Expresiones algebraicas

1. Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
•Una Una expresión algebraicaexpresión algebraica es una expresión en la es una expresión en la
que se relacionan valores indeterminados con que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por un constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta, número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.producto, cociente, potencia y raíz.
•EjemplosEjemplos
1
2.
)
2)
2)
2
32
2
+
-
+
+
x
xyx
c
xyxb
xyxa

2. Tipos de Expresiones AlgebraicasTipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
Racionales IrracionalesRacionales Irracionales
Enteras FraccionariasEnteras Fraccionarias

3. Expresión Algebraica RacionalExpresión Algebraica Racional
•Es racional cuando las variables no están Es racional cuando las variables no están
afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
•EjemploEjemplo
3
12
.
2
22
+
+
+
y
yxx

4. Expresión Algebraica IrracionalExpresión Algebraica Irracional
•Es irracional cuando las variables están Es irracional cuando las variables están
afectadas por la radicaciónafectadas por la radicación
•EjemploEjemplo
yxx2+

5. Expr.Algebraica Racional EnteraExpr.Algebraica Racional Entera
•Una expresión algebraicas es racional entera Una expresión algebraicas es racional entera
cuando la indeterminada está afectada sólo cuando la indeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta, por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.multiplicación y potencia natural.
•EjemploEjemplo
542
3 yyxx ++

6. Expresión Algebraica Racional Expresión Algebraica Racional
FraccionariaFraccionaria
•Una expresión algebraicas racional es Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece fraccionaria cuando la indeterminada aparece
en algún denominador.en algún denominador.
•EjemploEjemplo
3
1
2
-+yx
x

7. PolinomiosPolinomios
•Son las expresiones algebraicas más Son las expresiones algebraicas más
usadas.usadas.
•Sean aSean a
00, a, a
11, a, a
22, …, a, …, a
nn números reales y números reales y n n
un número natural, llamaremos un número natural, llamaremos polinomio polinomio
en indeterminada xen indeterminada x a toda expresión a toda expresión
algebraica entera de la forma:algebraica entera de la forma:
aa
00 + a + a
11 x + a x + a
22 x x
22
+ … + a + … + a
nn x x
nn

8. Ejemplos de polinomiosEjemplos de polinomios
A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos A los polinomios en indeterminada x los simbolizaremos
con letras mayúsculas indicando la indeterminada con letras mayúsculas indicando la indeterminada
entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
3
2
3
2
3)
3
1
)
xxb
xa
+
3
3
532)
2
1)
xxd
x
c
++
+
-

9. TérminosTérminos
•Monomio : polinomio con un solo término.Monomio : polinomio con un solo término.
•Binomio : polinomio con dos términos.Binomio : polinomio con dos términos.
•Trinomio : polinomio con tres términos.Trinomio : polinomio con tres términos.
•Cada monomio aCada monomio a
iixx
ii
se llama se llama términotérmino..
•El polinomio será de El polinomio será de gradogrado n si el término de mayor n si el término de mayor
grado es agrado es a
nnxx
nn
con a con a
nn¹¹0.0.
•A aA a
00 se lo llama se lo llama término independientetérmino independiente..
•A aA a
nn se lo llama se lo llama término principaltérmino principal. .

10. EjemplosEjemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x
2
+ … +0x
n
se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por O
p
(x).
No se le asigna grado.

11. EjercicioEjercicio
•Indicar cuáles de las siguientes expresiones Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso algebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.indicar su grado.
2
13
)
)3)(2()
12
3
1
)
4
3
+
+-
++-
x
c
xxb
xxa
1
32
)
3
12
)
52)
2
2
+
-+
++-
++
x
xx
f
xx
xe
xd

12. Polinomios igualesPolinomios iguales
•Dos polinomios son iguales si y sólo si los Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo coeficientes de los términos de igual grado lo
son.son.
•Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
2
2
33
)2()1()(
25)12(5)()
)()(;52)()
xbcxbaxQ
xxxPb
xbaaxQxxPa
++++=
+++-=
++=+=

