Functional Equations On Hypergroups Laszlo Szekelyhidi

Functional Equations On Hypergroups Laszlo
Szekelyhidi download
https://ebookbell.com/product/functional-equations-on-
hypergroups-laszlo-szekelyhidi-51239026
Explore and download more ebooks at ebookbell.com

Here are some recommended products that we believe you will be
interested in. You can click the link to download.
Functional Equations On Groups Henrik Stetkaer
https://ebookbell.com/product/functional-equations-on-groups-henrik-
stetkaer-51271926
Functional Dynamic Equations On Time Scales 1st Ed Svetlin G Georgiev
https://ebookbell.com/product/functional-dynamic-equations-on-time-
scales-1st-ed-svetlin-g-georgiev-10486784
Functional Equations And Characterization Problems On Locally Compact
Abelian Groups Feldman G
https://ebookbell.com/product/functional-equations-and-
characterization-problems-on-locally-compact-abelian-groups-
feldman-g-2042870
Differential Equations On Measures And Functional Spaces Vassili
Kolokoltsov
https://ebookbell.com/product/differential-equations-on-measures-and-
functional-spaces-vassili-kolokoltsov-10132832

Differential Equations On Measures And Functional Spaces Birkhuser
Advanced Texts Basler Lehrbcher 1st Ed 2019 Vassili Kolokoltsov
https://ebookbell.com/product/differential-equations-on-measures-and-
functional-spaces-birkhuser-advanced-texts-basler-lehrbcher-1st-
ed-2019-vassili-kolokoltsov-11305300
On Functions And Functional Equations First Edition Smital J
https://ebookbell.com/product/on-functions-and-functional-equations-
first-edition-smital-j-12068864
Lecture Notes On Functional Analysis With Applications To Linear
Partial Differential Equations Alberto Bressan
https://ebookbell.com/product/lecture-notes-on-functional-analysis-
with-applications-to-linear-partial-differential-equations-alberto-
bressan-4632466
The Mazya Anniversary Collection Volume 2 Rostock Conference On
Functional Analysis Partial Differential Equations And Applications
Operator Theory Advances And Applications 1999th Edition Jrgen
Rossmann Editor
https://ebookbell.com/product/the-mazya-anniversary-collection-
volume-2-rostock-conference-on-functional-analysis-partial-
differential-equations-and-applications-operator-theory-advances-and-
applications-1999th-edition-jrgen-rossmann-editor-11305546
The Mazya Anniversary Collection Volume 1 On Mazyas Work In Functional
Analysis Partial Differential Equations And Applications Operator
Theory Advances And Applications Softcover Reprint Of The Original 1st
Ed 1999 Jrgen Rossmann Editor
https://ebookbell.com/product/the-mazya-anniversary-collection-
volume-1-on-mazyas-work-in-functional-analysis-partial-differential-
equations-and-applications-operator-theory-advances-and-applications-
softcover-reprint-of-the-original-1st-ed-1999-jrgen-rossmann-
editor-11305542

Functional
Equations
on
Hypergroups
8481hc_9789814407007_tp.indd 1 23/8/12 8:48 AM

August 24, 2012 8:56 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
This page intentionally left blank This page intentionally left blank

NEW JERSEY • LONDON • SINGAPORE • BEIJING • SHANGHAI • HONG KONG • TAIPEI • CHENNAI
World Scientific
Functional
Equations on
Hypergroups
László Székelyhidi
University of Debrecen, Hungary
8481hc_9789814407007_tp.indd 2 23/8/12 8:48 AM

British Library Cataloguing-in-Publication Data
A catalogue record for this book is available from the British Library.
For photocopying of material in this volume, please pay a copying fee through the Copyright
Clearance Center, Inc., 222 Rosewood Drive, Danvers, MA 01923, USA. In this case permission to
photocopy is not required from the publisher.
ISBN978-981-4407-00-7
All rights reserved. This book, or parts thereof, may not be reproduced in any form or by any means,
electronic or mechanical, including photocopying, recording or any information storage and retrieval
system now known or to be invented, without written permission from the Publisher.
Copyright © 2013 by World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
Published by
World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd.
5 Toh Tuck Link, Singapore 596224
USA office: 27 Warren Street, Suite 401-402, Hackensack, NJ 07601
UK office: 57 Shelton Street, Covent Garden, London WC2H 9HE
Printed in Singapore.
FUNCTIONAL EQUATIONS ON HYPERGROUPS
LaiFun - Functional Equations on Hypergroups.pmd 7/26/2012, 12:13 PM1

August 17, 2012 9:35 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
To my wife

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
This page intentionally left blank This page intentionally left blank

August 24, 2012 8:56 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Preface
T
he theory of functional equations is one of the classical ﬁelds of math-
ematics. Functional equation problems arose in dierent areas from the
ancient times both in theory and in applications. In 1966 J. Aczel pub-
lished his book \Lectures on functional equations and their applications”
(see[Acz66]), which is considered the bible of this theory. Although sev-
eral books, monographs, papers, etc. have since then been published in
the ﬁeld, there is no doubt that this volume is still the most determining
reference book. There are other important contributions by J. Aczel and
J. Dhombres in \Functional Equations Containing Several Variables" (see
[AD89]) and also a basic reference book is due to M. Kuczma ([Kuc09]).
The interested reader will ﬁnd several further references in these books on
this wide-ranging ﬁeld with applications in geometry, geometrical objects,
statistics, information theory, utility theory, etc. Here we mention further
volumes that have been published more recently, which may convince the
reader of the usefulness and eectivity of the diverse methods and applica-
tion possibilities of the theory of functional equations:[CRC92],[Cor02],
[Cze02],[Fel08],[For10],[HIR98],[JS96],[Jar05],[Kan09],[SR98],[SK11],
[Sze91].
In the old times functional equations were solved by dierent ad-hoc –
however, ingenious – methods. Anyway, the theory was far from being a
compact mathematical discipline in the sense that there were no real gen-
eral solution methods, no real theories: a good idea would just solved the
problem. Later on the situation changed. A pioneer work of A. Jarai (see
[Jar86], also in[JS96]) – in close connection with Hilbert's Fifth Problem
– led to the observation that the strong algebraic character of a functional
equation implies important consequences for the analytic behaviour of the
solutions: namely, very weak analytic assumptions imply very strong ana-
vii

August 17, 2012 9:35 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
viii F
unctional equations on hypergroups
lytic properties. This \regularization theory" was maybe the ﬁrst important
step to build up a coherent theory of functional equations together with its
important consequences. The \good old ad-hoc” ideas were replaced by
strong theorems and the weight of the theory of functional equations grew
similar to that of the theory of dierential equations and to other well-
respected areas of mathematics. Beside several relevant works of Jarai the
interested reader will ﬁnd further references in[JS96]. The comprehensive
volume on regularization theory of Jarai was published in 2005[Jar05].
However, another stream started in the 90's with the monograph of the
present author (see[Sze91]) emphasizing and introducing the fundamental
role of spectral analysis and spectral synthesis in the theory of a special type
of functional equations: the so-called convolution type functional equations.
Convolution type functional equations are actually integral equations and
it turns out that a major part of the so-called \classical” equations belongs
to, or can be reduced to this type. In the monograph[Sze91]the author
oers a general method for the solution of convolution type systems of
functional equations. The essence of the method is that ﬁrst the \basic
building blocks” of the solution space of the functional equation should be
found – these are the so-called \exponential monomials" – and then – in
case of spectral synthesis – the linear combinations of these basic solutions
will form a dense set in the solution space, that is, they characterize the
solution space. It happens, or not, the exponential monomial solutions play
a very special and important role in the solution process.
It turns out that several ideas of this type can be adopted to a more
delicate situation: to the situation of hypergroups. The concept of DJS{
hypergroup, which we shall use here (according to the initials of C. F. Dunkl,
R. I. Jewett and R. Spector) is due to R. Lasser (see e.g.[Ros98],[BH95]),
[Las83]. One can realize a hypergroup like the convolution structure of some
measure algebra over a group, but the group structure has been neglected.
Ifx; yare elements of a hypergroup, then the notationx∗yhas a symbolic
meaning only: it does not represent an element of the hypergroup, just a
kind of \blurred product". In the group-casexyis a well-dened element
of the underlying structure, which also can be considered as a measureμx,y
with the property that for any setBthe valueμx,y(B) is equal to 1 ifxy
belongs toBand it is equal to 0, ifxydoes not belong toB. Hence
this is exactly the point mass concentrated atxy. However, in the case
of a hypergroup,x∗ydenotes a measure, actuallyδx∗δy, which is not
necessarily a point mass andx∗y(B) represents the \probability” of the

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Preface i
x
event that the \product”x∗ybelongs toB.
Anyway, usingx∗yone can introduce translation operators on hyper-
groups, which makes it possible to set up a theory of harmonic analysis.
The interested reader will ﬁnd further details and references in the fun-
damental work of W. R. Bloom and H. Heyer ([BH95]). The theory of
hypergroups has been a developing ﬁeld, where ideas from dierent ar-
eas of mathematics can be utilized to obtain general results, which may
help better understanding also in the classical situation. The interested
reader will ﬁnd further references and better insight in the papers[Las83],
[Ros77],[Ros98],[AC11],[KPC10],[OEBG10],[Sam10],[Hey09],[LBPS09],
[LBS09],[Mur08],[BH08],[DK07],[EL07],[Pav07c],[LOR07],[Mur07],
[M lo06],[HK06],[BR05],[Las05],[FLS05],[SW03],[BBM02],[Gha02],
[Las02],[BR02],[Kum01],[Hin00],[NI00],[GS00],[Ros99],[Pav99a],
[Pav99b],[RV99],[CV99],[CS98],[Tri98],[Sch98],[RAL
+
98],[Par97],
[Tri97],[OW96],[Wil95],[R•os95b],[Ros95c],[Hey95],[Che95],[BK95],
[CGS95].
As soon as translation operators appear on hypergroups a wide range of
machinery can be adopted from the group-case. Nevertheless, the classical
group-methods can be applied only restrictively: the special situation does
not make it possible to \copy" the well-known classical methods. However,
there are some distinguished function classes, like additive functions, expo-
nential functions, or more generally, exponential polynomials, which play a
vital role on both groups and hypergroups. Another class is represented by
the so-called moment functions, which are extremely important in the dif-
ferent applications of hypergroups in probability theory and statistics. For
more about these function classes the interested reader will ﬁnd detailed
information in[BH95],[Sze91],[Gal98],[Ros98],[Zeu92],[OS05],[OS04],
[OS08],[Sze06c],[Gal97].
The appearance of translation operators enables us to utilize a very
eective method of studying functional equations and systems of func-
tional equations on hypergroups. Namely, it turns out that some of the
methods of spectral analysis and spectral synthesis can be adopted and
used in the hypergroup-situation. The present author has recently pub-
lished a volume about the applications of spectral analysis and spectral
synthesis on dierent structures ([Sze06a]). In that monograph the inter-
ested reader will ﬁnd detailed information about spectral analysis, spec-
tral synthesis and their use in the theory of functional equations. How-
ever, it turns out that several new ideas and methods can be transformed

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
x F
unctional equations on hypergroups
into the hypergroup-situation, which may enrich both ﬁelds: the the-
ory of functional equations and the theory of hypergroups. To present
the fruitful consequences of this delicate \marriage" was one of the main
purpose to write this volume. The interested reader will ﬁnd further
results and references on these connections in[Ros98],[Gal98],[Las83],
[Zeu92],[AC11],[RZ11],[Vaj10b],[KPC10],[OEBG10],[AK10],[HP10],
[Hey09],[Las09a],[LBPS09],[NS09],[FK08],[Azi08],[Mur08],[BH08],
[Ami07],[Pav07b],[HL07],[Pav07c],[Mur07],[M lo06],[HK06],[Men05],
[BR05],[Las05],[FLS05],[Pav04],[SW03],[NI03],[HL03],[Wil02],[Gha02],
[GT02b],[Gal02],[Las02],[GT02a],[Kum01],[NI01],[Hin00],[NI00],
[GS00],[FL00],[Ros99],[Pav99a],[Pav99b],[NI99],[RV99],[CV99],[GS99],
[Gal99],[Ren98],[NS98],[CS98],[Geb98],[Zeu98],[Tri98],[SW98],[Sch98],
[Par97],[Pav97],[Wil97],[Zeu97],[KS97],[Flo96],[BH96],[Ren96],[BR96],
[OW96],[Ehr96],[Sin96],[Zeu95b],[Wil95],[R•os95a],[CS95b],[R•os95b],
[Her95],[HV95],[OEBB95],[Zeu95a],[Zeu95a],[Voi95],[Voi95],[CS95a],
[BK95],[CGS95],[Szw95],[Han94],[RX94],[Zeu94],[Las94],[Voi93],
[Hey93],[RX93],[LOR07],[BR02],[RAL
+
98].
In what follows we try to give a brief overlook about the structure of
this booklet, the fundamental methods and the main results.
This Preface is followed by an Introduction in which we summarize the
most important concepts concerning hypergroups. Some of these concepts
are analogous to those of the ones in the group-case, but sometimes we
meet basic dierences. However, the concepts of additive functions, ex-
ponential functions, exponential monomials and exponential polynomials
are introduced here and the relation to the corresponding group-case con-
cepts is presented. Another important function class is the class of moment
functions, mentioned above, which plays a very important role in the appli-
cations of hypergroups in probability theory and statistics. The interested
reader should refer to[BH95],[Gal98],[Ros98],[Zeu92]and the references
included in these works.
The Introduction is also devoted to present those analytic methods,
which are very eective in the group case to prove strong regularity of
solutions of functional equations assuming their weak regularity, only. The
basic tools are Haar measure and invariant means. Here we tried to present
a unied, nonstandard treatment of these basic analytic tools.
The next two chapters are devoted to the study of functional equa-
tions on a very important type of hypergroups: polynomial hypergroups

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Preface x
i
in one variable and polynomial hypergroups in several variables. Here
we give the complete description of those basic functional classes men-
tioned above, which play an important role in the applications: additive
functions, exponential functions and exponential polynomials. Although
the two chapters are very closely related to each other, the author's idea
was to separate the consideration of polynomial hypergroups in one vari-
able and in several variables. The reason is that sometimes the methods
are basically dierent and this kind of \separation" may help better un-
derstanding. For detailed information about polynomial hypergroups the
reader should refer to[Las83],[Sz´e04],[Vog87],[HHL10],[Las09b],[Las09a],
[Sz´e08],[BH08],[Las07],[LOR07],[M lo06],[HL03],[BR02],[Tri00],[GS99],
[Ehr96],[Zeu95b],[CS95a],[Szw95].
In Chapter 5 a new type of hypergroups appears: the so-called Sturm{
Liouville hypergroups, which play a fundamental role in the theory of hy-
pergroups, dierential equations and initial value problems. It turns out
that some of the above mentioned important function classes can be intro-
duced, studied and characterized on these types of hypergroups. For more
information about general and special Sturm{Liouville-hypergroups see e.g.
[Ch´e95],[Sz´e06b],[OS08],[Vaj10b],[Vaj10a],[DK07],[Ole01],[Ch´e95],
[Sz´e06b],[OS08],[Zeu89],[Ma08],[Tri05a],[Tri05b],[BBM02],[BX00b],
[BX00a],[NRT98],[JT98],[BX98a],[BX98b],[BX97],[LT95],[BX95].
Chapter 6 contains three sections on the so-called two-point support
hypergroups. Here we illustrate how the advanced methods of the theory
of functional equations can be utilized to characterize some basic function
classes on dierent types of hypergroups. We exhibit an example for two-
point hypergroups of compact and of noncompact type, moreover another
one, the so-called coshhypergroup, which has been studied by H. Zeuner in
[Zeu89].
Chapters 7 and 8 are – in some sense – the heart of this book: spectral
analysis and spectral synthesis on dierent special types of hypergroups.
Spectral analysis and spectral synthesis have become eective tools in func-
tional equations recently. The classical roots go back to harmonic analysis
and Fourier series. The abstract background can be found in[Loo53]. Basic
knowledge and results on classical spectral theory of linear operators and
spectral synthesis can be found in[Ben75],[Beu48],[Hel52],[Ris49],[Sz´e02],
[Sz´e06a],[MA50],[Mal54],[Vog87],[DS88a],[DS88b],[DS88c],[Lef58],
[Mal59],[Sch48],[Hel83],[HR63]. Studying harmonic analysis on hyper-
groups is possible because of the presence of translation operators. The

