Geometría analítica (introducción)

Clase introductoria de Geometría Analítica

1. 1

2. Geometría

Geometría
AnalíticaAnalítica
C O N TEN ID OC O N TEN ID O
1.IN TR O D U C C IÓ N
3.O R ÍG EN ES
5.D EFIN IC IÓ N
7.O B J ETIVO
9.
D IS TAN C IA EN TR E D O S P U N TO S
11.
D IVIS IÓ N D E U N S EG M EN TO EN U N A R AZÓ N D AD A
.
i

P U N TO M ED IO D E U N S EG M EN TO
•
P EN D IEN TE D E U N S EG M EN TO
•
LU G AR G EO M ÉTR IC O
2

3. Geometría

Geometría
AnalíticaAnalítica
, ,
D e s d e la a n tig ü e d a d e l Álg e b ra y la G e o m e tría s e
. 1 6 3 7
d e s a rro lla ro n e n fo rm a in d e p e n d ie n te En e l

m a te m á tic o y filó s o fo R e n é D e s c a rte s p u b lic ó s u

o b ra
" "
LA G EO METR ÍE
,
e n la c u a l u n ific a b a a m b a s

ra m a s p o r m e d io d e u n s is te m a c o o rd e n a d o

re c ta n g u la r c o n e l q u e s e e s ta b le c ía u n a

c o rre s p o n d e n c ia b iu n ív o c a e n tre p u n to s y
.
n ú m e ro s re a le s Lo a n te rio r in tro d u jo la a p lic a c ió n
,
d e lo s m é to d o s d e l a n á lis is e n la g e o m e tría e s p o r
,
e llo q u e s u rg e la G e o m e tría An a lític a ta m b ié n
,
lla m a d a G e o m e tría d e C o o rd e n a d a s o C a rte s ia n a

q u e p e rm ite e l e m p le o d e m é to d o s a lg e b ra ic o s
,
p a ra re s o lv e r p ro b le m a s g e o m é tric o s a s í c o m o la

re p re s e n ta c ió n g e o m é tric a d e e c u a c io n e s
.
lin e a le s y d e s e g u n d o o rd e n

La a p lic a c ió n d e la G e o m e tría An a lític a e n

p ro b le m a s g e o m é tric o s im p lic a la u tiliz a c ió n d e u n

s is te m a d e c o o rd e n a d a s re c ta n g u la re s o
(
c a rte s ia n a s a lg u n a s v e c e s c o o rd e n a d a s
),
p o la re s a l q u e s e tra s la d a la c o n d ic ió n o
.
c o n d ic io n e s g e o m é tric a s q u e d e b e n s a tis fa c e rs e
IN TR O D U C C IÓ NIN TR O D U C C IÓ N
3

4. Geometría

Geometría
AnalíticaAnalítica
O R IG EN ESO R IG EN ES
,
P a ra lo s g rie g o s la G e o m e tría e ra in s e p a ra b le d e
.
la s fig u ra s P la n te a rs e u n p ro b le m a e n e l q u e
,
in te rv in ie ra n p la n o s re c ta s o fig u ra s m á s

c o m p le ja s s e h a c ía s ie m p re c o n la a yu d a d e
.
d ib u jo s C o n la G e o m e tría An a lític a e s te tip o d e
,
p ro b le m a s s e p u e d e re s o lv e r “ a c ie g a s ”

c o n s titu ye n d o a s í u n a h e rra m ie n ta q u e s e

m u e s tra e s p e c ia lm e n te e fic a z e n a q u e llo s

p ro b le m a s e n lo s q u e la in tu ic ió n g e o m é tric a e s
.
m á s u n e s to rb o q u e u n a a yu d a

La s fig u ra s g e o m é tric a s e s tá n fo rm a d a s p o r
.
p u n to s La p o s ib ilid a d d e a s ig n a r n ú m e ro s a e s to s
,
p u n to s d e m a n e ra ú n ic a h a c e p o s ib le q u e lo s

p ro b le m a s d e G e o m e tría s e c o n v ie rta n e n
.
p ro b le m a s d e Álg e b ra Es to s e c o n s ig u e
,
d e fin ie n d o u n s is te m a d e c o o rd e n a d a s c o n u n o
,
d o s o tre s n ú m e ro s s e g ú n q u e e s te m o s
, ,
tra b a ja n d o e n la re c ta e l p la n o o e l e s p a c io
.
re s p e c tiv a m e n te
4

