (19.4)

70. $19. Oscilaciones de los sistemas con muchos grades de libertad 67

Planteemos ahora las ecuaciones del movimiento, Para deter.
minar las derivadas que figuran en ellas escribiremos la diferencia]
total de la función de Lagrange

AL => Y (Milo + made Kids Aridi.

Como el valor de la suma no depende, evidentemente, dela desig-
nación de los subindices sumatorios, cambiamos en, los términos
primero y tercero, dentro del paréntesis, 1 por ます Æ por ¿ y teniendo
en cuenta la simetrie de los coeficientes my, y kia; obtenemos:

atm Démons)

Donde puede verse que

ha Y maña y Ee

~

Yin
Por lo tanto las ecuaciones de Lagrange son
Br + Pis =0. (19,5)

Estas ecuaciones constituyen un sistema de s (i=1, 2, … 5) ecua-
ciones diferenciales lineales y homogéneas con coeficientes constan
tes.

Siguiendo la regla general de resolución de este tipo de ecuacio-
nes buscamos s funciones x,(£) desconocidas de la forma

aye A, (19,6)
donde las A, son unas constantes indeterminadas por ahora. Po
niendo (19,9) en el sistema (19,5) obtenemos, después de dividir
por e~™', un sistema de ecuaciones algebraicas lineales y homoge-
Teas que deberán satisfacer las constantes A,

곡 (- 이 아제 Ar

(19,7)

Para que este sistema tenge una solución distinta de cero
tendrá que anularse su determinante

Thu sr | =0, us)

Esta ecuación se Mamo característica y es una ecuación de
grado 5 respecto a w*. En el caso general esta ecuación tiene s
raices reales y positivas diferentes os (a=1, 2, ..., $). Las magni:
tudes w, determinadas de esta forma se llaman frecuencias propias
del sistema. En algunos casos particulares ciertas raíces de la

71. 68 Capitulo V. Oscilaciones pequeñas

ecuación característica pueden coincidir; estas frecuencias propias
múltiples se llaman degenerados.

El carácter real y positivo de las raíces de la ecuación (19,8)
se evidencia ya por las consideraciones físicas. En efecto, si の
tuviera una parte imaginaria, esto significaría que las coordenadas
en función del tiempo x, (19,6) (y con ellas las velocidades 30
fendrian un factor decreciente o creciente exponencialmente, Pero
la existencia de este factor es inadmisible en este caso, puesto que
de existir haría que la energía total del sistema どー variase
‘con el tiempo, lo que contradice la ley de la conservación.

Una vez halladas las frecuencias 6, poniendo cada una de
ellas en la ecuación (19,7) se pueden determinar los valores corres-
pondientes de los coeficientes A. Pero en virtud de la homoge:
neidad del sistema de ecuaciones algebraicas (19,7) estos valores
se pueden determinar solamente con una exactitud de hasta su
producto por un factor común arbitrario. Para remarcar este hecho,
representemos los coeficientes A, (para cada frecuencia dada ©.)
de la forma A,==A,,C. con un juego determinado de constantes
reales Ay, y una constante (compleja) arbitraria C, independiente
del indice k.

La solución parciar del sistema de ecuaciones diferenciales
(19,5) tiene, por lo tanto, la forma siguiente:

n= An Cae.

Y la solución general viene dada pot la suma de todas las solu-
iones parciales. Pasando a la parte real, la escribimos de la
forma

am Ende (19.9)
donde hemos introducido la denominación
Q,=Re Ce と (19,10)

De esta forma, la variación de cada una de las coordenadas
del sistema con el tiempo representa la superposición de s osci-
Jaciones periódicas simples Q,, Qu, -... Q de amplitudes y fases
arbitrarias, pero de frecuencias completamente determinadas.

Es natural que se nos plantee la pregunta, ¿y no se podrían ele-
gir Ins coordenadas generalizadas de tal forma que cada una de
ellas efectuara solamente una oscilación simple? La misma forma
de la integral general (19,9) muestra el camino a segur para resol:
ver este problema.

Efectivamente, considerando las s correlaciones (19,9) como
un sistema de ecuaciones. con s incógnitas Q., podemos resolver
este sistema expresando las canti en función
de las coordenadas Xy, %4) «ur Xe , Tas magnitu-

ent

72. $ 19. Oscilaciones de los sistemas con muchos grados de libertad 的

des Q. se pueden considerar como las muevas: coordenadas genera-
lizadas. Estas coordenadas. se llaman normales, y las oscilaciones
periódicas simples que realizan se dice que son las oscilaciones
normales del sistema.

Las coordenadas normales Q, salisfacen, como se deduce de
su definición, las ecuaciones

(19,11)
Esto significa que en coordendas normales tas ecuaciones del: mo:
vimiento se descomponen en s ecuaciones independientes entre: sí.
La aceleración de cada coordenada normal depende únicamente del
valor de ésta y para determinarla totalmente en función del tiempo
basta conocer los valores iniciales de dicha coordenada y de la
velocidad que le corresponde. En otras palabras, las oscilaciones
normales del sistema son totalmente independientes.

Lo expuesto evidencia que la función de Lagrange expresada
en coordenadas normales se descompone en una suma de expre-
siones, cada una de las cuales corresponde a una oscilación lineal
de una de las frecuencias ov es decir, que tiene la forma

ET)
donde m, es una constante positiva. À esta constante se le puede
“dar cualquier valor cambiando en el factor común el juego de
ficientes oe elegido en (19,9). Generalmente las coordenadas
se eli

igen de forma que m,=1. Entonces la función total
de Lagrange del sistema toma la forma *

L=3 D (002). (19,12)

Si se trata de un sistema de partículas que interaccionan entre
si, pero que no se encuentran en un campo exterior, no todos sus
grados de libertad tienen carácter oscilatorio. Un ejemplo tipico
de estos sistemas son las moléculas. Además de los movimientos
constituidos por las oscilaciones de los átomos en torno a sus posi-
ciones de equilibrio dentro de la molécula, esta última, en conjunto,
puede efectuar movimientos de traslación y de rotación,

Al movimiento de traslación le corresponden tres grados de
libertad. El número de grados de libertad correspondiente al mo-
vimiento de rotación, en el caso general, también es igual a tres,
de manera que de los 3n grados de libertad que posee una molécula

기 En el caso de frecuencias degeneradas la elección de las coordenadas
normales sigue siendo después de esto no del 1000 univoca. Como en ls energías
cinética y potencial ls coordenadas normales (de igual os entran en forma de
sumas 0 y 902 que se transforman igualmente, se Js puede someter a una
Acansloímación nel arbitraria que deje Snvaiont 10 sumo de cundrads.

73. 70 Capitulo Y. Osrilaciones pequeñas

de n átomos, solamente 3n—6 pertenecen al movimiento oscilato
rio. Una excepción son las moléculas en las cuales todos los átomos
se encuentran situados a lo largo de una línea recta. Como hablar
de la rotación alrededor de esta recta carece de sentido, los grados
de libertad giratorios, en este caso, serán dos solamente, de manera
que oscilatorios serán 3n 一 5

Las oscilaciones normales de las moléculas se pueden clasiticar
por el carácter de los movimientos de los átomos dentro de ellas,
basándose en razonamientos sobre la simetsia con que aquéllos
(en sus posiciones de equilibrio) se encuentran situados en la molé-
cuta, Con este fin se utiliza un método general basado en la apli-
cación de la teoria de grupos. Aqui examinaremos únicamente
algunos ejemplos elementales.

Si los n átomos de la molécula se encuentran en un mismo plano,
se pueden distinguir las oscilaciones normales que se efectúan sin
que los átomos salgan del plano y lasoscilaciones también normales
que hacen que dichos átomos salgan del plano. No es dificil hallar
el número de unas y otras, Como para el movimiento en el plano
existen solamente 2n grados de libertad, de los cuales dos son de
traslación y uno de rotación, tendremos que el número de las osci-
laciones normales que no hacen que los átomos salgan del plano
será igual a 2n—3. El resto (3n—6) 一 (2n—3)—n—3 grados de
Nibertad oscilatorios se deben a oscilaciones que hacen que los átomos
salgan del plano.

En el caso de una molécula lineal se pueden distinguir las os-
cilaciones longitudinales, que no alleran la forma rectilínea de la
molécula, y las oscilaciones que hacen que los átomos salgan de
la cecta. Como al movimiento de » particulas por una línea recta
le corresponden n grados de libertad, de los cuales uno es de tras-
lación, el número de oscilaciones que no hacen que los átomos sal-
gan de la recta será igual a n--1. Y como el número total de grados
de libertad de una molécula lineal es 3n—5, tendremos 2n—4
oscilaciones que harán que los átomos salgan de la recta, No obs-
tante, a estas: oscilaciones les corresponden solamente カー2 fre-
cuencias distintas, puesto que cada una de ellas se puede efectuar
de dos maneras, independientes, .es decir, en dos planos perpendi-
culares entré sí (que pasen por el eje de la: molécula); de la consi-
deracién de la simetria se deduce evidentemente que cada par de
estas oscilaciones. normeles tendrá una misma frecuencia.

Problemas:

1. Delerminas las oscilaciones de un sistema con dos grados de libertad
sabiendo. que su función de Lagrange es

A

74. $ 19. Oscilaciones de los sistemas con muchos grados de liberisd_71

(dos sistemas ineals Iguales, de freciencl propia vg, Mlgados Por la inteacción
Solución. Las ecusciones del movimiento son
h+ob=ay e j+oly=ax
La sustitución (195) da
人 一 一 ar， Ay (WhO) = aA. 0
a, de donde

La ecuación caracteristica es (68 一 の
ol=oj—a, molta

Cuando oou las ecuaciones (1) dan Ax= Ay, y cuando.
Por lo tan

1
o

(los coeficientes 7 corresponden a la elección de las coordenadas normales
que se indica en el texto)
Si aa} (ligazón débil), tenemos:

arzt

La variación dex ey representa en st caso una superposición de os oscilaciones
dí frecuencias próximas, e decir Llene el carácter de uno pulsación de
Brno =o us (vers el 19. En estas condicions. en el intente en que la
GT coordetada x pase por un máximo, la amplitud de y pasa por un nino y
ee
‘Falter las oxclaciones pequeñas del péndulo plano doble de 4 fg.
Sein, Pa Ts cones pequeñas p<): pl 1a 00901 de Lag:
ange que hallamos en el problema | del $5 toma la forma
8

eth tet
Y las ecuaciones del movimiento:
TR Ni hörten:
Después de hacer la sustitución (19,6)
As (ma + m5 @— 1,0) — Amal
Alert A @— 6)
Las raices de la ecuación característica serán:

ola mm 和 十 加 二
VR.

Guan move I ets enden ads its VET, y Vs cran.
EE Selec independiente de ls dr pend
1 al 1a Voyons dp movimiento de un parc en un compo en.
teal Venen (air epi.
Sistem Come en tod emp central, movimiento se einen un plane.

75. 72 Capitulo V. Oseilaciones pequeñas

Sea este plano el ay. La variación de cada una de las coordenadas x, y es una
oscilación simple de la misma frecuencia w= Y Am:
= a 608 (ul +). yb cos (at 十 站

= a cos g, 9 一 bcos (+0) cos 0 cos p—bsendsen qa
donde goatta'y bape

Hallando de aquí el ces g y el sang y pl
dos, obtenemos Ta ecuación de la Wa¥ector
2y 本

2 cos bent,

Esta es una elipse con centro en el origen de coordenadas. Si 3=0 0 x la
teayestoria degehers en un segmento de festa

teando la suma de sus cuadras

$20. OSCILACIONES AMORTIGUADAS

Hasta ahora hemos supuesto siempre que el movimiento de los
cuerpos tiene lugar en el vacío o que la influencia del medio sobre
dicho movimiento se puede despreciar. Pero en realidad, cuando
un cuerpo se mueve en un medio, este último ofrece una resiste
cia que tiende a retardar el movimiento. En este caso la energía
del cuerpo que se mueve acaba transformándose en calor 0, como
suele decirse, se disipa.

En estas condiciones el movimiento ya no es un proceso pu-
tamente mecánico y su estudio requiere que sean tenidos en cuenta
el movimiento del propio medio y el estado térmico interno tanto
del medio como del cuerpo. En particular ya no. se puede afirmar
en el caso general que la aceleración de un cuerpo en movimiento
es función exclusiva de sus coordenadas y de su velocidad en un
instante dado, es decir, no existe una ecuación del movimiento
que pueda enunciarse por medio de la función de Lagrange, como
se hace en mecánica. De esta forma, el problema del movimiento
en un medio no es ya un problema de mecánica simplemente.

No obstante, existe una categoría determinada de casos en los
cuales el movimiento en un medio se puede describir aproximada-
mente por medio de las ecuaciones del movimiento de ja mecánica
introduciendo en ellas ciertos términos complementarios. A esta
categoría pertenecen las oscilaciones cuyas frecuenci
ñas en comparación con las características de los procesos internos
de disipación en el medio. Si se cumple esta condición se puede
considerar que sobre el cuerpo actúa una fuerza de rozamiento
que depende (para un medio dado) solamente de su velocidad.

Si, además, esta velocidad es suficientemente pequeña, la fuerza
de rozamiento se puede desarrollar en una serie de potencias. El
término de orden cero de este desarrollo es nulo, puesto que sobre
el cuerpo inmóvil no actúa ninguna fuerza de rozamiento, y el

76. 20, Oscilaciones amortiguadas 73

rimer término que no se anula es proporciónal a la velocidad:

y lo tanto, la fuerza de rozamiento generalizada /, que actúa
sobre un sistema que realiza oscilaciones lineales pequeñas se
puede escribir de la forma

donde x es la coordenada generalizada del sistema y a un coefi-
ciente positivo; el signo menos indica que la fuerza actúa en direc:
ción contraria a la velocidad. Añadiendo esta fuerza al segundo
miembro de la ecuación del movimiento, obtenemos:

mi=—kx—az. (20,1)
Dividiendo esta expresión por m y haciendo las sustituciones
la y Z=2, (20,2)

(donde w, es la frecuencia de las oscilaciones libres del sistema,
ent ausencia de rozamiento, y A es el llamado coeficiente de amorti-
guacién ®), tenemos

FRET EN (20,3)

Siguiendo las reglas generales para la resolución de las ecuaciones
lineales con coeficientes constantes suponemos x=e"! y hallamos
para r la ecuación característica

+ 2hr + oi = 0

de donde
ha = hk VO}

Y la solución general de la ecuacion (20,3) es:
22 cent toe,

Aquí hay que distinguir dos casos.

Si 1<u, tenemos dos valores complejos conjugados de r. La
solución general de la ecuación del movimiento se puede represen-
tar en este caso como

x= Re Api Mi VRR),

donde A es una constante arbitraria compleja. De otra forma
podemos escribir:

x

» El producto adimensional AT (donde T=2nla es el per
decremento logaríímico de la amortiguación

77. T4 Capitulo V. Oseilaciones pequeñas

siendo a y a unas constantes reales. El movimiento expresado por
estas fórmulas se conoce con el nombre de oscilaciones amortigua-
das. Este movimiento se puede considerar como oscilaciones ar-
mónicas de amplitud decreciente exponencialmente. La velocidad
del decrecimiento de la amplitud viene determinada por el expo-
nente à, y la “frecuencia” o de las oscilaciones es más pequeña
que la de lasoscilaciones libres en ausencia de rozamiento; cuando
696, la diferencia entre w y o。 es de segundo orden de pequeñez.
La disminución de la frecuencia con el rozamiento era de esperar,
puesto que este último, en general, retarda el movimiento.

Si AG, la amplitud de la oscilación amortiguada casi no
varia durante un periodo 2n/o. En este caso tiene sentido conside-
rar el valor medio (por período) de los cuadrados de las coordena-
das y de la velocidad, despreciando al tomar este valor medio
la variación del factor e-", Estos cuadrados medios serán, eviden-
temente, proporcionales a e=*%. Por esto la energía del sistema

disminuirá de acuerdo con la ley

Ego, (20,5)

siendo E, el valor inicial de la energia.
Supongamos ahora A>w.. Entonces los dos valores de r serán
reales y negativos y la forma general de la solución será:

O ee VE, 0.6)

En este caso vemos que cuando el rozamiento es suficientemente
grande el movimiento que origina consiste en un decrecimiento
de lx, es decir, en una aproximación asintótica (si に >oo) a la
posición de equilibrio. Este tipo de movimiento se llama de amor-
Higuación aperiódica.

Finalmente, en el caso particular en que A=0,, la ecuación
característica tiene solamente una raíz (doble) r——. Como sabe-
mos, la solución general de la ecuación diferencial tiene en este
caso la forma

(eo. (20,7)
Este es un caso particular de amortiguación aperiódica, que tam-
poco tiene carácter oscilatorio. '

Para un sistema de muchos grados de libertad las fuerzas de
rozamiento generalizadas, correspondientes a las coordenadas x,
son funciones lineales de las velocidades que tienen la forma

太一 一 人 co (20,8)

Partiendo de consideraciones puramente mecánicas no se puede
sacar ninguna conclusión sobre las propiedades de simetria de

78. $ 20. Oscilaciones amortiguadas: 75

“respecto a losvíndices £ y k. Pero los mittodos
de la física estadística permiten demostrar que siempre

0 (20.9);

Por esto, las expresiones (20/8) se pueden escribir en forma de.
derivadas

1

he, 0:10)
de ja forma cuadrática
Py Dank (20,11)

a

que se llama función de disipaci
Las fuerzas (20,10) deben ser añadidas al segundo miembro de
las ecuaciones de Lagrange:

(20.12)

La función de disipación tiene de por si una significación fisica
importante: esta función determina la intensidad de la disipación
de la energía en el sistema. De esto es fácil convencerse calculando
la derivada respecto al tiempo de la energia mecánica del sistema

$-4(Q48-2)-24(68-2)-

Como F es una función cuadrática de las velocidades, en virtud
del teorema de Euler referente a las funciones homogéneas, tene-
mos que la suma del segundo miembro de la ecuación anterior es
igual a 2F. Por lo tanto,

に コ
a

—2F, (20,13)

es decir, la velocidad con que varía la energía del sistema viene
dada pot el duplo de la función de disipación. Y como los procesos
de disipación hacen que disminuya la energía. deberá ser siem.
pre >0, es decir, la forma cuadrálica (20,11) es positiva en esencia.

79. 75_Capitulo V. Oscilaciones_ pequeñas

$ 21. OSCILACIONES FORZADAS CON ROZAMIENTO

El estudio de las oscilaciones forzadas cuando existe rozamien-
to es completamente análogo al realizado en el $ 18 de las oscila.
ciones sin rozamiento. Aquí nos detendremos a examinar detalla.
damente el caso particular en que la fuerza impulsora es periódica,
caso que ofrece gran interés,

Sumándole al segundo miembro de la ecuación (20,1) la fuerza
externa (impulsora) feos yf y dividiendo por m, oblenemos la
ecuación del movimiento de la forma

Er Mt ope L cosy, eL)
Esta ecuacién se puede resolver cómodamente poniéndola en
compleja, para lo cual, en el segundo miembro, se escribe
en lugar de cos 让
424 o Let,

Buscamos la integral particular de la forma x= Be-mt y ha-
llamos para 8 el valor

Be. (21,2)

Haciendo B=be-®, para b y 6 tenemos:

b=, ge, (21,3)
Va ra 이레

Finalmente, separando la parte real de la expresión Be-=

be tt", obtenemos la integral particular de la ecuación (21,1),
1 Sfadiéndole la olución general de la ecuación sin segundo miem:
ro (que escribimos concretamente para el caso en que w,>A),
hallamos en definitiva que

x= ae" cos (wt +0) + b cos (y!-+5). (21,4)

El: primer..termino decrece exponencialmente con el tiempo,
de manera que al-cabo de un lapso suficientemente grande quedará
únicamente el segundo. término:

x= beos (11 +8), (21,5)

La expresión (21,3) que da la amplitud b de la oscilación for-
zada, aunque aumenta al aproximarse la frecuencia y a @,, no llega
a hacerse igual a infinito como ocurría en el caso de la resonancia
en ausencia de rozamiento. Para una amplitud dada de la fuerza f
la amplitud de las oscilaciones es máxima cuando la frecuencia

80. $21. Oscilaciones forzadas con rozamiento_ 77

y=V 2 si 606, este valor solamente se diferencia de os
en una Cantidad de segundo orden de pequeñez.

Consideremos la banda de frecuencias próxima a la resonancia.
Supongamos y=w,+re, siendo e una cantidad pequeña y ん <
Entonces en (21,2) se puede hacer la sustitución aproximada

Yet
de manera que

doe, My 20

I
B= gm 21.8)
ó
1 A
an =} (21,7)

Debemos señalar la particularidad caracteristica que tiene la
variación de la diferencia de fase 6 entre las oscilaciones y la fuerza
impulsora al variar la frecuencia de la última, Esta diferencia es
siempre negativa, es decir, la oscilación se "retrasa" respecto a la
fuerza exterior. Lejos de la resonancia, por el lado en que y<o,
6 tiende a cero, y por la parte en que y>w,, a —n. La variaci

de 6 desde cero hasta —n se produce en una estrecha banda de fre-
cuencias (de anchura A) próximas a ov la diferencia de fases pasa

por el valor — $ cuando y=w,. En relación con esto señalare-

mos, que si no existe rozamient
de la oscilación forzada se efectúa instantáneamente cuando y=o,
(el segundo término de la expresión (18,4) cambia de signo); al
“ener en cuenta el rozamiento este salto se “prolonga”.

‘Cuando el movimiento del sistema que efectúa las oscilaciones
forzadas (21,5) se estabiliza, su energía permanece invariable.
Pero al mismo tiempo este sistema absorbe conlinuamente energía
(de la fuente de fuerza exterior), energía que se disipa a causa del
rotamiento. Llamemos /(y) a la cantidad media de energía absor-
bida en la unidad de tiempo en función de la frecuencia de la fuer-
za exterior. Entonces, de acuerdo con (20,13), tenemos que

1) =2F,
donde F es el valor medio (por período de oscilación) de la función
de disipación. Para el movimiento lineal la expresión (20,11) de la

función de disipación se reduce a F-=ax*/2=Ami?. Poniendo aqui
(21,5), obtenemos:

AAmnbé y ser? (1 +8).

la variación de fase igual ax

81. 75_Capitplo Y. Osellaciones pequeñas

El valor medio respecto al tiempo del cuadrado del seno es igual
a Y, por lo tanto,

1 (9) = Ambry? (21,8)

Cerca de la resonancia, sustituyendo ja amplitud de la oscila-
ción b por su valor según (21,7), tenemos:

. (21,9)

Esta forma de relación de dependencia entre la absorción de
energía y la frecuencia se llama dispersiva. El valor de lel que hace
que la magnitud /(c) sea igual a la mitad de su valor maximo
(correspondiente a ë--0) se llama semianchura de la curva de re
sonancia (fig. 18). De la fórmula (21.9) se deduce que, en este caso,

dicha anchura coincide con el coe:
ficiente de amortiguación A. Pero
la altura del máximo

ito,

Fig, 18

es inversamente proporcional a A. Por lo tanto, al disminuir el
coeficiente de amortiguación la curva de resonancia se hace más
estrecha y más alta, es decir, su máximo se hace más agudo. Pero
la superficie que se encuentra debajo de esta curva permanece
invariable.

Esta superficie viene dada por la integral

Dimas 1 10 de.

Como 7(@) disminuye rápidamente al aumentar [e], de manera que
la región de grandes ll es insignficante de todas formas, al inte
rar se puede escribir /(e) de la forma (21,9) y sustituir el límite
inferior por—0o. Entonces

CEE (21,10)

FRE" Sen

NOTE

E

82. $ 22: Resonancia parométrien_ 79

$22. RESONANCIA PARAMETRICA

Existen algunos sistemas oscilantes no cerrados en los. cuales
el resultado de la acción exterior se reduce a una variación de sus
parámetros con el tiempo 上

Los parámetros de un sistema-lineal son los coeficientes m: y #
ge la eiop de Lagrange (173) setos parámelros dependen dei
tiempo, la ecuación del movimiento es:

Ali) + ta =0. 22,1),
Sustituyendo { por una nueva variable independiente て, de acuer-

do con dr=dtjm(f), esta ecuación toma la forma

^
化 +mpx=0

Por esto, sin hacer ninguna limitación a su carácter general
suficienfé considerar la ecuación del movimiento de la forma

Pro (0x=0, (22.2)

que se obtiene de (22,1) si m=const.
La forma de la función o( viene dada por las condiciones del
problema; supongamos que ésta es una función periódica de Ire-
cuencia y (y periodo Tw=2x/y). Esto significa que
al+T)=alt),
y. por lo tanto, toda ecuacién de la forma (22,2) es invariante res-
pecto a la transformación trt+7. De aquí se deduce que si
(9 es la solución de la ecuación, la función x(1+-7) también lo
será. En otras palabras, si x,(9 y *a(O son dos integrales indepen-
dientes de la ecuación (22,2), al hacer la sustitución ナー( 上 7 se
transformarän linealmente la una en la otra. En este caso se pue-
den elegir x, y x, de tal manera que al sustituir ¢ por 上 7 la
se reduzca simplemente a una multiplicación por un
constante;

ACT (O, AT) ms D
La forma más general de las funciones que poseen esta propiedad
円

ROUTE (D. TE, 23)
donde II,( の y T1,( son funciones puramente periódicas del tiemy
(de período D). E dl

7 Ua alo nel d ie geo un prat uy punto de apena

un movimiento pric dada en den verle ese el pablo).
sl een no <a

83. 80 Capitulo V. Oscilaciones pequeñas

Las constantes y, y hu en estas funciones deberán estar ligadas
entre si por una relación determinada. En efecto, multiplicando
las ecuaciones

A+ (0x=0, à, +0(9x,=0
respectivamente por x, y x, y restando miembro a miembro una
de otra, se obtiene:

kt = (x) =0
6

État, = const. (22,4)
Pero para dos funciones cualesquiera x,(0) y x4(f) del tipo (22,3) el
primer miembro de esta igualdad se multiplica por pus al susti-
{uir el argumento £ por 7. Por lo tanto, para que la igualdad
(22,4) se cumpla en todo caso, es necesario, evidentemente, que

Kam. (22,5)

Las demás conclusiones sobre las constantes 1, y hs se pueden
hacer partiendo de que los coeficientes de la ecuación (22,2) son
reales. Si x(f) es una integral cualquiera de esta ecuación, la fun-
compleja conjugada x*(f) deberá satisfacer esta misma ecua-
De aquí se deduce que el par de constantes u, y Hs deberá
dir con el par pj y Hi, es decir, que oA, =}, Of, Y Ja, son
reales. En el primer caso, teniendo en cuenta (22,5), tenemos que
me es “decir, |, [=| ,P*=1; las constantes 1, y pa por
el módulo, son iguales a la unidad.
Pero en el segundo caso las dos integrales independientes de la
(22,2) tienen la forma

(=p, (0, x(0="0,(0 (22,6)

siendo k un número real positivo o negativo diferente de la unidad.
Una de estas funciones (la primera o la segunda cuando [u |>1
6 lul <I) crece exponencialmente con el tiempo. Esto quiere decir,
que el estado de reposo del sistema (en la posición de equilibrio
x=0) será inestable: bastará una desviación cualquiera, por pe-
quia quese, de ese estado para que la elongación x exprimen-
tada por el sistema empiece a.aumentar rápidamente con el tiempo.
Este fenómeno se llama resonancia paramétrica.

Conviene advertir que si los valores iniciales de x y x fueran
estrictamente iguales a cero, continuarian siéndolo en adelante,
a diferencia de lo que ocurre en el caso-de la resonancia ordinari
($18), donde la elongación aumenta con el tiempo (siendo propor-

ional a 0 aunque su valor sea igual a cero.
Aclaremos las condiciones que hacen que se produzca la reso-
nancia paramétrica en el caso, muy importante, en que la función

84. $22. Resonancia paramälrica 31

(の se diferencia poco de cierlo valor constante oo y es una fun-
ción periódica simple:

a) = 8 (1 + h COS y), 22,7)
donde la constante 41 (consideraremos # positivo, cosa que siem.
pre se puede conseguir eligiendo. convenientemente el. origen, del,
tiempo). Como veremos más adelante, la resonancia paramétrica
se produce si la frecuencia de la función o( り es.aproximadamente
igual al doble de la frecuencia go. Por esto, suponemos

Zo, +e,
siendo £ Éw,.

La solución de la ecuación del movimiento

3 + aj [I-4Acos (us -+e)/]x=0 (22,8)
debe tener la forma

matten (ay $)t + 5en(a

E (229)

donde alt) y 0 son funciones del tiempo que varían lentamente
(en comparación con los factores cos y sen). Esta forma de solución
está claro que no es exacta. En realidad la función x(% contiene
también términos cuyas frecuencias se diferencian de w+ en un
múltiplo entero de (2o,+e); pero estos términos son infinilesima-
les de orden superior con respecto a 4 y en primera aproximación
se pueden despreciar.

À los valores de las frecuencias y, que separan la región de ines-
tabilidad de las oscilaciones de la región de estabilidad, les co:
rresponde en (22,6) el valor u=1 y en (22,9), respectivamente los
coeficientes constantes a y 6 (que no dependen del tiempo). La de:
terminación de los límites de la región de resonancia se reduce,
por consiguiente, a hallar aquellos valores de y (o lo que es lo mis-
imo, de の para fos cuales a solución de (223) con la constantes
a y b satisface (con la exactitud necesaria) la ecuación del movi
miento.

Poniendo (22,9) en (22,8) y desarrollando en forma de suma el
producto de los factores trigonométricos

sos(u, +5)1 cos(2o, +e)! =

woos (20,43) t4 eu (ot $)¢

cte., y omitiendo, de acuerdo con lo dicho anteriormente, los tér-

85. 82 Capitulo Y. Oscilaciones peg

minos de frecuencias 3(o,+4) , obtenemos finalmente

or 和 jam 人 -ro 人

Para que se cumpla esta igualdad es necesario que todos los coefi-
cientes de los factores sen y cos se anulen al mismo tiempo, es decir,
que sea e=—ho,/2 y a=0 0 e=hu/2 y b=0. Estos valores de £
dan los límites de la región en que se produce la resonancia para-
métrica. Por lo tanto, esta resonancia tiene lugar en el intervalo

IS (22,10)

tee) co (a +5)1=0

en torno a la frecuencia 20,

La resonancia paramétrica se produce también con frecuencias
y próximas a los valores 2u,/n, donde n es un número entero cual-
quiera. No obstante, la anchura de las regiones de resonancia
disminuye rápidamente al aumentar n, como A".

Problema.

„Haller las condiciones de resonancia Baramétrica para las oscilaciones per

guess de un péndulo plano cuyo punto de suspensión osa en dicción ver
Solución. La función de Lagrange hallada en el problema 2 del $52 para las

cscilaciones pequeñas (FD) le ecuscion del movimiento ”

bricos tot) so

¿donde に PD eto se deduce claramente que la mio 4 desempeña
aquí el papel del parámelo que inrodujin en el texto. La condición (210)
foma 1 forma

le <2YZ.

Pon

$23. OSCILACIONES ANARMONICAS

Toda la teoria de las oscilaciones pequeñas expuesta anterior-
mente se basa en la descomposición de las energías potencial y
cinética del sistema según las coordenadas y velocidades, dejando
únicamente los términos de segundo orden; en este caso las ecuacio-
nes del movimiento son lineales, por lo que cuando se opera con
esta aproximación se habla de oscilaciones lineales. Esta descom)
sición es completamente lícita mientras se cumple la condición
de que la amplitud de las oscilaciones es suficientemente pequeña,

86. SM. Osciaciones anaeméniens 28

ho obstante, si se tienen en cuenta las aproximaciones siguientes
(es decir, las Ilamadas oscilaciones anarmónicas 0 no lineales) se
ponen de manifiesto ciertas propiedades del movimiento que, aun-
que débiles, son cualitativamente nuevas.

Desarrollemos la función de Lagrange hasta los términos de
tercer orden. Al hacer esto, en la energia polencial aparecen té
minos de tercer grado respecto a las coordenadas x,, y en la energía
cinética, miembros que contienen productos de las velocidades por
las coordenadas del tipox,x,x,; esta diferencia con relación a la
expresión anterior (19,3) se debe al hecho de haber conservado los
términos de primer orden respecto a x en el desarrollo de la furicién
ato). Por lo tanto, la función de Lagrange tomará la forma

3 D) +

donde nays y La son los nuevos coeficientes constantes

Si de las coordenadas arbilrarias x, se pasa a las coordenadas nor-
males Q, (aproximación lineal), en virtud del carácter lineal de
esta transformación las sumas tercera y cuarta de (23,1) se transfor-
man en sumas análogas, en las cuales, en lugar de las coordenadas
x; y las velocidades &, figurarán respectivamente Q, y Ó,. Lia-
mando A.,, Y Hi, los coelicientes de estas sumas, obtenemos la
función de Lagrange de la forma

DC ET PES
FED 1,0093 E 110.00: (3.2)

En E

1
그 Y linia 23,0)

Le

No vamos a escribir totalmente las ecuaciones del movimiento
que se deducen de esta función de Lagrange. Lo importante es que
estas ecuaciones tienen la forma

Q,+00.=/.(0. Q, Qs (23,3)

donde f, son las funciones homogéneas de segundo orden de las
coordenadas Q y de sus derivadas respecto al tiempo.

Aplicando el método de las aproximationes sucesivas, busca-
mos para eslas ecuaciones una solución del tipo

aa re, (23,4)

«onde Qi <Q” y las funciónes Qi’ satisfacen las ecuaciones

87. 84 Capitulo V. Oscilaciones pequeñas

“no perturbadas"
2 4019.) 0,

es decir, representan las oscilaciones armónicas ordinarias
QU = a, 005 (ut +0). (23,5)

Si en la aproximación siguiente conservamos en el segundo
miembro de la ecuación (23,3) nada más que los términos infini.
tesimales de segundo orden, obtenemos para las G las ecuaciones

GP +02 =7.(2, on O), (23,6)

donde en el segundo miembro deberán ponerse las expresiones
(23,5). Como resultado obtenemos unas ecuaciones diferenciales
lineales no homogéneas cuyos segundos miembros se pueden trans-
formar en sumas de funciones periódicas simples. Así, por ejemplo,

WS = aa, cos (ot + a.) cos (o,f +a) =
=F 40, (cos (0, +0) £+a,+0))+

十 cos [(@,—o,) /-+a,—a,)},

De esta forma, en los segundos miembros de las ecuaciones
(23,6) se encuentran términos que corresponden a las oscilaciones
de frecuencias iguales a las sumas y a las diferencias de las fre-
cuencias propias del sistema. La solución de estas ecuaciones debe
buscarse en la forma que contiene estos mismos factores periódicos,
y llegamos a la conclusión de que, en segunda aproximación, a las
escilaciones normales del sistema, de frecuencias «,, se superponen
las oscilaciones suplementarias de frecuencias

ro, (23,7)

(entre ellas las frecuencias duplicadas 2, y la frecuencia 0 co-
Trespondientes a una elongación constante). Estas frecuencias se
llaman combinatorias. Las amplitudes de las oscilaciones combina-
torias son. proporcionales a los productos a,a, (0 a los cuadrados at)
correspondientes a las oscilaciones normalés.

En: aproximaciones siguientes, al tener en cuenta los términos
de.orden más elevado en el desarrollo de la función de Lagrange,
aparecen oxclaciones combinatorias de Trecuencias iguales a Tas
sumas y a las diferencias de un gran número de frecuencias o。
Pero, en este caso, se produce además un nuevo fenémeno.

Es el caso que, ya en tercera aproximación, entre las frecuencias
cémbinatorias aparecen frecuencias que coinciden con las iniciales
©, (es decir, combinaciones del tipo @,+0,—0,). Si se aplica el
método descrito anteriormente, en el segúndo' miembro. de las

88. $ 23. Oscilaciones anermónicas 85

ecuaciones del movimiento se encontrarán, por consiguiente, tér.
minos de resonancia que harán que en la solución aparezcan:a:su
Vez términos cuya amplitud crecerá con el tiempo. Pero, desde el

punto de vista físico, es evidente que en un sistema cerrado y en
Busencia de una fuente de energía exterior no.es posible: que la in. ・
fensidad de las oscilaciones aumente espontáneamente.

En realidad, en las aproximaciones superiores, se produce una
variación de las Irecuencias fundamentales by respecto 0 sus 4010
res “no perturbados” w(%, que figuran en la expresión cuadrát
de la energia potencial. La aparición de los términos creciéñtes en *
la solución se debe a que el desarrollo de tipo

cos (al? + Bu,) f= cos ull? t—1d0,senußt,

es, evidentemente, injusto cuando los valores de £ son suficiente.
mente grandes.

89. CAPITULO VI

MOVIMIENTO
DEL SOLIDO

$ 24. VELOCIDAD ANGULAR

El sólido se puede definir en mecánica como un sistema de pun-
tos materiales separados entre si por distancias invariables. Los
sistemas reales que existen en la naturaleza solamente pueden sa-
tisfacer esta condición aproximadamente. Pero la mayoría de los
cuerpos sólidos, en condiciones normales, cambian muy poco de
forma y dimensiones, por lo que al estudiar las leyes del movi-
miento del sólido, considerado como un todo único, podemos
prescindir de estos cambios.

En la exposición que sigue consideraremos con frecuencia el
sólido como un conjunto discreto de puntos materiales, con lo que
se consigue cierta simplificación de las deducciones. No obstante,
esto no contradice en absoluto el hecho de que los sólidos en general
puedan ser considerados en mecánica como cuerpos continuos,
sin tener en cuenta para nada su estructura interna. El paso de las
fórmulas referidas al cuerpo como suma de puntos discretos a las
formulas referidas al cuerpo como un todo continuo se realiza sim-
plemente sustituyendo las masas de las particulas por la masa p dV
contenida en un elemento de volumen dy (p es la densidad de la
masa) e integrando por todo el volumen del cuerpo.

Para describir el movimiento del sólido utilizaremos dos sis-
temas de coordenadas: uno “fijo”, es decir, un sistema inercial
XYZ, y otro móvil, de coordenadas 지르지 xs Xy==2, que Su-
pondremos unido rígidamente al sólido y participante en todos sus
movimientos. Por rezones de comodidad conviene hacer que el
origen-del sistema: de coordenadas móvil coincida con el centro de
inercia del cuerpo.

La posición del sólido respecto al sistema de coordenadas fijo
quedará perfectamente determinada si se da la posición del sistema
móvil. Supongamos que un radio vector Ry indica la posición del
origen O del sistema móvil (fig. 19). La orientación de los ejes de
este sistema con relación. al fijo vendrá determinada por tres án-
ulos independientes, de manera que junto con las tres componentes
del vector R。 tendremos en total seis coordenadas. Por lo tanto,
todo sólido es un sistema mecánico con seis grados de libertad.

90. § 24. Velocidad angal

Consideremos un desplazamiento infinitesimal arbitrari
un Sólido. Este desplazamiento podemos figurärnosio como» una
suma de dos desplazamientos más simples. Uno de ellos es un des-
plazamiento paralelo, infinitamente: pequeño del cuerpo, que hace
que el centro de inercia pase de su posición inicial a la final:sin-que
Varie la orientación de los ejes del sistema de coordenadas móvil:
El otro, es un giro infinitesimal alrededor del-centro de inercia,
que hace que el-sölido ocupe su posición final.

‘Llamemos r al radio vector de un punto arbi
el sistema de coordenadas móvil y R al radio vector. de este,
punto en el sistema de coordenadas 100. Entences, cualquier des.
plazamiento infinitamente pequeño dR del punto P se compondrá
de un desplazamiento dR,de este pun-
to junto con el centro de inercia y
de otro desplazamiento (dp-r] de
aquél respecto a este último al girar
el ángulo infinitamente pequeño de
(véase (9,1):

dR ER. + [de rl.

Fig. 19

Dividiendo esta igualdad por el tiempo df, durante el cual se pro-
dujo el desplazamtiento que consideramos, e introduciendo las ve-
locidades

By Re "

Ray, Rev, y Pao, (24,1)
obtenemos la correlación entre ellas

v=V+[9r]. (24,2)

El vector V es la velocidad del centro de inercia del sólido;
esta velocidad suele llamarse velocidad de su movimiento de fras-
lación, El vector @ se llama velocidad angular de la rotación det
sólido; su dirección (lo mismo que la de dg) coincide con la direc-
ción del eje de rotación. De esta forma, la velocidad y de cualquier
punto del cuerpo respeto al sistema de coordenadas hijo) se puede
expresar por medio de la velocidad de traslación de dicho cuerpo
y de la velocidad angular de su movimiento de rotación.

Debemos subrayar que al deducir las formulas (24,2 no apro.
vechamos en absoluto las propiedades específicas del origen de
coordenadas como centro de inercia del sólido. La ventaja de esta
elección se pondrá de manifiesto más adelante, cuando calculemos
la energia del sólido en movimiento.

91. 88 Capitulo VI. Movimiento del sólido

Supongamos ahora que el sistema de coordenadas unido rigi-
damente al sólido se toma de tal manera que su origen se halla no
en el centro de inercia O, sino en otro punto O” que se encuentra a
la distancia a del O. A la velocidad de traslación del origen 0° de
este sistema le llamaremos V' y a la angular de su movimiento de
rotación, 9.

Volvamos a considerar un punto cualquiera P del sólido y de:
signemos su radio vector respecto al origen O” por medio de Y
Entonces r=r'-a y la sustitución en (24,2) da:

V+(9a] + [0].

Además, por la definición de V’ y
Por consiguiente

V=V+([2a), 2-0 (24,3)

La segunda de estas igualdades tiene gran importancia. Como
vemos, la velocidad angular con que gira en cada instante dado el
sistema de coordenadas, unido rigidamente al cuerpo, resulta ser
independiente del sistema que se elija, puesto que todos los sistemas
de este tipo giran en cada instante dado alrededor de ejes paralelos
entre sí teniendo la misma velocidad @ en valor absoluto. Este
hecho nos autoriza a llamarle a @ velocidad angular de rotación
del sólido como tal. La velocidad del movimiento de traslación
no tiene este carácter “absoluto”

Por la primera formula (24,3) vemos que si V y @ (en un instante
dado) son perpendiculares entre si para un determinado origen
de coordenadas O, también serán perpendiculares entre si V 9”
si la definición se hace respecto a cualquier otro origen O”. Y por
la fórmula (24,2) vemos que en este caso las velocidades v de todos
los puntos del cuerpo se encuentran en un mismo plano, plano que es
perpendicular a £ En estas condiciones siempre es posible elegir
lun origen de coordenadas 0°" cuya velocidad V’ sea igual a cero,
de manera que el movimiento del sólido (en el momento dado)
podrá representarse como una rotación pura alrededor del eje que
pasa por 0’. Este eje se llama eje de rolación instantáneo del cuerpo”.

En adelante partiremos siempre de la suposición de que el ori-
genidel sistema de coordenadas móvil se toma en el centro de iner-
cia del.cuerpo, de forma que el eje de rotación del sólido tambi
pasa por este centro. En general, al moverse el cuerpo varia lanto
el valor absoluto de 9 como la dirección del eje de rotación.

tenemos que v= V+[9'r")

건 Este rigen, como es natura, se puede encontar fuera del cuerpo

2 En el caso general, en que las direecones de Y y Q mo son porpellculares
entre sí el origen de coordenadas se puede dr de modo que YY D renier
Paralelas, es decir. que el movimiento (en el slot dado) gerd el canjunto de
din otc led de ei je yde uns tración à 1 ago de se mie

92. 5.25. Tensor de inercla 89

$25. TENSOR DE INERCIA

Para calcular la enegia cinética de un sólido lo consideramos
como un sistema discreto de puntos materiales y escribimos

7- 工 学 ，

donde la suma se efectúa por todos los puntos que forman el cuerpo.
Gon objeto de simplificar la escritura de las Iérmulas, tanto aquí
‘como más adelante omitiremos los indices que sirven para numerar
dichos puntos.

Poniendo aqui (24,2), obtenemos:

TE POH (Ory GU Ev (ar) + E Flor.

Las velocidades V y 9 son iguales para todos los puntos del sólido.

por elo, en d primer término 을 se ca del signo de sumación,

y la suma Sr es la masa del cuerpo, que nosotros designaremos por
medio de y. En el segundo término escribimos:

Env[0r)= Dm (VA) r= (VE) En.
‘Aqui se ve que si el origen del sistema de coordenadas móvil se
ha elegido en el centro de inercia, este término se anula, puesto

que entonces Eme=0. Finalmente, en el tercer término desarro-
Hamos el cuadrado del producto vectorial y obtenemos:

THE ++ Dm (or (an). (25,1)

De esta forma la energía cinética del sólido se puede imaginar
en forma de una suma de dos términos. El primer término de (25,1)
es la energía cinética del movimiento de traslación; la expresión
de esta energía tiene aquí la misma forma que si toda la masa del
‘cuerpo se encontrara en su centro de inercia. El segundo término
+s la energía cinética del movimiento de rotación, con la velocidad
‘angular $, alrededor del eje que pasa por el centro de inercia. De-
emos subrayar que la descomposición de la energía cinética en
dos partes sólo es posible con la condición de que el origen del sis-
lema de coordenadas unido al cuerpo sea tomado en el centro de
inercia de éste.

Escribamos ahora la expresión de la energía cinética de rotación
en notaciones tensoriales, es decir, por medio de las componentes

93. 90 Capitulo VI. Movimiento del sólido

X. 9, de los vectores r y 22". Tendremos:
Too = Em (M9 Que
In

Aqui se ha utilizado la identidad &,=5„0,, donde 6,y es el tensor
unitario (cuyas componentes son iguales a la unidad cuando
y a cero cuando ik). Introduciendo el tensor

I= Dim (on) (25,2)

obtenemos la expresión definitiva de la energía cinética del sólido
bajo la forma

TR. (253)

$22, Im.