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
xii F
unctional equations on hypergroups
fundamentals of this theory are presented in[BH95]. The use of harmonic
analysis and synthesis in the theory of functional equations was invented in
[Sze91]. However, the group-methods are not always easy to adopt in the
hypergroup situation: sometimes new ideas are needed. Nevertheless, here
the ﬁeld is open as we were able to prove spectral analysis and spectral
synthesis theorems for a restricted class of hypergroups, only. However, we
hope that the applications we present here will convince the reader that
further investigations in this area may lead to interesting and useful re-
sults – both for functional equationists and for hypergroup experts. We
just mention that – as it is clear from the results of Sections 2.2, 3.2 and
4.2 – it is a nontrivial problem on how to dene exponential monomials on
arbitrary (commutative) hypergroups.
Chapter 9 is devoted to a classical problem of probability theory: the
moment problem (see[Akh65],[Sti94]). We formulate the problem on com-
mutative hypergroups and solve the uniqueness in the case of polynomial
hypergroups in a single variable and of Sturm{Liouville-hypergroups.
In Chapters 10 and 11 we collected diverse applications of spectral analy-
sis, spectral synthesis and other methods. These applications are illustrated
on dierent classical and non-classical functional equations. For instance,
in Chapter 11 the reader meets a new theory of dierence equations on
hypergroups – at least the basic and far-leading ideas.
The closing Chapter 12 is devoted to a special ﬁeld of functional equa-
tions: stability theory. Since the pioneer talk of Stanislaw Ulam in 1940
presented to the audience of the Mathematics Club of the University of
Wisconsin the door has been opened to a completely new world of investi-
gations: stability became a central problem in the theory of functional equa-
tions (see[Cor02],[HIR98],[Hey93],[Cze02]). Here we make an attempt
to outline some possible ways climbing these mountains on hypergroups.
This volume is completed with a list of references and a subject index.
We hope that the present work is able to represent faithfully the possi-
bilities of connecting functional equation problems with those coming from
the theory of hypergroups. We are convinced that both areas will prot
from a \come together” of this type. This volume is written for those who
have open eyes for both meadows, who have open ears for both concerts
and who dare to enter a new world of ideas, a new world of methods – and,
sometimes, a new world of unexpected diculties.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Preface x
iii
The author is indebted to all those who helped in this work to become
complete. Finally, I would like to express my special thanks to my students,
´
Agota Orosz and L´aszl´o Vajday, who did their best, who provided the
newest results and without whose contribution this work could not have
been accomplished.
L´aszl´o Sz´ekelyhidi
2012

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
This page intentionally left blank This page intentionally left blank

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Contents
P
reface vii
1. Introduction 1
1.1 Basic concepts and facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Convolution of subsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Invariant means on hypergroups . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Haar measure on hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Exponential functions on hypergroups . . . . . . . . . . . 20
1.6 Exponential families on hypergroups . . . . . . . . . . . . 22
1.7 Additive and multi-additive functions on hypergroups . . 23
1.8 Moment functions on hypergroups . . . . . . . . . . . . . 26
1.9 Exponentials and additive functions on a special
hypergroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Polynomial hypergroups in one variable 37
2.1 Polynomial hypergroups in one variable . . . . . . . . . . 37
2.2 Exponential and additive functions on polynomial
hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Moment functions on polynomial hypergroups . . . . . . . 43
2.4 Moment functions on theSU(2)-hypergroup . . . . . . . . 48
3. Polynomial hypergroups in several variables 51
3.1 Polynomial hypergroups in several variables . . . . . . . . 51
3.2 Exponential and additive functions on multivariate
polynomial hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
xv

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
xvi F
unctional equations on hypergroups
3.3 Moment function sequences on multivariate polynomial
hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4. Sturm{Liouville hypergroups 59
4.1 Sturm{Liouville functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Exponentials and additive functions on Sturm{Liouville
hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.3 Moment functions on Sturm{Liouville hypergroups . . . . 65
5. Two-point support hypergroups 73
5.1 Conditional functional equations . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Two-point support hypergroups of noncompact type . . . 77
5.3 Moment functions on two-point support hypergroups of
noncompact type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.4 Two-point support hypergroups of compact type . . . . . 86
5.5 The cosh hypergroup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.6 Associated pairs of moment functions . . . . . . . . . . . 88
6. Spectral analysis and synthesis on polynomial hypergroups 95
6.1 Spectral analysis and spectral synthesis on hypergroups . 95
6.2 Basic concepts and facts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Spectral analysis on polynomial hypergroups in a single
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.4 Exponential polynomials on polynomial hypergroups in a
single variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
6.5 Spectral synthesis on polynomial hypergroups in a
single variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6 Spectral analysis and spectral synthesis on multivariate
polynomial hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.7 Spectral analysis and moment functions . . . . . . . . . . 106
7. Spectral analysis and synthesis on Sturm{Liouville hypergroups 109
7.1 Exponential monomials on Sturm{Liouville hypergroups . 109
7.2 Linear independence of special exponential monomials . . 110
7.3 Spectral analysis on Sturm{Liouville hypergroups . . . . . 119
8. Moment problems on hypergroups 123
8.1 The moment problem in general . . . . . . . . . . . . . . 123

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Contents x
vii
8.2 Uniqueness on polynomial hypergroups . . . . . . . . . . . 124
8.3 The case of Sturm{Liouville hypergroups . . . . . . . . . 128
8.4 An approximation result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9. Special functional equations on hypergroups 133
9.1 The sine functional equation on polynomial
hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.2 The cosine functional equation on polynomial
hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
9.3 The L´evi–Civit`a functional equation . . . . . . . . . . . . 142
10. Dierence equations on polynomial hypergroups 149
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
10.2 Dierence equations with 1-translation . . . . . . . . . . . 150
10.3 Dierence equations with general translation . . . . . . . 153
11. Stability problems on hypergroups 161
11.1 Stability of exponential functions on hypergroups . . . . . 161
11.2 Stability of additive functions on hypergroups . . . . . . . 163
11.3 Superstability of a mixed-type functional equation . . . . 165
11.4 Superstability of generalized moment functions on
hypergroups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Bibliography 173
Index 187

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
This page intentionally left blank This page intentionally left blank

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Chapter 1
I
ntroduction
1.1 Basic concepts and facts
The major part of this section is taken from[BH95]. The concept of DJS{
hypergroup (according to the initials of C. F. Dunkl, R. I. Jewett and
R. Spector) depends on a set of axioms which can be formulated in several
dierent ways. The way of formulating these axioms we follow here is
due to R. Lasser (see e.g.[BH95],[Ros98]). One begins with a locally
compact Hausdor spaceKand with the spaceCc(K) of all compactly
supported complex valued functions on the spaceK. The spaceCc(K) will
be topologized as theinductive limitof the spaces
CE(K) ={f∈ Cc(K) :supp(F)⊆E},
whereEis a compact subset ofKcarrying the uniform topology. A (com-
plex)Radon measureμis acontinuous linear functionalonCc(K). Thus,
for every compact subsetEinKthere exists a constantαEsuch that
|μ(f)| ≤αEjjfjj∞for allfinCE(K). The set of Radon measures onK
will be denoted byM(K). For everyμinM(K) we write
jjμjj= supfjμ(f)|:f∈ Cc(K),jjfjj∞≤1}.
A measureμis said to bebounded, ifjjμjj<+∞. In addition,μis called
aprobability measure, ifμis nonnegative andjjμjj= 1. The set of all
bounded measures, the set of all compactly supported measures, the set
of all probability measures and the set of all probability measures with
compact support inM(K) will be denoted byMb(K),Mc(K),M1(K)
1

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
2 F
unctional equations on hypergroups
andM1,c(K), respectively. The point mass concentrated atxis denoted by
δx. Via integration theory we are able to consider measures as functions on
theσ-algebraB(K) ofBorel subsetsofKand we use the notation
R
K
f dμ
rather thanμ(f) even when either is possible. We use the notationM+(K)
for the set of positive measures on theσ-algebraB(K) that means, for
measures which take values in [0,+∞].
Now we formulate the ﬁrst part of the axioms. Suppose that we have
the following :
(H
∗
) There is a continuous mapping (x; y)7!δx∗δyfromK×Kinto
M1,c(K). This mapping is calledconvolution.
(H
∨
) There is an involutive homeomorphismx7!x
∨
fromKtoK.
This mapping is calledinvolution.
(He) There is a ﬁxed elementeinK. This element is calledidentity.
Identifyingxbyδxthe mapping in (H
∗
) has a unique extension to
a continuous bilinear mapping fromMb(K)× Mb(K) toMb(K). The
involution onKextends to a continuous involution onMb(K). Convolution
mapsM1(K)× M1(K) intoM1(K) and involution mapsM1(K) onto
M1(K). Then aDJS–hypergroup, or simply ahypergroupis a quadruple
(K;∗,∨, e) satisfying the following axioms : for eachx; y; zinKwe have
(H1)δx∗(δy∗δz) = (δx∗δy)∗δz,
(H2) (δx∗δy)
∨
=δy
∨∗δx
∨,
(H3)δx∗δe=δe∗δx=δx,
(H4)eis in the support ofδx∗δy
∨if and only ifx=y,
(H5) the mapping (x; y)7!supp(δx∗δy) fromK×Kinto the space of
nonvoid compact subsets ofKis continuous, the latter being endowed
with the Michael topology (see[BH95]).
For any measures; νinMb(K) obviouslyμ∗νdenotes their convo-
lution andμ
∨
denotes the involution ofμ. With these operationsMb(K)
is analgebra with involution. If the topology ofKis discrete, then we
call the hypergroupdiscrete. In case of discrete hypergroups the above
axioms have a simpler form. As in this book we frequently will focus on

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 3
d
iscrete hypergroups, here we present a set of axioms for these types of
hypergroups. Clearly, in the discrete case we can simply forget about the
topological requirements in the previous axioms to get a purely algebraic
system.
LetKbe a set and suppose that the following properties are satised:
(D
∗
) There is a mapping (x; y)7!δx∗δyfromK×KintoM1,c(K),
the space of all ﬁnitely supported probability measures onK. This
mapping is calledconvolution.
(D
∨
) There is an involutive bijectionx7!x
∨
fromKtoK. This
mapping is calledinvolution.
(De) There is a ﬁxed elementeinK. This element is calledidentity.
Identifyingxbyδxas above and extending convolution and involution, a
discrete DJS–hypergroupis a quadruple (K;∗,∨, e) satisfying the following
axioms : for eachx; y; zinKwe have
(D1)δx∗(δy∗δz) = (δx∗δy)∗δz,
(D2) (δx∗δy)
∨
=δy
∨∗δx
∨,
(D3)δx∗δe=δe∗δx=δx,
(D4)eis in the support ofδx∗δy
∨if and only ifx=y.
Ifδx∗δy=δy∗δxholds for allx; yinK, then we call the hyper-
groupcommutative. Ifx
∨
=xholds for allxinK, then we call the
hypergroupHermitian. By (H2), any Hermitian hypergroup is commuta-
tive. In any case we havee
∨
=e. For instance, ifK=Gis a locally
compact Hausdor{group,δx∗δy=δxyfor allx; yinK,x
∨
is the in-
verse ofxandeis the identity ofG, then we obviously have a hypergroup
(K;∗,∨, e), which is commutative if and only if the groupGis commutative.
However, not every hypergroup originates in this way.
The simplest hypergroup is obviously the trivial one, consisting of a
singleton. The next simplest hypergroup structure can be introduced on
a set consisting of two elements. Now we describe all hypergroups of this
type. LetK={0,1}. Clearly, the only Hausdor topology onKis the
discrete one. We specifye= 0 as the identity element. In this case the

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
4 F
unctional equations on hypergroups
only involution satisfying the above axioms is the identity, that is, 0
∨
= 0
and 1
∨
= 1. Consequently, we have a Hermitian hypergroup, which is
necessarily commutative. Now we have to dene the four possible products
δ0∗δ0,δ0∗δ1,δ1∗δ0andδ1∗δ1. Asδ0is the identity, the ﬁrst three
products are uniquely determined and the fourth one must have the form
δ1∗δ1=θδ0+ (1−θ)δ1
with some numberθsatisfying 0≤θ≤1. It turns out thatθ6= 0, as a
consequence of (D4). We shall denote this hypergroup byD(θ). It is clear
that in this way we have a complete description of all possible hypergroup
structures on a set consisting of two elements. Observe that in the case
θ= 1 we have a group isomorphic toZ2, the integers modulo 2, in any
other case the resulting structure is not a group.
IfKis any hypergroup andHis an arbitrary set, then for the function
f:K→Hwe denef
∨
by the formula
f
∨
(x) =f(x
∨
)
for eachxinK. Obviously
Γ
f
∨

∨
=f. Any measureμinMb(K) satises
μ
∨
(f) =μ(f
∨
)
for any bounded Borel functionf:K→C.
LetKbe any hypergroup. Then, for eachx; yinKthe measureδx∗δyis
a compactly supported probability measure onK, which makes the measur-
able space (K;B(K), δx∗δy) aprobability space. Any functionf:K7!C,
which isδx∗δy-measurable, can be considered as arandom variableon this
probability space. In particular, any continuous complex valued function
onKis a random variable with respect to any measure of the formδx∗δy.
Clearly, anyfis integrable with respect to eachδxand itsexpectationis
Ex(f) =
Z
f dﬃx=f(x),

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 5
h
ence it seems to be reasonable to dene the \value” offatδxasf(x).
This can be extended to any probability measureμonKby dening
f(μ) =Eμ(f) =
Z
f dμ ,
wheneverfis integrable with respect toμ. In particular,
f(δx∗δy) =
Z
f d(δx∗δy),
wheneverfis integrable with respect toδx∗δy. In this case we shall use
the suggestive notationf(x∗y) forf(δx∗δy). Actually, in any hypergroup
Kwe identifyxbyδx.
Here we call the attention to the fact thatf(x∗y) has no meaning on its
own, becausex∗yis in general not an element ofK, hencefis not dened
atx∗y. The expressionx∗ydenotes a kind of \indistinct" product. IfBis
a Borel subset ofK, thenδx∗δy(B) expresses the probability of the event
that this \blurred product" ofxandybelongs to the setB. In the special
case of groups this probability is 1 ifBcontainsxyand is 0 otherwise, that
is, exactlyδxy(B).
We dene theright translation operatorτyby the elementyinKac-
cording to the formula
τyf(x) =
Z
K
f d(δx∗δy)
for anyfintegrable with respect toδx∗δy. In particular,τyis dened
for any continuous complex valued function onK. Similarly, we can dene
left translation operators, denoted byyτ. In general, one uses the above
notation
f(x∗y) =
Z
K
f d(δx∗δy),
for eachx; yinK. Obviously, in case of commutative hypergroups the
simple termtranslation operatoris used. The functionτyfisthe translate
offbyy.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
6 F
unctional equations on hypergroups
Convolution of functions and measures is dened in the following way :
for any measureμinMb(K) and for any continuous bounded function
f:K→Cwe let
f∗μ(x) =
Z
K
f(x∗y
∨
)dμ(y)
for eachxinK. Thenf∗μis a continuous bounded function onK. For
more details see[BH95].
1.2 Convolution of subsets
The convolution of measures makes it possible to introduce theconvolution
of subsetsas follows. LetKbe a hypergroup and letA; Bbe arbitrary
subsets inK. Theconvolution ofAandBis the set
A∗B=
[
{supp(δx∗δy) :x∈A,y∈B}. (1.1)
It is easy to see thatA∗(B∗C) = (A∗B)∗Cholds for any subsetsA; B; C
ofK. Ifxis inKandBis a subset ofK, then we writex∗Bfor the set
{x} ∗B.
For any subsetAofKwe denote byA
∨
the set{a
∨
:a∈A}. A subset
Ais calledsymmetric, ifA=A
∨
. For any subsetsA; BofKwe have that
eis inA
∨
∩Bif and only ifA∩B6=∅. Also (A∗B)
∨
=B
∨
∗A
∨
. The
following statement will be very useful in the sequel (see[BH95]).
Theorem 1.1.LetKbe a hypergroup and letA; B; Cbe arbitrary subsets
ofK. Then we have
(A∗B)∩C6=∅ if and only ifB∩(A
∨
∗C)6=∅. (1.2)
Proof.(A∗B)∩C6=∅if and only if
e∈(A∗B)
∨
∗C=B
∨
∗(A
∨
∗C),
which holds if and only ifB∩(A
∨
∗C)6=∅. Λ

