Fundamentals Of Gas Dynamics Howard W Emmons

Fundamentals Of Gas Dynamics Howard W Emmons
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FUNDAMENTALS OF
GAS DYNAMICS

BOARD OF EDITORS
THEODORE VON KARMXN, Chairman
HUGH L. DRTDEN
HUGH S. TAYLOR
COLEMAN DUP. DONALDSON, General Editor, 1956-
Associate Editor, 1955-1956
JOSEPH V. CHARYK, General Editor, 1952-1956
Associate Editor, 1949-1952
MARTIN SUMMERFIELD, General Editor, 1949-1952
RICHARD S. SNEDEKER, Associate Editor, 1955-
I. Thermodynamics and Physics of Matter. Editor: F. D. Rossini
II. Combustion Processes. Editors: B. Lewis, R. N. Pease, H. S. Taylor
III. Fundamentals of Gas Dynamics. Editor: H. W. Emmons
IV. Theory of Laminar Flows. Editor: F. K. Moore
V. Turbulent Flows and Heat Transfer. Editor: C. C. Lin
VI. General Theory of High Speed Aerodynamics. Editor: W. R. Sears
VII. Aerodynamic Components of Aircraft at High Speeds. Editors:
A. F. Donovan, H. R. Lawrence
VIII. High Speed Problems of Aircraft and Experimental Methods.
Editors: A. F. Donovan, H. R. Lawrence, F. Goddard, R. R.
Gilruth
IX. Physical Measurements in Gas Dynamics and Combustion.
Editors: R. W. Ladenburg, B. Lewis, R. N. Pease, H. S. Taylor
X. Aerodynamics of Turbines and Compressors. Editor: W. R.
Hawthorne
XI. Design and Performance of Gas Turbine Power Plants. Editors:
W. R. Hawthorne, W. T. Olson
XII. Jet Propulsion Engines. Editor: Ο. E. Lancaster

VOLUME III
HIGH SPEED AERODYNAMICS
AND JET PROPULSION
FUNDAMENTALS
OF
GAS DYNAMICS
EDITOR: HOWARD W. EMMONS

COPYRIGHT, 1958, BY PRINCETON UNIVERSITY PRESS
London: OXFORD UNIVERSITY PRESS
L. c. CARD 57-6331
Reproduction, translation, publication, use, and dis
posal by and for the United States Government and its
officers, agents, and employees acting within the scope
of their official duties, for Government use only, is per
mitted. At the expiration of ten years from the date of
publication, all rights in material contained herein first
produced under contract Nonr-03201 shall be in the
public domain.
PRINTED IN THE UNITED STATES OF AMERICA BY
THE MAPLE PRESS COMPANY, INC., YORK, PENNA.

FOREWORD
On behalf of the Editorial Board, I would like to make
an acknowledgement to those branches of our military
establishment whose interest and whose financial sup
port were instrumental in the initiation of this publi
cation program. It is noteworthy that this assistance
has included all three branches of our Services. The
Department of the Air Force through the Air Re
search and Development Command, the Department
of the Army through the Office of the Chief of Ord
nance, and the Department of the Navy through the
Bureau of Aeronautics, Bureau of Ships, Bureau of
Ordnance, and the Office of Naval Research made
significant contributions. In particular, the Power
Branch of the Office of Naval Research has carried
the burden of responsibilities of the contractual ad
ministration and processing of all manuscripts from
a security standpoint. The administration, operation,
and editorial functions of the program have been
centered at Princeton University. In addition, the
University has contributed financially to the support
of the undertaking. It is appropriate that special
appreciation be expressed to Princeton University
for its important over-all role in this effort.
The Editorial Board is confident that the present
series which this support has made possible will have
far-reaching beneficial effects on the further develop
ment of the aeronautical sciences.
Theodore von Kdrmdn

PREFACE
Rapid advances made during the past decade on problems associated
with high speed flight have brought into ever sharper focus the need for a
comprehensive and competent treatment of the fundamental aspects of
the aerodynamic and propulsion problems of high speed flight, together
with a survey of those aspects of the underlying basic sciences cognate to
such problems. The need for a treatment of this type has been long felt in
research institutions, universities, and private industry and its potential
reflected importance in the advanced training of nascent aeronautical
scientists has also been an important motivation in this undertaking.
The entire program is the cumulative work of over one hundred
scientists and engineers, representing many different branches of engi
neering and fields of science both in this country and abroad.
The work consists of twelve volumes treating in sequence elements of
the properties of gases, liquids, and solids; combustion processes and
chemical kinetics; fundamentals of gas dynamics; viscous phenomena;
turbulence; heat transfer; theoretical methods in high speed aero
dynamics; applications to wings, bodies and complete aircraft; nonsteady
aerodynamics; principles of physical measurements; experimental
methods in high speed aerodynamics and combustion; aerodynamic
problems of turbomachines; the combination of aerodynamic and com
bustion principles in combustor design; and finally, problems of complete
power plants. The intent has been to emphasize the fundamental aspects
of jet propulsion and high speed aerodynamics, to develop the theoretical
tools for attack on these problems, and to seek to highlight the directions
in which research may be potentially most fruitful.
Preliminary discussions, which ultimately led to the foundation of
the present program, were-held in 1947 and 1948 and, in large measure, by
virtue of the enthusiasm, inspiration, and encouragement of Dr. Theodore
von Kdrmdn and later the invaluable assistance of Dr. Hugh L. Dryden
and Dean Hugh Taylor as members of the Editorial Board, these dis
cussions ultimately saw their fruition in the formal establishment of the
Aeronautics PubUcation Program at Princeton University in the fall of
1949.
The contributing authors and, in particular, the volume editors, have
sacrificed generously of their spare time under present-day emergency
conditions where continuing demands on their energies have been great.
The program is also indebted to the work of Dr. Martin Summeriield who
guided the planning work as General Editor from 1949-1952. The cooper
ation and assistance of the personnel of Princeton University Press and
of the staff of this ofEce has been noteworthy. In particular, Mr. H. S.

PREFACE TO VOLUME III
Bailey, Jr., the Director of the Press, and Mr. R. S. Snedeker, who has
supervised the project at the Press and drawn all the figures, have been
of great help. Special mention is also due Mrs. E. W. Wetterau of this
office who has handled the bulk of the detailed editorial work for the
program.
Coleman duP. Donaldson
Joseph V. Charyk
General Editors
PREFACE TO VOLUME III
Gas dynamics as a branch of physics and applied mathematics has grown
with the growth of high speed flight. In this volume the fundamentals of
gas dynamics are developed and then applied to the flow through nozzles
and passages, to shock phenomena of various kinds, to condensation
effects, to flames and detonations, and to the flow of rarefied gases.
The enormous rate of development of gas dynamics has caused some
delay in publication date. The outstanding contributors to this volume
were so busy developing new areas that only little time was obtainable to
write up the present state of knowledge.
Several authors have, besides writing the original manuscript, spent
time, just prior to publication, in bringing their manuscripts up to date.
The move of Professor Tsien from California Institute of Technology to
China has made communication in the final stages rather slow. The move
of Kantrowitz from Cornell to AVCO has so increased his work load that a
manuscript revision since the 1952 version has not been possible.
Special thanks are due ONR London for providing the time for Pro
fessor Hayes to complete his assignment which had been enlarged as the
work progressed. Although Section G, Chapter 3 on detonations was
written in rough draft form by Professor G. I. Taylor, the press of other
work prevented its completion and the considerable effort of Richard
Tankin in completing this part warranted his inclusion as junior author.
Section H on rarefied gas flow while originally prepared for Volume IV
was ready so much before the remainder of that volume and, in fact, forms
such an obvious extension of gas dynamics into some of the latest prob
lems that it was added as a most appropriate concluding section.
Initially Professor Crocco served as volume editor and thus launched
the volume through its initial stages. I served as volume editor through
its manuscript and proof stages. I know I speak for Professor Crocco as
well as for myself as I express appreciation for the fine cooperation of all
the authors, the General Editor, and the Princeton University Press.
Howard W. Emmons
Volume Editor

CONTENTS
A. Tbe Equations of Gas Dynamics 3
H. S. Tsien, Institute of Mechanics, Academia Sinica, Peking,
China
1. Introduction 3
2. Basic Equations 4
3. Viscous Stresses and Heat Flux 12
4. Integral Forms of Basic Equations 16
5. Similarity and Flow Parameters 20
6. Ideal Gas 25
7. Diabatic Flow of an Ideal Gas. Circulation and Vorticity 27
8. Adiabatic Flow of an Ideal Gas. Bernoulli Equation 34
9. Irrotational Flows. Velocity Potential 36
10. Variational Method for Irrotational Flows 38
11. Adiabatic Steady Flows 41
12. Two-Dimensional Steady Isoenergetic Flows. Stream Func
tions 45
13. Two-Dimensional Steady Irrotational Flows. Hodograph
Transformation 51
14. Deviations from the Perfect Gas Law 54
15. Expression of the Equations of Motion in General Orthogonal
Coordinates 57
16. Cited References 63
B. One-Dimensional Treatment of Steady Gas Dynamics 64
Luigi Crocco, Department of Aeronautical Engineering,
Princeton University, Princeton, New Jersey
1. Meaning of the One-Dimensional Approach 64
2. Thermodynamics of the Working Substance 66
3. The Laws of Conservation 94
4. Uniform Flow. Particular Cases 100
5. Shock Waves and Pseudo-Shocks in Ducts 110
6. Flow in Ideal Nozzles 130
7. Flow in Real Nozzles 142
8. Operation of Incorrectly Expanded Nozzles. Thrust 158
9. Flow in Diffusers 171
10. Long Ducts with Friction 192
11. FlowwithHeatExchangesorChemicalReactions 205
12. Flow with Heat Transfer and Friction 221
13. Effect of Variability of Specific Heats and Gas Imperfections 228

CONTENTS
14. More General Types of Flow 255
15. Flows with Piecewise Uniformity 272
16. Validity of the Uniformity Assumption 293
17. Some General Properties of Nonuniform Flows 309
18. Cited References 348
C. One-Dimensional Treatment of Nonsteady Gas Dynamics 350
Arthur R. Kantrowitz, AVCO ResearchLaboratory, Everett,
Massachusetts
1. Introduction 350
2. Fundamental Equations 351
3. Acoustic Waves 354
4. Plane Isentropic Waves of Large Amplitude 357
5. Shock Waves. Approximations for Weak Shocks 364
6. Propagation of Simple Waves Containing Weak Shocks 370
7. Formation and Stability of Normal Shock Waves in Steady
Channel Flows 377
8. Very Intense Explosions and Implosions 392
9. General Problems. Numerical Integration Along Character
istics 398
10. Application of Pressure Waves in Heat Engines 411
11. Cited References and Bibliography 413
D. The Basic Theory of Gasdynamic Discontinuities 416
Wallace D. Hayes, Department of Aeronautical Engineering,
Princeton University, Princeton, New Jersey
1. Basic Relations in a Normal Discontinuity 417
2. The Normal Shock Wave 428
3. Exothermic Discontinuities 433
4. Internal Stability Considerations 442
5. Navier-Stokes Shock Structure 448
6. Navier-Stokes Structure of Exothermic Discontinuities 467
7. The Physics of Shock Waves 476
8. Cited References 480
E. Shock Wave Interactions 482
H. Polachek, Navy Department, David Taylor Model Basin,
Washington, D.C.
Raymond J. Seeger, National Science Foundation, Washing
ton, D.C.
1. Introduction 482
2. Step-Shock Model 482

CONTENTS
3. Normal Reflection of a Step-Shock at a Rigid Wall 488
4. One-Dimensional Interactions 491
5. Oblique Reflection of a Step-Shock at a Rigid Wall 494
6. Refraction of Shocks in Gases 504
7. Aerothermodynamic Shock Waves in Gases 519
8. Particle Models of the Continuum 522
9. Cited References and BibUography 522
F. Condensation Phenomena in High Speed Flows 526
H. Guyford Stever, Department of Aeronautical Engineering,
Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, Massa
chusetts
1. Introduction 526
2. Properties of Condensing Vapors 529
3. The Kinetics of Condensation 536
4. Condensation in Flowing Vapor 548
5. Experimental Techniques 558
6. Experimental Results 564
7. Correlation of Experiment and Theory 568
8. Cited References 572
G. Gas Dynamics of Combustion and Detonation 574
Th. von Kdrmiin, Advisory Group for Aeronautical Research
and Development, Paris, France
Howard W. Emmons and Richard S. Tankin, Division of Engi
neering and Applied Physics, Harvard University, Cambridge,
Massachusetts
Geoffrey I. Taylor, Trinity College, Cambridge University,
Cambridge, England
Chapter 1. Aerothermodynamic Problems of Combustion
1. General Aspects of the Combustion Problem 574
Chapter 2. Flow Discontinuities Associated with Combustion
2. Theory of the Flame Front 584
3. The Flame Front as a Discontinuity 593
4. The Normal Flame Front 595
5. Properties of a Normal Flame Treated as a Discontinuity 599
6. The Oblique Plane Flame Front 602
7. General Flame Fronts 606

CONTENTS
8. Steady Flames 611
9. Stability of Flames 616
Chapter 3. Gas Dynamical Aspects of Detonation
10. The Chapman-Jouguet Theory of Detonation 622
11. Transformation from Deflagration to Detonation 645
12. Spherical Detonation 656
13. Spinning Detonation in Gaseous Mixtures 673
14. Solid and Liquid Explosives 677
15. Cited References 685
H. Flow of Rarefied Gases 687
Samuel A. Schaaf, Department of Mechanical Engineering,
University of California, Berkeley, California
Paul L. Chambre, Department of Mathematics, University of
California, Berkeley, California
Chapter 1. Introduction
1. Introduction 687
2. Flow Regimes 688
Chapter 2. Free Molecule Flow
3. Introduction 692
4. Reflected Molecules 693
5. Free Molecule Flow Heat Transfer 695
6. Heat Transfer Characteristics of Typical Bodies in Free Mole
cule Flow 698
7. Aerodynamic Forces in Free Molecule Flow 701
8. Aerodynamic Force Characteristics of Typical Bodies in Free
Molecule Flow 703
9. Nonuniform, Unsteady, and Surface-Interacting Free Mole
cule Flows 705
10. Transition Regime Calculations 708
Chapter 3. Slip Flow
11. Introduction 709
12. The Thirteen Moment and Burnett Equations 710
13. Difficulties Associated with the Thirteen Moment and Burnett
Equations 715
14. Slip Velocity and Temperature Jump Boundary Conditions 718

CONTENTS
Chapter 4- Experimental Results in Slip Flow and Transition Regimes
15. Introduction 719
16. Couette Flow 720
17. Spheres 722
18. Cylinders 727
19. Flat Plates 729
20. Cones 731
21. Base Pressure 735
22. Cited References 736
Index 741

