Drilling soal - pembahasan teori peluang untuk SMA

pembahasan 30 soal teori peluang untuk kelas 10-12 sma, mencakup kaidah pencacahan peluang bersyarat, gabungan dua buah peluang, dan binomial newton

1. DRILLING SOAL Pertemuan 03 - Peluang

2. Target Pembelajaran "Ayo capai target belajar ini bersama tutor Hamasah Privat!"

3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari kota B ke kota C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah … 12 36 72 96 144 01

4. B A C B A C Pergi Pulang 3 cara n1 = banyak cara pergi = 4 cara x 3 cara = 12 cara 4 cara 4 – 1 = 3 cara 3 – 1 = 2 cara n2 = banyak cara pulang = 3 cara x 2 cara = 6 cara Banyak cara bepergian adalah 72 cara Jalan pergi jalan pulang   01 nTotal = 12 x 6 = 72 cara

5. Dalam suatu acara yang dihadiri keluarga P yang terdiri dari 6 orang dan keluarga Q yang terdiri dari 8 orang. Jika antara anggota kedua keluarga saling berjabat tangan, maka banyak jabat tangan yang terjadi antara mereka adalah … 14 24 36 48 72 02

6. Banyak cara jabat tangan adalah 48 cara 02 6 anggota 8 anggota Keluarga P Keluarga Q Jabat tangan dilakukan antar 2 anggota berbeda keluarga dengan tidak memperhatika urutan nTotal = 6 x 8 = 48 cara

7. Dari 5 orang calon pengurus akan dipilih seorang ketua, seorang wakil ketua, dan seorang bendahara. Banyaknya susunan pengurus yang mungkin adalah … 10 15 20 60 125 03

8. Banyak susunan pengurus adalah 125 03 Bisa berkonotasi pada 2 kemungkinan, yaitu BOLEH dan TIDAK BOLEH rangkap jabatan Tidak disebutkan secara eksplisit bahwa boleh atau tidaknya rangkap jabatan = anggap rangkap jabatan adalah diperbolehkan CALON PENGURUS KETUA WAKIL KETUA BENDAHARA 5P1 = 5 Boleh rangkap jabatan: 5P1 = 5 3P1 = 3 Banyak cara susunan = 5 x 5 x 5 = 125 CALON PENGURUS Tidak boleh rangkap jabatan: KETUA 5P1 = 5 WAKIL KETUA 4P1 = 4 BENDAHARA Banyak cara susunan = 5 x 4 x 3 = 60

9. Rumah di jalan Veteran dinomori secara urut mulai 1 sampai dengan 150. Berapa banyak rumah yang nomornya menggunakan angka 7 sekurang-kurangnya satu kali? 14 15 21 24 30 04

10. Banyak rumah dengan nomor rumah mengandung angka 7 ada 24 rumah 04 Banyak angka 7 pada nomor 1 digit   n1 = 1 Banyak angka 7 pada nomor 2 digit     n2 = 10 n3 = 8 1 - 9 10 - 99 100 - 150 Banyak angka 7 pada nomor 3 digit   n4 = 5 nTotal = n1 + n2 + n3 + n4 = 1 + 10 + 8 + 5 = 24

11. Nilai n yang memenuhi persamaan / (n-1)! = 6n adalah… 1 2 3 4 5   05

12. Didapat nilai n yang memenuhi adalah 1 05 n! = n x (n-1) x (n-2) x … x 3 x 2 x 1       n 2 + 3n + 2   n 2 + 3n – 4     Didapat n = -4 (tidak memenuhi) dan n = 1

13. Selesai pertandingan tim basket SMA yang terdiri dari 5 orang akan berfoto bersama pelatih. Banyak cara mereka dapat berfoto bersama jika posisi pelatih berada di paling kiri atau paling kanan adalah ... cara. 10 20 60 120 240 06

14. Banyak cara terjadi adalah 240 cara 06 Pelatih paling KIRI Pelatih paling KANAN 1 1 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1 n1 = 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 n2 = 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x1 = 120 Pelatih berpose di ujung nTotal = n1 + n2 = 240