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 7
A
nother simple technical statement is included in the following theorem.
Theorem 1.2.LetKbe a commutative hypergroup, letBbe a symmetric
subset ofKand letx; ybe inK. Thenx∈y∗Bif and only ify∈x∗B.
Proof.Suppose thatx∈y∗Bthen{xg\(y∗B)6=∅. We apply Theorem
1.1 with the choiceA=B
∨
=B,C={y}andB={x}. Then we have
(x∗B)∩ {y} 6=∅, hencey∈x∗B. Λ
One can prove easily that ifAis an arbitrary andBis an open subset in
KthenA∗BandB∗Aare open, further ifAis compact andBis closed,
thenA∗BandB∗Aare closed. In addition, we have
supp(δx∗δy) ={x} ∗ {y} (1.3)
holds for eachx; yinK. For more about the elementary properties of
convolution of sets see[BH95]and[Jew75].
1.3 Invariant means on hypergroups
Invariant linear functionals and operators are very useful tools on topolog-
ical groups. In particular, invariant means can be used to prove stability
theorems for functional equations. For this technique see e.g.[Sz´e00]. Due
to the presence of translation operators one can easily formulate the concept
of invariant mean on hypergroups, as well.
LetKbe a locally compact Hausdor space and letCB(K) denote the
Banach space of all continuous bounded complex valued functions onK
equipped with thesupremum norm. A functionM:CB(K)→Cis called
ameanonKif it satises the following properties: for eachf; ginB(K)
and complex numberλwe have
(1)M(f+g) =M(f) +M(g) ,
(2)M(λf) =λM(f) ,
(3)M(
f)

M(f)

(4) inff≤M(f)≤supf, iffis real valued .
It follows thatMis a linear functional onCB(K) having the properties
thatMis real valued for real valued functions,M(1) = 1 andM(f)≥0

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
8 F
unctional equations on hypergroups
iffis real valued andf≥0, henceM(f)≤M(g) holds for anyf; greal
valued functions withf≤g. On the other hand, these properties actually
characterize the means, as it is shown in the following theorem.
Theorem 1.3.LetMbe a linear functional onCB(K), which takes non-
negative real values on nonnegative real valued functions andM(1) = 1.
ThenMis a mean onK.
Proof.First of all any real valued functionfinCB(K) can be written in
the formf=f
+
−f
−
, wheref
+
andf
−
denote the positive and negative
part off, respectively, that is,
f
+
=
1
2
(|f|+f),
f
−
=
1
2
(|f|
−f).
Clearlyf
+
andf
−
are real valued nonnegative functions. It follows that
M(f) =M(f
+
)−M(f
−
)
is a real number, henceMtakes real values on real valued functions. More-
over, iff; gare real valued inCB(K) andf≤g, theng−fis nonnegative,
hence
M(g)−M(f) =M(g−f)≥0
and we haveM(f)≤M(g).
Now letfbe given inCB(K) and we writefin the formf=a+i b
with some real valued functionsa; binCB(K). Then
f=a−i
and
M(f) =M(a+i b) =M(a) +i M(b),
further
M(
f)
M(a−i b) =M(a)−i M(b).
AsM(a) andM(b) are real numbers, henceM(
f)

M(f)

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 9
B
y the linearity andM(1) = 1 it followsM(c) =cfor any constant
functionc. Hence we have for any real valuedfinCB(K)
inff=M(inff)≤M(f)≤M(supf) = supf
and the theorem is proved. Λ
Sometimes we writeMx
Γ
f(x)

forM(f) if we wish to emphasize that
Mis applied for a function ofx.
Suppose now thatKis a hypergroup. The meanMon the hypergroup
Kis called aright invariant mean, if
M(f) =Mx
Γ
f(x∗y)

holds for eachfinCB(K). Clearlyf(x∗y) is dened for eachx; yinK, as
fis integrable with respect toδx∗δy. Right invariance of a mean expresses
the fact that this mean has the same value on any right translate of a
given function. Similarly, we deneleft invariant meansby the analogous
property. If a mean is simultaneously right invariant and left invariant,
then we call it aninvariant mean.
A hypergroup is calledright amenable,left amenableoramenableif there
exists a right invariant mean, a left invariant mean or an invariant mean on
K, respectively. The problem of characterization of amenable hypergroups
is open, which is nontrivial even in the group case. For more about invariant
means, amenable semigroups and groups see[Gre69]. However, an invariant
mean always exists on commutative hypergroups, as it is shown in Theorem
1.5 (see also[Lau83]). The proof is based on the Markov{Kakutani ﬁxed-
point theorem (see e.g.[DS88a],[Con90]).
Theorem 1.4.(Markov–Kakutani) LetCbe a compact convex set in a
locally convex Hausdorﬀ topological vector space. Then every commuting
family of continuous endomorphisms onChas a common ﬁxed point.
Using this theorem we can prove the following result.
Theorem 1.5.Every commutative hypergroup is amenable.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
10 F
unctional equations on hypergroups
Proof.LetKbe the underlying locally compact topological space of a
commutative hypergroup and we consider the dual spaceEof the Banach
spaceCB(K) equipped with the weak*-topology. ThenEis a locally convex
Hausdor topological vector space and, by the Banach{Alaoglu Theorem
(see e.g.[Con90], Chapter 5, Section 3), any closed ball inEis weak*-
compact. The set of all means onCB(K) is a convex subset of the weak*-
compact unit ball ofEand we show that it is also weak*-closed. LetN
denote a linear functional from the weak*-closure of the set of all means.
Suppose thatIm N(f)6=0for some real valuedfinCB(K). Then the set
{ψ:|ψ(f)−N(f)|<|Im N(f)jg
is a weak*-neighbourhood ofN, hence it contains a meanϕ, which is a
contradiction. HenceN(f) is real for real valued functionsf. Suppose now
thatN(f)<0 for some real valued and nonnegativefinCB(K). Then the
set
{ψ:|ψ(f)−N(f)|<−N(f)}
is a weak*-neighbourhood ofN, hence it contains a meanϕ, butϕ(f)
is nonnegative, which is a contradiction. HenceN(f) is nonnegative for
nonnegative real valued functionsf. Finally, for anyε >0 the set
{ψ:|ψ(1)−N(1)|< ε}
is a weak*-neighbourhood ofN, hence it contains a meanϕ, butϕ(1) = 1,
henceN(1) = 1. By Theorem 1.3 it follows thatNis a mean and the set
of all means is a weak*-compact set.
For anyyinKand for any linear functionalϕinEwe dene the
functionalTyϕonCB(K) by the formula
Tyϕ(f) =ϕ(τyf).
It is easy to see thatTyϕis inEandTyis a weak*-continuous linear
endomorphism ofE. It is also clear thatTymaps the set of all means
into itself and the operatorsTyandTzcommute for anyy; zinK. By the
Markov{Kakutani Theorem all these operators have a common ﬁxed point
Min the set of all means. It is obvious thatMis an invariant mean onK,
henceKis. Λ

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 1
1
The interested reader will ﬁnd further results and references concerning
invariant means, invariant measures and amenability on hypergroups in
[LS11],[Azi10],[Pav07a],[KG06],[Raj02],[Geb98].
1.4 Haar measure on hypergroups
The existence of right and left translations in hypergroups makes it possible
to introduce also right and left invariant measures. LetKbe a hypergroup.
A measureμinM+(K) is calledright invariantif
Z
K
τyf dμ=
Z
K
f dμ
holds for eachyinKand for anyfinCc(K). We deneleft invariantmea-
sures analogously, using left translations and we call a measure inM+(K)
invariantif it is right and left invariant. Right invariant, left invariant
and invariant measures are also calledright Haar measure,left Haar mea-
sureandHaar measure, respectively. The question about the existence and
uniqueness of right or left Haar measure on hypergroups is a nontrivial
problem, however, it has been answered in the positive in the most impor-
tant cases. First we consider the existence of Haar measure on commutative
hypergroups. We follow the ideas of[Izz92](see also[BH95]).
We need the following theorem.
Theorem 1.6.LetKbe a commutative hypergroup and letUbe a sym-
metric neighbourhood of the identity. Then there exists a subsetSinK
such that for anyainKthe seta∗U∗Ucontains at least one element of
Sand the seta∗Ucontains at most one element ofS.
Proof.LetKdenote the collection of all subsetsTofKwith the property
that
q /∈p∗U∗U
for eachp; qinT, wheneverp6=q. From this condition it follows easily
thatp /∈q∗U∗U. Indeed, ifp∈q∗U∗U, then
{p} ∩q∗U∗U6=∅

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
12 F
unctional equations on hypergroups
and we can apply Theorem 1.1 with the choiceA=U∗U,B={p}and
C={q}. Then, by the symmetric property ofU, we have
{p} ∩q∗U∗U6=∅,
that is
p∈q∗U∗U .
Obviously, each subset ofKconsisting of at most one element belongs to
Kand it is easy to see thatKsatises the conditions of Zorn's Lemma,
hence it has a maximal elementS. Letabe an arbitrary element ofKand
suppose thata∗U∗Ucontains no element ofSthat is
S∩a∗U∗U=∅.
We apply Theorem 1.1 with the choiceA=U∗U,B={a}andC=S,
then, by the symmetry ofU, it follows
{a} ∩U∗U∗S=∅,
that is,adoes not belong to the setU∗U∗S, henceadoes not belong to
the sets∗U∗U. By the above considerations this implies thatsdoes not
belong to the seta∗U∗U, hence the setS∪ {a}belongs toKand this is
a contradiction, as it strictly containsS. This means that for anyainK
the seta∗U∗Ucontains at least one element ofS.
On the other hand, suppose that there are elementss16=s2inSsuch
that
s1∈a∗U ,and s2∈a∗U .
Then{s1} ∩(a∗U)6=∅and we apply Theorem 1.1 again, with the choice
A=A
∨
=U,B={s1}andC={a}. It follows

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 1
3
(U∗s1)∩ {a} 6=∅,
hencea∈s1∗Uanda
∨
∈s
∨
1∗U. Similarly, we havea∈s2∗U. From this
we infer that
supp(a∗a
∨
)⊆s
∨
1
∗s2∗U∗U.
By the denition of a hypergroup we have thateis ins
∨
1
∗s2∗U∗Uthat
is
{e} ∩(s
∨
1∗s2∗U∗U)6=∅.
We apply Theorem 1.1 with the choiceA={s1},B={e}andC=s2∗U∗U
to obtain
({s1} ∗ {e})∩(s2∗U∗U)6=∅,
that is
{s1} ∩(s2∗U∗U)6=∅,
which implies thats1belongs tos2∗U∗U. This contradicts the denition
ofS. Hence the seta∗Ucontains at most one element ofSand the theorem
is proved. Λ
Theorem 1.7.Every commutative hypergroup admits a Haar measure.
Proof.The proof is based on the Markov{Kakutani Theorem 1.4. Let
the commutative hypergroupKbe given. ThenKis a locally compact
Hausdor space. The spaceCc(K)
∗
denotes the space of all linear func-
tionals ofCc(K) equipped with the weak*-topology. For eachainKwe
denote the mappingTa:Cc(K)
∗
→Cc(K)
∗
by the formula
Ta(f) = (τaf)

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
14 F
unctional equations on hypergroups
for everyfinCc(K). Then eachTais a continuous linear operator on
the Hausdor topological vector spaceCc(K)
∗
. Clearly, the operatorsTa
commute. In order to prove the theorem it is enough to show that there
exists a nonzero positive linear functional onCc(K), which is ﬁxed by
eachTa.
As soon as we can dene a nonempty compact convex subsetCin
Cc(K)
∗
, which is mapped into itself by all operatorsTa, the Markov–
Kakutani Theorem 1.4 will imply our statement. First we ﬁx a symmetric
neighbourhoodUof the identity inKwith compact closure. LetCbe the
set of all positive linear functionals Λ with the following two properties:
(1) (f)≤1 wheneverfis inCc(K) and 0≤f≤1, further the support
offis contained ina∗Ufor someainK;
(2) (f)≥1 wheneverfis inCc(K) and 0≤f, furtherf= 1 ona∗U∗U
for someainK.
Clearly,fis convex and closed inCc(K)
∗
. By a partition of unity argu-
ment every nonnegative function inCc(K) can be written as a ﬁnite sum
of nonnegative continuous functions each of which has support ina∗Ufor
someainK. Hence the condition (1) in the denition ofCimplies that for
every functionfinCc(K) the set{(f) : Λ∈C}is bounded. Therefore,
by Lemma 2 in[Izz92], the setCis compact. Clearly, all operatorsTamap
Cinto itself. We have to show thatCis nonempty. Indeed, ifSis the
set in Theorem 1.6 chosen toU, then the linear functionalf7!
P
s∈S
f(s)
belongs toK.
By the Markov{Kakutani Theorem 1.4 we infer that all operatorsTa
withainKhave a common ﬁxed point, which is a Haar integral and the
theorem is proved. Λ
Another important special case is represented by the discrete hyper-
groups, where the existence and uniqueness of one-sided Haar measure can
be proved relatively easily. The following proof is taken from[BH95].
Theorem 1.8.Every discrete hypergroup admits a right Haar measureωK,
which is unique up to a positive constant. It can be normalized to satisfy
ωK({e}) = 1and in this case
ωK({x}) =
−
(δx
∨∗δx)({e})

−1
(1.4)
for eachxinK.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 1
5
Proof.Forx; y; zinKdene [x ∗y; z] = (δx∗δy)({z}). Note that
[x∗y; e]>0 if and only ifx=y
∨
. For eachxinKlet
[x] =
1
[x
∨
∗x
]
.
Ifx; y; zare inK, then we have
Γ
δx∗(δy∗δz)

({e}) =
Γ
(δx∗δy)∗δz

({e}),
X
t∈K
[x∗t; e] [y∗z; t] =
X
t∈K
[x∗y; t] [t ∗z; e],
[x∗x
∨
, e] [y∗z; x
∨
] = [x ∗y; z
∨
] [z
∨
∗z; e],
[z] [y∗z; x
∨
] = [x
∨
] [x∗y; z
∨
].
Let the measureωKbe dened by
ωK=
X
x∈K
[x]δx.
Ifx; yare inK, then
(δy∗ωK)({x
∨
}) =
X
z∈K
[z](δy∗δz)({x
∨
})
=
X
z∈K
[z] [δy∗δz,{x
∨
}] =
X
z∈K
[x
∨
] [δx∗δy,{z
∨
}] = [x
∨
] =ωK({x
∨
}.
Λ
Obviously, one can prove similarly that also a unique (apart from con-
stant multiple) left Haar measure exists on discrete hypergroups. However,
we note that in contrast to the group case it is unknown whether all discrete
hypergroups admit a Haar measure. Nevertheless, all compact hypergroups
admit a Haar measure, as it is proved in the following theorem. For this

