Hernandez, fernando introduccion a la teoria de conjuntos

Matemáticas, teoria de conjuntos, introduccion

1. Teor´ıadeConjuntos
(una introducci´on)
Fernando Hern´andez Hern´andez

2. Contenido
Prefacio vii
1 Introducci´on Hist´orica 1
2 Axiomas de la Teor´ıadeConjuntos 7
2.1 Propiedades............................. 7
2.2 LosAxiomas ............................ 9
3´Algebra de Conjuntos 23
3.1 Operaciones Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 ProductoCartesiano........................ 29
3.3 FamiliasdeConjuntos ....................... 34
4 Relaciones y Funciones 43
4.1 Relaciones.............................. 43
4.2 Funciones .............................. 49
4.3 ProductosCartesianosArbitrarios ................ 63
4.4 EquivalenciasyParticiones .................... 69
4.5
´
Ordenes ............................... 77
4.6 SobreClases............................. 92
5LosN´umeros Naturales 95
5.1 Introducci´on............................. 95
5.2 Propiedades de los N´umerosNaturales.............. 100
5.3 El Teorema de Recursi´on ..................... 105
5.4 Aritm´etica de los N´umerosNaturales............... 111
6LaExtensi´on de los Naturales a los Reales 119
6.1 Diferencias ............................. 119
6.2 LosEnteros............................. 122
6.3 LosRacionales ........................... 126
6.4 Sucesiones de Cauchy de N´umerosRacionales.......... 132

3. ii Contenido
6.5 LosReales.............................. 138
7 Cardinalidad 149
7.1 Introducci´on............................. 149
7.2 ConjuntosFinitos.......................... 150
7.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos ............... 154
7.4 ConjuntosNumerables....................... 156
7.5 N´umerosCardinales ........................ 161
7.6 Aritm´eticaCardinal ........................ 164
7.7 ElContinuo............................. 169
8 El Axioma de Elecci´on 175
8.1 Introducci´on............................. 175
8.2 El Axioma de Elecci´on....................... 177
8.3 Cuatro Equivalencias Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . 181
8.4 Uso del Axioma de Elecci´on.................... 188
8.5 ElTeoremadelIdealPrimo .................... 199
8.6 Otras Proposiciones Relacionadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 210
8.7 Matem´aticas sin Elecci´on...................... 214
9Ordinales 217
9.1 Introducci´on............................. 217
9.2 N´umerosOrdinales......................... 218
9.3 ElAxiomadeReemplazo ..................... 222
9.4 Inducci´on y Recursi´on Transfinita................. 227
9.5 Aritm´eticaOrdinal......................... 232
9.6 OrdinalesInicialesyAlephs.................... 245
9.7 Suma y Multiplicaci´ondeAlephs................. 250
10 Teor´ıa de Cardinales 255
10.1 N´umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´on .......... 255
10.2 Sumas y Productos Infinitos.................... 260
10.3CardinalesRegularesySingulares................. 266
10.4 La Hip´otesisGeneralizadadelContinuo ............. 271
10.5 La HGC y los N´umerosCardinales ................ 275
10.6MedidasyCardinales ....................... 281
10.7CardinalesMedibles ........................ 286
10.8OtrosCardinalesGrandes ..................... 288

4. Contenido iii
11 Dos T´opicos Especiales 297
11.1ElProblemadeSouslin ...................... 297
11.2ElAxiomadeMartin........................ 301
11.3 Equivalencias del Axioma de Martin . . . . . . . . . . . . . . . 312
A Axiomas de Zermelo-Fraenkel 319
B Axiomas Bernays-G¨odel 321
C Axiomas Adicionales 323
Bibliograf´ıa329
´Indice 337

5. iv Contenido

6. Teor´ıadeConjuntos
Cada cuerpo tiene
su armon´ıay
su desarmon´ıa
en algunos casos
la suma de armon´ıas
puede ser casi
empalagosa
en otros
el conjunto
de desarmon´ıas
produce algo mejor
que la belleza
Mario Benedetti
Viento del Exilio

8. Prefacio
Casi todos los libros de matem´aticas hablan de conjuntos y est´an libremente
salpicados de extra˜nos s´ımbolos como∈,⊆,∪,∩,∅.P.R.Halmosapuntaenel
ya cl´asicoNaive Set Theory: “Los matem´aticos est´an de acuerdo en que cada
uno de ellos debe saber algo de Teor´ıa de Conjuntos; el desacuerdo comienza al
tratar de decidir qu´e tanto esalgo”.Hay motivos bien fundamentados detr´as
de esta obsesi´on por los conjuntos. La Teor´ıa de Conjuntos es un lenguaje.
Sin ella, no s´olo es imposible hacer matem´aticas, sino que ni siquiera podemos
decir de qu´esetrata´esta. Es lo mismo que intentar estudiar literatura francesa
sin saber algo de franc´es. Hewitt y Stromberg en su libroReal and Abstract
Analysisdicen: “Desde el punto de vista de un l´ogico, las matem´aticas son la
Teor´ıa de Conjuntos y sus consecuencias”.
La Teor´ıa Intuitiva de Conjuntos funciona bien para los primeros cursos
de matem´aticas (C´alculo,
´
Algebra, entre otros), pero definitivamente para los
cursos de matem´aticas superiores es muy conveniente contar con una Teor´ıa
de Conjuntos s´olida pues, de hecho, nociones como las de cardinalidad o apli-
caciones del Axioma de Elecci´on son fundamentales y, en ocasiones, indispen-
sables en t´opicos especializados del An´alisis,
´
Algebra, Topolog´ıa, etc.
EnestetextosepresentalaTeor´ıa de Conjuntos basada en la Axiom´a-
tica de Zermelo-Fraenkel con elecci´on (ZFC) tratando de requerir el m´ınimo
de formalismo l´ogico. Una justificaci´on para optar por la axiomatizaci´on de
Zermelo-Fraenkel (ZF)esque´esta es la m´as apropiada para un primer en-
cuentro con la Teor´ıadeConjuntosylom´as importante es que, como vere-
mos, los n´umeros reales, sus operaciones aritm´eticas y las demostraciones de
sus propiedades pueden ser expresados a partir de los axiomas de Zermelo-
Fraenkel. Pero no s´olo el sistema de los n´umeros reales encuentra sustento
en la Axiom´atica de Zermelo-Fraenkel, la mayor parte de las matem´aticas
contempor´aneas (posiblemente la ´unica excepci´on es la Teor´ıa de Categor´ıas)
puede desarrollarse dentro de la Teor´ıa de Conjuntos as´ıaxiomatizada. Por
ejemplo, los objetos fundamentales de Topolog´ıa,´Algebra o An´alisis (espa-
cios topol´ogicos, espacios vectoriales, grupos, anillos, espacios de Banach) son
apropiadamente definidos como conjuntos de una clase espec´ıfica. Propiedades
topol´ogicas, algebraicas o anal´ıticas de estos objetos son entonces derivadas a

9. viii Prefacio
partir de las propiedades de conjuntos, las cuales se pueden obtener usando los
axiomasZFC. En este sentido, la Teor´ıa de Conjuntos as´ıaxiomatizada sirve
como una fundamentaci´on satisfactoria para otras ramas de la matem´atica.
Unaconsultar´apida al contenido anal´ıtico ser´asuficiente para enterarse
de cu´al es el material que se expone en este texto y c´omo est´a organizado
este material. Sin embargo, son convenientes algunos comentarios. En primer
lugar, en el Cap´ıtulo 2, la noci´on de propiedad se da de manera intuitiva y se
introducen los primeros axiomas del sistemaZF.EnelCap´ıtulo 6, la extensi´on
de los n´umeros racionales a los n´umeros reales se hace estableciendo clases de
equivalencia de sucesiones de Cauchy, en lugar del m´etodo cl´asico que utiliza
cortaduras de Dedekind (que tambi´en se expone brevemente en el Cap´ıtulo 11).
El Cap´ıtulo 8, que trata del Axioma de Elecci´on, contiene mucha informaci´on,
en especial, las Secciones 8.4 y 8.5 incluyen ejemplos que posiblemente no sean
accesibles a todos los lectores; en particular, las demostraciones de ´estos est´an
destinadas a aquellos lectores con mayor conocimiento y madurez matem´atica.
El prop´osito de incluir toda esta informaci´on es el de mostrar las vastas apli-
caciones de dicho axioma en diversas ´areas de la Matem´atica. La exposici´on
del material dedicado a los n´umeros ordinales se pospone hasta despu´es del
Axioma de Elecci´on por considerar a ´este m´as importante, aunque por ello se
sacrifique un poco el seguimiento de la exposici´on de los conceptos de cardina-
lidad; adem´as de que es necesario dicho axioma en algunas proposiciones im-
portantesqueserefieren a n´umeros ordinales. El Cap´ıtulo 10 contiene t´opicos
especializados de Teor´ıa de Cardinales y es deseable cubrir la mayor parte de
´el. Las dos ´ultimas secciones de este cap´ıtulo requieren de los conceptos
de ideales yfiltros (para el caso especial del ´algebra BooleanaP(X)) expuestos
en la Secci´on 8.5. Por ´ultimo,elCap´ıtulo 11 puede considerarse optativo, el
material que ah´ıse presenta es para aquellos lectores con mayor inter´es en la
Teor´ıa de Conjuntos o ramas afines como la Topolog´ıa. Cabe mencionar que
las secciones 11.2 y 11.3 est´an basadas en las notas de clase del curso sobre
forcingque el Prof. Oleg G. Okunev imparti´o en la Facultad de Ciencias de la
UNAM en el segundo semestre de 1997.
Por lo regular las secciones est´an seguidas de una lista de ejercicios. En
pocas excepciones, los ejercicios no se refieren a los conceptos tratados en el
texto. Hay varios tipos de ejercicios, algunos rutinarios y otros m´as dif´ıciles,
los cuales frecuentemente est´an acompa˜nados con sugerencias para su soluci´on.
Los ejemplos en el texto s´olo ocasionalmente son desarrollados con todo detalle.
La verificaci´on de que un ejemplo tiene las propiedades deseadas se deja como
ejercicio (usualmente f´acil) para el lector.

10. Prefacio ix
Elfinal de una demostraci´on se indica con el s´ımbolo.Lasdefiniciones,
observaciones, lemas, proposiciones y teoremas de cada cap´ıtulo son numerados
consecutivamente por un par de n´umeros que indican el cap´ıtulo y el elemento
respectivamente: ver Lema 3.2, significa ver el Lema 2 del Cap´ıtulo 3. Para
hacer referencia a los ejercicios usaremos una terna de n´umeros separados por
puntos: Ejercicio 2.3.7, significa ejercicio 7 de la secci´on 3 del cap´ıtulo 2. Los
axiomas se numeran consecutivamente a lo largo de todo el texto.
Hay referencias de car´acter hist´orico, pero como es un poco inc´omodo poner
todos los datos de la obra que se est´e citando en el lugar donde se realizan
los apuntes, en la bibliograf´ıa se encuentran algunas segundas referencias. Por
otra parte, me parece oportuno indicar la bibliograf´ıab´asica empleada en la
elaboraci´on del material aqu´ıpresentado, la cual est´a integrada por: [E
1], [H1],
[HJ], [J
3], [K1], [KM], [P4], [P5], [R2], [S10]. A los autores de estos textos es a
quien ha de atribuirse lo acertado de las demostraciones presentadas. El m´erito
(si existe) de este trabajo es la selecci´on, modo de presentaci´on del material,
modificaci´on y adaptaci´on de algunas de las demostraciones.
La idea de escribir el presente trabajo tuvo su origen en las notas “Breve
Resumen de Introducci´onalaTeor´ıa de Conjuntos”. En estas ´ultimas se bas´o
un seminario que realizamos algunos estudiantes de la Facultad de Ciencias
F´ısico Matem´aticas de la BUAP en 1992, el cual fue motivado por la falta de
un curso de esta bella teor´ıa. En los a˜nos en que han sido usadas las notas
originales se observ´oquerequer´ıan de una revisi´on que las hiciera, hasta donde
fuera posible, m´as entendibles y sobre todo m´as completas; as´ı,elpresente
volumen difiere en mucho de las notas originales.
Es mi deseo que este libro sirva a cualquier interesado en las mate-
m´aticas; en especial a los estudiantes, para ayudarles a no sentirse confundidos
(como en su momento yo lo estuve) por el concepto de conjunto.
Finalmente, y no por ello menos merecido, deseo manifestar mi sincero
agradecimiento a todas las personas que de una u otra manera han colaborado
en la realizaci´on de este libro y que por temor a aburrir al lector con una
larga lista de nombres no citar´eexpl´ıcitamente. No obstante, es para mi un
placer dar a conocer las personas que me ayudaron a culminar este trabajo
y a quienes reitero mi agradecimiento: el Prof. Agust´ın Contreras Carreto,
quepeseasusm´ultiples ocupaciones hizo un gran esfuerzo por brindarme
su apreciable ayuda como el mejor de los amigos; el Prof. Fidel Casarrubias
Segura, que me hizo observaciones muy acertadas sobre la manera en que
se presentaba el material, que me estimul´o en muchas ocasiones y que sobre
todo me ha apoyado en tantos momentos dif´ıciles; el Prof.
´
Angel Tamariz
Mascar´ua, cuya eficaz revisi´on mejor´o notablemente la exposici´on del material

11. xPrefacio
aqu´ıpresentado y de quien he recibido adem´as de un muy especial apoyo, su
confianza. Los comentarios constructivos y cr´ıticas de todos ellos fueron muy
apreciados; adem´as de que han influido de manera sustancial en la redacci´on
finaldeestetrabajo.Expresotambi´en mi gratitud a mi esposa quien ha sufrido
y soportado mis locuras desde que inici´e con aquel proyecto de 1992 y que para
culminar este trabajo me respald´o a pesar de sentirse desplazada. A mis padres
por todo el apoyo y comprensi´on que de ellos he recibido.
Fernando Hern´andez Hern´andez.

12. 1
Introducci´on Hist´orica
Puede decirse que en todas las ´epocas los matem´aticos yfil´osofos han empleado
razonamientos de la Teor´ıa de Conjuntos de modo m´as o menos consciente. Sin
embargo, es necesario separar claramentetodas las cuestiones relacionadas con
la idea de n´umero cardinal (y en particular, la noci´on de infinito) de aquellas
en las que solamente intervienen las nociones de pertenencia e inclusi´on pues
´estas son m´as intuitivas. Solamente apoy´andose en ellas es como se puede
fundamentar una teor´ıa de silogismos o axiomas como “el todo es mayor que
cualquiera de sus partes”.
Para la introducci´on de la Teor´ıa de Conjuntos es muy ´util trabajar con
conjuntos concretos cuyos miembros sean objetos reales, pero los conjuntos
de inter´es en matem´aticas siempre tienen por miembros objetos abstractos: el
conjunto de todos los c´ırculos del plano, el conjunto de todos los puntos sobre
unaesfera,elconjuntodetodoslosn´umeros, etc.
Afinales del siglo XIX ya no hay dificultad alguna en hablar del conjunto de
los objetos que poseen tal o cual propiedad; la c´elebre “definici´on” dada por el
matem´atico alem´an Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)
1
:“Se
entiende por conjunto a la agrupaci´on en un todo de objetos bien diferencia-
dos de nuestra intuici´on o nuestra mente”, apenas despert´oobjecionesenel
momento de su publicaci´on. No sucedi´oas´ıcuandoalanoci´on de conjunto
vinieron a unirse las de n´umero y magnitud.
El problema de la divisibilidad de extensi´on da lugar a dificultadesfilos´oficas
considerables; matem´aticos yfil´osofos fracasar´ıan ante la paradoja
2
de una
magnitudfinita formada por infinitos puntos “sin medida”.
Las matem´aticas cl´asicas evitan introducir en sus razonamientos el “in-
finito actual”, es decir, conjuntos formados por una infinidad de elementos
simult´aneamente existentes, conform´andose con el “infinito potencial”, que se
1
Profesor de la Universidad de Halle. Public´osusart´ıculos b´asicos sobre Teor´ıadeCon-
juntos en “Mathematische Annalen” durante los a˜nos 1879-1893. Estos art´ıculos fueron edi-
tados nuevamente en [C
2]; este volumen contiene tambi´en una biograf´ıadeCantorescrita
por Zermelo.
2
Del griegoπαρ`αδ`oξα,expectaci´on.

13. 2 1. Introducci´on Hist´orica
refiere a la posibilidad de aumentar toda magnitud dada. Si bien este punto
de vista implicaba una cierta dosis de hipocres´ıa, permit´ıaalmenosdesa-
rrollar la mayor parte de las matem´aticas cl´asicas, incluyendo la teor´ıadelas
proporciones y m´as tarde el C´alculo Infinitesimal.
Las necesidades del An´alisis (en particular el estudio a fondo de las fun-
ciones de variables reales que se desarrolla sobre todo durante el siglo XIX)
son el origen de lo que iba a convertirse en la moderna Teor´ıa de Conjuntos.
Cuando Bolzano, en 1817, demuestra la existencia del extremo inferior de un
conjunto de n´umeros reales acotado inferiormente, todav´ıa razona, como la
mayor´ıa de sus contempor´aneos, “en comprensi´on”; no hablando de un con-
junto cualquiera de n´umeros reales, sino de una propiedad arbitraria de estos
´ultimos. Pero cuando treinta a˜nos m´as tarde redacta susParadoxien des -
Unendlichen(Paradojas del Infinito), no dudaba en reivindicar el derecho a la
existencia del “infinito actual” y en hablar de conjuntos arbitrarios. En este
trabajo define la noci´on general de equipotencia de conjuntos, y demuestra que
cualesquiera dos intervalos compactos enRson equipotentes; observa tambi´en
que la diferencia fundamental entre conjuntosfinitos e infinitos radica en que
un conjunto infinitoEes equipotente a un subconjunto distinto deE,pero
no da ninguna demostraci´on convincente de esta afirmaci´on. Por otra parte,
el tono general de esta obra tiene mucho m´as defilos´ofico que de matem´atico,
y no pudiendo separar de una forma suficientemente clara la noci´on de po-
tencia o cardinalidad de un conjunto de la de magnitud y de la de orden de
infinitud, fracasa en sus tentativas de formar conjuntos infinitos de potencias
cada vez mayores y termina por intercalar en sus razonamientos una serie de
consideraciones sobre las series divergentes, totalmente fuera de contexto.
La Teor´ıadeConjuntos,enelsentidoqueledamoshoyend´ ıa, se debe al
genio de Georg Cantor. Tambi´en ´el parte del An´alisis y, sus estudios sobre las
series trigonom´etricas, inspirados en los trabajos de Riemann (1826-1866), le
llevan de modo natural, en 1872, a un primer intento de clasificaci´on de los
conjuntos “excepcionales” que aparecen en dicha teor´ıa, mediante la noci´on de
“conjuntos derivados sucesivos” que introduce con estefin. Como consecuencia
de estas investigaciones y de su m´etodo para definir los n´umeros reales, Can-
tor comienza a interesarse por los problemas de equipotencia, ya que en 1873
hace notar que el conjunto de los n´umeros racionales (o el de los n´umeros alge-
braicos) es numerable. En su correspondencia con Dedekind, que da comienzo
hacia esta fecha, le vemos plantear el problema de equipotencia entre el con-
junto de los n´umeros enteros y el conjunto de todos los n´umeros reales, que
resuelve algunas semanas m´as tarde. En 1874, Cantor intuye equivocadamente
la imposibilidad de una biyecci´on entreRyR
n
(n>1). Posteriormente des-

14. 1. Introducci´on Hist´orica 3
cubre estupefacto que tal correspondencia biun´ıvoca existe.
Una vez en posesi´on de estos resultados, tan nuevos como sorprendentes,
seconsagraporenteroalateor´ıadeconjuntos.Enunaseriedeseismemo-
rias publicadas en los MathematischeAnnalen entre 1878 y 1884 ataca si-
mult´aneamente los problemas de equipotencia, la teor´ıa de conjuntos total-
mente ordenados, las propiedades topol´ogicas deRyR
n
, y el problema de
la medida. Entre sus manos van deslind´andose poco a poco, con una claridad
admirable, nociones en apariencia indisolublemente unidas en la concepci´on
cl´asica del “continuo”. Ya en 1880 tiene la idea de iterar “transfinitamente”
la formaci´on de “conjuntos derivados”, idea genitiva, que fructifica dos a˜nos
despu´es con la introducci´on de conjuntos bien ordenados, uno de los descubri-
mientos m´as originales de Cantor, que le permite abordar un estudio detallado
de los n´umeros cardinales y formular el “problema del continuo”.
Resultaba totalmente imposible que concepciones tan atrevidas, contrapues-
tas a una tradici´on dos veces milenaria, que conclu´ıan resultados tan inespe-
rados y de un aspecto tan parad´ojico, se aceptasen sin resistencia. De hecho,
entre los matem´aticos influyentes de ese entonces en Alemania, Weiestrass
(1815-1897) fue el ´unico en seguir con cierto inter´es los trabajos de Cantor
(que hab´ıasidoalumnosuyo);peroCantorseencontr´o con una actitud de
oposici´on empecinada por parte de Schwarz, y sobre todo de Kronecker. La
tensi´on constante engendrada por la oposici´on a sus ideas, as´ıcomo los esfuer-
zos infructuosos realizados para demostrar la hip´otesis del continuo, parecen
ser las causas de los primeros s´ıntomas de una enfermedad nerviosa cuyos
efectos sobre su producci´on matem´aticaprontosehicieronnotar.
Dedekind, guiado por sus trabajos en Aritm´etica y sobre todo por la teor´ıa
de ideales, lleg´o a considerar la noci´on de conjunto ordenado desde un pun-
to de vista m´as general que Cantor. Mientras que este ´ultimo se limita a los
conjuntos totalmente ordenados, Dedekind ataca el caso general y realiza un
estudio profundo de los conjuntos reticulados. Estos trabajos no tuvieron gran
audiencia en su momento; sus resultados fueron analizados posteriormente
por diversos autores dando lugar a numerosas publicaciones desde 1935. La
importancia hist´orica de los trabajos de Dedekind reside en el hecho de haber
constituido uno de los primeros ejemplos de construcci´on axiom´atica; sin em-
bargo, las aplicaciones de esta teor´ıa han sido escasas. En contraposici´on, los
primeros resultados de Cantor sobre conjuntos numerables y de la potencia del
continuo dieron lugar r´apidamente a numerosas e importantes aplicaciones, in-
cluso dentro de las cuestiones m´as cl´asicas del An´alisis.
As´ıpues, haciafinales del siglo XIX, las concepciones esenciales de Cantor
hab´ıan ganado la partida. En esta misma ´epoca, se completa la formalizaci´on

15. 4 1. Introducci´on Hist´orica
de las matem´aticas y el m´etodo axiom´atico fue casi universalmente aceptado.
Pero simult´aneamente surg´ıa una “crisis de fundamentos” de proporciones
considerables que conmovi´o al mundo matem´atico durante m´as de treinta a˜nos,
y que parec´ıa desquebrajar, no s´olo todas las adquisiciones recientes en aquel
entonces, sino tambi´en las partes m´as cl´asicas de la matem´atica.
En 1899 Cantor observa en una carta a Dedekind que no puede hablarse
del “conjunto de todos los conjuntos” sin llegar a una contradicci´on. En 1905
Russell encontr´o que la noci´on del “conjunto de todos los conjuntos que no
son elementos de s´ımismos” es tambi´en contradictoria.
Podr´ıa pensarse que tales antinomias aparec´ıan ´unicamente en regiones
perif´ericas de las matem´aticas, caracterizadas por considerar conjuntos de una
“magnitud” inaccesible a la intuici´on. Eran razonamientos tan alejados del uso
com´un de los matem´aticos, que a muchos de ellos les parec´ıan simples juegos
de palabras. No obstante, estas paradojas insist´ıan en se˜nalar la necesidad de
una revisi´on de las bases de la Teor´ıa de Conjuntos afindeeliminarlas.Pero
si bien hab´ıa unanimidad en cuanto a la urgencia de esta revisi´on, enseguida
surgieron divergencias en la forma y m´etododellevarlaacabo.Peseaestose
trat´odedaralaTeor´ıa de Conjuntos una base axiom´atica como se hizo en el
caso de la geometr´ıa elemental, donde no hay que ocuparse de a qu´e “cosas”
se llama “conjuntos”nidequ´esignificax∈y, sino que enumeren las condi-
ciones impuestas a esta ´ultima relaci´on. Naturalmente esta axiomatizaci´on se
trat´o de hacer de tal manera que se pudieran abarcar en todo lo posible los
resultados de Cantor, teniendo cuidado de evitar la aparici´on de conjuntos
parad´ojicos.
El primer ejemplo de este tipo de axiomatizaci´on fue dado por Zermelo en
1904. En ´esta, la introducci´on de conjuntos “muy grandes” se evita mediante
un “axioma de comprensi´on” que grosso modo plantea que para determinar un
conjunto con una propiedadP(x) es necesario (y suficiente) queP(x)implique
una relaci´on de la formax∈Apara alg´un conjunto ya existenteA.Des-
pu´es aparecieron otras axiomatizaciones de la Teor´ıa de Conjuntos. Citamos
principalmente la de Von Neumann mucho m´as cercana, que la de Zermelo,
alaconcepci´on primitiva de Cantor. Cantor hab´ıayapropuestoensuco-
rrespondencia con Dedekind la distinci´on de dos tipos de entes para evitar los
conjuntos parad´ojicos: las “multiplicidades” y los “conjuntos” propiamente
dichos; caracteriz´andose los segundos por ser pensados como un objeto ´unico.
Esta idea fue precisada por Von Neumann distinguiendo dos tipos de objetos:
los “conjuntos” y las “clases”. En su sistema (casi totalmente formalizado) las
clases a diferencia de los conjuntos, no poden ser colocadas a la izquierda del
signo∈. Una de las ventajas de este sistema es que rehabilita la noci´on de “clase

16. 1. Introducci´on Hist´orica 5
universal” empleada por los l´ogicos del siglo XIX (y que, naturalmente no es
un conjunto). Adem´as, la introducci´on de esquemas de axiomas es sustituida
por axiomas convenientes, lo que simplifica el estudio l´ogico. Bernays y G¨odel
dieron variantes al sistema de Von Neumann.
La axiomatizaci´on de la teor´ıa intuitiva de conjuntos de Cantor no s´olo fue en
s´ımisma un acontecimiento muy destacado en los avances de las matem´aticas
del siglo XX, tambi´en estableci´oqueelm´etodo axiom´atico es posiblemente
la manera m´as clara y precisa en la cual se puede dar una representaci´on del
conocimiento.

17. 6 1. Introducci´on Hist´orica

18. 2
Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
2.1 Propiedades
Com´unmente los conjuntos son introducidos como colecciones de objetos con
alguna propiedad com´un. La noci´on de propiedad merece un poco de an´alisis.
Algunas propiedades frecuentemente consideradas en la vida diaria son tan
vagas que dif´ıcilmente son admitidas en las matem´aticas. Consideremos, por
ejemplo, el “conjunto de todos los borregos gordos”; cabe preguntar ¿qu´etan
gordoes gordo? Si nos muestran alg´un borrego ¿c´omo podemos saber si es
gordo o no?
Como otro ejemplo, consideremos el “conjunto” de aquellos n´umeros na-
turales que pueden ser escritos (digamos que con papel y l´apiz) en notaci´on
decimal. Claramente 0 puede ser escrito. Si un n´umeronpuede ser escrito,
entonces seguramente el n´umeron+1 tambi´en puede ser escrito. Por el familiar
principio de inducci´on, cualquier n´umeronpuede ser escrito. Pero, ¿conoce o
conocer´a usted de alguien que pueda escribir el n´umero 10
10
10
?Esten´umero
en notaci´on decimal requiere de un 1 y 10
10
ceros, que para lograr escribirse
requiere de al menos trescientos a˜nos de trabajo continuo anotando un cero
por segundo.
El problema para admitir a estas propiedades como “buenas” propiedades
para definir conjuntos es causado por el significado vago de “puede”. Una
formaderemediarestetipodedificultades o algunas otras similares es decir
expl´ıcitamente qu´esignifica “puede” o ponernos de acuerdo en qu´esignifica
“gordo”; por ejemplo, estableciendo que gordo es pesar m´as de cien kilogramos.
Sin embargo, el determinar los elementos de un conjunto sabiendo que son los
que satisfacen cierta propiedad, sigue siendo complicado. Para ilustrar esta
afirmaci´on, construiremos un “conjunto” en el que ser´am´as dif´ıcil ponerse de
acuerdo en un criterio que permita definir bien el conjunto.
Se cuenta que en un lejano poblado de un antiguo emirato hab´ıa
un barbero llamado As-Samet,ducho en afeitar cabezas y bar-
bas, maestro en escamondar sanguijuelas.Un d´ıaelEmir,d´andose
cuenta de la escasez de barberos en el emirato, dio ´ordenes de que

19. 8 2. Axiomas de la Teor´ıadeConjuntos
todos los barberos del emirato s´olo afeitaran a aquellas personas
que no pudieran hacerlo por s´ımismas (todas las personas en este
pueblo tienen que ser afeitadas, ya sea por el barbero o por ellas
mismas). Un cierto d´ıa el barbero fue llamado a afeitar al Emir y
le cont´oa´este sus congojas.
– En mi pueblo soy el ´unico barbero. Si me afeito, entonces
puedo afeitarme por m´ımismo y por lo tanto, no deber´ıaafeitarme
el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero si no me afeito, lo debe
hacer un barbero por m´ı¡peronohayall´ım´as barbero que yo!
El Emir pens´o que tales razonamientos eran muy profundos, a
tal grado que premi´oalbarberoconlamanodelam´as virtuosa de
sus hijas, y el barbero vivi´o eternamente feliz.
Consideremos comoP(x) la propiedad “el habitantexdel pueblo no se
afeita a s´ımismo (y, por tanto, es afeitado por el barbero)”. Seabel barbero.
La cuesti´on es: ¿btiene o no la propiedad?, es decir, ¿P(b)severificaono?
Sibtiene la propiedad, entoncesbno se afeita a s´ımismo y es afeitado por
el barbero. Perobes el barbero, as´ıque se afeita a s´ımismo. Esto significa
quebno tiene la propiedad. Sibno tiene la propiedad, entoncesbse afeita a
s´ımismo y por lo tanto, no es afeitado por el barbero. Comobes el barbero,
entoncesbno se afeita a s´ımismo, as´ıque tiene la propiedad. En conclusi´on,
no sabemos sibtiene o no la propiedad, pues la propiedadP(b)esciertay
falsa a la vez, es una paradoja, frecuentemente conocida como la paradoja del
barbero.
Las propiedades anteriores y otras similares no definen conjuntos; esto es,
todos los objetos que gozan de la propiedad no pueden ser coleccionados en
un conjunto. Esta observaci´on nos puede llevar a preguntar ¿qu´e propiedades
s´ıdefinen conjuntos?. Desafortunadamente, no hay manera de conocer esto,
y algunos resultados de l´ogica, especialmente el llamado Teorema de Incom-
pletitud de G¨odel, indican que una respuesta plena es imposible.
Para nosotros,una propiedad es una proposici´on tal que para cualquier ob-
jeto es posible decidir, sin ambig¨uedad, si dicho objeto la verifica. Si un objeto
xverifica la propiedadP(x) decimos que la propiedad es verdadera (V); en
caso contrario decimos que la propiedad es falsa (F). CuandoP(x) es verdadera
tambi´en decimos que el objetoxtiene la propiedadP(x).
Desde propiedades arbitrariasP(x)yQ(x), podemos formar nuevas propie-
dades: la conjunci´onP(x)∧Q(x), la disyunci´onP(x)∨Q(x)ylanegaci´on de
P(x),¬P(x). En cuanto al significado de estas nuevas propiedades generadas
porP(x)yQ(x) tenemos que: Para que un objetoxverifique la conjunci´on es
necesario quexverifique simult´aneamente a cada una de las propiedades que

20. 2.2. Los Axiomas 9
la componen; para quexverifique la disyunci´on es necesario quexverifique
por lo menos una de sus componentes, y para quexverifique la negaci´on de
P(x) es necesario quexno verifiqueP(x). Los valores de verdad de estas
propiedades pueden ser resumidos por la Tabla 1.
Tabla 1
P(x)Q(x)P(x)∧Q(x)P(x)∨Q(x)¬P(x)
VV VVF
VF FVF
FV FVV
FF FFV
La propiedad¬(P(x)∧¬Q(x)) se abrevia comoP(x)⇒Q(x). La propie-
dad [P(x)⇒Q(x)]∧[Q(x)⇒P(x)] se abrevia comoP(x)⇔Q(x). En la
Tabla 2 se exponen los valores de verdad de estas propiedades en t´erminos de
los valores de verdad de sus componentes.
Tabla 2
P(x)Q(x)P(x)⇒Q(x)P(x)⇔Q(x)
VV VV
VF FF
FV VF
FF VV
Una cuantificaci´on existencial es una propiedad de la forma∃xP(x), donde
P(x) es una propiedad cualquiera conocida como cuantificado y∃es el cuan-
tificador existencial. La propiedad∃xP(x) es verdadera siP(x) es verdadera
para al menos un objetox;deotromodoesfalsa.Lapropiedad ∀xP(x),
conocida como cuantificaci´on universal, es una abreviaci´on de la propiedad
¬(∃x)(¬P(x)).
Abreviaremos con∀x∈X,P(x)lapropiedad∀x(x∈X⇒P(x)) y deno-
taremos por∃x∈X,P(x) a la propiedad∃x(x∈X∧P(x)).
Una propiedad puede depender de m´as de un par´ametro. Una propiedad del
estiloP(x,y,...z) tiene varios par´ametros (una cantidadfinita), y su valor de
verdad depende de todos los par´ametros.
2.2 Los Axiomas
Como se asegur´o en la introducci´on, el enfoque adoptado para el desarrollo de
la Teor´ıa de Conjuntos ser´aaxiom´atico y la manera de realizar esta axiom´atica

21. 10 2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
ser´a parecida a aquella de la Geometr´ıa. Es decir, en nuestra axiom´atica no
examinaremos directamente el significado del t´ermino “conjunto” –tal y como
en Geometr´ıa no se examinan los significados de los t´erminos “punto”, “recta”
y “plano”–; pero a partir de sus axiomas –al igual que en Geometr´ıa–
se deducen todos los teoremas sin recurrir a los significados intuitivos de los
t´erminos primitivos.
Los axiomas tienen su origen en el concepto intuitivo de conjunto, pero el
m´etodo axiom´atico asegura que el concepto intuitivo de la palabra “conjunto”
no interviene en las demostraciones de teoremas o en definiciones de conceptos
conjuntistas.
LasnocionesprimitivasdelaTeor´ıa de Conjuntos son “conjunto”, y la
relaci´on de pertenencia “ser un elemento de”, la cual se simbolizar´apor∈;su
negaci´on:xno es un elemento o miembro deyla denotamos conx/∈y.
1
Para
simplificar la notaci´on usaremos letras may´usculas para referirnos a conjuntos.
En ocasiones (cuando sea posible) indicaremos la jerarqu´ıadeunconjunto
denot´andolo con letras caligr´aficas.
Ahora empezaremos a dar nuestro sistema axiom´atico. Intentaremos aclarar
el significado intuitivo de cada axioma.
Para dar sustancia a la discusi´on, el primer axioma que adoptaremos postula
que al menos existe un conjunto. Para concretar, postularemos la existencia
de un conjunto espec´ıfico, a saber, el conjunto vac´ıo. Ya que m´as adelante for-
mularemos una suposici´on de existencia m´as profunda y m´as ´util, la siguiente
juega s´olo un papel temporal.
Axioma1 (de Existencia) Hay un conjunto que no tiene elementos.
Un conjunto sin elementos puede ser descrito de manera intuitiva de varias
formas; por ejemplo, como “el conjunto de los perros que han escrito obras
literarias” o como “el conjunto de n´umeros reales que satisfacen la ecuaci´on
x
2
+ 1 = 0”. Intuitivamente los ejemplos de esta clase describen al mismo con-
junto, a saber, el conjunto vac´ıo, conjunto vacuo. Pero no podemos probar esta
afirmaci´on; necesitamos otro axioma que exprese el hecho de que un conjunto
est´a determinado por sus elementos, tal y como intuitivamente lo concebimos.
Axioma2(deExtensi´on) Si todo elemento deXes un elemento deY,y
todo elemento deYes un elemento deX,entoncesX=Y.
1
El s´ımbolo∈se deriva de la letra griega ´epsilon. El uso de esta letra para la relaci´on
depertenenciafueintroducidoporPeano[P
2] quien la seleccion´ocomoabreviaci´on de la
palabraGriegaestar(`²στ´ι)

22. 2.2. Los Axiomas 11
El Axioma de Extensi´on puede expresarse en otras palabras diciendo: dos
conjuntos que tienen los mismos elementos son id´enticos. Simb´olicamente este
axioma puede expresarse as´ı:
X=Y⇔(∀x:x∈X⇒x∈Y)∧(∀x:x∈Y⇒x∈X).
Por otra parte, es valioso comprender que elAxioma de Extensi´on no es
s´olo una propiedad l´ogicamente necesaria de la igualdad, sino que es una
proposici´onnotrivialacercadelapertenencia. Una manera de llegar a en-
tender este punto es considerar una situaci´on en la cual el an´alogo al Axioma
de Extensi´on no se cumpla. Sup´ongase, por ejemplo, que consideramos seres
humanos como (en lugar de) conjuntos y que, sixyAson seres humanos,
escribiremosx∈Asiempre quexes un ancestro deA(por ejemplo,x∈Asi
xes padre deAosixes bisabuelo deA). El an´alogo del Axioma de Extensi´on
dir´ıa en este caso que “dos seres humanos tienen los mismos ancestros si y s´olo
si son iguales”. Pero, ¿qu´e pasa con dos hermanos?
Proposici´on 2.1Hay un ´unicoconjuntoquenotieneelementos.
Demostraci´on:
Asumamos queAyBno tienen elementos. Entonces todo elemento deAes
un elemento deB(puesto queAno tiene elementos la proposici´on “a∈A⇒
a∈B”esautom´aticamente cierta). Similarmente, todo elemento deBes un
elemento deA. Por el Axioma de Extensi´on concluimos queA=B.
La proposici´on anterior nos posibilita para hacer la siguiente definici´on.
Definici´on 2.2El ´unico conjunto que no tiene elementos es llamado elcon-
junto vac´ıoy es denotado por∅.
Intuitivamente, los conjuntos son colecciones de objetos que satisfacen al-
guna propiedad, y ser´ıa deseable tener un axioma que exprese este hecho. Este
axioma retomar´ıaelesp´ıritu de la “definici´on” de conjunto dada por Cantor.
El problema es que no toda propiedad describe un conjunto, pues algunas
propiedades pueden introducir paradojas y nuestra intenci´on al axiomatizar
la Teor´ıa de Conjuntos es precisamente evitar las paradojas. En seguida de-
mostraremos que la colecci´on{x:xes un conjunto}no es un conjunto, es
decir, la propiedadP(x):“xes un conjunto”, no describe en realidad un
conjunto.

23. 12 2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
El problema estar´a resuelto si postulamos solamente la existencia del con-
junto de todos los objetos que tienen una propiedad dada, los cuales pertenez-
can a otro conjunto ya dado de antemano. El siguiente axioma puede consi-
derarse como de los m´as importantes, pues permite la construcci´on de nuevos
conjuntos a partir de otros ya existentes.
Axioma3(EsquemadeComprensi´on) SeaP(x)una propiedad dex.Para
cualquier conjuntoAhay un conjuntoBtal quex∈Bsi y s´olo six∈Ay
P(x).
En contraste a los otros axiomas, los cuales son proposiciones, el Axioma Es-
quema de Comprensi´on es una colecci´on infinita de proposiciones. Esto es, ´este
es un esquema para producir axiomas, uno por cada elecci´on de la propiedad
P. Por ejemplo, siP(x)es“x=x” el axioma dice: Para cualquier conjunto
A, hay un conjuntoBtal quex∈Bsi y s´olo six∈Ayx=x. (En este caso
A=B). SiP(x)es“x/∈x”, el axioma postula: Para cualquier conjuntoA
hay un conjuntoBtal quex∈Bsi y s´olo six∈Ayx/∈x. Por lo anterior el
Axioma 3 se llamaEsquema de Comprensi´on.
La propiedadP(x) puede depender de otras variablesp,q,...,r; el corres-
pondiente axioma postula entonces que para cualquier selecci´on de las varia-
blesp,q,...,r, y cualquier conjuntoA, hay un conjuntoB(que depende de
p,q,...,ryA) que consiste exactamente de los elementos deApara los cuales
se verificaP(x,p,q,...,r).
Ejemplo 2.3SiPyQson conjuntos, entonces hay un conjuntoRtal que
x∈Rsi y s´olo six∈Pyx∈Q.
Demostraci´on:
Consid´erese la propiedadP(x, Q)dexyQ:“x∈Q”. Entonces por el Axioma
Esquema de Comprensi´on, para todoQy cualquierPhay un conjuntoRtal
quex∈Rsi y s´olo six∈PyP(x, Q), es decir, si y s´olo six∈Pyx∈Q.
Ejemplo 2.4El conjunto de todos los conjuntos no existe.
Demostraci´on:
Supongamos lo contrario, seaUel conjunto de todos los conjuntos y considere-
mos la propiedadP(x): “x/∈x”. El Axioma 3 nos dice que existe un conjunto
Rtal quex∈Rsi y s´olo six∈Uyx/∈x;osea,xes un elemento deR
si y s´olo sixes un conjunto yxno es miembro de s´ımismo. ComoRes un
conjunto entoncesR∈U,as´ıentoncesRpuede o no verificar la propiedadP.
SiR/∈RentoncesR∈R,esdecir,(R/∈R)∧(R∈R), una contradicci´on.

