Fourier Transforms Am19 Volume 19 Salomon Trust Komaravolu Chandrasekharan

Fourier Transforms Am19 Volume 19 Salomon Trust Komaravolu Chandrasekharan
Fourier Transforms Am19 Volume 19 Salomon Trust Komaravolu Chandrasekharan
Fourier Transforms Am19 Volume 19 Salomon Trust Komaravolu Chandrasekharan

1. Fourier Transforms Am19 Volume 19 Salomon Trust
Komaravolu Chandrasekharan download
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-
am19-volume-19-salomon-trust-komaravolu-chandrasekharan-51958568
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

2. Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Fourier Transforms Filtering Probability And Random Processes
Introduction To Communication Systems Jerry D Gibson
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-filtering-
probability-and-random-processes-introduction-to-communication-
systems-jerry-d-gibson-48059142
Fourier Transforms Mathematical Methods For Physics And Engineering
Volume 2 Jorge L Delyra
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-mathematical-methods-
for-physics-and-engineering-volume-2-jorge-l-delyra-48799484
Fourier Transforms In Radar And Signal Processing Artech House Radar
Library Hardcover 2nd Edition David Brandwood
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-in-radar-and-signal-
processing-artech-house-radar-library-hardcover-2nd-edition-david-
brandwood-50710794
Fourier Transforms In Radar And Signal Processing Brandwood D
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-in-radar-and-signal-
processing-brandwood-d-2041404

3. Fourier Transforms New Analytical Approaches And Ftir Strategies Goran
S Nikoli Editor
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-new-analytical-
approaches-and-ftir-strategies-goran-s-nikoli-editor-2209868
Fourier Transforms Approach To Scientific Principles Goran S Nikolic
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-approach-to-
scientific-principles-goran-s-nikolic-4101436
Fourier Transforms Principles And Applications 1st Edition Eric W
Hansen
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-principles-and-
applications-1st-edition-eric-w-hansen-4912228
Fourier Transforms Of Invariant Functions On Finite Reductive Lie
Algebras 1st Edition Emmanuel Letellier Auth
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-of-invariant-
functions-on-finite-reductive-lie-algebras-1st-edition-emmanuel-
letellier-auth-882224
Fourier Transforms In Spectroscopy 1st Ed Jyrki Kauppinen Jari
Partanen
https://ebookbell.com/product/fourier-transforms-in-spectroscopy-1st-
ed-jyrki-kauppinen-jari-partanen-924538

5. An n a l s o f Ma t h e m a t ic s Studies
Number 19

6. ANNALS OF MATHEMATICS STUDIES
Edited by Emil Artin and Marston Morse
3. Consistency of the Continuum Hypothesis, by KURT G~~DEL
7. Finite Dimensional Vector Spaces, by PAUL R. HALMOS
11. Introduction to Nonlinear Mechanics, by N. KRYLOFF and N. BOGOLIUBOFF
14. Lectures on Differential Equations, by SOLOMON LEFSCHETZ
15. Topological Methods in the Theory of Functions of a Complex Variable,
by MARSTON MORSE
16. Transcendental Numbers, by CARL LUDWIG SIEGEL
17. Problkme GCnCral de la StabilitC du Mouvement, by M. A. LIAPOUNOFF
18. A Unified Theory of Special Functions, by C. A. TRUESDELL
19. Fourier Transforms, by S. BOCHNER and K. CHANDRASEKHARAN
20. Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations, edited by
S. LEFSCHETZ
21. Functional Operators, Vol. I, by JOHN VON NEUMANN
22. Functional Operators, Vol. 11, by JOHN VON NEUMANN
23. Existence Theorems in Partial Differential Equations, by DOROTHY L.
BERNSTEIN
24. Contributions to the Theory of Games, edited by H. W. KUHN and A. W.
TUCKER
25. Contributions to Fourier Analysis, by A. ZYCMUND, W. THANSUE, M. MORSE,
A. P. CALDERON, and S. BOCHNER
26. A Theory of Cross-Spaces, by ROBERT SCHATTEN
27. Isoperimetric Inequalities in Mathematical Physics, by G. POLYA and
G. SZEGO

7. FOURIER TRANSFORMS
BY
S. BOCHNER AND K. CHANDRASEKHARAN
PRINCETON
PRINCETON UNIVERSITY PRESS
LONDON: GEOFFREY CUMBERLEGE
OXFORD UNIVERSITY PRESS
1949

8. Copyright 1949
Princeton University Press
Photo-Lithoprint Reproduction
N E W YORK LITHOGRAPHING CORP.
N E W YORK, N .Y .

9. PREFACE
This is a t r a c t d ealin g w ith F ou rier transform s and
some to p ics n a tu r a lly connected w ith them, and although
the m a terial included is fa m ilia r , i f not c l a s s i c a l , there
is not much o f a d u p lic a tio n w ith o ther books in the f i e l d .
Acknowledgement o f thanks is due from Bochner to the
O ffic e o f Naval Research, and from Chandrasekharan to the
I n s t itu t e fo r Advanced Study.
P rin ceton U n iv ersity
and
The I n s t itu t e f o r Advanced Study.
November 19^8.

10. ERRATA
page lin e fo r
1 6 <l>f ( )
2 k
tR
— 00
13
2
ga"£
16 1 5
SR
1 8 1 0 I H( t )
21 2 isg(o)
21 11
^hR
— CO
39
1 2 -(<*u)
1
6( r ) f
dx2
57
18 \ l f C x ) ! .
61 1 6 x i 2+. . . x k
98 5 such
1 07 8 by (2.3)
1 1 1
(2.18) eiyx dx
1 i+8 18 ^ (x)
1 51 11
r I
(1-3) J
a
155 7 % = U X
158 7 (2-9)
1 60 1 (3-1 )
161 b (3.1 )
1 1 2
1 22
135
158
1 60
13 "
2
8
21
3 ,
Planchare
read
4>f (oO
lH(t)|
Is r( ° )!
— o o
A (<*u)
d(p)f
dxr
J If(x ) I . . .
Ek
2 2
X1 +---+xk
those
by ( 2 .2 ) and (2 .3 )
e1^ dx
<Ma)
f b
(1.3) J
o
y=5x
(2.10)
(3-1 )'
(3-2)
Plancherel

11. Preface .................................................................................................... i
CHAPTER I. FOURIER TRANSFORMS IN L1 (One V ariable)
§1. Elementary properties ............................................. 1
§2. Riemann Lebesgue L em m a......................................... 3
§3. Convolution of two f u n c t i o n s........................... 5
§4. D erivative of a function and i t s transform 7
§5. Inversion formula ....................................................... 10
§6. Uniqueness of Fourier t r a n s fo r m...................... 11
§7. Summability theorems ............................................. 13
§8. Some application s of summability-theorems 19
§9. Continuity in n o r m .................................................. 22
§10. Summability in n o rm ................................................. 25
§11 . D erivatives of a function and th e ir tra n s­
forms .................................................................................. 26
§12. Degree of ap p roxim ation ........................................ 30
§13. A b e l’ s t h e o r e m .......................................................... 3b
§14. Abel and Gauss s u m m a b ilit y............................... 37
§15. Boundary v a l u e s .......................................................... ^0
§16. Mean v a l u e s ................................................................... *+7
§17. Tauberian theorems ................................................. 50
TABLE OF CONTENTS

12. CHAPTER I I . FOURIER TRANSFORMS IN L] (Several V a ria b le s)
§1 . Riemann Lebesgue Lemma; Com position:,
C o n v o l u t i o n............................................................. 57
§2. Uniqueness th e o r e m ............................................... 59
§3. Gauss summability form ula................................. 61
§4. Gauss summability theorem ............................ 6k
§5. A p p lica tio n of summability-theorem . . . 65
§6. Norms, C ontinuity, Parseval r e la tio n s . . 67
§7. Radial f u n c t i o n s ................................................... 67
§8. General summability fo r r a d ia l fun ctions 76
CHAPTER I I I . Lp-SPACES
§1 . Metric s p a c e s ........................................................ 80
§2. Completion of a m etric s p a c e ....................... 81
§3. Banach sp ace s ............................................................ 85
§4. Linear o p e ra tio n s................................................... 87
§5- Lp sp ace s..................................................................... 9^
§6. C ontinuity, sum nability and approximation
in Lpnorm....................................................................... 98
CHAPTER IV. FOURIER TRANSFORMS IN Lg .
§1. Transformations in H ilbert space .... 104
§2. P la n ch ere l's th e o r e m ..........................................105
§3. General s u m m a b il i t y ..........................................113
§4. Several v a r ia b le s ...................................................117
§5. Radial f u n c t i o n s ...................................................121
§6. D e rivatives and th e ir transforms .... 123
§7. Boundary v a l u e s ...................................................132
§8. Simple type of bounded transform ation. . 138
TABLE OF CONTENTS
CHAPTER I I . FOURIER TRANSFORMS IN L] (Several V a ria b les)
§1. Riemann Lebesgue Lemma; Com position:,
C o n v o l u t i o n ............................................................. 57
§2. Uniqueness th e o r e m ................................................ 59
§3. Gauss summability form ula .................................. 61
§4. Gauss summability theorem .............................. 6k
§5. A p p lica tio n o f summability-theorem . . . 65
§6. Norms, C on tin u ity, Parseval r e la t io n s . . 67
§7. Radial f u n c t i o n s ..................................................... 67
§8. General summability fo r r a d ia l fu n ctio n s 76
CHAPTER I I I . Lp-SPACES
§1 . M etric s p a c e s .......................................................... 80
§2. Completion of a m etric s p a c e............................ 81
§3. Banach sp ace s.............................................................. 85
§4. Linear o p e ra tio n s..................................................... 87
§5. Lp sp ace s....................................................................... 9^
§6. C ontinuity, sum nability and approximation
in Lpnorm....................................................................... 98
CHAPTER IV. FOURIER TRANSFORMS IN L2 .
§1. Transformations in H ilbert space .... 1 04
§2. P la n ch ere l's th e o r e m .......................................105
§3. General s u m m a b il i t y.......................................113
§4. S everal v a r i a b l e s .................................................117
§5. Radial f u n c t i o n s................................................. 121
§6. D e rivatives and th e ir transforms .... 123
§7. Boundary v a l u e s ................................................ 132
§8. Simple type of bounded transform ation. . 138
57
59
61
6k
65
67
67
76
80
81
85
87
9^
i
98
1 04
1 05
113
117
1 21
1 23
132
138

13. §9. Bounded tran sfo rm atio n s commutative w ith
t r a n s l a t i o n s ...................................................1 42
§10. C losu re o f t r a n s la t io n s..............................1 48
CHAPTER V. GENERAL TRANSFORMS IN L 2
§1 . General u n ita ry tran sfo rm atio n s in L2
( 0 , o o ) ......................................................................150
§2. Watson tra n sfo rm s...........................................156
§3. F u n ctio n al eq uation a sso c ia te d w ith Wat­
son t rans f o rm 159
CHAPTER V I . GENERAL TAUBERIAN THEOREMS
§1. I n t r o d u c t i o n .....................................................171
§2. P relim in ary lemmas .......................................... 175
§3. Tauberian theorem s; A verages on (-00,00) ; 82
§4. Averages on ( 0 , 0 0 ) .......................................195
§5. S p e c ia l c a s e s ....................................................... 199
N O T E S ............................................................................................. 209
TABLE OF CONTENTS
§9. Bounded tran sfo rm atio n s commutative w ith
t r a n s l a t i o n s ..........................................................142
§10. C losure o f t r a n s la t io n s .....................................1 48
CHAPTER V. GENERAL TRANSFORMS IN L2
§1 . General u n ita ry tran sfo rm atio n s in L2
(0,00 ) ....................................................................... 150
§2. Watson tra n sfo rm s..................................................156
§3. F u n ctio n al eq uation a sso c ia te d w ith..Wat­
son t rans f o rm 159
CHAPTER V I . GENERAL TAUBERIAN THEOREMS
§1. I n t r o d u c t i o n........................................................... 171
§2. P relim in ary lem m as..............................................175
§3. Tauberian theorem s; A verages on (-00,00) ; 82
§4. Averages on ( 0 , 0 0 ) .............................................195
§5. S p e c ia l c a s e s ........................................................... 199
N O T E S ............................................................................................. 209
1 42
148
1 50
156
159
171
175
; 82
1 95
199
5 09

15. CHAPTER I
FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
§1, Elementary p ro p erties
The F ou rier transform o f f ( x ) is by d e fin it io n the
fu n ctio n a l
4) (* ) = 5°0ei<Kxf(x)dx,
-oo
<x being a r e a l number. The sim plest c la s s o f fu n ctio n s
f( x ) fo r which i t can be introduced is the Lebesgue c la ss
L1 on ( -oo ,oo ).
I f f (x) £ L1 ( -oo ,oo ), then 4>f (oc) or, b r i e f l y , d)(oc)
e x is t s fo r every ck. We s h a ll recount a few p ro p erties o f
4>( oc) •
( 1 .1 ) <t>(oc) is bounded, since
oo
Id)(of) I < II f II = f If (x) |dx.
-oo
(1 .2) <|)(ct) is uniform ly continuous in -oo < oc < oo . I f
y y 0, then we have:

16. 2 I. FOURIER TRANSFORMS IN L] (ONE VARIABLE)
oo
Id>(oc+y)-d>(«) I =[£ f (x )e locx(el y x -i )dx|
-oo
00
< $ |f(x )| • Iel y x -1|dx
-oo
< £°° |f(x )| • 2 |s ln f^ ld x
-oo
R oo R
< 2[ C + f ] |f (X") |dx+yR C |f ( x ) |dx
-oo R -R
Given E ) 0, we can choose R so large and afterw ards y so
small th at the la s t expressions add up to le s s than E .
(1 .3 ) I f c 1 and c 2 are r e a l numbers, and T is the oper­
a tio n which c a r rie s f into then
T ( c 1f 1+ c 2f 2 ) = c 1 .T f1+ c2 .T f2
(1.U) T [f (Rx) ] = ^ T [ f( x ) ] = J F o F ,
where ( ) denotes the complex conjugate.
(1 .5 ) I f a sequence o f fu n ction s ff (x)|-^ f( x ) in L ^
norm, then the sequence o f th e ir Fourier transforms
fd>n (c<)!-^ <t>(jx) uniform ly in -oo < oc < oo .
(1 .6) I f T f ^ 4^ , T f2= d)2, then
00 oo
i <f>, ( y ) f 2 (y)dy = j <M y)f\ (y)dy.
-QD “OO
In fa c t
oo oo oo . A7V.
jr ct)1( y ) f 2 (y)dy = ^ f 2(y)( I e f 1 (x)dx)dy
-00 -00 ' -OO
and by F u b in i's theorem th is is equal to

17. §1. Elementary P ro p erties
(1.61 )
-oo -oo
00 oo .
r e ly x f 1 ( x ) f £(y)dx dy
since
(1 .62)
J
-oo
00 00
; | f 1 (x)| . | f 2 (y)|dx dy
00 -00
00 00
= jr | f 1 (x ) | dx . r | f 2(y)|d y < oo .
However, the double in te g r a l ( 1 . 6 i ) is symmetric in
f ( x ) , f ( x ) , which proves our a s s e rtio n .
Remarks: I t should be noted th at co n cep tu ally the com­
pos ition-theorem (1.6 ) is r a d ic a lly d iffe r e n t from the
more important convolution-theorem as embodied in theorem
2 to be proved la t e r . In theorem 2, the fu n ctio n s f ^ x )
and f 2(x) are composed by them selves and t h e ir transform s
by them selves. However (1 .6 ) composes a fu n ctio n w ith a
transform , and th is can be done only because, in the case
o f Fourier transform s, both the fu n ctio n s and t h e ir tr a n s ­
forms are defined over a common space, namely the lin e
-CO < y < 00 .
THEOREM 1: I f f( x ) € L1 ( -® ,00 ) then
lim (MoO = 0 .
|oc| ->00
This theorem is u s u a lly known as the Riemann-Lebesgue
lemma.
§2 . Riemann-Lebesgue lemma

18. k I. FOURIER TRANSFORMS IN L 1 (ONE VARIABLE)
Proof: If we introduce any interval
I : a ^ x < b
and the function
I i , i f x e I ,
WT ( x ) = I
i 0 , i f x 4 I ,
then for f(x) = w-j-(x), we have
b i«ex _ elyb- etoa
i^or) - $ e ice
a
so that
This result holds for every step-function f(x) which is
constant on a fin ite number of (bounded) intervals and
vanishes outside, on account of ( 1.3). These step-func-
tions are dense in the space L1 (-00,00), that is, corres­
ponding to each £ > 0, there exists a step function f
such that
Now,
and
f - f II < 6 •
) — ^f—f ^f (ft") * (see( 1 .3 ))
5 E
J>f (or)l i lif _f (a) I + lif (oc) I
E 6
E + I if* ( or) I •
E

19. §3. Convolution of two functions 5
Thus
H i l<M<*)l < E + I S |<t)f (or) I -
I <x I “ ^oo | qc | -^oo £
But the second term on the right is zero for a step func­
tion f and therefore
e
Tim |<J)f (a)l < E-
1*1 “^00
Letting £ 0, we obtain the result that
lim <Ma) = 0 .
la! ->00 f
§3. Convolution of two functions
Let f(x), g(x) € L^-00,00), and let <J)(ab v|/(cv) be
their respective Fourier transforms. The (resultant, or)
convolution of f and g is defined to be
00
h(x) = ^ f(x-y)g(y)dy
-0D
00
= S f(y)g(x-y)dy ,
-00
where the second integral arises from the f ir s t i f , for a
fixed x, we replace the variable y by x-y .
We shall now prove a result which states that the
Fourier transform of the convolution of two functions is
the product of their transforms.

20. THEOREM 2 : I f f ,g € L 1 (-0 0 ,0 0 ), th en th e i n t e g r a l
d e f in in g h (x ) e x i s t s f o r alm ost a l l x , b elo n gs to
6 I. FOURIER TRANSFORMS IN L1 (ONE VARIABLE)
L 1 ( -00 ,00 ) and
II h ( x ) || < || f|| .|| g||
(th e n o ta tio n i s as in ( 1 . 1 ) ) . Fu rth e rm o re , i f T^oc) d e ­
n o tes th e F o u r ie r tra n sfo rm o f h ( x ) th en ’Xfor)= cj>(cx). y (o.).
P ro o f: F i r s t we note th a t i f f ( x ) i s m easurable in x ,
th e n f ( x - y ) is m easurable in ( x , y ) . To show th a t
00
h (x ) = J f ( x - t ) g ( t )dt
-00
e x i s t alm ost everyw h ere, we o b serve th a t
00 00
r | f ( x - t ) | . | g ( t ) |dx ~ l g ( t ) | j l f ( y ) |dy
-oo -00
= I g ( t ) | . || f || € L1 ( -00 ,oo ),
and hence
oo 00
^ dt T | f ( x - t ) I I g ( t ) |dx
-00 -00
e x i s t s , and by F u b in i 1s theorem , i t fo llo w s th a t
00 00
f dxC I f ( x - t ) | !g (t ) ! dt
-00 -00
e x i s t s and h (x ) e x i s t s alm ost everyw here and i s o f c la s s
L ( -00 ,00 ).
F urth erm ore,
00 i/VY 00 ify v 00
\(oc) =5 h(x )e dx dx . e w J f( x -y ) g ( y ) d y
-00 -00 -00

21. §4. D e riv a tiv e o f a fu n ctio n and i t s transform 7
= J dx $ f(x -y )e 1<x^x - y ^g(yJe^dy
“OO -00
= “ d y . g ( y ) e ^ f 00f ( x ) e ^ xdx
-00 -00
= 4>(oc) . ^(cx),
and the j u s t i f i c a t i o n fo llo w s again from F u b in i's theorem
w ith f ( x - y ) e ^ x ^ g ( y ) e 'u*^r in p lace o f f ( x - y ) g ( y ) .
§4. D e riv a tiv e o f a fu n ctio n and i t s transform
One o f our o b je cts w i l l be to prove th at i f
00
d)(oc) = $ f (x )elorxdx
-00
then
00 _.
f ( x ) ~ h S e ~lx *
-00
in some sense. But before proving i t , we w i l l note c e r ­
t a in h e u r is t ic consequences o f the in verse r e la t io n , and
e s ta b lis h some o f them without the aid o f the in verse r e ­
la t io n . We have alrea d y noticed that
(A): i f f ( x ) has the F ou rier transform cfc(oc) then
f ( x ) e ixh has the transform (Mcx+h), and
(B): i f f( x ) has the Fourier transform d>(<x) then
f(x+h) has the transform 4>(c*)e
Now, p rop ositio n s (A) and (B) e x h ib it c e r ta in in v er-
t iv o p r o p e rtie s , from which we deduce:
(C): T [f ( x ) . e h -~1 ] = 4>(oc^-h)- (j)(pc) ^

22. and
,D); . e ^ p L .
T e n ta tiv e ly , i f we le t h - ) 0 in (C) and (D) we o btain
form ally
(E): T [ f ( x ) .i x ] = 6 ’ (c<),
(P): T [f ’ (x ) ] = -i«cKoc),
and we s h a ll now e s ta b lis h (E) and (F) on a rigorous
b a s i s .
THEOREM 3. ( i) I f f( x ) € ^ and ix f ( x ) € L1 , then
<b' ((x)e x is t s and d>i x f (o<) = $>' (ex).
( i i ) I f f ( x ) C L1 and f 1 ( x ) £ L] , then
ifiG x ) = -xcxcj) (cx); a lso
oo
(U.1 ) f( x ) = -J f '( x ) d x
X
P ro o f: ( i ) We have
ixh
d)(ex +h) - J)(oc) = T [f (x ) . e - ■ ~1 ]
h 11
= T [fh (x ) ], say.
Now, f^ (x ) ~7>ixf (x ) in L] -norm, because f^ (x )-^ ix f (x ) at
every point x , and
ixh
Ifh (x)| < If ( x ) | lg— -^ 1 i |x| . |f(x )| € L1 .
On applying property ( 1.5) we get
T [fh (x)] — > T [i x f (x ) ],
u n ifo rm ly, as h-^0. Hence, at every point ex , there e x is t s
the d e r iv a tiv e d)! (cx) in the ordinary sense, and
8 I . FOURIER TRANSFORMS IN L, (ONE VARIABLE)

23. Now,
§4. D e riv a tiv e o f a fu n ctio n and i t s transform 9
<t>ix f («) = <J>' (oc) .
( i i ) The p re c ise meaning o f our assumptions is that
th ere e x is t s a fu n ctio n g(x) £ L1 which we choose to d e­
note by f* ( x ) and an in d e fin ite in t e g r a l o f i t
f(x) = $ g(y)dy
such that
f (x ) €, L1 ( -00 ,00 ).
A
f(A) - f(a) = J g(x)dx
a
I f we keep a f ix e d , and le t A-^oo , sin ce g (x) £ L1 , we
have
A
$ g(x )dx —> c.
a
T h erefo re, f( A ) - ^ l ; s im ila r ly f(-A )-^ -m, say. Since
f ( x ) € L1 (-00,00) we must have 1 = -m = 0, and t h is , f i r s t
o f a l l , proves (4.1 ).
N ow ,if T [ f* ( x ) ] = y(<x), then
A
w(0f) = lim C e ioocd f(x )
' A —/'CO -A
= lim [ jei0<xf(x) |A - iocCA e1<xxf (x)dx].
A->oo -A -A
But the boundary terms vanish because, 1 = -m = 0, and
thus
y(oc) = -i0r<t>f (<x)
as claimed.

24. 10 I . FOURIER TRANSFORMS IN L, (ONE VARIABLE)
Remark: There is a much stronger theorem stating that i f
f (x) £ L1 and f (r)(x) € L, , then f'(1 }(x),. . . , f(r_1 >(x) £ :
We shall postpone this to a later context.
f(x) = _2ir ^ e -ioacd>(oc)d<x.
§5. Inversion formula
We wish to give some simple conditions under which
CD
r <
"00
at a given point x, assuming that f ( x ) 6 L1 (-oo ,00 ).
Let
p
(5.1) S R ( x ) = - ± - f e " lo< x<t>(a)dcx
• f(x+t)dt
2 71
-R
00
1
rt-00
2_
00
r
TCj
0
sin Rt f(x-ft) +f(x-t) ,
t 2 dt
Let
(5.2) gx (t) = t - f i-x - t ) _ f ( x ) .
Then
00
(5-5) SR(x) - f(x) = | J 0 3int Rt gx (t)dt.
THEOREM k: If
6 8x ( t)
£ I — I dt < 00 ,
O
then
lim SR(x) = f(x) .
R->oo R

25. §5- In versio n formula 11
Proof: Let <5 ) 0 be fix e d . Then
SR(x) - f (x) = | [ $ ]
OD gY ( t)
] — £— s in Rt dt
= I1 + I2 , say.
Now, I = 0(1 ) by the Riemann-Lebesgue lemma. And, sin ce
'g x (t)
— ^----- is a b s o lu te ly in te g ra b le in (0,6), i t fo llo w s that
1.,= 0, as (5 0.
Remarks: Theorem b shows that i f f( x ) € L1 , then the con­
vergence o f Sp(x) to f ( x ) at a point depends only on the
behaviour o f f ( x ) in a neighborhood o f th at p o in t. This
is Riemann’ s lo c a liz a t io n theorem.
Note that the co n d itio n o f the theorem is f u l f i l l e d ,
i f f ( x ) has rig h t and l e f t d e r iv a tiv e s at the point in
qu estion, provided th at f ( x ) is normalized as
§6. Uniqueness o f F ourier transform
THEOREM 5 : I f f ( x ) € L] (-oo ,oo ) and 4>(cc) = 0 fo r
every cx , then f (x) = 0 almost everyw here.
Proof: Let g p (x) be the fu n ctio n defined as fo llo w s:
g [f(x +0) + f ( x - O ) ] .
1 , -a ^ x £ a ;
o, x > a+e., x < - a - t ;

