Full download Discrete Time Signal Processing 3rd Edition Alan V. Oppenheim pdf docx

Download Full ebookname - Read Now at ebookname.com
Discrete Time Signal Processing 3rd Edition Alan
V. Oppenheim
https://ebookname.com/product/discrete-time-signal-
processing-3rd-edition-alan-v-oppenheim/
OR CLICK BUTTON
DOWLOAD EBOOK
Discover More Ebook - Explore Now at ebookname.com

Instant digital products (PDF, ePub, MOBI) available
Download now and explore formats that suit you...
Discrete systems and digital signal processing with MATLAB
Second Edition Elali
https://ebookname.com/product/discrete-systems-and-digital-signal-
processing-with-matlab-second-edition-elali/
ebookname.com
Discrete Random Signal Processing and Filtering Primer
with MATLAB 1st Edition Alexander D. Poularikas
https://ebookname.com/product/discrete-random-signal-processing-and-
filtering-primer-with-matlab-1st-edition-alexander-d-poularikas/
ebookname.com
Digital Signal Processing A Practitioner s Approach 1st
Edition Kaluri V. Rangarao
https://ebookname.com/product/digital-signal-processing-a-
practitioner-s-approach-1st-edition-kaluri-v-rangarao/
ebookname.com
The Encyclopedia of Suicide 2nd Edition Glen Evans
https://ebookname.com/product/the-encyclopedia-of-suicide-2nd-edition-
glen-evans/
ebookname.com

Discovering SQL A Hands On Guide for Beginners 1st Edition
Alex Kriegel
https://ebookname.com/product/discovering-sql-a-hands-on-guide-for-
beginners-1st-edition-alex-kriegel/
ebookname.com
Vibration of Continuous Systems 1st Edition Singiresu S.
Rao
https://ebookname.com/product/vibration-of-continuous-systems-1st-
edition-singiresu-s-rao/
ebookname.com
Chemokines Types Functions and Structural Characteristics
Types Functions and Structural Characteristics 1st Edition
Keith J. Walker
https://ebookname.com/product/chemokines-types-functions-and-
structural-characteristics-types-functions-and-structural-
characteristics-1st-edition-keith-j-walker/
ebookname.com
Off the Couch Contemporary Psychoanalytic Applications 1st
Edition Alessandra Lemma
https://ebookname.com/product/off-the-couch-contemporary-
psychoanalytic-applications-1st-edition-alessandra-lemma/
ebookname.com
606 Puzzles for Chess Nuts Fred Wilson
https://ebookname.com/product/606-puzzles-for-chess-nuts-fred-wilson/
ebookname.com

Journalism Today A Themed History 1st Edition Jane L.
Chapman
https://ebookname.com/product/journalism-today-a-themed-history-1st-
edition-jane-l-chapman/
ebookname.com

Discrete-Time Signal Processing
Alan V. Oppenheim
Ronald W. Schafer
Third Edition

Pearson Education Limited
Edinburgh Gate
Harlow
Essex CM20 2JE
England and Associated Companies throughout the world
Visit us on the World Wide Web at: www.pearsoned.co.uk
© Pearson Education Limited 2014
ISBN 10: 1-292-02572-7
ISBN 13: 978-1-292-02572-8

Contents
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 1025
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 985
Appendix: Random Signals
12. Discrete Hilbert Transforms
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 931
11. Parametric Signal Modeling
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 827
10. Fourier Analysis of Signals Using the Discrete Fourier Transform
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 747
9. Computation of the Discrete Fourier Transform
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 651
8. The Discrete Fourier Transform
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 517
7. Filter Design Techniques
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 391
6. Structures for Discrete-Time Systems
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 287
5. Transform Analysis of Linear Time-Invariant Systems
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 163
4. Sampling of Continuous-Time Signals
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 105
3. The z-Transform
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 11
2. Discrete-Time Signals and Systems
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 1
1. Introduction
Index 1047
Alan V. Oppenheim/Ronald W. Schafer 1039
Appendix: Continuous-Time Filters

Introduction
Therichhistoryandfuturepromiseofsignalprocessingderivefromastrongsynergy
betweenincreasinglysophisticatedapplications,newtheoreticaldevelopmentsandcon-
stantlyemergingnewhardwarearchitecturesandplatforms.Signalprocessingapplica-
tionsspananimmensesetofdisciplinesthatincludeentertainment,communications,
spaceexploration,medicine,archaeology,geophysics,justtonameafew.Signalprocess-
ingalgorithmsandhardwareareprevalentinawiderangeofsystems,fromhighlyspe-
cializedmilitarysystemsandindustrialapplicationstolow-cost,high-volumeconsumer
electronics.Althoughweroutinelytakeforgrantedtheextraordinaryperformanceof
multimediasystems,suchashighdeﬁnitionvideo,highﬁdelityaudio,andinteractive
games,thesesystemshavealwaysreliedheavilyonstate-of-the-artsignalprocessing.
Sophisticateddigitalsignalprocessorsareatthecoreofallmoderncellphones.MPEG
audioandvideoandJPEG
1
imagedatacompressionstandardsrelyheavilyonsignal
processingprinciplesandtechniques.High-densitydatastoragedevicesandnewsolid-
statememoriesrelyincreasinglyontheuseofsignalprocessingtoprovideconsistency
androbustnesstootherwisefragiletechnologies.Aswelooktothefuture,itisclear
thattheroleofsignalprocessingisexpanding,driveninpartbytheconvergenceof
communications,computers,andsignalprocessinginboththeconsumerarenaandin
advancedindustrialandgovernmentapplications.
Thegrowingnumberofapplicationsanddemandforincreasinglysophisticated
algorithmsgohand-in-handwiththerapiddevelopmentofdevicetechnologyforimple-
mentingsignalprocessingsystems.Bysomeestimates,evenwithimpendinglimitations
1
TheacronymsMPEGandJPEGarethetermsusedinevencasualconversationforreferringtothe
standardsdevelopedbythe“MovingPictureExpertGroup(MPEG)”andthe“JointPhotographicExpert
Group(JPEG)”ofthe“InternationalOrganizationforStandardization(ISO).”
1

Introduction
on Moore’s Law, the processing capability of both special-purpose signal processing
microprocessors and personal computers is likely to increase by several orders of mag-
nitude over the next 10 years. Clearly, the importance and role of signal processing will
continue to expand at an accelerating rate well into the future.
Signal processing deals with the representation, transformation, and manipulation
of signals and the information the signals contain. For example, we may wish to sepa-
rate two or more signals that have been combined by some operation, such as addition,
multiplication, or convolution, or we may want to enhance some signal component or
estimate some parameter of a signal model. In communications systems, it is generally
necessary to do preprocessing such as modulation, signal conditioning, and compression
prior to transmission over a communications channel, and then to carry out postpro-
cessing at the receiver to recover a facsimile of the original signal. Prior to the 1960s,
the technology for such signal processing was almost exclusively continuous-time ana-
log technology.
2
A continual and major shift to digital technologies has resulted from
the rapid evolution of digital computers and microprocessors and low-cost chips for
analog to digital (A/D) and digital to analog (D/A) conversion. These developments
in technology have been reinforced by many important theoretical developments, such
as the fast Fourier transform (FFT) algorithm, parametric signal modeling, multirate
techniques, polyphase ﬁlter implementation, and new ways of representing signals, such
as with wavelet expansions. As just one example of this shift, analog radio communica-
tion systems are evolving into reconﬁgurable “software radios” that are implemented
almost exclusively with digital computation.
Discrete-time signal processing is based on processing of numeric sequences in-
dexed on integer variables rather than functions of a continuous independent vari-
able. In digital signal processing (DSP), signals are represented by sequences of ﬁnite-
precision numbers, and processing is implemented using digital computation. The more
general termdiscrete-time signal processingincludes digital signal processing as a spe-
cial case but also includes the possibility that sequences of samples (sampled data)
could be processed with other discrete-time technologies. Often the distinction be-
tween the terms discrete-time signal processing and digital signal processing is of minor
importance, since both are concerned with discrete-time signals. This is particularly
true when high-precision computation is employed. Although there are many examples
in which signals to be processed are inherently discrete-time sequences, most applica-
tions involve the use of discrete-time technology for processing signals that originate
as continuous-time signals. In this case, a continuous-time signal is typically converted
into a sequence of samples, i.e., a discrete-time signal. Indeed, one of the most impor-
tant spurs to widespread application of digital signal processing was the development
of low-cost A/D, D/A conversion chips based on differential quantization with noise
shaping. After discrete-time processing, the output sequence is converted back to a
continuous-time signal. Real-time operation is often required or desirable for such sys-
tems. As computer speeds have increased, discrete-time processing of continuous-time
signals in real time has become commonplace in communication systems, radar and
sonar, speech and video coding and enhancement, biomedical engineering, and many
2
In a general context, we shall refer to the independent variable as “time,” even though in speciﬁc
contexts, the independent variable may take on any of a broad range of possible dimensions. Consequently,
continuous time and discrete time should be thought of as generic terms referring to a continuous independent
variable and a discrete independent variable, respectively. 2

Introduction
other areas of application. Non-real-time applications are also common. The compact
disc player and MP3 player are examples of asymmetric systems in which an input signal
is processed only once. The initial processing may occur in real time, slower than real
time, or even faster than real time. The processed form of the input is stored (on the
compact disc or in a solid state memory), and ﬁnal processing for reconstructing the
audio signal is carried out in real time when the output is played back for listening. The
compact disc and MP3 recording and playback systems rely on many signal processing
concepts.
Financial Engineering represents another rapidly emerging ﬁeld which incorpo-
rates many signal processing concepts and techniques. Effective modeling, prediction
and ﬁltering of economic data can result in signiﬁcant gains in economic performance
and stability. Portfolio investment managers, for example, are relying increasingly on
using sophisticated signal processing since even a very small increase in signal pre-
dictability or signal-to-noise ratio (SNR) can result in signiﬁcant gain in performance.
Another important area of signal processing issignal interpretation. In such con-
texts, the objective of the processing is to obtain a characterization of the input signal.
For example, in a speech recognition or understanding system, the objective is to in-
terpret the input signal or extract information from it. Typically, such a system will
apply digital pre-processing (ﬁltering, parameter estimation, and so on) followed by a
pattern recognition system to produce a symbolic representation, such as a phonemic
transcription of the speech. This symbolic output can, in turn, be the input to a sym-
bolic processing system, such as a rules-based expert system, to provide the ﬁnal signal
interpretation.
Still another relatively new category of signal processing involves the symbolic
manipulation of signal processing expressions. This type of processing is potentially
useful in signal processing workstations and for the computer-aided design of signal
processing systems. In this class of processing, signals and systems are represented and
manipulated as abstract data objects. Object-oriented programming languages provide
a convenient environment for manipulating signals, systems, and signal processing ex-
pressions without explicitly evaluating the data sequences.The sophistication of systems
designed to do signal expression processing is directly inﬂuenced by the incorporation
of fundamental signal processing concepts, theorems, and properties, such as those that
form the basis for this book. For example, a signal processing environment that incor-
porates the property that convolution in the time domain corresponds to multiplication
in the frequency domain can explore a variety of rearrangements of ﬁltering structures,
including those involving the direct use of the discrete Fourier transform (DFT) and the
FFT algorithm. Similarly, environments that incorporate the relationship between sam-
pling rate and aliasing can make effective use of decimation and interpolation strategies
for ﬁlter implementation. Similar ideas are currently being explored for implementing
signal processing in network environments. In this type of environment, data can po-
tentially be tagged with a high-level description of the processing to be done, and the
details of the implementation can be based dynamically on the resources available on
the network.
Many concepts and design techniques are now incorporated into the structure
of sophisticated software systems such as MATLAB, Simulink, Mathematica, and Lab-
VIEW. In many cases where discrete-time signals are acquired and stored in computers,
these tools allow extremely sophisticated signal processing operations to be formed 3