24. 2.2. Los Axiomas 13
Por otro lado, siR∈RentoncesRs´ıverifica la propiedadP, es decir,R/∈R,
nuevamente (R∈R)∧(R/∈R), una contradicci´on. Por lo tanto, suponer
la existencia deUy considerar la propiedad leg´ıtimaPsiempre lleva a una
contradicci´on, concluimos que no existe tal conjuntoU.
N´otese que de hechoUmismonoesesencialparaelrazonamientoanterior.
En efecto, si en lugar deUtom´aramos otro conjunto cualquieraXy razo-
namos por medio del Axioma Esquema de Comprensi´on de la misma manera
que en la demostraci´on anterior, tendr´ıamos que concluir queR/∈X.Esta
deducci´on es interesante, pues nos permite decir que hay algo (es decir,R)
que no pertenece aX.ComoelconjuntoXen este razonamiento es arbitrario,
hemos demostrado queno hay un conjunto que contenga todo,obienqueno
hay un universo. “Universo” se usa aqu´ıenelsentidode“universodediscurso”,
lo cual significa, en cualquier discusi´on particular, un conjunto que contiene a
todos los objetos que intervienen en ese estudio. En tratamientos m´as antiguos
(preaxiom´aticos) a la Teor´ıa de Conjuntos, se daba por supuesta la existencia
de un universo.
El razonamiento del Ejemplo 2.4 se conoce comola Paradoja de Russell
2
y en la literatura toma muchas formas equivalentes a la que hemos planteado
aqu´ı. La moraleja es que es imposible, especialmente en matem´aticas, obtener
algo a partir de nada.Para especificar un conjunto no basta dar una propiedad;
es necesario tambi´en disponer de un conjunto a cuyos elementos pueda apli-
carse esa propiedad.Estaeslalimitaci´on impuesta por el Axioma 3; la manera
de suprimir las dificultades que surgen al definir “conjuntos muy grandes” es
proceder a la inversa, garantizando por medio de axiomas la existencia de
conjuntos m´ınimos y la obtenci´on de nuevos conjuntos a partir de los ya exis-
tentes.
En cap´ıtulos posteriores tendremos la oportunidad de conocer otras colec-
ciones (distintas deU, la colecci´on de todos los conjuntos) que no son conjun-
tos; pero nos permitimos hacer la siguiente:
Convenci´on 2.5SiP(x) es una propiedad dex,a
K=hx:xes un conjunto yP(x)i
le llamaremos clase.
Debe quedar claro que no se est´adefiniendo lo que es una clase, la con-
venci´on anterior nos facilitar´am´as adelante referirnos a ciertas colecciones. La
2
En 1903 fue publicada por primera vez la Paradoja de Russell, en el ap´endice de [F 4].

25. 14 2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
discusi´on anterior tambi´en nos dice que una claseno necesariamentees un con-
junto. La diferencia entre estos dos conceptos origin´o parte de los problemas
l´ogicos de Cantor.
Lema 2.6SeaP(x)una propiedad dex.ParatodoAhay un ´unico conjunto
Btal quex∈Bsi y s´olo six∈AyP(x).
Demostraci´on:
SiB
0
es un conjunto tal quex∈B
0
si y s´olo six∈AyP(x), entoncesx∈B
si y s´olo six∈B
0
.As´ı,B=B
0
por el Axioma de Extensi´on.
Ahora tenemos derecho de hacer la siguiente definici´onqueproveedeuna
notaci´on al conjuntoBun´ıvocamente determinado.
Definici´on 2.7{x∈A:P(x)}es el conjunto de todos losx∈Acon la
propiedadP(x).
Nuestro sistema axiom´atico hasta este momento no es muy poderoso; el
´unico conjunto cuya existencia postulamos es el conjunto vac´ıo, y las aplica-
ciones del Esquema de Comprensi´on a ´este, producen nuevamente el conjunto
vac´ıo: para cualquier propiedadP(x),{x∈∅:P(x)}=∅. Los siguientes tres
axiomas postulan que algunos de los procedimientos frecuentemente usados en
matem´aticas producen conjuntos.
Axioma4(delPar) Para cualesquieraaybhay un conjuntoCtal quex∈
Csi y s´olo six=aox=b.
As´ı,a∈Cyb∈C, y no hay otros elementos enC.PorelAxiomade
Extensi´on el conjuntoCes ´unico. Definimos elpar no ordenadodeaybcomo
el conjunto que tiene aayabcomo elementos, y lo denotamos por{a, b}.
Podemos formar el par no ordenado{a, a}el cual se denota simplemente por
{a},y se llama conjuntosingularounitariodea.
El Axioma del Par asegura que todo conjunto es un elemento de alg´un con-
junto, y dos conjuntos cualesquiera son simult´aneamente elementos de alg´un
mismo conjunto.
Ejemplo 2.8SeanA=∅yB=∅,entonces{∅}={∅,∅}es un conjunto tal
que∅∈{∅}.Note que∅6 ={∅},puesto que∅no tiene elementos y{∅}tiene
un elemento.
Ejemplo 2.9SeanA=∅yB={∅}.Entonces∅∈{∅,{∅}}y{∅}∈{∅,{∅}};
adem´as,∅y{∅}son los ´unicos elementos de{∅,{∅}}.Note que∅6 ={∅,{∅}}
y{∅}6 ={∅,{∅}}.

26. 2.2. Los Axiomas 15
Ejemplo 2.10SeanA={∅}yB={∅},entonces∅∈{∅}y{∅}∈{{∅}}.
Pero∅/∈{{∅}},ya que el ´unico elemento del conjunto{{∅}}es{∅},yporel
Ejemplo 2.8,∅6 ={∅}.
Del ejemplo anterior podemos deducir que∅6 ={{∅}}yque{∅}6 ={{∅}},
lo cual nos permite inferir la existencia de much´ısimos conjuntos singulares
como:{∅},{{∅}},{{{∅}}},...,{···{{∅}}···}, o bien pares no ordenados
como{∅,{∅}},{∅,{∅,{∅}}}, etc. Sin embargo, una pregunta interesante es:
¿Son realmente distintos estos conjuntos? La respuesta se deja como un ejer-
cicio, aqu´ı´unicamente notaremos que no debemos confundir los conjuntos de
un solo elemento con el elemento propiamente dicho. No es cierto quexy
{x}sean iguales, lo cual puede confirmarse observando que{x}s´olo tiene un
miembro, a saberx;mientrasquexpuede tener cualquier n´umero de miem-
bros. V´ease el Ejemplo 2.8 y m´as adelante el Teorema 2.33 para derivar razones
m´as convincentes.
SiAyBson conjuntos, es deseable reunir a sus elementos en un solo
conjunto. Este conjunto es diferente del que se construy´o con el Axioma 4:
mientras que los elementos del par no ordenado son los conjuntosAyB,
nuestro nuevo conjunto tendr´a por elementos a los elementos deAyB(ver
Ejemplo 2.15).
Axioma5(deUni´on) Para cualquier conjuntoS,existeunconjuntoUtal
quex∈Usi y s´olo six∈Xpara alg´unX∈S.
Nuevamente el conjuntoUes ´unico.
´
Este es llamadouni´ondeSy denotado
por
S
S.DecimosqueSes unsistema de conjuntos o familia de conjuntos
cuando queremos hacer ´enfasisenqueloselementosdeSson conjuntos. La
uni´on de una familia de conjuntosSes entonces el conjunto de, precisamente,
todos losxque pertenecen a alg´un conjunto que forma parte de la familiaS.
Ejemplo 2.11SeaS={∅,{∅}};entoncesx∈
S
Ssi y s´olo six∈Apara
alg´unA∈S,esdecir,siys´olo six∈∅ox∈{∅}.Por lo tanto,x∈
S
Ssi y
s´olo six=∅;osea,
S
S={∅}.
Ejemplo 2.12
S
∅=∅
Ejemplo 2.13SeanAyBconjuntos,x∈
S
{A, B}si y s´olo six∈Ao
x∈B.El conjunto
S
{A, B}es llamado la uni´on deAyBy es denotado por
A∪B.
Obs´ervese que el Axioma del Par y el Axioma de Uni´on son necesarios para
definir la uni´on de dos conjuntos, y el Axioma de Extensi´on es necesario para

27. 16 2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
garantizar la unicidad. Adem´as n´otese que la uni´on de dos conjuntos tiene el
significado usual:
x∈A∪B ⇔ x∈A∨x∈B.
Ejemplo 2.14{{∅}}∪{∅,{∅}}={∅,{∅}}
Ejemplo 2.15SiA={∅,{∅}}yB={{{∅}}},entonces el par no ordenado
deAyBes distinto deA∪B.
El Axioma de Uni´on es muy poderoso; ´este nos capacita no s´olo para formar
uniones de dos conjuntos, sino tambi´en para formar la uni´on de un n´umero
infinito de conjuntos (m´as tarde se aclarar´a tal situaci´on).
3
Dadosa,byc, puede probarse la unicidad del conjuntoPcuyos elementos
son exactamentea,byc, en efectoP={a, b}∪{c}.Pes denotado por{a, b, c}
ysellamaternanoordenadadea, byc.An´alogamente puede definirse una
cuarteta, quinteta, sexteta no ordenada, etc.
Ahora introduciremos un concepto simple y familiar para el lector.
Definici´on 2.16Aes unsubconjuntodeBsi cualquier elemento deAperte-
nece aB.En otras palabras,Aes un subconjunto deBsi, para todox,
x∈Aimplicax∈B.EscribiremosA⊆BoB⊇Apara denotar queAes
subconjunto deB.
Ejemplo 2.17{∅}⊆{∅,{∅}}y{{∅}}⊆{∅,{∅}}.
Ejemplo 2.18x∈Asi y s´olo si{x}⊆A.
Seg´un la Definici´on 2.16, todo conjunto debe considerarse subconjunto de s´ı
mismo.
Ejemplo 2.19∅⊆AyA⊆Apara todo conjuntoA.
Ejemplo 2.20Para cualesquiera conjuntosA, ByCtales queA⊆By
B⊆Cse tiene queA⊆C.
El Axioma Esquema de Comprensi´on puede ahora interpretarse como un
axioma que nos permite la formaci´on de subconjuntos.
Ejemplo 2.21{x∈A:P(x)}⊆A.
3
Lasnocionesdefinito e infinito ser´an formalizadas posteriormente, por el momento las
emplearemos en forma intuitiva.

28. 2.2. Los Axiomas 17
Ejemplo 2.22SiA∈SentoncesA⊆
S
S.
SiAyBson dos conjuntos tales queA⊆ByB⊆A,entoncesAyBtienen
los mismos elementos y, por lo tanto, en virtud del Axioma de Extensi´on,A=
B. De hecho el Axioma de Extensi´on puede ser formulado en estos t´erminos:
SiAyBson dos conjuntos, una condici´on necesaria y suficiente para que
A=Bes queA⊆ByB⊆Asimult´aneamente. Por lo anterior, casi todas
las demostraciones de igualdad entre dos conjuntosAyBest´an divididas en
dos partes, hacer ver primero queA⊆Bymostrardespu´es queB⊆A.
Obs´ervese que la pertenencia (∈) y la contenci´on (⊆)
4
son, conceptualmente,
cosas muy diferentes. Una diferencia importante es la que manifiesta el Ejemplo
2.19 al mostrarnos que para cualquier conjuntoA, A⊆Amientras que no
est´a del todo claro que cualquier conjuntoA,A∈A. Indudablemente que esto
´ultimo no es posible para cualquier conjunto razonable, de hecho∅/∈∅ypor
ende⊆es reflexiva pero∈no lo es. Sin embargo, no podremos demostrar que
para cualquier conjuntoA, A /∈A,hasta que introduzcamos el Axioma de
Fundaci´on. Otra diferencia entre∈y⊆la podemos derivar de los Ejemplos
2.10 y 2.20 como sigue:∅∈{∅}y{∅}∈{{∅}}pero∅/∈{{∅}},esdecir,la
pertenencia (∈) a diferencia de la contenci´on (⊆)notienecar´acter transitivo.
Ahora introducimos el siguiente axioma, el cual nos asegura que dado un
conjunto cualquiera podemos formar un nuevo conjunto cuyos miembros son
exactamente los subconjuntos del conjunto dado; en forma precisa:
Axioma6(delConjuntoPotencia) Para cualquier conjuntoXexiste un
conjuntoStal queA∈Ssi y s´olo siA⊆X.
Puesto que el conjuntoSest´aun´ıvocamente determinado, llamamos al con-
juntoSde todos los subconjuntos deX,elconjunto potenciadeXyesdeno-
tado porP(X).
Ejemplo 2.23P(∅)={∅}.
Ejemplo 2.24P({a})={∅,{a}}.
Ejemplo 2.25P({a, b})={∅,{a},{b},{a, b}}.
Ejemplo 2.26Para cualquier conjuntoX,siempre∅,X∈P(X).En parti-
cular siempre se cumpleP(X)6 =∅para cualquierX.
Ejemplo 2.27SiA⊆BentoncesP(A)⊆P(B).
4
El cr´editodeladistinci´on entre pertenencia y contenci´on se da generalmente a Peano,
quien introdujo diferentes notaciones para los dos conceptos.

29. 18 2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
Ejemplo 2.28SiX={∅,a,b,{a}}yA={a}⊆XentoncesP(A)⊆X.
Ejemplo 2.29SiX={∅,a,b}yA={a}entoncesP(A)*X.
A continuaci´on responderemos la pregunta: ¿Para alg´un conjuntoXpuede
ocurrir queX∈X? Para conjuntos “razonables” que a uno se le puedan
ocurrir la respuesta es indudablemente no, pero en realidad esta pregunta no
puede ser respondida sin el siguiente axioma.
Axioma7(deFundaci´on) En cada conjunto no vac´ıoAexisteu∈Atal
queuyAno tienen elementos en com´un, es decir, para cualquierx,six∈A
entoncesx/∈u.
Este axioma tambi´en se conoce como Axioma de Regularidad y postula que
“conjuntos” de cierto tipo no existen. Esta restricci´on no es contradictoria (es
decir, el axioma es consistente con los otros axiomas) y es irrelevante para el
desarrollo de los n´umeros naturales, reales, cardinales u ordinales; y de hecho
para casi todas las matem´aticas ordinarias. Sin embargo, es extremadamente
´util en las matem´aticas de la Teor´ıa de Conjuntos, para la Construcci´on de
Modelos.
5
En [A1] se desarrolla una Teor´ıadeConjuntosconlanegaci´on del
Axioma de Fundaci´on.
Ejemplo 2.30SiA={{∅},{∅,{∅}}}entoncesu={∅}yAno tienen ele-
mentos en com´un.
Ejemplo 2.31SiA={{∅},{{∅}},{{{∅}}}}entonces{{{∅}}}yAtienen a
{{∅}}como elemento com´un. Tambi´en{{∅}}yAtienen a{∅}como elemento
com´un, pero{∅}yAno tienen elementos comunes.
Ejemplo 2.32Si∅∈Aentonces tomando au=∅tenemos queuyAno
tienen elementos comunes.
Teorema 2.33(a) Ning´un conjunto no vac´ıopuedeserelementodes´ımismo,
es decir, para cualquierX6 =∅,X/∈X.
(b) SiAyBson conjuntos no vac´ıos, entonces no es posible que ocurran
simult´aneamenteA∈ByB∈A.
5
En 1994 H. Andr´eka, I. N´emeti y
´
A. Kurucz demostraron que el Axioma de Fundaci´on
es necesario para derivar un importante teorema del´Algebra Universal como es el Teorema
de Variedad de Birkhoff. [AKN]

30. 2.2. Los Axiomas 19
Demostraci´on:
(a)Supongamos que existe un conjunto no vac´ıoXtal queX∈X.Porel
Axioma del Par,{X}tambi´en es un conjunto, y puesto queXes el ´unico
miembro de{X},elconjunto{X}contradice el Axioma de Fundaci´on, ya que
Xy{X}tienen aXcomo elemento com´un, es decir, todo elemento de{X}
tiene un elemento com´un con{X}.
(b)Para este caso considere el par no ordenado{A, B}y proceda de modo
an´alogo a(a).
La parte(a)del teorema anterior responde a la pregunta planteada anterior-
mente: ¿para alg´un conjuntoXpuede ocurrir queX∈X? Mientras que de la
parte(b)podemos deducir que no pueden existir ciclos de la formaA∈B∈A.
Hasta ahora nuestra lista de axiomas no est´a completa. Pospondremos los
restantes para cap´ıtulos ulteriores cuando introduzcamos otros conceptos y
hayamos establecido algunos teoremas que nos permitir´an entenderlos.
Ahora introduciremos una notaci´on convencional. SeaP(x) una propiedad
dex(y,posiblementedeotrospar´ametros). Si hay un conjuntoAtal que para
todox,P(x)implicax∈A,entonces{x∈A:P(x)}existe; y m´as a´un, no
depende de qui´en sea el conjuntoA. En efecto, siA
0
es otro conjunto tal que,
para todox,P(x)implicax∈A
0
, entonces
©
x∈A
0
:P(x)
ª
={x∈A:P(x)}.
Podemos ahora definir{x:P(x)}como el conjunto{x∈A:P(x)}, donde
Aes cualquier conjunto para el queP(x)implicax∈A.{x:P(x)}es el
conjunto de todoxque tiene la propiedadP(x). Enfatizamos nuevamente que
esta notaci´on podr´a ser usada solamente despu´esquesehayaprobado
que alg´un conjuntoAcontiene a todos losxcon la propiedadP(x). Recuerde
que lo que llamamos clase tiene otra notaci´on, a saber,hx:P(x)i.
Ejemplo 2.34{x:(x∈P)∧(x∈Q)}existe.
Demostraci´on:
SeaP(x, P, Q)lapropiedad“x∈Pyx∈Q”. SeaA=P; entoncesP(x, P, Q)
implicax∈A. Por lo tanto,
{x:(x∈P)∧(x∈Q)}={x∈P:(x∈P)∧(x∈Q)}={x∈P:x∈Q}
es el conjunto del Ejemplo 2.3.
Ejemplo 2.35{x:(x=a)∨(x=b)}existe. Para una prueba, t´omeseA=
{a, b}ydemu´estrese queA={x:(x=a)∨(x=b)}.

31. 20 2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
Ejemplo 2.36{x:x/∈x}no existe (recu´erdese laParadoja de RussellEjem-
plo 2.4); as´ıen este caso, la notaci´on{x:P(x)}es inadmisible.
Como ya se dijo, la primera axiomatizaci´on de la Teor´ıa de Conjuntos fue
dada por Zermelo [Z
2]. La formulaci´on del Axioma Esquema de Comprensi´on,
al cual le llamabaAussonderungsaxiom,fuem´as bien ambiguo y dio lugar a
serias discusiones; la versi´on adoptada fue formulada por T. Skolem [S
7]en
1922. El Axioma de Fundaci´on fue propuesto por D. Mirimanoffen 1917.
Russell y Whitehead en su famosoPrincipia Mathematica(primera edici´on
1910-1913) dieron tambi´en una de las primeras y m´as influyentes axiomatiza-
ciones para la Teor´ıa de Conjuntos. Ellos evitaban las paradojas introduciendo
la llamada “teor´ıa de tipos”; en la cual se definen una cantidad infinita de dife-
rentes tipos de variables de conjuntos. Para cada tipo de variables de conjuntos
hay una cantidad infinita de variables del siguiente tipo superior. La propiedad
“xes un miembro dey”tienesignificado si y s´olo siyes de exactamente un
tipo superior ax. La paradoja de Russell, por ejemplo, al estar representada
por la propiedad “xno es un miembro dex” carece de sentido en la teor´ıa
de tipos. Ya que la teor´ıa de tipos es complicada, y puesto que es pesado dar
seguimiento a todos los tipos de variables, esta teor´ıa es inconveniente para el
desarrollo de las matem´aticas.
Otra axiomatizaci´on de la Teor´ıa de Conjuntos fue propuesta por Quine
en 1931. Su enfoque puede decirse que es mas bien sem´antico; ´el dio reglas
para la construcci´on de propiedades. La teor´ıa de Quine es m´as manejable
que la teor´ıa de los tipos pero contiene fallas fatales que no permite desarrollar
la matem´atica a partir de esta teor´ıa. Specker [S
8] en 1953 demostr´oqueel
Axioma de Elecci´on (que despu´es formularemos) es inconsistente en el sistema
de Quine.
Von Neumann [N
2], [N3] entre 1925 y 1928 propuso otra axiomatizaci´on
en la cual se hac´ıa preciso el ambiguo Axioma Esquema de Comprensi´on de
Zermelo. En lugar de usar propiedades como Skolem, Von Neumann admiti´o
una nueva noci´on primitiva dentro de la Teor´ıa de Conjuntos: la declase.
Este sistema fue posteriormente reformulado por Bernays [B
1] en 1937 y por
G¨odel [G
2] en 1938. La ventaja del sistema resultante, llamado en la literatura
“sistemaBG”, es que est´a basado en un n´umerofinito de axiomas. Otros
sistemas axiom´aticos fueron propuestos por Morse y por Kelley [M
5], [K3].

32. 2.2. Los Axiomas 21
Ejercicios 2.2
1. Muestre que los conjuntos∅,{∅},{{∅}},...,{· · · {∅}···}son distintos.
2. Indique cu´ales de las siguientes expresiones son falsas:
(a)A={A},(b){a, b}={{a},{b}},(c)∅∈{∅}.
3. Muestre que el conjunto de todos losxtales quex∈Ayx/∈Bexiste.
¿Es ´unico?
4. Pruebe que para cualquier conjuntoXhay alg´una/∈X.
5. Demuestre la unicidad del conjuntoUasegurado por el Axioma de Uni´on.
6. Pruebe que
S
∅=∅.
7. Verifique la afirmaci´on hecha en el Ejemplo 2.15.
8. SeanAyBconjuntos. Muestre que existe un ´unico conjuntoCtal que
x∈Csi y s´olo si (x∈Ayx/∈B)o(x∈Byx/∈A).
9. Demuestre que{a}={b, c}si y s´olo sia=b=c.
10. (a) Muestre que para cualesquiera conjuntosA, ByCexiste un ´unico
conjuntoPtal quex∈Psi y s´olo six=Aox=Box=C.
(b) Generalice (a) para cuatro o m´as elementos.
11. Demuestre queA⊆{A}si y s´olo siA=∅.
12. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 2.18, 2.19, 2.20.
13. Pruebe la afirmaci´on del Ejemplo 2.22.
14. Demuestre que siA⊆BentoncesP(A)⊆P(B).
15. Pruebe la afirmaci´on del Ejemplo 2.35.
16. Complete la demostraci´on del Teorema 2.33(b).
17. Pruebe que es imposible la existencia de un ciclo:
A
0∈A1∈A2∈···∈A n∈A0
para todan∈N.

33. 22 2. Axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos
18. (a) Demuestre que para cualquier conjuntoXes falso queP(X)⊆X.
En particularX6 =P(X).
(b) Demuestre que el conjunto de todos los conjuntos no existe usando
el inciso (a).
19. Reemplace el Axioma de Existencia por el siguiente axioma:
Axioma D´ebil de Existencia.Existe al menos un conjunto.
Deduzca el Axioma de Existencia usando el Axioma D´ebil de Existencia
y el Axioma Esquema de Comprensi´on.
20. El Axioma de Uni´on,elAxiomadelParyelAxiomadelConjuntoPo-
tencia pueden reemplazarse por las siguientes versiones m´as d´ebiles:
Axioma D´ebil del Par. Para cualesquieraa, bexiste un conjuntoC
tal quea∈Cyb∈C.
Axioma D´ebil de Uni´on. Para cualquier conjuntoSexiste un con-
juntoUtal que six∈AyA∈Sentoncesx∈U.
Axioma D´ebil del Conjunto Potencia.Para cualquier conjuntoS
existe un conjuntoPtal queX⊆SimplicaX∈P.
Deduzca el Axioma del Par, el Axioma de Uni´on y el Axioma del Con-
junto Potencia, usando las versiones d´ebiles. (Sugerencia: use el Axioma
Esquema de Comprensi´on).

34. 3
´Algebra de Conjuntos
En este cap´ıtulo, como en los siguientes, estudiaremos las operaciones conjun-
tistas m´as comunes, por lo que moment´aneamente supondremos la existencia
de conjuntos como el de los n´umeros naturalesN,
1
el de los n´umeros reales
R,o conjuntos que de ellos se desprenden; esto es s´olo con el af´an de propor-
cionar ejemplos ilustrativos de los conceptos que tratemos. La existencia de
estos conjuntos ser´a formalizada en su momento.
3.1 Operaciones Fundamentales
En el cap´ıtulo anterior la Definici´on 2.16 reza “Ase dice subconjunto deB,
A⊆B,sitodoelementodeAes tambi´en un elemento deB”. La relaci´on de
contenci´on⊆tiene las siguientes propiedades para conjuntosA, ByC.
(1)A⊆A.
(2)SiA⊆ByB⊆CentoncesA⊆C.
(3)A⊆ByB⊆Asi y s´olo siA=B.
(1), (2), (3)se expresan brevemente diciendo que la propiedad de contenci´on
es reflexiva, transitiva y antisim´etrica, respectivamente.
En los Ejemplos 2.3 y 2.13 se mostr´olaexistenciadedos´utiles conjuntos;
ahora hacemos una definici´on formal de ellos.
Definici´on 3.1SiAyBson conjuntos, launi´ondeAyB,es el conjunto
A∪B={x:(x∈A)∨(x∈B)}.
Laintersecci´ondeAyBes el conjunto
A∩B={x:(x∈A)∧(x∈B)}.
Acordealadefinici´on anterior, una condici´on necesaria y suficiente para
queA∩B6 =∅es queAyBtengan elementos en com´un.
1
Aqu´ıconsideraremosN={0,1,2,...}.

35. 24 3.
´
Algebra de Conjuntos
Definici´on 3.2Diremos que los conjuntosAyBsonajenossiA∩B=∅.
Con la terminolog´ıa proporcionada por las definiciones anteriores podemos
formular el Axioma de Fundaci´on como sigue: “En cada conjunto no vac´ıoA
existe un elementou∈Aque es ajeno aA, es decir,u∩A=∅”.
El siguiente teorema nos muestra c´omo se comportan la uni´on∪y la inter-
secci´on∩con respecto de la contenci´on.
Teorema 3.3Para cualesquiera conjuntosA, B, C, Dtenemos:
(a)A∩B⊆A⊆A∪B.
(b) SiA⊆CyB⊆DentoncesA∩B⊆C∩DyA∪B⊆C∪D.
(c)A⊆CyB⊆Csi y s´olo siA∪B⊆C.
Demostraci´on:
Solamente probaremos(a)dejando como ejercicio para el lector las partes(b)
y(c).Six∈A∩Bentoncesx∈Ayx∈B,as´ıen particularx∈A, es decir
A∩B⊆A. Por otra parte, para cualquierx∈Ase tiene quex∈A∪Bpor
definici´on deA∪B, es decir,A⊆A∪B.
El siguiente teorema puede demostrarse sin dificultad.
Teorema 3.4Las operaciones∩y∪son:
(a) Reflexivas: para todoA,
A∩A=A=A∪A.
(b) Asociativas:
A∩(B∩C)=(A∩B)∩CyA∪(B∪C)=(A∪B)∪C.
(c) Conmutativas:
A∩B=B∩AyA∪B=B∪A.
M´as a´un,∩distribuye sobre∪y∪distribuye sobre∩:
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
y
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

36. 3.1. Operaciones Fundamentales 25
En virtud de la asociatividad, podemos designar aA∪(B∪C) simplemente
porA∪B∪C. Similarmente, una uni´on y una intersecci´on de cuatro conjuntos,
digamos (A∪B)∪(C∪D)y(A∩B)∩(C∩D), pueden ser escritas como
A∪B∪C∪DyA∩B∩C∩Dpuesto que la distribuci´on de par´entesis
es irrelevante, y por la conmutatividad el orden de los t´erminos tambi´en es
irrelevante. Por inducci´on, la misma observaci´on es aplicable a la uni´on y la
intersecci´on de cualquier n´umerofinito de conjuntos. La uni´on y la intersecci´on
denconjuntos son escritas como
n
[
k=1
Ak,
n
\
k=1
Ak.
Ahora daremos una caracterizaci´on de la propiedadA⊆Ben t´erminos de
la uni´on y la intersecci´on.
Teorema 3.5Los siguientes enunciados son equivalentes:
(a)A⊆B.
(b)A=A∩B.
(c)B=A∪B.
Demostraci´on:
(a)⇒(b). Supongamos queA⊆B. Por 3.3(a) sabemos queA∩B⊆A.
Ahora, six∈Aentoncesx∈Ayx∈B(ya queA⊆B); o sea,x∈A∩B.
Por lo tanto,A⊆A∩B.As´ıconcluimos queA=A∩B.
(b)⇒(c).SiA=A∩Bentonces se tienen las siguientes implicaciones:
x∈A∪B⇒(x∈A)∨(x∈B)⇒(x∈A∩B)∨(x∈B)⇒x∈B,locual
muestra queA∪B⊆B, y nuevamente 3.3(a) nos proporcionaB⊆A∪B.
Por lo tanto,B=A∪B.
(c)⇒(a).SiB=A∪BentoncesA⊆A∪B=B.
Definici´on 3.6Ladiferenciade dos conjuntosAyBes
A\B={x∈A:x/∈B}.
El Ejercicio 2.2.3 del cap´ıtulo anterior nos muestra que tal conjunto existe.
Ejemplo 3.7SiA={x∈R:0≤x≤1}yB=
©
x∈R:
1
2
<x≤2
ª
,en-
toncesA\B=
©
x∈R:0≤x≤
1
2
ª
.
Ejemplo 3.8A\∅=AyA\B=A\(A∩B).
Ejemplo 3.9SiA\B=A,entoncesA∩B=∅.

37. 26 3.
´
Algebra de Conjuntos
Ejemplo 3.10A\B=∅si y s´olo siA⊆B.
La operaci´on diferencia no tiene propiedades tan simples como∩y∪;por
ejemplo: siA6 =∅,(A∪A)\A6 =A∪(A\A), es decir, la colocaci´on de
par´entesis enA∪A\Aes importante. Otra diferencia es que, mientras que la
uni´on y la intersecci´on son operaciones conmutativas, por su propia definici´on
la diferencia de conjuntos no es conmutativa.
Por otra parte, obs´ervese que la negaci´on de la proposici´onx∈A\B,es
equivalente a la proposici´on:x/∈A∨x∈B,esdecir,x/∈A\Bsi y s´olo si
xno es un elemento deAoxes un elemento deB.Ahorax∈A\(A\B)si
ys´olo six∈A∧x/∈A\Bsi y s´olo si [x∈A]∧[x/∈A∨x∈B]siys´olo
si [x∈A∧x/∈A]∨[x∈A∧x∈B]siys´olo six∈A∩B; hemos probado
la siguiente proposici´on.
Proposici´on 3.11Para conjuntos arbitrariosAyBtenemos que
A∩B=A\(A\B).
Definici´on 3.12SiA⊆BelcomplementodeAcon respecto deBes el
conjuntoB\A.
Teorema 3.13Para cualesquiera dos conjuntosAyB,ycualquierconjunto
Eque contenga aA∪B,
A\B=A∩(E\B).
Demostraci´on:
ComoA∪B⊆E,tenemosqueA\B={x∈E:(x∈A)∧(x/∈B}=
{x∈E:x∈A}∩{x∈E:x/∈B}=A∩(E\B).
Teorema 3.14SiEes un conjunto que contiene aA∪B,entonces:
(a)A∩(E\A)=∅,A∪(E\A)=E.
(b)E\(E\A)=A.
(c)E\∅=E, E\E=∅.
(d)A⊆Bsi y s´olo siE\B⊆E\A.
El siguiente es uno de los resultados elementales de mayor uso, se conoce
habitualmente comoLeyesdeDeMorgan.
Teorema 3.15SiA, B⊆Xentonces:
(a)X\(A∪B)=(X\A)∩(X\B).
(b)X\(A∩B)=(X\A)∪(X\B).

38. 3.1. Operaciones Fundamentales 27
Demostraci´on:
x∈X\(A∪B)siys´olo six∈Xyx/∈A∪Bsi y s´olo six∈X,x/∈Ay
x/∈Bsi y s´olo six∈X\Ayx∈X\B. Esto establece(a);para probar(b)
hacemos:X\[(X\A)∪(X\B)] = [X\(X\A)]∩[X\(X\B)] =A∩B;
entonces (X\A)∪(X\B)=X\(A∩B).
Definici´on 3.16SeanAyBconjuntos, se define ladiferencia sim´etricade
AyBcomo:
A4B={x∈A:x/∈B}∪{x∈B:x/∈A}.
En el Ejercicio 2.2.8 del cap´ıtulo anterior se pide demostrar que la diferencia
sim´etrica de dos conjuntos existe.
2
La diferencia sim´etrica tiene las siguientes
propiedades:
Teorema 3.17Para conjuntosA, ByCse tiene:
(a)A4∅=A.
(b)A4A=∅.
(c)A4B=B4A.
(d)(A4B)4C=A4(B4C).
(e)A∩(B4C)=(A∩B)4(A∩C).
(f) SiA4B=A4CentoncesB=C.
Observemos adem´as que, para cualesquiera dos conjuntosAyCexiste -
exactamente un conjuntoBtal queA4B=C,asaber,B=A4C,enotras
palabras:
A4(A4C)=C,
A4B=C⇒B=A4C.
En efecto, los incisos(a), (b)y(d)del Teorema 3.17 implican queA4(A4C)=
(A4A)4C=∅4C=C4∅=C.Adem´as siA4B=Centonces
A4(A4B)=A4Cyportanto,B=A4C. Lo anterior nos dice que la
operaci´on4es inversa de s´ımisma.
El lector que conozca la definici´on de anillo, utilizando el Teorema 3.4 en
sus partes(b)y(c)referentes a la intersecci´on y el Teorema 3.17, podr´adarse
cuenta que para cualquier conjuntoX,elconjuntoP(X) con las operaciones4
y∩funcionando como suma y producto, es un anillo conmutativo con unidad
X. Una peculiaridad de este anillo es que la operaci´on “sustracci´on” coincide
con la operaci´on “suma” y m´as a´un, el “cuadrado” de cualquier elemento es
2
Las propiedades de la diferencia sim´etrica fueron investigadasextensivamente por Haus-
dorffen [H
5].

39. 28 3.
´
Algebra de Conjuntos
igual a ese elemento. Note que∪y\no funcionan como suma y sustracci´on,
respectivamente.
Usando4y∩como las operaciones b´asicas, los c´alculos en el ´algebra de
conjuntos pueden resolverse por aritm´etica ordinaria. Adem´as, podemos omitir
todos los exponentes y reducir todos los coeficientes m´odulo 2 (es decir, 2kA=
∅y(2k+1)A=A).
Este resultado es significativo puesto que las operaciones∪y\pueden ser
expresadas en t´erminos de4y∩. Este hecho hace que toda el ´algebra de
subconjuntos de un conjunto particularXpueda ser representada como la
aritm´etica en el anilloP(X). En efecto, uno puede f´acilmente verificar que:
A∪B=A4B4(A∩B)
A\B=A4(A∩B).
Ejercicios 3.1
1. Demuestre las partes (b) y (c) del Teorema 3.3.
2. Demuestre el Teorema 3.4.
3. (a) Demuestre que siA⊆CentoncesA∪(B∩C)=(A∪B)∩C.
(b) ¿Ser´a cierto el resultado anterior si se suprime la hip´otesisA⊆C?
(c) Demuestre queA⊆Csi y s´olo siA∪(B∩C)=(A∪B)∩C.
4. Pruebe las afirmaciones hechas en los Ejemplos 3.8, 3.9 y 3.10.
5. Muestre que siA6 =∅entonces (A∪A)\A6 =A∪(A\A).
6. Demuestre el Teorema 3.14.
7. Pruebe que
(a)A\B=(A∪B)\B.
(b)A\(B\C)=(A\B)∪(A∩C).
(c) (A\C)\(B\C)=(A\B)\C.
(d) (A\C)∪(B\C)=(A∪B)\C.
(e) (A\C)∩(B\C)=(A∩B)\C.
(f) (A\B)\(A\C)=A∩(C\B).

40. 3.2. Producto Cartesiano 29
(g)A 1∪A2∪···∪A n=(A 1\A2)∪···∪(A n−1\An)∪(A n\A1)∪(
T
n
k=1
Ak).
(h) SiA, B⊆X, entonces (X\A)\(X\B)=B\A.
8. Muestre por medio de ejemplos que las siguientes proposiciones son fal-
sas.
(a)A\B=B\A.
(b)A⊆(B∪C)implicaA⊆BoA⊆C.
(c)B∩C⊆AimplicaB⊆AoC⊆A.
9. SeaXun conjunto que contiene aA∪B.
(a) Demuestre que siA∪B=XentoncesX\A⊆B.
(b) Demuestre que siA∩B=∅entoncesA⊆X\B.
(c) Utilizando los incisos anteriores demuestre queA=X\Bsi y s´olo
siA∪B=XyA∩B=∅.
10. Pruebe que el sistema de ecuacionesA∪X=A∪B,A∩X=∅tiene a
lo m´as una soluci´on paraX.
11. SeaAun conjunto. Demuestre que el “complemento” deAno es un
conjunto. (El “complemento” deAes el conjunto de todos losx/∈A).
12. Pruebe el Teorema 3.17.
13. Pruebe queA4B=∅si y s´olo siA=B.
14. Pruebe que
A∪B=A4B4(A∩B)
A\B=A4(A∩B).
3.2 Producto Cartesiano
Las operaciones de uni´on e intersecci´on nos proporcionan nuevos conjuntos a
partir de otros conjuntos dados. En esta secci´on introduciremos otro conjunto
construido a partir de dos conjuntosAyB, que denotaremos porA×By
llamaremos el producto cartesiano deAyB. El producto cartesiano es una
de las construcciones m´as importantes de la Teor´ıa de Conjuntos, pues per-
mite expresar muchos conceptos fundamentales de matem´aticas en t´erminos
de conjuntos.

41. 30 3.
´
Algebra de Conjuntos
A diferencia de los elementos de la uni´on y de la intersecci´on, los elementos
del producto cartesiano son de naturaleza distinta a los elementos deAyde
B,yaqueA×Bconsistir´adeloqueacontinuaci´on definiremos como parejas
ordenadas de elementos. Intuitivamente una pareja ordenada es una entidad
consistente de dos objetos en un orden espec´ıfico.Paraelempleodelanoci´on
de par ordenado en matem´aticas, uno desea que los pares ordenados tengan
dos propiedades:(i)dados dos objetosayb,exista un objeto, el cual puede ser
denotado por (a, b)queest´eun´ıvocamente determinado porayb;(ii)si (a, b)
y(c, d) son dos pares ordenados, entonces (a, b)=(c, d)siys´olo sia=cy
b=d. Por el Ejemplo 2.35, es posible definir un objeto, de hecho un conjunto,
con la propiedad(i).
Definici´on 3.18Se define elpar ordenadode elementosaybcomo
(a, b)={{a},{a, b}}.
Sia6 =b,(a, b) tiene dos elementos, un singular{a}y un par no ordenado
{a, b}.Laprimera coordenadade (a, b) es el elemento que pertenece a ambos
conjuntos, o seaa,ylasegunda coordenadaes el elemento perteneciente a
s´olo uno de los conjuntos, a saber,b.Sia=b,entonces(a, a)={{a},{a, a}}
tiene un ´unico elemento; en este caso ambas coordenadas son iguales. Es muy
oportuno observar que (a, b)⊆P({a, b}).
Probaremos ahora que los pares ordenados tienen la propiedad(ii)antes
mencionada.
Teorema 3.19(a, b)=(c, d)si y s´olo sia=cyb=d.
Demostraci´on:
⇐]Sia=cyb=d,entonces:
(a, b)={{a},{a, b}}={{c},{c, d}}=(c, d).
⇒] Supongamos que{{a},{a, b}}={{c},{c, d}}.Sia6 =b, entonces debe
suceder que{a}={c}y{a, b}={c, d}.As´ı,a=c,y entonces{a, b}={a, d}.
De esto se deduce queb=d.Sia=b,{{a},{a, b}}={{a}}.As´ı{a}={c}y
{a}={c, d},lo cual implica quea=c=d. Por lo tanto,a=cyb=d.
Con los pares ordenados a nuestra disposici´on podemos definir ternas orde-
nadas como
(a, b, c)=((a, b),c),

42. 3.2. Producto Cartesiano 31
cuartetas ordenadas como
(a, b, c, d)=((a, b, c),d),
etc.; y es evidente que la correspondiente caracterizaci´on (Teorema 3.19) de
igualdad tambi´en es apropiada.
Kuratowski [K
6] en 1921 fue el primero en dar una definici´on satisfactoria de
par ordenado. Lo complicado de tal definici´on reside en evitar toda referencia
alaformadeescribirloss´ımbolos (a, b). Losfil´osofos de la primera ´epoca de
la Teor´ıa de Conjuntos se encontraron metidos en un problema en lo relativo a
dicha cuesti´on. La dificultad reside en eliminar la simetr´ıa existente entreay
b. El motivo por el cual losfil´osofos no consiguieron hacerlo fue su confusi´on en
cuanto a la distinci´on que existe entrexy{x}, pues quer´ıan que fuese lo mismo.
Poniendo (a, b)={{a},{a, b}},laasimetr´ıa del segundo miembro basta para
probar el Teorema 3.19, el cual hace que la definici´on de par ordenado sea
adecuada.
Definici´on 3.20SeanAyBconjuntos cualesquiera. Elproducto cartesiano
deAydeBes el conjuntoA×Bes el conjunto consistente de todos aquellos
pares ordenados (a, b)talesquea∈Ayb∈B,estoes,
A×B={(a, b):a∈A∧b∈B}.
Estamos describiendo un nuevo conjunto y por ende debemos asegurar su
existencia como tal, es por ello que damos la siguiente proposici´on que nos
afirma queA×Bes un conjunto.
Proposici´on 3.21Para cualesquieraAyB,A×Bes un conjunto.
Demostraci´on:
Por el Ejemplo 2.27 del Cap´ıtulo 2 tenemos que siempre quea∈Ayb∈B
entoncesP({a, b})⊆P(A∪B), y como (a, b)⊆P({a, b}),se sigue que cuando
a∈Ayb∈Bse tiene que (a, b)⊆P(A∪B), o bien (a, b)∈P(P(A∪B)).
Por lo tanto,
A×B={(a, b)∈P(P(A∪B)) :a∈A∧b∈B}.
Ya queP(P(A∪B)) existe, la existencia deA×Bcomo conjunto se sigue del
Axioma Esquema de Comprensi´on.