FUNDAMENTALS OF
GAS DYNAMICS

SECTION A
• I W
THE EQUATIONS OF GAS DTMAMICS
H. g. TSIEN
A,l. Introduction. The information needed by design engineers of
either aircraft or flow machinery is the pressure, the shearing stress, the
temperature, and the heat flux vector imposed by the moving fluid over
the surface of a specified solid body or bodies in a fluid stream of specified
conditions. To supply this information is the main purpose of the dis
cipline of gas dynamics. The description of the state of fluid is generally
considered to be complete if, in addition to the above information, the
velocity vector and the density of the fluid are specified. The problem of
gas dynamics is then completely solved if all these quantities are deter
mined for every point of the specified spatial region and every time
instant of the specified interval. It is the purpose of this section to for
mulate the general problem and to supply the equations for the analysis.
However, before going into the detailed analysis, it is appropriate to
compute an all-important quantity in gas dynamics, namely the speed of
propagation of small disturbances. This speed is often called the velocity
of sound. Since the presence of a body in a stream of fluid creates dis
turbances in the fluid, it is to be expected that the characteristics of the
flow field are determined to a large extent by the ratio of the average
speed of motion to the speed of sound. In fact, flow problems are divided
into four categories by this ratio alone: subsonic flows when the fluid
speed is less than the sound speed, transonic flows when the fluid speed is
comparable with the sound speed, supersonic flows when the fluid speed
is larger than the sound speed, and finally hypersonic flows when the
fluid speed is much larger than the sound speed.
To compute the speed of propagation of small disturbances, consider
a uniform flow from left to right crossing a small discontinuity. The
position of the discontinuity is held fixed, and the flow field is then steady,
i.e. invariant with respect to time. By crossing the discontinuity, the
fluid velocity is increased from u to u + du, the density from ρ to ρ + dp,
and the pressure from ρ to ρ + dp. Consider now a stream tube of unit
cross-sectional area. Then since no fluid mass is created by passing the
discontinuity,
pu = (p + dp){u + du) (1-1)

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
The increase in momentum in crossing the discontinuity must be balanced
by the increase in pressure acting on the fluid. Therefore
(p + dp)(u + du)2 — pu2 — —dp (1-2)
From Eq. 1-1 and 1-2, one has by taking only first order differentials
U dp
It is evident that for an observer moving with the fluid, the fluid is at
rest but the disturbance moves with a speed u. Thus u is really the speed
of propagation of small disturbances, or sound speed. Denote the sound
speed by a, then
=I "-3'
Eq. 1-3 gives the sound speed whenever the relation between pressure
and density is known. For incompressible fluids, the sound speed is in
finite, because the pressure φ can change but density ρ cannot. Since the
propagation of disturbance cannot involve the creation or destruction of
energy, the process must be adiabatic. In fact, the proper pressure-density
relation is the isentropic relation. For a perfect gas, i.e. for gas in which in
teractions between its constituent molecules can be completely neglected,
as is true for most gases under ordinary temperatures and pressures,
ψ = r? (1-4)
dp ρ
where y is the ratio of specific heats. Therefore the calculation of velocity
of sound is very simple, namely
a2 = y- (1-5)
P
A,2. Basic Equations. Let the coordinates of a point in the Cartesian
system be denoted by Xi where i = 1, 2, 3. The components of velocity
of the fluid at X1 and the time instant t are Ui where i = 1, 2, 3. The density
and the temperature are denoted by ρ and T. The temperature of the fluid
is the temperature that would be measured by a thermometer of neg
ligible time lag moving with the fluid. The heat flux vector, i.e. the
quantity of heat flow through a unit area in one unit of time, is Qi (i =
1, 2, 3).
The stresses in the fluid can be represented as intensity of forces
acting in various directions on different surfaces of an elementary volume.
Fig. A,2a gives such a representation for an elementary cube of sides
dxi, dx2) dx3. In particular iru is the tensile force per unit area or tensile
stress in the direction of the X1 axis acting on the face perpendicular to

A,2 • BASIC EQUATIONS
the axis. is the shear force per unit area or shear stress in the direc-
tion of Xi axis acting on the face perpendicular to the axis. In general
then, is the stress in the direction of the axis acting on a face perpen-
dicular to the axis, and the group of nine quantities is simply called the
stress tensor (see IV,B). There are, of course, two faces of the elementary
cub
e perpendicular to the same axis. For instance, perpendicular to the
axis, there is a face at and another face at If the stresses
( 5 )

A • EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
are functions of position, at the left face they are but at the
right face the stresses are
A similar situation exists for other pairs of faces of
the elementary cube.
Now compute the components of the resultant force due to these
stress systems. The component in the direction is
The last expression adopts the "summation convention," i.e. whenever
an "index" or subscript is repeated in one term, the term is summed
ove
r that index. The i components of the resultant force due to stresses
ar
e then
These components of the resultant force are balanced by the body forces
and the inertia forces of the fluid mass. It is evident, however, that such
bod
y forces and inertia forces for an elementary cube must be proportional
to the volume of the cube or otherwise such forces cannot be
in equilibrium with the resultant of the stresses. Actually, of course, this
condition is fulfilled by the fact that body forces and the inertia forces
are proportional to the mass in the elementary cube, and the mass is
Before setting up this equilibrium equation, consider the
equilibriu
m of the moment of forces. Take the elementary cube again,
and compute the moment of forces about an axis parallel to the axis.
The moments due to body forces and inertia forces will be proportional
to the volume of the cube multiplied by or or a differential of
fourth order. Fig. A,2a then shows that for equilibrium of moments about
a
n axis parallel to the axis and passing through
terms of fourth order
Therefore
or in general
(2-1)
This result, a consequence of equilibrium of moments, is universally
true, and shows that the stress tensor now has only six independent com-
ponents. Such a tensor is called a symmetric tensor.
( 6 )

A,2 • BASIC EQUATIONS
It is customary to define a thermodynamic pressure p such that p, p,
and T satisfy the equation of state of the fluid concerned.
(2-2)
This equation of state is that determined under static conditions. The
"viscous stress tensor" is then defined as
(2-3)
where are the Kronecker deltas defined by
(2-4)
Since when Eq. 2-1 shows that Therefore is
also a symmetric tensor. A nonviscous fluid is a fluid for which is iden-
tically zero. The underlying physical concept for this separation of hydro-
static pressure p and the viscous tensor is discussed in the next article.
Consider the elementary cube with sides The net flux of
matter out of the cube per unit time is
If the matter is conserved as should be the case, then the density of fluid
in this cube must change with respect to time, i.e.
Therefore the equation for the conservation of mass, or the equation of
continuity is
(2-5)
Here again the summation convention is adopted. Thus
By using similar methods of computation, the net increase in the i
component of the momentum per unit volume per unit time is
This increase in momentum is made possible by the net forces acting on
the matter contained in the elementary cube. These come from two
sources. If Xj are the components of forces per unit mass due to external
< 7 )

A • EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
sources, then one part of the accelerating forces is The other part
comes from the stress tensor As computed previously the net i com-
ponent of force per unit volume is
due to symmetry of the tensor Therefore the dynamic equations
which state that the net increase in the i component of the momentum
per unit volume per unit time must equal the i component of the force
per unit volume, are
(2-6)
By expanding the terms on the left and then using the equation of con-
tinuity (Eq. 2-5), Eq. 2-6 can also be written as
(2-7)
If the viscous stress tensor is introduced, then Eq. 2-6 and 2-7 become
(2-8)
and
(2-9)
Eq. 2-6 to 2-9 are four forms of the dynamic equations.
In Eq. 2-7 and 2-9, the left sides are the acceleration of the fluid
particles computed by following the fluid, i.e. the actual acceleration of
the fluid. To show that this is correct, consider any quantity at
tim
e instant t and space point For an observer who moves with the
fluid, at the time instant the coordinate of the space point will be
For this observer then, the rate of change of the quantity / with
respect to time is
Thus if the time differentiation by following the fluid particles is denoted
by D/Dt, then
(2-10)
If e is the internal energy of the fluid per unit mass, then increase of
this energy per unit volume per unit time is
< 8 )

A,2 • BASIC EQUATIONS
This energy increase must come from three sources: Firstly, there can be
heat addition by such means as the absorption of radiation, chemical
reaction, and combustion. Let such heat addition be Q per unit mass per
unit time. Secondly, the heat flux vector due to heat conduction ac-
tually decreases the energy contained in the elementary cube. The in-
crease per unit volume per unit time is then
The stress tensor iry also does work on the fluid. This last source requires
a detailed
analysis:
Consider first the simple case of one-dimensional flow in the direction
of Xi axis. Take a stream tube of unit cross section (see Fig. A,2b). At
time instant t, a fluid element extends from At a later time
instant the position of fluid originally at while the
positio
n of fluid originally at
Therefore while the volume of the original fluid element is the
volum
e is now The change of volume is thus
The work done is the tensile stress multiplied by the
change in volume, or
The work done per unit of fluid volume per unit time is then
For the general case of three-dimensional flow, there are additional
terms similar to the one discussed above:
Actually, is the time rate of the tensile strain of the fluid element
in the direction, the tensile strain rate in the x2 direction, and
< 9 )

A • EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
in the ie3 direction. Therefore the work done per unit volume per
unit time should be equal to the sum of the stresses multiplied by the
corresponding strain rates, including the shear stresses and shear strain
rates
. The question is what are the rates of shear strain? To answer this
question, consider first the tensor expressing the rate of deforma-
tion of a fluid element by its motion. This tensor can be broken into a
symmetrical part and an antisymmetrical part as follows:
(2-11)
The physical significance of this separation of deformation tensor can be
understood as follows: The antisymmetrical part has essentially three
components,
These can be easily shown to be the rate of angular rotation of the fluid
element about axes through the center of the fluid element and parallel
to the three coordinate axes. It is evident that such angular rotations
do not strain the fluid element. Therefore all the strain must be expressed
by the symmetrical part. Since
are shown to be the tensile strain, the remainder
( 10 )

A,2 • BASIC EQUATIONS
must be the rate of shear strain. This can be shown to be so by a detailed
computation similar to that given above for the tensile strain
Each shear strain has two corresponding shear stresses. For instance,
has both and Therefore the total work done per unit volume per
unit time is
Finally then the equation for the conservation of energy is
(2-12)
This equation can be modified by the dynamic equations (2-7). By mul-
tiplying each of the dynamic equations by the corresponding velocity
component and summing the resultant equations,
where is of course the kinetic energy of the fluid per unit mass. The
su
m of the above equation and Eq. 2-12 is
(2-13)
This equation gives the change of the sum of internal energy and the
kinetic energy of the fluid.
The last term of Eq. 2-13 can be written differently: By using the
viscous stress tensor as defined by Eq. 2-3 and 2-4,
The second term on the right can be further converted by using the con-
tinuity equation, and is equal to
Therefore another form of the energy equation is
(2-14)
where is the enthalpy per unit mass. Then Eq. 2-14 expresses
the change of the sum of enthalpy and the kinetic energy. A further mod-
( 11 )

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
ification of the energy equation is possible if the external forces X1 have
a potential V, i.e.
*· - - S (2-i5>
Then Eq. 2-12 can be written as
D ., ,1 . , 1 dp , dv . 1 dqi , 1 d . . , 1β.
Di(h + M + ΐ) = <3 + ^ + ¥ + ρ^ + ρ^( {TilUl) (2'16)
In this form of energy equation [i], the left side expresses the change of
the sum of enthalpy, kinetic energy, and potential energy.
A,3. Viscous Stresses and Heat Flux. The unknowns in the problem
of gas dynamics are the thermodynamic variables p, p, and T, the velocity
vector U1, the heat flux vector qlt and the viscous stress tensor r„. The
internal energy e and the enthalpy h are known when the thermodynamic
variables are specified. The basic equations developed thus far, the con
tinuity equation, the dynamic equations, the energy equation, together
with the equation of state of the fluid are thus not sufficient to determine
the problem, because the number of unknowns exceeds the number of
equations. To completely specify the problem, additional equations are
needed.
Since any fluid, viewed microscopically, consists of a tremendously
large number of molecules, the basic approach to the problem of gas
dynamics is through the principles of statistical mechanics. Assume clas
sical mechanics to be valid, and the total number of particles to be N,
and the number of degrees of freedom of each particle to be n. Any
specified instantaneous state of the N particles is represented by a point
in the Gibbs phase space of nN coordinates of position and nN coordinates
of momenta, a total of 2nN dimensions. The fundamental problem of
statistical mechanics is to determine the probability of finding the sys
tem of the N particles at any point in the phase space for every time
instant, or the probability distribution function of 2nN coordinates of the
phase space and the time t. Once this is done, any macroscopic property
of the fluid, such as flux and stresses, can be computed by averaging over
the probability distribution function. This averaging process was carried
out recently by Irving and Kirkwood [#].
The general problem of determining the probability distribution func
tion is, of course, very difficult. Fortunately, for gases under ordinary and
low pressures, the density of molecules is such that only binary encoun
ters need to be considered. In other words, when two molecules approach
each other to a distance so close that there is an appreciable mutual
influence, other molecules in the gas can be considered so far away that
they have no influence on the two interacting molecules. The kinetic

A,3 · VISCOUS STRESSES AND HEAT FLUX
theory of gases is based upon this concept of binary "collision." In this
theory, there is a corresponding great simplification of the probability
distribution function in that only the probability distribution function
of a single molecule needs to be considered. This distribution function is
determined by a single integro-differential equation called the Boltzmann
equation. Chapman and Enskog [3, Chap. 3] assume that the space and
time variations of the distribution function are small and compute the
heat flux and the viscous stress tensor as
where k is the coefficient of heat conduction, μ the ordinary viscosity
coefficient, and μ' the dilational viscosity coefficient, μ is thus associated
with both shear stress and tensile stress; but very often only the shear
stress is of importance because the divergence duk/dxk is often small in
comparison with the shear strain. However, μ' is associated only with
the tensile stress and its effect vanishes when the divergence is zero, μ'
is thus the viscosity coefficient for the rate of bulk expansion or compres
sion. μ and μ' are determined by laws of interaction between molecules
and molecular properties. For instance, μ' vanishes when the molecule
has no internal degrees of freedom or when the internal motion is not
excited. For polyatomic molecules, μ' is not zero. It is of interest to note
that the symmetry of the stress tensor demonstrated previously by macro
scopic consideration is validated also by the kinetic theory.
The two viscosity coefficients, μ and μ', are essentially functions of
temperature, being only weakly dependent upon pressure. For gases, μ
is found to increase with temperature, a property quite different from
that of liquids. A detailed treatment on the viscosity coefficients and the
heat conduction coefficient can be found in I,D of this Series. Eq. 3-1
and 3-2 are correct, however, only for gases under ordinary pressure. For
low pressures, additional terms in the heat flux and stress tensor appear.
These additional terms were computed by Burnett [8, Chap. 15) and were
very complicated. (For a discussion of this topic see ΙΙΙ,Η.)
Eq. 3-1 and 3-2 show that the heat flux and the viscous stresses are
absent if the gradients of temperature and the gradients of velocity
vanish. They appear only when there are spatial variations which require
the fluid to fit into new conditions as it flows from one point to another.
It is quite evident that such adjustments cannot be instantaneous but,
on the other hand, require many collisions of the molecules. It is, then,
this process of trying to accommodate to different thermodynamic equi
libriums at different points of the flow field that causes the heat flux and
(3-1)
(3-2)