Introduction
from basic functions. In such cases, it is not generally necessary to know the details
of the underlying algorithm that implements the computation of an operation like the
FFT, but nevertheless it is essential to understand what is computed and how it should
be interpreted. In other words, a good understanding of the concepts considered in this
text is essential for intelligent use of the signal processing software tools that are now
widely available.
Signal processing problems are not conﬁned,of course,to one-dimensional signals.
Although there are some fundamental differences in the theories for one-dimensional
and multidimensional signal processing, much of the material that we discuss in this
text has a direct counterpart in multidimensional systems. The theory of multidimen-
sional digital signal processing is presented in detail in a variety of references including
Dudgeon and Mersereau (1984), Lim (1989), and Bracewell (1994).
3
Many image pro-
cessing applications require the use of two-dimensional signal processing techniques.
This is the case in such areas as video coding, medical imaging, enhancement and analy-
sis of aerial photographs, analysis of satellite weather photos, and enhancement of video
transmissions from lunar and deep-space probes. Applications of multidimensional dig-
ital signal processing to image processing are discussed,for example,in Macovski (1983),
Castleman (1996), Jain (1989), Bovic (ed.) (2005), Woods (2006), Gonzalez and Woods
(2007), and Pratt (2007). Seismic data analysis as required in oil exploration, earthquake
measurement, and nuclear test monitoring also uses multidimensional signal process-
ing techniques. Seismic applications are discussed in, for example, Robinson and Treitel
(1980) and Robinson and Durrani (1985).
Multidimensional signal processing is only one of many advanced and specialized
topics that build on signal-processing fundamentals. Spectral analysis based on the use
of the DFT and the use of signal modeling is another particularly rich and important
aspect of signal processing. High resolution spectrum analysis methods also are based
on representing the signal to be analyzed as the response of a discrete-time linear time-
invariant (LTI) ﬁlter to either an impulse or to white noise. Spectral analysis is achieved
by estimating the parameters (e.g., the difference equation coefﬁcients) of the system
and then evaluating the magnitude squared of the frequency response of the model
ﬁlter. Detailed discussions of spectrum analysis can be found in the texts by Kay (1988),
Marple (1987), Therrien (1992), Hayes (1996) and Stoica and Moses (2005).
Signal modeling also plays an important role in data compression and coding,
and here again, the fundamentals of difference equations provide the basis for under-
standing many of these techniques. For example, one class of signal coding techniques,
referred to as linear predictive coding (LPC), exploits the notion that if a signal is the
response of a certain class of discrete-time ﬁlters, the signal value at any time index is a
linear function of (and thus linearly predictable from) previous values. Consequently,
efﬁcient signal representations can be obtained by estimating these prediction param-
eters and using them along with the prediction error to represent the signal. The signal
can then be regenerated when needed from the model parameters. This class of signal
3
Authors names and dates are used to refer to books and papers listed in the Bibliography at the end
of this chapter. 4

Introduction
coding techniques has been particularly effective in speech coding and is described in
considerable detail in Jayant and Noll (1984), Markel and Gray (1976), Rabiner and
Schafer (1978) and Quatieri (2002).
Another advanced topic of considerable importance is adaptive signal processing.
Adaptive systems represent a particular class of time-varying and, in some sense, non-
linear systems with broad application and with established and effective techniques for
their design and analysis. Again, many of these techniques build from the fundamentals
of discrete-time signal processing. Details of adaptive signal processing are given by
Widrow and Stearns (1985), Haykin (2002) and Sayed (2008).
These represent only a few of the many advanced topics that extend from the
content covered in this text. Others include advanced and specialized ﬁlter design pro-
cedures, a variety of specialized algorithms for evaluation of the Fourier transform, spe-
cialized ﬁlter structures, and various advanced multirate signal processing techniques,
including wavelet transforms. (See Burrus, Gopinath, and Guo (1997), Vaidyanathan
(1993) and Vetterli and Kovaˇcevi´c (1995) for introductions to these topics.)
It has often been said that the purpose of a fundamental textbook should be to
uncover, rather than cover, a subject. We have been guided by this philosophy. There is
a rich variety of both challenging theory and compelling applications to be uncovered
by those who diligently prepare themselves with a study of the fundamentals of DSP.
HISTORIC PERSPECTIVE
Discrete-time signal processing has advanced in uneven steps over time. Looking back
at the development of the ﬁeld of discrete-time signal processing provides a valuable
perspective on fundamentals that will remain central to the ﬁeld for a long time to
come. Since the invention of calculus in the 17
th
century, scientists and engineers have
developed models to represent physical phenomena in terms of functions of continuous
variables and differential equations. However, numeric techniques have been used to
solve these equations when analytical solutions are not possible. Indeed, Newton used
ﬁnite-difference methods that are special cases of some of the discrete-time systems that
we present in this text. Mathematicians of the 18
th
century, such as Euler, Bernoulli, and
Lagrange, developed methods for numeric integration and interpolation of functions of
a continuous variable. Interesting historic research by Heideman, Johnson, and Burrus
(1984) showed that Gauss discovered the fundamental principle of the FFT as early as
1805—even before the publication of Fourier’s treatise on harmonic series representa-
tion of functions.
Until the early 1950s, signal processing as we have deﬁned it was typically carried
out with analog systems implemented with electronic circuits or even with mechanical
devices. Even though digital computers were becoming available in business environ-
ments and in scientiﬁc laboratories, they were expensive and had relatively limited
capabilities. About that time, the need for more sophisticated signal processing in some
application areas created considerable interest in discrete-time signal processing. One
of the ﬁrst uses of digital computers in DSP was in geophysical exploration, where rel-
atively low frequency seismic signals could be digitized and recorded on magnetic tape 5

Introduction
for later processing. This type of signal processing could not generally be done in real
time; minutes or even hours of computer time were often required to process only
seconds of data. Even so, the ﬂexibility of the digital computer and the potential payoffs
made this alternative extremely inviting.
Also in the 1950s, the use of digital computers in signal processing arose in a
different way. Because of the ﬂexibility of digital computers, it was often useful to sim-
ulate a signal processing system on a digital computer before implementing it in analog
hardware. In this way, a new signal processing algorithm or system could be studied
in a ﬂexible experimental environment before committing economic and engineering
resources to constructing it. Typical examples of such simulations were the vocoder sim-
ulations carried out at Massachusetts Institute ofTechnology (MIT) Lincoln Laboratory
and Bell Telephone Laboratories. In the implementation of an analog channel vocoder,
for example, the ﬁlter characteristics affected the perceived quality of the coded speech
signal in ways that were difﬁcult to quantify objectively. Through computer simulations,
these ﬁlter characteristics could be adjusted and the perceived quality of a speech coding
system evaluated prior to construction of the analog equipment.
In all of these examples of signal processing using digital computers, the computer
offered tremendous advantages in ﬂexibility. However,the processing could not be done
in real time. Consequently, the prevalent attitude up to the late 1960s was that the dig-
ital computer was being used toapproximate,orsimulate, an analog signal processing
system. In keeping with that style, early work on digital ﬁltering concentrated on ways
in which a ﬁlter could be programmed on a digital computer so that with A/D conver-
sion of the signal, followed by digital ﬁltering, followed by D/A conversion, the overall
system approximated a good analog ﬁlter. The notion that digital systems might, in fact,
be practical for the actual real-time implementation of signal processing in speech com-
munication, radar processing, or any of a variety of other applications seemed, even at
the most optimistic times, to be highly speculative. Speed, cost, and size were, of course,
three of the important factors in favor of the use of analog components.
As signals were being processed on digital computers, researchers had a natural
tendency to experiment with increasingly sophisticated signal processing algorithms.
Some of these algorithms grew out of the ﬂexibility of the digital computer and had no
apparent practical implementation in analog equipment.Thus,many of these algorithms
were treated as interesting,but somewhat impractical,ideas. However,the development
of such signal processing algorithms made the notion of all-digital implementation of
signal processing systems even more tempting. Active work began on the investigation
of digital vocoders, digital spectrum analyzers, and other all-digital systems, with the
hope that eventually, such systems would become practical.
The evolution of a new point of view toward discrete-time signal processing was
further accelerated by the disclosure by Cooley and Tukey (1965) of an efﬁcient class
of algorithms for computation of Fourier transforms known collectively as the FFT.
The FFT was signiﬁcant for several reasons. Many signal processing algorithms that
had been developed on digital computers required processing times several orders of
magnitude greater than real time. Often, this was because spectrum analysis was an
important component of the signal processing and no efﬁcient means were available for
implementing it. The FFT reduced the computation time of the Fourier transform by
orders of magnitude, permitting the implementation of increasingly sophisticated signal 6

Introduction
processing algorithms with processing times that allowed interactive experimentation
with the system. Furthermore, with the realization that the FFT algorithms might, in
fact, be implementable with special-purpose digital hardware, many signal processing
algorithms that previously had appeared to be impractical began to appear feasible.
Another important implication of the FFT was that it was an inherently discrete-
time concept. It was directed toward the computation of the Fourier transform of a
discrete-time signal or sequence and involved a set of properties and mathematics
that was exact in the discrete-time domain—it was not simply an approximation to
a continuous-time Fourier transform. This had the effect of stimulating a reformulation
of many signal processing concepts and algorithms in terms of discrete-time mathemat-
ics, and these techniques then formed an exact set of relationships in the discrete-time
domain. Following this shift away from the notion that signal processing on a digital
computer was merely an approximation to analog signal processing techniques, there
emerged the current view that discrete-time signal processing is an important ﬁeld of
investigation in its own right.
Another major development in the history of discrete-time signal processing oc-
curred in the ﬁeld of microelectronics. The invention and subsequent proliferation of
the microprocessor paved the way for low-cost implementations of discrete-time signal
processing systems.Although the ﬁrst microprocessors were too slow to implement most
discrete-time systems in real time except at very low sampling rates, by the mid-1980s,
integrated circuit technology had advanced to a level that permitted the implementation
of very fast ﬁxed-point and ﬂoating-point microcomputers with architectures specially
designed for implementing discrete-time signal processing algorithms. With this tech-
nology came, for the ﬁrst time, the possibility of widespread application of discrete-time
signal processing techniques. The rapid pace of development in microelectronics also
signiﬁcantly impacted the development of signal processing algorithms in other ways.
For example, in the early days of real-time digital signal processing devices, memory
was relatively costly and one of the important metrics in developing signal processing
algorithms was the efﬁcient use of memory. Digital memory is now so inexpensive that
many algorithms purposely incorporate more memory than is absolutely required so
that the power requirements of the processor are reduced. Another area in which tech-
nology limitations posed a signiﬁcant barrier to widespread deployment of DSP was in
conversion of signals from analog to discrete-time (digital) form. The ﬁrst widely avail-
able A/D and D/A converters were stand-alone devices costing thousands of dollars. By
combining digital signal processing theory with microelectronic technology, oversam-
pled A/D and D/A converters costing a few dollars or less have enabled a myriad of
real-time applications.
In a similar way, minimizing the number of arithmetic operations, such as multi-
plies or ﬂoating point additions, is now less essential, since multicore processors often
have several multipliers available and it becomes increasingly important to reduce com-
munication between cores, even if it then requires more multiplications. In a multicore
environment, for example, direct computation of the DFT (or the use of the Goertzel al-
gorithm) is more“efﬁcient”than the use of an FFT algorithm since,although many more
multiplications are required, communication requirements are signiﬁcantly reduced be-
cause the processing can be more efﬁciently distributed among multiple processors or
cores. More broadly, the restructuring of algorithms and the development of new ones 7

Introduction
to exploit the opportunity for more parallel and distributed processing is becoming a
signiﬁcant new direction in the development of signal processing algorithms.
FUTURE PROMISE
Microelectronics engineers continue to strive for increased circuit densities and produc-
tion yields, and as a result, the complexity and sophistication of microelectronic systems
continually increase. The complexity, speed, and capability of DSP chips have grown
exponentially since the early 1980s and show no sign of slowing down. As wafer-scale
integration techniques become highly developed, very complex discrete-time signal
processing systems will be implemented with low cost, miniature size, and low power
consumption. Furthermore, technologies such as microelectronic mechanical systems
(MEMS) promise to produce many types of tiny sensors whose outputs will need to
be processed using DSP techniques that operate on distributed arrays of sensor inputs.
Consequently, the importance of discrete-time signal processing will continue to in-
crease, and the future development of the ﬁeld promises to be even more dramatic than
the course of development that we have just described.
Discrete-time signal processing techniques have already promoted revolutionary
advances in some ﬁelds of application.A notable example is in the area of telecommuni-
cations, where discrete-time signal processing techniques, microelectronic technology,
and ﬁber optic transmission have combined to change the nature of communication
systems in truly revolutionary ways. A similar impact can be expected in many other
areas. Indeed, signal processing has always been, and will always be, a ﬁeld that thrives
on new applications. The needs of a new ﬁeld of application can sometimes be ﬁlled
by knowledge adapted from other applications, but frequently, new application needs
stimulate new algorithms and new hardware systems to implement those algorithms.
Early on,applications to seismology,radar,and communication provided the context for
developing many of the core signal processing techniques. Certainly, signal processing
will remain at the heart of applications in national defense, entertainment, communi-
cation, and medical care and diagnosis. Recently, we have seen applications of signal
processing techniques in new areas as disparate as ﬁnance and DNA sequence analysis.
Although it is difﬁcult to predict where other new applications will arise, there is
no doubt that they will be obvious to those who are prepared to recognize them. The
key to being ready to solve new signal processing problems is, and has always been,
a thorough grounding in the fundamental mathematics of signals and systems and in
the associated design and processing algorithms. While discrete-time signal processing
is a dynamic, steadily growing ﬁeld, its fundamentals are well formulated, and it is ex-
tremely valuable to learn them well. Our goal is to uncover the fundamentals of the
ﬁeld by providing a coherent treatment of the theory of discrete-time linear systems,
ﬁltering, sampling, discrete-time Fourier analysis, and signal modeling. We hope to pro-
vide the reader with the knowledge necessary for an appreciation of the wide scope
of applications for discrete-time signal processing and a foundation for contributing to
future developments in this exciting ﬁeld. 8

