GABARITOS 2 BIM

Escola Nova 2º Bim 2015

1. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.A

1) Ao arremessar uma moeda honesta,
qual é a probabilidade de encontrarmos:
a) cara Probabilidade ½ ou 50%
b) coroa Probabilidade ½ ou 50%

2) Um dado não-viciado é arremessado.
Qual é a probabilidade de sair:
a) o número 5?
Casos favoráveis: o 5 (1 caso)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 1/6

b) um número par?
Casos favoráveis: 2, 4 e 6 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)

c) um número ímpar?
Casos favoráveis: 1, 3 e 5 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)

d) um número maior que 4?
Casos favoráveis: 5 e 6 (2 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 2/6=1/3 (ou 33,33%)

e) um número menor que 4?
Casos favoráveis: 1, 2, 3 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)

f) um número primo?
Casos favoráveis: 2, 3 e 5 (3 casos)
Casos possíveis: 6
Probabilidade: 3/6=1/2 (ou 50%)

NÚMERO PRIMO é aquele que divide
apenas por um e por ele mesmo, isto é, 2,
3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, etc...

Quando a probabilidade é 0%=0 o
evento é chamado de EVENTO
IMPOSSÍVEL

Quando a probabilidade é 100%=1 o
evento é chamado de EVENTO CERTO

3) Qual é o espaço amostral?
a) do arremesso de uma moeda

{K, C}

b) do arremesso de um dado.

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

c) do arremesso de duas moedas.

{(K, K), (K,C), (C, K), (C,C)}

d) do arremesso de dois dados.


{ (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6),
(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),
(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),
(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),
(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),
(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}


3) Arremessando dois dados não-viciados
e somando-se suas faces, qual é a
probabilidade de encontrarmos:


DIAGRAMA
1 – impossível
2 – (1,1) → 1/36
3 – (1,2), (2,3) → 2/36 = 1/18
4 – (1,3), (2,2), (3,1) → 3/36=1/12
5 – (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) → 4/36=1/9
6 – (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) → 5/36
7 -(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)→6/36
8 - (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) → 5/36
9 – (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4/36=1/9
10 – (4,6), (5,5), (6,4) → 3/36=1/12
11 – (5,6), (6,5) → 2/36=1/18
12 – (6,6) → 1/36

a) 1 → 0 b) 2 → 1/36 c) 3 →1/18
d) 4 → 1/12 e) 5 → 1/9
f) 6 → 5/36 g) 7 → 1/6
h) 8 → 5/36 i) 9 → 1/9
j) 10 → 1/12 k) 11 → 1/18
l) 12 → 1/36

5) Arremessando duas moedas, qual é a
probabilidade de:

Espaço amostral: KK, KC, CK, CC

a) sair cara no primeiro lançamento.
Raciocínio comum: 2/4 = 1/2
Raciocínio alternativo: ora, no primeiro
lançamento pode sair cara ou coroa, então
1/2

b) sair duas faces iguais
KK ou CC, portanto 2/4=1/2

6) a) Em uma urna há 4 bolas, numeradas
de 1 a 4. Qual é a probabilidade de sair um
número par?

Casos favoráveis: 2 e 4 (2 casos)
Casos possíveis: 4
Probabilidade: 2/4=1/2=50%

b) Em uma urna há 100 bolas, numeradas
de 1 a 100. Qual é a probabilidade de sair
um número quadrado perfeito?

Casos favoráveis: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49,
64, 81, 100 (10 casos)
Casos possíveis: 100
Probabilidade: 10/100=1/10 ou 10%

c) Em uma urna há 25 bolas, numeradas
de 1 a 25. Qual é a probabilidade de sair
um número primo?

Casos favoráveis: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23
(8 casos)
Casos possíveis: 25
Probabilidade: 8/25 ou 32%

Para achar a probabilidade pensamos
assim
8------25
x-------100
Como 100=4 x 25, basta multiplicar 8 por 4,
ou seja, temos 32.


d) Em uma urna há 50 bolas, numeradas
de 1 a 50. Qual é a probabilidade de sair
um número maior que 18?

Casos favoráveis: 19 a 50 (ou seja 50-
18=32)
Casos possíveis: 50
Probabilidade 32/50 = 16/25 ou 64%


e) Em uma urna há 30 bolas, numeradas
de 1 a 30. Qual é a probabilidade de sair
um número múltiplo de 7?

Casos favoráveis: 7, 14, 21 e 28 (4 casos)
Casos possíveis: 30
Probabilidade: 4/30=2/15

f) Em uma urna há 30 bolas, numeradas de
1 a 30. Qual é a probabilidade de sair um
número múltiplo de 7 e 5 ao mesmo
tempo?

Casos favoráveis: nenhum. Não há número
múltiplo de 7 e 5 ao mesmo tempo entre 1
e 30.
Casos possíveis: 30
Probabilidade: 0/30 = 0% evento
impossível

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.B

7) Em um baralho comum sem o coringa,
diga qual é a probabilidade de escolhermos
uma carta:

São 13 cartas de cada um dos 4 naipes, ou
seja, 52 cartas

a) de naipe de copas. 13/52 ou 1/4 ou 25%
b) de naipe de ouro. 13/52 ou 1/4 ou 25%
c) de naipe de espadas. 13/52 ou 1/4 ou
25%
d) de naipe de paus. 13/52 ou 1/4 ou 25%
e) de número 7. 4/52 ou 1/13
f) de número 9. 4/52 ou 1/13
g) cuja face é K. 4/52 ou 1/13
h) cuja face é Q. 4/52 ou 1/13
i) cujo naipe é preto. 26/52 ou ½ ou 50%
j) cujo naipe é vermelho. 26/52 ou ½ ou
50%
k) um Ás de copas 1/52
l) um 7 de ouros 1/52
m) um valete vermelho. 2/52=1/26
n) um 10 preto. 2/52=1/26
o) uma carta de 4 ou de J 8/52=4/26=2/13
p) uma carta que não seja J, K ou Q.
Sobram 10 cartas por naipe 40/52=10/13

8) a) Qual é a probabilidade de um número
de dois algarismos seja múltiplo de 15?