26. 12 I.FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
Let
so th a t
T[fW (x)] = Y a ,£ (o^
00
fa , e ^ = 2 $ ga , ^ x ^ cos xoc dx
00
r
" <y \ c (x ) sin x(* dx
o
r a + " s in x oc d x .
SL
Hence
= 0 as ^ -> oo .
T h e r e fo r e , s in c e ^ (c<) i s (con tin uous and)bounded, we
have
( 6 .1 ) *fa,£ ^ C L 1 ( -oo ,oo ) .
A ls o , g (x) s a t i s f i e s th e c o n d itio n o f theorem b a t
a ,c.
e v e r y p o in t -oo < x < qd . T h e re fo re by th a t theorem we
have
(6.2) Sa ,E<x ) = -gF 5 e 1XOCT a , t (oc)d<x
Furtherm ore, on account o f (6.1 ), th e i n t e g r a l on th e r ig h t
o f (6 .2 ) converges a b s o lu t e l y . F i n a l l y ,
oo oo
(6.3) $ f ( y ) g „ f (x -y )d y = I <i>(cx\a, f (o c)e loCXdc*
-oo -co T a ,t
This fo llo w s ( e i t h e r by th e c o m p o s itio n -r u le in ( 1 .6 ) or
d i r e c t l y ) I f we s u b s t i t u t e f o r g f th e i n t e g r a l in (6 .2 )
and in te rch a n g e th e I n t e g r a t io n , which i s j u s t i f i e d by
th e a b s o lu te convergence o f ( 6 .2 ) .

27. §6. Uniqueness o f F o u r ie r tra n sfo rm 13
S in ce i(<x) = 0, we h ave:
i ° ° f ( y ) g a , c (x_y)dy “ ° ’
“CO
o r ,
x+a
£ f ( y ) d y = 0, f o r each a ,
' x - a
o r ,
.0
j f ( y ) d y = 0, f o r a l l cx and ft .
ex
Hence f ( x ) = 0 f o r alm ost a l l x ; th a t i s , f ( x ) i s th e n u ll
- fu n c t io n o f th e c la s s L 1 (-00,0 0) o r , r a t h e r , th e n u l l -
-elem ent o f th e Banach space L-^ (-oo,oo).
Rem arks: We w i l l e a s i l y extend t h i s theorem to s e v e r a l
v a r i a b l e s , as w i l l be seen in th e n ext c h a p te r .
In one v a r i a b l e , how ever, th e r e is a d eep er theorem
in which th e (a b s o lu t e ) i n t e g r a b i l i t y o f f ( x ) in (-00,00 )
i s e n t i r e l y d isp en sed w ith and o n ly th e e x is t e n c e o f the
Cauchy l i m it
A
(j) (<x) = lim ^ e^ocxf ( x ) d x
A-^00 -A
f ° r e v e r y q i s p resu p p o sed . This ty p e o f theorem h a s,
a p p a r e n t ly , n ev e r been extended to more th a n one v a r i a b l e ,
and any n o n - t r i v i a l r e s u l t in t h i s d i r e c t i o n would be v e r y -
d e s ir a b l e in d eed .
§7. Sum m ability theorems
Let f (x ) € L 1 , K(or) € L 1 . We know th a t i f T [ f ( x ) ]
= 6(cx), th e n T [ f ( x + t ) ] = <b(or)e . Let T[K(cx)] = H ( t ) .

28. Then T[K(|)] - R H(Rt). Assume:
(7-1) K (oc.) C L1 (-00,00)
(7-2) K(O) = 1, K(oc) is continuous at oc = 0
(7-3) K(p) can be "inverted" at the origin; that is
00
1 = 2V S R H ( R t ) d t
-00
(7*4) K(oc) is even.
Define:
(7.5) s£(x) = ^ 5” <i'(o')e"1XeC K(|)doc •
We then have the following
LEMMA 1 :
v 1 00
(7.o) S (x ) - f (x ) = -: f g (t )RH( Rt )dt,
R o X
where gx(t) is defined as In (5.2).
14 I . FOURIER TRANSFORMS IN L] (ONE VARIBALE)
Proof:
V A ; = 2^
tr -1 OO
SR(x) = k S f (x+t)RH(Rt)dt
-oo
on account of property (1.6). If we now use assumption
(7.3) on K(of), we obtain:
K 00
S (x) - f (x ) = [ if (x+t) - f(x)!RH(Rt)dt.
R -oo
By assumption (7.4), H(t) is even; so that
K . 00
S (x) - f(x) = 4 I gx (t)RH(Rt)dt.
R o

29. §7- Summability theorems
K
LEMMA 2 : I f H ( t ) ^ 0, then S ( x ) £ L1 (-oo ,oo ) as a
R 1
fu n ctio n in x (even fo r sm all R).
For,
Let us now s p e c ia liz e the fu n ctio n K(a) and see how (7*6)
w i l l read.
= II f II •
1, -1 < Oc < 1
(7-7 ) K(oe)
0, outsid e
H(t) = 2 ^ cos oct doc =
2 sin t
t
o
K R
S ( x ) = ^ 5 e _1* x 4>(oc)doc
R 27t -R
s i ^ R t d t
SR(x)
in the n o ta tio n o f §5-
(7.8)
1 1
H (t)2 f '(l-a)co so ct doc = 2 f (1 -oc)d
0 0
2_ 1 -COS t
t t

30. S (x) = — - J (1- ct>(cx)doc
R 27r -R R
R . , v - i<xx I / \ ia x
= S g-t A L ~yJ g -----)3oc
R
= f d - f) d s (x)
J 0 H « (X
i R
= ^ f S doc .
0
- I I 00 -nr o
(7-9) K(<x) = e , H ( t ) = 2 5 e cos oct dt = ------
O 1 +t
( 7 .1 0 ) K(oc) = e0^2 , H (t) = 5° ° e c><2+lat doc = e t 2 / 4 7t1/,S •
-oo
16 I. FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
THEOREM 6 : I f (1 ) K(oc) € L ] ( -oo ,oo ), (2) K (o) = 1 ,
(3) K(cx) is_ continuous at_ oc = 0 and ( 4) K(oc) = K(-oc); i f
( 5 ) H(t ) is_ monotonely d e c r e a s in g In 0 { t < oo and ( 6 )
oo
£ H(t )dt < oo , and hence (7 ) tH (t )-^0 as_ t-~>oo, and i f
O 1 oo
furtherm ore (8) 1 = C H (t)d t; th e n , a t a p o in t x , the
^ To J
-oo
c o n d itio n
i h
^ j gx ( t ) d t = 0(1 ), as. h -> o
im p lies
SR(x) - f (x ) = o (1 ), as R - ) oo .
Note th a t H (t) is even , s in c e K(oc) is even , and t h a t ,
as w i l l be proved su b seq u en tly in theorem 9, assum ption (8)
is a consequence o f the p rev io u s on es.

31. §7- Summability theorems
P ro o f: From (7.6 ) we have
K 1 oo
S (x) - f( x ) = ^ f g (t )RH(Rt )dt
R o x
u oo
= S ♦ S
o u
= I1 + I2,s a y .
I f we put
we have
G(t) = 5 g (s)d s,
I,= $ RH(Rt)dG
= uR . H(Ru) ^ G(t)R dt H (Rt)
o
u
= o(i ) + 0( f tR d.H(Rt ))
o
u
= 0(1) + 0(uR . H(Ru) - J RH(Rt)dt)
It = 0(1 ),
and f i n a l l y
(7-11 )
by assumptions (6) and (7 ). Also
T = 1 r°° ^f(x + t ) + f ( x - t ) _ g f ( x ) ]RH(Rt)dt
2 71 u 2
= I 2 ,1 + I 2 ,2 + * 2 , 3 ’ s a y '
1 0 0
II2 , l { RH(Ru) ^ | f (x + t) I dt
CD
< . uR . H (R u ) . 1- ^ I f (x + t) | dt
-00

32. (7.12) <£. , as R -) g o , for fixed u.
Similarly,
(7.13) |I2>2I < E •
II2 ,1 < 5°° H(Rt )dt = J°°H(t)dt = 0(1 ),
2,3 n u 71 uR
as R 00 , because o f assumption (7).
The r e s u lt now fo llo w s from ( 7 .1 1 ) to (7. 13)
THEOREM 7 • Assumptions: (l ) K(<x) is_ the same as in
theorem 6 , and H ( t ) s a t i s f i e s assumption (8); (2) there
e x is t s a fu n ctio n Hq (t ) s a t is fy in g assumptions (5 ), (6 )
and (7) o f H (t) in theorem 6 such that |H (t) ^ HQ( t ).
Conclusion: i f
1 h
h S I Sx ( t ) I dt = 0(1 ), as h -) 0,
o
then
K
S (x) - f ( x ) = o( 1 ), as R - ^ o o .
R
The proof is sim ila r to that o f theorem 6; we have only
to use the f a c t :
lgx(t)K lc(f~t}-l + lf(g~t} l + lf(x)|.
Remarks: In theorem 7 the assumption on K(<x) and assump­
t io n (8) were needed only to secure the in te g r a l rep re-
K
sen ta tio n o f S (x).
R
18 I. FOURIER TRANSFORMS IN L, (ONE VARIABLE)

33. §7* Summability theorems
Theorem 6 covers the cases when K(cx) = e ^ ( A b e l )
o
and K(cx) = e ** (Gauss) but not (F e je r):
K(oc) =
Theorem 7 covers the la s t case, because
i h 1 h
Since r- C g (t)d t -) 0 i f and only i f f f(x + t)d t
o -h
f ( x ) , and the l a t t e r holds almost everywhere fo r
f ( x ) £ L1 by the fundamental theorem on ab so lu te c o n tin u i­
ty o f the in d e fin ite in t e g r a l, th e re fo re theorem 6 proves
th at the F ou rier transform o f an L1 -fu n ctio n is A bel-
(or Gauss -)summable almost everywhere.
1 h
Even the more strin g en t co n d itio n g- J |g (t ) Idt —^ 0
is s a t is f ie d almost everywhere by a fu r th e r theorem o f
Lebesgue, and hence by theorem 7, the F ou rier transform
o f an L1 -fu n ctio n is summable (0,1 ) almost everywhere.
§8. Some a p p lic a tio n s o f summability theorem s.
THEOREM 8. I f f ( x ) £ L] and <f>(oc)€ L1 , then
almost everyw here.
Proof: By theorem 6, we have, f o r almost a l l x ,
o
£ e lx<* <J)(a)doc= f ( x )
oo _.
(fi.i ) f ( x ) = lim f e~lxoc e
R-^co -CD
loci
R
ct(cx:)doc .

34. 20I. FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
Since (Hoc) £ L1 , we have
CO 00
C sup | e x<xe R Ida = f | e ixoc<t>(oc) |doc < oa
27r -oo R 2rc -oo
Hence in (8.1 ) we may le t R-^oo under the in t e g r a l- s ig n
and i t fo llo w s by "majorized lim its " that
oo _.
f( x ) = $ e 1X<X <M<x)dcx
2lt -00
almost everywhere.
Remark: I f we d efin e fo r a l l x ,
f o (x) = i i r S 0 0 ®"1 ^
then, by the uniqueness theorem (5 ), f ( x ) = f*Q( x ) almost
everywhere, and thus i t fo llo w s that f ( x ) d if f e r s from a
continuous fu n ctio n on a set of measure zero.
THEOREM 9: I f f( x ) £ L1 and I f ( x )) < M in -h < x < h,
h ) 0, and <t(oc) ^ 0, then
00 00
C 14>(oc) Idoc = C d>(<x)doc < oo .
-oo -00
Proof: We assume f i r s t that
If (x) | < N, in (-oo , ooj,
and put K(cx) = e . Then
K 1 oo .
IS (x) | = \ - ± - f f(x+^)H (t)dt|
R 2 71 -oo K
w 0 0
< -A - j H(t )dt = N

35. §8. Some a p p lic a tio n s o f summability theorems 21
so that
K
IS (o) < N ;
R
o r ,
oo - oo R
(8.2) £ (MoOe doc < 2 rr N
-oo
Due to <|>(oc) y 0, we may pass to the lim it as R-^oo under
the in te g r a l sig n , and o b tain
oo
(8.3) j* d>(cx) dcx 2tc N
-oo
which proves the a s s e rtio n .
A c tu a lly i t is enough to assume th at |f(x )| < M in
(-h , h ), fo r
K hR hR oo
S (x) = £ + J + $ ;
R -hR -oo hR
at x = o, we o b tain
hR
I S I < M
-hR
A
as b e fo re. Then by using the property |H(t)| < ^ fo r
h < t < oo we o b tain an estim ate
-hR oo
I S + S I < M
-CD hR 2
uniform ly fo r 1 ^ R < oo , and we o b tain the conclusions
(8.2) and then (8.3) w ith M1 + M2 instead o f N.
Remarks: From theorems 8 and 9 we observe the fo llo w in g :
(A): I f f ( x ) € L1 and f ( x ) is continuous, and
<i>(oc) £ L1 , then in v ersio n holds everyw here.

