Ecuación de cuarto grado por el método de Luigi Ferrari

Se presenta la solución de una ecuación de cuarto grado empleando el método de Luigi Ferrari

1. Brayan Stiven Flórez Burbano

Se desea emplear el método de Luigi Ferrari para encontrar todas las soluciones (reales y
complejas) de la siguiente ecuación:
�
�
−��
�
+���
�
−��−��=�


Se reescribe la ecuación de la siguiente manera y se denotan algunos valores con las letras
a, b, c y d.
�
�
−��
�
=−���
�
+��+��
�=−� �=−�� �=� �=��
Sumando a ambos lados de la ecuación
�
�
�
�
�
=
(−�)
�
�
�
�
=
���
�
�
=��
�
se tiene lo siguiente
�
�
−��
�
+��
�
=−���
�
+��+��+��
�

(�
�
−��)
�
=−��
�
+��+��
Ahora se aumenta una nueva variable a la ecuación sumando la siguiente expresión
(�
�
+
��
�
)�+
�
�
�
=(�
�
+
−��
�
)�+
�
�
�
=(�
�
−��)�+
�
�
�

Sumando la expresión anterior en la ecuación (1) y realizando algunas operaciones se tiene
(�
�
−��)�+
�
�
�
+(�
�
−��)
�
=(�
�
−��)�+
�
�
�
−��
�
+��+��
�
�
�
+(�
�
−��)�+(�
�
−��)
�
=�
�
�−���+
�
�
�
−��
�
+��+��
(
�
�
+(�
�
−��))
�
=�
�
(�−�)+�(�−��)+(
�
�
�
+��)
(1)
(2)

2. De la expresión anterior (2) se denota con A, B y C los siguientes valores
�=(�−�) �=(�−��) �=(
�
�
�
+��)
Ahora se desea convertir el trinomio con coeficientes A, B y C en un trinomio cuadrado
perfecto para ello se debe cumplir lo siguiente
�
2
−4��=0
Remplazando los respectivos valores y realizando algunas operaciones se tiene
(�−��)
�
−�(�−�)(
�
�
�
+��)=�
�−���+��
�
+(−��+�)(
�
�
�
+��)=�
�−���+��
�
−�
�
−���+��
�
+��=�
��−���+���
�
−�
�
=�
�
�
−���
�
+���−��=�
Se debe ahora resolver la ecuación (3) para y. entonces se emplea el método de las cubicas
propuesto por Cardano.
Se identifican los siguientes valores en la expresión (3)
�
´
=−�� �
´
=�� �
´
=−��
Entonces según el método se hace el remplazo de �=??????−
�
´
�
=??????−
−��
�
=??????+
��
�

(??????+
��
�
)
�
−��(??????+
��
�
)
�
+��(??????+
��
�
)−��=�
(??????
�
+
��??????
�
+
���
�
)(??????+
��
�
)−��(??????
�
+
��??????
�
+
���
�
)+��(??????+
��
�
)−��=�
??????
�
+
��
�
??????
�
+
��
�
??????
�
+
���
�
??????+
���
�
??????+
����
��
−��??????
�
−
���
�
??????−
����
�
+��??????+
���
�
−��=�
??????
�
+
��
�
??????+
���
��
=�
(3)
(4)

3. En la igualdad (4) se identifican los siguientes valores
�=
���
��
�=
��
�

Utilizando la formula general de Cardano se tiene lo siguiente
??????=√−
�
�
+√(
�
�
)
�
+(
�
�
)
�
�
+√−
�
�
−√(
�
�
)
�
+(
�
�
)
�
�

�
�
=
���
��
=
���
��
(
�
�
)
�
=
�����
���
≈��.�
�
�
=
��
�
(
��
�
)
�
=
�����
���
≈��.���
Remplazando los valores
??????=√−
���
��
+√
�����
���
+
�����
���
�
+√−
���
��
−√
�����
���
+
�����
���
�

??????=√−
���
��
+√
���
�
�
+√−
���
��
−√
���
�
�
=√−
���
��
+
��
�
�
+√−
���
��
−
��
�
�

??????=√
���
��
�
+√−
���
��
�
=
�
�
−
�
�
=
−�
�

Luego como se hizo el remplazo
�=??????+
��
�
=
−�
�
+
��
�
=
�
�
=�
�=�
De esta manera el trinomio cuadrado con coeficientes A, B y C (expresión (2)) es un
trinomio cuadrado perfecto si y = 3, entonces se tiene lo siguiente remplazando en (2))

4. (
�
�
+(�
�
−��))
�
=�
�
(�−�)+�(�−��)+(
�
�
�
+��)
(
�
�
+(�
�
−��))
�
=�
�
(�−�)+�(�−�(�))+(
(�)
�
�
+��)
(
�
�
+(�
�
−��))
�
=�
�
−��+(
��
�
)
(
�
�
+(�
�
−��))
�
=(�−
�
�
)
�

Luego si se extrae raíz cuadrad a ambos lados se tiene las siguientes ecuaciones
1.
�
�
+(�
�
−��)=�−
�
�

2.
�
�
+(�
�
−��)=−(�−
�
�
)
Realizando las respectivas operaciones en la ecuación 1 se tiene
�
�
+�
�
−��=�−
�
�

�
�
−��+
�
�
+
�
�
=�
�
�
−��+�=�
De esta ecuación por medio de la formula general se obtienen dos raíces complejas
�
�
=�+?????? �
�
=�−??????
Ahora realizando las operaciones necesarias en la ecuación 2 se tiene
�
�
+(�
�
−��)=−(�−
�
�
)
�
�
+�
�
−��=−�+
�
�

�
�
−��+
�
�
−
�
�
=�
�
�
−��−
�
�
=�
�
�
−��−�=�

5. De esta ecuación por medio de la formula general se obtienen dos raíces reales
�
�
=�+√� �
�
=�−√�


En conclusión las cuatro soluciones para la ecuación
�
�
−��
�
+���
�
−��−��=�
Son
�
�
=�+??????

�
�
=�−??????
�
�
=�+√�
�
�=�−√�

Bibliografía
Acevedo de Manrique, M. & Falk de Losada, M. (1997) Recorriendo el álgebra de la
solución de ecuaciones al álgebra abstracta (pp. 88-98). Universidad Nacional de
Colombia