equacoes-do-segundo-grau-nono-ano-fundamental

Equação 2° grau

1. Equação do 2º Grau Prof. Jônatas Silva

2. Equação do 2º grau com uma incógnita Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação da forma ax² + bx + c = 0 , em que a, b, c e a 0.   Equação do 2º Grau

3. Nas equações do 2º grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x: Exemplo a será sempre o coeficiente do termo em x² b será sempre o coeficiente do termo em x c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x 2x² – 2x – 40 = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 2, b = – 2 e c = – 40 x² – 25 = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 1, b = 0 e c = – 25 6x² – 9x = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 6, b = – 9 e c = 0.

4. Equações completas e incompletas Pela definição, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0. Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau de diz completa. Equação completa Exemplo 5x² – 8x +3 = 0 Equação completa A= 5 B = -8 C =3 Quando b = 0 ou c = 0, a equação do 2º grau de diz incompleta Equação incompleta Exemplo x² – 81 = 0 Equação incompleta A= 1 B = 0 C =-81 Nas equações do 2º grau com uma incógnita, os números reais a, b e c são chamados coeficientes da equação. Assim, se a equação for na incógnita x: Exemplo a será sempre o coeficiente do termo em x² b será sempre o coeficiente do termo em x c será o coeficiente sem incógnita ou o termo independente de x 2x² – 2x – 40 = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 2, b = – 2 e c = – 40 x² – 25 = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 1, b = 0 e c = – 25 6x² – 9x = 0 é uma equação do 2º grau na incógnita x, em que a = 6, b = – 9 e c = 0.

5. Forma reduzida da equação do 2º Grau com uma incógnita Escrever a equação 2x² – 7x +4 = 1 - x² na forma reduzida Aplicamos o princípio aditivo 2x² – 7x +4 -1 + x² = 0 Forma reduzida 3x² – 7x + 3 = 0 1 2 Equações completas e incompletas Pela definição, devemos ter sempre a ≠ 0. Entretanto, podemos ter b = 0 ou c = 0. Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau de diz completa. Equação completa Exemplo 5x² – 8x +3 = 0 Equação completa A= 5 B = -8 C =3 Quando b = 0 ou c = 0, a equação do 2º grau de diz incompleta Equação incompleta Exemplo x² – 81 = 0 Equação incompleta A= 1 B = 0 C =-81

6. rotação Resoluções de Equações do 2º Grau com uma Incógnita Um número real é tal que seu quadrado é igual ao seu triplo. Qual é esse número? ! Equações incompletas na forma ax² + bx = 0

7. rotação Resoluções de Equações do 2º Grau com uma Incógnita A medida da área de uma praça quadrada é 144 m². Quanto mede o lado dessa praça? ! Equações incompletas na forma ax² + c = 0 Indicando por x a medida do lado dessa praça, podemos escrever a equação: Logo, a medida do lado da praça é 12 m.  

8. A fórmula é chamada fórmula resolutiva da equação completa do 2º grau ax² + bx + c = 0   Equações completas Termos Discriminante da equação ( ) b² – 4ac = 0   Outra forma de escrever a fórmula resolutiva (Fórmula de Bhaskara)  

9. A existência ou não de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes, depende, exclusivamente, do valor do discriminante Raízes reais = b² – 4ac   Equação ax² + bx + c = 0 A equação tem raízes reais >: Duas raízes diferentes = 0: Duas raízes iguais   A equação não tem raízes reais   A fórmula é chamada fórmula resolutiva da equação completa do 2º grau ax² + bx + c = 0   Equações completas

10. rotação Exemplos Resolver a equação x² + 2x - 8 = 0 , no conjunto R ! A existência ou não de raízes reais, bem como o fato de elas serem duas iguais ou diferentes, depende, exclusivamente, do valor do discriminante Raízes reais = b² – 4ac = 0   Equação ax² + bx + c = 0 A equação tem raízes reais >: Duas raízes diferentes = 0: Duas raízes iguais   A equação não tem raízes reais  

11. rotação Exemplos Resolver a equação x² - 14x + 49 = 0 , no conjunto R !

12. rotação Exemplos Resolver a equação x² - 5x + 8 = 0 , no conjunto R !