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
the viscous stresses. When there are only very small spatial variations of
fluid conditions, then there is little necessity to adjust the states of the
fluid, and thus the fluid must be very nearly at the thermodynamic equi
librium. Therefore at vanishingly-small heat flux and viscous stresses,
the state of fluid and, in particular, the relation between pressure, den
sity, and temperature must be that at thermodynamic equilibrium. This
is the reason for the separation of the stress tensor m, into the pressure ρ
and the viscous stress tensor m with the pressure defined as the pres
sure calculated from the equation of state for fluid at thermodynamic
equilibrium.
Recently, an entirely different approach in solving the Boltzmann
equation was discovered by Grad [4]. His results are appropriate for rapid
space and time variations of the probability distribution function, such
as the condition within the shock wave. In this analysis, the heat flux
vector qt and the stress tensor Til cannot be expressed explicitly in terms
of velocity and temperature derivatives. On the other hand, the addi
tional equations involve all the unknown variables. Therefore, in this
theory, the variables Qi and T11 are raised to equal footing with other
unknowns ρ, ρ, T, and Ui. The application of Grad's theory to the dy
namics of rarefied gases is of particular importance (III1H).
Of course the kinetic theory gives more than indicated by Eq. 3-1
and 3-2. It also determines the coefficient of heat conduction and the
coefficients of viscosity in terms of molecular properties (I,D). If only
the form of the relations between heat flux and stress tensor and other
specified fluid field variables is desired, a straightforward analysis based
upon dimensions and invariance under coordinate transformation gen
erally suffices. For instance, if the stress tensor is specified to depend
linearly upon the space derivatives of the velocity components, then
Eq. 3-2 can be obtained uniquely with μ and μ' as unknown parameters,
magnitudes undetermined. Truesdell [δ] has carried this procedure to
great length resulting in extremely complicated expressions. The initial
terms are naturally given by Eq. 3-1 and 3-2.
The three principal forms of the energy of molecules are the trans-
lational, the rotational, and the vibrational energies. Of these three, the
vibrational degrees of freedom are the most difficult to excite (I1H).
Therefore if there is rapid change in the states of the gas, the vibrational
energy of the molecules generally lags behind the equilibrium value. For
gases at high temperatures, there is an appreciable amount of molecular
vibrational energy. In such cases, the main contribution to the second
viscosity coefficient μ' must then come from the lag of vibrational energy.
There is, however, another way of looking at the problem, introduced
first by Kantrowitz [6]. This method is particularly appropriate when the
time required to excite the molecular vibrations is very much longer than
the time required to excite other forms of molecular motion. This is so

A,3 • VISCOUS STRESSES AND HEAT FLUX
because the viscosity effects appear as a derivative of velocity in the
equations of motion, and thus are local effects, incapable of expressing
any long-time integrated influence. Let e(T) be the equilibrium value of
the internal energy per unit mass at the thermodynamic temperature T,
the equilibrium value of the vibrational energy per unit mass at
T, and the actual vibrational energy. Then assuming that all other
forms of the internal energy are practically at equilibrium, the actual
interna
l energy is
(3-3)
The quantity is the lag. Now the rate of approach to equi-
librium of the vibrational energy for small deviations can be approxi-
mated as a linear function of the deviation, i.e.
(3-4
)
where is a constant, having the dimension of inverse time. By sub-
stituting Eq. 3-3 in the energy equations (Eq. 2-12 and 2-13), a new depend-
ent variable is introduced. But then Eq. 3-4 is the additional equation
for this unknown. Needless to say, when this is done, the values of and
in the system of equations should not include the effects of the vibra-
tional lag. Otherwise the same effect will be counted twice. The appro-
priate value of . in the Kantrowitz theory is thus zero, and the appro-
priate value of ; is that computed by the usual kinetic theory (I,D).
The net effect of the vibrational lag, which is equivalent to viscosity, is
of course an energy dissipation. For instance, Kantrowitz has estimated
that a thin body in pure carbon dioxide might have a resistance twice as
large as that due to ordinary viscosity alone.
For gases under ordinary conditions, the heat flux and the stress
tensor as given by Eq. 3-1 and 3-2 are sufficiently accurate. When they
are substituted into the dynamic equations and the energy equation, the
system of basic equations is then complete in the sense that the number
o
f unknowns is equal to the number of equations. This system is loosely
called the Navier-Stokes equations. In this section, the discussion will
henceforth be based upon the Navier-Stokes equations. In particular the
energy equation (Eq. 2-12) becomes
(3-5)
where called the dissipation function, is
(3-6)
( 15 }

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
Φ is then the heat generated by viscous dissipation. Another form of
Eq. 3-5 is
where h is of course the enthalpy per unit mass.
With the differential equations established, the only missing part in
the complete formulation of the gas dynamic problem is the question of
boundary conditions. This involves the specification of the velocity com
ponent Ui and the temperature T, or the heat flux vector qt at the surface
of the solid body. Historically, the conditions at the surface of contact of
a fluid with a solid body have been a subject of considerable controversy
[7, p. 676]. Fortunately for gas dynamics, the fluid can be treated micro
scopically by the kinetic theory. The result given by this theory is that
under ordinary density, the velocity of the fluid at the surface must be
equal to the velocity of the surface. In other words, the relative velocity
between the fluid and the surface must vanish. This is the so-called no-
slip condition. Similarly the fluid temperature T must be equal to the
temperature of the surface. This is the condition of no "temperature
jump" at the surface. Of course, at low densities, these surface conditions
have to be modified (ΙΙΙ,Η), but at ordinary densities, the no-slip and the
no temperature jump are the correct and sufficient conditions to deter
mine the problem completely.
During the above discussion, it was tacitly assumed that the fluid
could be considered as a single-component gas. If the fluid consists of
several components nonuniformly mixed, or if there is chemical reaction
between the components, then the situation is greatly complicated
(II,F). Moreover, even if fluid consists of uniformly mixed gases initially,
special effects such as thermal diffusion in regions of large temperature
gradient will destroy the uniformity of the mixture. Fortunately for the
main body of problems in gas dynamics for aircraft and flow machinery,
these complications do not appear, and the simpler system of Navier-
Stokes equations suffices.
A,4. Integral Forms of Basic Equations. It is often convenient for
particular problems to use the integral forms of the basic equations in
stead of the differential forms given in the previous article. The integra
tion extends over a fixed region of the space. The region whose volume is
V may be simply connected or not simply connected and may be enclosed
by one single surface or by several surfaces. The element of volume of
the region is denoted by dV, the element of surface enclosing V by dA.
Let Wf be the unit vector normal to the surface element dA (Fig. A,4a).
The basic operation of transforming the differential form to integral form
^ P Dt
(3-7)

A,4 · INTEGRAL FORMS OF BASIC EQUATIONS
is defined by the Stokes theorem: If /,· is any vector, then
(4-1)
Therefore by applying Eq. 4-1 to the continuity equation (2-5), we
have
(4-2) ^ / pdV + I p{uini)dA = 0
Physically, the meaning of this equation is quite clear: pfan^dA is the
time rate of flow out of the region through the element of surface dA. The
integral over A is thus the net outflow. Since it is assumed that no fluid
Fig. A, 4a.
is introduced or removed from this region, this net outflow must be bal
anced by the rate of change of mass which remains in the region. This is
the statement of Eq. 4-2. In the general case with introduction or removal
of fluid, the right-hand side of Eq. 4-2 should be equal to the total alge
braic strength of sources and sinks in the region.
Similarly, the dynamic equations (2-6) are transformed into
- PUiAY + I PUi(Uj-Uj)dA = J PX4V + j (TTjiUj)dΛ (4-3)
The physical meaning of this equation is again very simple. The left-
hand side expresses the increase in the momentum of the fluid in the region
in the direction of the Xi axis, while the right-hand side expresses the
cause for this increase, namely the resultant body force and the stresses
on the surface. Eq. 4-3 is of course based upon the assumption that no
fluid is introduced or withdrawn within the region V. When this is not

A • EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
the case, the right side of Eq. 4-3 should have, in addition, the time rate
of momentum introduced by this means.
Instead of linear momentum, one can also compute the angular
momentum about the three coordinate axes. For this purpose, it is con-
venient to introduce the notation The meaning of this is:
and ijk is a cyclic permutation of 1, 2, 3
k and ijk is not a cyclic permutation of 1, 2, 3
otherwise.
Thus but Eq. 2-6 can be written as
By multiplying this equation by and integrating over the volume
This is the equation for the angular momentum about the 2/j axis • The
terms are summed over j and k according to the summation convention.
Needless to say, when there are points within V where the fluid is intro-
duced or removed, the effects of such sources or sinks should be properly
included in Eq. 4-4.
To
transform the energy equation (2-13) into integral form, one notes
that by means of the continuity equation (2-5), it can be written as
Henc
e by integrating this equation over a region V,
(4-5
)
The left side expresses the net rate of increase of the sum of internal
energy and the kinetic energy of the fluid. The right side expresses the
cause of this increase. The first term is the heat addition by such means
as chemical reaction, the second term is the work done by the body force,
the third term is the heat loss by conduction, and the fourth term is the
(18)

A,4 · INTEGRAL FORMS OF BASIC EQUATIONS
work done by stresses on the surface A of the region. Another form of the
integral energy equation can be obtained from Eq. 2-16. Thus
£
dt
J p(h ^UiUi -f· °O)dV -|- J p(h H- \uiui -(- X))uflndA — J pQdV
VA V
+ J pdV + Jt J Pvdv ~ J (q&i)dA + J (TijUjH^dA (4-6)
V VA A
The left side of the equation expresses the net rate of increase of the sum
of enthalpy, kinetic energy, and potential energy. The right side gives
the cause of this increase. The first term is again heat increase through Q,
the second term is the rate of change of pressure energy, the third term
dA
dA
Fig. A,4b.
is the rate of change of potential energy, the fourth term is the rate of
heat loss through conduction, and finally, the fifth term is the rate of
work done by viscous stresses on the surface A of the region.
The integral forms of the basic equations can thus be very simply
interpreted. In fact, if preferred, they could serve as the starting point of
the discussion and the differential forms of the equations could be derived
from them.
Flow over a body. As an example of application of the integral equa
tions, take the problem of steady flow of fluid over a solid body (Fig.
A,4b). For the fluid region, one chooses the space between a closed sur
face Αι, containing the solid body, and the body itself. The surface A of
the region then consists of two parts: Ai and the surface A2 of the solid
body. It is further assumed that there is no body force, and that Q = O.
In the momentum equation (4-3), the first terms on both the left and the
right sides then vanish. Since the fluid velocity is zero on the solid surface,

A • EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
the second integral on the left of Eq. 4-3, the momentum flux integral,
vanishe
s on Furthermore, from the principle of equality of action
and reaction, the second integral on the right side of Eq. 4-3 over is
the negative of resultant force acting on the body. Thus
(4-7)
This shows that the force F% on the solid body can be computed as the
integra
l of quantities on a surface enclosing the body. A favored tech-
niqu
e is to choose the surface so far away from the body that the cal-
culation of the integrals is greatly simplified.
By applying the same method to the equationsof angular momentum
(Eq. 4-4), one has equations for the moment acting on the solid
body, referred to the coordinate axes,
(4-8)
By using Eq. 4-6 and denoting by H the amount of heat absorbed by the
solid body, one has the energy equation
(4-9)
If the viscous stress is used, then Eq. 4-7, 4-8, and 4-9 can be written
as
(4-10)
(4-11)
(4-12)
These equations show that the force on the body can be calculated as the
differenc
e of the stress integral over and the momentum integral over
Similarly, the moment on the body is the difference of the moment
o
f stress and the moment of momentum, integrated over Finally,
the heat absorbed by the body is the difference of work done by the vis-
cous stresses on the surface and the outflow of heat, enthalpy, and
kinetic energy from the surface Ax.
A,5. Similarity and Flow Parameters.1 For the sake of clarity,
consider the definite problem of a solid body of typical
linear dimension
L, say its length, in a field of infinite extent with undisturbed velocity U
1 For an alternate method of discussing similarity see VIII, D.
( 20 )

A,5 • SIMILARITY AND FLOW PARAMETERS
under the influence of gravity. The body is carrying out an oscillation of
frequency /. The free stream quantities are denoted by the subscript
and the nondimensional quantities by an asterisk. Then
(5-1)
where
(5-2)
(5-3)
and g is the gravitational constant. By using these nondimensional var-
iables, the continuity equation (2-5) can then be written as
(5-4)
The dynamic equations (2-9) become
Denote the specific heat at constant pressure by cp, the value in the free
stream by Then the energy equation (Eq. 2-12) is
(5-6)
The factors of the above equations in parentheses are all nondimen-
sional. They can be conveniently taken as parameters of the problem.
I
n particular, is generally called the "reduced frequency,"
the Froude number, and the Reynolds number. The ratio
has the dimension of velocity squared. In fact is of the order
of the average speed of random molecular motion and is also of the
orde
r of the velocity of propagation of disturbances in the free stream.
( 21 )

