Fourier Analysis Elias M Stein Rami Shakarchi

Fourier Analysis Elias M Stein Rami Shakarchi
Fourier Analysis Elias M Stein Rami Shakarchi
Fourier Analysis Elias M Stein Rami Shakarchi

1. Fourier Analysis Elias M Stein Rami Shakarchi
download
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-elias-m-stein-
rami-shakarchi-47211674
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Fourier Analysis 1 Revised Tw Krner
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-1-revised-tw-
krner-47530592
Fourier Analysis On Local Fields Mn15 M H Taibleson
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-on-local-fields-
mn15-m-h-taibleson-51944242
Fourier Analysis On Polytopes And The Geometry Of Numbers Part I A
Friendly Introduction Sinai Robins
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-on-polytopes-and-the-
geometry-of-numbers-part-i-a-friendly-introduction-sinai-
robins-57331798
Fourier Analysis And Its Applications Anders Vretblad
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-and-its-applications-
anders-vretblad-2031012

3. Fourier Analysis And Nonlinear Partial Differential Equations 1st
Edition Hajer Bahouri
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-and-nonlinear-partial-
differential-equations-1st-edition-hajer-bahouri-2040744
Fourier Analysis On Groups Walter Rudin
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-on-groups-walter-
rudin-38041550
Fourier Analysis And Imaging 1st Edition Ronald Bracewell Auth
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-and-imaging-1st-
edition-ronald-bracewell-auth-4189068
Fourier Analysis And Approximation Of Functions 1st Edition Roald M
Trigub
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-and-approximation-of-
functions-1st-edition-roald-m-trigub-4292758
Fourier Analysis On Finite Groups With Applications In Signal
Processing And System Design Stankovi263
https://ebookbell.com/product/fourier-analysis-on-finite-groups-with-
applications-in-signal-processing-and-system-design-
stankovi263-4321884

6. Ibookroot October 20, 2007
FOURIER ANALYSIS

7. Ibookroot October 20, 2007
Princeton
LecturesinAnalysis
I Fourier Analysis: An IntroductionII Complex AnalysisIII Real Analysis:
Measure Theory, Integration, andHilbert Spaces

8. Ibookroot October 20, 2007
Princeton Lectures in Analysis
I
FOURIER ANALYSIS
an introduction
Elias M. Stein
&
Rami Shakarchi
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
PRINCETON AND OXFORD

9. Copyright © 2003 by Princeton University Press
Published by Princeton University Press, 41 William Street,
Princeton, New Jersey 08540
In the United Kingdom: Princeton University Press,
6 Oxford Street, Woodstock, Oxfordshire OX20 1TW
All Rights Reserved
Library of Congress Control Number 2003103688
ISBN 978-0-691-11384-5
British Library Cataloging-in-Publication Data is available
The publisher would like to acknowledge the authors of this volume for
providing the camera-ready copy from which this book was printed
Printed on acid-free paper. ∞
press.princeton.edu
Printed in the United States of America
5 7 9 10 8 6

10. Ibookroot October 20, 2007
To my grandchildren
Carolyn, Alison, Jason
E.M.S.
To my parents
Mohamed & Mireille
and my brother
Karim
R.S.

12. Ibookroot October 20, 2007
Foreword
Beginning in the spring of 2000, a series of four one-semester courses
were taught at Princeton University whose purpose was to present, in
an integrated manner, the core areas of analysis. The objective was to
make plain the organic unity that exists between the various parts of the
subject, and to illustrate the wide applicability of ideas of analysis to
other ¯elds of mathematics and science. The present series of books is
an elaboration of the lectures that were given.
While there are a number of excellent texts dealing with individual
parts of what we cover, our exposition aims at a di®erent goal: pre-
senting the various sub-areas of analysis not as separate disciplines, but
rather as highly interconnected. It is our view that seeing these relations
and their resulting synergies will motivate the reader to attain a better
understanding of the subject as a whole. With this outcome in mind, we
have concentrated on the main ideas and theorems that have shaped the
¯eld (sometimes sacri¯cing a more systematic approach), and we have
been sensitive to the historical order in which the logic of the subject
developed.
We have organized our exposition into four volumes, each re°ecting
the material covered in a semester. Their contents may be broadly sum-
marized as follows:
I.Fourier series and integrals.
II.Complex analysis.
III.Measure theory, Lebesgue integration, and Hilbert spaces.
IV.A selection of further topics, including functional analysis, distri-
butions, and elements of probability theory.
However, this listing does not by itself give a complete picture of
the many interconnections that are presented, nor of the applications
to other branches that are highlighted. To give a few examples: the ele-
ments of (¯nite
characters, and from there to the in¯nitude of primes in an arithmetic
progression; theX-ray and Radon transforms, which arise in a number of

13. Ibookroot October 20, 2007
FOREWORD
problems in Book I, and reappear in Book III to play an important role in
understanding Besicovitch-like sets in two and three dimensions; Fatou's
theorem, which guarantees the existence of boundary values of bounded
holomorphic functions in the disc, and whose proof relies on ideas devel-
oped in each of the ¯rst three books; and the theta function, which ¯rst
occurs in Book I in the solution of the heat equation, and is then used
in Book II to ¯nd the number of ways an integer can be represented as
the sum of two or four squares, and in the analytic continuation of the
zeta function.
A few further words about the books and the courses on which they
were based. These courses where given at a rather intensive pace, with 48
lecture-hours a semester. The weekly problem sets played an indispens-
able part, and as a result exercises and problems have a similarly im-
portant role in our books. Each chapter has a series of \Exercises" that
are tied directly to the text, and while some are easy, others may require
more e®ort. However, the substantial number of hints that are given
should enable the reader to attack most exercises. There are also more
involved and challenging \Problems"; the ones that are most di±cult, or
go beyond the scope of the text, are marked with an asterisk.
Despite the substantial connections that exist between the di®erent
volumes, enough overlapping material has been provided so that each of
the ¯rst three books requires only minimal prerequisites: acquaintance
with elementary topics in analysis such as limits, series, di®erentiable
functions, and Riemann integration, together with some exposure to lin-
ear algebra. This makes these books accessible to students interested
in such diverse disciplines as mathematics, physics, engineering, and
¯nance, at both the undergraduate and graduate level.
It is with great pleasure that we express our appreciation to all who
have aided in this enterprise. We are particularly grateful to the stu-
dents who participated in the four courses. Their continuing interest,
enthusiasm, and dedication provided the encouragement that made this
project possible. We also wish to thank Adrian Banner and Jose Luis
Rodrigo for their special help in running the courses, and their e®orts to
see that the students got the most from each class. In addition, Adrian
Banner also made valuable suggestions that are incorporated in the text.
viii

14. Ibookroot October 20, 2007
ixFOREWORD
We wish also to record a note of special thanks for the following in-
dividuals: Charles Fe®erman, who taught the ¯rst week (successfully
launching the whole project!); Paul Hagelstein, who in addition to read-
ing part of the manuscript taught several weeks of one of the courses, and
has since taken over the teaching of the second round of the series; and
Daniel Levine, who gave valuable help in proof-reading. Last but not
least, our thanks go to Gerree Pecht, for her consummate skill in type-
setting and for the time and energy she spent in the preparation of all
aspects of the lectures, such as transparencies, notes, and the manuscript.
We are also happy to acknowledge our indebtedness for the support
we received from the 250th Anniversary Fund of Princeton University,
and the National Science Foundation's VIGRE program.
Elias M. Stein
Rami Shakarchi
Princeton, New Jersey
August 2002

16. Ibookroot October 20, 2007
Preface to Book I
Any e®ort to present an overall view of analysis must at its start deal
with the following questions: Where does one begin? What are the initial
subjects to be treated, and in what order are the relevant concepts and
basic techniques to be developed?
Our answers to these questions are guided by our view of the centrality
of Fourier analysis, both in the role it has played in the development of
the subject, and in the fact that its ideas permeate much of the present-
day analysis. For these reasons we have devoted this ¯rst volume to an
exposition of some basic facts about Fourier series, taken together with
a study of elements of Fourier transforms and ¯nite Fourier analysis.
Starting this way allows one to see rather easily certain applications to
other sciences, together with the link to such topics as partial di®erential
equations and number theory. In later volumes several of these connec-
tions will be taken up from a more systematic point of view, and the ties
that exist with complex analysis, real analysis, Hilbert space theory, and
other areas will be explored further.
In the same spirit, we have been mindful not to overburden the begin-
ning student with some of the di±culties that are inherent in the subject:
a proper appreciation of the subtleties and technical complications that
arise can come only after one has mastered some of the initial ideas in-
volved. This point of view has led us to the following choice of material
in the present volume:
²Fourier series. At this early stage it is not appropriate to intro-
duce measure theory and Lebesgue integration. For this reason
our treatment of Fourier series in the ¯rst four chapters is carried
out in the context of Riemann integrable functions. Even with this
restriction, a substantial part of the theory can be developed, de-
tailing convergence and summability; also, a variety of connections
with other problems in mathematics can be illustrated.
²Fourier transform. For the same reasons, instead of undertaking
the theory in a general setting, we con¯ne ourselves in Chapters 5
and 6 largely to the framework of test functions. Despite these lim-
itations, we can learn a number of basic and interesting facts about
Fourier analysis inR
d
and its relation to other areas, including the
wave equation and the Radon transform.

17. Ibookroot October 20, 2007
PREFACE TO BOOK I
²Finite Fourier analysis. This is an introductory subjectpar excel-
lence, because limits and integrals are not explicitly present. Nev-
ertheless, the subject has several striking applications, including
the proof of the in¯nitude of primes in arithmetic progression.
Taking into account the introductory nature of this ¯rst volume, we
have kept the prerequisites to a minimum. Although we suppose some
acquaintance with the notion of the Riemann integral, we provide an
appendix that contains most of the results about integration needed in
the text.
We hope that this approach will facilitate the goal that we have set
for ourselves: to inspire the interested reader to learn more about this
fascinating subject, and to discover how Fourier analysis a®ects decisively
other parts of mathematics and science.
xii

18. Ibookroot October 20, 2007
Contents
Foreword
Preface
Chapter 1. The Genesis of Fourier Analysis 1
1 The vibrating string 2
1.1 Derivation of the wave equation 6
1.2 Solution to the wave equation 8
1.3 Example: the plucked string 16
2 The heat equation 18
2.1 Derivation of the heat equation 18
2.2 Steady-state heat equation in the disc 19
3 Exercises 22
4 Problem 27
Chapter 2. Basic Properties of Fourier Series 29
1 Examples and formulation of the problem 30
1.1 Main de¯nitions and some examples 34
2 Uniqueness of Fourier series 39
3 Convolutions 44
4 Good kernels 48
5 Cesµaro and Abel summability: applications to Fourier series51
5.1 Cesµaro means and summation 51
5.2 Fej¶er's theorem 52
5.3 Abel means and summation 54
5.4 The Poisson kernel and Dirichlet's problem in the
unit disc 55
6 Exercises 58
7 Problems 65
Chapter 3. Convergence of Fourier Series 69
1 Mean-square convergence of Fourier series 70
1.1 Vector spaces and inner products 70
1.2 Proof of mean-square convergence 76
2 Return to pointwise convergence 81
2.1 A local result 81
2.2 A continuous function with diverging Fourier series83
vii
xi

19. Ibookroot October 20, 2007
CONTENTS
3 Exercises 87
4 Problems 95
Chapter 4. Some Applications of Fourier Series 100
1 The isoperimetric inequality 101
2 Weyl's equidistribution theorem 105
3 A continuous but nowhere di®erentiable function 113
4 The heat equation on the circle 118
5 Exercises 120
6 Problems 125
Chapter 5. The Fourier Transform on R 129
1 Elementary theory of the Fourier transform 131
1.1 Integration of functions on the real line 131
1.2 De¯nition of the Fourier transform 134
1.3 The Schwartz space 134
1.4 The Fourier transform onS 136
1.5 The Fourier inversion 140
1.6 The Plancherel formula 142
1.7 Extension to functions of moderate decrease 144
1.8 The Weierstrass approximation theorem 144
2 Applications to some partial di®erential equations 145
2.1 The time-dependent heat equation on the real line145
2.2 The steady-state heat equation in the upper half-
plane 149
3 The Poisson summation formula 153
3.1 Theta and zeta functions 155
3.2 Heat kernels 156
3.3 Poisson kernels 157
4 The Heisenberg uncertainty principle 158
5 Exercises 161
6 Problems 169
Chapter 6. The Fourier Transform on R
d
175
1 Preliminaries 176
1.1 Symmetries 176
1.2 Integration onR
d
178
2 Elementary theory of the Fourier transform 180
3 The wave equation inR
d
£R 184
3.1 Solution in terms of Fourier transforms 184
3.2 The wave equation inR
3
£R 189
xiv

