Didactica geometria tema 3

Las aportaciones de Piaget al campo de la geometría

1. Didáctica de la geometría
Tema 3.
Las aportaciones de Piaget
al campo de la geometría
Ignacio Carlos Maestro Cano

2. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 2
Índice
►Contextualización del tema en la asignatura
►Esquema de contenidos
►Guía de estudio
►Introducción
►Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación a la geometría
►Geometría topológica. Propuesta de actividades
►Geometría proyectiva. Propuesta de actividades
►Geometría métrica o euclídea. Propuesta de actividades
►Críticas a Piaget

3. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 3
Contextualización
Tema 1. Enseñanza y aprendizaje de la geometría
La geometría en la vida/en el mundo/en la realidad. Su importancia.
Consideraciones acerca de su enseñanza y aprendizaje (peculiaridades).
Tema 2. Desarrollo de la Geometría en el marco curricular
Currículo de infantil. Currículo de primaria. Estructura de los contenidos. Recomendaciones del NCTM.
Tema 3. Las aportaciones de Piaget al campo de la geometría
Aplicación del conocimiento de la psicología de la infancia a la didáctica de la geometría. Geometrías topológica, proyectiva y euclídea o
métrica.
Tema 4. Las aportaciones del matrimonio Van Hiele al campo de la geometría
Teoría de los niveles de razonamiento (visualización o reconocimiento, análisis, ordenación o clasificación, deducción formal y rigor).
Independientes de la edad, ¿cómo aplicar a infantil y primaria?
Tema 5. Teoría cognitiva de Duval para la enseñanza de la Geometría
Relación con la interpretación y utilización de dibujos, figuras y esquemas (visualización y razonamiento). Formas de aprehensión
(perceptiva, discursiva y operativa). Tipos de actividades geométricas (botanista, agrimensor geómetra, constructor e inventor).
Tema 6. Conocimientos espaciales y conocimientos geométricos
Consideraciones psicopedagógicas en la representación del espacio. Percepción del espacio. Tipos de espacio (micro, meso y macro).
Tema 7. Dificultades y obstáculos en enseñanza de la geometría
Importancia del uso de términos y expresiones precisas (vocabulario geométrico). Utilidad de la representación (para facilitar el acceso a
otro tipo de conocimientos no geométricos: simbolización, p. ej.).
Tema 8. Recursos y materiales
Recursos manipulativos y diseño de actividades. Uso de las TIC.

4. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 4
Esquema de contenidos

5. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 5
Guía de estudio
Bibliografía
•Canals, A. (1997). La Geometría en las primeras edades escolares. Suma, 25, 31-44.
•Chamorro, M.C. (2005). Didáctica de las matemáticas. Madrid: Pearson Prentice Hall.
•Darke, J. (1982). A review of research related to the topological primacy thesis. Educational Studies in Mathematics, 13, 119-142.
•Dasen, P. (1994). Culture and cognitive development from a Piagetian perspective. En W.J. Lonner y R.S. Malpass (Eds.), Psychology and culture.
Boston: Allyn and Bacon.
•Garrido Martos, R. (2011). Del aula universitaria al aula de infantil: una experiencia de enseñanza con dominós. Revista Padres y Maestros, 341.
•Greenfield, P.M. (1966). On culture and conservation. Studies in cognitive growth, 225-256.
•Inhelder, B., y Piaget, J. (1958). The Growth of Logical Thinking from Childhood to Adolescence: An Essay on the Construction of Formal Operational
Structures. London/New York: Routledge and Kegan Paul Ltd.
•Kapadia, R. (1974). A critical examination of Pieget-Inhelder’s view on topology. Educactional Studies in Mathematics, 5, 419-424.
•Kuhn, T.S. (1962). The Structure of Scientific Revolutions. Chicago: University of Chicago Press.
•Martin, J.L. (1976). An analysis of some of Piaget’s topological tasks from a mathematical point of view. Journal for Reseearch in Mathematics
Education, 7, 8-25.
•Papert, S. (1999). Child Psychologist Jean Piaget. Time, 29 de marzo de 1999.
•Piaget on Piaget (documental). New Haven: Yale University Media Design Studio, 1977. https://www.youtube.com/watch?v=b-VtrZ9SbxA
•Piaget, J. (1970). Genetic epistemology. New York: The Norton Library.
•Piaget, J. (1972). “Some Aspects of Operations”. En: Maria W. Piers (ed.), Play and Development: A Symposium with Contributions by Jean Piaget,
Peter H. Wolff and Others. New York: W.W. Norton & Company.
•Piaget, J. y Inhelder, B. (1947). La representation de l'espace chez l'enfance. París: PUF.
•Piaget, J., Inhelder, B. y Szeminska, A. (1948). La géométrie spontanée chez l'enfant. Paris: PUF.
•Rose, S.A., y Blank, M. (1974). The potency of context in children’s cognition: An illustration through conservation. Child development, 499-502.
•Serulnikov, A. y Suárez, R. (2003). Piaget para principiantes. Buenos Aires: Era Naciente.

6. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 6
Introducción
“Children should be able to do their own experimenting and their own research.
Teachers, of course, can guide them by providing appropriate materials, but the
essential thing is that in order for a child to understand something, he must construct it
himself, he must re-invent it. Every time we teach a child something, we keep him
from inventing it himself” (Piaget, 1972: 27).

En este sentido, podría afirmarse que aquél que desee ser maestro debe ser (¿ha de
limitarse a ser?) un creador de oportunidades de descubrir (por uno mismo, se
entiende).








Isaac Newton: “I do not know what I may appear to the world, but to myself I seem to have been only like a boy
playing on the seashore, and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than
ordinary, whilst the great ocean of truth lay all undiscovered before me” (Joseph Spence, J. (1858). Anecdotes,
Observations and Characters, of Books and Men. London: J.R. Smith, p. 40).

7. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 7
Introducción
La estimulación del proceso de desarrollo de las ideas matemáticas lleva a la
construcción del conocimiento geométrico en el niño.
Para ello, resulta imprescindible (o al menos muy conveniente) conocer las distintas
etapas por las que dicho proceso pasará. Es en este sentido en el que nos ayudarán
los aportes teóricos de Piaget.
Piaget: “el conocimiento humano es esencialmente activo”, de modo que “conocer
un objeto no significa copiarlo, significa actuar sobre él [interaccionar con él]”
(Piaget, 1970: 15).
El conocimiento no es una cosa ya hecha (terminada, agotada).
El conocimiento no es una mera copia pasiva (un modelo estático) de la realidad
[empirismo], es siempre una construcción (un proceso, por tanto). El conocimiento
es “un sistema de transformaciones [interpretaciones] que se va “adecuando” [a la
realidad] de manera progresiva” (Piaget, 1970: 15). Algo que recuerda al concepto de
paradigma científico de Kuhn (1962).
Sea más o menos acertada, la gran ventaja de semejante comprensión, centrada en
los procesos de construcción del conocimiento, es que uno no puede quedarse
“desfasado”, siempre atiende a los constantes cambios: “Lo único permanente es el
cambio” (Heráclito de Éfeso).

8. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 8
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Debido a su amplia difusión, resulta difícil abordar un estudio del proceso de
enseñanza-aprendizaje de la geometría sin hacer referencia a Piaget y su teoría de
la epistemología genética, esto es, la epistemología (la ciencia del conocimiento)
analizada desde una perspectiva “histórica” que atienda a su “génesis” o, más
precisamente, su “sociogénesis” (por proceder el considerar tal génesis como parte
consustancial de nuestra sociedad).
Su epistemología genética no se ocupa pues de lo que sea el conocimiento (tarea
de la epistemología) sino de cuál es su proceso de formación. No aborda en el
conocimiento el estudio de su situación actual (al modo de un simple “corte
transversal” de éste) sino en su (permanente) evolución (al modo de un corte
longitudinal).
La gran ventaja con la que cuentan los trabajos y teorías de Piaget es lo que
podríamos denominar el “derecho del primer ocupante”. En otras palabras, Piaget
goza y gozará siempre del respecto del pionero.
Debate: ¿Qué sabes de Piaget? ¿Qué opinión te merece su teoría?

9. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 9
Básicamente lo que hizo Piaget (junto con su colega Inhelder) fue:
1.Identificar cuáles eran las etapas por las que pasaba el proceso de adquisición
de desarrollo de los esquemas cognitivos del niño.
2.Adecuar a éstas una estructura de construcción del conocimiento
geométrico.
Con relación a estas etapas, Piaget destaca:
1. No puede pasarse a la siguiente sin haber recorrido la anterior (forman una
secuencia).
2. No señalan un desarrollo de carácter cuantitativo (no es que se incrementen
los conocimientos con relación a un aspecto) sino cualitativo (aparecen
nuevas formas de conocimiento —capacidades). No es tanto un “cuánto” sabe
el niño del mundo en cada etapa sino “cómo” lo sabe (cómo lo percibe). Los
niños no son menos inteligentes que los adultos, simplemente “piensan de
manera distinta”. Un descubrimiento “tan simple que sólo un genio pudo haber
pensado en ello” (Albert Einstein; citado en Papert, 1999).
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría

10. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
E. Sensomotora
(0-2 años)
E. preoperacional
(2-7 años)
E. de las operaciones concretas
(7-11 años)
E. lógico-formal
(11-16 años)

Inteligencia
práctica unida a
la acción.
Razonamiento intuitivo y trabajo con
símbolos y representaciones.
Razonamiento lógico y desarrollo de
operaciones aplicables (sólo) a situaciones
reales y concretas.
Razonamiento hipotético-
deductivo, generalización
mediante razonamiento inductivo y
acción reflexiva (abstracto).

Adquisición

del

lenguaje

G
.

Proyectiva

G
.

Topológica

G
.

Métrica/
euclídea

Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Las etapas en cuestión son:

11. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 11
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Etapa sensomotora
Comprensión del mundo vía ensayo-error (a través de sus sentidos y acciones).
Parafraseando a Descartes, podríamos resumir esta etapa en la sentencia:
“Me lo llevo a la boca, luego existe”
Más allá de ahí…poca cosa es el espacio. El niño, como mucho, gira la cabeza
buscando un objeto, lo sigue con la mirada, etc.
Egocentrismo extremo (incapacidad del niño para ver una situación desde el
punto de vista de otra persona).
Todo aquello que el niño haga, podría decirse que lo “inventa” (no sigue ningún
esquema preestablecido, ni lógico ni de otro tipo).
Principal logro ( 8 meses): permanencia del objeto (el niño sabe que un objeto
existe aun cuando esté oculto).

12. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 12
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Etapa preoperacional
Comienza con una tendencia a imitar (“replicar”) conductas (“habla” por teléfono, da
de comer a sus juguetes, etc.). Evidencia la existencia de un incipiente
pensamiento simbólico, así un niño en esta etapa es capaz de emplear un objeto
para representar algo más. Los niños comienzan a participar en el juego simbólico.
Fuente: Jaime Jimenez
http://eventstwo.latinolife.com/imageness-details.php?iid=12)

13. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 13
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Etapa preoperacional
Permanece un marcado egocentrismo. Juegan junto a otros niños más no con
ellos. No son capaces de jugar ateniéndose a unas reglas. A lo largo de esta etapa,
el egocentrismo irá en disminución.
El niño se maneja en el uso de un objeto (Bobby), pero no llega al concepto de
clase (perro). Ello conecta con que se trata de una etapa caracterizada por la
repetición continua de preguntas: “¿Por qué?...¿Por qué?...”.
Progresivamente se aprecia un acercamiento al concepto de operación (acción
interiorizada) y que normalmente relacionamos con lo que comúnmente llamamos
“pensamiento”, si bien se trata de un pensamiento meramente intuitivo.
Este pensamiento se centra en los estados (actuales), no así en las
transformaciones: sus juicios se limitan a los objetos tal y como se encuentran
“ahora”.
Como consecuencia, el pensamiento es “irreversible” (el niño no es capaz de
apreciar que bastaría una transformación inversa para devolver a la materia a su
estado original). Esta reversibilidad constituye un aspecto crucial del pensamiento
lógico (operativo) para el paso a las etapas posteriores.

14. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 14
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Etapa preoperacional
En el ámbito de la geometría: el niño sólo es capaz de establecer relaciones por
parejas, pero no en grupos mayores.
Interpretación (percepción) del espacio (se le insiste al niño
en que los palitos forman como “escaleras”). Fuente: Piaget
on Piaget (documental).
https://www.youtube.com/watch?v=b-VtrZ9SbxA
No existe el concepto de “conservación de la materia”.
Fuente: Serulnikov, A. y Suárez, R. (2003). Piaget para
principiantes. Buenos Aires: Era Naciente (p. 157).

15. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 15
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Etapa de las operaciones concretas
Surge un pensamiento organizado y racional, desarrollándose el pensamiento
semi-lógico u operativo (de acuerdo a reglas). El niño ya “opera” (piensa), pero
sólo si los objetos están físicamente presentes (con objetos concretos).
Esta forma de usar la razón depende todavía mucho del método de “ensayo-error”,
pero se vislumbra ya un método. En ocasiones, puede incluso comenzar a
“deducir” cosas (esto es, interpretarlas sin estar presentes), pero muestra
limitaciones con los conceptos abstractos e hipotéticos.
El niño ya es capaz de realizar clasificaciones (percibir las cualidades que
caracterizan un tipo de objeto en general). Ello le permite agrupar y jerarquizar
objetos de acuerdo con alguna propiedad que comparten (tarea palitos y botones).
El niño adquiere el concepto de reversibilidad y de conservación de la materia
(es capaz de comprender que la cantidad de plastilina es la misma
independientemente de su forma y de manera análoga con el volumen de un líquido
o la cantidad de fichas.

16. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 16
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Etapa de las operaciones concretas
El pensamiento ya no es egocéntrico, siendo el niño ya capaz de ver más allá de
su propio punto de vista (problema de las tres montañas).
8
æ
Debate: Visualizar Piaget on Piaget. ¿Impresiones?

17. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 17
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Etapa lógico-formal
El niño aborda los problemas de manera sistemática y organizada, antes que a
través de un mero “ensayo-error” (tarea del péndulo Inhelder y Piaget, 1958).
Mayor desarrollo del pensamiento lógico u operativo. El niño puede ya pensar de
manera abstracta (manipulando ideas en su mente). Puede operar con lo no
inmediato o concreto, con datos meramente posibles.
Ejemplo: “Si Pedro es más alto que Juan y Juan es más alto que Luis, ¿quién es el más alto?”
Esta generalización permite el empleo de dicho conocimiento en futuras
repeticiones de un problema, posibilitando la predicción y la planificación.
Este acercamiento a “lo abstracto” (y, con ello, a lo “trascendental”) anticipa las
complicaciones de la adolescencia.
El “drama” de la adolescencia.
Fuente: SpeedKingz/Shutterstock.

18. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 18
Breve síntesis de la teoría de Piaget y su aportación
a la geometría
Las tres geometrías de Piaget
En consonancia con estas etapas, Piaget define tres tipos de “geometría” (marcos
conceptuales de comprensión de la realidad), según sea la construcción de la
representación del espacio y a las que el niño va llegando de modo progresivo:
Geometría topológica (2 - 4 años).
Geometría proyectiva (4/5 años - 7 años).
Geometría métrica o euclídea (a partir de los 7 años). s. I
s. XVII
s. XIX
Piaget llama la atención sobre el hecho de que, pese a la cronología de formación de
estas disciplinas (partiendo de la geometría para, sólo mucho más tarde y
notablemente desarrollada la matemática, abordar la topología), en el desarrollo del
niño parece suceder justo lo contrario. En él aparece primeramente lo “topológico”
para, sólo más tarde, acceder a lo “geométrico”.

19. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 19
Geometría topológica
Piaget considera que la vertiente de la geometría más primitiva o intuitiva (y por
tanto, la primera que se alcanza) es la que asociamos con la topología.
Topología: estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que no
varían por deformación (tras ser sometidos a una transformación continua, esto
es, sin “roturas” en su superficie). Símil: geometría de los objetos de goma.
Toma en consideración las propiedades globales de un objeto geométrico
independientemente de su forma y (casi podría decirse) de ¡su geometría”!.
No le interesan longitud, distancia, escala, coordenadas, etc., sólo la posición
relativa (analysis situs), a través de conceptos como proximidad, conectividad,
contigüidad o compacidad.
Fuente: Topology joke
(https://www.youtube.com/watch?time_continue=1&v=9NlqYr6-TpA).

20. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 20
Geometría topológica
De este modo, algunos de los invariantes o rasgos atendidos por esta geometría
son:
 Línea continua o línea discontinua.
 Interior, exterior, borde o frontera de una figura.
 Línea abierta o línea cerrada.
 Figuras conexas o figuras inconexas.
Distinta geometría/
Comparten idéntica topología
Distinta geometría/
Comparten idéntica topología
Distinta geometría/
Comparten idéntica topología

21. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 21
Geometría topológica
De acuerdo con esta teoría, el niño todavía no distingue un círculo de un
triángulo (ambos son cuerpos compactos, esto es, no huecos, nada más), pero sí
distingue entre dentro y fuera, abierto/cerrado, etc.

















Por otro lado, las únicas relaciones que el niño percibe son internas a cada
figura, sin entrar a analizar la posible relación de unas figuras con otras: “No hay
todavía un espacio total que englobe a todas las figuras” (Piaget y Inhelder, 1947: 179).

Iguales
Iguales
Distintos
Distintos

22. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 22
Geometría topológica
Si estas apreciaciones acerca de la percepción del niño según la edad son
correctas, lógicamente las actividades en el aula (situaciones de aula) en cada
etapa han de centrarse en este tipo de nociones que el niño ya puede percibir para
ayudarle a su interiorización. Por ejemplo, con las siguientes actividades:
Educación Infantil Educación Primaria
Dominó
topológico
Las piezas muestran las invariantes propias de la
topología (abierto/cerrado, continuo/discontinuos,
conexo/inconexo…). Dos fichas podrán
“encadenarse” si, y sólo si, son topológicamente
equivalentes: dos líneas abiertas, el mismo número
de bloques compactos, etc.
Para aumentar la dificultad con respecto a
Infantil, las fichas incorporarán
representaciones con un grado mayor de
complejidad. Por ejemplo: posibilidad de
dibujar la figura de un solo trazo (sin levantar el
lápiz y pasando una sola vez por cada sitio).
Construcciones
Con varillas, depresores, palillos o algún material
específico de construcción, los alumnos deben
reconocer figuras o cuerpos que sean
topológicamente equivalentes (mismo número de
conexiones, que compartan un lado, dos lados, etc.).
Ahora, con el mismo tipo de material, los
alumnos deberán construir dichas figuras o
cuerpos topológicamente equivalentes.
Laberintos y
circuitos
Resulta interesante la utilización de materiales que
permiten diseñar circuitos y laberintos, de modo
que los alumnos reconozcan aquellos que
presentan características topológicas equivalentes
(conexión, vecindad, continuidad, abierto y cerrado,
etc.) e incluso que construyan alguno a partir de un
modelo dado.
Ahora los alumnos deberán ser capaces de, a
partir de una descripción escrita o verbal de
las propiedades topológicas de un circuito o
laberinto, construir uno equivalente.

23. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 23
Geometría topológica
Dominó
topológico
Construcciones
Laberintos y
circuitos
Ejemplo con 4 invariantes:
1.Línea abierta.
2.Línea cerrada.
3.1 agujero.
4.2 bloques compactos.
Surgen así las siguientes
combinaciones (con repetición) de n =
4 fichas tomadas en grupos de r = 2
(CR
4,2): 10
! 3!2
! 5
! )1(!
! )1(
, 





nr
rn
CR
rn
Fuente: Garrido (2011).
Fuente: Juan García Moreno (http://www.didactmaticprimaria.com/)

24. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Geometría proyectiva
La pérdida del egocentrismo (problema de las tres montañas), se producía al llegar
la etapa de las operaciones concretas (7 años), mientras que el acceso a la
geometría proyectiva podía producirse un poco antes (4-5 años). Lo cierto es que
los fundamentos de la geometría proyectiva implican la capacidad de situarse
mentalmente en un punto de vista distinto del propio. En otras palabras,
suponen la capacidad del niño para predecir qué aspecto presentará un objeto al
ser visto desde diversos ángulos (descentración).
Un rasgo fundamental del paso de la geometría topológica a la proyectiva lo
constituye el hecho de que se pasa de considerar los objetos de manera aislada
a considerarlos con relación a otros y al propio punto de vista (pero todavía
como mera ordenación, esto es, sin métrica alguna).

Interpretación del espacio antes de la geometría métrica.
Incluso trabajando sobre cuerdas que el niño sabe de la
misma longitud. Fuente: Piaget on Piaget (documental).
https://www.youtube.com/watch?v=b-VtrZ9SbxA
24

25. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 25
Geometría proyectiva
Ejes de referencia
Fuente: Gómez García, M. (UAM).
https://www.uam.es/personal_pdi/stmaria/megome/cursos/Matemat/apuntes/2_Geometria.pdf
Esta aparición del vínculo (situacional) de unos elementos con otros en el espacio
pasa por la adquisición intuitiva del ordenamiento en tres dimensiones (el
establecimiento y consideración unos embrionarios ejes cartesianos).
25
x
y
z

26. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 26
Geometría proyectiva
“Guernica” de Pablo Picasso (1937).
La geometría proyectiva implica la capacidad de situarse mentalmente en un
punto de vista distinto del propio y predecir qué aspecto presentará un objeto al
ser visto desde diversos ángulos.
Sobre la base de dicha geometría (el rayo proyector), debiera surgir la conciencia
de que una cara de perfil sólo presentará un ojo visible.

27. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 27
Geometría proyectiva
En el niño, bajo la geometría topológica, el concepto de “línea” no incluye aún el de
línea recta. La “rectitud” no constituía un invariante (una línea curva y una recta
abiertas eran equivalentes). En la geometría proyectiva sí (las líneas rectas siguen
mostrando un aspecto rectilíneo independientemente del punto de vista adoptado).
La noción de proyección o espacio proyectivo (geometría proyectiva) presupone la
asimilación del concepto de línea recta (visual o rayo proyector: colinealidad).

28. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 28
Geometría proyectiva
¿Qué clase de percepción surge en el niño bajo esta geometría? Baste considerar
los cambios de forma (transformaciones) que tienen lugar cuando se proyecta la
sombra de un objeto (aparece una forma diferente a la del propio objeto) o este es
visto bajo distintos puntos de vista.
Kinder kapers (blog)
http://merrykinderkapers.blogspot.com.es/2013/02/groundhog-shadows.html

29. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 29
Geometría proyectiva
Si en la geometría topológica las relaciones (posiciones y orientaciones) no eran tenidas
en cuenta, en la geometría proyectiva (y más tarde en la euclídea) sucede justo lo contrario,
sobre ellas recae el peso.
De acuerdo con esto, los invariantes o rasgos básicos de la geometría proyectiva serán:
 Encima y debajo.
 Sobre y bajo.
 Delante y detrás.
 Izquierda y derecha.
 Enfrente.
 Entre.
 Al lado.
Delante
Izquierda
Derecha
Detrás Entre
Zonas en que resulta dividido el espacio de acuerdo con la geometría proyectiva.

30. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 30
Geometría proyectiva
Educación Infantil
Memory
Mediante el clásico juego de buscar parejas podemos
trabajar nociones de la geometría proyectiva (la carta de
arriba, la de la derecha, etc.). Resulta interesante el
colocar las cartas según distintos patrones (no siempre en
forma de cuadrado o rectángulo) para que el trabajo con
los invariantes proyectivos se vea reforzado.
Twister
Este juego ayuda al alumno a interiorizar conceptos
proyectivos teniendo que ubicar su propio cuerpo en el
espacio según las indicaciones dadas.
Planos y mapas
Desplazarse siguiendo las indicaciones dadas a través
de un mapa o elaborar mapas sencillos que permitan a
un compañero encontrar un tesoro, por ejemplo.

31. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 31
Geometría proyectiva
Educación Primaria
Memory
En primaria, podemos jugar también con el contenido
de las cartas, buscando emparejar representaciones
proyectivamente equivalentes.
Hundir barcos
Este juego constituye una aproximación al trabajo sobre
coordenadas cartesianas y, por tanto, a las nociones de
ubicación y colocación en el espacio.
Construcción de
maquetas o
reproducir un
cuadro
Construir una maqueta requiere ubicar cada elemento
según está dispuesto en la realidad, manteniendo o
cambiando la orientación. Del mismo, la reproducción de
un cuadro o el plasmar la realidad en un sencillo plano,
requiere la puesta en funcionamiento de los invariantes
proyectivos.

Debate: ¿Otras alternativas para “practicar” la geometría proyectiva?

32. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Geometría métrica
Hasta aquí, para el niño no hubo métrica como tal (longitudes, ángulos, etc.),
sino una mera ordenación (largo/corto, antes/después, mayor/menor, etc.). El niño
ordenaba (como quien establece un ránking, al modo de rudimentario patrón —que
todavía no es el de la propia unidad métrica—), pero no medía.
Medición espontánea: El niño ya es capaz de reproducir una construcción con
bloques de determinada altura sobre una mesa de altura distinta a la que sustenta
el modelo (Piaget, Inhelder y Szeminska, 1948).
También es capaz de distinguir un trapecio de un rectángulo basándose en los
ángulos y en las longitudes de los lados (nótese que, desde el punto de vista
proyectivo, ambas figuras eran equivalentes, puesto que la superficie rectangular de
una mesa, bajo ciertos ángulos, podía ofrecer un aspecto trapezoidal).
El niño aplica ahora al espacio una “retícula” o “patrón” de fondo (el eje coordenado)
compuesta por entidades de idéntico tamaño (unidades métricas), lo que posibilita
la definición y empleo de lo que conocemos como sistema de coordenadas
cartesianas.
32

33. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Geometría métrica
Si en la etapa anterior ya se tenían en cuenta las posiciones y la orientación de las
figuras sin “ir más allá” (sin entrar a considerar distancias ni ángulos), en la
geometría métrica ya comienza a hacerse referencia a la propia medida. Por ello
los invariantes pasan a ser:
 Triángulo equilátero, isósceles, escaleno, acutángulo, obtusángulo y recto.
 Cuadrado, rectángulo, trapecio y rombo.
 Circunferencia.
 Paralelo y perpendicular.
 Ángulo obtuso, agudo, llano, completo y recto.
 Medida de segmentos, superficie y volumen.
La vida sin métrica (Serulnikov y Suárez, 2003).
33

34. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 34
Geometría métrica
Educación Infantil
La bolsa opaca
El trabajar con figuras como triángulos equiláteros,
isósceles y escalenos, círculos, cuadrados y rectángulos
dentro de una bolsa opaca permite a los alumnos clasificar
las figuras en función de la longitud y número de sus
lados.
Geoplano
El construir figuras con las gomas, para pasar de un
triángulo a un cuadrado o de un cuadrado a dos triángulos,
para construir distintos tipos de triángulo y
cuadriláteros, es una manera manipulativa de
interiorizar estas nociones métricas a partir de la
manipulación.
Cuerdas y
regletas
Construir polígonos básicos a partir de materiales flexibles
(regletas de Cuisenaire) y rígidos (depresores, palillos…)
de manera que los lados tengan una determinada
medida, tomando como unidad de medida los trozos de
cuerda (todos de la misma longitud) o la regleta de una
determinada longitud.

35. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 35
Geometría métrica
Educación Primaria
La bolsa opaca
El proporcionar una bolsa opaca con polígonos
regulares, irregulares, cóncavos, convexos, triángulos
equiláteros, isósceles y escalenos, círculos,
cuadrados, rombos, trapecios y rectángulos, permite a
los alumnos clasificar las figuras en función de la longitud
de sus lados y número de lados.
Tangram
El construir figuras con mismo perímetro y distinta
superficie o misma superficie y distinto perímetro da
lugar a un trabajo de geometría métrica muy significativo
desde el punto de vista del aprendizaje.
Desarrollos
planos
Diseñar y construir el desarrollo plano de ciertos
cuerpos básicos de modo que al formarlos tengan el
volumen pedido, permite establecer una conexión entre la
medida de segmentos, superficie y volumen.
Debate: ¿Otras alternativas para “practicar” la geometría métrica?

36. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano
Críticas a Piaget
Errores en la estimación de edades: sobreestima el acceso a la fase lógico-formal, infravalora el
desarrollo de los niños más pequeños (Weiten, 1992; Bower, 1982; Harris, 1983).
La etapa preoperacional es menos egocéntrica de lo descrito por Piaget.
Errores de procedimiento. Piaget no ofrece evidencias sustanciales (científicas y
determinantes) con relación a la supuesta disparidad cualitativa existente en la capacidad
cognitiva de niños de etapas distintas (Gray, 1994).
Metodología no científica: falta de control, muestras demasiado pequeñas, ausencia total de un
análisis estadístico, etc. (Edwards et al., 2000; Rose y Blank, 1974).
El desarrollo cognitivo del niño es tan progresivo (lento) que cabe preguntarse si tiene
sentido identificar “saltos” en éste (cambios de etapa).
Extraordinaria variabilidad en el desarrollo de unos niños con respecto a otros.
Piaget considera la manipulación física de los objetos como algo decisivo en la adquisición de
unas habilidades que, sin embargo, niños con discapacidades severas (invidentes, parálisis…)
consiguen de manera bastante “normal”.
Ignora los efectos del entorno cultural: niños de culturas distintas logran alcanzar cada una de
las etapas a edades diferentes según el contexto cultural (Dasen, 1994) o la escolarización
(Greenfield, 1966).
Falta de rigor y precisión en el uso de términos “topológico”, “euclídeo”, por ejemplo. Todas
las figuras poseen cualidades tanto topológicas como euclídeas, no teniendo sentido hablar de
una figura “euclídea” u otra “topológica” per se (Darke, 1982; Kapadia, 1974; Martin, 1976).
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37. Didáctica de la geometría – Ignacio C. Maestro Cano 37
A modo de epílogo…
Fuente: Piaget on Piaget (documental). https://www.youtube.com/watch?v=b-VtrZ9SbxA
Con su “peculiar” percepción del espacio, el suizo Piaget aseguraba: “Perdería más
tiempo ordenándolo que buscando lo que quiero encontrar”.

38. www.unir.net
MUCHAS GRACIAS