La función de Lagrange del sólido se obtiene de (25,3) restan-
do la energía potencial:

か 5 の

La energía potencial, en el caso general, es función de seis variables
que determinan la posición del sólido, por ejemplo, las tres coorde-
nadas X, Y, Z del centro de inercia y los tres ángulos que determinan
la orientación de los ejes de coordenadas móviles respecto a los
os

El tensor Ji, se llama tensor de los momentos de inercia 0 sim-
plemente tensor de inercia del cuerpo. Por su definición (25,2) es
evidente que este vector es simétrico, es decir,

la Ip (25,5)
Para mayor claridad escribiremos sus componentes de forma
explícita en la matriz siguiente:

ae の の ー タ me — —Eme
に (25,6)

HS mus Eni+2)-Enye
¿Bm —Ymey zee+ の

Con ls letras tk, L se designan los indices tensoriales qué toman los
yalorebt, 2,3. Af hacerlo e aplica en todas partes In regla de sumación. de acuer.
do con la “cual las signos sumatorios se omiten, y se sobrentiends que lodos log
Indices dobles ¢{mudos") representan la sumación sobre los valores 1,2, 3: sat
fuBr=AB, Ale Aire A, etc. La nolación de los indices mudos se puede came
biat, evidentemente, de forma arbllrria (siempre que no eoineida con la de otros
Indices tensorates que figuren en la misma expresión)

94. 을 25. Tensor de inereia 위

Las componentes Jax. Iyyı Je: se Haman a veces momentos de
inercia con respecto a 10% ejes Correspondientes.

El tensor de inercia, evidentemente, es aditivo, es decir, los
‘momentos de inercia del cuerpo son iguales a las sumas de los: mo-
mentos de inercia de sus partes.

Si el sólido se puede considerar continuo (con la densidad p).
en la definición (25,2) la-suma se sustituye por una integral que se
extiende al volumen del cuerpo:

La = À p (Ba — x) dv. 425.7)

Como todo tensor simétrico de segundo rango, el tensor de iner-
cia se puede reducir a la forma diagonal eligiendo convenientemente
las direcciones de los ejes x, x, 45. Estas direcciones se Haman
ejes principales de inercia, y los valores correspondientes de las
componentes del tensor, momentos principales de inercia; los de-
signaremos por JL, I,, Si los ejes x, Xu X se eligen de esta forma,
la energía cinética de rotación se expresa con suma sencillez:

Ten = FU LP + 14), (25.5)

Debemos advertir que cada uno de los tres momentos de inercia
principales no puede ser mayor que la suma de los otros dos. Asi,
Le Dm ++ 28) > Dm he (25,9)

El cuerpo cuyos tres momentos de inercia principales son dife-
rentes se llama trompo asimétrico.

Si dos momentos de inercia principales son iguales entre si,
1y=L yl, el sólido se llama trompo simétrico. En este caso la
dirección de los ejes principales en el plano xx, se puede hacer
arbitrariamente.

Si los tres momentos de inercia principales son iguales, el só-
lido se Nama trompo esférico. En este caso se pueden elegir arbitra
riamente los tres ejes de inercia principales: como tales se pueden
tomar tres ejes perpendiculares entre si cualesquiera.

Si el sólido tiene una simetría cualquiera sus ejes se hallan con
más facilidad, puesto que es evidente que, en este caso, la posición
del centro de inercia y las direcciones de los ejes de inercia prin
cipales deberán tener esta misma simetria

Por ejemplo, si el cuerpo tiene un plano de simetría, el centro
de inercia debe encontrarse en este plano. En este mismo plano se
encontrarán también dos ejes de inercia principales, y el tercero
será perpendicular a ellos. Un caso evidente de este tipo es el de
un sistema de partículas situadas en un plano. En este caso existe
una correlación simple entre los tres momentos de inercia princi-
pales. Si el plano del sistema se toma como plano x,xa, teniendo

95. 92 Capítulo VI. Movimiento del sólido

en cuenta que para todas las particulas x,=0, resulta:
h=Ëme, L=Ëma hinten),
de manera que

AS (25,10)

Si el cuerpo tiene un eje de simetria de cualquier orden, el centro
de inercia se encuentra en este eje. Con él coincide uno de los ejes
de inercia principales, y los otros dos son perpendiculares al mismo.
En este caso, si el orden del eje de simetría es superior al segundo,
el cuerpo será un trompo simétrico. En electo, cada eje principal
(perpendicular al eje de simetria) se puede hacer girar un ángulo
diferente de 180°, es decir, la elección de estos ejes no es única, cosa
que ocurre solamente en el caso del trompo simétrico.

Un caso particular es el de un sistema de partículas situad:
a lo largo de una recta. Tomando esta recta como eje x,, para tod:
las partículas x, 0 y, por lo tanto, dos momentos de inercia
son iguales entre sí y el tercero es igual a cero:

ムー ルー ニダ. 1,=0. (25,11)
Este sistema recibe el nombre de rotador. La caracteristica que
distingue al rotador del caso general de cuerpo arbitrario es la de
poseer únicamente dos grados de libertad de rotación (en vez de
tres), correspondientes a las rotaciones alrededor de los ejes x,
y x.. puesto que hablar de la rotación de la recta alrededor de si
misma carece de sentido.

Finalmente haremos otra advertencia sobre el cálculo del tensor
de inercia. Aunque hemos determinado este tensor respecto a un
sistema de coordenadas con origen en el centro de inercia (única-
mente en este caso es válida la fórmula fundamental (25,3)), puede
resultar más cómodo calcular previamente un tensor análogo

dia Dm a xx),
delerminado respecto a otro origen O”. En este caso, si la distancia
00” viene dada-por un vector a, tendremos que r= r’+-a,x; Xp 70.
y teniendo en cuenta que Zmr--0, por definición del punto 0.
ie +H (aaa): (25.12)

hallamos:
Tin

Con esta fórmula, y conociendo fia, es fácil calcular el tensor Ja

que buscamos.

Problemas.

1. Hallar los momentos de inercia principales de una molécula, considerán-
la como un sistema de particulas que e encuentran entre si a distancias Invas
ble, en los casos siguientes

96. 25. Tensor de inercia 99

3) la molécula es triatómica y sus átomos se hallan en una recta.
Solución.

at Llama, ムー
siendo my my. malas masas delos átomos y Is ls ha at
ite le homos À y 21 9.299.

이 molecule iuers diatémies et
resultado seria, evidentemente, igual
oduct dels musas reducidas de ambos
tomos por el cuadrado de la distancia {
entre alos

jah mn,
Hem

Fig. 20 af

b) la molécula es triatómica y tiene la forma de un Aciámgulo isOsceies
die. 20. |

Soluciôn. El centro de inercia se encuentra sobre la altura del triángulo
a la distancia miu de su base. Los momentos de inercia será:

ae /,

Met, naht
2. Her Js momentos de 1000 pips de 10 comp homainen
sata de oneitod 1.

uP, [30 (el espesor de la barra se desprecia).
») une esters de radio Re

Solución

2
시 que

Ge debe calcular la suma += 2p fr).
9 un cilindro circular de radio R y altura た

es es gd eje del cilindro).
‘dun paralelepipedo rectangular de aristas a, b. 0.

Solución:

Karen
GE

の の

(os ejes 21, x: & Se toman paralelos a las arístas a,b. の

97. 배 Capítulo VI, Mov!

nto del sólido

im elipsde de tres eje cuyos semijes son a, bye

Soil? “El como de ee coms can el ce dl paide y os
ejes de inercia principales, con sus eje. La Integración de volumen del elizalde
se pued reducir a 1a integración de volumen de una calera haciendo la rans
forma de coordenadas xa, y=bn, 2c, con lo que la ceuecien de la su
PROG

PO
SE
0 conos en I coule de 1 mp dela etc an
Entre
De ets form, para el momento de eris rec a je x obtenemos
we
ı

p for marine [moro anata
mach rote,

donde 1" es el momento de inercia de la estera de radio unitario. Teniendo en
cuente que el volumen del elipsoide esxabe/S, oblenemos en definitiva los me
mentos de inercia

Loro Lito, hatten
heben, hebt, naht.

5, Hallar la frecuencia de las oiléiones pequeñas de un péndulo físico
fe 0606 de um slide que rl en ei compo dela gavedad en lomo 2 un ej
Horzan Ho),

Sabre Ses i dla ee cto de necia dl into hae 인
sie de rotación y a, B. y. los ángulos que forman las direcionts de sus fer de
Fi pale con ede e ascot de jus lr de
el 60000 g entre la vetical yla pependiclar trazada desde el centro de Iren
al eje de rotación. La velocidad del centro de inercia Vig y las proyecciones
de la velocidad angular sobre los ejs de inercia principales: cos a, @ cosy
Esos Cansderando que el ángulo pes pequeño, hallamos Is energie potencia

en bre

Per lo tanto, la función de Lagrange será:

Bat
AP costa cost + 1g cost y HEE

Ge donde paca la frecuencia de los oscilaciones tendremos;

sim 4
STEHT Er"

‚Haller la energía cinética del sistemo representado en la fig. 21, donde OA
y AB son unes varias homogéneas de longitud sujetas entre si $ charnela en el
punto Aa verla 04 ica fr el plano del Has) alsededor del punto Oye}
extremo B de la varilla AB se desilza a lo tee del eje OX

98. 25, Tensor de inercia 95

cnet ei eo wa rie A ee
tra en su punto medio) es 19/2, siendo q el ángulo AOB. Por lo tanto, la energía
cinética de la: varilla OA ss ~ ii

0000

Qu es la masa de la varilla).

Fig 21

ions i SEN A
e rare Viso to lee et rl

también es igual a qa su energía cinética

Th rn Te
Y la enegla indie 10101 del ssema

at spé
Te utseng de

(donde se ha hecho la sustitución 74912. de acuerdo con el problema 2).
"5° Hallar la energía lnéica de un cilindro de radio R que rueda por un
plane. La masa de efindo está distribuida por su volumen de forma que uno
BOS eta de rei principales ez paralelo al ee del cilindro y pasa la di
Tina de moments e pc con aint el A es
ción: Llamaremos y al ángulo comprendido entre 3 1 a
pendiculr trazada dese el centro de gravedad al ee del cilindro 06. 22. El
Rovimiento dl eindr en cada nula se puede considera como una roten.

Fla 2 Fig. 23

pura alrededor de un ej instantáneo que coincide con la 11060 de contacto con el
Nano fijo; a velocidad angular de sta rotación es (lo velocidad angular de
Placé alrededor de todos lo ejes paateos es la misma). El 0000 de 10004

se encuentra a la distancia Y art RT-BaRkos q del eje Instantáneo y. por 10

99. 96 Capitulo VI. Movimiento del sótido

lao, u velocidad os Vag VERE La cage cotta wn
braco gral oe

6. Hallar la energía cinética de un cilindro homogéneo de radio a, que rueda
por ia parte interna de una superficie cilindrica de radio R hig 20)

Solución. Llamamos g al ángulo comprendido entr la suda que une entre
a los centros de los dos cilindros y la vertical. El centro de inercia del cilindro
ue ed se encuentra en el ej y su velocidad Vap(R — a). La velocidad anew
fr la calculamos como velocidad de rolación Pur alrededor de de instanines,
que coincide con la lines de contacto ente los clindros esta velocidad es
Y ¿Ra

=?

a

Si Jy es el momento de inercia con relación al eje del

Th (Ro ge + BRE

ad Range

(el valor de /3 lo hemos tomado del problema 29.

$26. MOMENTO DE IMPULSION DEL SOLIDO

El momento de impulsión o cinético de un sistema depende,
como ya sabemos, del punto con respecto al cual se halla determ

nado. En la mecánica del sólido lo más racional es elegir este punto
de forma que coincida con el origen del sistema de coordenadas

móvil, es decir, en el centro de inercia del cuerpo. En adelante
llamaremos Mal momento determinado precisamente de esta
forma.

De acuerdo con la fórmula (9,6), al elegir el origen de coordena-

das en el centro de inercia del cuerpo su momento M coincide con
el “momento propio”, ligado únicamente con el movimiento de los
puntos del cuerpo con relación al centro de inercia, En otras pala-
ras, en la definición de M=2mlrv] hay que sustituir v por [Gr]:
M=3m (5 (81]]=3 mr 0—r (12),
© en notaciones tensoriales
Mie Enix} = 0, Em tz).
Finalmente, teniendo en cuenta la definición (25,2) del tensor de
inercia, obtenemos
Mila (26,1)
Si los ejes x,, x,, x, están dirigidos según los ejes de inercia
principales del cuerpo, esta fórmula da
Mel, Men, My=1,2, (25.2)

100. § 26. Momento de impulsión del sólido 97

Concretamente, para el trompo esférico, en que los tres mo-
mentos de inercia principales son iguales, tenemos sencillamente que

M=/2, (25,3)

es decir, el vector momento es proporcional al vector velocidad
angular y tiene la misma dirección que él.

En el caso general de un cuerpo cualquiera el vector M no coin-
cide en dirección con el @, y únicamente cuando el cuerpo gira
alrededor de uno cualquiera de sus ejes de inercia principales M.
y @ ticnen la misma dirección.

Consideremos el movimiento libre de un sólido que no esté
sometido a la acción de ninguna fuerza exterior. El movimiento de
traslación uniforme no ofrece interés y vamos a suponerlo excluido,
de manera que nos referiremos a la rotación libre del cuerpo

Como en todo sistema cerrado, el momento de impulsión de
un cuerpo que gira libremente es constante. Para el trompo esférico
la condición M=const conduce sencillamente a @= const. Esto
significa que, en el caso general, la rotación libre del trompo es-
férico es simplemente una rotación uniforme alrededor de un eje
constante

También es muy simple el caso del rotador, Aqui también Mu
/2, con la particularidad de que el vector $ es perpendicular ai
eje del rotador. Por esto, su sota-
cion libre es una rotación uniforme
en un plano, alrededor de una
dirección perpendicular a dicho
plano.

La ley dela conservación del
momento también es suficiente
para definir la rotación libre, más
compleja, del trompo simétrico.

Como en este caso la dirección
de los ejes de inercia principales
x, y xs (perpendiculares al eje de
simetría x, del trompo) se puede

elegir arbitrariamente, tomamos el eje x: perpendicular al plano
determinado por el vector constante M y por la posición instanta-
nea del eje x,. Entonces M,=0, y por la formula (25,2) vemos que
9,0 Esto quiere decir que las direcciones de M, A y del eje del
trompo en cada instante se encuentran en un mismo plano (fig. 24).
Pero de aqui se deduce a su vez que las velocidades v- [fr] de

101. 38 Capitulo VI. Movimiento del sólido

todos los puntos situados en el eje del trompo en cada instante son
perpendiculares al plano indicado; en otros términos, el eje del
trompo (véase más abajo) gira uniformemente alrededor de la di
rección de M, describiendo un cono circular (precesión regular
del trompo). Al mismo tiempo que realiza esta precesión, el trompo.
gira alrededor de su propio eje.

Las velocidades angulares de estas dos rotaciones se pueden
expresar fácilmente en función del momento M dado y del än-
gulo de inclinación 0 del eje del trompo respecto a la dirección
de M. La velocidad angular de ia rolacion del trompo alrededor de
su eje es simplemente la proyección 9, del vector $ sobre este eje:

cose. (26,4)

Para hallar la velocidad de precesiön ©,, hay que descomponer
el vector 의, siguiendo la regla del paralelogramo, en sus compo-
nentes sobre x, y M. La primera de estas componentes no origina
ninguna tresl

que da la velocidad angular de precesión buscada. De la construc-
ción que muestra la fig. 24 se deduce claramente que sen 082,,—2,,
y como Q,=M,/1,=/M sen 9/1,, oblenemos:

M
=f. (25,5)

$27. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DEL SOLIDO

Como el sólido tiene en el caso general seis grados de libertad,
el sistema general de ecuaciones del movimiento deberá constar
de seis ecuaciones independientes. Estas ecuaciones se pueden con-
cebir de forma que determinen las derivadas respecto al tiempo de
dos vectores: impulsión y momento del cuerpo.
La primera, de estas ecuaciones se obtiene fácilmente sumando
las ecuaciones pat de cada una de las partículas que componen el
cuerpo, siendo p la impulsión de la partícula y 1 a fuerza que acti
sobre ella. Considerando la impulsión total del cuerpo
P=YHp=pV
y la fuerza total que sobre el cuerpo actúa や =F, obtenemos:
ar
Por

(27.1)

Aunque hemos definido F como la suma de todas las fuerzas
1 que actúan sobre cada una de las particulas, incluyendo las que
ejercen las demás partículas del cuerpo, en realidad Festá compues-
ta únicamente por las fuerzas que ejercen las fuentes externas,

102. $97 Ecuaciones del movimiento del sólido 9

puesto que todas las fuerzas de interacción entre las partículas del
propio cuerpo se neutralizan entre si. Efectivamente, en ausencia
de fuerzas exteriores la impulsión del cuerpo, como la de todo sis:
tema cerrado, debe conservarse, es decir, F debe ser igual a cero.
Si U es la energía potencial. del sólido en un campo exterior,
la fuerza F se puede determinar derivando dicha energía respecto
a las coordenadas del centro de inercia del cuerpo:
Pe 272)
‘En efecto, si el cuerpo recorre un espacio 6R,, los radios vectores R
‘uno de sus puntos variarán igualmente y, por lo tanto,
ión de la energía potencial será:

SU = Y) SF OR=5R. DIE — SR, St = —FOR

Pasemos ahora a deducir la segunda ecuación del movimiento,
que delermina la derivada respecto al tiempo del momento de
impulsión M. Para simplificar la deducción conviene elegir el
sistema de referencia “fijo” (inercial) de tal forma que en un instante
dado el centro de inercia del cuerpo esté en reposo respecto a él
La ecuación del movimiento obtenida de esta forma será válida,
en virtud del principio de la relatividad de Galileo, en cualquier
otro sistema inercial de referencia

Tenemos, pues.

ao ip] Pen

M=z Zl) = Vly) + Dee] -
Como resultado de la elección que hemos hecho del sistema de
referencia (en el cual V0) el valor de r en un instante dado coin-

cide con la velocidad v=R. Y como los vectores v y p=mv tienen

la misma dirección, (rp|=0. Sustituyendo también p por la fuerza
f, obtenemos finalmente:

fox, (273)
donde
K= ln). (の の

El vector (rf) se llama momento de la fuerza 1, de manera que
K es la suma de los momentos de todas las fuerzasque actúan sobre
el cuerpo. Lo mismo que en la fuerza total F, en la suma (27,4)
deberán tenerse en cuenta de hecho únicamente las fuerzas externas;
porque de acuerdo con la ley de la conservación del momento de
impulsión, la suma de los momentos de todas las fuerzas que actúan
dentro de un sistema cerrado deberá ser igual a cero.

103. 100 Capítulo VIL Movimiento del 59110.

El momento de fuerza, lo misme que el momento de impulsió;
depende en general del origen de coordenadas que se elija, y co
respecto al cual se define. En (27,5) y (27.4) los momentos st deli-
nen en relación al centro de inercia del cuerpo.

Si el origen de coordenadas se traslada a una distancia a, los
nuevos radios vectores r de los puntos del cuerpo estarán ligados
2 los antiguos r por r a. Por lo tanto

K= Dif] =D0r) Sat]

= +} ars
De aqui vemos, en particular, que el momento de las fuerzas no
depende del origen de coordenadas que se elija si la fuerza total
F=0 (en esle ceso se dice que el cuerpo está sometido a un par de
fuerzas).

La variación que experimenta la energía potencial {/ cuando
el cuerpo gira un ángulo infinitesimal dy es

— SHOR = — YE [pr] = —89 Yet] = —K6p,

— (27.5)
Esta fórmula del momento de fuerzas total es análoga a la (27,2)
de la fuerza total

Supongamos que los vectores F y K son perpendiculares entre si.
En este caso siempre se puede encontrar un vector a, que haga
que en la fórmula (27,5) se anule K’, de manera que tendremas
que

Ko [ar]. ern
Pero la elección de a no es unívoca, puesto que si se le suma cual
quier vector paralelo a F la igualdad (27.7) no varia, por lo tanto,
la condición K'=0 no da un punto determinado en el sistema de
coordenadas móvil, sino únicamente una recta. De esta forma,
cuando K LF la acción de todas las fuerzas aplicadas al cuerpo se
puede reducir a una fuerza F que actúe a lo largo de una recta de
terminada.

Este es el caso, por ejemplo, de un campo de fuerzas homogéneo
en el cual la fuerza que actúa sobre un punto material tiene la
forma f=eE, donde É es un vector constante que caracteriza el
compo y e. una magnitud que caracteriza las propiedades de la
;particula, respect a dicho campo”. En este caso tenemos que

FEA k=(Xe E)

dar Em un campo tio untterme E es la intensidad ¿el mismo y e, 18
iyo de la partícula. En um campo de gravedad uniforme E es la acelerecion
dea gravedtd'g y e cola mason de a partio

104. $ 28. Contacto de cuespos sólidos 101

Suponiendo Ze» 0, introduzcamos el radio vector ra definido por

mejo. 127,8)

Entonces obtenemos para el momento de fuerzas total la expre-
sión siguiente

=. 6079)
Es decir, cuando un sólido se mueve en un campo homogéneo la
influencia de este último se reduce a la acción de una fuerza F
“aplicada” al punto de radio vector (27,8). La posición de este
punto viene dada perfectamente por las propiedades del propio
cuerpo; en el campo de la gravedad, por ejemplo, coincide con el
centro de inercia del cuerpo.

$28. CONTACTO DE CUERPOS SOLIDOS

Las condiciones de equilibrio de un sólido, como puede verse por
las ecuaciones del movimiento (27,1) y (27,3), se pueden plantear

jalando a cero la fuerza y el momento totales que actúen sobre
él, es decir,

(28,1)

La suma incluye en este caso todas las fuerzas externas aplicadas
al cuerpo, y r representa los radios vectores de los “puntos de apli-
cación” de las fuerzas; el punto (origen de coordenadas) respecto
al cual se determinan los momentos se puede elegir arbitraria-

te, porque cuando F 0 el valor de K no depende de esta elec-
iön.

Si se trata de un sistema de sólidos en contacto mutuo, al estar
en equilibrio, las condiciones (28,1) deben cumplirse independien-
temente por cada uno de los cuerpos. En este caso, entre las fuerzas
deberán incluirse aquellas que actúan sobre cada cuerpo por parte
de los demás, que están en contacto con él. Estas fuerzas están
aplicadas a los puntos de contacto entre los cuerpos y se llaman
fuerzas de reacción. Es evidente que para cada dos cuerpos las fuer-
zas de reacción mutuas son iguales en magnitud y tienen sentidos
contrarios.

En el caso general tanto las magnitudes como los sentidos de
las reacciones se definen resolviendo conjuntamente el sistema de
ecuaciones de equilibrio (28,1) de todos los cuerpos. No obstante,
en ciertos casos, la dirección de las fuerzas de reacción viene dada
por las condiciones del problema. Así, si dos cuerpos pueden des-
jizarse libremente el uno por la superficie del otro, las fuerzas de

105. 102 Capitulo VI. Movimento del sólido

reacción entre los mismos serán normales a sus superficies de e
facto.

Si los cuerpos en contacto se mueven el uno con relación a!
otro. además de las fuerzas de reacción aparecen fuerzas de carácter
disipativo, Mamadas de rozamiento o frotamiento.

Existen dos tipos de movimiento de cuerpos en contacto
de destizamiento y de rodadura. Cuando el movimiento es de des.
lizamiento las reacciones son perpendiculares a las superficies de
gontacto y las fuerzas de rozamiento son tangents a dichas super
cies.

El rodamiento puro se caracteriza por el hecho de que en los
puntos de contacto no existe movimiento relativo entre los cuerpos,
es decir, el cuerpo que rueda se comporta en cada instante como si
estuviera sujeto en el punto de contacto. En este caso las fuerzas
de reacción tienen sentidos arbitrarios, es decir, no es obligatorio
que sean perpendiculares a las superficies en contacto. Pero el
rozamiento se manifiesta entonces en forma de un momento de
fuerzas complementario que dificulta la rodadura.

Si en un deslizamiento el roce es tan pequeño que se puede
despreciar completamente, las superficies de los cuerpos que rozan
se dice que son perfectamente lisas. Por el contrario, si las propie-
dades de las superficies permiten solamente un rodamiento puro de
los cuerpos, sin que se desticen entre si, y el rozamiento al rodar
se puede despreciar, se dice que estas superficies son perfectamente
rugosas.

En ambos casos las fuerzas de rozamiento no figuran explici-
tamente en et problema del movimiento de los cuerpos y, por lo tanto.
dicho problema es puramente mecánico. Pero si las propiedades
concretas del rozamiento influyen sensiblemente en el movimiento,
este último no se puede considerar ya como un proceso puramente
mecánico (comparese con lo dicho en el § 20).

El contacto disminuye el número de grados de libertad de los
cuerpos, en comparación con los que tienen cuando se mueven
libremente. Hasta ahora, al estudiar este tipo de problemas, he-
mos tenido en cuenta este hecho tomando unas coordenadas que
correspondían directamente al número real de grados de libertad.
Pero: cuando los cuerpos ruedan puede. resultar imposible elegir
unas coordenadas que tengan-estas propiedades

La condición que se impone al movimiento de los cuerpos cuando
fuedan consiste en que las velocidades de los puntos en contacto
sean iguales (asi, cuando uncuerpo rueda por una superficie inmóvil
la velocidad de los puntos de contacto debe ser igual a cero). En
el caso general esta condición viene expresada por las ecuaciones
de-ligadura, que tienen la forma

Beat:

(28,2)

106. $25 Contacto de cuerpos sólidos 103

donde las cy, son funciones exclusivas de las coordenadas (el Sue
bindice g sirve para nu rerar las ecuaciones de ligadura). Si los
primeros miembros de estas igualilades. no son derivadas totales
Fespecto al tiempo de unas funciones cualesquiera de las coorde-
nadas, estas ecuaciones no se pueden integrar, es decir, noseredu-
‘cen a cortelaciones exclusivas entre las-coordenadas que se podrían
utilizar para expresar la posición de los cuerpos por medio del me-
nor número de coordenadas, de acuerdo con el número real de gra-
dos de libertad. Estas ligaduras se llaman no holönomas (en opo-
sición a las holónomas, que no relacionan más que las coordenadas).

“Consideremos, por ejemplo, el caso de una eslera que rueda por
una superficie plana. Como siempre, Ilamäremos V a la: velocidad!
del movimiento de irastación (velocidad del centio de la esfera)
y 2 a la velocidad angular de su rotación, La velocidad del punto
de contacto de la esfera con el plano se obtiene haciendo la susti-
tución r-—an en la formula general v-=V-(9el, (a es el radio de
la esfera y nel vector unitario de la normal al plano de rodadura
en el punto de contacto). La ligadura buscada expresa la condición
de inexistencia de deslizamiento en el punto de contacto, es decir,
viene dada por la ecuación

v-a[@n]=0. (28,3)
Esta ecuación no se puede integrar a pesar de que la velocidad Y
es la derivada total respecto al tiempo del radio vector del centro
de la esfera, porque la velocidad angular, en el caso general, no es
derivada total de ningunas coordenadas. Por lo tanto, la ligadura
(28,3) es no holónoma "

Para plantear las ecuaciones del movimiento de cuerpos en
contacto existe un método basado en la incorporación explicita de
las fuerzas de reacción. La esencia de este método (que consituye
el principio de d'Alembert) consiste en que para cada uno de los
cuerpos en contacto se escriben las ecuaciones

dm

Loy Bazi, (28,4)

en este caso en el número de fuerzas 1 que aclúan sobre el cuerpo
se incluyen también las de reacción; estas fuerzas se desconocen al
principio y se determinan, al mismo tiempo que el movimiento del
Cuerpo, después de resolver las ecuaciones. Este mélodo se puede
utilizar tanto en el caso de ligaduras holénomas como en el de no
holónomas.

En el caso de un clíndro que rueda esta ligadura seria holónoma, puesto
que el eje de rotación conserva durante (ta una dirección constante en el espacio
Shoe lomo, Merad es La deivada tota! de ángulo de rotación @ del cilinéro
Jisbdedor de su eje. La correlación (2, 3) se puede integrar en este caso y da la
colación entre a Soordenad del centro de inercia y el ángulo 수

107. 104 Capítulo Vi. Movimiento del sólido

zando el prluciio de d’Alembert, alar los ecuaciones dl mo
una esfera” homogénea que rueda por un plano impulsada por una
fuerza exterior E y un momento de luerzas K. 4

Solución. La Ecuación de ligadura (28,3) se da en el texto. Inteoduciendo
la fuerza de reaceiön (que llamatemas R) aplicada en el punto de contacto de la
sera con el plano, escribimos las ecuaciones (28,9:

Deer, a
2
17 =K—alR] a

‘el trompo esférico M=/9). Deri-
¡ón al tiempo, oblenemos:

(aquí se tiene en cuenta que Pep y que
Nahe la ecuación de ligadura (28.3) con Flach

V=e(00]

oniendo este valor en la ecuación (1 nando Si con ayuda de (2),
Folios ha ecuación “> van a
ZR) = Ike] aR «ban (aR),

que selaciona la fuerza de reacción con F y K. Escribiendo esta ecuación por me-
dio de las componentes y

asian Je at (te epee

2 de § 29. tenemos
RE Er

{como plano xy se ha tomado el de rodamien-
to). Finalmente, poniendo estas expresiones.
en (1). obtenemos las ecuaciones del movimien-
10, en las cuales figuran solamente la fuerza.
exterior y el momento

Grund (re4-),

2)

Fig. 25

Jas componentes, Qy de 14 velocidad angular se expresan en función de Va.
Wy por medio de la ccutción de Iigadura (E Di Y pata Br tenemos la cación

2. 0,
ler zul

で es la componente de la ecuación (2).

108. $28. Contacto de cuerpos sólidos 105

2. Una varilla homogénea BD de peso P y longitu está apoyado
como ines a Ni, 580 28 extremo Inferior D se sujeto con el le
fesse en los puntos de spoyo y la enstén del lo.

ared
站

Solución. EI peso dela vail se representa como una fuerza P aplicada à
su pinta medio y dilo yralmene aia bao. al de reel Ra

"dida vertcslmente hacia arcón y la Re peependculrmente «To var
Feet del hilo 7 tiene la dicción BA. La Solución de ls souaciones de qu.
Trio de

we
\
\

3. Una varilla AB de peso P tiene apo-
yado uno de sus exiremos En un plano hort
Font yl où en tn plano viel th

y 32 mantiene en esta posición por me:

"e dos hilos horizontales AD y BC: el
‘BC se encuentra en un plano verti
con la varilla AB. Hallar la rescción en
i Versión de los hilos.

Solución. Las tensiones de los hilos Ta y Ta tlenen respectivamente 11
direcctones AD y BC. Las reacciones Ra y Rn son perpendiculares a los planos
respectivos. La solución de las ecuaciones de equilibrio da:

P, Tyee, Ra=Tgsnf, Ta

8 cos Pa

109. 105 Capitulo VI Movimiento del sólido

4. Das varillas de langitud / están unidas s charnela por arriba y con un hilo
AB (fi. 27) por abaju. En el punto medio de una de ellas está aplicada une fuerza
F {el peso de las varilas se desprecia), Hallar las fuerzas de teacción.

Solución: La tensión 7 del hilo 0100 en el punto A en ls disección AB y en
el punto 8, en la dirección BA. Las reueciones Ra y fp en los puntos À y 8,
respectivamente, son perpendiculares al plano de 20030. Si llamamos Re 4 lá
Inetza de reacción en la Charnela, que actúa sobre la varilla AC, sobre la varilla
BC acluará la reacción 一 Re. La condición de que ls suma de les momentos
de las fuerzas Ry, T y — Re, que actúan sobre la varilla BC, debe ser Igual a
cero impone que el vector RC esté dirigido à lo largo de BC. Las demás condi-
ciones de equilibrio (para cada varilla) conducen a los valores siguientes:

1
Tezrota,

donde a es el ángulo CAB.

$29. MOVIMIENTO EN UN SISTEMA DE REFERENCIA
NO INERCIAL

Hasta ahora, al considerar el movimiento de un sistema me-
cánico cualquiera, siempre lo hemos referido a un sistema de refe-
rencia inercial, Unicamente en los sistemas inerciales de referencia
la función de Lagrange, por ejemplo, de una particula en un campo
exterior toma la forma

LRU, (29,1)
y, Por consiguiente, la ecuación del movimiento es
o...

a #

(en este pärrafo señalaremos con el subíndice O las magnitudes que
se refieren a un sistema inercial de referencia).

Ahora nos ocuparemos de la forma que toman las ecuaciones
del movimiento de una partícula en un sistema de referencia no
inercial. El punto de partida para resolver esta cuestión vuelve
a ser el principio,“ de minima acción, cuya utilización no está
limitáda-por; una determinada elección del sistema de referencia;
además de este principio continúan en vigor las ecuaciones de
Lagrange

re

aut. (29,2)

Pero la función de Lagrange no tiene ya la forma (29.1), y para
hallarla hay que RE PR
la función La

110. $ 29. Movimiento en un sltema de referencia no inercial 107

Esta Iransformación la haremos en dos etapas. Consideraremos
primeramente un sistema de referencia-K' que tenga, con respecto
Al sistema inercial K,, un movimiento de traslación cuya velocidad
Sea V( Las velocidades v, y Y de la particula respecto a los sis-
lemas K, y K' estarán relacionadas entre sí por la correleción
eV + VD. (29,3)

Poniendo esta expresión en (29,1) obtenemos la Junción de La-
grange en el sistema A

Vet tm v+ Vu,

Pero V¥(f) es una función dada del tiempo, que se puede repre-
sentar como la derivada total respecto al tiempo de otra función
determinada y. por lo tanto, el tercer término del segundo miembro
de la expresión anterior se puede omitir. Por otra parte, v=dr'/dt,
donde r/ es el radio vector de la particula en el sistema de coorde:
nadas K’; por consiguiente

mv (vam ve) me E

Portando te valor en la Función de Lagiange y volviendo
a omitir la derivada total respecto al tiempo, obtenemos en
definitiva que

LOU, (294)

donde We=dV/dt es la aceleración del movimiento de traslación

istema de referencia K'.
Planteando la ecuación de Lagrange con ayuda de (29,4), ob-

ge 8
m= Bn wio, (29,5)

Vemos, pues, que por el sentido de su influencia sobre la ecua-
ción del movimiento de la partícula, el movimiento de traslación
acelerado del sistema de referencia equivale a la aparición de un
campo de fuerzas uniforme, con la particularidad de que la fuerza
que actúa en este campo es igual al producto de la masa de la par-
icula por la aceleración W y su dirección es contraria a la de esta
aceleración.

Introduzcamos ahora otro sistema de referencia K que tenga
común con el sistema K el origen, pero que gire respecto a él con
la velocidad angular 9(0: con relación al sistema inercial K, el
sistema K realizará dos movimientos, uno de traslación y otro de
rotación,

111. 208 Capitulo VI. Movimiento del sólido

La velocidad w de la particula respecto al sistema K’ se com
pone de su velocidad y con relación al sistema K y de la velocidad
[Gr] de su rotación junto con el sistema 4:

Wav (Or)
(los radios vectores r y r de la particule en los sistemas K y K’
coinciden), Poniendo esta expresión en la función de Lagrange
(29,4). oblenemas:

Lv (Or) + Zr mWe—U (29,6)

Esta es la forma general de Ta función de Lagrange de la parti
て ula en un sistema cualquiera de referencia no inercial, Adverti-
mos que la rotación del sistema de referencia hace que en la fur.
ción de Lagrange aparezca un término cuya forma es muy especial:
lineal respecto a la velocidad de la particula

Para calcular las derivadas que figuran en la ecuación de La-
grange, escribimos la diferencial total

di == mv dy + m dy [Mr] + mv (Qdr] 4 [Or] | dr] — mW dr—
Für = mude + md [Dr] + mde(v0]4+ me (Or) 9]dr—

Reuniendo los términos que contienen dv y de, hallamos:
Sex mv + m{Qr],
=m [v9] +m |e} 0) mw — 2,

Poniendo estas expresiones en (29,2), oblenemos la ecuación del
movimiento que buscábamos

H-mW fr] + 2m (V0) em 2H). 29,7)

cia se coniponen de tres partes: la fuerza ml,
relacionada con la no uniformidad de la rolación, y otras dos, que
existen ‚aunque la. rotación sea uniforme. La 10828 2mlvl se
llama fuerza de Coriolis: a diferencia de todas las demás fuerzas
que hemos estudiado antes (no disipativas), ésta depende de la
velocidad de la partícula. La fuerza mQ(rÍM] recibe el nombre
de centrifuga: Esta fuerza, en el plano que pasa por r y il, está
dirigida perpendicularmente al eje de rotación (es decir, en la
dirección de Q) y en el sentido que se aparta de dicho eje, la fuerza

112. $29. Movimento en un sistema de releneneia no inercial 109

centrifuga es igual 2 mpQs siendo p la distancia desde la parti-
cula_al eje de rotación.

Examinemos el caso parlicular de un sistema de coordenadas
que gire uniformemente, sin aceleración de traslación. Suponien-
do en (29,5) y (29,7) @= const y W=0, obtenemos la función
de Lagrange

La SF + mv{ Oe] + [ar U (29,8),
y la ecuacién del movimiento
mS = — Ft 2m [vO] mara) (29,9)

Calculemos también la energía de la particula en este caso.
Poniendo

p= Si = mv +m [Or] (29,10)
en E=pv—L, obtenemos:
= (Or +U. (29,11)

Como puede verse, en esta expresión de la energía no existe el
férmino lineal respecto a Ja velocidad. La influencia de la rotación
del sistema de referencia en dicha expresión se reduce a la adición
de un término que depende exclusivamente de las coordenadas de
la particula y que es proporcional al cuadrado de la velocidad an-
gular. Esta energia potencial suplementaria 一 (CIE se Mama
centrifuga.

La velocidad v de la particula con relación al sistema de refe
rencia que gira uniformemente está ligada a su propia velocí
ve con respecto al sistema inercial K, por

ve=v+ [fr]. (28,12)
Por esto, la impulsión p (29,10) de la partícula en el sistema K
coincide con la impulsión de esta misma partícula py mv, en el
sistema Ke Al mismo tiempo coinciden también los momentos de
impulsión Me= rpul y M--[rpl. Pero la energía de la particula
en los sistemas K y Ko es distinta. Poniendo el valor de v que da
(29,12) en (29,11), oblenemos

7

EE mve [ar] + U = ME Um (eve

Los dos primeros términos representan la energia E, en el sistema
Ko. Introduciendo en el último término el momento de impulsión,

113. 110 Capitulo VI. Movimiento del sólido

hallamos:
E=E,—MM. (29,13)

Esta fórmula define la ley de la transformación de la energía
al pasar a un sistema de coordenadas que gira uniformemente.
Aunque esta fórmula ha sido deducida para una sola perticula, es
evidente que los razonamientos empleados se pueden generalizar
inmediatamente al caso de un sistema cualquiera de particulas
y conducen a la misma fórmula (29,13).

Problemas

ns, i dación pect al tica, ss I rn de a
err, que.experimenta un cuerpo que cae ibremente. (Considerar que 1 ve:
toad Me de rolación es pegar), 4

jución. En el campo de la gravedsd U=—mpr, dende q es el vector ace-
leración dela gravedad: despreciando enla ecunción (19, ) la Ivrea Cm
E Ja cun gir el cunerado de, oblenemos la cación del movimiento Bo

=2lvQl+e の
Resolvemos esta ecuación por aproximaciones sucesivas. Para esto supone-
evar ete e có de die mE, e dc ler

Pa is 86400 Inici), Poniendo ve-w ve en (Y Hen de anse
bo Encamente Yu abenemos para vy ix Baden” =

Se 2 [v,0)==21 [gO] +2 [00].
Integrando, tenemos:

A a

de la partícula.

donde h es el vector de la posición Inici
hacia ariba y el eje x según el meri-

"omar ee zen dc veri
lana, Mc el plo; enonces

en, 2,

g=p=0 2
Dent send,

donde À es la Iatlud (que consideraremos norte). Haciendo en 的 la sun
tución md, HI が mA 빠

Be dE som,

hallamos finatmente

que 9
10 e ¿(Pocos

ón, respecto. a un plano: que suf ut cuerpo lanzado
feo la Need M vgs O

114. 을 29. Movimiento ou un sistema de referencia no inercia 111

8 ‚nos el plano xr de forma que la velocidad ya se encuenire en
a1 Ls allure lacio ue Para le desviación lateral, lo ecuación (de) problema 1

Ln ros

+, poniendo el tiempo que dura el recorrido # =

toed

yaa (dey costae).

3. Determinar lo influencia que ejece la rotación de la Tierra en la ose
laciones pequeñas de un péndulo [péndalo de Foucaull). à
Solucion, Despreciondo las desviaciones verticales del’ péndulo como inf
nitamente paqueñas de segundo orden. podemos considerar que el movimiento
Vene Ngar tm un plano horizontal xy. Haciendo omisión de los lérminos en que
figura 6, escribimos Tas ecuaciones del movimiento bajo la forma

テト gz 一 20 ゆ 。 py,
donde w es la frecuencia de las oscilaciones del péndulo sin contar la rotación
Aa Tieres. Multiplicando la segunda ecuación por 1 y sumindola a la primera,
obtenemos la ecuación única

E210, b+o%—0

donde la cantidad compleja E=x+ iy. Cuando M, で o la solución de este
ecuación toma la forma

e (Ae An)

$
lye (eo big)

onde es funciones x (0 e ga(O dan la trayectoria del pändula sin contarla rote
ción de la Tierra La influeneia de esta rtaclôn se reduce, por consiguiente, al
iro de la trayectoria alrededor de la vertical con la velocidad angular 2.

115. CAPITULO VII

ECUACIONES
CANONICAS

$30. ECUACIONES DE HAMILTON

La formulación de las leyes de la mecánica por medio de la
funciön de Lagrange (y de las ecuaciones lagrangianas que de ella
se deducen) presupone que la definición del estado mecánico del
sistema se haga dando sus coordenadas y velocidades generaliza-
das. Pero esta delinición no es la única posible. En la investiga-
ción de diversas cuestiones generales de la mecánica ofrece una
serie de ventajas la definición del estado mecánico del sistema me-
diante coordenadas e impulsiones generalizadas. Por esto se plan-
tea el problema de hallar las ecuaciones del movimiento correspon-
dientes a esta formulación.

Para pasar de un conjunto de variables independientes a otro
se emplea la transformación que en matemáticas se conoce con el
nombre de transformación de Legendre. En este caso la transfor
mación se reduce a lo siguiente.

La diferencial total de la función de Lagrange como función
de las coordenadas y de las veloci

de Eta Deg a

Esta expresión se puede escribir de la forma
aL =Yóda.+ D pads 0.1)

puesto que las derivadas AL/dg; son, por definición, las impulsio-
nes generalizadas, y OL/Oq,=p, en virtud de las ecuaciones de
Lagrange

iendo ahora el segundo término de (30,1) de la forma
Zrdi=d Œpan—Züdri.

indo la diferencial total d(3)p4) al primer miembro y cam-
NE

ABra—L)=— Er + Badr.

116. 5.30. Ecusciones 00 Hamilton 113

La cantidad que se encuentra bajo el signo diferencial repre-
senta la energia del sistema (véase el § 6): esta energía expresada
en función de las coordenadas y de las impulsiones recibe el nombre
de función de Hamilton

Hp. = Zpéi—L. (30.2)
De la igualdad diferencial

dH=— Zpdgı+ Dido (80,3)
se deducen las ecuaciones

ange, pie — He. (30,4)

Estas son las ecuaciones del movimiento referidas a las variab-
les p y q. es decir, las ecuaciones de Hamilton. Estas ecuaciones
congtiluyen un sisiema de 2s ecuaciones diferenciales de primer
orden para 2s funciones p(/ y gl) desconocidas, en lugar de las s
ecuaciones de segundo orden del método de Lagrange. Por su sen-
cillez formal y por su simetría, estas ecuaciones se llaman también
canónicas.

La derivada total de la función de Hamilton respecto al tiempo

dit on, y aH en;

SFL atl ea.

Sustituyendo aquí g, y fs por sus valores según (30,4), los dos
últimos términos se anulan mutuamente, de manera que
a
q. 008

En particular, si la función de Hamilton no depende del tiempo
explicitamente, dH/dt=0, es decir, volvemos otra vez a la ley de
la conservación de la energía. .

Además de las variables dinámicas q, 9 o q, p las funciones de
Lagrange y de Hamilton contienen diversos parámetros que son
magnitudes que caracterizan las propiedades del sistema mecé-
nico mismo o del campo exterior que actúa sobre él. Supongamos
que A es uno de estos parámetros. Si lo consideramos como una
magnitud variable, en lugar de (30,1) tendremos:

dt =D pda Dodi He,
después de lo cual, en lugar de (30,3), obtenemos:
aH = — Y bdo + Dido — 0,

117. 114 Capitulo VIL. Ecuaciones canónicas

de donde hallamos la correlación
71 aL

A, (}
que relaciona las derivadas parciales, respecto al parámetro A,
de las funciones de Lagrange y de Hamilton; los subindices de las
derivadas indican que la derivación deberá hacerse en un caso para
P y_g constantes y en otro para q y 9 constantes.

Este resultado se puede presentar de otra forma. Supongamos
que la función de Lagrange tiene la forma L=L,+L’, siendo L'
una pequeña cantidad adicional a la función principal L,. Entonces,
1a cantidad adicional correspondiente en la función de Hamilton
H=H,-+H' estará relacionada con L' por medio de

Us Whe on

(30.6)

Problems

1. Hallar la función de Hamilton de un punto material, en coordenadas.
cortesanas, cilíndricas y esléicas.
Solución. En las coordenadas cartesianas x, y, 2

Abe a y
En las coordenadas eilindrias 1. q. 7

(CAPOTE
Y en las coordenadas esféricas 7.0. 9:

uE
eo

2. Hallar la función de Hamilton de una particule en vn sistema de rele-
rencia que gica uniformemente,
Solución: De acuerdo con (39, 11) y (29, 10), obtenemos:

#
A

$ 81. ECUACION DE HAMILTON 一 JACOBI

Al enunciar el principio de mínima acción consideramos la
integral
s=\Ldt (81.1)

118. $31. Ecuaciones de Hamilten—Jadobi 115

tomada siguiendo la trayectoria entre las dos posiciones dadas
q" y q que el sistema ocupa en los instantes dados #, y fi: Pero
Mr tne o palin vaa Dee ió o
trayectorias próximas“con los mismos valores de att) Y gl
De, estas trayectoriag solamente ung responde al movimiento,
: aquella para la cual la integral Ses minim
Estudiemos ahora el concepto ‘de acción en otro aspecto. Con»
cretamente, vamos a considerár S como uña magnitud que cáracte-
riza el movimiento por sus trayectorias verdaderas y a comparar
los valores que da para las trayectorias que tienen común el.origen.
(人 二 9 pero que pasan en un instante f, por posiciones disti
tas. En otras palabras, vamos a considerar la integral de acción
para trayectorias reales como función de los valores de las coorde-
nadas en el límite superior de integración.