15. Tiga pasang suami istri duduk berdampingan pada satu baris. Jika setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan, maka banyak cara mereka duduk adalah... 6 12 18 24 48 07

16. Banyak susunan duduk adalah 48 cara 07 sewarna = pasangan suami-istri Kumpulan objek dalam lingkaran dianggap 1 objek besar A B C Banyak cara Menyusun objek A, B, C adalah 3! = 6 Objek Dalam setiap lingkaran dapat bertukar posisi sebanyak 2! 3! 2! 2! 2! Banyak cara susunan duduk adalah 2! x 2! x 2! x 3! = 48 cara

17. Banyaknya cara untuk menempatkan 3 anak laki-laki dan 2 anak perempuan duduk berjajar tanpa membedakan tiap anak adalah ... cara. 24 18 16 15 10 08

18. Banyak susunan duduk adalah 10 cara 08 kursi 3 unsur yang sama 5 kursi tersedia 2 unsur yang sama Urutan diperhatikan = permutasi dari unsur yang sama Banyak susunan = = = 10  

19. Kode kupon hadiah untuk belanja pada suatu toko swalayan berbentuk bilangan yang disusun dari angka 1, 3, 3, 5, 7. Jika kupon-kupon tersebut disusun berdasarkan kodenya mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar, maka kupon dengan kode 53137 berada pada urutan ke... 52 40 39 24 20 09

20. Nomor kupon 53137 ada di urutan ke-40 09 Kupon dengan nomor awalan 1xxxx 1! = 1 11w 1 x x x x 3 3 5 7   Kupon dengan nomor awalan 3xxxx 1! = 1 11w 3 x x x x 1 3 5 7 4! = 24 Banyak nomor kupon dengan awalan 1xxxx = 1 x 12 = 12 Banyak nomor kupon dengan awalan 3xxxx = 1 x 24 = 24 Kupon dengan nomor awalan 51xxx 11w 5 1 x x x 1! = 1 1! = 1 3 3 7   Banyak nomor kupon dengan awalan 51xxx = 1 x 1 x 3 = 3 11w 5 1 7 3 3 Urutan ke 12 + 24 + 3 = 39 11w 5 3 1 3 7 Urutan ke 39 + 1 = 40

21. Dalam suatu ruang tunggu tersedia hanya 3 kursi, bila di ruang tunggu tersebut ada 20 orang maka banyaknya cara mereka duduk berdampingan adalah ... cara. 6840 2280 1400 1140 684 10

22. Banyak cara duduk ada 6840 cara 10 diperhatikan urutan = permutasi r dari n elemen 11w x x x 20 orang 3 kursi berdampingan n = 20P3 = = = 20 x 19 x 18 = 6840  

23. A dan B pergi menonton konser musik di suatu stadion yang mempunyai 8 pintu. Mereka masuk dari pintu yang sama, tetapi keluar dari pintu yang berbeda. Banyaknya cara yang dapat mereka lakukan adalah ... 28 224 448 484 896 11

24. Masuk Keluar Banyak cara masuk = 8P1 = 8 cara A Banyak cara keluar = 8P2 = 8 x 7 = 56 cara Banyak cara masuk dan keluar adalah 448 cara masuk dihitung 1 objek, keluar dihitung berlainan objek 11 B A B 1 2 3 4 5 6 7 8 Banyak cara masuk dan keluar = 8 x 56 = 448 cara A dan B tidak boleh melalui jalan keluar yang sama A dan B melalui jalan masuk yang sama

25. Banyaknya bilangan ganjil yang terdiri dari 3 angka yang disusun 2, 3, 4, 6, 7, dan 8 tanpa ada pengulangan adalah… 24 28 40 60 120 12

26. Banyak angka ganjil tiga digit yang dapat dibentuk adalah 40 cara 12 11w x x 3 Bilangan digit tiga angka dengan satuan 3 n1 = 5 x 4 x 1 = 20 cara 2 7 angka ganjil,tidak boleh berulang 3 4 8 6 11w x x 7 Bilangan digit tiga angka dengan satuan 7 5 4 1 5 4 1 n2 = 5 x 4 x 1 = 20 cara nTotal = n1 + n2 = 40 cara