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
16 F
unctional equations on hypergroups
we need another ﬁxed point theorem of Kakutani and some preliminary
lemmas.
Theorem 1.9.(Kakutani) LetKbe a nonempty compact convex set in a
locally convex topological vector spaceX, letGbe an equicontinuous group
of linear mappings ofXintoX, further let(K)⊆Kfor everyΛinG.
ThenGhas a common ﬁxed point inK, that is, there exists apinKsuch
thatΛp=pfor everyΛinG.
The proof of this theorem can be found in[Rud73], p. 120.
Theorem 1.10.LetKbe a compact Hausdorﬀ space,fa continuous
complex valued function onK, further letHτ(f)denote the convex hull
of the set of all left translates off. ThenHτ(f)is a totally bounded
subset ofC(K).
Proof.We get the proof and the statement along the lines of[Rud73]
followed by Ascoli's Theorem (see[Rud73], pp. 122 and 369). Λ
Theorem 1.11.Every compact hypergroup admits a Haar measure which
is unique up to a positive constant.
Proof.The right translation operatorsτssatisfyτsτt=τt sas
(τsτtf)(x) = (τtf)(s∗x) =f(t∗s∗x) = (τt sf)(x).
As eachτsis an isometry ofC(K) onto itself, hence{τs:s∈G}is an
equicontinuous group of linear operators onC(K). Iffis inC(K), then let
Kfbe the closure of (Hτ(f). By the previous theoremKfis compact. It
is obvious thatτs(Kf) =Kffor eachsinG. By the Kakutani ﬁxed-point
Theorem 1.9 the setKfcontains a function Φ such thatτsΦ = Φ for eachs
inK. In particular, (s) = (e), (eis the identity), so that Φ is constant.
By the denition ofKfthis constant can be uniformly approximated by
functions inHτ(f).
We have proved that for eachfinC(K) there is a constantc, which can
be uniformly approximated onKby convex combinations of left translates
off. Similarly, there is a constantdwith a similar property concerning the
right translates off. We show thatc=d.
Letε >0 be given. Then there exist ﬁnite sets{ai}and{bj}inKand
positive nombersαi, βjwith
P
i
αi=
P
j
βj= 1 such that

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 1
7

c−
X
i
αif(ai∗x)

< ε (1.5)
and

d−
X
j
βjf(x∗bj)

< ε (1.6)
holds for eachxinK. Putx=bjin (1.5), multiply (1.5) byβjand add
the equations with respect toj. Then we have

c−
X
i,j
αiβjf(ai∗bj)

< ε . (1.7)
Similarly, putx=aiin (1.6), multiply (1.6) byαiand add the equations
with respect toi. Then we obtain

d−
X
i,j
αiβjf(ai∗bj)

< ε . (1.8)
From (1.7) and (1.8) it followsc=d.
Hence we have that to eachfinC(K) there corresponds a unique num-
berM(f), which can be uniformly approximated by convex combinations
of left translates offand also it can be uniformly approximated by convex
combinations of right translates off. Obviously, the following properties
hold for eachfinC(K):
(1)M(f)≥0 forf≥0 ,
(2)M(1) = 1 ,
(3)M(αf) =αM(f) for each complex numberα,
(4)M(yτ f) =M(τyf) =M(f) for eachyinK.
We prove that
M(f+g) =M(f) +M(g) (1.9)
holds for allf; ginC(K). Letε >0 be arbitrary. Then for eachxinK

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
18 F
unctional equations on hypergroups

M(f)−
X
i
αif(ai∗x)

< ε (1.10)
holds for some ﬁnite set{ai}inKand for some positive numbersαiwith
P
i
αi= 1. We dene
h(x) =
X
i
αig(ai∗x) (1.11)
for eachxinK. Thenhbelongs toKg, henceKh⊆Kgand since both sets
contain a unique constant function, we haveM(h) =M(g). Hence there is
a ﬁnite set{bj}inKand there are positive numbersβjwith
P
j
βj= 1
such that for allxinKwe have

M(g)−
X
j
βjh(bj∗x)

< ε . (1.12)
By the denition (1.11) this gives

M(g)−
X
i,j
αiβjg(ai∗bj∗x)

< ε (1.13)
for eachxinK. By (1.10) it follows

M(f)−
X
i,j
αiβjf(ai∗bj∗x)

< ε (1.14)
for eachxinK. Hence, by (1.13) and (1.14), we have

M(f) +M(g)−
X
i,j
αiβj(f+g)(ai∗bj∗x)

<2ε (1.15)
for eachxinK. As
P
αiβj= 1, (1.15) implies (1.9). This means thatM
is a Haar integral onC(K), which – by the Riesz Representation Theorem
– arises from a Haar measure. The proof is complete. Λ

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 1
9
As we have seen in the case of discrete hypergroups the right Haar
measureωKcan be normalized to satisfyωK({e}) = 1 and in the case of
compact hypergroups the usual normalization isωK(K) = 1. In case of
nite hypergroups one prefers the discrete normalization.
As a simple illustration we compute here the Haar measureωDon the
hypergroupD(θ). By assumption
f(0)ωD({0}) +f(1)ωD({1}) =f(0∗1)ωD({0}) +f(1∗1)ωD({1})
holds for any functionf:D(θ)→C. Using the denition of convolution
inD(θ) we have
f(0)ωD({0})+f(1)ωD({1}) =f(1)ωD({0})+
Γ
`f(0)+(1−θ)f(1)

ωD({1}),
or, equivalently

f(0)−f(1)

ωD({0})−`!D({1})
≡
= 0.
This equation holds for any choice off(0) andf(1), which implies that
ωD({0})−`!D({1}) = 0,
hence, by normalization
ωD({0}) = 1 and ωD({1}) =
1
θ
.
T
he existence of Haar measure on a wide class of hypergroups makes
it possible to adopt integration theory and harmonic analysis on this class
similarly, as in the case of locally compact topological groups. In the pres-
ence of Haar measure the induced integral is calledHaar integraland the
corresponding Lebesgue spaces will be denoted in the usual mannerL
p
(ωK)
for 1≤p≤+∞.
The following simple result is very easy to prove.
Theorem 1.12.IfAis a compact subset of the hypergroupKwith Haar
measureω, thenω(A)≤ω(x∗A)holds for eachxinK.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
20 F
unctional equations on hypergroups
Sometimes we need a Steinhaus-type theorem.
Theorem 1.13.LetKbe a hypergroup with Haar measureωand letA
be a measurable set of positive ﬁnite measure. ThenA∗A
∨
contains a
neighbourhoood ofe.
Proof.Since Haar measure is regular, we may assume thatAis compact.
We choose an open setU⊃Asuch thatω(U)<2ω(A). Now choose an
open neighbourhoodVofesatisfyingV∗A⊂U. Then (v∗A)∩A6=∅for all
vinV, otherwise for somevinVwe haveω(U)≥ω(v∗A)+ω(A)≥2ω(A),
where the last inequality follows from the previous theorem and this would
contradict the choice ofU. Hence, for allvinVwe have thatvbelongs to
A∗A
∨
, that is,V⊆A∗A
∨
. Λ
1.5 Exponential functions on hypergroups
Exponential functions play a fundamental role in the theory of functional
equations on group-like algebraic structures, where translation operators
appear. Namely, they serve as homomorphisms of the underlying struc-
ture into the multiplicative group of nonzero complex numbers. Harmonic
analysis depends on special exponential functions, called characters. The
presence of translation operators on hypergroups makes it possible to in-
troduce the concept of exponential functions and that of characters.
LetKbe a commutative hypergroup with convolution∗, involution
∨
and identitye. For anyyinKletτydenote the translation operator
corresponding to the elementyinKon the space of all complex valued
functions onK, which are integrable with respect toδx∗δyfor eachx; yin
K. In particular, any continuous complex valued function belongs to this
class. We call the continuous complex valued functionm:K→ConK
anexponential functionor simply anexponentialif it is not identically zero
and
τym(x) =m(x)m(y)
holds for allx; yinK. In other words,msatises the functional equation
Z
K
m(t)d(δx∗δy)(t) =m(x)m(y)

August 17, 2012 9:35 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 2
1
for allx; yinK. Real-valued exponentials are calledreal exponentials.
As we indicated above, we can write the above equation in the more
suggestive form
m(x∗y) =m(x)m(y). (1.16)
Puttingy=einto this equation it follows thatm(e) = 1 holds for any
exponential. Ifmalso satisesm(x
∨
) =
m(x)
xinK, then we
callmasemi-character. Any bounded semi-character is called acharacter.
Hence on Hermitian hypergroups semi-characters are exactly the real ex-
ponentials and on compact hypergroups any semi-character is a character.
We remark that in the terminology of[BH95]exponentials are not neces-
sarily continuous. We underline the inconvenient fact that, in contrast to
the case of groups, exponential functions can take the zero value and the
product of two exponentials is not necessarily an exponential.
From the above denition it is clear that exponential functions on hyper-
groups are solutions of special integral equations with respect to measures
related to the hypergroup structure. It is also clear that in the group-
case the problems concerning exponentials reduce to the classical problems
about exponential functions. However, in the general case we might expect
very interesting, sometimes surprising situations. Here we give a simple
illustration of this fact by describing all exponential functions on the hy-
pergroupD(θ) with 0< θ≤1.
Suppose thatm:D(θ)→Cis an exponential that is
Z
D(θ)
m(t)d(δx∗δy)(t) =m(x)m(y)
holds for eachx; yinD(θ). According to the denition of convolution in
D(θ) the only nontrivial consequence of this equation we obtain in the case
x=y= 1:
θm(0) + (1−θ)m(1) =m(1)m(1).

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
22 F
unctional equations on hypergroups
Usingm(0) = 1 and solving the quadratic equation form(1) we have the
two possibilities :m(1) = 1 orm(1) =−θ. The ﬁrst case gives the trivial
exponential which is identically 1 and the second case is the nontrivial one:
m(0) = 1 andm(1) =−θ.
The set
e
Kof all exponentials on the hypergroupKwill be given the
topology of uniform convergence on compact sets and it will be called the
generalized dual ofK. The subspace
b
Kof all characters ofKis called the
dual ofK.Given a bounded measureμinMb(K) the functionbμ:
b
K→C
dened by
bμ(χ) =
Z
K
χ
∨
dμ
for any characterχis called theFourier transformof the measureμ. Ifμ
is a probability measure, thenbμis called thecharacteristic functionofμ.
For any compactly supported measureμinMc(K) this can be extended
to
e
Kby the same formula and the extension is called theFourier–Laplace
transformofμ. We shall use the same notation for this extension. Finally,
given any functionfinL
1
(ωK) the function
b
f:
b
K→Cdened by
b
f(χ) =
Z
K
f
∨
d!K
for any characterχis called theFourier transformof the functionf. For
more about Fourier transforms and Fourier{Laplace transforms of measures
and functions the reader should refer to[BH95]. Here we quote the con-
volution formula for compactly supported measures; νand for integrable
functionsf; g:
(μ∗ν)b=bμbν
and
(f∗g)b=
b
fbg .
1.6 Exponential families on hypergroups
LetKbe a commutative hypergroup andna positive integer. Suppose
that Φ :K×C
n
→Cis a function with the following properties:

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 2
3
(1) The functionx7!(x; λ) is an exponential onKfor eachλinC
n
.
(2) The functionλ7!(x; λ) is entire for eachxinK.
(3) For each exponentialmonKthere exists a uniqueλinC
n
such that
m(x) = (x; λ) for allxinK.
In this case Φ is called anexponential familyon the hypergroupK. This
means that any exponential family Φ onKsatises
(x∗y; λ) = (x; λ) (y; λ) (1.17)
for allx; yinKandλinC
n
. By the third property of Φ there exists a
uniqueλ0, such that (x; λ0) = 1 for eachxinK. Obviously, we always
may suppose thatλ= 0 and we shall do this in the sequel.
1.7 Additive and multi-additive functions on hypergroups
Besides exponentials another important class of functions on commutative
groups is formed by additive functions, which are homomorphisms into the
additive group of complex numbers. The theory of convolution-type func-
tional equations on topological Abelian groups is based on exponential and
additive functions (see[Sz´e91],[Sz´e06a]). The existence of translation op-
erators on hypergroups makes it possible to dene this important function
class on hypergroups.
The continuous complex valued functiona:K→Con the hypergroup
Kis called anadditive function, if
τya(x) =a(x) +a(y)
holds for allx; yinK. In more details this means thatasatises
Z
K
a(t)d(δx∗δy)(t) =a(x) +a(y)
for eachx; yinK. Using the \group-like" notation this has the form
a(x∗y) =a(x) +a(y). (1.18)

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
24 F
unctional equations on hypergroups
Substitutingy=ewe havea(e) = 0 for any additive function. It is
clear that any linear combination of additive functions is additive again.
However, in contrast to the group-case, some simple relations between ex-
ponential and additive functions on groups are no longer valid: logarithms
of positive exponentials are not necessarily additive and expais not neces-
sarily an exponential for an additive functiona.
As an illustration we determine all additive functions onD(θ). Suppos-
ing thata:D(θ)→Cis additive it satises
Z
D(θ)
a(t)d(δx∗δy)(t) =a(x) +a(y)
for eachx; yinD(θ). Here the only nontrivial consequence is
θa(0) + (1−θ)a(1) =a(1) +a(1) = 2a(1),
and bya(0) = 0 this impliesa(1) = 0, hence the only additive function
onD(θ) is identically zero. It is easy to see that the same holds for any
compact hypergroup.
Suppose thatKis a commutative hypergroup with exponential family
Φ :K×C
n
→C. If we letλ= (λ1, λ2, . . . , λn) for eachλinC
n
, then we
can realize Φ as ann+ 1-place function dened onK×C×C× ×C,
wherencopies ofCappear. Letak:K→Cbe dened fork= 1,2, . . . , n
as
ak(x) =∂k+1(x;0),
where∂k+1means dierentiation with respect to thek-th coordinate of
the second variable of . It is easy to see thatakis an additive function
onKfor eachk= 1,2, . . . , n. Indeed, if we dierentiate both sides of
the equation (1.17) with respect to thek+ 1-th variable and substitute
λ= 0 = (0,0, . . . ,0) we get
ak(x∗y) =∂k+1(x;0)(y;0) + (x;0)∂k+1(y;0) =ak(x) +ak(y)

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 2
5
for eachx; yinK, as – by the assumptions on Φ – (x;0) = 1 for each
xinK. This means that any exponential family Φ on the commutative
hypergroupKgenerates a family of additive functions onK, namely the
linear space of all linear combinations of the form
x7!
n
X
k=1
ck∂k+1(x;0)
with arbitrary complex numbersck. We shall see that in some cases this
linear space contains all additive functions onK, but this is not necessarily
the case in general. Suppose, for instance thatKis a commutative hyper-
group with the exponential family Φ :K×C→Cand we assume that
the functionsx7!∂2(x;0), x7!∂
2
2
(x;0), . . . , x7!∂
k
2
(x;0) are identi-
cally zero onKfor some positive integerk. Then it is easy to check that
x7!∂
k+1
2
(x;0) is an additive function onK. In this case, if this function
is not identically zero, then it is an additive function, which is obviously not
contained in the linear space mentioned above. We shall see an example
for this situation in the sequel.
The denition of multi-additive functions is straightforward. For any
positive integernwe say that the continuous functionA:K
n
→Cisn-
additive, if it is additive in each variable while the others are ﬁxed. Hence
1-additive functions are simply the additive ones and 2-additive functions
are calledbi-additive. Extending our terminology to the casen= 0 we may
consider the zero function 0-additive.
Another important class is formed by quadratic functions. The contin-
uous functionq:K→Cis calledquadraticif it satises
q(x∗y) +q(x∗y
∨
) = 2q(x) + 2q(y)
for eachx; yinK. On Hermitian hypergroups quadratic functions are
exactly the additive ones. However, the square of an additive function
is not necessarily quadratic in general. The characterization of quadratic
functions on dierent commutative hypergroups is an interesting problem.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
26 F
unctional equations on hypergroups
1.8 Moment functions on hypergroups
LetKbe a hypergroup andNa positive integer. Moments of probability
measures on a hypergroup can be introduced in terms of moment functions.
The notion of moment functions has been formalized in[Zeu92](see also
[BH95]). Concerning methods of ﬁnding moment functions on hypergroups
and other results on moment function sequences see[Gal98],[OS05],[OS04],
[OS08],[Zeu92],[Vaj10b],[Sz´e06c],[Gal97].
For any nonnegative integerNthe continuous functionϕ:K→Cis
called amoment function of orderN, if there exist complex valued contin-
uous functionsϕk:K→Cfork= 0,1, . . . , Nsuch thatϕ0= 1,ϕN=ϕ
and
ϕk(x∗y) =
k
X
j=0
`
k
j
´
ϕj(x)ϕk−j(y) (1.19)
holds fork= 0,1, . . . , Nand for allx; yinK. In this case we say that the
functionsϕk(k= 0,1, . . . , N) form amoment function sequence of order
N. In particular, moment functions of order 1 are exactly the additive
functions. In the applicationsassociated pairsof real valued ﬁrst and second
order moment functions (ϕ1, ϕ2) play a distinguished role, which means that
they are subjected to the additional condition
ϕ1(x)
2
≤ϕ2(x) (1.20)
for eachxinK. In particular,ϕ2is nonnegative. In this case the system
of equations (1.19) reduces to the pair of functional equations
ϕ1(x∗y) =ϕ1(x) +ϕ1(y) (1.21)
and
ϕ2(x∗y) =ϕ2(x) + 2ϕ1(x)ϕ1(y) +ϕ2(y) (1.22)
for allx; yinK. Ifϕ1is identically zero, thenϕ2is additive and we call
this pairtrivial.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 2
7
With respect to a nontrivial associated pair of moment functions and
for any probability measureμinM1(K) with
Z
K
ϕ2dμ <+∞
one denes itsgeneralized expectationby
E(μ) =
Z
K
ϕ1dμ (1.23)
andgeneralized varianceby
V(μ) =
Z
K
ϕ2dμ−
h
Z
K
ϕ1dμ
i
2
. (1.24)
By equations (1.21) and (1.22) the operatorsEandVhave the additive
property: for any probability measures; νinM1(K) satisfying
Z
K
ϕ2dμ <+∞ and
Z
K
ϕ2d <+∞
we have
E(μ∗ν) =E(μ) +E(ν) and V(μ∗ν) =V(μ) +V(ν).
We can generalize the above concepts by omitting the hypothesisϕ0= 1.
In this caseϕ0is an exponential function and we say thatϕ0generates the
generalized moment function sequence of orderN, furtherϕkis ageneralized
moment function of orderkwith respect toϕ0(k= 0,1, . . . , N). In other
words, we say that the functionsϕk:K→C(k= 0,1, . . . , N) form
asequence of generalized moment functions(of orderN). For instance,
generalized moment functions of order 1 with respect to the exponentialϕ0
are exactly the solutions of thesine functional equation
ϕ1(x∗y) =ϕ0(x)ϕ1(y) +ϕ0(y)ϕ1(x)