13. Suma de PolinomiosSuma de Polinomios
•Para sumar dos polinomios se agrupan los Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.coeficientes.
•Ejemplo: Sumar los siguientes polinomiosEjemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x
44
+ 5x + 5x
33
– 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x
33
– 6x – 6x
22
– 5x - 2 – 5x - 2

14. Propiedades de la SumaPropiedades de la Suma
•AsociativaAsociativa
•ConmutativaConmutativa
•Existencia de elemento neutroExistencia de elemento neutro
•Existencia de elemento opuestoExistencia de elemento opuesto

15. Resta de PolinomiosResta de Polinomios
•Para restar el polinomio Q(x) del polinomio Para restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
•Ejemplo: Restar los siguientes polinomiosEjemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x
44
+ 5x + 5x
33
– 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x
33
– 6x – 6x
22
– 5x - 2 – 5x - 2

16. Multiplicación de PolinomiosMultiplicación de Polinomios
•Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los monomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos de términos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.igual grado.
•Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomiosEjemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2xP(x) = -2x
44
+ 5x + 5x
33
– 3x + 1 – 3x + 1
Q(x) = 3xQ(x) = 3x
33
– 6x – 6x
22
– 5x – 2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3xP(x).Q(x) = P(x) 3x
3 3
+ P(x) (-6x+ P(x) (-6x
22
) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2) ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)

17. Propiedades del ProductoPropiedades del Producto
•AsociativaAsociativa
•ConmutativaConmutativa
•Existencia de elemento neutro.Existencia de elemento neutro.

18. Algunos productos importantesAlgunos productos importantes
•(x+a)(x+a)
22
=(x+a)(x+a)= x =(x+a)(x+a)= x
2 2
+ 2ax + a+ 2ax + a
22
•(x-a)(x-a)
22
=(x-a)(x-a)= x =(x-a)(x-a)= x
22
-- 2ax + a2ax + a
22
•(x+a)(x+a)
33
= x = x
33
+ 3ax + 3ax
22
+ 3a + 3a
22
x + ax + a
33
•(x-a)(x-a)
33
= x = x
33
- 3ax - 3ax
22
+ 3a + 3a
22
x - ax - a
33
•(x+a)(x-a)= x(x+a)(x-a)= x
22
–ax +ax-a –ax +ax-a
22
= x = x
22
-a-a
22

19. EjercicioEjercicio
•Escribir los desarrollos deEscribir los desarrollos de
2
43
232
2
3
1
3
2
)
)()
)32()
÷
ø
ö
ç
è
æ
--
-
+
xxc
xxb
xa
3
23
34
3
3
2
2
1
)
)()
)32()
÷
ø
ö
ç
è
æ
+-
+-
+-
xxf
xxe
xd

20. EjercicioEjercicio: Expresar los siguientes trinomios : Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de un cuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos
como el cubo de un binomio.como el cubo de un binomio.
93025)
4914)
144)
2
2
2
+-
++
+-
xxc
xxb
xxa
6543
23
23
8
1
2
3
68)
16128)
8126)
xxxxf
xxxe
xxxd
+-+-
+++
-+-

21. EjercicioEjercicio: La expresión x: La expresión x
2 2
- a- a
22
es una diferencia es una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientes de cuadrados. Escribir las siguientes
diferencias como producto de binomios.diferencias como producto de binomios.
64)
4)
36
1
)
100)
8
4
2
2
-
-
-
-
xd
xc
xb
xa

22. División de polinomiosDivisión de polinomios
•Existe una estrecha analogía entre el Existe una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división de cociente de polinomios y la división de
números enteros.números enteros.
•Recordemos algunas definiciones de la Recordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros. división entre números enteros.

23. División entre números enterosDivisión entre números enteros
•En el conjunto de números enteros, si En el conjunto de números enteros, si
D es el dividendo y dD es el dividendo y d¹¹0 es el divisor, 0 es el divisor,
existen y son únicos dos enteros c existen y son únicos dos enteros c
(cociente) y (r (resto) tales que(cociente) y (r (resto) tales que
D = d . C + r 0 D = d . C + r 0 ≤ r < |d|≤ r < |d|
•Si r=0 se dice que D es divisible por d.Si r=0 se dice que D es divisible por d.