27. Akan dibuat nomor-nomor undian yang terdiri atas satu huruf dan diikuti dua buah angka yang berbeda dan angka kedua adalah bilangan genap. Banyaknya nomor undian ada... 1160 1165 1170 1180 1185 13

28. Banyak nomor undian yang dapat dibentuk adalah 1170 cara 13 x digit huruf nTotal = 26 x 5 x 9 = 1170 cara angka tidak boleh berulang 26 x x digit angka genap digit angka 5 10 – 1 = 9

29. Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri dari 4 anak kelas I, 5 anak kelas II, dan 6 anak kelas III. Kemudian akan ditentukan pimpinan yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris. Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya kemungkinan susunan pimpinan adalah... 156 492 546 600 720 14

30. Banyak susunan kepengurusan yang dapat dibentuk adalah 492 cara 14 Ketua dari kelas II Kelas calon ketua > kelas calon jabatan lainnya Wakil & Sekretaris dari kelas I Ketua = 5P1 = 5 I II III Jabatan lain = 4P2 = 12 n1 = 5 x 12 = 60 cara Ketua dari kelas III Wakil & Sekretaris dari kelas I dan kelas II Ketua = 6P1 = 6 Jabatan lain = (4+5)P2 = 72 n2 = 6 x 72 = 432 cara nTotal = n1 + n2 = 60 + 432 = 492 cara n1 = kondisi 1 n2 = kondisi 2

31. Dalam suatu rapat yang dihadiri oleh 5 peserta yang duduk melingkar, banyak cara mereka duduk dengan urutan berbeda adalah … cara. 4 8 16 20 24 15

32. Banyak cara mereka duduk adalah 24 cara 15 Urutan diperhatikan = permutasi siklik nTotal = (n-1)! = (5-1)! = 4! = 24

33. Enam kursi melingkari sebuah meja. Kursi tersebut akan diduduki oleh 5 anak terdiri dari 2 laki-laki dan 3 Perempuan. Jika kursi yang kosong diapit oleh anak laki-laki dan anak Perempuan, maka banyaknya susunan cara duduk adalah … 648 564 432 288 216 16

34. 16 Kursi kosong tempat duduk laki-laki x tempat duduk perempuan Urutan pertukaran tempat duduk segender tidak diperhatikan = kombinasi Urutan pertukaran tempat duduk dalam objek yang sama = kombinasi Kursi kosong dan dua kursi yang diduduki dibuat menjadi satu objek 1 2 3 4 Ada total 4 objek utama yang dibicarakan Urutan pengisian tempat duduk diperhatikan = permutasi siklik

35. Banyak cara mereka duduk adalah 432 cara 16 n1 = banyaknya susunan siklik dari objek yang dibicarakan = (4 – 1)! = 3! = 6 n2 = posisi laki-laki dan Perempuan yang harus mengapit bangku kosong dapat bertukar = 2C1 = 2 n3 = posisi laki-laki yang mengapit bangku kosong dapat bergantian dengan laki-laki yang lain = 2C1 = 2 n4 = posisi perempuan yang mengapit bangku kosong dapat bergantian dengan laki-laki yang lain = 3C1 = 3 n5 = posisi bangku kosong yang dapat diapit bisa bergantian = 6 nTotal = 6 x 2 x 2 x 3 x 6 = 432 cara

36. Dari 10 orang finalis suatu lomba kecantikan, akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut adalah …. 70 80 120 360 720 17

37. Banyak cara pemilihan finalis adalah 120 cara 17 11w x x x slot finalis n = 10C3 = = = = 120   Urutan tidak diperhatikan, tidak ada status = kombinasi

38. Enam orang bepergian dengan dua mobil milik dua orang di antara mereka. Masing-masing mobil dikemudikan oleh pemiliknya dan kapasitas mobil masing-masing adalah 4 orang termasuk pengemudi. Banyak cara menyusun penumpang di kedua mobil tersebut adalah … 10 14 24 54 96 18