Introduction
BIBLIOGRAPHY
Bovic, A., ed.,Handbook of Image and Video Processing, 2nd ed., Academic Press, Burlington,
MA, 2005.
Bracewell, R. N.,Two-Dimensional Imaging, Prentice Hall, New York, NY, 1994.
Burrus, C. S., Gopinath, R. A., and Guo, H.,Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A
Primer, Prentice Hall, 1997.
Castleman, K. R.,Digital Image Processing, 2nd ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, 1996.
Cooley, J. W., and Tukey, J. W., “An Algorithm for the Machine Computation of Complex Fourier
Series,”Mathematics of Computation, Vol. 19, pp. 297–301, Apr. 1965.
Dudgeon, D. E., and Mersereau, R. M.,Two-Dimensional Digital Signal Processing, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, NJ, 1984.
Gonzalez, R. C., and Woods, R. E.,Digital Image Processing, Wiley, 2007.
Hayes, M.,Statistical Digital Signal Processing and Modeling, Wiley, New York, NY, 1996.
Haykin, S.,Adaptive Filter Theory, 4th ed., Prentice Hall, 2002.
Heideman, M. T., Johnson, D. H., and Burrus, C. S., “Gauss and the History of the Fast Fourier
Transform,”IEEE ASSP Magazine, Vol. 1, No. 4, pp. 14–21, Oct. 1984.
Jain, A. K.,Fundamentals of Digital Image Processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1989.
Jayant, N. S., and Noll, P.,Digital Coding of Waveforms, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1984.
Kay, S. M.,Modern Spectral Estimation Theory and Application, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
NJ, 1988.
Lim, J. S.,Two-Dimensional Digital Signal Processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1989.
Macovski, A.,Medical Image Processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1983.
Markel, J. D., and Gray, A. H., Jr.,Linear Prediction of Speech, Springer-Verlag, New York, NY,
1976.
Marple, S. L.,Digital Spectral Analysis with Applications, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ,
1987.
Pratt, W.,Digital Image Processing, 4th ed., Wiley, New York, NY, 2007.
Quatieri, T. F.,Discrete-Time Speech Signal Processing: Principles and Practice, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, NJ, 2002.
Rabiner, L. R., and Schafer, R. W.,Digital Processing of Speech Signals, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, NJ, 1978.
Robinson, E. A., and Durrani, T. S.,Geophysical Signal Processing, Prentice Hall, Englewood
Cliffs, NJ, 1985.
Robinson, E. A., and Treitel, S.,Geophysical Signal Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ,
1980.
Sayed, A.,Adaptive Filters, Wiley, Hoboken, NJ, 2008.
Stoica, P., and Moses, R.,Spectral Analysis of Signals, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River,
NJ, 2005.
Therrien, C. W.,Discrete Random Signals and Statistical Signal Processing, Prentice Hall, Engle-
wood Cliffs, NJ, 1992.
Vaidyanathan, P. P.,Multirate Systems and Filter Banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1993.
Vetterli, M., and Kovaˇcevi´c, J.,Wavelets and Subband Coding, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
NJ, 1995.
Widrow, B., and Stearns, S. D.,Adaptive Signal Processing, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ,
1985.
Woods, J. W.,Multidimensional Signal, Image, and Video Processing and Coding, Academic Press,
2006. 9

Discrete-Time
SignalsandSystems
0INTRODUCTION
Theindependentvariableinthemathematicalrepresentationofasignalmaybe
eithercontinuousordiscrete.Continuous-timesignalsaredeﬁnedalongacontinuumof
timeandarethusrepresentedbyacontinuousindependentvariable.Continuous-time
signalsareoftenreferredtoasanalogsignals.Discrete-timesignalsaredeﬁnedatdiscrete
times,andthus,theindependentvariablehasdiscretevalues;thatis,discrete-timesignals
arerepresentedassequencesofnumbers.Signalssuchasspeechorimagesmayhave
eitheracontinuous-oradiscrete-variablerepresentation,andifcertainconditionshold,
theserepresentationsareentirelyequivalent.Besidestheindependentvariablesbeing
eithercontinuousordiscrete,thesignalamplitudemaybeeithercontinuousordiscrete.
Digitalsignalsarethoseforwhichbothtimeandamplitudearediscrete. The termsignalis generally applied to something that conveys information. Signals may,
for example, convey information about the state or behavior of a physical system. As
another class of examples, signals are synthesized for the purpose of communicating
information between humans or between humans and machines. Although signals can
be represented in many ways, in all cases, the information is contained in some pat-
tern of variations. Signals are represented mathematically as functions of one or more
independent variables. For example, a speech signal is represented mathematically as
a function of time, and a photographic image is represented as a brightness function of
two spatial variables. A common convention is to refer to the independent variable of
the mathematical representation of a signal as time, although in speciﬁc examples, the
independent variable may not in fact correspond to time.

Discrete-Time Signals and Systems
Signal-processing systems may be classiﬁed along the same lines as signals. That
is, continuous-time systems are systems for which both the input and the output are
continuous-time signals, and discrete-time systems are those for which both the input
and the output are discrete-time signals. Similarly, a digital system is a system for which
both the input and the output are digital signals. Digital signal processing, then, deals
with the transformation of signals that are discrete in both amplitude and time. The
principal focus of this book is on discrete-time—rather than digital—signals and systems.
However, the theory of discrete-time signals and systems is also exceedingly useful for
digital signals and systems, particularly if the signal amplitudes are ﬁnely quantized.
In this chapter, we present the basic deﬁnitions, establish notation, and develop
and review the basic concepts associated with discrete-time signals and systems. The
presentation of this material assumes that the reader has had previous exposure to some
of this material, perhaps with a different emphasis and notation. Thus, this chapter is
primarily intended to provide a common foundation for more advanced material.
In Section 1, we discuss the representation of discrete-time signals as sequences
and describe the basic sequences such as the unit impulse, the unit step, and com-
plex exponential, which play a central role in characterizing discrete-time systems and
form building blocks for more general sequences. In Section 2, the representation, basic
properties, and simple examples of discrete-time systems are presented. Sections 3 and
4 focus on the important class of linear time-invariant (LTI) systems and their time-
domain representation through the convolution sum, with Section 5 considering the
speciﬁc class of LTI systems represented by linear,constant–coefﬁcient difference equa-
tions. Section 6 develops the frequency domain representation of discrete-time systems
through the concept of complex exponentials as eigenfunctions, and Sections 7, 8, and 9
develop and explore the Fourier transform representation of discrete-time signals as a
linear combination of complex exponentials. Section 10 provides a brief introduction
to discrete-time random signals.
1 DISCRETE-TIME SIGNALS
Discrete-time signals are represented mathematically as sequences of numbers.
A sequence of numbersx, in which then
th
number in the sequence is denotedx[n],
1
is
formally written as
x={x[n]},−∞<n<∞, (1)
wherenis an integer. In a practical setting, such sequences can often arise from periodic
sampling of an analog (i.e., continuous-time) signalx
a(t). In that case, the numeric value
of then
th
number in the sequence is equal to the value of the analog signal,x a(t),at
timenT: i.e.,
x[n]=x
a(nT ),−∞<n<∞. (2)
The quantityTis thesampling period,and its reciprocal is thesampling frequency.
Although sequences do not always arise from sampling analog waveforms, it is con-
venient to refer tox[n]as the “n
th
sample” of the sequence. Also, although, strictly
1
Note that we use[]toenclose the independent variable of discrete-variable functions, and we use ( )
to enclose the independent variable of continuous-variable functions. 12

Discrete-Time Signals and Systems
speaking,x[n]denotes then
th
number in the sequence, the notation of Eq. (1) is of-
ten unnecessarily cumbersome, and it is convenient and unambiguous to refer to “the
sequencex[n]” when we mean the entire sequence, just as we referred to “the analog
signalx
a(t).” We depict discrete-time signals (i.e., sequences) graphically, as shown in
Figure 1. Although the abscissa is drawn as a continuous line, it is important to recognize
thatx[n]is deﬁned only for integer values ofn. It is not correct to think ofx[n]as being
zero whennis not an integer;x[n]is simply undeﬁned for noninteger values ofn.
–9 –7 –5 –3–4–6–8 0123456
78 91011
–1–2
x[0]
x[1]
x[2]
x[n]
x[–1]
x[–2]
n
Figure 1Graphic representation of a
discrete-time signal.
As an example of a sequence obtained by sampling, Figure 2(a) shows a segment
of a speech signal corresponding to acoustic pressure variation as a function of time, and
Figure 2(b) presents a sequence of samples of the speech signal. Although the original
speech signal is deﬁned at all values of timet, the sequence contains information about
the signal only at discrete instants. The sampling theorem guarantees that the original
32 ms
(a)
256 samples
(b)
Figure 2(a) Segment of a continuous-time speech signalx a(t). (b) Sequence of samples
x[n]=x
a(nT) obtained from the signal in part (a) withT=125μs. 13

Discrete-Time Signals and Systems
signal can be reconstructed as accurately as desired from a corresponding sequence of
samples if the samples are taken frequently enough.
In discussing the theory of discrete-time signals and systems, several basic se-
quences are of particular importance. These sequences are shown in Figure 3 and will
be discussed next.
Theunit sample sequence(Figure 3a) is deﬁned as the sequence
δ[n]=
δ
0,nα=0,
1,n=0.
(3)
The unit sample sequence plays the same role for discrete-time signals and systems that
the unit impulse function (Dirac delta function) does for continuous-time signals and
systems. For convenience, we often refer to the unit sample sequence as a discrete-time
impulse or simply as an impulse. It is important to note that a discrete-time impulse
does not suffer from the mathematic complications of the continuous-time impulse; its
deﬁnition in Eq. (3) is simple and precise.
1
Unit sample
0
(a)
n
1
Unit step
0
(b)
...
......
...
nReal exponential
0
(c)
n
Sinusoidal
0
(d)
...
...
...
...
n
Figure 3Some basic sequences. The
sequences shown play important roles
in the analysis and representation of
discrete-time signals and systems. 14

Discrete-Time Signals and Systems
1034568
72
–2–4
p[n]
n
a
–3
a
1
a
2
a
7
Figure 4Example of a sequence to be
represented as a sum of scaled, delayed
impulses.
One of the important aspects of the impulse sequence is that an arbitrary sequence
can be represented as a sum of scaled, delayed impulses. For example, the sequencep[n]
in Figure 4 can be expressed as
p[n]=a
−3δ[n+3]+a 1δ[n−1]+a 2δ[n−2]+a 7δ[n−7]. (4)
More generally, any sequence can be expressed as
x[n]=
∞
α
k=−∞
x[k]δ[n−k]. (5)
We will make speciﬁc use of Eq. (5) in discussing the representation of discrete-time
linear systems.
The unit step sequence (Figure 3b) is deﬁned as
u[n]=
δ
1,n≥0,
0,n<0.
(6)
The unit step is related to the unit impulse by
u[n]=
n
α
k=−∞
δ[k]; (7)
that is, the value of the unit step sequence at (time) indexnis equal to the accumulated
sum of the value at indexnand all previous values of the impulse sequence. An alterna-
tive representation of the unit step in terms of the impulse is obtained by interpreting
the unit step in Figure 3(b) in terms of a sum of delayed impulses, as in Eq. (5). In this
case, the nonzero values are all unity, so
u[n]=δ[n]+δ[n−1]+δ[n−2]+··· (8a)
or
u[n]=
∞
α
k=0
δ[n−k]. (8b)
As yet another alternative, the impulse sequence can be expressed as the ﬁrst backward
difference of the unit step sequence, i.e.,
δ[n]=u[n]−u[n−1]. (9)
Exponential sequences are another important class of basic signals. The general
form of an exponential sequence is
x[n]=Aα
n
. (10)
IfAandαare real numbers, then the sequence is real. If0<α<1andAis positive,
then the sequence values are positive and decrease with increasingn, as in Figure 3(c). 15

Discrete-Time Signals and Systems
For−1<α<0, the sequence values alternate in sign but again decrease in magnitude
with increasingn.If|α|>1, then the sequence grows in magnitude asnincreases.
The exponential sequenceAα
n
withαcomplex has real and imaginary parts that
are exponentially weighted sinusoids. Speciﬁcally, ifα=|α|e
jω0andA=|A|e
jφ
, the
sequenceAα
n
can be expressed in any of the following ways:
x[n]=Aα
n
=|A|e
jφ
|α|
n
e
jω0n
=|A||α|
n
e
j(ω0n+φ)
(11)
=|A||α|
n
cos(ω0n+φ)+j|A||α|
n
sin(ω0n+φ).
The sequence oscillates with an exponentially growing envelope if|α|>1or with an
exponentially decaying envelope if|α|<1. (As a simple example, consider the case
ω
0=π.)
When|α|=1, the sequence has the form
x[n]=|A|e
j(ω0n+φ)
=|A|cos(ω 0n+φ)+j|A|sin(ω 0n+φ); (12)
that is,the real and imaginary parts ofe
jω0n
vary sinusoidally withn. By analogy with the
continuous-time case, the quantityω
0is called thefrequencyof the complex sinusoid
or complex exponential, andφis called thephase. However, sincenis a dimensionless
integer, the dimension ofω
0is radians. If we wish to maintain a closer analogy with the
continuous-time case, we can specify the units ofω
0to be radians per sample and the
units ofnto be samples.
The fact thatnis always an integer in Eq. (12) leads to some important differences
between the properties of discrete-time and continuous-time complex exponential se-
quences and sinusoidal sequences. Consider, for example, a frequency(ω
0+2π). In this
case,
x[n]=Ae
j(ω0+2π)n
=Ae
jω0n
e
j2πn
=Ae
jω0n
.
(13)
Generally, complex exponential sequences with frequencies(ω
0+2πr), whereris an
integer, are indistinguishable from one another. An identical statement holds for sinu-
soidal sequences. Speciﬁcally, it is easily veriﬁed that
x[n]=Acos[(ω
0+2πr)n+φ]
=Acos(ω
0n+φ).
(14)
When discussing complex exponential signals of the formx[n]=Ae
jω0n
or real sinu-
soidal signals of the formx[n]=Acos(ω
0n+φ), we need only consider frequencies in
an interval of length2π. Typically, we will choose either−π<ω
0≤πor0≤ω 0<2π.
Another important difference between continuous-time and discrete-time com-
plex exponentials and sinusoids concerns their periodicity inn. In the continuous-time
case, a sinusoidal signal and a complex exponential signal are both periodic in time with
the period equal to2πdivided by the frequency. In the discrete-time case, a periodic
sequence is a sequence for which
x[n]=x[n+N],for alln, (15) 16

