Ecuación de la recta - Prof. Mónica Lordi

1. Ecuación de la
recta
Prof. Mónica Lordi

2. Ecuación de la recta
Las ecuaciones del tipo
y = mx+ b
representan rectas en el
plano
2
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3. Ecuación explícita de la recta
Llamaremos ecuación explícita de la recta
a la expresión
y = mx + b
En esta ecuación se pueden
distinguir los siguientes elementos:
Recuerda: las
expresiones de la forma
y = mx + b
representan rectas en el
plano
m= pendiente
b= ordenada al origen
x= variable independiente
y = variable dependiente
Ejemplos
•y= 3x+8
•y= x –7 3
2
3
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4. Pendiente
En las ecuaciones
•y = 4x, la pendiente es m= 4 y = 4x
y = 3x , la pendiente es m = 3
y = 2x , la pendiente es m = 2
y = x . la pendiente es m= 1
y = 3x
y = 2x
y = x
Se puede observar
que la pendiente m
determina la
“inclinación” de la
recta respecto del
eje X
Observa las siguientes gráficas
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5. Ordenada al origen
Observa, en la gráfica
La recta de ecuación
y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2
y = x + 2
2
1
0
-1
y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1
y = x + 1
y = x -1
y = x –1, la ordenada al origen es b = -1
La ordenada al
origen b determina
la intersección de la
recta con el eje Y
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6. Determinar la pendiente y la ordenada al origen
de las ecuaciones de siguientes rectas:
•y = 3x -11
m = 3
b = -11
•y = -5x + 20
m = -5
b = 203
2
•y = x
m =3
2
b = 0
Veamos un ejemplo:
6Prof. Mónica Lordi

7. Otros ejemplos de rectas-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3-2-1012345
x
y -3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-5-4-3-2-101234567
x
y
•Recta creciente, ya que la pendiente
es positiva.
•La recta crece dos unidades de y por
cada unidad de x.
•Cuando x=0, la ordenada al origen es
igual a 1.
•Recta decreciente, ya que la
pendiente es negativa.
•La recta decrece una unidad de y
por cada unidad de x.
•Cuando x=0, la ordenada al origen
es igual 4.xy 21 xy4
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8. Otras formas de ecuaciones
lineales
•Forma implícita:Ax+ By+ C = 0
•Forma segmentaria:Si una recta corta a
los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su
ecuación en forma segmentaria es:1
q
y
p
x
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9. FORMA SEGMENTARIA
p
q1
q
y
p
x
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10. Si la recta está escrita de otra forma,
podemos escribirla en forma explícita y
luego identificar my b
Ejemplo 1:
Determinar la pendiente y la ordenada al origen
en la ecuación 2x + y –8 = 0
y = -2x + 8
Se despeja y
(de la misma
forma que se
despeja
cualquier
ecuación)
2x + y = 0 + 8
Luego, m = -2 y b = 8
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11. Ejemplo 2:
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen
de la recta de ecuación 4x –8y + 16 = 0
Despejamos
y
4x + 16 = 8yy
8
16
8
x4 y2
2
x1
m =2
1
b = 2
4x –8y + 16 = 0
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12. Ejemplo 3:
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen
de la recta de ecuación
Despejamos
y
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13. Ejercicio 1:
Encontrar la pendiente y la ordenada al
origen de las siguientes rectas:012y3x9 )f
014y2x7 )e
04yx2 )d
08yx3 )c
1x
5
2
y )b
1x3y )a
g)
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14. Cálculo de la pendiente de
una recta

15. Cuando se tienen dos puntos
cualesquiera de una recta
queda determinada por el cociente
entre la diferencia de las ordenadas
y la diferencia de las abscisas
de los mismos puntos,
es decir:
(x
1, y
1) y (x
2,y
2)
la pendientem
15
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16. •Cuando se tienen dos puntos de una recta
(x
1, y
1) y (x
2,y
2)
(x
2 , y
2)
(x
1 , y
1)
y
2–y
1
x
2–x
1
m =
y
2–y
1
x
2–x
1
la pendiente mqueda determinada por
el cociente entre la diferencia de las
ordenadas
y la diferencia de las abscisas
de los mismos puntos, es
decir:
16
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17. (x
2 , y
2)
(x
1 , y
1)
x
2–x
1
y
2–y
1
Cálculo de la pendiente de una
recta
x
1 x
2
y
1
y
2
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18. Ejemplo 1
•Calcular la pendiente de la recta que
pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)
Identificamos los
valores de x
1, y
1 ,
x
2 , y
2
x
1y
1
x
2 y
2
Reemplazamos
estos valores en la
fórmula
m =
y
2 –y
1
=
x
2 –x
1
14 –2
9 –7
=
12
2
= 6
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19. Ejemplo 2
•Calcular la pendiente de la recta que
pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)
Identificamos los
valores de x
1, y
1 ,
x
2 , y
2
x
1y
1 x
2y
2
Reemplazamos
estos valores en la
fórmula
m =
y
2 –y
1
=
x
2 –x
1
-3 –1
9 –(-5)
=
-4
14
=
-2
7
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20. Ejemplo 3
Encontrar la pendiente de la recta del gráfico:
En este caso debemos identificar
las coordenadas de dos puntos de
la recta:
(5,0)
(0,4)
( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)
x
1y
1 x
2y
2
Identificamos
los valores de
x
1, y
1 , x
2 , y
2
Reemplazamos
estos valores en
la fórmula
m =
y
2 –y
1
x
2 –x
1
0 –4
5 –0
-4
5
= =
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21. Ejercicio 2
I) Calcular la pendiente de la recta que pasa
por los puntos:
•A) (3 , -6) y (-2 , -2)
•B) (7 , -9) y (0 , -1)
•C) (-3 , -4) y el origen
•D) (3 , -4) y ( 2 , -6)
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22. II) Encontrar las pendientes de
las rectas graficadas:
A) B)
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23. Puntos que pertenecen a
una recta