36. (B): I f f ( x ) € L1 , is bounded and continuous and has
a p o s itiv e (that i s , non-negative) transform , then in v e r­
sion holds everywhere.
§9. C ontinu ity in norm
Let
oo
f ( x ) 6 L. , f h (x) = f(x + h ), II f II = C I f ( x ) |dx = A;
1 h -00
then, || f h H = || f II . Let
w(h) = || f(x) - f h(x)||
00
= £ |f(x ) - f(x + h ) Idx .
-oo
Then, w (t) is even and bounded; 0 £ w(h) ^ 2A; w(h^ + h )
< w(h1 ) + w(h2 ); w(o) = 0.
THEOREM 1 0. w(h) - ) 0 as h ^ 0.
Pro.of: Let f( x ) = 1 in (a,b ) and f ( x ) = 0 outside
(a ,b ) . Then
oo a+h b+h
j |f(x+h) - f(x )|d x = £ dx + £ dx = 2h-^0,as h-^0.
-oo a b
Since
wf (h) < wf (h) + wf (h)
i 1 2 i 1 i 2
the r e s u lt is tru e fo r s te p -fu n c tio n s . Again l e t |f j
be a sequence o f step -fu n ctio n s such that f n “^ f ; then
wf (h) < wf _f (h) + wf (h)
n n
22 I. FOURIER TRANSFORMS IN L 1 (ONE VARIABLE)

37. §9- C o n tin u ity in norm 23
£ 2 II f - f n ll + w f ( h )
THEOREM 1 1 . I f f ( x ) , g (x ) a re bounded f u n c tio n s o f
c la s s L 1 , th e n th e i n t e g r a l
00 ___ 00 ____
h (x ) = £ f ( x + y ) g ( y ) dy = £ f ( x - y ) g ( - y ) dy
-00 -00
e x i s t s f o r e v e r y x , and h (x ) is bounded, con tin u ou s and o f
c la s s L 1 (-00,00 ).
P r o o f :
00 00
I f f( x + y ) g ( y ) dy| < $ |f(x + y ) | d y . sup |g (y )|
-00 -00
i M . || f |
thu s h (x ) Is bounded; i t is a ls o co n tin u o u s , f o r
00
|h(x) - h ( x + t ) I < j* I f (y+x ) - f (y + x + t) | . |g (y ) |dy
-00
< sup | g ( y ) I . wf ( t ),
and by th e p r e v io u s theorem , w (t)-^ o as t-^ 0 , so th a t
|h(x) - h (x + t)| = £ ( t ) = 0(1 ), as t-^ 0 .
THEOREM 1 2 . I f f (x) is_ a bounded fu n c t i o n o f c la s s L 1 ,
th e n
GD _ . C D
j | f (x ) I 2dx = $ | cj)(a) I 2dtx
-cd -00
th e I n t e g r a l s b e in g f i n i t e .

38. 2 4 I . FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
Proof: Setting up the function
oo ___
h (x ) = f (x+y )f (y )dy
-oo
we observe that by theorem 2,
T[h(x) ] = I<t((x) 1 0.
By theorem 11, h (x ) is bounded and continuous and of class
L 1 . It has a positive transform. Hence by theorem 9, in ­
version holds everywhere,
oo ____ gd .
f f(y+x) f(y)dy = -g— £ l<t>(«)l e d<x .
-oo -oo
Setting x = 0, we get the required result.
THEOREM 13 • If f ( x ) , g (x ) are both bounded functions
of class , then
oo ____ oo _____
$ f(x)g(x)dx = $ (Kcx) y(oc)da .
-oo “OO
Proof: By theorem 12,
oo oo p
\ I <J> (<x)! da < oo , ^ l y l a H doc < oo .
-oo -oo 1
Hence by Schwarz's inequality,
oo
r cj>(<x) ^ (ex) doc
-oo
e xists . Hence, at every point (since h (x ) is continuous
by theorem 11) the inversion-formula holds (cf.theorem 8)
for the convolution h ( x ) , that Is :
oo ____ - oo _____
h(x ) = £ f (x+y )g(y )dy = £ ct>( oc) y(oc)e d <x .
-oo -oo

39. §10. Sum m ability in norm
S e t t in g x = 0, we o b ta in th e re q u ire d r e s u l t .
25
§10.. Sum m ability in norm.
THEOREM 1 b. Let f (x ) € L 1 ; l e t K(oc), H ( t ) s a t i s f y
th e assum ptions o f theorem 6. Then
K
|| S (x) - f (x ) II — > 0
R
as R — oo .
K
P ro o f: By lemma 2 o f §7, S (x ) € L - (-00,0 0) and
R
K , 00
IS (x ) - f (x ) | < r 5 lf(x + t) - f ( x ) | R|H(Rt) | d t .
R -QD
Hence
00 K
J IS (x) - f (x) |dx
-00 R
00 00
< | dx J If (x + t) - f (x ) | R| H( Rt ) | dt
u -00 -00
1 00
< J w (t) R| H( R t ) | dt
-00
1 00
= u I w ( t) Rl H( R t ) | dt
o
0(1 )
as R 00 , s in c e w (t) i s bounded and w(t)-)> 0 as t - ) 0,
w h ile t H ( t) -) 0 as t -) 0 0.
Remarks: We have proved th a t under s u i t a b le c o n d itio n s :
K
( i ) S (x) f ( x ) alm ost ev eryw h ere, as R 00 ;
R

40. 26 I. FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
K
( i i ) S (x) f( x ) in L -norm.
R 1
§1 i . D e r iv a t iv e s o f a fu n c t io n and t h e i r tran sfo rm s
We r e c a l l theorem 3, which s a y s:
( i ) i f f ( x ) C 1^ and i x f ( x ) € L ] , th en
6 ^ = 4>f(cx);
( i i ) i f f ( x ) C L 1 , g (x ) £ L1 , and g (x ) = f ! ( x ) , th en
y (cx) = - i o c (J)(cx).
We now w ish to prove
THEOREM 15. I f f (x) £ L 1 , g ( x ) e L 1 and y(<x) = T[g]
= — i Oc 4> ( o c), th en g (x ) = f f (x) alm ost everyw here , th a t i s :
oo
f(x) = - $ g(y)dy.
X
P ro o f: S p e c ia l c a s e : Assume th a t d>(cx), (oc) L^
(-0 0 ,0 0 ). In t h i s c a s e , we can use th e in v e r s io n -fo r m u la ,
and hen ce, f o r alm ost a l l x ,
00 _.
f ( x ) = $ e 1X 4)(of)do< ,
2 rc -oo
00 _.
g (x ) = —— 5 e 1X0C. -icx6(oc)dcx
-00
so th a t
J g (x )dx = § (e iboc - e iaOC)<t>(cx)doc
a -00
- f ( b ) - f ( a )

41. §11. Derivatives of a function and their transforms 27
hence
g(x) = f 1 (x)
almost everywhere.
2
General case: Let K(cx) = e ** and put
f (x) = d r S e 6(<x)K(<*)doc
R -oo
g^(x) = £ e ~ ±xoi- i<xd)((x)K(^)dc<
By lemma 2, §7, f (x), g (x)€ L (-00,00). Also
R R 1
b
f (b) - f (a) = C g (x)dx.
R R a R
Hence
But
00
f (x) = - $ g (y)dy.
R x R
00
(11.1) lim C |g (y) - g(y) I dy = 0
R-^oo -00 R
by theorem 14. Therefore, in particular, for every fixed
x , we have
00 00
lim f (x) = lim - £ g (y)dy = - g(y)dy.
R-^oo R R-^oo x R x
On the other hand, f (x) converges almost everywhere to
R
f(x) by theorem 6. Thus, for almost a ll x,
00
f(x) = - 5 g(y)dy,
X

42. which implies our assertion.
THEOREM 16 . I f f( x ) € L1 , g(x) € L1 , T [ f ] - d>(ac) §£d
T[g] = vjj(<x-), and i f ^(Oc) = ( -ioc)nd)(oc) where n is a p o s itiv e
i n t e g e r , then f has n d e riv a tiv e s a l l belonging to c la s s L1 .
Note that the conclusion implies that (-ioO^^oc),
k = 0,...,n are a ll transforms.
Proof: We w ill fir s t show that i f <J)(oc) € T and
( -ioc)ni>(oc) 6 T, n ^ 2, then (— I oc) (J> (cx) C T [66 T means (J)
is a transform].
For, —~r is a transform and so by theorem 2,
2 8 I. FOURIER TRANSFORMS IN L1 (ONE VARIABLE)
and hence, again by theorem 2,
( -l0c)n (t>(oc) r- m
n-1 e -
(cx+i)
But
(' 1<X)n t(. = [ -ioc + A + ^ ]*(*).
(c*+i ) J’~° (<x+i )
The le ft side belongs to T, and the last two terms on the
right side also belong to T; hence
( -ix)<t>(oc) € T.
We next apply this result successively, and observe that
(-ia)k<i)(oc) £ T, k= o ,...,n .
Hence,by theorem 15, we could successively derive f(x)

43. within L1 ( -00 ,00 ).
THEOREM 17 • If f(x) € L1 and has n derivatives and
f (n)(x) C L,, then f (k)(x) £ L,, 0 < k < n.
Proof: By hypothesis,
f (k)(x) == 0(|x|n ) as |x|—>00 .
2
Let K(<x) = e_oc ; let
f ( x ) = 2V S ° ° e ” i0(X 4 > (o c )e -<><2/ R 2 d o t.
R -00
As in (7 • 6 ) we have
- 00
f (x) = $ f (x-t )R H(Rt )dt,
R -co
where H is the transform of K. Set R = 1 , and then we have:
1 °o _ 2 . 0 0
(1 1 .2 ) V x e 1*x i>(oc)e~(X doc = - ± - $ f(x+t )H(t )dt.
”00 -00
By successive differentiations of the f ir s t integral,
we obtain
00 • 2
(11.3) Dnf 1 (x) = ^ e"iOQC(-ioc)n 4,(cx)e"lX doc
“00
and as a rule such formal differentiation under the inte­
gral-sign is admissible whenever the derived integral is
convergent uniformly in every fin ite x-interval. Since
f (k)(x) = 0;|x|n ) as x->oo , 0 < k < n
and H(t) = e_t ^ , this rule also applies to the second
§11. Derivatives of a function and their transforms 29

44. 30 I . FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
in te g r a l in (1 1 .2 ) so that
CO
Dnf 1 (x ) = ^ f (n )(x+ t)H (t)d t;
-oo
and H(t) being even, th is is :
(11.10 Dnf 1 ( x ) » - J - J ° ° f ( n ) (x - y ) H ( y ) d y .
-oo
But f^ n ^(x-y) and H(y) both belong to L , and thus, by
( 1 .6 ) , (11.4) im plies
oo _. 2
( n .5) Dnf 1 (x ) = £ e ' lax v (oc)e~* da
-oo
2 2
The two fu n ctio n s, (-icx) <t(a)e a , y(c<)e a appearing in
(11 . 3 ) and (11 .5) both belong to L1 ( -00 ,00 ), and, on r e ­
p la c in g i b^ - i , the fu n ctio n D ^ ^ x ) appears as the com­
mon F ou rier transform of both. By theorem 5 and con­
t in u it y in oc , we conclude that they are equal and hence:
(-ioc)n (oc) = (oc).
Thus,
T [ f (n )(x)] = ( -icx)n <i>(oc).
Now, using theorem 16, we observe that each o f the d e r i-
(k- ^
v a tiv e s (x ), k= Q , . . . , n - 1 , belongs to the c la s s
L1 ( -00 ,00 ).
§12. Degree o f approxim ation
We proved that i f
1 h
^ $ gx (t)d t - 0(1 ) as h -) 0

45. §12. Degree o f approxim ation 31
then
K
S (x) - f ( x ) = 0(1 ) as R - ) oo .
R
We now assume that
h
J g (t )dt = o(h +q), q > 0
o x
and d e sire to conclude th at
q K
R (S (x) - f ( x ) ) = o(1 ).
R
THEOREM 1 8. The assumptions on K(oc) and H ( t ) are the
00 a
same as before (§7) except fo r C H (t) tqdt < oo i nstead o f
oo o
only £ H(t )dt <( oo . We then h a v e :
o
h
(A): C g (t )dt = o,h1+q),
J0 x
im plies
K
IS (x) - f( x ) | = o ( - J - )
R R q
(B): i£ lH(t)I < HQ(t) where HQ(t) satisfies the
main assumptions, then:
h
f lg*(t)|dt = o(h1+q)
Jo x
im plies
K i
IS (x) - f( x ) | = o ' —L-) .
R R q
Proof: We f i r s t observe th at i f q ) 0 is any con­
sta n t, and H(t) decreases monotonely to zero , and