39. Banyak cara duduk di mobil adalah 14 cara 18 A misal: n = 4C3 x 1C1 + 4C2 x 2C2 + 4C1 x 3C3 = x 1 + x 1 + x 1 = + + = 4 + 6 + 4 = 14   A = pengemudi mobil I B = pengemudi mobil II B 3 1 Kapasitas maksimal mobil 4 orang 2 2 3 1 4 C 3 4 C 2 4 C 1 1 C 1 2 C 2 3 C 3

40. Lima pasang suami istri pergi ke suatu pesta pernikahan dengan menumpang 2 buah mobil yang masing-masing dengan kapasitas 6 orang. Jika setiap pasang harus naik pada mobil yang sama, maka banyaknya cara pengaturan penumpang kedua buah mobil tersebut adalah … 12 14 16 20 24 19

41. Banyak cara duduk di mobil adalah 20 cara 19 n = 5C3 x 2C2 + 5C2 x 3C3 = x 1 + x 1 = 10 x 1 + 10 x 1 = 20   Kapasitas maksimal 6 orang per mobil Pasangan suami-istri harus 1 mobil Pengaturan terbaik adalah menempatkan 3 pasutri di 1 mobil dan 2 pasutri di mobil lainnya 2 orang masing-masing suami istri dianggap satu objek, maka pada mobil pertama ada 3 objek yang dibicarakan dan mobil kedua ada 2 objek yang dibicarakan

42. Seorang murid diminta mengerjakan 8 dari 10 soal ulangan, tetapi nomor 1 sampai nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang diambil murid tersebut adalah … 3 5 6 8 10 20

43. Banyak plilihan pengerjaan soal adalah 10 pilihan 20 5 soal pertama wajib dikerjakan 5 soal sisa 5C5 5C3 n = 5C5 x 5C3 = 1 x = 1 x 10 = 10   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Sisa soal yang wajib dikerjakan adalah 8 – 5 = 3 soal

44. Suatu tim bulutangkis terdiri dari 10 orang putra dan 5 orang putri. Dari tim ini akan dibuat pasangan ganda, baik ganda putra, ganda putri, maupun ganda campuran. Banyak pasangan ganda yang dapat dibuat adalah... 45 50 55 95 105 21

45. Banyak cara penyusunan tim adalah 105 cara 21 Ganda Putra Ganda Putri Ganda Campuran Banyak pemilihan ganda putra : n1 = 10C2 = = 45   Banyak pemilihan ganda putri : n2 = 5C2 = = 10   Banyak pemilihan ganda campuran : n3 = 10C1 x 5C1 = x = 10 x 5 = 50   nTotal = n1 + n2 + n3 = 105 cara

46. Linda memiliki delapan teman akrab. Dia ingin mengundang tiga dari delapan temannya untuk diajak makan bersama. Tetapi dua di antara mereka adalah pasangan suami istri. Kedua suami istri diundang atau keduanya tidak diundang. Banyak kemungkinan cara 1 Linda mengundang temannya adalah … 18 20 22 24 26 22

47. Banyak cara mengundang temannya ada 26 cara 22 Kasus 1 : pasangan suami-istri diundang , berarti Linda hanya perlu mengundang 1 orang lagi n1 = 6C1 = = 6   nTotal = n1 + n2 = 26 cara Pasangan suami-istri dianggap 1 objek Kasus 2 : pasangan suami-istri tidak diundang , berarti Linda perlu mengundang 3 orang lagi n2 = 6C3 = = 20   Objek yang dibicarakan = 8 – 1 = 7

48. Dua dadu dilemparkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah … 6/36 5/36 4/36 3/36 1/36 23

49. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah 1/36 23 P( ) = n( / n(s) = 1/36   Mata dadu 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 … … 6 5 6 6 Mata dadu 2 n(s) = 36 Misal: A = peluang muncul mata dadu pertama 3 B = peluang muncul mata dadu kedua 5 A = { (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5). (3, 6) } B = { (1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5). (6, 6) } = { (3, 5) }   n( A ) = 6 n( B ) = 6 n( ) = 1  

50. Dari seperangkat kartu bridge diambil secara acak satu lembar kartu. Peluang terambilnya kartu bukan As adalah … 1/52 1/13 5/52 3/13 12/13 24