43. 32 3.
´
Algebra de Conjuntos
DenotaremosA×AporA
2
.Hemosdefinido una terna ordenada de elementos
a, byccomo (a, b, c)=((a, b),c). Para ser consistentes con esa definici´on,
introducimos el producto cartesiano de tres conjuntosA, ByCcomo
A×B×C=(A×B)×C.
Note que
A×B×C={(a, b, c):a∈A∧b∈B∧c∈C}.
Usando una obvia extensi´on de nuestra notaci´on,A×A×Aser´a denotado
porA
3
.Demodoan´alogo, el producto cartesiano de cuatro conjuntos puede
tambi´en ser introducido.
Ejemplo 3.22SeanA={1,2,3}yB={2,4,5}.Entonces
A×B={(1,2),(1,4),(1,5),(2,2),(2,4),(2,5),(3,2),(3,4),(3,5)}.
Ejemplo 3.23SiA=R=B,entoncesA×B={(x, y):x, y∈R}=R
2
es
el plano usual de la geometr´ıaanal´ıtica.
Ejemplo 3.24SeaA=
©
(x, y)∈R
2
:x
2
+y
2
=1
ª
(es decir,Aes la cir-
cunferencia unitaria) y seaB={x∈R:0≤x≤1}.Entonces,A×Bes el
conjunto de los puntos deR
3
que est´an en el cilindro unitario de altura 1.
Teorema 3.25(a)A×B=∅si y s´olo siA=∅oB=∅.
(b) SiC×D6 =∅,entoncesC×D⊆A×Bsi y s´olo siC⊆AyD⊆B.
(c)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C).
(d)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C).
Demostraci´on:
La demostraci´on de la proposici´on en(a)es inmediata a partir de las defini-
ciones.
(b)⇒]VeamosqueD⊆B.Un argumento sim´etrico ser´asuficiente para
establecerC⊆A. Puesto queC×D6 =∅, aplicando(a)obtenemos queC6 =∅.
Fijemos unc∈Carbitrario. Ahora, deseamos demostrar que para todox,
x∈D⇒x∈B.Seax∈D. Entonces (c, x)∈C×Dyluego(c, x)∈A×B.
De aqu´ıse sigue quex∈B.PorlotantoD⊆B.
⇐]Sea(c, d)∈C×D.Entoncesc∈Cyd∈D. Como por hip´otesisC⊆A
yD⊆B,setienequec∈Ayd∈B;deaqu´ı(c, d)∈A×B.Porlotanto,
C×D⊆A×B.

44. 3.2. Producto Cartesiano 33
(c)(x, y)∈A×(B∪C)siys´olo six∈Ayy∈B∪Csi y s´olo six∈Ay
y∈Boy∈Csi y s´olo six∈Ayy∈Bobienx∈Ayy∈Csi y s´olo si
(x, y)∈A×Bo(x, y)∈A×Csi y s´olo si (x, y)∈(A×B)∪(A×C).
(d)Ejercicio.
Para conjuntos no vac´ıosAyBse tiene queA×B=B×Asi y s´olo si
A=B;as´ı,laoperaci´on producto cartesiano no es conmutativa.
Ejercicios 3.2
1. Pruebe que (a, b)⊆P({a, b}).
2. Pruebe que (a, b), (a, b, c)y(a, b, c, d) existen para todoa,b,cyd.
3. Pruebe que (a, b, c)=(a
0
,b
0
,c
0
)siys´olo sia=a
0
,b=b
0
yc=c
0
.
4. Encuentrea,byctales que ((a, b),c)6 =(a,(b, c)). A pesar de este re-
sultado, puede definirse la terna ordenada de elementosa, byccomo
(a, b, c)=(a,(b, c)), y el producto cartesiano deA, ByCcomoA×B×
C=A×(B×C). M´as adelante veremos que en t´erminos conjuntistas
esta discrepancia es irrelevante.
5. Demuestre queA×B=B×Asi y s´olo siA=B.
6. Muestre que
(a)A×(B×C)6 =(A×B)×C.
(b)A
3
6 =A×A
2
, es decir, (A×A)×A6 =A×(A×A).
Este ejercicio muestra que×no es asociativo.
7. SiA, Bson conjuntos no vac´ıos y (A×B)∪(B×A)=C×C,demuestre
queA=B=C.
8. Pruebe la parte (d) del Teorema 3.25.
9. Demuestre que:
(a) (A∪B)×C=(A×C)∪(B×C).
(b) (A∩B)×C=(A×C)∩(B×C).

45. 34 3.
´
Algebra de Conjuntos
(c)A×(B\C)=(A×B)\(A×C).
(d)A×(B4C)=(A×B)4(A×C).
10. SeanA, B⊆XyC, D⊆Y. Demuestre que:
(a) (A×C)∩(B×D)=(A∩B)×(C∩D).
(b) (A×C)∪(B×D)⊆(A∪B)×(C∪D). Muestre que es posible
que no se d´e la igualdad.
(c) (A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)∪(A×D)∪(B×C).
(d) (X×Y)\(B×C)=((X\B)×Y)∪(X×(Y\C).
11. Para dos conjuntosAyB,sedefine launi´on ajenadeAyBcomo:
AtB=(A×{x})∪(B×{y}), dondex/∈B, y /∈A.Demuestre el
an´alogo del Teorema 3.4 para uniones ajenas.
3.3 Familias de Conjuntos
En el p´arrafo que sigue al Axioma de Uni´on hablamos de un tipo muy espe-
cial de conjuntos: lossistemasofamiliasde conjuntos. Estos conjuntos (como
otros) tienen como elementos a conjuntos, es decir, una familia de conjun-
tos es un “conjunto de conjuntos”. Las familias de conjuntos juegan un papel
destacado en otras ramas de las matem´aticas, donde el objetivo es estudiar a
familias especiales de conjuntos. Por ejemplo, la Topolog´ıanoesotracosaque
el estudio de las propiedades un sistema especial de subconjuntos de un con-
junto dadoX.Laterminolog´ıa sistema o familia de conjuntos tiene por objeto
resaltar el hecho de que trataremos a los elementos de la familia como con-
juntos mismos. Usualmente denotaremos a las familias de conjuntos con letras
may´usculas caligr´aficas tales comoA,B,C,X,Z.Veamosalgunosejemplos.
Ejemplo 3.26A={∅,{∅}}es un sistema de conjuntos cuyos elementos son
el conjunto vac´ıo∅y el conjunto unitario{∅}.
Ejemplo 3.27SeaM={{x∈N:xes par},{x∈N:xes impar}}.Enton-
cesMes un sistema de conjuntos cuyos elementos son el conjunto de los
n´umeros naturales pares y el conjunto de los n´umeros naturales impares.
Obs´ervese queN6 =M.
Ejemplo 3.28Para cualquier conjuntoX,el conjunto potencia deX,P(X),
es la familia de todos los subconjuntos deX.

46. 3.3. Familias de Conjuntos 35
Ejemplo 3.29Recuerde que a una circunferencia enR
2
con centro en el
puntox∈R
2
yradior>0,la podemos considerar como el conjuntoC(x, r)=
©
y∈R
2
:kx−yk=r
ª
.SeaE xla familia de todas las circunferencias enR
2
con centrox∈R
2
, es decir,E x={C(x, r):r>0},yseaE=
©
E x:x∈R
2
ª
.
EntoncesEes un sistema de conjuntos cuyos elementos son familias de con-
juntos. Note que ni los puntos deR
2
,ni las circunferencias son elementos de
E.
El Axioma de Uni´on y el Axioma Esquema de Comprensi´on (v´ease el p´arrafo
que sigue al Ejemplo 2.15) dan posibilidad de la siguiente definici´on.
Definici´on 3.30SeaFes una familia no vac´ıa de conjuntos.
(a) Launi´on de la familiaFes el conjunto
[
F=
[
A∈F
A={x:∃A∈F,x∈A}.
(b) Laintersecci´on de la familiaFes el conjunto
\
F=
\
A∈F
A={x:∀A∈F,x∈A}.
Ejemplo 3.31SiMes la familia definida en el Ejemplo 3.27, entoncesN=
S
M.
Ejemplo 3.32Para cualquier conjuntoX,X=
S
P(X).
Ejemplo 3.33SiF={A, B},entonces
S
F=A∪By
T
F=A∩B.Ver
Ejemplo 2.13.
Ejemplo 3.34SiF={A},entonces
S
F=A=
T
F.
A continuaci´on introduciremos un concepto asociado con las familias de
conjuntos. Supongamos que tomamos un conjuntoI6 =∅yqueacadaα∈Ile
corresponde un ´unico conjuntoA
α.AlsistemaA={A α:α∈I}le llamamos
familia de conjuntos indizadapor el conjuntoI. En este caso, se dice queI
es el conjunto de ´ındices deA.N´otese que no se requiere que a distintos ´ındices
les correspondan distintos conjuntos. Para referirnos a familias indizadas de
conjuntos, en ocasiones emplearemos la forma breve{A
α}
α∈I
,o simplemente
{A
α}
α
cuando sea claro el conjunto de ´ındices que se est´a usando.
Observaci´on 3.35Cualquier familia no vac´ıa de conjuntosFpuede consi-
derarse como una familia indizada de conjuntos, donde el conjunto de ´ındices
esel mismoF,asaber:F={F
A:A∈F}, dondeF A=Apara cadaA∈F.

47. 36 3.
´
Algebra de Conjuntos
Ejemplo 3.36SeanI={1,2,3}yA 1={1,2,5},A 2={5,7,1},A 3=
{2,5,7}.EntoncesA={A
i}
i∈I
es una familia indizada de conjuntos.
Ejemplo 3.37Parax∈R
2
,la familiaE xdel Ejemplo 3.29 es una familia in-
dizada de conjuntos, donde el conjunto de ´ındiceseselconjuntodelosn´umeros
reales positivosI={r∈R:r>0}.Tambi´en el sistemaEes una familia in-
dizada de conjuntos, aqu´ıel conjunto de ´ındices esR
2
.
Con el concepto de familia indizada de conjuntos, la uni´on de la familia
F={A
α}
α∈I
puede denotarse como
[
F=
[
{A
α:α∈I}=
[
{A α}
α∈I
=
[
α∈I
Aα
yeselconjunto{x:∃α∈Ital quex∈A α}. La intersecci´on es denotada por
\
F=
\
{A
α:α∈I}=
\
{A α}
α∈I
=
\
α∈I
Aα
yeselconjunto{x:∀α∈I,x∈A α}. Cuando el conjunto de ´ındices sea el
conjunto de los n´umeros naturalesN, denotaremos con
∞
[
n=0
Ana
[
n∈N
An
ycon
∞
\
n=0
Ana
\
n∈N
An.
Ejemplo 3.38Para cualquier conjuntoX,X=
S
{{x}:x∈X}.
Ejemplo 3.39SeaA
k={n∈N:n≥k},k=0,1,2,3,....Note queA 0⊇
A
1⊇A2⊇A3⊇···,yque
T
∞
k=0
Ak=∅.
Ejemplo 3.40Seanx∈R
2
yExla familia indizada de conjuntos definida
en el Ejemplo 3.29. Entonces
S
E
x=
S
r>0
C(x, r)=R
2
\{x}y
T
E x=
T
r>0
C(x, r)=∅.
Ejemplo 3.41Si
C=
©
C∈P(R
2
):Ces una circunferencia no degenerada
ª
yEes el sistema del Ejemplo 3.29, entoncesC=
S
E.

48. 3.3. Familias de Conjuntos 37
Ejemplo 3.42SiA⊆Bentonces
T
B⊆
T
A.
No hay problema con la Definici´on 3.30 si uno de los elementos deFes el
conjunto vac´ıo. Por otra parte el Ejemplo 2.12 muestra que siF=∅entonces
S
F=∅; en efecto, aplicando literalmente el Axioma de Uni´on, vemos que no
existenxque satisfagan la propiedad que define a la uni´on de la familiaF.Sin
embargo, en el caso en queF=∅no es posible definir a la intersecci´on deF
pues esto generar´ıa contradicciones dado que cualquierxsatisface la propiedad
que definealaintersecci´on deF,esdecir,x∈Apara todoA∈F(puesto que
no hay talesA). As´ı
T
∅podr´ıa ser el “conjunto de todos los conjuntos”, por lo
cual laintersecci´on de una familia vac´ıa de conjuntos no est´adefinida.Por las
observaciones anteriores y 3.35, restringiremos el estudio a familias indizadas
no vac´ıas de conjuntos. El siguiente teorema nos proporciona propiedades que
relacionan a las uniones e intersecciones “generalizadas” con las uniones e
intersecciones “elementales”, la generalizaci´on de las Leyes de De Morgan y el
producto cartesiano.
Teorema 3.43(a)
S
α
distribuye sobre∩y
T
α
distribuye sobre∪.
"
[
α∈I
Aα
#
∩


[
β∈J
Bβ

=
[
{A
α∩Bβ:(α,β)∈I×J} (3.3.1)
"
\
α∈I
Aα
#
∪


\
β∈J
Bβ

=
\
{A
α∪Bβ:(α,β)∈I×J}. (3.3.2)
(b) Si el complemento es tomado respecto aX,entonces:
X\
[
{A
α:α∈I}=
\
{X\A α:α∈I} (3.3.3)
X\
\
{A
α:α∈I}=
[
{X\A a:α∈I}. (3.3.4)
(c)
S
α
y
T
α
distribuyen sobre el producto cartesiano:
"
[
α∈I
Aα
#
×


[
β∈J
Bβ

=
[
{A
α×Bβ:(α,β)∈I×J} (3.3.5)
"
\
α∈I
Aα
#
×


\
β∈J
Bβ

=
\
{A
α×Bβ:(α,β)∈I×J}. (3.3.6)

49. 38 3.
´
Algebra de Conjuntos
Demostraci´on:
(a)x∈[
S
{A
α:α∈I}]∩[
S
{B β:β∈J}]siys´olo six∈
S
α∈I
Aαyx∈
S
β∈J
Bβsi y s´olo six∈A αopara alg´unα o∈Iyx∈B βo
para alg´unβ o∈J
si y s´olo six∈A
αo∩Bβ0
si y s´olo six∈
S
{A α∩Bβ:(α,β)∈I×J}.Esto
establece la igualdad (3.3.1). Similarmente se establece (3.3.2).
(b)x∈X\
S
{A
α:α∈I}si y s´olo six∈Xyx/∈
S
α∈I
Aαsi y s´olo si
x∈Xy∀α∈I, x /∈A
αsi y s´olo six∈X\A αpara cadaα∈I,siys´olo si
x∈
T
{X\A
α:α∈I}. Esto establece la ecuaci´on (3.3.3). An´alogamente se
establece (3.3.4).
(c)(a, b)∈[
S
{A
α:α∈I}]×[
S
{B β:β∈J}]siys´olo si existenα∈I
yβ∈Jtales quea∈A
αyb∈B βsi y s´olo si (a, b)∈A α×Bβsi y s´olo
si (a, b)∈
S
{A
α×Bβ:(α,β)∈I×J}. Lo que establece la igualdad (3.3.5).
Del mismo modo se prueba (3.3.6).
El siguiente corolario establece formas m´as concretas del teorema anterior,
las cuales son usadas con mayor frecuencia.
Corolario 3.44(a)A∩
S
{A
α:α∈I}=
S
{A∩A α:α∈I}.
(b)A∪
T
{A
α:α∈I}=
T
{A∪A α:α∈I}.
(c)A×
S
{A
α:α∈I}=
S
{A×A α:α∈I}.
(d)A×
T
{A
α:α∈I}=
T
{A×A α:α∈I}.
Finalmente:
Teorema 3.45
T
α
yPconmutan
\
α∈I
P(Aα)=P
Ã
\
α∈I
Aα
!
.
Sin embargo,
S
α
yPno conmutan, aunque
[
α∈I
P(Aα)⊆P
Ã
[
α∈I
Aα
!
.
Demostraci´on:
A∈
T
α∈I
P(Aα)siys´olo si para cadaα∈I, A∈P(A α)siys´olo si para
cadaα∈I, A⊆A
αys´olo siA⊆
T
α∈I
Aαsi y s´olo siA∈P
¡T
α∈I
Aα
¢
.
SiA∈
S
α∈I
P(Aα) entonces existeα∈Ital queA∈P(A α), o sea,A⊆
A
α⊆
S
α∈I
Aα, lo que implicaA∈P
¡S
α∈I
Aα
¢
.

50. 3.3. Familias de Conjuntos 39
Para ver que
S
α
yPno conmutan, seanA 1={1},A 2={2}. Entonces
[
α∈I
P(Aα)={∅,{1},{2}}
y
P
Ã
[
α∈I
Aα
!
={∅,{1},{2},{1,2}}.
Ejercicios 3.3
1. SeaM={{x∈N:xes par},{x∈N:xes impar}}.MuestrequeM6 =
NyqueN=
S
M.
2. Suponiendo queRes un conjunto, demuestre que los conjuntos definidos
en el Ejemplo 3.29 existen.
3. Demuestre que
T
Fexiste para todaF6 =∅.¿D´onde se utiliza la hip´otesis
F6 =∅en la demostraci´on?
4. Muestre que para cualquier conjuntoX,
T
P(X)=∅.
5. SeaFuna familia de conjuntos. Pruebe que
S
F=∅si y s´olo siF=∅
oA∈FimplicaA=∅.
6. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 3.40, 3.41 y 3.42.
7. SiAyBson conjuntos yXes el par ordenado (A, B), pruebe lo siguiente:
(a)
S
X={A, B}.
(b)
T
X={A}.
(c)
S
(
T
X)=A.
(d)
T
(
T
X)=A.
(e)
S
(
S
X)=A∪B.
(f)
T
(
S
X)=A∩B.
8. Sup´ongase que se sabe que la familiaXes un par ordenado. Use los
resultados del ejercicio anterior para obtener la primera y la segunda
coordenadas deX.

51. 40 3.
´
Algebra de Conjuntos
9. Pruebe las ecuaciones (3.3.2), (3.3.4) y (3.3.6) del Teorema 3.43.
10. Una familia de conjuntosFse diceajena por paressi para cualesquiera
A, B∈F,conA6 =B,setienequeA∩B=∅.SeaF={A
n:n∈N}
una familia de conjuntos ajena por pares, y seaS
n=
S
n
k=0
Akpara
n=0,1,2,3,....
(a) Muestre que la familia
E={A
0}∪{A n\Sn−1:n∈Nyn≥1}
es ajena por pares.
(b) Muestre que
S
∞
n=0
An=
S
E=A 0∪(A1\S2)∪···∪(A n\Sn−1)∪···.
11. SeanF6 =∅yXconjuntos.
(a) SeaE
1={A∈P(X):A=F∩Xpara alg´unF∈F}.Pruebeque
X∩
S
F=
S
E
1.
(b) SeaE
2={A∈P(X):A=X\Fpara alg´unF∈F}.Pruebeque
X\
S
F=
T
E
2,X\
T
F=
S
E 2.
12. Demuestre que la uni´on y la intersecci´on generalizada satisfacen la si-
guiente forma de asociaci´on:
[n
A
α:α∈
[
I
o
=
[
I∈I
Ã
[
α∈I
Aα
!
\n
A
α:α∈
\
I
o
=
\
I∈I
Ã
\
α∈I
Aα
!
,
dondeIes una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos.
13. SeaF={A
n:n∈N\{0}}una familia de subconjuntos deX,esdecir,
F⊆P(X). Defina
lim supA
n=
∞
\
n=1
Ã
∞
[
k=0
An+k
!
,
lim infA
n=
∞
[
n=1
Ã
∞
\
k=0
An+k
!
.
Sea tambi´en para cadax∈X,J
x={n∈N:x∈A n}.Demuestrelo
siguiente:

52. 3.3. Familias de Conjuntos 41
(a) lim supA n={x∈X:J xes infinito}.
(b) lim infA
n={x∈X:N\J xesfinito}.
(c)
T
∞
n=1
An⊆lim infA n⊆lim supA n⊆
S
∞
n=1
An.
(d) lim inf(X\A
n)=X\lim supA n.
(e) Si{B
n}
n∈N
es otra familia de subconjuntos deXentonces:
i. lim infA
n∪lim infB n⊆lim inf(A n∪Bn).
ii. lim infA
n∩lim infB n= lim inf(Aln∩B n).
iii. lim sup(A
n∩Bn)⊆lim supA n∩lim supB n.
iv. lim sup(A
n∪Bn)=limsupA n∪lim supB n.
(f) SiA
1⊆A2⊆···oA 1⊇A2⊇···, entonces lim infA n=limsupA n.

53. 42 3.
´
Algebra de Conjuntos

54. 4
Relaciones y Funciones
Losconceptosderelaci´on y funci´on son, sin duda alguna, de los m´as impor-
tantes dentro de las matem´aticas modernas. La mayor parte de la investigaci´on
en matem´aticas se centra en el estudio de relaciones y funciones, por lo cual,
no ha de sorprender que estos conceptos sean de una gran generalidad. Haus-
dorffconsideraba que el concepto de funci´on es casi tan primitivo como el de
conjunto, y qu´e decir del concepto de relaci´on, el cual intuitivamente parece
m´as esencial que el de funci´on.
En matem´aticas la palabrarelaci´ones usada en el sentido de relacionar. Las
siguientes oraciones parciales son ejemplos de relaciones:
es menor que, est´ a incluido en,
divide a, es miembro de,
es congruente a, es madre de.
En este cap´ıtulo enfocaremos conceptos como los de orden y funci´on desde
el punto de vista conjuntista. Veremos que estos pueden ser tratados como
relaciones, y que las relaciones pueden ser definidas de manera natural como
conjuntos de una estructura especial.
4.1 Relaciones
Empleando parejas ordenadas,intuitivamente podemos pensar que una rela-
ci´on (binaria)Res una proposici´on tal que, para cada par ordenado (a, b),
uno puede determinar cu´andoaest´aenrelaci´onRconbocu´ando no lo est´a.
Parece factible que toda relaci´on debe determinar de manera ´unica al conjunto
de aquellas parejas ordenadas en las cuales la primera coordenada mantiene
esta relaci´on con la segunda. Si conocemos la relaci´on, conocemos el conjunto y,
mejor a´un, si conocemos el conjunto, conocemos la relaci´on. En otras palabras,
las relaciones pueden ser representadas como el conjunto de todos los pares
ordenados de objetos mutuamente relacionados. Por ejemplo, el conjunto de
todos los pares ordenados consistente de un n´umero real y su ra´ız puede ser
llamado la relaci´on ra´ız cuadrada. N´otese aqu´ıla importancia de considerar

55. 44 4. Relaciones y Funciones
pares ordenados y no s´olo pares no ordenados.
Quiz´anosepamosloqueesunarelaci´on, pero sabemos lo que es un con-
junto y las consideraciones precedentes establecen una estrecha conexi´on entre
relaciones y conjuntos. El estudio preciso de las relaciones en la Teor´ıadeCon-
juntos saca provecho de esta conexi´on heur´ıstica; lo m´as f´acil de hacer es definir
una relaci´on como el conjunto de parejas ordenadas que determina.
Definici´on 4.1Un conjuntoRes unarelaci´on (binaria)si todo elemento de
Res un par ordenado, es decir, si para todoz∈R,existenx, ytales que
z=(x, y).SiR⊆A×Bdiremos queRes una relaci´on deAenB,oentre
AyB;ysiR⊆A×Adiremos simplemente queRes una relaci´on enA.
Ejemplo 4.2Definimos una relaci´on entre los enteros positivos y los enteros,
diciendo que un entero positivomest´aenrelaci´onRconunenteron,sim
divide an.La relaci´onRes simplemente el conjunto
{z:∃m, ntales quez=(m, n),m∈Z,n∈Z,m>0ymdivide an}.
Los elementos deRson pares ordenados
...,(1,−3),(1,−2),(1,−1),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),...
...,(2,−6),(2,−4),(2,−2),(2,0),(2,2),(2,4),(2,6),...
...,(3,−9),(3,−6),(3,−3),(3,0),(3,3),(3,6),(3,9),...
···
Ejemplo 4.3SeanAyBconjuntos. La relaci´on deAenBde todos los pares
ordenados (a, b)cona∈Ayb∈Bes llamada relaci´on producto cartesiano y
es denotada porA×B.
Ejemplo 4.4El conjunto∅es una relaci´on llamada relaci´on vac´ıa (para de-
mostrar que∅es un conjunto de parejas ordenadas, busque un elemento de∅
que no sea una pareja ordenada).
Ejemplo 4.5Para cualquier conjuntoA,la diagonal
Id
A={(a, a):a∈A}
es larelaci´on de igualdadorelaci´on identidad. Note que en una relaci´on enA
(comoId
A) cada par de elementos enAno necesariamente est´an relacionados:
sia6 =b,(a, b)/∈Id
Ay(b, a)/∈Id A.
Ejemplo 4.6R=(A×A)\Id
Aes larelaci´on diferenciaenA.

56. 4.1. Relaciones 45
Ejemplo 4.7Larelaci´on inclusi´onenP(X)es
{(A, B)∈P(X)×P(X):A⊆B}.
A partir de ahora escribiremosxRypara denotar (x, y)∈R.
Definici´on 4.8(a) Decimos quexest´aenrelaci´onRconysixRy.
(b) El conjunto de todos losxque est´an en relaci´onRcon alg´unyes
llamadodominiodeRy es denotado pordom R.
(c)Elconjuntodetodoslosytales que para alg´unx,xest´aenrelaci´on
Rcony,es llamadorangodeRy denotado porranR.
(d) El conjuntodom R∪ran Res llamadocampodeRy denotado por
cam R.
El dominio y el rango de una relaci´onRtambi´en pueden ser descritos como
dom R={x:∃ytal quexRy}(o sea,dom Res el conjunto de primeras co-
ordenadas de todos los elementos enR)yranR={y:∃xtal quexRy}(o
sea,ranRes el conjunto de las segundas coordenadas de elementos enR).
Tambi´en obs´ervese que sicam R⊆Xpodemos entonces decir queRes una
relaci´on enX.
Ejemplo 4.9En el Ejemplo 4.2,dom R=Z
+
,ranR=Zycam R=
dom R∪ran R=Z.
Ejemplo 4.10SiRes la relaci´on identidad o la relaci´on diferencia enA,
entoncesdom R=A=ran R,amenosqueAsea unitario, en cuyo caso la
relaci´on diferencia es∅.
Ejemplo 4.11dom(A×B)=A,ran(A×B)=Bycam(A×B)=A∪B.
Definici´on 4.12(a) Laimagende un conjuntoAbajoRes el conjunto de
todos los elementosydel rango deRen relaci´onRcon alg´un elemento deA.
Este conjunto es usualmente denotado porR(A). As´ı,
R(A)={y∈ranR:∃x∈Atal quexRy}.
(b) Laimagen inversade un conjuntoBbajoRes el conjunto de todos
los elementosxdel dominio deRen relaci´onRcon alg´un elemento deB.Este
conjunto es usualmente denotado porR
−1
(B). As´ı,
R
−1
(B)={x∈dom R:∃y∈Btal quexRy}.

57. 46 4. Relaciones y Funciones
Ejemplo 4.13SeaRcomo en 4.2, entoncesR({2}) es el conjunto de todos
los enteros pares (positivos y negativos).
R
−1
({−9,−3,8,9,12})={1,2,3,4,6,8,9,12}.
Definici´on 4.14SeaRuna relaci´on. Larelaci´on inversa deRes el conjunto:
R
−1
={z:z=(x, y)∧(y,x)∈R}
De la propia definici´on de relaci´on inversa se sigue inmediatamente que
(x, y)∈R
−1
si y s´olo si (y,x)∈R.Estojustifica el nombre de relaci´on inversa
paraR
−1
, pues intuitivamenteR
−1
hace lo contrario queR.
Ejemplo 4.15Consideremos nuevamente la relaci´on
R=
©
(m, n):m∈Z
+
,n∈Zymdivide an
ª
.
Para tal relaci´on,
R
−1
={w:w=(n, m)∧(m, n)∈R}
={(n, m):mentero positivo,nentero y (m, n)∈R}
={(n, m):nentero,mentero positivo ynes m´ultiplo dem}.
Ejemplo 4.16(A×B)
−1
=B×A.
Ejemplo 4.17∅
−1
=∅.
Ejemplo 4.18(Id
A)
−1
=IdA.
El lector (esperando que el conjunto de lectores sea no vac´ıo) notar´aque
el s´ımboloR
−1
(B)usadoenlaDefinici´on 4.12(b) para la imagen inversa de
BbajoR,ahoratambi´en es usado para denotar la imagen deBbajoR
−1
.
Afortunadamente estos conjuntos son iguales.
Teorema 4.19La imagen inversa deBbajoRes igual a la imagen deB
bajoR
−1
.
Demostraci´on:
Primero note que el rango deResigualaldominiodeR
−1
.Ahorax∈R
−1
(B)
si y s´olo si existey∈Btal que (x, y)∈Rsi y s´olo si (y,x)∈R
−1
.Porlo
tanto,x∈R
−1
(B)bajoRsi y s´olo si para alg´unyenB,(y,x)∈R
−1
,es
decir, si y s´olo sixpertenece a la imagen deBbajoR
−1
.

58. 4.1. Relaciones 47
Para simplificar notaci´on, introducimos la siguiente convenci´on. En lugar de
escribir
{w:w=(x, y), parax, yconP(x, y)},
escribiremos simplemente{(x, y):P(x, y)}. Por ejemplo, dada una relaci´onR,
la relaci´on inversa deRpuede ser escrita con esta notaci´on como
{(x, y):(y,x)∈R}.
Obs´ervese que, como en el caso general, esta notaci´on es admisible s´olo si
probamos que existe un conjuntoAtal que para todox, y,P(x, y)implicaque
(x, y)∈A.
Definici´on 4.20SeanRySrelaciones. Lacomposici´on deRySes la
relaci´on
S◦R={(x, z):∃ypara el cual (x, y)∈Ry(y,z)∈S}.
Que un par (x, z) pertenezca aS◦R,significa que para alg´uny,xRyy
ySz.As´ıque para encontrar objetos relacionados conxenS◦R, primero se
encuentran objetosyrelacionados axenRy luego objetoszrelacionados en
Scon alguno de los objetosy; todos estos objetos est´an relacionados enS◦R
conx. Note que de aqu´ıS◦Rno es lo mismo queR◦S(ver Ejemplo 4.22).
Ejemplo 4.21Para cualquier relaci´onR,∅◦R=∅=R◦∅.
Ejemplo 4.22SiR={(1,2)}yS={(2,0)},entoncesS◦R={(1,0)};
mientras queR◦Ses la relaci´on vac´ıa.
Ejemplo 4.23SiRes una relaci´on enA,entoncesR◦Id
A=R=Id A◦R.
Ejemplo 4.24SiranR∩dom S=∅,entoncesS◦Res la relaci´on vac´ıa.
Muchas relaciones son de particular inter´es, aqu´ıintroduciremos una muy
importante y en el resto del cap´ıtulo definiremos algunas otras.
Definici´on 4.25Larelaci´on de pertenencia en (o restringida a)Aes definida
por
∈
A={(a, b):a∈A, b∈Aya∈b}.
Tambi´en pueden definirse relaciones ternarias. M´as expl´ıcitamente,Ses una
relaci´on ternaria si para cualquieru∈S,existenx, y, ztales queu=(x, y, z).
SiS⊆A
3
,sedicequeSes una relaci´on ternaria enA. Muchos de los conceptos
de esta secci´on pueden ser generalizados a relaciones ternarias.

59. 48 4. Relaciones y Funciones
Ejercicios 4.1
1. SeaRuna relaci´on (binaria). Demuestre quedom R⊆
S
(
S
R)yque
ran R⊆
S
(
S
R). Concluya de esto quedom Ryran Rexisten.
2. Muestre queR
−1
yS◦Rexisten. (Sugerencia:
R
−1
⊆(ranR)×(domR),S◦R⊆(domR×ranS).)
3. SeanRuna relaci´on yA, Bconjuntos. Pruebe:
(a)R(A∪B)=R(A)∪R(B).
(b)R(A∩B)⊆R(A)∩R(B).
(c)R(A\B)⊇R(A)\R(B).
(d) Por medio de ejemplos muestre que⊆y⊇en (b) y (c) no pueden
reemplazarse por =.
(e) Pruebe los incisos (a), ..., (d) conR
−1
en vez deR.
4. SeanAuna familia de conjuntos yRuna relaci´on. Muestre que:
(a)R(
S
A)=
S
{R(A):A∈A}.
(b)R(
T
A)⊆
T
{R(A):A∈A}.
5. SeaR⊆X×Y.Demuestre:
(a)R(X)=ran RyR
−1
(Y)=dom R.
(b) Sia/∈dom R,R({a})=∅;sib/∈ran R,R
−1
({b})=∅.
(c)dom R=ran R
−1
;ran R=dom R
−1
.
(d) (R
−1
)
−1
=R.
(e)R
−1
◦R⊇Id dom R,R◦R
−1
⊇Idran R. Dar un ejemplo de una
relaci´onRtal queR
−1
◦R6 =Id dom RyR◦R
−1
6 =Idran R.
6. Verifique el Ejemplo 4.24.
7. Pruebe que para tres relacionesR,SyT
T◦(S◦R)=(T◦S)◦R.
(La operaci´on◦es asociativa.)

60. 4.2. Funciones 49
8. SeanX={∅,{∅}}yY=P(X). Describa:
(a)∈
Y.
(b)Id
Y.
(c) Determine el dominio, rango y campo de ambas relaciones.
9. Muestre que siMesunafamilianovac´ıa de relaciones entonces
T
M
es una relaci´on.
4.2 Funciones
La palabrafunci´onfue introducida a las matem´aticas por Leibniz, quien
originalmente utiliz´oestet´ermino para referirse a cierta clase de f´ormulas
matem´aticas. La idea de Leibniz estaba muy limitada, y el significado de la
palabra tuvo desde entonces muchas fases de generalizaci´on. Hoy en d´ıa, el sig-
nificado de funci´on es esencialmente el siguiente: Dados dos conjuntosAyB,
una funci´on deAenBes una correspondencia que asocia con cada elemento
deAun ´unico elemento deB. Una funci´on, por tanto, representa un tipo espe-
cial de relaci´on: una relaci´on donde todo objeto del dominio est´a relacionado
precisamente con un ´unico objeto del rango, nombrado el valor de la funci´on.
Definici´on 4.26Una relaci´onfes llamadafunci´onsi (a, b)∈fy(a, c)∈f
implica queb=cpara cualesquieraa, b, c.
1
En otras palabras, una relaci´onfes una funci´on si y s´olosiparatodoa∈
dom fhay exactamente unbtal que (a, b)∈f.Este´unicobes llamadovalor
defenay es usualmente denotado porf(a); aunque en algunas ocasiones
es muy conveniente la notaci´onf
a.Sifes una funci´on condom f=Ay
ranf⊆B, entonces
f={(a, f(a)) :a∈A}
y es costumbre emplear la notaci´onf:A→Bpara denotar la funci´onf;o
de manera m´as precisa:
f:A−→B
a7 →f(a)
Obs´ervese que sia/∈A,f(a) carece de sentido.
1
Esta definici´on de funci´on fue propuesta por G. Peano [P 2].

61. 50 4. Relaciones y Funciones
Ejemplo 4.27SiA={1,2,3}yB={1,2},entonces
f={(1,1),(1,2),(2,2),(3,1)}
no es una funci´on ya que (1,1) y (1,2) pertenecen af,ysinembargo16 =2.
Ejemplo 4.28SeanXyYson conjuntos y seab∈Y.Entoncesf=X×{b}
es una funci´on, llamadafunci´on constantedeXenY.
Ejemplo 4.29SiXes un conjunto,f=
©
(x, y)∈X
2
:x=y
ª
es funci´on, se
llamaidentidadenX,f=Id
X.Ver Ejemplo 4.5.
Ejemplo 4.30SeanXun conjunto yAun subconjunto deX.Definamos
χ
A:X→{0,1}por la regla
χ
A(x)=
½
1,six∈A
0,six/∈A
para cadax∈X.Esta importante funci´on se llama lafunci´on caracter´ıstica
deA.
Ejemplo 4.31SeanXun conjunto yA⊆X.La funci´oni
A={(x, x):x∈A}
es llamadainclusi´on deAenXy usualmente se denotada pori
A:A,→X.
Ejemplo 4.32SiAyBson conjuntos, entonces tenemos dos funciones natu-
rales:p
1:A×B→Ayp 2:A×B→Btales quep 1(a, b)=ayp 2(a, b)=b.Se
llamanproyecciones en la primerayla segunda coordenada, respectivamente.
Ejemplo 4.33SeaXun conjuntof:P(X)→P(X)definida comof(A)=
X\Aes una funci´on.
Puesto que las funciones son relaciones, los conceptos de rango, imagen,
inversa y composici´on pueden ser aplicados. Sif:A→ByA
1⊆A,B 1⊆B
tenemos quef⊆A×B, la imagen deA
1bajofes el conjunto
f(A
1)={y∈B:(x, y)∈f, x∈A 1}
={f(x):x∈A
1}.
La imagen inversa bajofdeB
1es
f
−1
(B1)={x∈A:(x, y)∈f,para alg´uny∈B 1}
={x∈A:f(x)∈B
1}.
Obs´ervese que la descripci´on de estos conjuntos es m´as simple para funciones
que para relaciones en general (ver Definici´on 4.12).

62. 4.2. Funciones 51
Teorema 4.34Supongamos quef:X→Yes una funci´on, entonces:
(a) ParaA⊆Xresulta queA=∅si y s´olo sif(A)=∅.
(b)f
−1
(∅)=∅.
(c)f({x})={f(x)}.
(d) SiA⊆B⊆Xentonces
f(A)⊆f(B)yf(B\A)⊇f(B)\f(A).
(e) SiA
0
⊆B
0
⊆Yentonces
f
−1
(A
0
)⊆f
−1
(B
0
)yf
−1
(B
0
\A
0
)=f
−1
(B
0
)\f
−1
(A
0
).
(f) Si{A
α}
α∈I
es una familia indizada de subconjuntos deXy{A
0
α
}
α∈I
es una familia indizada de subconjuntos deY,entonces
f
Ã
[
α∈I
Aα
!
=
[
α∈I
f(Aα),f
Ã
\
α∈I
Aα
!
⊆
\
α∈I
f(Aα)
f
−1
Ã
[
α∈I
Aα
!
=
[
α∈I
f
−1
(Aα),f
−1
Ã
\
α∈I
Aα
!
=
\
α∈I
f
−1
(Aα)
(g) SiA⊆Xes tal queA⊆f
−1
(f(A)),ysiA
0
⊆Y,
f(f
−1
(A
0
)) =A
0
∩f(X).
Demostraci´on:
(a)Esto se obtiene ya quefes una funci´on (para todox∈X,existey∈Y
tal que (x, y)∈f)yporladefinici´on def(A)={f(x):x∈A}.
(b)Es clara.
(c)Esto se debe a que (x, y
1)∈fy(x, y 2)∈fimplicay 1=y2.
(d)Veamos primero quef(A)⊆f(B). Siy∈f(A) entonces existex∈A
tal quef(x)=y.ComoA⊆Bentoncesx∈B,luegoy∈f(B). Por lo tanto,
f(A)⊆f(B).
Siy∈f(B)\f(A)entoncesy∈f(B)yy/∈f(A), por lo que se deduce la
existencia dex∈Btal quef(x)=y.Adem´as, comoy/∈f(A), entonces para
cualquiera∈A,f(a)6 =y, con lo cualx∈B\A;as´ı,y∈f(B\A). Por lo
tanto,f(B)\f(A)⊆f(B\A).
(e)Veamos primero quef
−1
(A
0
)⊆f
−1
(B
0
), siA
0
⊆B
0
.Six∈f
−1
(A
0
)
entonces existey∈A
0
tal quef(x)=y.ComoA
0
⊆B
0
yy∈B
0
,x∈f
−1
(B
0
).
Por lo tanto,f
−1
(A
0
)⊆f
−1
(B
0
).Ahora veamos quef
−1
(B
0
\A
0
)=f
−1
(B
0
)\

63. 52 4. Relaciones y Funciones
f
−1
(A
0
). En efecto,x∈f
−1
(B
0
\A
0
)siys´olo si existey∈B
0
yy/∈A
0
tal que
f(x)=ysi y s´olo six∈f
−1
(B
0
)\f
−1
(A
0
).
(f)Demostraremos ´unicamente que
f
Ã
[
α∈I
Aα
!
=
[
α∈I
f(Aα),
dejando como ejercicio las igualdades restantes.
y∈f
¡S
α∈I
Aα
¢
si y s´olo si existex∈
S
α∈I
Aαconf(x)=ysi y s´olo si
existenα∈Iyx∈A
αtales quef(x)=ysi y s´olo si existeα∈Ital quey∈
f(A
α)siys´olo siy∈
S
α∈I
f(Aα). Por lo tanto,f
¡S
α∈I
Aα
¢
=
S
α∈I
f(Aα).
(g)Ejercicio.
El Axioma de Extensi´on puede ser aplicado a funciones como sigue:
Lema 4.35Seanfygfunciones.f=gsi y s´olo sidom f=dom gyf(x)=
g(x)para todox∈dom f.
Demostraci´on:
⇒] Demostraremos primero quef=gimplicadom f=dom g.x∈dom f
si y s´olo si existe alg´unypara el cual (x, y)∈fsi y s´olo si existe alg´uny
para el cual (x, y)∈g(pues el conjuntofes igual al conjuntog)siys´olo si
x∈dom g.
Por otra parte si existex∈dom ftal quef(x)6 =g(x) entonces (x, f(x))∈f
y(x, f(x))/∈g(puesges funci´on), entonces (x, f(x))∈f\g, es decir,f6 =g.
⇐] Supongamos quedom f=dom gy que para cadax∈dom f,f(x)=
g(x). (x, y)∈fsi y s´olo six∈dom fyf(x)=ysi y s´olo six∈dom gy
g(x)=ysi y s´olo si (x, y)∈g. Por lo tanto,f=g.
Introducimos tambi´en otras definiciones.
Definici´on 4.36Seafuna funci´on yA, Bconjuntos:
(a)fes una funci´on desdeAsidom f⊆A.
(b)fes una funci´on enAsidom f=A.
(c)fes una funci´on haciaBsiran f⊆B.
(d) Larestricci´on de la funci´onfaAes la funci´on
f|
A={(a, b)∈f:a∈A}.
Siges una restricci´on defpara alg´unA,decimos quefes unaextensi´onde
g.