24. División entre números enterosDivisión entre números enteros
•Ejemplo: Realizar las siguientes Ejemplo: Realizar las siguientes
divisiones enteras:divisiones enteras:
•29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6≤ 5 < 6
•29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?

25. División de polinomiosDivisión de polinomios
•Dados los polinomiosDados los polinomios
D(x) = 6xD(x) = 6x
33
– 17x – 17x
22
+15x-8+15x-8
d(x) = 3x – 4d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x) determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
y r(x) tales quey r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x) D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que de modo que el grado de r(x) sea menor que
el grado de d(x) o bien r(x)=Oel grado de d(x) o bien r(x)=O
pp(x)(x)

26. -6x
3
+ 8x
2
EjemploEjemplo
6x6x
33
– 17x – 17x
2 2
+ 15x – 8 3x – 4+ 15x – 8 3x – 4
2x
2
0x
3
- 9x
2
+ 15x
- 3x
9x
2
- 12x
0x
2
+ 3x - 8
+ 1
-3x + 4
0x - 4
6x
3
-17x
2
+15x-8 = (3x-4)(2x
2
-3x+1)-4

27. EjerciciosEjercicios
•D(x) = 4xD(x) = 4x
55
+ 2x + 2x
33
– 24x – 24x
22
+ 18x + 18x
d(x) = xd(x) = x
22
– 3x – 3x
• D(x) = 16xD(x) = 16x
88
+ 24x + 24x
66
+ 9x + 9x
44

d(x) = 4xd(x) = 4x
55
+ 4x + 4x
44
+ 3x + 3x
33
+ 3x + 3x
22
•D(x) = 2xD(x) = 2x
44
– 6x – 6x
33
+ 7x + 7x
22
– 3x +2 – 3x +2
d(x) = x-2d(x) = x-2

28. División de PolinomiosDivisión de Polinomios
•Dados los polinomios D(x) y d(x); Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)d(x)¹¹OO
pp(x), diremos que (x), diremos que d(x) divide a d(x) divide a
D(x)D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)
tal quetal que
D(x) = d(x) . c(x)D(x) = d(x) . c(x)

29. EjerciciosEjercicios
•Dados los polinomios P(x) y Q(x) Dados los polinomios P(x) y Q(x)
indica si alguno de ellos es divisible indica si alguno de ellos es divisible
por el otropor el otro
•P(x) = xP(x) = x
44
-2x -2x
33
+x +x
2 2
-5x + 1-5x + 1
Q(x) = xQ(x) = x
33
+ x + x
22
+ x + 1 + x + 1
•P(x) = xP(x) = x
44
+2x +2x
33
+4x +4x
2 2
+ 8x +16+ 8x +16
Q(x) = xQ(x) = x
55
- 32 - 32

30. Regla de Ruffini
3 -2 -5 -9
2
-3
División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)de la forma (x-a)
3x3x
33
– 2x – 2x
22
– 5x – 9 x – 2 – 5x – 9 x – 2
- 3x- 3x
33
+ 6x + 6x
22
3x 3x
22
+ 4x + 3 + 4x + 3
4x4x
22
– 5x – 5x
- 4x- 4x
22
+ 8x + 8x
3x – 93x – 9
-3x + 6-3x + 6
-3 -3 3
6
4
8
3
6
3x3x
33
– 2x – 2x
22
– 5x – 9 = ( x – 2)(3x – 5x – 9 = ( x – 2)(3x
22
+ 4x + 3) + (-3) + 4x + 3) + (-3)

31. División de un polinomio por otro División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)de la forma (x-a)
•División de P(x) = 3xDivisión de P(x) = 3x
33
– 2x – 2x
22
– 5x – 9 por (x-2) – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffinirealizada por la Regla de Ruffini
3 -2 -5 -93 -2 -5 -9
2 6 8 62 6 8 6
3 4 3 -33 4 3 -3
1º operación : 3.2 -2 = 41º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 32º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 3º operación : [3(2)
22
– 2 . 2 - 5].2 -9 =-3 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)Por lo tanto 3.(2)
22
-2.(2) -2.(2)
22
-5.2 -9 = -3 -5.2 -9 = -3

