Finite Elements In Vector Lattices Martin R Weber

Finite Elements In Vector Lattices Martin R
Weber download
https://ebookbell.com/product/finite-elements-in-vector-lattices-
martin-r-weber-51110096
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Finite Elements In Vector Lattices Weber Mr
https://ebookbell.com/product/finite-elements-in-vector-lattices-
weber-mr-6725352
Finite Elements In Fracture Mechanics Theory Numerics Applications 1st
Edition Meinhard Kuna Auth
https://ebookbell.com/product/finite-elements-in-fracture-mechanics-
theory-numerics-applications-1st-edition-meinhard-kuna-auth-4293270
Discontinuous Finite Elements In Fluid Dynamics And Heat Transfer 1st
Edition Ben Q Li
https://ebookbell.com/product/discontinuous-finite-elements-in-fluid-
dynamics-and-heat-transfer-1st-edition-ben-q-li-2600822
Adaptive Finite Elements In Linear And Nonlinear Solid And Structural
Mechanics 1st Edition Rolf Rannacher Auth
https://ebookbell.com/product/adaptive-finite-elements-in-linear-and-
nonlinear-solid-and-structural-mechanics-1st-edition-rolf-rannacher-
auth-4601440

Programming Finite Elements In Javatm Gennadiy P Nikishkov
https://ebookbell.com/product/programming-finite-elements-in-javatm-
gennadiy-p-nikishkov-4985006
Introduction To Finite Elements In Engineering 5th Edition
Chandrupatla
https://ebookbell.com/product/introduction-to-finite-elements-in-
engineering-5th-edition-chandrupatla-54690258
Introduction To Finite Elements In Engineering With Access Code 4th Ed
Chandrupatla
https://ebookbell.com/product/introduction-to-finite-elements-in-
engineering-with-access-code-4th-ed-chandrupatla-22042712
Introduction To Finite Elements In Engineering 3rd Edition Tirupathi R
Chandrupatla
https://ebookbell.com/product/introduction-to-finite-elements-in-
engineering-3rd-edition-tirupathi-r-chandrupatla-4150898
Errorcontrolled Adaptive Finite Elements In Solid Mechanics Ekkehard
Ramm
https://ebookbell.com/product/errorcontrolled-adaptive-finite-
elements-in-solid-mechanics-ekkehard-ramm-890532

Martin R. Weber
Finite Elements in Vector Lattices

Also of Interest
Metric Embeddings
Ostrovskii, 2013
ISBN 978-3-11-026340-4, e-ISBN 978-3-11-026401-2
Singular Traces. Theory and Applications Lord, Sukochev, Zanin, 2012 ISBN 978-3-11-026250-6, e-ISBN 978-3-11-026255-1
Narrow Operators on Function Spaces and Vector Lattices Popov, Randrianantoanina, 2012 ISBN 978-3-11-026303-9, e-ISBN 978-3-11-026334-3
Abstract Algebra. Applications to Galois Theory, Algebraic Geometry and Cryptography Carstensen, Fine, Rosenberger, 2011 ISBN 978-3-11-025008-4, e-ISBN 978-3-11-025009-1
Journal of Numerical Mathematics Hoppe, Kuznetsov (Eds.-in-Chief) ISSN 1570-2820, e-ISSN 1569-3953

MartinR.Weber
FiniteElementsin
VectorLattices
|

Mathematics Subject Classification 2010
46B40, 46B42, 46A40, 46E05, 47B65, 06F25
Author
Prof. Dr. Martin R. Weber (Seniorprofessor)
TU Dresden
Institut für Analysis
Helmholtzstr 10
01062 Dresden
[email protected]
ISBN 978-3-11-035077-7
e-ISBN 978-3-11-035078-4
Set-ISBN 978-3-11-035079-1
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data
A CIP catalog record for this book has been applied for at the Library of Congress.
Bibliographic information published by the Deutsche Nationalbibliothek
The Deutsche Nationalbibliothek lists this publication in the Deutsche Nationalbibliografie;
detailed bibliographic data are available in the Internet at http://dnb.dnb.de.
© 2014 Walter de Gruyter GmbH, Berlin/Boston
Typesetting: PTP-Berlin, Protago-T
E
X-Production GmbH, Berlin
Printing and binding: CPI books GmbH, Leck
♾Printed on acid-free paper
Printed in Germany
www.degruyter.com

|
Gewidmet
meiner lieben Frau Ute,
meinen lieben Kindern
Annett und Alexander
und
meinem verehrten Lehrer
Boris Michailowitsch Makarow

Contents
1Introduction |1
2 Ordered vector spaces and vector lattices|4
2.1 Ordered vector spaces and positive operators | 4
2.2 Vector lattices | 6
2.3 Ordered normed spaces | 11
2.4 Normed Riesz spaces and Banach lattices | 12
2.5 Representation of Banach lattices | 16
3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements|18
3.1 Finite and totally finite elements in vector lattices |18
3.2 Finite elements in Banach lattices | 29
3.3 Finite elements in sublattices and in direct sums of Banach
lattices |33
3.3.1 Finite elements in sublattices |33
3.3.2 Finite elements in the bidual of Banach lattices |37
3.3.3 Finite elements in direct sums of Banach lattices |39
3.4 Selfmajorizing elements in vector lattices |41
3.4.1 The order ideal of all selfmajorizing elements in a vector lattice |42
3.4.2 General properties of selfmajorizing elements |44
3.4.3 Examples of selfmajorizing elements | 47
3.5 Finite elements in ℓ-algebras and in product algebras |49
3.5.1 Lattice ordered algebras | 49
3.5.2 Finite elements in unitaryℓ-algebras |52
3.5.3 Finite elements in nonunitary??????-algebras |57
3.5.4 Finite elements in product algebras |63
4 Finite elements in vector lattices of linear operators|69
4.1 Some general results | 70
4.2 Finiteness of regular operators on????????????-spaces |75
4.3 Finite rank operators in the vector lattice of regular operators |77
4.4 Some vector lattices and Banach lattices of operators |81
4.4.1 Vector lattices of operators |83
4.4.2 Banach lattices of operators |84
4.5 Operators as finite elements | 90
4.6 Finite rank operators as finite elements |92
4.7 Impact of the order structure of
V(??????, ??????)on the lattice properties of??????
and??????|96

viii|Contents
5 The space of maximal ideals of a vector lattice|100
5.1 Representation of vector lattices by means of extended real continuous
functions |100
5.2 Maximal ideals and discrete functionals | 103
5.3 The topology on the space of maximal ideals of a vector lattice |107
5.4 The Hausdorff property of M|109
6 Topological characterization of finite elements|115
6.1 Topological characterization of finite, totally finite and selfmajorizing
elements |115
6.1.1 The canonical map and the conditional representation |116
6.1.2 Topological characterization of finite elements |121
6.1.3 Topological characterization of totally finite elements |125
6.1.4 Topological characterization of selfmajorizing elements |129
6.2 Relations between the ideals of finite, totally finite and selfmajorizing
elements |131
6.3 The topological space Mfor vector lattices of type (Σ)|134
6.4 Examples | 138
7 Representations of vector lattices and their properties|144
7.1 A classification of representations and the standard map |144
7.2 Vector lattices of type (Σ) and their representations |148
8 Vector lattices of continuous functions with finite elements|157
8.1 Vector lattices of continuous functions with many finite
functions |157
8.2 Finite elements in vector lattices of continuous functions |162
8.3 An isomorphism result for vector lattices of continuous
functions |167
9 Representations of vector lattices by means of continuous
functions|171
9.1 Representations which contain finite functions |171
9.2 The existence of Φ??????-representations for vector lattices of
type (Σ)|177
9.3 ????????????-vector lattices |182
9.4 Vector lattices of type (??????
??????)|184
10 Representations of vector lattices by means of bases of finite
elements|191
10.1 Bases of finite elements and??????-representations |191

1 Introduction
Since the 1950s, ordered vector spaces, vector lattices and such spaces equipped with
an appropriate norm or topology have been studied by many authors.
The general theory of ordered, normed ordered vector spaces, vector lattices and
normed vector (Banach) lattices is comprehensively treated in the literature. The re-
lated main monographs, e. g., [2, 9, 56, 59, 60, 84, 95, 100, 109, 120, 143, 144], provided
here in chronological order, contain as a rule the research results which were current
at the time of their publishing.
In the last forty years the applications of the theory have grown remarkably. This
development has been fostered in many branches of mathematics (such as optimiza-
tion, numerical methods, positive solutions of equations, positive systems, positive
semigroups, measure theory etc.) by the manifold aspects summarized under the
heading ofpositivity. It is impossible to provide only a rough survey of the applica-
tions spread over many fields of the present-day mathematical research, so we shall
only refer only to some of them:
– economics, equilibrium theory [11–13];
– convex operators, extremal problems, Choquet theory, variational methods [7, 20,
50];
– positive solutions of operator equations, integral operators, fixed point equations,
maximum principles [14, 19, 30, 58, 65];
– positive systems [45, 66];
– semigroups of positive operators [18, 42, 96];
– measure theory [48, 52];
– stochastic processes, martingale theory [72–74].
On the other hand, special problems e. g., cones in Banach spaces [10, 15–17, 106, 121,
122], dominated operators [77], integral operators [30], order continuous norms [139]
and miscellaneous others complete the general theory by many new and particular
aspects.
The subject of investigation in the present book is a class (order ideal) of partic-
ular elements in Archimedean vector lattices which originated from and are closely
related to continuous functions with compact support on a topological noncompact
Hausdorff space. The topic of finite elements in the context of vector lattices appeared
in the early 1970s. The first explicit definition dates back to 1972, when B. M. Makarov
and the author formulated the vector lattice characterization of such elements in arbi-
trary Archimedean vector lattices. The fundamental formula in its definition charac-
terizes the interaction of a finite element with all other elements in the vector lattice.
This book is the first systematical treatment of the theory of finite elements in
Archimedean vector lattices and contains the results known on this topic up to the
year 2013. We assembled here all contributions achieved by a number of mathemati-

2| 1 Introduction
cianspublishedinthepapers[36–38,54,89–93,114,124–127,129,131,132].Theauthor
thanks all his coauthors for the cooperative and fruitful collaboration on this new re-
search stream as a part of the theory of vector and Banach lattices. Some early results
were published in Russian and German and are sometimes difficult to access, so it
should be useful to present the main results summarized in a book issued in English.
It is hoped that this book will encourage further studies in the field opened up by
the investigation of the concepts of finite, totally finite and selfmajorizing elements in
vector lattices.
The vector space??????(??????)of all real continuous functions defined on a locally com-
pact topological Hausdorff space??????and its subspace
K(??????)of all continuous functions
with compact support have a very rich structure and interesting properties from sev-
eral points of view. Moreover,
K(??????)and other subspaces of??????(??????)are also used iso-
morphically to represent many other abstract spaces. It is convenient to look at the
elements of an abstract mathematical object as continuous real-valued functions on a
topological space. The reasons and advantages may be twofold: first, continuous real-
valued functions are considered prototypes for abstract elements, the nature of which
is unknown (and therefore enabling one to discover the general features and proper-
ties of abstract ones), where the usual operations defining the structure of the object
under investigation reduce to the usual (natural) pointwise algebraic and order oper-
ations between continuous functions. Second, spaces of continuous functions have
been systematically and thoroughly studied for at least two centuries by many au-
thors (see, e. g., [49, 61, 62, 109, 112, 123]) from different points of view with the result
that much is known about them and allowing, therefore, a justified hope that more
and deeper properties of the particular structure will be obtained. Therefore, nearly
all theories of particular mathematical structures such as algebras, rings, lattices and
others are accompanied by a representation theory of such structures mostly by means
of continuous functions on some topological space. This means that one is faced with
the problem of finding sufficient conditions to allow an isomorphic representation as
a subspace of continuous functions on certain topological space. In spaces of con-
tinuous real-valued functions on a topological space??????, the natural pointwise order
stands in favourable relations with the vector space or algebraic operations. Since the
latter operations are defined pointwise, the space??????(??????)turns out to be a vector lattice
(see Chapter 2.2).
In this book, functions with compact support are characterized abstractly as ele-
ments in the vector lattice??????(??????). This leads to special elements in an abstract Archime-
dean vector lattice, the so-called finite, totally finite and selfmajorizing elements. The
collections of those elements are the main subject of investigation. The main thrust is
to study the existence of nontrivial finite elements in a given vector lattice and in its
subspaces, and to describe the structure and properties of such sets.
The book is divided into three natural parts: in Chapters 2–4 we provide, apart
from the preliminaries, the basic definitions and the main properties of finite, totally
finite and selfmajorizing elements in several ambient vector lattices.

1 Introduction |3
Chapters 5 and 6 deal with the space of maximal ideals and the topological char-
acterization of the finite, totally finite and selfmajorizing elements.
In Chapters 7–10 we investigate the finite elements in vector lattices of continuous
functions and deal with various representations of vector lattices as vector lattices of
real continuous functions, where the finite elements are represented as finite func-
tions.
If the vector lattice has many maximal order ideals and each order ideal can be
embedded into a maximal one, then the space of all maximal ideals equipped with a
suitable topology carries much information on the vector lattice; in particular the fi-
nite elements can be characterized by means of certain compact subsets. An important
role in our investigation play the vector lattices of type (Σ), which constitute a natural
class of vector lattices and essentially generalize the class of vector lattices with order
units. The space of maximal ideals is also used for a representation of vector lattices
with a sufficient number of finite elements as vector lattices of continuous functions,
where each finite element is represented as a finite function. For vector lattices of type
(Σ), the space of maximal ideals has some additional favorable properties which will
be applied to the construction of special representations. The results obtained show
that the chosen approach turns out to be quite natural.
Having finite elements as a new object for studies, the book basically obeys the
following lines:
– Continuous functions with compact support (finite functions) on a locally com-
pact Hausdorff space and the motivation for finite elements. The main definitions
of finite, totally finite and selfmajorizing elements in arbitrary Archimedean vec-
tor lattices. Comparison between finite elements and finite functions.
– The study of finite and totally finite elements in sublattices, diverse Archimedean
vector lattices and Banach lattices.
– Finite elements in vector lattices of operators.
– The investigation of the space of maximal ideals.
– The characterization of finite elements by means of special subsets in the topo-
logical space of maximal ideals.
– Finite elements in vector lattices of continuous functions.
– Representations of vector lattices, where finite elements are represented as con-
tinuous functions with compact support.
The enumeration of definitions, theorems, propositions, corollaries, lemmas, remarks
and examples is specified by chapter. At the end we provide a condensed list of
selected examples and counterexamples from the text to help find their treatment
quickly in the book.

2 Ordered vector spaces and vector lattices
2.1 Ordered vector spaces and positive operators
In this section we collect the necessary basic facts on ordered vector spaces¹, vector lat-
tices, normed Riesz spaces, Banach lattices and operators on these spaces, which we
need to present the subject of the book. For a systematic presentation of the theory we
refer to the monographs cited at the beginning of Chapter 1, preferably to [9] and [120].
Let??????be a vector space over the field of real numbersℝ, and assume that there is
areflexive,antisymmetricandtransitiverelation≤on??????which is compatible with the
vector space operations in the following sense:
(1) if for two vectors??????and??????of??????the relation??????≤??????holds, then also??????+??????≤??????+??????for
each vector??????∈??????;
(2) if??????is a vector of??????such that??????≥0,thenalso???????????? ≥ 0for each nonnegative real
number??????.
If this is the case, we will write further on??????≤??????or??????≥??????and??????<??????,if??????≤??????and?????? ̸=??????.
Then the pair (??????, ≤), or simply??????, is called anordered vector space.Thevectors??????∈??????
with??????≥0are calledpositive.
Aconein a vector space??????is a subset??????that satisfies the conditions:
(i)??????, ?????? ∈ ??????and??????, ?????? ≥ 0imply???????????? + ???????????? ∈ ??????;
(ii)??????, −?????? ∈ ??????imply??????=0.
If??????satisfies only the condition (i), then it is called awedge.
If (??????, ≤) is an ordered vector space, then the subset??????
+
={??????∈??????:0≤??????}is a cone
and, on the other hand, if??????is a vector space and??????⊂??????a fixed cone, then by defining
??????≤??????as??????−?????? ∈ ??????one gets an ordered vector space (where the cone??????
+
coincides with
??????). A cone??????in??????is said to bereproducingorgenerating(for??????)if??????=??????−??????.
For a nonempty subset??????in an ordered vector space??????,anelement??????∈??????is an
upper boundof??????if??????≤??????holds for any??????∈??????. In this case the set??????is calledmajorized
by??????. Analogously, a lower bound??????for??????is defined as??????≤??????for any??????∈??????and??????is
calledminorizedby??????.
An order bounded subset??????is a set which has both an upper and a lower bound.
For two elements??????≤??????,theset[??????, ??????]defined as[??????,??????]={??????∈??????:??????≤??????≤??????}is anorder
interval.Thenasubset??????of??????is order bounded if and only if it is included in an order
interval.
1In this book only real vector spaces are considered. Byℕ, ℚ,andℝwe denote the natural, rational,
and real numbers, respectively. For fixed??????∈ℕand??????∈ℝthere will be used the notationsℕ
≥??????:=
{?????? ∈ ℕ : ?????? ≥ ??????}, ℝ
≥??????:= {?????? ∈ ℝ : ?????? ≥ ??????},ℝ
>??????:= {?????? ∈ ℝ : ?????? > ??????}andℝ
+forℝ
≥0. We sometimes write
:=instead of “defined by”.

2.1 Ordered vector spaces and positive operators |5
An ordered vector space??????is said to satisfy theRiesz decomposition propertyif for
any two elements??????, ?????? ∈ ??????
+
[0, ??????] + [0, ??????] = [0, ?????? + ??????].
Among all upper bounds of set??????⊂??????(if there are any at all), there might be a the
smallest, i. e., an element??????∈??????with the two properties??????≤??????for each??????∈??????,and
if??????∈??????is such that??????≤??????for all??????∈??????then??????≤??????.Ifsuch??????exists then it is called
thesupremum of??????and is denoted bysup ??????.Theinfimumofaset?????? ̸=0is defined in a
similar way and is denoted byinf ??????.
A “natural” (and compatible with the structure of a vector space) order relation is
available in many vector spaces. For example, in the vector spaces
–ℓ
∞
of all real bounded sequences²??????=(??????
??????
)
??????∈ℕ
, where a sequence??????=(??????
??????
)
??????∈ℕ
belongs toℓ
∞
,ifandonlyifthereisareal??????>0with the property
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
<??????for all
??????∈ℕ;
–ℓ
??????
,1≤??????∈ℕ,ofallrealsequences??????=(??????
??????)
??????∈ℕ,suchthat∑
∞
??????=1??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
????????????
<∞;
–cof all real converging sequences; and in
–c
0
of all real sequences converging to0,
where the order is thecoordinatewise orderdefined by??????≤??????⇔??????
??????≤??????
??????,∀??????∈ℕ.
Very often we will make use of the following ordered vector spaces consisting of
functions or classes of functions:
–??????(??????)of all real-valued continuous functions on a topological space??????,wherethe
order is thepointwise orderdefined by??????≤??????⇔??????(??????)≤??????(??????)for all??????∈??????;
–??????
??????(Ω,Σ,??????)of all classes of??????-equivalent functions such that∫
Ω
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
????????????
d?????? < ∞,where
1≤??????∈ℕand (Ω, Σ, ??????)isameasurespace.Theorderisdefinedby ??????≤??????if and
only if??????(??????) ≤ ??????(??????)for??????-almost every??????∈Ω;
–??????
∞
(Ω,Σ,??????)of all essentially??????-bounded (classes of??????-equivalent) functions, i. e.,
??????belongs to??????
∞
(Ω,Σ,??????)if there is a constant??????such that
??????
??????
??????
??????
??????(??????)
??????
??????
??????
??????
≤??????for??????-almost
every??????∈Ω. The order is defined as in??????
??????
(Ω,Σ,??????).
For??????
??????(Ω,Σ,??????)and??????
∞(Ω, Σ, ??????)we also use the notation??????
??????(??????)and??????
∞(??????)respectively.
If(??????, ??????) ⊂ ℝand??????is the Lebesgue measure onℝ,thenwewrite??????
??????(??????, ??????).
Anet(??????
??????
)
??????∈??????
in an ordered vector space??????is said to bedecreasing(written as??????
??????
↓)
if??????≤??????implies??????
??????
≥??????
??????
.Wewrite??????
??????
↓??????if??????
??????
↓andinf
??????
??????
??????
=??????hold. The meaning of
??????
??????
↑(increasingnet) and??????
??????
↑??????is analogous.
For two ordered vector spaces(??????, ??????
+)and(??????, ??????
+)denote byL(??????, ??????)the set of all
linear operators from??????into??????.InL(??????, ??????)we consider the usual operations of addition
and scalar multiplication amongst linear operators.
2This vector lattice is also denoted bym.

6| 2 Ordered vector spaces and vector lattices
Definition 2.1.An operator??????∈L(??????, ??????)is called
–positive(denoted by??????≥0)if???????????? ∈ ??????
+for all??????∈??????
+;
–regularif??????=??????
1−??????
2for some positive operators??????
1,??????
2;
–bipositiveororder homomorphismif??????∈??????
+
if and only if???????????? ∈ ??????
+
;
–order isomorphismif??????is surjective and bipositive;
–order boundedif??????maps any order interval of??????into an order interval of??????;
–order continuousif0≤??????
??????↑??????in??????implies????????????
??????↑????????????in??????.
The set of all positive operators inL(??????, ??????)is denoted byL
+(??????, ??????),andby L
+(??????)if
??????=??????. In generalL
+
(??????, ??????)is a wedge. If the cone??????
+
is generating in??????thenL
+
(??????, ??????)
is a cone inL(??????, ??????),andsothepair (L(??????, ??????),L
+
(??????, ??????))is an ordered vector space.
For??????, ?????? ∈L(??????, ??????)we write??????≤??????if??????−??????is positive.
The sets of all regular, order bounded, and order continuous operators??????: ?????? → ??????
are denoted byL
??????
(??????, ??????), L
??????
(??????, ??????),and L
??????
(??????, ??????)respectively, and their intersections
withL
+(??????, ??????)byL
??????
+
(??????, ??????),L
??????
+
(??????, ??????),L
??????
+
(??????, ??????)respectively.
Each positive operator is regular and each regular operator is order bounded.
Therefore, in general,
L
+(??????, ??????) ⊂L
??????
(??????, ??????) ⊆L
??????
(??????, ??????).
In case of??????=??????,wewriteL
??????
(??????)instead ofL
??????
(??????, ??????)for??????=??????,??????,??????.
2.2 Vector lattices
If the order in an ordered vector space??????has the property that any set{??????, ??????}consist-
ing of two elements??????, ?????? ∈ ??????possesses both its supremum and its infimum then??????
is called avector latticeor aRiesz space.Fortheelementssup{??????, ??????}andinf{??????, ??????},the
usual notations are??????∨??????and??????∧??????, respectively.
Let??????be vector lattice. Since now for each element??????∈??????, the elements??????
+
:= ?????? ∨ 0
and??????
−
:= (−??????) ∨ 0(thepositiveandnegativeparts of??????, respectively) exist,??????has the
representation??????=??????
+
−??????
−
. For each element??????the element|??????| := ??????
+
∨??????
−
is called the
modulusorabsolute valueof??????. If each two-point set of??????has its supremum then the
supremum also exists for any finite set of vectors. It will be denoted by??????
1∨...∨??????
??????or
⋁
??????
??????=1
??????
??????
.Analogously,??????
1
∧,...,??????
??????
or⋀
??????
??????=1
??????
??????
denote the infimum of the set{??????
1
,...,??????
??????
}.
If??????is a subset of a vector lattice for whichsup(??????)exists, then the elementssup(−??????),
inf(??????)also exist andinf(??????) = − sup(−??????).
Definition 2.2(Archimedean vector lattice). A vector lattice??????is said to beArchime-
dean,if??????, ?????? ∈ ??????and???????????? ≤ ??????for all??????∈ℕimply??????≤0.
The Archimedean property of a vector lattice is useful because it is equivalent to the
following: for every0<??????∈??????there holds??????
??????
??????↓0, whenever??????
??????
is a sequence of real
numbers with??????
??????
↓0(see e. g., [84, § 22]).