64. 4.2. Funciones 53
Es costumbre emplear la frase:fes una funci´on deAenB, cuandofes
una funci´on enAyfes una funci´on haciaB;osea,f:A→B.
Ejemplo 4.37Para cualquier conjuntoA,hay una ´unica funci´onfde∅en
A, a saber, la funci´on vac´ıa,f=∅.
Ejemplo 4.38Seaf=
©
(x,
1
x
2):x∈R\{0}
ª
.fes una funci´on. En efecto,
si (a, b)∈fy(a, c)∈f,entoncesb=
1
a
2yc=
1
a
2;as´ı,b=c.La notaci´on
usual para esta funci´on esf(x)=
1
x
2.fes una funci´on desde el conjunto de los
n´umeros reales, pero no en el conjunto de los n´umeros reales pues 0/∈dom f.
Esta es una funci´on enA=R\{0}=dom fy hacia el conjunto de los
n´umeros reales. SiC={x∈R:0≤x≤1},entoncesf(C)={x∈R:x≥1}
yf
−1
(C)={x∈R:x≤−1∨x≥1}.La composici´onf◦fes la relaci´on:
f◦f={(x, z):∃ypara el cual (x, y)∈f,(y,z)∈f}
=
n
(x, z):∃ypara el cualx6 =0,y=
1
x
2,z=
1
y
2
o
=
©
(x, z):x6 =0,z=x
4
ª
;
as´ı,f◦f(x)=x
4
.Note quef◦fes una funci´on; esto no es un accidente.
Teorema 4.39Seanfygfunciones. Entoncesg◦fes una funci´on.g◦f
est´adefinida enxsi y s´olo sifest´adefinida enxygest´adefinida enf(x),
es decir,dom g◦f=dom f∩f
−1
(dom g).
Demostraci´on:
Se mostrar´aqueg◦fes una funci´on.Si(x, z
1)∈g◦fy(x, z 2)∈g◦f
entonces existeny
1,y2tales que (x, y 1)∈fy(y 1,z1)∈g,(x, y 2)∈fy
(y
2,z2)∈g. Puesto quefes una funci´on,y 1=y2.As´ıtenemos que (y 1,z1)∈g
y(y
1,z2)∈g. Entoncesz 1=z2, porque tambi´enges una funci´on.
Por otra parte,x∈dom g◦fsi y s´olo si existe alg´unztal que (x, z)∈g◦f,
es decir, hay unytal que (x, y)∈fy(y,z)∈g. Lo anterior se satisface si y
s´olo si:
x∈dom fyy=f(x)∈dom g,
osea,x∈dom fyx∈f
−1
(dom g).
Se desprende inmediatamente el siguiente resultado.
Corolario 4.40Siranf⊆dom g,entoncesdom g◦f=dom f.
Es importante se˜nalar que la composici´on de funciones siempre est´adefinida,
de hecho, siran f∩dom g=∅,lacomposici´on defconges la funci´on vac´ıa,

65. 54 4. Relaciones y Funciones
g◦f=∅.Pero∅es una funci´on de poco inter´es, por lo cual generalmente se
restringe la composici´on al caso en queranf⊆dom g, por ser el caso verdade-
ramente interesante. Pero no hay alguna raz´on para no definir la composici´on
de cualquier par de funciones.
Veamos un ejemplo t´ıpico del uso del teorema anterior para encontrar la
composici´on de funciones.
Ejemplo 4.41Encontrar la composici´on y el dominio de la composici´on de
las siguientes funciones:
f=
©
(x, x
2
−1) :x∈R
ª
,g=
©
(x,
√
x):x∈R,x≥0
ª
.
Determinaremos primero el dominio deg◦f. domfes el conjunto de todos
los n´umeros reales ydom g={x∈R:x≥0}.Entonces
f
−1
(dom g)={x∈R:f(x)∈dom g}
=
©
x:x
2
−1≥0
ª
={x∈R:x≥1∨x≤−1}.
Por lo tanto,
dom g◦f=dom f∩f
−1
(dom g)={x∈R:x≥1∨x≤−1}
y
g◦f=
©
(x, z):x
2
−1≥0∧∃y∈R,y=x
2
−1∧z=
√
y
ª
=
n
(x,
√
x
2
−1:x≥1∨x≤−1
o
.
Ahora derivemos algunas propiedades de la composici´on de funciones.
Teorema 4.42Seanf:A→B,g:B→Cyh:C→Dfunciones.
(a) SiA
0
⊆A,entoncesg◦f(A
0
)=g(f(A
0
)).
(b) SiC
0
⊆C,entonces(g◦f)
−1
(C
0
)=f
−1
(g
−1
(C
0
)).
(c)h◦(g◦f)=(h◦g)◦f,esdecir,lacomposici´on de funciones es
asociativa.
Demostraci´on:
Se dejan como ejercicio las partes(a)y(b). Pasaremos a demostrar la parte
(c).
(x, z)∈h◦(g◦f)siys´olo si existewtal que (x, w)∈g◦fy(w, z)∈hsi y
s´olo si existeytal que (x, y)∈f,(y,w)∈gy(w, z)∈hsi y s´olo si (x, y)∈f

66. 4.2. Funciones 55
y(y,z)∈h◦gsi y s´olo si (x, z)∈(h◦g)◦f.
Sifes una funci´on,f
−1
es una relaci´on, pero no necesariamente una funci´on.
Decimos que una funci´onfesinvertible,sif
−1
es una funci´on,esdecir,la
relaci´on
f
−1
={(y,x):(x, y)∈f},
es una funci´on.
Es importante encontrar condiciones necesarias y suficientes para que una
funci´on sea invertible.
Definici´on 4.43Una funci´onfes llamadainyectiva(ounoauno)sia
1∈
dom f,a
2∈dom fya 16 =a2implicaf(a 1)6 =f(a 2).
La definici´on anterior se puede expresar en otras palabras diciendo que:
a
1∈dom f,a 2∈dom fyf(a 1)=f(a 2)implicaa 1=a2.As´ı, una funci´on
inyectiva asigna diferentes valores para diferentes elementos de su dominio.
Teorema 4.44Una funci´on es invertible si y s´olo si es inyectiva.
Demostraci´on:
⇒]Seafuna funci´on invertible entoncesf
−1
es una funci´on. Sia 1∈dom f,
a
2∈dom f,yf(a 1)=f(a 2), entonces tenemos que (f(a 1),a1)∈f
−1
y
(f(a
2),a2)∈f
−1
,locualimplicaquea 1=a2.As´ı,fes inyectiva.
⇐]Seafuna funci´on inyectiva. Si (a, b
1)∈f
−1
y(a, b2)∈f
−1
, tenemos
que (b
1,a)∈fy(b 2,a)∈f. Por lo tanto,b 1=b2,yas´ıhemos probado que
f
−1
es funci´on.
Si consideramos la funci´onf:X→R, dondeX={x∈R:x≥0}y
f(x)=x
2
,podemos demostrar que dicha funci´on es inyectiva, por lo cualfes
una funci´on invertible. Pero el dominio def
−1
es{x∈R:x≥0}.Demodo
que af
−1
no la podemos considerar como una funci´on deRenXtal que
f
−1
◦f=Id Xyf◦f
−1
=IdR. Estamos interesados en hallar una funci´on
g
−1
:B→Aque act´ue inversamente con respecto ag:A→Bcuando sea
posible; o sea,g
−1
◦g=Id Ayg◦g
−1
=IdB. Si observamos, el problema de
la funci´onf:X→Res que su rango no es todoR.
Definici´on 4.45Seaf:A→Buna funci´on:
(a)fse llamasobreyectivasif(A)=B.
(b)fse llamabiyectivasi es inyectiva y sobreyectiva.

67. 56 4. Relaciones y Funciones
Notemos que una funci´onf:A→Bes biyectiva si y s´olo si para cada
b∈B,existeun´unicoa∈Atal quef(a)=b.Estea∈Aexiste por la
sobreyectividad def,yes´unico por la inyectividad def.
Ahora, sif:A→Bes una funci´on biyectiva entoncesdom f
−1
=B,es
decir, se puede definir
f
−1
:B→A
por la regla:f
−1
(b)esel´unicoa∈Atal quef(a)=b.Adem´as, con esto
´ultimo tenemos quef
−1
cumple las relaciones:
f
−1
◦f=Id Ayf◦f
−1
=IdB,
las cuales expresan precisamente quef
−1
act´ua de manera inversa a como lo
hacefsobre todo el conjuntoAyquefact´ua de manera inversa a como
lo hacef
−1
sobre todo el conjuntoB. En el Teorema 4.52(c), mostraremos
quef
−1
es ´unica, lo cual nos permite hacer la definici´on 4.47; antes un ´util
ejemplo.
Ejemplo 4.46Para cualquier conjuntoA,la funci´on identidad es una biyec-
ci´on enA.Obs´ervese que en caso de queA=∅,Id
Aes la funci´on vac´ıayque
es biyectiva en este (´unico) caso.
Definici´on 4.47Sif:A→Bes una funci´on biyectiva, a la funci´onf
−1
:
B→Ase le llamar´afunci´on inversa def:A→B.
Note que af
−1
:B→Ase le llama funci´on inversa def:A→B,ynos´olo
def, para recalcar el hecho de quef
−1
depende de los conjuntosAyB.
En seguida daremos m´ultiples caracterizaciones del concepto de inyectividad
y sobreyectividad.
Teorema 4.48Seaf:X→Yuna funci´on conX6 =∅. Entonces los siguien-
tes enunciados son equivalentes:
(a)fes inyectiva.
(b) Para todox
1∈X,x 2∈X,f(x 1)=f(x 2)implicax 1=x2.
(c) Existeg:Y→Xtal queg◦f=Id
X.
(d) Para cualesquierah, k:Z→X,f◦h=f◦kimplicah=k.
(e) Para todoA⊆X,f
−1
(f(A)) =A.
(f) Para cualesquieraA⊆B⊆X,f(B\A)=f(B)\f(A).
(g) Para cualesquieraA⊆X,B⊆X,f(A∩B)=f(A)∩f(B).

68. 4.2. Funciones 57
Demostraci´on:
(a)⇒(b)Obvio.
(b)⇒(c)Seax
0∈Xydefinamosg:Y→Xdel siguiente modo:
g(y)=
½
x
0,siy/∈f(X)
x, siy=f(x).
ges claramente una funci´on, pues si (y,x
1)∈gy(y,x 2)∈gtenemos dos
posibilidades: siy/∈f(X), por definici´onx
1=x2=x0.Siy∈f(X) entonces
f(x
1)=f(x 2)ypor(b)x 1=x2.
Luego, parax∈X,g◦f(x)=g(f(x)) =x; con lo cual,g◦f=Id
X.
(c)⇒(d)Sih, k:Z→Xson funciones tales quef◦h=f◦k,entonces
por hip´otesis existe una funci´ong:Y→Xtal queg◦f=Id
X,conlocual:
h=Id
X◦h=(g◦f)◦h=g◦(f◦h)=g◦(f◦k)=(g◦f)◦k=Id X◦k=k.
(d)⇒(e)SeaA⊆X. Sabemos queA⊆f
−1
(f(A)) para cualquier funci´on
(Teorema 4.34(g)). Ahora bien, six∈f
−1
(f(A)) entoncesf(x)∈A,luego
existea∈Atal quef(a)=f(x).
Seanh, k:{1}→Xdefinidas comoh(1) =ayk(1) =x, entoncesf◦h=
f◦k. Por hip´otesish=k,yas´ıa=x; con esto concluimos queA⊇f
−1
(f(A)).
(e)⇒(f)SeanAyBdos conjuntos tales queA⊆B⊆Xysupongamos
quef(x)∈f(B\A)conx∈B\A.Entoncesf(x)∈f(B); pero comox/∈A
yA=f
−1
(f(A)), entoncesx/∈f
−1
(f(A). Esto implica quef(x)/∈f(A); as´ı,
f(x)∈f(B)\f(A). Como siempre ocurref(B)\f(A)⊆f(B\A), concluimos
entonces quef(B)\f(A)=f(B\A).
(f)⇒(g)SeanA⊆XyB⊆X.Sesabequef(A∩B)⊆f(A)∩f(B).
Siy∈f(A)∩f(B),entoncesy=f(x)conx∈A.Siocurrierax/∈B,
entoncesx∈X\B. Por lo cual,f(x)∈f(X\B)=f(X)\f(B), y as´ı,
y=f(x)/∈f(B) que es una contradicci´on. Por lo tanto,f(x)∈f(B)implica
x∈B,yas´ıx∈A∩B. Por todo lo anterior,y∈f(A∩B).
(g)⇒(a)Trivial.
Teorema 4.49Sif:X→Yes una funci´on entonces, son equivalentes:
(a)fes sobreyectiva.
(b) Para todoy∈Y,existex∈Xtal quef(x)=y.
(c)Paratodosubconjuntonovac´ıoAdeY,f
−1
(A)6 =∅.
(d)ParatodosubconjuntoBdeY,B=f(f
−1
(B)).
(e) Para cualesquierah, k:Y→Z,h◦f=k◦fimplicah=k.
Demostraci´on:
Las implicaciones(a)⇒(b)y(b)⇒(c)son obvias.

69. 58 4. Relaciones y Funciones
(c)⇒(d)Sabemos quef(f
−1
(B)) =f(X)∩B⊆B.Silacontenci´on fuese
estricta, entoncesA=B\f(f
−1
(B))6 =∅, lo que implicaf
−1
(A)6 =∅;conlo
cual se deduce que existe unx∈Xtal que
f(x)∈B\f(f
−1
(B));
pero esto es imposible.
(d)⇒(e)Seanh, k:Y→Zdos funciones cualesquiera tales queh◦f=k◦f.
Seay∈Y.Comof(f
−1
({y})) ={y}, por el Teorema 4.34(a),f
−1
({y})6 =∅.
Seax∈Xtal quex∈f
−1
({y}); o sea,f(x)=y. Tenemos entonces que
h(y)=h(f(x)) =h◦f(x)=k◦f(x)=k(f(x)) =k(y). Por el Lema 4.35, se
sigue queh=k.
(e)⇒(a)Sif:X→Yno es sobreyectiva, defina funcionesh, k:Y→{1,2}
porh=Y×{1}y
k(y)=
½
1,siy∈f(X)
2,siy/∈f(X).
Entonces,h◦f=k◦f,peroh6 =k.
La parte (d) del Teorema 4.48 motiva la siguiente definici´on.
Definici´on 4.50Seaf:X→Yuna funci´on.
(a)Auna funci´ong:Y→Xtal queg◦f=Id
Xselellamainversa
izquierda def:X→Y.
(b)Auna funci´onh:Y→Xtal quef◦h=Id
Yse le llamainversa
derecha def:X→Y.
Es factible pensar que, as´ıcomo las funciones inyectivas se caracterizan
por tener inversa izquierda, las funciones sobreyectivas se caractericen por
tener inversa derecha; esta conjetura es correcta, no obstante, en un cap´ıtulo
posterior veremos que esta proposici´on es equivalente a uno de los Axiomas
de la Teor´ıa de Conjuntos (el Axioma de Elecci´on), por lo cual no es trivial
(aunque s´ıf´acil de establecer a partir de ese axioma). Lo que s´ıes posible
demostrar ahora es la siguiente proposici´on.
Proposici´on 4.51Sif:X→Ytiene una inversa derechag:Y→X,
entoncesfes sobreyectiva.
Demostraci´on:
Para cualquiery∈Y, poniendox=g(y), se tiene quef(x)=y. Por lo tanto,
fes sobreyectiva.

70. 4.2. Funciones 59
Teorema 4.52Seanf:X→Yyg:Y→Zdos funciones. Entonces:
(a) La inyectividad defygimplica la inyectividad deg◦f.
(b) La sobreyectividad defygimplica la sobreyectividad deg◦f.
(c) SiX=Z,yfygson tales que
g◦f=Id
Xyf◦g=Id Y,
entoncesg=f
−1
, es decir, la inversa def:X→Yes ´unica.
Demostraci´on:
(a)SeanA⊆XyB⊆X. Entonces haciendo uso de los Teoremas 4.42(a) y
4.48(g),g◦f(A∩B)=g(f(A∩B)) =g(f(A)∩f(B)) =g(f(A))∩g(f(B)) =
g◦f(A)∩g◦f(B). Por lo tanto,g◦fes inyectiva.
(b)SeaA⊆Zunsubconjuntonovac´ıo, usemos los Teoremas 4.42(b) y
4.49(c). (g◦f)
−1
(A)=f
−1
(g
−1
(A)). Comoges sobreyectivag
−1
(A)6 =∅,y
puesto queftambi´en es sobreyectiva,
f
−1
(g
−1
(A))6 =∅.
Por lo tanto,g◦fes sobreyectiva.
(c)Empleando el Teorema 4.48(c) y la Proposici´on 4.51, obtenemos quefy
gtambi´en son funciones biyectivas. De aqu´ıse sigue quedom f
−1
=dom g=
Y.Ahora,siy∈Y,entonces
f(g(y)) =y=f(f
−1
(y)).
Por la inyectividad defse sigue queg(x)=f
−1
(x). Concluimos queg=f
−1
,
por el Lema 4.35.
Una de las razones por las cuales las funciones biyectivas son tan importantes
es la que a continuaci´on exponemos. Supongamos queXyYson dos conjuntos
yquef:X→Yes una funci´on biyectiva entre ellos. Si ´unicamente estamos
interesados enXcomo conjunto, es decir, sin atender a la naturaleza de sus
elementos, entonces podemos considerar a estos dos conjuntos como “equiva-
lentes” desde el punto de vista de la Teor´ıa de Conjuntos puesto que cualquier
afirmaci´on y construcci´on de la Teor´ıa de Conjuntos que sea posible realizar
conXtambi´en se puede realizar conY.S´olo como una muestra, siZes otro
conjunto y estamos interesados en funciones deXenZ, entonces cualquier
funci´ong:X→Ztiene una ´unica funci´on correspondienteeg:Y→Z,a
saber,eg=g◦f
−1
.As´ıentonces, podemos “cambiar” nuestro estudio de las
funciones deXenZpor el estudio de las funciones deYenZ.Podr´ıamos dar

71. 60 4. Relaciones y Funciones
otros ejemplos que muestren la paridad de afirmaciones o construcciones que
podemos realizar conXyY; sin embargo, creemos que es m´as conveniente
notar que esta paridad se debe al hecho de que la funci´onftraslada uno a uno
tanto a los elementos como a los subconjuntos deXaY. Por ende, reiteramos
que desde el punto de vista de la Teor´ıa de Conjuntos, aunqueXyYsean
objetos (posiblemente) distintos, ellos pueden considerarse “equivalentes” ya
que son, salvo por “sus nombres”, indistinguibles.
Definici´on 4.53(a) Las funcionesfygson llamadascompatiblessif(x)=
g(x)paratodox∈dom f∩dom g.
(b) Un conjunto de funcionesFes llamadosistema compatible de funciones
si cualesquiera dos funcionesf∈Fyg∈Fson compatibles.
Lema 4.54(a) Las funcionesfygson compatibles si y s´olo sif∪ges una
funci´on.
(b) Las funcionesfygson compatibles si y s´olo si
f|
dom f∩dom g =g| dom f∩dom g .
Demostraci´on:
(a)⇒]Sean(x, y)∈f∪gy(x, z)∈f∪g, entoncesx∈dom f∪dom g.
Six∈dom f4dom g, necesariamente (x, y)∈f\gy(x, z)∈f\g.Obien,
(x, y)∈g\fy(x, z)∈g\f, y en este caso, se concluye quey=z.
Si por el contrariox∈dom f∩dom g, por hip´otesisf(x)=g(x); as´ı,
y=f(x)=z. Por lo tanto,f∪ges funci´on.
⇐]Seax∈dom f∩dom g. Entonces (x, f(x))∈f∪gy(x, g(x))∈f∪g.
Comof∪ges funci´on, se sigue quef(x)=g(x).
(b)Ejercicio.
Elsiguienteteoremanosdicequelas funciones en un sistema compatible
pueden reunirse en una ´unica funci´on la cual extiende a cada funci´on que es
elemento del sistema.
Teorema 4.55SiFes un sistema de funciones compatibles, entonces
S
F
es una funci´on condom
S
F=
S
{dom f:f∈F}.Adem´as, la funci´on
S
F
extiende a cadaf∈F.
Demostraci´on:
Claramente
S
Fes una relaci´on; probaremos que es una funci´on. Si (a, b)∈
S
Fy(a, c)∈
S
F, hay funcionesf
1,f2∈Ftales que (a, b)∈f 1y(a, c)∈f 2.

72. 4.2. Funciones 61
Perof 1yf2son compatibles, y como (a, b)∈f 1∪f2,(a, c)∈f 1∪f2yf1∪f2
es una funci´on, entoncesb=c.
Luego,x∈dom
S
Fsi y s´olo si para alg´uny,(x, y)∈
S
Fsi y s´olo
si (x, y)∈fpara algunaf∈Fsi y s´olo six∈dom fsi y s´olo six∈
S
{dom f:f∈F}. Por lo tanto,
S
F=
S
{dom f:f∈F}.Claramente
S
F
extiende a cadaf∈F.
Parafinalizar esta secci´on tenemos la siguiente definici´on.
Definici´on 4.56SeanAyBconjuntos, el conjunto de todas las funciones
deAenBes denotado porB
A
.
De hecho, nosotros deber´ıamos mostrar que tal conjunto existe, pero nos
basta observar queB
A
⊆P(A×B).
Ejercicios 4.2
1. Seaf:X→Yuna funci´on. Pruebe queF:P(X)→P(Y)yG:
P(Y)→P(X)definidas por:
F(A)=f(A),G (A)=f
−1
(A),
son funciones.
2. Completar la demostraci´on del Teorema 4.34.
3. Justifique los procedimientos de los Ejemplos 4.38 y 4.41.
4. Encuentre la funci´oninversadelafunci´on del Ejemplo 4.38.
5. SeanA⊆Xyseaf:X→Yuna funci´on. Seai:A,→Xla inclusi´on.
Muestre que:
(a)f|
A=f◦i.
(b) Pongamosg=f|
A. Entoncesg
−1
(B)=A∩f
−1
(B) para cada
B⊆Y.

73. 62 4. Relaciones y Funciones
6. Las funcionesf i,i=1,2,3,4, est´an definidas como sigue:
f
1={(x,2x−1) :x∈R}
f
2={(x,
√
x):x6 =0}
f
3={(x,
3
√
x):x∈R}
f
4=
©
(x,
1
x
):x∈R,x6 =0
ª
Describa cada una de las siguientes funciones y determine sus dominios
y rangos:f
2◦f1,f1◦f2,f3◦f1,f1◦f3,f4◦f1,f1◦f4,f2◦f4,f4◦f2,
f
3◦f4.
7. Seanf:X→Yyg:Y→Z.
(a) Sig◦fes inyectiva, qu´e se puede decir de la inyectividad defy
deg.
(b) Sig◦fes sobreyectiva, qu´e se puede decir de la sobreyectividad de
fydeg.
8. Seanf:A→Cyg:A→Bfunciones. Demostrar que existe una
funci´onh:B→Ctal quef=h◦gsi y s´olo si para cadax, y∈A,
g(x)=g(y)implicaf(x)=f(y).
9. Pruebe la siguiente importante propiedad del producto cartesianoA×B
y de las proyeccionesp
1yp2.SiA6 =∅yB6 =∅,entonces para cualquier
conjuntoCy cualesquiera funcionesf
1:C→Ayf 2:C→Bexiste
una ´unica funci´onf:C→A×Btal quef
1=p1◦fyf 2=p2◦f.Las
funcionesf
1yf2se llaman lasfunciones coordenadasdef.
10. Seanf:X→Yyg:Y→Xdos funciones. Demuestre queXy
Ypueden expresarse como uni´on de subconjuntos ajenos, es decir,X=
X
1∪X2conX 1∩X2=∅yY=Y 1∪Y2conY 1∩Y2,talesquef(X 1)=Y 1y
g(Y
2)=X 2.(Sugerencia: para cadaA⊆X,seaQ(A)=X\g(Y\f(A)).
T´omeseX
1=
T
{Q(A):Q(A)⊆A}.)
11. (a) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga inversa izquierda pero no
inversa derecha.
(b) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga inversa derecha pero no
inversa izquierda.
(c) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga dos inversas izquierdas.
(d) Dar un ejemplo de una funci´on que tenga dos inversas derechas.

74. 4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios 63
(e) Muestre que sif:X→Ytiene inversa derecha e izquierda entonces
es biyectiva.
12. Pruebe que las funciones del Ejercicio 6 son inyectivas.
13. Completar la demostraci´on del Teorema 4.42.
14. Muestre que sif:A→Byg:B→Cson funciones biyectivas, entonces
(g◦f)
−1
=f
−1
◦g
−1
.
15. Dar un ejemplo de una funci´onfyunconjuntoA,talquef∩A
2
6 =f| A.
16. Sifes una funci´on inyectiva muestre que
f
Ã
\
α∈I
Aα
!
=
\
α∈I
f(Aα).
17. Probar el Lema 4.54(b).
18. Muestre queB
A
existe.
19. Pruebe que el conjunto de todas las funciones desdeAhaciaBes igual
a
S
X⊆A
B
X
.
20. Demuestre la siguiente forma general de distribuci´on:
\
a∈A
Ã
[
b∈B
Fa,b
!
=
[
f∈B
A
Ã
\
a∈A
F
a,f(a)
!
,
suponiendo queF
a,b1
∩Fa,b2
=∅para todoa∈Ay cualesquierab 1,b2∈B
conb
16 =b2. (Sugerencia: SeaLel conjunto en el lado izquierdo de la
igualdad yRel conjunto en el lado derecho.F
a,f(a) ⊆
S
b∈B
Fa,b;porlo
tanto,
T
a∈A
F
a,f(a) ⊆
T
a∈A
¡S
b∈B
Fa,b
¢
=L,yas´ıfinalmenteR⊆L.
Para probar queL⊆R,tomex∈L.Defina (a, b)∈fsi y s´olo six∈F
a,b.
Pruebe quefes una funci´on deAenBpara la cualx∈
T
a∈A
F
a,f(a);
as´ı,x∈R.)
4.3 Productos Cartesianos Arbitrarios
En esta peque˜na secci´on se generaliza el producto cartesiano de conjuntos en
t´erminos de funciones. Consideraremos primero casos especiales.

75. 64 4. Relaciones y Funciones
Dadosunconjuntonovac´ıoXyunn´umero naturalm≥2, definimos una
m-adade elementos deXcomo una funci´on
x:{1,2,...,m}→X.
Sixes unam-ada, es conveniente denotar el valor dexeni∈{1,2,...,m}
porx
ien lugar dex(i). Adem´as, representamos la funci´onxpor el s´ımbolo
(x
1,x2,...,xm).
En la Secci´on 3.2 definimos el producto cartesiano de dos conjuntos, intro-
dujimos con base en aquella definici´on el producto cartesiano de tres conjuntos
y´unicamente sugerimos la generalizaci´on a cuatro conjuntos. En la siguiente
definici´on haremos la primera generalizaci´on definiendo el producto cartesiano
de una familia demconjuntos, para cualquierm∈N.
Definici´on 4.57Supongamos que{A
1,A2,...,Am}est´a indizada sobre el
conjunto{1,2,...,,m}.Elproducto cartesiano de esta familia indizada de
conjuntosdenotado por
m
Y
i=1
AioA 1×A2×···×A m
es el conjunto de todas lasm-adas (x 1,x2,x3,...,xm)deelementosdeX=
S
m
i=1
Aitales quex i∈Aipara cadai∈{1,2,...,m}.
Ejemplo 4.58Tenemos hasta este momento dos definiciones para el s´ımbolo
A×B.Una definici´on es la dada en la Secci´on 3.2; seg´un ´esta,A×Bdenota
el conjunto de todos los pares ordenados (a, b)talesquea∈Ayb∈B.La
segunda definici´on, presentada en esta secci´on, define aA×Bcomo el conjunto
de todas las funcionesx:{1,2}→A∪Btales quex
1∈Ayx 2∈B.Hay
una obvia correspondencia biyectiva entre estos dos conjuntos: al par (a, b)le
hacemos corresponder la funci´onx:{1,2}→A∪Bdefinida comox
1=ay
x
2=b.Hemosacordadodenotaraestafunci´on con el s´ımbolo (x 1,x2).Esta
notaci´on sugiere en s´ımisma la correspondencia mencionada.
Podemos generalizar a´un m´as, si{A
n}
n∈N
es un sistema de conjuntos no
vac´ıos indizado sobre el conjunto de los n´umeros naturalesN,esfactibledefinir
el producto cartesiano de la familia{A
n}como:
∞
Y
n=0
An=
(
x:N→
∞
[
n=0
An:∀n∈N,x n∈An
)

76. 4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios 65
y como antes representamos las funcionesxcomo:
(x
0,x1,...,xi,...)o( x n)
∞
n=0
.
Entonces los elementos de
Q
∞
n=0
Anson sucesiones (x n)
∞
n=0
de elementos en
S
∞
n=0
Ancuyoi-´esimo t´ermino,x i=x(i),pertenece aA i.
Note que las definiciones anteriores no requieren que los conjuntosA
isean
diferentes uno del otro. De hecho, ellos pueden ser todos iguales a un mismo
conjuntoA. En este caso, el producto cartesianoA
1×A2×···×A mes justa-
mente el conjuntoA
m
dem-adas de elementos enA, y el productoA 1×A2×···
es justamente el conjuntoA
N
de todas las sucesiones de elementos enA.
Ejemplo 4.59 R
m
denota el espacio euclidianom-dimensional.An´alogamen-
te,R
N
es algunas veces llamado espacio euclidiano de dimensi´on infinita.
´
Este es el conjunto de todas las sucesiones (como se definen en los cursos
C´alculo Diferencial e Integral) de n´umeros reales; o sea, el conjunto de todas
las funcionesx:N→R.
Ahora pasaremos a la definici´on m´as general de producto cartesiano, la
cual incluir´a estos casos especiales. Primero haremos preciso el significado de
familiaindizadadeconjuntos, un concepto que hasta ahora no hemos definido
formalmente.
Definici´on 4.60SeaAun sistema de conjuntos. Unafunci´on indizadorapara
Aes una funci´on sobreyectivaA:I→A,dondeIes un conjunto no vac´ıo.Ies
llamado conjunto de ´ındices. La colecci´onA,junto con la funci´on indizadora,
es llamadafamilia indizada de conjuntos.
Ejemplo 4.61Cualquier familia no vac´ıa de conjuntos puede considerarse
como una familia indizada de conjuntos, donde la funci´on indizadora esS:
A→Adada porS
A=A.Ver Observaci´on 3.35.
El principal uso de las funciones indizadoras es para definir el producto
cartesiano de familias arbitrarias de conjuntos.
Definici´on 4.62Sea{A
α}
α∈I
una familia indizada de conjuntos. Elproducto
cartesiano de la familia{A
α}
α∈I
,denotado por
Y
α∈I
Aα,
es definido como el conjunto de todas las funcionesx:I→
S
α∈I
Aα,repre-
sentadas por (x
α)α∈I,tales quex(α)=x α∈Aαpara cadaα∈I.Siβ∈I,

77. 66 4. Relaciones y Funciones
el conjuntoA βes llamado elβ-´esimo factordel producto
Q
α∈I
Aα.Laco-
ordenadaβ-´esimade un elemento (x
α)α∈Ien el producto
Q
α∈I
Aαes por
definici´onx
β=x(β).
Estamos definiendo un nuevo conjunto; un ejercicio de esta secci´on es probar
que
Q
α∈I
Aαexiste para cualquier familia de conjuntos{A α}
α∈I
en dondeI
es un conjunto no vac´ıo. Observemos ´unicamente que si en la familia{B
a}
a∈A
cadaB a=B,elproducto
Q
a∈A
Baes justamenteB
A
.
Ejemplo 4.63Si cadaA
αtiene exactamente un elemento, entonces
Q
α∈I
Aα
tiene un elemento.
Ejemplo 4.64SiI6 =∅yalg´unA
α=∅,entonces
Q
α∈I
Aα=∅.
Ejemplo 4.65ConsidereA
n={0,1}para cadan∈N.El producto carte-
siano
Q
n∈N
Anes precisamente el conjunto de todas las sucesiones de ceros y
unos, a veces llamadoConjunto de Cantor.
SeanI6 =∅yA
α6 =∅para cadaα∈I. Hasta este momento no podemos
asegurar que
Q
α∈I
Aα6 =∅. Aunque intuitivamente esto parece cierto, no es
posible demostrarlo sin usar el Axioma de Elecci´on,elcualseabordar´aenun
cap´ıtulo posterior. Por el momentosupondremos que
Q
α∈I
Aα6 =∅siempre
queI6 =∅yA
α6 =∅para cadaα∈I.
Definici´on 4.66Si{A
α}
α∈I
es una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos,
se define laproyecci´on en laβ-´esima coordenadacomo la funci´on:
p
β:
Y
α∈I
Aα→A β
dada por
p
β((xα)α∈I)=x β.
Es decir, six∈
Q
α∈I
Aα,entoncesp β(x)=x(β)=x β.
Con respecto al ´algebra de productos cartesianos tenemos el siguiente teo-
rema cuya demostraci´on se deja como un ejercicio.
Teorema 4.67Sea{X
α}
α∈I
una familia indizada de conjuntos no vac´ıos, y
seanA
αyBαsubconjuntos no vac´ıos deX α, para cadaα∈I.Entonces:
(a)
Q
α∈I
Aα∩
Q
α∈I
Bα=
Q
α∈I
(Aα∩Bα).
(b)
Q
α∈I
Aα∪
Q
α∈I
Bα⊆
Q
α∈I
(Aα∪Bα).

78. 4.3. Productos Cartesianos Arbitrarios 67
Paraβ∈IyC β⊆Xβ, denotemos ap
−1
β
(Cβ)porhC βi;´este es el “gajo” en
Q
α∈I
Xαdonde cada factor esX αexcepto elβ-´esimo, el cual esC β.Similar-
mente, para una cantidadfinita de ´ındicesα
1,α2,...,α my los conjuntos
C
α1⊆Xα1,...,Cαm⊆Xαm,
el subconjunto
T
m
i=1
hCαi
i=
T
m
i=1
p
−1
α
i
(Cαi
) es denotado por
hC
α1,...,Cαi
i.
Estas notaciones nos permiten formular el siguiente corolario.
Corolario 4.68En
Q
α∈I
Xα,
(a)
Q
α∈I
Cα=
T
α∈I
hCαi.
(b)(
Q
α∈I
Xα)\hC βi=hX β\Cβi.
(c)(
Q
α∈I
Xα)\(
Q
α∈I
Cα)=
S
α∈I
hXα\Cαi.
Demostraci´on:
c∈
Q
α∈I
Cαsi y s´olosiparacadaα∈I,p α(c)∈C αsi y s´olo si para cada
α∈I,c∈p
−1
α
(Cα)siys´olo sic∈
T
α∈I
hCαi. Esto establece(a);(b)se prueba
de manera similar a(a),y(c)se sigue de(a)y(b)usando el Teorema 3.43.
Ejercicios 4.3
1. Muestre que existe una correspondencia biyectiva entreA×ByB×A.
2. SeaA×B×Cel producto cartesiano de tres conjuntos tal como fue
definido en la Secci´on 3.2, y sea (A×B×C)
0
el producto cartesiano de
lostresmismosconjuntoscomofuedefinido en esta secci´on. Pruebe que
existe una biyecci´onf:A×B×C→(A×B×C)
0
.
3. Justifique los ejemplos 4.63, 4.64 y 4.65.
4. Pruebe el rec´ıproco del Ejemplo 4.64.
5. (a) Demuestre que existen biyecciones entreA×(B×C)y(A×B)×C.
(b) Muestre que sin>1, entonces hay una funci´on biyectiva de
A
1×A2×···×A nen (A 1×A2×···×A n−1)×A n.

79. 68 4. Relaciones y Funciones
(c) SeaIun conjunto de ´ındices. PongamosI=J∪K, dondeJyK
son ajenos y no vac´ıos. Pruebe que existe una funci´on biyectiva de
Q
α∈I
Aαen
Q
α∈J
Aα×
Q
α∈K
Aα.
6. SeaI6 =∅un conjunto de ´ındices. Considere dos familias indizadas
{A
α}
α∈I
y{B α}
α∈I
. Demuestre lo siguiente:
(a) SiA
α⊆Bαpara cadaα∈I, entonces
Y
α∈I
Aα⊆
Y
α∈I
Bα.
(b) El rec´ıproco de (a) se cumple si
Q
α∈I
Aα6 =∅.
7. Pruebe que si{A
α}
α∈I
es una familia indizada de conjuntos no vac´ıos,
entonces para cualquier conjuntoXy cualquier familia{f
α}de funciones
f
α:X→A α, existe una ´unica funci´on
f:X→
Y
α∈I
Aα
tal que para cadaα∈I,f α=pα◦f. Las funcionesf αse llaman funciones
coordenadas def, y a vecesfse denota por (f
α)α∈Io
Q
f α(ver Ejercicio
4.2.9).
8. Seanm, nenteros positivos y seaX6 =∅.
(a) Param≤n, encuentre una funci´on inyectivaf:X
m
→X
n
.
(b) Encuentre una funci´on biyectivag:X
m
×X
n
→X
m+n
.
(c) Encuentre una funci´on inyectivah:X
n
→X
N
.
(d) Encuentre una funci´on biyectivak:X
n
×X
N
→X
N
.
(e) Encuentre una funci´on biyectival:X
N
×X
N
→X
N
.
(f) SiA⊆B, encuentre una funci´on inyectivam:X
A
→X
B
.
9. Pruebe el Teorema 4.67.
10. Pruebe las partes (b) y (c) del Corolario 4.68.
11. Demuestre que
Q
α∈I
Aα\
Q
α∈I
Bα=
S
α∈I
Qα, donde cadaQ βes un
producto cuyo factorα6 =βesA
α,yelβ-´esimo factor esA β\Bβ.

80. 4.4. Equivalencias y Particiones 69
12. ¿Cu´ales de los siguientes subconjuntos deR
N
pueden ser expresados
como el producto cartesiano de subconjuntos deR?
(a){x=(x
n)
∞
n=0
:xnes entero para cadan∈N},
(b){x=(x
n)
∞
n=0
:xn≥npara cadan∈N},
(c){x=(x
n)
∞
n=0
:xnes un entero para cadan≥100},
(d){x=(x
n)
∞
n=0
:x2=x3}.
4.4 Equivalencias y Particiones
En esta secci´on abordaremos dos importantes conceptos. Las nociones de
relaci´on de equivalencia y de clases de equivalencia, que fueron primeramente
estudiadas en su plena generalidad por Frege [F
3] en 1884.
Definici´on 4.69SeaRuna relaci´on enA.
(a)Res llamadareflexiva enA,si para todoa∈A,aRa.
(b)
2
Res llamadasim´etrica enA,si para todoa, b∈A,aRbimplicabRa.
(c)Res llamadatransitiva enA,si para todoa, b, c∈A,aRbybRc
implicaaRc.
Definici´on 4.70Una relaci´onRse llamade equivalencia enA,si es reflexiva
sim´etrica y transitiva enA.
Generalmente una relaci´on de equivalencia enAse denota porE,≡,
∼
=,
≈,o∼. Cuando dos elementosa, b∈AsatisfacenaEbse dice queaesE-
equivalente aboqueaes equivalente abm´oduloE.ObservequesiEes
una relaci´on de equivalencia enAentonces el dominio deEes igual aA;en
efecto, la reflexividad implica que para cualquiera∈A,(a, a)∈E,esdecir,
a∈dom E. Por otro lado comoEes una relaci´on enA, entoncesE⊆A×A,
por lo quedom E⊆A. Por lo tanto,dom E=A.
Ejemplo 4.71Cada una de las relaciones siguientes satisfacen exactamente
dos de las propiedades de la Definici´on 4.69 y, por tanto, no son de equivalencia.
(a) La relaci´onI
2
=
©
(x, y)∈R
2
:0≤x≤1,0≤y≤1
ª
enR,no es
reflexiva.
(b) La relaci´onR
1=
©
(x, y)∈R
2
:x≤y
ª
enR,no es sim´etrica.
(c) La relaci´onR
2=
©
(x, y)∈R
2
:|x−y|≤1
ª
enRno es transitiva.
2
a, b∈Asignificaa∈Ayb∈A.