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
U/\/φχ/Pm is then of the order of the ratio of free stream velocity to the
speed of propagation of disturbances, the sound velocity. The ratio of
flow velocity to the speed of sound is, of course, the Mach number.
Therefore the quantity PnfptxU2 is the inverse of the square of Mach
number. ex has the magnitude of the order of the kinetic energy of molec
ular agitation. Therefore ex is again of the order of the square of average
molecular speed or sound velocity. U2/ex is then again the square of Mach
number. The factor is a measure of the relative importance of
the effects of heat conduction and the effects of viscosity. It is called the
Prandtl number. The factor cPxT„/ex is approximately the ratio of en
thalpy and the internal energy and is a number of the order of 1.
A specific problem of great importance in fluid mechanics, however, is
the problem of similarity. In particular, one is concerned with bodies of
geometrical similarity, i.e. bodies which can be made to coincide by a
translation and a uniform expansion or contraction. Consider again the
previous problem of a body oscillating in an infinite region. The question
is: How should one specify the free stream quantities U, px, px, Tx, μΧ)
kx, ex and the quantities L and / for geometrically similar bodies such that
two sets of these parameters would lead to the same nondimensional dif
ferential equations (Eq. 5-4, 5-5, and 5-6) ? If this question can be an
swered, the two individual flow fields corresponding to these two sets of
parameters can be made to be "similar." Namely, for both flows, if all
variables are reduced to the nondimensional form, the functional rela
tionships between them are the same. This would give a tremendous
simplification of the problem of gas dynamics and effect a great saving
in time and effort. Such a gain cannot naturally be obtained without
some sacrifice of generality. In other words, without some restriction on
the fluid properties, such a powerful similarity law is not possible. For
tunately, for gases under ordinary temperature and pressure, it can be
sufficiently approximated by the "perfect gas." A perfect gas is a gas
having the following equation as the equation of state
where (R is the specific gas constant. The specific heat at constant volume
cv and the specific heat at constant pressure cp can be functions of tem
perature, but they are related by
ρ = (RpT (5-7)
Cp = cv + (R (5-8)
If γ is the ratio of specific heats,
(5-9)
according to Eq. 1-4 the velocity of sound a is given by
a2 = y - = ySi T (5-10)
P

A,5 • SIMILARITY AND FLOW PARAMETERS
The internal energy e is then
(5-11)
Then
(5-12)
and
(5-13)
If M is the Mach number, then
and
Let the Reynolds number be denoted by Re and the Prandtl number by
Pr, Froude number by Fr, reduced frequency by
(5-14)
(5-15)
(5-16)
(5-17)
Then the continuity equation, the dynamic equations, and the energy
equation become
(5-18)
(5-19)
(5-20)
( 23 )

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
The equation of state (Eq. 5-7) can be written in nondimensional form as
p* = P*T* (5-21)
By examining Eq. 5-18 to 5-20 together with Eq. 5-12 and 5-13, it is
seen that in order for two flows to be similar, the values of parameters
must be such that the reduced frequency κ, the Mach number Mx, the
Reynolds number Rex, and the Froude number Fr are the same. In addi
tion, the fluid properties must be such that the Prandtl number Prx and
the ratio of specific heats yx are the same for both flows. Furthermore,
the variation with temperature of the specific heats, the heat condition
coefficient k, and the viscosity coefficients μ and μ' must be such that the
ratios cp/cpx, Icfkca, μ/μ*,, and μ'/μχ are unique functions of T*. The last
condition is satisfied if cp, k, μ, μ' vary as powers of the temperature T.
Needless to say, according to Eq. 5-1 it is implicitly assumed that the
heat addition per unit mass Q is proportional to UeaJL or UTX/L. When
all these conditions are satisfied, the two flows will have the same non
dimensional differential equations. Then the solutions in terms of non
dimensional variables will be the same provided the nondimensionalized
boundary conditions are also the same.
The important boundary conditions are the conditions on the sur
face of the solid body. These are the condition of vanishing relative veloc
ity between the fluid and the solid surface, and the condition on the
temperature of the surface. The condition on the fluid velocity, being a
homogeneous condition, will not introduce a new similarity parameter.
But the temperature of the surface of the body specifies the heat flux be
tween the body and the fluid, and will introduce an additional condition
for similarity. Let the heat flux vector at the solid surface be (g,)w. Then
the nondimensional form of this boundary condition is
(β?)* = ΨΦ = F(Cef)-, η (5-22)
where (x*)w are the nondimensional coordinates of the surface points.
For similarity, the function F has to be the same. With this additional
condition, the nondimensional wall temperature T* = Tw/Tx is fixed.
The condition (Eq. 5-22) is then equivalent to
Nu = = 1 = «*) (5"2¾
Ivf 1 W OO)
Nu is called the Nusselt heat transfer number.
Summarizing, for a nonsteady, viscous, heat-conducting, perfect gas
with heat addition of Q per unit mass per unit time and influence of
gravity, the similarity condition is for the following parameters to be the
same: Mach number Mx, Reynolds number Rex, reduced frequency κ,
Froude number Fr, Prandtl number Prx, ratio of specific heats yx, the

A, 6 · IDEAL GAS
ratios cv/cPa, Ufkco, μ/μκ, μ'/μχ as functions of T*, QLfUTx as functions
of xf and t*, and finally the Nusselt number as functions of (x*)w and t*.
Needless to say, when the motion of the body is not purely oscillatory,
the analysis still applies if one replaces the frequency / by l/r, where τ
is the characteristic time of the problem. Then the reduced frequency
becomes Lf UT. If the effects of viscosity and heat conduction can be
neglected, the Reynolds number, the Prandtl number, the ratios k/kx,
μ/μ», μ'/μ», and the Nusselt number can be dropped from the above list.
If there is no external force field, the Froude number need not be con
sidered. If the motion is steady, the reduced frequency will be identically
zero. If there is no heat addition, Q will be identically zero. If the specific
heats are constant, the ratio cp/cpa0 could be dropped from the list. There
fore, if one is concerned only with the steady motion of viscous, heat-
conducting perfect gas with constant specific heats, a constant coefficient
of heat conduction and viscosity, and without heat addition and force
field, the similarity of flow is characterized by the Mach number, the
Reynolds number, the Prandtl number, the Nusselt number, and the
ratio of specific heats.
A,6. Ideal Gas. For any real gas or mixture of gases, the relative
magnitudes of k and μ are such that the Prandtl number is of the order of
1. In fact, according to the kinetic theory of simple monatomic molecules,
the Prandtl number should be exactly equal to 1. Therefore the effects of
viscosity and heat conduction are of the same order of importance: When
one is taken into account, the other must also be included in the analysis
in order to have a correct evaluation. The coefficients of viscosity μ and
μ' and the heat conduction coefficient k are very small in magnitude.
For body dimensions of the order of feet, the velocity U of the order of
tens or hundreds of feet per second, and pressure px of the order of 1
atmosphere, the Reynolds number is very large, approximately one mil
lion. Eq. 5-19 and 5-20 then show that in general the effects of viscosity
and the effects of heat conduction are negligible. Only in regions where
the temperature and the velocity gradients are large, will viscosity and
heat conduction play an appreciable role. Where would the gradients of
temperature and velocity be large? For subsonic flows, only the boundary
layer gives these large gradients; for supersonic flows, shock waves also
contain large temperature and velocity gradients. Therefore only in a
boundary layer or in a shock wave, need one consider the effects of vis
cosity and heat conduction. Outside of these regions, the fluid can be con
sidered as nonviscous and nonheat-conducting. Such a fluid is called an
ideal compressible fluid. If the fluid is also a perfect gas, then it is called
an ideal perfect gas. For ideal gas, the equations of motion are greatly
simplified for the absence of the viscous stress and heat flux terms.
In the boundary layer and the shock wave, the viscous and heat

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
conduction terms are of great importance. The treatment of these prob
lems is thus rather complicated (see Sec. D and Vol. IV). If the solution
of the viscous equations in the regions of boundary layer and shock wave
has to be joined to the solution of the nonviscous equation outside the
regions of boundary layer and shock wave so that the whole problem is
solved simultaneously, then the problem of gas dynamics will not be
appreciably simplified even at very large Reynolds number. Fortunately,
in a great majority of problems this is not the case. The shock wave is
generally so thin that its thickness can be considered as infinitesimal, and
gas on either side of the shock, being outside of the shock, is an ideal gas.
The shock is then simply a mathematical discontinuity. The magnitude
of discontinuity can be computed rather easily without having to deal
with the viscous differential equations, once the conditions before the
shock and the configuration of the shock are specified. This means that
one important element of the solution is readily available. The question
of boundary layer is more difficult, since its thickness is small but not
negligible. However, just because of this small thickness, the boundary
layer generally introduces negligible disturbance to the flow outside of
the boundary layer, the so-called potential flow. A logical way to treat
the problems of gas dynamics is then to compute the flow, neglecting
first viscosity and heat conduction, but including discontinuities of the
shock waves if necessary. The pressure, velocity, and temperature dis
tribution over the surface of the solid body of this first approximation is
then used to determine the boundary layer over the solid body. When
the boundary layer is calculated, the shear stress and the heat flux at the
surface of the body can be computed. This iteration procedure simplifies
the problem greatly, and is the basis of the classical Prandtl boundary
layer theory.
The method of analysis stated in the preceding paragraph works
satisfactorily for subsonic flows. For supersonic flows, the strong pressure
rise in crossing a shock wave may seriously modify the boundary layer
development and the modified boundary layer may appreciably change
the shock configuration. This mutual influence is termed boundary layer
and shock interaction, and is a subject of recent intensive research. For
hypersonic flows, or flows of very large Mach number, the nose shock is so
flattened toward the body surface and the shock and the boundary layer
are so close to each other that even the small thickness of the boundary
layer influences the configuration of the shock. This may be called hyper
sonic boundary layer-shock interaction. When such interactions occur,
the classic boundary layer theory breaks down.
Another simplification is generally possible: The Froude number Fr
is U2/gL where L is the typical dimension of the body and U the typical
velocity, and g is the gravitational constant if the external force field is
that of gravity. Therefore, for gas dynamic problems of aircraft the

A,7 · DIABATIC FLOW
Froude number is generally so large as to make the external force term
negligibly small in the dynamic equations (Eq. 5-19). Then the external
force can be neglected.
From the discussions in the previous paragraphs, it is then apparent
that the important problem in gas dynamics is the problem of flow of
ideal gas, without external force field. Great simplification is then pos
sible for the absence of viscous stresses and external forces in the dynamic
equations, and the absence of heat flux terms and viscous dissipation in
the energy equation. Concurrent with the simplification of the differential
equation there is a relaxation in the boundary conditions at the surface
of the solid body. The velocity of fluid relative to the surface is now
required only to be tangential to the surface, but need not be zero. The
condition on the temperature of the fluid at the surface has to be dropped.
The temperature of the fluid is now uniquely determined by other variables
and its value at the surface cannot be arbitrarily specified.
A,7. Diabatic Flow of an Ideal Gas. Circulation and Vorticity.
For an ideal gas without external force, the appropriate differential equa
tions are:
This system of equations has been the basis of a study by Hicks [5] of the
so-called diabatic flows, in contrast to adiabatic flows where there is no
heat addition, i.e. Q = O. Hicks seeks to find the effect of heat addition
as a result of combustion and thus uses the diabatic flow as a model of
reacting gas in a field of combustion. When the motion is steady, i.e. when
the field variables are not functions of t, and thus dp/dt = 0, Eq. 7-3
shows that for any fluid element, the rate of change of the sum of enthalpy
and the kinetic energy is exactly equal to the heat added Q. In this sense
then, the sum of enthalpy and the kinetic energy can be considered as the
"total energy" h0 of the fluid. This is a very useful concept. For the special
case of adiabatic flow, where Q = 0, the total energy along the path of
any single fluid element, or along any streamline, is a constant. It is
important, however, to observe the limitations of the theorem stated
above: It is true only for nonviscous and nonheat-conducting gas in steady
motion.
Another important field variable which has not yet been discussed is
the vorticity vector Ω. The vorticity vector gives the intrinsic rotation
dp ι d(pUj) _ «
dt dXi
Dui _ _ 1 dp
Dt ρ dXi
(7-2)
(7-1)
§t{h + *UiUi) = Q + lm
(7-3)

A • EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
of the fluid element and is defined as
(7-4)
Here the conventional vector [notation is used, u is the velocity vector
whose magnitude is
(7-5)
and is the curl operator such that
(7-6)
In these equations, the vectors, i, j, and k are unit vectors in the
and directions respectively. By comparing the quantities in Eq. 7-6
with those in Eq. 2-11, it is seen that the components of vorticity vector
ar
e equal to twice the three quantities in the antisymmetric part of defor-
mation tensor. The vorticity vector is then equal to twice the vector of
angula
r velocity of the fluid element.
With the vector notation, the continuity equation is
(7-7)
The operator is the divergence operator such that
(7-8)
The dynamic equation is then
(7-9)
where is the gradient vector of the pressure p. The energy equation
ca
n be written as
(7-10)
where is the total energy, or
(7-11)
Now a few transformations of the basic equations are possible: Accord-
ing to vector analysis
(7-12)
Therefore Eq. 7-9 can be written as
(7-13)
( 28 >

A,7 · DIABATIC FLOW
If s is the specific entropy of the gas, the first law of thermodynamics
requires that
and
Tds = dh — -dp (7-14)
p
T^t=Q (7-15)
For a perfect gas of constant specific heats, the equation of state can be
written in terms of s, ρ, ρ as follows:
ρ = const pyes/c· (7-16)
By eliminating the gradient of pressure with Eq. 7-14, the dynamic
equation can be written further as
= TVs - Vh (7-17)
or
^-uXQ = TVs — Vh0 (7-18)
Ot
This relationship is generally referred to as Crocco's theorem (see [0]).
By replacing Q according to Eq. 7-15, the energy equation is
™ = Twt+ ^
With these transformed equations, the production of vorticity in the
flow of an ideal gas can be studied. By taking the curl of both sides of
Eq. 7-13 and noting V-VXu = O, >
Bt
or
dSl + (u · V)Q - (Ω · V)u + Q(V · u) = -V X Vp^
= (Ω · V)u - Q(V · u) - V X ^ Vp^ (7-20)
Another form of this equation can be obtained by using Eq. 7-14,
~ = (Ω · V)u - Ω(ν · u) + VT X Vs (7-21)
If ρ is a function of ρ only, then the last term to the right of Eq. 7-20 can
be written as the curl of the gradient of a scalar function and is thus zero.
If the specific entropy is a constant, then the last term of Eq. 7-21 is zero
because of Vs = 0. Both conditions are satisfied if the gas is isentropic,
i.e. the gas has the same entropy everywhere. Then for the motion of an