2.2 Vector lattices |7
Definition 2.3(Dedekind completeness). A vector lattice??????is said to beDedekind com-
plete, if each nonempty set??????⊆??????which is bounded from above possesses its supre-
mum in??????.
A vector lattice??????is said to be??????-Dedekind complete, if each nonempty countable upper
bounded subset??????⊆??????possesses its supremum in??????.
For a vector lattice??????, the following conditions are equivalent (see [111]):
(i)??????is Dedekind complete;
(ii) every net(??????
??????)
??????∈??????with0≤??????
??????↑≤ ??????possesses a supremum;
(iii) every net(??????
??????
)with??????
??????
↓≥0possesses an infimum.
A Dedekind complete vector lattice is??????-Dedekind complete and any??????-Dedekind com-
plete vector lattice is always Archimedean, i. e. the following implications hold:
Dedekind complete??????⇒ ??????-Dedekind complete??????⇒Archimedean.
Every Archimedean vector lattice??????possesses a unique Dedekind completion, i. e.,
there exist a uniquely determined up to a lattice isomorphism³ Dedekind complete
vector lattice??????
??????
and a lattice isomorphism??????: ?????? → ??????
??????
,suchthat??????is vector lattice
isomorphic to a vector sublattice of??????
??????
,andforeach??????∈??????
??????
one has
?????? = sup{?????? ∈ ??????: ?????? ≤ ??????} = inf{?????? ∈ ??????: ?????? ≤ ??????}.(2.1)
For simplicity we identify E with the subset??????(??????)of??????
??????
and say??????is embedded in??????
??????
.
The embedding??????of??????in??????
??????
preserves the suprema and infima, i. e., whenever??????=
sup{??????: ?????? ∈ ??????}in??????exists for some subset??????⊂??????,then??????(??????) = sup{??????(??????) : ?????? ∈ ??????}holds in
??????
??????
, and analogously for infima. For details see [84, 120].
Further on all vector lattices will be assumed to be Archimedean. Recall some
definitions, notations, and elementary facts in an Archimedean vector lattice (??????, ??????
+)
which will be used further on. In most cases we refer to [9, 95, 120].
–Anet(??????
??????
)
??????∈??????
in??????is said to beorder convergentor(??????)-convergentto??????whenever
a (decreasing) net(??????
??????
)
??????∈??????
exists (with the same index set), such that??????
??????
↓0and
|??????
??????
−??????| ≤ ??????
??????
for all??????.Thisiswritten:??????
??????
(??????)
??????→ ??????and??????is called the(??????)-limit of(??????
??????
)
??????∈??????
.
–Anet(??????
??????
)
??????∈??????
in??????is said to beuniformly convergent⁴or(??????)-convergentto??????if there
exist an element??????∈??????
+(a regulator of convergence) and a net(??????
??????)
??????∈??????of positive
numbers, such that??????
??????
→0and|??????
??????
−??????| ≤??????
??????
??????. This is written:??????
??????
(??????)
??????→ ??????and??????is
called the(??????)-limit of(??????
??????)
??????∈??????. Analogously, the uniform convergence of a sequence
isdefined.InanArchimedeanvectorlattice,??????
??????
(??????)
??????→ ??????implies??????
??????
(??????)
??????→ ??????,andthe(??????)-
limit is uniquely defined (see [120]).
3For the notion of a lattice isomorphism see at the end of this subparagraph.
4Orconvergent with a regulator.

8| 2 Ordered vector spaces and vector lattices
–Auniformly Cauchy sequenceor(??????)-Cauchy sequencein??????is a sequence(??????
??????)
??????∈ℕfor
which a regulator??????∈??????
+exists, such that for each??????>0there is a number??????
??????with
|??????
??????−??????
??????|≤????????????for all??????, ?????? ∈ ℕwith??????, ?????? ≥ ??????
??????.
An Archimedean vector lattice??????is calleduniformly completeor(??????)-completeif
each uniformly Cauchy sequence in??????is uniformly convergent.
– Two elements??????, ?????? ∈ ??????are calleddisjoint, written as??????⊥??????,if|??????| ∧ |??????| = 0.
For any nonempty subset??????⊂??????define the set:
??????
⊥
={??????∈??????:??????⊥??????for any??????∈??????}.
Asubset??????⊂??????is calledcompleteif??????⊥??????implies??????=0.Thisisalsowrittenas
??????
⊥
={0}.
–Asubset??????⊂??????is calledsolid(sometimes also called normal), if??????∈??????,??????∈??????and
|??????|≤|??????|implies??????∈??????.
–Alinearsubspace??????of a vector lattice??????is said to be an??????-ideal,orsimplyanideal,
if??????is solid. Clearly,{0}and??????are always ideals, the so-called trivial ideals.
–If??????is a nonempty subset of??????, then the smallest ideal that contains??????is denoted
by??????
??????
andiscalledtheideal generated by??????. This order ideal is (see [9]):
??????
??????={??????∈??????:∃??????
1,...,??????
??????∈??????and??????
1,...,??????
??????∈ℝ
+such that|??????|≤
??????
∑
??????=1
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
}.
If??????consists of one element??????∈??????,theideal
??????
??????:= ??????
{??????}={??????∈??????:∃??????≥0,such that|??????| ≤ ??????|??????|}
is called theprincipal ideal(generated by the element??????).
–Aset??????⊂??????is called abandif it is an order closed ideal, that is the limit (in??????)of
any order convergent net of the ideal??????belongs to??????.
–Theset??????
⊥⊥
is known as theband generated by??????; it is the smallest band that
contains??????.If??????consists of one single element??????, the band generated by{??????}is
denoted by{??????}
⊥⊥
and called theprincipal band(generated by the element??????).
–Aband ??????in??????is said to be aprojectionbandif??????=??????⊕??????
⊥
. In this case any element
??????∈??????has a unique representation??????=??????
1+??????
2,where??????
1∈??????and??????
2∈??????
⊥
.Themap
??????
??????:??????→??????defined by??????
??????(??????) = ??????
1for any??????∈??????=??????⊕??????
⊥
is a positive projection. In
a Dedekind complete vector lattice any band is a projection band.
–If{??????}
⊥⊥
is a projection band, then??????
{??????}
is denoted by??????
??????
andiscalledtheband
projection. In this case for each element??????≥0the elementsup{?????? ∧??????|??????|}exists, and
??????
??????(??????)(for??????≥0) is calculated by the formula:
??????
??????(??????) = sup{?????? ∧ ??????|??????|} .(2.2)
– A vector lattice??????is said to have theprincipal projection property(??????????????????),if{??????}
⊥⊥
is a projection band for each??????∈??????.Any??????-Dedekind complete vector lattice has
the(??????????????????),and(??????????????????)implies that??????is Archimedean (see [144, Theorems 11.9 and
12.3]), i.e. the following implication holds:
??????-Dedekind complete??????⇒(??????????????????)??????⇒Archimedean.

2.2 Vector lattices |9
–Anelement??????∈??????
+,??????̸=0is anorder unit⁵,ifforeach??????∈??????there is a??????∈ℝ
>0with
−???????????? ≤ ?????? ≤ ????????????(or equivalently,|??????| ≤ ????????????).
A vector lattice with an order unit is called a vector lattice ofbounded elements.
–Let??????be an Archimedean vector lattice, and0<??????a fixed positive element in??????.
Then the principal ideal??????
??????
is a vector lattice of bounded elements in??????.
–Anelement??????∈??????
+
,??????̸=0is aweak order unit,if??????∈??????and??????⊥??????imply??????=0,i.e.,
{??????}
⊥⊥
=??????.
–Anelement??????∈??????
+,??????̸=0is called anatomof??????whenever0<??????,??????≤??????,and??????∧?????? = 0
implies that either??????=0or??????=0.
An element??????∈??????
+
,??????̸=0is called adiscrete elementwhenever0≤??????≤??????implies
??????=????????????for some??????∈ℝ
+
.
In an Archimedean Riesz space a positive element is an atom if and only if it is a
discrete element.
The principal band{??????}
⊥⊥
(in an Archimedean Riesz space) generated by an atom
??????consistsofallrealmultiplesof??????and is a projection band (see [2, § 2.3], [84],
[120, § III.13], [141]).
A vector lattice is said to beatomic,ifforeach??????>0there is an atom??????,suchthat
0<??????≤??????; i.e., the set of all atoms is a complete subset..
The sequence spacesc
0
,candℓ
??????
for1≤??????≤∞are atomic vector (even Banach)
lattices.
– Each vector lattice satisfies the Riesz decomposition property (see [95, Theo-
rem 1.1.1]).
– A vector lattice??????not possessing any order unit is called oftype(Σ)if??????contains
a sequence of elements(??????
??????
)
∞
??????=1
with the following property:
(Σ
??????
){
??????
1
≤??????
2
≤⋅⋅⋅≤??????
??????
≤ ⋅⋅⋅,
for any??????∈??????there exist??????∈ℕand??????>0such that|??????| ≤ ????????????
??????.
The setL
??????
(??????, ??????)is the linear span of all positive operators from??????into??????.If??????is
Dedekind complete, thenL
??????
(??????, ??????)is a vector lattice. The subsequent theorem is of
great importance within the whole theory of vector lattices. It is crucial and decisive
for our investigation in Chapter 4.
Theorem 2.4(F. Riesz, L. V. Kantorovich).Let??????and??????be vector lattices with??????Dede-
kind complete. Then the ordered vector spaceL
??????
(??????, ??????)is a Dedekind complete vector
lattice satisfyingL
??????
(??????, ??????) =L
??????
(??????, ??????). The lattice operations inL
??????
(??????, ??????)are given by
the formulas
(1)??????
+
(??????) = sup{????????????: 0 ≤ ?????? ≤ ??????},
(2)??????
−
(??????) = sup{−????????????: 0 ≤ ?????? ≤ ??????},
(3)|??????|(??????) = sup{????????????: − ?????? ≤ ?????? ≤ ??????},
5Very oftenstrong order unit.

10| 2 Ordered vector spaces and vector lattices
(4)(?????? ∨ ??????)(??????) = sup{??????(??????
1)+??????(??????
2): ??????
1,??????
2∈??????
+,??????=??????
1+??????
2},
(5)(?????? ∧ ??????)(??????) = inf{??????(??????
1)+??????(??????
2): ??????
1,??????
2∈??????
+,??????=??????
1+??????
2},
for all??????, ?????? ∈L
??????
(??????, ??????)and all??????∈??????
+.
The formulas (1)–(5) are usually called theRiesz–Kantorovich formulas,see[2,Theo-
rem 1.16], [9, Theorem 1.13], [120, Theorem VIII.2.1], and [95, § 1.3].
In [3] there is proved the converse of that theorem.
Theorem 2.5.For Archimedean vector lattices??????, ??????the following statements are equiv-
alent:
(1)??????is Dedekind complete;
(2)the equalityL
??????
(??????, ??????) =L
??????
(??????, ??????)holds for every vector lattice??????andL
??????
(??????, ??????)is a
Dedekind complete vector lattice;
(3)the equalityL
??????
(??????, ??????) =L
??????
(??????, ??????)holds for every vector lattice??????,andL
??????
(??????, ??????)is a
vector lattice.
In general, the regular operators need not be a vector lattice, e. g.,L
??????
(??????
1
([0, 1]),c)is
not a vector lattice (see [105]).
If??????=ℝ, then the vector spaceL
??????
(??????, ℝ)of all order bounded functionals on??????is
called theorder dualof??????, and is denoted by??????̃. Due to the preceding theorem??????̃is
always a Dedekind vector lattice.
Let??????, ??????be two vector lattices. An operator??????∈L(??????, ??????)is calledlattice homomor-
phismorRiesz homomorphismof??????into??????if it preserves the lattice operations, i. e.,
??????(??????∨??????) = ????????????∨????????????and??????(??????∧??????) = ????????????∧????????????for all??????, ?????? ∈ ??????.
If this is the case, then one also has|??????(??????)|=??????(|??????|),and??????≥0, i. e., the operator??????
is positive. Any Riesz homomorphism??????is(??????)-continuous, i. e., continuous with re-
spect to the(??????)-convergence. This follows immediately from the relations
??????
??????
??????
??????
????????????
??????−????????????
??????
??????
??????
??????
=
??????
??????
??????
??????
??????(??????
??????
−??????)
??????
??????
??????
??????
=??????(
??????
??????
??????
??????
??????
??????
−??????
??????
??????
??????
??????
),and??????(
??????
??????
??????
??????
??????
??????
−??????
??????
??????
??????
??????
)≤??????
??????
????????????.
A lattice homomorphism??????is alattice isomorphismor aRiesz isomorphismif??????is
bijective⁶. In this case the operator??????
−1
exists, and is a lattice isomorphism of??????onto
??????as well.
Obviously, lattice homomorphisms and lattice isomorphisms are order homomor-
phisms and order isomorphisms as in Definition 2.1.
Two vector lattices??????, ??????are calledlattice isomorphicif there exists a lattice isomor-
phism between??????and??????.
An order continuous lattice homomorphism preserves the exact bounds, i. e., if
for a subset??????⊂??????there exists the supremum in??????then the supremum exists also for
the set??????(??????)in??????and,??????(sup ??????) = sup ??????(??????). The analogous statement holds for the
infimum.
6I. e., a one-to-one map of??????onto??????.

2.3 Ordered normed spaces | 11
2.3 Ordered normed spaces
In many classical normed spaces a natural partial order exists which, as shown pre-
viously, may be introduced by means of a certain cone. This gave rise to dealing with
this special class of spaces on the one hand as part of the theory of normed spaces and
on the other hand as part of partially ordered vector spaces. The first investigations go
back to the 1930s and were related to problems concerning the positivity of operators.
After World War Two, the initial impulse for a stormy development of this theory was
set off by the famous article by M. G. Krein and M. A. Rutman [69]. Of course, formally
ordered normed spaces are equipped with two structures: the structure of a normed
(vector) space and the one of an ordered vector space. For a rich theory, but essentially
also for applications, the compatibility between both structures is formulated in terms
of topological properties of the cone in such spaces. The theory has been systemati-
cally developed in several directions by many authors. For the treatment in ordered
normed spaces, see e. g., [65, 66, 106, 121, 122], for linear topological spaces, see e. g.,
[106]. Today, together with the theory of Banach lattices, the theory of ordered normed
spaces is one of the pillars of the concept of positivity, not only in functional analysis
but also in other branches of mathematics (e. g., integral and measure theory, numer-
ical analysis, dynamical systems, optimization, economy, operator theory and more).
For a normed space(??????,‖⋅‖)the set??????
??????={??????∈??????:‖??????‖≤1}is its closed unit ball. The
space of all linear continuous (or linear bounded) operators from the normed space
(??????,‖⋅‖
??????
)into the normed space(??????,‖⋅‖
??????
), equipped with the operator norm, i. e.,
‖??????‖=sup{????????????:??????∈??????
??????}for??????: ?????? → ??????
is denoted by
L(??????, ??????),andby L(??????)in the case of??????=??????.If??????=ℝthen??????
??????
=L(??????, ℝ)
is the space of all linear continuous functionals on??????, the (Banach) norm dual space
of??????. With the usual algebraic operations for operators and functionals these spaces
turn out to be normed (vector) spaces. The order in
L(??????, ??????)is introduced by means of
L
+
(??????, ??????) =L(??????, ??????) ∩L
+
(??????, ??????).
Let now(??????,‖⋅‖
??????
,??????
+
)and(??????,‖⋅‖
??????
,??????
+
)be ordered normed spaces, which for short,
we denote by??????and??????, respectively. Then it is a natural question to ask what the rela-
tion between positive and continuous operators is. At a first glance the answer is sur-
prising, the (nontopological) property of positivity implies the topological property of
continuity (of course, under some additional conditions concerning the compatibility
of the norm and the order).
The general result, which in its full extent was proven by I. A. Bakhtin, M. A. Kras-
noselskij, V. Ya. Stetsenko and G. Ya. Lozanovskij, is presented below (see [122, Theo-
rems VI.2.1 and VI.2.2]).
Theorem 2.6.If(??????,‖⋅‖
??????
,??????
+
)is an ordered Banach space such that each positivelinear
functional on??????is continuous and(??????,‖⋅‖
??????
,??????
+
)is an ordered Banach space with a closed
cone??????
+
, then any linear positive operator??????: ?????? → ??????is continuous.

12| 2 Ordered vector spaces and vector lattices
Proof.For completeness we reproduce the simple proof from [122]. Based on the closed
graph theorem it suffices to prove that??????
??????→0(in??????)and????????????
??????→??????
0(in??????)imply??????
0=0.
Assume??????
0̸=0.If??????
0∉??????
+then due to??????
+being closed, the cone??????
+and the point??????
0can
be separated by a closed hyperplane{?????? ∈ ??????: ??????(??????) = ??????}not containing??????
0
,where??????∈??????
??????
and??????is a real number (see e. g.,[44, Corollary 2.1.4]), i. e., we may assume??????(??????) ≥ ??????for
??????∈??????
+
and??????(??????
0
) ̸=??????.From0∈??????
+
and??????(0) = 0we have??????≤0,so??????(??????
0
)<0.Onthe
other hand,
??????(??????) =
1
??????
??????(????????????) ≥
??????
??????
??????→
??????→∞
0for arbitrary??????∈??????
+,
which implies??????(??????) ≥ 0, and therefore??????∈??????
??????
+
. The functional??????=??????∘??????is linear and
positive on??????and so, by condition, continuous. Therefore??????(??????
??????)→0. However,
??????(??????
??????
)=??????(????????????
??????
)??????→??????(??????
0
) ̸=0.
The contradiction shows that the operator??????is continuous.
The case??????
0
∈??????
+
reduces to the previous one because of−??????
0
∉??????
+
.
Throughout, usingint (??????), we denote the set of all interior points of a subset??????in a
topological space. The condition for??????in the previous theorem holds e. g., ifint (??????
+) ̸=
0, or if the cone??????
+is closed and reproducing. The norm-completeness of??????can be
removed if the cone??????
+is assumed to be normal in??????(see [122, VI]).
An important consequence of this theorem is the following result. We formulate
it here as:
Corollary 2.7.Let??????be an ordered vector space with a generating cone??????
+.
If‖⋅‖
1and‖⋅‖
2are two given norms on??????under each of which??????is a Banach space and
the cone??????
+is closed, then the norms are equivalent.
Proof.Indeed, the identity operator which maps one space of(??????,‖⋅‖
??????
), ??????= 1, 2onto the
other one is positive and in view of the theorem, continuous. Therefore, the relations
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????→
??????→∞
0for??????=1,2are equivalent.
For the case of a normed Riesz space, this result is known as the Nakano–Makarov
Theorem. For Banach lattices, both the theorem and the corollary for further use are
reformulated as Theorem 2.12 and Corollary 2.13 in Section 2.4.
2.4 Normed Riesz spaces and Banach lattices
Ordered normed spaces and ordered Banach space are very often vector lattices. In
this case, the relation between the lattice structure and the norm usually satisfies the
condition
‖??????‖ ≤ ‖??????‖whenever|??????| ≤ |??????|, (2.3)

2.4 Normed Riesz spaces and Banach lattices |13
e. g., in the spaces??????(??????),??????
??????
and??????
??????(??????). If the norm‖⋅‖in a vector lattice satisfies the
condition (2.3), then it is called alattice normor⁷ aRiesz norm. A vector lattice (i. e.,
a Riesz space) equipped with a Riesz norm is said to be anormed vector latticeor a
normed Riesz space.
A normed Riesz space which is complete with respect to its norm is called aBanach
lattice.
The compatibility of the two structures (vector lattice and normed space) on a
normed Riesz space(??????,‖⋅‖)postulated by (2.3) has some valuable consequences, e. g.,
a) the unit ball (and so also any other ball with center at zero) is a solid subset;
b) for any??????∈??????one has‖??????‖=‖|??????|‖;
c) each normed vector lattice is Archimedean;
d) the lattice operations in a normed vector lattice are‖⋅‖-continuous, in particular,
‖??????
??????−??????‖→0and‖??????
??????−??????‖→0imply‖??????
??????∨??????
??????−??????∨??????‖→0;
e) the cone??????
+={??????∈??????:??????≥0}is norm closed.
The lattice operations in a Banach lattice??????are said to beweakly sequentially contin-
uous,if
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
????????????
??????→ 0whenever??????
??????
??????
??????→ 0,where“??????” stands for the weak topology??????(??????, ??????
??????
)
in??????.
The norm in a normed lattice is calledorder continuousif the implication holds
that
??????
??????↓0 ??????⇒ ‖??????
??????‖→0.
Many characterizations of the order continuity of a norm in Banach lattices are pro-
vided in [139, Chapter I]. In particular, a Banach lattice with order continuous norm is
always Dedekind complete. In the proof of Theorem 3.18 we use the following result
(see [139, Theorem 6.1], [133, Theorem 5]).
Theorem 2.8.A Banach lattice??????is atomic and the norm on??????is order continuous if and
only if the order intervals in??????are norm compact.
If in an atomic Banach lattice the norm is order continuous, then the lattice operations
are weakly sequentially continuous (see [95, Proposition 2.5.33])
Clearly,c
0,candℓ
??????
(1≤??????≤∞) are atomic Banach lattices, however, only inc
0
andℓ
??????
are the norms order continuous.
In the Soviet literature up to the late 1980s, the order continuity of the norm was
namedcondition(A), see e. g., [59, § X.4], [120, § VII.6], [122, § I.5], and also introductory
remarks in [81, 82].
If a locally solid topology??????on a vector lattice satisfies the implication
??????
??????
↓0 ??????⇒ ??????
??????
??????
??????→ 0 ,
then the topology??????is called aLebesgue topology.
7Sometimes also known asmonotone norm.