Casos favoráveis: 15, 30, 45, 60, 75 e 90
(ou seja, 6 casos).
Casos possíveis: 10 ao 99, sendo 90 casos
Probabilidade: 6/90=1/15

b) Qual é a possibilidade de um número de
três algarismos formado apenas com 3, 5 e
4 sem repetição seja par?

Casos favoráveis: 354 e 534 (2 casos)
Caso possíveis: 354, 345, 534, 543, 435,
453 (6 casos)
Probabilidade: 2/6=1/3

9) Escreva a árvore das probabilidades
(NO CADERNO):
a) do arremesso de três moedas.

2. d) dos números de três algarismos que
podem ser escritos com os algarismos 2, 5
e 4 com ou sem repetição.
e) dos números de três algarismos que
podem ser escritos com os algarismos 2, 5
e 4 sem repetição.
f) Dos códigos de 3 caracteres formados
com as letras A, B e C.
g) Dos códigos de 3 caracteres formados
com as letras A, B, C, D, E iniciados por
vogal.
h) Dos números de 4 algarismos pares
iniciados por 4, 6 ou 2 e sem repetição.

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.C

1) Qual é a probabilidade de se obter um
resultado maior que 4 ao se lançar um dado
honesto?

2/6 = 1/3

2) Ao lançar um dado duas vezes, qual é a
probabilidade de se obter soma 5?

As possibilidades são (1,4), (2,3), (3,2) ou (4,1).
Ou seja, são 4 possibilidades num universo de
36.

4/36 = 1/9

3) Em uma urna há 5 bolas vermelhas e 4 pretas,
todas de mesmo tamanho e feitas do mesmo
material. Retiramos duas bolas sucessivamente
da urna, sem repô-las. Qual é a probabilidade de
que sejam retiradas duas bolas vermelhas?

Usando o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM

Casos Possíveis:
1ª retirada: 9 possibilidades
2ª retirada: 8 possibilidades
Pelo PFC: 9 x 8 =72

Casos Favoráveis:
1ª retirada: 5 possibilidades, pois são 5 bolas
vermelhas
2ª retirada: 4 possibilidades, pois não há
reposição
Pelo PFC: 5 x 4 = 20

20 / 72 = 10 / 36 = 5/18

4) Pedro e João combinaram de lançar uma
moeda 4 vezes. Pedro apostou que, nesses 4
lançamentos, não apareceriam 2 caras seguidas;
João aceitou a aposta. Quem tem maior chance
de ganhar a aposta?

Fazendo todas as 16 possibilidades (pode usar
um diagrama de árvore), verificamos que em 8
dessas possibilidades aparecem 2 caras
seguidas (faça o diagrama).

Ou seja, há 8/16 = ½ de probabilidade de sair
duas caras seguidas e 8/16 = ½ de probabilidade
de NÃO sair duas caras seguidas.

Os dois tem as mesmas chances!


5) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual é a
probabilidade de que saiam 2 caras?
Observe o diagrama 9A, e verifique que há 4
possibilidades de 8 para sair 2 caras, ou seja 4/8
= ½ ou 50%.
Resposta: 50%

6) Um casal decidiu que vai ter 4 filhos. O que é
mais provável: que tenham dois casais ou três
filhos de um sexo e um de outro?

O mais provável é ter 2 filhos de cada sexo, pois,
a probabilidade de nascer homem ou mulher é de
50%.

7) Duas peças de um dominó comum são
sorteadas. Qual é a probabilidade de que tenham
um número em comum?

Um dominó é numerado de 0 a 9, ou seja, há 100
peças.

As peças comuns são (0,0), (1,1), ... (9,9), ou
seja, 10 peças com números duplos.

10/100 = 1/10 ou 10%


8) Laura e Telma retiram um bilhete cada de uma
urna em que há 100 bilhetes numerados de 1 a
100. Qual é a probabilidade de que o número
retirado por Laura seja maior do que o de Telma?
E se elas, depois de consultarem o número,
devolvem o bilhete à urna?

Esse exercício é da programação de estudos
para Olimpíadas de Matemática. Veja a resposta
oficial:

Em ambos os casos, Laura e Telma têm a
mesma probabilidade de tirar um número maior
que a outra. Se não há devolução, não pode
haver empate, e a probabilidade de que Laura
tenha o maior número é 50%. Se há devolução,
há possibilidade de empate e a probabilidade de
que isto ocorra ´e igual a 100 casos de empate
dividido por 100 × 100 casos possíveis que ´e
igual a 0, 01, Logo, neste caso a probabilidade de
que Laura tenha um núumero maior do que o de
Telma é (1 − 0,01)/2 =0, 99/2 = 0, 495.

Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.D

9) Ana, Joana e Carolina apostam em um jogo de
cara-e-coroa. Ana vence na primeira vez que
saírem duas caras seguidas; Joana vence na
primeira vez que saírem duas coroas seguidas;
Carolina vence quando sair uma cara seguida de
uma coroa. Qual é a probabilidade que cada uma
tem de vencer?

