Derivadas Parciales Regla de la Cadena (1).pdf

derivadas parciales

1. Derivadas Parciales,
Regla de la Cadena
CálculoVectorial
Tuesday, February 6, 2024

2. Temas a
tratar
Derivadas parciales de funciones de dos
variables.
Derivadas parciales de funciones de más de dos
variables.
Derivadas parciales de orden superior.
Derivadas parciales mixtas.
Regla de la cadena para una variable
independiente.
Regla de la cadena para una dos variables
independientes.

3. Derivadas
parciales de
funciones de
dos variables.
Si �=��,�, las primeras
derivadas parciales de �con
respecto a �y �son las
funciones
�
�=lim
∆�→0
??????�+∆�,�−??????�,�
∆�
�
�=lim
∆�→0
??????�,�+∆�−??????�,�
∆�
Siempre que el límite exista.

4. Formas de representar las primeras
derivadas parciales
Para �=��,�, las primeras derivadas parciales �
�y �
�se pueden escribir así:
??????
??????�
��,�=�
��,�=�
�=
??????�
??????�
??????
??????�
��,�=�
��,�=�
�=
??????�
??????�
Cuando se evalúan en un punto se pueden escribir como se ve enseguida:
ቚ
??????�
??????�
�,�
y ቚ
??????�
??????�
�,�

5. Cálculo de derivadas parciales
Ejemplo 1:
��,�=�
2
+��+�
2
−2�+2�
�
��,�=2�+�−2
�
��,�=�+2�+2
Ejemplo 2:
��,�=�ln�
�
��,�=
�
�
,�>0
�
��,�=ln�

6. Derivadas parciales de funciones de más
de dos variables
Ejemplo 1:
��,�,�=�
2
��
3
−2��
�
��,�,�=2���
3
−2�
�
��,�,�=�
2
�
3
�
��,�,�=3�
2
��
2
−2�
Ejemplo 2:
�=�
�
�
??????�
??????�
=
�
�
�
�
�
−1
??????�
??????�
=�
�
�
ln�
�
??????�
??????�
=−�
�
��
ln�
�
2

7. Derivadas parciales de orden superior.
Derivar
parcialmente dos
veces con
respecto a �.
Derivar
parcialmente dos
veces con
respecto a �.
Derivar
parcialmente
con respecto a �
y luego derivar
parcialmente
con respecto a �.
Derivar
parcialmente
con respecto a �
y luego derivar
parcialmente
con respecto a �.

8. Ejemplo de derivadas de orden
superior
��,�=�
2
+��+�
2
−2�+2�
�
��,�=2�+�−2
�
��,�=�+2�+2
�
���,�=2
�
���,�=2
�
���,�=1
�
���,�=1

9. Derivadas
parciales
mixtas.
Si �=��,�es una función de
tal manera que �
��y �
��son
continuas en un disco abierto ??????,
entonces para todo �,�∈??????,
�
���,�=�
���,�
Nota: revise el ejemplo
anterior.

10. REGLA DE LA CADENA

11. Regla de la cadena: una variable independiente
Sea �=��,�donde �es una función
derivable en términos de �y de �.
Si �=�(�)y �=ℎ(�), donde �y ℎson
funciones derivables de �, entonces �es
una función diferenciable de �, y
??????�
??????�
=
??????�
??????�
??????�
??????�
+
??????�
??????�
??????�
??????�

12. Ejemplo: Regla de la cadena: una variable independiente
Enesteejercicioharemosun análisisde cómo
vienenescritoslos ejemplosenlos librosy la
importanciade los ejemplosresuletosenel
aprendizaje.
La lecturadetalladade textostécnicoses un factor
de éxitopara nuestroscursos.
El ejemploes de Larson, Ron & Bruce Edwards
(2010). Cálculo 2 de varias variables. Novena
edición. Mc Graw Hill. China. Número clasificación
biblioteca UTADEO: 515 L329C
Use un par de minutos para leerlo individualmente.

14. Regla de la cadena: dos variables independientes
Sea�=��,�donde�esunafuncióndiferenciableen
términosde�yde�.Si�=�(�,�)y�=ℎ(�,�),sontales
quelasderivadasparcialesdeprimerorden
??????�
??????�
,
??????�
??????�
,
??????�
??????�
,
??????�
??????�
existen,entonces
??????�
??????�
,
??????�
??????�
existenyestándadaspor
??????�
??????�
=
??????�
??????�
??????�
??????�
+
??????�
??????�
??????�
??????�
y
??????�
??????�
=
??????�
??????�
??????�
??????�
+
??????�
??????�
??????�
??????�

15. Ejemplo: Regla de la cadena: dos variables
independientes
Para �=�
2
+�
2
con
�=�+�y �=�−�, hallar
??????�
??????�
y
??????�
??????�
utilizando la regla de la
cadena apropiada y evaluar
cada derivada parcial en �=1
y �=0dados.
w
x
s t
y
s t

16. Ejemplo: Regla de la cadena: dos variables
independientes
??????�
??????�
=
??????�
??????�
??????�
??????�
+
??????�
??????�
??????�
??????�
??????�
??????�
=2�1+2�1=2�+2�
=2�+�+2�−�
ቤ
??????�
??????�
1,0
=21+0+21−0=4
??????�
??????�
=
??????�
??????�
??????�
??????�
+
??????�
??????�
??????�
??????�
??????�
??????�
=2�1+2�−1=2�−2�
=2�+�−2�−�
ቚ
??????�
??????�
1,0
=21+0−21−0=0

17. Regla de la
cadena:
Derivación
implícita
Si la ecuación ??????�,�=0define
a �implícitamente como función
derivable de �, entonces
??????�
??????�
=−
??????
��,�
??????
��,�
,??????
��,�≠0

18. Bibliografía
Larson, Ron & Bruce Edwards
(2010). Cálculo 2 de varias
variables. Novena edición.
Mc Graw Hill. China. Número
clasificación biblioteca
UTADEO: 515 L329C
Stewart, James (2012).
Cálculo de varias variables.
Trascendentes tempranas.
Cengage Learning. Séptima
edición. México. Número
clasificación biblioteca
UTADEO: 515 S73CAL
George B. Thomas Jr. Cálculo
varias variables. Décimo
cuarta edición. Editorial
Pearson, Boston 2010.
Meerschaert, M (2007)
Mathematical Modeling.
Tercera edición. Elsevier.
Estados Unidos. Acceso
completo biblioteca virtual
UTADEO.

19. Sobre estas diapositivas
Han sido elaboradas por:
Sandra Patricia Barragán Moreno
Correo de contacto:
[email protected]
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