51. Peluang terambilnya bukan kartu As adalah 12/13 24 seperangkat kartu bridge n(s) = 52 Misal: A = kejadian terambilnya kartu As A’ = kejadian terambilnya bukan kartu As n(A) = 4 komplemen suatu kejadian P(kejadian) + P(komplemen) = 1 P(A’) = 1 – P(A) = 1 – 4/52 = 48/52 = 12/13

52. Enam anak, 3 laki-laki dan 3 perempuan, duduk berjajar. Peluang 3 perempuan duduk berdampingan adalah ... 1/60 1/30 1/15 1/10 1/5 25

53. Peluang ketiga Perempuan duduk berdampingan adalah 1/5 25 11w X X X 11w X X X Jika perempuan harus selalu duduk berdampingan, maka bisa dianggap 1 kesatuan objek 11w P P P 11w L L L n(s) = 6! = 720 banyak cara keenam tempat duduk terisi dengan memperhatikan urutan, tanpa memandang status 11w L L L n1 = 3! = 6 n1 = Ketiga Perempuan dapat saling bertukar tempat duduk n2 = 4! = 24 n2 = keempat objek yang dibicarakan mengisi tempat duduk yang ada A = kejadian 3 Perempuan duduk berdampingan n(A) = n1 x n2 = 6 x 24 = 144 P(A) = n(A) / n(s) = 144/720 = 1/5

54. Tersedia 15 kunci berbeda dan hanya terdapat 1 kunci yang dapat digunakan untuk membuka sebuah pintu. Kunci diambil satu per satu tanpa pengembalian. Peluang kunci yang terambil dapat digunakan untuk membuka pintu pada pengambilan ketiga adalah ... 1/15   (1/15) x (1/14) x (1/13) (1/15) 3 (14/15) 2 x (1/15) 13/15 26

55. Peluang terambilnya kunci serasi pada pengambilan ketiga adalah 1/15 26 Pengambilan ke-1, n(s) = 15 Hanya terdapat 1 kunci serasi dari 15 kunci yang tersedia Pengambilan ke-n, n(s) = 15 – (n-1) … Pengambilan ke - 1 2 3 4       Kunci tidak serasi Kunci serasi nTotal = n1 x n2 x n3 x … x n15 =   x   x   x … x   =   …

56. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set lengkap kartu bridge. Peluang bahwa yang terambil adalah kartu merah atau kartu As adalah ... 24/52 26/52 28/52 30/52 32/52 27

57. Peluang terambilnya kartu As atau kartu berwarna merah adalah 28/52 27 seperangkat kartu bridge n(s) = 52 Misal: A = kejadian terambilnya kartu warna merah B = kejadian terambilnya kartu As A = daerah n(A) = 26 B = daerah n(B) = 4 n( ) = 2     = daerah Peluang kejadian saling beririsan : P( = P(A) + P(B) – P( ) = 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52  

58. Suatu kelas terdiri atas 10 pelajar pria dan 20 pelajar wanita. Separuh pelajar pria dan separuh pelajar wanita memakai arloji. Jika dipilih satu pelajar, maka peluang yang terpilih pria atau memakai arloji adalah ... 1/2 1/3 3/4 2/3 5/6 28

59. Peluang terpilihnya pelajar pria atau memakai arloji adalah 2/3 28 Misal: A = kejadian terpilihnya pelajar pria B = kejadian terpilihnya pelajar berarloji n(A) = 10 n(B) = ½ x 10 + ½ x 20 = 15 pria wanita berarloji n( ) = 5   n(s) = 30 P( ) = P(A) + P(B) – P ( ) = 10/30 + 15/30 – 5/30 = 20/30 = 2/3   kejadian saling beririsan Pria berarloji

60. Diberikan suku banyak p(x) = x² + bx + c. Jika b dan c dipilih secara acak dari selang [0, 4], maka peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah ... 1/3 2/3 5/6   1 29