La variación de la acción, al pasar de una trayectoria a otra
proxima a ell, viene dada (para un grado de libertad) or la expre-
sión (2,5)

1 DS bs

Pero como las trayectorias de un movimiento real satisfacen la
ecuación de Lagrange, la integral que figura en esta expresión
Se anula. En el primer término suponemos que en el 1

Ball} =0 y al valor de dgl) le llamamos simplemente 69. Sus
tuyendo también 01/04 por p, obtenemos linalmente que 65000.
© en el caso general de un néinero cualquiera de grados de libertad

55=Hoba (31,2)

De esta relación se deduce que las derivadas parciales de la
acción respecto a las coordenadas son iguales a las impulsiones
correspondientes

Sp. CE]

De forma análoga la acción se puede concebir como función
explícita del tiempo, considerando las trayectorias que comienzan
en un instante dado /, en una misma posición (configuración) deter-
minada 4, pero que ter
en distintos instantes £,=1. La derivada par
dida se puede hallar por medio de una variación apropiada de la
integral. No obstante, resulta más fácil utilizar la fórmula (31,3)
y operar de la manera siguiente,

119. 116 Capitulo Vit. Ecuaciones canónicas

Por la propia definición de la acción, su derivada total respecto
al tiempo a lo largo de la trayectoria es

as
Gal (31,4)

Por otra parte, considerando S como función de las coordenada

pel tiempo en el sentido que hemos expuesto anteriormente y ui
izando la fórmula (31,3), tenemos:

DA

Comparando ambas expresiones, hallamos que
as
et-Epâr

© finalmente:

F=—H 6.0.0, (15)

Las fórmulas (31,3) y (31,5) se pueden escribir juntas en una
expresión

45 = E pdar—H dt 61,6

que da la diferencial total de la acción como función de las coorde-
nadas y del tiempo en el límite superior de la integral (31,1). La
propia acción se escribe bajo la forma de la integral correspondiente

SS (Poda Hd), (31,7)

En particular, si Ja función H(p, q) no depende del tiempo expli-
citamente, de manera que la energía se conserva, Hip, q) se puede
sustituir por la constante E, y entonces la dependencia funcional
de Sirespecto al tiempo se reduce al sumando 一 Ef:

S(q, 1) =S,(q)—El, (31,8)
donde
A 615)

La función S,(q) se llama a veces acción reducida.
La función S(g, の satisface una ecuación diferencial determi-
nada que podemos obtener sustituyendo en la correlación (31,5)

120. $32. Invarlantes adlabäticas 117

nes p por las derivadas 3S/0q:

Ben (을 wo Bi gu ai 0=0 (81,10)

Esta ecuación en derivadas parciales de, primer grado se llama
ecuación de Hamilton — Jacobi. Para una partícula en un campo
exterior Utx, y, 2, D, por ejemplo, esta ecuación toma la forma

に +h) + (By + (31 +U(y20=0 (LI)

La ecuación de Hamilton — Jacobi toma una forma algo más
simple si la función Hp, a) no depende del tiempo explícitamente.
En este caso, tomando S(q, /) de (31,8), obtenemos para la acción
reducida la “ecuación

albo au

11 4) =E- (31,12)

$32. INVARIANTES ADIABATICAS

Consideremos un sistema mecánico con movimiento lineal fi-
pito y caracterizado por cierto parámetro à, que determina las
propiedades del sistema mismo o del campo exterior en el cual se
encuentra.

Supongamos que el parámetro A influenciado por unas causas
externas cualesquiera varia lentamente (0, como suele decirse,
Sdiabaticamente) con el tiempo; se entiende por “lenta” una trans:
Tormación en la cual A varía poco durante un periodo 7 del movi-
miento del sistema:

a
TG» (621

Un sistema de este tipo no es cerrado y su energía E no se con-
serva. Pero debido a la lentitud con que varía A se puede asegurar
que la velocidad E de variación de la energiaes proporcional a la
velocidad À de variación del parámetro A. Esto significa que la
energía del sistema se comporta al variar A como cierta función
de A. En otras palabras, existe una combinación tal de E y A que,
al moverse el sistema, permanece invariable; esta magnitud recibe
el nombre de invariante adiabática,

‘Sea Hip. q; à) la función hamiltoniana del sistema dependiente
del parámetro A. De acuerdo con la fórmula (30,5), la derivada total

121. 118 Capítulo VII. Ecuaciones carónicas

de la energía del sistema respecto al tiempo será
dE _ all _ oH dh
TRA
Promediando esta igualdad respecto a un periodo de movimien-
to y sacando À fuera del signo de promedio (puesto que tanto 入
como À varian muy lentamente), tenemos:

donde en la función promediada JE se pueden considerar magni

tudes variables únicamente p y 9 (pero no A). Dicho de otro modo,

el promedio se efectúa tomando un movimiento del sistema como

el que tendria Jugar si 2 tuviera un valor constante dado.
Escribamos este promedio en forma explicita

Hai}

au
ar ad

Za

De acuerdo con la ecuación de Hamilton ¿=3H/0p, tenemos:
de
CH
Valiéndonos de esta igualdad podemos sustituir la integración
respecto al tiempo porla integración respecto a la coordenada;
al hacer esto escribiremos también el período T bajo la forma
à

de
Tm jus LE

”
el signo $ significa en este caso que la integración se extiende a la
variación total ("hacia adelatite” y “hacia atrás”) de la coordenada
en el transcurso de un periodo. Por lo tanto
Hi,
z_a ap”
ae a
000
Como ya hemos indicado, las integraciones que figuran en esta

formula deben tomarse a lo largo de la trayectoria del movimiento
paró un valor constante determinald de A. A lo largo de una teayes.

(2,2)

122. $32, Invartantes adiabíticos 119

toria como ésta la función de Hamilton conserva constante cl
valor de E, y la impulsión es una función definida de la coordena

variable q y de los dos parámetros constantes independientes E

y À. Considerando que la impulsión es precisamente una función
del tipo p(9: E, À) y derivando la. igualdad H(p, q; à) respecto
al parámetro A, oblenemos:

OH ‚ano

ara

ania
ar
Poniendo este resultado en la integral del numerador de (92,9

escribiendo en la del denominador la función subintegral de la
lorma 2p/9E, tenemos:

P
z ag (23)
aC) .
CET

SFE) emo

Esta igualdad puede tomar finalmente la forma

a
Zo, (82,4)

donde I simboliza la integral

af pda, (32,5)

tomada siguiendo la treyectoria del movimiento, para los valores
de E y À dados. Este resultado demuestra que, dentro de la aproxi-
mación considerada, la magnitud / permanece constante al variar
el parámetro A, es decir, que es una invariante adiabätica.

‘A la integral (32,5) se le puede atribuir un sentido geométrico
evidente si se introduce el concepto de trayectoria de fase del sis-
tema, es decir, la curva que representa p en función de q. Para lot
sistemas que efectúan un movimiento periódico la trayectoria de
fase es una curva cerrada. La integral (32,5) a lo largo de esta curve
representa el área comprendida dentro de ella.

‘Como ejemplo determinaremos la invariante adiabática de ur

123. 120 Capítulo VII. Ecusciones canónicas

oscilador lineal. Su función de Hamilton es

Be mois

HE age
donde @ es la frecuencia propia del oscilador, La ecuación de la
trayectoria de fase viene dada por la ley de la conservación de la
energía Hip, Q=E. En este caso la curva es una elipse cuyos
semiejes son V 2mE y Y 2E/mo, y cuya área (dividida por 2n) es

(82,6)

La invariancia adiabática de esta magnitud significa que, cuando
los parámetros del oscilador varían lentamente, la variación de su
energía es proporcional a la frecuencia.

124. CAPITULO VIII

PRINCIPIO
DE LA RELATIVIDAD

$ 33. VELOCIDAD DE PROPAGACION DE
LAS INTERACCIONES

La interacción de las partículas materiales se define en la me-
cánica clásica por medio de la energía potencial, que es función
de las coordenadas de las particulas que interaccionan. Es evidente
que esta definición parte de la hipótesis de la propagación instan-
tánea de las interacciones. Y, en efecto, las fuerzas que sobre cada
una de las partículas ejercen las demás, 56600 esta definicion, de
enden exclusivamente en cada instante de la posición que ocupan
las partículas en dicho instante. Toda variación en la posic
de una cualquiera de las partículas que interaccionan se refleja
inmediatamente en las demás partículas.

No obstante, la experiencia demuestra que en la nat
existen interacciones instantáneas, Por esta razón, |
basada en la idea de la propagación instantánea de las interaccio-
es incurre inevitablemente en cierta inexactitud. En realidad, si
de dos cuerpos que interaccionan entre sí uno de ellos experimenta
cualquier variación, ésta comienza a reflejarse en el otro al cabo
de cierto tiempo. Dividiendo la distancia que hay entre dichos
cuerpos por el intervalo de tiempo transcurrido, hallamos la velo-
cidad de propagación de las interacciones.

Esta velocidad se podría llamar con más precisión velocidad
máxima de propagación de las interacciones, puesto que única-
mente determina el tiempo mínimo necesario para que llegue hasta
el segundo cuerpo la primera señal anunciadora de la variación
ocurrida en el primero. Es evidente que al afirmar la existencia
de una velocidad máxima de propagación de las interacciones hay
que admitir al mismo tiempo que en la naturaleza es imposible
que los cuerpos se muevan con velocidades mayores que ésta.

‘De acuerdo con el principioo teoría de la relatividad, la velocidad
de propagación de las interacciones, como una de las leyes de la
naturaleza, es igual en todos los sistemas inerciales de referencia,
es decir, es una constante universal.

Esta velocidad constante es al mismo tiempo, como demostra-
emos más adelante, la velocidad de propagación de la luz en el

125. 122 Capitulo VIII, Principio de 10 relatividad

por esto suele llamarse velocidad de la luz, Esta velocidad se
designa generalmente con la letra c y su valor numérico es

©= 2,908. 10% ems, (83,1)

El hecho de que esta velocidad sea tan grande explica por qué

en la mayoría de los casos, resulta suficientemente

ica clásica. Porque la mayoria de las velocidades

ordinarias son tan pequeñas en comparación con la de la luz, que

el suponer esta última infinita no influye prácticamente en la exacti-
tud de los resultados.

La unificación del principio de la relatividad con la velocidad
finita de propagación de las interacciones recibe el nombre de
principio de la relatividad de Einstein (porque fue formulado por
A. Einstein en el año 1905), para diferenciarlo del principio de la
relatividad de Galileo, que suponía infinita la velocidad de pro:
pagación de las interacciones.

La mecánica basada en el principo de la relatividad einsteiniano
(que en adelante llamaremos simplemente principio de la relati-
vidad), se lama relativista. En el caso limite en que las velocida-
des de los cuerpos que se mueven son pequeñas en comparación
con la velocidad de propagación de la luz, se puede despreciar. la
influencia que ejerce el carácter finito de la velocidad de propagación
de las interacciones sobre el movimiento. En este caso, de la me-
cánica relativista se pasa a la clásica, basada, como hemos dicho,
en la hipótesis de la propagación instantánea de las interacciones.
El paso, en el límite, de la mecánica relativista a la clásica se puede
realizar formalmente como el paso al limite coo en las fórmulas
de la mecánica relativista

En la mecánica clásica el espacio ya es relativo, es decir, las
relaciones espaciales entre diferentes sucesos dependen del sistema
de referencia en que se definen éstos. La afirmación de que dos
sucesos no simultáneos ocurren en un mismo punto del espacio
©, en general, a una distancia determinada el uno del otro, cobra
sentido ; fnicamente cuando, se menciona el sistema de referencia
respecto alrcual se-hace esta afirmación.

El-tiempo, por el contrario, es absoluto en la mecánica clásica;
en-otres palabras, las propiedades del tiempo se consideran inde:
pendientes. del. sistema de referencia, es decir, el tiempo es igual
«env todos los sistemas de referencia. Esto significa, que si dos fend-
‘menos cualesquiera ocurren simulláneamente para un observador,
también serán: simultáneos para cualquier otro observador. En
General, el tiempo transcurrido entre dos sucesos dados debe ser
el mismo en todos los sistemas de referencia

Pero no es dificil convencerse de que el concepto del tiempo abso-
luto contradice radicalmente el principio de la relatividad de Eins.
tein, Para esto basta recordar que en la mecánica clásica, basada

126. £93. Velocidad de propagación de las interacciones 123

en la hipótesis del tiempo absoluto, tenia lugar la ley generalmente
conocida de la suma de velocidades, de acuerdo con 18 cual la velo:
cidad de un movimiento complejo e igual Ja simple sume (veto:
rial) de las velocidades que la componen. Si esta ley fuera univer
sal podría aplicarse a.la propagación de las interacciones..De esto
se deduciria que la velocidad de esta propagación debería ser dife-
rente en distintos sistemas inerciales de referencia, cosa que conti
dice el principio de la. relatividad., La-experiencia confirma sin
‘embargo el principio de la relatividad en este aspecto. Las medicio-
nes que realizó por vez primera Michelson (en 1881), pusieron de
manifiesto que la velocidad de la luz es totalmente. independiente
de la dirección en que se propaga; mientras que de acuerdo con la
mecánica clásica la velocidad de la luz en la dirección del movi-
miento de la Tierra deberia ser diferente de su velocidad en sentido
contrario

De esta forma, el principio de la relatividad lleva a la conclu-
sión de que el tiempo no es absoluto. El trascurso del tiempo no es
igual en distintos sistemas de relerencia. Por consiguiente, la afir-
mación de que entre dos sucesos dados transcurrió un tiempo deter-
minado tiene sentido únicamente si se indica respecto a qué sis-
tema de referencia se hace dicha alirmación. En particular, sucesos
que son simultáneos en un sistema de referencia no lo serán en otro,

Para que esto quede más claro pondremos el siguiente ejemplo.
Consideremos dos sistemas inerciales de referencia K-y K' cuyos
ejes de coordenadas scan respectivamente x, Y, 2 y X.Y, 2 y Su
pongamos que el sistema K' se
mueve respecto al K hacia la de,
recha a lo largo de los ejes x y x" 2 À
(fig, 28).

Desde un punto cualquiera A
situado sobre el eje x’ se emilen sac

Fe ~

señales en des direcciones opuestas entre si. Como la velocidad
de propagación de la señal en el sistema X’, lo mismo que en cual-
quie sistema inercial, es igual [en ambas direcciones) a e las se
Bales llegarán a los puntos B y C, equidistantes de A, y correspon-

lentes al sistema K’, en un mismo instante. Pero se comprende
fácilmente que estos dos mismos sucesos (la llegada de la señal
a los puntos お y C) no serán simultáneos para el observador si
fuado en el sistema K. En electo, la velocidad de las señales res:
pecto al sistema K, de acuerdo con el principio de la relatividad
También será e, pero como el punto B se mueve (respecto al sistema K)

127. 124 Capitulo VIII. Principio de la retatividad

al encuentro de la señal emitida, mientras que el C lo hace aleján-
dose de dicha señal (emitida desde A hacia C), en el sistema K la
señal llegará antes al punto B que al C.

De esta forma, el principio de la relatividad de Einstein intro-
duce modificaciones básicas en los conceptos fundamentales de la
física. Las ideas que tenemos del espacio y del tiempo, adquiridas
en nuestra práctica diaria, resultan ser solamente aproximadas
y se deben al hecho de que en nuestra vida cotidiana nos encontra-
mos únicamente con velocidades muy pequeñas en comparación
con la de la luz.

$34. INTER VALO

En adelante emplearemos con frecuencia el concepto de suceso.
Todo suceso se define por el sitiv y el tiempo en que ocurrió. Por
consiguiente, un suceso acaecido en una partícula material dada
viene determinado por las tres coordenadas de esta partícula y por
el instante (tiempo) en que ocurre,

Con frecuencia resulta conveniente para mayor claridad util
zar un espacio fetradimensional imaginario (espacio-tiempo) sobre
cuyos ejes se toman las tres coordenadas espaciales y el tiempo.
En este espacio los sucesos se representan por puntos. Estos puntos
se llaman puntos de universo. A cada partícula le corresponde
cierta linea (linea de universo) en este espacio tetradimensional.
Los puntos de esta linea definen las coordenadas de la partícula
en todos los instantes. Es evidente que a una partícula material
animada de movimiento rectilineo y uniforme le corresponderá
una línea de universo recta.

Expresemos ahora matemáticamente el principio de la invarian-
cia de la velocidad de la luz. Para esto, consideremos dos sistemas
de referencia K y K’ que se mueven con velocidad constante el
uno respecto al otro. Los ejes de coordenadas los tomaremos de
forma que el x coincida con el x’ mientras que el y sea paralelo al
y, y el z paralelo. al 2'; al tiempo en el sistema K le llamaremos 上
yrenel K が

Supongamos que el primer suceso consiste en la emisión de una
señal, que se propaga con'la velocidad de la luz, desde el punto
de'coordenadas'x,, Yı 21, en el sistema X, en el. instante 1, de este
mismo sistema. Observemos desde el sistema K cómo se propaga
esta señal. Supongamos que el segundo suceso es la llegada de la
señal al punto xs, ys, zs en el instante fs. La señal se propaga con
la velocidad ci la distancia recorrida por ella será o(t,—t). Por
otra parte, esta misma distancia será igual a [(e—x*+(y,—4,)*+
Hama)’. Entre las coordenadas de ambos sucesos existirá

128. 534. Intervalo 125

la siguiente relación en el sistema Ki
Ca HA (ht 0. EN

Estos dos mismos sucesos, es decir, la propagación de la señal,
se pueden observar desde el sistema X. Supongamos que las coor
denadas del primer suceso en este sistema son xi. Yi. 21, (y las del
segundo, X Yi» 2, la. Como la velocidad de la luz es la misma en
fos sistemas À y RK“, por analogía con (54,1). tenemos:

A (AP =O (34,2)

Si xy, du zu te Y Hu oordenadas de dos
sucesos, la Cantidad

sl AT (84,3)
se llama intervalo entre estos dos sucesos.

De esta forma, de la invariancia de la velocidad de la luz se
deduce, que el intervalo entre des quesos es igual à cere en un
Sistema de referencia, también lo será en cualquier otro sistema.

Si dos sucesos son infinitamente próximos entre sí, para hallar
el intervalo ds entre ellos tenemos:

de edo —de—dy des 344)

La forma de las expresiones (34,3) o (34,4) permite considerar
el intervalo, desde el punto de vista matemático formal, como

tancia entre dos puntos en un espacio fetradimensional imagi-
nario (sobre cuyos ejes se toman x, y, z y el producto cf). Pero
existe una gran diferencia entre la regla de composición de esta
magnitud y la regla que da la geometría ordinaria, a saber: al fc
marse el cuadrado del intervalo, los cuadrados de las diferencias
de coordenadas sobre los diferentes ejes se suman, no con signos
iguales, sino con signos distintos."

‘Como hemos expuesto anteriormente, si ds=0 en un sistema iner-
cial de referencia determinado, tendremos que en otro sistema ds’
también será igual a cero. Por otra parte, ds y ds’ son infinitesima-
les del mismo orden. De estos dos hechos se deduce que ds? y ds'*
deberán ser proporcionales entre sí:

ds =ads",

‘con la particularidad de que el coeficiente a puede depender sola-
mente del valor absoluto de la velocidad relativa de ambos siste-
seal orm se nl to end de Ud
ee tele e Rng oa
5 ee

129. 126 Capitulo VU, Principio de la relotividad

lentes, cosa que contradice la uniformidad del espacio y del tiempo.
Tampoco puede depender de la dirección que tenga la velocidad re-
lativa, porque esto contradeciria la isotropía del espacio

Consideremos tres sistemas de referencia K, K, y Ky y sean
Vi y Va las velocidades con que se mueven los sistemas K, y Ka
respecto a K. En este caso tendremos que

dea (Vas y dea Y Jas,
Con la misma razón podemos escribir que
ata (Vds,

siendo V,, la velocidad absoluta del movimiento de K, con re-
lación a K,. Comparando entre si estas relaciones hallamos que

A) 34,5)
Tema, (94,5)
Pero Vis no depende únicamente de los valores absolutos de los
vectores Vi y Va, sino también del ángulo que estos vectores forman
entre sí. No obstante, este üllimo no figura en el primer miembro
de la relación (34,5). Por esto, está claro que esta relación puede ser
justa únicamente en el caso en que la función a(V) se reduzca a una
magnitud constante, igual, como se deduce de la misma relación,
a la unidad.

Por lo tanto,

dads",

y de la igualdad de los intervalos infinitamente pequeños se deduce
que también son iguales los intervalos finitos, es decir, ss

Liegamos, por consiguiente, a una conclusión muy important
el intervalo entre los sucesos es igual en todos los sistemas inercia-
les de referencia, es decir, es invariante con respecto a la transfor-
mación de un sistema inercial de referencia a'otro cualquiera. Esta
invariancia es la expresión matemática de la-constancia de la ve-
locidad ‘dela: luz.

Supongamos de nuevo que x1. Yi, Zu 丰 Y fy Yu, 23, fa son las
coordenadas de dos sucesos en cierto sistema de referencia K.
Se pregunta, ¿puede haber algún sistema de referencia K” en el
cual estos “dos sucesos ocurran en un mismo: lugar del espacio?

Llamemos*

Le is Y x + — 8)

Entorices, el cuadrado del intervalo entre los sucesos en el sis-
tema K ser

sheen, —

R Rarely,

130. $34, intervalo 127

y en el sistema K°
00

y en virtud de la invariancia del intervalo
emi act

Queremos que en el sistema K’ los dos sucesos ocurran-en un
mismo punto, es decir, que fj,—=0. Entonces

Por consiguiente, el sistema con las propiedades exigidas puede
exitir si si¿>0, es decir, si el intervalo entre ambos sucesos es real.
Los intervalos reales réciben el nombre de cuasitemporales.

De esta forma, si el intervalo entre dos sucesos es cuasitemporal
existe un sistema de referencia en el cual ambos sucesos ocurren
en un mismo sitio. El tiempo que transcurre entre estos sucesos
en este sistema será

VAR. (34.6)

Si dos sucesos cualesquiera ocurren en un mismo cuerpo los
intervalos entre ellos son siempre cuasitemporales. En efecto, el
camino que el cuerpo recorre entre ambos sucesos no puede ser
mayor que 066. puesto que la velocidad del cuerpo no puede ser
mayor que e. Por esto fy es siempre ch

‘Ahora. podemos plantearnos la pregunta, ¿se puede elegir un
sistema de referencia en el cual los dos sucesos ocurran al mismo
tiempo? Como antes, en los sistemas K y K’, tenemos: ci}

lg. Queremos que 1,=0, de donde

Por consiguiente, el sistema de referencia que buscamos se puede
encontrar únicamente en el caso en que el intervalo sa entre los
dos sucesos sea imaginario. Los intervalos imaginarios se llaman
cuaslespaciales.

De esta forma, si el intervalo entre dos sucesos es cuasiespacial,
existe un sistema de referencia en el cual ambos sucesos ocurren
simultáneamente. La distancia entre los puntos donde ocurrieron
estos sucesos en este sistema de referencia será.

CAS Isl 617)
La división de los intervalos en cuasitemporales y cuasiespaciales
es. en virtud de sus invariancias, un concepto absotuto. Esto signi

fica que la propiedad del intervalo de ser cuasitemporal o cuasiespa-
cial no depende del sistema de referencia.

131. 128 Capitulo VIII. Principio de la relatividad

Tomemos un suceso cualquiera, que llamaremos O, como ori-
gen del tiempo y de las coordenadas espaciales. En otras palabra,
el punto de universo del suceso O será el origen del sistema de coor.
denadas tetradimensional sobre cuyos ejes se toman x, y, 2 y 1.
Veamos en qué relación con el suceso dado O se encuentran todos
los demás sucesos. Para mayor claridad consideremos solamente
una eoordenada espacial y el tiempo, tomándolos respectivamente
sobre dos ejes (fig. 29). El movimiento rectilineo y uniforme de
una partícula que pase por el punto x=0 cuando £=0 se represen:
tard por una linea recta que pase por O y que forme con el eje £
un ángulo de inclinación cuya tangente sea igual a la velocidad

de la partícula, Como la velocidad máxima
posible es c, el ángulo que esta recta for-
me con el eje £ tiene un máximo. En la
fig. 29 se pueden ver dos rectas que re-
presentan la propagación, en direcciones
opuestas, de dos señales (con la velocidad
de la luz) que pasan por el suceso O (es
decir, que pasan por x--0 cuando t=0).
Todas las líneas representativas de
movimientos — de — partículas pueden

Fig. 29

encontrarse exclusivamente dentro de las zonas a0c y 408. En las
rectas ab y cd es evidente que x=-£ci. Consideremos primero los
sucesos cuyos puntos de universo se encuentran dentro de la zona
40%. No es dificil imaginarse que en todos los puntos de esta zona
© —">0. En otros términos, los intervalos entre cualquier su-
ceso de esta zona y el suceso O son cuasitemporales. En esta zona
£50, es decir, todos los sucesos de esta zona ocurren “despu
del suceso O. Pero dos sucesos separados por un intervalo cuasitem-
ral'no.pueden ocurrir simultáneamente en ningún sistema de re-
ferencia. Por consiguiente, no es posible elegir ningún sistema
de referencia en el que cualquiera de los sucesos de la zona 000
curra “antes” que el suceso O, es decir, donde / sea-<0. De esta
“forma, todos los sucesos de la zona 000 son futuros respecto a O
en todos los sistemas de referencia. Por esta razón esta zona se
puede llamar del “futuro absoluto” con relación al suceso O.

De manera completamente análoga todos los sucesos de la zona
40d son “pasado absoluto” con relación a O, es decir, los sucesos
de esta zona en todos los sistemas de referencia ocurren antes que
el suceso O.

Finalmente, consideremos también las zonas 000 y c0b. El

132. $35, Tiempo propio 129

intervalo entre cualquier suceso de estas zonas y el suceso O es
cuasiespacial. En cualquier sistema de referencia estos sucesos
ocurren en distintos lugares del espacio, Por esta razón dicha zona
se puede llamar “absolutamente alejada” respecto a O. Los conceptos
“simultáneo”, “antes” y “después” son relativos para estos sucesos
Para cualquier suceso de esta 20na existen sistemas. de referencia
en los cuales dicho suceso ocurre después que el 0, o:antes que
el 0, y un sistema de referencia en que ocurre al mismo tiempo que
el 6.

Debemos advertir que si se consideran las tres coordenadas espa-
ciales en lugar de una, en vez de las dos rectas que se cortan en la
fig. 29 tendríamos el “cono” xt+y?-+P—ct

tetradimensional x, 9, 2, 4, cuyo eje coincidiría con el eje del liempo
4 (este cono se Hama cono de la luz). Las zonas del “futuro absoluto”
y del “pasado absoluto” vienen representadas entonces respectiva»
‚mente por las dos cavidades interiores del cono de la luz,

Dos sucesos sólo pueden estar causalmente relacionados entre
si en el caso en que el intervalo entre ellos sea cuasitemporal, lo
que se deduce directamente del hecho de que ninguna interacción
se puede propagar a una velocidad mayor que la de la luz. Como
acabamos de ver, para estos sucesos tienen sentido absoluto los
conceptos “antes” y “después”, condición necesaria para que tengan
sentido los conceptos causa y consecuencia.

$35. TIEMPO PROPIO

Supongamos que desde un sistema inercial de referencia K
cualquiera mos dedicamos a observar un reloj que con respecto
a nosotros se mueve arbitrariamente. Tomemos también un sistema
inercial de referencia K’ que se mueva con relación a K con una
velocidad que coincida con la velocidad 0 del movimiento del reloj
en un instante dado.

En el transcurso de un lapso infinitesimal de tiempo d (medido
por un reloj fijo, es decir, que se encuentra en nuestro sistema)
el reloj en movimiento recorte la distancia

Veber ay HER.

Se nos plantea la pregunta, ¿qué intervalo de tiempo df habrá

medido en este caso el reloj móvil? En el sistema K’, solidario del
reloj móvil, ete último se hala en reposo en el insante dado, es
le

dy =de' =0.
En virtud de la invariancia del intervalo
dsc dt dry — de? mod,

133. 130 Capitulo VIII. Principio de la rlatividad

de donde
errr
ara BEER,
Pero.
PT
Re

es el cuadrado de la velocidad con que se mueve el reloj, por

lo tanto
=a Y 1-3. (5.1)

Integrando esta expresión se puede hallar el intervalo de tiempo
marcado por el reloj móvil, sabiendo que según el reloj fijo el tiempo
transcurrido fue 4h:

fa VE. asa

El tiempo medido por un reloj móvil solidario de un objeto
determinado se llama tempo propio de dicho objeto. Las fórmulas
(35,1) y (35,2) expresan el tiempo propio en función del tiempo me-
dido en el sistema de referencia con respecto al cual se estudia el
movimiento,
Como puede verse por estas fórmulas, el tiempo propio de un
objeto en movimiento es siempre menor que el intervalo de tiempo
correspondiente en el sistema fijo. En otras palabras, los relojes
Que se mueven marchan más despacio que los fijos.
Supongamos que con respecto al sistema inercial de referencia K
se mueve rectilinea y uniformemente otro reloj. El sistema de
referencia K” asociado a este último también es inercial, En estas
condiciones el reloj del sistema X”, desde el punto de vista del
observador que se encuéntra en el sistema K, Se relrasá respecto
al súyo. Y:al contrario, desde’el punto de vista del observador que
eslá en.el sistema K', et reloj qué se retrasa es el del.sistemá K.
Para convencerse de que no exisle contradicción en esto hay que
prestar atención a los hechos que señalamos a continuación. Para
establecer que al reld] el sistema K’ se retrasa respecto al del sis
tema K hay: que proceder del modo siguiente: Supongamos que en
un instante detetminado el reloj de K’ pasa junto a un reloj que se
‘encuentra.en K y que en este instante las indicaciones de estos dos
relojes coinciden, Para comparar la marcha de los relojes en K
y K' hay que volver a comprobar las indicaciones del reloj en mo:
* Vimiento de X” con otro reloj que se halle en K. Pero ahora el reloj
en K no será el de antes (que sigue fijo en su sitio), sino otro junto

de

6 一

134. $36 Translormación de Lorentz 131

al cual pasa en otro instante el reloj de K?.. AI hacer esta segunda
comprobación notaremos que el elo) de X’ se atrasa respecto a los
relojes:que hay en K, con los cuales se compara. Vemos, pues,-que
para comprobar la marcha de los relojes de dos sistemas de referen:
Cia hacen falta varios relojes en uno. de los sistemas y uno en. el
otto. Por esto, este. proceso no.es simétrico respecto a ambos siste:
mes. En este caso se atrasa siempre el.reloj que se compara con vi
rios de otro sistema de referencia da

Si se tienen dos relojes de los cuales uno describe una: trayectoria
cerrada, cuando éste retorna a su posición inicial: (es decir,-a donde
vse encuentra el reloj: fijo) resulta-que se atrasa precisamente el
reloj, que se mueve (respecto al que está fijo). El razonamiento
inverso, según el cual el reloj que se mueve se considera fijo, no es
posible en este caso, puesto que el reloj que describe la trayectoria
cerrada no se mueve rectilinea y uniformemente y por lo tanto el
sistema de referencia asociado a él no es inercial. Y como las leyes
de la naturaleza son iguales nada más que en los sistemas inerci
les de referencia, resulta que los sistemas de referencia asociados
al reloj fijo (sistema inercial) y al reloj móvil (no inercial) tienen
propiedades distintas y, por consiguiente, los razonamientos condu-
centes a la conclusión de que el reloj en reposo debe retrasarse son
erróneos.

$36. TRANSFORMACION DE LORENTZ

Ahora nos proponemos hallar las fórmulas de transforma
que relacionan un sistema inercial de referencia con otro, es decir,
las fórmulas por las cuales, conociendo las coordenadas x. y, 2, À
de un suceso en un sistema de referencia K determinado, se pueden
hallar las coordenadas x’, y/, 2’, f de este mismo suceso en otro
sistema inercial K”

En la mecánica clásica esta cuestión se resolvería por medio
de las fórmulas simples de la transformación de Galileo (3,1—2).
Si el sistema K se mueve respecto al sistema K siguiendo la direc:
gión común de sus ejs respctivos x y x, estas formulas tienen la
forma

ネー アト WV yay, ター アッ イー と (35,1)

Esta transformación no satisface, como es natural, las exigencias
de la teoría de la relatividad, puesto que con respecto a ellas no
son invariantes los intervalos entre los sucesos.

Las fórmulas de transformación relativistas las buscaremos
precisamente partiendo de la condición de que respecto a ellas los
ntervalos sean invariantes.

135. 192 Capitulo VIII. Principto de la relatividad

Como vimos en el $34, el intervalo entre dos sucesos se puede
considerar como la distancia entre los dos puntos de universo co-
Trespondientes de un sistema tetradimensional. Podemos, por consi-
guiente, decir, que la transformación que buscamos deberá dejar
invariables todas las longitudes dentro del espacio tetradimensio-
nal x, y, 2, ct. Pero estas transformaciones pueden ser únicamente
traslaciones paralelas y rotaciones del sistema de coordenadas. De
ellas, las traslaciones del sistema de coordenadas paralelamente
3 sí mismas no ofrecen interés, ya que se reducen a una traslación
del origen de las coordenadas espaciales y a la variación del instante
‘partir del cual se cuenta el tiempo. Por lo tanto, la transformación
que buscamos deberá expresarse matemáticamente como la rotación
de un sistema de coordenadas tetradimensional x, Y, 2, cf

Toda rotación en un espacio tetradimensional se puede descom-
poner en seis rotaciones, a saber: en los planos xy, 24, x2, 1%, t
2 (de forma análoga a como cualquier giro en un espacio ordinario
se puede descomponer en tres rotaciones, en los planos xy, zy y x2).
Las tres primeras rotaciones indicadas transforman únicamente
las coordenadas espaciales, es decir, corresponden a los giros espa-
ciales ordinarios,

Por eso, consideremos el giro en el plano £x, sin que varíen
las coordenadas y, 2. Esta transformación deberá dejar invariable,
concretamente, la diferencia (cf)*—x*, es decir, el cuadrado de la
“distancia” desde el punto ct, x hasta el origen de coordenadas.
La relación entre las coordenadas antiguas y las nuevas en esta
transformaci6n viene dada en su forma más general por las fórmulas

Xchip-tet’shy, dx sh chy, (36,2)

donde xp es el “ángulo de giro”; una simple comprobación basta
ara convencerse de que, en efecto, ctt'—ri=ct1?—4. Las förmu-
las (36,2) se diferencian de las habituales, de transformación para
el caso de giro de los ejes coordenados, en que las funciones {rigono-
métricas se sustituyen por hiperbólicas, Esto pone de manifiesto
la diferencia que existe ente la geometria seuloeuclidca y la cu
lea
‘Nosotros biiséamos las fórmulas de transformación de un sistema
inercial de telerencia K a otto K’, que se mueva respecto al primero
con la velocidad V a lo largo del eje x. En este caso es evidente que
se transformarän solamente la coordenada x y el tiempo £. Por lo
tanto, esta transformación deberá tener la forma (36,2). Nos queda
determinar el ángulo , que puede depender únicamente de la
velocidad relativa V.

Fara eviter confusiones acteraremos, que por Y desigramos en todas
pasea la velocidad relative censante de dos sites (reines de rer,
Y por medio de ula velocidad de la patcilo movil, que no Llena por qu ser
étant

136. $36. Transformacion de Lorentz 193

Consideremos el movimiento del origen de coordenadas del
sistema de referencia K en el sistema K. En este caso x'==0 y las
Jórmulas (36,2) toman la forma:

xeet’sh, col eh,
o, dividiendo la una por la otra,
thy.

a

Pero x/f es, evidentemente, la velocidad V del sistema K° con
relación al K. Por lo tanto,

thy
De donde

v

EN

Poniendo estos valores en (36,2), hallamos:
デキ

xn yey me,

(36,3)

Estas son las fórmulas de transformación que buscábamos, que se
conocen con el nombre de fórmulas de transformación de Lorente
y que, en adelante, tienen una importancia fundamental.

Las fórmulas inversas, que expresan x’, y', 2, {en función
de x, y, 2, 1, se oblienen fácilmente sustituyendo V por 一 (puesto
Que el sistema K se mueve respecto al K’ con la velocidad —V),

ro estas formulas se pueden obtener tambien directamente resol
viendo las ecuaciones (36,3) con respecto a x’, y”, 2", l.

En (36,3) se ve claramente que cuando en el limite c-»00 se
qua a la mecánica clásica, las fórmulas dela transform
orentz se convierten en la transformación de Galileo.

Si en las fórmulas (36,3) V>c, las coordenadas x, ¢ toman valo-
res imaginarios, cosa que está de acuerdo con el hecho de que sea
imposible la existencia de velocidades mayores que la de la luz.
Tampoco se pueden utilizar sistemas de referencia que se muevan
con la velocidad de la luz, porque en este caso se anularia el deno-
minador de las fórmulas (36,3)

137. 184 Capítulo VIII. Principio de la relotividad

Supongamos ahora que en el sistema K se encuentra en reposo
una regla (o varilla) paralela al eje x. Sea Ar=x:—x, la longitud
de esta regla en el sistema K (siendo x, y x, respectivamente las
coordenadas de los extremos de la regla en dicho sistema). Hallemos
la longitud de esta regla medida en el sistema X’. Para esto hay
que determinar las coordenadas de sus dos extremos (x, y 시)
en un mismo instante # en el sistema K”. Por (36,3), hallamos:

eo EE LA
“se ®

La longitud de la regia en el sistema K’ será Ar =, x; res"
tando x, de x,, tenemos;

Se llama longitud propia de la regla (o varilla) su longitud medida
en el sistema de referencia en que se encuentra en reposo. Llamemos

‘Ax esta longitud, y £ la longitud de esta misma regla medida
en cualquier otro sistema de referencia K'. Entonces

Vi 5 の

Por lo tanto, la regla tiene una longitud maxima en el sistema
de referencia en que se encuentra en reposo. Su longitud en el si
tema en que se mueve con la velocidad V dismimuye en la propor-
ción TV, Este resultado de la teoria de la relatividad se
llama contracción de Lorentz.

Como quiera que las dimensiones transversales del cuerpo no
varían cuando éste se mueve, su volumen 9? disminuye de acuerdo
10017 la fórmula, análoga a la anterior,

Parier, 35,5)

donde ga es.el volumen: propio del cuerpo.

De la transformación de Lorentz se pueden deducir los result
dos, que Ya conocemos, relativos a tiempo propio ( 8). Suponga-
sos pára:ello que en el sistema K se encuentra en reposo un reloj
Sirvan,para 1a medición del intervalo de tiempo dos sucesos que
“ocurran-en,un mismo punto del espacio x". #', 2” en el sistema K’
En este sistema el tiempo que transcurre entre los dos. sucesos es
Ar=t—f. Hallemos el tiempo At que transcurre entre estos
dos mismos sucesos en el sistema de referencia K. Por (36,3), te-

138. $37 Translormación de 14 velocidad 135

lo que está en total acuerdo con (35,1).

$87. TRANSFORMACION DE LA VELOCIDAD

En el párrafo anterior hemos deducido las fórmulas que partien-
do de las coordenadas de un suceso en un sislema de referencia
permiten hallar las coordenadas de este mismo Suceso en 0100
sistema de referencia. Ahora vamos a deducir las formulas que
relacionan la velocidad de una partícula móvil en un sistema de
referencia con la velocidad de esta misma partícula en olro sis
tema.

Sea otra vez el sistema K° el que se mueve con respecto al K
con la velocidad V, a lo largo del eje x. Sea u,=dy/dt la componente
de la velocidad de la partícula en el sistema K y u. "did, la
componente de esta misma velocidad en el sistema K°.

for (36,3), tenemos:

dy Ed

Fe: Wnty, dem,
Y'

Dividiendo las tres primeras igualdades por la última e introdu-
ciendo las velocidades

ox
age ae

Bee eo ep LE
pra pe

(CAN

139. 136 Capítulo VINE. Principio de la relatividad

Estas fórmulas definen la transformación de la velocidad y repre-
sentan la ley de la suma de velocidades en la teoría de la felati
dad. En el caso limite en que c-»c se convierten en las fórmulas
de la mecánica clásica U,=0,+V, 0,0 y UU
En el caso particular en que la pafticula se mueve p:
al eje x, 0,=0, u=0,=0. Entonces vj=ui=0 y 0,

lelamente
', siendo

672)

Es fácil convencerse de que la suma de dos velocidades menores
© iguales a la de la luz no es una velocidad mayor que la de la luz,

Elijamos los ejes de coordenadas de tal forma que la velocidad
de la partícula en un momento dado se encuentre en el plano xy.
En este caso la velocidad de la particula en el sistema K tiene las
componentes o,=v cos 0, u,=u sen 8, y en el sistema K’, v,=v'cos 0”,
uj=u sen 0° (donde u, vy 8, 8" son los valores absolutos de las
velocidades y los ángulos que éstas forman respectivamente con
los ejes x y x' en los sistemas K y X’). Valiéndonos de la fórmula
(87,1), hallamos que

y E seno
0 (87,3)

Esta fórmula determina la variación que experimenta la dirección
de la velocidad al pasar de un sistema de referencia a otro,

Consideremos detenidamente un caso particular muy importante
de esta formula, a saber, el de la desviación de la luz al pasar a otro
sistema de referencia, es decir, el fenómeno conocido con el nombre
‘de aberración de la luz. En este caso u=4<c y la fórmula anterior
toma la forma

1607 E seno 67,9
€
En el caso en que V<c, por la fórmula (37,4), hallamos que,
coñ una exactitud de hasta Jos términos del orden Vic,
gogo (ir).

Introduciendo el ángulo A6=6' 一 6 (ángulo de aberración) hal-
lamos, con la exactitud antedicha, que

3 (87,5)
es decir, la conocida fórmula elemental de la aberración de la luz

002 sn

140. 38. Vectores telradimensionales 137

$38. VECTORES TETRADIMENSIONALES

Las coordenadas (ct, x, y. 2) de un suceso se pueden considerar
en conjunto como las componentes de un radio vector teltadimen-
sional (o, como diremos para abreviar, tetra-radio vector) en un
espacio también tetradimensional. Las componentes de este vector
Tas designaremos por medio de x", doride el índice toma los velo-
res 0, 1, 2, 3, de forma que

Led, Sox, May y P=2

El cuadrado de la “longitud” del tetra-radio vector viene dado
por la expresión

IN

Este cuadrado es invariante en toda rotación del sistema de coorde-
nadas tetradimensional、 como, por ejemplo, en una transformación
de Lorentz.

En general, se llama vector tetradimensional o tetravector
A" el conjunto de cuatro magnitudes 4°, At, At, A? tales, que cuando
Se transforma el sistema de coordenadas tetradimensional se trans-
forman ellas a su vez Jo mismo que las componentes de un tetra-
radio vector a, Para la transformación de Lorentz

an an an+ Lan
Ae oe, A E
w

V = 것

A= At, A= A", (38,1)

El cuadrado de la magnitud de cualquier tetravector se deter-

mina de manera análoga al cuadrado de un tetra-radio vector:
COTE AS

Para hacer más cómoda la escritura de las expresiones de este tipo

troducen dos “clases” de componentes de los tetravectores, las

se designan respectivamente con las letras A” y A,, provistas

de índices en su parte superior e inferior, con la particularidad de
que

AeA, A,

F
a

A, オニール y Ayu (88,2)

Las magnitudes A" se Haman componentes contravariantes del te-
travector y las A,» componentes covariantes. El cuadrado del tetra-

기 60 606 Ho deigntemos los indices telradimensinales que toman Les
valores O, 1,2, 3, por medio de la letras griegas À. Y,

141. 138 Capitulo Vin. Principio de lu relatividad

veclor se presenta entonces bajo la forma

ZA" Au= AA AA + AA + AA,

Estas sumas se suelen escribir sencillamente como ArA,,
Pin rend del signo sumatorio. En general se acepta una regía
según la cual se sobrentiende que todo indice que se repite dos
yeces en una expresión dada indica una sumación, y el signo suma:
torio somite. En este caso, en cada par de indices uate sa ae
ellos debe estar arriba y otro abajo. Este procedimiento de indicar
la sumación, por medio de los que se suelen llamar indices mudos,
을 muy cómodo y simplifica considerablemente la escritura de las
iörmulas.

De forma análoga al cuadrado del tetravector se plantea el
producto escalar de dos tetravectores distintos:

AY By A°B,+ AYB, + AB, + APB,

Es evidente que en esta expresión se puede escribir tanto Ar,
como A,B", con lo cual el resultado no varía. En general, en todo
par de indices mudos éstos se pueden cambiar de lugar, es decir,
los gue están arriba se pueden poner abajo y viceversa »

| producto A*B, es un tetraescalar, invariante con respecto
a los giros del sistema de coordenadas tetradimensional. Esta
propiedad se puede comprobar directamente con facilidad, pero
de antemano es evidente (por analogía con el cuadrado APA.)
puesto que todos los tetravectores se transforman siguiendo ua
misma ley.

La componente A* de un tetravector se llama temporal, y las
Al, 43 y 43, espaciales (por analogía con el tetra-radio vector).
El cuadrado de un telravector puede ser positivo, negativo o nulos
en estos tres casos se dice respectivamente que los telravectores
son cuasitemporales, cuasiespaciales o nulos (por analogía termino.
lógica con los intervalos).

“Con respecto a los giros espaciales puros (es decir, a las transfor-
maciones-que:no afectan al eje del tiempo) las {res componentes
espaciales de un tetravector “AY constituyen un vector tridimensio.
al-A. La componente temporal del-tetravector representa en este
£aso (es decir, respecto a la transformación indicada) un escalar
tridimensional. Al enumerar las componentes de un tetravector
las escribiremos frecuentemente as

An (At, A).