Discrete-Time Signals and Systems
where the periodNis necessarily an integer. If this condition for periodicity is tested
for the discrete-time sinusoid, then
Acos(ω
0n+φ)=Acos(ω 0n+ω 0N+φ), (16)
which requires that
ω
0N=2πk, (17)
wherekis an integer. A similar statement holds for the complex exponential sequence
Ce
jω0n
; that is, periodicity with periodNrequires that
e
jω0(n+N)
=e
jω0n
, (18)
which is true only forω
0N=2πk, as in Eq. (17). Consequently, complex exponential
and sinusoidal sequences are not necessarily periodic innwith period(2π/ω
0)and,
depending on the value ofω
0, may not be periodic at all.
Example 1 Periodic and Aperiodic Discrete-Time Sinusoids
Consider the signalx 1[n]=cos(πn/4). This signal has a period ofN=8. To show this,
note thatx[n+8]=cos(π(n+8)/4)=cos(πn/4+2π)=cos(πn/4)=x[n],satisfying
the deﬁnition of a discrete-time periodic signal. Contrary to continuous-time sinusoids,
increasing the value ofω
0for a discrete-time sinusoid does not necessarily decrease
the period of the signal. Consider the discrete-time sinusoidx
2[n]=cos(3πn/8), which
has a higher frequency thanx
1[n]. However,x 2[n]is not periodic with period8, since
x
2[n+8]=cos(3π(n+8)/8)=cos(3πn/8+3π)=−x 2[n]. Using an argument anal-
ogous to the one forx
1[n],we can show thatx 2[n]has a period ofN=16. Thus,
increasing the value ofω
0=2π/8toω 0=3π/8also increases the period of the signal.
This occurs because discrete-time signals are deﬁned only for integer indicesn.
The integer restriction onnresults in some sinusoidal signals not being periodic
at all. For example, there is no integerNsuch that the signalx
3[n]=cos(n)satisﬁes
the conditionx
3[n+N]=x 3[n]for alln. These and other properties of discrete-time
sinusoids that run counter to their continuous-time counterparts are caused by the
limitation of the time indexnto integers for discrete-time signals and systems.
When we combine the condition of Eq. (17) with our previous observation that
ω
0and(ω 0+2πr)are indistinguishable frequencies, it becomes clear that there areN
distinguishable frequencies for which the corresponding sequences are periodic with
periodN. One set of frequencies isω
k=2πk/N,k=0,1,...,N−1. These properties
of complex exponential and sinusoidal sequences are basic to both the theory and the
design of computational algorithms for discrete-time Fourier analysis.
Related to the preceding discussion is the fact that the interpretation of high
and low frequencies is somewhat different for continuous-time and discrete-time sinu-
soidal and complex exponential signals. For a continuous-time sinusoidal signalx(t)=
Acos(→
0t+φ),as→ 0increases,x(t)oscillates progressively more rapidly. For the
discrete-time sinusoidal signalx[n]=Acos(ω
0n+φ),asω 0increases fromω 0=0to-
wardω
0=π,x[n]oscillates progressively more rapidly. However, asω 0increases from
ω
0=πtoω 0=2π, the oscillations become slower. This is illustrated in Figure 5. In 17

0
(a)
......
n
δ
0
= 0 or δ
0
= 2α
0
(b)
......
n
δ
0
= α/8 or δ
0
= 15α/8
δ
0
= α/4 or δ
0
= 7α/4
0
(c)
......
n
0
(d)
......
......
n
δ
0
= α
Figure 5cosω
0
nfor several different values ofω
0
.Asω
0
increases from zero
towardπ(parts a–d), the sequence oscillates more rapidly. Asω
0
increases from
πto 2π(parts d–a), the oscillations become slower. 18

Discrete-Time Signals and Systems
fact, because of the periodicity inω 0of sinusoidal and complex exponential sequences,
ω
0=2πis indistinguishable fromω 0=0, and, more generally, frequencies around
ω
0=2πare indistinguishable from frequencies aroundω 0=0. As a consequence, for
sinusoidal and complex exponential signals, values ofω
0in the vicinity ofω 0=2πk
for any integer value ofkare typically referred to as low frequencies (relatively slow
oscillations), whereas values ofω
0in the vicinity ofω 0=(π+2πk)for any integer value
ofkare typically referred to as high frequencies (relatively rapid oscillations).
2 DISCRETE-TIME SYSTEMS
A discrete-time system is deﬁned mathematically as a transformation or operator that
maps an input sequence with valuesx[n]into an output sequence with valuesy[n]. This
can be denoted as
y[n]=T{x[n]} (19)
and is indicated pictorially in Figure 6. Equation (19) represents a rule or formula for
computing the output sequence values from the input sequence values. It should be
emphasized that the value of the output sequence at each value of the indexnmay
depend on input samplesx[n]for all values ofn, i.e.,yat timencan depend on all or
part of the entire sequencex. The following examples illustrate some simple and useful
systems.
x[n] y[n]
T{
}
Figure 6Representation of a
discrete-time system, i.e., a
transformation that maps an input
sequencex[n] into a unique output
sequencey[n].
Example 2 The Ideal Delay System
The ideal delay system is deﬁned by the equation
y[n]=x[n−n
d],−∞<n<∞, (20)
wheren
dis a ﬁxed positive integer representing the delay of the system. In other words,
the ideal delay system shifts the input sequence to the right byn
dsamples to form the
output. If, in Eq. (20),n
dis a ﬁxed negative integer, then the system would shift the
input to the left by|n
d|samples, corresponding to a time advance.
In the system of Example 2, only one sample of the input sequence is involved in
determining a certain output sample. In the following example, this is not the case. 19

Discrete-Time Signals and Systems
Example 3 Moving Average
The general moving-average system is deﬁned by the equation
y[n]=
1
M1+M2+1
M2α
k=−M 1
x[n−k]
=
1
M1+M2+1
{x[n+M
1]+x[n+M 1−1]+···+x[n] (21)
+x[n−1]+···+x[n−M
2]}.
This system computes then
th
sample of the output sequence as the average of(M 1+
M
2+1)samples of the input sequence around then
th
sample. Figure 7 shows an input
sequence plotted as a function of a dummy indexkand the samples (solid dots) involved
in the computation of the output sampley[n]forn=7,M
1=0, andM 2=5. The out-
put sampley[7]is equal to one-sixth of the sum of all the samples between the vertical
dotted lines. To computey[8], both dotted lines would move one sample to the right.
x[k]
kn0
n – 5
Figure 7Sequence values involved in computing a moving average withM
1
=0
andM
2
=5.
Classes of systems are deﬁned by placing constraints on the properties of the
transformationT{·}. Doing so often leads to very general mathematical representa-
tions, as we will see. Of particular importance are the system constraints and properties,
discussed in Sections 2.1–2.5.
2.1 Memoryless Systems
A system is referred to as memoryless if the outputy[n]at every value ofndepends
only on the inputx[n]at the same value ofn.
Example 4 A Memoryless System
An example of a memoryless system is a system for whichx[n]andy[n]are related by
y[n]=(x[n])
2
,for each value ofn. (22) 20

Discrete-Time Signals and Systems
The system in Example 2 is not memoryless unlessn d=0;in particular, that
system is referred to as having “memory” whethern
dis positive (a time delay) or
negative (a time advance). The moving average system in Example 3 is not memoryless
unlessM
1=M 2=0.
2.2 Linear Systems
The class of linear systems is deﬁned by the principle of superposition. Ify 1[n]andy 2[n]
are the responses of a system whenx
1[n]andx 2[n]are the respective inputs, then the
system is linear if and only if
T{x
1[n]+x 2[n]} =T{x 1[n]} +T{x 2[n]} =y 1[n]+y 2[n] (23a)
and
T{ax[n]} =aT{x[n]} =ay[n], (23b)
whereais an arbitrary constant. The ﬁrst property is theadditivity property, and the
second thehomogeneityorscaling property. These two properties together comprise
the principle of superposition, stated as
T{ax
1[n]+bx 2[n]} =aT{x 1[n]} +bT{x 2[n]} (24)
for arbitrary constantsaandb. This equation can be generalized to the superposition
of many inputs. Speciﬁcally, if
x[n]=
α
k
akxk[n], (25a)
then the output of a linear system will be
y[n]=
α
k
akyk[n], (25b)
wherey
k[n]is the system response to the inputx k[n].
By using the deﬁnition of the principle of superposition, it is easily shown that the
systems of Examples 2 and 3 are linear systems. (See Problem 39.) An example of a
nonlinear system is the system in Example 4.
Example 5 The Accumulator System
The system deﬁned by the input–output equation
y[n]=
n
α
k=−∞
x[k] (26)
is called the accumulator system, since the output at timenis the accumulation or
sum of the present and all previous input samples. The accumulator system is a linear
system. Since this may not be intuitively obvious, it is a useful exercise to go through
the steps of more formally showing this. We begin by deﬁning two arbitrary inputs
x
1[n]andx 2[n]and their corresponding outputs 21

Discrete-Time Signals and Systems
y1[n]=
n
α
k=−∞
x1[k], (27)
y
2[n]=
n
α
k=−∞
x2[k]. (28)
When the input isx
3[n]=ax 1[n]+bx 2[n], the superposition principle requires the
outputy
3[n]=ay 1[n]+by 2[n]for all possible choices ofaandb. We can show this by
starting from Eq. (26):
y
3[n]=
n
α
k=−∞
x
3[k], (29)
=
n
α
k=−∞
(ax
1[k]+bx 2[k]), (30)
=a
n
α
k=−∞
x
1[k]+b
n
α
k=−∞
x
2[k], (31)
=ay
1[n]+by
2[n]. (32)
Thus, the accumulator system of Eq. (26) satisﬁes the superposition principle for all
inputs and is therefore linear.
Example 6 A Nonlinear System
Consider the system deﬁned by
w[n]=log
10
(|x[n]|). (33)
This system is not linear. To prove this, we only need to ﬁnd one counterexample—
that is, one set of inputs and outputs which demonstrates that the system violates
the superposition principle, Eq. (24). The inputsx
1[n]=1andx 2[n]=10are a
counterexample. However, the output forx
1[n]+x
2[n]=11is
log
10
(1+10)=log
10
(11)α=log
10
(1)+log
10
(10)=1.
Also, the output for the ﬁrst signal isw
1[n]=0, whereas for the second,w 2[n]=1.The
scaling property of linear systems requires that, sincex
2[n]=10x 1[n], if the system is
linear, it must be true thatw
2[n]=10w 1[n]. Since this is not so for Eq. (33) for this
set of inputs and outputs, the system isnotlinear.
2.3 Time-Invariant Systems
A time-invariant system (often referred to equivalently as a shift-invariant system) is
a system for which a time shift or delay of the input sequence causes a corresponding
shift in the output sequence. Speciﬁcally, suppose that a system transforms the input
sequence with valuesx[n]into the output sequence with valuesy[n]. Then, the system
is said to be time invariant if, for alln
0,the input sequence with valuesx 1[n]=x[n−n 0]
produces the output sequence with valuesy
1[n]=y[n−n 0].
As in the case of linearity,proving that a system is time invariant requires a general
proof making no speciﬁc assumptions about the input signals. On the other hand,proving
non-time invariance only requires a counter example to time invariance. All of the
systems in Examples 2–6 are time invariant. The style of proof for time invariance is
illustrated in Examples 7 and 8. 22