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
28 F
unctional equations on hypergroups
for eachx; yinK. Ifϕ0, ϕ1, ϕ2form a generalized moment function se-
quence of order 2 generated by the exponentialϕ0, then (ϕ1, ϕ2) is calleda
pair of generalized moment functions generated byϕ0. In case of generalized
moment functions the denition of associated pair should be modied as
follows: Letϕ0be an exponential on the hypergroupKand letϕ0, ϕ1, ϕ2
form a generalized moment sequence of order 2 generated by the exponen-
tialϕ0. If all these functions are real valued,ϕ2is nonnegative, further we
have
ϕ1(x)
2
≤ϕ0(x)ϕ2(x) (1.25)
for eachxinK, then (ϕ1, ϕ2) is called ageneralized associated pairgener-
ated by the exponentialϕ0.
Let (K;∗) be any commutative hypergroup and letμbe a probability
measure inM1(K). We say that the exponential functionmonKisnot
in the spectrum ofμ, ifmis integrable with respect toμand
R
K
m dμ6= 0.
In this sense thespectrum ofμconsists of all exponentialsmonK, which
are either non-integrable with respect toμ, or satisfy
R
K
m dμ= 0. In par-
ticular, ifKis Hermitian andμis compactly supported, then its spectrum
is the set of all zeros of its Fourier{Laplace transform.
Now we ﬁx a real valued exponentialϕ0:K→RonKand a generalized
associated pair generated by the exponentialϕ0. If the exponentialϕ0
does not belong to the spectrum of the probability measureμ, furtherϕ2
is integrable with respect toμ, then we dene
Eϕ0(μ) =
R
K
ϕ1dμ
R
K
ϕ0d
μ
and
Vϕ0(μ) =
R
K
ϕ2dμ
R
K
ϕ0d
μ
−
`R
K
ϕ1dμ
R
K
ϕ0d
μ
´
2
as thegeneralized expectationandgeneralized variance ofμwith respect to
ϕ0. Obviously we have
Vϕ0(μ) =
R
K
ϕ2dμ
R
K
ϕ0d
μ
−Eϕ0(μ)
2
.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 2
9
These quantities have the following remarkable properties.
Theorem 1.14.Let(K;∗)be a commutative hypergroup and letϕ0, ϕ1, ϕ2
be a sequence of continuous real valued generalized moment functions with
nonnegativeϕ2satisfying
ϕ1(x)
2
≤ϕ0(x)ϕ2(x)
for allxinK. If; νare probability measures inM1(K)such thatϕ0
is not in the spectrum ofμandν, furtherϕ2is integrable with respect to
μandν, then the generalized expectation and generalized variance ofμ,ν
andμ∗νwith respect toϕ0exist and we have
Eϕ0(μ∗ν) =Eϕ0(μ) +Eϕ0(ν), Vϕ0(μ∗ν) =Vϕ0(μ) +Vϕ0(ν).
Proof.By the Fubini Theorem and the convolution formula
(μ∗ν)^= ˆμˆν
it follows thatϕ0is not in the spectrum ofμ∗ν. The existence of the
generalized expectation and generalized variance ofμ,νandμ∗νwith
respect toϕ0is a consequence of the Cauchy{Schwartz Inequality and of
the condition (1.25). On the other hand,
Eϕ0(μ∗ν) =
R
K
ϕ1d(μ∗ν)
R
K
ϕ0d(μ∗ν)
=
R
K
R
K
ϕ1(x∗y)d
μ(x)d(y)
R
K
R
K
ϕ0(x∗y)d
μ(x)d(y)
=
R
K
R
K
ϕ1(x)ϕ0(y)dμ(x)d(y) +
R
K
R
K
ϕ1(y)ϕ0(x)dμ(x)d(y)
R
K
R
K
ϕ0(x)ϕ0(y)d
μ(x)d(y)
=
R
K
ϕ1(x)dμ(x)
R
K
ϕ0(y)d(y) +
R
K
ϕ1(y)d(y)
R
K
ϕ0(x)dμ(x)
R
K
ϕ0(x)d
μ(x)
R
K
ϕ0(y)d(y)
=
R
K
ϕ1(x)dμ(x)
R
K
ϕ0(x)d
μ(x)
+
R
K
ϕ1(y)d(y)
R
K
ϕ0(y)d
ν(y)
=Eϕ0(μ) +Eϕ0(ν).
Similarly, we can compute as follows:

August 17, 2012 9:35 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
30 F
unctional equations on hypergroups
Vϕ0(μ∗ν) =
R
K
ϕ2d(μ∗ν)
R
K
ϕ0d(μ∗ν)
−
θR
K
ϕ1d(μ∗ν)
R
K
ϕ0d(μ∗ν)
´
2
=
R
K
R
K
ϕ2(x∗y)d
μ(x)d(y)
R
K
R
K
ϕ0(x∗y)d
μ(x)d(y)
−
θR
K
R
K
ϕ1(x∗y)dμ(x)d(y)
R
K
R
K
ϕ0(x∗y)d
μ(x)d(y)
´
2
=
R
K
R
K
ϕ2(x)ϕ0(y)dμ(x)d(y)
R
K
R
K
ϕ0(x)ϕ0(y)d
μ(x)d(y)
+ 2
R
K
R
K
ϕ1(x)ϕ1(y)dμ(x)d(y)
R
K
R
K
ϕ0(x)ϕ0(y)d
μ(x)d(y)
+
R
K
R
K
ϕ2(y)ϕ0(x)dμ(x)d(y)
R
K
R
K
ϕ0(x)ϕ0(y)d
μ(x)d(y)
−
θ
Eϕ0(μ) +Eϕ0(ν)
´
2
=
R
K
ϕ2(x)dμ(x)
R
K
ϕ0(x)d
μ(x)
+2Eϕ0(μ)Eϕ0(ν)+
R
K
ϕ2(y)d(y)
R
K
ϕ0(y)d
ν(y)
−
θ
Eϕ0(μ)+Eϕ0(ν)
´
2
=
R
K
ϕ2(x)dμ(x)
R
K
ϕ0(x)d
μ(x)
−Eϕ0(μ)
2
+
R
K
ϕ2(y)d(y)
R
K
ϕ0(y)d
ν(y)
−Eϕ0(ν)
2
=Vϕ0(μ)+Vϕ0(ν).
The theorem is proved. ∗
Suppose now thatKis a commutative hypergroup with the exponential
family Φ :K×C
n
→C. LetNbe a positive integer. For anyk= 1,2, . . . , n,
using similar argument and notation as we did in the end of section 1.7,
if we dierentiate both sides of equation (1.17)Ntimes with respect to
thek-th component of the second variable of , then, by Leibniz Rule, we
obtain
∂
N
k+1(x∗y; λ) =
N
X
j=0
θ
N
j
´
∂
j
k+1
(x; λ)∂
N−j
k+1
(y; λ)
for allx; yinK. This means that the functionsx7!∂
j
k+1
(x; λ) for
j= 0,1, . . . , Nform a generalized moment function sequence with respect
to the exponentialx7!(x; λ). In the case of some special hypergroups
we will be able to describe the general form of generalized moment function
sequences.

July 26, 2012 16:32 World Scientiﬁc Book - 9in x 6in - 8481FunctionalEquations function
Introduction 3
1
In a generalized moment function sequence the functionϕ1plays a spe-
cial role, as it is shown in the following theorem.
Theorem 1.15.LetKbe a commutative hypergroup,Na positive inte-
ger and let(ϕj)
N
j=0
be a generalized moment function sequence. Ifϕ1is
nonzero, then none of the functions in this sequence is the linear com-
bination of the previous ones. In particular, these functions are linearly
independent.
Proof.Obviouslyϕ0, as an exponential, is not identically zero. Suppose
thatϕ16= 0 is a constant multiple ofϕ0, that is,ϕ1=λ ϕ0holds with some
nonzero complexλ. Then we have for allx; yinK:
ϕ0(x)ϕ0(y) =ϕ0(x∗y) =
1
λ
ϕ1(x∗y)
=
1
λ
ϕ1(x)ϕ0(y)
+
1
λ
ϕ0(x)ϕ1(y)
= 2ϕ0(x)ϕ0(y),
which is a contradiction.
Suppose that we have proved our statement forN= 1,2, . . . , k, where
k≥1 is an integer and now we prove it forN=k+1. Assume the contrary,
that is, assume that there are complex numbersλ0, λ1, . . . , λksuch that
ϕk+1=
k
X
j=0
λjϕj (1.26)
holds. Letx; ybe arbitrary inK, then we have
ϕk+1(x∗y) =
k+1
X
j=0
⊆
k+ 1
j
´
ϕj(x)ϕk+1−j(y) (1.27)
=
k
X
j=0
⊆
k+ 1
j
´
ϕj(x)ϕk+1−j(y) +ϕk+1(x)ϕ0(y).
Substitution from equation (1.26) gives

Random documents with unrelated
content Scribd suggests to you:

Anarkisti. Sanoinhan että ensin on valtio murrettava. Nyt olemme
hukassa.
Hurja sosialidemokraatti (juosten amfiteaatterin poikki). Juoskaa
pakoon kaikki.
Mendoza (tarttuen häntä kaulukseen ja heittäen hänet kumoon
sekä vetäen esiin puukon). Surmaan heti sen joka liikahtaa. (Sulkee
tien. Liike lakkaa). Mikä on tapahtunut?
Totinen sosialidemokraatti. Moottori —
Anarkisti. Kolme miestä —
Duval. Deux femmes —
Mendoza. Kolme miestä ja kaksi naista! Miksi ette ole tuonut heitä
tänne? Pelkäättekö?
Hurja sosialidemokraatti (nousten ylös). Heillä on suojelusväkeä.
Totinen sosialidemokraatti. Kaksi varustettua vaunua täynnä
sotamiehiä laakson päässä.
Anarkisti. Laukaus ammuttiin ilmaan. Se oli merkki.
Straker viheltää lempinuottiaan, joka kaikuu rosvojen korvissa kuin
hautausmarssi.
Tanner. Ei se ole suojelusväkeä, vaan sotilaita, joita on lähetetty
teitä kiinniottamaan. Meitä neuvottiin odottamaan heitä, mutta
minulla oli kiire.

Hurja sosialidemokraatti (kauhulla). Ja tässä me, hyvä jumala,
odotamme heitä. Joudutaan pois vuoristoon!
Mendoza. Hullu! Mitä sinä tiedät vuoristosta? Oletko
espanjalainen? Ensimäinen paimenpoika sinut ilmiantaisi. Paitsi sitä
me olemme jo pyssynkantaman sisäpuolella.
Hurja sosialidemokraatti. Mutta —
Mendoza. Vaiti! Antakaa minun pitää huolta tästä (Tannerille).
Toveri, ettehän petä meitä.
Straker. Ketä te sanotte toveriksi?
Mendoza. Eilisiltana edut olivat minun puolellani. Köyhien rosvo oli
rikkaitten rosvon armoilla. Te tarjositte kätenne. Otin sen.
Tanner. En aio syyttää teitä, toveri. Meillä on ollut hauska ilta
yhdessä. Siinä kaikki.
Straker. Minä vain en anna kättäni mokomille.
Mendoza (kääntyen häneen, painavasti). Nuorukainen, jos minut
vedetään oikeuteen, tulen julistetuksi syylliseksi, ja silloin selitän
mikä ajoi minut pois Englannista, kodistani ja velvollisuuksistani.
Tahdotteko että kunnioitettu Straker nimi tulee laahatuksi Espanjan
tuomioistuimen loassa? Poliisi on tutkiva minut. He löytävät Louisan
valokuvan. Se painatetaan kuvalehtiin. Te kalpenette. Muistakaa että
olette itse syypää siihen.
Straker (tuhahdetulla raivolla). En minä välitä tuomioistuimesta.
Mutta en siedä että nimeämme mainitaan yhdessä teidän nimenne
kanssa, senkin mustanaamainen sika.

Mendoza. Sopimatonta kieltä Louisan veljelle. Mutta vähät siitä.
Teillä on nyt kuonokoppa. Muuta en pyydä. (Hän kääntyy omien
miestensä puoleen, jotka vetäytyvät levottomasti luolaan päin hänen
taakseen, kun uusi seurue moottoripuvuissa tulee tieltä vallattomalla
tuulella. Anna, joka suuntaa kulkunsa suoraan Tanneria kohti, kulkee
ensimäisenä. Sitten seuraa Violet, joka kulkee epätasaisella maalla
siten että Hector taluttaa häntä oikeasta kädestä ja Ramsden
vasemmasta. Mendoza istuutuu tyynesti presidentti-kivelleen ja
miehistö ryhmittyy hänen taakseen. Hänen esikuntansa asettuu
hänen ympärilleen, Duval ja anarkisti oikealle puolen ja molemmat
sosialidemokraatit vasemmalle).
Anna. Se on Jack!
Tanner. Kiinni!
Hector. Niinpä tosiaankin! Sanoin että siinä on Tanner.
Pyörärenkaan puhkeaminen pakoitti meidät seisahtumaan. Tie on
täynnä nauloja.
Violet. Mitä te täällä teette kaikkien noiden miesten kanssa?
Anna. Miksi läksitte pois sanomatta mitään?
Hector. Minä vaadin sen ruusuvihkon, neiti Whitefield. (Tannerille).
Kun huomasimme että olitte lähtenyt, neiti Whitefield tahtoi minua
lyömään vetoa ruusuvihosta, että muka minun moottorini ei saavuta
teitä ennenkuin ennätätte Monte Carloon.
Tanner. Mutta eihän tämä tie vie Monte Carloon.
Hector. Vähät siitä. Neiti Whitefield sai selville kulkunne joka
pysähdysasemalla. Hän on täydellinen Sherlock Holmes.

