Examenes resueltos ecuaciones diferenciales ordinarias

1. Anjo de Deus, meu querido amigo, a quem o amor de
Deus me destina aqui; sempre neste dia esteja comigo
para iluminar e guardar, governar e guiar…
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO
FACULTAD DE INGENIERIA CIV IL Y ARQUITECTURA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL













CURSO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


ALUMNO:
ROQUE CHARCA, Rosand

DOCENTE:
Lic. Edgar Huarcaya




SOLUCION DE EXAMENES PARCIALES

2. UNA - PUNO 2011

Rosand Roque Charca – III Semestre
1

1º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 90min)
1. Resolver:






SOLUCIÓN: Analizando la ecuación nos damos cuenta que es una ecuación homogénea de grado 3,
entonces debe cumplir que:

entonces veamos

















de grado 3










de grado 3, luego si cumple.
Utilizamos la siguiente transformación: luego reemplazando en la
ecuación original tenemos:










factorizando y agrupando tenemos:








siempre que se tiene









en esta ecuación las variables se pueden separar
Dedicado a todos mis compañeros de la facultad, que de seguro algún
día estaremos trabajando construyendo el desarrollo de nuestro país…

3. UNA - PUNO 2011

Rosand Roque Charca – III Semestre
2









Empleando el factor integrante tenemos:
∫





∫








∫















,

,




Luego como: la solución primitiva es:











2. Resolver:








SOLUCIÓN: Para resolver este tipo de ejercicios tenemos que hacer algunos arreglos para
trabajar con ecuaciones diferenciales reducibles a homogéneas, sea




remplazando en la ecuación diferencial dada:








Sean:

como:




Para esto resolvemos el siguiente sistema:
,






Reducimos la ecuación haciendo el siguiente arreglo: sean reemplazando en
(1) tenemos:

que es una ecuación homogénea
Sea:

para se tiene


se tiene


simplificando y separando variable






























Integrando tenemos:
∫


∫




∫























|







|


|










|
3. Resolver:


SOLUCIÓN: Analizando este ejercicio le podemos dar la forma de la ecuación de Bernoulli,
entonces agrupando y separando variables tenemos:














∫
????????????
??????
�
??????
�

�
�??????
????????????
?????? ??????
?????? ??????

∫
??????????????????
??????
�
??????
�

�
�
???????????? ??????
�
??????
�

4. UNA - PUNO 2011

Rosand Roque Charca – III Semestre
3
Multiplicamos por

tenemos:














































Reemplazando en la ecuación (1) tenemos una ecuación diferencial lineal en

























∫ ∫


∫


∫







∫

(


)








∫


























4. Suponga que un tazón de sopa se enfría de 90ºC a 60ºC en 10 minutos, en una cocina a
20ºC. Responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuánto más tardará la sopa en enfriarse a 35ºC?
b) En lugar de dejarla en la cocina, la sopa a 90ºC se guarda en un congelador a -15ºC.
¿Cuánto tardará en enfriarse de 90ºC a 35ºC?
SOLUCIÓN:
a) Consideremos a:
temperatura del tazón de sopa en el instante ,

la temperatura de la habitación.
Se sabe por la ley del enfriamiento de Newton que:










Luego si:

5. UNA - PUNO 2011

Rosand Roque Charca – III Semestre
4



Entonces tenemos que: Si







Entonces la sopa tardará en enfriarse casi: mas en llegar a 35ºC

b) Consideremos ahora:

la temperatura del congelador
, según la ley del enfriamiento de Newton:










como



Entonces tenemos que: Si








5. Un tanque de 200 galones contiene al inicio 20Lb de sal disuelta en 100 galones de agua,
Después se agrega una solución salina cuya concentración es de ¼ de libra de sal por galón,
a una razón de 4gal/min y la mezcla resultante sale afuera a una razón de 2gal/min.
Encuentre la cantidad de sal en el tanque cuando este está a punto de desbordarse.
SOLUCIÓN: Sea la cantidad de sal en el tanque en cualquier instante.
es la razón de cambio de la cantidad de sal en el tanque en cualquier tiempo y está dado
por:



Puesto que entran 4gal/min conteniendo ¼ lb/gal de sal, tenemos que la cantidad de sal que entra
por minuto o la razón de entrada es:









La solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con una rapidez menor, entonces la
solución aumenta con una rapidez de después de minutos hay
galones en el tanque y debido a que hay número de libras de sal en el tanque en
cualquier tiempo, la concentración de sal al tiempo es libras por galones. La
cantidad de sal que sale por minuto o razón de salida es:









De las ecuaciones (1), (2), y (3) tenemos:






Inicialmente hay 20 libras de sal, es decir: Q tenemos una ecuación diferencial lineal no
homogénea:

6. UNA - PUNO 2011

Rosand Roque Charca – III Semestre
5
El factor integrante es:

∫





multiplicando la E.D.O. lineal por el factor integrante:









( ) integrando:












Usando la condición inicial:














El tanque se desborda: , entonces: , por tanto:








2º EXAMEN PARCIAL (TIEMPO: 90min)
1. Resolver:


SOLUCIÓN: Hallamos su ecuación auxiliar:
























Las raíces de las ecuaciones serían: √ √
Donde: √ para el primer caso y para el segundo: √
Entonces la solución general es:








(
√
√ )

(
√
√ )
2. Resolver:










SOLUCIÓN: El operador anulador del segundo miembro es:



, entonces escribimos
la ecuación en forma de operador y aplicando el operador anulador tenemos:






Las raíces del polinomio característico


son: entonces nuestro conjunto fundamental de soluciones es: {



} entonces la
solución complementaria resulta:







La solución particular la obtenemos de




donde las raíces son las mismas
pero de multiplicidad 3, estas raíces deben producir las soluciones linealmente independientes
con las del conjunto fundamental de soluciones, así la solución particular debe tener la forma:











Estos coeficientes indeterminados hay
que obtenerlos por comparación en la ecuación original, así tenemos que:

7. UNA - PUNO 2011

Rosand Roque Charca – III Semestre
6




























Agrupamos convenientemente:



*(



)




+ derivando nuevamente y de la misma manera agrupando tenemos:



*(



)
(



) +
Reemplazando en la ecuación original tenemos:














*(



) (




) +

*(




)




+
















Agrupando e igualando:


*(

)

+







Comparando la igualdad se cumple si y solo si:
{




Finalmente la solución general de la ecuación es:


































3. Aplicando variación de parámetro, resolver:







sujeto a
,
SOLUCIÓN: El polinomio para la ecuación homogenea es:



que
resolviendo nos da dos raíces reales iguales entonces la solución complementaria es:







supongamos una solución particular del tipo:






ahora
hallemos las funciones

con los wronskianos:
|










|













|









|





























∫

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7

|








|



















∫





, entonces la solución
particular es:


















luego la solución general es:





















ahora hacemos cumplir las
condiciones iniciales:

luego en:






















finalmente la solución del problema de valor inicial es:













4. Resolver:










SOLUCIÓN: Para este tipo de problemas se hace cambio de variable, sea




donde
















, entonces:








(


)
























(



)










reemplazamos en la ecuación dada:





























la solución homogénea respecto a de la ecuación


es:





luego sea la solución particular:
reemplazando en la ecuación:



obtenemos: de aquí tenemos:
,



luego






, finalmente reemplazando en función de tenemos:








5. Resolver:













SOLUCIÓN: Para este tipo de problemas es mejor aplicar variación de parámetros, escribimos la
ecuación en la forma












o en la forma: cuando


reemplazando en la ecuación:




(








)

























donde:

(




) √ (




)


√


El conjunto fundamental de soluciones es: {



} entonces tenemos que:






supongamos una solución particular del tipo:







ahora hallemos las funciones

con los wronskianos:

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8
|




















|









(








)



|













|















∫

|











|















∫
entonces la solución particular es:






finalmente la
solución general es:










NOTA: El tercer examen parcial fue todo el capítulo de Transformadas de Laplace al cual mi
persona ya no tuvo acceso debido al promedio. Cualquier duda o sugerencia no dude en hacerme
llegar puesto que cualquier ser humano no está excento de errores.




Rosand Roque Charca
[email protected]