13. Considere a equação ax² + bx + c = 0 , sendo x’ e x’’ as raízes reais dessa equação Entre as raízes e os coeficientes da equação, existem duas relações importantes Soma das raízes 1ª relação Sendo x’ e x’’ as raízes reais da equação, temos: Adicionando membro a membro dessas duas igualdades, obtemos a 1ª relação  

14. Soma e Produto das raízes Sendo x’ e x’’ as raízes reais da equação, temos: Multiplicando membro a membro dessas duas igualdades, obtemos a 2ª relação  

15. 1ª relação Em toda equação do 2º grau, em que x’ e x’’ são raízes reais, temos x’ + x’’ =  

16. 2 ª relação Em toda equação do 2º grau, em que x’ e x’’ são raízes reais, temos x’ . x’’ =  

17. rotação Exemplos A equação 3x² -8x -3 = 0 , apresenta duas raízes reais e diferentes. Sem resolver a equação, determine a soma e o produto dessas duas raízes !

18. Escrevendo uma equação quando conhecemos as raízes 1 Podemos aplicar a relação entre as raízes e os coeficientes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 para escrever a equação na forma, quando são dados dois números reais (x’ e x’’) como raízes da equação. Como a ≠ 0, vamos dividir todos os termos pelo coeficiente a

19. Escr e vendo uma equação quando conhecemos as raízes 2 Sendo x’ e x’’ as raízes reais da equação, temos: 1 Podemos aplicar a relação entre as raízes e os coeficientes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 para escrever a equação na forma, quando são dados dois números reais (x’ e x’’) como raízes da equação. Como a ≠ 0, vamos dividir todos os termos pelo coeficiente a

20. Escr e vendo uma equação quando conhecemos as raízes 3 Substituindo 1 e 3 na equação 1 x² - (x’ + x’’)x + x’ . x’’ = 0 4 Se indicarmos por S a soma das raízes (x’ + x’’ = S) e por P, o produto dessas raízes ( x’ . x’’ = P), escrevemos a equação na forma: x² - Sx + P = 0 2 Sendo x’ e x’’ as raízes reais da equação, temos:

21. rotação Exemplos João está montando equações quadráticas para estudar para sua prova de matemática. Ele quer criar uma equação do segundo grau na forma ax² + bx + c = 0, mas esquece quais foram os coeficientes a, b e c. No entanto, ele lembra que o coeficiente a é 1 e que as raízes da equação são 3 e -2. Qual é a equação que João criou? Escr e vendo uma equação quando conhecemos as raízes 3 Substituindo 1 e 3 na equação 1 x² - (x’ + x’’)x + x’ . x’’ = 0 4 Se indicarmos por S a soma das raízes (x’ + x’’ = S) e por P, o produto dessas raízes ( x’ . x’’ = P), escrevemos a equação na forma: x² - Sx + P = 0

22. rotação Exemplos Determinar a equação do 2º grau na incógnita x, sabendo que as raízes dessa equação são os números reais 3 e 5 ! Escr e vendo uma equação quando conhecemos as raízes 3 Substituindo 1 e 3 na equação 1 x² - (x’ + x’’)x + x’ . x’’ = 0 4 Se indicarmos por S a soma das raízes (x’ + x’’ = S) e por P, o produto dessas raízes ( x’ . x’’ = P), escrevemos a equação na forma: x² - Sx + P = 0

23. Resolução de sistemas do 2° grau com duas incógnitas Exemplo Um sistema é chamado do 2º grau com duas incógnitas quando pelo menos uma das equações que o compõem é do 2º grau.

24. rotação Resolução sistema de equação do 2° grau Escr e vendo uma equação quando conhecemos as raízes 3 Substituindo 1 e 3 na equação 1 x² - (x’ + x’’)x + x’ . x’’ = 0 4 Se indicarmos por S a soma das raízes (x’ + x’’ = S) e por P, o produto dessas raízes ( x’ . x’’ = P), escrevemos a equação na forma: x² - Sx + P = 0

25. Resolução de problemas envolvendo Sistema de equações Matheus cercou um terreno retangular cujo perímetro é 74 m, e a área, 300 m 2 . Quais são as dimensões desse terreno?

26. Equações redutíveis à equação do 2° grau Exemplo As equações da forma ax 4  + bx 2  + c = 0 são denominadas  equações biquadradas . x 4  – 7x 2  + 12 = 0

27. Equações irracionais Exemplo Equações que apresentam uma expressão algébrica irracional em pelo menos um de seus termos, isto é, que apresentam variável no radicando, são chamadas de  equações irracionais .