81. 70 4. Relaciones y Funciones
Ejemplo 4.72La relaci´on vac´ıaenunconjuntoAes sim´etrica y transitiva,
pero no reflexiva salvo queA=∅.
Ejemplo 4.73SeaPel conjunto de todas las personas que viven en la tierra.
Decimos que una personapes equivalente aq(p
∼
=q)si ambospyqviven
en el mismo pa´ıs. Trivialmente
∼
=es reflexiva, sim´etrica y transitiva enP.
Note que el conjuntoPdel ejemplo anterior puede ser “partido” en clases de
elementos mutuamente equivalentes; toda la gente que vive en M´exico forman
una de estas clases, todas las personas que viven en Francia forman otra clase,
etc. Todos los miembros de una misma clase son equivalentes. Las clases de
equivalencia corresponden exactamente a los diferentes pa´ıses.
Ejemplo 4.74Defina la relaci´on≡en el conjunto de los enterosZcomo
sigue:x≡ysi y s´olo siy−xes divisible
3
por 2.Se puede verificar f´acilmente
que≡cumple (a), (b) y (c) de la Definici´on 4.69, es decir,≡es una equiva-
lencia.
Nuevamente el conjuntoZ, puede ser dividido en clases de equivalencia bajo
≡. En este caso, hay dos clases de equivalencia: el conjunto de los enteros pares
y el conjunto de los enteros impares. Cualesquiera dos pares o cualesquiera dos
impares est´an relacionados, pero nunca un par est´a relacionado con un impar.
Losejemplosanterioresreflejan una regla general; una relaci´on de equi-
valencia en un conjuntoAgenera una partici´on del conjuntoAen clases de
equivalencia; rec´ıprocamente, dada una partici´on enAhay una equivalencia
enAdeterminada por la partici´on deA.
Definici´on 4.75SeaEuna equivalencia enAyseaa∈A.Laclase de
equivalencia deam´oduloEes el conjunto
[a]={x∈A:xEa}.
Obs´ervese que efectivamente lo que hemos llamado clase de equivalencia de
a, es un conjunto. Por el peso de la tradici´on hist´orica llamamos clase a [a],
aqu´ıel t´erminoclasees diferente al usado en la Convenci´on 2.5. Es conveniente
tambi´en notar que para todoa∈A,[a]6 =∅, pues al menosa∈[a].
Cuando se trabaja con varias relaciones en un mismo conjuntoA, es preferi-
ble emplear la notaci´onEapara denotar la clase de equivalencia deam´odulo
E.
3
mes divisible pornsi existek∈Ztal quem=k·n.

82. 4.4. Equivalencias y Particiones 71
Ejemplo 4.76EnZse define la congruencia m´oduloncomoa≡bmodnsi
ys´olo sib−aes divisible porn.≡es una relaci´on de equivalencia y la clase
de equivalencia dea∈Zes el conjunto{a+kn:k∈Z}.
Lema 4.77SeanEuna equivalencia enAya, b∈A.
(a)aes equivalente abm´oduloEsi y s´olo si[a]=[b].
(b)ano es equivalente abm´oduloEsi y s´olo si[a]∩[b]=∅.
Demostraci´on:
(a)Sup´ongase queaEb.Seax∈[a], entoncesxEayaEb. Por la transitividad
deE,xEb,loquesignificax∈[b].Similarmentex∈[b]implicax∈[a]. As´ı,
[a]=[b].
(b)Supongamos que no ocurreaEb, y que existex∈[a]∩[b]. Entonces
xEayxEb, y en virtud de la reflexividad y transitividad deE,aEb.Esto
contradice el supuesto.
Por ´ultimo supongamos que [a]∩[b]=∅.SiocurrieraaEb, entoncesa∈[b].
Peroa∈[a], lo que contradice la relaci´on [a]∩[b]=∅.
Definici´on 4.78Una familia de conjuntosFno vac´ıos se llamapartici´on de
Asi:
(a) Los conjuntos que formanFsonajenosdosados,esdecir,C, D∈F
yC6 =DimplicaC∩D=∅.
(b) La uni´on deFesA,es decir,A=
S
F.
Definici´on 4.79SeaEuna relaci´on de equivalencia enA.La familia de todas
las clases de equivalencia m´oduloEes denotada porA/Ey
A/E={[a]:a∈A}.
Usualmente aA/Ese le llamaconjunto cociente deApor la relaci´onE.
Teorema 4.80SeaEuna equivalencia, entoncesA/Ees una partici´on de
A.
Demostraci´on:
La parte (a) de la Definici´on 4.78 se sigue del Lema 4.77: si [a]6 =[b], entonces
aybno son equivalentes m´oduloE,as´ı[a]∩[b]=∅. Para probar (b), note que
A=
S
A/Eporquea∈[a] para cadaa∈A.Adem´as, por la misma raz´on, no
hay clases de equivalencia vac´ıas.

83. 72 4. Relaciones y Funciones
Definici´on 4.81SeaFuna partici´on deA.La relaci´onE Fdeterminada por
Fes definida por:
E
F={(a, b)∈A×A:∃B∈Ftal quea, b∈B}.
La definici´on de la relaci´onE
Fpuede hacerse en otras palabras:a, b∈A
est´anE
F-relacionados si y s´olo si ellos pertenecen al mismo elemento de la
partici´onF.
Teorema 4.82SeaFuna partici´on deA.EntoncesE
Fes una relaci´on de
equivalencia enA.
Demostraci´on:
(a)Reflexividad. Seaa∈A. Puesto queA=
S
F, entonces existeC∈Ftal
quea∈C,as´ı;(a, a)∈E
F.
(b)Simetr´ıa. Sup´ongase que (a, b)∈E
F,entoncesexisteC∈Ftal que
a∈Cyb∈C. Por lo cualb∈Cya∈C;locualimplica(b, a)∈E
F.
(c)Transitividad. Supongamos que (a, b)∈E
Fy(b, c)∈E F, entonces exis-
ten conjuntosC, D∈Ftales quea, b∈Cyb, c∈D. Como los elementos deF
son mutuamente ajenos entoncesD=C,porloquea, c∈Dyas´ı(a, c)∈E
F.
El siguiente teorema, que establece la relaci´on entre equivalencias y parti-
ciones, se demuestra de modo an´alogo.
Teorema 4.83(a) SiEes una relaci´on de equivalencia enAyF=A/E,
entoncesE=E
F.
(b) SiFes una partici´on deAyE
Fes la correspondiente relaci´on de
equivalencia determinada porF,entoncesF=A/E
F.
As´ılas relaciones de equivalencia y las particiones son dos descripciones
diferentes del mismo concepto. Toda equivalenciaEdetermina una partici´on
F=A/E. La equivalenciaE
Fdeterminada por la partici´onF=A/Ees
id´entica a la original. Rec´ıprocamente, cada partici´on determina una relaci´on
de equivalencia; cuando formamos las clases de equivalencia m´oduloE
F,re-
cobramos la partici´on original.
Cuando trabajamos con equivalencias o particiones, es muy conveniente
tener un conjunto que consista precisamente de un elemento de cada clase
de equivalencia.
Definici´on 4.84SeaEuna relaci´on de equivalencia enA.Un conjuntoX⊆
Aes llamadoconjunto de representantes para las clases de equivalencia m´odulo

84. 4.4. Equivalencias y Particiones 73
E(o para una partici´onF),si para todoC∈A/E(C∈F),X∩C={a}
para alg´una∈C.
Ejemplo 4.85Para la relaci´on de equivalencia definida en el Ejemplo 4.73, el
conjuntoXde los presidentes o jefes de estado de cada pa´ıs son un conjunto de
representantes. El conjuntoX={0,1}lo es para la relaci´on de equivalencia
del Ejemplo 4.74.
¿Cualquier partici´on tiene un conjunto de representantes? Intuitivamente
la respuesta es s´ı, pero, nuevamente, sin el Axioma de Elecci´on, es imposible
probar tal afirmaci´on. Es decir, necesitamos usar el Axioma de Elecci´on para
demostrarlaexistenciadeunconjuntode representantes, salvo para relaciones
simples. En el siguiente ejemplo se muestra una relaci´on de equivalencia para
la cual la existencia de un conjunto de representantes no es obvia.
Ejemplo 4.86SeaI={x∈R:0≤x≤1}.La relaci´on≡definida pora≡
bsi y s´olo si la diferenciaa−bes un n´umero racional, es una relaci´on de
equivalencia.
4
Definici´on 4.87SeanAun conjunto yEuna relaci´on de equivalencia enA.
La funci´on que asigna a cada elemento deAsu clase de equivalencia m´odulo
E, es decir,p
E:A→A/Etal quep E(a)=Ea,se llamafunci´on proyecci´on
oproyecci´on natural.
El quep
E:A→A/Esea una funci´on puede deducirse del Lema 4.77; en
efecto, paraa∈A,(a, Eb)∈p
Ey(a, Ec)∈p Eimplicaa∈Ebya∈Eccon
lo cualEb∩Ec6 =∅;as´ıEb=Ec.Claramentep
Ees una funci´on sobreyectiva,
pero en general no es inyectiva (puesto queEa=Ebsiempre queaEb).
Definici´on 4.88SeanA, Bdos conjuntos y seanR, Srelaciones de equiva-
lencia enAyenB,respectivamente. Una funci´onf:A→Bpreserva las
relacionesRyS,siaRbimplicaf(a)Sf(b).
Teorema 4.89Seaf:A→Buna funci´on que preserva las relacionesRy
S. Entonces existe una ´unica funci´onf
∗:A/R→B/Stal quep S◦f=f ∗◦pR.
Af
∗se le llama funci´on inducida porfen “el paso al cociente”.
4
Este ejemplo se debe a Vitali [V] quien prob´o que ninguno de los conjuntos de repre-
sentantes de la relaci´on definida en el ejemplo es medible seg´un Lebesgue (ver Ejemplo 8.18).

85. 74 4. Relaciones y Funciones
Demostraci´on:
Definamosf
∗:A/R→B/Scomof ∗(Ra)=Sf(a) para cadaRa∈A/R.
Veamos primero quef
∗est´abiendefinida. La funci´onf ∗asigna aRael ´unico
(por el Lema 4.77) elementoSb∈B/Stal quef(a)∈Sb.As´ıentonces, para
ver quef
∗est´abiendefinida es suficiente con mostrar que la claseSf(a)no
depende del representanteaseleccionado. SiRa=Ra
0
, por el Lema 4.77,
aRa
0
. Puesto quefpreserva relaciones, tenemos quef(a)Sf(a
0
). Por lo tanto,
f
∗est´aun´ıvocamente definida. El dominio def ∗esA/Rya queAes el dominio
defyp
Res sobreyectiva.
Por otro lado,
(p
S◦f)(a)=p S(f(a)) =Sf(a)=f ∗(Ra)=f ∗(pR(a)) = (f ∗◦pR)(a),
lo cual significa quep
S◦f=f ∗◦pR(v´ease el Lema 4.35). Finalmente,
f
∗es ´unica puesto quep Res sobreyectiva: sig ∗fueraotrafunci´on tal que
p
S◦f=g ∗◦pR,entoncesf ∗◦pR=g∗◦pRy, por el Teorema 4.49(e),f ∗=g∗.
Por lo tanto, quef
∗es ´unica.
El rec´ıproco del teorema anterior tambi´en es v´alido, esto es: sif:A→B
yf
0
:A/R→B/Sson funciones tales quep S◦f=f
0
◦pR,entoncesf
necesariamente preserva las relaciones, yf
0
=f∗. En efecto, supongamos que
fyf
0
son dos funciones tales quep S◦f=f
0
◦pR.Seana, a
0
∈Acon
aRa
0
,entoncesp R(a)=p R(a
0
) y puesto quep S◦f=f
0
◦pR, tenemos que
(p
S◦f)(a)=(p S◦f)(a
0
). Esto muestra quef(a)Sf(a
0
) y prueba quefpreserva
las relaciones. Quef
0
=f∗se sigue de la unicidad def ∗en el teorema anterior.
Ejemplo 4.90SeanA=B=Z.SeaRla congruencia m´odulo 4 y sea
Sla congruencia m´odulo 2 del Ejemplo 4.76. Entoncesf:A→Bdada
porf(n)=n,preserva las relaciones. Usando el conjunto de representantes
{0,1,2,3}paraA/Ry{0,1}paraB/S,es f´acil verificar quef
∗(0) =f ∗(2) = 0
yf
∗(1) =f ∗(3) = 1.
Muchas de las aplicaciones de las relaciones de equivalencia en matem´aticas
est´an en la direcci´on de formular nociones matem´aticas, o como usualmente
se dice, formalizar las definiciones por abstracci´on. La esencia de esta t´ecnica
es definir una noci´on como el conjunto de todos los objetos los cuales se de-
sea tengan la cualidad para la noci´on. Por ejemplo, en un cap´ıtulo posterior
definiremos un concepto extremadamente necesario en las matem´aticas, como
es el de n´umero real. La t´ecnica en este caso particular ser´adefiniendo rela-
ciones de equivalencia, primero en el conjunto de los n´umeros naturales, des-
pu´es en el conjunto cociente, y m´as a´un, en el “cociente del cociente” para

86. 4.4. Equivalencias y Particiones 75
llegar a definir los n´umeros racionales yfinalmente definir otra relaci´on de
equivalencia para llegar a definir “un n´umero real”.
Ejercicios 4.4
1. SeaXun conjunto. Pruebe que la relaci´on⊆enP(X)essiemprere-
flexiva y transitiva. Pruebe tambi´en que es sim´etrica si y s´olo siX=∅.
2. Aqu´ıdamos una “demostraci´on” de que toda relaci´onRen un conjunto
Aqueesalavezsim´etrica y transitiva, es tambi´en reflexiva: “ComoR
es sim´etrica,aRbimplicabRa.Ahora,dadoqueRes transitiva,aRby
bRajuntas implicanaRa, como se deseaba.” Encuentre el error de este
argumento.
3. Pruebe que una relaci´onEenAes de equivalencia si y s´olo siId
A⊆E,
E=E
−1
yE=E◦E.
4. SiRes una relaci´on reflexiva y transitiva enA=dom R,muestreque
E=R∩R
−1
es una relaci´on de equivalencia enA.
5. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.71.
6. Verifique las afirmaciones del Ejemplo 4.76.
7. Considere la relaci´onEenR
2
definida por
E=
©
((x
1,y1),(x2,y2)) :y 1−(x1)
2
=y2−(x2)
2
ª
.
Muestre queEes una relaci´on de equivalencia y describa las clases de
equivalencia m´oduloE.
8. SeanEyE
0
lassiguientesrelacionesenR:
E={(x, y):y=x+1} ,E
0
={(x, y):y−x∈Z}.
(a) Muestre queE
0
es una relaci´on de equivalencia enRyqueE⊆E
0
.
(b) Describa las clases de equivalencia m´oduloE
0
.
(c) ¿EsEuna relaci´on de equivalencia?
9. Seaf:X→Yuna funci´on. Muestre que:

87. 76 4. Relaciones y Funciones
(a)E f={(x, y):f(x)=f(y)}es una relaci´on de equivalencia enX.
(b) Las clases de equivalencia m´oduloE
fson precisamente los conjun-
tosf
−1
({y})paray∈f(X).
10. Seanf:A→Buna funci´on yEuna relaci´on de equivalencia enB.
Pruebe que
f
←
(E)=
©
(x, y)∈A
2
:f(x)Ef(y)
ª
es una relaci´on de equivalencia enA.
11. Para relacionesR,SenAyB, respectivamente, definaR×SenA×B
por
R×S={((a, b),(c, d)) :aRc∧bSd}.
SiR,Sson relaciones de equivalencia, pruebe queR×Ses una relaci´on
de equivalencia enA×B.
12. SeanSyRrelaciones de equivalencia enA,conS⊆R.Defina
R/S=
©
(Sa,Sb):∃a
0
∈Sa,∃b
0
∈Sbtales que (a
0
,b
0
)∈R
ª
.
Muestre queR/Ses una relaci´on de equivalencia en el conjunto cociente
A/Sy que hay una biyecci´on de (A/S)/(R/S)enA/R. (Sugerencia:
demuestre primero queS
a⊆R apara cadaa∈A. Para construir la
biyecci´on use 4.89.)
13. Demuestre que una relaci´onRenAes de equivalencia si y s´olo si existe
una partici´on{A
α}
α∈I
deAtal que
R=
[
{A
α×Aα:α∈I}.
M´as a´un, los conjuntosA
αson precisamente las clases de equivalencia
m´oduloR.
14. Pruebe que siAes un conjunto yEes una relaci´on de equivalencia en
A, entoncesA/Ees un conjunto.
15. SeanAyBdos particiones deX. Demuestre que la condici´onE
A⊆EB
es equivalente a: cualquier conjuntoA∈Aes la uni´on de una familia
A
0
⊆B.
16. SeaI={x∈R:0≤x≤1}.ParaX⊆Iden´otese porX(r)elconjunto
de n´umeros pertenecientes aIque tienen la formax+r+n, donde
x∈Xynes un n´umero entero. Demuestre que, siZes un conjunto de
representantes para la relaci´on≡definida pora≡bsi y s´olo sia−b∈Q
entonces:

88. 4.5.
´
Ordenes 77
(a)Z(r)∩Z(s)=∅para cualesquiera n´umeros racionalesr, sconr6 =s.
(b)I=
S
r∈Q
Z(r).
17. Muestre que siMesunafamilianovac´ıa de relaciones de equivalencia
enA,entonces
T
Mes una relaci´on de equivalencia enA.
18. Preservando la notaci´on del Ejercicio 17 pruebe que existe una relaci´on
de equivalenciaEenAtal que
(a)R∈MimplicaR⊆E,
(b) siE
0
es una relaci´on de equivalencia enAy∀R∈M,R⊆E
0
,
entoncesE⊆E
0
.
19. SiM={E
A,EB}, describa
S
Mylarelaci´onEcuya existencia se
asegura en el ejercicio anterior.
4.5
´
Ordenes
Otro de los conceptos fundamentales en matem´aticas es el concepto de orden en
un conjunto. Un orden puede ser definido como una relaci´on con caracter´ısticas
especiales.
Definici´on 4.91Una relaci´onRenAes antisim´etricasiparatodoa, b∈A,
aRbybRaimplicaa=b.
Definici´on 4.92Una relaci´onRenA,que es reflexiva, antisim´etrica y tran-
sitiva se llama orden (parcial) enA.El par (A, R) se le llama conjunto (par-
cialmente) ordenado.
Primero note que el dominio de un orden enAesA.AaRbse le puede leer
como: “aes menor o igual queb”, “bes mayor o igual quea”, “aprecede a
b”o“bes sucesor dea” (en el ordenR). As´ı,todoelementodeAes menor
(mayor) o igual a s´ımismo. Generalmente se usan los s´ımbolos≤,¹,¿,para
denotar ´ordenes.
Ejemplo 4.93La relaci´on vac´ıa∅,en cualquier conjuntoAno es un orden,
salvo queA=∅.
Ejemplo 4.94Dado un conjuntoA,la relaci´on identidad es un orden.
Ejemplo 4.95Si≤es el orden usual en el conjunto de los n´umeros reales,
entonces≤es un orden seg´un la Definici´on 4.92.

89. 78 4. Relaciones y Funciones
Ejemplo 4.96La relaci´on definida porm|nsi y s´olo simdivide an,es un
orden en el conjunto de los n´umeros enteros positivos.
Ejemplo 4.97SiXes un conjunto, la contenci´on de conjuntos es un orden
enP(X).
Ejemplo 4.98La relaci´on de pertenencia∈
Arestringida a un conjuntoAno
es un orden, pues no es reflexiva (ver Definici´on 4.25 y Teorema 2.33).
Ejemplo 4.99SeaCel conjunto de los n´umeros complejos (z=a+ibcon
a, b∈R), y definamosz
1¹z2si y s´olo sikz 1k≤kz 2k,donde≤es el
orden usual de los n´umeros reales ykzk=
√
a
2
+b
2
.Entonces la relaci´on¹
es reflexiva y transitiva, pero no antisim´etrica. Por lo tanto, no es un orden
parcial enC.A las relaciones como¹que son reflexivas y transitivas se les
llamapre-´ordenes.
Algunas veces es conveniente modificar una relaci´on de orden como sigue:
en lugar de la relaci´on≤entre n´umeros, se puede preferir el uso de la relaci´on
<(estrictamente menor). Similarmente, se usar´a⊂(subconjunto propio) en
lugar de⊆, es decir,A⊆ByA6 =B.
Definici´on 4.100Una relaci´onSenAesasim´etricasi para todoa, b∈A,
aSbimplica que no ocurrebSa.Es decir, (a, b)y(b, a) no pueden ser ambos
elementos deS.
Definici´on 4.101Una relaci´onSenAes un orden estricto, si es asim´etrica
ytransitiva.
Ejemplo 4.102Para cualquier conjuntoA,larelaci´on∅es un orden estricto
enA.
Teorema 4.103(a) SeaRun orden enA, entonces la relaci´onSdefinida en
AporaSbsi y s´olo siaRbya6 =b, es un orden estricto enA.
(b) SeaSun orden estricto enA, entonces la relaci´onRdefinida enA
poraRbsi y s´olo siaSboa=bes un orden enA.
As´ıpodemos decir que los ´ordenes estrictosScorresponden a ´ordenesRy
viceversa.
Ejemplo 4.104SeanA6 =∅yS=∅.Entonces el ordenRobtenido en el
teorema anterior es la relaci´on identidad,Id
A.
Obs´ervese que siRes un orden enAno necesariamente para cualesquiera
a, b∈A,ocurrequeaRbobRa,a´un cumpli´endose quedom R=A.

90. 4.5.
´
Ordenes 79
Definici´on 4.105Seana, b∈Aysea≤un orden enA.Decimos queayb
soncomparables en el orden≤(o que son≤-comparables)si:
a≤bob≤a.
Decimos queaybson≤-incomparablessi no son≤-comparables. Similar-
mentesedefine para un orden estricto<las nociones de<-comparables y
<-incomparables; por ejemplo,aybson<-comparables si;a<b,a=bo
b<a.
Ejemplo 4.106Cualesquiera dos n´umeros reales son comparables en el orden
usual≤.
Ejemplo 4.1072 y 3 son incomparables en el orden|del Ejemplo 4.96.
Ejemplo 4.108Cualesquieraa, b∈Xcona6 =bson incomparables en el
ordenId
X.
Ejemplo 4.109SiAtiene al menos dos elementos, entonces hay elementos
incomparables en el conjunto ordenado (P(A),⊆).
Definici´on 4.110Un orden≤(o<)esllamadolinealototalsi cualesquiera
dos elementos deAson comparables. El par (A,≤)esentoncesllamadocon-
junto linealmenteototalmente ordenado.
5
Ejemplo 4.111El orden usual≤en los n´umeros enteros es lineal, mientras
que|no lo es.
Ejemplo 4.112Sean (A,≤)y(B,¹) dos conjuntos linealmente ordenados,
entonces definiendo enA×Blas siguientes relaciones tenemos ordenes lineales
paraA×B.La primera llamada orden lexicogr´afico vertical es:(a
1,b1)¿v
(a2,b2)siys´olo si (a 1<a2)o(a 1=a2yb1¹b2).La segunda, el orden
lexicogr´afico horizontal:(a
1,b1)¿h(a2,b2)siys´olo si (b 1<b2)o(b 1=b2y
a
1≤a2).
Ejemplo 4.113El conjuntoCde los n´umeros complejos con cualquiera de
los ´ordenes lexicogr´aficos es totalmente ordenado.
6
5
Lor ´ordenes lineales fueron considerados originalmente por Cantor [C1]. Los ´ordenes
parciales fueron introducidos por Hausdorff[H
4].
6
Esto no quiere decir que los n´umeros complejos sean un campo ordenado; de hecho, eso
es imposible. Para la definici´ondecampoordenadovealap´agina 206.

91. 80 4. Relaciones y Funciones
Definici´on 4.114SeaB⊆A, dondeAest´a ordenado por≤.Bes unacadena
en(A,≤) si cualesquiera dos elementos deBson≤-comparables.
Por ejemplo el conjunto de todas las potencias de 2,
©
2
0
,2
1
,2
2
,...
ª
,es una
cadena en el conjunto de los enteros positivos ordenado por divisibilidad.
Es evidente que un orden parcial (respectivamente total) induce un orden
parcial (respectivamente total) en cualquier subconjunto; as´ı, una cadena en
un conjunto ordenado (A,≤) es un subconjunto totalmente ordenado en el
orden inducido.
Definici´on 4.115Sea≤un orden enA,yseaB⊆A.
(a)b∈Bes elelemento m´ınimo deBen el orden≤,si para todox∈B,
b≤x.
(b)b∈Bes unelemento minimal deBen el orden≤,si no existex∈B
tal quex≤byx6 =b.
(c)b∈Bes elelemento m´aximo deBen el orden≤,si para todox∈B,
x≤b.
(d)b∈Bes unelemento maximal deBen el orden≤,si no existex∈B
tal queb≤xyx6 =b.
Obs´ervese el empleo del art´ıculoelen las partes(a)y(c),yelempleodel
art´ıculounen las partes(b)y(d). Esta diferencia en el empleo de los dife-
rentes art´ıculos es necesaria. Primeramente, en virtud de la antisimetr´ıa, los
elementos m´ınimo y m´aximo (si existen) son ´unicos; no sucede as´ıcon los
minimales y maximales. La raz´on es que la definici´on de m´ınimo y m´aximo
implica que estos elementos son comparables con todo elemento deB,mientras
que las definiciones de minimal y maximal no implican que estos elementos
(si existen) necesariamente deban ser comparables con cualquier elemento de
B. De hecho, cuando un conjuntoBtiene dos elementos maximales, estos son
incomparables.
7
Veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 4.116SeaZ
+
el conjunto de todos los enteros positivos ordenado
por|.Entonces 1 es el elemento m´ınimo deZ
+
,peroZ
+
no tiene elemento
m´aximo. SiB=Z
+
\{1},entoncesBno tiene elemento m´ınimo en el orden
|(2 no es el m´ınimo porque 2|3 falla); pero este conjunto tiene muchos
(infinitos) elementos minimales, a saber, 2,3,5,7,etc. (exactamente todos
los n´umeros primos) son minimales.Bno tiene ni m´aximo ni maximales.
7
En castellano no se emplean las palabras maximal y minimal. Algunas traducciones
prefieren utilizar los t´erminos “elemento m´aximo” y “elemento m´ınimo”comonombrespara
tales conceptos; “m´aximo” y “m´ınimo”paraelelementom´aximo y m´ınimo. Creemos que la
terminolog´ıaaqu´ıempleada evita confusiones.

92. 4.5.
´
Ordenes 81
Ejemplo 4.117SeaAcualquier conjunto con el orden dado por la relaci´on
identidad,Id
A.SiB⊆Aentonces cualquier elemento deBes tanto minimal
como maximal.
En el siguiente teorema se encuentran algunas propiedades de los elementos
m´ınimo y minimal. La demostraci´on se deja como un ejercicio.
Teorema 4.118SeanAordenado por≤,yB⊆A.
(a)Btiene a lo m´as un elemento m´ınimo.
(b) El elemento m´ınimo deB(si existe) es tambi´en minimal.
(c) SiBes una cadena, entonces todo elemento minimal deBes tambi´en
un m´ınimo.
El teorema es tambi´en v´alido si las palabras “m´ınimo” y “minimal” son
reemplazadas por “m´aximo” y “maximal”, respectivamente.
Definici´on 4.119Sean≤un orden enAyB⊆A.
(a)a∈Aes unacota inferior deBen el conjunto ordenado (A,≤),si
a≤xpara todox∈B.
(b)a∈Aes llamado´ınfimo deBen (A,≤)(om´axima cota inferior), si es
el elemento m´aximo del conjunto de todas las cotas inferiores deBen (A≤).
(c)a∈Aes unacota superiordeBen el conjunto ordenado (A,≤),si
x≤apara todox∈B.
(d)a∈Ase llamasupremo deBen (A,≤)(om´ınima cota superior), si es
el elemento m´ınimo del conjunto de todas las cotas superiores deBen (A,≤).
La diferencia entre “aes el m´ınimo deB”y“aes una cota inferior de
B”,es que el segundo concepto no requiere quea∈B. Un conjunto puede
tener muchas cotas inferiores; pero el conjunto de todas las cotas inferiores de
Bpuede tener a lo m´as un elemento m´aximo. As´ı,Bpuede tener a lo m´as
un ´ınfimo. Similar observaci´on puede hacerse para m´aximo, cota superior y
supremo. A continuaci´on expresamos formalmente estas ideas.
Teorema 4.120Sean(A,≤)un conjunto ordenado yB⊆A.
(a)Btiene a lo m´as un ´ınfimo.
(b) Sibes el elemento m´ınimo deB,entoncesbes ´ınfimo deB.
(c) Sibes el ´ınfimo deByb∈B,entoncesbes el elemento m´ınimo de
B.
(d)b∈Aes el ´ınfimo deBen(A,≤)si y s´olo si
(i)b≤x,paratodox∈B,y
(ii) sib
0
≤x,paratodox∈B,entoncesb
0
≤b.
El teorema es v´alido si las palabras “m´ınimo” e “´ınfimo” son reemplazadas
por “m´aximo” y “supremo” y “≤” es reemplazado por “≥”en(i)y(ii).

93. 82 4. Relaciones y Funciones
Demostraci´on:
(a)Est´apr´acticamente probada en la observaci´on que precede al teorema.
(b)El m´ınimo elemento deBes ciertamente una cota inferior deB.Sib
0
es
cualquier otra cota inferior deB,b
0
≤bpuesto queb∈B.As´ı,bes el elemento
m´aximo del conjunto de todas las cotas inferiores deB.
(c)Es obvio.
(d)Esta es s´olo una reformulaci´on de la definici´on de ´ınfimo.
Empleando los Teoremas 4.118 y 4.120 podemos usar una notaci´on para de-
notar m´ınimo, m´aximo, ´ınfimo y supremo de un subconjuntoBen un conjunto
ordenado (A,≤). La notaci´on com´unmente empleada es: minB,maxB,infB
ysupB, respectivamente.
Ejemplo 4.121Sea≤el orden usual en el conjunto de los n´umeros reales.
Analicemos los conjuntosB
1={x∈R:0<x<1},B 2={x∈R:0≤x<1},
B
3={x∈R:x>0},B 4={x∈R:x<0}.B 1no tiene elemento m´aximo
ni elemento m´ınimo, pero cualquierb≤0 es una cota inferior; as´ı,0esla
m´axima cota inferior deB
1, es decir, infB 1=0.Similarmente, cualquier
b≥1escotasuperiordeB
1,ysupB 1=1.El conjuntoB 2tiene elemento
m´ınimo,minB
2=0,pero no tiene m´aximo; sin embargo, supB 2=1.El
conjuntoB
3no tiene elemento m´aximo y tampoco tiene supremo; de hecho,
B
3no es acotado superiormente en (R,≤); infB 3=0.Similarmente,B 4no
tiene cotas inferiores y, por tanto, no tiene ´ınfimo.
Ejemplo 4.122Un conjunto puede ser acotado superiormente y no tener
supremo. Consid´ereseX=R\{0}ysea
B={x∈X:xes negativo}.
EntoncesBes acotado superiormente, pero no tiene supremo en el conjunto
ordenado (X,≤),donde≤es el orden usual en los n´umeros reales.
Si tenemos un conjunto ordenadofinito (A,≤), entoncesx<ysi y s´olo si
existe una cadena de la forma
x=x
1<x2<···<x n=y.
El resultado anterior permite representar a cualquier conjunto ordenadofinito
por medio de un diagrama. Los elementos deAson representados por puntos
acomodados acorde con la siguiente regla: el puntox
2es colocado arriba del
puntox
1si y s´olo six 1<x2,y si no existen otros elementos deAque sean

94. 4.5.
´
Ordenes 83
sucesor dex 1y precedan ax 2, los puntos son unidos por un segmento de l´ınea.
As´ı,x<ysi y s´olo si existe una l´ınea quebrada ascendente que conecta axy
y. Algunos ejemplos de tales diagramas son mostrados en lafigura (4.5.1).
(4.5.1)
El primero es el diagrama de una cadena de cinco elementos. Claramente,
el diagrama de cualquier cadena tiene esta forma. El ´ultimo de los diagramas
corresponde al conjunto potencia de un conjunto con tres elementos, ordenado
por la inclusi´on; el punto en el nivel m´as bajo representa al conjunto vac´ıo,
los puntos del siguiente nivel representan los subconjuntos unitarios, y as´ı
sucesivamente. Tales diagramas no s´olo sirven para representar un conjunto
ordenado por unafigura que muestre la relaci´on de orden, tambi´en pueden ser
usados para definir conjuntos ordenados: la relaci´on de orden es justamente la
indicada por la variedad de l´ıneas quebradas.
Para preparar nuestra siguiente definici´on que relaciona conjuntos ordena-
dos, discutiremos un ejemplo. Considere el conjunto
{1,2,3,5,6,10,15,30},
cuyos miembros son los divisores positivos de 30, ordenados por la relaci´on
≤,dondex≤ysi y s´olo sixes m´ultiplo dey.Sedejacomounejercicio
mostrar que el diagrama de este conjunto ordenado es id´entico al diagrama
asociado a los subconjuntos de un conjunto de tres elementos ordenado por
la contenci´on. A pesar de que estos conjuntos ordenados son distintos, ellos
son indistinguibles en su estructura como conjuntos ordenados. Es ciertamente
notable que exista este tipo de relaciones entre dos conjuntos ordenados ya que
cualquier propiedad de uno que sea expresable en t´erminos de su relaci´on de
orden tiene una an´aloga en el otro conjunto. La identidad de los diagramas de
los dos conjuntos ordenados antes mencionados implican, primero: la existencia
de una biyecci´on entre los conjuntos; segundo: que la relaci´on de orden entre
dos elementos de uno de los conjuntos, es la misma que para el correspondiente
par de elementos en el otro conjunto.

95. 84 4. Relaciones y Funciones
Definici´on 4.123Unisomorfismoentre dos conjuntos ordenados (P,≤)y
(Q,¹) es una funci´on biyectivah:P→Qtal que para todop
1,p2∈P,
p
1≤p2si y s´olo sih(p 1)¹h(p 2).
Si existe un isomorfismo entre (P,≤)y(Q,¹),entonces (P,≤)y(Q,¹)son
isomorfosy la biyecci´onhse llamaisomorfismoentre (P,≤)y(Q,¹).
La expresi´on “si y s´olo si” en la definici´on es muy importante. Por ejem-
plo, establece que dos elementos enPson comparables siempre y cuando sus
im´agenes v´ıalabiyecci´on son comparables enQ.Adem´as, dice c´omo deben
compararse dos elementos enPsi sabemos c´omo se comparan sus im´agenes en
Q. En el caso en que se tengan conjuntos linealmente ordenados, el siguiente
teorema nos asegura que el “s´olo si” puede suprimirse en la Definici´on 4.123.
Teorema 4.124Sean(P,≤)y(Q¹)conjuntos linealmente ordenados y sea
h:P→Quna biyecci´on tal queh(p
1)¹h(p 2)siempre quep 1≤p2.Entonces
hes un isomorfismo entre(P,≤)y(Q,¹).
Demostraci´on:
Debemos mostrar que sip
1,p2∈Pconp 16 =p2son tales queh(p 1)¹h(p 2),
entoncesp
1≤p2.Sisuponemosquep 1no es menor quep 2,como≤es un
orden lineal enP,entoncesp
1=p2,obienp 2<p1. Hemos supuesto que
p
16=p2, por lo tanto,p 2<p1. Por hip´otesis esto implica queh(p 2)≺h(p 1),
lo cual es una contradicci´on.
Proposici´on 4.125(a) Si(P,≤)y(Q,¹)son conjuntos ordenados isomorfos
y≤es un orden lineal, entonces¹tambi´en es un orden lineal.
(b) La funci´on identidad es un isomorfismo de(P,≤)en s´ımismo.
(c) Sihes un isomorfismo entre(P,≤)y(Q,¹),entoncesh
−1
es un
isomorfismo entre(Q,¹)y(P≤).
(d) Sifes un isomorfismo entre(P,≤)y(Q,¹)yges un isomorfismo
entre(Q,¹)y(T,¿),entoncesg◦fes un isomorfismo entre(P,≤)y(T,¿).
La parte(a)de la proposici´on anterior puede interpretarse diciendo que si
tenemos dos conjuntos ordenados isomorfos y uno de ellos tiene la propiedad de
ser lineal, entonces el otro tambi´en la tiene. Otras propiedades que se preservan
con isomorfismos pueden encontrarse en los ejercicios. Las partes(b), (c)y
(d)nos dicen que la propiedad “... es isomorfo a ...” es reflexiva, sim´etrica y
transitiva. As´ı, desde el punto de vista de los conjuntos ordenados es indistinto
manipular un conjunto ordenado o un isomorfo a ´el.

96. 4.5.
´
Ordenes 85
Un ejemplo t´ıpico de un conjunto ordenado (parcialmente) es el conjunto po-
tencia ordenado por la contenci´on. El siguiente resultado muestra que cualquier
conjunto ordenado es b´asicamente de este tipo.
Teorema 4.126Todo conjunto ordenado(A,≤)es isomorfo a una familia
indizada de subconjuntos deA, parcialmente ordenada por la contenci´on.
Demostraci´on:
Para cadaa∈A,definamosS
a={x∈A:x≤a}. Entonces la funci´onh:
A→{S
a}
a∈A
definida porh(a)=S averifica la afirmaci´on. En efecto, clara-
mentehes una biyecci´on; adem´as,a
1≤a2si y s´olo sia 1∈Sa2.Porla
transitividad,S
a1
⊆Sa2
. Luego,a 1≤a2si y s´olo siS a1
⊆Sa2
.
Los conjuntosS adefinidos en la demostraci´on anterior son usados con fre-
cuencia.
Definici´on 4.127Si (A,≤) es un conjunto parcialmente ordenado, elseg-
mento inicial determinado pora∈Aes el conjunto
U
a={x∈A:x<a}.
El siguiente tipo de conjunto totalmente ordenado es muy importante.
Definici´on 4.128Un conjunto parcialmente ordenado (W,≤)sellamabien
ordenadosi cada subconjunto no vac´ıoB⊆Wtiene elemento m´ınimo. En
este caso al orden≤se le llamabuen orden.
Cualquier conjunto bien ordenado (W,≤) es totalmente ordenado, puesto
que cada subconjunto{a, b}⊆Wtiene elemento m´ınimo. M´as a´un, el orden
inducido (ver Ejercicio 4.5.9) a un subconjunto de un conjunto bien ordenado
es un buen orden en el subconjunto. Es costumbre referirse al m´ınimo elemento
de un subconjuntoBcomo primer elemento.
Ejemplo 4.129∅es un conjunto bien ordenado.
Ejemplo 4.130Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado. Cualquier con-
juntoB={a
1,a2,...,an}⊆Aes un conjunto bien ordenado con el orden
inducido por≤enB.
Ejemplo 4.131El ordenamiento por inclusi´on enP(X) no es un buen orden
en cualquierXcon m´as de un elemento.

97. 86 4. Relaciones y Funciones
Ejemplo 4.132Sean (W,≤)unconjuntobienordenadoyq/∈W.EnW∪{q}
definimos un buen orden que coincida con≤enWde la manera siguiente:
q¹q,para cadaw∈W,w¹q,yparaw
1,w2∈W,w 1¹w2si y s´olo si
w
1≤w2.Decimos queW∪{q}se forma adjuntando un punto aWcomo
´ultimo elemento. Demostraremos que¹es, en efecto, un buen orden. Para
cadaB⊆W∪{q}no vac´ıo, o bienB={q}oB∩W6 =∅.Enel´ultimo
caso,elprimerelementodeB∩Wen (W,≤) es el primer elemento deBen
(W∪{q},¹). Por lo tanto, (W∪{q},¹)esunconjuntobienordenado.
Cada elementowen un conjunto bien ordenado (W,≤) que tiene un sucesor
enW, tiene unsucesor inmediato; esto es, podemos encontrars∈Wcons6 =w
que satisfagaw≤sytalquening´unc∈W\{s}satisfacew≤c≤s.En
efecto, necesitamos tan s´olo elegirs=min{x∈W:w<x},locualesposible
dado que{x∈W:w<x}6 =∅y(W,≤) es bien ordenado. Sin embargo, a´un
cuando un elementowen un conjunto bien ordenado tenga un predecesor, no
necesariamente tiene un predecesor inmediato. Por ejemplo, siW6 =∅es un
conjunto bien ordenado y no acotado superiormente, entonces adjuntando un
puntoqcomo ´ultimo elemento deWalamaneradelEjemplo4.132,qno tiene
un predecesor inmediato.
Veamos ahora algunos otros tipos importantes de funciones definidas entre
conjuntos ordenados.
Definici´on 4.133Sean (A,≤)y(B,¹) conjuntos linealmente ordenados y
f:A→Buna funci´on.
(a)fse llamacrecientesia
1,a2∈Acona 1≤a2implicaf(a 1)¹f(a 2).
(b)fse llamadecrecientesia
1,a2∈Acona 1≤a2implicaf(a 1)ºf(a 2).
A una funci´on creciente tambi´en se le dicefunci´on que preserva el ordeny
a una funci´on decreciente tambi´en se le dicefunci´onqueinvierteelorden.
Lema 4.134Si(W,≤)es un conjunto bien ordenado yf:W→Wes una
funci´on creciente e inyectiva, entoncesf(x)≥xpara cadax∈W.
Demostraci´on:
Supongamos queX={x∈W:f(x)<x}es no vac´ıoyseaw=minX.Sea
f(w)=z.Comow∈X, z < w,y siendofcrecientesecumplequef(z)<z,
lo cual contradice la elecci´on dew.
Corolario 4.135El ´unico isomorfismo de un conjunto bien ordenado en s´ı
mismo es la identidad.