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
ideal gas, the rate of change of the vorticity of a fluid element is composed
of the first two terms to the right of Eq. 7-20 or 7-21. If Ω is zero for one
instant at every point of the flow field, then D£i/Dt = 0. Therefore the
vorticity at every point of the field will remain zero. Such flows are called
irrotational flows. On the other hand, if the flow is not isentropic, i.e. the
fluid has different entropy at different points of the field, then even if the
vorticity Ω is zero everywhere at one time instant, the last term to the
right of Eq. 7-21 will cause the vorticity to be different from zero in the
next instant. Therefore nonisentropic flows cannot be irrotational. Hence
irrotationality implies isentropy, but, of course, isentropy does not imply
irrotationality.
Consider now an adiabatic continuous flow generated out of a uniform
state of rest, i.e. u = 0 at t = 0. According to Eq. 7-15, if the motion is
adiabatic and continuous, the entropy for any fluid element is a constant.
But the entropy is the same everywhere at t = 0, the uniform initial state.
Therefore the motion will always be isentropic. Furthermore at t = 0,
Ω = 0 because the velocity is zero everywhere. Hence under the assump
tion of adiabatic continuous motion of an ideal gas, any motion generated
out of a uniform state of rest, is irrotational. This would include prac
tically all potential flow problems, were it not for the occurrence of shock
in supersonic flow. Shock in the ideal gas is a discontinuity and it could
generate vorticity (see Sec. D and E). But even with shock, the vorticity
generated is usually small; therefore irrotational flows are flows of great
practical importance in spite of their very special nature.
The first term (Ω · V)u to the right of either Eq. 7-20 or 7-21 can be
interpreted as the effect of the bending of the lines which follow the direc
tion of the vorticity vector Ω, or vortex lines. To see this, let there be only
one component Ui of the vorticity vector in the direction of the Xi axis
at the time instant t, and there is no tti at the time instant t. Then the quan
tity (Ω · V)u has two components:
in the Xi direction and X3 direction. Now consider a line element (Fig.
A,7) which at time t coincides with Ωι and has the length dxAfter the
time interval dt, the left end has moved from the point x%, x2, x3 to Xi,
Xi + Uidt, X3 + u-idt. The right end has moved from X1 + dx1; x2, Xi to
Therefore the original line element is now tilted with respect to the x
axis, and it has now a direction cosine with the χ·ι axis equal to (du2/dxi)dt
and a direction cosine with the x3 axis equal to (du3/dxi)dt. Now assume
that the vorticity Oi originally coincides with the Xi axis, moves with the

A,7 • DIABATIC FLOW
fluid, and maintains its strength. Then after the time interval there is
a component along the axis equal to and a component
along the axis equal to The time rate of increase is then
along the axis and along the axis. This is
exactly the quantity Therefore this term expresses the rate of
increase of vorticity due to the bending of the vortex line. Similarly the
second term which is associated with divergence or
volume change can be interpreted as the effect of the stretching of a fluid
Fig
. A,7.
tube enclosing the vortex line. Therefore if the pressure is a function of
density only or if the entropy is a constant such that these two terms
alone contribute to the rate of change of for a fluid element, then the
result can be taken to indicate that the product of the cross-sectional area
and of the vorticity of a vortex tube is constant both in space and time.
This theorem was originally shown by Helmholtz for the incompressible
fluid. Such a property of invariance indicates the usefulness of the con-
cept of vorticity.
< 31 )

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
The content of Helmholtz' theorem can be demonstrated in another
way, perhaps more directly: Let Γ be the circulation around any closed
contour C in the space, defined as
= φ u · dl (7-22) Γ
c
where d is the line element of the contour C. By using the Stokes theorem
of contour integral,
Γ = J (V X u) · dA = j Ω • dA (7-23)
A A
where A is the simply connected surface whose boundary is C. Eq. 7-23
shows that the product of the cross-sectional area and of the vorticity Ω
of a vortex tube is the circulation Γ around the cross section of the vortex
tube. The implication of Helmholtz' theorem is that this should be a
constant by following the fluid. Thus one should compute DY/Dt. But
S = ==$:®r<fl + $u-du
CC C
where du is the differential velocity vector along the contour. However,
u · du = CZ(^M1W1); therefore if the velocity field is continuous, the second
integral to the right vanishes. Then by using either Eq. 7-9 or 7-16 and
then applying Stokes' theorem,
-Dr
Dt
a
= - j V + VpJ · dA = j (VT X Vs) • dA (7-24)
Hence if the pressure is a function of density only or if the entropy is a
constant, the circulation around any closed contour following the fluid is
a constant. This is the Kelvin theorem.
For the general case, however, the circulation Γ is not a constant even
for an ideal gas. This is quite different from the case of incompressible
fluid which has constant density. In fact, Eq. 7-24 can be written as
DT
Dt
= /
VpXV-
P
dA (7-25)
Eq. 7-25 immediately shows that if ρ is a constant, such as for incompres
sible fluid, Γ is a constant in general. For compressible flow, Eq. 7-25 can
be interpreted as follows: Draw equidistant members of the families of
surfaces ρ = const and 1/p = const, and so obtain a series of tubes
bounded by these surfaces. Then the rate of change of circulation per
unit time along a contour C following the fluid is proportional to the num
ber of tubes surrounded by C. This is a theorem due to Bjerknes [10].

A,7 • DIABATIC FLOW
Stagnation quantities. During the discussion presented in this article,
the quantity h0 is introduced as the sum of enthalpy and kinetic energy,
or total energy per unit mass. This quantity is often called the specific
"stagnation enthalpy" of the fluid. The concept is as follows: The fluid
at any point of the field is extracted by some means with its pressure,
density, temperature, and velocity at the local value; then this parcel of
fluid is compressed isentropically by decreasing its velocity until its veloc
ity vanishes, i.e. until it reaches stagnant condition. The final state of the
fluid at the stagnant condition is then called the stagnation condition of
the fluid at the original point of extraction. Thus one can speak of stagna
tion enthalpy, stagnation temperature, stagnation pressure, and stagna
tion density. There is, of course, no such thing as stagnation velocity;
that is by definition zero. In order to avoid possible confusion, the original
conditions of the fluid before compression, i.e. the local values at the fluid
field, are called static conditions. The local enthalpy is thus the static
enthalpy; the pressure, static pressure, etc. One should note that for this
conceptual experiment, the compression is supposed to be carried out
isentropically. Thus the stagnation quantities can never be measured
directly by instruments. At subsonic speed, the pressure measured by a
Pitot tube only approximates the stagnation pressure. At supersonic
speed, due to the presence of shock in front of the Pitot tube, the measured
pressure is much lower than the stagnation pressure.
For a perfect gas with constant specific heats, the relation between the
stagnation quantities and the static quantities is particularly simple.
Thus if M is the local Mach number, i.e. the ratio of local speed to the
velocity of sound at local conditions, then
M2 = IuI2
7 (p/p)
and according to Eq. 1-5, 5-7, 5-8, 5-9, and 7-11 if we assume cp to be a
constant,
Then by using the well-known relation between temperature and pres
sure in isentropic processes we have
For a perfect gas, the ratio of stagnation enthalpy to static enthalpy is
the same as the ratio of stagnation temperature to static temperature as
the enthalpy is proportional to the temperature.
(7-26a)
(7-26b)

A · EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
For small local Mach numbers, Eq. 7-26 can be expanded into a power
series in M2. As an example,
— = 1+ -M2+ -Mi + 7 ~ M18 + · · ·
ρ 8 ^ 48 ^
Therefore
v"-V = ip|u|2 (l + w + Mi + · · -^ (7-27)
The difference ρ" — ρ between the stagnation pressure and the static
pressure is the dynamic pressure rise. When M is very small, the dynamic
pressure rise is approximately |-p|u|2. The latter quantity is often referred
to as the dynamic pressure.
A,8. Adiabatic Flow of an Ideal Gas. Bernoulli Equation. As
discussed in the previous section, aside from the boundary layer, the
effects of viscosity and heat conduction can be neglected for the majority
of gas dynamic problems in aeronautics. Furthermore, the heat addition,
except in problems involving combustion, is either zero or very small.
Then under ordinary conditions, the gas behaves very much like an ideal
gas. Therefore one of the fundamental problems of gas dynamics is to
study the adiabatic flow of an ideal gas. Most of the following discussions
in this section are devoted to this problem.
Let the flow be irrotational, such that there is a velocity potential
φ(Χί, t) with
u = V<t> (8-1)
Then Q = VXu=VX (νψ) is automatically zero. The dynamic equa
tion (7-13) becomes
V(t+4M! + / ?) = 0
This means that the quantity within the parentheses is not a space func
tion, but it could be a time function; and this time function can be ab
sorbed into the definition of φ without influencing the relation as specified
by Eq. 8-1. Therefore
^ + ||u|2 + J = const (8-2)
This is the Bernoulli equation for nonsteady irrotational flow. It can be
considered as the first integral of the dynamic equation, and gives a
simple relation between the pressure or density and the velocity potential.
The integral must be computed with isentropic pressure-density relation
because, as discussed previously, irrotational motion can generally be

A,8 · ADIABATIC FLOW
maintained only by constant specific entropy throughout the field. For a
perfect gas, Eq. 8-2 becomes
^ + IrIuI2 + 2 = ^ + h« = const (8-3)
at 7 — 1 ρ dt
Therefore irrotational flows are not necessarily isoenergetic in the sense
that the total energy h0 is a constant throughout the field. Irrotational
flows are isoenergetic only if they are steady, i.e. δφ/dt = 0.
When the motion is rotational, i.e. when the vorticity is not zero, a
general first integral is not possible. A first integral exists only when the
motion is steady. Then for adiabatic flow, as shown previously, the total
energy A0 is a constant along the path of the fluid element or along any
streamline but may be different for different streamlines.
h0 = h + -||u|2 = const on a streamline (8-4)
This is really an energy equation but it has the same form as the Bernoulli
equation for steady irrotational flow, because then the flow is isoenergetic.
The difference is of course that for steady isoenergetic flow, the motion is
not necessarily isentropic; while for steady irrotational flow, the motion
must be isentropic. An example for the isoenergetic but nonisentropic flow
is the problem of steady supersonic flow over a body with curved detached
shock.
The preceding discussions then indicate that there are four charac
teristics of the flow, namely: steadiness, rotationality, uniformity of
entropy, and uniformity of energy. On this basis of classification there are
eight possible types of adiabatic flow of an ideal gas as listed below,
where + sign denotes positive for the property listed and — sign denotes
negative for the property listed. For instance, + under steadiness means
steady motion, — under rotationality means irrotational motion. The
Uniformity Uniformity
of of
Type Steadiness Rotationality entropy energy
1 + — + +
2 — — + —
3 + + — +
4 — + — —
5 + + + —
6 + + — —
7 — + + —
8 — + — —
subsonic flow over a wing if steady is of type 1; if nonsteady of type 2.
The transonic flow over a wing if steady is of type 3; if nonsteady of
type 4. The steady flow over a body with nonuniform free stream, i.e.
shear flow, is of type 5, if the temperature and pressure of the free stream
are uniform, but the velocity nonuniform; if otherwise, of type 6. If the
motion is nonsteady, then it is of type 7 or type 8.

A • EQUATIONS OF GAS DYNAMICS
The mathematical complexity of the problem of analyzing the flow
field is considerably reduced if a first integral of the system of equations
of motion exists. As shown above, this is the case when the motion is either
irrotational or steady. The simplest problem is of course that of steady
irrotational and thus isentropic flow. These cases are treated in some
detail in the following articles.
A,9. Irrotational Flows. Velocity Potential. When the flow is ir-
rotational, there is a velocity potential and the dynamic equations
integrate to the Bernoulli equation (8-2). Since the motion must also be
isentropic
, the energy equation and the equation of state give the isen-
tropic relations between any two of the three variables p, p, T. By com-
bining the isentropic relations with the Bernoulli equation, one can obtain
an equation involving the velocity potential and any one of the thermo-
dynamic variables p, p, and T. For instance, in the case of a perfect gas
of constant specific heats, if the flow is uniform and steady far from the
solid body and if the uniform stagnation conditions far from the body are
denoted by the superscript
(9-1)
(9-2)
(9-3)
(9-4)
where a is the velocity of sound, as defined by Eq. 1-4. By using these
equations, the pressure, density, and temperature can be computed when
the velocity potential and hence are determined.
Th
e problem is then reduced to the calculation of the velocity poten-
tial. Since the Bernoulli equation is the result of integrating the dynamic
equation together with the energy equation, the only equation of motion
left unused is the continuity equation (7-7) which can be written as
But the motion is also isentropic, and therefore the pressure is a function
of p alone. The previous equation can then be written as
(9-5)
< 36 )

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fortuna! Lei è italiano; dica: Peccato che non sia. —
Tutti gli altri rimasero per qualche momento come sbalorditi; ma poi,
voltandosi di nuovo verso il prete, e piccati, come sempre segue, più
contro chi aveva tolto che contro chi aveva dato l'illusione,
ripeterono quasi involontariamente: — Sicuro! dica piuttosto:
Peccato!
— Io? — rispose il prete, torcendo verso il suo petto un lungo dito
nodoso; e poi con voce acre e vibrata: — Io non lo dirò mai!
A quelle parole il vecchio, ferito bruscamente nel dolce sentimento
che lo esaltava, perdette, com'era solito, i lumi, e stendendo il
braccio verso il prete, si lasciò sfuggire dalla bocca un: — Via! — che
risonò in tutta la casa come una pistolettata.
Il prete disparve chiudendo la porta con impeto. Il giovane gettò le
braccia al collo del padre; e questi, mettendo le due mani sulla testa
del figliuolo, esclamò con un accento triste e affettuoso: — .... Ti
perdono.

ALBERTO.

