Estudio de los campos escalares y vectoriales: fundamentos, propiedades matemáticas, aplicaciones en dinámica, ingeniería civil, vida cotidiana y educación

Las magnitudes físicas son valores que permiten describir, medir y analizar los fenómenos que ocurren en el mundo real. Estas se dividen en escalares y vectoriales, clasificación que resulta esencial para comprender la dinámica y el comportamiento de los cuerpos en movimiento, ya que la naturaleza no solo se expresa en cantidades numéricas, sino también en direcciones y sentidos que condicionan la forma en que los cuerpos interactúan.

En el caso de las magnitudes escalares, basta con un número y una unidad para definirlas, pues solo indican “cuánto” de una propiedad está presente (como el tiempo, la masa, el volumen o la temperatura). En cambio, las magnitudes vectoriales requieren de un módulo, una dirección y un sentido para describirse completamente, lo que permite entender no solo la intensidad del fenómeno, sino también “hacia dónde” actúa (ejemplos: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, momento).

Esta clasificación adquiere una relevancia especial en la ingeniería civil, disciplina en la que constantemente se analizan sistemas estructurales, suelos, materiales y fluidos sometidos a cargas. Por ejemplo, en el diseño de un puente o un edificio no basta con conocer la magnitud de una fuerza aplicada (escalares), sino también su dirección y punto de aplicación (vectoriales), ya que de ello depende la distribución de esfuerzos, la estabilidad y la seguridad de la estructura.

Del mismo modo, en la vida cotidiana, el uso de magnitudes escalares y vectoriales está presente de manera continua aunque muchas veces no lo percibamos: desde calcular el tiempo de un recorrido, medir la cantidad de combustible o la temperatura del ambiente (escalares), hasta lanzar una pelota, empujar un mueble o conducir un automóvil tomando en cuenta la velocidad y dirección del movimiento (vectoriales).

Finalmente, en el campo de la educación, su enseñanza es esencial para que los estudiantes desarrollen una visión integral de los fenómenos físicos. El aprendizaje de estas magnitudes fomenta la capacidad de relacionar teoría con práctica, interpretar datos y aplicar conocimientos en la resolución de problemas, lo cual fortalece la formación científica y técnica en áreas como la física, la ingeniería y las matemáticas.

En conclusión, las magnitudes escalares y vectoriales son la base para describir, analizar y aplicar correctamente los fenómenos físicos tanto en la teoría como en la práctica. Su comprensión permite explicar, analizar y predecir fenómenos que intervienen en el diseño, la construcción y el funcionamiento de estructuras en la ingeniería civil, así como en el desenvolvimiento cotidiano y en la formación académica de las personas.

1. CAMPOS ESCALARES
Y VECTORIALES.
ASIGNATURA: DINÁMICA
DOCENTE: Msc. Ing. J. Antonio CÓNDOR SOCUALAYA

2. •Conociendoelcontenidoatocarhoy:
Puedesresponderalainterrogante:¿Quésonloscamposescalaresy
vectoriales?
ROMPIENDO ELHIELO.

3. CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES.
Loscamposescalaressonfuncionesquedependendedosomásvariables
cuyosvaloressonnúmerosreales.Loscamposvectorialessonfuncionesque
dependendedosomásvariablesycuyosvaloressonvectores.Loscampos
vectorialessedebencompararaloscamposescalares,queasocianunnúmero
oescalaracadapuntoenelespacio.
ROMPIENDO ELHIELO.

4. TEMARIO.
•Rompiendo el hielo.
•Introducción.
•Diferenciación Vectorial.
•Dominio de definición.
•Propiedades de los límites.
•Derivada de un vector.
•Derivadas de sumas y productos.
•Longitud de arco.
•Ejercicios resueltos.
•Ejercicios propuestos.
•Conclusiones.
•Indicaciones para las actividades a
realizar.

5. CAPACIDAD A LOGRAR:
Alfinalizarlasesiónelestudiante,comprenderálasteoríasfísicas
ademásdeasociarvaloresapuntosenelespacioydefinirmagnitudes
escalaresovectoriales.

