Ejercicios resueltos radicales

Ejercicios resueltos radicales

1. Unidad 2 | Potencias y raíces 27
Radicales

2.55. (TIC) Calcula cada raíz con una aproximación de una cifra decimal, por exceso y por
defecto.
a)
3
35 b)
4
300 c)
3
100


3
35

4
300

3
100

Por exceso

3,2
3
= 32,8

4,1
4
= 282,6

4,6
3
= 97,3
Por defecto 3,3
3
= 35,9 4,2
4
= 311,2 4,7
3
= 103,8

2.56. (TIC) Indica el número de raíces de estos radicales.
a)
5
243 c)
4
16− e) 121−
b)
3
125
−
d) 64 f)
3
216

a) Una, porque tiene índice impar.
b) Una, porque tiene índice impar.
c) Ninguna, porque tiene índice par y radicando negativo.
d) Dos, porque tiene índice par y radicando positivo.
e) Ninguna, porque tiene índice par y radicando negativo.
f) Una, porque tiene índice impar.

2.57. Calcula estas raíces.
a)
48
3 c)
12
2 e)
100200
7
b)
39
7 d)
520
3 f)
312
2

a)
4
8
48
33= = 3
2
= 9 c) 2
12
12
22== 2
6
= 64 e)
200
100200 2 100
7 7 7 49= = =
b)
3
9
39
77= = 7
3
= 343 d) 5
20
520
33== 3
4
= 81 f)
12
312 4 3
2 2 2 16= = =

2.58.
Comprueba si los siguientes radicales son equivalentes.
a)
63 4
4 y 2 c)
1 4
7 y 49
−
−
b)
5 7
5 y 7 d)
3
8 4
y
125 25


a)
3
2
323
224 == y
3
2
6
4
64
222 ==. Sí son equivalentes.
b) No son equivalentes.
c) No son equivalentes.
d)
5
2
5
2
125
8
3
3
3
3 ==

2. 28 Unidad 2 | Potencias y raíces

2.59.
Expresa los siguientes radicales con el mismo índice.
a)
84
3 y 5 c)
3 5
2 y 5 e)
33 4
7 y 7
b)
73
5 y 2 d)
3 4
2 y 7 f)
3 5
5 y 3

a)
82424
933 ==
⋅; 8
5
b)
2 77 14
5 5 78125
⋅
= = ; ( )
2
7 143 3 6 147 2
2 2 2 64
⋅
= = =

c)
( )
5
103 3 152 5
2 2 2
⋅
= = ;
1022525
555 ==⋅

d)
1244343
222 ==⋅
;
1233434
777 ==⋅

e)
3 2 63 9 9
7 7 7
⋅
= = ;
3 3 2 64 8 8
7 7 7
⋅
= =
f)
3 5 155 53
5 5 5
⋅
= = ;
5·3 153 35
3 3 3= =
2.60. Realiza estas operaciones.
a)
216 : 6 c)
33
729 : 27 e) 512 : 2
b)
3 3
25 5
⋅
d) ()
2
4
16 f) ( )
2
3
216 : 6

a)
636
6
216
6:216 === d) ( ) 42216
2
2
44
2
4
==¸
¹
·
¨
©
§=
b)
55525
3333
==⋅ e)
9 8 4
512 : 2 2 : 2 2 2 16= = = =
c) 3=27=
27
729
=27:729
3333
f) ( ) ( )
22
33 3 3 2 2
216 : 6 2 ·3 : 6 (2 ·3 ) : (2·3) 6= = =

2.61. Efectúa las siguientes operaciones.
a)
( )
2
3 2
⋅
c) ( )
4
5 3
⋅
e) ( )
2
2 2 2
⋅
⋅
b)
24
8
d)
4
2
5
§·
¨¸
©¹
f)
2
20
10
§·
¨¸
¨¸
©¹


a) ( ) 182323
2
2
=⋅=⋅ d)
4
4
2
2 2 16
1555§ ·
= =¨ ¸
© ¹

b)
3
8
24
8
24
== e) ( ) ()( )
22 2
3
2 2 2 2 2 2 4·2 8⋅ ⋅ = = = =

c)
( ) 2253535
22
4
=⋅=⋅ f)
( )
( )
2
2
2
20
20 20
2
1010
10
§ ·
= = =¨ ¸
¨ ¸
© ¹