14| 2 Ordered vector spaces and vector lattices
Definition 2.9.A Banach lattice??????is said to be an
–????????????-spaceif the norm satisfies the condition
‖??????∨??????‖ = max{‖??????‖,‖??????‖} ??????,?????? ∈ ??????
+
, (2.4)
–????????????-spaceif the norm satisfies the condition
‖?????? + ??????‖ = ‖??????‖ + ‖??????‖ ??????, ?????? ∈ ??????
+
,
–abstract??????
??????-space⁸(1≤??????<∞), if the norm satisfies the condition
‖?????? + ??????‖
??????
=‖??????‖
??????
+‖??????‖
??????
for any disjoint??????, ?????? ∈ ??????.
For1≤??????<∞ , the Banach (function) lattices??????
??????(??????)and their abstractions, the ab-
stract??????
??????
-spaces, have order continuous norms (see [2, Corollary 3.7], [9, Section 12]),
but the norm in??????(??????)fails to be order continuous except in the case that??????is finite (see
e. g., [95, § 2.4]). Each????????????-space fails to possess an order continuous norm as well (see
[95]).
In any????????????-space the lattice operations are weakly sequentially continuous (see
[95, Proposition 2.1.11], and [9, Theorem 12.30]).
Let??????be an Archimedean vector lattice and0<??????. Then in the ideal??????
??????
={??????∈
??????:|??????|≤????????????}by means of the formula
‖??????‖
??????=inf{??????>0:|??????|≤????????????}, (2.5)
a norm is defined which is calledu-normororder unit norm.Then (??????
??????
,‖⋅‖
??????
)isanormed
Riesz space with[−??????, ??????]as the closed unit ball, where the norm‖⋅‖satisfies the equa-
tion (2.4). If??????is a Banach lattice then the ideal??????
??????equipped with the??????-norm is even
an????????????-space (see [95, Proposition 1.2.13]).
There is an important duality between????????????-spaces and????????????-spaces. The following
results will be used later in Chapter 4. There proofs can be found e. g., in [9, Theo-
rem 12.22], [2, Theorem 3.3], [95, Proposition 1.4.7], and [8, Corollary 8.36].
Proposition 2.10.A Banach lattice??????is an????????????-space (an????????????-space) if and only if its
norm dual??????
??????
is an????????????-space (an????????????-space). Moreover, if??????is an????????????-space, then??????
??????
is a
Dedekind complete????????????-space with an order unit??????
??????
,suchthat??????
??????
(??????) = ‖??????
+
‖−‖??????
−
‖for
each??????∈??????.
Proposition 2.11.An????????????-space is lattice isomorphic to an????????????-space if and only if it is
finite-dimensional.
For Banach lattices which constitute, besides the Archimedean vector lattices, the
main class of spaces which we will deal with in this book, we obtain from Theorem 2.6
the following interesting and very important results on continuity of positive opera-
tors in a special case (see [9, Theorem 12.2], and [95, Proposition 1.3.5]).
8For??????=1these are exactly the????????????-spaces.

2.4 Normed Riesz spaces and Banach lattices |15
Theorem 2.12.If??????is a Banach lattice and??????a normed vector lattice, then each positive
operator is continuous.
It follows immediately that each regular operator is continuous as well, and so
L
??????
(??????, ??????) ⊂L(??????, ??????).
The next corollary is an adapted reformulation of Corollary 2.7, and was inde-
pendently obtained by C. Goffman, B. M. Makarov and H. Nakano (see [100, Theo-
rem 30.28], [51, 88]). It will be used in Section 4.4.
Corollary 2.13.All lattice norms that make a vector lattice into a Banach lattice are
equivalent.
If??????is a Banach lattice with an order unit??????,then??????=??????
??????
. By the previous corollary the
??????-norm is equivalent to the original norm, and(??????,‖⋅‖
??????)becomes an????????????-space, with
[−??????, ??????]as the closed unit ball. Often such renorming of Banach lattices or????????????-spaces
with order units is very useful.
For a normed Riesz space??????, the norm dual??????
??????
is an ideal in the order dual??????̃.So
each??????∈??????
??????
is order bounded and the next corollary is clear (see [95, Proposition 1.3.7],
[77, § 1.5.2]).
Corollary 2.14.Thenorm dual??????
??????
and, consequently, the second dual??????
????????????
and any higher
dual of any normed Riesz space??????is always a Dedekind complete Banach lattice. If??????is
a Banach lattice, then??????̃= ??????
??????
.
Conditions for Banach lattices??????and??????to have the propertyL
??????
(??????, ??????) =L(??????, ??????)with
‖??????‖
??????
=‖??????‖,orfor L(??????, ??????)to be a vector lattice are provided e. g., in [95, Theorem 1.5.11],
and [138].
Alinearoperator??????on an Archimedean vector lattice??????is calledband preserving
if??????(??????) ⊆ ??????for each band??????in??????. The last property is equivalent to the requirement
??????⊥??????⇒????????????⊥??????(see [9, Theorem 8.2]). A band-preserving operator which is order-
boundediscalledanorthomorphism. The set of all orthomorphisms on the vector lat-
tice??????is denoted byOrth(??????).
There are very nice relations between an Archimedean vector lattice??????and its col-
lectionOrth(??????). First of all, endowOrth(??????)with the pointwise algebraic and lattice
operations and with the composition as an associative multiplication.
We record some facts concerning the relations between a vector lattice??????and
Orth(??????).
(1) If??????is an arbitrary Archimedean vector lattice, thenOrth(??????)is an Archimedean
??????-algebra⁹, where the identity operator is a weak order unit in Orth(??????)(see[95,
Theorem 3.1.10]).
(2) If??????is Dedekind complete thenOrth(??????)coincides with the band generated by the
identity operator??????inL
??????
(??????)(see [9, Theorem 8.11]).
9For the definition see page 50.

16| 2 Ordered vector spaces and vector lattices
(3) IfAis an??????-algebra with a multiplicative unit??????,then Ais algebraic and lattice
isomorphic toOrth(
A),where??????and??????correspond to each other (see [95, Theo-
rem 3.1.13]).
(4) If??????is a Banach lattice, then (under the regular norm¹⁰) Orth(??????)isan????????????-space
with order unit??????(see [9, Theorem 15.5]).
2.5 Representation of Banach lattices
In this section we provide important results on representation of (abstract) normed
vector lattices and Banach lattices by means of continuous real-valued functions on
some Hausdorff space??????, i. e., each function has a finite value at each point of??????,orby
means of integrable functions on some measure space.
Under the existence of a (strong) order unit in a vector lattice, the first and very im-
portant representation results were already proved in the early 1940s. The next famous
theorem is related to the mathematicians S. Kakutani, M. G. Krein, and S. G. Krein, al-
though some contributions go back also to H. Nakano and K. Yosida. It shows that
????????????-spaces with unit, in essence, are spaces of type??????(??????)for compact??????(see [2, The-
orem 3.6]).
Later, in Sections 5.1 and 7.1, we deal with representations of general Archimedean
vector lattices, which are not required to be normed Riesz spaces.
Theorem 2.15(S. Kakutani, H. F. Bohnenblust, M. G. Krein, S. G. Krein).A Banach lat-
tice??????is an????????????-space with order unit??????if and only if??????is lattice isometric to some space
??????(??????)for a unique (up to homeomorphism) compact Hausdorff space??????,wheretheunit
??????can be identified with the constant function1on??????.
In the proof of this theorem the compact Hausdorff space on which the representation
is constructed is nothing other than the weak
∗
-compact subset of all extreme points
of the positive part of the unit sphere in the norm dual (see [9, Theorems 12.27, 12.28],
and also [106, Theorem 8.5]).
For normed vector lattices with order unit the following version of Theorem 2.15
is appropriate for us (see [120, Theorem VII.5.1]).
Theorem 2.16.For each normed vector lattice??????with order unit1aunique(uptohome-
omorphism) compact Hausdorff space??????and a vector latticeisomorphicisometry??????exist,
such that??????(??????)is a norm-dense vector sublattice of??????(??????),where??????(1)can be assumed to
be the constant single function on??????.
If??????is complete with respect to the order unit norm‖??????‖
1,orif??????is a Banach lattice, then
??????(??????) = ??????(??????).
10see (4.2).

2.5 Representation of Banach lattices |17
If??????lacks an order unit but is a Banach lattice, one has the following version (see [9,
Theorem 12.28]).
Theorem 2.17.A Banach lattice??????is an????????????-space if and only if??????is vector lattice iso-
morphic and isometric to some closed vector sublattice of??????(??????).
If the norm in an????????????-space??????has theNakano property¹¹ , i. e., for any bounded above
subset??????⊂??????
+
one has
sup{‖??????‖:??????∈??????} =inf{‖??????‖:??????is an upper bound of??????},
then a representation of??????on somelocally compactHausdorff space??????exists (see [98,
99, 134, 137]). For a locally compact Hausdorff space??????,thespace??????
0
(??????)is defined as
the set of all continuous real-valued functions on??????vanishing at infinity, i. e., for any
??????∈??????
0(??????),andany??????>0there is a compact subset??????
??????,??????⊂??????,suchthat|??????(??????)|<??????if
??????∉??????
??????,??????.
Theorem 2.18(H. Nakano).For a Banach lattice??????, the following conditions are equiv-
alent:
(1)??????is an????????????-space with a Nakano norm;
(2)there is a locally compact Hausdorff space??????,suchthat??????is isometrically lattice
isomorphic to the space??????
0
(??????).
An interesting survey on representation theorems for Archimedean vector lattices and
Banach lattices can be found in [134]. From our point of view, representations of vector
lattices on locally compact Hausdorff spaces are of great interest, such that the image
of each finite element (this important class of special elements in a vector lattices is the
main subject of the investigation in this book and will be introduced in the next chap-
ter) is a continuous function with compact support. This will be covered in Chapter 9,
where some special results, in particular the Theorem of I. Kawai 9.17, will be proved.
For abstract??????
??????
-spaces, a representation by means of measurable??????-integrable
functionsisexpected[9,Theorem12.26].
Theorem 2.19(S. Kakutani, H. F. Bohnenblust, H. Nakano).A Banach lattice??????is an
abstract??????
??????
-space for some (1≤??????<∞)ifandonlyif??????is vector lattice isometric to a
space??????
??????(Ω, Σ, ??????)for some measure space(Ω,Σ,??????).
In the proof of this theorem, the order continuity of the norm is used to construct the
measure space and the corresponding lattice isometry (see [9, Theorem 12.26]).
For general Banach lattices with order continuous norm, the following result is
due to R. J. Nagel (see [95, Theorem 2.7.8]).
Theorem 2.20.Let??????be a Banach lattice with order continuous norm, and let??????possess
a weak order unit. Then a measure space(Ω,Σ,??????)and an ideal??????⊂??????
1
(Ω,Σ,??????)exist,
such that??????
∞
(Ω,Σ,??????)⊂ ??????and??????is lattice isomorphic to??????.
11In this case‖⋅‖is said to be aNakano norm.

3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements in
Archimedean vector lattices
In this chapter we introduce the concept of finite, totally finite and selfmajorizing el-
ements in an Archimedean vector lattice. This notion has to be considered as an ab-
stract analogue of continuous function with compact support in vector lattices of con-
tinuous functions on locally compact Hausdorff spaces. The systematic study of those
elements and the ideals generated by them is carried out in various Archimedean vec-
tor lattices and Banach lattices, in??????-algebras and in lattices of operators. Some of their
general properties in arbitrary vector lattices are provided in Section 3.1 and in Banach
lattices in Section 3.2. A finite element in a vector lattice need not be a finite element
in a vector sublattice. The relations between them are studied in Section 3.3. In Sec-
tion 3.4 selfmajorizing elements are dealt with, whereas finite elements in??????-algebras
and in product algebras are considered in Section 3.5.
The notion of a finite and a totally finite element in Archimedean vector lattices
??????was introduced in 1972 by B. M. Makarov and the author. The first results were pub-
lished in [89].
3.1 Finite and totally finite elements in vector lattices
Let??????(??????)be a vector lattice of continuous functions on a locally compact (noncom-
pact) topological Hausdorff space??????,i.e.,??????(??????) ⊂ ??????(??????)(for example??????=ℝ
1
and
??????(??????) = ??????(??????)). Denote the linear subspace of all continuous functions on??????with a
compact support¹ by
K(??????). These functions are of special interest. For example, the
construction of an integral on??????starts either with a positive linear functional (called
integral)defined²on
K(??????)or, ifK(??????)is equipped with the (locally convex) topology of
the inductive limit with respect to the natural embeddings??????(??????) ??????→
K(??????), for all com-
pact subsets??????⊂??????, with a positive linear continuous functional of the corresponding
topological dual (calledRadon measure). Then the task is to extend the integral to a
larger collection of functions than
K(??????)[97].
In the representation theory of Banach lattices by means of continuous functions
on a locally compact space??????,onewouldlike
K(??????)to be isomorphic to some dense
ideal in the represented Banach lattice (see [108]).
One may now ask for an abstract characterization of continuous functions having
a compact support. This is easily done for a positive function??????as follows: the family of
the infima of all multiples of??????with any positive function??????∈??????(??????)should be majorized
1I. e., functions??????∈??????(??????)for which the closure of{?????? ∈ ?????? : ??????(??????)̸=0}is a compact set in??????.
2The functional takes on nonnnegative values on the positive functions ofK(??????).

3.1 Finite and totally finite elements in vector lattices |19
by one and the same function, of course with a constant depending on??????which is
suggested by the pictures in Figure 3.1. In general, the moduli of the functions have
to be used in an appropriate general definition. In the sequel the abstract version of
this description leads to the Definition 3.1 of a finite element, already in an arbitrary
Archimedean vector lattice??????.
Definition 3.1.An element??????∈??????is calledfiniteif there is an element??????∈??????satisfying
the following condition: for any element??????∈??????anumber??????
??????>0exists such that the
following inequality holds:
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????
????????????for all??????∈ℕ. (3.1)
The element??????is called an??????-majorantor, briefly, amajorantof the finite element??????.The
inequality (3.1) describes the special interaction of (the modulus of) a finite element
with all elements of the vector lattice. The set of all finite elements of a vector lattice
??????is denoted byΦ
1(??????).
Any continuous function with compact support is an intrinsic example of a finite
element in the vector lattice??????(??????),where??????is assumed to be a locally compact (or
only noncompact) topological Hausdorff space. For a majorant of such a function??????
any continuous function³ can be taken which has a strongly positive infimum on the
support of??????(see Fig. 3.1).
A finite element in the vector lattice??????(??????)must be a function with compact sup-
port. Indeed, if??????∈Φ
1
(??????(??????))would not have a compact support, then a sequence
(??????
??????
)
??????∈ℕ
in??????with|??????|(??????
??????
)>0exists, and such that for any compact subset??????⊂??????there is
an index??????
??????
with??????
??????
∉??????for all??????>??????
??????
.If??????is a majorant for??????,then??????(??????
??????
)>0for all??????∈ℕ.
The function0<̃??????∈??????(??????)exists, such that̃??????(??????
??????)=????????????(??????
??????)for all??????.From
(|̃??????| ∧ ??????|??????|)(??????
??????
)≤??????
̃????????????(??????
??????
)for any??????∈ℕ
we get a contradiction, since the left term in the last inequality is equal to????????????(??????
??????
),
whereas the right one is??????
̃????????????(??????
??????
).SoΦ
1
(??????(??????)) =K(??????).
Observe that here we were interested in the finite elements which have to tend
to all elements in the large vector lattice??????(??????), and therefore we have a very restric-
tive condition – the compactness of their support. If we consider a smaller vector lat-
tice??????(??????) ⊊ ??????(??????), then one can expect that continuous functions with noncompact
support also might be finite elements in??????(??????),seeExample8.15.Formoredetailssee
Section 8.1.
In general, the following relations are possible:
(i) Φ
1
(??????) = ??????, (ii) {0}̸=Φ
1
(??????) ⫋ ??????, (iii) {0} = Φ
1
(??????) ⫋ ??????.
An example for the case (ii) is the above considered vector lattice??????(??????)for noncom-
pact??????. For the first two cases we provide some more examples, where the underlying
3In fact, such a function does exist in??????(??????);seeSection8.1.

20| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
ϕ
ϕ
xn∧ϕ
x
nϕ
ϕ
nϕ
z
xcz
xn∧ϕ
x
Fig. 3.1.Finite element??????with a majorant??????.
vector lattices are even sequence spaces. Letcbe the vector lattice of all real con-
verging sequences andc
0
the vector lattice of all zero sequences. Further, denote by
c
00
the vector lattice of all real finite sequences⁴, i. e., all sequences with only a finite
number of nonzero components. For more properties of these vector lattices see [8,
Chaps. 15.2–4].
(i) If??????, ?????? ∈c,then|??????| ≤ ??????
??????1and|??????| ≤ ??????
??????1for some reals??????
??????,??????
??????≥0,where1denotes the
sequence(1,1,...). Then the inequality|??????|∧??????|??????|≤|??????|≤??????
??????1holds for each??????∈ℕ
and shows the finiteness of??????(with1as one of its majorants) in the vector lattice
c. Therefore,Φ
1
(c)=c. The subsequent Theorem 3.6 follows the same argument,
and so one also has the Corollary 3.7 below.
Similarly, if??????, ?????? ∈c
00,then|??????| ≤ ??????
????????????
(??????)
and|??????| ≤ ??????
????????????
(??????)
for some reals??????
??????,??????
??????≥0,
where??????
(??????)
denotes the sequence(
??????-times
⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞
1, 1, ..., 1, 0, 0, 0, ...).Then
|??????| ∧ ??????|??????| = (|??????
1
|∧??????|??????
1
|, ..., |??????
??????
|∧??????|??????
??????
|, 0, ...) ≤ ??????
??????
??????
(??????)
≤??????
??????
??????
(??????)
for any??????∈ℕ,
where??????=min{??????,??????}. Again it is clear that the element??????is finite with??????
(??????)
as one of
its majorants andΦ
1(c
00)=c
00.
(ii) Let be??????∈Φ
1(c
0)and??????be one fixed majorant of??????. Obviously, due to??????=(??????
??????)
??????∈ℕ∈
c
0
+,thesequence??????=(√
??????
??????)
??????∈ℕalso belongs toc
0. Assume that infinitely many
coordinates of??????are nonzero. For those coordinates in particular, one has
(?????? ∧ ????????????)
??????
=√
??????
??????
∧????????????
??????
=√??????
??????
≤??????
??????
??????
??????
if??????is sufficiently large. The relation0<
1
??????
??????
≤√??????
??????(for infinitely many coordinates
of??????) contradicts??????∈c
0.SowehaveΦ
1(c
0)=c
00(see also (a) after Theorem 3.18).
4Sometimes this sequence space is also denoted by??????.

3.1 Finite and totally finite elements in vector lattices |21
As an example for case (iii), we refer to our later Example 3.5. After Theorem 3.18 (in
case (b)) we will see that alsoΦ
1(??????
??????[0, 1]) = {0}for1≤??????<∞.
In our examples we showed the finiteness of certain elements directly by apply-
ing Formula (3.1). Later we will develop more general methods for detecting finite ele-
ments in vector lattices.
It is easy to see that in the case of a??????-Dedekind complete vector lattice, an element
??????is finite and has the element??????as its majorant if and only if
Pr
??????|??????|≤????????????for some??????>0,
i. e., the band{Pr
??????
??????: ?????? ∈ ??????}is a vector lattice of bounded elements.
For any finite element??????and its majorant??????,put
??????(??????) = ??????
??????,??????
(??????) = inf{?????? > 0:|??????|∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤????????????, ∀??????>0}.(3.2)
It is clear that for all??????>0the following inequality holds:
|??????|∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤ ??????(??????)??????.
The function??????, which is defined by Formula (3.2) turns out to be a seminorm on??????.We
make use of them only in Section 9.2. The triangle inequality is seen from
??????
??????
??????
??????
??????+??????
??????
??????
??????
??????
∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤(|??????|+
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤|??????|∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
+
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤ (??????(??????) + ??????(??????))??????.
The proof of homogeneity is also elementary: for?????? ̸=0one has
??????(????????????) = inf{?????? :|????????????|∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤????????????} = inf{??????:|??????|∧
??????
|??????|
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤
??????
|??????|
??????}
=inf{|??????|??????
??????
:|??????|∧
??????
|??????|
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤??????
??????
??????} =|??????|inf{?????? :|??????|∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤????????????}
=|??????|??????(??????).
Any such seminorm is obviously a Riesz seminorm on??????,i.e.,|??????|≤
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
implies??????(??????) ≤
??????(??????)(cf. with (2.3)). The collection of all seminorms defines a locally convex topology
on??????with a fundamental neighborhood system of zero⁵ consisting of solid sets.
Below is a list of some properties of the introduced seminorms and the topology
generated by means of them.
(1) The Archimedean principle yields|??????|∧
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
>0 ??????⇒ ??????(??????)>0.
(2) If in??????a complete system of finite elements exists, then the locally convex topology
which is defined on??????by this system is Hausdorff. Indeed, for any0 ̸=??????∈??????,there
is a finite element??????
0
in that system such that|??????|∧
??????
??????
??????
??????
??????
0
??????
??????
??????
??????
>0. Hence the statement
follows from the previous implication.
5Sometimes called a neighborhood base of zero.

22| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
(3) If??????contains a countable complete set of finite elements, then the corresponding
topology is metrizable.
(4) If a discrete functional??????(i. e., lattice homomorphism from??????toℝ;seeDefini-
tion 5.6) does not vanish at the finite element??????
0
,then??????is continuous with respect
to the generated seminorm. This can be easily seen from the estimation
??????
??????
??????
??????
??????(??????)
??????
??????
??????
??????
≤??????(|??????|)=??????(|??????|∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
0
??????
??????
??????
??????
)≤ ??????(??????) ??????(??????),
which holds for sufficiently large??????>0.
(5) If the setΔ(??????)of all discrete functionals istotalon??????(i. e.,??????(??????) = 0for all??????∈Δ(??????)
implies??????=0), and if the vector lattice??????possesses a sufficient set of finite ele-
ments (see Section 5.3), then the topology is Hausdorff, and each discrete func-
tional is continuous. Indeed, Property 2 implies that the topology is Hausdorff,
since by Corollary 5.12, a sufficient set is also complete. The continuity of the dis-
crete functionals follows from Property 4.
Obviously, the setΦ
1
(??????)is an ideal in??????, i. e., a solid linear subspace of??????. One now
asks for stronger properties of the collectionΦ
1
(??????).ThetrivialcasesforΦ
1
(??????)to be a
projection band in??????areΦ
1
(??????) = ??????,andΦ
1
(??????) = {0}. The general case is considered in
the next theorem.
Theorem 3.2([37, Theorem 2.13]).The idealΦ
1(??????)is a projection band of the vector
lattice??????if and only if??????=??????
1
⊕??????
0
,whereΦ
1
(??????
1
)=??????
1
andΦ
1
(??????
0
)={0}.Inthiscase
??????
1
=Φ
1
(??????).
Proof.If??????=Φ
1
(??????)is a projection band in??????,and??????
??????
the band projection onto??????,then
??????=??????⊕??????
0,where??????
0=??????
⊥
andΦ
1(??????) = Φ
1(??????) ⊕ Φ
1(??????
0).Then
Φ
1(??????) = ??????
??????Φ
1(??????) = Φ
1(??????) ∩ ?????? = Φ
1(??????),
and thereforeΦ
1
(??????
0
)={0}.
If??????=??????⊕??????
0
withΦ
1
(??????) = ??????andΦ
1
(??????
0
)={0},then
Φ
1(??????) = Φ
1(??????) ⊕ Φ
1(??????
0)=Φ
1(??????) = ??????.
Notice that, obviously, the assertion of the theorem holds ifΦ
1(??????)is a band in a
Dedekind complete vector lattice??????. The characterization ofΦ
1(??????)as a band in an
arbitrary Archimedean vector lattice is still open. Definition 3.3.A finite element??????∈??????is calledtotally finiteif it has an??????-majorant??????
belonging toΦ
1(??????).
The set of all totally finite elements of a vector lattice??????is also an ideal which will be
denoted byΦ
2(??????). Obviously, the inclusions{0} ⊆ Φ
2(??????) ⊆ Φ
1(??????) ⊆ ??????hold, which
might be proper (see also Section 6.2). In general, if??????=??????(??????), where the topological
space??????is not compact, then
K(??????) = Φ
1
(??????) = Φ
2
(??????)̸=??????.For?????? = ??????[0, 1]there holds
Φ
2
(??????) = Φ
1
(??????) = ??????.