46. 00
£ H(t)tq dt < oo
1
then
(18.1 ) H(t)tq+1-> o aa t -) oo .
For,
x x 1
f H(t)tq dt ^ H(x)f t q dt = H(x)xq+1 f uq du->0
x/2 X/2 1/2
as x ■) 00 . To prove the theorem, consider
00 ni1 u 00
$ gx (t)Rq+1H(Rt)dt = ^ + J = I 1 + I2, say.
32 I. FOURIER TRANSFORMS IN L, (ONE VARIABLE)
Regarding I 2, we have:
°o 1
$ [f (x+t )|Rq+1H(Rt )dt
u
00
< Rq+1H(Ru) £ | f( x + t ) |dt
u
0(1 ),
as R 0 . Furthermore,
0 0 n , 1
$ If(x)|Rq H(Rt)dt
00 1
£ |f(x)|£ Rq+ H(Rt )dt
u
< .lf WI £°°Rq+1 t q H(Rt )dt
uq u

47. §12. Degree of approximation
= r® t q H(t)dt
uq uR
55
= 0 (1),
for fixed u, as R oo , since the la3t integrcix converges
absolutely. Hence
Next, put
and then,
I 2 « 0(1 ).
I = f R q+1 H (R t)d G (t)
1 0
_ uq+1Rq+1H (R u)G (u) T
„q+l + X5 ’
where
Due to the monotoneity of H(t), we may majorize G(t)
under the integral sign thus obtaining
I, = o($U Rq+1 t 1+q dt H(tR))
= o(Rq+1ul+q H(uR) + o (5 Rq+2t 1+qH(tR)dt)
0
and it follows from a ll our assumptions on H(t) that

48. Examples: Since H(t)tq+1 must be "small at oo"
approximation Is not optimal either for
34 I.FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
f 1 “ I Oc\ J loci ( 1
K(oc) = f
f 0 , loci ^ 1 ,
in which case
i . ,H(t
or for K(oc) = e 'cx' in which case
H(t) = — V - ;
2
1 +t2
but it is a very good one for K(oc) = e ^ , since
H(t) = e~t2 / h ,
and also for K(oc) = — p- since H(t) = e
1 -KX
§13. Abel's theorem
Let
^ [e‘ lx<x (t(oc) + eixa 4.(-oc)] = a(or)
then for given x,
K K 00 00
S = S (x) = f a(oc)K(f)doc = f K(«)d Afoc) .
R R o H o R 0

49. §13- A b e l’ s theorem 35
THEOREM 1 9 . Assumptions : (1 ) Let K(oc) be_ continuous
and d if fe r e n t ia b le in 0 {<x < oo, (2) K (o ) = 1, (3 ) K ( y )
QD
0 as y ^ 00, and ( b ) J | K 1 (qc ) I drx< oo .
o
C o n clu sion : i f A (y) ^ c as y -) oo then
K oo
S (x) = r K (f)d A (oc)
R o * 0
e x is t s fo r every R, and
K
S (x) c, as R - ) ffi ,
R
£ov_ every x .
Remark: In s ta tin g assumption (b ) we have presupposed
K(oc) to be d if fe r e n t ia b le (or rath er an in d e fin it e in t e ­
g r a l) . However, i t would s u f fic e to assume
GD
J IdK(or) I < oo
o
without any assumption o f d i f f e r e n t i a b i l i t y , but the proof
would become s l i g h t l y more cumbersome.
P ro o f:
$7K(<*)d Aq(oc)
For fix e d R, K(^) has the same p ro p erties as K(oc), and i t
can be e a s i l y v e r ifie d from our assumptions th at the rig h t
side tends to a lim it as y -) oo , and that

50. A fte r rep lacin g AQ(y) by A (y )- c we may assume th at c = 0.
Choosing B s u f f i c i e n t l y large and keeping i t fix e d , we ob­
ta in :
oo oo
|J K(*)dA (cc)| = | j 1 K'(«)A (oc)da I
o o
B oo
= + 5 1
o B
B 1 1:0 1
= [0(1)5 ^|K'(<*)|doc + o(i )5 ^|K'(*)|dor]
o B
B/R oo
= [0(1)5 |K ' (oc) I doc + o( 1 ) 5 IK ' (oc) I doc ]
o o
36 I. FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
= 0(1 ),
as R oo .
THEOREM 20. Assumptions : (1 ) 1 ^ 1 , K(oc) is. tw ice
d if fe r e n t ia b le in 0 oc <( oo , (2 ) K(o ) = 1, (3 ) K ( y )
t 00
y ->0 as. y->o^ (^ )K '(y )y->o as y -> o o ,(5) [ oclK"(oc)!d<* < oo,
1 ry 0
(6) A (y) = o(y ), A1 (y) = j Aq(<x )doc = cy + o (y ).
o
C o n c lu s io n :
oo
5 K <R>d Ao (oc)
o
e x i s t s f o r ev e ry R and tends to c as_ R oo .
P r o o f :
5 \ ( | ) d A (oc) = K(y/R)A ( y ) - [K(^-) ] A (oc)doc
o o
= K(y/R)A0 ( y ) - ^ [ K ^ j ' d A, (Oc)
= K(y/R)A0 ( y ) - ^ K ' ( | ) A 1 (y)+ tK(^) ] "a, (a)doc
oR

51. §1U. A b el and Gauss sum m ability 37
Now, due to our assu m p tio n s, i f y -^ o o , th e r ig h t s id e
e x i s t s , and i n f a c t
oo oo
On r e p l a c i n g Aq (oc) b y Aq (cx)“ c w e m a y a g a i n a s s u m e c - 0,
and our c o n c lu s io n fo llo w s from
Let
oo B oo
S IF (ooidoc < $ + L
o R o B
B oo
0(1)5 |K"(*)|d<x + 0 (1 ) 5 -eCg-lK"C^) Idoe
o R B R
§ 1b. A b el and Gauss sum m ability
S = f°° a(<x)e ^ d o c ;
R o
00 2 / r 2
T = C a((x)e * doc;
R o
l e t
x = 1 /R.
Theorem 21 . Assum ptions : (1 ) a(oc) is_ L 1 - in t e g r a b le
i n e v e r y f i n i t e i n t e r v a l 0 £ oc £ R, and
oo _ 2^2
T (x ) = ^ a(oc)e K ~ doc
o
e x i s t s f o r e v e r y x y 0, (2) T (x ) is_ bounded, )T(x)| £ M,
oo
) lim T ( x ) = c , ( b ) £
x->+0 o
o° _
0 < x < oo (3) lim T (x ) = c, (4) £ |a(oc)|e * * doc < oo f o r

52. 38 I. FOURIER TRANSFORMS IN L1 (ONE VARIABLE)
oo
0 < x < oo , so. th a t S (x ) = £ a(<x)e doc e x i s t s f o r
o
0 < X < 00 .
C o n c lu s io n :
lim S (x ) = c.
x-^+O
Remark: Assum ptions ( l ) and ( ^ ) a re c e r t a i n l y s a t i s f i e d
i f a ( y ) = 0(yk ) f o r some k > 0.
P r o o f : We h a v e :
oc > o e “* = 1 5°° da
o 1 +x
-4- dy
1 +x o
2 r°° °° -y - x 2y . „
e = ( \ e J cos a x e J dy dx
y=0 x=0
-a rro e~y ~oc2 /k y .
= S W e dy
oo e (-l/Mu2 g - ^ u 2
- S0 ~3i r ^ ■ d u
OO _ 2 2
= J 7 (u)e K du, say,
o
where
7 (u) ^ 0 .
S e t t in g oc = o, we o b ta in
oo
1 = 5 ~/(u)du

53. Now,
§lb. A b el and Gauss sum m ability 39
S(x) = ^°°a(oc)e * x da
o
0 0 0 0 2 2 2
= £ [ a.{(X )*7 (u )e a x u doc du
o "o
00
£ T(x u)'7 (u)du,
by assum ption (b) and 7 ^ 0 and F u b i n i 1s theorem . Now
|T(x)| £ M and hence by dominated con vergen ce i t i s e a sy
to see th a t lim S (x ) = c .
X->+0
More g e n e r a l ly , we have th e f o llo w in g
THEOREM 22 . Assum ptions : (1 ) Let K(<x), a(oc) be d e ­
fin e d f o r 0 £ oc < CD ; K(oc), a(o c) a re p o s i t i v e ;
K( 0) = A (0) = 1; th e r e e x i s t s a r e l a t i o n
00
K(oc) = J -y(u) (oc u )du, 7 ( u ) ^ 0 ,
o
(2 ) a(oc) is_ L 1 - i n t e g r a b le in e v e r y f i n i t e i n t e r v a l
0 £ oc £ j and
00
T (x ) = ^ a(<x) A(cxx)doc
o
e x i s t s f o r e v e r y x , 0 < x < 00 , (3) I T ( x ) | <^M, 0 < x < 00 ,
00
(b) lim T (x ) = c , (5) f I a(oc) | |K(cx x ) | doc <00,
x->+0 o
00
S(x) = £ a(<x )K(oc x )doc
e x i s t s f o r e v e r y x .

54. l+o I. FOURIER TRANSFORMS IN L (ONE VARIABLE)
C o n clu sio n s:
lim S(x) = c .
x->+0
§15- Boundary values
Let f( x ) £ L1 , T [f] = 4>(oO, and le t
1 0 0 _ .2
f(x,y) = i <t>(^)e:1XOf'yK do<
2rt -oo
oo - t o l 2
05*) = 7 ^ i00f(z) V T e k7 dz ’
the fu n ctio n f ( x , y ) a r is in g from f’p(x ) o f theorem 15 on
R2
P roperties o f f ( x , y ) :
(15*1) For every y > 0, f ( x , y ) £ L1 as a fu n ctio n in x
(Lemma 2).
(15 .2 ) lim f ( x , y ) = f( x ) in L.-norm (t h . 1 U)
y->+° 1
f* r\ "P
(15.3) For every y > 0, t - , — ^ e x is t and belong to L1
6x
For in stan ce,
and fo r fix e d y )> 0 th is is
00
^ f( z ) h ( x -z ) d z
-00
where h(x) € L1 and hence 5“ £ L^ by theorem 2; s im ila r ly
fo r su ccessive d e riv a tiv e s

55. Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

59. The Project Gutenberg eBook of Viehättävä
vastustajatar: Seikkailuromaani

60. This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States
and most other parts of the world at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it
under the terms of the Project Gutenberg License included with this
ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the
United States, you will have to check the laws of the country where
you are located before using this eBook.
Title: Viehättävä vastustajatar: Seikkailuromaani
Author: Olli Karila
Release date: September 14, 2018 [eBook #57902]
Language: Finnish
Credits: Produced by Tapio Riikonen
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK VIEHÄTTÄVÄ
VASTUSTAJATAR: SEIKKAILUROMAANI ***

61. Produced by Tapio Riikonen
VIEHÄTTÄVÄ VASTUSTAJATAR
Seikkailuromaani
Kirj.
OLLI KARILA

62. Hämeenlinnassa, Arvi A. Karisto Oy, 1920.

63. SISÄLLYS:
 1. Pari nykyaikaisen tekniikan väärinkäyttäjää mullistaa
    kylpykaupungin kesäisen elämän.
 2. Sanomalehtimiehet päättävät aikansa kuluksi ruveta
    kilpailemaan esivallan kanssa.
 3. Se, joka ei ole tullut ympyräviivan yli, on sen sisäpuolella.
 4. Kivinen alkaa purjehdusretkellä epäillä sananpartta, että naisten
    ja ovien kanssa tulee aina toimeen, kun käsittelee niitä
    tasaisesti.
 5. Seikkailijat huomaavat, että langat alkavat juosta yhteen.
 6. Kivinen huomaa, kuinka sattuma toisinaan voi olla uskomattoman
    yksityiskohtainen ja johdonmukainen.
 7. Kiukkuisistakin vastauksista voi saada arvokkaita tietoja.
 8. Olle selviytyy sangen pulmallisesta tilanteesta ylistämällä
    tohtori Brattia ja hänen järjestelmäänsä.
 9. Höyrylaiva "Arthur" saa kutsumattomia kansimatkustajia.
10. Salakuljettajat joutuvat aavistamattaan kokemaan Robinsonin-
elämää.
11. Olle saa luvan ryöstää oman asuntonsa.
12. Seikkailijat saavat odottamattaan ja tahtomattaan lisävoimia.
13. Kivinen saa kuulla lyhyen, mutta ytimekkään esitelmän
    alkeellisista käyttäytymissäännöistä.