24. ¿Cómo determinar
cuando un punto
pertenece
2
1
0
-1
-1 1 2 3
o no pertenece
a una recta?
24Prof. Mónica Lordi

25. ¡Muy sencillo!
¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y)
en la ecuación y = mx + b!
Ejemplo 1: Determinar si el punto (1,3)
pertenece a la recta y = -3x + 6
(1, 3) Reemplazamos x = 1 , y = 3 en la ecuación
3= -3 • 1 + 6 y resolvemos las operaciones para
verificar si hay equilibrio entre
ambos miembros
3 = -3 + 6
3 = 3
Por lo tanto, el punto
(1,3)pertenece a la
recta y = -3x + 6
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26. (-1, 3) Reemplazamos x = -1 , y = 3 en la ecuación
3= 2• (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para
verificar si hay equilibrio entre
ambos miembros
Por lo tanto, el punto
(-1,3) no pertenece a
la recta y = 2x + 1
Ejemplo 2:
Determinar si el punto (-1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1
3 = -2 + 1
3 = -1
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27. Ejercicio 3:
Determinar si los puntos pertenecen a la
recta dada
•A) ( , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1
•B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3
•C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta 3x –4y –4 = 03
2 3
1
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28. Ecuación de la recta a partir
de dos puntos del plano
y = mx + b
(x
1, y
1)
(x
2, y
2)

29. Ecuación de la recta que pasa por dos
puntos
•SeanP=(x
1,y
1)yQ=(x
2,y
2)dospuntosdeunarecta.
Enbaseaestosdospuntosconocidosdelarecta,esposible
determinarsuecuación.
P(x
1 , y
1)
•Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR
deben tener la misma pendiente, es decir
que también se puede expresar como:
Q(x
2, y
2)
R(x , y)
•Tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la
recta.
y
Entonces:
29
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30. ¿Y cómo usamos esta fórmula?
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos (2 , 4) y (5, 10)
Identificamos x
1 , y
1 , x
2, y
2
x
1y
1x
2y
2
Reemplazamos estos valores en la fórmula
y –y
1
x–x
1
=
y
2 –y
1
x
2 –x
1
y –4
x–2
10–4
5–2
=
y –4
x–2
=
6
3
y –4
x–2
=
2
1
Efectuamos los
“productos
cruzados”
y –4 = 2x -4 ordenamos
y = 2x –4 +4
y = 2x
Y tenemos nuestra
ecuación
30
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31. Otra forma de enfrentar la misma tarea
•Se calcula la pendiente:
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los
puntos (2 , -4) y (6, 12)
Identificamos x
1 , y
1 , x
2, y
2
x
1y
1 x
2y
2
y
2 –y
1
x
2 –x
1
=
12–(-4)
6–2
=
16
4
= 4
•Se reemplaza men la ecuación y = mx + b
y= 4x+ b
•Se toman las coordenadas x e y de uno de los dos puntos y se
reemplaza en la ecuación y = 4x + b
(2 , -4) -4 = 4•2 + by despejamos b
-4 = 8 + b
-4 –8 = b
-12= b
Finalmente reemplazamos ben
y =3x +b, quedando y =3x–12
=m
31
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32. Ejercicio 4 :
I) Encontrar la ecuación de recta que
pasa por los puntos
•A) (3,5) y (2, 8)
•B) (-2 , -3) y (5 , 3)
•C) (3 , 5 ) y ( -4, 5)
•D) (-1, 1) y el origen
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33. II) Encontrar la ecuación de recta
de los siguientes gráficos
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