Discrete-Time Signals and Systems
Example 7 The Accumulator as a Time-Invariant System
Consider the accumulator from Example 5. We deﬁnex
1[n]=x[n−n
0]. To show time
invariance, we solve for bothy[n−n
0]andy 1[n]and compare them to see whether
they are equal. First,
y[n−n
0]=
n−n0α
k=−∞
x[k]. (34)
Next, we ﬁnd
y
1[n]=
n
α
k=−∞
x
1[k] (35)
=
n
α
k=−∞
x[k−n 0]. (36)
Substituting the change of variablesk
1=k−n 0into the summation gives
y
1[n]=
n−n0α
k1=−∞
x[k1]. (37)
Since the indexkin Eq. (34) and the indexk
1in Eq. (37) are dummy indices of
summation, and can have any label, Eqs. (34) and (37) are equal and thereforey
1[n]=
y[n−n
0]. The accumulator is a time-invariant system.
The following example illustrates a system that is not time invariant.
Example 8 The Compressor System
The system deﬁned by the relation
y[n]=x[Mn],−∞<n<∞, (38)
withMa positive integer, is called a compressor. Speciﬁcally, it discards(M−1)
samples out ofM; i.e., it creates the output sequence by selecting everyM
th
sample.
This system is not time invariant. We can show that it is not by considering the response
y
1[n]to the inputx
1[n]=x[n−n
0]. For the system to be time invariant, the output of
the system when the input isx
1[n]must be equal toy[n−n 0]. The outputy 1[n]that
results from the inputx
1[n]can be directly computed from Eq. (38) to be
y
1[n]=x 1[Mn]=x[Mn−n 0]. (39)
Delaying the outputy[n]byn
0samples yields
y[n−n
0]=x[M(n−n 0)]. (40)
Comparing these two outputs, we see thaty[n−n
0]is not equal toy 1[n]for allMand
n
0, and therefore, the system is not time invariant.
It is also possible to prove that a system is not time invariant by ﬁnding a single
counterexample that violates the time-invariance property. For instance, a counterex-
ample for the compressor is the case whenM=2,x[n]=δ[n], andx
1[n]=δ[n−1].
For this choice of inputs andM,y[n]=δ[n], buty
1[n]=0; thus, it is clear that
y
1[n]α=y[n−1]for this system. 23

Discovering Diverse Content Through
Random Scribd Documents

The Project Gutenberg eBook of Mr Jeremias
etsii illusionia

This ebook is for the use of anyone anywhere in the United States
and most other parts of the world at no cost and with almost no
restrictions whatsoever. You may copy it, give it away or re-use it
under the terms of the Project Gutenberg License included with this
ebook or online at www.gutenberg.org. If you are not located in the
United States, you will have to check the laws of the country where
you are located before using this eBook.
Title: Mr Jeremias etsii illusionia
Author: Hagar Olsson
Translator: Rakel Kansanen
Release date: June 5, 2024 [eBook #73775]
Language: Finnish
Original publication: Porvoo: WSOY, 1927
Credits: Tuula Temonen
*** START OF THE PROJECT GUTENBERG EBOOK MR JEREMIAS
ETSII ILLUSIONIA ***

MR JEREMIAS ETSII ILLUSIONIA
Kirj.
Hagar Olsson
Suomensi
Rakel Kansanen
Porvoossa, Werner Söderström Osakeyhtiö, 1927.

SISÄLLYS:
Jeremias lukee sanomalehtiä ja tekee muutamia kysymyksiä.
Jeremias matkaa maantiellä.
Jeremias herää dans une de ses humeurs noires ja löytää
ilmoituksen.
Kolmas Jeremias hämmästyy itseään.
Jeremias näkee kuvastimessa vieraat kasvot.
Jeremias saa kiireellisen sähkösanoman.
Lentokone.

JEREMIAS LUKEE SANOMALEHTIÄ
JA TEKEE MUUTAMIA KYSYMYKSIÄ.
Monitaitoinen ja tupakan kyllästämä Buffalo istui verannalla,
syventyneenä lähetysseuran vuosikertomuksiin. Hän kaiveli
nenäänsä innokkaasti ja äännähteli silloin tällöin, aiheutuiko se
mielihyvästä vai tyytymättömyydestä kaunista suvisäätä ja aivan liian
puhdasta veranta-ilmaa kohtaan, sitä on vaikea tietää. Samoin pysyi
Jeremias kuurona linnunlaululle ja sokeana luonnon kauneudelle.
Hän istui vain ja näverteli tyytymätöntä sieluaan, odotellessaan
sanomalehtiä — ja kenties jotain muuta.
Huomaan, että naisten opetus lähetyskoulussa on
monipuolisempaa kuin miesten, sanoi Buffalo, istuessaan verannalla
suloisena suvipäivänä. Hän huokasi ja lisäsi: Se on luonnollista
muuten, huomaan, että heidän sivistystasonsa on korkeampi.
Oli aika lähteä hakemaan postia. Buffalo, eläinten ystävä, ei
unohtanut milloinkaan ottaa mukaansa kävelylle jäniskoira Totoa —
joka oli yhtä innokas juoksemaan kuin Buffalo laiska kävelemään.
Paripuoli, jonka kaliseva kettinki silti sitoi toisiinsa myötä- ja
vastoinkäymisen vaiheissa. Jeremias käveli tapansa mukaan vapaana

ja irrallaan, mutta kenties sittenkin kahlehdittuna pahempaankin kuin
kiihkeään jäniskoiraan.
Nuo kolme vaelsivat hiljalleen pitkin maantietä. Lapset leikkivät
kivikossa aurinkoisella mäellä. Ja vasikat ynisivät veräjällä.
Tietysti niille on unohdettu antaa vettä, sanoi Buffalo, vaipuen
huolestuneisiin mietteisiin, hullunkurinen puhvelinaama tuhansissa
rypyissä.
Totolla oli omat tuumansa. Hänellä oli omat elämännäkemyksensä
ja omat erikoiset ilonaiheensa, maantien reunamille keskitettyinä.
Tänään olikin harvinaisen monta narttua kulkenut tästä,
ohdaketiheiköt ja nokkoset olivat varsin magneettisia ja Buffalolla oli
täysi työ hillitessään Toton intohimoja. Välistä kiskottiin hänet
melkein nurinniskoin maantien laidalta toiselle; hän ähki ja hikoili,
menettämättä kuitenkaan järkähtämätöntä lauhkeuttaan. Hänellä oli
aina annos syvää ymmärtämystä elämän kaikkia syrjähyppyjä
kohtaan, olivatpa ne sitten hänen omiaan tai toisten.
— Hänellä on niin vähän iloja elämässä, Toto paralla, sanoi
Buffalo.
Ontuvan miehen tuvan kohdalla sivuutettiin nöyrät pentuset. Ne
matelivat tomussa Toton edessä, kieriskelivät liehittelevin liikkein
pöllähtelevässä pölyssä, lipaisivat hänen kuonoaan, mielistelivät
häntä ja ilmaisivat kaikin tavoin liukkaan alamaisuutensa. Toto ei
välittänyt niistä vähääkään, ne olivat hänelle pelkkää ilmaa.
Hylätty meijeri uneksi menneistä vuosista, jolloin kolina ja rumina
oli joka aamu herättänyt sen unesta ja piikojen nauru ja torailu ja
laulu elähdyttänyt sen vanhaa, kosteata sisustaa. Tuulen, sateen ja

pakkasen syövyttämä patina rakennuksen päädyssä leimahti hohtoon
auringonvalossa ja loisti ihmeellisesti — väri salaperäinen kuin itse
ajan, haalistunut, kuten menneet vuodet, mutta katoamaton niinkuin
niitten muisto.
Lehmiä kulki laiskasti koiranputki-pellon poikki. Ne mulkoilivat
koiraa, verivihollistaan. Atavistisen ärtymyksen kannustamina olisivat
ne tahtoneet käydä hänen kimppuunsa, mutta niitä pidätti
luontainen velttous, yhtä voittamaton kuin niiden suuresta,
ilmeettömästä naamasta paistava tyhmyys.
Postin veräjä narahtaa. Toto tehdä sukaisee nokkelasti viimeisen
muodollisuuden, ja kaikki kolme ovat joutuneet siihen odotuksen
tunnelmaan, mikä vallitsee postitalossa, missä niin monta kirjettä on
vapisevin käsin avattu ja epätoivossa rutistettu kokoon, mutta minne
yhä uusia, toivovia askeleita suuntautuu, kun taas ne, jotka ovat
pettyneet, poistuvat.
Paahteisella pihalla istuu pieni, sairas lapsi ja odottaa, jätettynä
hirveän suuren hatun alle piiloon. Hän odottaa yhä
järkähtämättömällä luottamuksella äidin lupaamaa nimipäivä-
pakettia, jonka äiti kaukana suuressa kaupungissa on aikoja sitten
unohtanut tai pudottanut kadulle, jättänyt elokuviin tai pistänyt
piirongin laatikkoon, sitä sen koommin ajattelematta. Kömpelön
suojaavan jättiläislinnun kaltaisena Nonna-täti tulee postikonttorista,
hyvinkin ymmärtäen, miksi paketti viipyy. Hän taapertaa terhakasti
rappusia alas ja uskoo näyttävänsä toivovalta. Mutta hänen ryppyiset
kasvonsa ovat täynnä mieliharmia, jonka lapsi käsittää. Hän yrittää
tekaista valheen, jottei kauhea totuus, jonka lapsi kuitenkin aavistaa,
pääsisi murtamaan hänen pikku sydäntään.

Tuo ilmilausumaton totuus sattuu suoraan Jeremiaankin
sydämeen. Paketti ei tullut. Pakettia ei tule. Paketti on illusioni.
Jeremiaskin odotti jotain, tietämättään. Joka kerta postia
hakiessaan hän tunsi epämääräistä odotusta. Tyhjyys täytti hänen
ankean sielunsa, joka huusi jotain, salaperäistä kirjettä, jotain
sanomaa, joka kaiken muuttaisi. Mitä hän odotti? Niin, mitä
tuommoinen tyytymätön Jeremias ylimalkaan voi odottaa?
Lähettäisikö Jumala hänelle poste-restante-kirjeen? Tarttuisiko Hän
kynään ja kirjoittaisi: Minun rakas Jeremiakseni. Sinun ei pidä
maalata pirua seinälle. Se on rumaa ja se on tyhmää. Odotapas,
minullapa on jo taskussa jotain sinulle. Saat nähdä, miten mainion
iloiseksi tuletkin, kun muuanna aamuna heräät ja huomaat sen.
Odota vain. Enpäs sanokaan muuta. Sinun uskollinen jne.
No niin, ei postissa ollut mitään sellaista kirjettä tänään. Mutta oli
joukko sanomalehtiä. Ja niistähän saattaa lukea yhtä ja toista, rivien
välistä, kuka taitaa lukea.
Oikeastaan olikin Jeremias intohimoinen sanomalehtien lukija. Hän
ei lukenut erotuksetta kuten Buffalo palstan toisensa perästä, junien
aikataulut, kirkollisviraston ilmoitukset, tiedonannot, kaikki,
saadakseen vain aikansa kulumaan ja vetääkseen ikävystymistä
nenästä, — mutta hän ei myöskään lukenut pääartikkeleita, kuten
järkevien ihmisten on tapana. Poliittinen humbuugi oli hänelle jo
aikoja sitten paljastunut. Kaikkinainen humbuugi. Hän oli ylpeä
kyvystään nähdä asioitten ytimeen. Koulussa hän oli nähnyt
opettajiensa, toimistossaan päälliköittensä aivoitukset. Naisten
salaisimmat vaikuttimet hän näki. Ja sanomalehtien valheet. Ja
uskon kuvitelman ja rakkauden ruokottomuuden. Koko elämän
narrinpelin. Hän oli tyytymätön järkevän oikeudella. Nurjamielisyys

kasvoi, muodostui hivuttavaksi, nyrpeys paisui valtavaksi. Hänellä ei
ollut mitään illusioneja, siitä hän oli ylpeä. Hän verhoutui
ylenkatseeseensa suurta yleisöä kohtaan, joka antoi puijata itseään
pettävällä häikäisyllä.
Tietoisesti hän ei etsinyt mitään sanomalehdistä. Siihen hän oli
liian ovela. Mutta hän luki niitä intohimoisesti. Hän luki niitä salaista
pahetta harjoittavan henkilön kiihkomielellä. Hän etsi ja hän löysi
niistä myrkkyä, huumausta, vaarallista, seikkailujen kiihoitusta, sitä,
mitä toiset saavat viinistä, morfiinista, kokaiinista. Löysi mieltä
järkyttävät, kuivan lakooniset uutiset, murhista, onnettomuuksista ja
tulipaloista, — hänelle purppuraista jääjuomaa. Huomaamatta,
näennäisesti välinpitämättömänä, mutta arvoituksellisen kiihtyneesti
imi hän itseensä uutiset vähin annoksin ja nautti kauhun autuudesta
— siitä ainoasta, joka hänellä oli jälellä, ainoasta, joka oli kyllin
myrkyllistä tehotakseen hänen myrkytettyyn vereensä ja salli
tuokioksi hänen unohtaa itsensä ja pudistaa pois ihmisvihansa. Hän
sulautui silmänräpäykseksi noihin tuntemattomiin, kiusattuihin
sieluihin, ruhjoutuneihin jäseniin, eli kuolinkamppailun mysteerion,
kasvoi irti itsestään, koki identtisyyden.
Hän luki vaivat nähneestä laivurista, joka niin monesta myrskystä
suoriutuneena kuitenkin salaman oikusta sai surmansa, ja hänen
koirastaan, joka oli tarrautunut reimariin kaukana myrskyävällä
merellä, pysyäkseen syvyyksiin vajonneen isäntänsä läheisyydessä.
Hän kuuli koiran ulvonnan, hän ei voinut sitä unohtaa. Hän näki,
miten koiraa yritettiin repiä irti reimarista, miten tuo pieni märkä
ruumis tarrautui siihen yhä tiukemmin, uskollisuuden ihmeellisellä
voimalla: Uskollisuus — se on sana. Mutta mikä on se voima? Tätä
hän mietiskeli. Voima, jota kuolema ei tee tyhjäksi, vaan suurentaa.
Hän ei mielestään ollut koskaan tuntenut sitä voimaa; koskaan ei