Veja a árvore das probabilidades:


A probabilidade de Ana ou Carolina vencer é
1/4+1/8=3/8. A de Joana é 1/4. (Considere o 3º
galho como ¼ e o 4º galho como 1/8, você
consegue entender o motivo!)

Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!


10) O trecho a seguir foi obtido em um site de
internet que se propõe a aumentar as chances de
vitória no jogo da Sena (que consiste em sortear
6 dentre 60 dezenas). “Quando afirmamos, por
exemplo, que as dezenas atrasadas são
importantes, é porque já observamos, em nossos
estudos, que todas as dezenas são sorteadas a
cada quarenta testes, portanto, seria útil você
acompanhar e apostar em dezenas atrasadas;
você estaria assim aumentando muito suas
chances.” Você concorda que apostar em uma
dezena atrasada aumenta as chances de vitória
na Sena?

Resposta da OBM: Embora haja pessoas que
ganhem a vida com este tipo de afirmação, ela é
completamente sem sentido. As extrações são
independentes, o que faz com que uma dezena
estar atrasada seja completamente irrelevante
para o que vai acontecer no futuro. Na verdade,
se estamos em dúvidas sobre a
equiprobabilidade das diversas dezenas,
poderíamos concluir exatamente o contrário: se
uma dezena sai menos que outras, talvez seja
porque seja menos provável (por exemplo, a
bolinha correspondente pode ser maior ou mais
leve que as outras).

Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!


11) Suponhamos que você tenha duas escolhas
para apostar na Sena. Na primeira escolha
aposta nas dezenas 1 - 3 - 5 7 - 9 - 11, e na
segunda escolha nas dezenas 8 - 17 - 31 - 45 -
49 - 55. Qual você acha que tem maiores
chances de ser vitoriosa?

Resposta da OBM: Obviamente, os dois jogos
têm a mesma probabilidade de serem vitoriosos
(mas você acha que as pessoas, em geral,
concordariam com isto? por quê?).

Esse exercício é muito difícil e não será
solicitado na prova!

12) (O Problema do Bode) Este problema foi
proposto em um programa de rádio nos Estados
Unidos e causou um enorme debate na internet.
Em um programa de prêmios, o candidato tem
diante de si três portas. Atrás de uma dessas
portas, há um grande prêmio; atrás das demais
há um bode. O candidato escolhe inicialmente
uma das portas. O apresentador (que sabe qual é
a porta que contém o prêmio) abre uma das
portas não indicadas pelo candidato, mostrando
necessariamente um bode. A seguir, ele pergunta
se o candidato mantém sua escolha ou deseja
trocar de porta. O candidato deve trocar ou não?
(Uma forma de você guiar sua intuição consiste
em simular o problema.)

Resposta da OBM: O candidato deve trocar a
porta. Se ele não o faz, sua chance de vitória está
em ter escolhido a porta certa da primeira vez, o
que ocorre com probabilidade 1/3. Trocando a
porta, ele vai ganhar o prêmio exatamente nos
casos em que a porta escolhida é a errada, o que
tem probabilidade 2/3.

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.E

Problemas de Contagem
1) (Olimpíada Cearense de Matemática da
Escola Pública – Numeratizar – 1ª série do
Ensino Médio – 1ª fase/2003) A formiguinha vai
caminhar de A até C passando por B. Ela só anda
pelas estradas que já construiu:

O número de caminhos diferentes que ela pode
escolher é:
a) 4 b) 5 c) 7
d) 8 e) 9
Entre A e B: 3 caminhos
Entre B e C: 3 caminhos

Total de caminhos: 3 x 3 = 9

2) (EMEF Ricardo Caramuru de Castro
Monteiro – CAIC Vale do Sol – Araraquara-SP
– 8ª série – 2003) No Brasil, as placas de carro
são compostas por 3 letras do alfabeto latino
(total:26 letras) e 4 algarismos hindo-arábicos
(total:10 algarismos). Qual é o número máximo de
placas de carro que podem ser feitas no Brasil?
a) 17576000 b) 175760000
c) 6760000 d) 115316136

Basta utilizar o princípio fundamental da
contagem, que é bem mais simples:

26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10

3) (EMEB Arthur Natalino Deriggi – São
Carlos-SP – 5ª série – 2003) Margareth tem 12
blusas e 11 saias. Quantas combinações de saia
e blusa Margareth pode usar?
a) 23 b) 12 c) 144 d) 132 e) 121

Basta fazer 12 x 11 = 132

3. 4) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos –
MG – 2000)
Com seis tipos de cartões magnéticos e oito
senhas diferentes, as opções de escolha de um
cartão e uma senha são:
a) 36 b) 42 c) 48 d) 52 e) 64

Só fazer 6x8=48

5) (EM Isaura Vilela Brasileiro – Botelhos –
MG – 2000)Num microcomputador, para abrir
certo arquivo, o usuário deve digitar 4 sinais ( que
são / # | ^) numa certa ordem, sem repeti-los. Se
ele não conhece a ordem e procura acertar a
senha por tentativas, qual é o número máximo de
tentativas que fará?
a) 24 b) 30 c) 36 d) 40 e) 120

Como o usuário não pode repetir, ele tem
3 x 4 x 2 x 1 = 24 possibilidades

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
PROBABILIDADE E CONTAGEM
PE.7.01.F

6) (XXIII Olimpíada Brasileira de Matemática –
Nível 1, 2 e 3 – 1
a
fase – 2001) Na figura abaixo,
temos 4 circunferências e alguns pontos
destacados no interior dessas circunferências.
Escolhendo exatamente um desses pontos dentro
de cada uma das circunferências, e unindo-os por
segmentos de reta que não se cruzam, formamos
um quadrilátero. Quantos quadriláteros diferentes
seremos capazes de desenhar nessas
condições?

