Funciones racionales

U10.4

1. Funciones racionales

2. Números y Funciones Racionales
•Un número racional se puede expresar como el cociente entre
dos enteros,
�
�
, donde �≠0.
•Una función racional está formada por el cociente entre dos
polinomios,
�(??????)
�(??????)
, donde �(�)≠0.

3. Ejemplos de funciones racionales
y sus gráficas

4. Ejemplos de funciones racionales
y sus gráficas

5. Dominio de una función racional
•El dominio de una función racional corresponde a todos los
valores de x.

6. Ejemplo
•Considera la función ??????�=
1
??????−3
.
Halla el dominio y grafica la misma.
Solución:
•Cuando el denominador x –3es cero, tenemos que x = 3.
•El único valor de xque tiene como resultado 0 en el
denominador es 3.
•Entonces el dominio corresponde a:
•{�|�≠3}
•−∞,3∪(3,∞)

7. Gráfica del ejemplo

8. Ejercicios de práctica
Halla el dominio de las siguientes funciones
racionales:
1.??????�=
1
??????
2.??????�=
1
??????²
3.??????�=
??????−3
??????²+??????−2
4.????????????=
????????????−�
????????????−�
5.??????�=
??????²+2??????−3
??????²−??????−2
��≠0o(−∞,0)∪(0,∞)
��≠0o(−∞,0)∪(0,∞)
=
�−3
(�+2)(�−1)
��≠−2y�≠1o
(−∞,−2)∪(−2,1)∪(1,∞)
=
2�−5
2(�−3)
��≠3o(−∞,3)∪(3,∞)
=
�²+2�−3
(�+1)(�−2)
��≠−1y�≠2o
(−∞,−1)∪(−1,2)∪(2,∞)

9. Asíntotas
•Si un punto (x, y) se desplaza continuamente por una función y
= f(x)de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas
tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y
una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre
deasíntotade la función.

10. Ejemplo•Exploramos qué pasa cuando nos
acercamos a 3 por la izquierda.
•Exploramos que pasa con f(x)cuando
nos aceramos 3 por la derecha.

12. Asíntota Horizontal
•En general, la línea y = bes la asíntota horizontal para la gráfica
de f si una o ambas condiciones se cumplen:
??????�→??????cuando�→∞
o
??????�→??????cuando�→−∞

13. Asíntota Horizontal

14. Ejemplo
•Halla la asíntota horizontal para la siguiente función:
3�²+2�−4
2�²−�+1
3�²
2�²
3
2

15. Asíntota horizontal
•Cuando el denominador y el numerador de una
función racional son del mismo grado, la línea �=
�
�
es la asíntota horizontal, en donde a y bson los
coeficientes del numerador y del denominador
respectivamente.
•Cuando el numerador de una función racional es
de menor grado que el denominador de la misma,
el eje de xo y = 0es la asíntota horizontal.
•Cuando el grado del numerador de una función
racional es mayor que el grado del denominador,
la función no tiene asíntota horizontal.

16. Asíntota horizontal
•La gráficade unafunciónracional
•Nuncacruzala asíntotavertical.
•Puedecruzarla asíntotahorizontal, perono necesariamentelo hace.

17. Asíntota oblicua
•No es asíntota horizontal ni vertical
•Ejemplo:
??????�=
2�²−3�−1
�−2
�−22�
2
−3�−1
2�
−(2�²−4�)
�−1
+1
−(�−2)
1
=2�+1+
1
�−2

18. Asíntota oblicua
=2�+1+
1
�−2

19. Resumen
•Dada una función racional ??????�=
�(??????)
�(??????)
, donde �(�)
y �(�)no tienen factores comunes, además de las
constantes:
•Asíntotas verticales:
•Ocurren en cualquier valor de xque resulta 0 en el
denominador.
•Asíntotas horizontales:
•En el eje x ocurren cuando el grado del numerador es menor
que el grado del denominador.
•Diferente al eje x ocurren cuando el numerador y el
denominador tienen el mismo grado.
•Asíntotas oblicuas:
•Ocurren cuando el grado del numerador es 1 mayor que el
denominador

20. Graficar una función racional
•Dada una función racional ??????�=
�(??????)
�(??????)
, donde �(�)y �(�)no
tienen factores comunes, además de las constantes:
1.Hallar los ceros del denominador. Determinar el dominio de la
función y graficar las asíntotas verticales.
2.Hallar las asíntotas horizontales u oblicuas, si la posee, dibújela.

21. Graficar una función racional
•Dada una función racional ??????�=
�(??????)
�(??????)
, donde �(�)y �(�)no
tienen factores comunes, además de las constantes:
3.Halla los ceros de la función, los cuales corresponden a los ceros del
numerador. Estas corresponden a las coordenadas del intercepto en
el eje xde la gráfica.
4.Halla f(0). Este valor provee el intercepto en y, (0, f(0))de la función.
5.Halla otros valores de la función para determinar su forma. Dibuje la
gráfica.

22. Ejemplo
•Grafica:

24. Parea las funciones con sus respectivas gráficas,
haciendo referencia a las asíntotas:

25. Determinala asíntotaverticalpara cadauna
de las siguientesfunciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.

26. 1.

27. 2.

28. 3.

29. 4.

30. 5.

31. 6.

32. 7.

33. 8.

34. Determinala asíntotahorizontalpara cada
unade las siguientesfunciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.

35. 1.

36. 2.

37. 3.

38. 4.

39. 5.

40. 6.

41. Determinala asíntotaoblícuapara cadauna
de las siguientesfunciones:
1. 2.
3. 4.
5. 6.

42. 1.
�+3�
2
+4�−1
�
−(�
2
+3�)
�−1
+1
−(�+3)
−4
=�+1−
4
�+3
−314−1
1
−3
1
−3
−4

43. 2.
�−5�
2
−6�
�
−(�
2
−5�)
−�
−1
−(−�+5)
−5
=�−1−
5
�−5
51−60
1
5
−5
−5
−1

44. 3.
�³+1�
4
+0�³+0�²+0�−2
�
−(�
4
+0�
3
+0�
2
+�+0)
−�−2
=�+
−�−2
�³+1

45. 4.
6�²+412�³−0�
2
−�+0
2�
−(12�
3
−0�
2
+8�+0)
−9�
=2�−
9�
6�²+4

46. 5.
�²+2�−1�
3
−�
2
+�−4
�
−(�
3
−2�
2
−�)
�²+0�−4
+1
−(�
2
−2�−1)
2�−3
=�+1+
2�−3
�²+2�−1

47. 6.
�²−�+25�
3
−�
2
+�−1
5�
−(5�
3
−5�
2
+10�)
4�²−9�−1
+4
−(4�
2
−4�+8)
−5�−9
=5�+4+
−5�−9
�²−�+2