98. 4.5.
´
Ordenes 87
Demostraci´on:
Por el Lema 4.134, si (W,≤) es un conjunto bien ordenado y
f:W→W
es un isomorfismo, entoncesf(x)≥xyf
−1
(x)≥xpara todox∈W.Esto
implica quef(x)=xpara todox∈W;osea,f=Id
W.
Corolario 4.136Si dos conjuntos bien ordenados son isomorfos, entonces el
isomorfismo es ´unico.
Lema 4.137Ning´un conjunto bien ordenado es isomorfo a un segmento ini-
cial de s´ımismo.
Demostraci´on:
Supongamos que (W,≤) es un conjunto bien ordenado que es isomorfo a uno
de sus segmentos iniciales, y seafel isomorfismo entre ellos. Entonces para
algunau∈W,
f(W)={x∈W:x<u},
luegof(u)<u, que contradice el Lema 4.134.
Finalmente, veamos el resultado m´as relevante sobre conjuntos bien orde-
nados que presentamos en esta secci´on.
Teorema 4.138Si(W
1,≤1)y(W 2,≤2)son dos conjuntos bien ordenados,
entonces exactamente uno de los siguientes tres casos se cumple:
(a)(W
1,≤1)es isomorfo a(W 2,≤2);
(b)(W
1,≤1)es isomorfo a un segmento inicial de(W 2,≤2);
(c)(W
2,≤2)es isomorfo a un segmento inicial de(W 1,≤1).
Demostraci´on:
Parau
i∈Wi(i=1,2), seaW i(ui)={x∈W i:x<u i}el segmento inicial de
W
ideterminado poru i.Sea
f={(x, y)∈W
1×W2:W1(x)esisomorfoaW 2(y)}.
Usando el Lema 4.137, es f´acil ver quefes inyectiva. Sihes un isomorfismo
entreW
1(x)yW 2(y)yx
0
<x,entoncesW 1(x
0
)yW 2(h(x
0
)) son isomorfos; de
aqu´ıse sigue quefes creciente.
Sidom f=W
1yran f=W 2, entonces ocurre el caso(a).

99. 88 4. Relaciones y Funciones
Siy1<2y2yy2∈ranf, entoncesy 1∈ran f.As´ı,siran f6 =W 2yy0=
minW
2\ranf, tenemos queranf=W 2(y0). Necesariamente,dom f=W 1,
de otro modo tenemos (x
0,y0)∈f, dondex 0=minW 1\dom f.As´ı,elcaso
(b)se cumple.
Similarmente, sidom f6 =W
1, entonces se tiene el caso(c).
Por el Lema 4.137, los tres casos considerados son mutuamente excluyentes.
Intuitivamente este resultado puede interpretarse diciendo que los conjuntos
bien ordenados pueden compararse por su “longitud”, un hecho que ser´ade
mucha importancia en lo sucesivo.
Ejercicios 4.5
1. SeaRuna relaci´on reflexiva y transitiva. Defina≈enApora≈bsi y
s´olo si (aRb)y(bRa).
(a) Muestre que≈es una relaci´on de equivalencia enA.
(b) Si¿se define por [a]¿[b]siys´olo siaRb;muestreque(A/≈,¿)
es un conjunto ordenado.
2. Muestre queR⊆A×Aes reflexiva y transitiva si y s´olo siId
A⊆Ry
R◦R=R.
3. SeaR
R
el conjunto de todas las funciones de los n´umeros reales en s´ı
mismos. Pruebe que definiendof¹gsi y s´olo si∀x∈R,f(x)≤g(x),
(R
R
,¹) es un conjunto ordenado.
4. Pruebe el Teorema 4.103.
5. (a) SeaRun orden enA.SeanSel correspondiente orden estricto en
AyR
∗
el orden correspondiente aS.MuestrequeR=R
∗
.
(b) SeaSun orden estricto enA,seaRsu correspondiente orden enA,
yseaS
∗
el orden estricto correspondiente aR. EntoncesS=S
∗
.
Ver Teorema 4.103.
6. Formule las definiciones de elementos incomparable, maximal, minimal,
m´aximo, m´ınimo, supremo e ´ınfimo en t´erminos de ´ordenes estrictos.

100. 4.5.
´
Ordenes 89
7. Pruebe que el Axioma de Fundaci´onesequivalenteaquetodoconjunto
no vac´ıoAtiene un elemento∈
A-minimal.
8. SeaRun orden enA.PruebequeR
−1
es tambi´en un orden enA(se
llamadual deR), y paraB⊆Ase cumple que
(a)aes el m´ınimo elemento deBenR
−1
si y s´olo siaes el m´aximo
elemento deBenR.
(b) Similarmente para minimal y maximal, y supremo e ´ınfimo.
9. SeanRun orden enAyB⊆A.MuestrequeR∩(B×B)esunorden
enB.Esteordensellamaorden inducido porRenB.
10. Muestre que el diagrama correspondiente al conjunto
{1,2,3,5,6,10,15,30}
con el orden inducido por el dual de la divisibilidad en los enteros, es
id´entico al ´ultimo presentado en lafigura (4.5.1).
11. Dar ejemplos de un conjunto ordenadofinito (A, R)yunsubconjunto
B⊆Atales que:
(a)Btiene un elemento m´aximo.
(b)Bno tiene elemento m´ınimo.
(c)Bno tiene m´aximo, peroBtiene supremo.
(d)Bno tiene supremo.
12. Sean (A,≤)y(B,¹) dos conjuntos ordenados conA∩B=∅.Defina¿
como sigue:
x¿ysi y s´olo six, y∈Ayx≤y
ox, y∈Byx¹y
o x∈Ayy∈B.
Muestre que¿es un orden enA∪Byque¿restringido aAes≤,
y¿restringido aBes¹.Intuitivamente¿poneatodoelementode
Bdespu´es de todo elemento deAy coincide con los ordenes originales
enAyB;estaeslaraz´on de que al orden¿se le llamaorden de
yuxtaposici´on.
13. Verifique el Ejemplo 4.112.

101. 90 4. Relaciones y Funciones
14. Sean (A,≤)y(B,¹) dos conjuntos ordenados. Muestre que¿es un
orden parcial enA×B,donde¿se define como (a
1,b1)¿(a 2,b2)si
ys´olo sia
1≤a2yb1¹b2.Elconjuntoordenado(A×B,¿)sellama
producto (cartesiano)de los conjuntos ordenados (A,≤)y(B,¹).
15. SeaFla familia de todas las funciones desdeXhaciaT(ver Ejercicio
4.2.19). Defina la relaci´on≤enFpor
f≤gsi y s´olo sif⊆g.
(a) Pruebe que≤es un orden.
(b) SeaA6 =∅,A⊆F.PruebequesupAexiste si y s´olo siAes
una familia de funciones compatibles. Pruebe adem´as que si supA
existe, entonces supA=
S
A.
16. SeanA6 =∅yPt(A) el conjunto de todas las particiones deA.Defina
una relaci´on≤enPt(A)por:S
1≤S2si y s´olo si para todoB∈S 1,
existeC∈S
2tal queB⊆C.
CuandoS
1≤S2se dice que la partici´onS 1es unrefinamientodeS.
(a) Muestre que≤es un orden.
(b) SeanS
1,S2∈Pt(A). Muestre que{S 1,S2}tiene ´ınfimo. (Sugeren-
cia: definaS={B∩C:B∈S
1,C∈S 2}).
¿C´omoeslarelaci´on de equivalenciaE
Scon respecto a las rela-
ciones de equivalenciaE
S1
yES2
?
(c) SeaT⊆Pt(A),T6 =∅. Muestre que infTexiste.
(d) SeaT⊆Pt(A),T6 =∅. Muestre que supTexiste. (Sugerencia:
seaT
0
el conjunto de todas las particionesScon la propiedad que
cualquier partici´on deTes un refinamiento deS.MuestrequeT
0
6 =
∅yquesupT=supT
0
.)
17. Pruebe el Teorema 4.118.
18. Pruebe la segunda parte del Teorema 4.120.
19. Muestre que en una cadena los conceptos de elemento m´aximo y ele-
mento maximal coinciden, y muestre lo mismo para elemento m´ınimo y
elemento minimal.
20. Un conjunto (parcialmente) ordenado es unaret´ıculasi para cadaa, b∈
A,elconjunto{a, b}tiene supremo e ´ınfimo.

102. 4.5.
´
Ordenes 91
(a) Muestre que (R
R
,¹) como en el problema 3 es una ret´ıcula.
(b) Muestre que (P(A),⊆) es una ret´ıcula.
(c) Muestre que (Z,|) es una ret´ıcula.
(d) Muestre que (Pt(A),≤) es una ret´ıcula.
21. Sea (X,≤) un conjunto totalmente ordenado. Unacortadura deXes un
par de subconjuntosA, Bque satisfacen:(i)X=A∪B,(ii)A∩B=∅
y(iii)a∈A∧b∈B⇒a≤b.SiA, ByA
0
,B
0
son dos cortaduras de
X,pruebequeA⊆A
0
oqueA
0
⊆A.
22. Sea (A,≤) un conjunto ordenado con la propiedad de que todo subcon-
juntonovac´ıo con una cota superior tiene supremo. Pruebe queAtiene
la propiedad de que cualquier subconjunto deAno vac´ıo con una cota
inferior tiene ´ınfimo. A las propiedades anteriores se les llama propiedad
de lam´ınima cota superiory propiedad de lam´axima cota inferior.
23. Si (A,≤) es un conjunto ordenado ya, b∈Acona≤b,sedefine el
intervalo cerrado de extremosa, bcomo el conjunto
[a, b]={x∈A:a≤xyx≤b}.
Pruebe que el conjunto de intervalos cerrados ordenados por la inclusi´on
es isomorfo a un subconjunto del producto de (A,≤) y su dual (A,≤
−1
).
24. Pruebe la Proposici´on 4.125.
25. Muestre quehes un isomorfismo entre (A,≤)y(B,¹)siys´olo sihy
h
−1
preservan el orden.
26. Pruebe por medio de un ejemplo que si (A,≤)y(B,¹) son conjuntos
ordenados yf:A→Bes una biyecci´on que preserva el orden, entonces
f
−1
:B→Ano necesariamente preserva el orden.
27. Muestre que siAes un conjuntofinito, entonces todo orden total enA
es un buen orden.
28. Muestre que un conjunto bien ordenado (W,≤) tiene la propiedad de la
m´ınima cota superior.
29. SeanA, Bconjuntos bien ordenados. Demuestre que los ´ordenes lexi-
cogr´afico vertical y lexicogr´afico horizontal enA×Bson tambi´en buenos
´ordenes.

103. 92 4. Relaciones y Funciones
30. Pruebe el Corolario 4.136.
31. Sea (A,≤) un conjunto bien ordenado. Muestre que no existen una suce-
siones{a
n∈A:n∈N}tales quea n+1≤anyan6 =an+1para toda
n∈N.
4.6 Sobre Clases
Considere la siguiente forma de asignaci´on: A cada par ordenado de conjuntos
(A, B) le podemos asociar de manera ´unica el conjuntoA∪B.Parece claro
que esta regla de asociaci´on permite establecer una funci´on. No obstante, esta
“funci´on” tendr´ıa como dominio el producto cartesiano de la clase de todos los
conjuntos con s´ımisma (clasecomo en la Convenci´on 2.5); por lo que no ser´ıa,
propiamente hablando, una funci´on por no ser un conjunto. Sin embargo, la
regla de asociaci´on cumple la propiedad importante de las funciones, a saber,
(a, b)∈fy(a, c)∈fimplicab=c.
Por esta raz´on, no es mala idea considerar a esta asignaci´on como una “funci´on”
entre clases. Pensada como “funci´on entre clases” la asignaci´on que estamos
considerando quedar´ıaexpresadacomo:
Un:V×V→V
dondeVes la clase de todos los conjuntos yUn(A, B)=A∪B.Deestama-
nera, la uni´on de conjuntos puede ser pensada como una funci´on. La ventaja es
que podemos aprovechar nuestro conocimiento sobre funciones leg´ıtimas para
intuir propiedades generales que, como operaci´on, posea la uni´on de conjuntos.
Ahora bien, pensar enUncomo funci´on requiere que primero tengamos
claro qu´e entendemos porV×V.
SiK
1yK2son dos clases, de manera completamente an´aloga a las defini-
ciones para conjuntos, es posible “definir” la uni´on, intersecci´on, complemento
y producto cartesiano deK
1yK2. Por ejemplo, la uni´on deK 1yK2est´a
dada por
K
1∪K2=hx:(x∈K 1)∨(x∈K 2)i
y el producto cartesiano deK
1yK2est´adadopor
K
1×K2=h(x, y):x∈K 1,y∈K 2i.
Remarcamos que escribimos “definir” porque en realidad no estamos haciendo
una definici´on en nuestra teor´ıa, sino una convenci´on fuera de ella.

104. 4.6. Sobre Clases 93
Habiendo establecido las operaciones elementales entre clases, extender con-
ceptos como los de funci´on, orden y relaci´on de equivalencia a clases ya no debe
presentar dificultades.
Adem´as de que la extensi´on de conceptos a clases puede llegar a ser fruct´ıfera
para intuir propiedades generales sobre conjuntos, esta extensi´on nos permitir´a
mayores posibilidades para expresarnos. Por ejemplo, podemos decir que la
relaci´on “conjuntos ordenados isomorfos” es de equivalencia en la clase de
todos los conjuntos ordenados (que no es un conjunto).
En lo sucesivo emplearemos estas convenciones sobre clases; pero,para no
tener repercusi´on en el formalismo de nuestra teor´ıa, las expresiones que in-
volucren clases deben ser pensadas ´unicamente como abreviaciones para ex-
presiones que no involucren clases. En el ejemplo anterior sobre conjuntos
ordenados isomorfos, formalmente se debe decir: en cualquier familia de con-
juntos ordenados, la relaci´on de isomorfismo es una relaci´on de equivalencia.
Tambi´en, con el af´an de evitar posibles confusiones, distinguiremos las fun-
ciones, ´ordenes y relaciones de equivalencia entre clases, de los respectivos
conceptos para conjuntos escribiendo la palabraclaseentre par´entesis antes
del concepto correspondiente. As´ıescribiremos (clase) funci´on, (clase) orden
parcial, etc.

105. 94 4. Relaciones y Funciones

106. 5
Los N´umeros Naturales
5.1 Introducci´on
Para desarrollar las matem´aticas dentro de la Teor´ıa de Conjuntos, es necesario
definir a los n´umeros naturales.
Para una persona medianamente instruida, el punto de partida obvio de la
matem´atica son los n´umeros naturales
1,2,3,4,...etc.
Probablemente, s´olo a una persona con algunos conocimientos de matem´aticas
se le ocurrir´ıa empezar por el 0 y no por el 1:
0,1,2,3,...,n,n+1,....
El hombre requiri´ounaltogradodecivilizaci´on para tomar as´ıalosn´umeros
naturales como punto de partida. Debe haber pasado largo tiempo para que
alguien descubriera que una pareja de ´aguilas y un par de piedras eran ejem-
plos del n´umero 2. El grado de abstracci´on que ello implica no es f´acil de
adquirir. En la actualidad los n´umeros naturales parecen representar lo m´as
sencillo y conocido de la matem´atica. Sin embargo, conocido no significa bien
comprendido. Hay pocas personas que disponen de una definici´on clara de lo
que es un n´umero natural.
Nosotros intuitivamente conocemos a los n´umeros naturales. El prop´osito
de este cap´ıtulo es suplir esa idea intuitiva por una definici´on rigurosa de lo
que son los n´umeros naturales, as´ıcomo mostrar sus propiedades elementales.
Podemos intentar definir un n´umero, por ejemplo, 2 como “2 es una abs-
tracci´on que es com´un a todos los conjuntos que tienen dos elementos”. Esta
“definici´on”escircular:usalapalabradospara definir al n´umero dos. Una
observaci´on no trivial consiste en que podemos reformular esta “definici´on”
con base a un ejemplo espec´ıfico: 2 es la cualidad com´un a todos los conjuntos
que tienen el mismo n´umero de elementos que{∅,{∅}}. Esta nueva definici´on
se refiere an´umeroen la frase “el n´umero de elementos”.

107. 96 5. Los N´umeros Naturales
La siguiente observaci´on no trivial es que podemos definir la proposici´on
“los conjuntosAyBtienen el mismo n´umero de elementos” sin ning´un
conocimiento previo de la noci´on de n´umero.
Definici´on 5.1Los conjuntosAyBsonequipotentes(tienen la misma car-
dinalidadola misma potencia) si hay una funci´on biyectivafcon dominoA
yrangoB.
La equipotencia tiene propiedades interesantes.
Teorema 5.2(a)Aes equipotente a s´ımismo, para todo conjuntoA.
(b) SiAes equipotente aB,entoncesBes equipotente aA.
(c) SiAes equipotente aByBes equipotente aC,entoncesAes equipo-
tente aC.
Demostraci´on:
(a)Id
Aes una funci´on biyectiva deAen s´ımismo (ver Ejemplo 4.46).
(b)Sif:A→Bes una funci´on biyectiva, entoncesf
−1
:B→Atambi´en
es una funci´on biyectiva.
(c)Sif:A→Byg:B→Cson funciones biyectivas, entoncesg◦f:A→
Ces una funci´on biyectiva.
Aparentemente estamos ya en posici´on de crear una buena definici´on para el
n´umero 2. Con la noci´on de equipotencia podemos reformular la definici´on de
2 como sigue: 2 es aquello com´un a todos los conjuntos equipotentes a{∅,{∅}}.
Falta precisar qu´e es “aquello com´un a todos los conjuntos equipotentes a un
conjunto dadoA”.
Observemos que el Teorema 5.2, asegura que la propiedad “Aes equipotente
aB”esreflexiva, sim´etrica y transitiva; es decir, tiene los atributos de una
relaci´on de equivalencia, salvo por un detalle que m´as adelante el lector ser´a
capaz de deducir con facilidad.
En la Secci´on 4.4 vimos que hay al menos dos maneras de poder representar,
en Teor´ıa de Conjuntos, lo “que es com´un a todos los elementos mutuamente
equivalentes”. Una de estas maneras es usar clases de equivalencia, otra es usar
el conjunto de representantes. Desgraciadamente ambas maneras est´an lejos
de nuestro alcance. Por ejemplo, se puede mostrar que siA6 =∅,el conjunto
de todos los conjuntos equipotentes aA,no existe;esdecir,las“clasesde
equivalencia” de la relaci´on de equipotencia no son conjuntos. Este es el mismo
hecho que nos impide aplicar la segunda forma. Al parecer, si tuvi´eramos en
estos momentos establecido al Axioma de Elecci´on podr´ıamos aplicar ´este a las
clases de equivalencia de la relaci´on de equipotencia y obtener de este modo

108. 5.1. Introducci´on 97
un conjunto de representantes para tal relaci´on;elgranproblemaesqueel
Axioma de Elecci´on (como todos los Axiomas de nuestro sistemaZFC)es
aplicable ´unicamente a objetos de la Teor´ıa de Conjuntos; o sea, a conjuntos.
Aunque pudiera parecer que las consideraciones anteriores est´an lejos de
ayudarnos a dar una definici´on de n´umero natural, eso no es cierto. En primer
lugar, nos han ayudado a tener claro qu´e es lo que pretendemos; por ejemplo,
queremos que 2 caracterice a toda la multitud de conjuntos que tienen la
misma cardinalidad que{∅,{∅}}. En segundo lugar, nos han revelado que es
imposible caracterizar a toda esa multitud de conjuntos. Sin embargo, quiz´a
pudi´eramos realizar esa caracterizaci´onprocediendoalainversa,definiendo
expl´ıcitamente cada n´umero natural como un representante conveniente para
tal multitud de conjuntos; despu´es de todo, eso es lo que pretend´ıamos hacer
al tomar a{∅,{∅}}como par´ametro para definir a 2. La forma de realizar
esa definici´on expl´ıcita se sustenta en la idea intuitiva de que los n´umeros
naturales se van generando uno a partir de otro. Tambi´en, es aqu´ıdonde
sacaremos provecho de empezar la serie de los n´umeros naturales con 0 en vez
de 1.
Empecemos por elegir un representante para el 0. La opci´on de un conjunto
sin elementos es trivial, puesto que existe un ´unico conjunto vacuo,∅.Defi-
namos 0 como el conjunto∅. Busquemos ahora un buen representante para
los conjuntos que tienen s´olo un elemento. Puesto que tenemos ya definido un
objeto en particular, a saber 0, una opci´on natural es definir
1={0}={∅}.
Luego consideremos los conjuntos de dos elementos. Como tenemos definidos
0, 1 y 06 =1podemosdefinir
2={0,1}={∅,{∅}}.
El proceso puede continuar as´ı:
3={0,1,2}={∅,{∅},{∅,{∅}}}
4={0,1,2,3}={∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}}}
5={0,1,2,3,4},etc.
La idea es simplemente definir un n´umero naturalncomo el conjunto de
todos los n´umeros naturales m´as peque˜nos:{0,1,...,n−1};deestemodo,n
es un conjunto particular connelementos.
Desgraciadamente esta idea tiene una deficiencia fundamental. Tenemos
definidos a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y uno puede f´acilmente definir 17 o 324; pero no

109. 98 5. Los N´umeros Naturales
proporciona un enunciado que diga qu´eesunn´umero natural en general. Nece-
sitamos una proposici´on de la forma: “Un conjuntones un n´umero natural
si...”.Nopodemos´unicamente definir un n´umero natural como un conjunto
ntal que sus elementos son todos los n´umero naturales m´as peque˜nos que ´el,
puesto que tal definici´on involucra el concepto que se desea definir. Pero s´ı
podemos usar esto como una “gu´ıa”hacialaabstracci´on de las propiedades
que hacen anun n´umero natural.
Analicemos la forma de construcci´on del n´umero 5. Primero note que los
n´umeros naturales previamente definidos (0, 1, 2, 3 y 4) son subconjuntos
del n´umero natural 5; esto es, sus elementos son subconjuntos de ´el mismo.
Esta no es una propiedad com´un a todos los conjuntos; por ejemplo, el conjunto
{∅,{∅,{∅}}}tiene como elemento al conjunto{∅,{∅}},peroesteconjuntono
es subconjunto de ´el.
Definici´on 5.3Decimos que un conjuntoxestransitivosi para todoy∈x,
yes un subconjunto dex;osea,y⊆x.
El argumento del p´arrafo anterior a la Definici´on 5.3 sugiere que todos
los n´umeros naturales son conjuntos transitivos. Por otro lado, no todos los
conjuntos transitivos son n´umeros naturales: el conjunto{∅,{∅},{{∅}}}es
transitivo y tiene tres elementos pero no es igual al n´umero 3.
Para ver qu´e propiedades distinguen a los n´umeros naturales de los conjuntos
transitivos, regresemos a la idea de un n´umero naturalncomo el conjunto de
todos los n´umeros m´as peque˜nos quen;estosignifica quemes m´as peque˜no
quensi y s´olo sim∈n.Larelaci´on∈
n(pertenencia restringida al conjunton)
es un orden lineal estricto. Observe que el conjunto transitivo{∅,{∅},{{∅}}}
no tiene esta propiedad porque∅/∈{{∅}}y{{∅}}/∈∅.
Finalmente, el ordenamiento lineal∈
ntiene otra propiedad: SeaXun sub-
conjunto no vac´ıoden, intuitivamente se puede tomar uno a uno los elemen-
tos denyverificar si son elementos deX,yhallaras´ıel elemento m´aximo y
m´ınimo deX. Estas consideraciones motivan la siguiente definici´on de n´umero
natural.
Definici´on 5.4Un conjuntoxes unn´umero naturalsi:
(a)xes transitivo,
(b)∈
xes un orden lineal estricto enx,
(c) todo subconjunto no vac´ıodextiene elementos m´ınimo y m´aximo en
el orden∈
x.
Mientras las consideraciones anteriores a la definici´on muestran que in-
tuitivamente los n´umeros naturales tienen las propiedades(a), (b)y(c),el

110. 5.1. Introducci´on 99
rec´ıproco no es obvio. Para convencernos de su validez, en la siguiente secci´on
derivaremos algunas de las propiedades b´asicas de los n´umeros naturales a
partir de nuestra definici´on.
La idea de definir a los n´umeros naturales a partir de la Teor´ıa de Conjun-
tossedebeaFregeen[F
3]; de hecho, B. Russell [R4]afirma que Frege fue
el primero que dio una definici´on satisfactoria de n´umero, pero que apenas
despert´oatenci´on y su definici´on de n´umero permaneci´opr´acticamente igno-
rada hasta que fue redescubierta por ´el en 1901. Sin embargo, la manera en
que hemos definido a los n´umeros naturales es muy distinta de la idea original
de Frege. Nuestra presentaci´on, que hoy en d´ıaesm´as o menos corriente, fue
iniciada por Von Neumann en [N
1].
Ejercicios 5.1
1. SeaA6 =∅. Demuestre que no existe un conjuntoSque contenga a todos
los conjuntos equipotentes aA. (Sugerencia: muestre que
S
Sser´ıala
clase de todos los conjuntos.)
2. Pruebe que un conjuntoXes transitivo si y s´olo siX⊆P(X).
3. Pruebe que un conjuntoXes transitivo si y s´olo si
S
X⊆X.
4. ¿Son los siguientes conjuntos transitivos?
(a){∅,{∅},{{∅}}},
(b){∅,{∅},{{∅}},{∅,{∅}}},
(c){∅,{{∅}}}.
5. ¿Cu´ales de los conjuntos del ejercicio anterior son n´umeros naturales?
6. Pruebe o d´e contraejemplos para las siguientes proposiciones.
(a) SiXyYson transitivos, entoncesX∪Yes transitivo.
(b) SiXyYson transitivos, entoncesX∩Yes transitivo.
(c) SiX∈YyYes transitivo, entoncesXes transitivo.
(d) SiXes transitivo, entonces
T
Xes transitivo.
(e) SiX⊆YyYes transitivo, entoncesXes transitivo.

111. 100 5. Los N´umeros Naturales
(f) SiYes transitivo yS⊆P(Y), entoncesY∪
S
Ses transitivo.
7. Pruebe que siXes un conjunto transitivo y todo elemento deXes un
conjunto transitivo, entonces
S
Xy
T
Xson conjuntos transitivos.
5.2 Propiedades de los N´umeros Naturales
Iniciamos con dos lemas de utilidad.
Lema 5.5Todo elemento de un n´umero natural es un n´umero natural.
Demostraci´on:
Seanun n´umero natural, y seax∈n. Mostraremos quexcumple las propieda-
des (a), (b) y (c) de la Definici´on 5.4. En primer lugar hay que probar que
xes transitivo. Sup´ongase queuyvson tales queu∈vyv∈x. Entonces
v∈nytambi´enu∈n.As´ıu, v, x∈nyu∈v,v∈x. Usando el hecho que∈
n
ordena linealmente an, se concluye queu∈x; con esto concluimos quexes
transitivo.
En segundo lugar, mostraremos que∈
xes un orden lineal estricto enxyque
todo subconjunto no vac´ıodextiene elementos m´ınimo y m´aximo en el orden
∈
x. Por la transitividad den,setienequex⊆ny por lo tanto, la relaci´on
∈
xes la restricci´on de la relaci´on∈ nax,esdecir,∈ x=∈n∩(x×x). As´ı,las
correspondientes propiedades de∈
xse siguen de las mismas de∈ n.
El siguiente lema se sigue del Axioma de Fundaci´on, pero aqu´ıexhibiremos
una demostraci´on que no utiliza dicho axioma.
Lema 5.6Sines un n´umero natural entoncesn/∈n.Simynson n´umeros
naturales, entoncesm/∈non/∈m.
Demostraci´on:
Sin∈nentonces el conjunto ordenado (n,∈
n) tiene un elementox=ntal
quex∈x, que contradice la suposici´on de que∈
nes un orden lineal estricto.
Para la segunda proposici´on, sin∈mym∈n, entonces por la transitividad
den, tenemos quen∈n, una contradicci´on.
Usaremos ahora estos lemas para dar una caracterizaci´on de los n´umeros
naturales m´as simple. Si observamos nuevamente la construcci´on de los prime-
ros n´umeros, definimos 2 ={0,1}; para obtener 3 adjuntamos a 2 un tercer

112. 5.2. Propiedades de los N´umeros Naturales 101
elemento, a saber,
3=2∪{2}={0,1}∪{2}.
Similarmente
4=3∪{3}={0,1,2}∪{3}
5=4∪{4}={0,1,2,3}∪{4}
etc.
Dado un n´umero naturaln, obtenemos el “siguiente” n´umero adjuntando
un elemento m´as an,asaber,nmismo. Este procedimiento empieza en 0,
pues de hecho, 0 es el primer n´umero natural.
Definici´on 5.7Elsucesorde un conjuntoxes el conjuntoS(x)=x∪{x}.
La noci´on de sucesor la emplearemos posteriormente para definir la adici´on
de n´umeros naturales. Obs´ervese queS(x)=x∪{x}define una (clase) funci´on,
es decir, una “funci´on” en el sentido de la Secci´on 4.6.
Teorema 5.8(a)0es un n´umero natural.
(b) Sixes un n´umero natural, entoncesS(x)es un n´umero natural.
Demostraci´on:
(a)No hay nada que probar, pues 0 =∅cumple la definici´on.
(b)Seanun n´umero natural, y seax=S(n)=n∪{n}. Primero mostrare-
mos quexes transitivo. Seau∈x, entoncesu∈nou=n.Siu∈n, tenemos
queu⊆n,yaquenes transitivo, por lo queu⊆x,porquen⊆x.Siu=n
es claro queu⊆x.
Luego note que parau, v∈x,u∈
xvsi y s´olo si (u, v∈nyu∈ nv)o(u∈n
yv=n). Observe que el Lema 5.6 excluye las posibilidadesu∈vyu=n,
v∈nou=nyv=n.
Debemos verificar que∈
xes un orden lineal estricto enx.Sabemosque∈ x
es un orden estricto enx.Seanu,v∈x=S(n), entonces o bienu, v∈n,y
en este casou∈vou=vov∈u, puesto que∈
nes un orden lineal estricto;
ou∈n=vov∈n=uou=n=v.Encadacasouyvson comparables.
Por ´ultimo, seaX⊆S(n)conX6 =∅.SiX∩n6 =∅,elelementom´ınimo
del conjuntoX∩ntambi´en lo es deX;elelementom´aximo deXes el mismo
que el deX∩nen el orden∈
n, o bien esn.SiX∩n=∅,nes el elemento
m´aximo y m´ınimo deX.
Definici´on 5.9Llamamos a un conjuntoAinductivosi:
(a) 0∈A,
(b)x∈AimplicaS(x)∈A.

113. 102 5. Los N´umeros Naturales
Con la definici´on anterior, el Teorema 5.8 asegura que el conjunto de los
n´umeros naturales es inductivo. Hay una ´unica dificultad con esta formu-
laci´on: no hemos probado que el conjunto de los n´umeros naturales exista.
Hay una buena raz´on para esto, los axiomas tratados hasta ahora no impli-
can la existencia de conjuntos de una infinidad de objetos. Pero la posibilidad
de colecciones infinitas de objetos en una entidad singular es la esencia de la
Teor´ıa de Conjuntos. Por tanto, extendemos nuestro sistema axiom´atico.
Axioma8(deInfinitud) Existe un conjunto inductivo.
Intuitivamente, el conjunto de los n´umeros naturales es uno de ellos. M´as
a´un, todo n´umero natural puede ser obtenido a partir de 0 aplicando suficientes
veces la (clase) funci´on sucesor. En otras palabras, si un conjuntoAcontiene a
0 y al sucesor de cada uno de sus elementos, entoncesAcontiene a 0, 1 =S(0),
2=S(1),...,yas´ıcontieneatodon´umero natural. Esto motiva el siguiente
resultado b´asico.
Teorema 5.10Todo conjunto inductivo contiene a todos los n´umeros natu-
rales.
Demostraci´on:
SeaAun conjunto inductivo y supongamos quexes un n´umero natural que no
pertenece al conjuntoA. EntoncesS(x)esunn´umero natural yx∈S(x)\A.
Seayel elemento m´ınimo del conjunto no vac´ıoS(x)\Aordenado por∈
S(x).
Note quey⊆S(x), ya queS(x) es transitivo. Adem´as,y⊆Apuesto que si
existeu∈y\A, entoncesyno es el elemento m´ınimo deS(x)\A.PorelLema
5.5,yes un n´umero natural. Siy=∅, entoncesy∈A, que es una contradicci´on.
Por lo tanto,y6 =∅.Seazel elemento m´aximo deyen el orden∈
y. Entonces
z∈A,m´as a´un, puesto quez∈y,yyes transitivoz⊆y, consecuentemente
z∪{z}=S(z)⊆y;siu∈y\S(z) entoncesu/∈zyu6 =z.Comoyes un
natural,∈
yes un orden lineal estricto, entoncesz∈uque contradice la elecci´on
dezcomo el m´aximo elemento dey,esdecir,y\S(z)=∅;as´ıS(z)⊇y.Por
lo tanto,y=S(z)∈A, nuevamente una contradicci´on.
Corolario 5.11El conjuntoNde los n´umeros naturales existe.
Demostraci´on:
SeaAun conjunto inductivo.
N={x:xes un n´umero natural}={x∈A:xes un n´umero natural}

114. 5.2. Propiedades de los N´umeros Naturales 103
es un conjunto por el Axioma Esquema de Comprensi´on.
El Teorema 5.10 simplemente dice queNes el m´ınimo conjunto inductivo
en el (clase) orden⊆de la clase de todos los conjuntos inductivos, es decir,
N⊆Apara cualquier conjunto inductivoA.
Una consecuencia inmediata del Teorema 5.10 es el bien conocido Principio
de Inducci´on Matem´atica.
Teorema 5.12 (Principo de Inducci´on)SeaP(x)una propiedad (posible-
mente con par´ametros). Supongamos que:
(a)P(0),
(b)∀n∈N,P(n)⇒P(S(n)).
EntoncesP(n)para todos los n´umeros naturalesn.
Demostraci´on:
Las suposiciones(a)y(b)simplemente dicen que el conjunto
A={n∈N:P(n)}
es inductivo, por lo queN⊆A.
A continuaci´on definiremos un orden en el conjuntoN.Laideadedefinir
cada n´umero natural como el conjunto de todos los n´umeros naturales m´as
peque˜nos, sugiere inmediatamente la Definici´on 5.13.
Definici´on 5.13Para cualesquieram, n∈N,definimosm≤nsi y s´olosi
m∈nom=n.
Teorema 5.14(N,≤)es un conjunto bien ordenado.
Demostraci´on:
1Reflexividad. Obvia.
2Antisimetr´ıa. Se sigue del Lema 5.6.
3Transitividad. Sik≤mym≤n, entonces tenemos quek∈mok=my
m∈nom=n;siambasigualdadesseverifican no hay nada que probar. Si
k∈mym=n,entoncesk≤n. Similarmente sik=mym∈n.Finalmente
sik∈mym∈n,comones transitivok∈n,as´ık≤n.
4Buen Orden. Primero estableceremos que≤ordena linealmente aN.
Usualmente decimos quemynson comparables sim<n,m=non<m.
Decimos quen∈Nes comparable sines comparable con todom∈N.Es
suficiente con demostrar por inducci´on que cualquiern∈Nes comparable.

115. 104 5. Los N´umeros Naturales
i)0 es comparable. Probaremos por inducci´on sobremque 0 es comparable
con todom. Claramente 0 es comparable con 0. Asumamos que 0 es compara-
ble conm. Entonces, o bien 0∈mo0=m. En cada caso, 0∈m∪{m}=S(m).
As´ı, 0 es comparable conS(m). La conclusi´on se sigue del Principio de In-
ducci´on.
ii)Supongamos quenes comparable. Nuevamente por inducci´on sobrem
probaremos queS(n) es comparable conm,paratodom∈N. Sabemos que
S(n) es comparable con 0 pori). Supongamos queS(n) es comparable con
m, entoncesS(n)∈m,S(n)=mom∈S(n). En los primeros dos casos
S(n)∈m∪{m}=S(m); en el ´ultimo casom=nom∈n.Sim=n,
S(n)=S(m). Sim∈n,S(m)ynson comparables por hip´otesis de inducci´on
(nes comparable). Comom∈n,esimposibletenern∈mom=n,es
decir,n∈S(m) no puede ocurrir. Por lo tanto,S(m)=noS(m)∈n;
en cualquier casoS(m)∈S(n). Se concluye queS(n) es comparable, y que
cualquier n´umero natural lo es.
Ahora seaM∈NconM6 =∅. Tomemos alg´unm∈Myconsideremos
S(m)∩M;´este es un conjunto no vac´ıoden´umeros naturales enS(m). Sikes
el elemento m´ınimo deS(m)∩Men el orden∈
S(m), entonceskes tambi´en el
primer elemento deMen el orden≤,porquedelocontrarioexistir´ıak
0
∈Mtal
quek
0
≤kyk
0
6 =k, entoncesk
0
∈k,porloquek
0
∈S(m)yas´ık
0
∈S(m)∩M,
que contradice la elecci´on dek.
Ejercicios 5.2
1. Pruebe queS(x) es una (clase) funci´on de la clase de todos los conjuntos
en la clase de todos los conjuntos.
2. Pruebe que sin∈N, entonces no existe unk∈Ntal quen<k<S(n).
3. Pruebe:
(a)S(x)=S(y)implicax=y.
(b)
S
S(x)=x.
4. Demuestre que para cualquiern∈N,n6 =0,existek∈Ntal que
n=S(k).
5. Demuestre que para cualquiern∈N\{0,1},existek∈Ntal quen=
S(S(k)).

116. 5.3. El Teorema de Recursi´on 105
6. Pruebe que sim, n∈Nym⊂n, entoncesm<n.
7. Pruebe que siX⊆N, entonces (X, X
2
∩≤)esunconjuntobienorde-
nado.
8. Dar un conjunto inductivoA6 =N.
9. (a) Pruebe por inducci´on que sia∈nyn∈N, entoncesa∈N.
Concluya queNes un conjunto transitivo.
(b) Pruebe que siS(a)∈N,entoncesa∈N.
10. Pruebe queNes equipotente a alg´un subconjunto propio deN.
11. Demuestre el Principio de Inducci´on Finita: SeaP(x) una propiedad.
Sup´ongase quek∈Ny(a)P(0) se verifica,(b)para todon<k,P(n)
implicaP(S(n)). EntoncesP(n) se cumple para todon<k.
12. (a) SeaK⊆Nno vac´ıo, demu´estrese que
T
K∈N∩K.
(b) Use lo anterior para probar que (N,≤) es bien ordenado.
13. Deduzca el Teorema 5.14 a partir del Axioma de Fundaci´on (ver Ejercicio
4.5.7).
5.3 El Teorema de Recursi´on
En la siguiente secci´on nuestro objetivo ser´adefinir la adici´on y multiplicaci´on
de n´umeros naturales. Para hacer m´as sencillo esto, introduciremos un impor-
tante m´etodo de definir funciones enN.
Empezaremoscondosejemplosinformales:
1)La funci´ons:N→Ndefinida por:
s(0) = 1,
s(n+1)=n
2
,paratodon∈N.
2)La funci´onf:N→Ndefinida por:
f(0) = 1
f(n+1)=f(n)·(n+ 1), para todon∈N.
Las dos funciones, a pesar de tener similitudes superficiales, difieren en un
aspecto crucial. La definici´on desdice expl´ıcitamente c´omo calculars(x)para

117. 106 5. Los N´umeros Naturales
cualquierx∈N.M´as precisamente, ´esta nos capacita para formular una
propiedadPtal que
s(x)=ysi y s´olo siP(x, y);
asaber:x=0yy=1,oparaalg´unn∈N,x=n+1 yy=n
2
. La existencia y
unicidad de una funci´onsque satisfaga1)sesigueinmediatamentedenuestros
axiomas:
s={(x, y)∈N×N:P(x, y)}.
En contraste, las instrucciones provistas por la definici´on defnos dicen
c´omo calcularf(x) teniendo el valor defpara alg´un n´umero m´as peque˜no (a
saber,x−1). No es inmediatamente obvio c´omo formular una propiedadP
que no involucre la funci´onfen su definici´on y tal que
f(x)=ysi y s´olo siP(x, y).
La definici´on2)proporciona condiciones que debe satisfacer la funci´onf:
fes una funci´on deNenNque satisface la condici´on inicial:f(0) = 1,yla
condici´on recursiva: para todon∈N,f(n+1)=f(n)·(n+1).
Este tipo de definiciones recursivas son ampliamente usadas en matem´aticas.
Sin embargo, una definici´on recursiva est´ajustificada s´olo si es posible mostrar
que existe alguna funci´on que satisfaga las condiciones requeridas, y que no
existen dos o m´as de tales funciones.
Teorema 5.15 (de Recursi´on)Para cualquier conjuntoA,cualquiera∈
A, y cualquier funci´ong:A×N→A,existeuna´unica funci´onf:N→Atal
que
(a)f(0) =a,
(b)f(S(n)) =g(f(n),n),paratodon∈N.
En el ejemplo2), tenemosA=N,a=1yg(u, v)=u·(v+1). El elementoa
es el “valor inicial” def. El papel que desempe˜nages proveer de instrucciones
para calcularf(S(n)), asumiendo quef(n)hasidocalculado.
La demostraci´on del Teorema de Recursi´on consiste en derivar una definici´on
expl´ıcita def. Considerando nuevamente el ejemplo2),f(n) es el factorial de
n, y una definici´on expl´ıcita defpuede ser escrita como:
f(0) = 1 y
f(m)=1·2·3·····(m−1)·m,sim∈N\{0}.