A) 4 B) 14 C) 60 D) 120 E) 24

O número de quantidade de quadriláterios é o
produto dos vértices: 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

7) Uma bandeira tem quatro listas. De quantas
maneiras eu posso pintá-las utilizando-se de 3
cores diferentes, de tal forma que não pintemos
duas faixas consecutivas da mesma cor.

1ª listra: qualquer cor = 3
2ª listra: menos a cor usada na 1ª listra = 2
3ª listra: menos a cor usada na 2ª listra = 2
4ª listra: menos a cor usada na 3ª listra = 2

3x2x2x2 = 24

8) Numa festa 5 pessoas se cumprimentam.
Quantos são os cumprimentos possíveis?
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.A
1) As idades dos jogadores titulares de uma
equipe de basquete são 25 anos, 27 anos, 22
anos, 30 anos e 31 anos. Qual é a idade média
dos jogadores titulares dessa equipe?
??????�=
25+27+22+30+31
5
=
135
5
=27
Resposta: A média das idades é de 27 anos.
2) Qual é a média aritmética dos números – 25, -
22, -13, 15 e 30?
??????�=
−25−22−13+15+30
5
=
−60+45
5
=−
15
5
=−3
3) Qual é a média aritmética dos números 12, -
10, -8, -12 e 7?
??????�=
12−10−8−12+7
5
=−
11
5
????????????−2,2
4) A diretoria de um clube é formada por 10
membros. As idades deles estão indicadas em
anos a seguir: 27, 30, 30, 32, 30, 32, 30, 27, 30 e
32. Qual é a idade média dos membros da
diretoria.
??????�
=
27+30+30+32+30+32+30+27+30+32
10
=
300
10
=30
Resposta: A idade média é de 30 anos.
5) Uma livraria vende a seguinte quantidade de
livros de literatura durante uma certa semana:
2ª
feira
3ª
feira
4ª
feira
5ª
feira
6ª
feira
sábado
13 23 22 27 22 25
Qual é a média de livros vendidos durante a
semana (2ª até sábado).
??????�=
13+23+22+27+22+25
6
=
132
6
=22
Resposta: A média é de 22 livros
6) QUESTÃO ANULADA POR INCORREÇÃO
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.B
7) Ache o lucro médio mensal de uma empresa
que apresentou durante o semestre os seguintes
resultados (valores em reais):

??????�=
5136+250+4232−372−250+142
6
=
9138
6
=1523
8) As alturas dos jogadores de uma equipe de
basquete são: 1,98 m; 2,02 m; 2,08 m; 1,92 m e
1,95 m. Qual é a média de altura dessa equipe?
??????�=
1,98+2,02+2,08+1,92+1,95
5
=
9,95
5
=1,99
R: a média de altura é 1,99 m
9) Qual é a média aritmética dos números
2
3
,
1
6
e
3
4
?
??????�=
2
3
+
1
6
+
3
4
3
=
8
12
+
2
12
+
9
12
3
=
19
12
3
=
19
36

10) Qual é a média aritmética dos números
4
5
,
1
4
,
3
2
?
??????�=
4
5
+
1
4
+
3
2
3
=
16+5+30
20
3
=
51
20
3
=
51
20
.
1
3
=
17
20

Resposta: 17/20
11) Qual é a média aritmética dos números 1,
2
3
,
1
4
,
1
6
?
??????�=
1+
2
3
+
1
4
+
1
6
4
=
24+16+6+4
24
4
=
50
24
4
=
50
24
.
1
4
=
50
96
=
25
48

Resposta 25/48
12) Qual é a média aritmética dos números 1/3,
0,5 e ¼?
??????�=
1
3
+0,5+
1
4
3
=
1
3
+
1
2
+
1
4
3
=
4+6+3
12
3
=
13
12
3
=
13
12
.
1
3
=
13
39

Lembre-se que 0,5=1/2 (meio), você pode
calcular isso simplificando 5/10, mas, vale a pena
decorar que 0,5=1/2
Resposta 13/39
13) Qual é a média aritmética dos números 1/2,
2/5 e ¾?
??????�=
1
2
+
2
5
+
3
4
3
=
10+8+15
20
3
=
33
20
.
1
3
=
11
20

Resposta 11/20
Resolução alternativa:
??????�=
0,5+0,4+0,75
3
=
1,65
3
=0,55=
55
100
=
11
20

14) Qual é a média aritmética de 10 cm, 0,4 m e
0,25 m.
Transforme tudo em centímetros: 10 cm, 40 cm e
25 cm, e ache a média!
??????�=
10�??????+40�??????+25�??????
3
=
55�??????
3
=18,3333….�??????
15) Qual é a média de 2 km, 2.500 m e 3,8 km?
2km = 2.000 m 3,8 km = 3.800 m
??????�=
2000??????+2500??????+3800??????
3
=
8300??????
3
=27,666…??????
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.C
Média Aritmética Ponderada
16) Uma professora atribuirá pesos para as
atividades, sendo:
1ª prova – peso 3 Trabalho – peso 2
2ª prova – peso 5
Resultados das notas de alguns alunos:
1ª
prova
Trabalho 2ª
prova
NOTA
Maria 6 5 5 5,3
Vitória 7 6 5 5,8
Letícia 5 7 6 5,9
Ângela 10 9 8 8,8
Godofredo 3 9 6 5,7
Paulo 5 8 7 6,6
Venância 7 10 5 6,6
Amir 7 9 6 6,9
Leto 6 6 6 6,0