Tanner. Elämän Voima! Minä olen hukassa!
Octavius (hypäten iloisesti tieltä amfiteaatteriin ja astuen Tannerin
ja Strakerin väliin). Hauska että olet hyvässä tallessa vanha veikko.
Pelkäsimme että rosvot olivat sinut ryöstäneet.
Ramsden (joka on tuijottanut Mendozaan). Minusta tuntuu kuin
olisin ennen nähnyt tämän ystävänne. (Mendoza nousee kohteliaasti
ja astuu hymyillen Annan ja Ramsdenin väliin).
Hector. Minusta samoin.
Octavius. Minäkin tiedän varmaan tavanneeni teidät, mutta en
muista missä.
Mendoza (Violetille). Muistatteko te minut neiti?
Violet. Vallan hyvin, mutta minun on niin vaikea muistaa nimiä.
Mendoza. Savoy hotellissa olemme nähneet toisemme.
(Hectorille). Teillä oli tapana käydä tämän neidin (Violetin) kanssa
siellä luncheonia syömässä. (Octaviukselle). Ja te toitte usein tämän
neidin (Annan) ja hänen äitinsä päivällisille mennessänne Lyceum
teaatterin. (Ramsdenille). Te, hyvä herra, tulitte usein illalliselle
(alentaen äänensä salaperäiseksi mutta vallan kuuluvaksi
kuiskaukseksi) monen eri neidin kanssa.
Ramsden (suuttuneena). Mitä se teitä liikuttaa?
Octavius. Violet, minä luulin että te tuskin tunsitte toisianne ennen
tätä retkeä, sinä ja Malone.
Violet (suuttuneena). Tuo mies kai oli hotellin johtaja.

Mendoza. Viinuri vain. Muistan teitä kaikkia kiitollisuudella. Päätin
siitä suuremmoisesta tavasta, jolla minulle annoitte juomarahoja,
että jokainen teistä nautti käynnistään hotellissa hyvin paljon.
Violet. Kuinka nenäkästä! (Kääntyy selin häneen ja astuu mäelle
Hectorin kanssa).
Ramsden. Se riittää, hyvä mies. Ette suinkaan odottane että nämä
neidit kohtelevat teitä tuttavanaan, siitä syystä että olette palvellut
heitä ruokapöydässä.
Mendoza. Anteeksi, tehän halusitte minun tuttavuuttani. Neidit
seurasivat teidän esimerkkiänne. Oli miten oli, tämä teidän
säätyluokkanne onnettomien tapojen ilmaisu lopettaa tämän
kohtauksen. Toivon että tästä lähin kohtelette minua sillä
kunnioituksella, jota vieras ja matkatoveri saa vaatia. (Hän kääntyy
ylpeästi ympäri ja asettuu jälleen presidentti-istuimelleen).
Tanner. Kas niin! Matkallani löydän yhden ainoan miehen, jonka
kanssa voi järjellisesti keskustella, ja vaistomaisesti te kaikki
loukkaatte häntä. Uusi mieskin on samanlainen kuin te kaikki muut.
Enry, te olette käyttäytynyt kuin kurja herrasmies.
Straker. Herrasmies! En ikinä minä.
Ramsden. Todellakin Tanner, tuo tapa —
Anna. Elkää välittäkö hänestä, ukki. Tunnettehan hänet jo. (Hän
tarttuu Ramsdenin käsivarteen ja houkuttelee hänet Violetin ja
Hectorin luo. Octavius seuraa häntä kuin koiranpenikka).
Violet (huutaen kukkulalta). Sotamiehet ovat täällä jo. He
nousevat juuri pois moottoristaan.

Duval (kauhistuneena). Oh, nom de Dieu!
Anarkisti. Hullut! Valtio on musertamaisillaan teidät, siitä syystä
että säästitte sitä porvariston kätyrien käskystä.
Totinen sosialidemokraatti (vihdoin keksien vastauksen).
Päinvastoin, tarttumalla kiinni valtion koneistoon —
Anarkisti. Nyt se tarttuu kiinni teihin.
Hurja sosialidemokraatti (kauhu ylimmillään). Ooh! Mitä me
odotamme? Mistä syystä —
Mendoza (hampaittensa välissä). Jatkakaa. Puhukaa politiikkaa,
hullut, ei mikään kuulu arvokkaammalta. Jatkakaa! Minä vaadin sen!
Sotamiehet miehittävät tien vartioiden amfiteaatteria kivääreillään.
Rosvot, taistellen voimakasta halua vastaan, joka on pakoittaa heidät
piiloutumaan toistensa taakse, koettavat näyttää niin
väliäpitämättömiltä kuin suinkin. Mendoza nousee ylpeänä, pää
pystyssä. Sotilaita komentava upseeri astuu esiin tieltä
amfiteaatteriin. Hän katsoo tuikeasti rosvoihin ja sitten kysyvästi
Tanneriin.
Upseeri. Ketä nämä miehet ovat, Señor Ingles?
Tanner. Minun suojelusväkeäni.
Mendoza, huulilla mefistomainen hymy, kumartaa syvään.
Vastustamaton irvistys välähtää rosvojen kasvoilla. He koskettavat
lakkiaan, paitsi anarkisti, joka osoittaa ylenkatsettaan valtiolle
käsivarret ristissä.

Neljäs näytös.
Erään huvilan puutarha Granadassa. Joka tahtoo tietää minkä
näköinen se on, menköön Granadaan katsomaan. Vallan
proosallisesti voi kuvitella vuoriryhmän taustassa, siellä täällä
huviloita, Alhambra vuoren kukkulalla ja jotenkin suuri kaupunki
laaksossa, jonne tullaan tomuista, valkoista tietä pitkin, missä lapset
ajatellen ja puuhaillen muita asioita, konemaisesti vinkuvat rahaa
ojentaen pienet ruskeat kouransa vastaanottamaan. Tässä
kuvauksessa ei ole muuta kuin Alhambra, kerjäläiset ja teiden väri,
joka ei sopisi Surreyhin yhtä hyvin kuin Espanjaan. Ero on siinä että
Surreyn kukkulat ovat verraten pienet ja rumat — niitä pitäisikin
oikeastaan sanoa mäiksi — mutta nämä Espanjan kukkulat ovat
vuoria. Miellyttävä asutus, joka peittää niiden koon, ei vaikuta niiden
arvokkaisuuteen.
Tämä erityinen puutarha on kukkulalla vastapäätä Alhambraa, ja
huvila on niin kallis ja komea kuin suinkin huvilan täytyy olla, jos
mielii saada sen vuokratuksi kalustettuna ja viikkokaupalla rikkaille
amerikkalaisille ja englantilaisille matkailijoille. Jos seisomme
ruohokentällä ja katsomme ylös vuoriin päin, rajoittaa näköpiiriämme
kivinen aitaus kivillä lasketun platformun ympäri kukkulan huipulla
avaruuden laidassa. Meidän ja tuon platformun välillä on kukkatarha,
jonka keskellä on suihkulähde ja pyöreä allas, ja sen ympärillä
säännöllisiä kukkalavoja, hiekkakäytäviä ja leikattuja lehtikuusia
komeassa järjestyksessä. Puutarha on korkeammalla kuin
ruohokenttä, jossa seisomme, ja meidän täytyy astua sinne pieniä
portaita myöden keskellä pengertä. Platformu taas on hiukan
korkeammalla puutarhaa, josta jälleen lyhyet portaat johtavat sinne.
Sieltä meillä on kiviaidan yli kaunis näköala kaupungin ja laakson yli

kukkuloille, jotka etäällä muuttuvat vuoriksi. Vasemmalla meistä on
huvila, jonne päästään portaita myöten puutarhan vasemmasta
kulmasta. Jos palaamme platformulta puutarhan kautta alas
ruohokentälle (jolloin huvila on meidän oikealla puolellamme)
näemme että huvilan vuokraajilla on kirjallisia harrastuksia, sillä ei
missään näy lawn-tennis verkkoja eikä krokettipalloja, mutta
vasemmalla meistä on pienellä rautaisella puutarhapöydällä kirjoja,
enimmäkseen keltakantisia, ja pöydän vieressä tuoli. Oikealla
puolella on myöskin tuolilla pari avattua kirjaa. Ei mitään
sanomalehtiä ole näkyvissä, joka seikka, yhdessä kaikenlaisten
pelien puutteen kanssa voisi johtaa järkevän katselijan syvämielisiin
johtopäätöksiin huvilan asukkaisiin nähden. Tällaiset mietelmät
tulevat kumminkin keskeytetyksi tänä erinomaisen ihanana
iltapäivänä, sillä pienelle portille vasemmalla meistä ilmestyy Henry
Straker moottoripuvussa. Hän avaa portin vanhanpuoleiselle
herrasmiehelle ja seuraa häntä ruohokentälle.
Tämä vanhanpuoleinen herrasmies taistelee Espanjan aurinkoa
vastaan mustassa pitkässä takissa, housuissa, joissa tumman
harmaat ja sinipunervat kapeat paidat sulautuvat yhteen erittäin
kunnioitettavaksi väriyhteydeksi, korkeassa mustassa silkkihatussa ja
mustassa kaulahuivissa, joka on köytetty solmuksi moitteettoman
etumuksen yli. Siitä päättäen hän luultavasti on semmoinen mies,
jonka yhteiskunnallinen asema vaatii alituista ja huolellista
vakuuttamista riippumatta ilmanalasta. Hän pukeutuisi siten keskellä
Saharaakin tai Mont Blanc'in huipulla. Ja koska hänessä ei ole sen
luokan leimaa, joka on valinnut elämänsä tehtäväksi ensiluokan
räätäliliikkeiden ja hattukauppojen taitavuuden toitottamisen, hän
näyttää vulgääriltä komeudessaan, vaikka hän missä työpuvussa
tahansa näyttäisi arvokkaalta. Hän on pulloposkinen, punakka mies,
lyhyttukkainen, pikkusilmäinen, suu ankarapiirteinen ja pielistä

alaspäin venyvä, leuka itsepäinen. Ajan tuottama ihon höllyys
ilmaantuu hänellä kaulassa ja poskipelissä, mutta suun yläpuolella
hän on vielä kova kuin omena, niin että kasvojen yläosa näyttää
nuoremmalta kuin alaosa. Hänellä on luottamusta itseensä niinkuin
ainakin semmoisella miehellä, joka on hankkinut paljon rahaa, mutta
samalla hänessä on jotain semmoisen miehen raakalaisuutta, joka
on hankkinut rahaa raaistavassa taistelussa, sillä hänen
kohteliaisuutensa alla on aina selvään huomattava uhka, että kyllä
hänellä on muitakin keinoja käytettävinään. Kaikesta huolimatta hän
on mies, jota pitää jokseenkin sääliä, kun häntä ei tarvitse pelätä,
sillä hänessä on joskus jotain tunteellista, ikäänkuin tuo ääretön
kauppakone, joka on puristanut hänet pitkään takkiin ja
silkkihattuun, ei olisi antanut hänen juuri ollenkaan astua omia
teitään, vaan jättänyt hänen tunteensa nälkäisiksi ja masentuneiksi.
Heti kun hän lausuu ensimäisen sanansa, on selvää että hän on
irlantilainen, jonka syntyperäinen lausumatapa on takertunut kiinni
häneen huolimatta monista paikan ja säädyn muutoksista. Voimme
arvata vain että alkuperäisenä aineksena hänen kielessään on ollut
nyrpeä Kerryn murre, mutta se kielen turmelus, joka esiintyy
Lontoossa, Glasgowissa, Dublinissa ja yleensä suurissa
kaupungeissa, on vaikuttanut häneen niin kauan, ettei kukaan muu
kuin kiihkein cockney [Lontoon sivistymätöntä murretta puhuva.
Suoment. muist.] enää uskaltaisi sanoa hänen kieltään murteeksi,
sillä sen musikaalisuus on vallan hävinnyt, vaikka sen nyrpeys onkin
vielä huomattavissa. Straker, joka on selvä cockney, herättää
hänessä suurta ylenkatsetta englantilaisena, joka ei osaa puhua edes
omaa kieltään. Straker taasen pitää tuon vanhan herrasmiehen
lausumistapaa kompana, jonka kaikesta huolehtiva kaitselmus on
erityisesti valmistanut brittiläisen rodun huvitukseksi, ja kohtelee
häntä säännöllisesti sillä anteeksiantavaisuudella, joka on tuleva

alemman ja onnettomamman ihmislajin osaksi, mutta joskus
kumminkin harmistuen ja hämmästyen huomatessaan, että vanha
herrasmies ikäänkuin vaatisi, että hänen irlantilaista loruaan
pidettäisi täytenä totena.
Straker. Menen sanomaan neidille. Hän pyysi teitä odottamaan
täällä (hän lähtee puutarhan läpi huvilaan).
Irlantilainen (joka on katsonut ympärilleen vilkkaalla
uteliaisuudella). Neidille? Neiti Violetilleko?
Straker (seisahtuen äkkiä epäluuloisena). Te kai tiedätte sen?
Irlantilainen. Tiedänkö minä?
Straker (suuttuen). Tiedättekö vai ettekö tiedä?
Irlantilainen. Mitä se teitä liikuttaa?
Straker, hyvin suuttuneena, astuu alas portaita ja katsoo
vieraaseen.
Straker. Sanon miksi se liikuttaa minua. Neiti Robinson —
Irlantilainen (keskeyttäen). Oo — hänen nimensä on siis Robinson.
Kiitos.
Straker. Ette siis tiedä edes hänen nimeään?
Irlantilainen. Tiedän kyllä nyt kun te sen sanoitte.
Straker (hetken perästä, hämmästyksissään vanhan herran
nopeista vastauksista). Mitä tarkoitatte sillä että annatte minun

tuoda teidät tänne moottorivaunulla, ellette ole se henkilö, jolle toin
kirjeen?
Irlantilainen. Kelle toiselle olisitte sen antanut?
Straker. Minun piti viedä se herra Ector Malonelle neiti Robinsonin
käskystä. Neiti Robinson ei ole emäntäni. Minä vein kirjeen
kohteliaisuudesta häntä kohtaan. Minä tunnen herra Malonen, ja hän
ei ole te, ei sinne päinkään. Hotellissa sanottiin että nimenne on
Ector Malone —
Malone. Hector Malone.
Straker (tyyneellä ylemmyydellä). Hector teidän omassa
maassanne. Semmoista se on kun elää ikänsä kaikenlaisissa
nurkkapaikoissa, niinkuin Irlannissa tai Amerikassa. Täällä sanomme
Ector. Ellette ole sitä ennen huomannut, tulette kohta huomaamaan.
Puheen kasvavan kiihkon tyynnyttää Violet, joka astuu alas
huvilasta puutarhan poikki portaille, tullen hyvään aikaan Malonen ja
Strakerin väliin.
Violet (Strakerille). Veittekö kirjeeni?
Straker. Kyllä neiti. Vein sen hotelliin ja lähetin sisään, odottaen
nuorta herra Malonea. Silloin marssii ulos tämä herra ja sanoo
tulevansa kanssani. Ja koska hotellissa vakuutetaan että hän on
herra Ector Malone, toin hänet tänne. Ja nyt hän puhuu vallan ristiin.
Mutta ellei hän ole se jota tarkoititte, niin sanokaa sana vain. Kyllä
minä hänet takaisin toimitan.
Malone. Olisin hyvin kiitollinen jos soisitte minulle lyhyen
keskustelun, neiti. Olen Hectorin isä, kuten tämä nerokas brittiläinen

ehkä olisi arvannut kohtakin.
Straker (kylmästi vastustaen). En iki päivinä sitä olisi arvannut.
Kun olemme saaneet kiillottaa teitä yhtä kauan kuin häntä, tulette
ehkä hiukan saman näköiseksi. Mutta nyt on siihen vielä pitkä
matka. (Violetille ystävällisesti). Te tahdotte puhua hänen kanssaan,
neiti. En häiritse. (Hän nyökäyttää päätään toverillisesti Malonelle ja
menee ulos pienestä portista).
Violet (hyvin kohteliaasti). Olen pahoillani herra Malone, jos tuo
mies on ollut teille epäkohtelias. Mutta mitä voimme tehdä? Hän on
meidän chauffeurimme.
Malone. Teidän mikä?
Violet. Meidän moottorinkuljettajamme. Hän voi ajaa moottorilla
seitsemänkymmentä penikulmaa tunnissa ja korjata sen, kun se
rikkoontuu. Me olemme riippuvaisia moottorivaunuistamme ja
moottorivaunumme ovat riippuvaisia hänestä, siis mekin tietysti
olemme riippuvaisia hänestä.
Malone. Olen huomannut neitiseni, että jokainen tuhat dollaria,
minkä englantilainen ansaitsee, näkyy saattavan hänet riippuvaiseksi
yhdestä henkilöstä enemmän kuin ennen. Mutta teidän ei tarvitse
pyytää anteeksi palvelijanne puolesta. Minä tahallani houkuttelin
hänet puhumaan. Siten sain tietää että olette täällä Granadassa
englantilaisessa seurueena, johon kuulu myöskin poikani Hector.
Violet (keskusteluäänellä). Niin. Aioimme lähteä Nizaan, mutta
meidän piti seurata erästä jokseenkin oikullista jäsentä
seurueessamme, joka läksi edeltäkäsin tänne. Ettekö suvaitse istua?
(Hän nostaa pois kirjat läheiseltä tuolilta).