2.62. Introduce dentro de la raíz los números que aparecen fuera de ella.
a)
5 3 c)
4
2 5 e) 77 2
b)
3
3 2 d) 4 7 f)
3
5 5

a) 5 3 25 3 75⋅ = ⋅ = c)
4444
805252 =⋅=⋅
e)
2
77 2 77 ·2 11858= =
b)
3333
542323 =⋅=⋅
d)
1127474
2
=⋅=⋅ f)
3 33 3 4 3
5 5 5 ·5 5 625= = =

3. Unidad 2 | Potencias y raíces 29
2.63. (TIC) Simplifica las siguientes expresiones.
a) 3 5 3 20+ c) 45 2 20 80+ −
b) 27 3 12− d) 8 4 18 50+ −

a) 59565320353 =+=+⋅
b) 33363312327 −=−=⋅−
c) 535454538020245 =−+=−⋅+
d) 292521222501848 =−+=−+
2.64. Efectúa estas operaciones.
a) ()()2 3 3 2⋅ c) ()3 6 6⋅
b) ()125 : 3 5 d) ( )5 18 : 50

a) ( )( ) 662332 =⋅⋅ c) ( ) 186363663
2
=⋅=⋅=⋅⋅
b) ( )
3
5
53
55
53:125 ==⋅
d)
( ) 3
25
215
50:185 ==

2.65. Expresa los siguientes radicales con el mismo índice.
a)
4
2 y 3 c)
32
2 y 7
b)
43
5 y 3 d)
3 4
5 y 6

a)
442
3y22=
c)
636432
77y22 ==

b)
4342
3y55=
d)
12341243
66y55 ==


2.66. (TIC)
Factoriza los radicandos para obtener cada raíz.
a) 129600 c)
3
9261 e) 65536
b)
6
15625 d)
5
537824 f)
3
117649

a)
32642
235235600 129 ⋅⋅== = 360 d)
55 55
537824 2 7= = 2 · 7 = 14
b)
6
15625
=
55
66
= e)
16 8
65536 2 2 256= = =

c)
33 33
9261 3 7=
= 3 · 7 = 21 f)

36 23
117649 7 7 49= = =


2.67.
Expresa cada número como un radical.
a) 5 5 c)
4
3 2 e)
3
9 3
b)
3
7 7 d)
32
2 · 2 f)
5
7 3
−


a) 125555
3
== d)
33732
128222 ==⋅

b)
80716777
53
== e)
33 7 3
9 3 3 2187= =
c)
4444
1622323 =⋅=
f)
5 5 5 5
7 3 7 ·( 3) 50421− = − = −

4. 30 Unidad 2 | Potencias y raíces
2.68. (TIC) Realiza las siguientes operaciones con radicales.
a) 32 2− c) 5 18 8 2 72−+
b) 50 2 200− d)
3 3
3 24 375+

a) 23224232=−=−
b) 50 2 200 5 2 20 2 15 2− = − = −
c) 225212222157228185 =+−=+−
d)
3 3 3 3 3
3 24 375 6 3 5 3 11 3+ = + =

2.69. ¿Es siempre la raíz cuadrada de un número menor que dicho número?
Analiza la respuesta buscando ejemplos.

No, para los números tales que 0 <
x < 1,
xx>; por ejemplo, x = 0,25; entonces,
x= 0,5.

2.70. ¿Cuántas raíces cuartas tiene el número 81?

Por ser la raíz de un radicando positivo con índice par, existen dos soluciones: 3 y –3.

Operaciones con potencias y raíces


2.71. Escribe estas potencias de exponente fraccionario como radicales.
a)
5
3
2 c)
3
2
3− e)
2
7
7
b)
3
2
36 d)
2
7
4− f)
9
7
3−

a)
353
5
22=
c)
32
3
33
−
−
=
e)
2
727
7 7=
b)
32
3
3636=
d)
7 27
2
44
−
−
=
f)
9
7 97
3 3
−
−
=


2.72. Expresa los siguientes radicales en forma de potencia con exponente fraccionario.
a)
45
7 c)
3
81
−
e)
9
2
−

b)
3
5
1
2
§
·
¨¸
©¹
d)
3
1
2
f)
11
1024

a)
4
5
45
77=
c)
3
4
3
381−=−
e)
9
9 2
2 2
−
−
=
b)
5
3
5
3
2
2
1
−
=¸
¹
·
¨
©
§
d) 3
1
3
2
2
1
−
=
f)
10
111011 11
1024 2 2
= =