5. Geometría

Geometría
AnalíticaAnalítica
O R IG EN ESO R IG EN ES
,
En e l s ig lo XVII e l fra n c é s R e n é D e s c a rte s
(15 9 6 -16 5 0 ) :
d e c ía a l re s p e c to “ S o lo s e p u e d e

e je rc e r e l ra c io c in io y re s o lv e r d e te rm in a d o s
,
p ro b le m a s a c o n d ic ió n d e fa tig a r e n o rm e m e n te la
.
im a g in a c ió n ”
,
P a ra é l e ra n n e c e s a rio s n u e v o s m é to d o s
,
m é to d o s m á s p o te n te s q u e lo s q u e h a s ta
, .
e n to n c e s s e m a n e ja b a n
, ,
D e e s ta m a n e ra y c a s i a l u n ís o n o R e n é

D e s c a rte s y P ie rre Fe rm a t d e s a rro lla ro n u n a id e a
: .
g e n ia l e l Mé to d o d e C o o rd e n a d a s La id e a

fu n d a m e n ta l c o n s is tía e n tra n s fo rm a r lo s

p ro b le m a s g e o m é tric o s

e n p ro b le m a s a lg e b ra ic o s m e d ia n te la
.
in tro d u c c ió n d e lo s s is te m a s d e c o o rd e n a d a s

D e s c a rte s q u e d ó p ro fu n d a m e n te im p re s io n a d o
. ,
p o r la p o te n c ia d e e s te m é to d o Ta n to e s a s í q u e
:
é l m is m o d e c ía “ El á lg e b ra m e c a n iz a e l

p e n s a m ie n to y a s í s e p u e d e n c o n s e g u ir
,
re s u lta d o s q u e d e
, .
o tro m o d o s o n c a s i im p o s ib le s d e e s ta b le c e r”
5

6. Geometría

Geometría
AnalíticaAnalítica
O R IG EN ESO R IG EN ES
,
En e s e n c ia la id e a d e e s te m é to d o c o n s is te e n

e x p re s a r la s re c ta s y c u rv a s m e d ia n te
.
e c u a c io n e s S u tra ta m ie n to a lg e b ra ic o p e rm ite

o b te n e r p ro p ie d a d e s y re s u lta d o s in te rp re ta b le s
.
g e o m é tric a m e n te
,
Mu c h o s p ro b le m a s d e o rig e n fís ic o c o m o la
,
tra ye c to ria d e la lu z a l c a m b ia r d e m e d io s e l
, .,
m o v im ie n to d e p ro ye c tile s e tc p u d ie ro n

re s o lv e rs e c o n e s ta n u e v a h e rra m ie n ta
.
m a te m á tic a
,
A p a rtir d e l s ig lo XVII e l d e s a rro llo d e la
. ,
m a te m á tic a s e h a c e e s p e c ta c u la r La a ritm é tic a la
,
g e o m e tría y e l á lg e b ra s e u n e n p a ra d a r lu g a r a
, ,
re s u lta d o s in e s p e ra d o s q u e d e o tro m o d o h a b ría
.
s id o im p o s ib le c o n s e g u ir
6

7. Geometría

Geometría
AnalíticaAnalítica
D EFIN IC IÓ ND EFIN IC IÓ N

La g e o m e tría a n a lític a e s la ra m a d e la g e o m e tría
,
e n la q u e la s lín e a s re c ta s la s c u rv a s y la s

fig u ra s g e o m é tric a s s e re p re s e n ta n m e d ia n te

e x p re s io n e s a lg e b ra ic a s y n u m é ric a s u s a n d o u n
.
c o n ju n to d e e je s y c o o rd e n a d a s C u a lq u ie r p u n to

d e l p la n o s e p u e d e lo c a liz a r c o n re s p e c to a u n

p a r d e e je s p e rp e n d ic u la re s d a n d o la s d is ta n c ia s
.
d e l p u n to a c a d a u n o d e lo s e je s
,
La g e o m e tría a n a lític a s e e n c a rg a d e l e s tu d io d e

la s fig u ra s a p a rtir d e u n s is te m a d e
,
c o o rd e n a d a s u tiliz a n d o lo s m é to d o s p ro p io s d e l
.
a n á lis is m a te m á tic o y d e l á lg e b ra

