Derivadas regra da cadeia_ Técnicas de derivação

Material de aula

1. Cálculo Univariado Aplicado à Ciência, Tecnologia e Inovação Prof. Wanderley de Jesus Souza Teixeira de Freitas BAHIA UNIVERSIDADE FEDERAL DO SUL DA BAHIA Campus Paulo Freire

2. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções C ompostas e Regra da Cadeia ANÁLISES PARA FUNÇÕES COMPOSTAS Uma função é composta ou comumente denominada função de função quando nela há combinação de duas ou mais variáveis. Seja dada a seguinte função como exemplo: y= (x 4 -3x+2) 10 Tomemos as seguintes condições: Consideremos f(x ) = x 4 -3x+2. Podemos dizer também que u = x 4 -3x+2, uma vez que u será dado em função da variável x, neste caso. Então podemos chamar y = g(u) , dado por y = u 10 ou ainda, dizemos que y = g[f(x)] OBS : Esta condição nos possibilita estudar derivada de funções compostas.

3. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia REGRA DA CADEIA Consideremos duas funções deriváveis, g e f, em que y = g(u) e u = f(x ), tendo-se uma função composta de g com f (g f ). Se dy / du (a derivada de y em relação a u) e du / dx (a derivada de u em relação a x) existem, então y = g[f(x )] tem derivada dada por: y = (x 4 -3x+2) 10 f(x ) = x 4 -3x+2 u = x 4 -3x+2 y = g(u ) y = g[f(x )]  

4. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia EXEMPLOS – Calcular a derivada das funções seguintes: y = (4x 2 +5) 2 y= (5x 3 +3x 2 +x) 10 y= (-x 5 +2x) 3 (4x + 3) 4  

5. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia RESOLUÇÃO y = (4x 2 +5) 2 Sendo: u = 4x 2 +5, então y = u 2 =2u; = 8x . Vamos usar a primeira definição e substituir o valor de u . 8x = 2 ( 4x 2 +5) 8x = 16x ( 4x 2 +5) RESPOSTA: y´= 64x 3 +80x NOTA : dy / dx e y´ são formas idênticas de expressar a derivada primeira da função. O processo de cálculo das derivadas é mecânico e exige treinamento.  

6. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia RESOLUÇÃO b) y = (5x 3 +3x 2 +x) 10 Sendo: u = 5x 3 +3x 2 +x , então y = u 10 =10u 9 ; = 15x 2 +6x+1 y´ ( 15x 2 +6x+1 ) = 10 ( 5x 3 +3x 2 +x) 9 ( 15x 2 +6x+1 ) RESPOSTA: y´= 10 (5x 3 +3x 2 +x) 9 ( 15x 2 +6x+1 ) NOTA: Para o propósito de derivar as funções não é necessário desenvolver as multiplicações das funções, podendo ficar na forma como está a resposta  

7. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia RESOLUÇÃO c) y = (-x 5 +2x) 3 (4x + 3) 4 Neste caso vamos fazer a derivada de cada função [ f(x) e g(x)] e associar a regra do produto que aprendemos na aula passada, ou seja: y' = f ' (x) • g(x)+g' (x) • f(x) Sendo: f(x) = (-x 5 +2x) 3 e g(x) = ( 4x + 3) 4 Fazemos u = (- x 5 +2x) e v = 4x + 3 para derivar cada função e usar a regra do produto f ´(x) = 3 (- x 5 +2x) 2 ( -5x 4 +2) g´(x) =4 (4x + 3) 3 (4) = 16 (4x + 3) 3 Montando a expressão para y´ com base na regra do produto temos: RESPOSTA: y´ = 3 (-x 5 +2x) 2 ( -5x 4 +2 ) (4x + 3) 4 + 16 (4x + 3) 3 (-x 5 +2x) 3

8. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia RESOLUÇÃO d) Neste caso vamos fazer a derivada de cada função [ f(x) e g(x)] e associar a regra do quociente que aprendemos na aula passada, ou seja: y´ = Sendo: f(x) = (5x 3 - x) 8 e g(x) (x 3 + 2) 5 Fazemos u = 5x 3 - x e v = x 3 + 2 para derivar cada função e usar a regra do quociente   f ´(x) = 8 (5x 3 - x) 7 ( 15x 2 - 1) g´(x) =5 ( x 3 + 2 ) 4 (3x 2 ) = 15x 2 (x 3 + 2 ) 4 Montando a expressão para y´ com base na regra do quociente temos: RESPOSTA: y´ =  

9. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções Compostas e Regra da Cadeia RESOLUÇÃO e) → ou seja, podemos reescrever Neste caso vamos fazer a derivada usando a regra da potência e do quociente, ou seja: Sendo: f(x) = (t+1) e g(x) (t-1)   f ´(x) = 1 e g´(x) = 1 Usando a regra da potência e do quociente e m ontando a expressão para y´ temos: y ´ = RESPOSTA: y ´ =  

10. AULA 3 3.1 Derivadas de Funções compostas e Regra da cadeia TABELA para auxílio em derivação: Considere: u = u(x) e v = v(x) funções deriváveis e c uma constante qualquer

11. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares Funções do tipo: exponencial, logarítmica, exponencial composta, trigonométrica .

12. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares FUNÇÃO EXPONENCIAL – caso específico para variável x Consideremos: y = a x , (a > O e a ≠ 1 ) então, y'= a x ln a (a > 0 e a ≠ 1). (ln a = logaritmo na base a) EX1. y= 2 x → y ´ = 2 x ln 2 EX2. y = e x (e = número neperiano que vale 2,7182...) y´ = e x ln e = e x , pois ln e = 1. ( ln e = logaritmo na base e)

13. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares FUNÇÃO LOGARÍTMICA– caso específico para variável x Consideremos: y = log a x ( a > 0 e a ≠ 1 ), então y ' = 1/x log a e EX1. y= log 5 x → y´ = 1/x log 5 e

14. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPOSTA – caso específico para variável x Consideremos: y = u v , onde u = u (x) e v = v (x) são funções de x, deriváveis num intervalo I e, u (x) >0, então, y ' = v.u v-1 . u ' + u v . ln u .v‘ VEREMOS UM EXEMPLO ADIANTE.

15. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares Tabela de derivadas para condições gerais da variável u

16. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares EXEMPLOS – Calcular a derivada das funções seguintes:  

17. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares RESOLUÇÃO Para y = a u → y´ = u´. a u . ln a (TABELA de derivadas). Temos: u = → u´ = ; a = 2 b) Para y = e u → y´ = u´. e u (TABELA de derivadas). Temos: u = → u´ =   y´ = ( ). . ln 2   y´ =  

18. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares RESOLUÇÃO Para y = → y´ = (TABELA de derivadas). Temos: u = → u´ = 3 ; a = 4 d) Para y = u V → u = v = Para y´ = v.u v-1 .u´+ u v .ln u.v´ (TABELA de derivadas). Temos : y´ = (x 3 -5). . 6x + . ln ( ). 3x 2   y´ =   u´= 6x V´= 3x 2 y´ = (x 3 -5). . 6x + . ln ( ). 3x 2  

19. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO COSSENO TANGENTE COSSECANTE SECANTE COTANGENTE

20. 3.2 Derivadas de Funções Elementares FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Antes de vermos a tabela de derivadas de funções trigonométricas vamos entender um pouco mais sobre estas funções, cuja base é o seno e o cosseno. Assim temos as seguintes considerações para o ângulo u em que u pode ser qualquer função: Função Denominação Forma de Obtenção seno y = sen (u) Cat. oposto/hipotenusa cosseno Y = cos (u) Cat. adj /hipotenusa tangente y= tg (u) sen (u)/ cos (u) cossecante Y = cosec (u) 1/ sen (u) secante Y= sec (u) 1/ cos (u) cotangente y = cotg (u) 1/ tg (u)

21. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares Para determinação das derivadas para FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS, consideremos u como uma função e u´ como sua derivada. A solução é simples, basta usarmos a Tabela abaixo, associado às técnicas de derivação que já aprendemos.

22. AULA 3 3.2 Derivadas de Funções Elementares EXEMPLOS – Calcular a derivada das funções seguintes: a) y = sen (x 3 ) u = x 3 → u´= 3x 2 y ´= u´. cos (u) (TABELA de derivadas) b) y= 4 tg (x 3 +2x) u = x 3 + 2x → u´= 3x 2 +2 y ´= u´. sec 2 (u) (TABELA de derivadas ). Vamos usar também a regra da derivada de uma constante por uma função .   NOTA: É comum usar u ´ multiplicando a função derivada, para se evitar confundir o valor e u ´ com o ângulo da função. y ´= 4. (3x 2 +2) sec 2 (x 3 +2x) y ´= 3x 2 cos x 3