Nota de Maria
6.3+5.2+5.5
3+2+5
=
18+10+25
10
=
53
10
=5,3
Nota de Vitória
7.3+6.2+5.5
3+2+5
=
21+12+25
10
=
58
10
=5,8

4. O cálculo da nota da Vitória estava errado.
Retifique. Faça os cálculos de todos.
17) Determine a média aritmética ponderada dos
números 8, 15 e 20, com pesos 2, 2 e 1,
respectivamente.
MA=
8.2+15.2+20.1
2+2+1
=
16+30+20
5
=
66
5
=13,2
18) Determine a média aritmética ponderada dos
números 7, 12 e 25, com pesos 3, 2 e 5,
respectivamente.
??????�=
7.3+12.2+25.5
3+2+5
=
21+24+75
10
=12
19) Karina comprou 3 canetas por 20 reais cada
uma e 2 canetas por 15 reais cada uma. Quanto
ela pagou, em média, por caneta?
Resposta: 18
??????�=
3.20+2.15
3+2
=
90
5
=18
20) Uma indústria produz um certo produto.
Vendeu 3500 unidades desse produto por 30
reais cada e 8500 unidades por 24 reais cada.
Qual foi o preço médio, por unidade?
Resposta: R$ 22,75
??????�=
3500.30+8500.24
3500+8500
=22,75
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.D
21) Numa empresa com 20 funcionários, a
distribuição dos salários está representada no
quadro abaixo. Qual é o salário médio dos
empregados dessa empresa?
Número de empregados Salário (em reais)
12 800
5 1.200
3 2.000
Resposta: R$ 1.080,00
??????�=
12.800+5.1200+3.2000
12+5+3
=
9600+6000+6000
20
=
21600
2
=1080
22) Foram pesquisadas as idades das pessoas
dos alunos de um grupo e obtiveram -se os
resultados organizados na tabela a seguir:
Idades (anos) Número de alunos
13 4
14 11
15 7
16 3
Encontre a média das idades dos alunos da
classe.
Resposta: 14,36 anos
??????�=
13.4+14,11+15.7+16.3
4+11+7+3
=14,36
23) Num torneio de basquete, uma equipe
marcou 104 pontos, 96 pontos, 117 pontos e 103
pontos nas 4 partidas que disputou na 1ª fase.
Qual a média de pontos que essa equipe marcou
nessa fase do torneio?
Resposta: 105 pontos
??????�=
104+96+117+103
4
=105
24) Um colégio tem 8 professores e suas idades
são 26 anos, 28 anos, 34 anos, 40 anos, 28 anos,
30 anos, 38 anos e 32 anos. Qual a idade média
dos professores desse colégio?
Resposta: 32 anos
Basta somar todos os valores e dividir por 8.
25) Preparamos um refresco com 8 copos de
água mineral e 2 copos de groselha. Se o copo
de água mineral custa 8 centavos de real e o
copo de groselha custa 13 centavos de real, qual
é o custo de cada copo de refresco?
Resposta: 9 centavos
8.8+2.13
8+2
=
64+26
10
=9
26) Numa classe de 35 alunos há 22 homens e
13 mulheres. Numa prova de Matemática, a nota
média dos homens foi 4,8 e a nota média das
mulheres foi 4,0. Qual foi aproximadamente, a
nota média da classe? R: 4,5
22.4,8+13.4
22+13
=4,502857….
O valor deve ser arredondado a 4,5
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.E

27) Determine a média aritmética ponderada dos
números 9, 15, 26 e 30, com pesos 1, 2, 3 e 4,
respectivamente.
??????�=
9.1+15.2+26.3+30.4
1+2+3+4
=23,7
28) Uma clínica odontológica possui 5 dentistas.
As idades deles são 27, 29, 30, 38 e 46. Qual a
idade média dessa equipe?
Basta somar os 5 valores e dividir por 5,
encontaremos a idade média de 34.
30) Ache a media da idade da seguinte classe:

??????�=
10.2+11.4+12.6+13.4+14.4
2+4+6+4+4
=
20+44+72+52+56
20
=
244
20
=12,2
31) (ENEM – adaptado) Um sistema de radar é
programado para registrar automaticamente a
velocidade de todos os veículos trafegando por
uma avendida, onde passam em média 300
veículos por hora, sendo 55 km/h a velocidade
máxima permitida. Um levantamento estatístico
dos registros do radar permitiu a elaboração da
distribuição percentual de veículos de acordo com
sua velocidade aproximada. Calcule a velocidade
média aproximada.

Resposta: 44 km/h
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
ESTUDO DAS MÉDIAS
EM.7.01.F
32) Ache a média dos seguintes números
11 14 14 12 12 11 14 14 11 14
14 13 11 12 12 11 14 14 11 13
12 13 12 11 13 11 11 11 13 11
12 12 12 14 11 13 13 13 13 15
11 – são 12, 12 – são 9, 13 – são 9, 14 – são 9,
15 – é 1
??????�=
11.12+12.9+13.9+14.9+15.1
12+9+9+9+1
=
132+108+117+126+15
40
=
498
40
=12,45
Resposta: Idade média de 12,45 anos
33) Ache a média dos números
15 15 13 13 12 15 13 13 12 13
14 13 15 13 13 12 15 14 15 14
14 14 15 15 15 15 15 14 15 13
13 13 14 15 14 14 15 14 12 15
Resposta: 13,9
São 40 valores, sendo 11 – são 4, 12 – são 11,
13 – são 10, 15 – são 15.
??????�=
11.4+12.11+13.10+15.15
40
=13,9
34) Ache a média dos seguintes números
3 3 2 1 0 2 2 2 4 2
2 3 3 1 0 2 3 3 3 3
2 1 3 1 3 3 3 0 0 2
2 2 3 1 3 1 1 1 2 3
0 2 3 3 3 2 3 3 2 3
0 1 2 3 0 2 3 0 2 2
Resposta: 2
São 60 valores, sendo 8 número 0, 9 número 1,
19 número 2, 23 número 3 e 1 número 4.
??????�=
9.1+19,2+23.3+1.4
60
=2
Note que não faz sentido incluir 8.0=0.
35) Construa um gráfico de barras
correspondente aos números e depois calcule a
média destes.
4 3 2 1 0 2 4 2 4 2
4 4 4 1 0 4 4 4 4 1
2 1 4 1 3 3 3 4 1 1
3 2 3 1 4 4 3 4 3 3
1 2 3 3 3 1 3 3 4 3
0 1 4 4 0 2 3 0 4 2