32. Raíces de un polinomioRaíces de un polinomio
•Un número real a es Un número real a es raíz de un raíz de un
polinomiopolinomio P(x) si y solo si P(a) = 0 P(x) si y solo si P(a) = 0
•Ejercicio:Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio Verifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3xP(x) = 3x
22
+ 2x – 5 + 2x – 5

33. Raíces de un PolinomioRaíces de un Polinomio
•Si un polinomio tiene coeficientes Si un polinomio tiene coeficientes
enteros y enteros y aa es una raíz entera del es una raíz entera del
polinomio entonces polinomio entonces a a divide al término divide al término
independiente.independiente.
•Ejercicio: Calcular las raíces de Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2xP(x) = 2x
3 3
- 2x- 2x
2 2
- 16x + 24- 16x + 24

34. Ejercicio: Calcular las raíces deEjercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x P(x) = 2x
3 3
- 2x- 2x
2 2
- 16x + 24 - 16x + 24
•Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.ser divisor de 24.
•Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
2x2x
33
– 2x – 2x
22
– 16x + 24 = ( x – 2)(2x – 16x + 24 = ( x – 2)(2x
22
+ 2x -12) + 2x -12)
Ver x=2 también
es raíz de
2x
2
+ 2x -12
2x
2
+ 2x -12 = (x-2)(2x+6)

35. EjercicioEjercicio
•Calcular las raíces deCalcular las raíces de
P(x) = xP(x) = x
44
- x - x
33
- 6x - 6x
22
+ 4x + 8 + 4x + 8
P(x) = (x-2)
2
(x+1) (x+2)

36. Resolver la siguiente Resolver la siguiente
ecuaciónecuación
0
)2(
1
)2()2)(2)(2(
)2)(1()2(
0
)2)(2)(4(
846
0
2
1
2
1
4
2
2
22
234
22
=
+
+
=
-+-+
++-
=
-+-
++--
=
-
-
+
+
-
xx
x
xxxxx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx

37. Soluciones de la Ecuación Soluciones de la Ecuación
FraccionariaFraccionaria

38. Fracción algebraica
•La Tierra y la Luna se La Tierra y la Luna se
atraen una a otra con atraen una a otra con
una fuerza una fuerza FF que es que es
directa-mente directa-mente
proporcional al proporcional al
producto de sus producto de sus
masas masas mm
11 y y mm
22 e e
inversamente inversamente
proporcional al proporcional al
cuadrado de la cuadrado de la
distancia distancia dd entre ellas. entre ellas.
1 2
2
mm
F G
d
=
1 2
2
mm
d
es una fracción algebraica

39. Una fracción algebraica es una expresión
de la forma
p y q son polinomios, y p se llama el numerador y q
se llama el deno-minador de la fracción.
Ejemplo son fracciones
algebraicas
2
2 3
,
2 1
x
x x
-
- +
2 3
4 2 2 4
3
6 9
x y
x x y y
+
- +
La mecanización de fracciones algebraicas es
similar a la mecanización de fracciones
comunes aritméticas, por lo que se recordará
enseguida la mecanización aritmética de
fracciones comunes.
Nota
,
p
q
en
donde

40. Revisión de las operaciones con Revisión de las operaciones con
fracciones comunesfracciones comunes
38 38 19 2
57 57 19 3
= =
Para simplificar una fracción común, se divide
el numerador y el denomi-nador entre el
máximo común divisor (mcd) de ambos.
Ejemplo
Simplificar la
fracción
Solució
n
El mcd de 38 y 57 es 19. Entonces
se simplifica así:
38
57
38 38 19 2
57 57 19 3
= =
38
57