3.1 Finite and totally finite elements in vector lattices |23
Later on, in Section 3.4, still another kind of finite element will be studied, namely
the selfmajorizing elements, each of which has its modulus as a majorant; see Defini-
tion 3.35.
The sets of totally finite and selfmajorizing elements in general turn out to be dif-
ferent fromΦ
1
(??????). The next example shows that vector lattices with{0}̸=Φ
2
(??????)̸=
Φ
1
(??????)exist.
Example 3.4(Kaplansky vector lattice). This vector lattice provides a vector lattice??????
withΦ
1(??????)̸=Φ
2(??????)and, after a slight modification of the construction, we get an
example of a vector lattice??????with{0} = Φ
1
(??????)̸=??????mentioned earlier in this section
as case (iii).
Both examples will also be of use several times later on (especially in Sections 6.2
and 6.4) for constructing counterexamples (see Example 6.39) which show that the
conditions posed in Theorem 6.32 are essential.
Let??????=[−2, 2]\{1,
1
2
,
1
3
, ...}. The Kaplansky vector lattice (see [25, XV.3],[116, 117]),
which will be denoted byK, consists of all functions??????on[−2, 2]restricted to??????such
that –??????is continuous on[−2, 2]except at a finite number of points
1
??????
;
–forany??????∈ℕthe finite limitlim
??????→
1
??????
??????
??????
??????
??????
??????−1
??????
?????? ?????? ?????? ??????
??????(??????)exists.
The functions
??????
??????
(??????) =
??????
∑
??????=1
1
|???????????? − 1|
, ?????? ∈ ??????, ?????? =1,2,...(3.3)
belong toKand satisfy there the condition (Σ
??????
). Moreover, one has??????
??????
(??????) ≥
1
|??????−1|
≥1on
[0, 1] ∩??????. It is now easy to show thatKis a uniformly complete vector lattice of type (Σ)
with the propertyΦ
1
(K) ̸=Φ
2
(K). Indeed, in order to see this, we list some properties
of the finite and totally finite elements inK.
(a)If??????is a finite element inKthen??????(0) = 0.
Indeed, by assuming??????(0)̸=0,thereisanumber??????>0such that
?????? ?????? ?????? ??????
??????(??????)
?????? ?????? ?????? ??????
>0for
all?????? ∈ ?????? = (−??????, ??????) ∩ ??????.If??????
??????
is a majorant of the finite element??????, then choose a
natural number??????with the properties
1
??????
<??????and??????>??????. Due to the finiteness of??????,
it holds that??????
??????
∧??????
?????? ?????? ?????? ??????
??????
?????? ?????? ?????? ??????
≤??????
??????
??????
??????
for all??????∈ℕand some??????
??????
. In particular, one has
??????
??????(??????) ≤ ??????
????????????
??????(??????)for??????∈??????.
The last inequality, however, is impossible due to the choice of??????.
(b)If??????∈Kand a real??????>0exists such that??????(??????) = 0for all??????∈[0,??????)∩??????,then??????∈Φ
1
(K).
Indeed, for??????∈K,thereisanumber??????such that
1
??????
<??????and
?????? ?????? ?????? ??????
??????
?????? ?????? ?????? ??????
≤??????
????????????
??????.For??????≤??????
the estimation??????
??????∧??????
?????? ??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤??????
??????obviously holds for all??????∈ℕ.
If??????∈[0,??????)∩??????,then??????(??????) = 0and(??????
??????∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)(??????) = 0for each??????, ?????? ∈ ℕand??????∈[0,??????).
If??????∈[??????,2]∩??????and??????>??????,then??????
??????
(??????) = ??????
??????
(??????) + ∑
??????
??????=??????+1
1
|????????????−1|
,where∑
?????? ??????=??????+1
1
|????????????−1|
is a
continuous function on the compact interval[??????, 2]. The latter implies∑
?????? ??????=??????+1
1|????????????−1|
≤

24| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
??????
??????for some??????
??????>0. One then has
(??????
??????∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)(??????) ≤ (??????
??????∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)(??????) + ((
??????
∑
??????=??????+1
1
|???????????? − 1|
)∧??????
?????? ?????? ?????? ??????
??????
?????? ?????? ?????? ??????
)(??????)
≤??????
??????(??????) + ??????
??????≤(1+??????
??????)??????
??????(??????)for all??????∈ℕ, (3.4)
which shows that??????is a finite element ande
??????is one of its majorants.
(c) The element??????∈Kis totally finite, i. e.,??????∈Φ
2
(K),ifandonlyif??????>0exists such
that??????(??????) = 0for all?????? ∈ (−??????, ??????) ∩ ??????.
For necessity let??????∈Φ
2
(K), ?????? ≥ 0,andlet??????∈Φ
1
(K)be a majorant for??????.Ifwe
assume that for some sequence(??????
??????)
??????∈ℕ⊂??????with??????
????????????→
??????→∞
0there is??????(??????
??????)>0for
?????? = 1,2,...,then from the inequality
1∧????????????(??????)≤??????
1
??????(??????), ??????∈??????,??????∈ℕ
there would follow1≤??????
1
??????(??????
??????
)for?????? = 1,2,.... This contradicts??????(??????
??????
)??????→
??????→∞
??????(0)
since??????(0) = 0, as was established in (a).
For the sufficiency of the condition, consider a function??????∈Ksuch that??????(??????) = 0
for all?????? ∈ (−??????, ??????) ∩ ??????for some??????>0.Thereisanumber??????such that
1
??????
<??????and
?????? ?????? ?????? ??????
??????
?????? ?????? ?????? ??????
≤??????
??????
??????
??????
.Put?????? = max
??????∈[−2,0]
?????? ?????? ?????? ??????
??????
?????? ?????? ?????? ??????
. The function
??????(??????) =
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
??????, ?????? ∈ [−2,−??????)
−
??????
??????
??????, ?????? ∈[−??????,0)
0, ?????? ∈ [0,
??????
2
)∩??????
??????
??????
(??????)(
2
??????
??????−1), ??????∈[
??????
2
,??????)∩??????
??????
??????
(??????), ?????? ∈ [??????, 2] ∩ ??????
belongs toΦ
1
(K), according to (b). We show that??????is a majorant for??????.
If??????∈[−2,−??????), then by continuity??????
??????(??????) ≤ ??????
????????????for some??????
??????>0and
(??????
??????∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)(??????) ≤ ??????
??????(??????) ≤ ??????
????????????=??????
????????????(??????).
If?????? ∈ [−??????, ??????] ∩ ??????,then(??????
??????∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)(??????) = 0,andso
(??????
??????∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)(??????) ≤ {
−
??????
??????
??????=??????(??????), ??????∈[−??????,0]
??????(??????) , ?????? ∈ (0, ??????] ∩ ??????.
If??????∈(??????,2]∩??????, we may assume??????>??????. Then, as in (b), we have∑
??????
??????=??????+1
1
|????????????−1|
≤??????
??????for
some??????
??????>0,since
1
??????
<??????.Now(??????
??????∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
)(??????)is estimated on(??????, 2] ∩ ??????in the same way
as in (3.4), where, due to??????(??????) = ??????
??????
(??????), the upper bound is(1 + ??????
??????
)??????(??????).
Now we have an example for the relation?????? ̸=Φ
1
(??????)̸=Φ
2
(??????)̸={0}to hold, e. g.,
the function??????
−
= max{−??????, 0}belongs toΦ
1
(??????),butnottoΦ
2
(??????).

3.1 Finite and totally finite elements in vector lattices |25
Example 3.5.A vector lattice??????of type (Σ)with{0} = Φ
2(??????) = Φ
1(??????)̸=??????.
Let{??????
??????:??????∈ℕ}be the set of all rational numbers in??????=[0,1]. The vector lattice⁶
??????=??????(??????)consists of all functions??????on??????, each of which can be represented as
??????(??????) = ??????(??????) +
??????
∑
??????=1
??????
??????
|??????−??????
??????
|
,
where??????(??????)is some continuous function,??????
1
,??????
2
,...,??????
??????
are real numbers, and??????=??????(??????)
a natural. It is clear that each function??????∈??????has a finite limitlim
??????→??????
??????
|?????? − ??????
??????|??????(??????)at each
point??????
??????∈ℚ∩??????.Thevalueof??????at the points??????
??????for?????? = 1,...,??????is assumed to be
+∞, −∞, 0if the coefficient??????
??????is>0,<0,0respectively. Observe that the functions
??????
??????
(??????) = 1 +
??????
∑
??????=1
1
|??????−??????
??????
|
, ?????? = 1,2,...
belong to??????and satisfy the condition (Σ
??????
). Thus,??????is a vector lattice of type (Σ).
We show that except for the zero-function, no element can be finite in??????. Indeed,
let??????∈??????,??????>0.Then??????(??????
0)>0at some point??????
0and??????(??????) > 0holds also in some
neighborhood??????of??????
0
.Wemakesurethat??????cannotbeafiniteelementinthevector
lattice??????. By way of contradiction, assume that there is a number??????
0
such that for any
??????there is a number??????
??????
with the property
??????
??????
∧????????????≤??????
??????
??????
??????
0
for all??????∈ℕ.
In the neighborhood??????there is a rational number??????
??????
0
with??????
0>??????
0and??????
??????
0
(??????
??????
0
)<∞.
If??????is sufficiently large, then one has??????
??????
0
(??????
??????
0
)=∞, and therefore(??????
??????
0
∧????????????)(??????
??????
0
)=
????????????(??????
??????
0
).Duetolarge??????, the last value might be arbitrarily large. This contradiction
shows that the element??????is not finite. Now it is easy to see that alsoΦ
2
(??????) = {0}.
Thus arises the natural problem of describing all, or at least some, finite elements
in various vector lattices of sequences, functions, operators, etc., as already started
after Definition 3.1. The investigation of finite elements, especially in Banach lattices,
gives some additional information on the inner structure of such spaces and might
be used to discover further interesting properties. Finite and totally finite elements
in vector lattices have been thoroughly studied in a series of papers (see [36–38, 89–
92, 131]).
When the finiteness of some class of elements has to be proved in a particular vec-
tor lattice, it will be clear that special techniques have to be developed in order to es-
tablish Formula (3.1) contained in Definition 3.1. Moreover, an analysis of Formula (3.1)
will help to derive more information about the structure of the finite elements in many
6??????(??????)is constructed similarly to the Kaplansky vector lattice.

26| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
special cases. Some typical results are contained in the theorems below and in the fur-
ther chapters of the book.
As a rule, an additional structure of the vector lattice will give some more, and
sometimes even exhaustive, information about its finite elements.
From the definitions one has immediately the following theorem.
Theorem 3.6.If a vector lattice??????has an order unit, thenΦ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????.
Proof.Indeed, if1is an order unit in??????,thenforeach??????∈??????there is positive number
??????
??????,suchthat|??????|≤??????
??????1.Forany??????∈??????one has|??????|∧??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
≤??????
??????1which, by Definition 3.1,
shows that the element??????is finite.
As a consequence, for the following classical vector lattices, one can immediately see
that any element is finite.
Corollary 3.7.If??????is one of the vector latticesc,ℓ
∞
,??????(??????)for a compact Hausdorff
space??????,??????
∞(??????),thenΦ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????.
It was shown in [90] that any element??????∈Φ
2
(??????)possesses an??????-majorant which itself
is a totally finite element; see Theorem 6.15 below. This means that there is no further
specification in this direction. It is clear thatΦ
1
(??????) = ??????impliesΦ
2
(??????) = Φ
1
(??????). Indeed,
if??????∈Φ
1(??????), then there is a majorant in??????,which,dueto??????=Φ
1(??????),isafiniteelement,
and??????is therefore totally finite.
Proposition 3.8.Each atom in a vector lattice is a totally finite element with itself as a
majorant⁷.
Proof.If??????is an atom of??????,thenforeach??????∈??????
+
define??????
??????
(??????) = sup{?????? ∈ ℝ
+
:????????????≤??????}.
As??????is Archimedean,??????
??????(??????) < ∞,forall??????∈??????
+.For??????∈??????and every??????, one has
|??????| ∧ ???????????? ≤ ????????????,i.e.,
1
??????
(|??????| ∧ ????????????)≤??????and, by taking into consideration that??????is an atom,
one obtains
1
??????
(|??????| ∧ ????????????)=??????
??????
??????
??????, and therefore|??????| ∧ ???????????? = ??????
????????????≤|??????|for some??????
??????,which
gives|??????| ∧ ???????????? ≤ ??????
??????
(|??????|)??????. Therefore,??????is finite with itself as an??????-majorant.Let??????⊂??????be a vector sublattice of the vector lattice??????.Anelement??????∈??????
+
is called a
generalized order unitfor??????if for each??????∈??????there is a real number??????
??????
with|??????| ≤ ??????
??????
??????.
Note that then??????belongs to the ideal generated (in E) by the element??????,andthat??????is
not required to belong to??????
+=??????∩??????
+.
Theorem 3.9.Let??????be a vector lattice. If??????∈??????is a finite element, then{??????}
⊥⊥
has a
generalized order unit and{??????}
⊥⊥
⊂Φ
1
(??????).
Proof.If??????∈??????is finite, then??????∈??????
+
exists such that for each??????∈??????there is a real
number??????
??????>0with
|??????| ∧ (??????|??????|) ≤ ??????
????????????for all??????∈ℕ.
7Later termed a selfmajorizing element.

3.1 Finite and totally finite elements in vector lattices |27
It follows from Theorem 3.4 of [9] that
|??????| = sup{|??????| ∧ ??????|??????|} ≤ ??????
????????????for all??????∈{??????}
⊥⊥
,
which implies that the element??????is a generalized order unit of{??????}
⊥⊥
.
Now for each??????∈{??????}
⊥⊥
and arbitrary??????∈??????, it is clear that|??????| ∧ ??????|??????| ∈ {??????}
⊥⊥
and,
again by the same Theorem 3.4, one has
|??????| ∧ ??????|??????| = sup{|??????| ∧ ??????|??????| ∧ ??????|??????| : ∀?????? ∈ ℕ}
=sup{(|??????|∧??????|??????|)∧??????|??????|: ∀??????∈ℕ}
≤(??????
????????????) ∧ (??????|??????|) ≤ ??????
????????????
for all??????.So??????is finite, and{??????}
⊥⊥
⊂Φ
1
(??????).
The next result shows that the converse of Theorem 3.6 is true whenever the vector
lattice??????has a weak order unit.
Corollary 3.10.Let??????be a vector latticewith a weak order unit. ThenΦ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????
if and only if??????has an order unit.
Proof.Indeed.Weonlyhavetoprovetheexistenceofanorderunitif ??????has a weak
order unit andΦ
1
(??????) = Φ
2
(??????) = ??????.If??????is a weak order unit in??????=Φ
1
(??????), then by the
theorem{??????}
⊥⊥
has a generalized order unit which, due to{??????}
⊥⊥
=??????,isobviouslyan
order unit.
Note that we have established that any generalized order unit of the band generated
by the weak order unit serves as an order unit in??????.
However, a weak order unit of a vector lattice??????fails to be an order unit, in general,
even ifΦ
1
(??????) = Φ
2
(??????) = ??????and??????has an order unit. For example, if??????=cand??????=
(1,
1
2
,...,
1
??????
,...),then??????is a weak order unit of??????, but not an order unit.
The next result is a characterization of finite elements in vector lattices with(??????????????????).
The equivalence(1) ⇐⇒ (3)in case of a Dedekind complete vector lattice was proved
in [130, Theorem 1].
Theorem 3.11.Let??????be a vector lattice with the principal projection property(??????????????????)and
??????∈??????. Then the following statements are equivalent:
(1)??????is a finite element of??????;
(2){??????}
⊥⊥
has a generalized order unit??????∈??????
+;
(3){??????}
⊥⊥
has an order unit??????
0∈{??????}
⊥⊥
.
Proof.(1) ⇒ (2)is precisely Theorem 3.9.
(2) ⇒ (3):If ??????∈??????
+
is a generalized order unit of{??????}
⊥⊥
,thenforeach??????∈{??????}
⊥⊥
,there
is a positive number??????
??????such that|??????| ≤ ??????
????????????.Let??????
??????be the band projection from??????onto
{??????}
⊥⊥
. Then,
|??????| = ??????
??????|??????| ≤ ??????
??????(??????
????????????) = ??????
????????????
????????????=??????
????????????
0,
where??????
0
=??????
??????
??????∈{??????}
⊥⊥
.Thisimpliesthat??????
0
is an order unit of{??????}
⊥⊥
.

28| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
(3) ⇒ (1):If ??????
0is an order unit of{??????}
⊥⊥
, then, due to??????
??????|??????| ∈ {??????}
⊥⊥
, for arbitrary??????∈??????,
there is a positive number??????
??????such that??????
??????|??????| ≤ ??????
????????????
0. Therefore,
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ sup{|??????| ∧ ??????|??????|} = ??????
??????|??????| ≤ ??????
????????????
0for all??????∈ℕ,
and??????is a finite element of??????.
Remark 3.12.
(1)It has been proved a little more.Namely, if??????is a finite element and??????an arbitrary
one of its generalized order units, then??????
????????????is an order unit in{??????}
⊥⊥
. If, in addition,
{??????}
⊥⊥
⊆Φ
1
(??????),then{??????}
⊥⊥
⊆Φ
2
(??????).
(2) The proof also shows that the finiteness of an element in an arbitrary Archime-
dean vector lattice can be detected by the properties of its principal band:let??????
be an arbitrary Archimedean vector lattice and let the element??????∈??????be such that
{??????}
⊥⊥
is a projection band. Then??????is a finite element (with the majorant??????)ifand
only if{??????}
⊥⊥
contains an order unit (namely,??????
????????????). In particular, if??????is a??????-Dedekind
complete vector lattice, thenΦ
1
(??????) = ??????if and only if each principal band possesses
an order unit.
(3) If??????is a vector lattice with(??????????????????)and the element??????∈??????is finite, then for each
??????∈??????the supremum exists on the left-hand side of Formula (3.1), which is the
projection??????
??????(|??????|)on the band{??????}
⊥⊥
;seeFormula(2.2).All these projections lie in
the ideal generated by the element??????,i.e.,??????
??????(??????
+
), ??????
??????(??????
−
), ??????
??????(??????), ??????
??????(|??????|)∈??????
??????.
Combining the Theorems 3.9 and 3.11 we have the following theorem.
Theorem 3.13.Let??????be a vector lattice with the principle projection property(??????????????????).
ThenΦ
1(??????) = Φ
2(??????),andΦ
1(??????)also has the(??????????????????).
Proof.Let??????∈Φ
1(??????),andlet??????be its majorant. Then??????
????????????is also a majorant for??????.Due
to Theorem 3.9, one has{??????}
⊥⊥
⊂Φ
1(??????)and getsΦ
1(??????) = Φ
2(??????).If??????∈Φ
1(??????),then{??????}
⊥⊥
is a projection band in??????,whichisasubsetofΦ
1
(??????). This shows that the idealΦ
1
(??????)
has(??????????????????).
It is easy to show thatΦ
1
(??????) = Φ
2
(??????) = ??????holds, both for the vector lattice??????=c
00
of all sequences with finite support (see also case (i) on p. 20), and also for the vector
lattice??????=
K(??????)of all finite continuous functions on the locally compact topological
Hausdorff space??????.
Another result for a vector lattice??????to satisfyΦ
1
(??????) = ??????uses the structure of a strict
inductive limit (see [89, Theorem 5.3]). This result will be proved later in Section 9.3 in
connection with the representation of????????????-vector lattices.
The finiteness of elements in vector lattices is an order isomorphic property, i. e.,
if two vector lattices??????and??????are lattice isomorphic by means of a Riesz isomorphism
??????,then??????∈??????is finite if and only if????????????is finite in??????.Forthesakeofconveniencewe
state this property in the following proposition without proof.

3.2 Finite elements in Banach lattices |29
Proposition 3.14.Let??????and??????be vector lattices and??????: ?????? → ??????a Riesz isomorphism.
Then??????(Φ
1(??????)) = Φ
1(??????(??????)) = Φ
1(??????),and??????(Φ
2(??????)) = Φ
2(??????).
It is worth pointing out that if??????: ?????? → ??????is not a lattice isomorphism, then for??????∈
Φ
1
(??????), the element????????????may fail to be finite in??????,evenif??????is an interval-preserving⁸
(linear) lattice homomorphism, i. e., satisfies the condition??????(??????∧??????)=????????????∧????????????for all
??????, ?????? ∈ ??????.
For example, let??????=ℓ
∞
,??????=c
0,and??????: ?????? → ??????defined by??????(??????
??????)=(??????
????????????
??????)for
(??????
??????)∈??????,where0<??????
??????∈ℝand??????
??????→0. It is easy to see that??????is an interval-preserving
lattice homomorphism but not a lattice isomorphism. AlthoughΦ
1
(??????) = ??????(see Corol-
lary 3.7), the element???????????? = (??????
??????
)is not finite in??????,where??????is the sequence of??????with all
members equal to1. The latter will be clear and is easily obtained as a consequence
of Theorem 3.18; see p. 32.
3.2 Finite elements in Banach lattices
If the underlying vector lattice??????is a Banach lattice, then the finite elements can be
characterized similarly to Theorem 3.11 regardless of the property(??????????????????).
Theorem 3.15.Let??????be a Banach lattice, and??????∈??????. Then the following statements are
equivalent:
(1)??????is a finite element;
(2)the closed unit ball??????({??????}
⊥⊥
)of{??????}
⊥⊥
is order bounded in??????:
(3){??????}
⊥⊥
has a generalized order unit.
Proof.We show first the equivalence of (1) and (3) In view of Theorem 3.9 it has only
to be shown that the element??????is finite if{??????}
⊥⊥
has a generalized order unit. In fact,
let??????∈??????
+
be a generalized order unit of{??????}
⊥⊥
.Defineanormon{??????}
⊥⊥
by
‖??????‖
??????=inf{??????>0:|??????|≤????????????}, ??????∈{??????}
⊥⊥
.
Then by Theorem 12.20 in [9], the space({??????}
⊥⊥
,‖⋅‖
??????
)is an????????????-space, where|??????| ≤
‖??????‖
????????????holds. Since the band{??????}
⊥⊥
is closed in??????([95, Proposition 1.2.3])({??????}
⊥⊥
,‖⋅‖)
also is a Banach space. The open mapping theorem implies that the norms‖⋅‖and
‖⋅‖
??????
are equivalent on{??????}
⊥⊥
. In particular, there is a??????>0such that‖??????‖
??????
≤??????‖??????‖for all
??????∈{??????}
⊥⊥
.Now|??????| ≤ ‖??????‖
??????
??????for each??????∈{??????}
⊥⊥
,implies‖??????‖
??????
≤??????,i.e.,|??????| ≤ ????????????for each
??????∈{??????}
⊥⊥
with‖??????‖ ≤ 1.If??????∈??????is now an arbitrary element, then0≤|??????|∧??????|??????|≤|??????|
(and hence‖|??????| ∧ ??????|??????|‖ ≤ ‖??????‖)implies|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ‖??????‖????????????for all??????∈ℕ,whichmeans
that??????is finite.
8That is,??????[0, ??????] = [0, ????????????], ∀?????? ∈ ??????
+. In the case of a Dedekind complete??????, the operator??????is called a
Maharam operator; see [77, § 3.4].

30| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
(2)⇒(3) If the ball??????({??????}
⊥⊥
)is order bounded⁹ in??????, then there is an??????∈??????
+such that
??????({??????}
⊥⊥
) ⊂ [−??????, ??????]. So, it is clear that??????is a generalized order unit for{??????}
⊥⊥
.
(3)⇒(2) In the first part of the proof it was established that any norm bounded subset
of{??????}
⊥⊥
is order bounded.
Remark 3.16.
(1) In the proof we have established the following fact: since in{??????}
⊥⊥
the two norms
‖⋅‖and‖⋅‖
??????are equivalent, then any‖⋅‖-bounded set??????⊂{??????}
⊥⊥
is also order
bounded.
(2) The principal band generated by a finite element may fail to possess an order unit
as the following example shows (see [36]).
Let?????? = ??????[0, 1],and??????
??????
= {?????? ∈ ?????? : ??????(??????) = 0, ∀?????? ∈ [0, ??????]}for??????∈(0,1).Then
(i)Φ
1(??????) = ??????.
(ii)??????
??????is a principal band for each??????∈(0,1).Moreover,??????
??????={??????}
⊥⊥
for any??????∈??????
??????
satisfying??????(??????)̸=0for??????∈(??????,1].
(iii)??????
??????
does not possess any order unit. However, each function??????∈??????with??????(??????) > 0
for??????∈(??????−??????,1]is a generalized order unit, where??????is some positive number.
(3) If??????is only a normed vector lattice without norm completeness (i. e.,??????is not a
Banach lattice), then the order boundedness of??????({??????}
⊥⊥
)yields that the element??????
is finite, but the converse statement, in general, is false as the following example
shows.
Let0<??????∈??????
1
(??????, ??????), and take the order ideal generated by??????in??????
1
(??????, ??????)
??????=??????
??????={??????∈??????
1(??????, ??????) : ∃?????? > 0with|??????| ≤ ??????|??????| },
then(??????, ‖ ⋅ ‖
1),where‖⋅‖
1is the integral-norm in??????
1(??????, ??????), is a normed vector lattice
which fails to be a Banach lattice (cf. [144, Exercise 17.18]), and each of its elements
is finite in??????,as??????has an order unit. On the other hand, sinceΦ
1(??????
1(??????, ??????)) = {0}(see
(b) after Theorem 3.18 below), the closed unit ball of{??????}
⊥⊥
is not order bounded in
??????
1
(??????, ??????). It follows that??????({??????}
⊥⊥
)is not order bounded in??????although the norm on??????
is even order continuous.
The proof of the subsequent theorem requires some information about the set of all
atoms of norm 1 in atomic Banach lattices which are collected in the next proposition
(for more details see [34]). For a Banach lattice??????denote byΓ
??????the set of all atoms of??????
with norm1.ItisnotdifficulttoverifythatΓ
??????
consists of pairwise disjoint elements,
henceΓ
??????
is a linearly independent system. According to Proposition 3.8, it holds that
Γ
??????
⊂Φ
1
(??????).
9Each order interval[??????, ??????]is included in some symmetrical order interval[−??????, ??????].Take?????? = |??????| ∨ |??????|.

3.2 Finite elements in Banach lattices |31
Proposition 3.17.Let??????be an atomic Banach lattice. Then
(1)??????=sup{??????
??????(??????)??????: ?????? ∈ Γ
??????}for each??????∈??????
+,where for??????∈??????
+and??????∈Γ
??????,the
number??????
??????(??????)is defined by
??????
??????(??????) = sup{?????? ∈ ℝ
+:????????????≤??????}. (3.5)
(2)if, in addition,??????has an order continuous norm, then??????
??????
(??????) = 0for all but countable
many??????∈Γ
??????
,and??????=∑
??????∈Γ
??????
??????
??????
(??????)??????for each??????∈??????
+
.Hence,??????=
span(Γ
??????
),wherethe
series is norm-convergent andspan(Γ
??????)denotes the set of all linear combinations
??????
1??????
1+??????
2??????
2+⋅⋅⋅+??????
????????????
??????with??????
??????∈ℝ, ??????
??????∈Γ
??????, ?????? = 1,...,??????and??????∈ℕ.
Proof.(1) It is clear that??????≥??????
??????(??????)??????for any??????∈Γ
??????.If??????≥??????
??????(??????)??????for all??????∈Γ
??????,then
??????∧?????? ≥ ??????
??????
(??????)??????for all??????∈Γ
??????
.Ifonewouldhave??????−??????∧?????? > 0then (due to??????being atomic),
??????∈Γ
??????
and??????>0exist such that0 < ???????????? ≤ ??????−??????∧??????and(??????+??????
??????
(??????))?????? ≤ ??????−??????∧??????+??????∧?????? = ??????.
The definition of??????
??????
(??????)now implies??????+??????
??????
(??????) ≤ ??????
??????
(??????), a contradiction. This means
??????=??????∧??????≤??????and thus the relation (3.5) is proved.
(2) Due to the order continuity of the norm for??????∈??????
+for any??????∈ℕ,theset
Γ
??????={??????∈Γ
??????:??????
??????(??????) ≥
1
??????
}is finite . So{?????? ∈ Γ
??????:??????
??????(??????) > 0} = ⋃
∞
??????=1
Γ
??????is at most countable,
say{??????
1
,...,??????
??????
,...}.Then??????
??????
1
(??????)??????
1
+⋅⋅⋅+??????
??????
??????
(??????)??????
??????
↑??????. Again, by order continuity of the
norm we get??????=∑
∞
??????=1
??????
??????
??????
(??????)??????
??????
.
For the proof of the next result we also need the fact that in every????????????-space the lat-
tice operations are weakly sequentially continuous (see p. 13), and use Theorem 2.8
on norm compactness of the order intervals in atomic Banach lattices with order con-
tinuous norm.
Theorem 3.18.Let??????be a Banach lattice with an order continuous norm. Then
(1)Φ
1
(??????) = Φ
2
(??????) = span(Γ
??????
);
(2)Φ
1(??????)is closed in??????if and only ifΓ
??????is a finite set. In particular,Φ
1(??????) = ??????if and
only if??????is finite dimensional.
Proof.(1)Φ
1(??????) = Φ
2(??????)follows from Theorem 3.13, since??????as a Banach lattice with
order continuous norm is Dedekind complete. As already mentioned, each??????∈Γ
??????
is
a finite element of??????,sospan(Γ
??????
)⊂Φ
1
(??????),sinceΦ
1
(??????)is a vector sublattice¹⁰ (and an
ideal) of??????.For??????∈??????is a finite element, Theorem 3.11 implies that the principal band
{??????}
⊥⊥
has an order unit. Since{??????}
⊥⊥
is a Banach lattice with respect to its order unit
norm, by Proposition 1.2.13, Corollary 1.2.14 of [95] and the Kakutani–Bohnenblust–
Kreins Theorem (Theorem 2.15), the band{??????}
⊥⊥
is lattice isomorphic to an????????????-space
??????(??????)for some compact Hausdorff space??????, and therefore the lattice operations in
{??????}
⊥⊥
are weakly sequentially continuous. Since the norm in the Banach lattice{??????}
⊥⊥
is order continuous, Corollary 2.3 of [39] implies that{??????}
⊥⊥
is atomic. From the previ-
ous proposition we have{??????}
⊥⊥
=
span(??????),where??????=Γ
??????∩{??????}
⊥⊥
. The closed unit ball
10IfΓ
??????=0, then we definespan(Γ
??????) = {0}.

32| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
of{??????}
⊥⊥
, as a subset of an order interval, is compact (Theorem 2.8), therefore{??????}
⊥⊥
is
finite dimensional and??????is a finite set,{??????}
⊥⊥
=span(??????)⊂span(Γ
??????), which means that
Φ
1(??????) ⊂ span(Γ
??????).
(2) Based on the first part of the theorem it is clear thatΦ
1
(??????)is not closed in??????if
Γ
??????
is infinite.
For some classical normed vector lattices¹¹, one immediately obtains the following
information on their finite elements:
(a) if??????is one of the vector latticesc
0orℓ
??????
with1≤??????<∞,thenΦ
1(??????) = Φ
2(??????) =
span(Γ
??????)=span{??????
??????: ?????? = 1,2,...},where??????
??????∈??????isthesequencewhich??????-th entry
equals, and all others are0;
(b) if??????=??????
??????
(??????, ??????)for1≤??????<∞is the vector lattice of all classes of power-??????integrable
functions??????on the real interval[??????, ??????],then Φ
1
(??????) = {0}.
As mentioned after the definition of a totally finite element, the vector lattice
K(ℝ)of
all finite continuous functions onℝis a simple example of a vector lattice??????possessing
the propertyΦ
1
(??????) = Φ
2
(??????) = ??????. The next theorem contains a characterization of the
class of Banach lattices having this property .
Theorem 3.19(Characterization of Banach lattices withΦ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????).For a Ba-
nach lattice??????, the following statements are equivalent:
(1)Φ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????.
(2)??????is lattice isomorphic to an????????????-space and each principal band has a generalized
order unit.
Proof.(2) ⇒ (1)follows straightforwardly from Theorem 3.15.
(1) ⇒ (2).If Φ
1(??????) = ??????then, due to Theorem 3.9, it suffices to show that??????is lattice
isomorphic to an????????????-space.AccordingtoTheorem2.1.12of[95],itsufficestoshowthat
(??????
??????)
??????∈ℕis order bounded in??????whenever??????
??????∈??????
+with??????
??????→0.Put??????=∑
∞
??????=1
1
2
????????????
??????,then
??????
??????
∈{??????}
⊥⊥
for each??????.Since??????is finite it follows from Theorem 3.15 and Remark 3.16 (1),
that the sequence(??????
??????
)is order bounded in??????as(??????
??????
)is norm bounded in{??????}
⊥⊥
.
Thefollowingexampleshowsthat??????may fail to have an order unit even if??????is a
Dedekind complete????????????-space andΦ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????.
Example 3.20.A Dedekind complete????????????-space withΦ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????without or-
der unit, where each principal band has an order unit.
Let??????be an uncountable index set, and??????thespaceofallboundedrealfunctions??????on??????,
such that??????(??????) = 0for all but countable many??????∈??????. Under the pointwise defined alge-
braic operations, the pointwise order, and equipped with the supremum norm, it is easy
11For the order continuity of the norms in the vector latticesc
0andℓ
p
with1≤??????<∞ see e. g., [8,
Theorems 13.8, 10.7], and for??????
??????(??????, ??????)see p. 13 and [95, Theorem 2.4.2].

3.3 Finite elements in sublattices and in direct sums of Banach lattices |33
to verify that??????is a Dedekind complete????????????-space without order unit. But each principal
band obviously has an order unit, so it follows thatΦ
1(??????) = Φ
2(??????) = ??????.
3.3 Finite elements in sublattices and in direct sums of Banach
lattices
If??????is a vector lattice and??????a vector sublattice of??????, then it is of interest to study the
relations betweenΦ
1
(??????)andΦ
1
(??????), i. e., to ask whether or under which conditions
the following relations hold:
(i) Φ
1
(??????) ⊂ Φ
1
(??????), (ii) Φ
1
(??????) ∩ ?????? ⊂ Φ
1
(??????), (iii) Φ
1
(??????) ∩ ?????? = Φ
1
(??????).(3.6)
We will show that the answers to these questions in general are negative, even if??????
is supposed to be a more qualified sublattice, e. g., an order ideal or a band. Some
sufficient conditions and counterexamples are also provided (see [37]).
In what follows, among others, we shall consider three natural situations where
a given vector lattice??????is embedded in another vector lattice. Let??????be normed vector
lattice, then denote its norm completion and its bidual by
??????and??????
????????????
respectively. For
an Archimedean vector lattice denote its Dedekind completion by??????
??????
. In each case,??????
is naturally embedded as a vector sublattice into the ambient vector lattice
??????, ??????
????????????
,??????
??????
,
respectively.
In Subsection 3.3.1 we deal with??????and??????
??????
, and in 3.3.2 with??????
????????????
. Finite elements in
direct sums of Banach lattices are considered in Subsection 3.3.3.
3.3.1 Finite elements in sublattices
Let??????be a normed vector lattice. Then its norm completion??????is a Banach lattice, and
??????is a norm-dense vector sublattice in??????. In general, the inclusionΦ
1(??????) ⊂ Φ
1(??????)does
not hold. The two extreme cases in this situation are as follows:
(1) If the vector latticec
00is equipped with the supremum norm, then it is not
norm complete. The norm completion ofc
00
is the Banach latticec
0
.Inthiscase
Φ
1
(c
00
)=c
00
=Φ
1
(c
0
).
(2) The vector lattice??????[0, 1], equipped with the integral-norm induced from??????
1
(0, 1),
is not norm complete but??????
1(0, 1)is its norm completion. One hasΦ
1(??????[0, 1]) =
??????[0, 1]andΦ
1(??????
1(0, 1)) = {0}.
Before dealing with the Dedekind completion, we prove a general result about majoriz-
ing sublattices. Let??????be an Archimedean vector lattice and??????⊂??????a vector sublattice.

34| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
Theorem 3.21.If the vector sublattice??????majorizes the vector lattice??????,i.e.,
∀??????∈??????, ∃??????∈??????with??????≤??????, (3.7)
then??????∈Φ
1
(??????)if and only if??????∈Φ
1
(??????) ∩ ??????,i.e.,Φ
1
(??????) = Φ
1
(??????) ∩ ??????.
Proof.If??????∈Φ
1(??????)then|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????
????????????for all??????∈??????and??????∈ℕ,where??????>0is an
??????-majorant of??????.Forany??????∈??????take??????∈??????such that|??????| ≤ ??????.Then
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ?????? ∧ ??????|??????| ≤ ??????
????????????.
It follows that??????∈Φ
1(??????),and??????is even an??????-majorant of??????.
If??????∈??????and??????∈Φ
1(??????)with the??????-majorant??????, then according to (3.7), take??????∈??????
such that|??????| ≤ ??????.Itiseasytoverifythat??????is an??????-majorant of??????,so??????∈Φ
1
(??????).
If??????
??????
denotes the Dedekind completion of an Archimedean vector lattice??????,then
Φ
1
(??????) = Φ
1
(??????
??????
)∩??????, i. e., relation (iii) of (3.6) is true. This follows from the preceding
theorem, since??????can be identified with a vector sublattice??????in??????
??????
possessing the
property (3.7) (see Formula 2.1 on p. 7). Thus we have
Corollary 3.22.It holds that??????∈Φ
1(??????)if and only if??????∈Φ
1(??????
??????
)∩??????,i.e.,Φ
1(??????) =
Φ
1
(??????
??????
)∩??????.
Concerning the inclusion (i) in (3.6), we mention two extreme cases.
(1) Assume that the inclusion (i) is always true whenever??????is an arbitrary ideal of
a Banach lattice??????.ThenΦ
1(??????) = ??????, i. e., every element??????of the Banach lattice
??????must be finite. This follows from the fact that the principal ideal??????
??????generated
by??????in??????contains|??????|as an order unit, and therefore satisfiesΦ
1
(??????
??????
)=??????
??????
(see
Theorem 3.6). So, by assumption,??????∈??????
??????
=Φ
1
(??????
??????
)⊂Φ
1
(??????)holds for any??????∈??????.It
is clear thatΦ
1
(??????
??????
)⊂Φ
1
(??????)for each??????∈??????suffices to conclude thatΦ
1
(??????) = ??????.
(2) The relationsΦ
1(??????)̸={0}=Φ
1(??????)are also possible as the following example
shows.
Example 3.23.Let??????=??????
??????
[0, 1],with 1≤??????<∞,and??????
??????
∈??????
+
(?????? ∈ ℕ)pairwise disjoint
elements such that‖??????
??????
‖=1.Let??????={∑
∞
??????=1
??????
??????
??????
??????
:(??????
??????
)∈ℓ
??????
}.
Then it can be verified that
(a)??????is a norm closed vector sublattice (but not an ideal) of??????, which is lattice iso-
morphic toℓ
??????
;
(b) there is a positive contractive projection??????from??????onto??????(see [95, Theorem 2.7.11]);
(c)Φ
1
(??????) = span{??????
??????
},butΦ
1
(??????) = {0}(see Theorem 3.18).
We draw the following conclusions:
The inclusion(i)may be false in the cases where
(1)??????is an arbitrary order ideal of??????;
(2)??????is a norm closed sublattice which is the range of a positive projection on??????.
However, if??????is aclosed idealof a Banach lattice we have the following theorem.

3.3 Finite elements in sublattices and in direct sums of Banach lattices |35
Theorem 3.24.Let??????be a Banach lattice and??????a closed order ideal of??????.ThenΦ
1(??????) ⊂
Φ
1(??????). In particular, if??????is a band of??????,thenΦ
1(??????) ⊂ Φ
1(??????).
Proof.If the element??????∈??????is finite in??????, then Theorem 3.15 (here we use the closed-
ness of??????in order to guarantee that??????is a Banach lattice) implies that??????∈??????
+
=??????∩??????
+
exists such that??????({??????}
⊥⊥
??????
) ⊂ [−??????, ??????]
??????
.Nowforany??????∈??????({??????}
⊥⊥
??????
)by means of For-
mula (2.2) the relation
|??????| = sup{|??????| ∧ ??????|??????|}
holds. Since??????is an ideal, the elements|??????|and|??????|∧??????|??????|belong to??????.Hence,|??????|∧??????|??????| ∈
??????({??????}
⊥⊥
??????
)as‖ |??????| ∧ ??????|??????| ‖ ≤ ‖??????‖ ≤ 1. It follows that
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????for all??????∈ℕ.
Thus|??????| ≤ ??????,i.e.,??????({??????}
⊥⊥
??????
) ⊂ [−??????, ??????]. Again, Theorem 3.15 yields that??????is finite in??????.
We now discuss the inclusion (ii) in (3.6) and start with two examples.
Example 3.25.Let??????=ℓ
∞
and??????=c
0
.Then??????is aclosed idealof??????,Φ
1
(??????) = ??????,and
Φ
1(??????) =c
00=span{??????
??????: ?????? = 1,2,...},where??????
??????denotes the element of??????with??????’s entry
equal to1,andallothersare0. Therefore,Φ
1(??????) ∩ ?????? = ??????̸⊂Φ
1(??????).
Another example shows that even for aband??????inclusion (ii) may fail.
Example 3.26.Let?????? = ??????[0, 2],and??????
??????
={??????∈??????:??????(??????)=0,∀??????∈(0,??????)}for arbitrary
??????∈(0,2).Then
(a)Φ
1(??????) = ??????;
(b)??????
??????is a band of??????andΦ
1(??????
??????)=⋃
??????>??????
??????
??????,sothatΦ
1(??????) ∩ ??????
??????̸⊂Φ
1(??????
??????)for all
??????∈(0,2).
Proof.(a) is obvious, as??????has an order unit.
For (b) it is clear that??????
??????
is an ideal for each??????∈(0,2).??????
??????
is even a band¹² in??????,
since(0, ??????)is a regularly open subset of[0, 2].
Now we show thatΦ
1(??????
??????)=⋃
??????>??????
??????
??????, i. e., an element??????∈??????
??????is finite (and, of
course, automatically totally finite) if there is a positive number??????
??????such that??????(??????) = 0
for??????∈(0,??????+??????
??????).For??????>??????it is easy to see that the function??????
??????,??????∈??????,foreach??????∈(??????,??????),
defined by
??????
??????,??????
(??????) =
{
{
{
{
{
0, ?????? ∈ [0, ??????]
linear,??????∈(??????,??????]
1, ?????? ∈ (??????, 2] ,
belongs to??????
??????, and is a generalized order unit of the band??????
??????for each??????∈(??????,??????).Since
any band in a Banach lattice is closed (see [95, Proposition 1.2.3]), the band??????
??????
is a
12In general, if??????is a topological space and??????⊂??????an arbitrary regularly open subset of??????,i.e.,
int(????????????(??????)) = ??????,then??????
??????={??????∈??????(??????):??????(??????)=0for??????∈??????}is a band in??????(??????); see [144, Example 9.4].

36| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
Banach lattice in its own right. Observe that??????
??????is a principal band (cf. Remark 3.16 (2))
and so, Theorems 3.9 and 3.15 yield??????
??????⊂Φ
1(??????
??????). On the other hand, if??????∈??????
??????is a finite
element in??????
??????,let??????
∗= inf{?????? ∈ [??????, 2] : |??????(??????)| > 0}.Thenweclaimthat??????
∗>??????.Otherwise,
the sequence??????
??????
>??????, ??????
??????
→??????exists such that|??????(??????
??????
)| > 0for all??????∈ℕ.Since??????is finite in
??????
??????
,bydefinition,0≤??????∈??????
??????
exists such that for each??????∈??????
??????
there is a real??????
??????
>0with
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????
??????
??????for??????∈ℕ.
It is easy to see that??????(??????
??????)>0for??????∈ℕ.Bytaking??????
0=√
??????∈??????
??????we obtain for some??????
??????
0
??????
0∧??????|??????|≤??????
??????
0
??????for??????∈ℕ.
It follows that
??????
0
(??????
??????
)∧??????|??????(??????
??????
)| ≤ ??????
??????
0
??????(??????
??????
)for??????, ?????? ∈ ℕ .
This implies1≤??????
??????
0
√
??????(??????
??????), which is impossible as??????(??????
??????)→??????(??????)=0. Therefore,??????
∗>??????,
i. e.,??????∈??????
??????
∗
so that b) holds.
We now draw the corresponding conclusions:
The inclusion(ii)maybefalseinthecases
(1)??????is a closed ideal of??????;
(2)??????is a band of??????.
If the sublattice??????is therange of a positiveprojection on??????, then the situation is much
better.
Theorem 3.27.Let??????be a vector lattice and??????a sublattice of??????. If there is a positive
projection??????from??????onto??????,thenΦ
1(??????) ∩ ?????? ⊂ Φ
1(??????).
Proof.If??????∈Φ
1(??????)and its??????-majorant??????∈??????
+,thenforeach??????∈??????there is
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????
??????
??????for??????∈ℕ
for some real??????
??????
>0. It follows from the positivity of??????that
??????(|??????| ∧ ??????|??????|) ≤ ??????
?????????????????? = ??????
????????????
0for??????∈ℕ
where??????
0=????????????∈??????.Inparticular,ifnow??????belongs to??????and if??????∈??????then|??????|∧??????|??????| ∈ ??????
and, hence
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????
??????
??????
0
for??????∈ℕ,
which shows that??????is finite in??????,i.e.,??????∈Φ
1(??????).
For aprojection band??????of??????, the next result shows that (iii), and therefore also the
relations (i) and (ii), hold.
Theorem 3.28.Let??????be a projection band in a vector lattice??????,and??????
??????
the band pro-
jection from??????onto??????.Then??????
??????
(Φ
1
(??????)) = Φ
1
(??????) ∩ ?????? = Φ
1
(??????).