häntä ollut johtanut omaa tahtoa väkevämpi mahti. Mutta että
sellainen voima oli olemassa, se häntä hämäännytti.
Hän luki työmiehestä, joka joutui hurjasti kiitävän automobiilin alle
ja ehti iskeytyä kiinni pyörän likasiipeen, pitäen siinä itseään pitkät
kuoleman sekunnit, kunnes tuhoamisvoimat kävivät hänelle
ylivoimaisiksi. Mikä geniaalinen pika-intuitsioni noissa aivoissa:
käsittää ja hallita tuo kauhun tilanne, ei sekunnin murto-osassa —
sillä se olisi ollut liian myöhäistä — vaan paremminkin murto-
sekunnissa ennen tapahtumaa. Metsäeläimen salamannopea valmius
vaaran uhatessa.
Hän vavahti, ikäänkuin hänen silmänsä olisi osunut
valonsäteeseen, joka sattui johonkin sellaiseen, jota hän ei
uskaltanut katsoa — mutta jonka hän kuitenkin aavisti, oli kenties
aina aavistanut. Ihminen kulkee kadulla, jokapäiväinen ilmiö,
ajattelee työtään, räätälinlaskuaan, päivällistään. Ken valvoo tuon
huolettoman ihmisen vaiheita, ken on joka hetki valmistunut
arvaamattoman varalle, valmis vaaraa kohtaamaan, tuhannen
korvan, tuhannen silmän valppaudella? Onko se sama joku, joka ei
milloinkaan sulje silmäänsä, joka valvoo silloin kuin ihminen nukkuu,
joka toimii silloin kuin hän ei siitä tiedä eikä sitä tahdo, joka muistaa
silloin kuin hän, ihminen, unohtaa ja joka jää olemaan silloin kuin
ihminen on kuollut? Joka vioittumatta kahlaa yli Lethen virran —
kohti toista rantaa?
Nuolennopeasti kiiti hänen ajatuksensa Suur-Berliinin
itsemurhaajiin, asettautui Potsdamer Platzin kuhinaan, tunsi
liikenteen räikeän, kuumeisen kosketuksen, hirveän
läpikulkuliikenteen — voitetusta, vielä voittamattomaan. Huulien,
hampaitten, kasvojen, kiiruhtavien jalkojen vilinän, ihmisvirran,

onnellisten, surullisten, katkerien, enimmäkseen välinpitämättömien
— yksinäisten, parittain ryhmissä kulkevien tai sattumalta
raitiovaunussa, omnibussissa yhteenjoutuneitten — kaiken ja kaikki
tilapäisellä läpikulkumatkalla: eteenpäin, edelleen! Jotkut liukuvat
hiljaa virrasta pois, huomaamatta, valitsevat väärän suunnan —
näkymätön poliisi nostaa käden, pysäyttää liikenteen. Heitä ei ole
enää — täällä.
Nytkin lensivät uutiset kuin tuliprojektiilit suoraan hänen
sydämeensä, kun hän istui mietteissään juoden kahviaan,
puolimielissään kuunnellen Buffalon huomautuksia, sillävälin kuin
hänen silmänsä liukuivat palstalta toiselle, — nuo julmat tähystäjät.
Lontoo, 24. kesäkuuta (pikasähkösanoma). Lontoon —Pariisin
pikalentoväylällä lentokone syttynyt tuleen ja syöksynyt alas kohta
Croydonista lähdettyä. Ohjaaja sekä kahdeksan matkustajaa saaneet
surmansa. — Reuter.
Niin, lennä, lennä lentäjä. Kohoa välkkyville siiville, tunne kevyen
rungon värinä vihlaisuna omassa rinnassasi — lennä, pala ja syöksy
alas.
Jeremias heitti sanomalehden luotaan. Hän tunsi levottomuutta,
jota hän ei voinut hillitä, koska hän ei tietänyt, mistä se johtui. Oli
niin ahdasta hänen ympärillään, niin täsmällisen totuttua ja hyvin
järjestettyä, mutta hän ei sopinut siihen. Miksi hän istui täällä kotona
toimettomana, miksi oli hän jättänyt työnsä päätä pahkaa ja tullut
kotiin äidin ja Buffalon ja Toton luo? Niin, hänhän oli nähnyt liian
paljon kulissien takaista, hän ei voinut sitä sietää, hän ei tullut
toimeen päällikön kanssa eikä liioin tovereitten kanssa.

Nyt tulvahti se hänen ylitseen jälleen, tuo kaikki. Hän tunsi itsensä
ikäänkuin tyytymättömäksi siruseksi, joka ei mihinkään sovellu ja
joka turhaan etsii oikeata paikkaansa. Hän riitaantuu kaikkien
kanssa, suosijoittensa, parhaimpien ystäviensä, lähimpiensä, oman
itsensä — luullaan sen olevan pikkumaisuutta, mutta se on jotain
muuta, se koskee jotain tärkeätä, jota kukaan ei käsitä. Silloin
nousee hänessä aiheeton tyytymättömyys, hän turmelee kaiken
hyvän ja kauniin itseltään — eli tyytymättömyys turmelee sen
häneltä. Ja niin kääntyy se häntä itseään vastaan ja kaivautuu
syvälle sieluun, maamyyrän tavoin, mahdottomana saavuttaa. Silloin
se ei tunnu tyytymättömyytenä eikä vihana, vaan kyllääntymisenä,
ikävystymisenä, kaipuuna. Joskus hän yrittää käsin tukkia reiän,
jonka myyrä on nävertänyt hänen vaivaiseen kukkaissarkaansa,
mutta se ei auta. Uusia reikiä, uusia kuoppia, uusia maanalaisia
käytäviä. Maamyyrä tavoittelee hienoimpia, arimpia juuria.
Ei käy, ei käy päinsä luiskahtaa pakoon, pois omasta nahkastaan.
Täytyy ottaa kaikki sellaisenaan, hyvänsä ja huononsa, koti- samoin
kuin loiseläimetkin.
Mutta täytyykö sen olla niin kehnoa, niin olematonta, niin
tarkoituksetonta? Eikö hän muka kuule ääniään hänkin? Eivätkö
keruubi-suut laula hänelle lauluja hänen nukkuessaan? Eivätkö ne
puhu hänelle toisesta olemisesta? Salaisesta, syvästä, kaikki
yhteenliittävästä olotilasta, tarkoituksesta tarkoituksettomassa.
Saattaisivatko ihmiset, joita hän tapaa, kohtalot, joista hän lukee,
satunnaiset kohtaamiset, ohikiitävät katseet, saattaisivatko ne
liikuttaa häntä siinä määrin, asettaa hänet hänen itsensä
ulkopuolelle, ellei olisi olemassa jotain arvoituksellista yhteyttä.

Hänen vanha äitinsä nousi pöydästä ja lähti raskain askelin
puutarhaan, missä hän teki työtä kaiket päivät, sateessa ja
auringonpaisteessa, kävi loppumatonta taistelua hyönteisiä ja
vahingollisia eläimiä vastaan, murehti jokaista madonsyömää
kaalinlehteä, jokaista kuivettunutta leukoijaa, ja iloitsi
pienimmästäkin edistyksestä, niin, yksinpä pelargoonioiden
lämpöisen punaisesta loisteesta ruohokentällä. Jeremias seurasi
häntä katseellaan. Ovessa loi äiti häneen viipyvän silmäyksen.
Jeremias näki, että aurinko paistoi ulkona, äiti kulki
kukkaisvaltakuntaansa, josta hän tulisi taas takaisin. Ja kuitenkin
häntä puistatti. Tuo silmäys oli ollut sen, joka menee eikä enää tule.
Vanhan, väsyneen ihmisen katse, niin valvomisesta uupunut kuin se
saattaa olla vain vähän ennen sammumistaan, vastauksetta
jääneitten kysymysten polttava katse, josta kirvelyä lientävät
kyynelet ovat jo ehtyneet — niin yksinäinen liukuvassa
äänettömyydessään. Mutta pohjalla kuitenkin tuo pelokas, hätäinen
kilvoitus: Mikä on elämää kalliimpaa?
Jeremias halusi juosta hänen luokseen ja hyväillä häntä, sytyttää
ilon tulen noihin anoviin silmiin, lahjoittaa niille vielä viimeisen
illusionin, joka saisi ne liekehtimään. Mutta hän istui liikkumatta
avuttomuutensa vankina. Mitä voimme antaa toisillemme? Saattaako
tyhjällä täyttää tyhjää?
Jeremias pelkäsi hänen silmiään. Hän näki, että ne olivat hänen
omat silmänsä, mutta syvemmät, kaukaisemmat, kuten vanhojen
silmät ovat. Vuosien keralla vetäytyy sielu syvemmälle, pinta, jonka
kevyt valoleikki on nuoren silmän kilpenä, katoaa, ja syvän kaivon
pohjalta sielu kuultaa heikosti. Missä on ilo, joka taitaa tunkeutua
niin syvälle ja hälventää tihentyneet varjot?

Äkkiä johtuivat hänen mieleensä viime joulun elämykset, jotka hän
jo luuli unohtaneensa, vaatien selitystä juuri nykyisen yhteydessä.
Kaksi vanhaa naista, molemmat nyt jo kuolleita, asettui hänen
tielleen ja tuntui uhkaavan häntä jollain kauhealla. Hän näki
raihnaisen, haudan partaalla hoippuvan ruotimummon, Marin, joulu-
aaton vastaisena, suurena tulipalo-yönä. Sauna oli ilmiliekissä,
mummo, joka asui saunakamarissa, tuli hengästyneenä, pelosta
suunniltaan ja puolialastomana keittiöön, missä kellään ei ollut aikaa
ottaa häntä hoiviinsa. Aittarakennus oli syttynyt tuleen, kellari ja
maitokamari ja kaikki jouluherkut, kinkut, lipeäkala, lihahyytelöt,
makkarat, kananpaistit, putingit, kuorrutetut tortut jäivät liekkien
saaliiksi, — kaikki, mitä äiti oli valmistanut viikkomääriä, seisten
kumarassa, polvet pöhöttyneinä, selkä kipeänä, koko raskas, väsynyt
ruumis jännitettynä äärimmilleen ahertamassa lasten vuoksi, jotka
palaisivat kotiin, ja siksi että niin oli tapa. — Kukaan ei ehtinyt näitä
ajatella. Kaikki riensivät suojelemaan päärakennusta ja samalla
suurta palveluskunnan asuinrakennusryhmää, joka oli aivan vieressä.
Mutta äkkiä kiljaisi mummo — nuo kaatuvatautisen kasvot näyttivät
kaksinverroin aavemaisilta roihuavan tulipalon valossa. Hän ryntäsi
ulos, ja vain väkivaltaa käyttäen sai Jeremias hänet estetyksi
tunkeutumasta palavaan saunaan.
Hän tahtoi pelastaa arvokkaimman, mitä hän tässä maailmassa
omisti, mikä oli hänelle kalliimpaa kuin elämä: pienen kirstun, jossa
oli vanhaa mielenylennyskirjallisuutta, postilloja, raamatuita ja
virsikirjoja, muistoja, lahjoja joltain ystävälliseltä pastorilta tai
perheenemännältä. Hän ei niitä koskaan lukenut, hän oli puolisokea
eikä ollut kai koskaan oppinut muuta kuin niin ja näin tavaamaan.
Mutta ne olivat toisen elämän lunnaita, sen elämän, joka ei ollut joka
päiväistä vaeltamista pienestä loukosta, jota sanottiin
saunakamariksi ja jossa hän sai nukkua, keittiöön, missä hän sai

syödä, ne olivat kiedotut hänen elämänsä ylellisiin hetkiin, aina
ripillepääsypäivästä lähtien — olivat hänelle koko elämän
tarkoituksen vakuutena.
Ne olivat hänelle elämää kalliimmat, kirjaimellisesti. Samana yönä
hän kuoli.
Täällä maailmassa saattaa kuolla monenmoisten asiain puolesta.
Joku kuolee isänmaan puolesta, toinen vapauden, kolmas
Kristuksen, neljäs köyhälistön. Ja joku kuolee pienen pölyisen kirstun
puolesta, joka sisältää postilloja ja jota ei ole liikuteltu
vuosikymmeniin, mutta joka on silti sanomattoman kallisarvoinen.
Illusioneja.
Kenties. Mutta eivätkö ne ole enemmän kuin totuus? Ainoa voima,
mikä pitää puolensa kuolemata vastaan, poistaen sen
tarkoituksettomuuden? Tehden sen jatkumiseksi, eikä lakkaamiseksi?
Jeremias-poloisesta oli Mari-mummo sankari. Jeremias saattoi
nähdä hänet taivaan autuudessa sädekehä pään ympärillä,
valtaistuimenaan kultakirstu, mihin oli kirjoitettu välkehtivin
rubiinein:
KUOLEMA, KUSSA ON SINUN OTASI.
Seuraavana, jouluaatto-päivänä, seurasi toinen tragedia. Mutta
sen päättyessä eivät mitkään riemuitsevat enkelikuorot veisanneet:
kuolema on voitettu. Silloin oli matojen vuoro kerrata: multaa,
multaa, multaa.

