Geométria ângulos e polígonos

Cortesia da Ed. Ática Aulas para o ensino básico

1. A ideia de ângulo Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas são os lados dos ângulos, e o ponto de origem das duas semirretas é o vértice . Exemplo Ângulo: ou ou . Lados: e Vértice: R Ângulos P R M USELMAN / F1 ONLINE / DIOMEDIA PETR JILEK / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES

2. Tipos de ângulos Ângulo raso Ângulo reto Ângulo nulo Ângulo obtuso Ângulo agudo B P R B C A B E F Q P R B O A

3. Posições relativas de duas retas em um plano a e b são retas paralelas ( a // b ). r e s são retas concorrentes perpendiculares ( r s ). p e q são retas concorrentes oblíquas ( p q ). a b s r p q

4. Medida de ângulo 1 volta completa Ao dividirmos a circunferência em 360 partes iguais, dizemos que a medida da abertura desse ângulo é de um grau e indicamos essa medida por 1º. volta de volta de volta de volta de volta

5. Submúltiplos do grau: minuto e segundo 1º = 60’ 1’ = 60’’ Portanto: Exemplos 0,5º = 30’ 50,5º = 50º + 0,5º = 50º 30’ 72’’ = 1’ 12’’ 1 minuto corresponde a do grau. Representamos 1’. 1 segundo corresponde a do minuto. Representamos 1’’. 60’’ + 12 =

6. Operações com medidas de ângulos Adição de medidas de ângulos 28º 16’ 35’’ + 10º 40’ 21’’ 56” 56’ 38º 3º 11’ 5’’ + 5º 55’ 57’’ 62” 66’ 8º 8º 67’ 2’’ Trocamos 60’’ por 1’ 9º 7’ 2’’ Trocamos 60’ por 1º Subtração de medidas de ângulos 12º 54’ 59’’ – 7º 2’ 30’’ 29” 52’ 5º 90º – (2º 10’) 90º 0’ – 2º 10’ 60’ 89º 87º 50’

7. Multiplicação de número natural por medida de ângulo 7º 2’ 20’’ × 2 2º 30’ 32’’ × 2 4º 61’ 4’’ 14º 4’ 40’’ 64’’ 60’ 4º 5º 1’ 4’’ Divisão de medida de ângulo por um número natural diferente de zero (12º 54’ 50’’) : 2 = 6º 27’ 25’’ (34º 3’ 15’’) : 3 Como 34 não é múltiplo de 3, fazemos: 34º 3’ 15’’ = (33º 63’ 15’’) : 3 = 33º 63’ 15’’ 11º 21’ 5’’

8. Ângulos congruentes Dizemos que dois ângulos são congruentes quando eles têm a mesma medida. m( ) = 20º m( ) = 20º Dizemos: Ângulos adjacentes Dizemos que eles são adjacentes, pois têm um lado comum ( ), e as regiões determinadas por eles não têm mais pontos comuns. A B C O F G E C A B

9. Ângulos complementares e ângulos suplementares Quando a soma das medidas de dois ângulos é 90º, dizemos que eles são ângulos complementares . Quando a soma das medidas de dois ângulos é 180º, dizemos que eles são ângulos suplementares . 40º + 50º = 90º 70º + 110º = 180º 50º A 40º B 110º C 70º D

10. Ângulos adjacentes e suplementares Adjacentes pela posição de um em relação ao outro. Suplementares porque a soma de suas medidas é 180º. A B C O Ângulos adjacentes e suplementares têm um lado comum e os outros dois lados são semirretas opostas, ou seja, formam uma reta.

11. Ângulos opostos pelo vértice D uas retas com um só ponto comum formam dois pares de ângulos opostos pelo vértice. Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida. = = CASA DE TIPOS / ARQUIVO DA EDITORA

12. Bissetriz de um ângulo Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice que determina, com os lados do ângulo, dois ângulos congruentes, ou seja, de medidas iguais. B C A M A B C M

13. Polígonos e seus ângulos Vamos analisar os seguintes polígonos: Polígono ABCD : quadrilátero. O â ngulo interno é formado por dois lados consecutivos. Polígono EFG : triângulo. Polígonos A B C D E E F G H : um dos ângulos externos. , , e : ângulos internos : um dos ângulos externos. Ângulos internos: , e . O â ngulo externo é formado por um lado e pelo prolongamento de outro.

14. Triângulo – soma das medidas de seus ângulos internos Em todo triângulo, a soma das medidas dos três ângulos internos é igual a 180º. C A B

15. Quadrilátero convexo – soma das medidas de seus ângulos internos Em todo quadrilátero convexo, a soma das medidas dos quatros ângulos internos é igual a 360º. D C A B A B C A C D m( ) + m( ) + m( ) + m( ) = 360º

16. Polígono convexo – soma das medidas de seus ângulos internos Observe: Triângulo Quadrilátero Pentágono 3 lados 4 lados 5 lados A soma das medidas dos ângulos internos é 1 . 180º. A soma das medidas dos ângulos internos é 2 . 180º. A soma das medidas dos ângulos internos é 3 . 180º. A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados é dada por: ( n – 2) . 180º