41. Locadia viaja en un tren a 24 km por hora, y observa que otro
tren estacionado en una vía paralela a la vía por la que viaja,
pasa ante ella en 10 segundos. ¿Qué longitud tiene el tren
estacionado?
Ejemplo
Solución
km 24 km
24
h h
´
= =
24 1000m 20 m

3600seg 3 seg
´
=
La velocidad en metros por segundo del tren en el cual viaja
Locadia, se obtiene así:
Por tanto la longitud del tren estacionado, se determina como
sigue:
20 m
10 seg 66 m
3 seg
´ =

42. Ejemplo
Solución
Dado que la pipa 1 tarda 20 minutos en llenar el depósito,
entonces llena parte del depósito en 1 minuto.
Dado que la pipa 2 tarda 30 minutos en llenar el depósito,
entonces llena parte del depósito en 1 minuto.
En una gasolinera hay dos pipas llenando el depósito de
gasolina. La pipa 1 lo llena en 20 minutos y la pipa 2 en 30
minu tos. Si durante el tiempo de llenado se consume
del depósito por hora, ¿en cuánto tiempo se llena el depósito
con las dos pipas llenando juntas?
1

12
1

20
1

30
1

12

43. 1 1 1
+
20 30 720
- =
36 24 1
=
720
+ - 59

720
Finalmente, el tiempo en minutos que tardan en llenar el depósito las dos
pipas juntas, se calcula así:
1 720
= 12.2
59 59
720
»
Dado que se consume del depósito por hora, entonces en

un minuto se consume del depósito. Por tanto, lo
que las dos pipas juntas llenan del depósito por minuto se
calcula como sigue:
1 1 1
+
20 30 720
- =
36 24 1
=
720
+ - 59

720
1 720
= 12.2
59 59
720
»
1

12
112 1
=
60 720

44. ( ) ( )
( ) ( )
2 1 3 1
=
2 1 3 1
a b b
a c c
+ + +
- + -
( )( )
( )( )
2 3 1
=
2 3 1
a b
a c
+ +
+ -
1

1
b
c
+
=
-
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Para simplificar una fracción, se dividen el numerador y el
denominador por uno o más factores comunes a ambos. Se
obtiene así otra fracción equivalente.
Por ejemplo: Simplificar
Donde hemos dividido numerador y denominador entre 3, ,
Para poder simplificar una fracción el numerador y el
denominador tiene que estar factorizado. Si no lo están la
primera operación ha de ser la de factorizarlos.
( )
( )
2
2
33
6
x x y
x x y
+
=
+
x( )x y+ ( )
3
x y+
.2.x( ).x x y+ 2
x y
x
+
=

45. Simplificar
Como vemos el denominador es un polinomio, o sea
una suma, por tanto antes de simplificar hay que
factorizarlo.
En este caso el método adecuado es
sacar factor común así

3
2 3
x
x x+
( )
3 3 2
2 3 2
1
x x x
x x x x
= =
+ +
2
.x
x( )11
x
xx
=
++

46. Simplificar las siguientes fracciones algebraicas
2. Como ya son productos, tanto el numerador como el
denominador, basta dividir numerador y denominador
por los factores comunes
4.
6. En esta fracción aparece una suma en
el numerador y otra en el denominador, por tanto
hay que factorizar ambas cosas. Podemos
sacar factor común en el numerador e en el
denominador
2
3
15 3.5
25
a
a
=
2
.a
5.5
2
.a
3
5.aa
=
3
4 2
212
18
xy
x y
=
.2.3.x
2
.y.
2
y
.3.3.x
3 2
. .x y
3
2
3
y
x
=
2
x x
yx y
+
+
( )
2 1x x
x x
yx y
+
+
=
+ ( )1y x+
x
y
=

47. 2
1
2 1
x
x x
+
+ +
1.aquí el numerador es una suma pero no se
puede factorizar, pero el denominador se
puede factorizar ya que es el
cuadrado de una suma.
( )
22
1 1 1
2 1 1
x x x
x x x
+ + +
= =
+ + + ( )1x+( )
1
11xx
=
++
2
1
1
x
x
-
-
1.aquí sólo podemos factorizar el denominador, que se trata de una
diferencia de cuadrados y que es igual a suma por diferencia
2
1 1
1
x x
x
- -
=
- ( )1x-( )
1
11xx
=
++