64. 14. Kivinen ja Minck saavat vaivojensa palkaksi pussillisen kiviä.
15. Kivinen päättää saattaa neiti Rigerin vakavaksi.
16. Leikistä on maksettava leikin hinta.
17. Se parhaiten nauraa, joka viimeksi nauraa.
1.
Pari nykyaikaisen tekniikan väärinkäyttäjää mullistaa
kylpykaupungin kesäisen elämän.
"Halloo, onko poliisilaitoksella… Niinkö, onko poliisimestari… Juuri
lähtenyt… sepä perhanaa. Tiedättekö minne…? Jaha, ei voi sitten
mitään."
Karl Andersson, "Kuststads Tidningin" päätoimittaja ja
toimitussihteeri, kieräytti kiivaan ja äkäisen loppusoiton erään
vahvan ruotsalaisen sanan säestyksellä, kun samalla, voimasanan
kaiun vielä kiiriessä kahdessa tyhjässä toimitushuoneessa ja
eteiskäytävässä, ovi aukeni ja sisään astui tai paremmin sanoen
hypähti nuori ja kaunis — vaarallisen kaunis, voi sanoa, sillä
toimittaja Karl Andersson oli vielä sangen nuori vanhapoika —
vaaleaan ilmavaan kesäpukuun puettu nainen.
"Häiritsenkö?" heläytti nainen ihastuttavan soinnukkaalla
äänellään, hymyillen veitikkamaisen vastustamattomasti hiukan
hämilleen menneelle toimittaja Karl Anderssonille ja naisellisen
uteliaana silmäillen kesäisen sekamelskaista, vanhojen
sanomalehtien, kirjoitettujen paperien, liimapurkkien ja saksien
täyttämää toimitusvaltakuntaa.

65. "Ette suinkaan!" sai toimittaja Karl Andersson soperretuksi, häviten
samassa silmänräpäyksessä viereiseen huoneeseen noutamaan
takkiansa, sillä hän katsoi nuoren naisen läsnäolon vaativan, että
sietämättömästä kuumuudesta huolimatta noudatettiin jotakin
minimiohjelmaa pukeutumiseen nähden.
Nainen päästi raikkaan naurunheläyksen ja istuutui kursailematta
toiselle huoneen kahdesta tuolista, heittäen jalkansa sirosti ristiin,
niin että pieni nilkka vilahti näkyviin. Pään asennossa ja silmien
välkkeessä oli jotakin itsetietoista, ei jäykkää eikä ylpeää kuitenkaan;
raikas ja hieno, hiukan päivettynyt iho todisti hyvää terveyttä ja suun
juonne reipasta iloisuutta. Vaaleahko tukka aaltoili yksinkertaisen
leveän kesähatun alta, ja aistikas valkoinen sinireunuksinen
merimiespusero jätti näkyviin kauniisti kaartuvan kaulan.
Pyöreähköt, paljaat käsivarret päättyivät pitkiin, hyvinhoidettuihin
sormiin.
Parin minuutin kuluttua tuli toimittaja Karl Anderssonkin näkyviin,
yllään vaalearuutuinen kesäpuku, pehmeät kaulukset ja leveä
taiteilijamalliin solmittu kaulaliina, ruotsalaisen punoittavana ja
kohteliaana.
"Hyvää päivää, neiti Riger! Mikä tuottaa minulle kunnian nähdä
teidät täällä? Pyydän anteeksi, että täällä on kaikki näin sekaisin,
mutta sellaista se on…"
Neiti Riger, kylpykaupungin tämänkesäisen sesongin kaunotar,
keskeytti toimittaja Anderssonin anteeksipyynnöt, ojentaen hänelle
pienen kätensä ja luontevasti hymyillen.
"Älkää antako itseänne häiritä! En odottanutkaan tulevani
minnekään korttikansliaan. Ajattelin vain ohimennessäni pistäytyä

66. kuulemassa, joko te mahdollisesti olette saanut jotakin tietoa siitä.
Täällähän kaikki ensimmäiseksi tiedetään!"
Toimittaja Karl Andersson punastui itsetyytyväisyydestä.
"Älkää imarrelko! Emme toistaiseksi paljoakaan tiedä.
Reportterimme on parhaillaan hankkimassa täydellistä selostusta.
Soitin juuri teidän tänne tullessanne poliisimestarille, mutta hänkin
oli jossakin ulkona, kai tutkimassa asiaa. Mutta hiukan minäkin
tiedän."
"Kertokaa, pyydän! Lupaan kuunnella kärsivällisesti. Olen hieman
utelias enkä niin vähänkään. Ajatella, lentokoneella!"
Neiti Riger nauroi ja katsahti toimittaja Anderssoniin.
"Niin", aloitti tämä, "sikäli kuin tarkistamattomien ilmoitusten
perusteella tiedän, ilmestyi kaupunkimme yläpuolelle noin kello
kahdentoista aikoihin lentokone, kaksitaso. Se suuntasi matkansa
kylpyaukiota kohden, kiersi muutaman kerran sen yläpuolella ja
poistui sitten etelään, saapuen kuitenkin noin puolen tunnin kuluttua
takaisin. Kuten tiedätte, on kasinon ja metsän välissä laaja aukeama,
ja lentokone laskeutui äkkiä aukeaman toisessa päässä noin
viidenkymmenen metrin korkeudelle, ja sikäli kuin kasinolta voitiin
nähdä, pudotti jotakin maahan, jonkun pienen käärön. Sen tosiasian
vahvistaa myöskin lähellä kasinoa oleskellut poliisikonstaapeli.
Tämän jälkeen lentokone nopeasti kohosi, teki käännöksen ja lensi
rannikkoa pitkin etelään, kadoten näkyvistä. Mitään kansallisuus- tai
muita merkkejä ei voitu siinä havaita. Malli oli ranskalainen."
"Entä miten käärön kävi?" Neiti Riger paloi uteliaisuudesta ja
liikahti kärsimättömästi tuolillaan.

67. "Niin, se on oikeastaan vieläkin ihmeellisempää", jatkoi toimittaja
Andersson. "Kuten tiedätte, kulkee maantie aukeaman toisessa
laidassa. Kun käärö oli pudonnut maahan, syöksähti tien vierellä
moottoripyöränsä kanssa hääräillyt mies esiin, nosti käärön, juoksi
pyörälleen, hyppäsi sen selkään ja huristi pois, ennenkuin kukaan
kasinolla olleista ehti edes nähdä, minkälainen tämä herra oli
näöltään. Poliisikonstaapeli käsitti tilanteen oikein, hypäten lähistöllä
olleen polkupyörän selkään, mutta ei tietenkään voinut saavuttaa
miestä. Juttu on toistaiseksi tällä asteella, ainakin minun tietojeni
mukaan."
"Tämä on kauhean jännittävää!" huudahti neiti Riger. "Mitä te
arvelette koko jutusta?"
"Ka, täsmällisesti en osaa sanoa. Yksityiskohdat ovat hämäriä,
mutta tuskin erehdyn, jos otaksun sen olleen salakuljetusta."
"Niinkö? Ja mitä olisi ollut käärössä?"
"Vähän vaikea sanoa: rahaa, arvopapereita, arvoesineitä tai
jalokiviä."
"Eikö tiedetä, mistä lentokone oli?"
"Ei ainakaan vielä."
"Entä mies moottoripyörällä? Luuletteko, että hänellä on
mahdollisuuksia päästä pakoon?"
"Sekin on vaikea sanoa! On tietenkin sähkötetty kaikkialle
ympäristölle hänen pidättämisestään, mutta kun ei mitään varmoja
tuntomerkkejä voida antaa, on tulos epäiltävä. Mutta joka

68. tapauksessa, tämä julkeasti suoritettu ainotlaatuinen
salakuljetusyritys ei jää selvittämättömäksi."
"Oletteko varma siitä?"
"Kyllä!" Toimittaja Karl Anderssonin äänessä soinnahti
aitoruotsalainen itsetietoisuus ja varmuus.
"Meidän poliisilaitoksellemme onnistuu se varmastikin."
"Olisi hirmuisen mielenkiintoista katsella sellaisia miehiä, jotka
uskaltavat tehdä sellaista! Ajatella, lentokoneessa! Siitä tulisi suuri
oikeudenkäynti!"
Neiti Riger näytti niin äärettömän huvitetulta ja tyytyväiseltä, että
toimittaja Karl Andersson, joka laski kunnian tästä ainakin osaksi
tulevan itselleen, tunsi selittämätöntä mielihyvää.
"Mitähän tulisi noille salakuljettajille, jos heidät saataisiin kiinni?"
"En osaa varmasti sanoa, mutta tavarat he menettäisivät, saisivat
suuret sakot ja hyvässä tapauksessa joutuisivat istumaankin."
"Huh, se on vaarallista! Koko kylpylaitos puhuu nyt vain siitä.
Viimeinkin on tapahtunut jotain huomattavaa. Muutoin kävisikin
ikäväksi." Neiti Riger nousi seisomaan. "Ja nyt en halua enää teitä
häiritä! Suurin kiitos ystävällisyydestänne! Näkemiin!"
Toimittaja Karl Andersson tarttui ihastuttavaan käteen ja puristi
sitä pitkään. Neiti Riger nyökäytti päätänsä ja kääntyi lähteäkseen.
Samassa aukeni ovi ja sisään astui kaksi herrasmiestä.

69. "Kas vain, tietenkin on nainen nopeampi, kun on kysymyksessä
uteliaisuuden tyydyttäminen. Hyvää päivää, neiti Riger!"
"Niin, taisinpa olla ensimmäinen, vieläpä ehdin ennen
sanomalehtimiehiäkin! Hyvää päivää, herra Kivinen! Ja herra
Nordgren!"
"Suon mielelläni teille sen kunnian", virkkoi herra Kivinen, loma-
aikaansa kylpylaitoksessa viettävä suomalainen sanomalehtimies, ja
istuutui keveästi kumartaen pöydän laidalle. "Mutta, kuten olen
useasti sanonut, kohtalo suosii meitä sanomalehtimiehiä. Me saimme
nähdä jotakin, mitä muut eivät saaneet."
"Ja mitä sitten?" kysyi neiti Riger huonosti salaten uteliaisuuttansa
ja antaen kätensä viivähtää tuolin selkämyksellä.
"Me näimme moottoripyöräilijän."
"Niinkö, kertokaahan! Tunsitteko hänet?"
"Emme, ikävä kyllä." Herra Kivinen sytytti savukkeen, tarjoten
toimittaja Karl Anderssonille ja herra Nordgrenille.
"Olimme", aloitti Kivinen, "Ollen kanssa hiukan kävelemässä,
mutta kun tämä heinäkuun ilma on kaikkea muuta kuin sopiva
sellaiseen ajanviettoon, käännyimme takaisin. Olimme juuri
tulemassa valtatielle, tiedättehän siellä lähellä teidän huvilaanne,
neiti Riger, kun äkkiä kuului jumalattoman kovaa surinaa ja tietä
pitkin porhalsi oikeata kuolemanvauhtia moottoripyöräilijä.
Vetäydyimme nopeasti syrjään puoleksi pensaitten taa, ja minulla on
täysi syy luulla, ettei arvoisa pyöräilijä meitä huomannut. Mies oli
keskikokoinen, kalpeakasvoinen ja tummatukkainen ja -partainen,

70. sikäli kuin ehdin nähdä. Tavallinen autolakki oli vedetty syvään, ja
silmiä peittivät suojuslasit. Hän oli puettu englantilaiseen
urheilupukuun, keltaisiin ameriikkalaisiin kenkiin ja nahkaisiin
sääryksiin. Vasemmasta sivutaskusta pisti esiin nahkainen käärö."
"Näittekö minne mies ajoi?" tiedusti neiti Riger.
"Jos olisimme tienneet, millä tavalla käärö oli joutunut miehen
haltuun, olisimme tietenkin tarkastaneet vähän pitempään, mutta
tietämättöminä jatkoimme pahimman pölyn haihduttua matkaamme.
Ehdittyämme pari sataa metriä tuli vastaamme läähättävä
poliisikonstaapeli polkupyörällä. Esivallan arvoisa edustaja tiedusti
hengästyneenä, olimmeko mahdollisesti nähneet erästä
moottoripyöräilijää. Me myönsimme nähneemme, mutta ilmoitimme,
että jos esivallan arvoisa edustaja vaali joitakin hämäriä luuloja, että
polkupyörällä voisi saavuttaa moottoripyörän, niin täytyi meidän
murskata kaikki tämäntapaiset haaveet. Ehdotimme, että
poliisikonstaapeli voisi kääntyä hyvällä omallatunnolla takaisin,
osoitettuaan kiitettävää intoa ja jonkunlaista järkeäkin
viranhoidossaan. Tältä konstaapelilta saimme myöskin kuulla jutun
esihistorian, valaistuna omakohtaisilla ja tavalliselle passipoliisille
hyvinkin kunnioitettavilla otaksumisilla ja johtopäätöksillä.
Keskusteltuamme kasinolle kerääntyneiden ja asiaan tavattomasti
innostuneitten kansalaisten kanssa painoimme tänne, vaikka nyt
näenkin, ettei täällä tiedetä asiasta enempää, koska toimittaja Karl
Andersson näkyy niin ahkerasti kirjoittelevan muistiin minun
selostustani."
Herra Andersson raaputteli kiivaasti kynällään, sillä mikään
yksityiskohta ei saanut jäädä tässä kaupungin ja maankin rikos- ja
skandaalihistorialle harvinaisessa jutussa unhoon.