??????�=
1.11+2.9+3.16+4.19
60
=2,55

5. Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
POTENCIAÇÃO
PT.7.01.A
1)Calcule e observe a seqüência
3
4
=81 3
3
=27 3
2
=9 3
1
=3 3
0
=1
3
-1
=1/3 3
-2
=1/9 3
-3
=1/27 3
-4
=1/81

2) Calcule e observe a sequência
2
4
=16 2
3
=8 2
2
=4 2
1
=2 2
0
=1
2
-1
=1/2 2
-2
=1/4 2
-3
=1/8 2
-4
=1/16

3)Calcule:
a) 2
-1
=1/2 b) 2
-5
=1/32 c) (-2)
-2
=1/4
OBS: Note que o fato de -2 ser par faz com que o
sinal seja positivo.

d) 10
-3
=1/100 e) 3
-3
=1/27 f) (-3)
-3
=-1/27
Já no caso de -3, como é ímpar, se mantém o
sinal.

g) (-2)
-1
=1/2

h) (-2)
-5
=1/32 i) -2
-4
=-1/16
No caso de -2
-4
o sinal não está elevado à -4,
apenas o 2 está.
Portanto, mantém-se o sinal

j) –(-4)
-3
=-(-1/64)=1/64
k) –(-10)
-1
=-(-1/10)=1/10
l) –(-7)
-2
=-(1/7)=-1/7

4) Calcule
a) (
1
2
)
−1
=2 b) (
1
2
)
−2
=4 c) (−
1
3
)
−2
=9
d) (−
1
4
)
−1
=-4 e) (
2
3
)
−1
=3/2 f) (−
2
5
)
−2
=25/4
g) (−
5
3
)
−3
=-27/125 h) −(−
1
6
)
−1
=-(-6)=6
i) −(
1
3
)
−2
=-9 j) −(−
3
2
)
−3
=-(-8/27)=8/27
k) (1
2
3
)
−2
=(5/3)
-2
=9/25
5) Calcule:
a) 0,2
-1
=(1/5)
-1
=5 b) 0,5
-2
=(1/2)
-2
=4
c) 1,2
-1
=(6/5)
-1
=5/6

0,2=2/10=1/5 0,5=5/10=1/2
1,2=12/10=6/5
d) 2,5
-2
=(25/10)
-2
=(5/2)
-2
=4/25
e) 3,5
-2
=(35/10)
-2
=(7/2)
-2
=4/49
f) 0,25
-2
=(25/100)
-2
=(1/4)
-2
=16
g) (-0,2)
-2
=(-1/5)
-2
=25
h) (-2,5)
-3
=(-25/10)
-3
=(-5/2)
-3
=-8/125 (Sinal
negativo!)
i) (-0,25)
-2
=(-1/4)
-2
=16
6) Resolva as expressões (no caderno):
a) 3
-1
+2
-1
Resposta: 5/6
1
3
+
1
2
=
3+2
6
=
5
6

b) 3
-1
+2
-2
+(-4)
-1
Resposta: 5/6
1
3
+
1
4
+(−
1
4
)=
1
3

GABARITO ERRADO
c) (9
-1
+6
-2
)
-1
Resposta: 36/5
(
1
9
+
1
36
)
−1
=(
4+1
36
)
−1
=(
5
36
)
−1
=
36
5

d) (4
0
+4
-1
):(4
0
-4
-1
) Resposta: 5/3
(1+
1
4
):(1−
1
4
)=
(
4+1
4
):(
4−1
4
)=
(
5
4
):(
3
4
)=
5
4
.
4
3
=
5
3

e) (-3)
-1
+(-1)
-3
Resposta: -4/3
(−
1
3
)+(−1)=−
1
3
−1=−
4
3

f) 2
-4
-2
2
Resposta: -63/16
1
16
−
1
4
=
1−64
16
=−
63
16

g) (4
-1
+2
-3
)
-1
Resposta: 8/3
(
1
4
+
1
8
)
−1
=(
2+1
8
)
−1
=(
3
8
)
−1
=
8
3

h) (6
-2
.3
2
)
-1
Resposta: 4
(
1
36
.9)
−1
=(
1
4
)
−1
=4
i) 2
0
+(-2)
4
.4
-2
-(-2)
3
Resposta: 10
1+16 .
1
16
−(−8)=1+1+8=10
j)
−2
2
+(
1
3
)
−2
−2
4
+(−3)
2
+4
0
Resposta: -5/6
−2
2
+(
1
3
)
−2
−2
4
+(−3)
2
+4
0
=
−4+9
−16+9+1
=
5
−6
=−
5
6