ET etatur modera ls indices de os vectores etadimensionles
sn mien con trecuenea'y aus cuadtados y products care sé sur une

lemente como AP y AB. No obslanie, en ete libro no SH cae me
Sime, に は

142. 38. Vectores tetradimensionales 139

En este caso las componentes covariantes de este mismo tetravector
serán A,=(4*, —A), y el cuadrado del letravector: ArA,=(ANt—
AR. Asi! para un telre-radio vector:

MED, (dm Bs Cre,

En-los vectores tridimensionales (en coordenadas x, y. 2):no has
necesidad de hacer distinción entre componeñtes contra y covarian-
fes. Nosotros escribiremos en todas partes (siempre que ésto no
dé lugar a incompresiones) las componentes de “estos Vectores
A, (ix, y, 2) con los indices abajo, utilizando para desigiiar éstos:
últimos letras latinas. En particular, si estos indices latinos, se
repiten dos veces se entenderá que se trata de una suma sobre los
tres valores x, y, 2 (por ejemplo, AB=A/B). 2

El conjunto de 16 magnitudes AP que cuando se transforman
las coordenadas se transforman ellas a su vez lo mismo que los pro-
ductos de las componentes de un tetravector se llama tensor telra-
dimensional (o tetratensor) de segundo rango. De forma análoga
se definen los tetratensores de rangos superiores,

Las componentes de un tetratensor de segundo rango se pueden
representar de tres formas, a saber: como contravariantes A™,
como covariantes A,, y como mixtas Ab (en este último caso hay
que distinguir entre At y Ax, es decir, hay que prestar atención
à qué Índice es el que está arriba, el primero 0 el segundo, y cuál
‘el que está abajo). La relación entre las componentes de distintas
formas se determina por la regla general: la elevación o descenso
del indice temporal (0) no varía el signo de la componente, pero
Ja elevación o descenso del índice espacial (1, 2, 3) sí que varia
dicho signo. Ast:

Ag=A

Ape A,

Con relación a una transformación espacial pura nueve compo-
nentes AN, componen un tensor tridimensional. Tres com-
ponentes Art, At. A® y tres componentes A", AM, A% consti-
fayen vectores tridimensionales, y la componente 4 es un esca-
lor tridimensional.

Un tensor AM se llama simétrico si AP"
si AM=—A'. Todas las componentes diagonales de un tensor
antisimétrico (es decir, las componentes A®, A, ...) son iguales
à cero, puesto que, por ejemplo, 4% deberá ser igual a —A%. En
todo tensor simétrico AY las componentes mixtas AY y Al
es evidente que coinciden; en estos casos escribimos simplemente
‘AS, disponiendo los indices uno sobre otro.

'En toda igualdad tensorial los indices libres (es decir, no mudos)
de las expresiones que se encuentran a ambos lados del signo igual

143. 140 Capitulo VAN. Principio de la relatividad

deberán ser iguales y estar colocados de igual manera (arriba
o abajo). En estas igualdades los indices libres se pueden cambiar
de lugar (bajándolos o subiéndolos), pero haciéndolo obligatoria-
mente al mismo tiempo en todos los términos de la ecuación. No
es “lícito” igualar las componentes contra y covariantes de distin.
tos tensores; semejante igualdad, incluso si casualmente se cumpliera
en un sistema de referencia determinado, se alteraria al pasar a otro
sistema.

‚Con las componentes de un tensor Ar” se puede formar un escalar
planteando la suma

A Al+A+ AR
(en este caso, como es natural, A= Ab). Esta suma se lama
traza del tensor y la operación para formarla, contracción del
tensor.

Una operación de contracción es también la formación del pro-
ducto escalar de dos tetravectores, que hemos visto anteriormente:
ésta es la formación de un escalar ArB, partiendo del tensor ArB,.
En general, toda contracción sobre un ‘par de indices disminuye en
2 el rango del tensor. Por ejemplo, Alan es un tensor de 2° rango,
AXBY es un tetravector, 4 es un escalar, etc.

Se llama tetratensor unidad o unitario un tensor 6% para el que
se cumple la igualdad

SAM = Ar (88.3)

Son cualquier tetravector Au. Es evidente que las componentes
de este tensor serán

„fh nen
ay si pay

y su traza: Of =4,

Si en el tensor 6j subimos un indice o bajamos el otro obtenemos
un tensor contra 0 covariante, que se designa por medio de gr
Ban Y recibe el nombre de tensor métrico. Los tensores gr” y を
ienen componentes iguales, que se pueden representar en forma de
lá matriz:

(38,4)

1 0 0 0
0-1 0 0

lel=lgwl=|9 0-1 0 (38,5)
0 0 0-1

(el indice 1 70000 las filas y el v las columnas siguiendo el

144. § 38. Vectores telradimensionales 141

arden de los valores 0, 1, 2, 3). Es evidente que
BuvAY = An, BAAR, (38,6)

zon lo que se efectúa la notación tensorial de las operaciones de

subida o bajada de los índices. :
Finalmente fos detendremos a considerar ciertas operaciones

diferenciales e integrales de análisis tensorial tetradimensional.
Se llama tetragradiente de un escalar p el tetravector

de. (128
Sw).
Aquí hay que tener en cuenta que las derivadas que hemos escrito

se deben considerar como las componentes covariantes del tetra
vector. En electo, la diferencial del escalar

dy = 22 der

también es un escalar; su forma (producto escalar de dos tetravecto-
res) evidencia la afirmación hecha anteriormente.

En general los operadores diferenciales respecto a las coordenadas
고, djóx*, deben considerarse como componentes covariantes del
teiravector operador. Por esto, por ejemplo, es un escalar la di-
vergencia de un tetravector, es decir, la expresión 94*/9x", en la
cual se derivan las componentes contravariantes de 4°.

En el espacio tridimensional la integración se puede hacer sobre
un volumen, una superficie o una curva. En el tetradimensional,
respectivamente, son posibles cuatro tipos de integración: 1) cur-
Yilinea en el espacio telradimensional, 2) de superficie (bidimen-
sional), 3) de hipersuperficie o superficie tridimensional y 4) de
volumen tetradimensional

Existen teoremas, análogos a los de Gauss y Stockes del and:
lisis” vectorial tridimensional, que permiten transformar unas
integrales tetradimensionales en otras. De estos teoremas utiliza-
remos únicamente el de la transformación de la integral de volumen
tetradimensional en integral de hipersuperlicie.

El elemento de integración de volumen tetradimensional

dQ =dedrdedo = € dt dV (38.7)

es un escalar; esto se deduce claramente de la comparación de las
Jeyes de transformación de los intervalos de tiempo (35.1) y de
los volúmenes espaciales (36,5). Pero el elemento de integración
de hipersuperficie dS* es un tetravector cuyo valor es igual al
“área” del elemento de hipersuperficie y cuya dirección es normal

145. 142 Capitulo VIII. Principio de la retatividad

a este elemento (asi, la componente dSe= dx dy dr, es decir, es un
elemento de volumen tridimensional dV, o sea, la proyección de
un elemento de hipersuperficie sobre el hipe == const).

Una integral extendida a una hipersuperlicie cerrada se puede
Aransformar en la integral del volumen tetradimensional encerrado
en ella, sustituyendo el elemento de integración dS, por el operador

a
ER. (38,8)

Por ejemplo, para la integral del vector Au, tenemos:
Gras, [Hao (38,9)
Esta fórmula es la generalización del teorema de Gauss,

146. CAPITULO IX

MECANICA
RELATIVISTA

$39. ENERGIA E IMPULSION

Lo mismo que en la mecánica clásica, para deducir las ecuacio-
nes relativistas del movimiento de las partículas partiremos del
principio: de minima acción. Empezaremos hallando la integral
de acción para una particula libre.

Esta integral no debe depender del sistema inercial de referen-
cia que se elija, es decir, debe ser invariante respecto a la transfor-
mación de Lorentz. De aqui se deduce que debe tomarse de un esca-
Jar. En este caso las diferenciales subintegrales deberán ser de pri-
mer grado. El único escalar de este tipo que se puede formar para
una partícula libre es el elemento de intervalo ds, o const-ds,
siendo const. una constante característica de la partícula, Llam
rmos — me a esta constante (el porqué de esta designación quedará
claro más adelante)

De lo dicho se deduce que para una partícula libre la acción
deberá tener la forma

wt

Sa

(39,1)

donde | significa la integral a lo largo de la línea de universo

entre dos sucesos dados, es decir, entre las posiciones
nal de la partícula en unos instantes determinados £, y ty

En virtud de (35,1) esta expresión se puede escribir en forma
de la integral respecto al tiempo

-oo
Comparando esta integral con ja defi

se (ia,

al y fie

¡ón general (2,1)

147. 144 Capitulo 1X. Mecánica relativista

vemos que la función relativista de Lagrange de una partícula
libre es

Lame VIE. (89,2)

Cuando las velocidades son pequeñas, es decir, cuando se en.
cuentran dentro de los límites no relativistas, se puede desarrollar
L en serie de potencias de v/e, con lo que, omitiendo los términos
de órdenes superiores, obtenemos

Lame +

El término constante de la función de Lagrange no influye en las
ecuaciones del movimiento y. por lo tanto, se puede prescindir
de él. Hecho esto volvemos a la expresión clásica de L=mo*/2.
Pero al mismo tiempo se aclara el sentido que tiene la constante m
que introdujimos en (39,1), que resulta coincidir con la masa de
la partícula.

La impulsión de la partícula se define por la derivada p=dL/öv.
Derivando la expresión (39,2) oblenemos:

p= CE]

Si las velocidades son pequeñas (o<c) esta expresión se convierte
en la clásica p=mv.

La derivada de la impulsión respecto al tiempo es la fuerza que
actúa sobre la particula. Supongamos que la velocidad de la parti-
cula varía únicamente por su dirección, es decir, que la fuerza es
perpendicular a la velocidad. Entonces

(39,4)

Pero si la velocidad varía sólo en magnilud, es decir, si la
fuerza, tiene la dirección de la velocidad,

+ a 69,5)

Como puede verse, en estos dos casos la relacién entre la fuerza
y la aceleración es distinta.

+ De acuerdo con la definición general (6,1) la energía de la par-
ticula es

E=p—L. (9,5)

148. 9.39. Energie < impulsión 145

Poniendo aquí los valores de L y p de (39,2) y (39,3), obtenemos:
(39,7)

Esta importantísima fórmula demuestra’ en particular que en
la mecánica relativista la energia de una particula libre no se
anula cuando v :0, sino que sigue siendo una cantidad finita

Emme, (89,8):

que recibe el nombre de energía en reposo de la partícula
Cuando las velocidades son pequeñas (wc). desarrollando
(89,7) en serie de potencias de v/c, tenemos que

gae+ 学

es decir, descontando la energía en reposo, ésta es la expresión
clásica de la energía cinética de una partícula.

Conviene advertir que aunque hablamos de una “partícula”,
su carácter “elemental” no se emplea en ninguna parte. Por esta
ratón las fórmulas que hemos deducido son aplicables a cualquier
cuerpo complejo, compuesto por multitud de partículas, en cuyo
caso por m se entenderá la masa total del cuerpo y por v la veloci-
dad de su movimiento como un todo único. Concrelamente, la
fórmula (39,8) es justa también para cualquier cuerpo que, como un
todo, esté en reposo. Llamamos la atención sobre el hecho de que
en la mecánica relativista la energía del cuerpo libre (es decir,
la energía de cualquier sistema cerrado) está perfectamente defi.
mida por una cantidad, siempre positiva, que depende directamente
de la masa del cuerpo. En la mecánica clásica, como puede recor-
darse, la energía del cuerpo se define únicamente con la exactitud
de hasta una constante aditiva arbitraria y puede ser tanto posi-
tiva como negativa.

La energía de un cuerpo en reposo está compuesta, además
de por la energía en reposo de las particulas que lo forman, por la
energia cinética de dichas partículas y por la energía de sus in-
teracciones mutuas. En otras palabras, mc? no es igual a la suma
act donde m, representa las masas de las partículas, y, por lo
tanto, m tampoco es igual a 2m. Es decir, en la mecánica relati-
vista no se cumple la ley de la Conservación de la masa; la masa
de un cuerpo complejo no es igual a la suma de las masas de Jas
partes que lo componen. En lugar de esto se cumple únicamente
la ley de la conservación de la energía, en la cual se incluye también
la energia en reposo de las particulas.

Elevando al cuadrado las expresiones (39,3) y (39,7) e igualán-
dolas entre sí, hallamos la siguiente relación entre la energía y la

149. 146 Capitulo IX. Mecánica relativista

impulsión de la partícula
Ep tme. (39.9)

La energía expresada en función de la impulsión se llama, como
veremos, función de Hamilton, H:

H=V PRE. (39,10)

Cuando las velocidades son pequeñas pme y, aproximadamente,
Hame+e,
<S decir, descontando la energía en reposo, tenemos la expresión
clásica de la función de Hamilton.
De las expresiones (39.3) y (39,7) se deduce también la siguiente
relación entre la energía, 10 impulsión y la velocidad de la partí
cula libre :

E (99.1)

Cuando v=c la impulsión y la energía de la partícula se hacen
infinitas. Esto significa que una partícula cuya masa m no sea nula
no se puede mover con la velocidad de la luz, Pero en la mecánica
relativista pueden existir partículas de masa igual a cero que se
muevan con la velocidad de la luz". Para estas partículas, de
acuerdo con (39,11), tenemos:

pak (39,12)

Esta fórmula también puede aplicarse como aproximada a parti-
culas cuya masa no sea nula en el caso llamado ulfrarrelativista,
es decir, cuando la energía de la particula E es grande en compai
ción con su energía en reposo me".

$40. IMPULSION TETRADIMENSIONAL

Las deducciones hechas en el párrafo anterior no dan aún sol
ción al problema de la transformación de-la energía y la impulsión
de la partícula cuando se pasa de un sistema de referencia a otro.
Para poder-resolver este problema hay que estudiar previamente
el carácter: tetradimensiónal ‘de estas magnitudes físicas,

Del vector tridimensional ordinario v de velocidad de la parti-
cula se puede formar un tetravector. Esta velocidad tetradimensio-

기 Ejemplos de estas partículas son los cuantos de luz o fotones y el neutrino.

150. $40. Impulsión tetadimensiona! 147,

nal (tetravelocidad) es
de
un e 40,1)

Expresando el elemento de intervalo ds en función de la dife-
rencial de tiempo df, de acuerdo con (35,1) podemos escribir:

ae
eye i

De donde vemos que las componentes de este tetravector son :

Las componentes de la tetravelocidad no son independientes,
Teniendo en cuenta que dx„dx# = ds, hallamos:

Uy ad = |. (40,3)
Desde el punto de vista geométrico ut es el tetravector unitario
fangente 5 la línea de universo de la partícula.

À tetravector

pee meur (40,4)
se llama impulsión tetradimensional (tetraimpulsiön) de la parti.
cula. Tomando de (40,2) las componentes de la tetraveloc
y comparándolas con las expresiones (39,3) y (39,7) vemos que las
componentes de la tetraimpulsién son

(40,5)

Resulta, pues, que en la mecánica relativista la impulsión
y la energía son componentes de un tetravector. De aqui se deducen
inmediatamente las fórmulas de transformación de estas magnitu-
des, Poniendo en la formula general de translormaciôn del Tetra
vector (38,1) la expresión (40,5), hallamos:

dz Vg
Dgo ㆍ ：
이스 Py = Pip Pe = Pie

Via

(40,6)

151. 148 Capítulo IX. Mecánica relativista

donde px. py y pe son las componentes de la impulsión tridimen-
sional 'p.

De la definición de la tetraimpulsiôn (40,4) y de la identidad
(40,3) tenemos que el cuadrado de la tetraimpulsién de la partí-
cula libre es

カーmre (40.7)

Poniendo aquí las componentes p de (40,5) volvemos a la rela-
ción (39.9)

$41. DESINTEGRACION DE LAS PARTÍCULAS

Consideremos la desintegración espontánea de un cuerpo de
masa M en dos partes de masas m, y ma. La ley de la conservación
de la energía en el caso de la desintegración, aplicada al sistema de
referencia en el cual el cuerpo eslá en reposo, da":

M=En+ Ex (41.1)

donde Ey, y Exe son las energias de las partes que se separan.
Como Em, y Ex>ms, lá igualdad (41,1) se puede cumplic
únicamente si M=>m,+ma, es decir, para que un cuerpo se pueda
desintegrar espontáneamente es necesario que la suma de las masas
que se separan sea menor que la masa del cuerpo. Y al contrario,
si M<m,-+m, el cuerpo es estable (respecto a la desintegración
dada) y no se desintegra espontáneamente. Para efectuar la de-
sintegración en este último caso habría que comunicarle al cuerpo,
desde fuera, una energía igual por lo menos a su energía de liga:
dara (m-+ins—M).

10 tiempo que la ley de la conservación de la energi
desintegración debe cumplirse la ley de la conservación de
la impulsión, es decir, la suma de las impulsiones de las partes
que se separan, lo mismo que la impulsión inicial del cuerpo, deben
ser. iguales a: cero, 0 sea, PrTPs=0. De donde pj が 0

mim Eten (41.2)

기 En los 4541 y 42 se supone oot. En olas palabras, como unidad de me:
icin de a velocidad se loma 19 velocidad de l uE (a certo Langit y sl
tiempo tendrán las mismas dimensiones. Esta elección es natural en a mac
tee reativite y simplifies mucho lo tchtura de las fórmulas. No obstante,
nes libro (m & quese dedica um part considerable 19 Loris no realite)
50 zaremos en general ee sem de unidades; en os ass en quo hagamos

dando en una érmila se toma = 1, el retorn alos unidades habitules
o ofece fuite, puesta que la velocidad de 1 tue se introduce en eli de
imanere que asegura lo dimension anche

152. $41. Desintegraclén de tas particules 149

Las dos ecuaciones (41.1).y (41,2) definen univocamente la energía
de las partes que se separar

ーー y pe Monten (as)

El problema inverso es en cierto sentido el del cálculo de la
energía total M de dos: partículas que chocan en un. sistema: de.
referencia en el cual su impulsión total es igual acero (sistema del
centro de inercia), El cálculo de esta magnitud física proporciona-un
criterio para establecer si es posible que se realicen algunos procesos,
de colisión no elásticos que acarrean la variación: del estado de las.
partículas que chocan o el “nacimiento” de otras nuevas. Los pro-
¿cesos de este tipo se pueden producir únicamente si se cumple la
condición de que la suma de las masas de todos los “productos de
la rescción” no sea mayor que M.

Supongamos que en el sistema inicial de referencia (de labora-
torio) una partícula de masa m, y energía E, choca con una parti.
cula en reposo cuya masa es m,. La energia total de ambas part
culas

E=E,+E,=E, +m,

y la impulsion total p=p,-+ps=p,. Considerando las dos parti-
で ulas juntas como un sistema complejo único, hallamos, de acuerdo
con (39,11), la velocidad de su movimiento como tal complejo

=p. (415)

Esta es la velocidad del movimiento del sistema del centro de iner-
cia con respecto al sistema de laboratorio.

Pero para hallar la masa M que buscamos no hay necesidad de
hacer la Iransformación efectiva de un sistema de referencia a otro.
En lugar de esto se puede utilizar la fórmula (39,9), que es apli-
cable tanto al sistema compuesto como a cada uno de sus partes
por separado. De esta forma, tenemos:

ME pin (E, + m (Elm),
de donde

M* =m} + m} + 2m,E,. (41,5)
Problema

Hallar la energía máxima que puede arrastrar una de las partículas de de-

integración al fisionarse una p

ent
D ans thie rang u me u

1010 en reposo de masa M en res cuyas masas

10 el sistema
formado por ls otras dos particulas m, y ma tene la menor masa posible; esa
última e igual à la sora mt, 00 ue corresponde al movimieno conlunlo

153. 180 Capítulo 1X. Mecánica relatlvista

de esas particulas con la misma velocidad), De esta forma reducimos el problema
la desintegración de un cuerpo en dos parles y, de acuerdo con (41,3), hallamos:

$42. CHOQUE ELASTICO DE PARTICULAS

Estudiemos, desde el Ban de vista de la mecänica relativista,
el choque elástico de particulas Llamemos pul} y PE las im:
pulsiones y las energías respectivas de las particulas que chocan
(cuyas masas correspondientes son m, y mu); el valor que toman
estas magnitudes después dela colisión 10 distinguiremos con un
apéstrofo.

Las leyes de la conservación de la energía y la impulsión en
este caso se pueden escribir juntas formando le ecuación de conser-
vación de la tetraimpulsión:

Pi + p= pi tpt. (42,1)
Formemos con este tetravector las ecuaciones de las relaciones in-
variantes que pueden sernos útiles para los cálculos futuros. Para
esto, escribamos (42,1) bajo la forma

moot = pt
y elevemos los dos miembros de esta igualdad al cuadrado (es decir,
escribiremos los productos escalares de estos miembros por si
mismos). Teniendo en cuenta que los cuadrados de las tetraimpul-
siones pt y p『 son iguales a mf y que los cuadrados de p! y p” son
iguales a mi, obtenemos:

SS IE E (42,2)
Análogamente, elevando al cuadrado la igualdad pL+ pi —p =
= pl. obtenemos:

tur =0. (42.3)

Consideremos el choque en un sistema de referencia de laborato-
rio en el cual, antes de la colisión, una de las partículas (la mi)
estab en reposo..Entonces py:=0, E,=m, y los productos escalares
que figuran en (42,2) serán iguales a

Paya =Es Pep? = ME,

424)

Pypt = EE; pipi = E, Ej—p,p co 6
donde 8; es el “ángulo de dispersión de la partícula incidente m,.

154. $42. Choque elísticó de particulas 151

Por

ido esta expresión en (42,2), oblenemos:

cos 0, = ELLE + M) Eure

= (42,5
PP1 ea
Anélogamente, de (42,3), hallamos
cos 8, = Lem Emm) ， (428)
Pi

donde 6, es el ángulo que forma la impulsión de: retroceso 01 con
la impulsión de la partlcula incidente p,, Estas fórmulas relacionan:
los ängulos de dispersión de ambas partículas, en el: sistema: de
laboratorio, con las variaciones de sus energías.

Advertimos que si mm, es decir, si la partícula incidente es
más pesada que la que está en reposo, el ángulo de dispersión 0,
no puede sobrepasar cierto valor máximo. Por medio de un cálculo
elemental se puede hallar fácilmente que este valor viene definido
por la igualdad

Sen Our = PE (42,7)

que coincide con el resultado clásico (14,8)

Las fórmulas (42,5) y (42,6) se simplifican en el caso en que la
masa de la partícula incidente es nula, es decir, m0, y, de ac
erdo con esto, py=E, y pi=E;, Eseribamos para este caso la I
mula de la energía de la partícula incidente después del choque
expresada en función de su ángulo de desviación:

Ej 一 一， (42,8)

ET

Y ahora volvamos al caso general del choque de dos particu-
las de masas cualesquiera. Este choque resulta más fácil de estu-
diar en el sistema del centro de inercia. Señalando el valor que
tienen las magnitudes en este sistema con el subindice comple-
mentario 0. tenemos aquí que pu pampa. En virlud de la
conservación de la impulsión, las impulsiones de ambas particu-
las al chocar no hacen más que girar, permaneciendo iguales en
magnitud y contrarias en dirección, Y de acuerdo con la conser-
vación de la energía los valores absolutos de cada una de las im-
pulsiones permanecen invariables.

Li al ángulo de dispersión en el sistema del centro de
inercia, es decir, el ángulo que giran las impulsiones Pye y Pre
al producirse el choque. Con esta magnitud se define totalmente
el proceso de dispersión en el sistema del centro de inercia y, por
lo tanto, en cualquier otro sislerpa de referencia. También es

155. 152 Capitulo IX. Mecánica celativis

cómodo elegir esta magnitud para definir el choque en el sistema
de laboratorio, como el único parámetro que queda sin determinar
después de tener en cuenta las leyes de la conservación de la ener-
gia y la impulsión.

Expresemos en función de este parámetro las energías finales
de ambas particulas en el sistema de laboratorio. Para esto vol
vemos a la relación (42,2), pero esta vez abrimos el producto p,,p\"
en el sistema del centro de inercia:

(cos 3) + me
(en el sistema del centro de inercia la energia de cada una de las
partículas no varia con el choque, es decir, Ejy=E,y). Los otros
dos productos los abrimos como antes en el sistema de laboratorio,
es decir, los tomamos de (42,4). Como resultado obtenemos

Nos queda expresar pi en función de las magnitudes referidas al
sistema de laboratorio. Esto se hace fácilmente igualando los valo-
res del invariante p,,p3 en ambos sistemas:

EE 一 peps = Est,
6

YE 而 mW 两 =
Despejando p3, hallamos:

má (Em)

Cr Ma
Tomando también en consideración la ley de la conservación
E, +m, =E¡+E;, escribimos finalmente:

pl

m (Ei mi)
mit me + Ime,
a, Está exprésión representa la energía que pierde la primera par-
fíeula y que, por, consiguiente, adquiere, la segunda. La trans-
misión dé energía máxima se obliene cuando x=n y es

EE;

Em (cosy). (4210)

(Eimer mE Ein RO). 42,11)

Entre la energía cinética minima de la partícula incidente des-
pués de la colisión y. su energía cinét

Elim

inicial existe la relación

= mit

nt 1012

156. $42 Choque elástico de particulas 183

Enel caso límite de las pequeñas velocidades (cuando E = m-+ mu*/2)
esta relación tiende a un límite constante igual a

mom Y
Ga)
En el límite opuesto, de las grandes energías E,, la relación (42,12)

tiende a cero; pero la propia magnitud Eymin tiende a un limite
constante, Este límite es

Supongamos que ma3>m,. es decir, que la masa de la partícula
incidente es pequeña en comparación con la masa de la partícula
en reposo. De acuerdo con la mecánica clásica, en este caso la par-
ticula ligera solamente podría cederle a la pesada una parte in-
significante de su energía (véase el 814). En la teoría relativista
no ocurre esto. Por la fórmula (42,12) puede verse que cuando las
energías E, son suficientemente grandes la porción de energía
transmitida puede alcanzar el orden 1. Pero para esto no es sufi-
ciente que la velocidad de la partícula m, sea del orden 1, sino que
es necesario además que la energía

Em
es decir, la energia de la partícula ligera deberá ser del orden de
la energia en reposo de la particula pesado

Un caso análogo es aquel en que me<m,, es decir, cuando la
partícula pesada incide sobre la ligera. En este caso, de acuerdo
con la mecánica clásica, también debería producirse una transm

sión de energía insignificante. La parte de energia transmitida
comienza a ser considerable a partir de

ma

E

Advertimos que también aquí no se trata simplemente de veloci-
dades del orden de la de la luz, sino también de energías grandes
en comparación con m,, es decir, de un caso ultrarrelativista.

Problemas

1. Hallar el ángulo de divergenci
de mass,

después del choque, de dos partículas
les en un sistema de reerencia de laboratorio 비

preselución. Elevando al cusérado ls dos miembros de la Igualdad (42, D,

157. 154 Capítulo 1X. Mecánica relativista

ratorio resulta:
Ema mm EJES pipi cos O,

donde 8 es el ángulo de divergencia (ángulo entre pi y pi). Para les par
Ca de igual me 16000

AV Em,

y teiendo en cuenta la conservación de la energia (E, +m=El-+ E), obte
Rene de qui !

7
we
Vez em

El ángulo 8 varia entre los limites 2/2 (para Ej —+ m 0 Ej — m) y el valor
mínimo 8, que alcanze cuando Ej = E;

Eon
in FF
2, Chocan dos particulas de igual masa m. Expresar Ei. El y X en fun.
ción del ángulo de dispersión O, en el sistem oro.

Pelando Ef, hallamos:

Evtm (Em) costo,
Eo, ™

Comparando eta expresión con 10 de El por medio de x
A)

@ 80" ie de don

158. PARTE I] ELECTRODINAMICA

CAPITULO X

CARGA EN

UN CAMPO
ELECTROMAGNETICO

$ 43. POTENCIAL TETRADIMENSIONAL DE UN CAMPO

La interacción de unas partículas con otras se puede definir
por medio del concepto de de fuerzas. En lugar de decir que
una partícula ejerce acción sobre otra puede decirse que esta par-
tícula crea un campo en torno suyo; sobre cualquiera otra particula
que se encuentre en este campo actuará cierta fuerza. En la mecá
nica clásica el campo no es más que un procedimiento para definir
el fenómeno físico de la interacción de las partículas. En la teoría
de la relatividad, debido al carácter finito de la velocidad de pro-
pugsción de las ineraciones, cambian las cosas sensiblemente.
as fuerzas que en un instante dado actúan sobre una partícula
no se determinan por su posición en dicho instante. El cambio de
¡ón de una de las partículas se refleja en las demás al cabo
de cierto tiempo. Esto significa que el campo de por sí cobra rea-
lidad física. Ya no se puede hablar de interacciones directas entre
particulas que se encuentran a cierta distancia entre si. La inte-
racciôn, en cada instante, se puede producir únicamente entre pun-
tos contiguos del espacio (acción próxima). Por esta razón debemos
hablar de la interacción entre una partícula y el campo y de la
ulterior interacción entre éste y otra particula.

La segunda parte de este libro se dedica a la teoría de los campos
electromagnéticos. Empezaremos estudiando la interacción de
una partícula con un campo dado.

La acción de una partícula que se mueve en un campo electro-
magnético dado consta de dos partes: una, la acción de la partícula
libre (39,1) y otra, que define la interacción de la particula con el
campo, Este último término debe contener magnitudes que carac-
tericen la partícula y magnitudes que caractericen el campo.

159. 156 Capitulo X. Carga en un compo clectromagnitico

Resulta, que las propiedades de la particule relacionados
con su interacción con el campo electromagnético vienen dadas por
un solo parámetro e, que se llama carga de la partícula, el cual puede
ser positivo, negativo o nulo. Las propiedades del cempo se caracle-
rizan por un tetravector A,. que se llama tetrapotencial, cuyas
componentes son funciones de las coordenadas y del tiempo. Estas
magnitudes figuran en la fórmula de la acción como un término

E fardos

donde las funciones de A, se toman en los puntos de la línea de
universo de la partícula. 'El factor Ic se introduce aquí por Ta-
zones de comodidad. Debemos adverlir que mientras no tengamos
una fórmula que relacione lá carga o el potencial con las magnitu-
des ya conocidas podemos elegir arbitrariamente sus unidades de
medición (este asunto volverá a tratarse en el $59).

De lo expuesto se deduce que la acción de una carga en un campo
electromagnético tiene la forma

So ma Andi), (43.1)

Las {res componentes espaciales del tetravector Ar forman
un vector tridimensional A, que se llama potencial vector del campo.
La componente temporal recibe a su vez el nombre de potencial
escalar; este último lo designaremos por 4954. Por lo tanto,

=. A) (43,2)

De acuerdo con esto, la integral de la acción se puede escribir así:

5° matt Adena)

2 La afimación que se hace a continuación se debe considerar en gran
partecomo d resultado de ¿stos experimentales. La or de la ación de ond
Jarl e un campo seiomagadc so se puede labo bs

Samente en razonmtentos generales como la Condición de nar
vista (te lima, or ejemplo, admis también en a 60002 CU on

LA 5 en el cual 4 es un unción escala)

onlbiones recordatemes, que en todas partes nos iferimos
ada teria cisco (no une) y que pr 19 anto ns nenn om cala ok
clos relacionados con el espn dels Pe

160. $43, Potencial tetradimensional_de un compo 187

o, intraduiento la partícula v=dride y pasando a la intègre.
Sión respecto al tiempo

sa (=me y
La expresión subintegral es la función de Lagrange de una carga
en un campo electromagnet

(43,3)

ーー
Lame Y 1H +2 Ave. (43,4)
Esta expresión se diferencia de la función de Lagrange para una

partícula libre en los términos 2 Ay—ep. que definen a interacción

de la carga con el campo. "
La derivada OL/dv es la impulsión generalizada de la parti-
cula; la designaremos por medio de P:

+La=p+íA. (43,5)

En esta fórmula hemos llamado p a la impulsión ordinaria de la
particula, que en adelante llamaremos simplemente impulsión.

De la función de Lagrange se puede deducir la de Hamilton
de una partícula en un campo, aplicando la fórmula general "

(43,5)

Pero la función de Hamilton se debe expresar, no en función
de la velocidad, sino en función de la impulsión generalizada de
la partícula. Por (43,5) y (43,6) vemos que la relación entre 09
y PLA es la misma que entre J£ y pen ausencia del campo, es
decir,

(#

(

Gr Erz parte del libro emplearemos para designa la energte y la función
de Harton ino en ete mastil ye len Jar Ir ZH
ar confusiones con on corespondientes a Ta Intensidad del compo el:
Wilco Le exclacion magnética respectivamente.

= met (PE A). (43,7)

161. 158 Capitulo X. Carga en un compo electromagnético.

Para pequeñas velocidades, es decir, en la mecánica clásica,
la función de Lagrange (43,4) pasa a

ルー 写す Av 一 ey (43,8)
En esta aproximación

p=mv=P—<A,
y la función de Hamilton:

H= (PLA) re. (43,9)

$ 44. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE
UNA CARGA EN UN CAMPO

Toda carga que se encuentra en un campo no sólo sufre la in-
fluencia que este último ejerce sobre ella, sino que a su vez influye
en el campo y hace que varíe. No obstante, si la carga e es pequeña,
au soción sobre ef campo se puede despreciar ®. En este caso,
estudiar el movimiento en un campo dado se puede considerar que
éste no depende ni de la posición ni de la velocidad de la carga.

Las ecuaciones del movimiento de una carga en un campo elec-
tromagnético dado vienen dadas por las ecuaciones de Lagrange

4a

HEHE. (44,1)
donde L se determina por la fórmula (43,4).

La derivada dL/Ov es la impulsión generalizada de la partícula
(43,5). Luego, podemos escribir:

ea phat grad Av—e grad y

Pero por. la. conocida fórmula del análisis vectorial
radab=(a0)b+(bv)a+[brota]+[arotb],
"donde’a y b son dos vectores cualesquiera. Aplicando esta fórmula

a Ay y recordando que la derivación respecto a r se hace conside-
rando y constante, hallamı

=EWA + E (vrotA]—egrad q.

La condición de pequeñez de a carga en ete sentido consiste en la pegueñer
de la llamada fuerza de tenado por rauen Que cu iaramos en el DEN“

162. 44. Ecuaciones del movimiento de una carga en un campo 158

Por consiguiente, las ecuaciones de Lagrange toman la forma:
loque
a(p+£A)

Pero la diferencial total $* dt consta de dos partes, a saber: de la

(vy) A + [vrot A] —egrad p.

variación SA dt del potencial vector con el tiempo en in punto
determinado del espacio y de la variación que se produce al pasar
de un punto del espacio 2 otro que se encuentra a la distancia, dr
Esta segunda parte es igual a (dr 9)A. Por lo tanto

ENT
BAF OA.

Poniendo este valor en la ecuacién anterior, obtenemos:

Ba EA egrad p+ L[vrot A] (44,2)

Esta es la ecuación del movimiento de una partícula en un
campo electromagnético. Su primer miembro es la derivada de la
impulsión de la partícula respecto al tiempo. Por consiguiente la
expresión que figura en su segundo miembro es l fuerza que actúa
sobre la partícula en el campo electromagnético. La primera parte
de esta expresión (los términos primero y segundo) es independiente
de la velocidad de la particula; la segunda (el tercer término)
depende de slla sendo proporcional a dicha velocidad y Perpend
cular a la misma,

La fuerza de primer género referida a una carga igual a la unidad
recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico E. De acuerdo
con esta definición

(44,3)

El factor de la velocidad, o, mejor dicho, de v/c, de la fuerza
de segundo género que actúa sobre la unidad de carga se llama
excitación magnética o intensidad del campo magnético y se designa
con la letra H. Según su definición

H= rot À. (44,4)

Dicho esto, podemos escribir las ecuaciones del movimento de
la partícula en el campo electromagnético bajo la forma

Dee +2 (vH] (44,5)

La expresión que figura en el segundo miembro se llama fuerza
de Lorentz. Su primer término es la fuerza que el campo eléctrico

163. 160 Capítulo X. Carga en un campo electromagnético

ejerce sobre la partícula; esta fuerza no depende de la velocidad
de la carga y está orienlada en la dirección del campo E, El se-
gundo término representa la fuerza que ejerce el campo magne-
fico, que es proporcional a la velocidad de la carga y es perpendi-
cular a la dirección de esta velocidad y a la del campo magnético H

Para velocidades pequeñas en comparación con la de la luz
la impulsión p es aproximadamente igual a su expresión clásica
mv y la ecuación del movimiento (44,5) se transforma en

má ee +S [vi] (44,5)
Calculemos además la velocidad con que varía la energía

cinética de la particula” con el tiempo, es decir, la derivada
dd me

da TE

Es facil convencerse de que

poniendo aqui el valor de dpidt que da (44,5) y teniendo en
Cuenta que [vi] y=0, tenemos.

Gis ev. (44,7)
La expresión del segundo miembro de esta igualdad es el trabajo
que realiza el campo sobre la partícula (en la unidad de tiempo).
Este trabajo es realizado solamente por el campo eléctrico. El
campo magnético no efectúa trabajo sobre la carga que se mueve
en él, puesto que su fuerza efectiva es perpendicular a la veloci-
dad de la partícula.

En el $5 señalamos que las ecuaciones de la mecánica clásica
son, invariantes respecto à la inversión del tiempo. Como se puede
ver lécilmente, Jo mismo ocurre con el campo electromagnético
en la feoría de la relatividad. Pero en este caso, al mismo tiempo
que se sustiluye por — {hay que cambiar el sign del campo magné-
tico. En efecto, no es difícil comprender que las ecuaciones del
movimiento (44,5) no varían si se hace la sustitución

ft EE y 一 一 HL (44,8)
En este caso, de acuerdo con (44,3) y (44,4), el potencial escalar

» Aquí y en adelante entenderemos por “cinética” la energía (39, 7), que
incluye la energis en reposo.

164. $45. Invariancia de calsbractén’ 161

no varia, pero el potencial vector cambia de signo:
90 A——A (44.9)
De esta forma, si en un campo electromagnético es posible cual-

quier movimiento, también será posible el movimiento: inverso
en un campo H de sentido contrario

Problema.

Expresar a acateración de una parlicta,en función de su velocidad; dé
intensidad del campo election y dela excitación maga OS

Solución. En fo scusctón del movimiento (44. RiUtulmes pavés
y expresamos ddl de acuerdo con (44,7). Como renulado obtenemes

25 Y Efes timado)

$ 45. INVARIANCIA DE CONTRASTE

Estudiemos ahora el problema de en qué medida es unívoca
la definición de tos potenciales de un campo. Un campo se caracte-
riza por la acción que ejerce sobre el movimiento de las cargas que
se encuentran el él. Pero en la ecuación del movimiento no figuran
los potenciales, sino las intensidades de los campos eléctrico E
y magnético H. Por esto, dos campos serán idénticos físicamente
Si se caracterizan por tener unos mismos vectores E y 时，

De acuerdo con (44,3) y (44,4), dando los potenciales A y ©
quedan definidos univocamente los valores de E y H. Pero a un
mismo campo le pueden corresponder diferentes potenciales. Para
convencernos de esto, añadamos a cada componente del tetrapo-
tencial A, una cantidad —0f/2x, donde f sea una función arbit:
ria de lascoordenadas y del tiempo. Entonces A, se transformará en

Ami, (45,1)

Al hacer esta sustitución en la integral de la acción (43,1) aparece
un término complementario, que representa la diferencial total

Ep tma (1), (45,2)

que no influye en la ecuación del movimiento (compárese con el $ 2)

Pero si en lugar del potencial telradimensional se introducen
el potencial vector y el potencial escalar y en lugar de x Jas coorde-
nadas ct, x, y, 2, las cuatro igualdades (45,)) se pueden escribir

165. 162 Capitulo X. Carga en un campo electromagnético

bajo la forma

A =A+gradf,
gpl. (45,3)

No es dificil convencerse de que los campos eléctrico y magnético
no varian en realidad al sustituir, en (44,3) y (44,4), A y @ por los
nuevos potenciales A” y g’. Por lo tanto, la transformación (45,3)
mo aller los campos. De esto se deduce que la definición de los
potenciales no es univoca, puesto que el potencial vector se deter-
mina con una exactitud de hasta el gradiente de una función arbi
traria y el escalar, con la de hasta la derivada respecto al tiempo de
esta misma función. -

Concretamente, al potencial vector se le puede añadir cualquier
vector constante, y al escalar una constante cualquiera. Esto se
deduce también directamente del hecho de que en la delínición
de E y H figuran únicamente las derivadas de A y ©, y, por consi-
guiente, la adición de constantes a estas últimas no influye en las
intensidades del campo.

Tienen sentido físico solamente aquellas magnitudes que son
invariantes respecto a la transformación de los potenciales (45,3);
por esta razón todas las ecuaciones también deberán ser invarian:
les con relación a esta transformación. Esta invariancia se Hama
de _contraste 0 de gradiente".

El carácter no univoco de los potenciales, que acabamos de ex-
ner, siempre da la posibilidad de elegirlos de manera que sat
lagan una condición complementaria cualquiera, ya que podemos
elegir arbitrariamente una función f en (45,3). En particular, los
potenciales del campo siempre se pueden tomar de forma que y
Sea igual a 0. Pero hacer que el potencial vector se anule, en gene-
ral, no es posible, ya que la condición A=0 representaría tres con-

diciones complementarias (para las tres componentes de A).

$ 46: CAMPO ELECTROMAGNETICO CONSTANTE

¿ ¿Se Mama constante el campo electromagnético que no depende
del tiempo. Es evidente que los potenciales de un campo constante
se pueden elegir de forma que solamente sean funciones de las
<éordenadas (y no del tiempo). El campo magnético constante. lo

Subrayamos que este resultado
de que 2 es constante! Por lo tono, la im
de la electrodinämica y la conservación
entre si

gado a la suposición hecha en (45,2)
iancia de calibración de las ecuaciones
1a Carga están ligadas Intimamente

166. 46. Campo electromagnético constante 163

mismo que antes, es 11701 A. Pero el campo eléctrico constante
es

E=

grad. (46,1)

Es decir, el campo eléctrico constante viene definido Gnicamiente
por el potencial escalar, y el magnético, por el potencial vector.

Como hemos visto en el párrafo anterior, la definición 06 los
potenciales del campo no es univoca. Pero si convenimos definir

campo electromagnético constante en función de potenciales
independientes del tiempo, al potencial escalar se le podrá adicio-
mar, sin que el, campo varie, solamente una constante “arbitraria,
(queno dependa ni de las coordenadas ni del tiempo). Generalmente
al potencial @ se le impone la condición suplementaria de que se
anule en el infinito, En este caso la constante arbitraria antedicho
queda determinada y el potencial escalar del campo constante
resulta univoco. El potencial vector, por el contrario, sigue siendo
no univoco, es decir, se le puede sumar el gradiente de cualquier
funcién de las coordenadas,

Determinemos la energía de una carga en un campo electromag-
nético constante. Cuando el campo es constante la función de La-
grange tampoco depende explícitamente del tiempo. En este caso
fa energia se conserva, coincidiendo con la función de Hamilton.
De acuerdo con (43,6), tenemos:

(46,2)

Es decir, a la energía de la partícula se le suma el término e 9,
que es lá energía potencial de la carga en el campo. Advertimos
un hecho importante: la energía depende solamente del potencial
escalar, y no del potencial vector. En otras palabras, el campo
magnético no influye en la energía de las cargas; esta energía puede
varíar únicamente por la acción del campo eléctrico. Esto se debe
al hecho anteriormente señalado de que el campo magnético, en
oposición al eléctrico, no realiza trabajo sobre la carga.

Si la intensidad del campo es la misma en todos los puntos del
espacio se dice que el campo es uniforme, El potencial escalar de
un campo eléctrico uniforme se puede expresar en función de su
intensidad según la igualdad

—Er (46,3)
En efecto, si E=const, tenemos:

grad (Er) =(Ev)r=E

El potencial vector de un campo magnético uniforme también

167. 164 Capítulo X. Carga en un campo electromagnético

se puede expresar en función de su excitación H, bajo la forma
A

Efectivamente, cuando H=const, por medio de las conocidas
Fórmulas del análisis vectorial, hallamos:
rot [Hr] =H divr—(H9)r= 2H

(recordamos que div r= 3).

+. (46.4)

$ 47. MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTRICO
UNIFORME CONSTANTE

Estudiemos el movimiento de una carga e en un campo eléctrico
uniforme constante E. Como eje x tomamos la dirección del campo.
El movimiento tendrá lugar, evidentemente, en un plano que t
maremos como xy. En estas condiciones las ecuaciones del movi-
miento (44,5) toman la forma

BemeE y =
de donde

Pr=eEt y py=Pw (47,1)
Como origen del tiempo tomaremos el instante en que p,=0;
Pa es la impulsión de la partícula en este instante.

La energia cinética de la partícula (es decir, sin la energía
potencial en el campo) ac Y mic+pi, Poniendo aquí los
valores de (47,1), hallamos que, en nuestro caso,

Sein =V OEE ED = Y EFF (CEN, (47,2)
donde @ es la energía cuando +

De acuerdo con (39,11) la velocidad de la partícula es
v=pE'/6.,. Por consiguiente, para la velocidad v, =i, tenemos:

Se _ pet cl

Va
Integrando, hallamos:

eV FER (47.3)
(consideramos que la constante de integración es igual a cero).