I.
Era bello vedere il giardino della piazza d'Azeglio la sera d'una
giornata di primavera, due anni fa, quando Firenze era ancora
Capitale. Vi convenivano centinaia di fanciulli, molti di famiglie
fiorentine, la più parte di famiglie d'impiegati d'ogni provincia; era il
ritrovo delle Italiane e degl'Italiani più piccini e più belli che avevano
condotti in quella città il Parlamento, i Ministeri e l'altre istituzioni

dello Stato, il fiore dell'innocenza e della gaiezza della Capitale. Le
madri, le governanti, le bambinaie stavan sedute sulle panche a
destra e a sinistra dei viali; i bambini correvano in mezzo; nel centro
del giardino sonava la banda. Fino all'imbrunire era un moto e un
gridare continuo. Frotte di ragazzi uscivano di dietro ai cespugli, si
sparpagliavano ridendo, s'inseguivano e ridevano, correvano a giri e
rigiri come le rondini, e ridevano sempre, cadevano, sempre ridendo,
e si rialzavano, e ricominciavano a darsi dietro. Qua una bimba
perdeva il pettine, là un'altra la pezzuola, qualcuna si fermava per
farsi riabbottonare lo stivaletto. Da un lato all'altro dei viali si
chiamavano ad alta voce, e in un momento si sentivano cento nomi
di santi, di guerrieri, d'imperatori, di poeti: — Maria! Ettore! Pompeo!
— Non si capivan tutti fra loro. — Che hai detto? — domandava una
toscana, chinandosi verso una lombarda che le aveva diretto la
parola passando. Formavan dei cerchi a dieci insieme tenendosi per
mano, e si mettevano a girare, e andavano tutti a gambe levate, e
alle bambine più grandi si scioglievano i lunghi capelli, e le piccine
piangevano. Tratto tratto, due che s'erano bisticciati andavano a
chieder giustizia, seguiti da un piccolo drappello di curiosi, al
tribunale di qualche mamma seduta in disparte. Altri, spossati dalla
corsa, col viso infiammato, ansanti, riposavano sull'erba fin che
avessero ripreso nuova lena per ritornare ai giuochi. E lontano, tra le
siepi e gli alberi, si vedevano altre frotte di bambini biancheggiare un
momento, poi sparire, poi riapparire; e da ogni parte si alzavano voci
di gioia, di rimprovero, di meraviglia, di comando, e ad ogni passo si
udivano accenti diversi che, richiamando alla memoria le diverse
provincie, facevano passar dinanzi agli occhi una sequela rapidissima
di visioni: il Canal grande, il Vesuvio, San Pietro, Superga. Il giardino
Massimo d'Azeglio faceva esclamare, quasi con un senso nuovo di
maraviglia e di piacere: — Oh qui si vede che l'Italia è fatta
davvero! —
Una sera d'aprile del 1870, in una parte del giardino, dove il
formicolìo dei fanciulli era più fitto, stava seduto sur una panca, solo,
colle braccia incrociate sul petto, un giovane sui vent'anni,
decentemente vestito, d'aspetto malaticcio, che pareva che

dormisse. Stava appoggiato col capo all'indietro, come se guardasse
il cielo. A un tratto, essendosi mosso leggermente per prendere un
atteggiamento più comodo, gli cadde il cappello dietro la panca, e
dal cappello saltò fuori un non so che di forma quadrata e di color
rosso, simile a quelle buste, in cui si mettono le carte geografiche.
Egli non se ne accorse e continuò a dormire. Alcuni ragazzi,
passando, urtarono coi piedi in quell'oggetto e lo spinsero cinque o
sei passi più in là.
Dopo alcuni minuti il giovane si svegliò, e accortosi di avere il capo
scoperto balzò in piedi e guardò intorno. Vide il cappello, lo prese, vi
guardò dentro, si turbò, e cominciò a cercare attentamente intorno
alla panca.
Poi si fermò, e voltando gli occhi in giro, dimandò con voce inquieta:
— C'è nessuno che abbia visto qui, accanto alla panca, un oggetto
rosso, grande così, di cartone? —
Due o tre donne si voltarono.
— Vorrebbero farmi la gentilezza, — soggiunse il giovane, — di
domandare ai loro bambini? —
Le donne rivolsero qualche domanda a mezza voce ai bambini che
avevano intorno, e poi fecero cenno di no.
— Perdonino, — ripigliò il giovane con voce commossa, avvicinandosi
alle donne, — è impossibile, l'oggetto m'è caduto di dosso un
momento fa; mi facciano il piacere, domandino ancora, cerchino....
— O che s'ha a cercare? — usci a dire in tono dispettoso una donna;
— quando s'è detto no, è no; è bell'e finita.
— Ma lei, — esclamò allora il giovane con accento più di dolore che
di stizza; — lei non sa che cosa io abbia perduto! Potrebb'essere un
oggetto prezioso! Potrebbe.... No, si fermino, — soggiunse con tono
supplichevole verso due altre donne che se n'andavano, — si fermino
un momento, le prego, mi aiutino,... non dimando che un
momento! —

Si cominciava a radunar gente, le donne chiamarono i bambini e
s'allontanarono.
Il giovane gridò ancora una volta: — Un momento! Mi facciano
questo favore! — Poi riprese a cercare qua e là, quasi correndo, e
parlando tra sè a mezza voce.
— Ha perso dei denari? — gli domandò un tale.
— No! — rispose, continuando a girare sempre più in fretta.
— Ha perso un anello? — domandò un altro.
— No! —
La gente s'allontanò a poco a poco.
Stanco di cercare inutilmente, il giovane si rimise a sedere,
prendendosi il capo tra le mani e scuotendolo in atto sconsolato.
Era già quasi buio, il giardino deserto e silenzioso; non si udivano
che le voci lontane degli ultimi bambini che andavan via.
— Senti, — diceva al suo compagno un monello ch'era rimasto ad
osservare il giovane di dietro alla cancellata del giardino, —
piange. —
Sentì queste parole un signore che passava, guardò dentro il
giardino, entrò, e s'avvicinò alla panca.
— Che cos'ha? — domandò al giovane.
Questi non rispose.
— Posso far qualche cosa per lei? — ridimandò l'altro. — Mi dica che
cos'ha; non glielo domando mica per semplice curiosità....
— Grazie, — rispose il giovane coll'accento di chi vuol terminare un
discorso.
— Mi dispiace — ripigliò il signore — di non ispirarle fiducia. In ogni
caso, qui c'è il mio indirizzo. Si faccia coraggio. —
Ciò detto se n'andò. Il giovine guardò intorno a sè e vide un biglietto
da visita sulla panca; se lo mise in tasca, e riprese l'atteggiamento di

prima.
In quel punto si sentì l'orchestra fragorosa del teatro Principe
Umberto.
II.
Ci sono in tutte le grandi città certe trattorie a terreno, composte
d'una sala e d'una cucina con un'avviso sulla porta che dice:
pensione a quaranta lire il mese. Si somiglian tutte: la sala è lunga e
stretta; in una parete si vede il busto del Re; in un canto un padrone
di cattivo umore, e in giro due o tre camerieri coi panni sudici, e coi
capelli scarmigliati, che servono di mala grazia. Gli avventori sono
quasi tutti giovani, che fanno il loro meschino desinare senza
discorrere e senza alzar gli occhi. Non sono poveri, non sono operai,
non sono studenti, non sono impiegati; è difficile determinare la
classe sociale a cui appartengono. Son gente che vive alla giornata,
sparsi pei fondachi, per gli Ufficii dei giornali e pei Ministeri; che ogni
tanto, man mano che l'occasione del lavoro manca da una parte e si
presenta dall'altra, mutan posto, occupazioni e nome; oggi
procaccini di gazzette, domani revisori di conti, un altro giorno
scrivani straordinarii. Dormono in una cameretta al quarto piano,
fumano un sigaro al giorno, e vanno una volta al mese al teatro.
Alcuni hanno i capelli lunghi; molti, l'inverno, son senza pastrano, e
portano intorno al collo una sciarpa di lana o uno scialle vecchio;
spesso s'incontrano fuor di città in qualche strada deserta, soli. Ce
n'è degli scioperati; ma molti pure che risparmiano dieci lire sulle
cento che guadagnano al mese; e le mandano a casa, o le mettono
da parte. E sono i primi, per lo più, a levare di mezzo alla strada un
ragazzo, quando sopraggiunge una carrozza, o a rialzare un vecchio
caduto in terra, o a separare due monelli che si picchiano. Alcuni
hanno sul viso un espressione costante di tristezza e guardan la
gente in modo che par che rinfaccino a tutti qualcosa; altri invece
hanno una fisonomia che esprime serenità, pace, sentimenti miti e
benevoli. Tutti poi, o quasi tutti, mostrano di tempo in tempo

qualche viva allegrezza di cui può esser cagione una lettera d'un
parente lontano, o una buona parola d'un capo d'uffizio o l'aver
trovato una camera che costi cinque lire di meno al mese. Vi sono
nature ammirabili fra questa classe di giovani; cuori eletti, vite
nobilissime piene di sacrifizii e di dolori terribili, sopportati senza
lamento e in segreto.
III.
Il giovane del giardino d'Azeglio era di questi. Si trovava da pochi
mesi in Firenze, impiegato come scrivano nello studio d'un avvocato
che gli dava novanta lire al mese. Era nato a Palermo, dove aveva
fatto i suoi primi studii, e perduto in tenera età il padre e la madre.
Di parenti non gli era rimasto che uno zio, il quale l'aveva raccolto e
mantenuto a malincuore per alcuni anni; e poi gli aveva fatto
intendere poco amorevolmente che in casa c'era una persona a suo
carico. Allora il giovane, sollecitato da un amico di Firenze a venire in
cerca d'un impiego nel gran mare della Capitale, se nera partito da
Palermo con qualche centinaio di lire, e molte speranze. Ma arrivato
in riva all'Arno, dopo molto scendere e salire per l'altrui scale, aveva
dovuto dare un addio alle speranze, e contentarsi di campare
copiando. L'amico se n'era tornato in Sicilia dopo poche settimane, e
il povero scrivano era rimasto solo nella città sconosciuta.
Toccava appena i vent'anni, ma ne dimostrava assai di più, come
tutti quelli che han cominciato per tempo a faticare per vivere. Aveva
l'intelligenza aperta e pronta, e non mancava d'una certa cultura,
benchè fosse stato costretto a lasciar le scuole, quando appunto
cominciava a capire e a studiare. Gli era rimasto in capo quello che
rimane generalmente a coloro pei quali il passaggio dell'adolescenza
alla giovinezza segna l'abbandono dei libri per le faccende; qualche
data istorica, qualche verso di Dante, e i nomi degli scrittori
contemporanei più popolari. Ma aveva quell'accorgimento modesto e
guardingo, comune a pochi, col quale, non oltrepassando mai i
confini del proprio sapere, si riesce a tenerli sempre nascosti; e si

può parlare di ogni cosa, senza mai dire uno sproposito, o si sa
tacere in maniera, che non paia vergognosa l'ignoranza.
Le sue novanta lire al mese gli bastavano; con quaranta mangiava in
una piccola trattoria, con diciotto aveva trovato una cameretta al
quarto piano, in una via appartata, in casa di una povera famiglia,
che viveva d'una piccola pensione e dei pochi quattrini della dozzina.
Questa famiglia era composta d'una vecchia, vedova d'un impiegato
fiorentino, quasi sempre malata; e d'una ragazza di diciott'anni, che
non faceva altro che assister sua madre.
Questa aveva fatto qualche difficoltà a ricevere in casa il nuovo
inquilino; e perchè non c'eran mai stati che dei vecchi, coi quali
poteva parlare dei suoi malanni, ed anco averne qualche aiuto,
quando occorreva, più che di parole; e perchè, d'altra parte, un
giovane avrebbe fatto chiacchierare il vicinato, e dato a lei la noia di
dover tenere gli occhi aperti. Ma Alberto, fin dalla prima volta che
l'aveva visto, le era parso così quieto, così raccolto, così pari pari,
che s'era indotta, dopo un po' di esitazione, a dargli la camera. La
figliuola, dal canto suo, non aveva fatto nessuna istanza, nè
mostrato desiderio ch'egli entrasse in casa a preferenza d'un altro;
ed anche per questo essa aveva acconsentito.
— Non ha di discreto che gli occhi, — aveva detto la figliuola il
giorno della sua entrata in casa.
Era un inquilino che dava poca noia. Tornava verso le nove della
sera, dava la buona notte, e andava a letto subito; la mattina, al
levar del sole, era già fuori. Così entrando, come uscendo, non
faceva il più piccolo rumore. Nella sua camera, quando la madre e la
figliuola entravano per rifare il letto, ogni cosa era al suo posto come
l'avevan lasciata il giorno prima; pareva che non ci fosse stato
nessuno. I mobili erano spolverati, i panni spazzolati e piegati; alle
donne non restava quasi nulla da fare. Pochi vestiti; scarsa
biancheria e di qualità infima, due o tre libri, un piccolo baule, eran
tutto il suo corredo; ma in ogni cosa c'era l'impronta d'una cura
continua e rigorosa, d'una lotta ostinata della spazzola, del sapone e
dell'ago, contro il tempo, le seggiole e i tavolini dello studio. —

Povero giovane, — esclamava la vecchia, — si vede che è corto a
quattrini; ma non gli manca il giudizio. — La figliuola, i primi giorni,
le diceva che per essere tanto assestato a vent'anni, bisognava non
aver sangue nelle vene, e che a lei gli uomini che rubavano il
mestiere alle donne, non le piacevano; ma dopo aver ripetuto molte
volte queste parole, una mattina aveva soggiunto: — Eppure, un
giovane che vive in questo modo.... è simpatico! —
Era quasi trascorso un mese, dacchè il giovane era entrato in quella
casa, e fra lui e le sue ospiti non eran corse altre parole che il solito
buon giorno e buona notte. Una sera la madre fu presa da un
accesso forte del suo male consueto, e il giovane venne pregato
d'andare a chiamar il medico. Andò, tornò col medico, e, dopo che
questi fu partito, restò nella camera accanto al letto della malata. La
ragazza doveva scendere nella strada a pigliar certe medicine dallo
speziale dirimpetto. Prima di scendere levò il lume di sulla tavola,
perchè sua madre pativa la luce, e lo pose a piè del letto, accanto al
giovane; poi s'avviò per uscire. Arrivata sull'uscio, approfittò del buio
che la nascondeva, per voltarsi a guardare il suo inquilino. — O chi è
quello là? — domandò a se stessa maravigliata. Il lume, rischiarando
di sotto in su il volto del giovane, gli dava una sfumatura alla pelle e
una vivezza d'espressione così nuova, che appariva quasi
trasformato. — Par bello, — soggiunse la ragazza, e discese. Quando
risalì, cominciò a discorrere, guardandolo. A ora tarda si separarono,
ed essa ripetè tra sè stessa: — Non ha proprio altro di bello che gli
occhi.... e la voce. —
Così, a poco a poco, ora per effetto d'un lume posto in un certo
punto, ora per la espressione insolita d'un atteggiamento, ora per il
suono particolare d'una parola, il giovane si venne mutando ai suoi
occhi a tal segno, che in capo a due mesi non le pareva più quel
d'una volta, accolto sulle prime con indifferenza e guardato non di
rado con dispetto.
La madre di tratto in tratto cadeva ammalata, e ogni volta egli
andava pel medico, e restava poi accanto al letto, quando la figliuola
doveva uscire. Così nacque fra loro una certa dimestichezza. La