Malone (ihastuneena hänen kohteliaisuudestaan). Kiitos. (Hän
istautuu katsellen Violetia uteliaasti tämän mennessä rautapöydän
luo ja laskiessa kirjat sinne. Violetin käännettyä hän sanoo). Neiti
Robinson, otaksun mä?
Violet (istautuen). Niin.
Malone (ottaen kirjeen taskustaan). Kirjeenne Hectorille kuuluu
näin. (Violet ei voi estää pientä vavahdusta. Malone ottaa
rauhallisesti esiin kultasankaiset silmälasit ja asettaa ne nenälleen):
"Armaani, kaikki ovat menneet Alhambraan iltapäiväksi. Minulla oli
olevinaan päänkivistys ja olen puutarhassa aivan yksin. Hyppää
Jackin moottoriin, niin Straker lennättää sinut tänne. Pian, pian, pian
lempivän Violetisi luo". (Malone katsoo Violetiin, mutta tämä on Jo
tyyntynyt ja katsoo tyyneesti hänen silmälasiinsa. Malone jatkaa
hitaasti). En tiedä nuorten seuratapoja Englannissa, mutta
Amerikassa tämmöinen kirje edellyttäisi hyvin suurta tuttavuutta.
Violet. Niin kyllä. Tunnen poikanne hyvin hyvästi, herra Malone.
Onko teillä mitään sitä vastaan?
Malone (hiukan nolona). E-ei, ei minulla oikeastaan ole sitä
vastaan, kunhan vain tiedätte että poikani on kokonaan riippuvainen
minusta, ja hänen täytyy kysyä minun mieltäni kaikissa
tärkeämmissä asioissa.
Violet. Olen varma ettette tule mitenkään kohtuuttomasti häntä
kohtelemaan.
Malone. Toivon samaa itsekin. Mutta teidän ikäisistänne tuntuu
moni asia kohtuuttomalta, joka minusta on kohtuullista.

Violet (hiukan nytkähtäen). Mikäpä syy meidän olisi tässä
teeskennellä, herra Malone. Hector tahtoo minua vaimokseen.
Malone. Arvasin kirjeestänne asian laidan. Niin, neiti Robinson,
hän on oma herransa, mutta jos hän menee naimisiin teidän
kanssanne, ei hän saa minulta penniäkään. (Hän ottaa pois
silmälasinsa ja asettaa ne taskuunsa kirjeen kanssa).
Violet (jotenkin synkästi). Se ei ole juuri imartelevaa minulle, herra
Malone.
Malone. En sano mitään teistä, neiti Robinson. Uskon mielelläni
että olette rakastettava ja suloinen nuori neiti. Mutta minulla on
toisia tuumia Hectoriin nähden.
Violet. Mutta ehkä ne eroavat Hectorin omista tuumista, herra
Malone.
Malone. Se on mahdollista. Silloin hän saa tulla toimeen ilman
minua, siinä kaikki. Otaksun että olette valmistautunut siihen. Kun
nuori neiti pyytää nuorta miestä kiiruhtamaan luokseen pian, pian,
pian, ei raha tunnu merkitsevän paljoa, mutta rakkaus sitä
enemmän.
Violet (jyrkästi). Anteeksi, herra Malone. Minä en ole niin järjetön.
Hectorilla täytyy olla rahaa.
Malone (epäröiden). Oo — hän kai voi tehdä työtä hankkiakseen
rahaa.
Violet. Mitä hyötyä on rahasta, jos pitää tehdä työtä hankkiakseen
sitä? (Hän nousee ylös kärsimättömästi). Se on tyhjää puhetta, herra

Malone. Teidän täytyy tietysti auttaa häntä ylläpitämään asemaansa.
Hän voi sitä vaatia.
Malone (happamasti). En neuvoisi teitä ottamaan häntä sen
vaatimuksen perustuksella, neiti Robinson.
Violet, joka on melkein menettänyt malttinsa, koettaa hillitä
itsensä, avaa puristetun nyrkkinsä ja istautuu jälleen itsetietoisella
tyyneydellä ja järkevyydellä.
Violet. Mitä teillä on minua vastaan? Yhteiskunnallinen asemani on
vähintäin yhtä hyvä kuin Hectorin. Sen hän myöntääkin.
Malone (viekkaasti). Te kai sanotte sen hänelle tuon tuostakin, vai
mitä? Hectorin yhteiskunnallinen asema Englannissa on se, jonka
minä suvaitsen ostaa hänelle. Olen tehnyt hänelle hyvän tarjouksen.
Hakekoon hän historiallisimman linnan tai hovin koko Englannissa.
Samana päivänä kuin hän ilmoittaa minulle että hän tarvitsee sen
vaimolle, joka on sen traditsioonien arvoinen, ostan sen hänelle ja
annan hänelle varoja sen ylläpitämiseksi.
Violet. Mitä tarkoitatte vaimolla, joka on sen traditsioonien
arvoinen? Eikö kuka tahansa hyvin kasvatettu neiti voi esiintyä
semmoisen talon emäntänä?
Malone. Ei. Hänen pitää olla syntynyt siihen. Violet. Ei Hectorkaan
ole syntynyt siihen, vai mitä?
Malone. Hänen isoäitinsä oli paljasjalkainen irlantilais-tyttö, joka
hoiti minua turvevalkean ääressä. Jos Hector nai samanlaisen, en aio
säästää myötäjäisiä. Jos hän kohottaa itseään tai toista
yhteiskunnallisesti minun rahoillani, toisin sanoen, jos siinä on joku

yhteiskunnallinen hyöty saavutettavissa, silloin pidän neuvojani
oikeutettuina. Jollakin täytyy olla hyötyä niistä. Mutta avioliitto teidän
kanssanne jättäisi asiat aivan entiselleen.
Violet. Monet sukulaisistani vastustaisivat paljon minun avioliittoani
sivistymättömän naisen pojanpojan kanssa, herra Malone. Se on
ehkä ennakkoluuloa, mutta sitä on myöskin teidän tahtonne naittaa
hänelle aatelisneito.
Malone (nousten ja katsoen häneen tutkivasti, mutta samalla
osoittaen aika paljon kunnioitusta vasten tahtoaankin). Te tunnutte
olevan aika suorapuheinen nuori neito.
Violet. En ymmärrä miksi minun pitäisi tulla lopen köyhäksi, siksi
etten voi hankkia hyötyä teille. Miksi tahdotte saattaa Hectorin
onnettomaksi?
Malone. Hän tulee kyllä kestämään sen. Miehet kestävät
helpommin pettymyksiä rakkaudessa kuin pettymyksiä raha-asioissa.
Arvaan että pidätte sitä surkeana, mutta minä tunnen nuo seikat.
Isäni kuoli nälkään Irlannissa synkkänä vuonna 47. Olette ehkä
kuullut sitä?
Violet. Oliko siellä katovuosi?
Malone (kiihkeällä tunteella). Ei, mutta nälkä. Kun maa on täynnä
viljaa, jota se vie muille maille, ei voi puhua katovuodesta. Isäni
kuoli nälkään, ja minut vietiin äitini sylissä nälkää näkemään
Amerikkaan. Englannin laki ajoi minut ja omaiseni pois Irlannista.
Pitäkää nyt Irlantinne. Minä ja minun kaltaiseni tulevat takaisin ja
ostavat Englannin. Me ostamme siitä parhaat osat. En tahdo mitään

keskisäädyn omaisuutta enkä keskisäädyn vaimoa Hectorille. Se on
suoraa puhetta, kuten teidänkin.
Violet (jäätävästi säälien hänen tunteellisuuttaan). Todellako, herra
Malone. Minua hämmästyttää kuulla noin vanhan ja järkevän miehen
puhuvan niin romantillisesti. Luuletteko että Englannin aatelismiehet
myyvät teille linnansa kun vain ojennatte kätenne?
Malone. Minulla on jo kaksi Englannin vanhimpia perhelinnoja
tarjolla. Toisella historiallisella omistajalla ei ole varoja pitää huoneita
kunnossa, toinen ei jaksa maksaa veroja. Mitä arvelette siitä?
Violet. Se on tietysti kovin häpeällistä. Mutta tiedättehän että
hallitus varmaan ennemmin tai myöhemmin estää tuollaiset
sosialistiset hyökkäykset omaisuutta vastaan.
Malone (irvistellen). Luuletteko että se ennättää laittaa nuo esteet
ennenkuin minä olen ostanut linnan?
Violet (jättäen sen aineen jokseenkin kärsimättömästi). Oh,
puhukaamme järkeä, herra Malone. Myönnätte kai ettemme vielä ole
sanoneet järkevää sanaakaan.
Malone. Sitä en voi myöntää. Tarkoitan mitä olen sanonut.
Violet. Sitten ette tunne Hectoria niin hyvin kuin minä. Hän on
romantillinen ja pää täynnä houreita — sen hän kai on perinyt teiltä
— ja hänellä täytyy olla sopiva vaimo, joka voi häntä hoitaa. Ei turhia
houraileva ainakaan.
Malone. Semmoinen siis kuin te, vai mitä?

Violet (tyyneesti). Niinpä kyllä. Mutta ettehän voi pyytää että
ryhdyn siihen toimeen ilman varoja, joilla voin ylläpitää hänen
asemaansa.
Malone (hämmästyneenä). So, soh, hiukan hiljemmin. Minne me
nyt joudummekaan. En ole tietääkseni pyytänyt teitä ryhtymään
mihinkään.
Violet. Tietysti, herra Malone, voitte saattaa kaiken keskustelun
mahdottomaksi, jos heti suvaitsette käsittää minut väärin.
Malone (hiukan nolona). En toki tahdo käyttää väärin valtaani,
mutta minusta tuntuu kuin olisimme joutuneet pois asiasta.
Straker, sen näköisenä kuin hän olisi kiiruhtanut kovasti, avaa
pienen portin ja päästää sisään Hectorin, joka kiehuen
suuttumuksesta astuu ruohokentälle ja suoraan isäänsä kohti. Violet,
hyvin pahoillaan, nousee ylös kiiruhtaen häntä vastaan. Straker ei
odota, ainakaan hän ei ole näkyvissä korvakuulon päässä.
Violet. Kuinka onnetonta! Hector hyvä, elä virka mitään. Mene
pois, kunnes olen lopettanut keskusteluni isäsi kanssa.
Hector (taipumatonna). Ei, Violet. Nyt aion selvittää koko asian.
(Hän työntää Violetin syrjään ja kulkee hänen ohitseen sekä tuijottaa
isäänsä, jonka kasvot alkavat tummeta, kun irlantilais-veri rupeaa
kiehahtelemaan). Isä, tuo ei ollut suoraa peliä.
Malone. Mitä tarkoitat?
Hector. Olet avannut minulle osoitetun kirjeen. Olet esiintynyt
minuna ja tunkenut tämän neidin luo. Se on kunnotonta.

Malone (uhkaavasti). Oleppas varovainen kun puhelet minulle.
Oleppas varovainen, Hector.
Hector. Olen ollut varovainen. Ja olen varovainen. Pidän varovasti
huolta kunniastani ja asemastani englantilaisessa seurapiirissä.
Malone (kuumasti). Sinun asemasi on ostettu minun rahoillani.
Ymmärrätkö sen?
Hector. Ja nyt olet turmellut sen avaamalla tuon kirjeen. Kirje
englantilaiselta neidiltä, osoitettu toiselle — salainen kirje,
arkaluontoinen kirje, yksityinen kirje! Ja isäni avaa sen! Semmoista
vastaan ei kukaan mies voi taistella Englannissa. Jota pikemmin
lähdemme pois, sitä parempi! (Hän manaa äänettömästi taivasta
todistamaan kahden hylkiön häpeätä ja kurjuutta).
Violet (vaistomaisella vastenmielisyydellä kaikkiin
tunnekohtauksiin). Elä ole järjetön Hector. Olihan luonnollista että
herra Malone avasi kirjeen, koska hänen nimensä oli kuoressa.
Malone. Siinä sen nyt kuulet, Hector. Sinulla ei ole mitään järkeä.
Kiitän teitä, neiti Robinson.
Hector. Minäkin kiitän teitä. Olette hyvin ystävällinen. Isäni ei
ymmärrä parempaa.
Malone (raivoissaan puristaen nyrkkiään). Hector —
Hector (masentumattomalla siveelliseltä voimalla). Ei maksa vaivaa
hektoroida minua. Yksityiskirje on yksityiskirje, siitä ei pääse puuhun
ei pakoon.

Malone (korottaen ääntään). Minä en siedä tuommoista puhetta,
kuuletko?
Violet. Ssh! Hiljaa, hiljaa! Tuolla palaavat kaikki.
Isä ja poika, hillittyinä, tuijottavat ääneti toisiinsa, kun Tanner
astuu Ramsdenin kanssa pienestä portista. Anna ja Octavius
seuraavat heitä.
Violet. Takaisin jo!
Tanner. Alhambra oli suljettu tänään.
Violet. Kuinka harmillista!
Tanner kulkee eteenpäin ja äkkiä huomaa seisovansa Hectorin ja
tuntemattoman vanhan herran välissä, molemmat nähtävästi
melkein tappelun partaalla. Hän katsoo toisesta toiseen hakien
selitystä. Molemmat välttävät nyrpeästi Tannerin katsetta ja hautovat
vihaansa hiljaisuudessa.
Ramsden. Onko hyvä että olet täällä päiväpaisteessa semmoisella
päänkivistyksellä, Violet?
Tanner. Joko sinä olet parantunut, Malone?
Violet. Oh, minä vallan unohdin. Ette ole tavanneet toisianne
ennen. Herra Malone, ettekö tahdo esitellä isäänne?
Hector (roomalaisella varmuudella). En. Hän ei ole isäni.
Malone (hyvin suuttuneena). Kiellätkö isäsi englantilaisten
tuttaviesi edessä?

Violet. Ah, minä rukoilen elkää panko toimeen mitään kohtausta!
Anna ja Octavius, viivytellen portin lähellä katsovat toisiinsa
hämmästyneinä ja vetäytyvät hienotuntoisesti puutarhaan, jossa he
voivat nauttia hämmingistä sekaantumatta siihen. Ohi kulkiessaan
Anna iskee silmää äänettömällä osanotolla Violetille, joka seisoo selin
pieneen pöytään katsellen avuttomalla suuttumuksella miestään,
joka leijailee yhä ylemmäksi siveellisiin korkeuksiin, välittämättä
vähääkään vanhan herrasmiehen miljoonista.
Hector. Olen kovin pahoillani, neiti Robinson, mutta minä taistelen
periaatteen puolesta. Olen poika ja toivoakseni velvollisuutensa
tunteva poika, mutta ennen kaikkea olen mies!!! Ja kun isä pitelee
yksityiskirjeitäni kuin omiaan, ja sanoo että minä en saa ottaa teitä
vaimokseni, jos kerran olen siksi onnellinen, että saan teidän
suostumuksenne, silloin näpsähytän sormiani ja menen matkoihini.
Tanner. Violet vaimoksenne!
Ramsden. Oletteko menettänyt järkenne?
Hector (huolettomasti). Oh, en välitä siitä mitä kerroitte.
Ramsden (kauhistuneena). Hyh! Kamalata! (Hän syöksyy portille,
kyynäspäät vavahtaen suuttumuksesta).
Tanner. Toinen hullu! Rakastuneet miehet olisivat teljettävät lukon
taakse. (Hän luopuu Hectorista toivottomana ja kääntyy puutarhaan,
mutta Malone, loukkaantuneena uuteen suuntaan, seuraa häntä ja
pakoittaa hänet riidanhaluisella äänellään pysähtymään).
Malone. En ymmärrä tätä. Eikö Hector muka ole kyllin hyvä tälle
neidille?