Para determinar y, tenemos:

a pa …
Tu Va

168. $48, Movimiento en un campo magnético uniforme constante 165

de donde
yt ar St (47,4)

La ecuación de la trayectoria la hallamos expresando { en
función de y, partiendo de (47,4), y poniendo este valor en
(47,3). De esto resulta que ‘

x=Eco = (47,5)

Por lo tanto, la carga se mueve en el campo: eléctrico uniforme
siguiendo una catenaria,

Si la velocidad de la partícula u<c, podemos suponer ps=mu,
y é=mé, y desarrollando (47,5) en serie de potencias de Ic,
obtenemos, con la exactitud de hasta los términos de orden superior,
que

E
Fag + const,

es decir, la carga se mueve en este caso siguiendo una parábola, que
es el resultado que da la mecánica clásica

$ 48. MOVIMIENTO EN UN CAMPO MAGNETICO
UNIFORME CONSTANTE
Consideremos ahora el movimiento de una carga e en un campo
magnético uniforme H. El eje z lo tomamos en la dirección de}
campo. La ecuación del movimiento

=< iv

la escribiremos de otra forma, poniendo en lugar de la impul-
sión su valor

pi,

donde & es la energía de la partícula, que en el campo magnd-
tico es constante, Entonces la ecuación del movimiento toma la
forma

Pa

(vi) (48.1)

o, en las componentes,

wma, eur, y d=0, (48,2)

169. 166 Capitulo X. Carga en un compo electromagnético

donde hemos hecho la sustitución
ont. (48,3)

E "
Multiplicando la segunda de las ecuaciones de (48,2) por à y
sumandola a la primers, tenemos!

aoe
A (uchiv,)= — ia (2,-+iv,),

de donde
の me

donde a es una constante compleja. Esta constante se puede

escribir de la forma ammuyye”, donde vy, y a son reales. Entonces
io rye,

y separando la parte real de la imaginaria, hallamos:
o=04cos(ol+a) y uy=—oysen(ol+0). (48,4)

Las constantes gar y a se determinan por las condiciones iniciales;
a es la fase inicial y, como se deduce de (48,4),

radis
és decir, v,, es la velocidad de la partícula en el plano xy, que
durante el ‘movimiento. permanece constante,

Por (48,4) y volviendo a integrar, hallamos:

xexytrsen(olta) e y=ytros(ut+a), (48,5)
donde

CET EE (48,6)
(pı es la proyeccion de la impulsión en el Plano xy). Por la ter-
cera ecuacion (48,2) hallamos que v,=u,, y

zeit. (48,7)

Por (48,5) y (48,7) se puede ver que la carga se mueve en el
campo magnético uniforme describiendo un tinea "helicoidal
cuyo eje se encuentra a lo largo del campo magnético y cuyo radio
es r y viene determinado por (48,6). La velocidad de la partícula
en éste caso tiene valór constante. En el caso particular en que
0 =0, es “decir, cuando la carga carece de velocidad a lo largo
del campo, se mueve describiendo una circunferencia en un plaño

perpendicular a dicho campo,

ia (ua magnitud 0, como se deduce de las fórmulas anteriores, es
la frecuencia cíclica de rotación de la partícula en el plano perpen.
dicular al campo. Si la velocidad de la partícula es pequeña, po
demos suponer aproximadamente que mc. En este caso la

170. $48. Movimiento en ‘un campo magnético uniforme constante 167

frecuencia « se convierte en
e

one (8

Problemas.

1, Hallar la Invartante adiabática del méfliniènto deiuna ige; ere campo”
magndtic uniforme, cuya magnitud y dirección varlan lentamente con temp
relación, Cams toe campo magnets Men el Reini en

‚no perpendicular al campo es periódico, ja invariants,odiabálica es; (véase*
Pre m IO

1 pra,

tomada a lolargode un periodo completo del movimiento, es deci, en nuestro caso,
2 lo largo de una circunferencia (yes la proyección de la impulsión generalizada.

Zar pao niet) Halen 18 sul Pet à A, 10000.
1

AA

En el primer término notamos que py es constante en magnitud y dirección res.
pra di ¥en ‘segundo aplicamos à Teorema de Stockes hacemos la sus.
Bien roi AH

tum,

donde r est radio de la Grbila. Sustluyendo 7 por su valor (48,6), her
‘ames:
Sol
ET
Donde se ve que, cuando H varía lentamente, la impulsión transversal py lo hace
de forma ditectamente, proporcional a YH
2 Deleminar a frecuencia de ls accion de un 00000 pail
cargado que se encuenta en un campo magnético uniforme constante; fa Trecu-
FT ore ie las cscilaciones del oscilador (en ausencia del campo) es or
lución. Las ecuaciones de Tas oscilaciones forzadas del oscilador en 인
campo magnético (diigido a lo largo de 2) tienen Ta forma

E ae
toi prom Hi y tone.

Multiplicando ja segunda ecuación por I y sumándola a la primera, obte-

Hoi

donde $=x+iy. De aqui hallamos que la frecuencia de las oscilaciones de
fotcilador en un plano perpendicular al campo, será.

on far HO) +

a

171. 168 Capitulo X, Carga en un campo electromagnético

Si el campo Mes pequeño, esto fórmula e transoras en
el
m

Las oscilaciones a lo largo de la direcién del campo permanecen invarlables

$ 49. MOVIMIENTO DE UNA CARGA
EN CAMPOS CRUZADOS

Finalmente, consideremos
el caso en que esté sometida
campo eléctrico y otro magn
limitaremos a estudiar el caso no relativista, en que la velocidad
de la carga ue, y, por lo tanto, su impulsión p=mv; como vere-
mos más adelante, para esto es necesario que el campo eléctrico
sea pequeño en comparación con el magnético.

domo eje 2 tamamos la diteccion de H y como plano ya, el
que pasa por los vectores H y E. Entonces las ecuaciones del mo-
vimiento

1 movimiento de una partícula en
ultäneamente a la acción de un
ético uniformes y constantes. Nos

mye +4 [vH]
se escriben de la forma
= 응 8. my =06,- ㅡ 응대 y me, (49,1)

De la fercera de estas ecuaciones se deduce que a lo largo del
eje 2 la carga tiene un movimiento uniformemente acelerado:

ot. (49,2)

‚Multiplicando por i la segunda de las ecuaciones (49,1) y su-
méndola a la primera, hallamos:

a HD Ae ie,

(o <efi[mo. La integral-de esta ecuación es igual a la suma de la
Integral de esta misma ecuación sin segundo miembro y de la integral
jarcial de la ecuación con el segundo miembro: La primera de estas
integrales es ae"! y la segunda eE,/mo==cE,JH. Por lo tanto,

EN
Sb iy mae ie TE

La constante a, en general, ss compleja. Escribiéndola de la forma
a=be", donde à y a son reales, vemos que, como a se multiplica
por 71, eligiendo convenientemente el instante a partir del cual

172. $49. Movimiento de una carga en campos cruzados 169

se empieza a contar el tiempo, podemos darle a la fase « cualquier
valor. Elijamos este instante de manera que a sea real. Entonces,
separando en x+iy la parte imaginäria de la real, hallamos:

Eu
=000501+ ㅇ 그,

ÿ=— asen ut. (69,3)

En este caso, en el instante la velocidad tiene la dirección
del eje x. Como puede verse, las componentes de la velocidad de:
partícula son funciones periódicas del tiempo; sus: valores: medios
son 5 i is

IS
n= y 5-0 (49,4)

Esta velocidad media del movimiento de la partícula en dos cam-
pos, eléctrico y magnético, cruzados se suele llamar velocidad de
deriva eléctrica. La dirección de esla deriva es perpendicular a am-
hos campos y no depende del signo de

la carga.

Tele les fórmulas de este pärrafo ~ |
son válidas si la velocidad de la par-
tícula es pequeña comparada con la de
Ja luz; para que esto ocurra es necesa-
rio que los campos eléctrico y magneti y]
co cumplan, entre otras, la condición

E

F< (49.5) ーー ヘン 7 7

可 7

pudiendo ser arbitrarios los valores absolutos de E, y H.
Integrando otra vez las ecuaciones (49,3) y eligiendo las cons-

tantes de integración de manera que cuando (=Ó tengamos que

x=y=0, oblenemos:

senol + Gel e y E (cos ut — 1) (49,5)

Estas ecuaciones, consideradas como paramétricas de una curva
definen una trocoide, Según sea el valor absoluto de a mayor o me-
nor que el de cE,/H, la proyección de la trayectoria de la parti
cula en el plano xy toma la forma representada respectivamente
en las figs. 30, a y 30, 6

173. 170 Capitulo X. Carga en un campo electromagnético

Sla==—cE,/H, (49,6) se transtorma en
zei (of — sent) e y= St (1-005 0), (49.2)

es decir, la proyección de la trayectoria en el plano xy es una cicloide
(fig. 30, 0)

$50. TENSOR DE CAMPO ELECTROMAGNETICO

Las fórmulas (44,3) y (44,4), que definen las intensidades del
campo en función de sus potenciales, vienen dadas en símbolos
tridimensionales y, por lo tanto, resultan incómodas para explicar
la ley de transformación de estas magnitudes al cambiar el sistema
de referencia.

Se puede ver fácilmente que el conjunto de todas las componen-
tes de los dos vectores tridimensionales E y H se pueden represen-
tar como el conjunto de las componentes de un tetratensor antisi-
métrico.

94。 OA,
Fav Se à

que recibe el nombre de tensor de campo electromagnéti
tido de cada una de las componentes de este tensor se comprende

fácilmente poniendo los valores de 4,=(9, —A) en la definición
(60,1), El resultado se puede escribit en forma de matriz, en la
cual el índice 』=0 1, 2, 3, sirve para numerar las filas y el v,
las columnas:
0 El E £
—E 0 HH,
Fam = _f}. (60,2)
5 E, 0H
—E, —H, H, 0

Las componentes contravariantes de este mismo tensor se dife-
rencian porque-el signo varía al elevar un indice espacial:

“ne OE, — Ey Es,
싸 피신 0 HH
Ey H,0 Er
E-H,H, 0
Advertimos que las ecuaciones del movimiento de una carga
-en el campo, se escriben, valiéndose del tensor Eyy, en la forma
Bip, (60,4)

Abriendo las expresiones que figuran en los dos miembros de esta

(50,3)

174. $ 50. Tensor de campo electromagnético 371

igualdad, con ayuda de las notaciones tridimensionales (40,2),
(40.5), (50,3) y haciendo la sugitución déc dt y/

éificil sonvencerse de que, cuándo u=1, 2, 3, obtenemos las’ tres!
componentes de la eciiación vectorial (446) y, cuando. +0, 18
ecuación del trabajo (44,7). à

Les fórmulas de translórmiación de los campos: E y Wsé pueden
hällarahora de acuerdo con las reglas generales deitransformiacion’
de un tetralensor. Las “componentes” del tetratehsot de “segunda:
rango ‚ir se iransforman como los productes de js coordenadas
sex". Al hacer la transformación de Lorentz (36,3) 1 0ord6fed43
x=y y x'=2 no varían; por lo tanto tampoco variará la compo:
rente Fi: '

Fearn,

Por la misma razón las componentes Ft, Fe y FU, Fi se trans
forman respectivamente como las coordenadas #=c y xt=x:
pag pa milpa
Pa

Pa

Vis Vs

y anélogamente Fo y FH, Finalmente, la componente Ft deberá
Aransformarse como el producto xx"; de donde debería obtenerse

Piety rr (pms righ.

Pero como en este caso el tensor Fu es antisimétrico, F'™ =.
y. por lo tanto,

pupa,

Expresando ahora las componentes del tensor 700 por medio de
las componentes de los campos E y H, de acuerdo con (60,3),

obtenemos las fórmulas de transformación del campo eléctrico
siguientes:

Fa

E,=Ew E, (60,5)
y las del campo magnético
m—Le,

Hama, = 6060

175. 172 Capitulo X. Carga en un campo electromagnético

Es decir, los campos eléctrico y magnético, lo mismo que I:

mayoría de las magnitudes físicas, son relativos, es decir, 의
temas’ de referencia

ncretamente, un campo eléctrico o magnético puede ser nule
en un sistema de referencia y al mismo tiempo existir en otro sis
tema.

Si en un sistema K’ el campo magnético H’—0, de acuerde
con (50,5) y (50,6) entre los campos eléctrico y magnético exis.
tird en el sistema K la correlación siguiente:

H=- (VE). (50,7;

ropiedades son diferentes en distintos

Y si en el sistema K’ el campo E’=0, en el sistema K
E=—1 (va) (50,8)

En ambos casos en el sistema K los campos magnético y eléctrico
son perpendiculares entre sí. Estas fórmulas también tienen, claro
esta, sentido recíproco, es decir, si en un sistema cualquiera de
referencia X los campos E y H son perpendiculares entre si (aunque
tengan magnitudes distintas) existirá un sistema K” en el cual el
campo será eléctrico puro o magnético puro.

$51. INVARIANTES DEL CAMPO

De los vectores intensidad del campo eléctrico y magnético
se pueden formar magnitudes invariantes que permanecen constan.
tes al hacer la transformación de un sistema inercial de releren
a otro.

Una magnitud de este tipo se obtiene formando el escalar tetra-
dimensional FF”. Abriéndolo en simbolos tridimensionales halla.
mos que FF. 2(H*—E). De esta forma uno de los invariantes
que buscamos es

HE? = inv. (61.1)

Una comprobación directa, aplicando las fórmulas (50,5)
7,480.6) permite convencerse sin dificultad de que al hacer las
ransformaciones de Lorentz permanece invariable también la
suma E,H.+-E,H,+E,H, Por lo tanto

ER =0. (51,2)

No obstante, entre estos dos invariantes existe una diferencia
«esencial por su manera de comportarse al producirse la reflexión
은 inversión del sistema espacial de coordenadas, es decir, al cam-
biar de signo simultáneamente las tres coordenadas x, y, 2. Recor-

176. $51, Invarlanles del campo 173

“damos que al hacer esta transformación las componentes del vector
verdadero (o polar) también cambian de signo.' Pero las compor>
nentes de un vector que puede representarse como el producto
vectorial de dos vectores polares permanecen invariables cuando, -
se produce la inversión (Jos vectores de este tipó se llaman axiales)
El producto escalar de dos vectores polares o de dos. vectores ai
les es un escalar verdadero que no varía con la inversiön. Por el.
contrario, el producto escalar de un vector axial y otro polar es
un seudoescalar que al hacer, la inversión cambia de. signo. .:

Pero serán las definiciones (44,3) y (44,4) E es un vector polar
y H un vector axial (producto vectorial de los vectores polares
Y y A). De aquí se deduce claramente que H*—E? es un éscalar.
Verdadero, mientras que EH es un seudoescalar (el escalar, verdadero
será el cuadrado (EH)*)

‘Sefialaremos algunas consecuencias de la invariancia de las
expresiones (51,1) y (61,2). Si en un sistema de referencia cual-
quiera los campos E y H son iguales en magnitud (E*=H*), tam-
bien lo serán en cualquier otro sistema inercial de referencia. Si
en cualquier sistema de referencia los campos E y H son perpendi-
culares entre si (EM=0),lombién lo serán en cualquier otro sis-
10118.

Cuando EH=0 se puede hallar un sistema de referencia en el
cual E=06 H=0 (según sea E*—H?<0 6 >0), es decir, un campo
magnético puro o un campo eléctrico puro. Y viceversa, si en un
sistema cualquiera de referencia £=-0 6 H=0, en cualquier otro
Sistema serán perpendiculares entre si, de acuerdo con lo expuesto
al final del párrafo anterior.

Un caso excepcional es aquel en que EH=0 y 一 が
es decir, cuando las dos invariantes son nulas. En este caso E y H
son iguales en magnitud y perpendiculares entre si en cualquier
sistema inercial de referencia,

177. CAPITULO XI

ECUACIONES
DEL CAMPO
ELECTROMAGNETICO

$52. PRIMER PAR DE ECUACIONES DE MAXWELL
De las expresiones
H=rotA, Es

LA rad y

se puede obtener fácilmente una ecuación que contenga ünica-
mente E y H. Para esto hallamos rot E:

rot E=—L¿ rot A—rot grad g.
Pero el rotacional de cualquier gradiente es igual a cero; por lo
tanto,

rot E=— 12. (62,1)

Tomando la divergencia de los dos miembros de la ecuación
tot AH y recordando que la divergencia de lodo rotacional es
nula, hallamos:

divH=0. (62,2)

Las ecuaciones (52.1) y (52,2) constituyen el primer par de
ecuaciones de Maxwell”. Advertimos que estas dos ecuaciones no
definen totalmente las propiedades del campo. Esto se ve ya por
el hecho de que determinan la variación del campo magnético con
el tiempo (derivada 08700 pero no la derivada 0670.

Las ccuaciones (62,1) y (62,2) se pueden escribir bajo la forma
integral. Según el teorema de Gauss

[div HaV=$ Ha,

donde la integral del segundo miembro se extiende a toda la su-

가 135 Susciones de Maxwell son las ecuaciones fundamentales de la elec
trodinämica y fueron formuladas en los ahos 186)

178. $53, Acción del campo electromagnético 175,

perficie cerrada que limita el volumen sobre el cual se toma la
integral del primer miembro. Basándonos en (52,2), tenemos:

ず Her=0. (62,3)

La integral de un vector extendida a cierta superficie se llama
flujo del vector a través de esta superficie De esta forma, el flujo
de un campo magnético a través de cualquier superficie cerrada
es igual a cero.

De acuerdo con el teorema de Stockes -

froiEar= feat, :

donde la integral del segundo miembro sé toma’ lo largo: del.con-
torno cerrado que envuelve la superficie a la cual se extiende la
integral del primer miembro, Por (52,1), integrando fos dos miem-
ü ie determinada, hallamos:

gedi=—tz (nat. 62,4)

La integral de un vector a lo largo de un contorno cerrado se llama
circulación de dicho vector por el contorno. La circulación del
‘campo eléctrico se Hama también fuerza electromotriz en el con-
torno dado. De esta forma, la fuerza electromotriz en un contorno
determinado es igual a la derivada respecto al tiempo, con signo
contrario, del flujo del campo magnético a través de la superficie
limitada ‘por este contorno.

$58. ACCION DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO

La acción 5 de todo el sistema formado por un campo electro
magnético y las partículas que se encuentran en él deberá constar
de tres partes, a saber:

一 Sr 十 So 十 Sa (53,1)

Sp es la parte de la acción que depende exclusivamente de las
propiedades de las partículas, es decir, la acción de las partículas
libres, Pare una partícula libre este acción viene dada por la

fórmula (39,1). Si existen varias partículas su acción tot! será

iguala la wma de ls acciones decada una de ells por separado.
or lo tanto,

Sa=— 3e ds. (53,2)

Say €s la parte de la acción debida a la int
tieulas con el campo. De acuerdo.con el $43, pi

«ción de las par-
un sistema de

179. 176 Capitulo XI. Ecuaciones del campo electromauitico

particulas, tenemos:
Say ZE (ad. (53,3)

En cada uno de los términos de esta suma A, es el potencial del
campo en el punto del espacio-tiempo en que'se encuentra la par.
Hicula correspondiente. La suma So 十 Sor esla acción, que ya cono.
emos (43,1), de las cargas en el Campo.

Finalmente, Sr es la parte de la acción que depende exclus
mente de las propiedades del campo, es decir, la acción del campo
en ausencia del las cargas. Mientras nos ha interesado solamente
el movimiento de las cargas en un campo eleclromagnélico dado,
no nos ha preocupado Sy, puesto que no dependía de equéllas y no
podía influir en las ecuaciones del movimiento de las particulas.
Pero ahora, cuando queremos hallar la ecuación que celine el
campo, hay que tener en cuenta Sy. Esta necesidad está de acuerdo
con el hecho de que de las partes Sq-tS,, de la acción hemos ha-
lado solamente dos ecuaciones, (2,1) Y (62,2), que son Insult
cientes para definir totalmente el campo.

Para establecer la forma de la acción S, del campo partiremos
de la siguiente propiedad importantisma de los campos eletroma,
néticos. Como demuestra la experiencia, el campo electromagn
tico cumple el principio de la superposición. Este principio alirma
que el campo creado por un sistema de cargas es el resultado de la
simple adición de los campos que crea cada una de las partículas
independientemente, Esto quiere decir, que la intensidad. del
campo resultante en cada punto debe ser igual a la suma (vectorial)
de las intensidades que tienen en este punto cada uno de los campos
independientes.

Toda solución delas ecuaciones del campo es un campo que puede
efectuarse en la naturaleza. De acuerdo con el principio de la su-
perposiciôn, la suma de campos cualesquiera de este tipo también
debe ser un campo realizable en la naturaleza, es decir, que deberá
satisfacer las ecuaciones del campo

‘Como sabemos, las ecuaciones diferenciales linenles se caracte-
70290 pór tener la propiedad de que la suma de cualesquiera de
sus resoluciones también es una solución. Por consiguiente, las
ecuaciones diferenciales del campo deberán ser lineales,

De lo dicho se deduce que la expresión subintegral de S, deberá
ser cuadrática respecto al campo. Unicamente en este caso serán
lineales las ecuaciones del campo, porque estas ecuaciones se obtie-
nen por variación de la acción y, como sabemos, al hacer la varia-
ción disminuye en una unidad el grado de la expresión sbinegal.

En la expresión de la acción Sy no pueden figurar los potencia:
les del: campo, puesto que no están definidos univocamente (en
Say la no uniformidad era insignificante). Por esto, S, deberá

180. $53. Acción del campo electromagnético 177

ser la integral de cierta función del tensor de campo electromagné-
tico F,,. Pero la acción debe ser un escalar y, por lo tanto, deberá
ser la integral de cierto escalar (verdadero). Este escalar solamente
puede ser el producto F,,F*" 9.

De esta forma, S deberá tener la forma siguiente:

Syma jf FT dV=dxdydz,
donde 1 tegral se toma según las coordenadas sobre todo el es-
in el tiempo, entre dos instántes dados; a es clerta
constante. Bajo el signo integral figura F,.F=>2(M%—E%). El
campo E contiene la derivada GA/0/. Pero se ve perfectamente
que 92 の * debe figurar. en la acción con signo positivo (y, por
lo tanto, E* tendrá signo positivo). En efecto, si (@A/00? entrara
en Sy con signo menos, por medio de una variación suficientemente
rápida del potencial con el tiempo (en el intervalo de tiempo consi-
derado) siempre se podría conseguir que S, fuera una magnitud
negativa con valor absoluto tan grande como se quisiera y, en este
caso, S, no podria tener mínimo, es decir, no cumpliría el prin-
ipio de mínima acción. Por lo tanto, a debe ser negativa.

El valor numérico de a depende de las unidades que se elijan para
medir el campo. Debemos advertir que una vez elegido un valor
determinado de a, además de las unidades de medición del campo,
quedan determinadas también las unidades de medición de todas
las demás magnitudes electromagnéticas. En adelante utilizare-
mos el sistema de unidades de Gauss (absoluto); en este sistema a
es una magnitud adimensional igual a —1/16x.

Por consiguiente, la acción del campo tiene la forma
S 5) Fred

Tex,

dQ = cdt dx dy dz. (63,4)

En forma tridimensional
SA Ema. (35)

En otros términos, la función de Lagrange del campo, es

Lag EH yay, (53,6)

© La función subintegal, de Sy no debe contener derivadas de Fyn ya que
en a fern de Lagar slo pen Fray adonde ls 60080 dl
Sistema, sus primeras derivadss Fespeclo 이 mientras que el papel
가 (en dei, de variables Con 10008 as cuales se hare 14 variaclin
end principio de misima acción) lo desempeñan en este caso os potenciales
e A, Mel campo. Esto es andloge a lo que ocure en la mecänca, donde a (une
ción ee Lagrange de un sistema mecánico cunlicne únicamente las coordenadas
Ge Tas parues y sus primeras derivadas respecto al tiempo.

181. 178 Capitulo XI. Ecuaciones del campa cegteoinnundticn

Y la acción del campo junto con las cargas que en él se encuen-
tran tiene la forma

Se Sf meds Sf Ando gan Pra (63.7)

Debemos señalar que ahora las cargas ya no deben con-
siderarse pequeñas, como hicimos al deducir la ecuación del movi-
miento de una carga en un campo dado, Por esto, A, y Fux se refie-
ren al campo verdadero, es decir, al compo exterior junto con el
campo creado por las propias cargas; À, y Fy. dependen ahora de
las posiciones que ocupan las cargas y de sus velocidades,

$54. TETRAVECTOR DE CORRIENTE

Por razones de comodidad matemática, las cargas, en vez de pun-
tuales, se suelen considerar distribuidas en el espacio de forma con-
tinua. Entonces se puede introducir el concepto de densidad de
carga p, con lo que p dV será la carga que se encuentra en el volu-
men aV: p es, en general, función de las coordenadas y del tiempo.
La integral de p sobre un volumen determinado es la carga que se
halla en dicho volumen,

No obstante, hay que recordar que en realidad las cargas son
puntuales, de manera que la densidad p es nula en todas partes
‘menos en aquellos puntos en que se encuentran las cargas y la inte:
gral fp a¥ debe ser igual ala suma de ls cargas que se hallan en el

volumen dado. Por esto p se puede escribir por medio de una fun:
ción 6" de la forma siguiente:

ener"), (54,1)

Ta Toción deta Se) se determina de la manera siguiente: 8()—0 paca
todos 원 Valores e tlt ders cuando #8 BO Con I poet
idad de que la integral

Louer. 0

De esta di

fan se deduce que si /(2) es una función contínua cunlquie

~ (robert 00
yen particular
CCE) am

(os limites de Integración, como es natural, no es obligatorlo que sean boo: el

182. § 54, Totravector de corriente 179

onde la suma se extiende a todas las cargas existentes y ra es el
radio vector de la carga ey

La carga de una particula, por su propia definición , es una mag-
nitud invariante, es decir, que no depende del sistema de referen-
cia que se elija. La densidad p, por. el contrario, no es invariante,
siéndolo. únicamente el producto pdV. E

Si multiplicamos por dx" los dos miembros de la igualdad de
=ndV, tenemos:

dedr = pdV det =p dV dt SF |

El primer miembro de esta igualdad es un tetraveclor” (puesto:
que de es un escalar y dx” es un tetravector). Por lo tanto, el se-
gundo miembro también debe ser un tetravector. Pero dV di es
un escalar, por consiguiente, p 2 es un tetravector. Este vector,
que designaremos con el simbolo se llama telravector de co-
rriente:

ae
pote (64.2)

Las tres componentes espaciales de este tetravector forman el
vector tridimensional densidad de la corriente

j=pvi (54,3)
siendo v la velocidad de la carga en un punto dado. La compo-
mente temporal del telravector de corriente es cp. Por lo tanto,

Puto, j. (54,4)

Introduzcamos el tetravector de corriente en la expresión
(63,7) de la acción y transformemos el segundo término de esta
expresión. Sustituyendo las cargas puntuales e por una distri-
bución continua de densidad p, podemos escribir este término de

dominio de integración puede ser cualquiera que contenga el punto en el cual la
fonción 6 no desaparece)
Tambien son justas las igualdades
1
Tei

au sentido consiste en que los dos miembros dan el mismo resultado sl se utilizan
como faclores bajo el signo de Integración.

‘De manera semejente s como 6(2) viene definida por une variable x, se puede
introducir una función 3 letradimensional 00) que ses nula en todas parie menos
en el origen de un sistema de coordenadas tridimensional y.cuya tegral sobre
Todo el Espacio sea igual a 1. Esta lunción nos la podemos Imaginar come el
producto ABU).

Ao ded=h oun an

183. 180 Capitulo X1. Ecuaciones del campo electromagnético

la forma

— + | pAude av,
sustituyendo la suma extendida a todas las cargas por la inte-
gral sobre todo el volumen. Volvamos a escribirlo de la forma
siguiente:

니아 기 y

fo Awa=— 4 44 か d9

Por consiguiente, la acción total toma la forma

一 Ze 一 上 jd 一 总 FivFevdp (645)

$55. ECUACION DE CONTINUIDAD

La variación que experimenta con el tiempo una carga que
se encuentra en un volumen determinado viene dada por la deri-
vada

afew.

Por otra parle, la variación por unidad de tiempo se define por
la cantidad de cargas que durante este liempo sale de este volumen
o, al contrario, entra en dicho volumen. La cantidad de cargas que
unidad de tiempo pasa a través de un elemento df de la super-
ficie que limita nuestro volumen es igual a pva?, donde v es la velo:
cidad de la carga en el punto del espacio en que se encuentra el
elemento df. Generalmente se admite que la dirección del vector
dt es perpendicular a la superficie y tiene el sentido que va de dentro
afuera del volumen que se considera. Por esto pv df] df es positiva
cuando la carga sale de muestro volumen y negativa cuando entra
en él. La cantidad total de cargas que sale de un volumen dado en

la unidad de tiempo es, por consiguiente, $j dt, donde la integral

se extiende a toda la superficie cerrada que limita dicho volumen.
> De la comparación de las dos expresiones obtenidas resulta:

Ajo fa. (55,1)

El segundo-miembro tiene signo menos porque el primero es posi-
tivo cuando la carga total aumenta en el volumen dado. Esta ecua-
ción, que expresa la ley de la conservación. de la carga, es la ecuo-
ción de continuidad escrita 'en forma integral.

184. $55. Ecuación de continuidad 18}

Esta ecuación se puede escribir en forma diferencial. Para esto;
aplicándole al segundo miembro de (65,1) el teorema de Gauss

$154,
hallamos:

$ (civ1+2)av=0.
Y como esta igualdad debe cum;
sobre cualquier volumen, la expres
a cero:

divj + Boo. (55.2)

cuándo la integral se toma
‘subintegral deberä ser igual

Esta es la ecuación de continuidad en forma diferencial.

No es difícil convencerse de que la expresión (54,1) de p en
forma de función $ satisface automáticamente la ecuación de con-
tinuidad. Para simplificar, supongamos que existe una carga
solamente, de manera que

p=ölr-n).
La corriente entonces es
j=evb(r—r),
siendo y la velocidad de la carga. Hallemos ahora la derivada

p/ät. Cuando la carga se mueve varían sus coordenadas, es decir,
varía fa. Por lo tanto

a de dre

na
Pero 이 no es ni más ni menos que la velocidad y de la
carga. Y como p es función de f 一 fu

Bu

m

Por consiguiente,
E = —veradp=—divov

(la velocidad y de la carga, como es natural, no depende de 1).
De esta forma llegamos a la ecuación (65,2).

En la forma tetradimensional la ecuación de continuidad (55,2)
se expresa igualando a cero la tetradivergencia del tetravector de

185. 182 Capitulo XI. Ecvaciones del campo electromagnélico

corriente:

Emo (55,3)

$56. SEGUNDO PAR DE ECUACIONES DE MAXWELL

Para hallar las ecuaciones del campo partiendo del principio
de mínima acción hay que considerar dado el movimiento de las
cargas y variar únicamente los potenciales del campo, que en este
caso desempeñan el papel de “coordenadas” generalizadas del sis.
tema (al hallar las ecuaciones del movimiento de la particul
hicimos lo contrario, es decir, consideramos dado el campo y vari
mos la trayectoria de la partícula). Esta deducción conviene ha-
cerla en forma tetradimensional

De ecuerdo con lo expuesto, la variación del primer término
en (64,5) será ahora nula, y en el segundo no debe variar la co-
rriente j*. Por lo tanto,

5-1 $ E PA HE ~} 40.0

(al hacer la variación en el segundo término se ha tenido en
cuenta que Fröf,, = FGF»). Poniendo en lugar de 6F,, su valor

1 ii sa
i a dar ea a} da.
En el segundo término cambiamos de sitio los Índices mudos y

y v y sustituimos F* por —F". Hecho esto resulta que los tér-
minos segundo y tercero son iguales, de manera que

57 {tA tre 3594, 4a.
Escribiendo después

a 1
=P A = 一

(Fw
ns)

OA

icando a la integral del primer término el teorema de Gauss
para el espacio tetradimensional (38,7), obtenemos:

= は +e Re} 64, do— | 64,45. (56,1)

En el último término se sobrentiende su valor en los limites de
integración. Los límites de integración según las coordenadas son

186. $30, Segundo par de ecuaciones de Maxwell 182

el infinito espacial en que desaparece el
de integración según el tiempo;-es decir, en los-instantes inicial
y final dados, la variación de los;potenciales es nula, puesto que
por el sentido del principio de minima: acción-los potenciales en
estos instantes están dados. De forma que, el segundo. término de
456,1) es igual a cero y hallamos la condición de minima acción bajo
la forma

S(2 rn) 69,40 20.
En virtud del carácter arbitrario de la variación de SA nse. deduce
de aqui que la expresión subintegral entre paréntesis es 1401 a cero,
es decir,

8 662

Escribamos estas cuatro ecuaciones (u=0, 1, 2, 3) en forma
tridimensional. Cuando »=1, tenemos:

ar OF

Tate
Poniendo tos valores de las componentes del tensor Fs, hallamos:

106, aH, My 4x

Sa mie ei
Junto con las dos ecuaciones siguientes (4=2, 3) se puede cs-
cribir como una vectorial:

:ampo; Pero.en los límites

rotH LL (66,3)
Y finalmente, Ja ecuacién.en que 4 =0, da:
E=41p. (66.4)

Las ecuaciones (56,3) y (50,4) forman el segundo par de ecuacio-
nes de Maxwell que buscábamos. Estas ecuaciones, junto con
el primer par, definen totalmente el campo electromagnético y son
las ecuaciones fundamentales de la teoría de estos campos, es decir,
de la electrodinámica.

Estas ecuaciones se pueden escri
(56,4) sobre cierto volumen y ap!

ir en forma integral. Integrando
tando el teorema de Gauss

iv Edy =$ Eat,
hallamos:
Seas pd. (66,5)

Las ecuaciones de Maxwell de la forma que se aplica al campo electro
magnético en el vacio, con los cargas puntuales que hay en él, fueron formuladas
por Lorentz.

187. 184 Capitulo XI.

Ecusciones del campo electromagnético

Por lo tanto, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie.
cerrada es igual a la carga total, que se halla en el volumen limitado
por esta superficie, multiplicada por an.

Integrando (86,3) sobre una superficie no cerrada cualquiera
y aplicando el teorema de Stockes

Srotat=f Hat,
hallamos:

fra =

La magnitud

“Ee (56,7)

(56,6)

se lama corriente de desplazamiento. Por la ecuación (56,6) es-
crita de la forma

Juano (Ea,

se puede ver que la circulación del campo magnético a lo largo
de un contorno es igual a 4x/c multiplicado por la sume de las co-
rrientes verdadera y de desplazamiento que pasan a través de la
superficie limitada por dicho contorno.

De las ecuaciones de Maxwell se puede obtener la ecuación
de continuidad que ya conocemos. Tomando la divergencia de los
miembros de (56,3), hallamos:

LE
Se

divrot E+ #divj.

Pero div rot H=0 y, por consiguiente, sustituyendo div E por su
valor (56,4) volvemos a la ecuación (65,2).

$57. DENSIDAD Y FLUJO DE ENERGIA

Multiplicando los dos miembros de la ecuación (56,3) por E
y los dos miembros de (52,1) por H y sumando las ecuaciones asi
obtenidas, tenemos:

PE je —(Mrot E—ErotH).

Aplicando la conocida fórmula del análisis vectorial
div[ab]=brota—arotb,

188. 1857. Densidad y fluj de energlá” 185

Podemos escribis. la correlación anterior de la forma ~

4 =— 218 div (EH)

é

Heer -jE-divs, GT
El vector

s= EH] a,

se Mana vector de Poynting.

* Integrando (67.1) sobre un volumen determinádo y aplicando
al segundo término del segundo miembro el teorema de Gauss,
obtenemos:

AH =-fiea-fsa. (57.3)
Si la integral se extiende a todo el espacio, la integral de super-
ficie desaparece (porque el campo en el Infinito es igual a cero).

Por otra parte, la integral {jE dV. se puede escribir en forma de

sums Zev extendida a todas las cargas que se hallan en el campo
y, de acuerdo con (44,7), hacer la sustitución

CET
Entonces (57,3) toma la forma
HEEE a+ Zen ] 0 (67,4)

De esta forma, para un sistema cerrado compuesto por un campo
electromagnético y por las partículas que en él se encuentran se
conserva la magnitud que figura entre corchetes en la ecuación
anterior. El segundo término de esta expresión es la energía
ética Gunto con la energía en reposo de todas las particules:
véase la observación de la pág. 160); el primer término, por lo tanto,
es la energía del propio campo electromagnético. Por esta razón,
la magnitud
Bae
ve

(87,5)

se puede llamar densidad de fa energla del campo electromagnético:
ésta es la energía de la unidad de volumen del campo.
Cuando la integración se extiende a un volumen fi

to, la inte-

189. 136 Capitulo XI. Ecuaciones del campo clectromagnético

gral de superficie de (57,3), hablando en términos generales, no de-
saparece, por lo que esta ecuación se puede escribir as

EN EE an) =$ 54, (57.6)

donde la suma que figura en el segundo lérmino (entre corchetes)
del primer miembro se extiende solamente a las partículas que se
encuentran en el volumen que se tome. El primer miembro repre-
senta la variación de la energía total del campo y de las particu:
las en la unidad de tiempo. Por lo tanto, la integral $ S dl se debe
considerar como el flujo de energia del campo, que pasa a traves
de la superficie que limita el volumen dado, de manera que el vec-
tor de Poynting $ es la densidad de este flujo, osea, la cantidad de
energía del campo que pasa a través de la unidad de superficie en
la unidad de tiempo.

$58. DENSIDAD Y FLUJO DE IMPULSION

El campo electromagnético, además de energía, tiene una im-
pulsión distribuida en el espacio con una densidad determinada,
La expresión de esta densidad en función de las intensidades dei
campo se puede deducir por un procedimiento análogo al que uti
lizamos en el párralo anterk

Calculemos la derivada con respecto al tiempo de la integral

1

Szene.

Derivando bajo el signo integral y sustituyendo las derivadas
E/ÖL y OMJÖL segin las ecuaciones de Maxwell, oblenemos:
AI IS ON
fa [ear LS [En] av =

2 J {IE rot] + (H rot na Sum av.
En.ia primera integral podemos transformar la expresión subin-
tegral_valiéndonos.de la fórmula del análisis vectorial

9 (@b)= [arot b] 4 (bot à] +-(a9) b+ (bp) a,
de acuerdo con la cual, tenemos

(Etot E] = VE*—(Ev) E.

Además, tenemos que
(EV) B= (VE) E~E (YE),

190. $58. Densidad y flujo de impulsión 187

donde en el término (YE)E se; sobrentiende que el operador Y
opera sobre los dos-factores que le siguen. Finalmente, teniendo en
cuenta que, de acuerdo con-'la ecuaciön de Maxwell (56,4), VE
div 튼 4m, escribimos:

{Erot E] = + VE*—(VE)E + 4npE.

De forma 'análoga se transforma el producto, {H rot .H],:peró
como div H=0,

IH rot H) = VA*—(9H)H.
De esta forma,

o UEM gy
a

ar [a nern) (RE) EU) A) av —
ー( {pe ++0m}av. (58,1)

En la expresión subintegral de la primera integral los operadores
y operan sobre todos los factores que se encuentran detrás de ellos.
De acuerdo con las reglas del análisis vectorial (formulación gene-
ral del teorema de Gauss) esta integral se transforma en integral
de superficie si se sustituye el operador dV-Y por el elemento de
superficie df En la segunda integral en la cual iguan I densidad
y la corriente de las cargas, pasamos a la escritura en forma de suma
extendida a las cargas puntuales que se encuentran dentro del
volumen dado. Como resultado de todo esto, la igualdad (58,1)
se puede escribir de la forma

A $ (EL ae (EH nay} —
—Lele+tM). (58,2)

Sila integraión se extiende a todo el espacio, la integral de
superficie (infinitamente alejada) se anula. La expresión que se
encuentra bajo el signo sumatorio en (58,2) es la fuerza que actúa
sobre la carga. De acuerdo con la ecuación del movimiento (44,5)
esta expresión se puede sustitulr por la derivada dp/dt de la im-
pulsión de la partícula. Entonces la igualdad (68,2) se puede repre-
sentar de la forma

#{j Ear + Ep) o 683)

Esta fórmula express, evidentemente, la ley de la conserva:
ción de la impulsión total del sistema partícula + campo. El
primer término dentro de los corchetes es, por consiguiente, la

191. 188 Capitulo 30. Ecuaciones del campo electromagnético.

impulsión del campo electromagnético, y la expresión subintegrat
de este término se puede considerar como la densidad de la impul.
sión, que designaremos por medio de
이 DEB, 5

pen EME (58,4)
Debemos advertir que la densidad de la impulsión coincide (con
la exactitud de hasta el factor constante 1/c%) con la densidad del
flujo de la energía del campo.

Pero si la integración del primer miembro de (58,2) se extiende
a un volumen finito de campo, la integral de superficie no se anu-
lará. La escribiremos de una forma más reducida introduciendo
para esto el tensor tridimensional

ーー 一 一 か)。 68.5)

cuyas componentes, en forma abierta, serán:

In = PEGA EI EL + HH Hi Hi.

yo

(EJE, + HH)

ete.

La expresión subintegral de la integral de superficie en (58,2)
es un vector; con ayuda del tensor (58,5) su í-ésima componente se
puede escribir de la forma 0799. Por lo lanto, la ecuación de la
conservación de la impulsión (58,2) expresada en componentes
toma la forma:

2 Sf prem e
[0 +2) =—$oudhe (58.6)

De aqui se deduce claramente que la integral del segundo miem-
bro de esta igualdad representa el flujo de impulsión del campo
gue sale del volumen tomado. Y el producto sd/, es el flujo de
impulsión. a través del. elemento. de superficie df. Por definición,
el vector.df tiene la dirección de la normal, hacia fuera, a la super:
ficie. Llamando"N al vector unitario, df=N df. Entonces

Cadix = ON pdf,

y vemos que el vector cuyas componentes son 0j4N es la densidad
del flujo de impulsión en la dirección de N, es decir, el flujo que
pasa 2 través de la superficie unidad. perpendicular al vector N

’oniendo en vez de Gj, su valor (58,5), hallamos que este vector

192. $ 58, Densidad y 11010 de impulsión 189

es igual a
고 je

al

El tensor oi, se llama tensor de intensidad de Maxwell. De acuer-
do con lo dicho anteriormente, la componente 06 es la densidad
del flujo de la componente ¡-ásima de la impulsión en la dirección
del eje +. El tensor de intensidad, como se puede ver por (58,5),
es simétrico (ou 一 an-

HAINE (NE)—H(NH)} (68,7)

193. CAPITULO XII

CAMPO ELECTROMAGNETICO
CONSTANTE

$59. LEY DE COULOMB

Para el campo eléctrico constante (electrostático) las ecuaciones
de Maxwell Lienen la forma

divE=4mp, (59,1)
rotE=0, (59,2)
El campo eléctrico
escalar por la relación
ドー ニー grade. (59.3)
Haciendo la sustitución (59,3) en (59,1) hallamos una ecuación
que salisface el potencial del campo eléctrico constante;

se expresa por medio de un solo potencial

Ag =—4np. (59.4)
Esta ecuación recibe el nombre de ecuación d» Poisson. En el
vacio, es decir, cuando p=0, el potencial satisface la ecuación
de Laplace

AG=0. (59.5)

De esta ecuación se deduce, en particular, que el potencial del
campo eléctrico no puede tener en ninguna ‘parte ni un máximo
ni un mínimo. En efecto, para que y pudiera tener un valor extremo
sería necesario que todas las primeras derivadas de y respecto a las
coordenadas fueran iguales a cero y que las segundas derivadas
pax, de /dy* y 9*/02* tuvieran el mismo signo. Pero esto último
o es posible, ya que en este caso no se cumpliría la ecuación (59,5).
Definamos ‘ahora el campo que crea una carga puntual. Por
razones de simetría está claro que este campo estará dirigido en
cada punto según un radio vector trazado desde el punto en que se
encuentra la carga e. Por estas mismas razones es evidente que el
valor absoluto de E del campo dependerá únicamente de la dista
cia R que hay hasta la carga. Para hallar este valor absoluto se
Puede utilizar (59,1) en su forma integral (56,5). El flujo del campo
eléctrico a través de una superficie esférica de radio R, trazada en
torno a la carga e, es igual a 4 RE, este flujo debe ser igual a 4ne.

194. $ 50. Energia electrostática de las cargas 191

De aquí hallamos que
-
En forma vectorial

en (59,6)

De esta forma, el campo creado por una carga puntual es inyersa-
mente proporcional al cuadfado de la distancia que hay hasta
ella (ley de Coulomb). El potencial de este campo

vr: (59,7)

Si tenemos un sistema de cargas, el campo que crean, de acuer-
do con el principio de la superposición, será igual a la suma de
los campos creados por cada una de las cargas independientemente.
El potencial de este campo será

eE. (69.8)

donde R, es la distancia desde la carga e, hasta el punto en el
cual buscamos el potencial. Introduciendo la densidad de la carga p,
esta fórmula toma la forma

ea. 69.9)

donde R es la distancia desde el elemento de volumen dV hasta

el punto dado (“punto de observación") del campo
Señalaremos aquí la correlación matemática que se obtiene
sien a fórmula (694) se sustituyen 0 y y por sus valores para una
. Tenemos entonces que

carga puntual, es decir, p=eê(R) y 4=
1

A =—4n6 (R). (69,10)

$ 60. ENERGIA ELECTROSTATICA DE LAS CARGAS

Determinemos la energía potencial de un sistema de cargas.
Para esto partiremos de la noción de energía del campo, es decir,
de la expresión (67,5) de la densidad de la energía. Precisamente
la energía de un sistema de cargas deberá ser

Jean,

U=

195. 192 Capítulo XI. Ecuaciones del campo electromagnético

donde E es el campo que crean dichas cargas, y la integral se ex:
tiende a todo el espacio. Poniendo aqui E--—grad 9, podemo:
transformar U de la forma siguiente

EgradpdV=— aus div Ep + pdivE dy.

La primera de estas integrales, de acuerdo con el teorema de Gauss,
es igual a la integral de E sobre la superficie que limita el volumen
de integración; pero como la integración se extiende a todo el es-
acio, y el campo en el infinito es nulo, esta integral desaparece.
oniendo en la segunda integral div Ex=4np, hallamos la siguiente
expresión de la energía del sistema de cargas:

U=+ 50d. (60,1)

Para un sistema de cargas puntuales ¢,, en lugar de esta integral
se puede escribir la suma extendida a las cargas

Us (60,2)

donde g, es el potencial del campo creado por todas las cargas en
el punto en que se halla Ja carga es.
De acuerdo con (59,8),

e...

donde Ray es la distancia entre las cargas e, y e. Para un sistema
de cargas puntuales esta expresión contiene un término infinito.
procedente del potencial del campo propio de la carga €, (el tér:
mino de la suma de 5-=a, en el cual R,¿==0). De acuerdo con esto,
en la energía (60,2) aparece una constante infinita independiente
de la posición mutua de las cargas. Esta parte de la energía, es
decir, la energía potencial “propia” de las cargas, carece de sentido
físico (véase más adelante), y, por lo tanto, deberá eliminarse.
Después de esto queda únicamente la energía de la interacción de
las cargas, que depende de sus pos

=z Deen (60,3)
donde

은 el potencial en el punto en que se halla e,, creado por todas
las demás cargas (menos ¢,). De otra forma | podemos

196. $ 60. Energía electrostática de las cargas 193

escribir que
u TER (60,5)

En particular, la energía de la interacción de dos cargas es

vag. (60,6)
Pero volvamos a ocuparnos de la energía propia infinita de
las particulas elementales cargadas. Esta energía aparece como
resultado de considerar la partícula como un punto. En la teoti
relativista clásica (no cuántica) esta consideración es i
debido a los principios fundamentales de dicha teoría.