71. "Luuletteko, että näkemienne tuntomerkkien perusteella käy
moottoripyöräilijän pidättäminen mahdolliseksi?" kysyi neiti Riger.
"No en totisesti. Jos niiden perusteella käydään pidättelemään,
niin voisin lyödä vetoa, että kymmenet tällä itärannikolla huristelevat
moottoripyöräilijät joutuisivat tekemisiin arvoisan esivallan kanssa."
"Oh, juttu on siis yhtä hämärä kuin ennenkin", huudahti neiti
Riger.
"Mutta kai huomenna saa jo joitakin uusia tietoja, vai miten, herra
Andersson?"
"Luultavasti, luultavasti, neiti Riger. Pistäytykää kuulemassa."
"Kiitos kutsusta. Nyt lienee jo todellakin aika lähteä. Näkemiin
siis."
Neiti Riger ojensi kätensä.
"Niin, terve sitten", sanoi Kivinenkin ja nousi seisomaan. "Me kai
lähdemme myös."
Seurue tuli kuumalle ja autiolle hiekkaiselle kadulle. Neiti Riger
tarttui polkupyöräänsä ja iloisesti nyökäten hyppäsi sen selkään.
"Näkemiin", huudahti herra Kivinen. "Kai te illalla tulette kasinolle
tanssiaisiin ja sitten purjehtimaan minun kanssani, kuten olette
luvannut?"
"Siihen saatte luottaa."
2.

72. Sanomalehtimiehet päättävät aikansa kuluksi ruveta kilpailemaan
esivallan kanssa.
"Olisinpa todellakin hämmästynyt nähdessäni neiti Rigerin tuolla
toimituksessa, ellen olisi huomannut hänen pyöräänsä ja siten
saanut aikaa hiukan tointua", sanoi Kivinen kotimatkalla ystävälleen
ja virkaveljelleen Olle Nonrdgrenille.
Olle ei vastannut mitään, ja molemmat miehet astelivat ilmeisen ja
harvinaisen innokkaasti pehmeähiekkaisia, puutarhojen ja somien
huviloitten reunustamia katuja. Ilma oli kuuma ja tukehduttava
sellainen kuin se voi olla heinäkuussa, kun aurinko viikkomäärin
paahtaa pilvettömältä, hiilakansiniseltä taivaalta. Vain mereltä silloin
tällöin tulevat hyväilevän raikkaat henkäykset tekivät ulkona
liikkumisen yleensä mahdolliseksikaan.
Noin kymmenen minuutin kuluttua saapuivat ystävykset oman
huvilansa luo, kulkivat pienen, mutta hyvin hoidetun puutarhan läpi
ja istuutuivat syviin korituoleihin varjoisalla kuistilla. Palvelijatar toi
hiukan virvokkeita, Kivinen riisui kauluksensa, sytytti savukkeen ja
kääntyi sitten Ollen puoleen.
"Mitä sinä tästä kaikesta oikein ajattelet?"
Sanomalehtimies Olle Nordgren, pyöreähkö, vilkkaannäköinen
vanhapoika eloisine silmineen ja punoittavine kasvoineen, joilla
leijaili ainainen myhäilevä, ymmärtävä epikurealainen iloisuus,
siemaisi vielä kerran virvoketta.
"Sinä tarkoitat sitä kääröä?"

73. "Niin, tietysti. Luuletko voivan olla mahdollista, että
moottoripyöräilijä heitti sen sattumalta neiti Rigerin puutarhaan?"
"En", Olle hymähti, "ja minua ihmetyttää, että ylimalkaan voit
sellaista kysyä. Käärö oli tietenkin tarkoitettu neiti Rigerille, ja
hänelle se heitettiin. Luuletko, että joku kallisarvoinen käärö
kuletettaisiin ensin lentokoneessa tänne ja sitten viskattaisiin
moottoripyörästä, ilman mitään syytä, aivan vieraan henkilön huvilan
puutarhaan. Ja käärö heitettiin neiti Rigerin puutarhaan, sen
ehdimme nähdä molemmat. Nyt on meidän selvitettävä, mikä osuus
hänellä on tässä hauskassa jutussa."
"Niinhän se on", myönsi Kivinenkin, "mutta minä en oikein
uskoisi…"
… "että neiti Riger olisi sekaantunut, ja tällaisella tavalla, tähän
ensiluokkaiseen salakuljetusjuttuun." Olle nauroi hiukan
kiusoittavasti. "Niin se käy, kun pihkaantuu. Ei uskoisi mitään
epäedullista, vaikka mitkään järkisyyt eivät estäisikään. Sinäkin
tunnet niin perin vähän neiti Rigeriä, olet vasta pari viikkoa ollut
hänen kanssaan tekemisissä, et tiedä mitään hänen entisyydestään
etkä nykyisyydestäkään. Mutta tunne on tietysti voimakkaampi. Ei
niin, että minäkään luulisin mitään pahaa, mutta nykyajan naisista
en mene mitään edeltäpäin vannomaan. Voihan olla, että neiti Riger
vaikka huvittelee salakuljetusurheilulla. Tämä peräti uudenaikainen
ja hieno muoto, lentokone, voi viitata sellaiseen."
"Hm, mitä huvitteluun tulee, niin olen varma siitä, ettei tässä voi
olla kysymystäkään mistään sellaisesta. Minä näet tunsin
moottoripyöräilijän, vaikka sinun onkin pidettävä tämä tieto täytenä
salaisuutena. Et saa missään tapauksessa virkkaa siitä mitään
poliisille etkä lehdellesi, vielä vähemmin tietenkin neiti Rigerille."

74. "Tunsit?" — Ollen äänessä kuulsi selvä epäusko ja ihmetys.
"Niin, tarkoitan, että olen joskus ollut hänen kanssaan tekemisissä.
Nimeä en tiedä, mutta siitä saan kyllä selvän päivässä tai ainakin
parissa. Puhun siitä enemmän myöhemmin. Nyt on ensin saatava
mahdollisimman täydelliset tiedot neiti Rigerin menneisyydestä sekä
siitä, missä hän tänään on ollut kello kahdentoista ja kahden välillä.
Mitä edelliseen tulee, niin luulen voivani saada ainakin arvokkaita
viittauksia tämäniltaisen purjehdusmatkan aikana, ja jälkimmäisestä
saat sinä koettaa huolehtia. Minä avustan kyllä. Meillä ei ole mitään
kiirettä, sillä arvoisa esivalta on meistä ratkaisevasti jälessä. Me
tiedämme minne käärö on joutunut, ja saamme tietää, kuka tuo
moottoripyöräilijä oli. Juttu on salakuljetetusta, ja käärössä oli
varmastikin jalokiviä. Epäilen niiden olleen tuotuja Saksasta.
Jalokivien vientitullihan on siellä kaksikymmentäviisi prosenttia, joten
muutaman miljoonan takia kannattaa kyllä ryhtyä näinkin
laajakantoisiin ja vaivaloisiin yrityksiin."
"No niin, käydään toimeen. Näin loma-aikana seikkailee
mielelläänkin.
Mitä sinä sanoit tietäväsi siitä moottoripyöräilijästä?" kysyi Olle.
"Olen nähnyt hänet Helsingissä, muutamassa taidekaupassa.
Niinkuin ehkä tiedät, ovat Helsingin ja yleensä Suomen taide- ja
antikvaarikaupat nykyään täynnä mitä kallisarvoisimpia ulkomaalaisia
taideteoksia ja -esineitä, etupäässä tietenkin venäläisiä. Niitä ovat
tuoneet mukanaan ja myyneet Suomeen paenneet venäläiset, ja
suuri osa myös on ensin Venäjällä varastettua ja sitten salaa
kuljetettua Suomeen. No niin, katselimme taidekaupassa tauluja, —
minä, muuan taiteilija ja eräs mesenaatti. Huomiotamme kiinnitti
etenkin hollantilainen mestarimaalaus, vanha ja arvokas, oikeastaan

75. määrittelemätön rahassa. Taiteilija ei sanonut mitään, vihelteli vain ja
kysyi kuin ohimennen taidekauppiaalta, mistä hän oli saanut taulun.
Tämä selitti, ettei se ollut hänen omansa, vaan se oli tuotu vain
myytäväksi. Taiteilija tiedusti omistajaa, ja hänen sitä kysyessään
astui sisään keskikokoinen, kalpeakasvoinen tumma mies, joka puhui
hiukan murteellista ruotsia. Taidekauppias viittasi häneen. Hänet
esiteltiin, mutta en silloinkaan kuullut hänen nimeään. Taiteilija kysyi
hintaa. Mies hiukan mietti ja mainitsi kuusinumeroisen luvun.
Summa oli mitätön taulun arvoon nähden, mutta meillä ei ollut
yhteensäkään edes puolta tuosta rahamäärästä asettaa liikekannalle.
Silloin kysyi taiteilija äkkiä, mistä hän oli taulun saanut. Mies selitti
sen ostaneensa Pietarissa. 'Niinkö, tunnetteko mahdollisesti ruhtinas
N—skin?' kysyi taiteilija. Mies meni hiukan hämilleen, mutta kielsi.
'Niin, katsokaas', puhui taiteilija kylmäverisesti, 'tämä taulu kuuluu
hänen perhekokoelmiinsa. Hän ei ole sitä myynyt, sillä hän on itse
paennut Suomeen ja oleskelee parhaillaankin täällä. Mutta saatujen
tietojen mukaan on muutamia hänen taulujaan, ennenkuin
neuvostohallitus ennätti ne ottaa suojelukseensa, ehditty varastaa.
Onko teillä mahdollisesti siitä jotakin tietoa? Ja millä tavalla Te toitte
taulun maahan?' — Mies ja taidekauppias menivät hämilleen, mies
koetti sopertaa jotakin, mutta taiteilija ja me poistuimme. Kun paria
päivää myöhemmin tulimme takaisin, oli taulu poissa. Omistaja oli
vienyt sen pois, selitti taidekauppias. Sekä taulu että mies katosivat.
Sain kuulla, että ruhtinas oli vahvistanut täydelleen taiteilijan
otaksumat."
"Ja mistä luulet voivasi hänet niin varmasti tuntea?" tiedusti Olle.
"Sinähän ehdit vain hetken katsoa häntä?"
"Hänen nenänsä muoto ei niin hevin haihdu mielestä", selitti
Kivinen. "Se on hiukan — juuri senverran että erottaa —

76. epämuodostunut, ja se riittää. Tuntisin hänet missä tahansa ja
milloin tahansa."
"Ja mistä luulet saavasi tietoon hänen nimensä?"
"Taiteilijalta. Minä sähkötän hänelle."
"Mutta hänen osoitteensa?"
"Myös sieltä. Olen varma siitä, että taidekauppias tiesi hänestä
enemmänkin, ja taiteilija osaa kyllä pakoittaa häneltä tiedot. Ja
toinen seikka: mies lienee ollut enemmänkin taidekaupoissa, joten
otaksun siitä, että myöskin Tukholman taidekauppiailta saamme
jotakin selvitystä. Ja tämäkin on asian nykyisellään ollen jo sangen
paljon. Onhan meillä nyt edes jonkunlainen käsitys koko
seikkailusta."
"Tjah, uskaltaisiko tästä nyt lähteä liikkeelle", virkkoi Olle hiukan
haluttomana. "Tuolla on kuuma."
"Onpa niinkin, mutta ajatteles, jos saamme tästä jutusta selvän!
Ennen poliisia! Ja sitten julkaisemme lehdessä!"
"Neiti Elise Rigerin osuuden myöskin?"
Kivinen vaikeni hetkiseksi.
"Perhana, mitä hänellä on tässä oikeastaan tekemistä! Olisi saanut
pysyä nyt syrjässä. Totisesti, kun onni joskus potkaisee, niinkuin
meitä, jotka aivan sattumalta vainuamme sitä moottoripyöräilijää,
niin sitten pitää naisen tietenkin sotkeutua väliin. En sen puolesta,
että minulla olisi mitään erikoista neiti Rigeriä kohtaan, mutta tuntuu
hiukan ilkeältä ajatella hänen joutuvan syytettyjen aitaukseen.