20. Ibookroot October 20, 2007
CONTENTS
xv
3.3 The wave equation inR
2
£R: descent 194
4 Radial symmetry and Bessel functions 196
5 The Radon transform and some of its applications 198
5.1 TheX-ray transform inR
2
199
5.2 The Radon transform inR
3
201
5.3 A note about plane waves 207
6 Exercises 207
7 Problems 212
Chapter 7. Finite Fourier Analysis 218
1 Fourier analysis onZ(N) 219
1.1 The groupZ(N) 219
1.2 Fourier inversion theorem and Plancherel identity
onZ(N) 221
1.3 The fast Fourier transform 224
2 Fourier analysis on ¯nite abelian groups 226
2.1 Abelian groups 226
2.2 Characters 230
2.3 The orthogonality relations 232
2.4 Characters as a total family 233
2.5 Fourier inversion and Plancherel formula 235
3 Exercises 236
4 Problems 239
Chapter 8. Dirichlet's Theorem 241
1 A little elementary number theory 241
1.1 The fundamental theorem of arithmetic 241
1.2 The in¯nitude of primes 244
2 Dirichlet's theorem 252
2.1 Fourier analysis, Dirichlet characters, and reduc-
tion of the theorem 254
2.2 DirichletL-functions 255
3 Proof of the theorem 258
3.1 Logarithms 258
3.2L-functions 261
3.3 Non-vanishing of theL-function 265
4 Exercises 275
5 Problems 279
Appendix: Integration 281
1 De¯nition of the Riemann integral 281

21. Ibookroot October 20, 2007
x CONTENTS
1.1 Basic properties 282
1.2 Sets of measure zero and discontinuities of inte-
grable functions 286
2 Multiple integrals 289
2.1 The Riemann integral inR
d
289
2.2 Repeated integrals 291
2.3 The change of variables formula 292
2.4 Spherical coordinates 293
3 Improper integrals. Integration overR
d
294
3.1 Integration of functions of moderate decrease 294
3.2 Repeated integrals 295
3.3 Spherical coordinates 297
Notes and References 298
Bibliography 300
Symbol Glossary 303
Index 305
vi

22. Ibookroot October 20, 2007
1The Genesis of Fourier
Analysis
Regarding the researches of d'Alembert and Euler could
one not add that if they knew this expansion, they
made but a very imperfect use of it. They were both
persuaded that an arbitrary and discontinuous func-
tion could never be resolved in series of this kind, and
it does not even seem that anyone had developed a
constant in cosines of multiple arcs, the ¯rst problem
which I had to solve in the theory of heat.
J. Fourier,1808-9
In the beginning, it was the problem of the vibrating string, and the
later investigation of heat °ow, that led to the development of Fourier
analysis. The laws governing these distinct physical phenomena were
expressed by two di®erent partial di®erential equations, the wave and
heat equations, and these were solved in terms of Fourier series.
Here we want to start by describing in some detail the development
of these ideas. We will do this initially in the context of the problem of
the vibrating string, and we will proceed in three steps. First, we de-
scribe several physical (empirical
ing mathematical ideas of importance for our study. These are: the role
of the functions cost, sint, ande
it
suggested by simple harmonic mo-
tion; the use of separation of variables, derived from the phenomenon
of standing waves; and the related concept of linearity, connected to the
superposition of tones. Next, we derive the partial di®erential equation
which governs the motion of the vibrating string. Finally, we will use
what we learned about the physical nature of the problem (expressed
mathematically) to solve the equation. In the last section, we use the
same approach to study the problem of heat di®usion.
Given the introductory nature of this chapter and the subject matter
covered, our presentation cannot be based on purely mathematical rea-
soning. Rather, it proceeds by plausibility arguments and aims to provide
the motivation for the further rigorous analysis in the succeeding chap-
ters. The impatient reader who wishes to begin immediately with the
theorems of the subject may prefer to pass directly to the next chapter.

23. Ibookroot October 20, 2007
2 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
1 The vibrating string
The problem consists of the study of the motion of a string ¯xed at
its end points and allowed to vibrate freely. We have in mind physical
systems such as the strings of a musical instrument. As we mentioned
above, we begin with a brief description of several observable physical
phenomena on which our study is based. These are:
²simple harmonic motion,
²standing and traveling waves,
²harmonics and superposition of tones.
Understanding the empirical facts behind these phenomena will moti-
vate our mathematical approach to vibrating strings.
Simple harmonic motion
Simple harmonic motion describes the behavior of the most basic oscil-
latory system (called the simple harmonic oscillator), and is therefore
a natural place to start the study of vibrations. Consider a massfmg
attached to a horizontal spring, which itself is attached to a ¯xed wall,
and assume that the system lies on a frictionless surface.
Choose an axis whose origin coincides with the center of the mass when
it is at rest (that is, the spring is neither stretched nor compressed), as
shown in Figure 1. When the mass is displaced from its initial equilibrium
m
0y y(t)y
m
0
Figure 1.Simple harmonic oscillator
position and then released, it will undergosimple harmonic motion.
This motion can be described mathematically once we have found the
di®erential equation that governs the movement of the mass.
Lety(t) denote the displacement of the mass at timet. We assume that
the spring is ideal, in the sense that it satis¯es Hooke's law: the restoring
forceFexerted by the spring on the mass is given byF=¡ky(t). Here

24. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 3
k >0 is a given physical quantity called the spring constant. Applying
Newton's law (force = mass£acceleration), we obtain
¡ky(t) =my
00
(t);
where we use the notationy
00
to denote the second derivative ofywith
respect tot. Withc=
p
k=m, this second order ordinary di®erential
equation becomes
(1 y
00
(t) +c
2
y(t) = 0:
The general solution of equation (1
y(t) =acosct+bsinct ;
whereaandbare constants. Clearly, all functions of this form solve
equation (1
(twice di®erentiable) solutions of that di®erential equation.
In the above expression fory(t), the quantitycis given, butaandb
can be any real numbers. In order to determine the particular solution
of the equation, we must impose two initial conditions in view of the
two unknown constantsaandb. For example, if we are giveny(0
y
0
(0
the physical problem is unique and given by
y(t) =y(0ct+
y
0
(0
c
sinct :
One can easily verify that there exist constantsA >0 and'2Rsuch
that
acosct+bsinct=Acos(ct¡'):
Because of the physical interpretation given above, one callsA=
p
a
2
+b
2
the \amplitude" of the motion,cits atural frequency,"'its \phase"
(uniquely determined up to an integer multiple of 2¼), and 2¼=cthe
\period" of the motion.
The typical graph of the functionAcos(ct¡'), illustrated in
Figure 2, exhibits a wavelike pattern that is obtained from translating
and stretching (or shrinking) the usual graph of cost.
We make two observations regarding our examination of simple har-
monic motion. The ¯rst is that the mathematical description of the most
elementary oscillatory system, namely simple harmonic motion, involves

25. Ibookroot October 20, 2007
4 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
Figure 2.The graph ofAcos(ct¡')
the most basic trigonometric functions costand sint. It will be impor-
tant in what follows to recall the connection between these functions
and complex numbers, as given in Euler's identitye
it
= cost+isint.
The second observation is that simple harmonic motion is determined as
a function of time by two initial conditions, one determining the position,
and the other the velocity (speci¯ed, for example, at timet= 0). This
property is shared by more general oscillatory systems, as we shall see
below.
Standing and traveling waves
As it turns out, the vibrating string can be viewed in terms of one-
dimensional wave motions. Here we want to describe two kinds of mo-
tions that lend themselves to simple graphic representations.
²First, we considerstanding waves. These are wavelike motions
described by the graphsy=u(x; t) developing in timetas shown
in Figure 3.
In other words, there is an initial pro¯ley='(x) representing the
wave at timet= 0, and an amplifying factorÃ(t), depending ont,
so thaty=u(x; t) with
u(x; t) ='(x)Ã(t):
The nature of standing waves suggests the mathematical idea of
\separation of variables," to which we will return later.
²A second type of wave motion that is often observed in nature is
that of atraveling wave. Its description is particularly simple:

26. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 5
u(x;0) ='(x)
u(x; t0)
x
y
Figure 3.A standing wave at di®erent moments in time:t= 0 and
t=t0
there is an initial pro¯leF(x) so thatu(x; t) equalsF(x) when
t= 0. Astevolves, this pro¯le is displaced to the right byctunits,
wherecis a positive constant, namely
u(x; t) =F(x¡ct):
Graphically, the situation is depicted in Figure 4.
F(x) F(x¡ct0)
Figure 4.A traveling wave at two di®erent moments in time:t= 0 and
t=t0
Since the movement intis at the ratec, that constant represents the
velocityof the wave. The functionF(x¡ct) is a one-dimensional
traveling wave moving to the right. Similarly,u(x; t) =F(x+ct)
is a one-dimensional traveling wave moving to the left.

27. Ibookroot October 20, 2007
6 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
Harmonics and superposition of tones
The ¯nal physical observation we want to mention (without going into
any details now) is one that musicians have been aware of since time
immemorial. It is the existence of harmonics, or overtones. Thepure
tonesare accompanied by combinations ofovertoneswhich are primar-
ily responsible for the timbre (or tone color) of the instrument. The idea
of combination or superposition of tones is implemented mathematically
by the basic concept of linearity, as we shall see below.
We now turn our attention to our main problem, that of describing the
motion of a vibrating string. First, we derive the wave equation, that is,
the partial di®erential equation that governs the motion of the string.
1.1 Derivation of the wave equation
Imagine a homogeneous string placed in the (x; y)-plane, and stretched
along thex-axis betweenx= 0 andx=L. If it is set to vibrate, its
displacementy=u(x; t) is then a function ofxandt, and the goal is to
derive the di®erential equation which governs this function.
For this purpose, we consider the string as being subdivided into a
large numberNof masses (which we think of as individual particles)
distributed uniformly along thex-axis, so that then
th
particle has its
x-coordinate atxn=nL=N. We shall therefore conceive of the vibrat-
ing string as a complex system ofNparticles, each oscillating in the
vertical direction only; however, unlike the simple harmonic oscillator we
considered previously, each particle will have its oscillation linked to its
immediate neighbor by the tension of the string.
yn¡1
yn
yn+1
xn¡1 xn+1xn
h
Figure 5.A vibrating string as a discrete system of masses

28. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 7
We then setyn(t) =u(xn; t), and note thatxn+1¡xn=h, withh=
L=N. If we assume that the string has constant density½ >0, it is
reasonable to assign mass equal to½hto each particle. By Newton's law,
½hy
00
n(t) equals the force acting on then
th
particle. We now make the
simple assumption that this force is due to the e®ect of the two nearby
particles, the ones withx-coordinates atxn¡1andxn+1(see Figure 5).
We further assume that the force (or tension) coming from the right of
then
th
particle is proportional to (yn+1¡yn)=h, wherehis the distance
betweenxn+1andxn; hence we can write the tension as
³
¿
h
´
(yn+1¡yn);
where¿ >0 is a constant equal to the coe±cient of tension of the string.
There is a similar force coming from the left, and it is
³
¿
h
´
(yn¡1¡yn):
Altogether, adding these forces gives us the desired relation between the
oscillatorsyn(t), namely
(2 ½hy
00
n(t) =
¿
h
fyn+1(t) +yn¡1(t)¡2yn(t)g:
On the one hand, with the notation chosen above, we see that
yn+1(t) +yn¡1(t)¡2yn(t) =u(xn+h; t) +u(xn¡h; t)¡2u(xn; t):
On the other hand, for any reasonable functionF(x) (that is, one that
has continuous second derivatives) we have
F(x+h) +F(x¡h)¡2F(x)
h
2
!F
00
(x) ash!0.
Thus we may conclude, after dividing byhin (2 htend to
zero (that is,Ngoes to in¯nity), that
½
@
2
u
@t
2
=¿
@
2
u
@x
2
;
or
1
c
2
@
2
u
@t
2
=
@
2
u
@x
2
;withc=
p
¿=½:
This relation is known as theone-dimensional wave equation, or
more simply as thewave equation. For reasons that will be apparent
later, the coe±cientc >0 is called thevelocityof the motion.

29. Ibookroot October 20, 2007
8 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
In connection with this partial di®erential equation, we make an im-
portant simplifying mathematical remark. This has to do withscaling,
or in the language of physics, a \change of units." That is, we can think of
the coordinatexasx=aXwhereais an appropriate positive constant.
Now, in terms of the new coordinateX, the interval 0·x·Lbecomes
0·X·L=a. Similarly, we can replace the time coordinatetbyt=bT,
wherebis another positive constant. If we setU(X; T) =u(x; t), then
@U
@X
=a
@u
@x
;
@
2
U
@X
2
=a
2
@
2
u
@x
2
;
and similarly for the derivatives int. So if we chooseaandbappropri-
ately, we can transform the one-dimensional wave equation into
@
2
U
@T
2
=
@
2
U
@X
2
;
which has the e®ect of setting the velocitycequal to 1. Moreover, we have
the freedom to transform the interval 0·x·Lto 0·X·¼. (We shall
see that the choice of¼is convenient in many circumstances.) All this
is accomplished by takinga=L=¼andb=L=(c¼). Once we solve the
new equation, we can of course return to the original equation by making
the inverse change of variables. Hence, we do not sacri¯ce generality by
thinking of the wave equation as given on the interval [0; ¼] with velocity
c= 1.
1.2 Solution to the wave equation
Having derived the equation for the vibrating string, we now explain two
methods to solve it:
²using traveling waves,
²using the superposition of standing waves.
While the ¯rst approach is very simple and elegant, it does not directly
give full insight into the problem; the second method accomplishes that,
and moreover is of wide applicability. It was ¯rst believed that the second
method applied only in the simple cases where the initial position and
velocity of the string were themselves given as a superposition of standing
waves. However, as a consequence of Fourier's ideas, it became clear that
the problem could be worked either way for all initial conditions.

30. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 9
Traveling waves
To simplify matters as before, we assume thatc= 1 andL=¼, so that
the equation we wish to solve becomes
@
2
u
@t
2
=
@
2
u
@x
2
on 0·x·¼:
The crucial observation is the following: ifFis any twice di®erentiable
function, thenu(x; t) =F(x+t) andu(x; t) =F(x¡t) solve the wave
equation. The veri¯cation of this is a simple exercise in di®erentiation.
Note that the graph ofu(x; t) =F(x¡t) at timet= 0 is simply the
graph ofF, and that at timet= 1 it becomes the graph ofFtranslated
to the right by 1. Therefore, we recognize thatF(x¡t) is a traveling
wave which travels to the right with speed 1. Similarly,u(x; t) =F(x+t)
is a wave traveling to the left with speed 1. These motions are depicted
in Figure 6.
F(x+t) F(x) F(x¡t)
Figure 6.Waves traveling in both directions
Our discussion of tones and their combinations leads us to observe
that the wave equation islinear. This means that ifu(x; t) andv(x; t)
are particular solutions, then so is®u(x; t) +¯v(x; t), where®and¯
are any constants. Therefore, we may superpose two waves traveling in
opposite directions to ¯nd that wheneverFandGare twice di®erentiable
functions, then
u(x; t) =F(x+t) +G(x¡t)
is a solution of the wave equation. In fact, we now show that all solutions
take this form.
We drop for the moment the assumption that 0·x·¼, and suppose
thatuis a twice di®erentiable function which solves the wave equation

31. Ibookroot October 20, 2007
10 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
for all realxandt. Consider the following new set of variables»=x+t,
´=x¡t, and de¯nev(»; ´) =u(x; t). The change of variables formula
shows thatvsatis¯es
@
2
v
@»@´
= 0:
Integrating this relation twice givesv(»; ´) =F(») +G(´), which then
implies
u(x; t) =F(x+t) +G(x¡t);
for some functionsFandG.
We must now connect this result with our original problem, that is,
the physical motion of a string. There, we imposed the restrictions 0·
x·¼, the initial shape of the stringu(x;0) =f(x), and also the fact
that the string has ¯xed end points, namelyu(0; t) =u(¼; t) = 0 for all
t. To use the simple observation above, we ¯rst extendfto all ofRby
making it odd
1
on [¡¼; ¼], and then periodic
2
inxof period 2¼, and
similarly foru(x; t), the solution of our problem. Then the extensionu
solves the wave equation on all ofR, andu(x;0) =f(x) for allx2R.
Therefore,u(x; t) =F(x+t) +G(x¡t), and settingt= 0 we ¯nd that
F(x) +G(x) =f(x):
Since many choices ofFandGwill satisfy this identity, this suggests
imposing another initial condition onu(similar to the two initial condi-
tions in the case of simple harmonic motion), namely the initial velocity
of the string which we denote byg(x):
@u
@t
(x;0) =g(x);
where of courseg(0g(¼) = 0. Again, we extendgtoR¯rst by mak-
ing it odd over [¡¼; ¼], and then periodic of period 2¼. The two initial
conditions of position and velocity now translate into the following sys-
tem:
½
F(x) +G(x) =f(x);
F
0
(x)¡G
0
(x) =g(x):
1
A functionfde¯ned on a setUisoddif¡x2Uwheneverx2Uandf(¡x) =¡f(x),
andeveniff(¡x) =f(x).
2
A functionfonRisperiodicof period!iff(x+!) =f(x) for allx.

32. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 11
Di®erentiating the ¯rst equation and adding it to the second, we obtain
2F
0
(x) =f
0
(x) +g(x):
Similarly
2G
0
(x) =f
0
(x)¡g(x);
and hence there are constantsC1andC2so that
F(x) =
1
2
·
f(x) +
Z
x
0
g(y)dy
¸
+C1
and
G(x) =
1
2
·
f(x)¡
Z
x
0
g(y)dy
¸
+C2:
SinceF(x) +G(x) =f(x) we conclude thatC1+C2= 0, and therefore,
our ¯nal solution of the wave equation with the given initial conditions
takes the form
u(x; t) =
1
2
[f(x+t) +f(x¡t)] +
1
2
Z
x+t
x¡t
g(y)dy:
The form of this solution is known asd'Alembert's formula. Observe
that the extensions we chose forfandgguarantee that the string always
has ¯xed ends, that is,u(0; t) =u(¼; t) = 0 for allt.
A ¯nal remark is in order. The passage fromt¸0 tot2R, and then
back tot¸0, which was made above, exhibits the time reversal property
of the wave equation. In other words, a solutionuto the wave equation
fort¸0, leads to a solutionu
¡
de¯ned for negative timet <0 simply
by settingu
¡
(x; t) =u(x;¡t), a fact which follows from the invariance
of the wave equation under the transformationt7! ¡t. The situation is
quite di®erent in the case of the heat equation.
Superposition of standing waves
We turn to the second method of solving the wave equation, which is
based on two fundamental conclusions from our previous physical obser-
vations. By our considerations of standing waves, we are led to look for
special solutions to the wave equation which are of the form'(x)Ã(t).
This procedure, which works equally well in other contexts (in the case
of the heat equation, for instance), is calledseparation of variables
and constructs solutions that are called pure tones. Then by the linearity

33. Ibookroot October 20, 2007
12 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
of the wave equation, we can expect to combine these pure tones into a
more complex combination of sound. Pushing this idea further, we can
hope ultimately to express the general solution of the wave equation in
terms of sums of these particular solutions.
Note that one side of the wave equation involves only di®erentiation
inx, while the other, only di®erentiation int. This observation pro-
vides another reason to look for solutions of the equation in the form
u(x; t) ='(x)Ã(t) (that is, to \separate variables"), the hope being to
reduce a di±cult partial di®erential equation into a system of simpler
ordinary di®erential equations. In the case of the wave equation, withu
of the above form, we get
'(x)Ã
00
(t) ='
00
(x)Ã(t);
and therefore
Ã
00
(t)
Ã(t)
=
'
00
(x)
'(x)
:
The key observation here is that the left-hand side depends only ont,
and the right-hand side only onx. This can happen only if both sides
are equal to a constant, say¸. Therefore, the wave equation reduces to
the following
(3
½
Ã
00
(t)¡¸Ã(t) = 0
'
00
(x)¡¸'(x) = 0:
We focus our attention on the ¯rst equation in the above system. At
this point, the reader will recognize the equation we obtained in the
study of simple harmonic motion. Note that we need to consider only
the case when¸ <0, since when¸¸0 the solutionÃwill not oscillate
as time varies. Therefore, we may write¸=¡m
2
, and the solution of
the equation is then given by
Ã(t) =Acosmt+Bsinmt:
Similarly, we ¯nd that the solution of the second equation in (3
'(x) =
~
Acosmx+
~
Bsinmx:
Now we take into account that the string is attached atx= 0 andx=¼.
This translates into'(0'(¼) = 0, which in turn gives
~
A= 0, and
if
~
B6= 0, thenmmust be an integer. Ifm= 0, the solution vanishes
identically, and ifm· ¡1, we may rename the constants and reduce to

34. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 13
the casem¸1 since the function sinyis odd and cosyis even. Finally,
we arrive at the guess that for eachm¸1, the function
um(x; t) = (Amcosmt+Bmsinmt) sinmx;
which we recognize as astanding wave, is a solution to the wave equa-
tion. Note that in the above argument we divided by'andÃ, which
sometimes vanish, so one must actually check by hand that the standing
waveumsolves the equation. This straightforward calculation is left as
an exercise to the reader.
Before proceeding further with the analysis of the wave equation, we
pause to discuss standing waves in more detail. The terminology comes
from looking at the graph ofum(x; t) for each ¯xedt. Suppose ¯rst that
m= 1, and takeu(x; t) = costsinx. Then, Figure 7 (a
ofufor di®erent values oft.(b)(a)
0¡¼ 2¼
0 ¼
¡2¼
¼ 2¼¡¼
¡2¼
Figure 7.Fundamental tone (a
in time
The casem= 1 corresponds to thefundamental toneor¯rst har-
monicof the vibrating string.
We now takem= 2 and look atu(x; t) = cos 2tsin 2x. This corre-
sponds to the¯rst overtoneorsecond harmonic, and this motion is
described in Figure 7 (b u(¼=2; t) = 0 for allt. Such points,
which remain motionless in time, are called nodes, while points whose
motion has maximum amplitude are named anti-nodes.
For higher values ofmwe get more overtones or higher harmonics.
Note that asmincreases, the frequency increases, and the period 2¼=m

35. Ibookroot October 20, 2007
14 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
decreases. Therefore, the fundamental tone has a lower frequency than
the overtones.
We now return to the original problem. Recall that the wave equation
is linear in the sense that ifuandvsolve the equation, so does®u+¯v
for any constants®and¯. This allows us to construct more solutions
by taking linear combinations of the standing wavesum. This technique,
calledsuperposition, leads to our ¯nal guess for a solution of the wave
equation
(4 u(x; t) =
1
X
m=1
(Amcosmt+Bmsinmt) sinmx:
Note that the above sum is in¯nite, so that questions of convergence
arise, but since most of our arguments so far are formal, we will not
worry about this point now.
Suppose the above expression gaveallthe solutions to the wave equa-
tion. If we then require that the initial position of the string at time
t= 0 is given by the shape of the graph of the functionfon [0; ¼], with
of coursef(0f(¼) = 0, we would haveu(x;0) =f(x), hence
1
X
m=1
Amsinmx=f(x):
Since the initial shape of the string can be any reasonable functionf, we
must ask the following basic question:
Given a functionfon [0; ¼] (withf(0f(¼) = 0), can we
¯nd coe±cientsAmso that
(5 f(x) =
1
X
m=1
Amsinmx?
This question is stated loosely, but a lot of our e®ort in the next two
chapters of this book will be to formulate the question precisely and
attempt to answer it. This was the basic problem that initiated the
study of Fourier analysis.
A simple observation allows us to guess a formula givingAmif the
expansion (5 nx

36. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 15
and integrate between [0; ¼]; working formally, we obtain
Z
¼
0
f(x) sinnx dx=
Z
¼
0
Ã
1
X
m=1
Amsinmx
!
sinnx dx
=
1
X
m=1
Am
Z
¼
0
sinmxsinnx dx=An¢
¼
2
;
where we have used the fact that
Z
¼
0
sinmxsinnx dx=
½
0 ifm6=n,
¼=2 ifm=n.
Therefore, the guess forAn, called then
th
Fourier sine coe±cient off,
is
(6 An=
2
¼
Z
¼
0
f(x) sinnx dx:
We shall return to this formula, and other similar ones, later.
One can transform the question about Fourier sine series on [0; ¼] to
a more general question on the interval [¡¼; ¼]. If we could expressf
on [0; ¼] in terms of a sine series, then this expansion would also hold on
[¡¼; ¼] if we extendfto this interval by making it odd. Similarly, one
can ask if an even functiong(x) on [¡¼; ¼] can be expressed as a cosine
series, namely
g(x) =
1
X
m=0
A
0
mcosmx:
More generally, since an arbitrary functionFon [¡¼; ¼] can be expressed
asf+g, wherefis odd andgis even,
3
we may ask ifFcan be written
as
F(x) =
1
X
m=1
Amsinmx+
1
X
m=0
A
0
mcosmx;
or by applying Euler's identitye
ix
= cosx+isinx, we could hope that
Ftakes the form
F(x) =
1
X
m=¡1
ame
imx
:
3
Take, for example,f(x) = [F(x)¡F(¡x)]=2 andg(x) = [F(x) +F(¡x)]=2.

37. Ibookroot October 20, 2007
16 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
By analogy with (6
1
2¼
Z
¼
¡¼
e
imx
e
¡inx
dx=
½
0 ifn6=m
1 ifn=m,
to see that one expects that
an=
1
2¼
Z
¼
¡¼
F(x)e
¡inx
dx:
The quantityanis called then
th
Fourier coe±cientofF.
We can now reformulate the problem raised above:
Question:Given any reasonable functionFon [¡¼; ¼], with
Fourier coe±cients de¯ned above, is it true that
(7 F(x) =
1
X
m=¡1
ame
imx
?
This formulation of the problem, in terms of complex exponentials, is
the form we shall use the most in what follows.
Joseph Fourier (1768-1830
functionFcould be given as a series (7
that any function is the linear combination (possibly in¯nite) of the most
basic trigonometric functions sinmxand cosmx, wheremranges over
the integers.
4
Although this idea was implicit in earlier work, Fourier had
the conviction that his predecessors lacked, and he used it in his study
of heat di®usion; this began the subject of \Fourier analysis." This
discipline, which was ¯rst developed to solve certain physical problems,
has proved to have many applications in mathematics and other ¯elds as
well, as we shall see later.
We return to the wave equation. To formulate the problem correctly,
we must impose two initial conditions, as our experience with simple
harmonic motion and traveling waves indicated. The conditions assign
the initial position and velocity of the string. That is, we require thatu
satisfy the di®erential equation and the two conditions
u(x;0) =f(x) and
@u
@t
(x;0) =g(x);
4
The ¯rst proof that a general class of functions can be represented by Fourier series
was given later by Dirichlet; see Problem 6, Chapter 4.