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
POTENCIAÇÃO
PT.7.01.B
1)Transforme em uma só potência (considere x e
a não nulos):
a) 7
9
.7
-6
=7
9+(-6)
=7
15

b) 10
-9
.10.10
5
=10
-9+1+5
=10
-3
c) 8
3
.8
-6
=8
3+(-6)
=8
-3
d) x
3
x
-5
x
4
=x
3+(-5)+4
=x
2
e) a
8
.a
-8
.a
-1
=a
8+(-8)+(-1)
=a
8-8-1
=a
-1

2) Transforme em uma só potência (considere x e
a não nulos):
a) 6
4
:6
5
=6
4-5
=6
-1
b) 2
7
:2
-2
=2
7-(-2)
=2
9
c) 7
4
:7
-1
=7
4-(-1)
=7
5
d)
10
−3
10
−5
=10
−3−(—5)
=10
2

e)
??????
6
??????
−2
=�
6−(−2)
=�
8
f)
�
9
�
11
=�
9−11
=�
−2


3)Transforme numa só potência (considere x não
nulos):
a) (6
-1
)
4
=6
-4
b) (5
-1
)
-3
=6
3
c) (10
6
)
-2
=10
-12
4) Transforme em um produto de potências:
a)(5.11)
-2
=5
-2
.11
-2
b) (3.10
2
)
-1
=3
-1
.10
-2
c) (2
-4
.5
4
)
2
=2
-8
.5
8

5) Transforme em um quociente de potências:
a) (8:3)
-2
=8
-2
:3
-2
b) (6
-2
:5)
-4
=6
8
:5
-4

c) (7
-2
:2
-1
)
-3
=7
6
:2
3

6) Simplifique (com todos valores diferentes de
zero) – no caderno:
a) ).(:)..(
6565
aaaaa = �
12
:�
11
=�
Quando eu não indico expoente, ele é 1, é
importante considerar isso.
b)2425
).().( aaa = (a
6
)
2
.a
8
=a
12
.a
8
=a
20

c)  
32
2
54
).(. xxx =(x
9
)
2
.x
6
=x
18
.x
6
=x
24
d) xx
xxx
.
..
6
24 =
??????
7
??????
7
=�
0

e)  
2
32
3254
.
)..)(.(
xx
xxxxx =
??????
5
.??????
10
(??????
5
)
2
=
??????
15
??????
10
=�
5

f) 
53
2
45
2
4
)(aa
aaa =
�
8
�
5
�
8
(�
4
)
5
=
�
21
�
20
=�
1
=�

12) Escreva como uma única potência (caderno):
a)
256.4
7
8
6
=
(2
8
).(2
2
)
7
(2
3
)
6
=
2
8
.2
14
2
18
=
2
22
2
18
=2
4

Substitua 256=2
8
, 4=2
2
e 8=2
3
.
b)
3
−6
,27
6
243
3
=
3
−6
.(3
3
)
6
(3
5
)
3
=
3
−6
,3
18
3
15
=
3
12
3
15
=3
−3

Substitua 27=3
3
e 243=3
5


13) Escreva como uma única potência (caderno):
a) 0,00001:(100
-2
)
3
=10
-5
:((10
2
)
-2
)
3
=10
-5
:10
-12
=10
7

b)
0,00001
−2
.10000
3
(0,1
3
.10
2
)
4
=
(10
−5
)
−2
.(10
4
)
3
((10
−1
)
3
10
2
)
4
=
10
10
.10
12
(10
−3
10
2
)
4
=
10
22
(10
−1
)
4
=
10
22
10
−4
=10
26

14) Escreva como uma única potência: 54
29
81.27
9.3


3
9
.(3
2
)
−2
(3
3
)
4
(3
4
)
−5
=
3
9
.3
−4
3
12
.3
−20
=
3
5
3
−8
=3
13

15) Simplifique 

3
34
5
23
ba
ba .
�
15
�
10
�
12
�
9
=�
3
�
16) Escreva como única potência:  
3
2311
625255



(5
11
.(5
2
)
−3
.(5
4
)
−2
)
−3
=
(5
11
.5
−6
.5
−8
)
−3
=(5
−3
)
−3
=5
9

17) Simplifique  
 
4
23
2
52
.
.



ba
ba .
�
−4
�
−10
�
12
�
−8
=
�
−4−12
�
−10−(−8)
=�
−16
�
−2

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
POTENCIAÇÃO
PT.7.01.C
1) Resolva as expressões no caderno
a) 2
−1
+3
−1

1
2
+
1
3
=
3
6
+
2
6
=
5
6

b) (−3)
2
.(−2+2
−1
)
−1

9.(−2+
1
2
)
−1
=9.(−
4
2
+
1
2
)
−1
=9.(
3
2
)
−1
=9.
2
3
=6
c) (3−5)
2
(−2−1)
3
+(
1
2
)
−2

(−2)
2
(−3)
3
+4=4.(−27)+4=−108+4
=−104
d)
2
−1
+2
−2
2
−3
=
1
2
+
1
4
1
8
=
2
4
+
1
4
1
8
=
3
4
1
8
=
3
4
.8=6
2)Lembre que 0,25=1/4 e calcule (0,25)
-3

rapidamente. (1/4)
-3
=64
3) Se 0,142857142857...=1/7, calcule
(0,142857....)
-2
. (1/7)
-2
=49
4)Se �=(−
1
3
)
−2
, B=
2
−1
5
−1
, C=2
-1
.5
-2
, ache A+B+C

