Dzielenie wielomianów

1. Dzielenie wielomianów pisemnie Damian Michalski Klasa IIg Rok szkolny 2011/2012

2. Czym jest dzielenie dwóch liczb? Podzielić pewną liczbę x przez liczbę y≠0 oznacza sprawdzić, ile razy liczba y mieści się w liczbie x oraz ile zostanie jeśli wszystkie możliwe y odejmiemy. Przyjmijmy x=10 oraz y=3 10=3*3+1 W powyższym rachunku, 3 jest ilorazem, a 1 resztą z dzielenia. Ważne jest, że reszta jest zawsze mniejsza od liczby, przez którą dzielimy (gdyby reszta była większa od y to by znaczyło, że w danej liczbie mieści się jeszcze jedna y , czyli dzielnie nie zostało wykonane należycie).

3. Dzielenie wielomianów ma dużo wspólnego z pospolitym dzieleniem pisemnym dwóch liczb całkowitych. Warto przypomnieć sobie jak to się robiło: W tym przykładzie podzielona zostanie liczba 213 przez 4: (1) Nad dzieleniem zapisujemy kreskę wynikową; to nad nią zapisywany jest wynik . 5 213 : 4 - 20 =1 (2) Wybierany jest od lewej kawałek liczby, w którym dzielnik mieści się przynajmniej raz (w tym przypadku jest to 21) i dzieli się tę liczbę przez dzielnik. Wykonywane jest działanie: 21/4 (3) Wynik dzielenia zapisywany jest nad kreską wynikową i następnie mnożony przez dzielnik. . (4) Wynik tego mnożenia zapisywany jest pod dzieloną liczbą i odejmowany od aktualnie badanego składnika. Wykonywane jest pisemnie działanie: 21 – (5*4) = 1. Wynik tego działania zapisywany jest poniżej. (5) Znak „=‘’ zapisywany jest, gdy cyfry skracają się pisemnie.

4. 53 213 : 4 - 20 =13 - 12 =1 (6) Dopisywana jest kolejna cyfra z góry, która nie była jeszcze używana. Dzieli się następnie otrzymaną w ten sposób liczbę przez dzielnik, a wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową i mnoży przez dzielnik. . (7) Wynik tego mnożenia zapisywany jest pod dzieloną liczbą i odejmowany od aktualnie badanego składnika. Wykonywane jest pisemnie działanie: 13 – (3*4) = 1. Wynik tego działania zapisywany jest poniżej.

5. 53 213 : 4 - 20 =13 - 12 =1 (8) Wynik odejmowania, czyli w tym przypadku liczba 1, nie dzieli się już więcej przez dzielnik (nie ma już liczb, które można by było dopisać z góry). Liczba ta jest zatem resztą. Dzielenie zakończone! (9) Liczba nad kreską wynikową jest ogólnym wynikiem dzielenia (i w tym przypadku wynosi 53). (10) Aby sprawdzić czy dzielenie jest prawidłowe, można otrzymany wynik pomnożyć przez dzielnik i dodać otrzymaną resztę: Spr .: 53*4+1=212+1=213 Można więc zapisać dzieloną liczbę w postaci: 213=53*4+1

6. Czym jest dzielenie wielomianów? Poprzez dzielenie wielomianów rozumiemy sprawdzenie, ile razy wielomian P(x) mieści się w wielomianie W(x). Jest to więc analogia do pospolitego dzielenia dwóch liczb. W poprzednim przykładzie podzielone zostały…dwa jednomiany! Wynika to z faktu, że jednomiany W(x)=213 i P(x)=4 są stopnia zerowego. Niech teraz podzielony zostanie Wielomian W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 przez wielomian P(x)=x 2 -x+2 . Uwaga! Ważne jest, że reszta jest zawsze mniejszego stopnia od stopnia wielomianu, przez który dzieli się go (gdyby reszta była większego stopnia od dzielnika to by znaczyło, że dzielenie nie zostało wykonane poprawnie).

7. W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 /\ P(x)=x 2 -x+2 x 2 (x 4 -5x 2 -2x+10) : (x 2 -x+2) (1) By podzielić wielomian W(x) przez wielomian P(x), dzieli się czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu W(x) przez czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu P(x), a wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową. Dzielenie x 4 przez x 2 , daje wynik x 2 . Wynik ten zapisywany jest nad kreską wynikową.

8. W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 /\ P(x)=x 2 -x+2 x 2 (x 4 -5x 2 -2x+10) : (x 2 -x+2) + -x 4 +x 3 -2x 2 A(x) x 3 -7x 2 -2x+10 (2) Wynik dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) (x 2 ) mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian A(x). Wykonywane jest więc pisemnie działanie: W(x)-[x 2 (x 2 -x+2)]=A(x) .

9. W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 /\ P(x)=x 2 -x+2 x 2 +x (x 4 -5x 2 -2x+10) : (x 2 -x+2) + -x 4 +x 3 -2x 2 A(x) x 3 -7x 2 -2x+10 (3) Jak widać, czynnik x 4 skrócił się. Te czynniki, które nie skróciły się, zostają dodane i następnie przepisane pod kreskę odejmowania. Czynności opisane wcześniej powtarzają się po raz kolejny: czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze otrzymanego wielomianu A(x) (x 3 ) i dzieli się przez czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu P(x), (x 2 ), czego wynikiem jest x. Wynik ten dodaje się do wyniku znajdującego się nad kreską wynikową.