La g e o m e tría a n a lític a p re te n d e o b te n e r la

e c u a c ió n d e lo s s is te m a s d e c o o rd e n a d a s a p a rtir
. ,
d e s u lu g a r g e o m é tric o P o r o tra p a rte e s ta

d is c ip lin a p e rm ite d e te rm in a r e l lu g a r g e o m é tric o

d e lo s p u n to s q u e fo rm a n p a rte d e la e c u a c ió n d e l
.
s is te m a d e c o o rd e n a d a s
7

8. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a
O B J ETIVO SO B J ETIVO S

La G e o m e tría An a lític a tie n e p o r o b je to la

re s o lu c ió n d e p ro b le m a s g e o m é tric o s u tiliz a n d o
.
m é to d o s a lg e b ra ic o s
•
Id e n tific a r la s c o o rd e n a d a s d e u n p u n to e n e l
.
p la n o y c o n o c e r s u in te rp re ta c ió n g e o m é tric a
•
R e c o n o c e r y re p re s e n ta r g rá fic a m e n te lu g a re s

g e o m é tric o s d e p u n to s a d is ta n c ia c o n s ta n te d e
.
lo s e je s
•
Ex p re s a r e n u n a ta b la d e v a lo re s y re p re s e n ta r

g rá fic a m e n te la s s o lu c io n e s d e u n a e c u a c ió n d e
.
p rim e r g ra d o c o n d o s in c ó g n ita s
•
Es tu d ia r a n a lític a m e n te la in c id e n c ia e n tre p u n to s
.
y re c ta s
• ,
D e te rm in a r la p o s ic ió n re la tiv a e n tre d o s re c ta s y
,
c o m o a p lic a c ió n d is c u tir y re s o lv e r u n s is te m a
2 2 .
x
8

9. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a

D IS TAN C IA EN TR E D O S P U N TO S

D IS TAN C IA EN TR E D O S P U N TO S

S e a n la s c o o rd e n a d a s d e d o s p u n to s c u a le s q u ie ra
(
A x
2
;
y
2
)
y
(
B x
1;
y
1),
la d is ta n c ia e n tre e llo s e s ig u a l a la
. :
lo n g itu d d e l s e g m e n to AB As í
( ) ( )= - + -
2 2
2 1 2 1
( ; )d A B x x y y
XX
YY
x
2
y
2
B
A
y
1
x
1
9

10. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a

D IVIS IÓ N D E U N S EG MEN TO EN U N A R AZÓ N D AD A

D IVIS IÓ N D E U N S EG MEN TO EN U N A R AZÓ N D AD A
(
S i A x
2
;
y
2
) (
y B x
1
;
y
1
)
s o n lo s e x tre m o s d e u n
,
s e g m e n to d e re c ta e s p o s ib le e n c o n tra r la s
( ; )
c o o rd e n a d a s d e u n p u n to P x y q u e d iv id a a l

s e g m e n to AB e n u n a ra z ó n d a d a p o r la e x p re s ió n
, :
a s í
=
AP
r
PB
æ ö+ +
=ç ÷
ç ÷+ +
è ø
1 2 1 2
x rx y ry
;P
1 1r r
10

11. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a

P U N TO MED IO D E U N S EG MEN TO

P U N TO MED IO D E U N S EG MEN TO
( ;
El p u n to m e d io d e l s e g m e n to AB e s e l p u n to M x
),
y q u e d iv id e e n d o s s e g m e n to s AM y MB d e ig u a l
. :
lo n g itu d As í
æ ö+ +
=ç ÷
ç ÷
è ø
1 2 1 2
x x y y
;M
2 2
11

12. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a

P EN D IEN TE D E U N S EG MEN TO

P EN D IEN TE D E U N S EG MEN TO
( )
El á n g u lo d e in c lin a c ió n α d e u n s e g m e n to e s e l

á n g u lo q u e fo rm a
( ) ,
e l s e g m e n to o s u p ro lo n g a c ió n c o n e l e je X
-
m e d id o e n s e n tid o a n ti h o ra rio y c o n s id e ra n d o a l
.
e je X c o m o la d o in ic ia l
( )
La p e n d ie n te m e s la ta n g e n te d e l á n g u lo d e
.
in c lin a c ió n
-
= =
-
2 1
2 1
y y
(m tg )α
x x
XX
YY
x
2
y
2
B
A
y
1
x
1
α
12

13. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a

LU G AR G EO MÉTR IC O

LU G AR G EO MÉTR IC O

U n o d e lo s m á s im p o rta n te s lo g ro s d e la

G e o m e tría An a lític a e s e l h a b e r c o n s e g u id o la
.
in te g ra c ió n d e l á lg e b ra c o n la g e o m e tría Es to lo

p o d e m o s a p re c ia r a tra v é s d e d o s p ro b le m a s
:
fu n d a m e n ta le s q u e s e p re s e n ta n e n e l c u rs o
13
1. ,
D a d a u n a e c u a c ió n

tra z a r e n e l p la n o la

g rá fic a q u e la
.
re p re s e n ta
3.
D a d a s c ie rta s

c o n d ic io n e s g e o m é tric a s

q u e d e b e n c u m p lir lo s

p u n to s d e u n lu g a r
,
g e o m é tric o o g rá fic a
.
d e te rm in a r s u e c u a c ió n

14. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a

LU G AR G EO MÉTR IC O

LU G AR G EO MÉTR IC O

En la s s e c c io n e s a n te rio re s h e m o s e s tu d ia d o e l
.
p rim e r p ro b le m a
.
En e s ta s e c c ió n e s tu d ia re m o s e l s e g u n d o
 

Ac la re m o s q u e la d e te rm in a c ió n d e la e c u a c ió n d e

u n lu g a r g e o m é tric o im p lic a la

d e te rm in a c ió n d e

u n a e c u a c ió n

q u e e s s a tis fe c h a p o r to d o s lo s

p u n to s q u e p e rte n e c e n a l lu g a r g e o m é tric o y q u e

n o e s s a tis fe c h a p o r lo s p u n to s q u e n o e s tá n e n e l
.
lu g a r g e o m é tric o
 

N o h a y n in g ú n m é to d o g e n e ra l q u e s e p u e d a d a r
. ,
p a ra re s o lv e r e s te p ro b le m a S in e m b a rg o p u e d e

s e r ú til e n la m a yo ría d e lo s c a s o s c o m e n z a r c o n
,
u n c ro q u is h e c h o e n b a s e a la s c o n d ic io n e s

g e o m é tric a s q u e d e fin e n a l lu g a r g e o m é tric o
, ( ; )
d a d o d o n d e s e s itu a rá u n p u n to g e n é ric o P x y
.
d e l lu g a r Lu e g o s e e x p re s a rá n a n a lític a m e n te la s
c o n d ic io n e s g e o m é tric a s d a d a s y s e tra ta rá d e

d e te rm in a r u n a e c u a c ió n q u e re la c io n e s la s .
c o o rd e n a d a s x e y d e l p u n to g e n é ric o P
14

15. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a

LU G AR ES G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALES

LU G AR ES G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALES
•
El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e l p la n o q u e
,
e q u id is ta n d e d o s p u n to s A y B fijo s e s la
.
m e d ia triz d e l s e g m e n to AB
 
•
El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e l p la n o q u e

e q u id is ta n d e lo s la d o s d e u n á n g u lo c o n v e x o
( )
XO Y e s la
.
b is e c triz d e d ic h o á n g u lo
 
•
El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e l p la n o q u e

d is ta n u n a lo n g itu d d a d a r d e u n p u n to fijo O e s

la
.
c irc u n fe re n c ia d e c e n tro O y ra d io r
 
•
El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s q u e e q u id is ta n
( )
d e u n a re c ta e je o d ire c triz y u n p u n to fijo

lla m a d o fo c o e s la
.
p a rá b o la
 
•
El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e l p la n o ta le s

q u e la s u m a d e la s d is ta n c ia s a d o s p u n to s fijo s
,
lla m a d o s fo c o s e s u n a c o n s ta n te p o s itiv a e s la
.
e lip s e
15

16. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a
•
El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e l p la n o ta le s

q u e la d ife re n c ia d e la s d is ta n c ia s a d o s p u n to s
,
fijo s lla m a d o s fo c o s e s u n a c o n s ta n te p o s itiv a

e s la
.
h ip é rb o la
 
•
El lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e l p la n o q u e

m ira n u n s e g m e n to AB b a jo u n á n g u lo d a d o d e

a m p litu d
a,
e s tá fo rm a d o p o r d o s a rc o s d e

c irc u n fe re n c ia d e c u e rd a AB y s e lla m a n

a rc o s

c a p a c e s s o b re AB d e á n g u lo
a.
16

LU G AR ES G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALES

LU G AR ES G EO MÉTR IC O S FU N D AMEN TALES

17. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a
•
La c irc u n fe re n c ia e s e l lu g a r g e o m é tric o d e lo s
.
p u n to s q u e e q u id is ta n te d e u n o fijo lla m a d o c e n tro

La d is ta n c ia d e u n p u n to c u a lq u ie ra d e la
.
c irc u n fe re n c ia a l c e n tro s e d e n o m in a ra d io
:// . . /~ / / / .
h ttp file m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s c irc u n fe re n c ia c irc u n fe h tm
• ,
La p a rá b o la e s e l lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s P

ta le s q u e e q u id is ta n d e u n p u n to fijo lla m a d o fo c o y
.
d e u n a re c ta d e n o m in a d a d ire c triz
:// . . /~ / / / .
h ttp file m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s p a ra b o la p a ra b o la h tm l
•
La e lip s e e s e l lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s d e l
,
p la n o c u y a s u m a d e d is ta n c ia s a d o s p u n to s fijo s
( ') (2 )
lo s fo c o s F y F e s c o n s ta n te a
:// . . /~ / / / _ % 9 .
h ttp file m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s e lip s e e lip s e h ip E rb o la h tm l
 
•
La h ip é rb o la e s e l lu g a r g e o m é tric o d e lo s p u n to s
,
d e l p la n o c u y a d ife re n c ia d e d is ta n c ia s a d o s
( ) .
p u n to s fijo s lo s fo c o s e s c o n s ta n te
:// . . /~ / / / % 9 .
h ttp file m o n u p c t e s p e p e m a r c o n ic a s h ip e rb o la h ip E rb o la h tm
17

LU G AR ES G EO MÉTR IC O S C O N J AVA

LU G AR ES G EO MÉTR IC O S C O N J AVA

18. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a
•
D e te rm in a la e c u a c ió n d e l lu g a r g e o m é tric o d e
( ; )
lo s p u n to s P x y q u e e q u id is ta n d e lo s p u n to s
(1; 0 ) (0 ; 1).
A y B

 
• ( ; )
D e te rm in a la e c u a c ió n d e lo s p u n to s P x y q u e
4 .
d is ta n d e l o rig e n d e c o o rd e n a d a s u n id a d e s
• ( ; )
U n p u n to P x y s e m u e v e d e ta l m o d o q u e s u

d is ta n c ia a l e je X e s ig u a l a s u d is ta n c ia a l p u n to
(0 ; 4 ).
fijo F
•
D e te rm in a la e c u a c ió n d e l lu g a r g e o m é tric o d e
( ; )
lo s p u n to s P x y ta le s q u e la s u m a d e s u s

d is ta n c ia s a lo s p u n to s F
1
(-2 ; 0 )
y F
2
(2 , 0 )
e s
6 .
s ie m p re ig u a l a
•
D e te rm in a la e c u a c ió n d e l lu g a r g e o m é tric o d e
( ; )
lo s p u n to s P x y ta le s q u e la d ife re n c ia d e s u s

d is ta n c ia s a lo s p u n to s F
1
(-10 ; 0 )
y F
2
(10 , 0 )
e s
16 .
s ie m p re ig u a l a
18
EJ ER C IC IO SEJ ER C IC IO S

19. Ge o me tría Ana lític a

Ge o me tría Ana lític a
•
U n s e g m e n to AB s e m u e v e d e ta l m o d o q u e s u

e x tre m o A s e e n c u e n tra s ie m p re e n e l s e m ie je
,
p o s itiv o d e la s X m ie n tra s q u e e l e x tre m o B s e

e n c u e n tra s ie m p re e n e l s e m ie je p o s itiv o d e la s
. ( ;
Y H a lla e l lu g a r g e o m é tric o d e l p u n to m e d io P x
) ,
y d e l s e g m e n to AB s a b ie n d o q u e e l triá n g u lo

AO B q u e fo rm a e l s e g m e n to c o n lo s e je s tie n e
8 .
s ie m p re á re a ig u a l a u n id a d e s
19
EJ ER C IC IO SEJ ER C IC IO S