Ejemplos del teorema de Bayes

1. EJEMPLO 1
Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas
producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del
3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido
producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza defectuosa?
Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es
defectuosa". La información del problema puede expresarse
en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida
sea defectuosa, P(D), por la propiedad de la
probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C) =
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,


c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado.
Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:

2. La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
EJEMPLO 2
Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas
rojas y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál
es la probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
Solución:
Llamamos R= "sacar bola roja" y N= "sacar bola negra". En el
diagrama de árbol adjunto pueden verse las distintas
probabilidades de ocurrencia de los sucesos R o N para cada
una de las tres urnas.
La probabilidad pedida es P(A/R). Utilizando el teorema de
Bayes, tenemos:


EJ EM PLO 3
El 20% de los em plea dos de una em pres a s on in gen ieros y o tro 20% s on
ec onom is tas . El 75% de l os in gen ieros oc u pan un p ues to direc t i vo y e l 5 0% d e
los ec on om is tas tam bién, m ientras que los no i nge ni eros y los n o ec on om is tas
s olam ente e l 20% oc u pa u n pu es to d irec ti v o. ¿Cuá l es la proba b il ida d de qu e
un em plea do d irec ti v o el eg ido al a zar s ea ing eni ero?

3. EJ EM PLO 4
La pro bab il id ad d e q u e ha ya un ac c iden te en u na f ábric a que di s pone de
alarm a es 0.1. La pr o bab il ida d d e qu e s ue ne es ta s í s e ha prod uc ido al gún
inc id ent e es d e 0. 97 y l a pro bab il id ad d e q ue s ue ne s i no ha s uc edi do n in gún
inc id ent e es 0. 02
En e l s up ues to de qu e ha ya f unc i ona do la alarm a, ¿c uál es la probab il id ad de
que no h a ya h ab ido n ing ún inc id ent e?

Sea n l os s uc es os :
I = Prod uc irs e i nc ide nte.
A = S onar la a larm a.



TAMBIEN LOS INVITO A VER EL SIGUIENTE VIDEO.
http://www.youtube.com/watch?v=fFbY6dPOacM