Función Compuesta y Función Inversa

1. FUNCIÓN COMPUESTA 
 
 
g 
o f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, 
(g 
o f)(a)=@. 
En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o 
aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la 
función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica 
finalmente la función restante. 
 Definición: Dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está 
contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como  
(g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X. 
 
 
A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de 
escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento. 
EjemploEjemploEjemploEjemplo        
Sean las funciones: 
2
)(xxf= 
2)(+=xxg  
La 
función g compuesta con f que expresamos f o g está dada como () 442))(()(
22
++=+== xxxxgfxfog  
La 
función f compuesta con g que expresamos g o f está dada como 
2))(()(
2
+== xxfgxgof 
 
 

2. Observación:Observación:Observación:Observación:    
La función compuesta está bien definida, pues cumple con las dos condiciones de 
existencia y unicidad, propias de toda función: 
1.
Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la 
función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto 
que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y 
así (g ο f) cumple la condición de existencia.  
2.
Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el 
valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).  
PropiedadesPropiedadesPropiedadesPropiedades    de la Función Compuestade la Función Compuestade la Función Compuestade la Función Compuesta     
• La composición de funciones es asociativa, es decir:  
 
• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:  
 
Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces 
f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².  
• La inversa de la composición de dos funciones es:  
 
Función recíproca o 
inversa 
 
 

3. Una función ƒ y su inversa o recíproca ƒ 
–1
. Como ƒ aplica a en 3, la inversa ƒ 
–1
 lleva 3 
de vuelta en a. 
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos 
de J, en ciertas condiciones será posible definir la aplicación f 
-1
 que realice el camino 
de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f 
-1
 es la aplicación inversa o recíproca de f. 
  
 
Definición: Sea f una función real inyectiva, cuyo dominio sea el conjunto I y cuya 
imagen sea el conjunto J. Entonces, la 
función recíproca o inversa de f, denotada f 
-1
, 
es la función de dominio J e imagen I definida por la siguiente regla: 
 
Destaquemos que f 
-1
, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada 
de modo único por f y que cumple: 
•
y  
• .  
De hecho, estas dos últimas propiedades caracterizan a la función inversa, como 
muestra la siguiente definición alternativa. 
Definiciones alternativasDefiniciones alternativasDefiniciones alternativasDefiniciones alternativas        
 
 
Dadas dos aplicaciones y las propiedades: 
1.

y  
2.

,  
Entonces: 
• Si se cumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es 
inversa por la izquierda de f.  
• Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es 
inversa por la derecha de f.  
• Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la 
inversa de f.  

4. Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa. 
Propiedades algebraicasPropiedades algebraicasPropiedades algebraicasPropiedades algebraicas        
 
 
Inversión del orden en la composición de funciones. 
• La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula  
 
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer el camino 
avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este 
último por medio de g
–1
 y terminar con f
–1
,  
• La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:  
 
Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: 
y  .  
 
 
GráGráGráGráfico de la función inversafico de la función inversafico de la función inversafico de la función inversa        
 
 
Ejemplo de una función f y de su recíproca g, donde los respectivos dominios de 
definición son I = [ -6; 6 ] y J = [ -6 ; 2 ] 
 
 
 

5. • Los gráficos que representan f y g son simétricos con relación a la primera 
diagonal, es decir la recta ∆: y = x. En efecto, esta simetría envía un punto 
cualquiera M(x,y) sobre el punto M'(y,x). M pertenece a la curva de f si y sólo si 
M' pertenece a la de g, porque la primera condición se escribe y = f(x) y la 
segunda x = g(y) y son por definición equivalentes.  
• Las tangentes en M y M' tienen pendientes inversas. Es un efecto de la simetría 
anterior, y es la ilustración geométrica de la relación ya vista g'(y)∙ f '(x) = 1.