118. 5.3. El Teorema de Recursi´on 107
El problema es hacer “···” preciso. Esto puede ser resuelto si decimos quef
es el resultado del c´alculo
1
1·1
[1·1]·2
[1·1·2]·3
.
.
.
[1·1·2·3·····(m−1)]·m
de longitudm.Unc´alculo de longitudmbasado engpuede ser descrito por una
funci´onttal quedom t=m+1,t(0) = 1 yt(k+1) =t(k)·(k+1) =g(t(k),k)
para todo 0<k<m .Ladefinici´on rigurosa y expl´ıcita defes entonces:
f(0) = 1 yf(m)=t(m), dondetes un c´alculo de longitudmbasado eng.
El problema de mostrar la existencia y unicidad defse reduce al problema
de mostrar que hay precisamente un c´alculo de longitudmbasado engpara
cadam∈N(m6 =0).
Procedemos ahora con la demostraci´on formal del Teorema de Recursi´on
que est´aentrelosm´etodos m´as importantes de la Teor´ıa de Conjuntos.
Demostraci´on:
Laexistenciadef. Una funci´ont:S(m)→Ase llamac´alculo de longitudm
basado eng,sit(0) =a,yparatodoktal que 0<k<m,t(S(k)) =g(t(k),k).
Note quet⊆N×A.
Sea
F={t⊆N×A:tes un c´alculo de longitudm,m∈N}
yseaf=
S
F. Mostraremos quefes una funci´on. Para esto es suficiente
mostrar que el sistema de funcionesFes compatible (ver Teorema 4.55). Sean
t
1,t2∈F; supongamos quedom t 1=n1∈Nydom t 2=n2∈N.Sin
p´erdida de generalidad supongamosn
1≤n2,entoncesn 1⊆n2,ybastacon
demostrar quet
1(k)=t 2(k)paratodok<n 1. Haremos esto por inducci´on:
t
1(0) =t 2(0) =a;luegoseaktal queS(k)<n 1yasumamosquet 1(k)=t 2(k),
entonces
t
1(S(k)) =g(t 1(k),k)=g(t 2(k),k)=t 2(S(k)).
As´ı,t
1(k)=t 2(k)paratodok<n 1.
Ahora mostraremos quedom f=Nyranf⊆A.Esinmediatoquedom f⊆
Nyqueranf⊆A. Para mostrar quedom f=N, basta con probar que para
cadan∈Nhay un c´alculo de longitudn. Usaremos el Principio de Inducci´on.
Claramentet
0={(0,a)}es un c´alculo de longitud 0. Asumamos quetes

119. 108 5. Los N´umeros Naturales
un c´alculo de longitudn. Entonces la siguiente funci´ont
+
enS(S(n)) es un
c´alculo de longitudS(n):
t
+
(k)=t(k), sik≤n
t
+
(S(n)) =g(t(n),n).
Por lo tanto, para cadan∈Nhay un c´alculo de longitudn,porloque
concluimos que cadan∈Nest´a en el dominio de alg´un c´alculot∈F,as´ı
N⊆
[
{dom t:t∈F}=dom f.
Finalmente mostraremos quefsatisface las condiciones(a)y(b).Clara-
mentef(0) =apuesto quet(0) =apara todot∈F. Para mostrar que
f(S(n)) =g(f(n),n), para cadan∈N,seatun c´alculo de longitudS(n),
entoncest(k)=f(k), para todok∈dom t,yas´ı
f(S(n)) =t(S(n)) =g(t(n),n)=g(f(n),n).
La existencia de la funci´onfcon las propiedades requeridas por el teorema
est´a demostrada.
Launicidad.Seah:N→Atal que
(a’)h(0) =a,
(b’)h(S(n)) =g(h(n),n), para todon∈N.
Mostraremos quef(n)=h(n), para todon∈Nusando nuevamente in-
ducci´on. Claramentef(0) =h(0). Sif(n)=h(n), entonces
f(S(n)) =g(f(n),n)=g(h(n),n)=h(S(n)),
por lo tanto,f=h.
En ocasiones se usa el Teorema de Recursi´on para definir funciones de dos
variables, es decir, funciones enN×N. Este resultado es com´unmente formu-
lado como una versi´on “param´etrica” del Teorema de Recursi´on.
Teorema 5.16 (Recursi´on Param´etrica)SeanAyPconjuntos, y sean
a:P→Ayg:P×A×N→Afunciones. Entonces existe una ´unica funci´on
f:P×N→Atal que
(a)f(p,0) =a(p)para todop∈P,
(b)f(p, S(n)) =g(p, f(p, n),n)para todon∈Nyp∈P.

120. 5.3. El Teorema de Recursi´on 109
La demostraci´on del Teorema 5.16 es una versi´on “param´etrica” de la prueba
del Teorema de Recursi´on. Alternativamente, ´esta puede ser deducida direc-
tamente de este ´ultimo.
En algunas definiciones recursivas, el valor def(S(n)) depende no solamente
def(n), sino tambi´en def(k)paraalg´unk≤n.Unejemplot´ıpico es la
sucesi´on de Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Aqu´ıf(0) = 1,f(1) = 1, yf(n+2)=f(n+1)+f(n)paran≥0.
El siguiente teorema formaliza esta forma de construcci´on recursiva de ma-
nera un poco m´as general. Tambi´en puede deducirse del Teorema de Recursi´on.
Teorema 5.17SeaAun conjunto, seaS=
S
n∈N
(A
n
)el conjunto de todas
las funciones con dominio un n´umero natural y valores enA,yseag:S→A
una funci´on. Entonces existe una ´unica funci´onf:N→Atal que
f(n)=g(f|
n)para todon∈N.
Note que, en particular,f(0) =g(f|
0)=g(∅).
Otra versi´on del Teorema de Recursi´on se encuentra en los ejercicios.
Concluimos esta secci´on con un teorema que da una caracterizaci´on del or-
den de los n´umeros naturales. La prueba ilustra un empleo t´ıpico del Teorema
de Recursi´on en la Teor´ıa de Conjuntos. Llamamosacotadoa un subconjunto
Bde conjunto ordenado (A,¹) si tiene cota inferior y cota superior.
Teorema 5.18Sea(A,¹)un conjunto no vac´ıo linealmente ordenado con las
siguientes propiedades:
(a) Para todop∈Aexisteq∈Atal quep≺q,
(b) todo subconjunto no vac´ıodeAtiene un elemento m´ınimo en el orden
¹,
(c) todo subconjunto acotado no vac´ıodeAtiene un elemento m´aximo en
el orden¹.
Entonces(A,¹)es isomorfo a(N,≤).
Demostraci´on:
Construyamos un isomorfismof:N→Aempleando el Teorema de Recursi´on.
Seaael elemento m´ınimo deAysea
g(x, n)=min{y∈A:x≺y}
para todon∈N. Entoncesa∈Ayges una funci´on deA×NenA.
Observe queg(x, n)est´adefinido para cualquierx∈A, por las hip´otesis(a)

121. 110 5. Los N´umeros Naturales
y(b);adem´asg(x, n) no depende den. El Teorema de Recursi´on garantiza la
existencia y unicidad de una funci´onf:N→Atal que
(i)f(0) =a=minA,
(ii)f(S(n)) =g(f(n),n) (el elemento m´ınimo deAmayor quef(n)).
Es obvio quef(n)≺f(S(n)) para cadan∈N. Por inducci´on, se tiene
quef(m)≺f(n)siemprequem<n. Consecuentemente,fes una funci´on
inyectiva. Resta probar quef(N)=A.
Sup´ongase queA\f(N)6 =∅yseap=minA\f(N). El conjunto
B={q∈A:q≺p}
es acotado (pes una cota superior) y no vac´ıo (de otro modo,pser´ıaelm´ınimo
elemento deA, pero entoncesp=f(0)). Seaqel elemento m´aximo deB(´este
existe por la hip´otesis(c)). Comoq≺p,tenemosqueq=f(m)paraalg´un
m∈N. Sin embargo, es f´acil ver quepes el m´ınimo elemento deAmayor que
q. Por lo tanto,p=f(S(m)) por la condici´on recursiva(ii). Consecuentemente
p∈f(N), que es una contradicci´on.
Ejercicios 5.3
1. Demuestre el Teorema 5.17 de modo an´alogo al Teorema de Recursi´on.
2. Demuestre el Teorema 5.17 usando el Teorema de Recursi´on. (Sugeren-
cia: definaG:S×N→SporG(x, n)=x∪{(n, g(x))}. Use entonces
el Teorema de Recursi´on para encontrarF:N→Stal queF(0) =∅y
F(S(n)) =G(F(n),n). Finalmente tomef=
S
F(N).)
3. Demuestre la versi´on “param´etrica” del Teorema de Recursi´on usando el
Teorema 5.15. (Sugerencia: definaF:N→A
P
por recursi´on:F(0) =a
yF(S(n)) =G(F(n),n), dondeG:A
P
×N→A
P
est´adefinida por
G(x, n)(p)=g(x(p),n,p)(x∈A
P
,n∈N) Sea entoncesf(m, p)=
F(m)(p).)
4. Demuestre la siguiente versi´on del Teorema de Recursi´on: Seaguna
funci´on enA×Nyseaa∈A. Entonces hay una ´unica funci´onftal que
(a)f(0) =a,
(b)f(S(n)) =g(f(n),n)paratodontal queS(n)∈dom f,
(c) o biendom f=Nodom f=S(k) dondekes el elemento m´aximo
de{k∈N:g(f(k),k)/∈A}.

122. 5.4. Aritm´etica de los N´umeros Naturales 111
5. SeanAun conjunto yf:A→Auna funci´on. Definaf
n
por
f
0
=IdA,
f
n+1
=f
n
◦fpara todon∈N.
Pruebe que para cadan∈N,f
n
es un elemento un´ıvocamente determi-
nado deA
A
.
6. Use el ejercicio anterior para demostrar que para cadaX⊆Nexiste
una funci´on inyectivaftal queran f=Xydom f=Nodom f∈N.
7. Seaa∈Ayseah:A→Auna funci´on inyectiva tal quea/∈ranh.
Demuestre que existe una funci´on inyectivaf:N→A. (Sugerencia:
considereg(x, n)=h(x), use el Teorema de Recursi´on y el Principio de
Inducci´on.)
8. SeaAun conjunto y seaf:A→Buna funci´on inyectiva, dondeB⊆A.
Pruebe queAtiene un subconjunto equipotente aN.(Sugerencia: use
el ejercicio anterior.)
9. Seaf:N→Auna funci´on dondeAes linealmente ordenado por¹,
y suponga quef(n)¹f(S(n)) para todon∈N.Pruebequem≤n
implicaf(m)¹f(n)paratodom, n∈N. (Sugerencia: use inducci´on
sobrem.)
5.4 Aritm´etica de los N´umeros Naturales
Ahora discutiremos brevemente las operaciones aritm´eticas en los n´umeros
naturales. Nuestro principal inter´es en esta secci´on es mostrar que estas opera-
ciones pueden ser satisfactoriamente definidas. El t´opico da una oportunidad
para aplicar el Teorema de Recursi´on y el Principio de Inducci´on.
Unaoperaci´on binariaen un conjuntoAes una funci´on
∗:A×A→A.
El valor (resultado) de∗en (x, y) se denota usualmente comox∗y, en lugar
de∗(x, y).
Teorema 5.19Hay una ´unica operaci´on binaria+:N×N→Ntal que:
(a)0+m=m,paratodom∈N,
(b)S(m)+n=S(m+n),paratodom, n∈N.
Esta funci´on es llamada adici´onosumaden´umeros naturales.

123. 112 5. Los N´umeros Naturales
Demostraci´on:
Seanun elementofijo deN.Definamosg:N×N→Nporg(x, y)=S(y).
Por el Teorema 5.15 existe exactamente una funci´onf
n:N→Ndonde
f
n(0) =nyf n(S(m)) =g(m, f n(m)) =S(f n(m)). Ahora definamos
f:N×N→N
porf(m, n)=f
n(m). Claramente esta funci´on satisface 5.19(a) y 5.19(b).
Para probar su unicidad, seahcualquier funci´on deN×NenNque tambi´en
satisfaga 5.19(a) y 5.19(b). Para cadan∈N,definah
n:N→Nporh n(0) =
h(0,n)yh
n(m)=h(m, n). Entoncesh n(0) =h(0,n)=ny
h
n(S(m)) =h(S(m),n)=S(h(m, n)) =S(h n(m)).
Nuevamente, por el Teorema de Recursi´on 5.15 se sigue quef
n=hnpara todo
n∈N.As´ı,param, n∈N,
f(m, n)=f
n(m)=h n(m)=h(m, n).
Por lo tanto,f=h. Haciendo + =f, se tiene la conclusi´on.
Haciendom= 0 en 5.19(b), se implica queS(0) +n=S(0 +n), pero por
5.19(a)S(0 +n)=S(n), y comoS(0) = 1, tenemos
n+1=S(n).
Llegamos as´ıa una notaci´on m´as intuitiva del sucesor den,n+1. As´ı,las
propiedades de la adici´on pueden ser reformuladas como:
5.19(a’)0+m=m
5.19(b’)(m+1)+n=(m+n)+1.
Tambi´en, se puede formular el Teorema de Recursi´on de una manera m´as
palpable.Primero,definimos unasucesi´oncomo una funci´on con dominioN.
Una sucesi´on cuyo dominio es alg´unn∈Nes llamadasucesi´onfinitade
longitudny es denotada como:
(a
i)
i<n
o(a i)
n−1
i=0
,
surangoesdenotadopor
{a
0,a1,...an−1}o{a i}
n−1
i=0

124. 5.4. Aritm´etica de los N´umeros Naturales 113
A las sucesiones las denotamos por
(a
n)
n∈N
o(a n)
∞
n=0
.
La notaci´on simplemente especifica una funci´on con un dominio apropiado,
cuyo valor eniesa
i.Delmismomodousamoslanotaci´on
{a
n:n∈N},{a n}
n∈N
, etc.
para el rango de la sucesi´on (a
n)
∞
n=0
.
Remarcaremos que un conjunto se llamafinitosi es el rango de alguna
sucesi´onfinita.
Usando esta nueva terminolog´ıa, podemos reformular elTeorema de Re-
cursi´on.Seana∈Ayguna funci´on deA×NenA. Entonces existe una
´unica sucesi´on (a
n)
∞
n=0
tal que
a
0=a
a
n+1=g(a n,n)paratodon∈N.
El lector seguramente reformular´a las otras versiones del Teorema de Re-
cursi´on por s´ımismo.
En el siguiente Teorema se enuncian las principales propiedades de la adici´on
Teorema 5.20La adici´on enNtiene las siguientes propiedades.
A
1. Asociatividad. Para todom, n, p∈N,
m+(n+p)=(m+n)+p.
A
2. Conmutatividad. Para todom, n∈N,
m+n=n+m.
A
3. Ley de Cancelaci´on. Para todom, n, p∈N,
m+p=n+p⇒m=n.
A
4.Paratodom, n∈N,
m≤n⇔∃p∈N,m+p=n.
A
5.Paratodom, n, p∈N,
m<n ⇔m+p<n+p.
A
6.Paratodom, n∈N,
m+n=0⇔m=0 yn=0.

125. 114 5. Los N´umeros Naturales
Demostraci´on:
A
1.Seann, p∈Nfijos y sea
M={m∈N:m+(n+p)=(m+n)+p}.
Entonces 0∈Mpuesto que 0 + (n+p)=(0+n)+p.
Supongamos quem∈M, entonces
(m+1)+(n+p)=[m+(n+p)] + 1
=[(m+n)+p]+1
=[(m+n)+1]+p
=[(m+1)+n]+p,
as´ıquem+1∈M. Por lo tanto,M=NylapruebadeA
1est´a completa.
A
2. Primero, param∈Nfijo probaremos que
S(n)+m=n+S(m), (5.4.1)
para todon∈N. Procediendo por inducci´on, es cierto para 0 puesS(0)+m=
S(0 +m)=0+S(m). Luego suponiendo que es cierto paran∈N,dadoque
S(S(n)) +m=S(S(n)+m)
=S(n+S(m))
=S(n)+S(m),
por 5.19(b), la ecuaci´on (5.4.1) es cierta para todon∈N.
Por otro lado, paran∈Nfijo, sea
M
n={m∈N:m+n=n+m}.
Sim∈M
n,entoncesS(m)+n=S(m+n)=S(n+m)=S(n)+m=n+S(m)
por (5.4.1), esto implica queS(m)∈M
n.
Finalmente, es claro que 0∈M
0, y dado queS(m)∈M 0sim∈M 0,
entoncesM
0=N.Tambi´en como 0∈M n, y puesto quem∈M nimplica
S(m)∈M
n, entonces, por el principio de inducci´on,M n=Npara cada
n∈N.As´ı,A
2esta probada.
A
3. Probaremos equivalentemente que sim, n∈Nconm6 =n, entonces
m+p6 =n+ppara todop∈N.Claramente0∈{p∈N:m+p6 =n+p};
luego supongamos quepes un miembro de este conjunto, entoncesm+p6 =
n+p,por lo cual se sigue queS(m+p)6 =S(n+p),que es equivalente a
S(m)+p6 =S(n)+p; o bien aplicando la ecuaci´on (5.4.1),m+S(p)6 =n+S(p).

126. 5.4. Aritm´etica de los N´umeros Naturales 115
Osea,S(p)tambi´en es miembro del conjunto. Esto concluye la prueba de que
m+p6 =m+pimplicam6 =n.
A
4.Seanm, n∈Nconm≤n. Entonces
A={x∈N:x+m≥n}6 =∅
(en efecto, se puede mostrar por inducci´on quem+n≥npara cualesquiera
m, n∈N). ConsecuentementeAtiene un elemento m´ınimoppor el Teorema
5.14. As´ıtenemos quep+m=nobienp+m>n. Sup´ongase quem+p>n,
entonces claramentep6 = 0 y por lo tanto,pes el sucesor de alg´un naturalq;
entoncesS(q)+m=S(q+m)>n, que implica queq+m≥npuesto que
q<S(q)=p; esto contradice la elecci´on dep. Por lo tanto,m+p=n.
A
5.Sim<n, entoncesm+d=npara alg´und∈Ncond6 = 0 (usandoA 4).
Por lo tanto,p+n=p+(d+m)=(p+d)+m=(d+p)+m=d+(p+m).
As´ı,porA
4,p+m≤p+n, y puesto qued6 = 0, la desigualdad estricta se
sigue.
Similarmente se prueba el rec´ıproco.
A
6. Probaremos, equivalentemente, que sim6 =0on6 =0,entoncesm+n6 =
0. Supongamos quem6 =0,entoncesexisteunp∈Ntal quem=S(p). Por
lo tanto,m+n=S(p+n), y consecuentementem+n6 =0.As´ı,simonson
diferentes de cero, tambi´en lo esm+n.
Ahora se definir´alamultiplicaci´on.
Teorema 5.21Hay una ´unica operaci´on·enNtal que
(a)·(0,n)=0para todon∈N,
(b)·(m+1,n)=·(m, n)+n.
Escribiremosm·no simplementemnen lugar de·(m, n). A esta operaci´on
se le llama multiplicaci´on.
Demostraci´on:
Sean∈Nfijo y seag:N×N→Ndada porg(x, y)=y+n.Porel
Teorema 5.15, existe exactamente una funci´onf
n:N→Ndondef n(0) = 0 y
f
n(S(m)) =g(m, f n(m)) =f n(m)+n.
Ahora definimosf:N×N→Nporf(m, n)=f
n(m), param, n∈N.
Claramente esta funci´on satisface(a)y(b). Su unicidad puede ser inferida de
la unicidad de las funcionesf
npara cadan.
Tambi´en para el caso de la multiplicaci´on establecemos algunas de sus
propiedades m´as elementales.

127. 116 5. Los N´umeros Naturales
Teorema 5.22La multiplicaci´on enNtiene las siguientes propiedades.
M
1. Asociatividad. Para todom, n, p∈N,
m(np)=(mn)p.
M
2. Conmutatividad. Para todom, n∈N,
mn=nm.
M
3. Ley de Cancelaci´on. Para todom, n, p∈N,p6 =0,
pm=pn⇒m=n.
M
4. Distribuci´on sobre la adici´on. Para todom, n, p∈N,
m(n+p)=mn+mp.
M
5.Paratodom, n, p∈N,p6 =0,
m<n ⇔pm < pn.
M
6.Paratodom, n∈N,
mn=0⇒m=0on=0.
Demostraci´on:
Es conveniente probar estas propiedades en el ordenM
4,M2,M1,M6,M3,M5.
M
4.Paranypfijos consid´erese
A={m∈N:m(n+p)=mn+mp}.
Claramente 0∈A,ysim∈A,entoncesS(m)∈Apuesto que
S(m)(n+p)=m(n+p)+(n+p)
=(mn+mp)+(n+p)
=(mn+n)+(mp+p)
=S(m)n+S(m)p.
Con lo cual,A=N. Esto estableceM
4.
M
2. Se puede probar por inducci´on que para todon∈N,n·0=0y
n·S(0) =n. Supongamos estos preliminares y sean∈Nfijo. Consid´erese

128. 5.4. Aritm´etica de los N´umeros Naturales 117
{m∈N:mn=nm}. Este conjunto contiene a 0 puesto que 0·n=0=n·0.
Supongamos que contiene am, entonces
S(m)·n=mn+n
=nm+n
=nm+n·S(0)
=n(m+S(0))
=n(S(0) +m)
=n·S(m);
as´ı,S(m) es un elemento del conjunto. Por el Principio de Inducci´on,M
2est´a
probada.
M
1.Paran, p∈Nfijos considere{m∈N:m(np)=(mn)p}.Esteconjunto
contiene a 0, y si contiene am, entonces contiene aS(m) puesto queS(m)·
(np)=m(np)+(np)=(mn)p+(np)=(mn+n)p=(S(m)·n)p.
M
6.Asumamosquemn=0ym6 =0.Entoncesm=S(p)paraalg´unp∈N.
Como 0 =mn=S(p)·n=pn+n,entonces,porA
6,n=0.
M
3. Supongamos quepm=pnyp6 =0.Como≤es un orden lineal enN,
entoncesm≤non≤m.Sinp´erdida de generalidad supongamos quem≤n,
entonces porA
4,n=d+mpara alg´und∈N. Por lo tanto, 0 +pm=pm=
pn=p(d+m)=pd+pm.PorA
3,0=pdyp6 = 0; entoncesd=0porM 6.Se
concluye quem=n.
M
5. Supongamos quem<nyp6 = 0. Entonces,n=d+mpara alg´und6 =0.
Luego,pn=pd+pmypd6 =0,porM
6. Por lo tanto, usandoA 4,pm < pn.
El rec´ıprocosedejacomoejercicio.
Concluimos con una observaci´on importante acerca de la aritm´etica de los
n´umeros naturales. La Teor´ıaAritm´etica de los n´umeros naturales puede ser
enfocada axiom´aticamente. Las nociones indefinidas son la constante 0, la
operaci´on sucesor y las operaciones binarias + y·.
Los Axiomas de Peano son los siguientes:
P10∈N.
P2Para todom, n∈N,siS(m)=S(n) entoncesm=n.
P3Para todon∈N,S(n)6 =0.
P4Para todon∈N,n+0=n.
P5Para todom, n∈N,S(m)+n=S(m+n).

129. 118 5. Los N´umeros Naturales
P6Para todon∈N,n·0=0.
P7Para todom, n∈N,S(m)·n=(m·n)+n.
P8Para todon∈N,sin6 = 0 entoncesn=S(k)paraalg´unk∈N.
P9La Inducci´on Esquem´atica. SeaAuna propiedad aritm´etica (es decir, una
propiedad expresable en t´erminos de +,·,S, 0). Si 0 tiene la propiedad
AysiA(k)implicaA(S(k)) para cadak∈N,entoncestodon´umero
natural tiene la propiedadA.
No es dif´ıcil verificar que los n´umeros naturales y la aritm´etica aqu´ıdefinida
satisface los Axiomas de Peano, que en realidad originalmente s´olo consisten
de P1, P2, P3, P8 y P9, los cuales fueron publicados en [P
1]. Peano los tom´o
como punto de partida para dar un enfoque axiom´aticoalateor´ıadelos
n´umeros naturales. Sin embargo, los axiomas se acreditan a Dedekind [D
2].
Ejercicios 5.4
1. Use el Teorema de Recursi´on para probar la existencia y unicidad de una
funci´on (sucesi´on) con las siguientes propiedades (especifiqueg).
(a)f(m, n)=m
n
(como es costumbre, uno definem
0
=1,0
n
=0si
n6 =0,ydejasindefinir 0
0
)
(b)a
0=1,a 1=2,a 2=2
2
,a3=2
2
2
,...
2. Pruebe por inducci´on quem+n≥npara todom, n∈N.
3. Pruebe el rec´ıproco deA
5.
4. Complete la demostraci´on del Teorema 5.21.
5. Pruebe por inducci´on que para todon∈N,n·0=0yn·S(0) =n.
6. Pruebe el rec´ıproco deM
5.
7. Pruebe que paraa, b∈Nconb6 = 0, existen elementos ´unicosqyrde
N,talesquea=qb+rdonder<b.Esteeselalgoritmo de la divisi´on
paraN.
8. Verifique que las operaciones aritm´eticas en los n´umeros naturales satis-
facen los Axiomas de Peano.

130. 6
La Extensi´on de los Naturales a los
Reales
En el cap´ıtulo anterior definimos al conjunto de los n´umeros naturalesN,yen
´el, dos operaciones binarias + y·, y un orden lineal≤.Enestecap´ıtulo par-
tiremos dehN,+,·,≤ipara construir a los n´umeros reales. Para lograrlo cons-
truiremos primero a los n´umeros enteros y despu´es a los n´umeros racionales.
6.1 Diferencias
Definici´on 6.1(a) Por unadiferenciaentendemos un par ordenado (m, n)∈
N×N.
(b) Decimos que una diferencia espositivasim>n.
(c) En el conjuntoN×Nde todas las diferencias, definimos una relaci´on
∼
d
por:
(m, n)∼
d
(p, q)si y s´olo sim+q=p+n.
Lema 6.2∼
d
es una relaci´on de equivalencia enN×N.
Demostraci´on:
Reflexividad. Es claro que para cualquier diferencia (m, n)secumpleque
(m, n)∼
d
(m, n).
Simetr´ıa. Si (m, n)∼
d
(p, q),entoncesm+q=p+n,obienp+n=m+q;
as´ı,(p, q)∼
d
(m, n).
Transitividad. Si (m, n)∼
d
(p, q)y(p, q)∼
d
(r, s), entoncesm+q=p+ny
p+s=r+q.Deesto,
m+q+s=p+n+s
=(p+s)+n
=r+q+n.

131. 120 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
Y usando la conmutatividad y la cancelaci´on de la adici´on enN,setieneque
m+s=r+n, es decir, (m, n)∼
d
(r, s).
Lema 6.3(a) Si(m, n)es una diferencia positiva y(m, n)∼
d
(p, q),entonces
(p, q)es una diferencia positiva.
(b) Si(m, n)es positiva, entonces existe una diferencia(p,0)conp6 =0
tal que(m, n)∼
d
(p,0).
Demostraci´on:
(b)Si (m, n) es una diferencia positiva, entoncesm>n,as´ıque existep∈
N\{0}tal quem=p+n. Por lo tanto, (m, n)∼
d
(p,0).
(a)Si (m, n) es una diferencia positiva y si (m, n)∼
d
(p, q), entonces existe
r∈N\{0}tal que (r,0)∼
d
(m, n). Por la transitividad de∼
d
,sesigueque
(r,0)∼
d
(p, q); as´ıquer+q=p. Se concluye quep>q. Por lo tanto, (p, q)es
una diferencia positiva.
Definici´on 6.4Una operaci´on llamadaadici´on o suma, y simbolizada por +
es definida para diferencias por
(m, n)+(p, q)=(m+p, n+q).
Claramente, la adici´on es una operaci´on binaria enN×N. La motivaci´on
para la definici´on es que six+n=myy+q=p,entoncessesigueque
(x+y)+(n+q)=m+p.
Lema 6.5Six, y, uyvson diferencias yx∼
d
u,y∼
d
v,entoncesx+y∼
d
u+v.
Demostraci´on:
Supongamos que (a, b)∼
d
(m, n)yque(c, d)∼
d
(p, q). Entonces
a+n=m+b (6.1.1)
y
c+q=p+d. (6.1.2)
Sumando las igualdades (6.1.1) y (6.1.2), y usando la conmutatividad y aso-
ciatividad de la suma enNse tiene que
(a+c)+(n+q)=(m+p)+(b+d).
Osea,(a+c, b+d)∼
d
(m+p, n+q).

132. 6.1. Diferencias 121
Lema 6.6(a) La adici´on de diferencias es asociativa y conmutativa.
(b) La suma de dos diferencias positivas es una diferencia positiva.
(c) La adici´on es cancelable con respecto a∼
d
.
Demostraci´on:
Dejamos como ejercicio las partes(a)y(b).
(c)Supongamos que (a, b)+(m, n)∼
d
(a, b)+(p, q), entonces
(a+m, b+n)∼
d
(a+p, b+q);
es decir,a+m+b+q=a+p+b+n. Usando la cancelaci´on de la suma en
N,sesiguequem+q=p+n;as´ı(m, n)∼
d
(p, q).
Definici´on 6.7Otra operaci´on binaria enN×N,quesellamamultiplicaci´on
y es simbolizada por·,est´adefinida por
(m, n)·(p, q)=(mp+nq, mq+np).
Usualmente denotaremos la multiplicaci´on de diferenciasx, yporxyen lugar
dex·y.
Lema 6.8Six, y, uyvson diferencias tales quex∼
d
uyy∼
d
v,entonces
xy∼
d
uv.
Lema 6.9(a) La multiplicaci´on de diferencias es asociativa, conmutativa y
distribuye sobre la adici´on.
(b) El producto de diferencias positivas es una diferencia positiva.
(c) La multiplicaci´on es cancelable con respecto a∼
d
para diferencias que
no sean de la forma(m, m).
Ejercicios 6.1
1. Pruebe (a) y (b) del Lema 6.6.
2. Pruebe el Lema 6.8.
3. Pruebe el Lema 6.9.

133. 122 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
6.2 Los Enteros
Definici´on 6.10(a) Definimos unn´umero enterocomo una clase de equiva-
lencia m´odulo∼
d
;yescribimos
[x]
i
para la clase de equivalencia determinada por la diferenciax.
(b) El conjunto de todos los n´umeros enteros es denotado porZ.
(c) Decimos que un n´umero entero es positivo si y s´olo si uno de sus
miembros es una diferencia positiva.
Se sigue del Lema 6.3 que si [x]
i
es positivo, entonces todo miembro de [x]
i
es positivo. El conjunto de todos los enteros positivos se denota porZ
+
.
Consideremos la siguiente relaci´on deZ×ZenZ:
{(([x]
i
,[y]
i
),[x+y]
i
):x, yson diferencias}.
Acorde al Lema 6.5, esta relaci´on es una funci´on, y en virtud de su forma, es
una operaci´on binaria enZ. Llamamos a esta operaci´onsumay es simbolizada
por +. As´ı,
[x]
i
+[y]
i
=[x+y]
i
.
La demostraci´on del siguiente resultado se sigue directamente del Lema 6.6.
Proposici´on 6.11La suma de enteros es asociativa, conmutativa y la ley de
cancelaci´on es v´alida. M´as a´un, la suma de dos enteros positivos es un entero
positivo.
Lema 6.12Six,yson n´umeros enteros, entonces existe exactamente un en-
teroztal quex+z=y.
Demostraci´on:
Seanm, n, pyqn´umeros naturales tales que (m, n)∈xy(p, q)∈y.Luego
basta tomar
z=[(p+n, q+m)]
i
.
La unicidad dezse sigue de la ley de cancelaci´on.
Por el resultado anterior se sigue que sixes un entero, entonces existe un
´unico entero, llamado elinverso aditivodex, simbolizado por−xtal que
(−x)+x=[(0,0)]
i=x+(−x).

134. 6.2. Los Enteros 123
Escribiremosy−xpara denotar la suma de los enterosyy−x;osea,y−x=
y+(−x).
Finalmente, consideremos la relaci´on deZ×ZenZ:
{(([x]
i,[y]i),[xy] i):x, yson diferencias}.
Acorde al Lema 6.8 esta relaci´on es una funci´on, que en virtud de su forma,
es una operaci´on binaria enZ. Llamamos a esta operaci´onmultiplicaci´onyes
simbolizada por·;as´ı,
[x]
i
·[y]
i
=[x·y]
i
.
Proposici´on 6.13La multiplicaci´on es asociativa y conmutativa, distribuye
sobre la adici´on y tiene la propiedad de la cancelaci´on si(0,0)no es un miem-
bro del factor cancelado. M´as a´un, el producto de dos enteros positivos es un
entero positivo.
Ahora simplificaremos nuestra notaci´on para los enteros. El primer paso es
la observaci´on de que el conjunto de enteros de la forma [(n,0)]
i
,conn∈Ny
el conjunto de enteros de la forma [(0,m)]
i
conm∈N\{0}, son ajenos y su
uni´on esZ.Enefecto,si[(p, q)]
i
es cualquier entero, entoncesp≥qop<q.
En el primer caso,p=q+nconn∈N,yporlotanto,
[(p, q)]
i
=[(n,0)]
i
.
En el segundo caso,q=p+mconm∈N\{0}y
[(p, q)]
i
=[(0,m)]
i
,
lo cual completa la demostraci´on.
La segunda observaci´on es que podemos definir un orden enZmediante:
[(m, n)]
i
<i[(p, q)]
i
si y s´olo si [(p, q)]
i
−([(m, n)]
i
)∈Z
+
. Mostraremos que< ies un orden lineal
estricto paraZ;as´ıque≤
ies un orden total enZ.M´as a´un,≤ ies un buen
orden en{[(0,0)]
i
}∪Z
+
.
La tercera observaci´on es que la funci´on
f:N→Z
definida porf(n)=[(n,0)]
i
, es inyectiva y preserva las operaciones de suma y
multiplicaci´on. M´as a´un,ftambi´en preserva el orden, es decirm≤nimplica
f(n)≤
if(m). As´ıpodemos decir queZtiene un subconjunto que es la imagen

135. 124 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
orden-isomorfa deN. Esto sugiere llamar a los miembros [(n,0)]
i
deZ,los
enteros que corresponden a los n´umeros naturales y adoptamos 0
i,1i,2i, etc.
como nombres para ellos, es decir,n
i=[(n,0)]
i
,conn∈N.
Puesto que los restantes enteros son los de la forma [(0,m)]
i
conm∈N\{0}
ydadoque−[(m,0)]
i
=[(0,m)]
i
, a estos los denotaremos como
[(0,m)]
i
=−m i,
y son llamadosenteros negativos. Con todas las consideraciones anteriores
podemos decir que
Z={···,−2
i,−1i,0i,1i,2i,···}.
Resumimos nuestros resultados concernientes al sistema
­
Z,+,·,0
i,1i,Z
+
®
de los enteros en el siguiente teorema. Sin embargo, en los ejercicios de esta
secci´on el lector encontrar´a otras propiedades importantes de este sistema.
Teorema 6.14Las operaciones de suma y multiplicaci´on para enteros, junto
con0
i,1iyelconjuntoZ
+
de enteros positivos tienen las siguientes propieda-
des. Para cualesquiera enterosx,y,zse cumplen:
(1)x+(y+z)=(x+y)+z.
(2)x+y=y+x.
(3)0
i+x=x.
(4) Existe un ´unico enteroztal quex+z=0
i;m´as a´un,zes ´unico y es
denotado por−x.
(5)x(yz)=(xy)z.
(6)xy=yx.
(7)1
i·x=x.
(8)x(y+z)=xy+xz.
(9)xz=yz,z6 =0
iimplicax=y.
(10)0
i6 =1i.
(11)x, y∈Z
+
implicax+y∈Z
+
.
(12)x, y∈Z
+
implicaxy∈Z
+
.
(13) Exactamente uno de los siguientes enunciados se cumple:
x∈Z
+
,x =0 i,−x∈Z
+
.
(14) Si<
ies definido porx< iysi y s´olo siy−x∈Z
+
,entonces< ies
un orden lineal estricto enZ,y≤
iun buen orden en{0 i}∪Z
+
.

136. 6.2. Los Enteros 125
Demostraci´on:
El lector debe encargarse de escribir con detenimiento las demostraciones de
(1)a(12).
(13)Six∈Zy(m, n)∈x, entonces exactamente ocurre uno de los casos
m>n, m =n, m < n.
por lo que se deduce el resultado.
(14)Por definici´on deZ
+
,claramente< ies una relaci´on asim´etrica. Si
x<
iyyy< iz,entoncesy−x∈Z
+
yz−y∈Z
+
;luego
z−x=(z−y)+(y−x)∈Z
+
.
Por lo tanto,x<
iz. La segunda parte de(14)se deduce de que la funci´on
f:N−→Z
+
n7 →n i
es un isomorfismo de orden.
Ejercicios 6.2
1. Pruebe la Proposici´on 6.13.
2. Demuestre las partes (1) a (12) del Teorema 6.14.
3. Demuestre cada una de las siguientes propiedades de los enteros:
(a)−(x+y)=−x−y.
(b) (−x)y=−(xy).
(c) (−x)(−y)=xy
(d)x∈Z
+
,y/∈Z
+
implicaxy /∈Z
+
.
(e) Para cualquierx∈Z\{0
i},setienequex
2
∈Z
+
.
4. Pruebe cada una de las siguientes propiedades del sistema de los enteros:
(a)xes positivo si y s´olo si 0
i<ix
(b)x<
iysi y s´olo six+z< iy+z.

137. 126 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
(c) Si 0< iz, entoncesx< iysi y s´olo sixz < iyz.
5. Muestre que cadax∈Ztiene un sucesor inmediato.
6. Seana, b∈Z,muestrequeelintervalo
[a, b]={x∈Z:a≤
ix≤ib}
esfinito (de hecho tieneb−a+ 1 elementos).
7. Sea (X,¹) un conjunto linealmente ordenado tal que:
(a)Xno tiene elemento m´aximo ni m´ınimo.
(b) Cualquier subconjunto acotado esfinito.
Entonces (X,¹)esisomorfoa(Z,≤
i).
8. SeaA⊆ZconA6 =∅.Muestreque:
(a) SiAtiene una cota superior, entoncesAtiene un elemento m´aximo.
(b) SiAtiene una cota inferior, entoncesAtiene un elemento m´ınimo.
6.3 Los Racionales
Definici´on 6.15Un par ordenado (a, b)∈Z×(Z\{0})sellamar´acociente.
Un cociente sellamar´a positivosiabes un n´umero entero positivo.
Introducimos una relaci´on en el conjunto de todos los cocientes por
(a, b)∼
q
(c, d) (6.3.1)
si y s´olo siad=bc. Note que esta relaci´on tiene la propiedad
(ac, bc)∼
q
(a, b)sic6 =0.
Lema 6.16La relaci´on enZ×(Z\{0})descrita por∼
q
,esunarelaci´on de
equivalencia.
Demostraci´on:
´
Unicamente probaremos la transitividad, puesto que la reflexividad y simetr´ıa
son claras a partir de las propiedades deZ.
Supongamos que (a, b)∼
q
(c, d)y(c, d)∼
q
(e, f), entoncesad=bcycf=de
con lo queadf=bcf,yas´ıaf=be.

138. 6.3. Los Racionales 127
Obs´ervese que en la demostraci´on anterior se hizo uso de la ley de can-
celaci´on enZ,nodealg´un artificio extra˜no de divisi´on.
Como en el caso de los n´umeros enteros, si (a, b) es un cociente positivo,
entonces cualquier cociente∼
q
-equivalente con (a, b) es positivo. En efecto, si
(a, b)∼
q
(c, d), entonces por la transitividad de∼
q
ylaobservaci´on que precede
al Lema 6.16,
(ab, b
2
)∼
q
(cd, d
2
);
de aqu´ıque (ab)d
2
=(cd)b
2
.Comoabyd
2
son enteros positivos,abd
2
es
un entero positivo. En virtud del Ejercicio 6.2.(3d), dado queb
2
tambi´en es un
entero positivo,cddebe ser un entero positivo. Por lo tanto, el cociente (c, d)
es un entero positivo.
Ahora es posible dar la definici´on principal de esta secci´on.
Definici´on 6.17Unn´umero racionales una clase de equivalencia m´odulo∼
q
.
El n´umero racional determinado por el cocientexser´arepresentadopor
[x]
q
.
[x]
q
se llamar´apositivosi y s´olo si contiene un cociente positivo. El conjunto
de todos los n´umeros racionales positivos es denotado porQ
+
.
Lema 6.18Sean[(a, b)]
q
y[(c, d)]
q
n´umeros racionales, entonces:
(a)[(a, b)]
q
+[(c, d)]
q
=[(ad+bc, bd]
q
,
(b)[(a, b)]
q
·[(c, d)]
q
=[(ac, bd)]
q
,
son operaciones binarias de suma y producto en el conjunto de todos los
n´umeros racionales,Q.
Demostraci´on:
Si [(a, b)]
q
,[(c, d)]
q
∈Q, entoncesb6 =06 =d, con lo cualbd6 = 0, que implica
[(ad+bc, bd]
q
∈Qy[(ac, bd)]
q
∈Q.
Ahora sean (u, v)∼
q
(a, b)y(x, y)∼
q
(c, d). Probaremos que
(uy+vx,vy)∼
q
(ad+bc, bd).
Como (u, v)∼
q
(a, b), entoncesub=av;delamismamanera xd=cy,que
implicaubyd=avydyxdvb=ycvb;as´ı,ubyd+xdvb=avyd+ycvb.De
aqu´ıconcluimos quebd(uy+xv)=vy(ad+bc), es decir, (uy+xv, vy)es
∼
q
-equivalente a (ad+bc, bd). Por lo tanto,
[(ad+bc, bd)]
q
=[(uy+xv, vy)]
q
.