5. Unidad 2 | Potencias y raíces 31
2.73. Calcula estas raíces expresándolas primero como potencias de exponente fraccionario.
a)
510
8 c)
816
2
e)
4
256

b)
3
3
1
4 d)
6
1
10
f)
3
6
125
7

a)
64888
25
10
510=== d)
001,01010
10
1
32
6
6===
−
−

b)
4
1
44
4
1
13
3
3
3
===
−
−
e)
8
48 24 4
256 2 2 2 4= = = =

c)
4222
28
16
816
=== f)
33
3
6 2
36
125 5 5 5
497 7
7
= = =

2.74.
Calcula el valor de estas potencias.
a)
1
3
8 c)
3
4
81 e)
3
2
9
b)
1
5
32
d)
7
4
0
f)
1
3
343


a)
( ) 228 3
1
33
1
== c) ( )
3 3
4 34 4
81 3 3 27= = = e)

( )
3 3
2 32 2
9 3 3 27= = =
b) ( )5
1
55
1
232
−−
= = 2
–1
d)
4
7
0= 0 f)
( )
1 1
33 3
343 7 7= =

2.75. Escribe estas expresiones en forma de potencia, pero con un solo exponente.
a)
()
4
1
3
2
c)
( )
2
1
2
25
−
−
e) ()
3
3
16
−

b) ()
4
3
5
d)
4
1
2
§·
¨¸
©¹
f) ()
7
7
7

a)
3
4
4
3
1
22 =
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
c)
2
1 2
22 2
25 25 5
−
−
§ ·
= =¨ ¸
¨ ¸
© ¹ e)
( )
( )
3
3 4
3 4
3
1 1
16 2
2
16
−
−
= = =
b) ( )
3
4
4
3
55= d)
2
4
2
14
22
2
1
−
−
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
=
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
f)
( )
7
1
7
7
7
7 7 7
§ ·
= =¨ ¸
© ¹

2.76. Indica si cada igualdad es verdadera o falsa. Justifica la respuesta.
a)
(
)
2 2 2
a b a b⋅=⋅ c) ( )
2 2 2
a b a b+ =+
b)
(
)()
q p
p q
a a= d)
1
a b
b a
−
§·
=¨¸
©¹

a) Verdadera por las propiedades de las potencias.
b) Verdadera,
( ) ( )
p
qpqqp
q
p
aaaa ===
⋅⋅

c) Falsa, ya que
( ) abbaba 2
222
++=+
d) Verdadera,
a
b
b
a
b
a
==
¸
¹
·
¨
©
§
−
−−
1
11

6. 32 Unidad 2 | Potencias y raíces
2.77. Justifica si estas igualdades son verdaderas.
a)
16 4−=− c)
3
8 2−=−
b)
8
0 0= d)
4 2
5 5
− −
=

a) Falsa. Una raíz con índice par y radicando negativo no tiene ninguna solución.
b) Verdadera. Si el radicando de una raíz es 0, independientemente del índice, la solución va a
ser cero.
c) Verdadera, (–2)
3
= –8
d) Verdadera,
22
4
4
555
−
−
−
==


2.78. Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica estas expresiones.
a)
(
)
()
3
2 2 4
2
0 5 2
5 5 5
5 5 5
−
−
⋅ ⋅
⋅⋅
b)
()
2 3
23 2
3
3 3
3
⋅
c)
()
3
1 5
7
2 2 2
2−
−
−
⋅ ⋅
d)
( )
3 1 4
2
5
7 7 7
7 7
− −
⋅⋅
⋅


a)
( )
( )
3
2 2 4
2 6 4
2 5 4
0 5 2
5 · 5 ·5
5 ·5 ·5
5
1·5 ·5
5 ·5 · 5
−
−
−
−
= =
c)
-1 5 -3
7
2 ·(2 ) ·2
2
−
=
-1 -15
-8
7
2 ·2 ·2
2
2
−
=

b)
( )
2 3
2
23 2 233
3
3 3
3 · 3
3 ·3
3
3 3
= =
d)
25
4-1-3
)7·7(
7·7·7
=
12-
210
4-1-3
7=
7·7
7·7·7

2.79. Calcula el valor de x en cada igualdad.
a)
2121
81
x
=
b)
4 2 16 9x=
⋅ c)
21
4
x
−
= d)
5 15 3 3 3
x⋅
=


a)
2121 121 11
81 81 9
x x= Ÿ= = ± c)
2 21
2 2
4
x x
− −= = Ÿ= ±
b)
4 2 4
16 9 (2 3) 6x x= ⋅ = ⋅ Ÿ= ± d)
5 15 5 15 3 3 3 3 3 10
x x
x
+
⋅ = Ÿ =Ÿ=