10. W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 /\ P(x)=x 2 -x+2 x 2 +x (x 4 -5x 2 -2x+10) : (x 2 -x+2) -x 4 +x 3 -2x 2 A(x) x 3 -7x 2 -2x+10 + -x 3 +x 2 -2x B(x) -6x 2 -4x+10 (4) Wynik dzielenia wielomianu A(x) przez wielomian P(x) ( x ) mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) i odejmuje się od wielomianu A(x), czego wynikiem jest wielomian B(x). Wykonywane jest więc pisemnie działanie: A(x)-[ x (x 2 -x+2)]=B(x). .

11. W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 /\ P(x)=x 2 -x+2 x 2 +x-6 (x 4 -5x 2 -2x+10) : (x 2 -x+2) -x 4 +x 3 -2x 2 A(x) x 3 -7x 2 -2x+10 -x 3 +x 2 -2x B(x) -6x 2 -4x+10 (5) Jak widać, czynnik x 3 skrócił się. Te czynniki, które nie skróciły się, zostają dodane i następnie przepisane pod kreskę odejmowania. Czynności opisane wcześniej powtarzają się po raz kolejny: czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze otrzymanego wielomianu B(x) (-6x 2 ) dzieli się przez czynnik znajdujący się przy najwyższej potędze wielomianu P(x) (x 2 ), czego wynikiem jest -6. Wynik ten dodaje się do wyniku znajdującego się nad kreską wynikową.

12. W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 /\ P(x)=x 2 -x+2 x 2 +x-6 (x 4 -5x 2 -2x+10) : (x 2 -x+2) -x 4 +x 3 -2x 2 A(x) x 3 -7x 2 -2x+10 -x 3 +x 2 -2x B(x) -6x 2 -4x+10 + 6x 2 -6x+12 C(x) -10x+22 (6) Wynik dzielenia wielomianu B(x) przez wielomian P(x) (-6) mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) i odejmuje się od wielomianu B(x), czego wynikiem jest wielomian C(x). Wykonywane jest więc pisemnie działanie: B(x)-[-6(x 2 -x+2)]=C(x). .

13. W(x)=x 4 -5x 2 -2x+10 /\ P(x)=x 2 -x+2 x 2 +x-6 (x 4 -5x 2 -2x+10) : (x 2 -x+2) -x 4 +x 3 -2x 2 A(x) x 3 -7x 2 -2x+10 -x 3 +x 2 -2x B(x) -6x 2 -4x+10 6x 2 -6x+12 C(x) -10x+22 (7) Otrzymany w ten sposób wielomian C(x) jest niższego stopnia niż wielomian P(x). W takim przypadku nie dzieli się on przez wielomian P(x). Dzielenie kończy się, a wielomian C(x) staje się resztą. (8) Otrzymany nad kreską wynikową wielomian jest wynikiem dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x) i wynosi x 2 +x-6. ( 9 ) By sprawdzić, czy dzielenie zostało wykonane prawidłowo, należy wynik pomnożyć przez dzielnik (wielomian P(x)) i dodać do całości resztę: (x 2 +x-6)(x 2 -x+2)-10x+22=x 4 -x 3 +2x 2 +x 3 -x 2 +2x-6x 2 +6x-12-10x+22=x 4 -5x 2 -2x+10 Dzielenie wykonane zostało więc poprawnie. Można więc zapisać wielomian W(x) w postaci: (x 4 -4x 2 -2x+10)=(x 2 -x+2)(x 2 +x-6)-10x+22

14. Inne przykłady: W 1 (x)=x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 /\ P 1 (x)=x 4 -3x 2 +2 W 2 (x)=2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4 /\ P 2 (x)= 2x 5 +x 4 -1 W 1 (x)/P 1 (x) W 2 (x)/P 2 (x) x 5 x 2 (x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3):(x 4 -3x 2 +2) (2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4) :(2x 5 +x 4 -1) (1) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu W(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową.

15. Inne przykłady: W 1 (x)=x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 /\ P 1 (x)=x 4 -3x 2 +2 W 2 (x)=2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4 /\ P 2 (x)= 2x 5 +x 4 -1 W 1 (x)/P 1 (x) W 2 (x)/P 2 (x) x 5 x 2 (x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3):(x 4 -3x 2 +2) (2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4) :(2x 5 +x 4 -1) + -x 9 +3x 7 -2x 5 + -2x 7 -x 6 +x 2 A(x) -3x 8 +9x 6 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 -4x 6 +4x 4 +2x+4 (2) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian A(x).