vecchia aveva cominciato ad aprir gli occhi; ma non vedendo
assolutamente nulla che le desse motivo di tenerli aperti, li aveva
richiusi. Ringraziava spesso il suo inquilino delle cure che le prestava,
e ne discorreva affettuosamente colla figliuola. Finirono col far
conversazione ogni sera, tutti e tre, intorno al tavolino da lavoro; la
madre parlando per lo più dei pettegolezzi delle vicine, ii giovane
della sua Palermo, la ragazza di bazzecole, tanto per farsi veder
sorridere e poter guardare negli occhi il suo ascoltatore, mentre egli
guardava lei. Oltre gli occhi discreti e la voce bella, essa aveva
scoperto il sorriso simpatico e le maniere “proprio gentili„.
Una sera stavano affacciati tutti e due alla finestra guardando giù;
era buio e pioveva, e non si vedeva anima viva. A un tratto balenò in
fondo alla via una luce viva e tremula; eran le fiaccole della
Compagnia della Misericordia. — Che serata melanconica! —
mormorò la ragazza, voltando le spalle alla finestra; — è una di
quelle serate che verrebbe voglia di addormentarsi e di non
svegliarsi più... Non l'ha mai provato lei questo sentimento? —
Il giovane sorrise, poi mormorò: — Lei ha ancora sua madre; come
le possono venire in mente queste idee?
— E lei non l'ha più?
— Io non ho più nessuno. —
La ragazza fu scossa dall'accento di queste parole, lo guardò, e disse
a bassa voce: — Non lo aveva mai detto. —
Dopo un altro momento domandò: — Non ha neppure fratelli? —
— No.
— Avrà degli amici in Firenze....
— Nemmeno.
— Ma come si fa a vivere senza voler bene a nessuno?
— E chi le dice ch'io non voglia bene a nessuno?
La ragazza lo fissò, sorrise, mosse una mano per ravviarsi i capelli,
non potè, era imprigionata; mosse l'altra, era stretta anche quella;

chinò gli occhi, li rialzò, non v'era più alcuno; fuggì essa pure. Da
quel giorno, in quella casa, tutto mutò: pensieri, visi, atti, discorsi; la
madre aprì una terza volta gli occhi, ma cogli occhi anche il cuore ad
una speranza lontana; le conversazioni si protrassero ogni sera fino
ora più tarda; la dimestichezza divenne intimità; e solo una volta ci
fu un po' di malumore da una delle due parti. La madre propose al
suo inquilino di fargli il desinare in casa: egli rifiutò; ma dopo due
giorni si ristabilì la pace.
I due giovani eran tutt'e due piccoli e bruni; egli serio, essa allegra, e
più bella; e si chiamavano Alberto e Giulia.
IV.
Alcuni giorni prima che seguisse il caso del giardino d'Azeglio, una
sera, un po' avanti l'ora solita, Alberto tornò a casa col viso stravolto,
e si chiuse nella sua camera senza dir parola. La mattina seguente si
levò per tempo, e cercò d'uscire non visto; ma la ragazza, che stava
in guardia, lo fermò in tempo, e prima con un piglio scherzoso di
comando, poi con un accento commosso di preghiera, tentò di farsi
dire quello che gli era accaduto. Alberto, più serio, ma anche più
affettuoso del solito, le rispose che non gli era seguito nulla, che la
sera innanzi sera sentito un po' male, e che il riposo della notte
l'aveva rimesso. Ma era ancora pallido, e aveva gli occhi rossi. Giulia
non credette. Pregò ancora, lo prese per mano, versò qualche
lagrima, ma inutilmente; il giovane le strinse la mano e la guardò
con tenerezza, e poi uscì senza dir parola. Da quel giorno in poi non
parve più quello di prima. Anche le sue abitudini mutarono; tornava
a casa ora molto più tardi, ora molto più presto che per il passato,
parlava più di rado; e quantunque facesse uno sforzo continuo per
parere, se non allegro, tranquillo, si capiva, al solo guardarlo, che
era agitato e triste. La ragazza lo supplicava: — Parli! mi dica che
cos'ha! non mi faccia soffrire! — E lui ancora più caldamente pregava
Giulia che non si desse pensiero di quel suo cangiamento, ch'era
effetto d'un malessere passeggiero. Ma intanto ogni giorno diventava

più pallido e più melanconico, e lo sforzo che faceva per sorridere e
per parlare, appariva sempre più evidente e più doloroso. La sera
della scena del giardino tornò a casa per tempo, e Giulia lo pregò
ancora, più teneramente che mai, di parlare; egli le rispose con voce
stanca e tremante; — Fra qualche giorno.... oggi è impossibile; — e
si chiuse nella sua camera, lasciando la povera ragazza desolata. La
mattina dopo, prima che le donne si destassero, era già fuor di casa.
V.
La madre, benchè non avesse il capo ad altro che ai suoi malanni,
s'era accorta del mutamento seguìto in Alberto, e ne aveva parlato
più d'una volta colla figliuola; ma non le pareva cosa da doversene
gran fatto impensierire. — È una di quelle malinconìe, — diceva, — a
cui tutti i giovani vanno soggetti; qualche altro giorno e passerà. —
Giulia però, che aveva l'occhio fine e l'affetto divinatore, non era
dello stesso parere; il cuore le presagiva qualche cosa di sinistro; e
l'ansietà le era cresciuta a tal segno, che, sentendo di non poter più
durare in quello stato, risolvette di farsi dire la verità ad ogni costo,
avesse pur dovuto minacciare Alberto di togliergli il suo affetto e di
staccarsi per sempre da lui.
Venne la sera. Giulia e la madre cenavano, sedute l'una di fronte
all'altra, ai due lati d'un tavolino, rischiarato da un piccolo lume a
olio. La madre aveva fasciato il capo in modo che le si vedeva
appena il viso, e stava tutta raggomitolata in un vecchio seggiolone,
col mento sull'orlo del piatto e gli occhi socchiusi; sulla parete
opposta s'allungava l'ombra di Giulia, con una gran capigliatura
disordinata; la stanza era quasi buia, e non vi si sentiva che il
monotono tic tac dell'orologio.
A un certo punto sentirono un passo su per la scala, la porta s'aprì,
comparve Alberto.
— Finalmente! — esclamarono ad una voce le due donne.
Alberto sedette vicino alla tavola, Giulia lo guardò e gettò un grido:

— Dio mio! cos'ha? —
Alberto sorrise sforzatamente e rispose con dolcezza: — Non ho
nulla.
— È impossibile! Lei ha un viso smorto che fa paura! — esclamò
Giulia alzandosi.
— La prego.... — mormorò Alberto, pigliando Giulia per la mano; —
si metta a sedere.... le assicuro.... che non ho nulla.... —
Giulia sedette, ma spinse da parte il piatto e incrociò le braccia con
un atto dispettoso.
— Vuol provare un dito di vino? — domandò la vecchia.
Alberto ringraziò, facendo cenno che non voleva, e poi cominciò a
guardar Giulia con un'espressione di tenerezza così triste, e stando
in un atteggiamento che rivelava una prostrazione dell'animo così
profonda, che la ragazza non si potè più contenere, s'alzò, accese un
lume, e disse risolutamente alla vecchia: — Scusa, mamma, bisogna
ch'io parli un momento con Alberto. —
La madre, alzando gli occhi a fatica, guardò lei e il giovane, e disse a
fior di labbra: — Malinconìe; — Alberto entrò nella camera colla
ragazza, lasciando la porta aperta. Appena entrato, si abbandonò sur
una seggiola; Giulia sedette davanti a lui, e prendendogli una mano
fra le sue, gli disse a bassa voce, e presto:
— Mi confidi quello che ha, glielo domando per l'ultima volta, così è
impossibile andare avanti.... Non mi dica che non si sente bene; non
mi basta; io voglio sapere il perchè non sta bene; una cagione ci ha
da essere, qualcosa le dev'esser seguìto; la prego, me lo dica, non
mi faccia più vivere in pena, ho già sofferto abbastanza; non ha
fiducia in me? e se non confida i suoi segreti alle persone che le
vogliono bene, a chi li andrà a confidare? —
Alberto, per tutta risposta, le baciò la mano; essa la ritirò.
— Vuol che glielo dica — riprese — che cosa le è accaduto? — L'ho
indovinato. Lei ha avuto qualche grosso dispiacere allo studio. Un

superiore le ha fatto un rimprovero a torto, lei s'è risentito, l'altro le
ha detto qualche parola offensiva, e lei per non perdere l'impiego ha
dovuto tacere, e per questo lei soffre; mi dica un po' che non è vero,
se può? Mi sostenga un po' che non ho indovinato!
— No, — rispose con voce debole Alberto, riprendendo la mano di
Giulia.
— Allora.... — questa riprese — lo so io il perchè. Il perchè è un
altro. Vuole che glielo dica francamente? Lei ha giocato! — E lo
guardò fisso. — Lei ha giocato, ha perduto, e adesso ha dei debiti
che non sa come pagare. Mi confessi che il fatto è questo. Ma allora
perchè non me l'ha detto subito? Doveva capire che quel poco che
possiamo far noi, per cavarla d'impiccio, siamo disposte a farlo con
tutto il cuore. Per conto mio, veda, se non ci dovesse rimaner in casa
altro che un pagliericcio per dormire e quattro cenci per coprirci....
No, non sorrida, lei non può immaginare il male che mi fa il suo
sorriso; io non dico nulla che non sia pronta a fare domani, subito,
questa sera, se lei ci vuol mettere alla prova,... io conosco mia
madre. Mi dica che ha giocato, via —
Alberto fece cenno di no col capo, e si coprì il viso con tutt'e due le
mani.
— Ma che può esser dunque? — continuò Giulia, facendogli tirar le
mani giù; — qualche promessa che ha fatto a sè stesso, e che ora le
rincresce di non poter mantenere? Un progetto, per esempio, che lei
aveva in capo, e che per eseguirlo aspettava, che so io? un
avanzamento nel suo impiego; e questo non è venuto, e lei ha perso
ogni speranza? È così? Un progetto, in cui entravo io forse? Dio
buono, guardi che cosa mi fa dire! Ma se fosse questo, io le darei la
mia parola, le giurerei qui, in questo momento, per quello che ho di
più caro al mondo, che il bene che le voglio sarà sempre uguale,
qualunque cosa le accada e in qualunque stato si trovi.... Lei non ha
che vent'anni! C'è tanto tempo ancora! Non ci sarebbe da darsi
pensiero per il tempo! —

Alberto mise una mano sulla spalla della ragazza, la guardò negli
occhi, e mormorò: — Cara Giulia! se ti dicessi quello che ho.... ti
affligerei troppo! Lasciami solo, te ne prego, ti prometto che un
giorno ti dirò tutto; ora non posso, non ne ho il coraggio.... —
Giulia s'alzò improvvisamente, corse alla porta, guardò nell'altra
stanza: sua madre dormiva. Richiuse l'uscio, tornò, e si gettò in
ginocchio dinanzi ad Alberto.
— Per l'ultima volta, — proruppe con voce di pianto, — te ne
scongiuro: dimmi quello che hai! —
Alberto stette qualche momento sopra pensiero, guardandola; poi si
scosse, come se si fosse risoluto a parlare; aprì la bocca....
— Dunque! — esclamò vivamente Giulia.
— Guardami.., — ripose Alberto con un filo di voce.
Giulia si fece un po' da parte, affinchè il lume battesse in pieno nel
viso d'Alberto; lo guardò attentamente, e poi, afferrandogli tutt'e due
le mani, esclamò spaventata: — Ma tu soffri molto! Tu hai bisogno
del medico, Alberto! Che hai? che ti senti? —
Alberto lasciò cadere il capo sopra la spalla di Giulia.
— Mio Dio! — disse questa, tentando inutilmente di sollevarlo —
Mamma! mamma!
— No, non la chiamare, — mormorò Alberto senza alzare il capo, e
mettendo le braccia intorno al collo della ragazza inginocchiata; —
.... ti dico tutto.
— Presto!
— Senti, — continuò il giovane colla voce così bassa che appena si
sentiva; mi costa uno sforzo che tu non puoi immaginare.... il doverti
dire.... Non mi rincresce mica per me, Giulia, ma per te.... Tu mi
perdonerai.... Io credevo d'avere il coraggio.... di tacer sempre; ma il
coraggio mi manca.... io tradisco tutti i miei proponimenti.... ho
aspettato fino all'ultimo.... dimmi che mi perdonerai!
— Oh sì! sì! — rispose Giulia piangendo; — ma parla!

— Ebbene.... ho da dirti una cosa.... che non ti posso dire
guardandoti.... appoggia la testa qui.... così.... —
Giulia appoggiò la testa sul petto del giovane, e questi avvicinò le
labbra al suo orecchio. Stettero qualche tempo immobili in
quell'atteggiamento: essa col viso rivolto in su, e gli occhi socchiusi,
come se dormisse; egli col capo chino e i capelli sparsi sulla fronte.
Non si sentiva che il respiro affannoso di Giulia, e un gemito
monotono della madre che dormiva nell'altra stanza. Era la prima
volta che egli la teneva fra le braccia in quel modo, e per qualche
momento la dolcezza di quell'abbraccio fu in tutti e due così viva,
che quasi sospese in loro il senso del diverso dolore che li agitava; le
guancie di Giulia si soffusero di rossore, e le sue labbra si apersero
con un leggero sorriso; Alberto la baciò, e subito tirò indietro il viso
come se si fosse scottato; tornò in sè, mise un gemito tronco, e
riabbassando il capo in atto di profondo abbandono, mormorò
nell'orecchio a Giulia: — Ho fame! —
Giulia balzò in piedi gettando un grido, e restò immobile, chinata,
intenta, cogli occhi fissi in quei d'Alberto.
Questi si coperse il viso, ed esclamò con accento sconsolato: — Ah,
non lo dovevo dire, Giulia! Perdonami! —
La ragazza gittò un altro grido acuto, straziante, cadde in ginocchio
dinanzi ad Alberto, lo baciò, si rialzò, si guardò intorno, si cacciò le
mani nei capelli, diede in uno scoppio di pianto, e gridò: — Io
divento pazza! — Corse alla porta, chiamò ad alta voce: — Mamma!
Mamma! — Rivenne indietro e ribaciò Alberto, si slanciò nell'altra
stanza singhiozzando, ritornò a passi concitati tenendo il grembiale
aperto colle due mani, vacillò e cadde.
In quel punto s'affacciò sull'uscio la madre.
Alberto, pallido, cogli occhi fissi su Giulia, colle braccia penzoloni,
pareva fuori di sè; Giulia stava inginocchiata, col capo abbandonato
sulle ginocchia di lui, immobile; sul pavimento, intorno a loro, erano
sparsi dei pezzi di pane e delle frutta, che la ragazza s'era lasciata
sfuggire cadendo.

