Equações polinomiais

polígrafo

1. SOLUC
~
AO DE EQUAC
~
OES POLINOMIAIS
Para a soluc~ao de equac~oes polinomiais de graun:
anx
n
+an1x
n1
+ +a0= 0an6= 0
Devemos considerar:
ˆParan= 1,ax+b= 0, coma6= 0, e a soluc~ao e
b
a
ˆParan= 2,ax
2
+bx+c= 0, coma6= 0, e podemos usar aformula
de Bhaskarapara determinar uma, duas ou nenhuma raiz real, depen-
dendo do valor dodiscriminanteoudeterminante( =b
2
4ac):
1. >0: duas razes reais;
2.
3. <0: nenhuma raiz real.
ˆParan >2 a situac~ao e bem mais complicada. O teorema fundamen-
tal da algebra arma que qualquer equac~ao polinomial de grauntem
exatamentenraizes complexas (incluindo as repetidas), mas o numero
das raizes reais depende da forma especca da equac~ao. Quanto a
resoluc~ao pratica de equac~oes de grau superior, no caso den= 3 e
n= 4, ainda existem as formulas gerais de obtenc~ao das razes, mas
a sua forma e bastante complicada e usualmente n~ao e considerada no
ensino de Calculo. No cason5 a resoluc~ao da equac~ao, em geral,
n~ao existe em radicais, ou seja, n~ao existe um algoritmo algebrico que
possibilita resolver qualquer equac~ao do graun5.
ˆNo entanto, podemos, por tentativa e erro, tentar encontrar uma raiz
k, ou seja, um fatorxk, em relac~ao ao qual o polin^omio seja divisvel,
de forma a reduzir o grau do polin^omio. Neste caso, ja sabemos queke
uma raiz da equac~ao, e a soluc~ao da equac~ao resultante e mais simples
pois o polin^omio sera um polin^omio de graun1.
1

2. EXEMPLO
Solucione a equac~ao 2x
3
+x
2
7x6 = 0.
Vericando uma raizkpor tentativa e erro:
1.k= 1: 2:(1)
3
+(1)
2
7:(1)6 =10. Portanto 1 n~ao e raiz da equac~ao.
2.k= 3: 2:(3)
3
+ (3)
2
7:(3)6 = 36. Portanto 3 n~ao e raiz da equac~ao.
3.k=1: 2:(1)
3
+ (1)
2
7:(1)6 = 0. Portanto1 e uma das
razes da equac~ao.
Usando divis~ao horizontal para efetuar a divis~ao do polin^omio porx+1:
2x
3
+x
2
7x6x+ 1
2x
3
2x
2
2x
2
0x
2
x
2
7x x
+x
2
+x
06x
6x6 6
6x+ 6
0
Logo, resto e 0 e (2x
3
+x
2
7x6)(x+ 1) = 2x
2
x6
Usando o dispositivo deBriot-Runipara efetuar a divis~ao do po-
lin^omio porx+ 1:
-1 2 1 -7 -6
2 -2+1=-1 1-7=-6 6-6=0
-1.2=-2 -1 -6 0
(-1)(-1)=1 (-1)(-6)=6
Logo, resto e 0 e (2x
3
+x
2
7x6)(x+ 1) = 2x
2
x6
Solucionando e obtendo as outras duas razes:
2x
2
x6 = 0
= 14:2:(6) = 49
x=
17
2:2
= 2 e
3
2
Portanto,S=f3=2;1;2g
2