2.80. Opera y expresa el resultado como una potencia.
a)
4 3
3 5
:
5 3§
·§·
¨¸¨¸
©¹©¹
b)
3
3
1
3
3§
·
− ⋅¨¸
©¹




a)
4 3 7
4 3
4 3
3 5 3 ·3 3
:
5 3 5 5 ·5
§ · § · § ·
= =
¨ ¸ ¨ ¸ ¨ ¸
© ¹ © ¹ © ¹

b)
13
3
1
3
3
1
3
3
3
3
−=⋅
−
=⋅¸
¹
·
¨
©
§
−

2.81. Realiza estas operaciones y expresa el resultado en forma de raíz.
a)
3 1
5 22 7
:
7 2
§
·§·
¨¸¨¸
©¹©¹
b)
3
2
4
3
1
5
5
§
·
⋅¨¸
©¹


a)
10
11
2
1
5
3
2
1
5
3
2
1
5
3
7
2
77
22
2
7
:
7
2
¸
¹
·
¨
©
§
=
⋅
⋅
=¸
¹
·
¨
©
§
¸
¹
·
¨
©
§
b)
12
1
3
2
4
3
3
2
4
3
55
5
1
5
5
1
−
=⋅=⋅¸
¹
·
¨
©
§

7. Unidad 2 | Potencias y raíces 33
2.82. (TIC) Efectúa las siguientes operaciones.
a)
84
3 3 3⋅ ⋅ b)
643 43
3 3 : 3⋅ c)
3 105 2 7
2 : 2 2⋅ d) ()
2
5 3
⋅


a)
878 248828484
3333333333 ==⋅⋅=⋅⋅
b)
12512 89412812912464433
33:333:333:33 =⋅=⋅=⋅
c)
30730 2120630 21206107325
2222:222:2 ==⋅=⋅
+−

d) ( )
4
2
5335 =⋅
2.83. Escribe en forma de potencia estas expresiones.
a) 3
x
· 5
x
· 6
x
b)
x
x
c)
()
2
3
x
d)
3
x

a) 3
x
· 5
x
· 6
x
= (3 · 5 · 6)
x
c)
( )
3
2
2
3
xx
=
b)
1
2
1
2
x x
x
x
x
= = d)
12
1
3
xx=


2.84. (TIC) Realiza las siguientes operaciones.
a)
1 3
3 2 4
5 3 5
⋅
⋅ b) ()
12
2 633 2 5
⋅
⋅ c)
1
342
5 2 7
⋅
⋅ d) ( )
1
1 2
2
5 10
7 6 8⋅
⋅


a)
1 3
3 2 4
5 ·3 ·5 =
4 6 9 612 12
5 ·3 ·5 5 5·3=

b) ( )
12
2 63
3 · 2 ·5 =
4 11
3 64
3 ·2 ·5=
16 3 212
3 ·2 ·5 = 3
4 3 212
3 ·2 ·5
c)
1
342
5 ·2· 7= 2
3 86
5 ·7
d)
1 2 1
5 10 2
7 ·(6 · 8)=
1 2 3 1
5 10 2 2
7 ·((3·2) ·2 )=
1 2 2 3
5 20 20 4
7 ·3 ·2 ·2=
4 2 1720
7 ·3 ·2


2.85. Explica si son verdaderas estas igualdades.
a)
6 5
3 2
x x
x x
=
b)
4 3 6 2
x x x x⋅=⋅
a) Verdadera, porque
6 5
3
3 2
x x
x
x x
= = b) Falsa, porque
4 3 7 8 6 2
xx x x x x⋅ = ≠ = ⋅

2.86. (TIC) ¿Son verdaderas las siguientes igualdades?
a)
(
)
3 3
3 3−
−
− =− b) ()
22
2 2− =− c) ()
22
7 2 7 2−
−
⋅=⋅ d) ()
1
1 1−−=−

a) Verdadera, porque (–3)
–3
= (–1)
–3
· 3
–3
= (–1) · 3
–3
= – 3
–3

b) Falsa, porque 2
–2
=
2
1 1
42
=≠ (–2)
2
= 4
c) Falsa, porque 7 · 2
–2
=
2
7 1
414
≠ = (7 · 2)
–2
d) Verdadera, porque (–1)
–1
=
1
1−
= –1

8. 34 Unidad 2 | Potencias y raíces
2.87. Si
2 2a b>
, ¿se puede deducir que a > b? Analiza la respuesta buscando ejemplos.

No necesariamente. Si a < 0, por ejemplo, a = –1, b < 1, por ejemplo, b = 0,5.
Se cumple que: a
2
> b
2
(1 > 0,25), pero a < b (–1 < 0,5).

2.88. ¿Qué valores puede tomar un número a para que se cumpla que
2 a a=
?