6. �=9 �=
1
2
1
5
=
5
2
C=
1
2
.
1
25
=
1
50

�+�+�=9+
5
2
+
1
50
=
450
50
+
125
50
+
1
50
=
576
50
=
288
25


a) 2
20
=1048576 b) 2
10
=1024
c) 2
8
=256 d) 2
9
=512
e) 2
21
=2097152

A letra B está incorreta: deveria ser 6561 x 27
a) 3
6
x3
2
=3
8
=6561 b) 3
8
x3
3
=3
13
=177147
c) 3
4
x3
5
=3
9
=19683 d) 3
10
:3
8
=3
2
=9
e) 3
11
:3
7
=3
4
=81 f) (3
3
)
3
=3
9
=19683
g) (3
4
)
2
=3
8
=6561 h) (3
5
)
2
=59049


Vamos fazer a tabela:
5
2
=25 5
3
=125 5
4
=625 5
5
=3125
5
6
=15625 (Já bastam)
a) 5
5
.5
4
=5
9
b) 5
8
:5
3
=5
5
=3125
c) (5
2
)
5
=5
10

�=1−
1
4
=
4
4
−
1
4
=
3
4

�=(1−
1
2
)
−1
=(
1
2
)
−1
=2
�=1−3=−2
a) (
3
4
)
2
=
9
16

b) (2−
3
4
)
−2
=(
8
4
−
3
4
)
−2
=(
5
4
)
−2
=
16
25

c) (
3
4
.2
−2
)
−2
=(
3
2
−2
)
−2
=(
3
−4
)
−2
=
16
9

Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
RADICIAÇÃO
RD.7.01.A
Vamos relembrar algumas potências:
2
3
=8 3
3
=27 4
3
=64 5
3
=125 6
3
=216
7
3
=343 8
3
=512 9
3
=729 10
3
=1000 11
3
=1331
2
4
=16 3
4
=81 4
4
=256 5
4
=625 2
5
=32
3
5
=243 4
5
=1024 5
5
=3125

1)Calcule:
√27
3
=3 √81
4
=3 √64
3
=4 √125
3
=5
√16
4
=2 √32
5
=2 √512
9
=2

2) Calcule:
a) 33
278 =2+3=5 b) 53
32.125 =5.2=10
c) 43
16216 =6-2=4 d) 981
4
 =3:3=1
e) 3
27125 =125+3=128

3) Sei que 2
10
=1024, calcule 10
1024 =2.
4) Calcule:
a) 81 =3 b) 4
81 =3
c) 16 =2 d) 4
16 =2
e) 256 =4 f) 4
256 =4
g) 256 =2 h) 8
256 =2
Aqui podemos concluir que a raiz quarta equivale
a raiz quadrada da raiz quadrada ou seja:
√
4
=√√
A raiz oitava é a raiz quadrada da raiz quadrada
da raiz quadrada
√
8
=
√√√
5) Calcule 4
625 Pode ser calculado tirando-
se a raiz quadrada da raiz quadrada, que resulta
em 5.
6) Calcule:
a) 3
27 =-3 b) 3
27 =3
c) 4
16 =2 d) 4
16 =não tem raiz
e) 36 =não há f) =6
g) =2 h) 5
32 =-2
7) Ache o valor de x:
a) x
2
=16 b) x
2
=49
x=4 ou x=-4 Não existe x
c) x
2
=-1 d) x
3
=-27
Não existe x x=-3
e) x
3
=8 f) x
3
=-1
x=2 x=-1
g) x
4
=16 h) x
4
=-16
x=2 ou x=-2 Não existe x
8) Calcule 2
-1
+3
8 .
1
2
+2=
1
2
+
4
2
=
5
2


9) Calcule efetuando todas operações (não usar
propriedades):
a) 
3
3
8 =2
3
=8 b) 33
8 =√512
3
=8

c) 
4
4
1 =1
4
=1 d) 44
1 √1
4
=1
e) 
2
9 =3
2
=9 f) 2
9 =√81=9
O objetivo aqui é concluir que potências e raízes
se cancelam.
Prof. Otávio Luciano Camargo Sales de
Magalhães
RADICIAÇÃO
RD.7.01.B
10) Calcule:
a) 6
0 =0 b) 3
27
8 =-2/3
11) Resolva no caderno:
a) 121495 Resposta: 24
5.7−11=35−11=24
b) 9
1
3
25
4
 Resposta:7/2
2
5
+3
1
3
=
2
5
+1=
7
5

GABARITO ERRADO
c)3 322
27.35  Resposta: -4
√25−9.√7−8
3

√16.√−1
3
=4.(−1)=−4
d) 33 001,0
27
8
 Resposta: 23/30
2
3
−(−0,1)=
2
3
+
1
10
=
20
30
+
3
30
=
23
30

12) Calcule:
a) 3
8000 =20 b) 4
160000 =20
c) 3
8000 =-20 d) 4
160000 =N/E
e) 5
100000 =10 f) 3
27000 =-30
g) 3
1000000000 =100
h) 0,000064
6 =0,2
13) Se a=3
8000 e b=1-2
2
, ache o valor de 2
10

b
a
a=20 b=1-4=-3
20
10
−(−3)
−2
=2−
1
9
=
18
9
−
1
9
=
17
9

Resposta: 17/9
14) Ache a metade da 3
64000000
√400=20 A metade é 10
15) QUESTÃO REPETIDA PT.7.1.A, o item J da
questão 6
Resposta: 6
16) (LONDRINA – Adapt.) Dados os números
.
a) Quanto é √�? BBB B) QQQ
b) Quanto é x
y-z
?
�=
2/3
1/3
=2
�=
2/3
3/2
=4/9
�=
2/3
3
1/2
=
2/9
1/2
=4/9
�) √
4
9
=
2
3
b) 2
0
= 1 36 5
32 x
 

1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
2
1
3
1
3
3
1
2
, , y= z=