38. Ibookroot October 20, 2007
1. The vibrating string 17
wherefandgare pre-assigned functions. Note that this is consistent
with (4 fandgbe expressible as
f(x) =
1
X
m=1
Amsinmxandg(x) =
1
X
m=1
mBmsinmx:
1.3 Example: the plucked string
We now apply our reasoning to the particular problem of the plucked
string. For simplicity we choose units so that the string is taken on the
interval [0; ¼], and it satis¯es the wave equation withc= 1. The string is
assumed to be plucked to heighthat the pointpwith 0< p < ¼; this is
the initial position. That is, we take as our initial position the triangular
shape given by
f(x) =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
xh
p
for 0·x·p
h(¼¡x)
¼¡p
forp·x·¼,
which is depicted in Figure 8.
0
h
p ¼
Figure 8.Initial position of a plucked string
We also choose an initial velocityg(x) identically equal to 0. Then, we
can compute the Fourier coe±cients off(Exercise 9), and assuming that
the answer to the question raised before (5
f(x) =
1
X
m=1
AmsinmxwithAm=
2h
m
2
sinmp
p(¼¡p)
:

39. Ibookroot October 20, 2007
18 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
Thus
(8 u(x; t) =
1
X
m=1
Amcosmtsinmx;
and note that this series converges absolutely. The solution can also be
expressed in terms of traveling waves. In fact
(9 u(x; t) =
f(x+t) +f(x¡t)
2
:
Heref(x) is de¯ned for allxas follows: ¯rst,fis extended to [¡¼; ¼] by
making it odd, and thenfis extended to the whole real line by making
it periodic of period 2¼, that is,f(x+ 2¼k) =f(x) for all integersk.
Observe that (8
cosvsinu=
1
2
[sin(u+v) + sin(u¡v)]:
As a ¯nal remark, we should note an unsatisfactory aspect of the so-
lution to this problem, which however is in the nature of things. Since
the initial dataf(x) for the plucked string is not twice continuously dif-
ferentiable, neither is the functionu(given by (9 uis not truly
a solution of the wave equation: whileu(x; t) does represent the position
of the plucked string, it does not satisfy the partial di®erential equation
we set out to solve! This state of a®airs may be understood properly
only if we realize thatudoes solve the equation, but in an appropriate
generalized sense. A better understanding of this phenomenon requires
ideas relevant to the study of \weak solutions" and the theory of \dis-
tributions." These topics we consider only later, in Books III and IV.
2 The heat equation
We now discuss the problem of heat di®usion by following the same
framework as for the wave equation. First, we derive the time-dependent
heat equation, and then study the steady-state heat equation in the disc,
which leads us back to the basic question (7
2.1 Derivation of the heat equation
Consider an in¯nite metal plate which we model as the planeR
2
, and
suppose we are given an initial heat distribution at timet= 0. Let the
temperature at the point (x; y) at timetbe denoted byu(x; y; t).

40. Ibookroot October 20, 2007
2. The heat equation 19
Consider a small square centered at (x0; y0) with sides parallel to the
axis and of side lengthh, as shown in Figure 9. The amount of heat
energy inSat timetis given by
H(t) =¾
Z Z
S
u(x; y; t)dx dy ;
where¾ >0 is a constant called the speci¯c heat of the material. There-
fore, the heat °ow intoSis
@H
@t
=¾
Z Z
S
@u
@t
dx dy ;
which is approximately equal to
¾h
2
@u
@t
(x0; y0; t);
since the area ofSish
2
. Now we apply Newton's law of cooling, which
states that heat °ows from the higher to lower temperature at a rate
proportional to the di®erence, that is, the gradient.
(x0+h=2; y0)(x0; y0)
h
h
Figure 9.Heat °ow through a small square
The heat °ow through the vertical side on the right is therefore
¡·h
@u
@x
(x0+h=2; y0; t);
where· >0 is the conductivity of the material. A similar argument for
the other sides shows that the total heat °ow through the squareSis

41. Ibookroot October 20, 2007
20 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
given by
·h
"
@u
@x
(x0+h=2; y0; t)¡
@u
@x
(x0¡h=2; y0; t)
+
@u
@y
(x0; y0+h=2; t)¡
@u
@y
(x0; y0¡h=2; t)
#
:
Applying the mean value theorem and lettinghtend to zero, we ¯nd
that
¾
·
@u
@t
=
@
2
u
@x
2
+
@
2
u
@y
2
;
this is called thetime-dependent heat equation, often abbreviated
to the heat equation.
2.2 Steady-state heat equation in the disc
After a long period of time, there is no more heat exchange, so that
the system reaches thermal equilibrium and@u=@t= 0. In this case,
the time-dependent heat equation reduces to thesteady-state heat
equation
(10
@
2
u
@x
2
+
@
2
u
@y
2
= 0:
The operator@
2
=@x
2
+@
2
=@y
2
is of such importance in mathematics and
physics that it is often abbreviated as4and given a name: the Laplace
operator orLaplacian. So the steady-state heat equation is written as
4u= 0;
and solutions to this equation are calledharmonic functions.
Consider the unit disc in the plane
D=f(x; y)2R
2
:x
2
+y
2
<1g;
whose boundary is the unit circleC. In polar coordinates (r; µ), with
0·rand 0·µ <2¼, we have
D=f(r; µ) : 0·r <1gandC=f(r; µ) :r= 1g:
The problem, often called theDirichlet problem(for the Laplacian
on the unit disc), is to solve the steady-state heat equation in the unit

42. Ibookroot October 20, 2007
2. The heat equation 21
disc subject to the boundary conditionu=fonC. This corresponds to
¯xing a predetermined temperature distribution on the circle, waiting a
long time, and then looking at the temperature distribution inside the
disc.
u(1; µ) =f(µ)
x
y
0
4u= 0
Figure 10.The Dirichlet problem for the disc
While the method of separation of variables will turn out to be useful
for equation (10
condition is not easily expressed in terms of rectangular coordinates.
Since this boundary condition is best described by the coordinates (r; µ),
namelyu(1; µ) =f(µ), we rewrite the Laplacian in polar coordinates. An
application of the chain rule gives (Exercise 10):
4u=
@
2
u
@r
2
+
1
r
@u
@r
+
1
r
2
@
2
u
@µ
2
:
We now multiply both sides byr
2
, and since4u= 0, we get
r
2
@
2
u
@r
2
+r
@u
@r
=¡
@
2
u
@µ
2
:
Separating these variables, and looking for a solution of the form
u(r; µ) =F(r)G(µ), we ¯nd
r
2
F
00
(r) +rF
0
(r)
F(r)
=¡
G
00
(µ)
G(µ)
:

43. Ibookroot October 20, 2007
22 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
Since the two sides depend on di®erent variables, they must both be
constant, say equal to¸. We therefore get the following equations:
½
G
00
(µ) +¸G(µ) = 0;
r
2
F
00
(r) +rF
0
(r)¡¸F(r) = 0:
SinceGmust be periodic of period 2¼, this implies that¸¸0 and (as
we have seen before) that¸=m
2
wheremis an integer; hence
G(µ) =
~
Acosmµ+
~
Bsinmµ:
An application of Euler's identity,e
ix
= cosx+isinx, allows one to
rewriteGin terms of complex exponentials,
G(µ) =Ae
imµ
+Be
¡imµ
:
With¸=m
2
andm6= 0, two simple solutions of the equation inFare
F(r) =r
m
andF(r) =r
¡m
(Exercise 11 gives further information about
these solutions). Ifm= 0, thenF(r) = 1 andF(r) = lograre two solu-
tions. Ifm >0, we note thatr
¡m
grows unboundedly large asrtends
to zero, soF(r)G(µ) is unbounded at the origin; the same occurs when
m= 0 andF(r) = logr. We reject these solutions as contrary to our
intuition. Therefore, we are left with the following special functions:
um(r; µ) =r
jmj
e
imµ
; m2Z:
We now make the important observation that (10linear, and so as
in the case of the vibrating string, we may superpose the above special
solutions to obtain the presumed general solution:
u(r; µ) =
1
X
m=¡1
amr
jmj
e
imµ
:
If this expression gave all the solutions to the steady-state heat equation,
then for a reasonablefwe should have
u(1; µ) =
1
X
m=¡1
ame
imµ
=f(µ):
We therefore ask again in this context: given any reasonable functionf
on [0;2¼] withf(0f(2¼), can we ¯nd coe±cientsamso that
f(µ) =
1
X
m=¡1
ame
imµ
?

44. Ibookroot October 20, 2007
3. Exercises 23
Historical Note:D'Alembert (in 1747) ¯rst solved the equation of the
vibrating string using the method of traveling waves. This solution was
elaborated by Euler a year later. In 1753, D. Bernoulli proposed the
solution which for all intents and purposes is the Fourier series given
by (4
this could hold only if an \arbitrary" function could be expanded in
Fourier series. D'Alembert and other mathematicians also had doubts.
This viewpoint was changed by Fourier (in 1807) in his study of the
heat equation, where his conviction and work eventually led others to a
complete proof that a general function could be represented as a Fourier
series.
3 Exercises
1.Ifz=x+iyis a complex number withx; y2R, we de¯ne
jzj= (x
2
+y
2
)
1=2
and call this quantity themodulusorabsolute valueofz.
(aWhat is the geometric interpretation ofjzj?
(bShow that ifjzj= 0, thenz= 0.
(cShow that if¸2R, thenj¸zj=j¸jjzj, wherej¸jdenotes the standard
absolute value of a real number.
(dIfz1andz2are two complex numbers, prove that
jz1z2j=jz1jjz2jandjz1+z2j · jz1j+jz2j:
(eShow that ifz6= 0, thenj1=zj= 1=jzj.
2.Ifz=x+iyis a complex number withx; y2R, we de¯ne thecomplex
conjugateofzby
z=x¡iy:
(aWhat is the geometric interpretation ofz?
(bShow thatjzj
2
=zz.
(cProve that ifzbelongs to the unit circle, then 1=z=z.

45. Ibookroot October 20, 2007
24 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
3.A sequence of complex numbersfwng
1
n=1
is said to converge if there exists
w2Csuch that
lim
n!1
jwn¡wj= 0;
and we say thatwis a limit of the sequence.
(aShow that a converging sequence of complex numbers has a unique limit.
The sequencefwng
1
n=1
is said to be aCauchy sequenceif for every² >0 there
exists a positive integerNsuch that
jwn¡wmj< ²whenevern; m > N:
(bProve that a sequence of complex numbers converges if and only if it is a
Cauchy sequence. [Hint: A similar theorem exists for the convergence of a
sequence of real numbers. Why does it carry over to sequences of complex
numbers?]
A series
P
1
n=1
znof complex numbers is said to converge if the sequence formed
by the partial sums
SN=
N
X
n=1
zn
converges. Letfang
1
n=1
be a sequence of non-negative real numbers such that
the series
P
n
anconverges.
(cShow that iffzng
1
n=1
is a sequence of complex numbers satisfying
jznj ·anfor alln, then the series
P
n
znconverges. [Hint: Use the Cauchy
criterion.]
4.Forz2C, we de¯ne thecomplex exponentialby
e
z
=
1
X
n=0
z
n
n!
:
(aProve that the above de¯nition makes sense, by showing that the series
converges for every complex numberz. Moreover, show that the conver-
gence is uniform
5
on every bounded subset ofC.
(bIfz1; z2are two complex numbers, prove thate
z1
e
z2
=e
z1+z2
. [Hint: Use
the binomial theorem to expand (z1+z2)
n
, as well as the formula for the
binomial coe±cients.]
5
A sequence of functionsffn(z)g
1
n=1
is said to be uniformly convergent on a setSif
there exists a functionfonSso that for every² >0 there is an integerNsuch that
jfn(z)¡f(z)j< ²whenevern > Nandz2S.

46. Ibookroot October 20, 2007
3. Exercises 25
(cShow that ifzis purely imaginary, that is,z=iywithy2R, then
e
iy
= cosy+isiny:
This is Euler's identity. [Hint: Use power series.]
(dMore generally,
e
x+iy
=e
x
(cosy+isiny)
wheneverx; y2R, and show that
je
x+iy
j=e
x
:
(eProve thate
z
= 1 if and only ifz= 2¼kifor some integerk.
(f)Show that every complex numberz=x+iycan be written in the form
z=re
iµ
;
whereris unique and in the range 0·r <1, andµ2Ris unique up to
an integer multiple of 2¼. Check that
r=jzjandµ= arctan(y=x)
whenever these formulas make sense.
(gIn particular,i=e
i¼=2
. What is the geometric meaning of multiplying a
complex number byi? Or bye
iµ
for anyµ2R?
(hGivenµ2R, show that
cosµ=
e
iµ
+e
¡iµ
2
and sinµ=
e
iµ
¡e
¡iµ
2i
:
These are also called Euler's identities.
(iUse the complex exponential to derive trigonometric identities such as
cos(µ+#) = cosµcos#¡sinµsin#;
and then show that
2 sinµsin'= cos(µ¡')¡cos(µ+');
2 sinµcos'= sin(µ+') + sin(µ¡'):
This calculation connects the solution given by d'Alembert in terms of
traveling waves and the solution in terms of superposition of standing
waves.