Emilia-tädin sairaus oli äkkiä saanut pahemman käänteen.
Kasvoruusu rupesi ilkeästi uhittelemaan, muori menetti tajuntansa.
Hän oli tavattoman pienikasvuinen, tuo Emilia-täti, mutta sangen
hyvin säilynyt ikäisekseen. Sydän oli yhtä nukkemaisen soma kuin
kasvotkin, sitä ei mikään intohimo eikä levottomuus ollut kiduttanut.
Vanha ikäneitsyt ei tietänyt paljon elämästä eikä tullut koskaan
ajatelleeksi kuolemaa; hän eli vaatimattomilla koroillaan, puuhaili
päivisin yhtä ja toista pientä, ei oikein tiedetty mitä, ja nukkui öisin
kuin lapsi. Vähän oli hän saanut, vähän antanut. Ajatuksia ei hänellä
ollut minkäänlaisia, haalistuneita muistoja vain. Mikään ei vetänyt
hänen harrastustaan puoleensa, hän ei juuri kehenkään kiintynyt, ei
edes eläimiin tai lapsiin. Mutta kukkia poimi hän mielellään, ne niin
koristivat huoneita. Niin, harrastusta oli hänellä kylläkin, hän oli
suorastaan pirteäkin ja valpas, ja puhelias, mutta se mielenkiinto oli
jonkinlaista pedanttisuutta: tarvetta nähdä kaikki oikealla paikallaan.
Hän olisi voinut antaa vaikka päänsä siitä, että joku oli sanonut niin
eikä näin, että renki oli kantanut kukkamaalle yhden ämpärin vettä
eikä kahta, että kello oli kymmenen eikä kaksikymmentä minuuttia
seitsemättä silloin kuin se ja se oli tullut vieraisille. Ja siinä oli kaikki.
Nyt makasi hän kuoleman kielissä, tietämättä siitä.
Äiti pistäytyi silloin tällöin katsomaan, kun vain pääsi. Hän tahtoi
olla saapuvilla ja laulaa jonkun virren tai lukea Jumalan sanaa, jos
täti tulisi tajuihinsa ja tuntisi lohdutuksen ja lievennyksen tarvetta.
Hämärissä heräsi täti todellakin tuokioksi täyteen tajuunsa. Hän loi
kirkkaan katseen äitiin, joka seisoi siinä kyynelet silmissä.
— Voit kai hieman paremmin, rakas Emilia, sanoi äiti.
— Kiitos, paljon paremmin, vastasi Emilia-täti. Jaksan varmasti
nousta ylös päivälliselle.

Niin vaipui hän äkkiä horrokseen taas ja alkoi heikosti kuorsata.
Kyynelet valuivat äidin poskia pitkin. Hän tiesi niin hyvin, miten
Emilia-täti jo viikkoja oli uneksinut jouluruoasta. Hänellähän oli oma
pieni taloutensa, sillä hän ei tahtonut olla kenestäkään riippuvainen.
Ja hänen ruokansa oli tietysti vaatimatonta ja yksitoikkoista, vähän
puuroa, joku muna. Ainoastaan juhlatilaisuuksissa oli hän äidin
vieraana. Siinä korkein, mitä elämä saattoi hänelle tarjota. Hänellä ei
ollut mitään muuta odotettavaa kuin nuo harvinaiset juhla-ateriat,
jolloin elämän yltäkylläisyys tulisi hänen ylleen, ikäänkuin hänkin olisi
kuulunut laajempaan piiriin, missä elämä voi paisua yli
välttämättömimmän rajojen, lahjoittaa ylijäämän, joka on nautinto.
Hän vaikeroi hiljaa ja avasi äkkiä silmänsä. Hän tahtoi sanoa
jotain, mutta ei voinut. Otsa oli hiestä kostea, katse samea, hän
kamppaili kuoleman uupumusta vastaan. Äiti kumartui hänen
puoleensa.
Kuihtuneet pikku sormet nöpelsivat avuttomasti peitolla.
— Ellen jaksaisi nousta ylös, tuot sinä kai ruokaa minulle tänne,
kuiskasi hän tuskin kuuluvasti, mutta kiireisesti, ikäänkuin peläten,
ettei ehtisi sanoa tätä loppuun.
Sen jälkeen ei hän tullut enää tajuihinsa. Hän kuoli muutaman
päivän perästä, rauhallisesti ja kauniisti ja valoisasti kuin lapsi. Hän
oli niin pieni kuin linnunpoika ja hänen kasvonsa olivat nyt kauniit,
jota ne eivät olleet koskaan hänen eläessään. Kenties palasivat ne
silmänräpäykseksi, juuri vähän ennen hajoamista, siihen tilaan,
mihin ne olivat aiotut.
Jeremiaksen oli vaikeampi käsittää Emilia-tädin tapaus kuin
vanhan Marin. Hän saattoi kyllä hyväksyä viimeiseksi illusioniksi

vanhan kirstun, jolla onnellinen sielu purjehtii yli kuoleman mustan
virran, hän saattoi langeta polvilleen ja palvoa tuota kirstua kuin
jotain, mitä hän itse ei voinut saavuttaa: mutta hän oli kuin puusta
pudonnut ja kauhuissaan, kun ei voinut löytää hennointakaan
oljenkortta, minkä varassa ahdistettu sielu olisi voinut kohota…
Hän näki Emilia-tädissä oman itsensä, ja hän tuumi, ettei hän
kenties tädin ikään tultuaan kykenisi iloitsemaan edes ruoasta. Tosin
olisi hänellä enemmän »harrastuksia», ehkä enemmän »ideoita»,
mutta ei mitään, mikä ei murenisi silloin kuin kaikki muu murenee.
Hän tunsi olevansa kuin matonen maapallon reunalla ojentamassa
värisevän hienoja tuntosarviaan ulos avaruuteen, missä ideat
pyörivät eteerisessä sudenkorennon karkelossa. Niihin tarrautui
monta ideajyvästä — hän veti tuntosarven sisään, joka kerta yhtä
innokkaana, yhtä toiveikkaasti, käänteli ja katseli saalista tuokion,
tutki ja koetteli, kunnes päästi sen jälleen menemään, —
tomujyväsen, pölyhiukkasen, samanlaisen kuin kaikki muutkin, vailla
arvoa, vailla katoamattomuuden hohdetta. Ei hän tullut siitä sen
rikkaammaksi, ei rikkaammaksi kuin Emilia-tätikään.
Hän näki tuon saman — itsetiedottomasti aavistaen — äidin
katseesta, hän näki sen syvinnä niin monissa katseissa, joita hän oli
kohdannut, tunnettujen ja tuntemattomien. Hän tahtoi kääntää
päänsä poispäin, mutta se ei auttanut. Se katse seurasi häntä
kaikkialla, kun hän oli sen kerta huomannut, joka paikassa, se asui
hänessä itsessään.
Jotain raskasta laskeutui hänen ylleen, painoi hänen rintaansa.
Hän tunsi, että hänen piti ponnistaa viimeiset voimansa, ettei hän
menettäisi tajuntaansa.

Buffalo nauroi makeasti itsekseen, hörppi äänekkäästi kahviaan ja
luki juhlallisella äänellä: »Paavi, jota eilen vaivasi pahoinvointi, on
tutkituttanut itsensä henkilääkärillänsä, joka on todennut potilaan
sairastavan influenssaa ja kieltänyt häneltä vastaanotot sekä
määrännyt hänet vuoteeseen.»
Jeremias näki hänen ilveilevät kasvonsa ikäänkuin usvan läpi eikä
oikein jaksanut käsittää hänen sanojaan.
— Aivasteleva prelaatti. Hm, subliimia ja naurettavaa, filosofeerasi
Buffalo. Niin, tuo pieni inhimillinen välttämättömyys on petollinen.
Suutarille on se luonnostaan lankeava, mutta komeuteen ei se
sovellu.
Jeremias ei reageerannut. Nitschevo! — Buffalo syventyi
sekalaisiin ilmoituksiin.
Jeremias tunsi maan horjuvan jalkojensa alta. Hän ei jaksanut
taistella vastaan, hän liukui sille viettävälle pinnalle, missä valhe ja
totuus laskevat luisua sekaisin ja missä kysymys saa mielettömän
vastauksen.
— Hm, hymähti Buffalo uudelleen, kun vastausta ei kuulunut.
Jäinen kylmyys kietoutui häneen, hän tunsi jähmettyvänsä. Hän
tajusi heikosti, että olemisen valtimo löi hänen ympärillään, edes
häneen hipaisematta, että aurinko paistoi jossain kaukana, häntä
lämmittämättä, että äänet puhuivat hänen korvaansa kantautumatta.
Hän oli piste maagillisessa kehässä, joka erotti hänet kaikesta muun
yhteydestä. Vain hämäränä muistona koki hän sen lämmön, mikä
kerran oli häntä ympäröinyt, jonkin sylin, jonkin käden, jonkin
katseen kevyen kosketuksen, yhteyden toiseen olentoon, taloon,

katuun, työpaikkaan, moninaisiin tarpeisiin, mielihaluihin ja
pettymyksiin, jotka nielivät tuollaisen Jeremiaksen, niinkuin meri
nielee vesipisaran, suo hänelle tuhansien korvien, tuhansien silmien,
tuhansien ja taas tuhansien sydämien kaipuun.
Hän joutui sairaalloisen pakkomielikuvituksen valtaan: hän kutistui
kutistumistaan, muuttui äärettömän pieneksi, avaruudessa heikosti
leijaavaksi, häviäväksi pisteeksi. Hänestä tuli eksynyt
sadastuhannesosa. Jokin Jeremias.

JEREMIAS MATKAA MAANTIELLÄ.
No niin, liekö hän nyt hyvin varustettu matkalleen? Ovatko hänen
taskunsa täynnä toiveita ja hänen lompakkonsa varmuuksia
pullollaan? Onko hänen katseensa pelottomana suunnattu vaikeuksia
vastaan, jotka on voitettava, jos mieli matkan johtaa onnelliseen
päätökseen?
Hän istuu puserrettuna tärisevän ja puhkuvan autobussin
nurkkaan, matkalla kaupunkiin… Lihava talonpoikaisvaimo, jonka
kohtalo näin on viskannut hänen tielleen yhä tuntuvammin
katkeroittaakseen hänen olemassaoloaan, istuu hänen vieressään
monien myttyjen ja korien ympäröimänä.
Hän näyttää olevan tyytymättömin. Se on ainoa seikka, minkä
hänen matkatoverinsa voivat todeta, sillä hän ei ota osaa heidän
keskusteluihinsa, jotka liikkuvat satomahdollisuuksien, tappeluitten,
sairauksien ja hevoskauppojen alalla. Itse asiassa ei heillä ole
minkäänlaista aavistusta, mikä omituinen matkustaja hän on ja mitä
ajatuksia liikkuu tuon heidän näköpiiriinsä ulottuvan otsan sisässä.
Jeremiasta tuskin huomaa, hän näyttää niin pois häipyneeltä. Hänen
vaatetuksensa on ylimalkaan jonkun vaatetus, se voisi yhtä hyvin
olla lainattu tai varastettu — identtisyyden salaamiseksi. Hän on

joku, mutta mahdotonta sanoa kuka. Karannut vanki? Takaa ajettu
hevosvaras? Murhaaja? Valepukuinen Vapahtaja?
On päivän selvää, että hän istuu tässä vaunussa ainoastaan
näennäisesti. Hän näyttää siltä kuin olisi hypännyt autobussiin vain
sivumennen, ei siksi, että hän olisi valinnut juuri tämän autobussin ja
tämän maantien ja tämän ajan, vaan koska hänen täytyy eteenpäin,
samantekevää, miten, milloin ja minne. Hän ei näytä matkustavan ei
huvin eikä minkään määrätyn tarkoituksenkaan vuoksi: hän on
välinpitämätön sille, mitä hänen ympärillään tapahtuu eikä ajattele
sitä, mikä häntä on odottamassa määrän päässä. Hän on jännittynyt,
mutta ei siitä, mikä on lähestymässä, vaan siitä, minkä hän on
jättänyt taakseen ja joka kenties vainoaa häntä. Hän matkaa
eteenpäin hiljaisena, sulkeutuneena, arkana, niinkuin kuljetaan silloin
kuin tahdotaan jotain päästä pakoon. Jokainen vaunussa istuja
vaistoaa tuon matkustajan toiseksi kuin mitä hän näyttää olevan.
Myötämatkustajat uskottelevat itselleen, etteivät he muka kiinnitä
häneen mitään huomiota, eivät välitä mikä tai kuka hän on, että he
tuskin huomaavat häntä.
Heidän keskustelunsa jatkuu näennäisesti hänestä välittämättä.
Autonkuljettaja kiroilee lehmiä, jotka asettuvat tielle poikkipäin,
pakottaen hänen tekemään uskallettuja käänteitä. Huolestunut
talonpoika esittää toisenlaisia mietteitä, hän ei katso noita
nälkiintyneitä maantien lehmiä autoilijan näkökannalta.
— Elukoilla on surkeaa tänä vuonna, hän sanoo.
— Niin, tämän kuivuuden saamme ensi talvena kalliisti maksaa,
virkkaa seppä, jonka sekä vilja että voi on ostosalla.