48. Multiplicación y división de Multiplicación y división de
Fracciones AlgebraicasFracciones Algebraicas
•MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONESMULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
•Procedimiento para multiplicar fracciones Procedimiento para multiplicar fracciones
cuyo producto es irreduciblecuyo producto es irreducible
•Multiplicar los numeradores, obteniéndose el Multiplicar los numeradores, obteniéndose el
numerador del producto.numerador del producto.
•Multiplicar los denominadores, obteniéndose Multiplicar los denominadores, obteniéndose
el denominador del productoel denominador del producto

49. ()
()55
21
115
73
11
7
5
3
==×
Ejemplo
a)
()
()r
x
r
x
r
x
3
5
3
55
3
==×
b)
()()()
()()( ) ( )cad
ac
cad
ca
cad
ca
+
=
+
=
+
×××
8
63
24
797
2
9
4
c)
()()
()()dy
cx
yd
xc
y
xc
d 5
2
5
2
5
2
==××d)
()
ab
cxy
ab
cxy
ab
c
xy
15353
5 ==×e)
()( )
()( )
( )
( )24
53
24
53
2
53
4 -
+
=
-
+
=
-
+
××
ar
ra
ar
ra
a
r
r
a
f)

50. •Procedimiento para multiplicar fracciones Procedimiento para multiplicar fracciones
cuyo producto se puede simplificarcuyo producto se puede simplificar
•Descomponer en factores los polinomios que Descomponer en factores los polinomios que
figuran en los numeradores y denominadores.figuran en los numeradores y denominadores.
•Dividir por los factores comunes del Dividir por los factores comunes del
numerador y denominador.numerador y denominador.
•Multiplicar los factores restantes.Multiplicar los factores restantes.

51. 12712
968
por
352
456
2
2
2
2
-+
-+
++
-+
xx
xx
xx
xx
( )( )
( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )( ) 1
12
1344332
12344332
3443132
32341243
12712352
968456
12712
968

352
456
22
22
2
2
2
2
+
-
=
+-++
--++
=
-+++
+--+
=
-+++
-+-+
=
-+
-+
×
++
-+
x
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xx
xx
xx
xx
Multiplica
SOLUCIÓN:

52. •DIVISIÓN DE FRACCIONESDIVISIÓN DE FRACCIONES
•Para dividir una fracción se multiplica Para dividir una fracción se multiplica
por la fracción recíprocapor la fracción recíproca
=
+-
--
¸
-
-
127
472
39
14
2
2
2
2
xx
xx
xx
x
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xx
x
3
21
3
12
412
43
33
1212
472
127
39
14
11
11
1
1
2
2
2
2
-
=
--
=
-+
--
×
-
-+
=
--
+-
×
-
-
-




1
6
2
2
-
-+
x
xx
( )( )
( )( )
( )( )( )
( )( )( )( )( )( )21
3
2211
123
41
16
4
1
1
6
1
4
1
6
22
2
22
22
2
2
+-
+
=
-+-+
+-+
=
--
+-+
=
-
+
×
-
-+
=
+
-
¸
-
-+
xx
x
xxxx
xxx
xx
xxx
x
x
x
xx
x
x
x
xx
Ejempl
o
Dividir
Como se ha indicado, invertimos el divisor y
luego procedemos como en la multiplicación.
Ejempl
o
Dividir

53. Fracciones compuestasFracciones compuestas

•Las fracciones compuestas son Las fracciones compuestas son
aquellas cuyo numerador y/o aquellas cuyo numerador y/o
denominador son fraccionesdenominador son fracciones
Ejemplo: ; ;

54. •También se pueden presentar fracciones También se pueden presentar fracciones
compuestas que contenga en su numerador compuestas que contenga en su numerador
y/o denominador operaciones, las cuales y/o denominador operaciones, las cuales
deben desarrollarse en primer lugar para deben desarrollarse en primer lugar para
luego resolver como los casos anteriormente luego resolver como los casos anteriormente
dados.dados.
Ejemplo:

55. Adición y Sustracción de Adición y Sustracción de
Fracciones AlgebraicasFracciones Algebraicas
•Adición o sustracción de expresiones Adición o sustracción de expresiones
racionales con denominadores comunes.racionales con denominadores comunes.
•ProcedimientoProcedimiento
•Poner el denominador común y sumar Poner el denominador común y sumar
algebraicamente los numeradores.algebraicamente los numeradores.
•Reducir la fracción que resulte.Reducir la fracción que resulte.
•Al sumar algebraicamente los numeradores Al sumar algebraicamente los numeradores
encerrar cada polinomio numerador en un encerrar cada polinomio numerador en un
paréntesis precedido del signo que paréntesis precedido del signo que
corresponde a su fracción.corresponde a su fracción.

56. Ejemplo


315
5
15
472
15
4
15
7
15
2
3
1
aaaaaaaa
==
××
=-+
( ) ( )
3
3
33
3
93
3
925
3
92
3
5
+=
/
+/
=
+
=
--
=
-
- a
aaaaaa
b)
c)

57. •Adición o sustracción de expresiones Adición o sustracción de expresiones
racionales con denominadores distintos.racionales con denominadores distintos.
•Para sumar o restar fracciones con Para sumar o restar fracciones con
denominadores diferentes, primero las denominadores diferentes, primero las
convertimos a fracciones que tengan el convertimos a fracciones que tengan el
mismo denominador. Cuando los mismo denominador. Cuando los
denominadores son opuesto multiplicamos denominadores son opuesto multiplicamos
una de ellas por 1, escrito en la forma , para una de ellas por 1, escrito en la forma , para
obtener un común denominador.obtener un común denominador.

58. Ejemplo: Sumar
Cuando los denominadores de dos o más fracciones son
distintos, en ocasiones es necesario multiplicar una o
más fracciones por 1, escrito en la forma adecuada,
para obtener un común denominador.
xy
y
yx
x
-
+
-
1
1
1
=
-
-
=
-
-
+
-
=
+-
-
+
-
=
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
-
+
-
=
-
+
-
yx
yx
yx
y
yx
x
xy
y
yx
x
xy
y
yx
x
xy
y
yx
x
SOLUCIÓN:

59. Ejemplo
Efectúa la siguiente operación:
( ) ( )yx
x
yx
y
yx
xyx
+
-
-
+
-
-
4663
2
22
3
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )yxyx
xyx
yxyx
yxy
yxyx
xyx
yx
x
yx
y
yx
xyx
+-
-
-
+-
+
+
+-
-
=
+
-
-
+
-
-
12
33
12
22
12
84
4663
2
223
22
3
( )( )
( )( )yxyx
yxyxx
yxyx
xyxyxyxyx
+-
+--
=
+-
+-++-
=
12
2334
12
332284
223
223

60. 2
1
23
1
4
2
222
-+
+
+
+-
-
- xx
x
xxx
x
( )( )( )122 --+ xxx
( )( )( )( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
( )( )( ) ( )( )( )212
443
212
2222
212
212112
221
21
212
21
122
12
21
1
12
1
22
2
2
1
23
1
4
2
222
222
+--
--
=
+--
--+---
=
+--
-+++--
=
-+-
-+
+
+--
+
-
-+-
-
=
+-
+
+
--
-
+-
=
-+
+
+
+-
-
-
xxx
xx
xxx
xxxxx
xxx
xxxxx
xxx
xx
xxx
x
xxx
xx
xx
x
xxxx
x
xx
x
xxx
x
( )( )( )
( )( )
( )( )( )( )( )12
23
212
223
212
443
2
-+
+
=
+--
-+
=
+--
--
xx
x
xxx
xx
xxx
xx
Hacer las operaciones indicadas
SOLUCIÓN: Factorizamos cada denominador para
encontrar el MCD=
En este caso se puede simplificar el resultado final