47. Ibookroot October 20, 2007
26 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
5.Verify thatf(x) =e
inx
is periodic with period 2¼and that
1
2¼
Z
¼
¡¼
e
inx
dx=
½
1 ifn= 0;
0 ifn6= 0.
Use this fact to prove that ifn; m¸1 we have
1
¼
Z
¼
¡¼
cosnxcosmx dx=
½
0 ifn6=m,
1n=m,
and similarly
1
¼
Z
¼
¡¼
sinnxsinmx dx=
½
0 ifn6=m,
1n=m.
Finally, show that
Z
¼
¡¼
sinnxcosmx dx= 0 for anyn; m.
[Hint: Calculatee
inx
e
¡imx
+e
inx
e
imx
ande
inx
e
¡imx
¡e
inx
e
imx
.]
6.Prove that iffis a twice continuously di®erentiable function onRwhich is
a solution of the equation
f
00
(t) +c
2
f(t) = 0;
then there exist constantsaandbsuch that
f(t) =acosct+bsinct:
This can be done by di®erentiating the two functionsg(t) =f(t) cosct¡c
¡1
f
0
(t) sinct
andh(t) =f(t) sinct+c
¡1
f
0
(t) cosct.
7.Show that ifaandbare real, then one can write
acosct+bsinct=Acos(ct¡');
whereA=
p
a
2
+b
2
, and'is chosen so that
cos'=
a
p
a
2
+b
2
and sin'=
b
p
a
2
+b
2
:
8.SupposeFis a function on (a; b) with two continuous derivatives. Show that
wheneverxandx+hbelong to (a; b), one may write
F(x+h) =F(x) +hF
0
(x) +
h
2
2
F
00
(x) +h
2
'(h);

48. Ibookroot October 20, 2007
4. Problem 27
where'(h)!0 ash!0.
Deduce that
F(x+h) +F(x¡h)¡2F(x)
h
2
!F
00
(x) ash!0.
[Hint: This is simply a Taylor expansion. It may be obtained by noting that
F(x+h)¡F(x) =
Z
x+h
x
F
0
(y)dy;
and then writingF
0
(y) =F
0
(x) + (y¡x)F
00
(x) + (y¡x)Ã(y¡x), whereÃ(h)!
0 ash!0.]
9.In the case of the plucked string, use the formula for the Fourier sine coe±-
cients to show that
Am=
2h
m
2
sinmp
p(¼¡p)
:
For what position ofpare the second, fourth,: : :harmonics missing? For what
position ofpare the third, sixth,: : :harmonics missing?
10.Show that the expression of the Laplacian
4=
@
2
@x
2
+
@
2
@y
2
is given in polar coordinates by the formula
4=
@
2
@r
2
+
1
r
@
@r
+
1
r
2
@
2
@µ
2
:
Also, prove that
¯
¯
¯
¯
@u
@x
¯
¯
¯
¯
2
+
¯
¯
¯
¯
@u
@y
¯
¯
¯
¯
2
=
¯
¯
¯
¯
@u
@r
¯
¯
¯
¯
2
+
1
r
2
¯
¯
¯
¯
@u
@µ
¯
¯
¯
¯
2
:
11.Show that ifn2Zthe only solutions of the di®erential equation
r
2
F
00
(r) +rF
0
(r)¡n
2
F(r) = 0;
which are twice di®erentiable whenr >0, are given by linear combinations of
r
n
andr
¡n
whenn6= 0, and 1 and logrwhenn= 0.
[Hint: IfFsolves the equation, writeF(r) =g(r)r
n
, ¯nd the equation satis¯ed
byg, and conclude thatrg
0
(r) + 2ng(r) =cwherecis a constant.]

49. Ibookroot October 20, 2007
28 Chapter 1. THE GENESIS OF FOURIER ANALYSIS
u=f1
u= 0
u=f0
u= 0
0
1
¼
4u= 0
Figure 11.Dirichlet problem in a rectangle
4 Problem
1.Consider the Dirichlet problem illustrated in Figure 11.
More precisely, we look for a solution of the steady-state heat equation
4u= 0 in the rectangleR=f(x; y) : 0·x·¼;0·y·1gthat vanishes on
the vertical sides ofR, and so that
u(x;0) =f0(x) and u(x;1) =f1(x);
wheref0andf1are initial data which ¯x the temperature distribution on the
horizontal sides of the rectangle.
Use separation of variables to show that iff0andf1have Fourier expansions
f0(x) =
1
X
k=1
Aksinkxandf1(x) =
1
X
k=1
Bksinkx;
then
u(x; y) =
1
X
k=1
µ
sinhk(1¡y)
sinhk
Ak+
sinhky
sinhk
Bk
¶
sinkx:
We recall the de¯nitions of the hyperbolic sine and cosine functions:
sinhx=
e
x
¡e
¡x
2
and coshx=
e
x
+e
¡x
2
:
Compare this result with the solution of the Dirichlet problem in the strip ob-
tained in Problem 3, Chapter 5.

50. Ibookroot October 20, 2007
2Basic Properties of Fourier
Series
Nearly ¯fty years had passed without any progress on
the question of analytic representation of an arbitrary
function, when an assertion of Fourier threw new light
on the subject. Thus a new era began for the de-
velopment of this part of Mathematics and this was
heralded in a stunning way by major developments in
mathematical Physics.
B. Riemann,1854
In this chapter, we begin our rigorous study of Fourier series. We set
the stage by introducing the main objects in the subject, and then for-
mulate some basic problems which we have already touched upon earlier.
Our ¯rst result disposes of the question of uniqueness: Are two func-
tions with the same Fourier coe±cients necessarily equal? Indeed, a
simple argument shows that if both functions are continuous, then in
fact they must agree.
Next, we take a closer look at the partial sums of a Fourier series. Using
the formula for the Fourier coe±cients (which involves an integration),
we make the key observation that these sums can be written conveniently
as integrals:
1
2¼
Z
DN(x¡y)f(y)dy;
wherefDNgis a family of functions called the Dirichlet kernels. The
above expression is the convolution offwith the functionDN. Convo-
lutions will play a critical role in our analysis. In general, given a family
of functionsfKng, we are led to investigate the limiting properties asn
tends to in¯nity of the convolutions
1
2¼
Z
Kn(x¡y)f(y)dy:
We ¯nd that if the familyfKngsatis¯es the three important properties
of \good kernels," then the convolutions above tend tof(x) asn! 1
(at least whenfis continuous). In this sense, the familyfKngis an

51. Ibookroot October 20, 2007
30 Chapter 2. BASIC PROPERTIES OF FOURIER SERIES
\approximation to the identity." Unfortunately, the Dirichlet kernels
DNdo not belong to the category of good kernels, which indicates that
the question of convergence of Fourier series is subtle.
Instead of pursuing at this stage the problem of convergence, we con-
sider various other methods of summing the Fourier series of a function.
The ¯rst method, which involves averages of partial sums, leads to con-
volutions with good kernels, and yields an important theorem of Fej¶er.
From this, we deduce the fact that a continuous function on the circle
can be approximated uniformly by trigonometric polynomials. Second,
we may also sum the Fourier series in the sense of Abel and again en-
counter a family of good kernels. In this case, the results about convo-
lutions and good kernels lead to a solution of the Dirichlet problem for
the steady-state heat equation in the disc, considered at the end of the
previous chapter.
1 Examples and formulation of the problem
We commence with a brief description of the types of functions with
which we shall be concerned. Since the Fourier coe±cients offare
de¯ned by
an=
1
L
Z
L
0
f(x)e
¡2¼inx=L
dx;forn2Z,
wherefis complex-valued on [0; L], it will be necessary to place some in-
tegrability conditions onf. We shall therefore assume for the remainder
of this book that all functions are at least Riemann integrable.
1
Some-
times it will be illuminating to focus our attention on functions that
are more egular," that is, functions that possess certain continuity or
di®erentiability properties. Below, we list several classes of functions in
increasing order of generality. We emphasize that we will not generally
restrict our attention to real-valued functions, contrary to what the fol-
lowing pictures may suggest; we will almost always allow functions that
take values in the complex numbersC. Furthermore, we sometimes think
of our functions as being de¯ned on the circle rather than an interval.
We elaborate upon this below.
1
Limiting ourselves to Riemann integrable functions is natural at this elementary stage
of study of the subject. The more advanced notion of Lebesgue integrability will be taken
up in Book III.

52. Ibookroot October 20, 2007
1. Examples and formulation of the problem 31
Everywhere continuous functions
These are the complex-valued functionsfwhich are continuous at every
point of the segment [0; L]. A typical continuous function is sketched in
Figure 1 (a
satisfy the additional conditionf(0f(L).
Piecewise continuous functions
These are bounded functions on [0; L] which have only ¯nitely many
discontinuities. An example of such a function with simple discontinuities
is pictured in Figure 1 (b(a) (b)
0 x
y
L0 x
y
L
Figure 1.Functions on [0; L]: continuous and piecewise continuous
This class of functions is wide enough to illustrate many of the the-
orems in the next few chapters. However, for logical completeness we
consider also the more general class of Riemann integrable functions.
This more extended setting is natural since the formula for the Fourier
coe±cients involves integration.
Riemann integrable functions
This is the most general class of functions we will be concerned with.
Such functions are bounded, but may have in¯nitely many discontinu-
ities. We recall the de¯nition of integrability. A real-valued functionf
de¯ned on [0; L] isRiemann integrable(which we abbreviate asin-
tegrable
2
) if it isbounded, and if for every² >0, there is a subdivision
0 =x0< x1<¢ ¢ ¢< xN¡1< xN=Lof the interval [0; L], so that ifU
2
Starting in Book III, the term \integrable" will be used in the broader sense of
Lebesgue theory.

53. Ibookroot October 20, 2007
32 Chapter 2. BASIC PROPERTIES OF FOURIER SERIES
andLare, respectively, the upper and lower sums offfor this subdivi-
sion, namely
U=
N
X
j=1
[ sup
xj¡1·x·xj
f(x)](xj¡xj¡1)
and
L=
N
X
j=1
[ inf
xj¡1·x·xj
f(x)](xj¡xj¡1);
then we haveU ¡ L< ². Finally, we say that a complex-valued function
is integrable if its real and imaginary parts are integrable. It is worthwhile
to remember at this point that the sum and product of two integrable
functions are integrable.
A simple example of an integrable function on [0;1] with in¯nitely
many discontinuities is given by
f(x) =
8
>
>
<
>
>
:
1 if 1=(n+ 1)< x·1=nandnis odd,
0 if 1=(n+ 1)< x·1=nandnis even,
0 ifx= 0.
This example is illustrated in Figure 2. Note thatfis discontinuous
whenx= 1=nand atx= 0.
1
3
1
2
1
5
1
4
0
1
1
Figure 2.A Riemann integrable function
More elaborate examples of integrable functions whose discontinuities
are dense in the interval [0;1] are described in Problem 1. In general,
while integrable functions may have in¯nitely many discontinuities, these

54. Ibookroot October 20, 2007
1. Examples and formulation of the problem 33
functions are actually characterized by the fact that, in a precise sense,
their discontinuities are not too numerous: they are egligible," that is,
the set of points where an integrable function is discontinuous has \mea-
sure 0." The reader will ¯nd further details about Riemann integration
in the appendix.
From now on, we shall always assume that our functions are integrable,
even if we do not state this requirement explicitly.
Functions on the circle
There is a natural connection between 2¼-periodic functions onRlike the
exponentialse
inµ
, functions on an interval of length 2¼, and functions on
the unit circle. This connection arises as follows.
A point on the unit circle takes the forme
iµ
, whereµis a real number
that is unique up to integer multiples of 2¼. IfFis a function on the
circle, then we may de¯ne for each real numberµ
f(µ) =F(e
iµ
);
and observe that with this de¯nition, the functionfis periodic onRof
period 2¼, that is,f(µ+ 2¼) =f(µ) for allµ. The integrability, continu-
ity and other smoothness properties ofFare determined by those off.
For instance, we say thatFis integrable on the circle iffis integrable
on every interval of length 2¼. Also,Fis continuous on the circle iff
is continuous onR, which is the same as saying thatfis continuous on
any interval of length 2¼. Moreover,Fis continuously di®erentiable iff
has a continuous derivative, and so forth.
Sincefhas period 2¼, we may restrict it to any interval of length 2¼,
say [0;2¼] or [¡¼; ¼], and still capture the initial functionFon the circle.
We note thatfmust take the same value at the end-points of the interval
since they correspond to the same point on the circle. Conversely, any
function on [0;2¼] for whichf(0f(2¼) can be extended to a periodic
function onRwhich can then be identi¯ed as a function on the circle.
In particular, a continuous functionfon the interval [0;2¼] gives rise to
a continuous function on the circle if and only iff(0f(2¼).
In conclusion, functions onRthat 2¼-periodic, and functions on an
interval of length 2¼that take on the same value at its end-points, are
two equivalent descriptions of the same mathematical objects, namely,
functions on the circle.
In this connection, we mention an item of notational usage. When
our functions are de¯ned on an interval on the line, we often usexas
the independent variable; however, when we consider these as functions

55. Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

56. had aangeraakt, schrikte de koopman op, en ontwaakte. Hij sprong overeind
en greep naar het zwaard, en riep: “Vergeldt gij aldus goed met kwaad, en
beloont gij door sluipmoord de goedheid die ik u bewezen heb?”
En zijn ziel sprak tot den jongen visscher:
“Sla hem neer!” En hij sloeg hem neer, zoodat de koopman bewusteloos ter
aarde stortte, en hij greep naar de negen buidels vol goud en vluchtte ijlings
door den tuin van granaatboomen, en keerde zijn gelaat naar de ster, die de
morgenster heet.
En toen zij een mijle ver van de stad verwijderd waren, sloeg de jonge
visscher zich op de borst en sprak tot zijn ziel:
—“Waarom geboodt ge mij den koopman te dooden, en zijn goud te stelen?
Waarlijk, gij zijt slecht.”
Maar zijne ziel antwoordde: “Wees onbezorgd, wees onbezorgd.”
—“Neen,” riep de jonge visscher, “ik wil niet onbezorgd zijn, want alles
wat ge mij hebt laten doen, haat ik. U haat ik evenzoo, en ik wil dat ge mij
zegt, waarom ge op deze wijze met mij omgaat.”
En zijne ziel antwoordde hem:
—“Toen ge mij van u heen zondt om in de wereld rond te zwerven, gaaft ge
mij geen hart mede, en zoo leerde ik al deze dingen doen en ze gaarne
doen.”
—“Wat zegt ge?” murmelde de jonge visscher.
—“Ge weet het,” antwoordde de ziel, “ge weet het maar al te goed. Of hebt
ge vergeten, dat ge mij geen hart wildet meegeven? Ik geloof van neen.
Bekommer u daarom niet om mij, maar wees onbezorgd. Want er is geen
leed, dat gij niet veroorzaken zult, en er is geen vreugde, die gij niet zult
kunnen genieten.”

57. En toen de jonge visscher deze woorden gehoord had, beefde hij, en sprak
tot zijn ziel: “Neen, gij zijt slecht, want gij hebt mij mijne liefde doen
vergeten, en mij met verzoekingen omgeven, en ge hebt mijne schreden op
den weg der zonde geleid.”
En zijne ziel antwoordde hem:
—“Vergeet niet, dat ge mij geen hart wildet geven, toen ge mij in de wereld
uitzondt. Kom, laat ons naar eene andere stad gaan, en vroolijk zijn, want
wij hebben negen buidels vol goud.”
Maar de jonge visscher nam de negen buidels vol goud, wierp ze op den
grond en vertrapte ze.
—“Neen,” riep hij, “ik wil niets meer met u gemeen hebben, en ik wil niet
verder met u gaan, maar zooals ik u vroeger weggezonden heb, zoo wil ik u
wederom wegzenden, want ge hebt mij niets goeds gebracht.”
En met den rug naar de maan gekeerd, beproefde hij met den kleinen dolk,
welks handvat van slangenhuid was, de schaduw aan zijne voeten weg te
snijden, de schaduw, die het lichaam van was zijn ziel.
Doch zijne ziel ging niet van hem, en achtte ook niet op zijn bevel, maar
sprak tot hem:
—“De betoovering die de heks u leerde, heeft geenerlei kracht meer, want
ik kan u niet meer verlaten, noch kunt gij mij meer uit u verdrijven. Slechts
eenmaal in het leven kan de mensch zijn ziel uit zijn lichaam verbannen, en
die haar weder tot zich neemt, die moet haar voor altijd behouden; dat is
zijn straf en zijn loon tevens.”
De jonge visscher verbleekte en balde de vuist en riep: “Dan was zij eene
valsche heks, dat zij mij dit niet zeide.”
—“Neen,” zeide de ziel, “want zij was Hem getrouw dien zij aanbidt en
dien zij altijd dienen zal.”

58. En toen de jonge visscher zich bewust werd, dat hij zich nooit meer van zijn
ziel zou kunnen bevrijden, en dat eene slechte ziel voor altijd in hem zou
blijven wonen, toen wierp hij zich neder op den grond en weende bitter.
En toen het dag werd, stond de jonge visscher op, en sprak tot zijn ziel:
—“Ik zal mijne handen vastsnoeren, opdat zij niet kunnen doen, wat gij hen
gebiedt te doen; en mijne lippen zal ik tezamen drukken, opdat zij niet uwe
woorden kunnen naspreken. En ik wil dáárheen terugkeeren, waar zij
woont, die ik liefheb, naar de zee wil ik teruggaan, naar de kleine bocht,
waar zij voor mij placht te zingen, en dan zal ik om haar roepen en haar
zeggen, welk kwaad ik deed, en welk kwaad gij mij gedaan hebt.”
En zijn ziel poogde hem opnieuw in verzoeking te brengen en sprak:
—“Wie is uwe liefste, dat gij tot haar wilt terugkeeren? De wereld heeft
vele, die schooner zijn om aan te zien dan zij: de danseressen, die in
Samaris wonen, dansen alle gelijk vogels en duiven, hare voeten zijn met
henna beschilderd, en in de handen houden zij kleine koperen klokjes.
Wanneer zij dansen lachen zij, en haar lachen klinkt zoo helder als het
kabbelen van het water. Kom met mij mee, en ik zal ze u toonen. Want wat
maakt ge u bezorgd om dingen, die zondig heeten? Is al wat zoet is om te
eten niet voor den etenden bestemd? Zou er gif zijn in den vurigen wijn?
Kwel u niet langer, en kom met mij naar een ander oord. Hier dicht bij ligt
een kleine stad, daarin bevindt zich een tuin van magnolia boomen. En
witte pauwen, en pauwen met blauwe borsten zijn in dien fraaien tuin.
Wanneer zij hunne staarten in de zon uitspreiden, glanzen die in ivoren en
gouden kleurenpracht. En die hen voedert, danst ter hunner lust, en eenmaal
danst zij op hare handen, een ander maal met hare voeten. Hare oogen zijn
met antimoon gekleurd, en hare neusvleugelen zijn gelijk de vleugels eener
zwaluw. Een bloem, die uit een parel gesneden is, hangt aan een haakje van
een harer neusvleugels af. En terwijl zij danst lacht zij, en de zilveren
ringen aan hare enkels rinkelen gelijk zilveren klokjes. Kwel u toch niet
langer, maar kom met mij mede naar gindsche stad.”

59. Doch de jonge visscher antwoordde niet. Zijne lippen hield hij vastgesloten
en zijne handen had hij vastgesnoerd. En zoo ging hij terug, daarheen,
vanwaar hij gekomen was, naar de kleine bocht, waar eens zijn liefste
gezongen had.
En steeds opnieuw poogde zijn ziel hem onderweg in verzoeking te
brengen, maar hij antwoordde haar niet, en hij deed niets van al het slechte,
dat zij hem gebood te doen, zoo groot was de macht zijner liefde in hem. En
toen hij eindelijk de kust van de zee bereikt had, bond hij de snoeren los
van zijne handen, en opende zijne lippen en riep om de kleine zeemeermin.
Maar zij verscheen niet op zijn roepstem, hoewel hij den ganschen dag om
haar riep en haar smeekte te komen.
En zijn ziel bespotte hem en sprak:
—“Waarlijk, gij beleeft niet veel vreugde van uwe liefde. Gij zijt als een
die, ten tijde van watersnood, water in een gebroken kruik giet. Gij geeft
weg wat ge bezit, en niets ontvangt ge terug. Beter ware het voor u,
wanneer ge met mij wildet komen; ik zal u dan toonen, waar het Dal der
Lusten ligt, en ik zal u laten zien, welke dingen ginds gebeuren.”
Doch de jonge visscher antwoordde zijne ziel niet, maar bouwde een huis
van gevlochten stroo tusschen de rotsen en woonde daar een jaar lang. En
elken morgen riep hij het zeemeerminnetje en als de middag kwam riep hij
om haar, en des avonds, wanneer de duisternis gevallen was, kreet hij
opnieuw haar naam.
Maar nimmermeer steeg zij van uit de diepte tot hem omhoog, noch
vermocht hij haar terug te vinden in de zee, wáár hij haar ook zoeken ging,
tusschen de rotskloven in het groene water, in den wassenden vloed, of in
de diepe bronnen die van den bodem der zee omhoog borrelen.
En altijd opnieuw poogde zijne ziel hem tot het kwade te verleiden, en
fluisterde hem vreeselijke dingen in het oor. Maar zij had geenerlei macht
meer over hem, zoo groot was de macht zijner liefde.

60. En toen het jaar verstreken was, overpeinsde de ziel bij zichzelve: “Ik heb
mijnen heer steeds door booze dingen in verzoeking gebracht, en zijne
liefde bleek sterker dan ik. Nu wil ik beproeven hem door het goede te
winnen, zoo zal hij mij wellicht volgen.”
En zij sprak tot den jongen visscher:
—“Ik heb u veel van de Vreugden der wereld verhaald, en gij hebt mij niet
willen aanhooren. Laat mij u nu van ’s werelds Leed vertellen, wellicht zult
gij dan naar mij luisteren. Want waarlijk, het Leed heerscht als Meester over
de wereld, en niemand ontkomt aan zijne heerschappij. De een heeft geen
kleederen en de ander heeft geen brood. Gindsche weduwe kleedt zich in
purper, deze gaat in lompen. Over de moerassen trekken in scharen de
melaatschen en zijn onbarmhartig jegens elkander. De bedelaars zwerven
her en derwaarts langs de wegen, en hunne zakken zijn ledig. Door de
straten der steden trekt de Hongersnood, en voor de poorten waakt de Pest.
Kom, laat ons van hier opgaan en hulp verleenen en troost schenken.
Waarom zoudt ge hier langer toeven en langer nog om uwe liefste roepen,
die toch uw stem niet hoort? En wat is de liefde, dat gij daaraan zooveel
waarde hecht?”
Maar de jonge visscher antwoordde niet, zoo groot was de macht zijner
liefde.
En elken morgen en elken middag riep hij weder om haar, en elken avond,
wanneer de duisternis gevallen was, kreet hij opnieuw haren naam.
Maar nimmermeer steeg zij van uit de diepte tot hem omhoog, noch
vermocht hij haar terug te vinden, wáár hij haar ook zoeken ging, in de
stroomingen der wateren of in de valleien die onder de golven zijn, in de
zee die purpergekleurd ligt in avondgloed, of in de zee die grauw schijnt
onder de vlerken van morgenschemering …
En toen het tweede jaar verstreken was, sprak de ziel op een nacht tot den
jongen visscher, die alleen in zijn gevlochten hut zat:

61. —“Zie, ik heb u tot het slechte trachten te verleiden, en ook tot het goede
willen voeren, en uwe liefde is sterker gebleken dan ik. Daarom wil ik u
niet meer in verzoeking brengen, maar ik smeek u: laat mij tot uw hart
doordringen, opdat ik één met u worde, gelijk vroeger.”
—“Waarlijk, gij moogt tot mijn hart doordringen,” sprak de jonge visscher,
“want in de dagen toen gij zonder hart door de wereld rondgedoold zijt,
moet ge veel geleden hebben.”
—“Ach,” riep de ziel, “geen ingang kan ik vinden, zoo zeer is uw hart
omvangen door uwe liefde.”
—“En toch wilde ik, dat ik u helpen kon,” sprak de jonge visscher.
En nauwelijks had hij deze woorden gesproken, of van over de zee
weerklonk eene groote weeklacht, zooals de menschen die vernemen,
wanneer er een van het watervolk gestorven is. En de jonge visscher sprong
op, verliet zijn hut, en ijlde naar de zeekust. En de zwarte golven kwamen
aangedruischt naar den oever, en droegen eene last, die blanker was dan
zilver. Blank als het schuim der branding was zij, en gelijk een bloem
deinde zij heen en weer op de golven.
En de branding nam haar over van de golven, en de oever ontving haar, en
aan de voeten van den jongen visscher lag het levenlooze lichaam van de
kleine zeemeermin.
Dood lag zij aan zijne voeten.
En kermend als een, die door smart overweldigd is, wierp hij zich naast het
doode lichaam neer. En hij kuste het kille rood van haar mond, en hij
streelde het natte barnsteen van heur haar. Hij wierp zich naast haar op het
zand en schreide als een, die door vreugde zinneloos werd, en met zijne
bruine armen hield hij haar vast aan zijn borst geklemd. Koud waren hare
lippen, maar hij kuste ze warm. Zilt smaakte de honing van heur haar, maar
hij proefde die met bittere vreugde. Hij kuste de gesloten oogleden, en het
trillende schuim dat op hare oogen lag, was minder zout dan zijne tranen.