Tanner. Hyvä herra, tämä neiti on jo naimisissa ja Hector tietää
sen, mutta siitä huolimatta hän ei luovu mielettömyydestään. Viekää
hänet kotiin ja pankaa lukon taakse.
Malone (katkerasti). Siis tällaisen ylhäisen yhteiskunnallisen
aseman olen turmellut tietämättömyydelläni ja sopimattomalla
käytökselläni! Liehakoimassa toisen vaimoa siis! (Hän astuu
suuttuneena Hectorin ja Violetin väliin ja melkein ulvoo seuraavat
sanat Hectorin korvaan). Sinä olet siis oppinut Englannin ylhäisön
tapoja, eikö niin?
Hector. Rauhoittukaa! Minä vastaan kyllä itse tapojeni
siveellisyydestä.
Tanner (astuen Hectorin oikealle puolelle säkenöivin silmin). Hyvin
sanottu, Malone! Sinä näet siis että avioliittolait eivät ole samaa kuin
siveellisyys. Olen samaa mieltä, mutta ikävä kyllä Violet ei ole.
Malone. Uskallan epäillä sitä, hyvä herra. (Kääntyen Violetiin).
Sallikaa minun sanoa teille rouva Robinson, vai mikä lieneekään
oikea nimenne, että teillä ei ollut mitään oikeutta lähettää tätä
kirjettä pojalleni, koska olette toisen miehen vaimo.
Hector (raivoissaan). Nyt on mitta täysi. Isä, sinä olet loukannut
minun vaimoani.
Malone. Sinun vaimoasi!
Tanner. Sinäkö siis olet se kadonnut aviomies! Toinen siveellinen
petturi! (Hän lyö otsaansa ja vaipuu Malonen tuolille).
Malone. Olet mennyt naimisiin ilman minun suostumustani!

Ramsden. Olette tieten tahtoen pettänyt meitä, hyvä herra!
Hector. Kas niin. Olen kuullut vallan tarpeeksi soimauksia jo. Violet
ja minä olemme naimisissa ja sillä hyvä. Sanokaa nyt sanottavanne
jokainen.
Malone. Minä kyllä sanon sanottavani. Hän on ottanut miehekseen
kerjäläisen.
Hector. Eipäs, vaan työmiehen! (Hänen amerikkalainen
ääntämisensä antaa tuolle sanalle tavattoman vaikuttavan sävyn).
Minä alan tehdä työtä elatuksekseni vielä tänä päivänä!
Malone (irvistäen vihaisesti). Helppohan sinun on alkaa, kun lienet
eilen tai tänä aamuna saanut vekselin minulta. Odotahan kunnes
olet sen tuhlannut. Silloin ehkä röyhkeytesi laimentuu.
Hector (vetää esiin kirjeen lompakostaan). Tässä se on. (Heittää
sen isälleen). Vie nyt vekselisi ja itsesi myös pois elämästäni. En
välitä vekseleistäsi enkä itsestäsi. En myy kenellekään oikeutta
loukata vaimoani tuhannesta dollarista.
Malone (syvästi loukkaantuneena ja täynnä levottomuutta).
Hector, sinä et tiedä mitä köyhyys on.
Hector (kiihkeästi). Tahdon oppia tietämään. Tahdon olla mies.
Violet, tule kanssani omaan kotiisi. Minä pidän sinusta huolen.
Octavius (hypäten puutarhasta ruohokentälle ja juosten Hectorin
vasemmalle puolelle). Anna minun puristaa kättäsi ennenkuin menet,
Hector. Ihaelen ja kunnioitan sinua enemmän kuin voin sanoa. (Hän
on liikutettu melkein kyyneliin puristaessaan Hectorin kättä).

Violet (myöskin miltei kyynelissä, mutta harmista). Oh, elä ole
idiootti, Tavy. Hector on juuri yhtä kykenevä työmieheksi kuin
sinäkin.
Tanner (nousten tuolilta toisella puolen Hectoria). Olkaa huoleti,
Hectorin ei tarvitse ruveta maata kuokkimaan, rouva Malone.
(Hectorille). Ei ole hätääkään pääomasta, jolla voit alottaa. Pidä
minua ystävänäsi ja käytä luottoani.
Octavius (tunteellisesti). Ja minun myöskin.
Malone (kiihkeällä mustasukkaisuudella). Kuka teidän mokomia
rahojanne tarvitsee? Miksi hän käyttäisi kenenkään muun luottoa
kuin oman isänsä? (Tanner ja Octavius vetäytyvät pois, Octavius
hiukan loukkaantuneena, Tanner rauhallisena, koska raha-asiat
selvisivät. Violet katsoo ylös toivokkaana). Hector poikaseni, elä ole
noin äkkipikainen. Olen pahoillani sanoistani. En tarkoittanut loukata
Violetia. Peräytän joka sanan. Hän on juuri sopiva puoliso sinulle.
Hector (taputtaa häntä olalle). Hyvä on, isä ukko. Ollaan ystäviä
taas. Mutta rahaa en huoli keltään.
Malone (rukoillen nöyrästi). Elä ole kova minulle Hector. Soisin
mieluummin että riitelisit kanssani ja ottaisit rahani, kuin että rupeat
ystäväksi ja näet nälkää. Et tiedä millainen maailma on, mutta minä
sen tiedän.
Hector. En, en, en! Se asia on päätetty eikä muutu. (Hän kulkee
isänsä ohi Violetin luo). Kas niin, rouva Malone, nyt lähdet kanssani
hotelliin ja otat oikean paikkasi maailmankin nähden.

Violet. Mutta minun täytyy ensin käskeä Davista pakkaamaan
tavaroitani, kultaseni. Menehän nyt edellä ja koeta saada minulle
huone, jonka ikkunat ovat puutarhaan päin. Puolen tunnin perästä
tulen.
Hector. Hyvä on! Syöthän päivällistä kanssamme isä?
Malone (kiihkeänä sopimaan). Tietysti, tietysti.
Hector. Tavataan kaikki myöhemmin. (Hän huojuttaa kättään
Annalle, joka nyt on Tannerin, Octaviuksen ja Ramsdenin kanssa
puutarhassa, ja menee ulos pienestä portista jättäen isänsä ja
Violetin ruohokentälle).
Malone. Koetathan saada häntä järkiinsä, Violet? Tiedän että
koetat.
Violet. En aavistanut että hän voi olla noin itsepäinen. Ellei hän
taivu, niin minkä minä voin?
Malone. Elä masennu. Taloudelliset huolet ovat ehkä hitaita, mutta
varmoja. Kyllä hän myöntyy. Lupaa että koetat tehdä minkä voit.
Violet. Koetan parastani. Tietysti on sulaa hulluutta ruveta tuolla
lailla köyhäksi tieten tahtoen.
Malone. Tietysti.
Violet (hetken mietittyään). Ehkä olisi paras antaa se vekseli
minulle. Hän tarvitsee sen hotellilaskuunsa. Koetan saada häntä
ottamaan sen. Ei vielä tietysti, mutta myöhemmin.

Malone (kiihkeästi). Kyllä, kyllä, kyllä. Tässä se on. (Hän antaa
Violetille tuhannen dollarin vekselin ja lisää viekkaasti). Tämä tietysti
vain oli laskettu poikamiehelle, ymmärräthän.
Violet (kylmästi). Tietysti. (Hän ottaa vekselin). Kiitos. Ohimennen,
herra Malone, nuo linnat, joista mainitsitte —
Malone. Niin?
Violet. Elkää valitko vielä, ennenkuin minä olen ne nähnyt. Sitä ei
koskaan tiedä, mikä niissä voisi olla vikana.
Malone. Enhän toki. En tee mitään kysymättä neuvoa sinulta, se
on varma.
Violet (kohteliaasti, muutta ilman vähintäkään kiitollisuutta). Kiitos.
Se onkin parasta. (Hän menee tyynesti huvilaan ja Malone seuraa
häntä alamaisesti puutarhaan asti).
Tanner (huomauttaen Ramsdenille Malonen alamaista käytöstä,
kun hän sanoo hyvästi Violetille). Ja tuo mies rukka on biljonääri!
Aikamme mahtavimpia! Alentuu rakkina juoksemaan ensimäisen
tytön perässä, joka suvaitsee ylenkatsoa häntä! Noinkohan minunkin
käy? (Hän astuu alas ruohokentälle).
Ramsden (seuraten häntä). Sitä parempi jota pikemmin niin käy.
Malone (lyöden käsiään yhteen palatessaan puutarhan läpi). Siinä
on kerrassa komea rouva Hectorille. En vaihtaisi häntä kymmeneen
herttuattareen. (Hän astuu ruohokentälle Tannerin ja Ramsdenin
väliin).

Ramsden (hyvin kohteliaana biljonäärille). Odottamaton ilo nähdä
teidät tässä maailman kolkassa, herra Malone. Oletteko tullut
ostamaan Alhambraa?
Malone. Eipä se olisi hullumpaa. Ainakin osaisin sitä käyttää
paremmin kuin Espanjan hallitus. Mutta siitä syystä en ole tullut.
Totta puhuen kuulin kuukausi sitten kuinka kaksi miestä väittelivät
osake-tukosta. He eivät sopineet hinnasta, molemmat olivat nuoria
ja ahneita, eivätkä tienneet että jos osakkeet olivat sen arvoiset,
mitä niistä tarjottiin, ne myöskin olivat sen arvoiset, mitä niistä
pyydettiin, sillä hintaero oli liian pieni merkitäkseen mitään.
Huvikseni menin väliin ja ostin koko tukon. Tähän päivään asti en ole
saanut selville mikä liike se on. Pääkonttori on tässä kaupungissa ja
nimi on Mendoza, osakeyhtiö. Mutta lieneekö Mendoza kaivos, vai
höyrylaivalinja, vai pankki, vai patentti-kone —
Tanner. Hän on mies. Minä tunnen hänet. Hänen periaatteensa
ovat täysin kauppakannalla. Emmekö lähde kaupungille moottorillani,
herra Malone, niin voimme pistäytyä hänen luonaan?
Malone. Paljon kiitoksia. Mutta saanko kysyä kuka —
Tanner. Herra Roebuck Ramsden, miniänne hyvin vanha ystävä. —
Malone. Hauska tutustua teihin, herra Ramsden.
Ramsden. Kiitos. Herra Tanner kuuluu myöskin meidän piiriimme.
Malone. Hauska tutustua teihinkin, herra Tanner.
Tanner. Kiitos. (Malone ja Ramsden menevät hyvin hyvinä ystävinä
pienestä portista. Tanner kutsuu Octaviusta, joka kävelee
puutarhassa Annan kanssa). Tavy! (Tavy tulee portaille, Tanner

kuiskaa hänelle äänekkäästi). Violet on mennyt naimisiin rosvojen
pankkiirin pojan kanssa. (Tanner kiiruhtaa pois Ramsdenin ja
Malonen jälkeen. Anna tulee portaille ja hänen päähänsä juolahtaa
kiusata Octaviusta).
Anna. Etkö mene heidän kanssaan, Tavy?
Octavius (kyyneleet äkkiä nousten silmiin). Sinä haavoitat
sydäntäni, kun tahdot minua poistumaan (hän astuu alas
ruohokentälle peittääkseen kasvojaan Annalta).
Anna (seuraa häntä hellitellen). Pikku Ricky Ticky Tavy! Sydän
raukka!
Octavius. Se on sinun, Anna. Anna anteeksi, mutta minun täytyy
puhua siitä. Minä rakastan sinua. Tiedäthän että rakastan sinua.
Anna. Mitä se hyödyttää, Tavy. Tiedäthän että äiti tahtoo naittaa
minut Jackille.
Octavius (hämmästyneenä). Jackille!
Anna. Niin. Eikö se tunnu hullulta?
Octavius (kasvavalla vastenmielisyydellä). Onko siis Jack koko ajan
pitänyt minua narrinaan? Siitäkö syystä hän muka on neuvonut
minua välttämään sinua, että hän itse aikoo naida sinut?
Anna (säikähtäen). Ei, ei, et suinkaan saa sanoa hänelle että olen
siitä sinulle kertonut. En usko hetkeäkään, että Jack tietää oman
mielensä. Mutta isän testamentista näkee selvään että hän tahtoi
naittaa minut Jackille. Ja äiti on sen varmasti päättänyt.

Octavius. Mutta ei suinkaan sinun aina täydy uhrautua
vanhempiesi toiveille.
Anna. Isäni rakasti minua. Äitini rakastaa minua. Epäilemättä
heidän toiveensa ovat minulle varmempana ohjeena kuin oma
itsekkäisyyteni.
Octavius. Voi Anna, minä tiedän kuinka epäitsekäs sinä olet. Mutta
usko minua — vaikka puhunkin omasta puolestani — asialla on
toinenkin puoli. Onko oikein Jackia kohtaan että otat hänet ellet
rakasta häntä? Ja onko oikein että säret oman onnesi ja minun, jos
voisit oppia minua rakastamaan?
Anna (katsellen häntä pienellä säälillä). Tavy rakas, sinä olet
herttainen olento — hyvä poika.
Octavius (nöyryytettynä). Eikö muuta?
Anna (veitikkamaisesti huolimatta säälistään). Se on aika paljon.
Sen vakuutan. Sinä kai aina tulisit jumaloimaan sitä maatakin, jonka
päällä astun?
Octavius. Se on totta. Se kuuluu naurettavalta, mutta se ei ole
liioiteltua. Minä jumaloin sitä ja tulen aina jumaloimaan.
Anna. Aina on ankara sana, Tavy. Katsoppas minun täytyisi aina
koettaa ylläpitää sinun jumaluuskäsitteitäsi minusta, enkä luule että
jaksaisin, jos menisimme naimisiin. Mutta jos menen naimisiin Jackin
kanssa, et koskaan tule pettymään — et ainakaan ennenkuin tulen
liian vanhaksi.
Octavius. Minäkin tulen vanhaksi Anna. Kun olen 80-vuotias, niin
yksi ainoa valkoinen hiuskarva lemmen naisen suortuvasta saa minut

Welcome to our website – the perfect destination for book lovers and
knowledge seekers. We believe that every book holds a new world,
offering opportunities for learning, discovery, and personal growth.
That’s why we are dedicated to bringing you a diverse collection of
books, ranging from classic literature and specialized publications to
self-development guides and children's books.
More than just a book-buying platform, we strive to be a bridge
connecting you with timeless cultural and intellectual values. With an
elegant, user-friendly interface and a smart search system, you can
quickly find the books that best suit your interests. Additionally,
our special promotions and home delivery services help you save time
and fully enjoy the joy of reading.
Join us on a journey of knowledge exploration, passion nurturing, and
personal growth every day!
ebookbell.com

Functional Equations On Hypergroups Laszlo Szekelyhidi

About This Presentation

Slide Content

Tags

Categories

Download

Quick Actions

Statistics

Related Slideshows

Functional Equations On Hypergroups Laszlo Szekelyhidi

About This Presentation

Slide Content

Slide 1

Slide 2

Slide 3

Slide 6

Slide 7

Slide 8

Slide 9

Slide 10

Slide 11

Slide 12

Slide 13

Slide 14

Slide 15

Slide 16

Slide 17

Slide 18

Slide 19

Slide 20

Slide 21

Slide 22

Slide 23

Slide 24

Slide 25

Slide 26

Slide 27

Slide 28

Slide 29

Slide 30

Slide 31

Slide 32

Slide 33

Slide 34

Slide 35

Slide 36

Slide 37

Slide 38

Slide 39

Slide 40

Slide 41

Slide 42

Slide 43

Slide 44

Slide 45

Slide 46

Slide 47

Slide 48

Slide 49

Slide 50

Slide 51

Slide 52

Slide 53

Slide 54

Slide 55

Slide 56

Slide 57

Slide 58

Slide 59

Slide 60

Slide 61

Slide 62

Slide 63

Slide 64

Slide 65

Slide 66

Slide 67

Slide 68

Slide 69

Slide 70

Slide 71

Slide 72

Slide 73

Slide 74

Slide 75

Slide 76

Slide 77

Slide 78

Slide 79