3.3 Finite elements in sublattices and in direct sums of Banach lattices |37
Proof.For??????∈Φ
1(??????)and some??????-majorant??????∈??????, one has|??????|∧??????|??????| ≤ ??????
????????????for any??????∈??????,
some??????
??????>0,andall??????∈ℕ. Applying??????
??????to this inequality yields
??????
??????
(|??????| ∧ ??????|??????|) ≤ ??????
??????
??????
??????
??????=??????
??????
??????
0
for??????∈ℕ, (3.8)
where??????
0=??????
????????????∈??????.Ifnow??????∈??????,then|??????| ∧ ??????|??????| ∈ ??????and
??????
??????(|??????| ∧ ??????|??????|) = |??????| ∧ ??????|??????|for??????∈ℕ. (3.9)
Using the representation of??????=??????
??????
??????+??????
0
,where??????
0
⊥??????for any??????∈??????(see [144,
Theorem 11.4]), and|??????
??????
??????+??????
0
|=|??????
??????
??????| ∨ |??????
0
|, one has
|??????| ∧ ??????|??????| = |??????| ∧ ??????(|??????
????????????| ∨ |??????
0|) = |??????| ∧ ??????|??????
????????????|
and so, according to (3.8) and (3.9),|??????|∧??????|??????
??????
??????| ≤ ??????
??????
??????
0
,i.e.,??????
??????
??????∈Φ
1
(??????). That means
??????
??????
(Φ
1
(??????)) ⊂ Φ
1
(??????).
If??????∈Φ
1(??????), then there is an??????-majorant0<ℎ
0∈??????,suchthatforany??????∈??????
the inequality|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????
??????ℎ
0holds for some??????
??????>0,andall??????∈ℕ.If??????is an arbitrary
element of??????,then|??????| = ??????
??????|??????|+??????
??????
,where??????
??????
⊥ℎfor anyℎ∈??????,inparticular,??????
??????
∧|??????| = 0.
This yields
|??????| ∧ ??????|??????| = (??????
??????
|??????| + ??????
??????
)∧??????|??????|=??????
??????
|??????| ∧ ??????|??????| ≤ ??????
??????
??????
|??????|
ℎ
0
for??????∈ℕ.
Consequently??????∈Φ
1(??????), which shows thatΦ
1(??????) ⊂ Φ
1(??????). Now one has
??????
??????
(Φ
1
(??????)) ⊂ Φ
1
(??????) ⊂ Φ
1
(??????) ∩ ?????? = ??????
??????
(Φ
1
(??????) ∩ ??????) ⊂ ??????
??????
(Φ
1
(??????)),
which proves the required equations.
Since in a Dedekind complete vector lattice every band is a projection band one has
the following corollary.
Corollary 3.29.Let??????
1
,...,??????
??????
be bands in a Dedekind complete vector lattice??????.If??????=
??????
1
⊕??????
2
⊕⋅⋅⋅⊕??????
??????
,thenΦ
1
(??????) = Φ
1
(??????
1
)⊕Φ
1
(??????
2
)⊕⋅⋅⋅⊕Φ
1
(??????
??????
).
Indeed, if??????=??????
1⊕⋅ ⋅ ⋅⊕??????
??????,and??????
??????are the band projections onto??????
??????, then by the theorem
??????
??????Φ
1(??????) = Φ
1(??????
??????), ??????= 1,...,??????. Therefore each??????∈Φ
1(??????)has a unique representation
as??????=??????
1+⋅⋅⋅+??????
??????,where??????
??????∈Φ
1(??????
??????).
3.3.2 Finite elements in the bidual of Banach lattices
In this section it will be shown that every finite element in a Banach lattice??????is also
finite in its bidual??????
????????????
. To do this we need the following proposition, which might be
of independent interest.
Proposition 3.30.Let??????be a Banach latticeand??????a closed order ideal of??????.If??????:??????→??????
is the inclusion mapping, and??????
??????
:??????
??????
→??????
??????
is the adjoint mapping of??????,then

38| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
(1)the kernel space??????(??????
??????
)={??????∈??????
??????
:??????
??????
(??????) = 0}of??????
??????
is a band in??????
??????
and??????
??????
=??????(??????
??????
)⊕
??????(??????
??????
)
⊥
;
(2)the restriction??????
??????
|
??????(??????
??????
)
⊥of??????
??????
to??????(??????
??????
)
⊥
is an isometric Riesz isomorphismfrom??????(??????
??????
)
⊥
onto??????
??????
.
Proof.(1) It is clear that??????
??????
(??????) = ??????|
??????
,i.e.,thevalueof??????
??????
(??????)is the restriction of the
functional??????to??????for each??????∈??????
??????
.So??????∈??????(??????
??????
)if and only if??????(??????) = 0for all??????∈??????.
Now if??????
??????∈??????(??????
??????
)is a net such that??????
??????↑??????in??????
??????
,then??????(??????) = sup??????
??????(??????)for all??????∈??????
+
(see [95, Corollary 1.3.4]). In particular,??????(??????) = sup??????
??????(??????) = 0for all??????∈??????
+, and hence
for all??????∈??????,i.e.,??????∈??????(??????
??????
),and??????(??????
??????
)is a band in??????
??????
.Obviously??????
??????
=??????(??????
??????
)⊕??????(??????
??????
)
⊥
,
as??????
??????
is Dedekind complete and moreover,??????
??????
|
??????(??????
??????
)
⊥is injective.
(2) Since??????is (trivially) an interval-preserving lattice homomorphism, then by The-
orem 1.4.19 of [95],??????
??????
and hence??????
??????
|
??????(??????
??????
)
⊥are also interval-preserving lattice homomor-
phisms. Therefore it suffices to show that‖??????
??????
(??????)‖ = ‖??????‖for each??????∈??????(??????
??????
)
⊥
.Let??????∈??????
??????
be an extension of??????|
??????such that‖??????‖ = ‖??????|
??????‖(the existence is guaranteed by the Hahn–
Banach Theorem), then??????−??????∈??????(??????
??????
),and|??????| = |?????? − ??????| + |??????|. It follows that
‖??????
??????
(??????)‖ = ‖??????|
??????‖ ≤ ‖??????‖ ≤ ‖??????‖ = ‖??????|
??????‖=‖??????
??????
(??????)‖
as desired.
Theorem 3.31.Let??????be a Banach lattice and??????: ?????? → ??????
????????????
the canonical embedding. Then
??????(Φ
1
(??????)) ⊂ Φ
1
(??????
????????????
).
Proof.For an arbitrary element??????∈??????,theset??????={??????}
⊥⊥
is a closed ideal in??????,asin
a normed vector lattice every band is closed. If??????:??????→??????denotes the corresponding
inclusion mapping, then by Proposition 3.30 we have
??????
??????
=??????(??????
??????
)⊕??????(??????
??????
)
⊥
,
and hence
??????
????????????
=(??????(??????
??????
))
??????
⊕(??????(??????
??????
)
⊥
)
??????
.
It is easy to see that(????????????)(??????) = ??????(??????) = 0for all??????∈??????(??????
??????
), therefore the functional
????????????must belong to(??????(??????
??????
)
⊥
)
??????
. Proposition 3.30 then yields??????
??????
≅??????(??????
??????
)
⊥
(isometric Riesz
isomorphic), so that??????
????????????
≅(??????(??????
??????
)
⊥
)
??????
.If??????is now a finite element of??????,then??????possesses
a generalized order unit, say??????. The order ideal??????={??????}
⊥⊥
, equipped with the norm
‖??????‖
??????=inf{??????>0:|??????|≤????????????}for each??????∈??????
makes??????lattice isomorphic to an????????????-space (see the proof of Theorem 3.15). It follows
that??????
????????????
is lattice isomorphic to an????????????-space with an order unit. Theorem 3.6 and
Theorem 3.27 implyΦ
1(??????
????????????
)=??????
????????????
, and hence by Theorem 3.28
(??????(??????
??????
)
⊥
)
??????
=Φ
1((??????(??????
??????
)
⊥
)
??????
)=Φ
1(??????
????????????
)∩(??????(??????
??????
)
⊥
)
??????
.
As????????????belongs to(??????(??????
??????
)
⊥
)
??????
, it is clear that????????????is a finite element in??????
????????????
.

3.3 Finite elements in sublattices and in direct sums of Banach lattices |39
Remark 3.32.If??????is identified with??????(??????)in??????
????????????
,thenΦ
1(??????) ⊂ Φ
1(??????
????????????
)∩??????.
The inverse inclusion is false in general. Take??????=c
0.Then??????
????????????
=ℓ
∞
and compare with
Example 3.25.
3.3.3 Finite elements in direct sums of Banach lattices
For an arbitrary set??????,denotebyF(??????)the set of all finite subsets of??????and order it by
inclusion, i. e., forj,k∈F(??????)we writej≤kifj⊆k.Let(??????
??????)
??????∈??????be a family of real
numbers. Then its finite sums
??????
j=∑
??????∈j
??????
??????,j∈F(??????)
compose a net. A family of numbers(??????
??????)
??????∈??????is calledsummableif the net(??????
j)
j∈F(??????)con-
verges. Denote the limit of(??????
j
)
j∈F(??????)
by??????. Then it is called the sum of the family(??????
??????
)
??????∈??????
,
whichiswrittenas??????=∑
??????
??????
??????
.
Let??????be an arbitrary set and??????
??????
be a Banach lattice for each??????∈??????,wherethenorm
in each space??????
??????is denoted by‖⋅‖
??????. Consider the following spaces:
??????
0
=c
0
(??????, ??????
??????
)={(??????
??????
)
??????∈??????
:??????
??????
∈??????
??????
,∀??????>0∃finite set??????
??????
⊂??????with‖??????
??????
‖
??????
<??????, ∀??????∉??????
??????
};
??????
??????
=ℓ
??????
(??????, ??????
??????
)={(??????
??????
)
??????∈??????
:??????
??????
∈??????
??????
,∑
??????∈??????
‖??????
??????
‖
??????
??????
<∞}for??????∈ℕ;
??????
∞
=ℓ
∞
(??????, ??????
??????
)={(??????
??????
)
??????∈??????
:??????
??????
∈??????
??????
,sup
??????∈??????
‖??????
??????
‖
??????
<∞}.
Under the pointwise defined linear operations and order, i. e., for??????, ?????? ∈ ℝ
??????(??????
??????
)
??????∈??????
+??????(??????
??????
)
??????∈??????
=(????????????
??????
+????????????
??????
)
??????∈??????
for(??????
??????
)
??????∈??????
,(??????
??????
)
??????∈??????
∈??????
0
,??????
??????
,??????
∞
,
and
(??????
??????
)
??????∈??????
≤(??????
??????
)
??????∈??????
⇔??????
??????
≤??????
??????
for all??????∈??????,
and the norms defined by
‖??????‖ = ‖(??????
??????)
??????∈??????‖=
{
{
{
{
{
{
{
sup
??????∈??????
‖??????
??????
‖
??????
,if??????∈??????
0
or??????∈??????
∞
(∑
??????∈??????
‖??????
??????
‖
??????
??????
)
1
??????
,if??????∈??????
??????
,??????∈ℕ
,
respectively, the spaces??????
0
,??????
∞
and??????
??????
,??????∈ℕare Banach lattices and are calleddirect
sums(for details see [33]).
Let??????
??????
:??????
??????
→??????
??????
denote the canonical lattice embeddings into the spaces??????
??????
,for
??????=0,??????=∞and??????∈ℕ,i.e.,
??????
??????
??????=(??????
??????
)
??????∈??????
={
0, ??????̸=??????
??????, ??????= ??????
for??????∈??????
??????
.

40| 3 Finite, totally finite and selfmajorizing elements
Then??????
????????????
??????is a projection band in??????
??????
for??????=0,??????=∞,and??????∈ℕ,andif??????
??????:??????
??????
→
??????
????????????
??????denotes the band projection from??????
??????
onto??????
????????????
??????,where??????
??????((??????
??????)
??????∈??????)=??????
????????????
??????,thenby
Theorem 3.28
??????
??????
Φ
1
(??????
??????
)=Φ
1
(??????
??????
??????
??????
)⊂Φ
1
(??????
??????
). (3.10)
The finite elements in the Banach lattices??????
??????
are characterized as follows.
Theorem 3.33.With the notations from above the following statements hold:
(1)For the spaces??????
0
and??????
??????
with??????∈ℕ:
(??????
??????)
??????∈??????∈Φ
1(??????
??????
)if and only if??????
??????∈Φ
1(??????
??????)for all??????∈??????,and??????
??????=0for all but finite
many??????∈??????.
(2)For the space??????
∞
:
(??????
??????
)
??????∈??????
∈Φ
1
(??????
∞
)if and only if??????
??????
∈Φ
1
(??????
??????
)for all??????∈??????,and
0≤??????
??????∈??????
??????exists such that??????
{??????
??????
}
⊥⊥⊂[−??????
??????,??????
??????],andsup
??????∈??????
‖??????
??????‖
??????<∞.
Proof.(1) The sufficiency is clear from (3.10), since the considered family(??????
??????)
??????∈??????,has
only a finite number of nonzero coordinates??????
??????
. Then, by definition,??????
??????
??????
??????
is the family
in??????
??????
having??????
??????
as its??????-th coordinate and0elsewhere. Due to the linearity of the spaces
Φ
1
(??????
??????
)for??????=0,and??????∈ℕ, the element(??????
??????
)
??????∈??????
belongs toΦ
1
(??????
??????
),for??????=0and??????∈ℕ
respectively.
For necessity the argument is as follows: if??????=(??????
??????)
??????∈??????∈Φ
1(??????
??????
),(??????=0,??????∈ℕ),
then Theorem 3.28, applied to our situation, says
??????
??????Φ
1(??????
??????
)=Φ
1(??????
??????
)∩??????
????????????
??????=Φ
1(??????
????????????
??????),
and therefore yields??????
????????????=??????
????????????
??????∈Φ
1(??????
????????????
??????). According to (3.10) we have??????
??????∈Φ
1(??????
??????)
for all??????∈??????.Nowweclaimthat??????
??????=0for all but finite many??????∈??????. Assume there
would be a sequence(??????
??????)
??????∈ℕ⊂??????such that‖??????
??????
??????
‖>0for??????∈ℕ.Put??????
??????
??????
=
|??????
??????
??????
|
‖??????
??????
??????
‖
.Then
??????
??????
??????
??????
??????
??????
∈??????
{??????}
⊥⊥=??????
??????
??????∩{??????}
⊥⊥
for all??????∈ℕ. According to Theorem 3.15 an element
??????=(??????
??????
)
??????i??????
∈??????
??????
exists such that0≤??????and??????
{??????}
⊥⊥⊂[−??????,??????], from where??????
??????
??????
≤??????
??????
??????
follows,
and hence1=‖??????
??????
??????
‖≤‖??????
??????
??????
‖for??????∈ℕis easily obtained. This is impossible, as??????∈??????
??????
.
Thus (1) holds.
(2) The necessity is clear from the proof above. For sufficiency we mention only
the fact that??????
{??????}
⊥⊥={(??????
??????
)
??????∈??????
∈??????
∞
:??????
??????
∈??????
{??????
??????
}
⊥⊥,∀??????∈??????}.
The next example shows that the conditions??????
??????
∈Φ
1
(??????
??????
)and‖??????
??????
‖
??????
≤1for all??????∈??????are
not sufficient for an element??????=(??????
??????
)
??????∈??????
to be finite in??????
∞
. This means the element??????=
(??????
??????)
??????∈??????consisting of the??????
??????∈??????
??????mentioned in the second statement of the theorem must
belong to??????
∞
. Consequently, the conditionsup
??????∈??????
‖??????
??????‖
??????<∞in the theorem cannot be
dropped.
Example 3.34.Let??????
??????
=(c,‖⋅‖
??????
)with the norm
‖(??????
??????
)‖
??????
= max{‖(??????
??????
)‖, ?????? lim
??????→∞
|??????
??????
|}, (??????
??????
)
??????∈ℕ
∈c,
where‖(??????
??????
)‖ = sup
??????
|??????
??????
|is the usual norm onc.

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

palkintoa puolisoltaan hyvin suoritetusta lennostaan ja laulustaan.
Tuolla se puoliso makasikin aivan hiljaa, niin leveänä ja lämpimänä
kuin suinkin mahdollista, pesässä muniensa päällä hautoen tulevaista
onneaan.
Mutta tuossa edessä alkoi taas synkkä ja vakava metsä. Se
muodosti tummanvihreän kehyksen tälle aukeaman valoisalle
taululle, johon aurinko loi vaaleata kultaansa vaihteluksi. Katse
saattoi vaaran laelta nähdä kauaksi metsä- ja kukkula-ulapalle;
aamun valossa esiintyivät vaarain laet ikäänkuin kirkastettuina, kun
laaksopaikat sitävastoin vielä erottuivat tummiksi varjostuksiksi.
Taakseen katsoen saattoi nähdä vanhan kylän siinä aukeamallaan
ilman puremine, hallavine taloineen, rukoushuoneineen ja
hautuumaineen, "kuusikkoineen", joissa harmajat kattoristit
vartioitsivat haltuunsa uskottuja. Edessä maa vähitellen kohosi,
kunnes muodostui kauempana tiuhametsäiseksi ja runolliseksi
harjuksi, joka tarjosi oivallisia piilopaikkoja niille, jotka halusivat tietä
kulkevia välttää.
Hänellä oli kieltämättä paha omatunto siitä, että oli jäänyt niin
kauaksi äskeiseen seuraansa ja unohtanut varsinaisen tehtävänsä.
Erittäinkin nyt, kun hän tiesi viranomaisten olevan karanneen jälillä,
tuntui asema hänestä kiusalliselta. Hän mietiskeli ja arveli,
olivatkohan sydänmaan kyläläiset tuolla erämaan matkalla joutuneet
jotakin epäilemään, sillä heitä ei ollut voinut välttää kokonaan
kohtaamasta, vai mistä olivat jälille päässeet. Olivatkohan selvillä
siitä, että hän Ontrein kanssa oli jotenkin asiaan sekaantunut?
Onneksi he eivät olleet näyttäytyneet siellä kylässä tuolle vanhalle
urjadniekalle, joten heillä puolestaan ei ollut vielä syytä pelätä. Nyt
he tietenkin kuulisivat Paadenessa outoa savua näkyneen tien
varrelta. Varmaan tästä koituisi todellinen takaa-ajo.

Sitä pelkäsi Ontreikin. Huokaillen, mutta samalla lujana ja
luottavana puhui hän siitä vaikeasta tehtävästä, joka oli heille
annettu, mutta jonka he nähtävästi saisivat sittenkin onnellisesti
loppuun suoritetuksi.
— Sillä Jumala ei olisi muuten niin ihmeellisesti johdattanut meitä,
aivan ventovieraita ihmisiä, pelastamaan näitä kolmea onnetonta.
Näin järkeili Ontrei ja oli asiastaan aivan vakuutettu.
Tultuaan maantien harjun kohdalle rupesi Ontrei tarkoin
tähystelemään tien vasemmalle puolelle. Vähän matkaa kuljettuaan
huomasikin hän katajan oksalla aivan pienen liinankappaleen, joka
näytti siihen sattumoisin lentäneeltä. Sen kohdalla poikkesivat
kulkijat metsään lähtien varovasti kulkemaan yhä kapenevaa vaaran
harjaa. Se tuli yhä korkeammaksi ja jyrkkärinteisemmäksi, kunnes
päättyikin korkeaan vieruun, niin äkkijyrkkään, että alhaalla
kasvavien puitten latvat olivat äyrään tasalla. Rotkosta pulpahti
ilmoille savun hajua. He laskeutuivat varoen jyrkännettä alas.
Rotkon tiheikköön tultuaan hämmästytti heitä paikan aivan
erikoinen luonne. Vähän matkan päässä toisella puolella alkoi harju
taas uudelleen, ja yhäkin jyrkkärinteisempänä. Rosoiset louhikot
etsivät siinä tiheämmän kasvullisuuden, mutta salskeita koivuja ja
mäntyjä oli silti rinteeseen juurtunut. Mutta se mikä häntä erikoisesti
rotkon pohjalla hämmästytti, oli kuolemankourien ja sananjalkojen
keskellä olevien suurien ja valkoisten, todella kauniiden
kivilohkareiden joukko. Ne olivat marmoria, sillä pehmeytensä vuoksi
ei hän voinut niitä muuksikaan arvata, veitsellä niiden pintaa
koetellessaan. Ja siihen viereen poiketessaan ja kallion rintaan
nojatessaan huomasi hän äkkiä kivessä kiinni kokoelman mitä
kauneimpia granaatteja, punaisia kristalleja, joista hän helposti mursi

joukon taskuunsa. Ne olivat melko yleisiä Suomessakin, mutta näin
sopusuhtaisia ja rapautumattomia ei hän vielä ollut sattunut
löytämään. Muuten vallitsi paikalla syvä hiljaisuus ja melkein
hämärä, sillä synkkä kuusikko, joka koskemattomana seisoi rotkon
pohjassa joka puolella, ei laskenut lävitsensä päivän säteitä. Ontrei
teki ristinmerkin.
He lähtivät kulkemaan rotkoa vastapäisen vaaran rinnettä kohti.
Savun haju sieltä edelleenkin kantautui, joten sitä kohti sopi hiipiä.
Taitettuaan syrjään rotkon reunalta tiheän paatsama- ja
tuomivesakon, josta sai kasvot täyteen lukin verkkoja, tulivat he
suuren kallion juurelle, jonka alle aukeni ikäänkuin luolan suu. Siinä
kyti tuli.
Mutta ei luolassa eikä lähistöllä ollutkaan ketään.
Hän hämmästyi, ja aikoi juuri huudahtaa, kun tunsikin Ontrein
käden suullaan. Ukko painoi häntä voimakkaasti alaspäin yhä
varoittaen hiljaa olemaan. Kyykistyen ukon viereen kääntyi hän
tämän puoleen kysyvä ilme kasvoillaan. Ukko piti sormea suullaan ja
osoitti päällään lehvien läpi kallion reunalle.
Sieltä kurkisti varovasti esiin mies. Nähtävästi hän ei ollut heitä
huomannut, vaan oli hänkin tullut savun lähtöpaikkaa tutkimaan.
— Paadenen urjadniekka, kuiskasi Ontrei, ja se selvitti kaikki.
— — — — —
Kuultuaan illalla kyläläisiltä, että tien varrelta oli näkynyt savua, oli
urjadniekka saapunut aamulla varhain katsomaan, kuka oli tuon
savun sytyttäjä. Ehkä hän olisi sen jättänyt tekemättä, jos savu olisi

näkynyt kaukaa selkosilta, mutta näin kylän lähellä olevaa ei sopinut
heittää tutkimatta. Epäilyttäviä kulkijoita on todellakin kesäiseen
aikaan näillä saloilla, ja usein niistä kylien kansakin "oikeita"
matkalaisia varoittaa. Mitä ja ketä he ovat, siitä ei ole useinkaan
aavistustakaan, eivätkä salot kerro salaisuuksiaan.
He vartosivat, minne mies kääntyisi, ja poistuivat visusti metsän
peittoon kuullessaan kallion rinteeltä kivien rapinaa ja arvatessaan
siitä, että hän oli tulossa paikalle. Tuossa hän saapuikin. Oksien
välistä saattoi huomata, että hän tarkasteli tarkkaan nuotion seutua,
ja osoitti hämmästyksen merkkejä nähdessään jälkien pienuudesta,
että paikalla oli nähtävästi ollut nainenkin, ellei kaksikin. Ymmällä
olevan näköisenä lähti hän sitten poistumaan paikalta, mennen aivan
heidän ohitseen, niin että he töin tuskin kerkesivät painautua
varjoon.
Asia oli selvä. Heti kylään mentyään kertoisi hän näkemästään
stanovoille ja tuossa tuokiossa olisi tämä vanhan urjadniekan kanssa
paikalla. Siinä ei ollut siis hyvä viipyä. Mutta missä olivat kadonneet?
Tässä ei voinut vartoa, sillä pian olisivat takaa-ajajat täällä. Mutta jos
kadonneet olivat vain muuten tuleltaan poistuneet ja aikoivat pian
palata, voivat he joutua suoraan surman suuhun, ellei heitä
varoitettu. Siksi piti paikalle jäädä. Mutta ehkäpä he olivat poistuneet
jotakin pakoon ja piiloon? Silloin he eivät tietenkään palaisi, mutta
miten siinä tapauksessa saada heistä selkoa?
Pulmallista! Silloin näki hän, että Ontrei taittoi itselleen tukevan
kepin ja lähti sen varassa liikkaamaan yhdellä jalalla nuotiolle. Silloin
hänkin rupesi jälkiään sotkemaan, pisti toisen saappaansa toisinpäin
jalkaansa ja lähti Ontrein kanssa paikkaa tutkimaan. Rotkon
pehmeään multaan muodostui nyt sangen omituisia jälkiä, joita