62. En aan het doode lichaam biechtte hij zijne daden. In de schelpen harer
ooren goot hij den bitteren wijn van al zijn lijden. Hare kille armen plooide
hij om zijn hals, en met zijne vingers streelde hij het fijne slanke lijf. Vol
bitterheid was zijne vreugde, en zijne smart was vervuld van zonderlinge
blijheid.
En dichter en dichter-naderbij kwam de donkere zee, en het blanke wit der
branding steunde luid als een gepijnigd dier.
Met witte klauwen van schuim greep de zee naar het strand. Toen klonk van
uit het paleis van den waterkoning een nieuwe kreet van rouwe, en ver, ver
over de zeeën, bliezen de Tritonen met heeschen klank op hunne hoorns.
—“Vlucht!” sprak de ziel. “Vlucht, want al nader komt de zee, en zoo gij
langer talmt, zal zij u verzwelgen. Vlucht, want ik ben vol vreeze, daar uw
hart zich, om der wille van uwe groote liefde, nog niet voor mij geopend
heeft. Vlucht naar een veilig oord …. Waarlijk, gij moogt mij niet zonder
hart naar eene andere wereld zenden!”
Maar de jonge visscher luisterde niet naar zijn ziel; hij vleide zich tegen het
kleine bleeke zeemeerminnetje en sprak: “Liefde is beter dan Wijsheid en
kostbaarder dan Rijkdom, en schooner dan de blanke voeten van de
dochteren der menschen. Geen vlammen vermogen haar te vernietigen, en
geen waterstroomen haar te verzwelgen. Ik riep naar u wanneer de
morgenstond gloorde en gij luisterdet niet naar mijn roep. De maan hoorde
uw naam weerklinken, maar gij bleeft zwijgen. Ik had u moedwillig
verlaten, en tot mijn eigen ellende ging ik heen, verre van U. Maar altijd is
uwe liefde bij mij gebleven, en altijd was zij sterk, en niets vermocht zich
tegen haar te richten, of ik ook van het slechte vervuld was, dan wel van het
goede. En nu, nu gij gestorven zijt, zie, nu wil ik met u sterven.”
En wederom smeekte zijn ziel hem om te vluchten, maar hij luisterde niet
naar haar, zoo groot was zijne liefde.
Al nader en nader kwam de zee, al rusteloozer beproefde zij hem met hare
breede golven-armen te bereiken en te omspoelen.

63. En toen hij voelde dat zijn einde nabij was, kuste hij wild, met brandende
lippen den kouden mond van het zeemeerminnetje, en zijn hart, dat in hem
was, brak.
En toen zijn hart gebroken was door overgroote liefde, toen kon de ziel er
toegang vinden en werden zij weder één gelijk vroeger. En de zee bedekte
den jongen visscher met haar golven.
Den volgenden morgen kwam de priester op het strand, om de zee te
zegenen, want zij was zeer onrustig geweest. En met hem kwamen
monniken en muzikanten, kaarsendragers en knapen die wierookvaatjes
zwaaiden, en nog eene menigte van menschen.
En toen de priester den oever bereikt had, vond hij het doode lichaam van
den jongen visscher in de branding liggen, en, in zijne armen vastgeklemd,
zag hij het lijk van de kleine zeemeermin. Met gerimpeld voorhoofd trad hij
eenige schreden achteruit, maakte het teeken des kruizes en sprak luid:
—“Ik wil de zee niet zegenen, noch zegenen iets, wat zich in de zee
bevindt. Vervloekt zij het watervolk en vervloekt mogen allen zijn, die zich
met dat volk inlaten. Hier ligt hij dood, die, om der liefde wille, zijnen God
verloochend heeft, en daar nu ligt hij met zijn liefste, door God zelf
verslagen. Neemt zijn doode lichaam op, van hem en van zijn liefste, en
begraaft hen in den eenzaamsten hoek van het Veld der Distelen, en zet
geen steen op ’t graf, noch eenig ander teeken, opdat niemand de plaats
hunner rust wete. Want vervloekt waren zij in hun leven, en vervloekt
zullen zij zijn tot na hun dood.”
En het volk deed zooals hem gelast werd; en zij groeven een diepen kuil in
den eenzaamsten hoek van het Veld der Distelen, daar waar geenerlei zoete
kruiden groeiden, en zij legden daarin de twee doode lichamen.

64. En toen het derde jaar verstreken was, ging de priester op een dag, die een
Heiligendag was, naar de kapel, om het volk de wonden des Heeren te
toonen en van God’s toorn te prediken. En toen hij het priestergewaad had
aangelegd en de kapel betreden had, en zich nijgen wilde voor het altaar,
zag hij, dat het bedekt was met vreemdsoortige bloemen, zooals hij die
nimmer nog aanschouwd had. En zonderling waren zij om aan te zien, en
hunne schoonheid maakte hem dronken, en hunne geur was wellust voor
zijne neusgaten. En hij was blijgestemd en wist toch niet waarom hij blij
gestemd was.
En toen hij den tabernakel geopend, de monstrans bewierookt, en de heilige
Hostie getoond had aan het volk, en het weer weggeborgen had achter den
sluier aller sluiers, begon hij tot het volk te spreken, en hij wilde hen
spreken van God’s heiligen toorn. Maar de schoonheid der witte bloemen
maakte hem dronken, en hun zoete geur was wellust voor zijne neusgaten,
en op zijn lippen kwamen andere woorden. Niet van God’s toorn sprak hij,
maar van God, wiens wezen Liefde was. En wáárom hij zoo sprak, dat wist
hij niet.
En toen hij had opgehouden met spreken, weende het volk en de priester
trad in de sakristy, en zijne oogen waren gevuld met tranen. De diakenen
kwamen binnen en namen hem het priesterkleed af, en het koorhemd en den
gordel en de gewijde mouwen en de stola. Als in een droom stond daar de
priester. En toen zij hem van zijn misgewaad ontdaan hadden, zag hij tot
hen op en vroeg: “Welke bloemen waren heden op het altaar, en vanwaar
zijn zij gekomen?”
En zij antwoordden:
—“Wat soort van bloemen ’t zijn, weten wij niet, maar zij bloeien ginds, op
het Veld der Distelen, in den eenzaamsten hoek.”
En de priester sidderde en ging in zijn huis en bad.
En op den volgenden morgen, vóór dat nog de zon ter kimme was gerezen,
trok de priester naar buiten, met de monniken en de muziekanten, met de
knapen, die de wierookvaten zwaaiden en met hen, die de kaarsen droegen,

65. en een groote schare van menschen volgde hem. En hij kwam aan den oever
van de zee, en hij zegende het water, en alle wilde schepselen, die daarin
wonen. En hij zegende de faunen, en al de kleine schepselen, die in de
wouden dansen, en zij die met glanzende oogen gluren tusschen ’t loof. En
alle schepselen in God’s wijd heelal zegende hij, en het volk was van
verbazing vervuld.
Maar nimmermeer bloeiden de bloemen in den eenzamen hoek van het Veld
der Distelen.
Leeg en kaal bleef de plek als zij te voren was. En ook het watervolk kwam
niet weer in de bocht, gelijk vroeger: naar een ander deel van de zee trokken
zij henen.

66. Maar hij sprak tot hen: “Ik ben zulks niet waardig.” (pag. 166).

68. IV.

69. HET STERREKIND.
Er waren eens twee arme houthakkers, die door een groot dennenbosch naar
huis toe keerden. Het was winter en de nacht was bitter koud. De sneeuw
lag hoog op den grond en op de takken der boomen. Waar zij voorbijgingen
knakten aan beide kanten van den weg de fijne takken door de strenge
vorst; en toen zij de beek genaderd waren die van de bergen komt, zagen zij
dat die roerloos in de lucht hing, want de ijskoning had haar gekust.
Het was zóó koud, dat zelfs de dieren en de vogels niet wisten, wat zij
moesten beginnen.
“Oe!” huilde de wolf, terwijl hij met den staart tusschen de pooten door het
kreupelhout liep. “Wat een allerafschuwelijkst weer. Dat de regeering dáár
niet een stokje voor steekt!”
“Oeit! Oeit! Oeit!” tjilpten de groene vlasvinken, “de oude aarde is dood en
nu heeft men haar met een wit doodslaken toegedekt.”
“De aarde wil bruiloft vieren en dit is haar bruidskleed,” fluisterden de
tortelduiven elkander toe. Hunne kleine, rooskleurige pootjes waren geheel
bevroren, maar zij vonden dat het hun plicht was om den toestand
romantisch op te vatten.
“Onzin!” gromde de wolf. “Ik zeg jullie, dat alles de schuld is van de
regeering en wanneer jullie me niet gelooft eet ik je op.”
De wolf was zeer praktisch van natuur en het ontbrak hem nooit aan geldige
argumenten.
“Nu, wat mij betreft,” zeide de specht, die een geboren wijsgeer was, “ik
geef geen duit om zulke uiteenzettingen. Wanneer iets eenmaal is, dan is het
ook zoo, en nu is het verschrikkelijk koud, dat staat vast.”

70. En verschrikkelijk koud was het dan ook werkelijk. De kleine eekhoorntjes,
die binnen in de groote pijnboomen woonden, wreven aanhoudend hunne
snoetjes tegen elkaar om warm te blijven en de konijntjes rolden zich in
hunne holen op en waagden niet naar buiten te komen.
Alleen de groote steenuilen schenen in hun schik. Hunne vederen stonden
geheel stijf van den rijp, maar dat hinderde hen niet; zij rolden met hunne
groote gele oogen en riepen elkaar door het bosch toe: “Toe—wiet! Toe—
woo! Toe—wiet! Toe—woo! Wat een heerlijk weer hebben we toch!”
Intusschen liepen de twee houthakkers al verder en verder, bliezen krachtig
op hunne vingers en stampten met hunne groote, met ijzer beslagen laarzen
op de vastgetreden sneeuw. Eens zonken zij plotseling weg in een kuil vol
jachtsneeuw en toen ze er uit kwamen, waren ze zoo wit als de molenaars
ten tijde van het koren malen; een andermaal gleden zij uit op het gladde ijs,
daar waar het moeraswater toegevroren lag, en hunne bundels rijshout
vielen uit elkaar, zoodat zij ze weer bijeen moesten rapen en op nieuw
samenbinden; en eenmaal meenden zij den rechten weg verloren te hebben
en groote angst beving hen, want zij wisten dat de sneeuw onverbiddelijk is
voor hen, die in hare armen rust zoeken. Maar zij vertrouwden op den
goeden Sint-Martyn, die over alle zwervers waakt en keerden weer terug op
hunne voetsporen en letten toen dubbel goed op. En eindelijk bereikten zij
den rand van het bosch en zagen ver beneden, in het dal aan hun voeten, de
lichtjes schemeren van het dorp, waarin zij woonden.
Hunne vreugde over die redding was zoo groot, dat zij hardop lachten en de
aarde leek hen een zilveren bloem en de maan een bloem van goud.
Maar nadat zij gelachen hadden werden zij toch weer treurig, want zij
dachten aan hunne armoede en een hunner zeide tot den anderen: “Waarom
hebben wij eigenlijk gelachen? Wij zien immers dat het leven alleen goed is
voor de rijken en niet voor zulke menschen als wij zijn. Beter ware het
geweest, wanneer wij in het bosch van koude omgekomen waren, of
wanneer wilde dieren ons aangevallen en gedood hadden.”

71. “Ja waarlijk,” antwoordde zijn metgezel, “den eenen is veel gegeven en den
anderen weinig. De onrechtvaardigheid in persoon heeft de wereld
verdeeld, en niets is gelijkelijk verdeeld dan misschien de zorg alleen.”
Maar terwijl zij zoo over hun jammerlijk lot klaagden, gebeurde er iets
zonderlings. Van uit den hemel viel plots een schitterende, schoone ster naar
omlaag. Zij gleed zijdelings uit het luchtruim aan de andere sterren voorbij
en toen de mannen haar verwonderd met de oogen volgden, kwam het hen
voor, als daalde zij neer op den grond achter een groep wilgenboomen die
bij een schaapskooi stonden, niet meer dan een steenworp van hen
verwijderd.
“Ei! daar ligt stellig een pot vol goud voor dengene, die hem vindt!” riepen
zij uit en zij haastten zich, er zoo hard zij konden heen te loopen, zulk een
begeerte vervulde hen naar het goud.
En een hunner liep vlugger dan de andere, snelde zijnen makker voorbij,
drong tusschen de wilgentakken door tot aan den anderen kant en zie! op de
witte sneeuw lag daar waarlijk een gouden voorwerp.
Hij ijlde er dus heen, boog zich neer en legde er zijn hand op; en het was
een doek uit gouddraad geweven, op zonderlinge wijze met sterren bestikt
en in vele plooien gevouwen. En hij riep zijnen metgezel toe, dat hij den
schat, die uit den hemel gevallen was, gevonden had, en toen zijn makker
naderbij was gekomen, knielden zij op de sneeuw neer en vouwden den
doek open, om de goudstukken onderling te verdeelen.
Maar ach! geen goud bevond zich in het omhulsel, en ook geen zilver, noch
eenige andere kostbare schat, maar slechts een klein, slapend kindje. En een
van de beiden zei tot den anderen:
“Dat is een bitter einde van onze laatste hoop en wij hebben geen geluk,
want van welk nut zou een kind eenen man kunnen zijn? Wij zullen het
laten liggen en onzen weg vervolgen, want wij zijn arme lieden en hebben
zelf kinderen, van wier brood wij niet ook nog aan een vreemde mogen
afstaan.”