En efecto, al hablar en la teoría clásica de partícula elemental
entendemos por esto una particula cuyo estado mecánico queda
definido totalmente al dar sus coordenadas y la velocidad de su
movimiento como un todo único. Si esta partícula tuviera exten-
sión, debería estudiarse en todo caso como un cuerpo rigido (es
decir, como un sólido invariable), puesto que el propio conceplo
de délormacién está relacionado íntimamente con la posibilidad
de que las distintas partes del cuerpo se muevan independiente-
mente. Pero en la mecánica relativista, como veremos por los ra-
zoramienlos que sigue, la existencia de cuerpos rígidos es foal
mente imposible. 0000

Supongamos, por ejemiplo, que un sólido se pone en movimiento
ger ana secon exterior leeds sobre cualquiera de ss puntos

? este cuerpo fuera rígido todos sus puntos deberían empezar
2 moverse en el mismo instante que el punto que sufre la acción:
de lo contrario el cuerpo se delormaria. Pero como existe una velo-
cidad límite de propagación de la interacción, la acción ejercida
Se transmitirá del punto inicial a los demás a tina velocidad finita
Y. por consiguiente, es imposible que todos los puntos del cuerpo
Zomiencen a moverse al mismo tiempo.

De esta forma, de acuerdo con la electrodinämica, el electrón
deberia tener una energia “propia” infinita y, por consiguiente,
una masa infinita. El hecho de que este resultado sea un absurdo
físico demuestra que la electrodinámica, como teoría física lgi
camente cerrada, ofrece contradicciones internas cuando se pasa
3 distancias suficientemente pequeñas. Se nos puede plantear la
pregunta, ¿de qué orden son estas distancias? A esto se puede Tes-
ponder teniendo en cuenta que para la energia electromagnética
Propia del electrón habria que obtener un valor del orden de la
Energie en reposo me*. Por olra parte, si consideramos que el elec
{ron tiene ciertas dimensiones r,, Su energía potencial propia seria
del orden e/r,. De la condición que impone que estas dos magni

197. 194 Capitulo XIL Campo electeomagnético constante

tudes sean del mismo orden e"/r,—me*, hallamos que

as, (60,7)

Estas dimensiones (que se suelen llamar “radio” del electrón)
determinan los limites de aplicación de la electrodinámica al elec
trón, deducidos de sus propios principios básicos. No obst
debe tenerse en cuenta que en realidad los límites de aplicación
de la electrodinámica clásica que aquí explicamos se encuentran
bastante más altos a causa de los fenómenos cuánticos".

$61. CAMPO DE UNA CARGA CON MOVIMIENTO
UNIFORME

Determinemos el campo que crea una carga e que se mueve
uniformemente con la velocidad V. Llamemos K al sistema de re-
ferencia fijo y K' al sistema de referencia asociado a la carga
Supongamos que la carga se encuentra en el origen de coordenadas
del sistema K'; este sistema se mueve con relación al K paralela-
mente al eje x; los ejes y y 2 son paralelos alos ÿ y 2. Enel instante
los orígenes de ambos sistemas coinciden. Las coordenadas de
la carga en el sistema X son, por consigiente, メニ fe リー ァ ー0.
En el sistema KC tenemos un campo elécirico constante

Eh. (61,1)

y campo magnético no existe.
El paso al sistema X se realiza por medio de ls fórmulas (50.8),
que dan

LE

Ahora tenemos qué expresar R', x’, y”, 2’, en función de las coorde-
nadas el sistema X. De acuerdo'con las fórmulas de trans»
formación de Lorentz, tenemos.

f=uyr=
a

M Los efectos cuánticos se hacen sensibles a distancias del orden hime,
donde h es la conslante de Planck

198. $ 61. Campo de una carga con movimiento uniforme 198

(61,3)

E (1-2) +2. 61,4)
Poniendo estas expresiones en (61,2), hallamos:

=. (61,5)

donde R es el radio vector que va de la carga e al punto x, y, 2
de observación del campo (las componentes de este radio vecior
son iguales a x — Vf, y. 2).

Esta expresión de E se puede escribir de otra forma si se introdu-
ce el ángulo 8 que forma la dirección del movimiento con el radio
vector R. Es evidente que y!-+2*=R* sent 0 y, por lo tanto,

Rea Rt(1 fr sent) .

Entonces, para E, tenemos:

(61,5)

Si se da la distancia R desde la carga, el valor E del campo
aumentará al aumentar O desde cero hasta x/2 (0 al disminuir desde
x hastax/2). El campo tiene su valor mínimo en la dirección paralela
a la del movimiento (8-0, x); este valor mínimo es

El campo será máximo en la dirección perpendicular a la velo.
(= x/2), donde
1

a"

さ
Debemos advertir que cuando la velocidad aumenta el campo Ei
disminuye y el E, aumenta. Para mayor claridad se puede decir
que el campo elécirico de una carga móvil parece que se “comprime”.
en la dirección del movimiento. Para velocidades V próximas a la de
la luz el denominador de la fórmula (61,6) se aproxima a cero en un

= 을

199. 196 Capitulo XII. Campo electromagnético constante

estrecho intervalo de valores de 0 en torno a su valor 8=n/2. La
anchura de este intervalo es del orden

ao~ y E

Por lo tanto, el campo eléctrico de una carga que se mueve rápida-
mente, a la distancia dada de dicha carga, sólo se diferencia sen-
siblemente de cero en el estrecho intervalo que forman los ángulos
próximos al plano ecuatorial, con la particularidad de que este
intervalo disminuye al aumentar Y como 1 ューV27cr

En el sistema K el campo magnético es

H= ve] (61,7)

(véase (60,7)). En particular, cuando V< e el campo eléctrico viene
dado aproximadamente por la fórmula de la ley de Coulomb ordi
naria E=eR/R®, y entonces el campo magnético

Heth, (61,8)

Problema

Determinar la fuerza con que interaccionan (en el sistema À) dos cargas
‘que se mueven a una misma velocidad

Solución. La fuerza F que se busca la calcularemas como fuerza que actúa
sobre una de las cargas (e) en el campo originado por la otra carga (e) Aplle
cundo (61, 7), tenemos

P=e,E,+%[VH,]=e, (1-5) E, +4 V(VE,).

Suélituyendo Es por su valor (61, 6) ohtenemos los valores delas furzas compo-
ente, (A en's diccción del movimento y (5) enla perpendicular sl mismo,

donde R es el radio vector de ea e, y 8 es el ángulo que formen Ry Ve

200. $ 62. Momento dipolár 197

$62. MOMENTO DIPOLAR

Consideremos un campo, originado por un sistema de cargas,
a distancias grandes en comparación con las dimensiónes.del sistema.

Tomemos un sistema de coordenadas con origen en cualqui
punto dentro del sistema formado por las cargas. Llamemos r, a los
radios vectores de cada una de las cargas.El potencial del campo
creado por todas las cargas en un punto de radi6 vector R,, será

Im 60

(la suma se extiende a todas las cargas); aquí (R,— r,) son los radios
vectores de las cargas <, al punto en que buscamos el potencial

Esta expresión debe Ser analizada considerando que los valores
de R, son grandes (R,>r,), Para esto la desarrollamos en serie de
potencias de r,/R, utilizando la formula

TR 0 = H(RO-r grad (Ra)

(en el grad la derivación se efectúa respecto a las coordenadas del
extremo del vector R,). Con una exactilud de hasta los términos de
primer orden:

on Beat Lan. (62,2)
La soma
d= Dears (62,3)

recibe el nombre de momento dipolar del sistema de cargas.
Tiene importancia el hecho de que si la suma Ze, de 10025 las

cargas es igual a cero, el momento dipolar no depende del origen

de coordenadas que se elija. En efecto, los radios vectores re y ra de

una misma carga en dos sistemas de coordenadas distintos están

ligados entre st por la correlación

ara,

donde a es un vector constante determinado. Por esto, si

Xe.=0, el momento dipolar es el mismo en ambos sistem:

d= Der Lette Deen.

En particular, para un sistema de dos cargas de
(326) el momento dipolar es d=er, donde r es el
carga —e a la carga +e.

201. 198 Copitulo XII. Campo electromagnético constante

Si la carga total del sistema es nula, el potencial de su campo a
distancias grandes

1
=ー (62,4)
ey E (62,4)
La intensidad del campo
Ro

Ex grad rad (AR.)—(AR,) grad #

o, en definitiva,
E nr > (62,5)

donde n es el vector unitario en la dirección de Ry.
De esta forma, el potencial de un campo creado a grandes distan-
cias por un sistema de carga total nula es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia y su intensidad es inversamente propor-
cional al cubo de esta misma distancia. Este campo posee simet
axial en torno a la dirección d, En el plano que pasa por esta direc-
¡ón (que se toma como eje 2) las componentes del vector E son:
3 cos?O—1 3 sen cos

Epa lo 그이 y qm adentros, I
Ey md (626)
y las componentes radial y tangencial en este plano

@

Er= dit y Ej (62,7)

§ 63. MOMENTO CUADRUPOLAR

En el desarrollo del potencial en serie de potencias de 1/Re
PO (63,1)
el término gi" es proporcional a 1/R3**. Hemos visto que el primer
término, qi, viene determinado por la suma de todas las cargas;
el segundo, gl, llamado potencial dipolar del sistema, se determina
por su momento dipolar.
El tercer término de este desarrollo es

Da: (63,2)

donde la suma se extiende a todas las cargas; el indice que indica el
número de la carga lo hemos omitido en este caso; x; son. las compo-
entes del vector ry-X;las del vector Ry. Esta parte del potencial se
Hama generalmente potencial cuadrupolar. Si la suma de las cargas

202. $ 63, Momento cuadrupolar 199

y el momento dipolar del sistema son iguales-a cero, el desarrollo
‘se empieza a partir de gi

En la expresión (63,2) figuran sets magnitudes E ex. Pero
como se puede ver fácilmente, el campo no depende en realidad
de seis magnitudes independientes, sino únicamente de cinco: Esto
se deduce de que la función 1/R, satisface la ecuación de Laplace

a} Ba SRK, Re 0.

Por esto podemos escribir @ de la forma
1

wmegde (am
El tensor
Das Le (Bx—""6) (633)

se llama tensor del momento cuadrupolar del sistema. De la de-
Tinición de Du, se deduce que la suma de sus componentes diago-
nales es igual à cero:

Dy=0. (63,4)

Por esto el tensor simétrico Dia, tiene cinco componentes indepen-
dientes solamente. Con su ayuda podemos escribir

amd

mdp の 1】

oe Br À ws
o, derivando

CNET

TORR 서자

y teniendo en cuenta que 6aDia = Di

(63,6)

Como todo tensor tridimensional simétrico, el tensor Dix se
puede reducir a los ejes principales. Al hacer esto y en virtud de
1a condición (63,4), en el caso general solamente dos de los tres
valores principales son independientes. Si el sistema de cargas es
simétrico respecto a cualquier eje (eje 2)", éste será uno de los
principales del tensor Da, la posición de los otros dos ejes en el
plano ay es arbitraria, y entre los tres valores principales existe

la relación
Dior Dyy™ =F Dare 63.7)
Nos reimos a un ee de simetri de cualquier orden mayor que el segundo.

203. 200 Capítulo XII. Campo electromagnético constante

Llamando D a la componente D,, (que en este caso se suele lla:
mar simplemente momento cuadrupolar), obtenemos el potencial
bajo la forma

wed @Bcostd—1), (63,8)

donde 0 es el ángulo comprendido entre Ry y el eje z.

De manera análoga a como hicimos en el pärrafo anterior para
el momento dipolar, es fácil convencerse de que si son iguales a
cero la carga total y el momento dipolar del sistema, su momento
cuadrupolar no depende del origen de coordenadas que se elija.

Análogamente podemos escribir los términos siguientes del desa-
rrollo (63,1). El término l-ésimo de este desarrollo se determina por
un tensor (llamado tensor del momento 2 polar) de [-ésimo rango,
simétrico respecto a todos sus índices, que se anula al simplificarlo
respecto a cualquier par de índices; se puede demostrar que un ten-
sor de este tipo tiene 21-41 componentes independientes.

Problema

Hallar el momento cuadrupolar de un elipsoide, cargado uniformemente,
con relación a su centro.

Solución. Sustituyendo en (63, 3) la suma por la integral de volumen del
elipsoide, tenemos:

Dyes Fur dedyd, e

La integral de volumen del elipsoide se puede sustituic por la integral de volu-
men de una esfera (como se hizo en el problema 2e del $ 25). Como resultado de
esto obtenemos:

Du=z RO aH),

donde ek ab ps lo carga total de eipside

$64. SISTEMA DE CARGAS EN UN CAMPO EXTERIOR

Consideremos un sistema de cargas que se encuentren en un
campo eléctrico exterior. Por medio de @ (1) designaremos ahora
el potencial de este campo exterior. La energia potencial de cada una
de las cargas es esp (ta), y la energía potencial total del sistema

り = ア ge) (64.1)

204. $ 64. Sistema de cargas en un campo exterior 201

Elijamos un sistema de coordenadas cuyo origen se encuentre en
un punto cualquiera dentro del sistema de cargas; re es el radio
vector de la carga e, en estas coordenadas.

Supongamos que el campo exterior varía débilmente a lo largo
del sistema de cargas, es decir, que es cuasiuniforme con relación a él.
En este caso podemos desarrollar la energía U en serie de potencias
de r。 En este desarrollo

U=U WR UU. (64,2)

el primer término es
U™= qu Dee (64,3)

donde q, es el valor del potencial en el origen de coordenadas, En
esta aproximación la energía del sistema es la misma que tendría
si todas las cargas estuvieran en un punto.

El segundo término del desarrollo es

(rad qlo: Dl estas

Introduciendo la intensidad E, del campo en el origen de coor-
denadas y el momento dipolar d del sistema, tenemos:

び ウ ニー dE (64,4)

La fuerza total que actúa sobre el sistema en el campo exterior
cuasiuniforme, con exactitud de hasta los términos considerados, es

F=E, Die, + (grad dE).

Si la carga total es igual a cero el primer término desaparece,
y entonces

F=(dv)E, (64,5)

es decir, la fuerza se define por las derivadas de la intensidad del
campo (lomadas en cl origen de coordenadas). El momento total
de las fuerzas que actúan sobre el sistema es

K= ZireEs]= (dE), (64.8)

es decir, viene determinado por la misma intensidad del campo.

Consideremos dos sistemas que tengan iguales a cero las sumas
de las cargas, en cada uno de ellos, y los momentos dipolares d, y da
y que estén separados entre si por una distancia R grande en compa-
fación con sus propias dimensiones. Hallemos la energía potencial
U de sus interacciones. Para esto podemos considerar que uno de

ya

205. 202 Capitulo X11. Campo electromagnético constante

los sistemas se encuentra en el campo del otro. Entonces
U=—d E,

donde E, es el campo del primer sistema. Sustituyendo E, por
su valor (62,5), hallamos:

(64,7)

rio en la dirección de un sistema al otro,
Para el caso en que la suma de las cargas de uno de los sistemas
© diferente de cero (e igual a e) obtenemos de manera análoga que

Ue (64,8)

donde n es el vector unitario en la dirección del dipolo a la
carga.

El término siguiente del desarrollo (64,1) es

一 上 ae

um. E
Aquí, lo mismo que en el $ 63, hemos omitido los indices que indican
el número de la carga; los valores de las segundas derivadas del
potencial se toman en el origen de coordenadas. Pero el potencial
9 satisface la ecuación de Laplace

CAR
def nar =
Por esto podemos escribir

ae Le (at Si)

tivamente

(64,9)

$65. CAMPO MAGNETICO CONSTANTE

Estudiemos ahora el campo magnético que crean las cargas que
efectúan un movimiento finito durante el cual las partículas
permanecen todo el tiempo dentro de una región: finita del espacio
y Sus impuisiones también se conservan finitas durante todo el
Jiempo. Como este movimiento tiene carácter estacionario, interesa
estudiar el campo magnético medio (respecto al tiempo) A que
Crean dichas cargas; este campo será ahora función exclusiva de las
coordenadas (y no del tiempo), es decir, será constante.

206. §.85. Compo magnético; constante 203°

Para hallar las ecuaciones que definen el. campo. magnético
medio promediaremos respecto al tiempo jas ecuaciones. de Maxwell

divH=0, rot LE

La primera de estas ecuaciones da simplemente
divA=0. (65.1)

En la segunda ecuación el valor medio de la derivada 9E/0f, como
en general la derivada de cualquier magnitud que varía en un inter-
valo finito, es igual a cero ". Por lo tanto, la segunda ecuación de
Maxwell toma la forma

rot H=27. (65,2)
Estas ecuaciones definen el campo constante 8.
Introduzcamos el potencial vector medio A de acuerdo con
roth =H
Poniendo esto en la ecuación (65,2), obtenemos
grad divA—AA = HT.

Pero sabemos que el potencial vector del campo no está definido
unívocamente, por lo que se le puede imponer una condición su-
plementaria. Basándonos en esto elegimos el potencial A de manera
que

divA=0. (65,3)

Entonces la ecuación que determina el potencial vector del campo
magnético constante toma la forma

(65,4)

Esta ecuación es fácil de resolver si se tiene en cuenta que
(65,4) es completamente análoga a la de Poisson (59,4) para el

기 Supongamos que [es sta magnitud. Enlonces el valor medio de la deri-
vada lll Fan antral deerminado T std

‘df LN

ar

Pero como /( の varia únicamente dentro de unos limites ihitos, cuando 了
aumenta Indelinidamente este valor medio tiende realmente 2 cero,

207. 204 Capitulo XII. Campo clectromagnético constante

potencial escalar del campo eléctrico constante, con la particula
dad de que en lugar de la densidad de carga p figura la densidad de
la corriente c, Por analogía con la resolución (59,9) de la ecuación
de Poisson, podemos escribir:

Ja, (65,5)

donde R es la distancia desde el punto de observación del campo
hasta el elemento de volumen dV.

En la fórmula (65,5) se puede pasar de la integral a una suma
extendida a las cargos, poniendo en lugar de j el producto pv y
recordando que todas las cargas son puntuales. Al hacer esto hay
que tener en cuenta que en la integral (65,5) R es simplemente una
variable de integración y, por lo tanto, no se somete a promedi

Si en lugar de la integral (2 dy escribimos la suma y

tendremos que R, serán los radios vectores de las distintas partículas,
que varian al moverse las cargas. Por esto hay que escribir

(65,6)

donde se promedia toda la expresión que se halla debajo de la
raya. _
Conociendo A se puede hallar la excitación del campo

RH otA=rotL Lay.

La operación ro se efetia con respecto las coordenadas del punto
de observación. Por esta razón el ro! se puede trasladar bajo el sig-
no integral y, al derivar, considerar j constante. Aplicando la cono-
cida fórmula

rotfa=frota+ [grad f-a],

(f y a son un escalar y un vector cualesquiera) al producto

T ¿+ hallamos:
I 1 R]
rot [gras 7]
y. por consiguiente,

ALU ay (65,7)

(el radio vector R está dirigido desde dV al punto de observación del
campo). Esta es la ley de Biot-Savart.

208. $ 66. Momento magnético 205

$66. MOMENTO MAGNETICO

Consideremos el campo magnético medio creado por un sistema
de cargas con movimiento estacionario, a grandes distancias de
dicho sistema.

“Tomemos un sistema de coordenadas cuyo origen se encuentre
en un punto cualquiera dentro del sistema de cargas, analogamente
3 como hicimos en el $62. Llamemos r, a los radios vectores de las
distintas cargas y R, al radio vector del punto en el cual buscamos
el campo. Entonces Rf, será el radio vector desde la carga 6, al
punto de observación. De acuerdo con (65,6), para el potencial
vector, tenemos:

A eh

10 que en el $ 62, desarrollamos esta expresión en serie
de potencias de r,. Con la exactitud de hasta los términos de primer
orden (y omitiendo el indice a para simplificar)

Pero el valor medio de la derivada de la magnitud Her,
varia dentro de un intervalo finito es igual a cero. Por To tant

Esta expresión se puede transformar del modo siguiente. Teniendo

en cuenta que v 7, podemos escribir (recordando que R, es un
vector constante):

Nc v=3 5 Der GRO + Del (RAF (WRI.
Al hacer esta sustitución en la expresión de A, el valor medio
del primer término (con la derivada respecto al tiempo) vuelve
a anularse.y obtenemos:

a E

Race Le ly で Rg 一 rvR)
Introducimos el vector

maz Dev) (66.2)

209. 206 Capitulo XIL Campo electromagnético constante

que se llama momento magnético del sistema. Entonces
CAMAS
[yz a]. (66,3)
Conociendo el potencial vector se puede hallar fácilmente la
excitación del campo magnético, Valiéndonos de la fórmula
rot [ab] =(D9) a. (a¥) b+adivb—bdiva
hallamos:
H=rot [5

Luego,

ELMO]
싸 "

(66,4)

donde n es el vector unitario en la dirección de R,. Como puede verse,
el campo magnético se define en función del momento magnético
por una fórmula igual a la que define el campo eléctrico en función
del momento dipolar (compárese con (62,5),

Si todas las cargas del sistema tienen la misma relación carga
«masa, podemos escribir:

m=z Y ele] =3Em (rv).

Si las velocidades de todas las cargas u<c, tendremos que mv
es la impulsión p de la carga y obtenemos

Mz Dill =3 M. (66,5)

donde: M—Z [rp] es el momento mecánico de impulsión del sistema
Por lo tanto, en este caso, la relación entre el momento magnético y
el mecánico es constante e igual a ¢/2mc.

velocidades vo
n de coordenadas el centro de Inercia de ambas
y donde p es la impul-

210. $ 67. Procesión de Larmor 207

sión del movimiento relativo. Valiéndonos de estas correlaciones, hallamos:

$67. PRECESION DE LARMOR

Estudiemos el caso de un sistema de cargas qué se encuentran
en un campo magnético uniforme, constante, externo, «(=
La fuerza media (respecto al tiempo) que actüa sobre el sistema
= と ミ = と を Fi ・

se anula, como el valor medio de la derivada con respecto al tiempo
de cualquier magnitud que varie entre unos límites finitos. El valor
medio del momento de fuerzas

R-E FM

es diferente de cero. Este valor se puede expresar por medio del
momento magnético del sistema, para lo que, abriendo el doble pro-
ducto vectorial, escribimos:

KE Em) Even Fe}.
Al promediar, el segundo término se anula, de manera que
K=S 21m Eu)

(la última transformación es análoga a la que hicimos al dedu-
cir (66,3)), o en definitiva

K=[miij. (67,1)
Debemos advertir la analogía de esta fórmula con la (64,6) del caso
eléctrico.

“Consideremos ahora un sistema de partículas igualmente car-
gadas que efectúen un movimiento finito (con velocidades u<c)
En el campo central simétrico de cierta partícula fija (por ejemplo,
el sistema formado por los electrones de un átomo en el campo dei
nécleo). Supongamos que este sistema se encuentra en un campo
magnético uniforme débil.

En ausencia del campo exterior el momento mecánico total M
del sistema permanecería constante. La presencia de un campo
magnético debil hace que M varie lentamente con el tiempo. Ana-
Jicemos el carácter de esta variación. Para excluir la influencia que
ejerce el movimiento principal, de variación rápida, de las cargas

211. 208 Capitulo XII. Campo electromagnético constante.

en el sistema, promediamos M respecto a los periodos de este mo-
vimiento. a

De acuerdo con la conocida fórmula de la mecánica (véase
(27,3), tenemos que

pa
Far

donde K es ef momento de las fuerzas externas que actüan sobre
el sistema (promediado por los mismos intervalos de-tiempo que M).
De acuerdo con (67,1) y (66,5), tenemos:

(67,2)

donde

Ash. (67,3)

La ecuacuón de la forma (67,2) significa que el vector M (y con él
el momento magnético m) gira con la velocidad angular —Q, alrededor
de la dirección del campo, conservando su magnitud absoluta y el
ángulo que forma con dicha dirección, Este fenómeno se conoce con
el nombre de precesión de Larmor y la velocidad angular (67.3),
Frecuencia de Larmor.

Ahora podemos precisar que la condición para que un campo sea
suficientemente débil, como antes supusimos, consiste en que la
frecuencia de Larmor Q sea pequeña en comparación con la frecuen-
cia del movimiento finito propio de las moléculas dentro del siste-
ma. Es evidente que únicamente en estas condiciones puede tener

lo el análisis de la variación que con el tiempo experimenta el
momento, promediado como hemos dicho antes.

212. CAPITULO XII
ONDAS ELECTROMAGNETICAS

$68. ECUACION DE LA ONDA

El campo electromagnético en el vacio se determina por: 105
ecuaciones de Maxwell, en las cuales hay que suponer:p=0 y.J=0.
Volvamos a escribir estas ecuaciones:

Law

rmtE= 一 可， divH=0, (68,1)
rtH=t E, divE=0 (68,2)

Estas ecuaciones pueden tener soluciones distintas de cero. Esto
quiere decir que el campo electromagnético puede existir incluso
en ausencia de toda clase de cargas.

Los campos electromagnéticos que existen en el vacío en ausen-
cia de cargas se llaman ondas electromagnéticas. Ahora vamos a
investigar las propiedades de estos campos.

En primer lugar señalaremos que estos campos tienen que ser
necesariamente variables. En efecto, si esto no fuera asi, OH/0/=
=0E/01=-0 y las ecuaciones (68,1) y (68,2) se convertirían en las
ecuaciones de un campo constante (59,1), (69,2), (65,1) y (65,2),
en las cuales ahora p=0 y j=0. Pero cuando p=0 las solu
Tones de estas ecuaciones, delerminadas por las Jérmulas (63.9)
y (65 5), se anulan

Deduzcamos las ecuaciones que definen los potenciales de las
ondas electromagnéticas.

Como sabemos, en virtud de la no unilormidad de los potenciales
se les puede imponer una condición complementaria determinada.
Basándonos en esto elegimos los potenciales de las ondas electro
magnéticas de forma que el potencial escalar sta igual a cero, es
decir,

g=0. (68,3)
Entonces

E=— H=rot A. (68,4)

Poniendo estas dos expresiones en la primera de las ecuaciones

213. 210 Capitulo XL. Ondas electromagnéticas

(68,2), hallamos:

roltotA = — AA + grad div Am Gh. (68,5)

A pesar de que ya le hemos impuesto una condición comple-
mentaria a los potenciales, el potencial A sigue sin ser totalmente
univoco, A este potencial precisamente se 16 puede adicionar el
gradiento de cualquier función que no dependa del tiempo (sin
Cambiar 9 al hacer esto). Concretamente, el potencial de 18 onda
electromagnética se puede elegir de manera que

divA=0, (68,6)

En efecto, poniendo en lugar de E su valor (68,4) en divE=0,
tenemos:

an 2
div = à div A=

es decir, div A es función de las coordenadas únicamente. Esta
función se puede anular sumándole a A el gradiente de la corres-
pondiente función independiente del tiempo.

La ecuación (68,5) toma ahora la forma

AA EG = 0. (68.7)

Esta es la ecuación que define el potencial de las ondas electromag-
néticas y que recibe el nombre de ecuación de d' Alembert o de ecua-
ción de onda.

Aplicando a (68,
cernos de que las 1
onda como ésta.

.7) las operaciones rot y 0/04 podemos conven-
Wensidades E y H satisfacen ecuaciones de

$69. ONDAS PLANAS

... Examínémos el caso particular de las ondas electromagnéticas
«En sl cual el campo depende de una coordenada solamente, por
ejemplo, dex (y. del liempo).-Estas ondas se llaman planas. En
este caso la ecuación de la onda tiene la forma

の
eZ =0, (69,1)
donde por f se entiende cualquier componente de los vectores

EoH.
Para resolver esta ecuación la escribiremos como sigue:

(2 (Ste) 1-0

214. $69. Ondas planas 211

e introduciremos las nuevas. variables

atti.

de manera que

Fat, =D.
Entonces.

y la ecuación para f es
E

Es evidente que su solución tiene la forma
I=hO+hm,

donde f, y f, son unas funciones arbitrarias. Por lo tanto,
Ri 4
ten (1-4) +h (144). 69.2)
Supongamos, por ejemplo, que /,=0; entonces f=/,(t — x/c).
Aclaremos el esentido que tiene esta solución. En cada plano x=
=const el campo varia con el tiempo; en cada instante el momento
del campo es diferente para x distintas. Es evidente que el campo

tiene el mismo valor para las coordenadas x y los instantes / que
satisfacen las correlaciones f — x/c=const, es decir,

x=const cf.

Esto significa, que sien cierto instante f==0 el campo tiene un valor
definido en un punto x determinado del espacio, al cabo de un
intervalo £ el campo tendrá este mismo valor a la distancia ct,
tomada sobre el eje x, del punto inicial. Se puede decir, pues, que
todos los valores del campo electromagnético se propagan a lo
large ae eje x con una velocidad igual a la de la luz c.

dor st loma, A sl represente una onda plana que se

plaza en la dirección positiva del eje x. Es evidente que (十
+x/c) representará una onda que corre en dirección contraria, es
decir, en el sentido negativo del eje x.

En el párrafo anterior demostramos que los potenciales de la
onda electromagnética se pueden elegir de manera que 9=0, siendo
div A=0. Elijamos de esta manera los potenciales de la onda plana

215. 212 Capitulo XIIT. Ondas electromagnéticas

que ahora consideramos. Le condición div A=0 da en este caso
a
=.

puesto que todas las magnitudes son independientes de y y de 2
6 acuerdo con (69,1) tenemos entonces que 0*A,/t*=0, es deci
que ÖA,föt=const. Pero la derivada 9AJOL define un campo eléc
frico y, por consiguiente, vemos que una componente A, distinta
de cero indicaría en este caso la existencia de un campo eléctrico
longitudinal constante. Como quiera que este campo no tiene nada
que ver con la onda electromagnética, podemos suponer À

De esta forma, el potencial vector de una onda plana se puede
tomar perpendicular al eje x, es decir, a la dirección en que se pro-
paga la onda

“Consideremos una onda plana que se desplaza en la dirección
positiva del eje x; en esta onda todas las magnitudes, y en parti»
cular A, son funciones exclusivas de £ — x/c. Por esto, partiendo de
las fórmulas

의

en

H=rotA
hallamos:
E=—}A,H=(vA]= [7 (t—4)-A]

donde el apéstrofo significa la derivación respecto a t— x/c, y
nes el vector unitario a lo largo de la dirección en que se propaga
Ja onda, Poniendo en la segunda ecuación el valor de A’ que da la
primera, hallamos:
H=(nE]. (69.4)
Vemos, pues, que los campos eléctrico E y magnético H de
una onda plana están dirigidos perpendicularmente a la dirección
en que se propaga dicha onda. Por esta razón las ondas electromag.
néticas se llamán transuersales. Por (69,4) también se puede ver
Qui le campos elécrico y magnético de una onda plana on perpn-
Hicularts entre sí e iguales en valor absoluto.
*En/la onda plana el flujo de energia

. S= [EH]

—L [na], 69,3)

= Em=£;H'n.

%

Por fo tanto, el flujo de energía tiene la misma dirección que la onda
que se propaga. Y como Wa (E*+-H#)=£ es la densidad de la
energía de la onda, podemos escri

S=cWn, (69,5)

216. $ 79. Onda plana monocromática 213,

de acuerdo con el hecho de que el campo se propaga con la velocidad
de la luz,

La impulsión de la unidad de volumen de un campo electro
magnético es S/c*. Esto da, para la:onda plana, (W/c) n. Debemos ,
advertir que la cotrelación entre la energía W y.la impulsión: W/e
de una onda electromagnética result sr igual duela de ls partis
culas que se mueven con la velocidad de la luz (véase (39,12).

El flujo de impulsión del compo viene dado por el tensor de
intensidad a: de Maxwell (58,5).: Tomando,-como hasla añora, la

rección en que se propaga la onda como je hallamos que la
única componente diferente de cero es

Gey = W. (69.6)
Come era de esperar, el flujo de impulsión está dirigido en el sentido

en que se propaga la onda y su magnitud es igual a la densidad de la
energía.

Problema.

Hallar la fuerza que actúa sobre una pared en la cual se refleja (con indice
de reflexion) uns onda elclromagnéies pla

'Sejución. Lu luerza f que aclúa sobre [a unidad de supericie de la pared
viene dada por el lujo de impulsión à través de esta suporlici, ez decir, por el
Vector cuyas componentes son

DCE
donde N es el vector de la normal a la superficie de la pared YO y oi son las
componentes respectivas de los tensores de intensidad de as ondas incidente y
rellejada, Teniendo en cuenta (68, 6), obtenemos:

f= Wn (Nn) =n" (Na),
Por la defnición del índice de rellexién lenemos que W"= RW, Introduciendo
el angulo de incidencia 9 (3 su igual de rellexion) y pasundo a las componentes,
rallamos ls 10620 normal (presion fuminoso)

Ly = WR) COD
y la fuerza ta

= W =P) sen 0 cos 6

ial

§70. ONDA PLANA MONOCROMATICA

Un caso particular muy importante de ondas electromagnéticas
son las ondas en las cuales el campo es una simple función periódica
del tiempo. Esta onda se llama monacromática. En la onda monocro-
mática todas las magnitudes (potenciales, componentes de los cam-
pos) dependen del tiempo por medio de un factor de la forma cos
(ora), donde u es la Jrecuencia circular o cíclica (o simplemente
frecuencia) de la onda.

217. 214 Capitulo XIH Ondas electromagnéticas

En una onda plana (que se propague a lo largo del eje x) el
campo es función de # — x/c solamente. Por esto, si la onda plana
es monocromática, su campo es una función periódica simple de
1 — sic. El procedimiento. más cómodo de escribir el potencial
vector de una onda de este tipo es hacerlo en la forma de la parte
real de una expresión compleja,

A= Re {Ager ta, (70,1)
A, es aquí cierto vector complejo constante. Es evidente que cs

toda onda de este tipo las intensidades E y H también tendrán una
forma análoga, con la misma frecuencia «o. La magnitud

(70,2)
deun

se Mama longitud de onda; es decir, es el periodo de vari
campo de coordenada x en un instante £ dado.
1 vector

en (70,3)

(donde n es el vector unitario en la dirección en que se propaga la
onda) se llama vector de onda. Con su ayuda se puede representar
(70,1) de la forma

A=Re (Aye tlr=00), (70,4)
que no depende de los ejes de coordenadas que se elijan. La magnitud
que con el factor i figura como exponente en (70,4) se llama fase
de la onda.

Mientras que con estas magnitudes no se hacen más que opera»
ciones lineales se puede omitir el signo con que se toma la parte
real y operar con las magnitudes complejas como tales !. Asi

기 Si dos magnitudes cuatesquiera A(0 y (O se escriben del forma compleja
Alma, 8 (Da Berta,
al formar sus products, como es natural, hay que empezar separando 18 parte
‘eal Peo si como ocu con frecuencia, no tres Ihtamente el valor ed
(respecto al liempe) de este producto, se puede calcular como
fi
Fre {ABs}
En electo, tenemos que
ReARCB act (Age "lol y Aya) (Bye=tot y

Al hallar el: valor medio de los términos que contienen el factor eat,
Éstos se anulan, de manera que nos queda

Lar

Le

218. § 70, Onda plana monocrómática 215

do la sustitución

Am Ag tenet
‘en (69,3), obtenemos la relación entre las intensidades y el po
fencial vector de la onda plana monocromática bajo la forma

E=ikA, H=i[kA]. (70.5)

Estudiemos más detenidamente el, problema de la. dirección
del campo de la onda monoeromética. Para ser concrelos, nos re-
feriremos al campo eléctrico e

Em Re {Ee dut) WE
{pero todo lo que se expone a continuación se refiere. tambi
camp
también, en términos generales, un número compl
to de este número es — 2a (es decir, Ej=-|Ej]e

ido por

Ey=be-'s, (70,6)
tendrá el cuadrado real b*==[E,|*. Con esta definición podemos
escribir:

magnético). E, es un vector complejo. Su cuadrado E es

Siel argumen-
, el vector b,

E=Refbekr-ur-m} 002)
Expresemos b de la forma
b=b, +ib,,

donde b, y bs son dos vectores reales. Como b*= 一 B}--2ib,b, de-

be ser una cantidad real, b,b,=0, es decir, los vectores b, y by son

perpendiculares entre si. La dirección de by la elegimos como eje

HG ie x coincide con la dirección en que se propagan las ondas).
entonces, por (70,7), tenemos:

E,=b,cos(ot—kr+a), E.=+0,sen(ol—kr+a), (70,8)

donde el signo más o menos corresponde respectivamente a los casos
en que el vector b, tiene la dirección posiliva o negativa del eje 2.
De (70,8) se deduce que

=1 (70,9)

De esta forma vemos que en cada punto del espacio el vector
campo eléctrico gira en un plano perpendicular a la dirección en
que se propaga la onda y su extremo describe la elipse (70,9). Esta
onda se dice que está polarizada elipticamente. La rotación del
vector campo eléctrico puede tener el sentido en que giraria un
tornillo que se moviese a lo largo del eje x o el contrario, de acuerdo

219. 216 Capitulo X111. Ondas electromagneticas

respectivamente em dl signe más © menos que tenga 10 expresión
008.

Sib,=b, la elipse (70,9) se transforma en una circunferencia, es
decir, el vector E gira sin que varie su magnitud. En este caso se dice
que la onda está polarizada circularmente. Es evidente que en estas

jones los ejes y y z se pueden elegir arbitrariamente. Debemos
advertir que en toda onda de este tipo la relación entre las componen-
tes y y z de la amplitud compleja E, es igual a

Eur (70,10)

según que el giro sea en el sentido de la rolaciön del tornillo o en el
contrario (polarización derecha e izquierda) ”.

Finalmente, si b, o be es igual a cero, el campo de la onda es
siempre y en todas partes paralelo (o antiparalelo) a una misma di-
rección. En este caso se dice que la onda está polarizada linealmente
o polarizada en un plano. Una onda polarizada elípticamente se
puede considerar, evidentemente, como la superposición de dos
ondas polarizadas linealmente.

$71. EFECTO DOPPLER

Relornemos a la definición del vector de onda e introduzcamos
un vector tetradimensional de onda cuyas componetes sean,

e=(2,x). ay

El hecho de que estas magnitudes compongan realmente un tetra.
vector es evidente, por lo menos, porque al multiplicarlo por el
tetravector x* da un escalar, la fase de la onda:

kam = al hr. a)

Por las definiciones (70,3) y (71, 1) se puede ver que el cua
drado del telravector de onda es igual a cero:

ちな っ 0. 미 과

Aplicando la ley de transformación del tetravector de onda se
‘puede estudiar con facilidad el llamado efecto Doppler, es desir,
la variación que experimenta la frecuencia w de una onda emitida
porsun foco-que se mucverrespeclo al observador, en comparación
con la- frecuencia “propia” w, del mismo foco en el sistema de refe-
rencia (K,) en que se encuentra en reposo.

기 Se supone que lo eje x, y 2 forman, como siempre, un sistema de 1a
à detecha. e EN 삐

220. $ 72, Descomposición espectral 217

Sea V la velocidad del foco, es decir, la velocidad del sistema
de referencia K, con relación al K. De acuerdo con las fórmulas gene-
rales de transformación de los tetravectores, tenemos:

waite
VS
a
(la velocidad del sistema K con respecto al K, es V). Haciendo aqui
las sustituciones 名 一 yc, A==kcosa= + cos a, donde a es el ángulo
(en el sistema K) que forma la dirección en que se emite la onda con

la dirección en que se mueve el loco, y expresando oren función”
de @,, obtenemos:

y

(ay

Esta es la fórmula buscada. Cuando V<e, esta fórmula, si
el ángulo & no se aproxima demasiado a 1/2, da:

ax (1+Fosa). (11,5)
Y cuando a=a/2,
omo, Es a (1): UK)

en este caso la variación relativa de la frecuencia es proporcional
al cuadrado de la razón Vic.

$72. DESCOMPOSICION ESPECTRAL

Toda onda se puede someter a lo que se llama descomposición
espectral, es decir, se puede imaginar como una superposición de
‘ondas monocromaticas de diferente frecuencia. El carácter de estas
descomposiciones puede ser distinto y depende del que tenga la re-
lación entre el campo y el tiempo

Los casos en que la descomposición contiene frecuencias que
forman series de valores discrelos consliluye una categoria de-
terminada. El caso más simple de este tipo se presenta cuando se
descompone un campo periódico puro (aunque no sea monocromä-
tico), Esta descomposición se reduce a un desarrollo en serie de
Fourier ordinaria y contiene frecuencias que son múltiplos enteros
de la frecuencia “fundamental” w, =21/7, donde T es el periodo

221. 218 Capitulo 1111. Ondas electromagnéticas

del campo. Escribámoslo bajo la forma

fa Y fet (72,1)

(7 es una cualquiera de las magnitudes que definen el campo).
Las magnitudes f, se determinan por la misma función f mediante
las integrales
1
| Mem ar. (72,2)
Como la función /(£) es real, es evidente que
Lamhe (723)

En tos casos más complejos, en la descomposición puede haber
frecuencias que sean múltiplos enteros (y sumas de éstos) de varias
frecuencias fundamentales distintas e inconmensurables entre si.

Cuando se eleva al cuadrado la suma (72,1) y se halla el valor
medio, respecto al tiempo, los productos de los términos cuyas
frecuencias son distintas se anulan, porque tienen factores oscilan-
tes. Se conservan solamente los términos que tienen la forma
Ir .a=1f,11. Por lo tanto, el cuadrado medio del campo (intensidad
media de la onda) se presenta bajo la forma de suma de las inten-
sidades de las componentes monocromáticas:

=

RATAS (724)

(se sobrentiende que el valor medio de la propia función ) (0,
respecto al período, es igual a cero, de manera que f,=/=0).

Los campos que se descomponen en una integral de Fourier
formada por una serie continua de frecuencias distintas correspon:
den.a otra categoría. Para esto las funciones /( deben cumplir
determinadas condiciones; generalmente sé trata de funciones quese
anulan “cuando #22 co, Estás descomposiciónes tienen la forma

FOS [rente (2,5)

donde las componentes de Fourier se determinan por la misma
función-f(£) mediante las integrales

fom [Ten de, (72,8)

222. $13. Luz polarizada parcialmente 219

En este caso, de manera análoga a (72,3)
foun an

Calculemos la integral de /? sobre todo el tiempo. Valiéndo-
nos de (72.5) y (72,6), tenemos

pepe leer

= Shin.

o, teniendo en cuenta (72,7),

\ AS (72.8)

De esto forma, la intensidad integral se expresa en función de las
intensidades de las componentes de Fourier de la onda.

$73. LUZ POLARIZADA PARCIALMENTE

Toda onda monocromática, por su propia definición, está
polarizado. Pero, por lo genera, hay que operar con ondas cas
Fronocromaticas solamente, cuyas frecuencias están comprendidas
en un pequeño i

de este tipo suponiendo que w es un valor medio de su frecuenci
Entonces. su campu (nos releriremos concretamente al campo elé
rico E) en un punto dado del espacio se puede expresar de la forma

EE (ec,

donde la amplitud compleja B。(0 es una función del tiempo que
varía lentamente (si la onda fuera estrictamente monocromática
E, sería constante). Como E, define la polarización de la onda,
efi cada punto de ésta la polarización varía con el tiempo; las ondas
de este tipo se dicen que están polarizadas parcialmente.

Les propiedades de la polarización de las ondas electromagnéti-
cas, y en particular de la luz, se observan experimentalmente ha
ciendo que la uz que se analiza pase a través de distinlos cuerpos
{por ejemplo, de prisas de Nicol) y midiendo la intensidad de la

luz después de pasar dichos cuerpos. Desde el punto de vista mate-

matic esto significa, que las propiedades de la polerización dela
luz se juzgan basándose en los valores de ciertas funciones cuadrá-
ticas de su campo, sobrentendiéndose que se trata de los valores
medios, respecto al tiempo, de estas funciones.

223. 220 Capitulo X111. Ondas eectromagnétices

La función cuadrática de un campo consta de términos propor-
cionales a los productos EE, Er Ei o EE. Los productos del
ipo

EE = EuEne tt El Ej Es Eje,

que contienen factores e%=* que oscilan rápidamente, se anulan
al hallar el valor medio respecto de tiempo. Pero los productos

WER=E,JES no contienen este factor y, por lo tanto, sus var
lores medios son distintos de cero, De esta forma vemos que las
propiedades de la luz polarizada parcialmente se pueden caraclerizar
perfectamente por el tensor

de

(3,1)

‘Como quiera que el vector E, se encuentra siempre en un plano
perpendicular a ja dirección de la onda, el tensor Jy tiene nada.
más que cuatro componentes (en este párralo se supone que los
indices 6 y k toman solamente dos valores, i, k 1, 2, que corres
ponden a los ejes y y z; el eje x se toma en la dirección en que se pro.
aga la onda).

La suma de las componentes diagonales del tensor J (que
designaremos por J) es una magnitud real, que representa el valor
medio del cuadrado del módulo del vector E,

JS SRE, (73,2)
Esta magnitud determina la intensidad de la onda, medida por la
densidad del flujo de energía que hay en ella, Para elíminar esta
Magnitud, que no está en relación directa con las propiedades de la
polarización, en lugar de J., introducimos el tensor

la, (73,3)

P

para el cual pli a este tensor le daremos el nombre de tensor
de polarización:
Por la-defínición (73,1) vemos que las componentes del tensor
Fins y Som tlls pia, están ligadas por las correlaciones
QU (73,4)
(es décir, se trata de un tensor de Hermil). En virtud de estas co.
-Frelaciones las componentes diagonales pu y fo son reales (con la
icularidad de que ph 十 Pu 一])，y Papi. Por consiguiente,
1 ción se Caracterize por tres parámelros reales
Veamos las condiciones que debe satisfacer el tensor pa, para
la luz polarizada totalmente. En este caso Eu= const, y. por lo
tanto, tenemos sencillamente que

Ja=40=EnEt (135)

224. § 73. La pol

izada porcialmente 221

sin-hacer promedio), es decir, las.componentes del tensor nos las
Jodemos figurar en forma de productos de las componentes de un
7ector constante. La condición necesaria y suficiente para esto viene
?xpresada por la igualdad a cero del determinante

lpal=mps 一 psps 70. (73.6)

El caso contrario es el de la luz natural o no, polarizada. La
ausencia total de polarización significa que todas las direcciones
‘en el plano yz) son completamente equivalentes. En otras’ palabras,
3 tensor de polarización debe tener la: forma a

pm (73,7)

En este caso el determinante |p.l= 1/4.