Cero o uno.

2.89. Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas.
a)
a b a b+=+ c)
2
4 2
a a=
e) (4 3) 2 7 2+ =
b) (4 3) 2 4 3 2+ =+ d) a b a b⋅=⋅ f)
2
5 5 5 5 5
=


a) Falsa. Contraejemplo:
5= 2,236 y 41415+≠+= = 1 + 2 = 3
b) Falsa, porque (4 + 3) 2 = 72= 9,9 ≠ 4 + 32= 8,2
c) Falsa, porque
2 2
4 2 2 2a a a a= = ≠
d) Verdadera, porque ba⋅= ( ) bababa ⋅=⋅=⋅
2
1
2
1
2
1

e) Verdadera, porque 4 + 3 = 7
f) Falsa, porque ( )
2
2
5 5 5 5 5 5·5 25 5 5= = = ≠

2.90. (TIC)
Realiza estas operaciones.
a)
(
)
1
1 2
3 3−
− −
+ c)
30 30
2 2+ e)
1 1 1
2 3 5
−− −
++
b)
(
)
1
1
3 5 5
33 5−
−
⋅
+
⋅
d)
4
2 3
2
2 2
+
f)
7 7
2 2
−
⋅

a) ( )
4
9
9
4
9
1
3
1
33
11
1
21
=
¸
¹
·
¨
©
§=¸
¹
·
¨
©
§+=+
−−
−
−−
d)
3
4
12
16
84
16
22
2
32
4
==
+
=
+

b)
( )
3
32
3
5
3
3
5
53
53
2
1
1
=+=+
⋅
⋅
−
−
e)
30
31
5
1
3
1
2
1
532
111
=++=++
−−−

c)
31303030
22222=⋅=+ f) 1222
077
==⋅
−




2.91.
Se tiene un cubo y se duplica su lado. El volumen del nuevo cubo es de 216 metros
cúbicos. ¿Cuál era el volumen del cubo inicial?



( )
3
3 3
2 216 8 216 27a a V a= Ÿ = Ÿ= = m
3


2.92. (TIC)
Las siguientes raíces son exactas. Calcula en cada caso el menor valor de n que
hace que se cumpla esta condición.

a)
2 3
2 3n⋅⋅ b)
32 6
7 3n⋅⋅ c)
5 3
3 5n⋅⋅ d)
4 3 2
2 3n⋅⋅


a)
2 3 2 4
3 , 2 ·3 ·3 2 ·3 18n= = = c)
5 3 6 4
15 3·5 , 3 ·3·5·5 3 ·5 675n= = = =
b)

3 32 6 3 6
7 , 7 ·3 ·7 7 ·3 63n= = =
d)
4 42 2 3 2 4 4
18 2·3 , 2·3 ·2 ·3 2 ·3 6n= = = =

9. Unidad 2 | Potencias y raíces 39
AUTOEVALUACIÓN

2.1.
Efectúa estas operaciones y expresa el resultado en forma de raíz.
a)
3
2 4
3 3
⋅
b)
3 1
4 2
2 : 4 c) (
)
2
2
5( 3)
−
−
a)
3 3 11
2
42 114 4 4
3 3 3 3 3
+
⋅ = = =
b)
( )
3 1 3 3 3 1 1
1
42 14 2 4 4 4 4 2 4
1
2 : 4 2 : 2 2 : 2 2 2 2
2
− −
−
= = = = = =
c)
( )
( )
2 4
2 4 55 55
4
1
( 3) 3 ( 3)
3 −
− −
− = − = − =

2.2.
Calcula las siguientes raíces.
a)
3
27 b)
11
1 c)
4
16 d)
3
27
8

a)
3327
333
== c)
444
16 2 2= =
b) 11
11
= d)
3
33
3
27 3 3
8 22
= =


2.3. Indica el número de raíces de estos radicales.
a)
3 b)
3
5 c)
4
7− d)
5
10−

a) Dos raíces reales.
b) Una raíz real.
c) No tiene raíces reales.
d) Una raíz real.

2.4. Realiza estas operaciones.
a)
5 8 32 3 18− + b)
3 4
5 3 7
⋅
⋅
a) 21529242103232251833285
253
=+−=⋅+−=+−
b)
43
7·3·5=
12 364
7·3·5
2.5. Escribe en notación científica:
a) Cuatro milésimas c) 0,000 000 006
b) 51 423 000 d) 29 millones

a)
3
104
−
⋅
c)
9
6 10
−
⋅
b)
7
101423,5⋅ d)
7
2,9 10⋅