tavallisen urjadniekan äly ei riittäisi selvittämään. He tutkivat kiireesti
nuotion seudun vähän laajemmalta ja lähtivät sitten rotkoa pitkin
pohjoiseen päin. Selvästi johtivat sinne kolmen, ihmisen jälet, joiden
askeleisiin tarkoin astumalla he koettivat kepillään ja toisinpäin
käännetyllä kengällään niitä perinpohjin sotkea. Pian ilmestyi heidän
eteensä pieni purokin, jonka rannalle askeleet johtivat. Suuri oli
kuitenkin heidän kummastuksensa, kun puron toisella puolella ei
jälkiä jatkunutkaan.
Mihin olivat kulkijat nyt kadonneet?
Mutta Ontrei kumartui katsomaan tarkemmin puron pohjaa ja
osoitti sinne. Siellä näkyikin vielä heikkoja jälkiä, jotka kääntyivät
puron virran suuntaan. He ymmärsivät nyt, että kaukaasialaisella oli
ollut joku tärkeä syy, joka oli saanut hänet pakenemaan nuotioltaan,
että hän pani liikkeelle kaiken taitonsa ja varovaisuutensa
peittääkseen jälkensä ja että hän ei voinut olla kaukana, koska puron
tosin lienteä virta ei ollut ehtinyt huuhtoa pohjaa uudelleen sileäksi.
Hekin astuivat veteen ja kaahlasivat varoen sitä edelleen. Noin sadan
metrin päässä alempana olivat rannalla selvät maihin nousun merkin,
joita kulkijat eivät olleet voineet epäilevältä silmältä salata.
Nyt eivät pakolaiset enää voineet olla kaukana, sillä puro kääntyi
maantielle päin, ja sinne he tuskin olivat uskaltaneet. He olivat siis
neuvotelleet ja joutuneet viipymään sekä tietenkin miettimään,
miten voisivat jättää jotakin merkkiä itsestään ystävilleen. Varoen
menivät he siksi varmuuden vuoksi maantielle päin. Puro laajeni
pian, solisten leveämpänä pienen niityn läpi, jolta kohdalta
maantiekin sen yli meni. Jäljet ilmestyivätkin taas näkyviin. Seuraten
niitä saapuivat he maantien lähelle, jossa pensaikosta ilmestyikin
heidän eteensä ilon ilmeellä kaukaasialainen. Pitemmittä puheitta

viittasi hän alas puron suulle päin ja lähti edellä, mennen matalana
maantien yli.
Seesjärven ranta oli tässä vielä sangen lähellä. Puron äyräillä
kasvavan lepikon suojassa saapuivat he rannalle, jossa neito ja
mummo odottivat. Ruhtinattaren kauniilla kasvoilla oli huolestunut
ilme ja hän kääntyi kysyvästi nuorukaisen puoleen. Taaskin tunsi
tämä sydämessään moitetta siitä, että oli kenties viipymisellään
aiheuttanut koko vaaran, eikä voinut kohottaa katsettaan neidon
silmiin, joiden tunsi kohdalleen odottaen pysähtyvän. Mutta Ontrei
antoi heille mytystään ostamansa vaatteet, joihin he poikkesivat
syrjään pukeutumaan.
Puron äyräältä saattoi nähdä maantielle ja he silmäsivät sinne
usein odottavasti. Mutta kaukaasialainen viittasi rantasarakkoon
kätkettyyn veneeseen:
— Sillä pakenemme ja nousemme maihin siellä jossain järven
pohjoisrannalla, josta jatkamme sydänmaita myöten matkaa siksi,
kunnes pääsemme pois hevosteiden ulottuvilta. Kun eivät osu meitä
näkemään sitä ennen, niin siellä tuskin arvaavat enää epäilläkään.
Ainoa paha on veneellä paetessa, että näin valoisalla ajalla järven
selällä kulkija näkyy kauas, joskaan ei jälkiä heitäkään…
— — — — —
Kaukaasialainen oli ollut edellisenä iltana maantien vieressä
jättämässä sinne Ontrein kanssa sopimaansa liinamerkkiä, kun oli
kuullut väkeä tulevan tietä myöten. Pensaan takaa piilosta oli hän
huomannut, miten he olivat seisahtuneet kummastelemaan metsästä
tulevaa savua, jonka tuuli oli sieltä tielle painanut. Hän ei kyllä
ymmärtänyt heidän puhettaan, mutta tunsi sanan "polititsheski", jota

hänestä karkoituskylässään karjalaiset kulkijat yleisesti olivat
käyttäneet. Kiireesti oli hän palannut takaisin nuotiolle ja sitä heti
pienentänyt, valittaen, että oli ajattelemattomuudessaan tehnytkin
sen liian suureksi. Epäillen ja tuskaisena oli hän vartioinut ja
odottanut koko yön, viipyen alati maantien vieressä. Sieltä oli hän
vihdoin huomannut, kuinka paikkaa oli saapunut tarkastamaan
urjadniekka, ja silloin oli hän kiiruhtanut toimittamaan suojattejaan
turvaan. Jälkiään varoen olivat he sitten kulkeneet pitkin puroa,
erityisesti suuntaa ajattelematta, mutta aikoen kuitenkin maantielle
jotakin merkkiä heittämään. Sille tultuaan oli hän ajatellut, että ehkä
rannan puoli olisi turvallisempi, ja mennytkin siis sinne, löytäen sieltä
veneen.
Ontrei ei puolestaan ollut kovin innostunut vesille lähtöön, mutta
myönsi toisekseen, että oli viisainta pysyä nyt kokonaan syrjässä
niiltä mailta, joilla stanovoi ja urjadniekka tulisivat liikkumaan. Ehkä
siis oli edullisinta lähteä veneellä ja viivyskellä Seesjärven
pohjoisrannan saaristossa, joiden välisissä ruohosalmissa ja
kaislikoissa pian pääsisi takaa-ajajistakin eksymään. Mutta siinä
tapauksessa ei ollut lähtemistäkään ennenkuin illalla, jonka hämyssä
parhaiten pääsisi puikahtamaan pois kylän kuuluvilta. Mutta taipale
Sekehenjoelta Onnanjoelle, joka täten tuli heidän kuljettavakseen, oli
ainakin hänen kuulemaansa synkintä sydänmaata, jota ainoastaan
erämiehet olivat kulkeneet, oikeata karhujen laidunta, joiden parasta
aluetta nämä seudut ja varsinkin salot näiden vesien ja Vienan
välillä, Sekehen- ja Uikujoen seuduilla olivat. Mutta tänä
vuodenaikana ei retki suinkaan ollut mahdoton, ja ehkä sittekin
vähiten yllätyksille altis.
Maantieltä rupesi kuulumaan ääntä ja he kyyristäysivät piiloonsa.
Tulossa oli urjadniekka sekä useita miehiä, jotka kaikki poikkesivat

metsään heidän nuotionsa kohdalle. Saattoi arvata, että siellä
ruvettaisiin nuuskimaan jälkiä tarkoin, vaikkakaan ei ollut luultavaa,
että he mitään selvää saisivat, varsinkin kun nyt itsekin lisäksi jälkiä
sotkivat tältä paikalta metsään poiketessaan.

XIII.
UNELMIA SEESJÄRVELTÄ.
      Joko sorti suuren puuni,
    Uskontammeni tuhosi,
    Kukkalatvani kumosi?
    Se kun kaatui, kansa kaatui,
    Kauas kaikkosit jumalat.
Kun miehet olivat kadonneet, kumartui ruhtinatar huolestuneena
sulhasensa puoleen:
— Meitäkö nuo miehet etsivät?
— Eikö mitä, vastasi toinen hymyillen.
— Mutta jos sittenkin, niin miten pakenemme?
— Sehän on vallan yksinkertaista. Otan sinut syliini ja hyppään
tuon hattaran laelle, joka tuolla taivaalla onnen lauttana purjehtii.
Sinne hyppään ja kohta saapuvat lemmen tuulet, jotka pullistavat
purjeemme. Niiden avulla lähdemme laskemaan halki sinisen ja ylen
korkean avaruuden, jonka raikkaus ja puhtaus tuudittaa meidät

sadun kauneimpaan uneen. Purjehdimme kohti etelän ilmaa, josta
pian rupeaa kuultamaan lumisten huippujen ja vuoripurojen,
lehtevien laaksojen ja tummien öiden maa. Sinne kauas, onnen
Araratille, pysähdytän pilvilauttani ja astun maihin armaineni. Ijäti
me sitten siellä asumme eikä saavuta meitä elämän tuska. Niin,
armaani, minä sinut pelastan, jos vaara uhkaa.
Neito hymyili onnellisena:
— Ja ystävillemme täällä pohjolassa me lähetämme lehvän
onnemme puusta, kyyhkyläisen tuomaksi merkiksi, että onnettomuus
on meidän kohdallemme lakannut. Katso, me rakennamme
uhritulemme tyynessä illassa ja seuraamme sen savupatsaan nousua
kohti korkeutta. Se on Herralle mieluisa ja sen tuoksu on kuin
mirhamin pyhässä temppelissä. Ja me polvistumme sen alttarin
äärelle rukoillen ijäti onnea niille, jotka uhrautuvat onnettomia
auttamaan.
Neidon silmiin tuli lämmin kiilto. Kyynel kihosi tummien ripsien alta
ja vyöryi hiljaa hienoihoiselle poskelle, joka oli samettinen kuin
persikan pinta; povi aaltoili ja hymy kiiruhti taas takaisin liikutuksen
jalostamille kasvoille. Hän ojensi kätensä nuorukaiselle ja Ontreille.
Nuori mies tunsi, kuinka tuossa hänen otsaluunsa alla ikäänkuin
kaikki sumeni.
Mutta yhä kiinteämmäksi kävi kysymys, oliko syytä tässä enempää
viipyä. Jos miesjoukko sittenkin saisi jälistä sen verran selvää, että
pystyisi seuraamaan niitä maantielle takaisin ja jos sille juolahtaisi
siinä mieleen katsastaa rantaakin, niin silloin oli kaikki hukassa… Eikö
ollut sittekin parempi uskaltaa tuohon vesille ja koettaa pitkin

kaislikon rintaa soudella loitommalle johonkin niemen taakse, josta
illan tullen pääsisi jatkamaan?
Niin olikin. Äkkiä hän sen päätti, ikäänkuin joku olisi sen hänelle
sanonut, ja esitti asian Ontreille. Tämä oli epätietoinen ja tuskainen,
kun ei voinut päästä varmuuteen siitä, mitä oli tehtävä. Mutta kun
kaukaasialainen innolla hyväksyi ehdotuksen, myöntyi hänkin.
Kiireesti astuivat veneeseen, jonka hän kävi kaahlaamalla
noutamassa puron uomaa pitkin muutaman rantakiven vierelle.
Ontrei istui perään, naiset keskelle, ja molemmat miehet tuhdoille.
Varovasti ohjasi ukko vaapperaa kolmilaitaa kauempana olevaa
nientä kohti pitkin kaislikon rintaa, joka tässä onneksi oli sangen
korkeaa. Soutajat vetivät tarmonsa takaa, sillä päämääränä oli
päästä näkyvistä ennenkuin miesjoukko taas saapuisi tielle.
Säikähtynyt haapana, joka juuri oli saanut poikueensa vesille,
posahti parahtaen ruohikosta lentoon, mennä liitäen hätääntyneenä
vähän matkaa, mutta sitten taas kiireesti palaten, tullessaan
äidillisesti kutsuen ja äännähdellen. Veneen uomasta levisi vahva viri
selälle päin, siellä muodostaen heränneen etelän kanssa sieviä
ristilaineita.
Neito oli saanut kaislan käteensä ja viiletti sillä aatoksissaan veden
pintaa. Sitten hän käänti uneksivan katseensa etutuhdoilla
avokauloin ja täysin voimin soutavaan nuorukaiseen, joka vältellen
sitä väisteli. Hän ei tiennyt, katsoisiko taivaalle tai veteen, mutta
huomasi sitten parhaaksi katsoa oikean airon lapaan, miten se
hautautui tuonne sinertävään veteen, ruveten sitä voimalla edestään
työntämään, kunnes se voimatta enää airon painoa kestää purskahti
kauniisti vaahdolle. Mutta sieltäkin oli silmät siirrettävä, sillä alati ei
niitä jaksanut siellä pitää, ja silloin oli hetkisen kestettävä tuota

tumman katseen uneksivaa syvyyttä. Siinä janoava silmä pysähtyi
kiharoiden kauneuteen ja kaulan kaarevuuteen, kunnes taas jaksoi
riistäytyä irti katsomaan sitä vasenta airoa, miten se siellä omalla
puolellaan asioitaan hoiteli. Pitkin kaulaa ja ohimoita levisi polte ja
hämmennys heräsi sydämessä. Sen tuli kuitenkin tuntemaan ja
näkemään vain sekä vasen että oikea airo, jotka syventyivät
tehtäväänsä aivan harvinaisella innolla.
Hymy lennähti ruhtinattaren huulille.
— Gustav Ivanovitsh, puheli hän, miksi olette nyt niin vakava?
Miksi ette naura ja iloitse surumme lievikkeeksi, kerro meille
maastanne ja kansastanne, isästänne ja äidistänne? Miksi olette
täällä matkalla, sillä ettehän mitään tutki, kuljette vain?
— Mitäpä kertoisin, ruhtinatar? Jos olisin tiennyt, että haluaisitte
kuulla Suomesta, niin mielelläni olisin kertonut. Enkä tiedä itsekään,
miksi olen nyt vakava, ellen viime yön ja näiden monien uusien
asioiden vuoksi. Ja eihän Solovetsiin menijän, köyhän
pyhiinvaeltajan, sovikaan paljoa ilakoida.
Hän puhui vältellen ja koetti lyödä leikiksi. — Miksi aiotte, Gustav
Ivanovitsh? kyseli neito uudelleen. Turhaan ette tietenkään täällä
kule, sillä eiväthän nämä seudut ole mitään matkailupaikkoja. Ehkä
sittenkin tutkitte jotakin? Nuorukainen hymähti.
— Sekö hänet tiennee, vastasi hän. Omituinen ja voimakas halu
viehättää minua näillä seuduilla kulkemaan. Heimoni muinaisuus
niistä minua tervehtää. Totuuden sanoakseni, lienen kuitenkin
etupäässä tämän Ontrein opetuslapsi. Joka päivä hän minua opettaa.
— Mitä voi teille Ontrei opettaa? kysyi ruhtinatar ihmeissään.

— Sitä en voi sanoilla ilmaista, vastasi hän totuuden mukaisesti.
Totta vain on, että olen hänen opetuslapsensa siksi, että joka päivä
opin häneltä tavattoman paljon. Luulin jo olevani liiankin oppinut,
mutta sitten kohtasinkin tämän karjalaisukon, ja huomasin, etten
osannut mitään, en ainakaan paljoa…
Ruhtinatar nauroi iloisesti, mutta hänen sulhonsa, joka oli
mummon kanssa keskustelua kuunnellut, kääntyi sanomaan:
— Gustav Ivanovitsh on oikeassa; minäkin olen Ontrein
opetuslapsi, sillä olen oppinut häneltä hyvin paljon. Ja selitykseksi
ruhtinattaren kysymykseen vastasi hän:
— En minäkään voi sitä selittää. Se on jonkunlaista sisäistä
valoisuutta ja toivorikkautta. Tuntuu kuin elämä olisi muuttunut.
Luulen, että hänettä tuolla perässä olisin usein epätoivon vallassa.
Taikka, en tiedä, — kuvittele itse.
Mummo nyhjötti veneen pohjalla korjaillen jotakin ja hymisten
outoa laulua, kaipa kotivuoriensa kansanlaulua. Kaikki muut oli
vallannut omituinen huolettomuus, paitsi Ontreita, jolla ei ollut silmiä
eikä korvia muulle kuin matkan onnistumiselle. Jo olivat he päässeet
pitkän matkaa ja suunnilleen äskeiseltä paikalta näkymättömiinkin,
mutta parasta oli silti kiirehtiä edelleen niin kauan kuin aikaista
aamua vielä kesti eikä kulkijoita juuri tarvinnut pelätä. Sivuutettiin
niemen kärki ja huomattiin toisella puolella jyrkkärantainen lahti,
johon ei sopinut maan puolelta katsomaan. Soudettiin sen poikki
hiukan kaartaen, kunnes toisella puolella olevan niemen kohdalle
päästyä nähtiinkin sen kärjestään revenneen maailmaa tehtäessä
poikki, niin että väliin oli jäänyt jyrkkäseinäinen, hyvin kapea salmi
tai kanava. Se oli melko pitkä ja molemmissa päissä tiheä kaislikko.
Sinne käännälsikin Ontrei veneensä. Salmeen päästyä tuntui oikein

juhlalliselta. Sammaleiset kalliot kohosivat jyrkkinä molemmin puolin
ja ylhäällä oli vielä lisäkorokkeena kelohongikko. Veneen ilmestyessä
salmeen sinkosi hongan latvasta kirkuen ilmoille piekanahaukka
vihaisesti tutkien rauhansa häiritsijöitä keltaisilla silmillään. Veneen
viri rupesi lotajamaan niissä paikoin, missä veden pinnan kohdalle
sattui kallioon syvennyksiä. Melkein salmen keskikohdalla aukeni
mantereen puoleisen kallion alle hiukan loivaa rantamaata, johon
Ontrei laski veneensä. Kun saapui siihen ja veti veneen kokonaan
maalle, huomasi, että kallio kaareutui aivankuin katoksi yläpuolelle,
niin että sieltä ei voinut varmaankaan nähdä rannalla olijoita. Tuntui
oikein turvalliselta. Kun hän meni tämän pienen rantakaistaleen
päähän katsomaan, olisiko sieltä mahdollista päästä kiipeämään
kallion päälle, pakeni sieltä veden rajasta veteen vihaisesti
marahtaen pitkähkö ja musta, kiiltävän notkea elukka. Säpsähtäen
jäi hän sen nostamiin poreisiin tuijottamaan, mutta mitään ei enää
näkynyt.
Hän tunsi äkkiä ankaraa väsymystä. Valvottu ja juhlien vietetty yö,
jonka rasitusta koko aamun jännitys oli estänyt esiin puhkeamasta,
rupesi vaatimaan omaansa takaisin. Taaskin oli hänellä ollut
vuorokauden ympäri raskasta aivokiihotusta ja merkillisiä
kokemuksia.
Nähtyään Ontrein rupeavan tyynesti ruoanlaitto-puuhiin ja muun
seurueen ryhmittyvän levolle, painui hänkin hietikolle pitkäkseen,
pää hajuheinämättääseen. Auringon lämmittämän ilman leyhkä
tuntui suloisesti tänne varjoon ja väsynyt ruumis vaipui hiljalleen
levon valtaan. Aatos kulki vielä omia teitään ja ihmetteli, muistellen
tapahtuneita. Hartaasti mietiskeli hän äskeistä iltaa opettajan ja
lääkärin seurassa, sitä innostuksen hehkua, jonka edellinen oli
hänessä osannut herättää ja niitä omituisia oloja, joissa hän oli

joutunut näin seikkailemaan. Hän näki opettajan ilmielävänä
edessään, laihana, pitkänä ja kalpeana, oudon innon ja haaveen tuli
hehkumassa tummista silmistään. Hän oli kuin joku korven profeetta,
joka oli lähetetty tänne kadonneen kansan keskelle vetoamaan
Herran muinaisiin ja ijäti järkkymättömiin lupauksiin.
Mahtavasti nuo opettajan esittämät muinaisuus-kuvitelmat
kiihottivat hänen mielikuvitustaan. Yhä syvemmin vaipui hän
haaveilemaan noista taruhistoriallisista ajoista. Helteisenä päivänä
seisoi hän Ontrein kanssa pyhässä lehdossa. Ikivanhat kuuset ja
riippakoivut ojentuivat tummassa ja vaaleassa veljeydessä kohti
taivaan lakea kuin jättiläistammi, niin korkealle, että joka hetki
saattoi pelätä ihanien poutapilvien niiden latvoihin
haaksirikkoutuvan. Heidän ympärillään seisoi taajana joukkona
kalevaista kansaa, vakavana ja ääneti. Kaikkien silmät vartioitsivat
tuota lehdon korkeinta paikkaa, sitä, jossa oli se pyhin puu ja
karsikon kallein, sillä siellä seisoi kirves kädessä Pyhä Ilja, valmiina
kaatamaan esi-isäin valtapuuta.
Hänen sydäntään värisyttää viha ja hän puristaa nuorella
kädellään miekan kahvaa. Se sopeutuu hänen kouraansa niin hyvin,
sillä sen on kylän kuulu seppä hänen erikoisten ohjeittensa mukaan
takonut ja sitten karaissut salaisissa ja kauheissa kähyissään.
Kauniille harakansulalle olikin teräs lennähtänyt, kun sen tulta oli
kähyvesissä käyttää surauteltu. Miekkaa hän puristaa ja kuiskaa
Ontreille:
— Emmekö mene ja lyö maahan tuota outoa miestä, joka kaataa
meidän isäimme puun?
Ja Ontrei vapisee tuskassaan, sillä hänenkin sydäntään kirvelee
tekeillä oleva. Mutta hän on kuin taikavoiman maahan naulitsema

eikä saa sanaa suustaan. Ja uudelleen hän yhä kiihkeämmin kysyy:
— Menenkö ja isken maahan muukalaisen papin?
Kukaan ei vastaa, vaan kaikki seisovat hiljaa kuin lumoissa,
liikkumatta. Pyhä Ilja siellä puhuu jotakin oudolla kielellään, jota
luopio vepsäläinen kokee tulkita livvin kielelle. Jo kohottaa munkki
kirveensä, jo jännittyy käsi lyömään… Auringon säde sattuu
kiiltävään kirveen terään, kun se on tuossa korkeimmalleen
kohonneena. Se on kuin salama… Ukko avita…
Nauskahtaen uppoo munkin kirves kesäiseen, pehmeään puuhun
ja kansan joukosta kuuluu voihkaisu kuin olisi ase isketty sen omaan
sydämeen. Hänen jalkansa herpautuvat ja jäätävä kylmyys hiipii
pitkin hänen suoniaan. Silmissä sumenee ja hän tuntee, että
elinhermo nyt lyötiin poikki. Mutta munkin apurit tarttuvat
kirveisiinsä ja rupeavat voimalla hakkaamaan poikki valtavan paksua
puuta. He lyövät niin, että lastuja sinkoilee satamalla. Ne vilkkuvat
hänen silmissään outoina lintuina, niin tiheässä, että hän ei tahdo
erottaa taivasta. Sen hän kuitenkin huomaa, että valtapuun oksat ja
lehvät tärisevät kuin puistaisi luojan puiston kuningas päätänsä, kuin
kummastelisi se sitä tekoa, joka hänet, merkin ja vertauskuvan,
tahtoo pois juurittaa. Sen liikutus kasvaa silminnähtävästi, ikäänkuin
vapisuttaisi sisäinen itku sen mahtavia hartioita, sen voimat
vähenevät ja se lähtee kaatumaan sen maan syliin, josta se oli
vuosisatoja elon voimaa imenyt. Sitä tahtoo se jäähyväisiksi
hienoimmilla ritvoillaan silitellä, pehmeillä lehvillään lepyttää.
Suunnattomalla kohauksella, kuin olisi iskenyt siihen tuulispää, se
masentuu maahan. Mutta sen sydän ei voinut ääneti kuolla, vaan
pitäen joka säikeellään ja joka solullaan kiinni kannastaan päästä se

kallistuessaan sydäntä vihlaisevan parkaisun. Ytimiin se huuto
tunki…
Silloin kuuluu outoa ääntä ja melskettä. Tuolta kansanjoukon takaa
se saapuu ja kohta ryntää sieltä esiin kalpea ja laiha mies, — hänen
opettaja-ystävänsähän se on. Hurjistuneena ryntää mies paikalle,
mutta peräytyy tyrmistyneenä nähdessään isien puun kaadetuksi.
Hän ei tahdo saada henkeä vedetyksi, vaan näyttää tukehtuvan, hän
tuijottaa verestävillä silmillään vuoroin kansaan, vuoroin pappeihin,
hän viittaa ja huitoo. Mutta äkkiä tarttuu hän molemmilla käsillään
rintaansa, ja kun hän kääntyy päin, nähdään ilmitulen palavan hänen
rintansa sisässä. Liekki syö hänen sydäntänsä, hän vääntelehtii
tuskasta ja puhkeaa vihdoin kauheaan huutoon. Se huuto on
kamalampi, tuskallisempi, vihlaisevampi kuin konsanaan Laokoonin,
kun hän huusi tuskasta jumalien käärmeitten kiemuroissa. Se paisui
paisumistaan, se tuntui täyttävän koko taivaan kuvun, kunnes se
äkkiä lakkasi kuin korahdukseen. Ja opettaja-ystävä raukeni siihen
maahan. Hän riensi ääreen ja polvistui siihen, mutta tuo kalpea mies
kuiskasi: Se oli Karjalan heimon kuolinhuuto…
Hänelle tuli äärettömän tuskallinen olo, niin että hän luuli
kuolevansa vaikeaan tilaansa. Silloin kuuli hän viereltään lempeän
äänen ja tunsi leppoisan käden. Hän avasi silmänsä ja näki Ontrein,
joka oli kumartunut hänen puoleensa.
— Poikani, sanoi ukko rauhallisesti, Jumala näkyi rankaisseen
sinua raskaalla unella. Olet nukkunut kauan.
— Ontrei, kiitos, että herätit, sanoi hän. Luulin kuolevani. Mihin
olemme tulleet? Pilvessä. Tuulee. Ilta?