El tensor arbitrario pj, se puede descomponer en dos partes,
una simétrica (según los indices í, 4) y otra antisimétrica, Conside-
remos el caso particular en que la última parte no existe. De acuerdo
con (73,4) el tensor simötrico px es al mismo tiempo real (px 一
“=ph). Como todo tensor simétrico, éste se puede reducir a unos ejes
principales con dos valore principales distintos, que llamaremos

。 y he, Las direcciones de los ejes principales son perpendiculares
entre sí. Llamando ni y n° a los vectores unitarios de estas direc-
ciones se puede representar pa de la forma

Pam Angine Ano, At L (73,8)

Las magnitudes A, y A, son positivas y toman los valores de 0 a 1.

‘Cada uno de los dos términos de (73,8) tiene la forma de producto
de dos componentes de un vector real constante (VÁ, o Vian").
Enotras palabras, cada uno de estos términos corresponde a una luz
polarizada linealmente. Después vemos que en (73,8) no hay ningún
Término que contenga el producto de las componentes de estas dos
ondas. Esto quiere decir que ambas partes se pueden considerar
independientes fisicamente entre si 0, como suele decirse, que
no son coherentes. En efecto, si dos ondas son independientes entre
si, el valor medio del producto EIEL" es igual al producto de
jos valores medios de cada uno de los factores, y como cada uno de
estos últimos es igual a cero,

EFEF =0

De esta forma, en el caso que estudiamos la onda polarizada
parcialmente se puede considerar como una superposición de dos
óndas incoherentes (de intensidades proporcionales a A y Ay
polarizadas linealmente en direcciones perpendiculares entre si
(En el caso general de un tensor complejo pix se puede demostrar

225. 22 Capitulo XIII. Ondas elesteomagnéticas

que la luz puede considerarse como la superposición de dos ond:
incoherentes polarizadas elipticamente cuyas elipses de polari
zación son semejantes y perpendiculares entre si)

$74. OPTICA GEOMETRICA

La onda plana se caracteriza por tener la propiedad de que
la dirección en que se propaga y su amplitud son iguales en todas
partes. Las ondas electromagnélicas arbitrarias no tienen esta pro:

16000.
了 No obstante ocurre con frecueneis queondas electromagnéticas,
que no son planas, se pueden considerar como tales en cada pequeña
región del espacio. Para esto es necesario que la amplitud y la
dirección de la onda casi no varien en el transcurso de una distancia
del orden de la longitud de onda.

Si se cumple esta condición, se pueden introducir las llama-
das superficies de onda, en las cuales todos los puntos están en la
misma fase en un instante dado (para la onda plana estas superficies.
son planos perpendiculares a la dirección en que se propaga). En
cada pequeña región del espacio se puede decir que la dirección en
que se propaga la onda es perpendicular a la superficie de onda.
En este caso se puede introducir también el concepto de rayos,
que son líneas cuyas tangentes en cada punto coinciden con la di:
rección de propagación de la onda

El estudio de las leyes de la propagación de la onda corresponde
en este caso a la óptica geométrica. La óptica geométrica estudia, por
consiguiente, la propagación de las ondas electromagnéticas, y en
particular dela uz, como propagación de losrayos, haciendo abstrac-
ción de su naturaleza ondulatoria. En otras palabras, la óptica
geométrica corresponde al caso límite en que las longitudes de onda
son pequeñas, es decir, cuando A-»0,

Deduzcamos ahora la ecuación fundamental de la óptica geo-
métrica, es decir, la ecuación que determina la dirección de los
fayos. Sea.f-una magnitud cualquiera que define el campo de la
onda (cualquiera de Las componentes de Eo H). En una onda plan:
nonoeramätica / tiene la forma

Fa gel etes) (74,1)

omitimos el signo de Re; en todas estas fórmulas se tiene en cuenta
la parte real).
scribamos la expresión del campo bajo la forma
[ete (74,2)
En el caso en que la onda no es
la óptica geométrica, la amplitud a

me, pero que se puede aplicar
es, en términos generales, fun-

226. $ 74, Optica geométrica 229

ción de las coordenadas y del tiempo, y la fase (que también se
Tama iconal) no tiene una forma simple como en (74,1), No obstan-
te, tiene importancia el hecho de que la iconal 568 una magnitud
grande. Esto está claro, puesto que varia en 2x en el transcurso de
Una longitud de onda, y la óptica geométrica corresponde al limite
10.

‘Cuando las regiones del espacio y los interyalos de tiempo són
pequeños, la iconal se puede desarrollar en serie; com una exactitud |
de hasta los términos de primer orden, tenemos:

ent

(el origen de coordenadas y el del tiempo se ha tomado en 1a region
del espacio y en el intervalo de tiempo que se consideran; el valor
de las derivadas se toma en el origen de coordenadas). Comparando
esta expresión con la (74,1) podemos escribir:

kuBegady, o, (74.3)
de acuerdo con la afirmación, hecha anteriormente, de que en cada
pequeña región del espacio (y en pequeños intervalos de tiempo) la
onda se puede considerar como plana.

Por la definición del vector de onda, tenemos que k*==o%/ct,
Sustituyendo aquí k y w por sus valores (74,3), obtenemos:

rl)". (044)

Esta ecuación diferencial en derivadas parciales de primer orden
se Mama ecuación de la iconal y es la ecuación fundamental de la
óptica geométrica,

La ecuación (74,4) se puede deducir también directamente de
la ecuación de la onda, tomándola en el limite A-r0. El campo
f satisface la ecuación de onda

DEEE (7485)
Para una función de la forma (74,2), tenemos:
Rens (GN

aa

Pero la iconal, en Óptica geomélrica, es una magnitud grande. Por
esto aquí se pueden despreciar los tres primeros términos, en compa-
ración con el cuarto, y entonces

227. 224 Capitulo 111. Ondas clectromagnéticas

De manera análoga hallamos que
Ata — (vf,

y haciendo estas sustituciones en (74,5) se obtiene la ecuacion (74,4).

De la forma de la ecuación de la iconal se deduce una analogía
notable entre la óptica geométrica y la mecánica de las partículas
materiales. En mecánica la ecuación del movimiento de la partícula
se puede expresar en forma de ecuación de Hamilton — Jacobi
para la acción S ($ 31). Esta ecuación, lo mismo que la de la iconal
es una ecuación en derivadas parciales de primer orden. La acción
$ está ligada a la impulsión p y a la función de Hamilton % de
las partículas por las relaciones

ES as
pr, E.

Comparando estas férmulas con las (74,3) vemos que el vector de
onda desempeña en la óptica geométrica el mismo papel que la im-
pulsión de la partícula en la mecánica, y la frecuencia el papel
de la función de Hamilton, es decir, de la energía de la partícula
El valor absoluto del vector de onda está relacionado con la fre.
cuencia por la fórmula £ =w:c. Esta relación es análoga a la p-=6/c
que existe entre la impulsión y la energía de una partícula de masa
nula y velocidad igual a la de la luz,
Las particulas cumplen las ecuaciones de Hamilton

à ox
A, vein,

[2

En virtud de la analogia indicada podemos escribir
las correspondientes ecuaciones para los rayos

¡rectamente

de, ¡de
めか ああ

E EA (74,5)

En el vacío ock de manera que k-=0 y y en (donde n es el vector
unitario en la dirección de lá propagación), es decir, como era de
esperar, los rayos en el vacío son líneas rectas a lo largo de las cuales
se propaga la luz con la velocidad c ”.

» Auriqe I aplicación de las ecyaciones que hemos escrito a a propagación
ge Hue en el vac conduce a esultados evidentes de antemano. Nene In
{ancia el hecho de que, en su forma general, estas detuccione son apilable
también a Ja propagación de la lux en og medios malerichs, PR
Ste cag es Cuando e pone de manitieno la analogía con el movimiento de las
Particules e un compo de ucrzas een,

228. § 75. Limites de lá óptica geométrica 225

$75. LIMITES DE LA OPTICA GEOMETRICA

Por la definición de la onda plana monocromática su amplitud
es la misma siempre y en tod: Esta onda es ilimitada en
todas las direcciones del espacio y existe en el transcurso de todo
el tiempo, desde 一 -co hasta +00. Toda onda cuya amplitud no sea
constante siempre y en todas partes sólo puede ser más. o menos monó-
cromática. Ahora procuraremos esclarecer el problema del grado
de “no monocromaticidad” de las ondas.

Consideremos una onda, electromagnética cuya amplitud sea.
función del tiempo en cada punto del espacio. Sear。 ciertá Trecuen-
cia media'de la onda. Entonces el campo de ésta onda (por ejemplo;
el eléctrico) en un punto dado tendrá la forma E,(je-ia. Este
campo no es monocromático, pero se puede descomponer en sus
componentes monocromáticas, es decir, se puede desarrollar en
integral de Fourier. La amplitud de la componente de frecuencia @
de esta descomposición es proporcional a la integral

À atom

El factor ec es una función periódica cuyo valor medio es
nulo. Si E, fuera constante en general, la integral sería exactamente
igual a cero para todas las ow-«,. Si E, (1) fuera variable, pero casi
no variara en intervalos de tiempo del orden 1/lo 一 el la inte-
gral sería casi igual a cero y su exactitud sería tanto mayor cuanto
más lenta fuera la variación de E,. Para que la integral se diferen-
cie sensiblemente de cero es necesario que E。( の varie sensiblemente
en un intervalo de tiempo del orden de 1/lo — el

Llamemos Af al orden del intervalo de tiempo durante el cual
la amplitud de la onda en un punto dado del espacio varia sensible-
mente. De los razonamientos expuestos se deduce ahora que las
frecuencias que más se diferencian de w, y que entran en la descom-
posición espectral de esta onda con intensidades apreciables vienen
determinadas por la condición 】/lo 一 «| —A£. Si llamamos Aw al
intervalo de frecuencias (en torno a la frecuencia media w,) en la
descomposición espectral, tendremos, por consiguiente, que

AwAt~ 1. (75,1)

Vemos, pues, que, en efecto, la onda será tanto más monocromática
(es decir. Aw serä tanto menor) cuanto mayor sea Ad, es decir, cuan-
to más lentamente varie su amplitud en cada punto del espacio.

Relaciones análogas a (75,1) también se pueden deducir fä-
cilmente para el vector de onda. Sean Ax, Ay y Az los órdenes de las
distancias, a lo largo de los ejes x, y. z, en los cuales varía sensible-
mente la amplitud de la onda. En un instante dado el campo de la

229. 228 Capitulo XIII. Ondas electsomagnéticas

‘onda, como función de las coordenadas, tiene la forma
Bo (her,

donde k, es cierto valor medio del vector de onda. Procediendo ana
logamente a como hicimos al deducir (75,1) se puede hallar el in-
tervalo Ak de los valores que figuran en la descomposición de la
onda considerada en la integral espacial de Fourier:

Abjbx=l, AkAy~ 1, Ak Ae 1 (15,2)

Consideremos en particular una onda emitida durante cierto
intervalo finito de tiempo. Llamemos At al orden de este intervalo.
En un punto dado del espacio la amplitud varia sensiblemente,
en todo caso, en un tiempo M, durante el cual la onda pasa totalmen-
fe por dicho punto, Basándonos en las relaciones (5,1) podemos
decir ahora que el “grado de no monocromaticidad” de esta onda Aw
no puede ser en ningún caso menor que /At (aunque, como es natu-
ral, puede ser mayor):

402% (75,3)

Análogamente, si Ax, Ay y Az son los órdenes de las dimensiones
de la onda en el espacio, para los intervalos de los valores de las
componentes del vector de onda que figuran en la descomposición
de ésta, hallamos:
1 1 1

Alpe Mg ARB a (15,4)

De estas fórmulas se deduce que si tenemos un haz luminoso
de anchura finita, la dirección en que se propaga la luz en dicho
haz no puede ser rigurosamente constante. Tomando el eje x según
la dirección media de la luz en el haz, obtenemos:

LA
a (15,5)

donde by es el orden de la desviación del haz, respecto a la dirección
media, En el plano xy, y À. es la longitud de onda.

“Porotra parte, la fórmula :(75,5) da respuesta al problema de la
nitidez: máxima de las imágenes ópticas: Un haz luminoso cuyos
Fayos, según la óptica geométrica, deberían corlare en un punto,
produce en realidad una imagen que no tiene la forma de punto,
Sino de mancha. De acuerdo con (1,9) la anchura de esta mancha
bor ps

dr (75,6)

donde 6 es el ángulo de abertura del haz. Esta fórmula se puede
aplicar tanto a la imagen como al objeto. Por esto se puede afirmar

230. § 76: Ditraceiön de Fresnel 297

que cuando se.observa el:haz de rayos que parten de un punto.lumi-
oso es imposible distinguir dicho punto de un cuerpo cuya dimen-
sión sea A/0. De acuerdo con esto la fórmula (75,6): define. el poder
resolutivo, o separador, máximo del microscopio. El valor minimo
de-A, correspondiente a 81, es A, lo. que esta en completo acuerdo
con el hecho de que los límites de la óptica geométrica quedan de-
finidos por la longitud de la onda luminosa.

Problema

Hallar de qué ordén será la anchura mínima del hoz lumitosd, dblénido de
vn haz paralelo, a le distancia de'un dlaragma. i

Solución. Llamando 4 al diämelro del oriicio de disttgis, por (155)
tenemos que el ángulo de desviación de los rayos (“ángulo de diltacción”) será

id, de donde la anchura del haz será de orden de d+ 1. El valor mínimo de
esta maenitud seri VTT

$76. DIFRACCION DE FRESNEL

Las discrepancias con las leyes de la óptica geométrica, debidas
a que las longitudes de onda de la luz son finitas, originan fenómenos
que se conocen con el nombre de difracción. Estos fenómenos se pue:
den observa, por ejemplo, s en el camino que sigue la luz al pro.
pagarse hay obstáculos, es decir, cuerpos opacos (que en adelante
Hamaremos pantallas) y si la luz pasa por orificios practicados en
pantallas. Si las leyes de la óptica geométrica se cumplieran estric-
tamente, detrás de las pantallas habria zonas de sombra nítidamen-
Le separadas de las zonas iluminadas, Pero la difracción hace que en
lugar de esta delimitación nitida entre la luz y

la sombra se produzca una figura bastante com-
pleja de distribución de la intensidad de la luz,
Estos fenómenos de difracción se manifiestan |
con tanta más fuerza cuanto mayor es la razón
dela longitud de onda de la luza las dimensiones の
de las pantallas y de los orfiios que hay en
ellas,

p
y
7

파괴 |

El problema de la difracción se puede estudiar en forma general
en aquellos casos en que la discrepancia con la óptica, geométrica
es pequeña, es decir, cuando, en primer lugar, la longitud de onda
se puede considerar pequeña en comparación con todas las dimen:

231. 228 Capítulo XIII, Ondas electromagnéticas

mes caracteristicas del problema (dimensiones de las panta-
llas, distancias desde las pantallas a los focos luminosos y a
los puntos de observación) y, en segundo, cuando se toman en con-
sideración únicamente las desviaciones pequeñas de la luz con res-
pecto a las direcciones de ls rayos definidas por la óptica geomé-
rica.

Concretamente nos referiremos al paso de la luz por el orificio
de una pantalla; la fig. 31 representa esta pantalla cortada (la línea
gruesa); la luz incide sobre ella de izquierda a derecha. Llamemos
wa cualquiera de las componentes del campo (E o H) como función
de las coordenadas, sin el factor temporal e='+1. El problema con-
siste en determinar el campo up (y con él la intensidad dela luz
140 en los puntos P de observación de la luz situados detrás
de la pantalla. Al resolver aproximadamente este problema, en
los casos en que la discrepancia con la óptica geométrica es pequeña,
se puede considerar que en el propio orificio el campo es el mismo
que existiría si la luz se propagara libremente desde su origen, en
ausencia de la pantalla.

Tracemos una superficie S que tape el orificio de la pantalla
y que esté limitada por sus mismos bordes (sus dimensiones se re-
presentan en a fig. 3Í con línea de puntos), Dividamos esta super.

ie en partes df que sean pequeñas en comparación con las dimen-
siones del orificio pero grandes con respecto a la longitud de onda
de la luz. Cada una de estas partes de la superficie S, hasta las cua-
les llega la luz, se puede considerar como si fuera una fuente de onda
luminosa secundaria que se propagara desde ella en todos los sen-
tidos. En este caso el campo en el punto P será el resultado de la
superposición de los campos de onda procedentes de todas las partes
de la superficie 5 (principio de Huygens)

El campo creado en el punto P por una parte df es proporcional
al valor del campo u que existe en esta misma parte. También
es proporcional a la proyección df, de Ia supertici af sobre la di
rección perpendicular a la dirección n del rayo que llega directamen-
te hasta aquí desde el foco.luminoso; es evidente que, sea cual fuere
la posición que:ocupe la parteidf-de la superficie S,.por ella pasarán
los mismios ráyos (y:por lo:tanto su acción sobre el campo en el punto
P será la misma) siempre qué la proyección df, sea igual. 、

Al propagarse la onda desde df hasta P su fase varía en AR
(donde &es la magnitud del vector de onda de la luz y R la distan-
cia desde df hasta P); de-aqui aparece el factor exp (KR). Pero
a esta distancia la amplitud de onda disminuye 1/R veces ®. Por

En realidad, cuando se propaga una onda procedente de una fuente pun-
tual, su intensidad. disminuye proporcionaimente a 1/R*, puesto que el flujo
total de energía, que permanece invariable, se distribuye por una superficie que
‘uments como: Pero la Intensidad se define por el cuadrado de fx amplitud

232. $ 75. Difracción de Fresnel 229

lo tanto, la aportación que cada elemento de la superficie. S' hace
al campo up es proporcional a df,ue"®/R. El valor total de 4
Se obtiene integrando esta expresión por toda la superficie Sr

up =const ! ral. (76,1)

Esta fórmula es la expresión matemática del principio de-Huygens.
Debemos advertir que en esta aproximación el, campo dp depende
solamente de la forma del borde del orificio y no de la forma de la
pantalla o del material de que está hecha. は

Si el foco luminoso (lamemosle Q) y el punto de observación P
se hallan a una distancia finita de la pantalla, solamente una parte
pequeña de la superficie S influye sensiblemente en la integral
(76,1), a saber, la parte más próxima a su intersección con la recta
QP. En efecto, como quiera que la discrepancia con la óptica geo-
métrica se considera pequeña, la intensidad de la luz que llega a P
desde distintos puntos de la superficie S disminuye con mucha rapi-
dez a medida que se apartan de la recta indicada, que es la corres-
pondiente a la propagación de la luz desde la fuente al punto de
observación siguiendo un rayo geométrico. Los fenómenos de di-
fracción en los cuales sólo tienen importancia en (76,1) pequeñas p

Fig. 32

ciones de la superficie de integración reciben el nombre de difrac-
ción de Fresnel

Estudiemos et caso de la difracción de Fresnel producida por el
borde rectilíneo de una pantalla. Supongamos que la fuente de luz
Q y el punto de observación P se hallan en el plano xz y que el
borde de la pantalla coincide con el eje y, como se representa en la
fig. 32. Llamemos d a la distancia desde el plano xy al punto P,
considerando que los valores d<0 corresponden a la zona de sombra
geométrica (es decir, a la zona que se encuentra debajo del plano

233. 290 Capitulo XIII. Ondas elecicomagnéticas

ay). Determinemos la distribu

in de la intensidad de la luz cerca
de los límites de la sombra geométrica, o sea, para valores pequeños
de d (en comparación con las distancias Dq y Dp).

Como superficie de integración tomaremos en (76,1) el plano
yz. De acuerdo con lo dicho anteriormente, las zonas que influyen
sensiblemente en la integral son las que se encuentran cerca del
origen de coordenadas, es decir, la zona de valores pequenos (en
comparación con Dg y Dp) de y y 2. Al calcular la integral según
esta zona basta tener en cuenta en la subintegral las expresiones
‘exponenciales que varían rápidamente; el factor 1/R, que varía con
relativa lentitud, se puede considerar constante.

El campo u de la onda, que parte del foco Q, a la distancia Rg
de dicho foco es proporcional a exp (I£R,). Para los puntos que se
encuentran en la superficie de integración

RS VF FPE DE & Dy + +2),

de manera que aqui el campo

u ーep(AR ~ exp (iS) 3

Y la distancia hasta el punto de observaciön

R VFO FD À D, +, Iw +
Poniendo estas expresiones en (76,1) obtenemos:

ur j exp [it (a +m, 0—4")] de. (76,2)
Aquí se han omitido todos los factores constantes (independientes

de の : entre ellos se incluye también la integral respecto a dy.
Como la iftegral respecto'a.dz converge rápidamente, la integral
se puede extender hasta co (aunque en la expresión subintegral
se supone まる り 。, D)

La expresión (76.2)-se puede escribir de la forma

11, a
sin s'en [a] sio alles)

70, FD,

La intensidad: de la-hiz-viene determinada por el cuadrado Ju),
por:lo cual el factor de fase, que figura delante del signo intégral!

234. $ 76. Diftacción de Fresnel 231

desaparece. La propia integral, haciendo una sustitución: que ereer
mos evidente, se reduce a la forma

La intensidad de la luz en el punto de observación
| $ |, (76,5)

donde /, es una constante que coincide (como veremos más adelante)
con la intensidad en la región iluminada lejos del borde de la sombra.
A la zona de sombra geométrica le coresonden os valores
negativos de w. Veamos qué forma toma la función / (w) dentro de
la sombra para grandes valores dew. Integrando por partes, tenemos:
is fes.

2

Una segunda integración por partes nos da ya una expresión in-
Yersamente proporcional a |w\*.Conservando solamente el término
que disminuye más lentamente al aumentar w, tenemos:

(76,6)

De esta forma obtenemos para la intensidad (76,5) la siguiente
fórmula asintótica, válida para los grandes valores negativos de w:

(76,7)
Consideremos ahora la zona iluminada w>0. Podemos escribir
| er an= Sean fern rn Y FS edn,

los valores de w son suficientemente grandes podemos utilizar
la expresión aproximada (76,6) para la integral que figura en el
segundo miembro de la igualdad. Después de esto un cálculo ele-

235. 232 Capitulo XIII. Ondas electromagnéticas

‘mental da:
Pete ¿gsm (ut) 068

Por lo tanto, en la zona iluminada, lejos del borde de la sombra,
la intensidad pasa por una serie ¡limitada de máximos y mínimos,
de manera que la razón 1/1, oscila a ambos lados de /. La amplitud
de estas oscilaciones disminuye al aumentar w y los sitios en que se
encuentran los máximos y minimos se aproximan entre sí paula-
tinamente,

Cuando los valores de w no son grandes, la función 7 (w) tiene
cualitativamente el mismo carácter (fig. 33) . En la zona de sombra
feomötrica la intensidad disminuye monstonamente al alejarse de

los límites de la sombra (en estos mismos límites //7,==1/4). Cuando
wes positiva la intensidad pasa por máximos y mínimos que se suce-
den entre si. En el primero y mayor de los máximos ///,=1,37.

$77. DIFRACCIÓN DE FRAUNHOFER

- En la física aplicada ofrecen especial interés los fenómenos de
difracción que se producen cuando sobre una pantalla incide un
haz de rayos plano y paralelo, En este caso, como resultado de la
difracción. el haz deja de ser paralelo y la 102 se propaga en dire
ciones diferentes de la inicial. Se plantea, pues, el problema de
determinar la distribución por direcciones de la intensidad de la luz
difractada a distancias grandes detrás de las pantallas (este pl
teamiento del problema corresponde a la denominada difracción
de Fraunhofer). Ahora_nos limitaremos también a estudiar el caso
en que las discrepancias con respecto a la óptica geométrica son
pequeñas, es decir, supondremos que los ángulos de desviación con

236. $ 77. Difraccién de Fraunhofer 283

relación a la dirección inicial de los rayos (ángulos de difracción)
son pequeños 由

Analicemos, por ejemplo, el caso de la difracción de-Fraunho:
fer en que una onda plana incide normalmente sobre una rendija
infinita de bordes paralelos practicada en una pantalla opaca.
Tomemosel plano de la rendija como plano yz con el eje z orientado
a lo largo de aquélla (en la fig. 34 se representa el corte de la panta-
lla; la anchura de la rendija es 20). Por razo-
nes de simetria es evidente de antemano que な
la luz se desviarä únicamente en el plano xy.

Fig. 34

the

Llamemos u, al campo que existiría detrás de la pantalla si se
cumpliera estrictamente la óptica geométrica. En el caso que anali-
zamos este campo sería una franja infinita, de anchura igual a
2a, “cortada” de la onda plana. Pero en realidad una onda que tenga
limitada el área de su sección transversal no puede ser plana exacta-
mente ($ 75). En su desarrollo espacial de Fourier entran componen-
tes con vectores de onda de diferentes direcciones, lo cual es una
fuente de difracción.

El campo u es distinto de cero en cada plano paralelo al de la
rendija y constante en la zona —a<y<a. Desarrollemoseste campo
en integral de Fourier según la coordenada y; para las componentes
de este desarrollo, tenemos:

any

Cuando la discrepancia con la óptica geométrica es pequeña (q pe-
quefia) se puede considerar que las componentes del desarrollo
del campo u, coinciden con las componentes del campo verdadero
de la luz difractada, de manera que (77,1) resuelve el problema
planteado.

El vector de onda k de la luz incidente está dirigido a lo largo
del eje x. A la componente 4, de la onda difractada le corresponde
el vector de onda k’=-k-+g; en nuestro caso este vector se encuentra

1 Este problema se podria resolver aplicando la lörmula general (6,1),
basando en ella al caso limite de un 1960 lorkinoso y de un punto de observación
alejados indfinidamente de La pantalla, ete caso tenório la pecullaidad (opus
Ah deso de dación de Free) de queen a integra) rai por
arca toda la superficie de integración 9, Ro solo una pequeña parte de

No obstante, celta más Aci reaver ese problema desde el principio, in
recurre rmuie (76,1), como hacemos à Continuneign

237. 234 Capitulo XIII. Ondas eleetromagnéticas

en el plano xy formando con el eje x un ángulo 6 pequeño, que se
relaciona con 9 por medio de la igualdad g=k0=w0/e. La inten-
sidad de la luz, difractada en el intervalo dq de valores deg, es
proporcional a ju,I*-dq. Tomando u, de (77.1) obtenemos la

guiente expresión de la distribución ‘angular de la luz difractad:

de. (77,2)

We
ges

Esta distribución está normalizada de manera que /, es la intensidad

{otal de la luz, que coincide con la intensidad de la onda incidente

Como función del ángulo de

senta difracción, di/d0 tiene la

고 forma representada en la fig.

35. Cuando 8 aumenta a uno

uotro lado de cero, la inten-

sidad pasa por una serie de

máximos cuya altura dis-

ye rápidamente. Los

os están separados en

los puntos kad=na (las n

son números enteros) por mi-

nimos, en los cuales la
intensidad es mula.

Pasemos a estudiar el

caso dela difracción de Fra-

unhofer por dos pantallas

Fig. 35,
=

“complementarias” entre si, es decir, construidas de forma que
la parte transparente (orificio) de una corresponde a la
parte opaca dela otra. Enel caso de una rendija infinita la pantalla
complementaria tendrásla forma de una tira infinita de igual an-
chura Anälogamente a como hicimos antes, llamemos 4 y ut
al.campo; que:existiría detrás de estas pantallas de acuerdo con la
óptica geométrica: Como’ quiera que las pattes transparentes de
ambas'pantallas:se complementan entre si hasta formar un plano
completo, lasuma u'’+u'? coincide con la totalidad de la onda

* De'lo qué es ffeil convencerse conociendo el valor de la integral definida

sent
dro

238. $78, Ose

iones propias de un campo 235

plana incidente. Esta onde tiene unacdirección de propagación
Perfectamente definida y, por lo tanto, su componente de Fourier
Wy+ut=0 para cada 9 才 0. De aquí tendremos que para las
intensidades Juyl'=lwyl". Esto significa que las pantallas com-
eo tac das Iguales distribuciones de la intensidad de la 102
difractada (principio de Babine)

$78. OSCILACIONES PROPIAS DEL CAMPO

Consideremos un campo electromagnético libre. (sin cargas)
que se encuentre en un volumen finito y determinado del espacio.
Baro simplificar los cálculos, posteriores. supongamos que este
volumen tiene la forma de un paralelepipedo rectangular cuyos
lados son iguales respectivamente à A, B, E En este ca podemos
desartollar todas las magnitudes que caracterizan el campo en este
paralelepipedo en serie de Fourier triple (según las tres coordenadas)
Escribamos este desarrollo (por ejemplo, para el potencial vector)
de la forma siguiente:

A= Blac tale

D (78,1)

donde se expresa explicitamente el carácter real de la magnitud A.
La suma se extiende aquí a todos los valores posibles del vector k,
cuyas componentes toman, como sabemos, los valores

amy a,

=

Le, 4, a Be, (78,2)

ral

donde mn, y n, son números enteros positivos y negativos. De
la ecuación div AO se deduce que para cada k

kay = 0, (78,3)

es decir, los vectores complejos ax son ortogonales respecto a los
Correspondientes vectores de onda. Los veclores ay son, como es
natural, funciones del tiempo, estos vectores satisfacen las ecua
nes

到 十 clea, 一 0 (78,4)

Si las dimensiones A, B, C, del volumen elegido son suficiente-
mente grandes, los valores adyacentes de Roy Ry y k, (en los cuales
Tos valores de 1,, ty y n, se diferencian en una unidad) serán muy
próximos entre si, Entorices se podrá hablar del número de valores
que pueden tener k,, k, y k, en los pequeños intervalos Ak,, Sky y Ak,

Emo los valores adyacentes de A, por ejemplo, se correspon-
den con los valores de n,, que se diferencian en una unidad, el número
An, de valores que puede tener £,, en el intervalo Ak, será igual sim-

239. 236 Capitulo XIII. Ondas electromagnéticas

plemente al intervalo correspondiente de valores de n,. De esta for-
ma, hallamos:

A 5 と
っ ky,

El número total An de valores posibles del vector k con sus compo-
nentes en los intervalos Ak,, Af, y Af, es igual al producto An, An, x
xAn,, es decir,

y
An = aap AAA A ky, (78,5)

siendo V=ABC el volumen del campo.

De aquí se puede hallar fácilmente el número de valores que
puede tener un vector de onda de valor absoluto 4 en el intervalo
Ak y de dirección comprendida en el elemento de ángulo sólido Ao.
Para esto no hay nada más que pasar a las coordenadas esféricas
en el “espacio が "y escribir, en lugar de Ak,Ah,Ak,, el elemento
de volumen en estas coordenadas, De esta forma,

y
an = ps A0. (78,6)

Finalmente, el número total de valores que puede tener el vector
de onda de valores absolutos -k en el intervalo Ak, en todas las
direcciones (escribimos 4x en lugar de Ao), es

y
An= pa PA, (78,7)

Los vectores ax como funciones del tiempo se reducen a funcio
nes periódicas simples de frecuencias w,=c# (compárese con (78,4)).
Representemos la descomposición del campo de tal forma que re-
sulte una descomposición en ondas planas móviles. Para esto con-
sideraremos que cada uno de los vectores ay depende del tiempo me-
diante. el factor eut:

a ia, =. (78,8)

Entoncesicada uno de los términos dela suma (78,1) será función
exclusiva'de la- diferencia kr 一 yt, lo que corresponde a una onda
ue se propaga en la direción del vector k.

Iculemos la energía total

= あり (の すめ の

del campo considerado en el volumen V, expresándola en función

240. $ 78. Oscilaciones propias de un compo 237

de au. Para el campo eléctrico tenemos:

Ela

AZ ae Hager),

o, teniendo en cuenta (78,8):
Ei EA (ancl aie") (78.9)

Y para el campo magnético H=rot A, hallamos: É
H=idtikale— lkajle®). + (18,10)

Al calcular los cuadrados de estas sumas hay que {ener en cuenta
que todos los productos de los términos que tienen vectores de onda
Bek se anulan al tomar la integral sobre todo el volumen. En
efecto, estos términos contienen factores del lipo ex’, donde
Gokai, y la integral, por ejemplo,

4

con n, entero y diferente de cero, es igual a cero. En los términos
en que los factores exponenciales desaparecen, la integración por
<W da simplemente el volumen V.

Como resultado hallamos:

ex (waxak 十 [kax } (ka に

Pero como ax k=0, tenemos:
{Kay} [kat] = Æax ai,

y en definitiva obtenemos:

주 sea. (78,11)

Por lo tanto, la energía total del campo se expresa en forma de suma
de Jas energías 6, 10005 independientemente a cada una de las
ondas planas.

Análogamente se puede calcular la impulsión total del campo

Lf sar= Len,

241. 238 Capítulo XIII. Ondas electromagnéticas

obteniéndose

(78,12)

Este resultado era de esperar conociendo la relación que existe
entre la energía y la impulsión de las ondas planas (véase el $ 69)

Con la descomposición (78,1) se consigue definir el campo por
medio de una serie discreta de variables (los vectores ay) en lugar
de hacerlo con uña serie continua, como ocurre en realidad al de-
finirlo por medio del potencial A (x, y, z, £) dado en todos los pun-
tos del espacio. Si realizamos ahora una transformación de las varia:
bles ax , resulta posible darles a las ecuaciones del campo una forma
análoga a las canónicas de la mecánica (ecuaciones de Hamilton).

Para hacer esta transiormación introducimos las “variables
canônicas” reales Qu y Py, de acuerdo con las relaciones

(78,13)

La funcién de Hamilton del campo se obtiene haciendo estas
sustituciones en la expresión de la energía (78,11)

= アァ, = Y y (Pit ota). (78,14)
= ロ

En este caso las ecuaciones de Hamilton d#/0P4 = Qk coinciden
con las igualdades Pa 0k。 que de esta forma resultan ser efecti-
vamente una consecuencia de las ecuaciones del movimiento (esto
se ha conseguido al elegir convenientemente el coeficiente de la
frerstocnación (78,13). Las ecuaciones 00700 =—P, conducen a
as?

Qe + 01 = 0, (78,15)

es decir, son idénticas a las ecuaciones del campo.
Cada uno de-los vectores Qu y Pres perpendicular al vector de
onda. k, es.decir, tiene dos componentes independientes. La direc-
ción de estos vectores define la dirección de polarización de la onda
móvil correspondiente... Llamando 'Qu;, donde ¡==1, 2, a las dos
componentes del vector Qu (en un plano perpendicular a k), tene-

mos que Qi=3)Ql, Con Pk se puede proceder análogamente.
p

242. $ 78, Oscilaciones propias de un campo 219

Entonces
(+ 안아 (78,16)

Como puede verse, la función de Hamilton sedescompone"en una
Some de términos independientes, cada uno de Jos cuales,contiene
Solamente un par de magnitudes Qu. Pur. Cade 000 de los tér
mings de este tipo corresponde a una onda móvil con un vector de
onda y una polarización determinados. En este caso xy tiene la
forma de función de Hamilton de un “oscilador”, lineal que efectia
oscilaciones armónicas simples. Por esto, se dice 8 veces que esta
descomposición es lu de un campo en osciladores.

HAL Has, Hes

243. CAPITULO XIV

RADIACION DE ONDAS
ELECTROMAGNETICAS

$79. POTENCIALES RETARDADOS

Deduzcamos las ecuaciones que definen el potencial del campo
creado por cargas en movimiento. Para esto repetiremos la deduc-
ción hecha en el $68, pero sin suponer ahora iguales a cero la den:
sidad de las cargas y la corriente.

Haciendo la sustitución

EL ve, H=rota (79,1)

en la ecuación
rot Han LE,
obtenemos

그에 grad 2 (79,2)

rot rot A=— AA +graddiva = À

{en el último término de esta igualdad se ha cambiado el orden de
las operaciones grad y 0/21).

Como condición complementaria que se puede imponer a los
potenciales elegimos la igualdad

diva+ 220; (79,3)

esta condición se llama de Lorentz y de los potenciales que la sa-
tisfacen se dice que se ajustan al contraste de Lorente Y. Enton-

가 La condición (79,3) es más general que las utilizadas en el $ 65, g=0
y, div: A こ 0: los potenciales que satisfacen estas últimas condiciones también
cumplen la (793. Pero, a dierencia de aquéllas, la condición de Lorente tiene
sariéler de Invariant, & decir, los potenciales que cumplen esta condición en
un sistema de referencia la saisaceslambién en cualquier olf. Eto se ve el
ramente por el hecho de que la condición (79,9) pueda tomar la forma tetrad
mmensional. Invarlanle

244. 을 79. Potenciales retardados 241

de los dos miembros de la ecuación (79,2)
llegamos a la ecuación

i (79.4)

ces los últimos termi
se simplifican entre si

Análogamente, poniendo (79,1) en la ecuación div E = 00,
oblenemos

18
=F divA 一 Aw =4np,
o, sustituyendo div A por su valor según (79,3): ：
an
Ag DE bmp. (19,5)

Las ecuaciones (79,4) y (79,5) son las que buscäbamos. Para
un campo constante estas ecuaciones se reducen a las (59,4) y
(65,4), que ya conocemos, y para un campo variable sin cargas se
transforman en ecuaciones de onda homogéneas,

La solución de las ecuaciones lineales no homogéneas (79,4)
y (79,3) se puede representar, como sabemos, en forma de suma de
las soluciones de estas mismas ecuaciones sin segundo miembro

de la integral parcial de las ecuaciones con el segundo miembro.
ara calcular esta integral parcial dividiremos todo el espacio en
dominios infinitamente pequeños y determinaremos el campo creado
or la carga que se encuentra en uno de estos elementos de volumen.
Emo las ecuaciones son lineales, el campo verdadero será igual a
Ta suma de los campos que crean todos los elementos de este tipo.

La carga de que hay en un elemento de volumen dado, en gene-
ral, es función del tiempo. Si el origen de coordenadas se toma en
el “elemento de volumen que se considera, la densidad de carga
p==de(£) BR), siendo R la distancia desde el origen de coordenadas.
De esta forma, tendremos que resolver la ecuación

Ag ZB == dade(()5(R) (79,6)

En todas partes, menos en el origen de coordenadas, 6 (R)==0,
y tenemos la ecuación

Age = 0. aan

Es evidente que en el caso que estudiamos @ posee simetría cen-
tral, es decir, es función exclusiva de R. Por lo tanto, si escribimos
el operador de Laplace en coordenadas esérics la ecuación (79,7) to
mara la forma

wean (RE) aio

245. 242 Capitulo XIV. Radiación de ondas electromagnéticas

Para resolver esta ecuación hacemos la sustitución y=
=X(R, 1/R. Entonces, para %, obtenemos:

E O . 0

HO
Pero ésta es la ecuación de las ondas planas, cuya solución tiene
la forma

A)

Como lo que buscamos es solamente la integral parcial de la
ecuación, bastará tomar únicamente una de las funciones f, y fe.
Generalmente resulta más cómodo tomar f,==0 (véase más adelante).
Entonces el potencial 9 tiene en todas partes, menos en el origen
de coordenadas, la forma

를

AGA, (79.8)

En esta igualdad la función x es por ahora arbitraria; tomémosla
de tal forma que podamos obtener el valor verdadero del potencial
incluso en el origen de coordenadas. En otros términos, elijamos x
de manera que en el origen de coordenadas se cumpla la ecuación
(79,6). Esto no es difícil si se tiene en cuenta que cuando R-r0
el propio potencial tiende a infinito y, por lo tanto, sus derivadas
respecto a las coordenadas crecen más de prisa que las derivadas
respecto al tiempo. Por consiguiente, cuando R-+0, en la ecuación

(79,6) se puede despreciar el término 4% en comparación con

Ag. Entonces esta ecuación se transforma en la (59,10), que con-
duce a la ley de Coulomb. De esta forma, en las proximidades del ori-
gen de coordenadas la fórmula (79,8) debe transformarse en la ley
de Coulomb, de donde se deduce que x()=de((), es deci

=(- る

I ed,

De aqui se puede pasar fácilmente a resolver'la ecuación (79,5)
para una distribución arbitraria de lascargas p(x, y, 2, f). Para esto
70 hay" más. que escribir de=pdV (donde dy es el elemento de
volumen) y tomar la integral extendida a todo el espacio. A la solu-
ción así.obtenida: de la ecuación no homogénea (79,5) se le puede
sumar la soluciön. q: de esta misma ecuación segundo miembro.
Por: lo.tanto; Ja solución general tendrá la forma

7 or tv + Rare,
a" = dx’ dy de, (19,9)

246. $ 80. Potenciules de Lténard—Wiechert 243

donde r=(x, y, 2) y r'=(, y!, 2); Ries la distancia desde el ele.
mento de volumen dV hasta el “punto.de observación” en: que
se busca el valor- del! potencial. Esta expresión: la. .escribiremos'.
abreviadamente de -la-forma

q (gis av + o (79,10).

donde el subindice signiica que p debe tomatsé en el instante
りー Rie; el apóstrolo de dV se ha omitido.
De manera análoga, para el potencial vector, tenemos:

à Ç lag

Aap leas, ， (0
donde A, es la solución de la ecuación (79,4) sin segundo miembro.

Las ecuaciones (79,10) y (79,11) (sin qe y A reciben el nombre
de potenciales retardados.

Enel caso en que las cargas no se mueven (es decir, de la densidad
p independiente del tiempo) la fórmula (79,10) se transforma en la
ya con (69,9) del potencial del campo eléctrostático; por su
parte, la fórmula (79,11), cuando el movimiento de las cargas es
est mario, se translorma (después de hacer el promedio) en la
fórmula (65,5) del potencial vector de un campo magnético constan-

te.

Las magnitudes q, y As en (79,10) y (79,11) se determinan de
manera que satisfagan las condiciones del problema. Para esto,
evidentemente, bastaría dar las condiciones iniciales, es decir,

tante inicial. Pero, en general, no se suele operar
‘con estas condiciones iniciales. En lugar de ellas se dan las condi-
ciones, a grandes distancias del sistema de cargas, durante todo
el tiempo. Es decir, se da la radiación exterior que incide sobre el
tema. De acuerdo con esto el camp que aparece como resultado
de la interacción de esta radiación con el sistema se puede distin
guir del campo exterior solamente por la radiación que sale del
sistema. Esta radiación procedente del sistema deberá tener, a
grandes distancias, la forma de ondas que se propagan alejándose
de él, es decir, en las direcciones en que aumentan las R. Pero esta
condición la satisfacen precisamente los poténciales retardados.
Por lo tanto, estos últimos representa el campo que sale del sistema,
y @ y A, se deben identificar con el campo exterior que actúa
sobre dicho sistema.

$80. POTENCIALES DE LIENARD — WIECHERT

Determinemos ahora los potenciales del campo creado por una
carga puntual que efectúa un movimiento dado siguiendo la tra-
yectoria r=r,(.

247. 244 Capítulo XIV. Radiación de ondas electromagnéticas

De acuerdo con las fórmulas de los potenciales retardados el
campo en el punto de observación P(x, y, 2) en el instante £ viene
determinado por el estado del movimiento de la carga en el instan.
te anterior #', para el cual el tiempo de propagación de la señal
Juminosa desde el punto en que se encuentra la carga r.(£”) al punto
de observación P coincide precisamente con la diferencia t— 1’
Sea R(9=r— 1, (0 el radio vector desde la carga e al punto P:
este radio vector, junto con r4(f), es una función dada del tiempo.
Entonces, el instante £* se determinará por la ecuación

(80,1)

En un sistema de referencia en el cual en el instante £ la par-
tícula esté en reposo, el campo en el punto de observación en un
instante ¢ vendrá dado sencillamente por el potencial de Coulomb,
es decir,

. (80,2)

La expresión de los potenciales en un sistema de referencia arbi-
trario se puede obtener ahora escribiendo un tetravector que cuande
v=0 dé para 9 y A los valores (80,2). Teniendo en cuenta que, de
acuerdo con (80,1), 9 puede fomar en (80,2) la forma

=p A

hallamos que este tetravector es

(60,3:

En esta expresión ut es la tetravelocidad de la carga y R° ur
tetravector de componentes

RI), rr),
en.esle caso fi, a, y/, 2, están ligadas entre si por la relaciór
(80,1). Esta;última, tiene carácter de invariante, puesto que se pue
de escribir, en.la forma: invariante
RAR =O. (80,4
Abriéndo ahora en símbolos tridimensionales el sentido de
las componentes del tetravector (80,3) en el sistema de referenci:
arbitrario, obtenemos para los potenciales del campo creado por le
carga puntual que.se‘mueve arbitrariamente las expresiones

7 = A=

a ee

(80,5,

248. $ 80, Potenciales de Lienard—Wiechert_ 245

donde R es el radio vector trazado desde el punto en que se halla la
carga al punto de observación P. y odas as magnitudes que figuran
en jos segundos miembros de las igualdades deben tomarse en el
instante £, determinado por (80,1). Los potenciales del campo
expresados bajo la forma (80,5) se llaman potenciales de Lienard—
Wiechert.

Para calcular las intensidades de los campos eléctrico y magnético
por las fórmulas

1
Ta

E —gradg, H=rotA

hay que derivar @ y A respecto a las coordenadas x; 4, 2 del puto
sent 7 00d soon. Pero os Tomas dB
dos potenciales como funciones de £ “y, tan sélo-por Ta relación
(80,1), como funciones implícitas de x, y, 2, £. Por esto, para ca
cular las derivadas que buscamos hay que calcular previamente las
derivadas respecto a (-

Derivando la igualdad R(£)=c ({— 1) una vez respecto a 1
y otra respecto a 7, tenemos

Be (1). (80,6)

grad Raw an SR grad 14 2 —< grad 人

AR/at la hallamos derivando la identidad R*=R* y haciendo la
sustitución OR/0£=—v(£) (donde el signo menos se debe a que R
es el radio vector que va de la carga e al punto P, mientras que la
velocidad es la derivada respecto al tiempo de las coordenadas de la
carga); de donde

y la derivada

aR LR
Fr
Poniendo estos valores en la igualdad (80,6) hallamos que
wt i
Ge —r a a (80,7)
R E (e =

Con ayuda de estas fórmulas no es difícil calcular los campos
E y H. Omitiendo los cálculos intermedios, el resultado que se

249. 246 Capitulo XIV. Radiación de ondas electromagnéticas

obtiene es:

Fe-ieylL eos

H=- [RE]. (80,9)

Aquí ¥=0v/01'; todas las magnitudes que figuran en los segundos
miembros de estas igualdades se toman en el instante {”. Tiene in-
terés señalar que el campo magnético resulta ser en todas partes
perpendicular al eléctrico.