61. 29 Suku banyak p(x) = x 2 + bx + c Koefisien b dan c dipilih secara acak dari selang [0, 4] Suku banyak tidak memiliki akar Syarat tidak memiliki akar Bentuk umum diskriminan: D = B 2 – 4AC Suku banyak tidak memiliki akar D < 0 01 A, B, C dari bentuk umum persamaan kuadrat Ax 2 + Bx + C = 0 b 2 – 4(1)(c) < 0 b 2 < 4c c > ¼ b 2 02 Representasi dalam bidang b dan c b dan c dalam selang [0, 4] sehingga membentuk persegi dengan sisi 4 di bidang b-c Ketaksamaan b 2 < 4c membagi persegi ini menjadi 2 bagian: Area di bawah parabola c = ¼ b 2 (berarti b 2 < 4c) Area di atas parabola c = ¼ b 2 (berarti b 2 4c)  

62. 29 03 Luas wilayah di bawah parabola Parabola c = ¼ b 2 Area di bawah parabola Area di atas parabola Selang [0. 4] batas b adalah 0 sampai 4 Cari luas area di bawah parabola dengan Integral Tentu, menggunakkan batas selang [0, 4] Kejadian yang dibicarakan Himpunan semesta Area di bawah parabola Area persegi Untuk mendapat kejadian yang dibicarakan titik yang diambil harus berada pada area di bawah parabola Area tersebut merupakan kondisi dimana bentuk suku banyak tidak memiliki akar

63. 29 04 Luas persegi Luas persegi = 4 x 4 = 16 Kejadian yang dibicarakan Himpunan semesta Area di bawah parabola Area persegi 05 Peluang kejadian yang dibicarakan Misal: k = kejadian yang dibicarakan Area dimana titik diambil berada di bawah parabola n(k) = luas area di bawah parabola = 16/3 n(s) = himpunan semesta Area dimana titik dapat diambil di sembarang posisi dalam batas n(s) = luas persegi = 16 P(k) = peluang kejadian yang dibicarakan = n(k) / n(s) = 16/3 / 16 = 1/3 Peluang suku banyak tersebut tidak mempunyai akar adalah 1/3 Kemungkinan suku banyak mempunyai akar Kemungkinan suku banyak tidak mempunyai akar

64. Jika LA adalah luas daerah yang dibatasi oleh sumbu x dan parabola y = 2ax - x², 0 < a < 1, maka peluang nilai a sehingga L(a) ≥ 9/16 adalah ... 3/4 1/2 3/8 1/3 1/4 30

65. 30 Parabola y = 2ax - x 2 , dengan 0 < a < 1 Kita mencari peluang nilai a sehingga luas daerah di bawah parabola dengan sumbu-x 9/16   Daerah yang dibatasi parabola Parabola y = 2ax - x 2 adalah parabola terbalik (parabola terbuka ke atas), karena koefisien x 2 negatif 01 Titik puncak di x = ½ * 2a = a Perpotongan parabola dengan sumbu y di x = 0 dan x = 2a 2a a Luas daerah di antara parabola dan sumbu-x adalah sebagai berikut y = 2ax - x 2 X Y

66. 30 Luas daerah area yang dibicarakan 02 Kita pecah integralnya Bentuk   Bentuk   Didapat total perhitungan luasnya adalah L(a) =   Luas daerah di antara parabola dan sumbu-x adalah:

67. 30 Syarat L(a) 9/16   03 Karena diminta L(a) 9/16 , maka:             Peluang kejadian yang dibicarakan 04 Nilai a berada pada interval 0 < a < 1 n(s) = 1 n(s) = Panjang interval [0 , 1] P(a) = = =   Peluang nilai a sehingga L(a) 9/16 adalah ¼   = Panjang interval [   =  

68. TERIMA KASIH "Discere est vincere." (Belajar adalah kemenangan.)

69. tutor kamu, Agung Permana Mukti This Photo by Unknown Author is licensed under CC BY-SA Agung Permana Mukti [email protected] hamasahprivat.com hamasahprivat Untuk informasi lebih lanjut, silakan hubungi lembaga melalui kontak berikut. NARAHUBUNG 0822-9520-2951 (admin) Matematika SMP, SMA, & UTBK