— Käy syömään, että jaksat soutaa. Ilta on ja meidän pitää ehtiä
hämärimmällä hetkellä kylän ohi. Ikävää, jos tuuli kiihtyy enemmän.
Toki on vene varavanpuoleinen.
Hän kävi pienen tulen ääreen, jonka Ontrei oli tehnyt kallion
varjoon, ruveten nauttimaan hiilipaistikas-kalaa, jota sama ukko oli,
tiesi millä keinolla, osannut hankkia. Illan varjo näkyi vaikuttaneen
kaikkien mieleen, sillä raskas huokaus pusertui ruhtinattaren huulilta
ja mummo teki hartaana ristinmerkin. Mutta muukalainen kiersi
suojelevasti kätensä morsiamensa vyötäisille.
Aallon hölkkä vyöryi yhä voimakkaampana kapeassa salmessa.
Saattoi aavistaa, että suuri Seesjärvi oli ulapoilla, niillä merellisillä,
vihaiseen ärjyyn yltymässä.

XIV.
KOSKEMATTOMAN LUONNON YLEVYYS.
      Kuuna paistoi kuusen oksat,
    Päivänä petäjän latvat,
    Metsä haiskahti me'elle,
    Simalle salo sininen,
      Aho vieret viertehelle.
Kauhea matka järven yli oli kestetty.
He laskivat maihin Sekehenjoen niskaan pohjois-puolelle, juuri
siihen paikkaan, jossa on pieni ruohoinen poukama ja rauhan
satama. Rannan tiheä korteikko ja kaislikko sekä tuuhea tervalepikkö
muodostavat siinä todellakin mitä mieluisimman pienen sataman,
jonne mukavasti sopii ulapan tuulilta suojaan käännältää. Poukaman
pohjukkaan laskee pieni puro, joka vaatimattomasti leviää rannan
hiekalla tuskin näkyväksi veden vireeksi. Tuskin sitä huomaisikaan,
ellei jalka sattuisi veteen ja painuisi hiekkaan, jolloin varsinkin
avojalka väristen veden kylmyyttä kummeksuu. Se saapuukin, tämä
pieni lähde, tuolta korpimaiden uumenista, ja on sillä taikavoima,
sillä se kätkee itseensä luonnon salaisuuden ihmeellistä säteily-

ilmestystä. Se huuhtelee laineillaan rentukkaa ja laihaa sarakkoa,
kastelee pienen kärpässiepon limaisia juurilehtiä ja elättelee
ystävällisesti suvantopaikoissaan kiiltävän-mustia vesilukkejaan ja
kortematojaan. Sarakossa särähtää sudenkorennon siipi, kun se
äkkikäänteellä koettaa saada hyönteistä kynsiinsä, ja väliin leikkii sen
yllä ihana sinikorento. Kuin neito se huolettomasti istahtaa kaislan
korrelle keveästi ihaillakseen päivän kimallusta sinisiivellään, kunnes
lehahtaa taas lentoon jonkun mielijohteen ajamana.
Poukaman perästä puron vartta yletessä saavutaan niitylle, jossa
vanha ja haalistunut lato osoittaa ihmisjälkiä. Ladon ympäristöllä
kasvaa tiuhassa putkea ja angervoa, jonka väkevä tuoksu täyttää
ilman. Ladon ovelle saapuessasi huomaatkin, että paikka on ammoin
hylätty. Kun jalkasi kolahtaa kynnykseen, puikahtaa lattiarangan
aukosta esiin kärppä kuin noidannuoli, vielä nopeammasti
hävitäkseen. Ja kun tuota säpsähtäen asian oivallat ja kolahdutat
uudelleen, pistäytyy utelias pieni pää vielä kerran esiin, kohta
kokonaan hävitäkseen. Seinät ovat lahoneet ja luhistumassa, ja
nurkat ovat maatumassa. Sammal kasvaa hirsien päässä ja
sammalessa pitkää ja hentoa airaa, jossa tuuli valittaen suhajaa.
Autiota on, luonnon yksinäistä ja surumielistä autiutta, jota säestävät
vain erämaan yksitoikkoiset äänet. Ellei sinulla olisi seuraa, pelkäisit
tyhjyyttä ympärilläsi, etkä mistään hinnasta tahtoisi kaikua herättää.
Mutta kun mennään yhä enemmän salolle päin, jää ensin puro
tuonne oikealle mustaan korpeensa luikertelemaan, ja eteen avautuu
lakea kangas harmaine honkineen. Kangas kohoaa korkeammaksi,
muuttuen vihdoin harjuksi, joka katoaa yhä yleten tuonne eteesi
salon sineen. Maassa on mahimassa jättiläispuita, jotka kaatuessaan
ovat reväisseet maapalan ilmaan juuriensa syleilyssä. Tuossa on jo
sammalpeitto kasvanut koko rungon yli ja jalka vaipuukin syvälle

siihen, missä vielä luulet runkoa olevan, mutta tuossa on vielä puu
kovaa. Juurakon kuoppaan ovat metsän monet kanalinnut
kiiruhtaneet peherrykselle, hiekkamullan avulla väiveitänsä
vähentämään. Ylt'ympäri kohoaa samallaisia jättiläisiä, ikäänkuin
vaieten katsoen outoa kulkijaa, joka on tänne erämaan rauhaan
uskaltanut. Niiden oksat ovat vääntyneet eriskummallisille
kiemuroille, jotka kuin pirunkalan käsivarsina kohoutuvat taivasta
kohti ikäänkuin jotakin rukoillakseen. Ne ovat taistelleet tuskaiset
hetkensä, kunnes ovat tuohon epätoivoonsa ainiaaksi jäykistyneet.
Ja juuri sinne latvoihin tirkistellessäsi sinua säikähdyttää kova ropina.
Metso, joka on aikoja sitten sinut nähnyt, hongan latvasta rungon
takaa sinua epäluuloisesti ja kaula pitkällä vartioinut, punninnut
asemaansa ja aikeitasi, on vihdoinkin tehnyt päätöksensä ja lähtenyt
raskaaseen lentoonsa turvallisempaan paikkaan. Kun se heittäytyy
pienille siivilleen ruveten lyömään niitä vinhasti ja aluksi satuttaen ne
oksiin ja lehviin, syntyy siitä erämaan hiljaisuudessa ääni, kuin olisi
koko metsä kumoutumassa.
Kun kävelemme kangasta eteenpäin ja tulemme sinne, missä
muinaisen metsävalkean jäleltä kasvaa tiheätä haavantynkää,
ryöpsähtää sieltä eteesi muniensa puolesta hätäilevä ja karkealla
äänellä kiroileva metsäkana. Tuossa se mennä heveltää pyrstö
leveänä aivan edessäsi, niin että lapsellisessa innossa viehätyt sitä
siinä kiinni tavottamaan. Mutta juuri kun kumarrut, väistyykin se
syrjään äkäisesti kirahtaen ja kiinteästi sinua pienillä silmillään
tähystellen. Taas kumarrut ja taas, kunnes huomaatkin joutuneesi
kanan jälessä kauas alkuperäiseltä paikaltasi. Ja ikäänkuin ilkkuen
kiroaa lintu vielä kerran, kunnes äkkiä nouseekin siivilleen ja lentää
nopeasti sinne, missä hänellä on se, jota hän ei tahtonut sinulle
näyttää.

Kuljetaan yhä edelleen. Harjun juurella kangas muuttuukin
ahomaaksi, hiekka sinertäväksi savimullaksi ja hongikko
lehtimetsäksi. Vanhoja tutisevia pökkelöitä, joiden kylestä voi saada
lihavan jäniksenkäävän, on vielä kulon jäleltä siellä täällä, mutta
tuossa jo kohoaa metsä tuuheana ja pitkänä koivikkona. Runkoa on
siinä työnnetty aivan ihmeellisen pitkästi ja hoikasti, ollenkaan
muistamatta, että lehviä onkaan olemassa. Kun niitäkin vihdoin
ajateltiin, olivatkin voimat lopussa, ja niin saatiin vain latvaan
mitättömän pieni kruunu tuulessa hiljaa keinumaan. Mutta tuossa on
kulon haavoilta aikoinaan pelastunut raavaskoivu, seutunsa
lehtikuningas ja harjullansa ylevä nähdä. Aluksi se on viidestä
valtaisesta pääjuuresta rakentanut itselleen tyvituen, jotka ovat
yhtyneet voimakkaaksi ja paksuksi rungoksi, sen varassa on se
kohonnut kolmisen metriä, mutta on sitten, ikäänkuin rikkaudellansa
ja voimallansa ylpeillen, jakautunut kolmeen haaraan. Ne se on
ampunut kohti taivasta sileinä, suorina ja valkotuohisina kuin isä
uljaat poikansa, niiden terveydestä nauttien ja iloiten. Sen lehvät
riippuvat kuin hieno tukka pitkinä suortuvina ja sen helmasta kuuluu
alati syvä ja aatteellinen kohina, kun se suvituulen kanssa hartaasti
haastelee.
Mutta kulkija käy yhä edelleen, painaen sydämeensä tämän
erämaan suuren runouden. Hän saapuu yhä syvemmälle ahon
lehvikköön, kunnes se maan aletessa kosteaksi notkoksi tihenee
melkein läpipääsemättömäksi. Haapa ja pihlaja sekautuvat leikkiin ja
maan pinnan peittää tiheä puolukan ja mustikan varsikko. Hän
väistää tiheikön ja saapuu taas aukeammalle, jossa katajakin näkyy
laiskana pitkiä käsivarsiaan pitkin maata venyttelevän. Hän kulkee
kulkemistaan, menee korpirämeikön poikki, jossa lihavat pyyt
pyrähtävät hänen tieltään kuusikkoon vihellellen ja siristen, ja
saapuu vihdoin harjulle, josta aukeaa hänen eteensä aava näkö-ala.

Suuri suo siinä on. Pitkin sen laitoja hiipii kehyksenä tumma
korpikuusikko, joka suon rinnassa muuttuu harvaksi
rämemänniköksi. Nuo käkkärämännyt ovat tuossa kuin
kääpiökansaa, joiden naavaparrat todistavat huimaavan korkeaa
ikää. Ne eivät jaksa ulottaa juuriansa rahkasammalen läpi, vaan
koettavat siitä imeä ravintoa, kituen laihuuttansa. Keskempänä jo
nekin katoavat ja suo muuttuu upottavaksi rimmeksi, joka
himokkaasti imaisee sisäänsä kaiken syliinsä lankeavan. Ilmassa
tuntuu väkevä suokanervan ja maatuvien kasviaineiden haju ja
näyttää siltä kuin ei raikas kesäpäivän tuuli saisikaan ilmakerrosta
suon päällä muutetuksi. Laidoilla tuuli kohisee lehtevissä puissa,
mutta tuolla keskempänä se ei saakaan kääpiöiden partaa liikkeelle,
vaan seisoivat nämä siellä värähtämättä, aavemaisina ilmiöinä. Äkkiä
kohahtaa tuosta siivilleen vikla, jonka valittava huuto pian kirkuvana
kuuluu, kutsuen sadetta. Tuonne mättäälle se istahtaa, mutta jo taas
lehahtaa lentoon, kaiuttaen pitkäveteistä ja yhä nousevaa
sadevirttänsä. Alakuloiseksi vie se suon lakeudella ponnistelevan
matkamiehen mielen. On kuin se kääntyisi tutkimaan yhä
kiinteämmin suon lohdutonta lakeutta, mietteissään ja harmaassa
tunnelmassaan ikäänkuin etsien jotakin kiinnepistettä, johon
pysähtyä kuin todella vajoava. Mielikuvitus kääntyy outojen ja
hurjain kuvitelmain uralle ja sielussa välähtelee näkyjä. Eipä olisi
kumma, jos tuosta liejuisen lätäkkönotkelman reunasta äkkiä
kohoaisi siivilleen muinaisuuden niljakas lentolisko, joka jännittäisi
lepakkomaiset nahkasiipensä ja peittäisi lennossaan auringon kuin
unessa nähty kuvitelmain paholainen. Sadun pelottavana
vaakalintuna se nousisi yhä ylemmäksi, kunnes se näkyisi tuolta
pilvien rajalta kuin jättiläis-lentokone, jonka saavutettavissa on kaikki
näköpiirin alla…

Mahtavalla tavalla koskematon erämaa valtasi kulkijansa. Luonto
ikäänkuin paljasti oman synnynnäisen ylevyytensä, jonka rinnalla
moni inhimillinen seikka menetti suuruuttansa. Karjalan vedet olivat
häntä kuohuissaan kannatelleet, sen metsät nyt häntä suhinallaan
tuudittivat, lauloivat omakseen ja ainaiseksi ihailijakseen.

XV.
MIETTEITÄ JA HUOMIOITA.
      Jalka painuu sammalehen
    Katse korpehen katoovi;
    Mieli miettii muinaisia,
    Luonnon syntyjä syviä:
    Missä alku, missä loppu,
    Mikä tarkoitus inehmon.
Hänen muistiinpanoistaan ei käy ollenkaan selville, mitä oli
tapahtunut tuolla öisellä pakoretkellä poikki Seesjärven ja sivu
Sondalan kylän, eikä hän sitä itsekään koskaan kertonut. Jotakin oli
sattunut, jolla oli ollut häneen mitä syvin vaikutus, sillä hänessä,
tuossa vakaassa ja vaiteliaassa miehessä, ei olisi voinut huomata
paljon jälkeä entisestä yleensä hilpeästä ja iloisesta nuorukaisesta.
Hänen suhteensa Ontreihin näytti entistä läheisemmältä, hän oli
liittynyt kaukaasialaiseen mitä lämpimimmällä ystävyydellä ja hän
kohteli ruhtinatarta mitä suurimmalla kunnioituksella. Tämän ilme oli
taas, hänen nuorukaisen läheisyyteen jouduttuaan, hiukan arka ja
ikäänkuin säikähtynyt; olipa kuin olisi hän päässyt selville jostakin,
jota oli aavistanut ja pelännytkin, äkkiä jollain tavalla, kentiesi

sangen omituisellakin. Oliko se, että he olivat olleet tuolla samaisella
seikkailumatkalla myrskyn käsissä suoranaisessa hengenvaarassa,
taikka joku niihin yöllisiin tapauksiin liikkuva sivunäytös, tällaista
aiheuttanut, se on kysymys, joihin hän ei ole päiväkirjassaan eikä
suullisesti sitä tiedusteltaessa mitään vastausta tahtonut antaa. Hän
on nähtävästi, syistä, jotka lienevät siihen kyllin päteviä, päättänyt
pitää eräät asiat omana salaisuutenaan, joihin hän ei halua
viitatakaan.
Heidän piti päästä yli suon tuonne tumman metsän reunaan, jonka
takaa näkyi kohoavan korkea vaara, huipulla harmaantunut
kelohongikko. He kulkivat väsyneinä pitkin suon laitaa etsien
paikkaa, mistä ylimeno olisi näyttänyt hiukan helpommalta ja rahka
kannattavammalta, mutta kuta pitemmälle he ehtivät, sitä
leveämmältä näytti suon salmeke. Jopa rupesi tuntumaan siltä, että
tuo maa tuossa toisella puolen on ainakin kolmelta ilmansuunnalta
nevojen ja ylipääsemättömien rimpien ympäröimä, jonne on
mentävä suoraan, jos mieli mennä ollenkaan. Mutta ruhtinattaren ja
hänen vanhan hoitajattarensa tila oli niin huono, heidän voimansa
niin lopussa, ettei näyttänyt voivan sellaista ajatellakaan. Kaikki
tahtoivat suon kiertämistä, kaikki muut, paitsi Ontrei, jonka mielipide
nyt oli toinen. Säälimättömästi vaati hän matkalle suon yli, sillä hän
tahtoi kerta kaikkiaan hävittää jälet. Erämaankävijänä hän tiesi, että
vetelät suot yleensä sentään kannattavat enemmän kuin mitä niiden
varaan uskotaan ja että jos kulkija astelee kylmäverisesti ja joutuin,
jäämättä seisomaan ja hätäytymään siihen paikkaan, jossa tuntuu
erikoisesti upottavan, hän pääsee melko helposti eteenpäin;
pahimmat paikat on paras mennä keveällä juoksulla, jossa vain
muutama silmänräpäys nojataan samaan jalkaan. Hyvä on myöskin
kovin vetelissä paikoissa heittää joku kädessä kuletettava keppi tai
muu eteensä, sillä sekin auttaa hyvin paljon. Tottunut osaa myös

nevan pinnasta päätellä, mitkä paikat ovat kannattavampia, ja sen
mukaan suunnata askeleensa.
Kun he saapuivat tuon maan reunaan, olivat matkueen
naispuoliset jäsenet aivan menehtymässä, ja pahoin oli näännyksissä
Ontreikin; hänen nuori ystävänsä ja kaukaasialainen olivat saaneet
voimalla ja väellä heitä kaikkia rimpien yli auttaa. Mutta päästy oli yli
ja nyt kovalla maalla tuntui kulku taas ihmeellisen keveältä. Joutuin
painuivat he kuusikkoon.
Jo aivan ensi askelilla häntä kummastutti se koskemattomuus, jota
nyt luonto kaikkialla hänen ympärillään osoitti. Niillä saloilla, joilla
hän tähän saakka oli harhaillut, oli aina jokunen merkki todistanut
niitä ennenkin kuletun, mutta täällä oli jo aluksi kuusikko niin
uskomattoman tiheää ja korkeaa, ettei hän ollut ennen moista
nähnyt. Mitä maassa makaavaa puuta oli nähtävissä, sen saattoi
helposti huomata joko vanhuuden tai myrskyn ja salaman
kaatamaksi, mutta ei suinkaan kirveen kumoamaksi; olipa toisinaan
kaatumaan lähtenyt korven jättiläinen jäänyt nojalleen muita
vastaan, valittaen runkoansa toista vasten kihnuttaen. Maassa kasvoi
sakeana mustikkaa ja puolukkaa sekä kanervaa, ja vanhat havut ja
neulaset olivat kuusien juurella kasautuneet kokonaisiksi
reunusteiksi. Katse kohosi pitkin kuusien korkeaa ja naavaista runkoa
sinne latvaan saakka, jossa se oheni pihkaiseksi ja mehuiseksi
kerkäksi, vähän alempana näytellen kookkaita käpyjänsä, joiden
suomut olivat jo auringonpaisteessa pörhistyneet. Täällä alhaalla
havuholvissa oli päivälläkin juhlallinen viileys, kuten ylhäisten
suurissa pilarisaleissa, joissa niissäkin vaelletaan hiukan arkoina ja
henkeä pidätellen. Tuohon oli vanhan pökkelön kylkeen kuitenkin
elävä olento jättänyt merkkinsä: tikka oli siihen kovertanut kävyn
silpomispaikan. Lahoon uurteeseen kovempien paikkojen väliin oli se

taitavasti hakannut koveron, johon sopi mukavasti pistää käpy ja se
siinä suomu suomulta tarkoin puhdistaa. Ja kun sitä tarkastaessa
mentiin lähemmäksi ja satuttiin kopauttamaan puuhun, lensikin sieltä
ylhäältä reiästä punapää ja terävänokka, tuttuun tapaansa
rapsahtaen kiinni kynsillään läheisen puun runkoon.
Mutta etemmäs mennessä metsä harveni, muuttuen pian
hongikoksi ja yleten ylenemistään. Suuria ja ryhmyisiä kallioita
kohosi siellä täällä, kiireellä sammalta ja kallio-imarteen vihreitä
sulkia. Pian kävi kulku vaivaloisemmaksi, kalliorinteet jyrkkenivät yhä
korkeammiksi, kunnes vallan täytyi hakea pääsyteitä. Vihdoin
aukenikin eräästä kohti rotko, joka oli kuin veitsellä leikattu tähän
alkuvuoreen ja näytti vievän johonkin tämän kallioryhmän toiselle
puolelle.
Tämä hongikko se oli näkynyt sinne suon taakse, mutta antoi se
silloin sen käsityksen, että siinä alkoi joku pitkä harjanne, joka johti
merelle päin. Kuitenkaan se ei ollut muuta kuin takapuoleltaan
omituisen jyrkkä ja alaltaan melko kapea kalliovuori, jonka takaa
aukeni sankka metsäinen maa. Siihen kallion juurelle tasaiselle
sammalikolle määräsi nyt Ontrei yöpaikan, ruveten tapansa mukaan
ja muiden apua odottamatta nuotioita valmistamaan.
Kaukaasialainen meni häntä auttamaan ja naiset lyykistyivät
väsyneinä ääreen, mutta nuorukaisemme läksi puolestaan leirin
seutua tarkastamaan.
Vasta tällä retkellä oli hän päässyt ymmärtämään, mikä
suurenmoinen kauneusnäytelmä oli joka hetkellä nautittavana sillä,
jolla oli avoin silmä luonnon nähtävyyksille. Joka askel avaa hänelle
jotakin mielenkiintoista, josta hän saa aiheen miettiä ja omituisella
luonnon ystävän sammumattomalla uteliaisuudella pohtia aina uusia

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Finite Elements In Vector Lattices Martin R Weber

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Finite Elements In Vector Lattices Martin R Weber

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79

Slide 80