1 campo eléctrico (80,8) consta de dos partes de carácter distin-
to. Su primer término depende únicamente de la velocidad de la
partícula (y_no de la aceleración) y a grandes distancias varía
como 1/R*. El segundo término depende de la aceleración y a gran-
des R varia como 1/R. Como veremos más adelante, este último
término es el que está relacionado con las ondas electromagnéli-
cas que radian las particulas.

Como el primer término es independiente de la aceleración,
debe corresponder al campo creado por la carga en movimiento
uniforme. En efecto, se puede demostrar (aunque aqui no nos de-
tenemos a hacerlo) que el campo definido por este término es dem
co al (61,5).

§ 81. CAMPO DE UN SISTEMA DE CARGAS ALEJADAS

Consideremos el campo que crea un sistema de cargas en mov1-
miento a distancias grandes en comparación con las propias 01
mensiones del sistema.

Tomemos el origen de coordenadas O en cualquier punto dentro
del sistema de cargas, El radio vector desde O al punto de observa:
ción P del campo lo designaremos por medio de R, y al vector uni-
tario en esta dirección le llamaremos n. Sea r el radio vector del
elemento de carga de=pdV y R el radio vector desde de al punto
es evidente que R=R,—r.

A grandes distancias del sistema R,>r y aproximadamente ten-
remos que

R=IRe

Pongamos este valor en las fórmulas de los potenciales retardados
(79,10) y (79,11). En el denominador de las expresiones subintegra

二 Rs 一 mr

250. § 81. Campo de un sistema de cargas alejadas 247

les se puede despreciar en, en comparación con Ry. Pero en el ar-
gumento {— Ric, en general, no se puede despreciar mn, puesto
que aquí la posibilidad de hacer esto no se determina con relación
a la magnitud R/¿e y rnfe, sino considerando la variación que expe:
rimentan p y j durante el tiempo rn/c. Teniendo en cuenta que, al
integrar, Ry es una constante y, por consiguiente, se puede sacar
fuera del signo integral, hallamos las siguientes expresiones de los
potenciales del campo a grandes distancias del sistema de cargas:

o=a Se, (81,1)

A distancias suficientemente grandes del sistema el campo, en
pequeñas regiones del espacio, se puede considerar como una onda
plana. Para esto es necesario que las distancias sean grandes no
sólo en comparación con las dimensiones del sistema, sino también
en comparación con la longitud de las ondas electromagnéticas
que radia el sistema. Esta región del campo se dice que es la zona
de onda,

En la onda plana los campos E y H están ligados entre sí por
la relación (69,4) E={Hn}. Pero como H=rot A, para definir to-
talmente el campo en la zona de onda basta calcular el potencial
vector. En la onda plana tenemos que H=[Anl/c (compárese con
(69,3)), donde el punto sobre la letra A significa la derivada respecto
al tiempo. De esta manera, conociendo A podemos hallar H y E
por las fórmulas >

(81,2)

Anl, E=+([An|n]. 613)

Debemos advertir que el campo a grandes distancias resulta
ser inversamente proporcional a la primera potencia de la distan-
cia Ra al sistema emisor. También hay que señalar que en las
expresiones (81,1) 一 (81,3) el tiempo £ figura siempre formando
parte de la combinación ; 一 R,/c con la distancia R,.

Las ondas electromagnéticas que radia el sistema arrastran con-
sigo cierta energía. El flujo de energía viene dado por el vector
de Poynting, que en la onda plana es

m
ir

s-

a.

© La Sörmula Ess — le (véase (69, 9) no se puede aplicar en este caso, ya
que los potenciales y 3 A no satisfacen les condiciones complementarias que se
les. impusieron en el § 69.

251. 248 Capitulo XIV. Radiaciin_de_ondas_electromagnsticas

La intensidad dí de la radiación en el elemento de ángulo sólido
do se define como la cantidad de energia que en la unidad de tiempo
pasa por el elemento df- RS do de la superficie esférica cuyo centro
se encuentra en el origen de coordenadas y cuyo radio es R,. Esta
cantidad es igual, evidentemente, a la densidad del flujo de ener-
gia S multiplicada por dj, es decir,

di

+ Ride (814)

Y como el campo H es inversamente proporcional a R,, vemos que
la cantidad de energía que emite el sistema en la unidad de tiempo
en el elemento de ángulo sólido do es igual para todas las distancias
(si los valores de la diferencia 1 一 Role son iguales). Lógicamente
así tenía que ser, puesto que la energía que radia el sistema se
propaga en el espacio circundante con la velocidad c, sin concentrar-
se ni desaparecer en ninguna parte.

$82. RADIACIÓN DIPOLAR

El tiempo 006 de las expresiones subintegrales de los poten-
ciales retardados (81,1) y (81,2) se puede despreciar si durante este
tiempo varía poco la distribución de las cargas. Las condiciones
necesarias para que esto ocurra son fáciles-de hallar. Supongamos
que T es el orden del tiempo durante el cual la distribución de las
cargas en el sistema varia sensiblemente. La radiación de este sis-
tema tendrá, evidentemente, un período de orden 7 (es decir, una
frecuencia de orden 1/7). Liamemos a al orden de las dimensiones
del sistema. Entonces el tiempo rn/c=aje. Para que durante este
tiempo la distribución de la cargas en el sistema no pueda varier
sensiblemente será necesario que a/cc<T’. Pero cT es la longitud de
onda A de la radiación. Por lo tanto, la condición a<<cT se puede
escribir de la forma

ach, (62,1)

es decir, las dimensiones del sistema deben ser pequeñas en con
paración con la longitud de la onda radi

Esta condición se puede escribir también de otra forma teniendo
en cuenta que T~a/v, de manera que A—ca/o, si es el orden de la
velocidad de las cargas. De 06 hallamos en este caso que

vee, (82,2)
es decir, la velocidad de las cargas debe ser pequeña en comparación
con la de la luz,

Supongamos que esta condición se cumple y ocupémonos del
estudio de la radiación a grandes distancias del sistema emisor,

252. $ 62 Radiación dipolar 249

en comparación con la longitud de onda (y, por consiguiente, gr
Ses en todo caso en comparación con las dimensiones del sistem
Como indicamos en el $81, a estas distancias el campo se puede
considerar como una onda plana y, por lo tanto, para delerminarlo
basta calcular el potencial vector.

El potencial vector (81.2) tiene la forma

Ama Sir, (82,3)

donde el tiempo f=1— Ryfc y no depende ya de las variables
de integración. Haciendo la sustitución j=pv, podemos escribir
(82,3) de la forma

A (Le),

donde la suma se extiende a todas las cargas del sistema; para sim-
plificar omitiremos el subindice /, sobrentendiendo que todas las
tudes que figuran en los segundos miembros de las igualdades
se toman en el instante 1". Pero
Net Lend,

a à

donde d es el momento dipolar del sistema. Por lo tanto,
1
Amd. (82,4)

Valiéndonos de las fórmulas (81,3) hallamos que el campo mag-
06400
H= ag lanl (82,5)

y el campo eléctrico

1
ssllanlgl (82.6)

Adverlimos que dentro de la aproximación estudiada la radia:
160 viene dada por la segunda derivada del momento dipolar del
sistema. Este radiación se Mama dipolar.

Como quiera que d Yer, tenemos que 0- ey. Por lo tanto,
las cargas solamente pueden radiar cuando se mueven con acer
leración. Las cargas con movimiento uniforme no radian. Esto se
deduce también directamente del principio de la relatividad, puesto
que una carga con movimiento uniforme se puede considerar en un
sistema inercial en el cual se encuentre en reposo, y las cargas en
reposo no radian

253. 250 Capitulo XIV. Radiación de ondas elestromagnéticas

Sustituyendo H por sus valores (82,5) en (81,4) obtenemos la
intensidad de la radiación dipolar

dt = ¿5 [an do = Eo sen? 8 do, (82,7)

donde 6 es el ángulo comprendido entre los vectores à y n. Esta
es Ia cantidad de energia que radia el sistema en la unidad de tiempo
dentro del elemento de ángulo sólido do; debemos advertir que la
distribución angular de la radiación viene dada por el factor sen? 8.

Haciendo la sustitu 一 2r sen Ode integrando respecto
a 9 entre los límites 0 y x, obtenemos la radiación total

2 je a
E (82,8)

Si solamente hay una carga que se mueva en el campo exterior,

d=er y d=ew, siendo w la aceleración de la carga. En este caso la
radiación total de la carga en movimiento será
Zeus
1 (82,9)

La radiación creada por el sistema se puede someter a una des-
composición espectral, Es evidente que la creación de las componen-
tes monocromáticas de la radiación depende también de las compo-
nentes del momento dipolar del sistema d (9). Hay que distinguir
dos casos de descomposición: uno, en serie de Fourier y otto, en
integral de Fourier.

i las cargas efectúan un movimiento periódico (de frecuencia
4) el momento dipolar (y con él la radiación) se debe desarrollar
en serie de Fourier. De acuerdo con la fórmula general (72,4),
la intensidad de una componente monocromática (de frecuenci
(or) seobtienede a fórmula de la intensidad media de lara
ción

I=4 4 (82,10)

sustituyendo el cuadrado medio d por el duplo del cuadrado del
módulo de la componente de Fourier correspondiente, es decir,

DÉPENS

La componente de Fourier del vector d( の se puede expresar en fun-
ción de la componente de Fourier del vector d (9 Para esto hay
que. tener presente que cada uno de los términos del desarrollo
de d(9 debe obtenerse por derivación respecto al tiempo del término

254. $ 82. Radiación dipolar 251

correspondiente del desarrollo de d (0, es decir,
duet E (det) = olde
de donde

一 ed (82,11)
Por lo tanto,
Ll (62,12)

El desarrollo en integral de Fourier se utiliza cuando la radiación
se debe al choque de particulas cargadas (radiación. de, frenado)
En este caso tiene interés conocer la cantidad total de energía
radiada durante el tiempo que dura el choque. Supongamos que
dé.. es la energia emitida en forma de ondas cuyas frecuencias se
“encuentran en el intervalo entre © y w-+do, De acuerdo con (72,8),
obtenemos esta energía por la fórmula de la energía total de la
radiación

A@= { Id => { del (82,13)

sustituyendo la integral por la expresión 2|d, |? du/2x:

“= lá, do. (62,14)

Advertiremos que un sistema cerrado formado por partículas
que tengan la misa relación carga — masa no puede radar (como
polo). En efecto, para un sistema de este tipo el momento dipolar

d= Zer= E E me= const I mr,

donde la const es la relación carga 一 masa, igual para todas las
partículas. Pero Emr= RÈm, donde R es el radio vector del centro
de inercia del sistema (recordamos que, como todas las velocidades
ue, se puede aplicar la mecánica no relativista). Por esto d es
proporcional a la aceleración del centro de inercia, es decir, igual
à cero, puesto que el centro de inercia tiene movimiento uniforme.

En ausencia de radiación dipolar, para determinar la energía
que radia el sistema hay que recurrir a términos más elevados del
desarrollo del potencial del campo en serie de potencias de la pequeña
relación a/a. En la aproximación que sigue a la dipolar aparece una
radiación determinada por las oscilaciones tanto del momento cua-
drupolar eléctrico del sistema como por las de su momento magnético.

255. 252 Capitulo XIV. Radiación

de ondes electromanétiens

Problemas 1

1. Hallar la radiación de un dipolo à que gira en un pleno con la velocidad
angular constante 의
Solución. Tomando como plano xy el plano de rotación, tenemos:

dede cos Qt, dy=dysen Mt,
‘Como estas funciones son monocromáticas, la radiación también Lo será y tendrá
la frecuencia os=0 Por lo formula (82, 7) hallamos la radiación media correspon

diente a la distribución angular’ (respecto al periodo de rotación)
joe
ET
donde 6 es el ángulo comprendido entre la dirección n de In radiación y el
eje Le intensidad total

7 2800

T=

a (1 e054) do,

2. Hallar la radiación total que se produce al chocar frontalmente dos ps
iculss que se repelen

Solución. Tomando como origen de coordenadas el centro de inercia de as
particulas, para el momento dipolar del sistema obteremos:

re (e
donde los aubtndices 1 y 2 reee a as os particulas

vector entre ella, y jtemyma/ my tre) es lo mass rec,
movimiento relative de las particules será

dante

nor es el radio
Ls eeuacién del

pit

Les > 0). De acuerdo con (82,13) la energi
rade será

Die

total de la radiación de fre-

e (nen ja o

Cuando el choque es frontal la velocidad relativa v de las particulas
‘viene determinada ‘por

donde v es la velocidad en el infinito. Haciendo en la int
di=driv e integcando respecto a dr entre 00 y rnin 2ses/u

alla sustitución
y entre rnin Yeo,

D En lodos estos problemas se supone que la vloided de Ls particulas
vee il

256. $ 22. Radiación dipolar 258

en lugar de hacerlo respecto dí, tenemos:

ie]

を
A ey as
xn 加

Calculand esta Integral e obiee

O)

3. Hallar a radiación total que se produce cuando una carga pase junto a
ira con una velocidad tan grande (aunque pequeña en comparación con €) que
la desviación que sulre su Urayectoria, respecto al movimiento rectiineo, sé
puede considerar pequeña.

Solución. El ángulo de desviación es pequeño si neitpeiey/p (la energía
cinética 2 es grande en comparación con la energía potencial, cuyo va
es del orden 61040 Cuando el movimiento es redtilneo y su velocidad es v,

mos que ve VE. donde p es el parámeto de choque. Peniendo ete
ator en Smal (dei problems anto! y eseulando lateral, olenemes

LOCO
CCE
4. Deduci a fórmula de La distribución cpecra de radiación de frenado
en 1 ini de ls Trecomncias pequeñas
Serien En ented
d=] daa ( te) | www

ln ern se ige sesblemete de eo 00000 den
fervalo de tiempo =. Por esto, para las frecuencias weci/tse puede ci
que en la expresión subintegral K€ y. por consigulente, suponer e

et

donde Ap es la variación que experimenta durante el choque la impulsión del
imite rai, pe. De severdo con (214) la energía radiada en el
intervalo de frecuencias do es

4. (hgh) ere

Debemos advertir que ia distibución no depende de ia Fecueneiat es decir, que,
Air 0d, 46560 tiende s un lle constant ES

En 1a distribución espectral de la radiación de frenado la parte fund:
mental de la intensidad le corresponde a las frecuencias w—1/s, donde x es el
‘eden de la duración del choque, De acuerdo con esto, se entienda por Trecuencias
pequeñas las a@lir.

257. 254 Capitulo XIV. Radiación de ondas_electromagneticas

5, Determinar la intensidad de la radiación de una carga que se mueve si-
ulendo una trayectoria circular en un compo magnético inlforme constante.
Solución. Por la fórmula (829), hallamos

$83. RADIACION DE UNA CARGA QUE SE MUEVE
A GRAN VELOCIDAD

Consideremos ahora el caso de una partícula cargada que se
mueve en un campo exterior con una velocidad no pequeña en com-
paración con la de la luz, Para resolver el problema de la radiación
de esta particula resulta conveniente utilizar la expresión de
Lienard = Wicchert para el campo (80.8) y (80,0). A grandes dis
tancias de la partícula debemos conservar en esta expresión üni-
camente el término de menor grado de 1/R (es decir, el segundo de
la fórmula (80,8)). Introduciendo un vector unitario n en la direc-
ción de la radiación (R=nR), obtenemos las fórmulas

(63,1)

donde todas las magnitudes que figuran en los segundos miembros
de estas igualdades se toman en el instante retardado アニ リー Re.

La intensidad de la radiación dentro del ángulo sólido do es
proporcional a E*. De aquí se deduce una distribución angular que,
en el caso general, es bastante complicada. Pero en el caso ultra
relativista (0 próxima ac; 1 一 1) esta distribución tiene una
propiedad característica, debida a la existencia de altas potencias
de la diferencia | 一 vn en los denominadores. La intensidad es
grande precisamente en el estrecho intervalo de ángulos en el cual
esta diferencia es pequeña. Llamando O al pequeño ángulo comp-
rendido entre y y n, tenemos:

a 2,0 #
Ios 144 1 40). (83,2)
Esta diferencia es pequeña cuando

Por lo tanto, la partícula ultrarrelativista radia en la dirección de
su movimiento dentro de un intervalo de ángulos (83,3) en torno a
la dirección de la velocidad

(83,3)

258. $ 65: Radiación de una carga que se mueve a gran velocidad 255

La cantidad de energía radiada durante un tiempo dt dentro
del ángulo sólido do es igual a

(Ger) a eo

Pero para calcular la intensidad de la radiación hay que distinguir
ahora los dos procedimientos que se pueden utilizar para su deter-
minación.

En (83,4 es el intervalo de tiempo en el punto de observación:
de manera que la expresión que hay dentro del pres es la in.
tensidad delinida como la energía de radiación que percibe el ob-
servador en la unidad de tiempo. Pero debido al efecto de retardo
que se produce al propagarse la onda desde la partícula emisora hasta
이 punto de observación, el intervalo df no coincide con el dt’,
durante el cual la energía (83,4) fue radiada por la partícula en
movimiento. De acuerdo con (80,7), tenemos:

(83,5)

Si la intensidad se define como la energia que la partícula radia
en la unidad de tiempo, será igual, por consiguiente, a

al Rt. (83,6)

Cuando u<e (como se suponia en el $82), el factor 1—nvic se
puede sustituir por la unidad y entonces las dos definiciones de la
intensidad coinciden.

Problema

Beine I gi
Domi nd de
Eg ¡TI 1 cn yl en de Le part
cc eee sl el ceuta por as mul (3.1) y (68.9 ds: ese

“ | [0 = Lee) 제

donde 6 es el ángulo comprendido entre n y v, y q es 의 ángulo azimutal del vec
(eran el plano que pasa por v y Wu En el caso ullrarelativista el papel prin-
Cipal fo desempeña la región de pequeños ángulos 0. En esa región

el

ión de una partícula ultrarelativista
‘circular en Un campo magnético unie

259. 256 Capitulo XIV. Radiaciön_de andas eletromagnéticas

y el elemento de ángulo sôlido do—sen 840 dq 969 dq. Teniendo en cuenta la
rapids convergencia de la integral respecto a 0, al calcular la miensidad total
은 puede extender la integración respeto a dO desde 0 a 0. Como resultado où

Aquí hemos questo ya también la expresión de la aceleración para el movi
mente cieular en dl campo maguélic が

ot [Et Ve.

$84. FRENADO POR RADIACION

La radiación de ondas electromagnéticas por las cargas en mo
vimiento hace que éstas pierdan energia, La influencia inversa de
esta pérdida en el movimiento de las corgas se puede definir intro-
duciendo en las ecuaciones del movimiento las correspondientes
“fuerzas de rozamiento” f.

Consideremos un sistema de cargas que electúen un movimien-
to estacionario con velocidades no relativistas (00. La pérdida
media de energía del sistema (referida a la unidad de tiempo) será
igual a la intensidad media de la radiación (82,10). Elijamos las
fuerzas f de manera que esta pérdida de energía se pueda representar
como el trabajo medio de estas fuerzas, El trabajo de las fuerzas 1
en la unidad de tiempo es igual al producto fv, donde v es la velo-
cidad de la partícula. Por lo tanto

Le CH

(la suma se extiende a todas las partículas del sistema).
Se puede ver fácilmente que esta condición la satislacen las
Fuerzas

te Le à. (84,2)

En efecto, tenemos que
2 PRIT.
Live dd Denda dba
AL promediar, el primer término, que contiene una derivada total
respecto al tiempo, se anula (compárese con la observación de la

pág. 200) y volvemos a (84,1). Las fuerzas (84,2) se llaman de
Frenade pot radiación 0 Juerts de Tocamiento de Lovente,

260. $ 84, Frenado por radiación 257

El frenado por radiación también se produce cuando una sola
carga se mueve en un campo exterior. En este caso dev y la ecua-
ción del movimiento, teniendo en cuenta la fuerza (84,2), toma la
forma

mim [vn] + E (84,3)

No obstante, hay que tener presente que la definición de la acción
de la carga “sobre ella misma” con ayuda de las fuerzas de frenado
ho es totalmente satisfactoria y encierra: contradicciones, Efecti-
Vamente, en ausencia del campo exterior la ecuación (84,3) se re-
duce a

2
my = SV.

Esta ecuación tiene, además de la solución trivial v=const, una
solución en la cual la aceleración Yes proporcional al exp (3 mct/2e*),
es decir, que crece indefinidamente con el tiempo. Esto significa,
por ejemplo, que una carga que pasase por un campo cualquiera,
Gespues de salir de él debería “autoacelerarse” indefinidamente.
Lo absurdo de este resultado pone de manifiesto que las aplicaciones
de la ecuación (84,3) son limitadas.

Se nos puede plantear la pregunta de cómo la electrodinámica,
que cumple la ley de la conservación de la energía, puede conducir a
un resultado absurdo en el cual una partícula libre aumenta inde
finidamente su energía. La raíz de esta contradicción estriba en rea-
tidad en la presunta “masa”, electromagnética “propia”, infinita,
de las partículas elementales de que hablamos en el $ 60. Al escribir
en las ecuaciones del movimiento la masa finita de la carga, en
Tealidad le asignamos formalmente una “masa propia” negativa
infinita, de origen no electromagnético, que conjuntamente con
la masa electromagnética daria por resultado la masa finita de la
partícula. Pero la substracción de una magnitud infinita de otra
También infinita no es una operación matemática correcta, y esto
ocasiona toda una serie de contradicciones entre las que figura la
que acabamos de indicar.

‘Como, de esta forma, la fuerza de frenado conduce de por si
a resultados contradictorios, la expresión (84,2) se puede aplicar
únicamente cuando esta fuerza es pequeña en comparación con la
que actúa sobre la carga por parte del campo exterior.

$85. DISPERSION POR CARGAS LIBRES

Si sobre un sistema de cargas incide una onda electromagnética,
Jas cargas se ponen en movimiento por la acción que dicha onda
ejerce Sobre ellas. Este movimiento va acompañado a su vez de

261. 258 Capitulo XIV. Radiación de ondas electromagneticas

radiaciones en todos los sentidos, es decir, se produce una dispersión
de la onda primi

Conviene caracterizar esta dispersión por la relación que existe
entre la cantidad de energía que emite en la unidad de tiempo y en
una dirección dada el sistema dispersor y la densidad del flujo de
energía que sobre él incide. Esta relación tiene las dimensiones de
¿uperílci y se Mama sesión eficaz de dispersión (compáres 000 el

Supongamos que di es la energía que emite el sistema dentro
del ángulo sólido do (en 1 seg) al incidir sobre él una onda cuyo
vector de Poynting es $. En este caso la sección eficaz de dispersión
(en el ángulo sólido do) será

dE (85,1)

(las rayas sobre las letras indican que sus valores se promedian res-
pecto al tiempo). La integral a de do, en todas las direcciones, es
la sección total de dispersión.

Veamos la dispersión que produce una carga libre inmóvil.
Supongamos que sobre esta carga incide una onda plana monoero-
mática y polarizada linealmente. El campo eléctrico de esta onda
se puede escribir de la forma

E—E, cos (ol—kr-+0).

Si la velocidad que adquiere la carga por la acción del campo de
la onda incidente es pequeña en comparación con la de la luz, como
ocurre siempre en realidad, podemos considerar que la fuerza que
actúa sobre la carga es igual a eE y que la fuerza 은 [vH] debida

al campo magnético se puede despreciar. En este caso se puede des-
preciar también la influencia que ejerce el desplazamiento de la
carga al oscilar por la acción del campo. Si la carga efectúa oscila-
ciones en torno al origen de coordenadas se puede considerar que
sobre ella actúa durante lodo el tiempo el campo que existe en dicho
origen, es decir,”

E=E, cos (of +a).

Y como las ecuaciones del movimiento de la carga tienen la
forma

mi=eE,
y su momento dipolar d=er, tenemos que

d=£e. (85.2)

262. § 85. Dispersión por congas libres 259

Para calcular la radiación, dispersada aplicaremos la fórmula
(82,7) de la radiación dipolar. Tenemos derecho a hacer esto, puesto
ue la velocidad que adquiere la carga hemos supuesto que es peque-
ía, Advertimos también que la frecuencia de la onda que emite la
carga (es decir, que dispersa) será igual, evidentemente, a la ire
cuencia de la onda incidente. 0000
Poniendo en (82,7) el valor que da (85,2), hallamos:

dl = Eg (Enl do.

Por otra parte, el vector de Poynting de 18 onda incidente és
Sage. (85,3)

De aquí podemos hallar la sección eficaz de dispersión en el
ángulo sólido do:

do= (;5;)" sent 0 do, (654)

donde 8 es el ángulo comprendido entre la dirección de la dispersión
(del vector n) y la dirección del campo eléctrico E de la onda inciden-
te. Como vemos, la sección eficaz de dispersión de una carga libre
no depende de la frecuencia.

Determinemos ahora la sección total o. Para esto toma-
remos la dirección de E como eje polar; entonces do=sen 8 00 dy e,
integrando respecto a dB entre 0 y x y respecto a de entre 0 y 21,
hallamos que

(5) cs
Esta es la formula de Thomson.

Problemas
1, Hallar In sección eficaz de dispersión do para la dispersión de una onda no

polerzada uz natural

Solu, "Teen que promesa a tere (is) repo a tods lt
direcciones del vector E eh 의 pano perpendicular 1 del en quese pro
ag 1a ota inidenle (es dei, a lo dicción del veto de onda 1. Tormos
[coordenadas de manera que cl jes teng la diresción de Ry el lex la de E
Enlonces el coseno del ángulo comprendido entre ls decires den y E, es
decia proyección dd vector unltarionsobrealejez er gual acord sen Desh
donde Gyo on rarement pol lima ela dls

1. EI prorveio respecto a todas ls icones e € en el pleno perpendicular
ae equivale al promedio respecto al aim 9. Pr o Tao, tenemes que

we= ユ
sent = 7 (140916)

263. 260 Capitulo XIV. Radiación de ondas electromagnélicas

y 04940 01 sacó 5. ee
(E) aroma.

2. Determinar la frecuencia (a') de la luz dispersada por una carga en movi-
ento,

'clución En el sistema de referencia en que la partícula se halla en reposo
(sistema en reposo dela partícula, la fect de la luz a er ditndida no
Varia, es det, 0'=0. Este relación se puede escribie en la forma invariante

Ka,

‘onde y AT son os tetravestores de onda de la luz incidente y dspersada, y ut
es la tetravelocidad de 18 partieula (que en el sistema en reposo se diferencia de
Esto únicamente en la componente u%=1). Abriendo ahora esta Igualdad en un
sistema de referencia arbitrario (en el que la partícula se moverá con la veloci-
dad Y), obtenemos:

w (Zea) often),

donde O y 0" son los ángulos que forman las direcciones de las ondas Incidente
y dispersada con la ditección de v.

3. Hallar l sección eficaz de dispersión de una onda, polarizada linealmente,
or un cscilador espacial, es decir, por una carga que efectúa (influida por una
srza elástico) pequeñas ¡oscilaciones de lrecuencio 96. Téngase en cuenta la

fuerza de frenado por radiación.

Solución. La tuación del movimiento del oscilador en la onda que sobre él

incide puede escribirse bajo la forma

Poleo DER

En la fuerza de renado (segundo término del segundo miembro) ae puede suponer
aproximadamente que #=—off, y entonces obtenemos

Fp yale 음 60
réa
Y de aquí hallamos que para las oscilaciones forzadas

Loa demás cálculo se hacen como en el texto fundamental del párato (peo al
calcular los valores medio de los cuadrados de les magnitudes que figuren en
fos Compll hay se tener encuenta lo 00909 en aber vel del pág.
210). En delintiv, la sección de dispersion. que se obtiene es

264. $86, Dispersión por un sistema de cargas 261

$86. DISPERSION POR UN SISTEMA DE CARGAS

La dispersión de ondas electromagnéticas por un sistema de car.
gas se diferencia de la dispersión por una carga (inmóvil) en primer
Tugar, porque debido a la existencia del movimiento propio de las
cargas dentro del sistema la frecuencia de la radiación dispersada
puede ser distinta de la frecuencia de la onda incidente. En la descom-
posición espectral de la radiación dispersada entran, además de
la frecuencia w de la onda incidente, otras frecuencias @', que se
diferencian de w en cualquiera de las frecuencias propias del movi-
miento del sistema dispersor. Una dispersión en la cual varía la
frecuencia se llama incoherente, en oposición a la dispersión co-
herente, en la cual la frecuencia no varia.

Suponiendo que el campo de la onda incidente séa débil, po-
demos representar la densidad de la corriente de la forma J=1,+J',
donde j, es la densidad de la corriente en ausencia de campo exterior
yJ es la variación que experimenta la corriente por la acción de la
onda incidente. De acuerdo con esto, el potencial vector (y otras
magnitudes) del campo del sistema también tendrá la forma A=
=A, +A", siendo A, y A’ producidos respectivamente por jy y J'.

El potencial A’ define la onda dispersada y viene determinado en
función de j por la fórmula ES
NERV nnd: (66,1)

Consideremos los dos casos límites, en los cuales la frecuencia ©
de las ondas que se dispersan es pequeña o grande en comparación
con las frecuencias principales propias del sistema. Estas últimas
son del orden «ay —v/a, donde ves la velocidad de la carga en el siste-
ma y a sus dimensiones. Supongamos también que u<c.

Émpecemos por el caso en que

ee 652)

La dispersión puede tener parte coherente y parte incoherente,
pero ahora consideraremos solamente la dispersión coherente.

La condición (86,2) permite hacer en la fórmula (86,1) ias mismas
omisiones que hicimos en el $82. En otras palabras, la radiación
dispersada será dipolar. Si esto es así, la intensidad de su componen-
te espectral de frecuencia w será proporcional al cuadrado de la
componente de Fourier [dal?=*Jds]*, donde d es la variación
{que sufre el momento dipolar bajo la influencia de la onda incidente.

Si la carga total del sistema es nula (un átomo o molécula neu-
tro), cuando w-+0 la magnitud de tiende a un límite constante

265. 262 Capitulo XIV. Radiación de ondas electromagnéticas

(si la carga lotal no fuera nula, cuando (»==0, es decir, en un campo
constante, el sistema empezaría a moverse como un todo único).
Por esto, cuando se trata de « pequeñas, se puede considerar que
4, no depende de la frecuencia. Entonces la intensidad de la onda

jersada y la sección eficaz de dispersión serán proporcionales a

con = const-wt, (86.3)

Pasemos a estudiar el caso contrario, es decir, el de frecuen-
cias grandes

opa oh. (85.4)

Envirtud de esta condición el período demovimiento de lascargas
dentro del sistema es grande en comparación con el periodo de la
‘onda. Poresto, durante un intervalo de tiempo del orden del periodo
de la onda el movimiento de la carga se puede considerar uniforme.
Esto significa, que cuando se estudia la dispersión de ondas cortas
se puede no tener en cuenta la interacción de las cargas en el sistema,
5 decir, se pueden considerar libres.

Por lo tanto, al calcular la velocidad w que adquiere la carga
en el campo de la onda incidente podemos considerar separadamente
‘cada carga del sistema y escribir para ella la ecuación del movimien-
to de la forma

de 4x0,
mag eE,

donde k=«n/c es el vector de onda de la incidente. El radio vector
de la carga es, naturalmente, función del tiempo. En el exponente
del factor exponencial del segundo miembro de esta ecuación la
velocidad con que varía el primer término con el tiempo es grande
en comparación con la velocidad de variación del segundo (la pr
mera es igual a w, mientras que la segunda es del orden ku=—ww/c<
<a). Por lo tanto, al integrar la ecuación del movimiento se puede
considerar que r es constante en el segundo miembro. En este caso

DT
Ver
Para el potencial vector de la onda dispersada (a distancias

del sistema) tenemos, pasando en (86,1) de la integración a
extendida a las cargas, que

n= ZE

266. $ 86. Dispersión por un sistema de cargas 263

Poniendo aquí el valor de (86,5), hallamos:

(86,6)

donde q=k'— k es la diferencia entre el vector de onda de la
dispersada k’=on’/c y el vector de onda k=un/c de la incidente ”.
El valor de la suma en (86,6) se debe tomar en 이 instante {=
=t— Re, ya que la variación de r durante el tiempo 0006.66
puede despreciar en virtud de la supuesta pequeñez de la: velocidad
de las partículas (el subindice £* lo hemos omitido para simplificar).
El valor absoluto del vector q es

q=22em?, (86,7)

donde 9 es el ángulo de dispersión.
Cuando la dispersión tiene lugar en átomos (o moléculas), en
la suma de (96) se pueden desprecia los ¡érminos corrspondien-
tes a los núcleos, debido a la gran masa de 65105 en compar:
(con la de los electrones. Como a continuación vamos a tener en cuen-
ta este caso precisamente, sacaremos el factor e%/m fuera del signo
sumatorio, entendiendo en él por e y m respectivamente la carga y
la masa del electrón.
Para el campo H' de la onda dispersada, de acuerdo con (81,3),
hallamos:

we +) Eye. (88)

El flujo de energía en el elemento de ángulo sólido que tiene
la dirección de n° es

CLT ro €
ix Rd = arc

EF Den] do.

Dividiendo esto por el flujo medio de energía c|E,j/8x de la
onda incidente (compárese con la observación de la pág. 214) e
introduciendo el ángulo 8 comprendido entre la dirección del campo
E de la onda incidente y la dirección de dispersión, hallamos final-
mente la sección eficaz de la dispersión bajo la forma

do =(S) Ze PF sent 0 do. (86,9)

EE HE elr de nd Wu’ donde cuen de は ndo
ispersado pede er dstnta dew. Pero la deren uo us m puede despre
‘lar en el Caso que ahora Consideramos, donde las Ingenio son grandes

267. 264 Capítulo XIV. Radiación de ondas electromagndticas

La raya horizontal significa el promedio respecto al tiempo, es
decir, respecto al movimiento de las cargas en el sistema; esta ope-
ración se hace porque la dispersión se observa en intervalos de tiem-
po grandes en comparación con el período del movimiento de las
Cangas en el sistema
la condición (86,4) se deduce que la longitud de onda de la
radiación incidente £ac/v. En cuanto al valor relativo de A y a,
pueden ocurrir dos casos extremos, a saber: A>a y Aa. En ambos
casos la fórmula general (86,9) Se simplifica considerablemente.
Cuando Aa, en la expresión (86,9) qr<], puesto que 9 て! ん
y ra. Sustituyendo, de acuerdo con esto, eqr por la unidad, te
hemos que

do= 2: (E) sent ado, (86,10)
(=)

es decir, la dispersión es proporcional al cuadrado del número Z
de electrones que hay en el átomo.

'Veamos ahora lo que ocurre en el caso A<a. En el cuadrado de la
suma de (86,9), además de los cuadrados, iguales a la unidad, del
módulo de cada uno de los términos, existen productos de la forma
el Al hacer el promedio respecto al movimiento de las
cargas, es decir, respecto a sus posiciones mutuas dentro del sistem:
las diferencias r,—r, toman sus valores en un intervalo de orden a:
Como q—=1/A y Aa, el factor exponencial 09000 es en este inter.
Yalo una función que oscila rápidamente y su valor medio se anula.
Por lo tanto, cuando Ac<a la sección eficaz de dispersión

do=2 (E sent Edo, (86,11)

es decir es proporcional a la primera potencia del número atdmico.

Las secciones (86,9) 一 (86,11) contienen parles coherentes €
incoherentes. Para determinar la sección eficaz de la dispersión
coherente tendremos que separar aquella parte del campo de la
onda dispersada que tiene la frecuencia w. En la expresión (86,8
el campo depende del tiempo a través del factor e-"! y, además,
por la suma Ze-iar. Esta última dependencia hace que en el campo
de la onda dispersada haya, además de la frecuencia w, otras Ire-
cuencias (aunque sean próximas a aquélla). La parte del campo que
tiene la frecuencia (es decir, que depende del tiempo solamente a
través del factor 71") se obliene, evidentemente, si se promedia
respecto al tiempo la suma Ze”, De acuerdocon esto, la expresión
de la sección eficaz de la dispersión coherente do, y se diferencia de
la sección eficaz total do en que, en lugar del valor medio del cua-
drado del módulo de la suma, figura en ella el cuadrado del módulo

268. $ 86. Dispersión por un sistema de carga 265

del valor medio de la suma:

con = (44) LF (9) sent do, (86,12)
donde
F()= Xe (86,13)

La funcion F(q) recibeel nombre de factor geométrico o de forma
del átomo. Conviene advertir que esto no es otra cosa que la:compo-
nente espacial de Fourier de la distribución media de la carga en el
átomo P (N):

oF (a) =

Ple) eta av. (86,14)

Esto se comprende fácilmente escribiendo primero la densidad sin
promediar pir) en forma de función 6 (véase (54,1)).

Cuando A5>a podemos sustituir otra vez ei por la unidad,
de manera que

do = Z* (5) sent Odo, (86,15)

Comparando esto con la sección eficaz total (86,10) vemos que
09> do, es decir, que toda la dispersión es coherente,

Si Aa, al tomar en (86,13) los valores medios de todos los
térmirios de la suma (como valores medios de funciones del tiempo
que oscilan rápidamente), éstos se anulan, de manera que do,,,~0.
Por lo tanto, en este caso la dispersión es totalmente incoherente.

269. INDICE ALFABETICO

Aberación de la lag 196,

Acción 18, Tie 116. 1 150, 175

Acción den cimpo leromaghéies
Tia. 010

Acción reducida 116

Aer =

신애 apridia

Ampli 98

Amplitud sample 59

Ano de en 136

Angulo de dipl 3 0

nulo de date 2 25

Compo central 30, 42, 42
Combo <ussunitsene 201
Ego de fueras 185
Campo de una ana en movimiento 195
Campo de un lema de corno en
‘movimiento alejadas 246
Campo electetáico 190
Esmpo deiromagnático constante 162
Eso mag 80006 20
po uno
hd de movimiento 28
Sins 156
maa 146
2800 de dispersion 51
Gentro de inercia 30
Ghrelin de un vector 175, 184
Gocllente de amortiguación 73
Componente temporal Rs
Componentes cmnravaiante 197
Componentes covriantes 187
Componentes 00008 108
Condiciones de saure 101
Condición de Lorente 210
Gono de lz 129
Contaccón de Lorentz 134
Contración de un enor 140
Contraste de Lorentz 240
orden cca
riendas generalizadas
[기
ene de desplazamiento
Capo. libre ie

Choque elástico de dos particule 47,
i

Choque frontal 49

Decremento logaritmico 73
Densidad de carga 178

Densidad de ta energia 185

Densidad del jo de Impulsión 188

Bera ca =

composición epectsl 의;

Desnigraiön de des paclculs 18

Dissen 227

Pilrcción de Fraunhofer 292

Dia de Fran 20,

Disipación de la en

Dispersion saherente 201

Dispersion incoherente 201

Dispersión de particles 이

Dispersión por Eargas lbs 297

Dispersion por un sema de cargas 261

Distribución angular de 16 11 dit
clade 2

Ecuación característica 67

Ecuación de d'Alembert 201

Ecuación de continuidad 180, 181

Ecuación de Hamilton — Jacobi 117,
2

Ecuación de la mal 223
00000 de Laplace 100
Estación del Weyetere 41, 49,165
Estación de onda 0
Ecuación de Poison 190
Etacioe de Bier 14
Ecuaciones de Hamilton 113, 24.238
Ecusclone e Lagrange 14.01.16, 158
Een gai I
Étui de Manvel, primer
E 174, E de pe
ution de Maxwell, segundo par
185, 23, 200
Ecuaciones dl movimiento 12,23, 96
자. 10. 114. 18, 199. 16 165
Ezuiclonts de Nevten 21
Blo Doppler 218
Ee de robe imlantane 88
es principals de ea OÙ
Energia 26 97, 59, 16
Eee cela 4. 100
Energia indica 20, D, 146, 164
Energia de enduro 118
Energie de un campo 185, 191
Ener cestode In ets 102
Ent en repo. Ls
Enero intern 30
Eta tect 36 2,2, 1, 19,

Ene 中"

ial celica 시, 43, 46

270. Indice alfabético 267

Escalar tridimensional 139 impulsión genrisada 29. 157
Espacio tetradimensionas 124 Impuls Neradimensonal 147
Espacio — tiempo, 124 lee espacial 139
Encllación magnética 180. Indie Temporal 1

Indices 00006 138
Integrales del movimiento 25

tor de lor 285 Inte dat 000 06006 [59
actor geométrico nen anon magnético
Fase 58 Intervalo 125, 126
Fase de una onda 214 Inervlos cuslesaciles 127
Flujo de energía 186 Intervalos <uasilemporales 127
Flujo de impulsión 188, 243 Invarioncia de contraste 162
Flle de un campo einen 190 Envarincia de gradiente 162
El de un sector rs Invarlante adlabälica 147
Formula de Rulherlord 55 invariantes del came 172
Formula de Thomson 259 Inversion del enge 21
Fórmulas de transtormación del campo Inversion de un sistema espacial de
Rice 17 oordenadas 172
Förmulas de transtormación del campo lsstropia dd espacio 16. 31
magnético 171 Hottopia del tiempo 21

Frecuencia 58, 59
Frecuencia angular 58

Frecuencia ciales 213, Ley de Biot — Savart 208
Frecuencia circular 2 は Ley de Conlomb 191

Frecuencia de Larmor 208 Ley de Kepler segundo 40
Frecuencia de una onda 213 ey de Kepler, teen 45
Frecuencia fundamental” 217 ey ova dela aa 180
Frecuencias combinatorias. 84 Ley de lo conservacion de la cher
Frecuencias degenerados 68 Bre 11. 148, 18

Frecuencias props 67 La de contrainte impusón
Fate pue adición 256 가 are LAB, 187

Peres 2 Lap atl tac el momento
Furze centefuga 108 x

Ever de Coriolis 108 Ley de ls inercia 16

Freres de Lorente 199 ee fu Mme de velocidades 17,
Fat de sonaminlo 72 Rennen

ers elecromotre 1 ay del teanstormación dela energia
Fuerzas de totamiento 102 hated

Fuerza de reacción 101 Ley de 1 lranstormación de 1a impul
Puerca de Toramiento 102 Sin tar

Función de disipación, 13 Ley de a iranslormeción del momento

ton 113, 148, 457,

ES
Ligaduras holönomas 103
Función de Lagrange 13, 18, 20. 22, Ligaduras no holonomas 103
30, Se 3968 6. 69, BS, 106. Linea de universe 124
108, 14. 167, 177 Lam de “ona, 24
angitud propia 134
OH

Giro espacial puro 138
Grado de no 'monocromaticidad 206
Grados de libertad 11. 102 Masa 18, 19

Momento angular 33

が wentn cinético 30. 96
conal 223 Moments cuadrupoiae
Impulslôn 28, 144 Momento de impulsión 32, 34, 96

271. A NUESTROS LECTORES

AIR ee rs vig tados
los al español, ngs, francés y ara
Entre ells figura ls majors obras de
das distintas tomas de la tintin y da
teenie: manuals. para los centros de
entame superior y escuelas tecn
AS
S'médiess También se inclusen mono:
Grilla» bras de divulgación steno
Y ciencia 19000.

Dirijan sus opiniones a EDITORIAL
MIR, 7 Rizhski per. 2, Moscú 1-278,
URSS.

272. ingenioros y estudiantes
AL Volkouyski L. Problemas sobre la teoría de funcionos de
variable comple;
X Cuerásimov Yo. Curso de química física, en 2 tomos
X Bajo 10 reducción de B. Demisbvich. Problemas y
jolies do andi co 000
と Kictenik D. Problemas de geometría analítica
as

retotivides
“A Landau L., Lifshitz E. Curso abreviedo de física teórico,
on 2 libros
10. Lajtin Yu. Motalogatío y wotamientotócnico de los ne-
tates
11. Malisheu 4. y otros. Tecnologie de los meta
22 Nekrdsoo 5. Química gener
33; Pereinán Ya. Matemáticos rocroatvas
'Percimán Ya. Física recrootive, on 2 libros
Pískunoo 1. Céleulo diferencial integral, on 2 tomos
privés M. y otros. Anatomía humane, en 2 tomos
Tatérinoy Y. Anatomía y fisiología humanas
2 Tijonov 4。 Samarani A. Eoueciowes do la físico mate
mática
Friah S., Tinoreva A. Curso de física gpneral on 3 tomos
X Yavorski 8. Detlef A. Manuel de fica

273. 1. Bronshtein 1., Semendidev K. Manual de matemáticas para
ingenieros y etudiants.

2. Volhowyski£.. Problemas sort
variable compleja

3. Guerásimov Ya. Curso de química física, en 2 tomos

4 Bajo In radeccién de 8. Demiasvich, Problemas y

jercicios de análisis matemático

5. Kletenik D. Problemas de geometría analítica

6. Kostenko #, Piomeuski Lo Méquins oldetricas, on 2
tomos

7. Kurosch A. Curso de élgotra superior

8: Landau L., Rumer Yu. Qué es 10 teoría delo ralatividad

3 Londau L., Lifshits E. Curso abrovindo de física vorn,
on? litres

10, Lajtin Yu. Metalograt
tales

11. Malishev 4. y tos. Tecnología de los metals

12 Nekrdsou 8: Química general

13. Pereindn Ya. Matemáticas recreativas

14. Pereimdn Ya. Física recrestiva, en 2 libros.

15. iskunoo N. Cólculo diforenclal e integral en 2 tomes

16. Prives My 0105. Anstomie hanan on 2 10009.

17. Tatárinov Y. Anatomía y fisiología humanas

16: Tijonow A Samaraki A. Ecuacionos 00 10 físico mate
má

19. Frish S Timoreva A. Curo do física general, on 3 tomos

20. YauorehiB., Deila A. Manual de física

90110 de funciones de

y tratomionto técnico de los me-