— Niityt eivät kasva äpärettä, lisää talonpoika. Ja ruis kuivettuu
ennen aikojaan.
— Entäs peruna, oi voi, päiväilee Jeremiaksen vieressä istuva
vaimo.
Tänä vuonna ei kannata syödä nuoria perunoita.
— Tällaista kesää ei ole ollut miesmuistiin, virkkaa talonpoika.
Tuulta ja kuivuutta kuin Venäjän maalla.
— Tulee kato, saattepas nähdä, huomauttaa joku.
Mutta sittenkään eivät he jätä Jeremiasta rauhaan. Heidän salaiset
katseensa kaivelevat hänen taskujaan, työntäytyvät kiinni hänen
pintaansa ja kutittavat hänen niskaansa. Hän tuntee itsensä
kiusallisen paljastetuksi. Häntä arvioidaan häikäilemättä, hänen
taskujaan käännellään nurin narin ja tarkastellaan luuloteltuja
löytöjä. Hän tuntee olevansa ryövätty, toiset tuntevat pettyneensä.
Hiljainen, katkeroitunut taistelu käy heidän ja hänen välillään —
kulkijaimen.
Se ärsyttää Jeremiasta. Mutta hän ei tahdo heihin liittyä. Hän ei
tahdo.
Hän tahtoo olla rauhassa omine ajatuksineen. Hän tietää, että
hänellä on paljon ajateltavaa, niin paljon sellaista, mistä hänen on
saatava selvyys. Niin, ehkä sitä nyt ei niin paljonkaan ole, ehkä on
vain yksi ainoa asia, mutta se on niin tärkeä, että olisi kauheata, ellei
hän ajoissa pääsisi siitä selvyyteen. Hän yrittää keskittää
ajatuksiaan. Hän tavoittelee hätäisenä johtolankaa, jonka avulla
päästä ulos labyrintistä. Hän tietää, että jossain on olemassa aukko,
jossain paistaa aurinko, jossain on selvä päivä — mutta tietä ei hän

voi löytää. Hän yrittää selvittää ajatuksiaan, mutta vyyhti sotkeutuu
yhä pahemmin. Asiaan kuulumattomia seikkoja sähkötetään aivoihin
lakkaamatta; hän hairahtuu alituiseen ajattelemaan jotain aivan
toista kuin mitä hänen piti ajatella.
Hänen ei sallita ajatella rauhassa, siinä koko syy. Häntä häiritään.
Kaikki ihmiset häiritsevät. Kuten nytkin esimerkiksi. Tässä hän istuu
eikä toivo muuta kuin saada olla rauhassa. Mutta häntä ärsytetään.
Vihjauksia, arveluita, nenäkkäitä arvosteluja hän tuntee ilmassa.
Istutaan ja arvioidaan häntä. Hän aavistaa tarkoittavia, risteileviä
katseita — häneen vihjaavia. Hänet pakotetaan ajattelemaan, mitä
muut hänestä ajattelevat. Hän yrittää arvailla, mikä yleinen mielipide
on hänestä vallalla.
Hän keksii kauhukseen monipäisen hirviön, joka yhä tuijottaa
häneen ja vakoilee hänen ajatuksiaan ja seuraa hänen pienimpiäkin
liikkeitään epäluuloisesti. Koko vaunukunta tuijottaa häneen. Hän
näkee itsensä hirviön silmillä: naurettava. Tilanne käy
mahdottomaksi.
Hän pyyhkii hikeä otsaltaan. Hän ei uskalla muuttaa ilmettä, se
hänet paljastaisi. Hän kätkeytyy jäykkään, vihamieliseen naamioon ja
kyyristyy kokoon suojellakseen itseään selkään kohdistuvilta
katseilta.
Hänen vieressään istuva nainen liikahtelee levottomasti, huokaa
kuuluvasti. Jeremias vilkaisee häneen ja huomaa, että hänen
kasvonsa ovat harmaat ja hän näyttää kärsivän kauheita kipuja.
Äkkiä hän oksentaa. Autobussi syöksyy eteenpäin kuurona ja
sokeana. Jeremias tuntee oksettavaa löyhkää. Mutta kukaan ei näytä
kiinnittävän asiaan huomiota.

— Minä näes en siedä tärinää, sanoo nainen anteeksipyytäen.
Ajan ensimmäistä kertaa näin uusimuotisella kyydillä.
— Jeremias sulkeutuu vihamieliseen hiljaisuuteen.
— Teidän olisi ollut parempi matkustaa junassa, sanoo joku
joukosta sävyisesti, vain jotain sanoaksensa.
— No mieluummin sitten dilisanssissa, vingahtaa Jeremias
halveksivasti.
Matkustajat katsovat toisiinsa, hämillään tästä äkkinäisestä
mielenpurkauksesta. Yksi ja toinen hihittää mitään käsittämättä,
kuvitellen dilisanssia haukkumasanaksi.
Mutta Jeremias tuntee huojennusta. Tuo sietämätön
puolustautuminen on yhdellä iskulla muuttunut hyökkäykseksi. Hän
on ryhtynyt hyökkäykseen, löytänyt nyrpeydelleen johdattimen. Hän
kohentautuu, luo tyynen sotapäällikön katseen yli vaunun. Hän on
tietoinen, että halveksii kanssaihmisiään.
Mahtipontisuutensa tunnossa hän istuu rehevämmin, siirtää
kärsimättömänä vaimon myttyjä, jotka anastavat häneltä tilaa.
Hiljaisella ja nopealla, unohtumattomalla liikkeellä järjestelee sairas
nainen tavaroitaan toisin, kääntää kallelleen enimmän tilaa ottavan
mytyn ja jää levollisesti istumaan mitä sietämättömimpään asentoon.
Hänen eleensä ei ollut nöyrä, ainoastaan ystävällinen,
teeskentelemättömän hyväntahtoinen.
Tuolla eleellä, hiljaisella ja huomaamattomalla, on pelottava
iskuvoima. Eikä tällä Jeremiaksella ole mitään, millä suojella itseään;
hän on syvästi häpeissään. Hänen poskeaan polttaa aivan kuin olisi

se saanut korvapuustin, mutta kättä, joka iskun on antanut, ei näy.
Tässä on jälellä se, mikä näyttää myötämielisyyden eleeltä, ja vielä
polttava punastuminen, mutta se, mitä ei näy, taistelee nyt
ratkaisevan taistelun.
Sillä välin autobussi täryyttää pitkin maantietä pölypilvessä, ajaen
edellään peljästyneitä lammaslaumoja ja pillastuneita varsahevosia,
mukanaan tilapäinen joukko matkustajia, jotka ahtaassa vaunussa
tuntevat voimakkaasti toistensa fyysillisen olemassaolon, hajun ja
hiesteet, mutta jotka tuskin mitään muuta toisistaan tietävät: —
villejä autobussissa! Samalla maantiellä kulkee toisia ihmisiä
samanlaisissa autobusseissa, autoissa, kärryissä ja erilaisissa
ajoneuvoissa. Ne ovat kulkeneet siellä sukupolvien ajat, toisissa,
epämukavammissa, hontelommissa ajoneuvoissa, jalan ja hevosella,
koskaan tietämättä, mitä he ovat toistensa elämään vaikuttaneet.
Maantien pöly on lakaissut pois kaikki jäljet — etteivät ne olisi
pelästyttämässä jälkeen tulevia, jotka niin kiireisesti ja huolettomasti
rientävät odottavaa kohtaloaan vastaan.
* * * * *
Jeremiaksen valtasi vaistomainen halu paeta, päästä huomaamatta
johonkin kätköön. Mutta eikö hän sitten paraikaa ollut pakoretkellä?
Eikö hän juuri äsken paennut jotain, jota hän ei uskaltanut kohdata?
Missä maa ei polttaisi?
Hän katsoi salaa käsiään — noita käsiä, joita hän ei voinut välttää
ja joitten teoista hän ei voinut vapautua, hän näki hengessä
kyllääntymistä ilmaisevat kasvonsa, jotka hän oli nähnyt läpi, mutta
joita hän ei kyennyt muuttamaan, näki muotonsa, olemuksensa, jota
hän ei voinut yltään kirvoittaa, niin ankarasti kuin hän ponnistelikin
ryömiäkseen ulos nahkoistaan.

MINÄ!
Sillä hiipivällä vastenmielisyydellä, jota hän tunsi kaikkea ja kaikkia
kohtaan, oli juurensa tässä, jota hän ei voinut paeta: Minässä. Hän
tunsi itsensä ulkoa ja sisältä, tunsi kaikkien tekojensa, ajatustensa,
tunnelmainsa syyt, salaisimmatkin. Ilkeys, pikkumaisuus,
sentimentaalisuus näkyivät liiankin selvässä päivän valossa. Se raja,
missä jokainen toinen ihminen käy arvoitukseksi ja hänen
menettelytapansa yllätyksiksi, sitä rajaa ei ollut olemassa hänelle —
suhde minään oli jollain tavoin liian läheistä, tympäisevää. Hän inhosi
itseään kuten jotain aivan liiaksi läpi nuuskittua, jotain
epämiellyttävän lähentelevää ja irtipääsemätöntä.
Saadapa vain yhden ainoan kerran tunnustella toisen kädellä,
haistaa toisen nenällä, nähdä toisen silmällä! Löytää nuo salaiset,
rajattoman kaipuun arvoiset tiet toisen kuvitelmamaailmaan. Olla
toinen kuin on — uusi ilmestys! Reageerata toisin kuin luullut sitä
ennen, itkeä toista itkua, nauraa toista naurua. Toivoa jotain uutta,
jotain yllättävää, odottamatonta! Nähdä mahdollisuuksia siellä, missä
kaikki tiet ovat tukossa!
Lähestyttiin kaupunkia. Unelias vaunukunta heräsi eloon.
Matkustajat kohentautuivat ja järjestelivät kapineitaan. He katselivat
iloisen ja uteliaan näköisinä toisiinsa. Epämääräinen odotus ilmehti
heidän kasvoillaan. He näyttivät kaikki tuntevan, että jokin odotti
heitä. Kukaan ei jäänyt välinpitämättömäksi. Uneliaisuus oli kuin pois
puhallettu, heitä kiihoitti liikkeelle lähtemisen henki. Monella heistä ei
varmaankaan ollut kaupunkiin muuta asiaa kuin käydä tekemässä
joitain ostoksia tai mennä lääkärille, mutta tämäkin oli jo jotain, jota
ei tapahtunut joka päivä. Olihan se sentään kaupunki joka
tapauksessa, ihmisvilinää, näyteikkunoita, raitiotievaunuja,

elokuvateattereita, vieraita tyttöjä, matruuseja. Ja yksi ja toinen
menisi kauemmaksi, kenties niin pitkälle, ettei itsekään tietänyt,
minne asti, mutta tunsi sittenkin nyt olevansa toinen, äärettömän
paljon merkitsevämpi henkilö kuin äskeinen, kotikylässä kulkeva… Ja
tytöt olivat jo kotona salaa lukeneet lehdestä ja painaneet muistiin
tuon kauan toivotun osoitteen: Onnesta ja tulevista kohtaloista
ennustetaan Iso-Robertinkatu 17, porras A, ovi 45.
Tämä lähtemisen ja lapsellisen odotuksen ilmakehä ärsytti
Jeremiasta. Hän yritti olla huomaamatta matkatoveriensa hommia ja
välttyä heidän mielialansa vaikutelmilta. Hän istui liikkumattomana
niinkuin olisi aikonut istua siinä koko ikänsä, niinkuin mitään lähtöä
hänelle ei olisi ollut olemassa. Välinpitämättömänä ja perin pohjin
kyllääntyneenä katseli hän ulos ikkunasta ja erotti harmaat
esikaupungin rakennukset niitä näkemättä. Mutta äkkiä hän näki
jotain. Korkean lankkuaidan rakenteella olevan talon edessä ja
aidassa suurin, epämiellyttävin kirjaimin:
PÄÄSY SYRJÄISILTÄ KIELLETTY.
— Tämä on minua varten, ajatteli Jeremias. Kuten syrjäinen
laskeutui hän vaunuista ja lähti kulkemaan hitaasti ylämäkeä.

Welcome to our website – the ideal destination for book lovers and
knowledge seekers. With a mission to inspire endlessly, we offer a
vast collection of books, ranging from classic literary works to
specialized publications, self-development books, and children's
literature. Each book is a new journey of discovery, expanding
knowledge and enriching the soul of the reade
Our website is not just a platform for buying books, but a bridge
connecting readers to the timeless values of culture and wisdom. With
an elegant, user-friendly interface and an intelligent search system,
we are committed to providing a quick and convenient shopping
experience. Additionally, our special promotions and home delivery
services ensure that you save time and fully enjoy the joy of reading.
Let us accompany you on the journey of exploring knowledge and
personal growth!
ebookname.com

Full download Discrete Time Signal Processing 3rd Edition Alan V. Oppenheim pdf docx

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Full download Discrete Time Signal Processing 3rd Edition Alan V. Oppenheim pdf docx

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 4

Slide 5

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

TLE-9-Prepare-Salad-and-Dressing.pptxkkk

LESSON 1 ABOUT MEDIA AND INFORMATION.pptx

GRADE-8-AQUACULTURE-WEEKQ1.pdfdfawgwyrsewru

Feelings PP Game FOR CHILDREN IN ELEMENTARY SCHOOL.pptx

Jeopardy_Figures_of_Speech_Template.pptx [Autosaved].pptx

Jeopardy_Figures_of_Speech.pptxvdsvdsvsdvsd