Determinan Matriks dan sifat-sifat matrik

-

1. Pengertian Determinan
Determinan dinyatakan sebagai
jumlah semua hasil kali dasar
bertanda dari matriks bujur
sangkar A.
Determinan dari sebuah matriks
bujur sangkar A, dinotasikan
dengan det(A), atau A
October 23, 2025 1
7. Determinan

2. Menentukan nilai determinan
i)Matriks berordo 2 x 2
ii)Matriks berordo 3 x 3
iii)Matriks berordo n x n

●
Dengan matriks kofaktor

●
Dengan Transformasi Baris
Elementer (TBE)
October 23, 2025 2

3. 1. Menentukan nilai determinan matriks
berordo 2 x 2
Jika A = ,
maka det(A) = = a.d – b.c
Contoh : Tentukan nilai determinan dari matriks
A =
Jawab : det (A) = 5 . 3 - (-4). 2 = 23






dc
ba
A






32
45
October 23, 2025 3

4. 2. Menentukan nilai determinan matriks
berordo 3 x 3 dengan Aturan Sarrus
Jika B =
Digunakan aturan Sarrus:
a b c a b
|A| = d e f d e
g h i g h
(-) (-) (-) (+) (+) (+)

= a.e.i + b.f.g + c.d.h – c.e.g – a.f.h – b.d.i











ihg
fed
cba










October 23, 2025 4

5. Sifat-sifat Determinan
Jika setiap elemen suatu baris atau
kolom dari suatu matriks bujur sangkar A
bernilai nol, maka det (A) = 0.
Contoh :

A = , maka det(A) = 0
B = , maka det(B) = 0










 714
000
532










014
076
032
October 23, 2025 5

6. Jika A adalah suatu matriks bujur
sangkar, maka det (A) = det (A
T
).
Contoh :
A = , maka det(A) = 26
A
T
= , maka det(A
T
) = 26










 714
410
432












744
113
402
October 23, 2025 6

7. Jika setiap elemen dari suatu baris atau kolom
pada determinan dari matriks A dikalikan
dengan suatu skalar k, maka k bisa dikeluarkan
dari tanda determinan, atau : det(kA) =
k.det(A).
Contoh :
A = , maka det(A) = 26
X = = = 78
det(X)=3.det(A)=3.26=78










 714
410
432










 714
3.43.13.0
432










 714
1230
432
October 23, 2025 7

8. Jika matriks B diperoleh dari matriks A
dengan cara mempertukarkan dua baris
atau dua kolom, maka det(B) = - det(A).
Contoh :
A = , det(A)=72
Matriks B didapat dengan
mempertukarkan baris ke 1 dan baris ke
3, sehingga

B = ,det(B)= -72










614
610
632










632
610
614
October 23, 2025 8

9. Jika dua baris atau kolom matriks A identik,
maka det(A) = 0
Dua matriks dikatakan identik , jika suatu baris
merupakan hasil kali dengan skalar k (di mana k
anggota bilangan real) dari baris yang lain, atau
suatu kolom merupakan hasil kali dengan skalar
k ( di mana k anggota bilangan real) dari kolom
yang lain.
Contoh :
A = , det(A) = 0, karena kolom ke 3,

merupakan hasil dari kolom ke 1, dikalikan
dengan skalar 2.










814
1889
1035
October 23, 2025 9

10. Jika A dan B dua matriks bujur sangkar
yang mempunyai ukuran sama, maka
det(AB) = det(A) det(B).
Contoh :
A = ,det(A) =-137


B = ,det(B) =-119

A.B = ,det(A.B)=16303=-137.-19=det(A).det(B)










634
982
1071










821
6310
942










 661916
1385093
1314582
October 23, 2025 10

11. 2. Menentukan determinan matriks n x n
dengan matriks Kofaktor
Minor dari suatu matriks bujur sangkar A
adalah harga determinan sub matriks
yang tetap, setelah menghilangkan baris
ke i dan kolom ke j. Minor dari baris ke i
dan kolom ke j, dinotasikan dengan M
ij.
Kofaktor dari suatu matriks bujur
sangkar dilambangkan dengan cij, yaitu
c
ij
= (-1)
i+j
M
ij
October 23, 2025 11

12. Contoh : A =
M
A =

C
A =












265226
146254
168733










 635
917
1042













265226
146254
168733
October 23, 2025 12

13. Terdapat 2 cara, yaitu :
Ekspansi Kofaktor sepanjang baris ke i :
det(A) = a
i1c
i1 + a
i2c
i2 + … + a
inc
in
Ekspansi Kofaktor sepanjang kolom ke j :
det(A) = a
1jc
1j + a
2jc
2j + … + a
njc
nj
October 23, 2025 13

14. 3. Menentukan determinan matriks n x n
dgn Transformasi Baris Elementer (TBE)
a) Menukarkan dua baris
Notasi = b
ij
Arti = menukarkan baris ke-i dgn baris ke-j
b) Mengalikan suatu bari dengan skalar k, k ≠ 0
Notasi = k.b
i
Arti = mengalikan setiap elemen dari
baris ke- i,dengan skalar k, k ≠ 0
October 23, 2025 14

15. c) Menambahkan baris ke- i dengan k kali baris
ke- j (k ≠ 0)
Notasi= b
ij
(k)
Arti = b
i + k b
j (Perubahan terjadi pada b
i)
Menentukan Determinan Matriks dengan TBE
Langkah :
i)Dengan menggunakan TBE, ubahlah
matriks yang ada, menjadi Matriks Segitiga
Atas/Bawah
ii)Harga determinannya adalah perkalian
antar elemen–elemen pada diagonal
utamanya
October 23, 2025 15