72. Maar zijn metgezel antwoordde hem:
“Neen, het zou slecht van ons zijn dit kind hier in de sneeuw te laten
omkomen, en al ben ik ook even arm als gij, en al heb ook ik vele monden
te vullen waar er toch maar weinig op schotel is, ik wil het kind toch mee
naar huis nemen en mijn vrouw zal er verder voor zorgen.”
En heel voorzichtig nam hij het kind op, wikkelde het in den doek, om het
voor de scherpe koude te beschutten en daalde den heuvel af naar het dorp
toe; en zijn metgezel verwonderde zich zeer over zijne dwaasheid en over
de weekheid van zijn hart.
En toen zij in het dorp kwamen, zeide hij tot hem:
“Gij hebt het kind, geef mij nu den doek, want het is niet meer dan billijk,
dat wij samen deelen.”
Maar de andere antwoordde:
“Neen, want die doek behoort evenmin aan u als aan mij, maar alleen aan
het kind.”
En na hem goeden avond gewenscht te hebben, ging hij naar zijn huis en
klopte aan.
En toen zijn vrouw de deur opende en zag, dat haar man ongedeerd
thuisgekomen was, sloeg zij hare armen om zijn hals en kuste hem, nam
den bundel rijshout van zijn rug, veegde de sneeuw van zijne laarzen en
riep hem toe, toch gauw naar binnen te komen.
Maar hij antwoordde haar:
“Ik heb iets in het bosch gevonden en het voor je meegebracht, opdat je er
voor zorgen zoudt,” en hij week niet van den drempel.
“Wat is het?” riep zij. “Toon het mij, want leeg is het huis en wij hebben
van allerlei noodig.”

73. En hij maakte den doek los en toonde haar het slapende kind.
“Ach, beste man!” steunde zij, “hebben wij zelf niet kinderen genoeg, dat je
nu nog zoo’n vreemd schreeuwertje in huis moet halen, om aan onzen haard
mee aan te zitten? En wie weet of het ons geen ongeluk zal brengen! En hoe
zullen wij het opvoeden?” En zij was toornig op hem.
“Ja, maar het is een Sterrekind,” antwoordde hij en vertelde haar toen hoe
hij het gevonden had.
Maar zij was niet tot andere gedachten te brengen; integendeel bespotte zij
hem en riep toornig:
“Onze eigen kinderen hebben geen brood en dan zouden wij nog vreemde
kinderen te eten geven? Wie bekommert zich om ons? En wie geeft ons
brood?”
“God zorgt zelfs voor de musschen en geeft ze voedsel,” antwoordde hij.
“Sterven de musschen ’s winters niet van honger?” vroeg zij: “en is het nu
niet winter?”
De man antwoordde niet, maar hij week ook niet van den drempel.
En een scherpe wind woei van uit het bosch door de open deur naar binnen
en deed haar rillen; en huiverende zeide zij tot hem:
“Wilt ge de deur niet sluiten? Een scherpe wind waait door het huis en ik ril
van de koude.”
“Waait er niet altijd een scherpe wind door het huis waarin een koud hart
woont?” vroeg hij. En de vrouw antwoordde niet, maar schoof dichter bij
het vuur.
En na een wijle keerde zij zich om en zag hem aan en hare oogen stonden
vol tranen.

74. Toen trad hij snel naar binnen en legde het kind in hare armen; en zij kuste
het en vleide het neer in een klein bed, waarin reeds het jongste van hare
kinderen sliep.
En den volgenden morgen nam de houthakker den zonderlingen goud-
bestikten doek en borg dien in een groote houten kist, en een ketting van
barnsteen, die het kind om den hals droeg, maakte de vrouw los en legde
die daarbij.
Zoo werd het Sterrekind met de kinderen van den houthakker grootgebracht
en zat met hen aan dezelfde tafel en was hun speelgenoot.
En met elk jaar werd het schooner, zoodat allen, die in het dorp woonden er
vol bewondering over waren; want waar zij eene bruine huid en donker haar
hadden, daar bleef het kind blank en teer als gesneden ivoor en zijne
haarlokken waren als de ringen der affodil. Zijne lippen geleken de bladeren
van een rooden bloesem en zijne oogen de viooltjes aan een stroom van
helder water, en zijn lichaam was als de narcis op een veld, waar de maaier
niet komt.
Maar zijne schoonheid bleek hem ten verderf, want hij werd trotsch en
wreed en zelfzuchtig. De kinderen van den houthakker en de andere
kinderen van het dorp verachtte hij en zeide, dat zij van geringe afkomst
waren, terwijl hij van edele geboorte was, want hij stamde immers van een
ster; en hij gebood over hen als ware hij hun meester en noemde hen zijne
dienaren. Voor de armen of voor die welke blind, kreupel of anderszins ziek
en gebrekkig waren, toonde hij nooit medelijden, maar wierp ze met
steenen, verjoeg ze naar den landweg en riep hen toe, dat zij hun brood
ergens anders konden gaan bedelen, zoodat alleen zij die te lande verbannen
en verstooten waren een tweede maal in het dorp kwamen om een aalmoes
te vragen. Ja, hij was als iemand, die de schoonheid boven alles liefhad en
hij bespotte de zwakken en gebrekkigen en vermaakte zich ten hunnen
koste; alleen zichzelf had hij lief. Des zomers, wanneer de winden sliepen,
lag hij dikwijls uitgestrekt aan den rand van de bron in des priesters tuin en
keek omlaag in het water, naar het wonder van zijn gelaat en lachte van
verrukking over zijne schoonheid.

75. Dikwijls berispten hem de houthakker en zijn vrouw en zeiden:
“Wij hebben niet zoo tegenover jou gehandeld, als jij nu handelt tegenover
hen, die ongelukkig zijn en niemand hebben die ze bij kan staan. Waarom
ben je zoo wreed jegens allen die medelijden verdienen?”
Vaak liet ook de oude priester hem tot zich komen en trachtte hem de liefde
voor al wat leeft in te prenten en zei de tot hem:
“De vlieg is uw broeder. Doe haar geen kwaad. De wilde vogels, die in het
woud rondvliegen, hebben hun vrijheid als eenigst goed. Vang ze niet voor
uw genoegen. God schiep de blindslang en den mol en ieder vervult zijn
plaats. Wie zijt ge, dat ge smart in God’s rijk zoudt mogen brengen? Zelfs
de dieren op het veld prijzen Hem.”
Doch het Sterrekind sloeg geen acht op al die woorden, maar fronste het
voorhoofd en hield niet op met spotten en ging naar zijne speelgenooten
terug en voerde ze aan. En zijne speelgenooten volgden hem, want hij was
schoon, vlug en lenig en hij kon dansen en fluiten en allerlei muziek maken.
En wáár het Sterrekind ze ook heen leidde, daar volgden zij hem en wat het
Sterrekind ze beval te doen, dat deden zij. En toen hij met een scherppuntig
riet den mol de oogen uitstak, lachten zij; en wanneer hij met steenen naar
de melaatschen wierp, dan lachten zij ook. In alle dingen heerschte hij over
hen en zij werden even hard en gevoelloos als hij zelf.
Toen geschiedde het, dat eens op een dag eene arme bedelares door het dorp
kwam. Hare kleederen waren aan flarden gescheurd en hare voeten
bloedden door het schrijden over den steenigen weg, waarlangs zij
rondgezworven had; zij bevond zich in een zeer beklagenswaardigen
toestand. En daar zij vermoeid was, zette zij zich neer onder een
kastanjeboom om uit te rusten.
Toen het Sterrekind haar zag zeide hij tot zijne makkers:
“Zie, daar zit een vuile bedelvrouw onder dien mooien, licht-groenen boom.
Kom, laten wij haar wegjagen, want zij is leelijk en wanstaltig.”

76. En zij kwamen naderbij en wierpen haar met steenen en jouwden haar uit en
zij staarde vol ontzetting naar hem en wendde den blik niet van hem af. En
toen de houthakker, die in de nabijheid hout kloofde, zag wat het Sterrekind
deed, liep hij snel naderbij, berispte hem en zeide:
“Waarlijk, ongevoelig is je hart en je kent geen erbarmen, want wat heeft
deze arme vrouw je voor kwaad gedaan, dat je haar zoo slecht behandelt?”
En het Sterrekind werd rood van toorn en stampte met den voet op den
grond en zeide:
“Wie zijt ge, dat ge mij rekenschap vraagt van wat ik doe? Ik ben niet uw
zoon en heb niet noodig te doen, wat gij me beveelt!”
“Dat is waar,” antwoordde de houthakker, “maar ik heb me over je
ontfermd, toen ik je in het bosch vond liggen.”
En toen de vrouw deze woorden hoorde, stootte zij een luiden kreet uit, en
viel in onmacht.
En de houthakker droeg haar in zijn woning en zijne vrouw zorgde voor
haar en toen zij uit hare bewusteloosheid ontwaakte, zetten zij haar spijs en
drank voor en spraken haar moed toe.
Doch zij wilde niet eten noch drinken, maar sprak tot den houthakker:
“Zeidet gij niet, dat ge het kind in het bosch gevonden hebt? En gebeurde
dat niet heden tien jaar geleden?”
En de houthakker antwoordde:
“Ja, in het bosch heb ik hem gevonden en dat gebeurde heden tien jaar
geleden.”
“En welke herkenningsteekens vondt gij bij hem?” riep zij. “Droeg hij niet
een ketting van barnsteen om den hals? En was hij niet gewikkeld in een
doek, die met gouddraad geweven en met sterren bestikt was?”

77. “Ja zeker,” antwoordde de houthakker, “het was zooals gij zegt.”
En hij nam den doek en de barnsteenen ketting uit de houten kist, waarin zij
lagen en toonde ze haar.
En toen zij ze zag, schreide zij van vreugde en sprak:
“Het is mijn kind, dat ik in het bosch verloor. Ik smeek u, laat hem dadelijk
komen, want alleen om hem te zoeken, heb ik door heel de wereld
rondgezworven!”
En de houthakker en zijn vrouw gingen heen en riepen het Sterrekind en
zeiden tot hem: “Ga naar huis, want daar zult ge je moeder vinden, die op je
wacht.”
En hij liep naar huis vol verwondering en vervuld van groote vreugde. Doch
toen hij zag, wie daar binnen op hem wachtte, lachte hij verachtelijk en
zeide:
“Nu, waar is dan mijne moeder? Want ik zie hier geen ander wezen dan die
leelijke bedelvrouw!”
En de vrouw antwoordde hem:
“Ik ben je moeder.”
“Ge zijt krankzinnig!” riep het Sterrekind toornig. “Ik ben niet uw zoon,
want gij zijt een bedelares en ge zijt leelijk en in lompen gehuld. Maak dus
dat ge wegkomt en laat mij niet langer uw onoogelijk gezicht zien.”
“Houd op, want je bent waarachtig mijn kleinen zoon, dien ik in het bosch
droeg,” riep zij en zonk op hare knieën en strekte de armen naar hem uit.
“Roovers hebben je gestolen en toen laten liggen, opdat je sterven zoudt,”
fluisterde zij; “maar ik herkende je dadelijk toen ik je zag en de
herkenningsteekens, den van gouddraad geweven doek en de barnsteenen
ketting, heb ik ook teruggevonden. Ik bid je, kom dus met mij mede, want

78. door de heele wereld heb ik rondgezworven om je te zoeken. Kom met mij
mede, mijn zoon, want ik heb je liefde zoo noodig.”
Maar het Sterrekind verroerde zich niet en sloot de deuren, die naar zijn
hart voerden voor haar af, en men hoorde geen ander geluid dan het snikken
der vrouw, die van smart weende.
En ten slotte sprak hij tot haar en zijn stem klonk hard en bitter.
“Wanneer ge dan waarlijk mijne moeder zijt,” zeide hij, “zou het beter
geweest zijn wanneer ge weggebleven waart, in plaats van hier te komen
om schande over mij te brengen; want ik meende het kind van een ster te
zijn en niet dat van eene bedelares, zooals gij beweert. Ga dus heen, en laat
mij u niet meer zien.”
“Ach, mijn zoon!” riep zij uit, “wilt ge mij niet kussen eer ik heenga? Want
veel heb ik moeten verdragen, aleer ik je vinden kon.”
“Neen!” zeide het Sterrekind, “want gij zijt te leelijk om aan te zien, en eer
zou ik een adder of een pad kussen dan u.”
Toen stond de vrouw op, ging het bosch in en weende bitter; en toen het
Sterrekind zag, dat zij heen was gegaan verheugde hij zich en liep terug
naar zijne speelgenooten om weer met hen te spelen.
Maar toen zij hem zagen aankomen bespotten zij hem en riepen:
“Foei! je bent zoo leelijk als een pad en zoo afzichtelijk als een adder. Maak
dat je wegkomt, want wij willen niet langer met je spelen!” En zij verjoegen
hem uit den tuin.
En het Sterrekind fronste het voorhoofd en sprak tot zich zelf:
“Wat beduidt dat, wat zij daar zeggen? Ik zal naar de bron gaan en me
daarin spiegelen en die zal mij mijne schoonheid toonen.” En hij ging naar
de bron en keek er in en zie! zijn gelaat was als dat van een pad en zijn

79. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com