77. Sittenpähän nähdään! Lähtekäämme lennätinlaitokselle. Ja tiedätkö,
mitä sitten teemme! Me otamme auton ja ajamme asemalle. Niin
kauan kun jäljet ovat tuoreet, tiedustelemme moottoripyöräilijää.
Minulla on hiukan omia luulojani ja haluaisin saada ne joko
vahvistetuiksi tai kumotuiksi."
3,
Se, joka ei ole tullut ympyräviivan yli, on sen sisäpuolella.
Lennätinlaitoksella nakutti kaksi konetta, ja virkailijat hikoilivat
paitahihasillaankin niiden ääressä. Kivinen, Ollen seuraamana, astui
kursailematta aitauksen sisäpuolelle ja tervehti toista virkailijaa,
keski-ikäistä, hiukan keikaroivaa miestä.
"Hyvää päivää! Anteeksi asumme, mutta te kai ymmärrätte!" sanoi
virkailija.
"Vielä kysyttekin", nauroi Kivinen. "Ja työtä on paljon?"
"Tänään on kohtalaisesti, kun poliisimestari on sähkötellyt joka
suunnalle sen lentokonejutun takia."
"Niin, arvaa sen! Minullakin olisi nyt vähän sähköttämistä. Saisinko
lomakkeen!"
"Kyllä, hetipaikalla! Niin, niitähän onkin tuolla", virkkoi virkailija ja
pujahti aitauksen ulkopuolelle. Kivinen silmäili nopeasti koneen
vieressä olevia lomakkeita. Siinä näkyi olevan useitakin
poliisimestarin kirjoittamia, mutta pinkkaan asetettujen lähetettyjen

78. sähkösanomien joukossa oli päällimmäisenä muuan, joka kiinnitti
Kivisen huomion.
Sähkösanoma oli lyhyt: "Tukholma, Strandgatan 43. Import &
Export.
Tilatut saapuneet, R."
Virkailija palasi ja ojensi lomakkeen. Kivinen kiitti ja istuutui
kirjoittamaan.
"Saanko tarjota?" lausui sanomalehtimies ja ojensi
savukekotelonsa.
"No, miten edistyy teidän juttunne?" virkkoi hän hymyillen.
Virkailija naurahti itsetyytyväisesti. "Kiitos kysymästä. Luulenpa,
että linnoitus alkaa olla antautumaisillaan. Muuten, terveisiä neiti
Rigeriltä. Hän kävi tässä noin tunti sitten ja jutteli kymmenisen
minuuttia. Jaa, teillä on hyvä maku, herra Kivinen, täytyy
tunnustaa", pilaili virkamies.
Kivinen naurahti tyytyväisesti, ja hänen vilkkaat ja avoimet
kasvonsa vetäytyivät leveään hymyyn. Olle vihelsi pitkään.
"Kai tulette tämäniltaiseen juhlaan", kysyi Kivinen.
"Kyllä, saan silloin vapaata. Täytyyhän tässä jumalattomassa
kuivuudessa edes hiukan kastella kaulaa ja huvitella."
"Näkemiin sitten, ja suuri kiitos!" sanoi Kivinen ja antoi virkailijalle
täytetyn lomakkeen ja maksun. "Illalla tavataan."
Päästyään kadulle lähtivät ystävykset autoasemalle.

79. "Vieläkö epäilet neiti Rigerin syyllisyyttä?" kysyi Olle.
"En sano mitään. Osoitteen kirjoitan heti muistiin. Tukholma,
Strandgatan 43. Import & Export. Luulenpa, että moottoripyöräilijä
on jossakin tämän osoitteen lähistöllä."
Pienen aukeaman laidassa oli autoasema. Ystävykset nousivat
autoon, ja kuljettaja, haukotellen ja venytellen jäseniään, kiersi
moottorin käyntiin. Auto hypähti liikkeelle ja painui kesän täydessä
vihreydessä komeilevain puutarhain ja niitten lomitse pilkottavain
huvilain reunustamalle valtatielle. Ilmanpaineen synnyttämä
tuulenhenki virkisti sietämättömässä kuumuudessa.
"Asemalle!" määräsi Kivinen.
Auto liukui pitkin sileää ja kovaa tietä, sivuutti muutamia
maalaisrattaita, kallistui hiukan mutkassa ja sujahti sitten neiti
Rigerin huvilan ohi. Ketään ei näkynyt. Parin kilometrin päässä
olevan pikku ravintolan luona Kivinen antoi määräyksen pysähtyä.
Ystävykset hyppäsivät autosta, menivät verannalle ja tilasivat hiukan
juotavaa. Isäntä tuli itse tarjoilemaan. Olle, joka oli parikin kertaa
ollut ravintolassa, tarttui puheeseen.
"Hyvää päivää! Joko olette kuullut siitä suuresta jutusta?"
"Kyllä väin", virkkoi isäntä.
"Muistatteko sattumalta, mihin aikaan se moottoripyöräilijä
porhalsi tästä ohi?"
"Moottoripyöräilijä? Olen istunut tässä koko päivän kuistilla ja
päätellyt tilejäni, mutta mitään moottoripyörää ei tänään ole tästä
kulkenut ohi."

80. "Jaha", Ollen äänessä oli hiukan ihmettelevä sävy. "Minne vie se
sivutie, joka haaraantuu tässä lähellä oikealle?"
"Lähimmälle rautatiepysäkille, heti seuraavalle tältä asemalta."
"Pääseekö asemalta pysäkille toista tietä?"
"Asemalta menee melkein rataviertä kyllä toinen."
"Hyvä, me voimmekin sitten pistäytyä sinne! Täytyy nyt hiukan
toimia, jotta saisimme jonkunlaisen selostuksen lehteen. Kas niin,
hyvästi!"
Ystävykset maksoivat ja nousivat uudelleen autoon.
Asemalla ystävykset menivät rautatiekirjakauppaan ja ostivat
muutamia pääkaupungin lehtiä ja ajanvieteromaaneja. Kivinen
koetti, eikä ilman tulosta, hymyillä nuorelle myyjättärelle.
"Mihin aikaan lähtee juna Tukholmaan?" kysyi sanomalehtimies.
"Nyt kello 5.27 ja sitten illalla 9.05."
"Entä aamulla?"
"Aamulla ei kulje mitään junaa, vasta kello 1.18 lähtee
ensimmäinen."
"Menikö tänään paljonkin väkeä tällä päiväjunalla?"
Myyjätär katsahti vähän ihmeissään ahkeraan kyselijään.
"Ei, ainoastaan muutamia, pari rouvaa, eräs vanha pariskunta ja
muutamia maalaisia."

81. "Ette huomannut ketään urheilupukuista miestä?"
Neitonen nauroi ääneen.
"Ahaa, herrat ovatkin poliiseja! Ei ketään, jota voisi luulla
moottoripyöräilijäksi, ei näkynyt. Ja jos sellainen olisi ollut, niin tästä
sen olisi kyllä huomannut."
Kivinen kiitti tiedoista ja pyysi sitten, ettei neitonen kertoisi mitään
heidän kyselystään. Sanomalehtimiehet nousivat uudelleen autoon ja
ajoivat aivan radan vartta kulkevaa tietä pitkin seuraavalle pysäkille,
noin viisi kilometriä. Täällä Kivinen haki käsiinsä muutaman uneliaan
asemamiehen, joka setelin vaikutuksesta huomattavasti piristyi.
Ei, moottoripyörää hän ei ollut nähnyt. Kyllä, varmasti, jos
sellainen olisi mennyt ohi, niin hän tietäisi siitä. Jaa, väkeäkö! Olihan
niitä ollut muutamia, pari kolme herraa, muuan neiti tästä lähistöltä
ja eräs asemamies. Puetutko, ei hän oikein muista, tavallisiin
kesävaatteisiin. Oli ollut kiirettä. Pitkältäkö valtatielle? Jaa, ehkä pari
kilometriä. Kyllä voi autolla ajaa.
Kivinen kumarsi ja riensi autoon, joka painui syrjätielle. Tie oli
kyllä kapeahko, mutta muuten hyvä ja kova. Huviloita oli aina jonkun
matkan päässä.
"Mitä sinä luulet nyt oikein hyötyneesi?" kysyi Olle, puolittain
maaten auton pehmeillä nahkaistuimilla ja savutellen mahtavaa
sikaaria.
"Miehestä en saanut suurtakaan vihiä. Matkustanut Tukholmaan,
kuten arvata sopiikin. Mutta minä tiedän jotakin hänen pyörästään",
lausui Kivinen salaperäisesti hymyillen.

82. "Ja missä se on?" kysyi Olle.
"Minä en tiedä, missä se on, mutta minä tiedän, missä se ei ole, ja
se on jo varsin paljon. Huomaa, meillä on alue, jossakin määrin
ympyränmuotoinen: meri, joki, asema ja pysäkki. Moottoripyörä oli
tällä alueella. Merelle tai joelle se ei päässyt. Jää asema, jossa sitä ei
ole nähty, ja pysäkki, missä vakuutetaan samaa. Vain kahta tietä
pitkin pääsee alueelta. Metsässä ei voi ajaa. Siis: on selvää, että
pyörä on jonnekin jätetty. Se on ympyräviivan sisäpuolella. Se
mahdollisuus on olemassa, että se olisi jätetty metsään, mutta
katsoen siihen, että sellainen kapine on vähän liian kallis
uhrattavaksi, ei otaksuma näytä todennäköiseltä. Ei, minä luulen,
että pyöräilijällä oli joku tukipaikka tämän syrjätien varrella,
luultavastikin sen alkupäässä. Hän hyppäsi pyörältä heti syrjätielle
tultuaan ja talutti, ettei herättäisi huomiota, sen johonkin huvilaan,
muutti vaatteita ja marssi sitten kunniallisena kansalaisena pysäkille
ja nousi kello 1.18 junaan. Hän ehti sen hyvin tehdä. Asiasta
saamme piankin varmuuden. Poliisi tietenkin tutkii ympäristön, ja
muutenkin moottoripyörän kokoinen kapine kyllä löydetään. Ellei sitä
löydetä, niin oma otaksumani on ainoa mahdollinen. Epäilen, etteivät
poliisit kykene pääsemään näinkään pitkälle."
4.
Kivinen alkaa purjehdusretkellä epäillä sananpartta, että naisten ja
ovien kanssa tulee aina toimeen, kun käsittelee niitä tasaisesti.
Ilma oli jo raikas, kun kasinon orkesteri rai'utti ensimmäisen
valssin. Laajalla verannalla, josta avautui kaunis ja mahtava näköala

83. tummenevalle merelle ja valkoiselle rantahietikolle, istui reumatismin
ja muitten vaivojen, sekä todellisten että kuviteltujen, runtelemia
seurueita, maun ja sukupuolen mukaan nauttien joko tavallisia
virvokkeita tai miedompia ja voimakkaampia väkijuomia, syöden
illallista ja keskustellen kylpyläväen keskuudessa välttämättömistä
juoruista sekä päivän suuresta sensationumerosta: lentokoneen
vierailusta ja siitä heitetystä kääröstä.
Lihavahkot tukkukauppiasten rouvat tarkkailivat salavihkaa
tyttäriänsä, jotka hikisinä ja punoittavina tanssivat pönäkkäin
luutnanttien tai aloittelevien tuomareitten — tai pahimmassa
tapauksessa — iloisten, mutta yhtä tyhjien ylioppilaitten ja taiteilijain
kanssa, kadoten sitten vilvoittelemaan kasinon puutarhan
tunnelmallisiin lehtimajoihin tai puoleksi pensaitten piilossa oleville
penkeille, jotka kaikki paikat ovat sopivan vaarallisia nuorille
naimaiässä oleville neitosille ja heidän kavaljeereilleen heinäkuun
ihanana iltana. Nuoret tanssivat ja kuhertelivat, vanhemmat istuivat
ja katsoivat, ja toivottomat vanhatpiiat tiesivät saavansa
puheenaihetta vielä seuraavaksikin päiväksi. Siitä ei tosin erikoista
puutetta ollut, sillä kylpylän vilkas elämä tarjoaa etenkin näille
erehtymättömille tarkastelijoille ehtymätöntä puheenaihetta
suljetuissa kahviseuroissa.
Olle Nordgren istui toimittaja Karl Anderssonin kanssa lähellä
pääovea, josta näkyi tanssivain häikäisevä parvi: neitoset ja rouvat
vaaleissa kesäpuvuissaan, komeat ruotsalaiset upseerit muhkeissa
univormuissaan ja siviiliherrat jäykissä mustissa asuissaan ja
hohtavan valkoisissa rintamuksissaan. Ilo ja elämänhalu kuvastui
kasvoilla, ja jonkunlainen kansainvälinen leima loi loistoa ja
vaihtelevaisuutta. Kivinen näytti kokonaan unohtaneen päiväsen
tutkimusaikeensa ja tanssi innokkaasti ja sulavasti viehättävän neiti

84. Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com