16. Inne przykłady: W 1 (x)=x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 /\ P 1 (x)=x 4 -3x 2 +2 W 2 (x)=2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4 /\ P 2 (x)= 2x 5 +x 4 -1 W 1 (x)/P 1 (x) W 2 (x)/P 2 (x) x 5 -3x 4 x 2 -2x (x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3):(x 4 -3x 2 +2) (2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4) :(2x 5 +x 4 -1) -x 9 +3x 7 -2x 5 -2x 7 -x 6 +x 2 A(x) -3x 8 +9x 6 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 -4x 6 +4x 4 +2x+4 (3) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu A(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową.

17. Inne przykłady: W 1 (x)=x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 /\ P 1 (x)=x 4 -3x 2 +2 W 2 (x)=2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4 /\ P 2 (x)= 2x 5 +x 4 -1 W 1 (x)/P 1 (x) W 2 (x)/P 2 (x) x 5 -3x 4 x 2 -2x (x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3):(x 4 -3x 2 +2) (2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4) :(2x 5 +x 4 -1) -x 9 +3x 7 -2x 5 -2x 7 -x 6 +x 2 A(x) -3x 8 +9x 6 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 -4x 6 +4x 4 +2x+4 + 3x 8 -9x 6 +6x 4 + 4x 6 +2x 5 -2x B(x) x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 2x 5 +4x 4 +4 (4) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian B(x).

18. Inne przykłady: W 1 (x)=x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 /\ P 1 (x)=x 4 -3x 2 +2 W 2 (x)=2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4 /\ P 2 (x)= 2x 5 +x 4 -1 W 1 (x)/P 1 (x) W 2 (x)/P 2 (x) x 5 -3x 4 +1 x 2 -2x+1 (x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3):(x 4 -3x 2 +2) (2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4) :(2x 5 +x 4 -1) -x 9 +3x 7 -2x 5 -2x 7 -x 6 +x 2 A(x) -3x 8 +9x 6 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 -4x 6 +4x 4 +2x+4 3x 8 -9x 6 +6x 4 4x 6 +2x 5 -2x B(x) x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 2x 5 +4x 4 +4 (5) Czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu B(x) jest dzielony przez czynnik znajdujący się przy największej potędze wielomianu P(x). Wynik tego dzielenia zapisuje się nad kreską wynikową.

19. Inne przykłady: W 1 (x)=x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 /\ P 1 (x)=x 4 -3x 2 +2 W 2 (x)=2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4 /\ P 2 (x)= 2x 5 +x 4 -1 W 1 (x)/P 1 (x) W 2 (x)/P 2 (x) x 5 -3x 4 +1 x 2 -2x+1 (x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3):(x 4 -3x 2 +2) (2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4) :(2x 5 +x 4 -1) -x 9 +3x 7 -2x 5 -2x 7 -x 6 +x 2 A(x) -3x 8 +9x 6 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 -4x 6 +4x 4 +2x+4 3x 8 -9x 6 +6x 4 4x 6 +2x 5 -2x B(x) x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 2x 5 +4x 4 +4 + -x 4 +3x 2 -2 + -2x 5 -x 4 +1 C(x) x 3 +2x 2 +3x+1 3x 4 +5 (6) Otrzymany wcześniej wynik mnoży się przez każdy z czynników wielomianu P(x) odejmuje się od wielomianu W(x), czego wynikiem jest wielomian C(x).

20. Inne przykłady: W 1 (x)=x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 /\ P 1 (x)=x 4 -3x 2 +2 W 2 (x)=2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4 /\ P 2 (x)= 2x 5 +x 4 -1 W 1 (x)/P 1 (x) W 2 (x)/P 2 (x) x 5 -3x 4 +1 x 2 -2x+1 (x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3):(x 4 -3x 2 +2) (2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4) :(2x 5 +x 4 -1) -x 9 +3x 7 -2x 5 -2x 7 -x 6 +x 2 A(x) -3x 8 +9x 6 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 -4x 6 +4x 4 +2x+4 3x 8 -9x 6 +6x 4 4x 6 +2x 5 -2x B(x) x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 2x 5 +4x 4 +4 -x 4 +3x 2 -2 -2x 5 -x 4 +1 C(x) x 3 +2x 2 +3x+1 3x 4 +5 (7) Otrzymane wielomiany C(x) są stopni mniejszych niż stopień dzielnika, więc dzielenie zostaje przerwane; wielomiany C(x), który w ten sposób powstały, określamy jako reszty z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x). (8) Wielomian znajdujący się nad kreską wynikową określany jest jako wynik z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian P(x). ( 9 ) Aby sprawdzić poprawność dzieleń, można wykonać działania: (x 5 -3x 4 +1)(x 4 -3x 2 +2)+x 3 +2x 2 +3x+1= (x 2 -2x+1)(2x 5 +x 4 -1)+3x 4 +5= x 9 -3x 7 +2x 5 -3x 8 +9x 6 -6x 4 +x 4 -3x 2 +2+x 3 +2x 2 +3x+1= 2x 7 +x 6 -x 2 -4x 6 -2x 5 +2x+2x 5 +x 4 -1+3x 4 +5= x 9 -3x 8 -3x 7 +9x 6 +2x 5 -5x 4 +x 3 -x 2 +3x+3 2x 7 -3x 6 +4x 4 -x 2 +2x+4

21. Dziękuję za uwagę!