6. UTILIDAD.
Lautilidaddelcampoescalaresladerepresentarladistribución
espacialdeunamagnitudescalar,asociandounvaloracadapuntodel
espacio,mientrasqueelcampovectorialestarelacionadoconun
vectorV(x,y,z),entoncesVsellamafunciónvectorialdeposición,y
decimosquesehadefinidouncampovectorialV.

7. DIFERENCIACIÓN VECTORIAL: GEOMETRÍA
DIFERENCIAL.

8. Como el módulo de
d
Ԧ
f(s)
ds
es idénticamente uno (módulo unitario):
d
Ԧ
f(s)
ds
°
d
Ԧ
f(s)
ds
= 1
d
2Ԧ
f(s)
ds
2°
d
Ԧ
f(s)
ds
+
d
Ԧ
f(s)
ds
°
d
2Ԧ
f(s)
ds
2= 0
2
d
2Ԧ
f(s)
ds
2°
d
Ԧ
f(s)
ds
= 0 →
d
2Ԧ
f(s)
ds
2⊥
d
Ԧ
f(s)
ds
Elvectorcurvaturaesperpendicularalvectortangenteunitario,ytieneel
sentidodedireccióndondeviralafunción.
SiK(s)0parasa;b,sellamanormalunitariaa
Ԧ
f(s)alcampovectorial
definidoenlospuntosdelatrazade
Ԧ
f(s)dadopor:
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL.

9. N(s)=
K(s)
K(s)
=
d
2Ԧ
f(s)
ds
2
d
2Ԧ
f(s)
ds
2
Como:
dT
ds
=
d
2Ԧ
f(s)
ds
2
N(s)=
dT
ds
K(s)
Dedonde:
dT
ds
=
d
2Ԧ
f(s)
ds
2=K(s)=K(s)N(s)
dT
ds
= K(s)N(s)
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL.

10. DadosT(s)yN(s),sepuedecompletarunabaselocalortonormalde
dimensión3,conlamismaorientacióndelabasecanónica,añadiendoal
conjunto,alproductodeT(s)yN(s).
B(s)= T(s)x N(s)
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL.
DondeB(s)sedenominavectorBinormal.Labase{T,N,B}
sedenominaTRIEDROMÓVIL(TNBframe-marcoTNB)
PLANOS Y RECTAS.

11. Fórmulas de FrenetSerret.
LasfórmulasdeFrenet-Serret,sonvectoresquesatisfacenlassiguientes
ecuacionesvectoriales:
dT
ds
°T=
dN
ds
°N=
dB
ds
°B= 0
Laprimeralahemoshalladoyestádadapor:
dT
ds
=K(s)N(s)
Vamosporlasotrasdos...
B(s)= T(s)x N(s)→
dB
ds
=
dT
ds
xN+ Tx
dT
ds
dB
ds
= Tx
dN
ds
Pero:Tx
dN
ds
||N,entonces:
dB
ds
||N→-
dB
ds
=N
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL.

12. Pero:Tx
dN
ds
||N,entonces:
dB
ds
||N→-
dB
ds
=N
Ylaultima:
N= Bx T→
dN
ds
=
dB
ds
x T+ Bx
dT
ds
dN
ds
= (-N) x T+ Bx (KN) = -KT+ B
dT
ds
= KN
dN
ds
= KT+ B
dB
ds
= -N
d
ST
d
SN
d
SB
=
0K0
−K0
0−0
T
N
B
FORMA
MATRICIAL
DIFERENCIACIÓN VECTORIAL.

13. ¿QUÉ NOS LLEVAMOS DE LA SESIÓN DE HOY?
1.
2.
3.
4.

14. TRABAJO FUERA DE CLASE
•Asisteregularmenteaclases.
•Consultar libros en la biblioteca.
•Tarea.
Participadelasactividades
asignadasporeldocente.
Libros de consulta
-AngelesVásquez,R.(2023).
Apuntesdeclasedinámica
conelementosdegeometría
diferencial.Huancayo.