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Ecuaciones diferenciales matematicas

1. Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas. Se utilizan en física, biología, economía, etc. Nos enfocaremos en dos tipos: • Ecuaciones homogéneas de primer orden • Ecuaciones exactas

2. Definición: Ecuaciones Homogéneas de Primer Orden Tienen la forma: dy/dx = M(x, y) / N(x, y) M y N son funciones homogéneas del mismo grado. Se resuelven con el cambio de variable: v = y/x

3. Ejemplo de Ecuación Homogénea Ejemplo: dy/dx = (x + y)/x → dy/dx = 1 + y/x Cambio: v = y/x → y = vx Entonces: dy/dx = v + x dv/dx Sustituyendo: v + x dv/dx = 1 + v → x dv/dx = 1 → dv/dx = 1/x → v = ln|x| + C Solución: y = x(ln|x| + C)

4. Definición: Ecuaciones Exactas Tienen la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Son exactas si: ∂M/∂y = ∂N/∂x Existe F(x, y) tal que: ∂F/∂x = M y ∂F/∂y = N Solución general: F(x, y) = C

5. Ejemplo de Ecuación Exacta Ejemplo: (2x + y)dx + (x + 3y²)dy = 0 ∂M/∂y = 1, ∂N/∂x = 1 → es exacta Integrando M: F(x, y) = x² + xy + h(y) ∂F/∂y = x + h'(y) = x + 3y² → h'(y) = 3y² → h(y) = y³ Solución: F(x, y) = x² + xy + y³ = C