VI.
Lo studio in cui lavorava Alberto, era in una delle strade più solitarie
di Firenze. Vi lavoravano con lui tre o quattro giovani, tra praticanti e
scrivani, coi quali aveva poca dimestichezza, perchè troppo diversi
da lui di natura e di abitudini. L'avvocato, a cui apparteneva lo
studio, era un uomo sulla cinquantina, d'aspetto severo, di modi
bruschi e di poche parole; ma buono, si diceva, e giusto, e qualche
volta anche affabile coi suoi sottoposti; a patto però che non gli
contradicessero mai, che aspettassero la riparazione d'un torto,
quando ne facesse, dal suo pentimento spontaneo, senza sollecitarlo
con richiami o con proteste; galantuomo, in una parola, salvo
l'orgoglio e l'indole irascibile, che lo facevan più temere che amare.
Nei suoi giovani, anche più dell'operosità e del raccoglimento, gli
piaceva la deferenza manifestata col contegno modesto e colle
parole ossequiose; e perciò non gli era mai andato molto a genio
Alberto, che soleva obbedire tacendo, salutare senza sorridere e
rispettare senza inchinarsi. L'altro scrivano (eran due) era più nelle
sue grazie, e a questo egli affidava di preferenza i lavori straordinarii
che davano qualche piccolo guadagno, oltre lo scarso assegnamento
mensuale. Questi era premuroso, sorridente, pieghevole; preveniva,
con una rapidità mirabile, ogni suo atto; rifletteva, colla prontezza
d'uno specchio, ogni suo sorriso; ripeteva, colla fedeltà dell'eco,
l'ultima parola d'ogni sua frase; vestiva con un certo garbo; non
portava quei soprabitini e quei calzoncini slavati e spelati d'Alberto,
che pareva tenessero i punti per miracolo, e rinfacciassero
continuamente all'avvocato la meschinità dello stipendio e la miseria
dello stipendiato. Questi era intimamente e apertamente il prediletto.
Per la qual cosa Alberto lo guardava bieco, non per invidia della
predilezione, chè non era anima capace d'invidia; ma per
l'ostentazione maligna che quegli faceva dei suoi privilegi, con un
perpetuo leggerissimo sorriso di benevolenza protettrice, più
insolente che la superbia. Aveva qualche anno più d'Alberto, era
mingherlino, sempre vestito da zerbinotto, gaio, parolaio, seccante.

Era una mattinata piovosa degli ultimi di marzo, sette giorni prima
che seguisse in casa di Giulia il fatto che s'è raccontato; faceva
freddo ed era stato acceso il fuoco in tutti i camminetti dello studio.
Alberto scriveva in una stanza accanto a quella del principale, poco
distante dall'altro scrivano, il quale si alzava di tratto in tratto per
andarsi a riscaldare. All'improvviso si presentò sulla soglia del suo
gabinetto l'avvocato, e col solito cipiglio accennò ad Alberto che
aveva bisogno di lui. Alberto s'alzò e corse nel gabinetto. L'avvocato
sedette davanti alla sua scrivanìa, ch'era di fronte al camminetto, e
cominciò a cercare tra i suoi fogli, dicendo: — Ho da darle una cosa
a copiare. — Alberto stava ritto nella posizione d'un soldato, un
passo discosto dalla sua seggiola. — Non c'è, — disse l'avvocato, e,
chiudendo con impeto un grosso libro di conti che gli stava dinanzi,
s'alzò ed uscì. Tornò poco dopo con un foglio di carta in mano,
dicendo: — Eccolo, — lo porse ad Alberto, e fece un atto della mano
che voleva dire: lo copii. Alberto ritornò nella sua stanza e cominciò
a copiare. Dopo pochi momenti sentì nel gabinetto dell'avvocato un
romore confuso come di libri e di fogli messi sossopra, voci
d'impazienza, sbuffi, e poi silenzio; di lì a poco di nuovo il romore,
più forte e più affrettato di prima, e poi daccapo silenzio; finalmente
udì il suo nome. Corse nel gabinetto e si piantò come sempre dinanzi
al tavolino, dicendo: — A' suoi ordini. —
L'avvocato lo guardò. Alberto, non abituato allo sguardo di
quell'uomo, a cui sapeva di non esser simpatico, arrossì.
— Mi dica la verità, — disse l'avvocato severamente, abbassando gli
occhi sulla scrivanìa.
Il giovane lo guardò stupito. L'avvocato fissò lui di nuovo, corrugò le
sopracciglia, parve un momento incerto, e poi ripigliò con tono
risoluto:
— Mi dica la verità.... e resterà sepolta fra me e lei per sempre.
— Non intendo! — rispose il giovane sorridendo.
Ci sono dei momenti sfortunati, pur troppo, in cui basta il più
fuggevole indizio a mutare un vano sospetto in una certezza

profonda, risoluta, cieca, che strappa dal labbro parole fatali.
— Qui — disse con vivacità l'avvocato — c'era un biglietto da cento
lire.
— Oh! — esclamò il giovane diventando pallido, e facendo un gesto
vigoroso come per respingere da sè quel sospetto.
L'avvocato lo fissò come per leggergli nell'anima.
— Signor avvocato! — gridò Alberto con una voce che non pareva
più la sua — le proibisco di guardarmi in quel modo!
— Ci sono io solo, — rispose imperiosamente l'avvocato, — io solo
che posso dire qui: proibisco! Ed io le proibisco di rimetter più piede
nel mio studio!
— Ma badi a quello che fa, in nome di Dio! — gridò Alberto con un
accento supplichevole e disperato.
L'avvocato, fremendo, gli accennò la porta.
Erano accorsi gli altri giovani; Alberto li guardò, guardò di nuovo
l'avvocato, fece uno sforzo per parlare, non potè, si diede un gran
colpo sulla fronte, ed uscì a passi concitati.
— Se ne vadano! — disse bruscamente il principale ai giovani; e fu
lasciato solo. Rimase immobile, pallido, cogli occhi fissi sulla porta.
L'ira sbollì presto, lo assalì un dubbio improvviso, si rimise a cercare
in fretta e in furia sul tavolino, sotto, intorno, tra i libri; non trovò
nulla, mise un respiro, si abbandonò sulla seggiola ansando. — Era
qui — mormorò battendo la mano su tavolino — qui, ne son certo
come della mia esistenza, non mi posso essere ingannato! — E poi
ricominciò a pensare e a cercare.
Dopo quel giorno Alberto non ricomparve più, e l'avvocato non ne
fece più parola. Credendo che nessuno avesse sentito le parole che
erano state la cagione del diverbio — qui c'era un biglietto da cento
lire — non rivelò questa cagione a nessuno. Ricercò il biglietto, ma
sempre inutilmente; perdette ogni dubbio; ebbe anzi a momenti
l'intenzione di far cercare il giovane per costringerlo a confessare. Ma

quando gli si presentava l'immagine di quel volto trasfigurato e
pallido, e di quel gesto imperioso, un senso di timore segreto, più
forte quasi della sua certezza, lo stornava dal suo disegno.
Questa era stata la cagione del cangiamento seguìto in Alberto, e di
tutto quello che gli era avvenuto dipoi. Non era più tornato allo
studio, e non aveva più incontrato nessuno di coloro che
v'appartenevano.
E Giulia, in quella sera della fame, aveva saputo ogni cosa.
VII.
In quel tempo abitava in un quartierino elegante di via Santa
Reparata un giovanotto napoletano, venuto a Firenze a farvi studi di
lingua, e a consultare documenti per un'opera di critica letteraria, a
cui aveva posto mano da lungo tempo. Era in Firenze da più d'un
anno e vi conosceva molta gente; ma usava con pochi e a sbalzi,
secondo lo governava l'umore variabilissimo, e una passione violenta
per gli studii, interrotta di quando in quando da uno slancio
impetuoso verso la vita svagata. La sua casa era l'espressione fedele
della sua indole e della sua vita. C'eran molti libri, tutti in un monte
sopra un tavolino, slegati, con copertine e fogli sparsi; in cima al
monte dei libri la biancheria pulita, portata un'ora innanzi dalla
stiratora; sulla biancheria un cappello a cilindro colla traccia della
spazzola passata contro il verso del pelo; un gran ritratto di Lodovico
Ariosto, il suo poeta prediletto, appeso a una parete, e sotto il
ritratto una carta geografica, staccata da uno dei due chiodi che la
tenevano, coll'estremità inferiore immersa in un calamaio
dimenticato sopra una seggiola. Sulla stufa, sui tavolini, sul letto, da
per tutto, vestiti, fogli, brani di giornale, sopraccarte strappate; e un
nuvolo di polvere per tutto dove si désse un soffio o si battesse la
mano.
Eran l'undici della mattina d'uno dei primi giorni d'aprile, e il nostro
giovane si alzava dal letto, cogli occhi gonfi, il capo pesante e la

bocca amara. Guardatosi un momento nello specchio, entrò nel
salotto che gli serviva di studio, buttò fuor della finestra una forcina
da capelli che trovò sul pavimento, tirò un lungo e sonoro sbadiglio,
e si abbandonò sopra una poltrona, con una gamba sull'altra e le
braccia incrociate, pensieroso. A un tratto vide una lettera sul
tavolino, la prese, l'aprì, guardò la firma, e cominciò a leggere.
Le prime righe non le capì, tanto aveva la mente intorpidita dal
sonno. Ma a poco a poco il senso gli si fece chiaro.
“.... Vediamo, — diceva la lettera; — di che si può dolere lei in
questo mondo? Che cosa le manca? La salute? ne ha da sciupare. Il
denaro? n'ha quanto basta. La stima pubblica? pochi alla sua età
n'hanno avuta di più. Gli amici? ne ha molti e sinceri. L'ingegno? è la
sua qualità più spiccata. L'amore? non ha che a cercarlo. Che le
manca dunque? Vuole che io glielo dica quello che le manca? La
disciplina. Lei è troppo padrone del suo tempo, per l'età che ha; è
troppo libero, ha troppo pochi doveri da compiere, troppo pochi
sacrifizii da fare; e di qui nascono le sue malinconìe, le sue
svogliatezze e le sue lamentazioni, che sono veri oltraggi alla
Provvidenza. Me lo creda: se lei avesse, come molti altri giovani, da
guadagnarsi il pane lavorando, se avesse una famiglia a cui pensare,
una madre ammalata da assistere, o che so io, non le resterebbe
mica il tempo per iscrivere lettere come quella che ha scritto a me in
un abbandono di stanco tedio leopardiano. Lei ha bisogno di
disciplina, le ripeto, di freno. Intraprenda uno studio severo, faticoso,
che la costringa a pensare, a star lì colla testa, come disse uno
scrittore che le piace; e si faccia una legge di studiare quelle tante
ore il giorno, e in quelle date ore; e vi si attenga, e si domini, e lasci
da parte, almeno per qualche tempo, i libri che le accendono
l'immaginazione. E sopra tutto si prefigga una regola di vita sicura e
costante; non viva così alla giornata, oggi col Musset tra mano,
domani col Lamennais, la sera a crapula cogli amici, la mattina
dinanzi alla porta del convento di Fiesole a meditare sulla vanità dei
piaceri umani. Lavori molto e ogni giorno, e non soltanto intorno a
ciò che le piace; si formi il disegno d'un'opera vasta che l'obblighi a
ricerche lunghe e pazienti, e cominci subito piantando un formidabile

voglio in mezzo all'anima, come salda colonna adamantina. E si
persuada una volta per sempre che quel po' di felicità che si può
godere in questo mondo sta nella quiete, nell'ordine, nella sicurtà
della coscienza; e che il volersi ribellare a questa legge, gli è come
dibattersi in una gabbia di ferro, della quale si potranno fare
scricchiolar le sbarre con uno sforzo gigantesco, torcerle anche,
insanguinarle; ma non uscirne mai. Non isciupi la sua salute, il suo
ingegno, e codesto cuore ardente e gentile in una lotta inutile; si
raccolga, si fortifichi, e le malinconìe spariranno, e vi sottentrerà
un'allegrezza operosa, che le farà parer bella la vita.„
Il giovane scrollò le spalle. e buttata la lettera in un canto, riprese
l'atteggiamento pensieroso di prima. Dopo un po' si scosse, aprì un
libro e cominciò a leggere. Poi richiuse il libro e lo buttò nel muro;
prese un foglio pieno d'appunti e lo fece in pezzi; si alzò, e si mise a
passeggiare a passi rapidi. Poi si fermò e disse con dispetto: — Ma
che faccio io qui a rodermi l'anima? Animo, fuori, alla luce del sole,
in mezzo agli uomini, a vivere da uomo, maledetto topo di biblioteca!
— E corse nell'altra stanza per vestirsi. In quel punto sentì picchiare
all'uscio, s'infilò un vestito e tornò nel salotto, gridando: — Avanti. —
La porta s'aprì e spuntò un viso ch'egli non conosceva.
— Avanti, — ripete in tono brusco il giovane, vedendo che lo
sconosciuto esitava.
— Perdoni, — domandò questi timidamente, — è lei il signor***? —
e disse il nome.
— Son io — rispose il giovane napoletano.
— Lei ebbe la bontà — mormorò umilmente il nuovo arrivato — di
darmi il suo biglietto da visita, giorni fa, nel giardino Massimo
d'Azeglio.
— Come! — esclamò l'altro con allegra maraviglia — lei è quel
signore ch'era seduto sulla panca?
— Quello stesso, — rispose Alberto.

Il napoletano gli porse una seggiola, e gli disse con accento di
curiosità: — Mi dirà ora che cosa le era seguito! Ma prima di tutto, a
che debbo il piacere di vederla? In che la posso servire?
Alberto esitò un istante, e poi disse in fretta arrossendo: — Avrei da
farle un discorso lungo.... Prima però la debbo pregare di
perdonarmi se quella sera corrisposi così male alla sua bontà.... Non
sapevo più quel che mi facessi....
Il giovane lo costrinse a sedere.
— Mi dica quello che m'ha da dire, francamente.
— La ringrazio, — disse Alberto facendo l'atto di stender la mano ma
ritirandola subito; — io ebbi prima d'ora l'intenzione di venir da lei;
non me n'ero mica dimenticato, glielo assicuro; ma mi mancò il
coraggio, perchè.... il favore, di cui avrei avuto bisogno nei giorni
passati, mi sarebbe costato uno sforzo troppo grande a
domandarglielo.... Ora però.... È vero che forse ora vengo a darle
una noia anche maggiore....
— Non mi parli di noia; — disse con vivacità il giovane, a cui la
fisonomia aperta e severa di Alberto aveva ispirato fin da principio
una piena fiducia; — mi dica quello che m'ha da dire, liberamente,
come a un amico.
— Ebbene, le dirò ogni cosa, — cominciò Alberto, e detto prima il
suo nome, e com'era venuto a Firenze, e come vi era vissuto fino
allora, e dove stava e con chi, raccontò per filo e per segno, colla
voce tremante e il viso acceso, il fatto che gli era seguito nello
studio.
Il giovane napoletano fece un atto di meraviglia e di dispiacere.
— Non conosco quest'avvocato, — disse poi, interrompendo Alberto
che voleva continuare; — ma perchè lei non è tornato, quando
poteva supporre che quel signore fosse più tranquillo? Perchè non è
andato almeno a vedere, o non ha almeno cercato di sapere se il
biglietto fu poi ritrovato o no?

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