139. 128 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
An´alogamente [(xu, uy)]
q
=[(ac, bd)]
q
. Con lo cual las operaciones de suma
y producto no dependen de los representantes de las clases.
Definamosa q=[(a,1)]
q
paraa∈Z.Claramente
{(a, a
q):a∈Z}
es una funci´on deZenQ.M´as a´un, es inyectiva y puesto que
a
q+bq=(a+b) q,
a
q·bq=(ab) q,
las operaciones de suma y producto son preservadas bajo esta funci´on. Final-
mente, la imagena
qde un enteroaes un racional positivo si y s´olo siaes un
entero positivo. Esto ´ultimo implica que si<
qes definida en t´erminos de los
racionales positivos (de manera completamente an´aloga como se defini´o<
ien
Z), entonces<
qes un orden lineal enQ.Adem´as, para enterosaybtenemos
quea<
ibsi y s´olo sia q<qbq.As´ı, la funci´ona7 →a qes un isomorfismo
de orden. A los elementosa
qde esta imagen orden-isomorfa deZenQles
llamaremosn´umeros racionales enteros.
En el siguiente teorema se resumen las propiedades del sistema de los n´ume-
ros racionales
­
Q,+,·,0
q,11,Q
+
®
.
Teorema 6.19Las operaciones de suma y multiplicaci´on para los n´umeros
racionales, junto con0
q,1qy el conjunto de los racionales positivosQ
+
,tienen
las siguientes propiedades para racionales cualesquierax,y,z:
(1)x+(y+z)=(x+y)+z.
(2)x+y=y+x.
(3)x+0
q=x.
(4) Existez∈Qtal quex+z=0;m´as a´un,zes ´unico y es denotado por
−x.
(5)x(yz)=(xy)z.
(6)xy=yx.
(7)1
q·x=x.
(8) Six6 =0
qentonces existez∈Qtal quexz=1;m´as a´un,zes ´unico
y es denotado porx
−1
.
(9)x(y+z)=xy+xz.
(10)1
q6 =0q.
(11) Six, y∈Q
+
,entoncesx+y∈Q
+
.

140. 6.3. Los Racionales 129
(12) Six, y∈Q
+
,entoncesxy∈Q
+
.
(13) Exactamente uno de los siguientes enunciados se cumple:
x∈Q
+
,x =0 q,−x∈Q
+
.
(14) SiPes la intersecci´on de todos los subconjuntos deQ
+
que contienen
a1
qy son cerrados bajo la suma, entonces para cadax∈Q
+
,existena, b∈P
tales quexb=a.
(15) La relaci´on<
qdada por
x<
qysi y s´olo siy−x∈Q
+
,
es un orden lineal estricto y tiene las siguientes propiedades:
(i)xes positivo si y s´olo si0
q<qx.
(ii) El cuadrado de un racional diferente de cero es positivo.
(iii) Para cada pareja de racionalesx, yse cumple ´unicamente una de
las siguientes propiedades:
x<
qy, x=y, y < qx.
(iv)x<
qysi y s´olo six+z< qy+z,paratodoz∈Q.
(v) Si0
q<qz,entoncesx< qysi y s´olo sixz < qyz.
Ahora estamos posibilitados para simplificar la notaci´on de los racionales.
La siguiente cadena de igualdades muestra que cada racional puede ser escrito
en t´erminos de n´umeros racionales enteros.
[(a, b)]
q
=[(a,1 i)]
q
·[(1i,b)]
q
=[(a,1 i)]
q
·[(b,1 i)]
−1
q
=aqb
−1
q
.
En lo posterior dejaremos de usar el sub´ındice “q”yadem´as convenimos que
a
b
es otro nombre para el n´umero racionalab
−1
.Deestemodoobtenemosla
notaci´on familiar para racionales.
En t´erminos pr´acticos, esto significa que convenimos adoptar nombres de
representantes (que son miembros) de n´umeros racionales. Para clarificar esta
situaci´on,consideremos,porejemplo,eln´umero racional [[(2,0)]
i
,[(3,0)]
i
]
q
.
Por nuestra convenci´on, 2//3 es el nombre de este racional. La proposici´on

141. 130 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
“2/3=4/5” significa que 4/5esotronombredelmismoracional.Estoes
cierto si y s´olo si
[(2,3)]
q
=[(4,5)]
q
,
que de hecho, es verdadero si y s´olo si 2·5=4·3. Puesto que 2·56 =4·3, la
proposici´on original es falsa. En general, el mismo tipo de an´alisis proporciona
los siguientes resultados para los racionales:
a
b
=
c
d
si y s´olo siad=bc,
a
b
+
c
d
=
ad+bc
bd
,
³
a
b
´
·
³
c
d
´
=
ac
bd
.
A continuaci´on derivaremos algunas propiedades significativas de los n´ume-
ros racionales. En este punto comenzamos a emplear el uso de propiedades
elementales de n´umeros racionales sin la referencia expl´ıcita.
Teorema 6.20Entre dos racionales distintos cualesquiera hay otro n´umero
racional.
Demostraci´on:
Seanx, y∈Qtales quex<
qy.Essuficiente probar que
x<
q
x+y
2
<
qy.
Para demostrar la primera desigualdad obs´ervese quex+x<
qx+y. Entonces
2x<
qx+y. Por lo tanto,x< q
x+y
2
.An´alogamente,
x+y
2
<qy.
Teorema 6.21 (Propiedad Arquimediana) Sir, s∈Q
+
, entonces existe
un enteron(n=n
q)talques< qnr.
Demostraci´on:
Seanr=
a
b
ys=
c
d
,dondea, b, c, d∈N\{0}.Sines (el correspondiente
entero racional) un entero positivo, entoncess<
qnrsi y s´olo sibc < qnad.Si
seleccionamosn=2bc,como1≤ad, la desigualdad se satisface.
Concluimos la discusi´on sobre los n´umeros racionales introduciendo una
funci´on importante.

142. 6.3. Los Racionales 131
Definici´on 6.22Se define la funci´onvalor absoluto,|·|:Q→Q,como
|x|=
½
x, six≥0
−x,six<0
para cadax∈Q.
Teorema 6.23Para cualesquierax, y∈Q, tenemos:
(a)|x|≥0.
(b)|xy|=|x||y|.
(c)|x+y|≤|x|+|y|.
(d)||x|−|y||≤|x−y|.
Ejercicios 6.3
1. Completar las demostraciones de los Lemas 6.16 y 6.18.
2. Pruebe que la funci´ona7 →a
qdeZenQintroducida antes del Teorema
6.19 es un isomorfismo de orden.
3. Demuestre el Teorema 6.19 y muestre que el conjuntoPque aparece en
el inciso (14) de este teorema es simplemente el conjunto de racionales
que corresponden a los enteros positivos.
4. Pruebe que la relaci´on<
qpara los n´umeros racionales puede ser carac-
terizadacomosigue:
a
b
<
q
c
d
si y s´olo siabd
2
<ib
2
cd.
5. Demuestre cada una de las siguientes propiedades de los n´umeros racio-
nales:
(a)−(x+y)=−x−y.
(b) (−x)y=−(xy).
(c) (−x)(−y)=xy
(d)x∈Q
+
,y/∈Q
+
implicaxy /∈Q
+
.
(e) Para cualquierx∈Q\{0
i},setienequex
2
∈Q
+
.
6. Pruebe el Teorema 6.23.

143. 132 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
6.4 Sucesiones de Cauchy de N´umeros Racionales
El conjunto de n´umeros racionalesQcontiene subconjuntos no vac´ıos que son
acotados superiormente pero que carecen de supremo. Uno de ellos es
S=
©
x∈Q
+
:x
2
<3
ª
.
ClaramenteSes acotado superiormente y no vac´ıo. Seau∈Qtal queu
2
>3.
Entonces 0<
3/u+u
2
<u, puesto que
3
u
<
u
2
u
=u;adem´as
·
u+3/u
2
¸
2
=
·
u−3/u
2
¸
2
+3,
por lo que concluimos queSno tiene una m´ınima cota superior. Esta es una
buena raz´on para tratar de extenderQa un nuevo conjunto, en el cual no
sucedan estas irregularidades y se conserven las propiedades fundamentales de
Q.
Definici´on 6.24(a) Unasucesi´on de n´umeros racionales, que denotamos por
(x
n)
∞
n=0
,es una funci´onx:N→Q,dondex(n)=x n.
(b) Una sucesi´on de n´umeros racionalesx=(x
n)
∞
n=0
,se llamade Cauchy,
si para todo²∈Q
+
,existe unn 0∈Ntal que para todom, n≥n 0,
|x
m−xn|<².
Intuitivamente las sucesiones de Cauchy de n´umeros racionales son aquellas
cuyos t´erminos se aproximan unos con otros a partir de un ´ındice suficiente-
mente grande.
Ejemplo 6.25La sucesi´onxtal quex
n=
n+1
n
es una sucesi´on de Cauchy.
Demostraci´on:
Para probarlo exhibiremos, para cada²∈Q
+
,unn 0∈Ntal que para todo
m, n≥n
0,
|x
m−xn|<².
Como|x
m−xn|=
¯
¯
n−m
mn
¯
¯
=
¯
¯
1m
−
1
n
¯ ¯
<
1
min{m,n}
,sitomamosn 0∈Ntal que
n
0>
1
²
+ 1, entonces para todom, n≥n 0,
|x
m−xn|<
1
min{m, n}
<
1
n0
<
1
1
²
=².
Ejemplo 6.26La sucesi´onxtal quex 0=0,x 1=1,yx n+2=
1
2
(xn+1+xn)
es una sucesi´on de Cauchy.

144. 6.4. Sucesiones de Cauchy de N´umeros Racionales 133
Demostraci´on:
Por la definici´on recursiva dex
nes claro que param>n,x mse encuentra
entrex
nyxn+1.As´ı,si²∈Q
+
yelegimosn 0∈Ntal que 2
n0
>
1
²
, entonces
para todom, n≥n
0,
|x
m−xn|≤|x n+1−xn|≤
1
2
n
≤
1
2
n0
<².
Dado que los t´erminos de las sucesiones de Cauchy se van aproximando,
es de esperar que su rango sea un conjunto acotado. Esto se expresa en el
siguiente lema.
Lema 6.27Si(x
n)
∞
n=0
es una sucesi´on de Cauchy, entonces existeδ∈Q
+
tal que|x n|<δpara todon∈N.
Demostraci´on:
Correspondiendo al n´umero racional positivo 1 existe por hip´otesisn
0∈Ntal
que, para todom, n≥n
0,
|x
m−xn|<².
Sea
δ=max{|x
0|,|x1|,...,|x n0
|}+1.
Claramente, sin<n
0, entonces|x n|<δ. Supongamos quen≥n 0, entonces
puesto que|x
n−xn0
|<1sesigueque
|x
n|<|x n0|+1<δ.
Porlotanto,paratodon∈N,|x
n|<δ.
Definici´on 6.28Six=(x n)
∞
n=0
yy=(y n)
∞
n=0
son sucesiones de n´umeros
racionales, se definen las sucesiones sumax+y=(u
n)
∞
n=0
y multiplicaci´on
xy=(v
n)
∞
n=0
,por:
u
n=xn+yn,vn=xnyn,
respectivamente.
Claramente, six, yson sucesiones de n´umeros racionales, entonces tambi´en
lo sonx+yyxy. Es un hecho importante que sixyyson sucesiones de
Cauchy de n´umeros racionales, entoncesx+yyxyson sucesiones de Cauchy.
En otras palabras, la suma y la multiplicaci´on son operaciones binarias en el
conjuntoCde todas las sucesiones de Cauchy de n´umeros racionales.
Lema 6.29Six, yson sucesiones de Cauchy, entonces tambi´en lo son las
sucesiones sumax+y,ymultiplicaci´onxy.

145. 134 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
Demostraci´on:
Probaremos primero lo referente a la suma. Sea²∈Q
+
, por hip´otesis existen
n
1,n2∈Ntales que para todom, n≥n 1,
|x
m−xn|<
²
2
yparatodom, n≥n
2,
|y
m−yn|<
²
2
.
Entonces para todom, n≥max{n
1,n2},
|(x
m+ym)−(x n+yn)|=|(x m−xn)+(y m−yn)|
≤|x
m−xn|+|y m−yn|
<
²
2
+
²
2
=².
Ahora lo referente a la multiplicaci´on. Sea²∈Q
+
; en virtud del Lema 6.27,
existen n´umeros racionales positivosδ
1yδ2tales que para todon∈N,
|x
n|<δ 1y|y n|<δ 2.
Adem´as existenn
1,n2∈Ntales que para todom, n≥n 1,
|x
m−xn|<
²
2δ2
yparatodom, n≥n 2,
|y
m−yn|<
²2δ1
.
Entonces para todom, n≥max{n
1,n2},
|x
mym−xnyn|=|x mym−xnym+xnym−xnyn|
≤|x
m−xn||ym|+|x n||ym−yn|
<
³
²
2δ2
´
δ
2+δ1
³
²
2δ1
´
=².
Las propiedades b´asicas de la suma y multiplicaci´on pueden ser resumidas
por la afirmaci´on de que ellas satisfacen las propiedades (1) a (8) del Teo-
rema 6.14, donde los elementos distinguidos en (3) y (7) son tomados como
la sucesi´on0(cuyo valor es 0 para todon) y la sucesi´on1(cuyo valor es 1
para todon), respectivamente. El negativo de la sucesi´on de Cauchyxes la
sucesi´on−xtal que (−x)
n=−x npara todon∈N.
Introducimos a continuaci´on una relaci´on,lacualser´a simbolizada por∼
c
,
en el conjuntoCde todas las sucesiones de Cauchy de n´umeros racionales.

146. 6.4. Sucesiones de Cauchy de N´umeros Racionales 135
Definici´on 6.30Seanx, y∈C,definamos una relaci´on∼
c
enCcomox∼
c
y
si y s´olo si para cada²∈Q
+
,existen 0∈Ntal que|x n−yn|<²para todo
n≥n
0.
Como una ilustraci´on, considere las sucesionesxyytales quex
n=
n+2
n+1
y
y
n= 1 para todon∈N. Estas son sucesiones de Cauchy y claramentex∼
c
y
puesto quex
n−yn=
1
n+1
.Esf´acil de establecer la siguiente propiedad de esta
relaci´on.
Lema 6.31La relaci´on∼
c
es una relaci´on de equivalencia enC.
Definici´on 6.32Una sucesi´on de Cauchyx∈Cse dicepositivasi existen
²∈Q
+
yn0∈Ntales que para todon≥n 0,xn>².
Las propiedades de sustituci´on esperadas de la relaci´on de equivalencia con
respecto a la suma, multiplicaci´on y positividad son formuladas a continuaci´on.
Lema 6.33Six, y, u, v∈Cson tales quex∼
c
uyy∼
c
v,entoncesx+y∼
c
u+v
yxy∼
c
uv;adem´as, sixes positiva entoncesues positiva.
Demostraci´on:
Se mostrar´aquexy∼
c
uv.Sea²∈Q
+
, existenδ 1,δ2∈Q
+
tales que para todo
n∈N,|y
n|<δ 1y|un|<δ 2.Comox∼
c
uentonces existen 1∈Ntal que para
todon≥n
1,
|x
n−un|<
²
2δ1
ycomoy∼
c
v,existen 2∈Ntal que para todon≥n 2,
|y
n−vn|<
²
2δ2
,
entonces para todon≥max{n
1,n2}se tiene que
|x
nyn−unvn|=|x nyn−unyn+unyn−unvn|
≤|x
n−un||yn|+|u n||ynvn|
<
³
²
2δ1
´
δ
1+δ2
³
²
2δ2
´
=².
Por lo tanto,xy∼
c
uv.An´alogamente,x+y∼
c
u+v.

147. 136 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
Por otro lado, sixes positiva existe²∈Q
+
yn1∈Ntal que para todo
n≥n
1,xn>2²yexisten 2∈Ntal que|x n−un|<²para todon≥n 2.
Entonces para todon≥max{n
1,n2},
u
n>xn−²>2²−²=².
Por lo tanto,ues positiva.
Con el resultado precedente es f´acil probar el siguiente lema, el cual es b´asico
para cuando prestemos atenci´on a la clases de equivalencia de sucesiones de
Cauchy m´odulo∼
c
.
Lema 6.34La suma y la multiplicaci´on de dos sucesiones de Cauchy positivas
son sucesiones de Cauchy positivas. Adem´as, six∈C, entonces una y s´olo
una de las siguientes proposiciones es verdadera:xes positiva,x∼
c
0o−xes
positiva.
Demostraci´on:
Se probar´as´olo la segunda proposici´on, dejando como ejercicio la primera.
Claramente se debe cumplir algunas de las proposiciones. Supongamos que
no se dax∼
c
0. Entonces existe²∈Q
+
tal que para todon∈Nexistem∈N
tal que|x
n|>2².Tambi´en existen 0∈Ntal que|x m−xn|<²para todo
m, n≥n
0. Entonces existep>n 0tal que|x p|>2², por lo cualx p6 =0,por lo
quex
p<0obienx p>0. Six p>0, entoncesx p>2². Luego para todon>p,
|x
n−xp|<²,
lo cual implica quex
n>xp−²>2²−²=². Por lo tanto,xes positiva.
Six
p<0, aplicando un razonamiento an´alogo a−x,tenemos que−xes
positiva.
Lema 6.35Six∈Cno es equivalente a0m´odulo∼
c
,entoncesexistey∈C
tal quexy∼
c
1.
Demostraci´on:
Por el lema anterior, si es falso quex∼
c
0, entonces existen²∈Q
+
yn0∈N,
tales que|x
n|≥²para todon≥n 0.Consid´erese la siguiente sucesi´on:x
0
n
=²
sin<n
0yx
0
n
=xnsin≥n 0. Entonces (x
0
n
)
∞
n=0
∈Cyx∼
c
(x
0
n
)
∞
n=0
;m´as a´un,
para todon∈N,|x
0
n
|≥².

148. 6.4. Sucesiones de Cauchy de N´umeros Racionales 137
Comox
0
n
6= 0 para todon∈N,seayla sucesi´on (y n)
∞
n=0
en donde
y
n=
1
x
0
n
.
Afirmamos quey∈C.Enefecto,seaη∈Q
+
.Como(x
0
n
)
∞
n=0
∈C,existe
n
1∈Ntal que|x
0
m
−x
0
n
|<η²
2
para todom, n≥n 1.Adem´as,
1
x
0
m
x
0
n
≤
1
²
2
puesto que|x
0
n
|≥².Entonces,paratodom, n≥n 1,
|y
m−yn|<η,
lo que implica quey∈C.
Es claro quex
0
y∼
c
1.Ejercicios 6.4
1. Pruebe que la sucesi´onxtal que
x
n=1−
1
3
+
1
5
−···+
(−1)
n
2n+1
es una sucesi´on de Cauchy.
2. Pruebe que la sucesi´onxtal que
x
n=1+
1
1!
+
1
2!
+···+
1
n!
es una sucesi´on de Cauchy.
3. Demuestre que la suma y multiplicaci´on de sucesiones de Cauchy satis-
facen (1) a (8) del Teorema 6.14.
4. Pruebe el Lema 6.31.
5. Complete la demostraci´on del Lema 6.33.
6. Complete la demostraci´on del Lema 6.34.

149. 138 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
6.5 Los Reales
Definici´on 6.36Definimos unn´umero realcomo una clase de equivalencia
m´odulo∼
c
de sucesiones de Cauchy de n´umeros racionales.
El n´umero real determinado por la sucesi´on de Cauchyxlo denotamos como
[x]
r
.
El conjunto de los n´umeros reales esR=C/∼
c
.Unn´umero real es llamado
positivosi y s´olo si contiene una sucesi´on de Cauchy positiva. En vista del
Lema 6.33, si [x]
r
espositivo,entoncescadaunodesusmiembrosespositivo.
El conjunto de todos los n´umeros reales positivos es simbolizado porR
+
.
De modo natural se definen las operaciones de suma y multiplicaci´on de
n´umeros reales como:
[x]
r
+[y]
r
=[x+y]
r
[x]
r
·[y]
r
=[xy]
r
,
que, en virtud de los lemas de la secci´on anterior, son operaciones binarias en
el conjunto de los n´umeros reales. Tambi´en definimos un orden enRpor:
x<
rysi y s´olo siy−x∈R
+
.
Es de esperar que este orden herede todas las propiedades de<
q.Enefecto,
el orden≤
rque resulta a partir de< res un orden total enR.Adem´as,R
tiene un sistema orden-isomorfo aQ;puessia∈Q,entonces (a)
∞
n=0
∈Cy
en consecuencia existe un ´unico n´umero real [a]
r
quecontienea(a)
∞
n=0
;as´ıla
funci´ona7 →[a]
r
es una inyecci´on y un isomorfismo sobre su imagen. M´as a´un,
es f´acil probar que esta funci´on tambi´en preserva las operaciones de suma y
multiplicaci´on.
Los n´umeros reales correspondientes a los n´umeros racionales 0
qy1qson
simbolizados por 0
ry1r.
Teorema 6.37El sistemahR,+,·,0
r,1r,R
+
itiene las propiedades (1) a (13)
y (15) del Teorema 6.19.
La definici´on de la funci´on valor absoluto se extiende a los n´umeros reales
de manera obvia y las relaciones enunciadas en el Teorema 6.23 siguen siendo
v´alidas cuando consideramos el valor absoluto de n´umeros reales.
Los resultados hasta ahora obtenidos muestran queRes una extensi´on de
Q, donde las propiedades fundamentales de los n´umeros racionales son con-
servadas (un ejemplo importante es que la funci´ona7 →[a]
r
preserva el or-
den). Probaremos ahora que todo conjunto no vac´ıo y acotado superiormente,

150. 6.5. Los Reales 139
admite una m´ınima cota superior, pero ello requiere de algunos resultados
preliminares.
En lo posterior haremos referencia a n´umeros naturales, enteros y racionales
deR, puesabusandode notaci´on podemos decir queN⊂Z⊂Q⊆R(dado
queRtiene una “copia” de cada uno de estos sistemas); por lo cual, omitiremos
de ahora en adelante el sub´ındicer.
En el siguiente teorema se presenta una de las propiedades m´as importantes
que enlazan aQyR, se conoce como la propiedad dedensidaddeQenR.
Teorema 6.38Entre dos reales distintos cualesquiera hay un n´umero racio-
nal.
Demostraci´on:
Seanx, y∈Rtales quex<y,yseana∈xyb∈y.Existen²∈Q
+
yn1∈N
tales que para todon≥n
1,bn−an>4².Adem´as comoa, b∈C, entonces
existenn
2,n3∈Ntales que para todom, n≥n 2,
|a
m−an|<²,
yparatodom, n≥n
3,
|b
m−bn|<².
Seann
0=max{n 1,n2,n3}+1ys∈Qtal que²<s< 2²,que existe en
virtud del Teorema 6.20. Ahora consideremos el n´umero realzcorrespondiente
al n´umero racionala
n0
+s. Entoncesa n−an0
<²para todon≥n 0.
Puesto quea
n0−an>−²para todon≥n 0,
a
n0
+s−a n>s−²>0,
esto significa que la sucesi´on de Cauchy
(a
n0
+s, an0
+s,...,an0
+s,...)−a
es positiva y dado que esta sucesi´on es un miembro dez−x,estosignifica que
x<z.
Usando la identidad
b
n−(an0+s)=(b n0−an0)+(b n−bn0)+s
se sigue, con un argumento similar, quey−z∈R
+
; lo que implicaz<y.Por
lo tanto,x<z<y.

151. 140 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
Lema 6.39Six, y∈Cysiexisten 0∈Ntal que para todon≥n 0,xn≤yn,
entonces[x]
r
≤[y]
r
.
Six, y∈Cyexisten
0∈Ntal que para todon≥n 0,xn<yn,entonces
[x]
r
≤[y]
r
, es decir, no se puede garantizar la desigualdad estricta.
El siguiente teorema es una generalizaci´on del Teorema 6.21 para el sistema
de los n´umeros reales.
Teorema 6.40 (Propiedad Arquimediana) Six, y∈R
+
, entonces existe
n∈Ntal quenx > y.
Demostraci´on:
Seab∈y, entonces existeδ∈Q
+
tal que|b n|<δpara todon∈N.Sides el
n´umero real correspondiente a (δ)
∞
n=0
, entoncesy≤d.Tambi´en, el supuesto
0<ximplicalaexistenciades∈Qtal que 0<s<x.Seat∈Qtal que
y≤t≤d. Por la Propiedad Arquimediana para racionales, existen∈Ntal
quens > t. Entoncesnx > ns > t > y.
Teorema 6.41Todo subconjunto no vac´ıoden´umeros reales que tiene una
cota superior, tiene una m´ınima cota superior.
Demostraci´on:
SeaAun conjunto que satisface la hip´otesis del teorema. Por el Teorema 6.40
existenmyMtales quemno es cota superior deAyMs´ıes cota superior
deA. Entonces podemos inferir la existencia de un enterob
0tal queb 0es cota
superior deAperob
0−1noloes.
Definamos la sucesi´on (b
n)
∞
n=0
inductivamente como sigue:
b
n=



b
n−1−
1
2
n,sib n−1−
1
2
nes cota superior deA
b
n−1, sib n−1−
1
2
nno es cota superior deA.
Entonces para todon∈N,b
nes cota superior deA,y podemos probar por
un argumento de inducci´on que
b
n−
1
2
n
no lo es. De este modo, param>n,
b
n−
1
2
n
<bm, (6.5.1)

152. 6.5. Los Reales 141
adem´as es claro que para todom≥n,
b
m≤bn. (6.5.2)
Combinando las desigualdades (6.5.1) y (6.5.2) tenemos que|b
m−bn|<
1
2
n.
Se sigue de aqu´ıque sin
0∈Nym, n≥n 0, entonces
|b
m−bn|<
1
2
n0
;
osea,b=(b
n)
∞
n=0
es una sucesi´on de Cauchy.
Seauel n´umero real que determinab. Entonces por el Lema 6.39, por la
desigualdad (6.5.1) y usando ladesigualdad (6.5.2) para todontenemos que:
b
n−
1
2
n
≤u, (6.5.3)
u≤b
n. (6.5.4)
Demostraremos queues una cota superior deA. Supongamos lo contrario,
es decir, supongamos que existe una∈Atal queu<a.Entonces,existeun
n∈Ntal que 2
n
>
1
a−u
; luego,
1
2
n<a−u.Siestolosumamosaladesigualdad
(6.5.3) tenemos
b
n−
1
2
n
+
1
2
n
<u+a−u,
lo cual implica queb
n<a,que es una contradicci´on. Por lo tanto,ues una
cota superior deA.
Finalmente probaremos queues la m´ınima de las cotas superiores deA.
Supongamos queves cota superior deAyquev<u, entonces existe un
n∈Ntal que
1
2
n<u−v.Comob n−
1
2
nno es cota superior deA, entonces
existea∈Atal queb
n−
1
2
n<a;as´ı
b
n−
1
2
n
<v,
por lo que
1
2
n
+bn−
1
2
n
<u−v+v;
osea,b
n<u, que contradice la desigualdad (6.5.4). Por lo tanto,ues la
m´ınima cota superior deA.
Este ´ultimo teorema es quien proporciona la caracter´ıstica primordial que
hace diferente al sistema de los n´umeros reales. Puede demostrarse que
­
R,+,·,0
r,1r,R
+
®

153. 142 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
es el “´unico” sistema con esta propiedad; es decir, en caso de existir otro
sistema que satisface todas las propiedades en los enunciados de los teoremas
6.37 y 6.41, entonces tambi´en existe un isomorfismo de orden entre ellos que
adem´as preserva las operaciones de suma y multiplicaci´on. Una demostraci´on
completa de esta afirmaci´on se puede consultar en el cap´ıtulo 29 del libro de
Spivak [S
9]. De hecho, existen otras maneras de presentar el sistema de los
n´umeros reales, por ejemplo, el de cortaduras de Dedekind, que se encuentra
en el cl´asico libro de Landau [L
1]. Tambi´en suele introducirse por una lista de
trece axiomas, pero podemos decir que:no importa el m´etodo de presentaci´on
deR,siempre obtenemos, en esencia, el mismo objeto.
Ahora como una consecuencia del teorema anterior mostraremos, despu´es
de dos lemas, que toda sucesi´on de Cauchy de n´umeros reales tiene l´ımite. Una
sucesi´onxde n´umeros reales es una sucesi´on tal quex
n∈Rpara cadan∈N.
Unasucesi´on de Cauchy de n´umeros realeses una sucesi´on de n´umeros reales
tal que para cualquier n´umero real positivo²existen
0∈Ntal que
|x
m−xn|<²
para todom, n≥n
0.
Ahora definiremos la noci´on de l´ımite. Esta noci´on es la habitual del C´alculo
Diferencial e Integral y, de hecho, del An´alisis en general.
Definici´on 6.42El n´umero realyes l´ımite de la sucesi´onxde n´umeros reales
si y s´olo si para todo n´umero real positivo²existe unn
0∈Ntal que
|x
n−y|<²
para todon≥n
0.
Ejemplo 6.43Toda sucesi´on constante de n´umeros reales tiene l´ımite.
La prueba del siguiente lema es un ejercicio.
Lema 6.44El l´ımite de una sucesi´on de n´umeros reales es ´unico.
As´ı,silasucesi´onxde n´umeros reales tiene aycomo un l´ımite, entoncesy
es el ´unico limite y se justifica la siguiente notaci´on familiar paray:
lim
n→∞
xn=y.
Una sucesi´on de n´umeros reales (x
n)
∞
n=0
se llama creciente six n≤xn+1
para cadan∈N,y decreciente six n+1≤xnpara cadan∈N. Con esta
terminolog´ıa podemos dar el siguiente ejemplo que nos proporciona una amplia
variedad de sucesiones con l´ımite.

154. 6.5. Los Reales 143
Ejemplo 6.45Toda sucesi´on de n´umeros reales decreciente (creciente) que
est´a acotada inferiormente, es decir, tal que existeM∈RconM≤x
n,para
todon∈N(respectivamente, superiormente:x
n≤M,para todon∈N),
tiene l´ımite.
Demostraci´on:
Haremos la prueba para sucesiones decrecientes. Sean
y=inf{x
n:n∈N}
y²>0, entoncesy+²no puede ser cota inferior del conjunto{x
n:n∈N}.
As´ı,existen
0∈Ntal que
y≤x
n0
<y+².
Como la sucesi´on (x
n)
∞
n=0
es decreciente, para todon≥n 0tenemos quey≤
x
n≤xn0
<y+². Por lo tanto, para todon≥n 0,
|y−x
n|<².
Lema 6.46Sea(a n)
∞
n=0
una sucesi´on de n´umeros racionales y seaxla suce-
si´on de n´umeros reales tal que para cadan∈N,x
n=[(a n)
∞
m=0
]
r
es el n´umero
real correspondiente aa
n.Entoncesxes una sucesi´on de Cauchy de n´umeros
reales si y s´olo siaes una sucesi´on de Cauchy de n´umeros racionales. Adem´as,
si(a
n)
∞
n=0
es una sucesi´on de Cauchy de n´umeros racionales yzes el n´umero
real que ella define, entonceslim
n→∞an=z.
Demostraci´on:
Demostraremos solamente la segunda afirmaci´on. Sea²un n´umero real positivo
yseaδ=[(d)
∞
n=0
]
r
un n´umero racional tal que 0<δ<².Como(a n)
∞
n=0
es
por hip´otesis una sucesi´on de Cauchy, existen
0∈Ntal que
|a
n−am|<d,
param, n≥n
0.Comoa n−am<d,sim, n≥n 0,se sigue que
[(a
n)
∞
m=0
−(am)
∞
m=0
]
r
≤δ
para cadan≥n
0(por el Lema 6.39), o en otras palabras,
x
n−z≤δ

155. 144 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
siempre quen≥n 0. Similarmente, la desigualdada m−an<dimplica que
z−x
n≤δ
cuandon≥n
0. Por lo tanto, para todon≥n 0,
|x
n−z|≤δ<².
Teorema 6.47Una sucesi´on de n´umeros reales tiene l´ımite si y s´olo si es
una sucesi´on de Cauchy de n´umeros reales.
Demostraci´on:
Se deja como un ejercicio probar que si una sucesi´on de n´umeros reales tiene
l´ımite, entonces es de Cauchy.
Demostraremos la suficiencia. Supongamos queues una sucesi´on de Cauchy
de n´umeros reales. Para cadan∈N,u
n<un+
1
n
y por lo tanto (Teorema
6.38), existe un n´umero racionalx
n∈Rtal que
u
n<xn<un+
1
n
.
Sea²un n´umero real positivo, entonces existen
1∈Ntal quen 1>
3
²
y, por
tanto, para todon≥n
1,
|u
n−xn|<
²
3
(6.5.5)
M´as a´un,xes una sucesi´on de Cauchy de n´umeros racionales, ya que
|x
m−xn|≤|x m−um|+|u m−un|+|u n−xn|,
yparamynsuficientemente grandes cada sumando del lado derecho es menor
que
²
3
.Seaa nel n´umero racional enQal cual correspondex n.PorelLema
6.46,a=(a
n)
∞
n=0
es una sucesi´on de Cauchy de n´umeros racionales y por lo
tanto, define un n´umero realy.Adem´as, por el Lema 6.46
lim
n→∞
xn=y.
De lo anterior se deduce la existencia de alg´unn
2∈Ntal que
|x
n−y|<
²
2
, (6.5.6)
para todon≥n
2.Seinfiere de las desigualdades (6.5.5) y (6.5.6) que para
todon≥max{n
1,n2},
|u
n−y|≤|u n−xn|+|x n−y|<
²
3
+
²
2
<²,

156. 6.5. Los Reales 145
lo cual significa que
y=lim
n→∞
un.
Finalmente estableceremos la posibilidad de representar a un n´umero
real por una expresi´on decimal. Para cada n´umero real no negativox,de-
notaremos porbxcal mayor entero menor o igual ax;esdecir,
bxc=max{n∈N:n≤x}.
Teorema 6.48Searun n´umero entero mayor o igual a2. A cada n´umero
real no negativo,xcorresponde una sucesi´on(d
n)
∞
n=0
de enteros, los cuales
est´an un´ıvocamente determinados porx(relativo ar), tales que:
(a)d
0=bxc,
(b)0≤d
n<rpara cadan≥1,
(c) la sucesi´on cuyos t´erminos est´an definidos recursivamente por
y
0=d0
yn+1=yn+
d
n+1
r
n+1
es una sucesi´on de Cauchy ylim n→∞yn=x.
Demostraci´on:
Seanrun entero mayor o igual a 2,xun n´umero real no negativo yd
0=bxc.
Entonces
xr=d
0r+x 1
para alg´un n´umerox 1tal que 0≤x 1<r.Sid 1=bx 1c,setieneque
x
1r=d 1r+x 2,
para alg´un 0≤x
2<r. En general, definamosx npor
x
n−1r=d n−1r+x n
ysead n=bx nc. Entonces
x=d
0+
d
1
r
+
d
2
r
2
+···+
d
n
r
n
+
x
n+1
r
n+1
,
donde 0≤x
n+1<r. Por lo tanto,
0≤x−
µ
d
0+
d
1
r
+
d
2
r
2
+···+
d
n
r
n
¶
<
1
r
n
.

157. 146 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales
De acuerdo a la definici´on dey nen(c), esto lo podemos escribir como
0≤x−y
n<
1
r
n
,
por lo que se sigue que|x−y
n|<
1
r
n,yas´ı
lim
n→∞
yn=x.
La prueba de la unicidad (relativa ar)delasucesi´on correspondiente ax
se deja como un ejercicio.
Sir= 10 en el teorema precedente obtenemos la familiar representaci´on de-
cimal de un n´umero real no negativo; cuandor= 2 se obtiene la representaci´on
di´adica, etc. Por ejemplo para la representaci´on decimal del conocido n´umero
πtenemos que:d
0=3,d 1=1,d 2=4,d 3=1,d 4=5,d 5=9,d 6=
2,d
7=6,d 8=5,d 9=3,d 10=5,d 11=8,d 12=9,d 13=7,d 14=
9,d
15=3,d 16=2,d 17=3,d 18=8,d 19=4,d 20= 6, etc. Por lo cual
habitualmente lo escribimos como:
π=3.14159265358979323846....
Ejercicios 6.5
1. Pruebe que la funci´ona7 →[a]
r
es un isomorfismo de orden entreQ
y un subconjunto deR.Adem´as, pruebe que esta funci´on preserva las
operaciones de suma y multiplicaci´on.
2. Demuestre el Teorema 6.37.
3. Pruebe el Lema 6.39.
4. Dar un ejemplo de dos sucesionesxyytales quex
n<ynpara cada
n∈N,peroque[x]
r
=[y]
r
.
5. Pruebe la afirmaci´on realizada en la prueba del Teorema 6.41 de que
b
n−
1
2
nno es una cota superior deA.
6. SeanAyBsubconjuntos no vac´ıos de n´umeros reales. Demuestre que
siAyBest´an acotados superiormente, entonces
C={x+y:x∈A, y∈B}
est´a acotado superiormente y supC=supA+supB.

158. 6.5. Los Reales 147
7. SeanAyBsubconjuntos no vac´ıos de n´umeros reales positivos. De-
muestre que siAyBest´an acotados superiormente, entonces
C={x·y:x∈A, y∈B}
est´a acotado superiormente y supC=supA·supB.
8. Sea{A
α}
α∈I
una familia de subconjuntos deRno vac´ıos y acotados
superiormente, y seaB={supA
α:α∈I}.DemuestrequeA=
S
α∈I
Aα
est´a acotado superiormente si y s´olo siBest´a acotado superiormente.
¿Qu´erelaci´on existe entre supA(si existe) y supB?
9. Una funci´onf:A⊆R→Rse llama continua ena∈Asi para cada
²>0existeδ>0 tal que para|h|<δya+h∈A,|f(a+h)−f(a)|<².
Demuestre que sifes una funci´on continua en cada punto de un intervalo
[a, b]talquef(a)<0yf(b)>0, entonces existe un n´umeroctal
quea<c<b yf(c) = 0. (Sugerencia: definaccomo el supremo de
{x∈[a, b]:f(x)<0}.)
10. Suponga que las funciones polinomiales son continuas enR.Seafla
funci´on polinomial tal quef(x)=x
n
−a, donden∈Nya∈R
+
.Pruebe
que existe exactamente un n´umero real positivoctal quef(c)=0.Este
n´umerocse llaman-´esima ra´ızdeay se denota por
n
√
aoa
1
n.
11. Pruebe usando el ejercicio anterior que hay n´umeros reales que no son
racionales.
12. Sia>0,b>0, yn∈N,pruebeque
n
√
a
n
√
b=
n
√
ab.
13. Pruebe el Lema 6.44.
14. Pruebe la primera afirmaci´on del Lema 6.46.
15. Pruebe la necesidad del Teorema 6.47.
16. Pruebe la unicidad de la sucesi´on (d
n)
∞
n=0
asegurada en el Teorema 6.48.

159. 148 6. La Extensi´on de los Naturales a los Reales

160. 7
Cardinalidad
7.1 Introducci´on
Una de las distinciones fundamentales en matem´aticas es la existente entre
conjuntofinito e infinito. La diferencia es tan comprensible intuitivamente
que, incluso en la ausencia de una definici´on formal, no hay duda alguna
de si un conjunto dado esfinito o infinito. Anteriormente sugerimos que los
conjuntosfinitos pueden ser definidos como aquellos conjuntos que son el rango
de alguna sucesi´onfinita; o sea, aquellos que pueden expresarse en la forma
{a
1,a2,...,an}. En la segunda secci´on de este cap´ıtulo daremos un significado
preciso de esta proposici´on.Laideaesm´as o menos as´ı: al contar la colecci´onS
de sillas de un sal´on lo que cotidianamente hacemos es establecer una biyecci´on
entre la colecci´on de sillas y un n´umero naturaln={0,1,2,...,n−1}.Ental
caso decimos que el n´umero de elementos o cardinalidad deSesn.
¿C´omo “contar´ıamos” los elementos que forman el conjunto de los n´umeros
pares o el conjunto de n´umeros realesxtales que 0≤x≤1? Esta pregunta
nos lleva a cuestionarnos: ¿Qu´e podremos entender por la cardinalidad de con-
juntos infinitos? Otro problema es: ¿Tendr´a sentido hablar de n´umero cardinal
como el n´umero de elementos de un conjunto? Para los conjuntosfinitos la res-
puesta es indudablemente s´ı; por ejemplo, podemos decir que el n´umero car-
dinal de la colecci´on de sillasSesn. Imitando lo dicho para conjuntosfinitos,
haremos una extensi´on del concepto de n´umero, es decir, hablando vagamente,
podemos decir que el n´umero cardinal de un conjunto es la propiedad com´un
que tienen el conjunto y todos los conjuntos equivalentes a ´el; o sea, aquellos
que contienen la misma cantidad de elementos. Ya sabemos que no tenemos
facultad de decir que el n´umero cardinal de un conjunto arbitrarioXes igual al
conjunto de todos los conjuntos equivalentes aX, pues no hay un conjunto as´ı
de grande. Lo que sigue es, sugerido por analog´ıaconlosn´umeros naturales,
definir el n´umero cardinal de un conjuntoXcomo un conjunto equivalente a
Xelegido en forma particularmente cuidadosa.

161. 150 7. Cardinalidad
7.2 Conjuntos Finitos
Definici´on 7.1(a) Un conjuntoSesfinitosi existe una funci´on biyectiva
fdeSen alg´un n´umero naturaln.Si ´este es el caso, entonces decimos que
Stienenelementos o que el n´umero cardinal deSesny denotamos|S|=
#(S)=n.
(b) Un conjuntoSesinfinitosi no esfinito.
Las primeras observaciones que debemos hacer es que, en efecto, #(n)=n.
Por otra parte, es conveniente verificar inmediatamente que no hay un conjunto
Stal que #(S)=n,#(S)=msimult´aneamente, yn6 =m. Esto se sigue del
siguiente lema.
Lema 7.2Sin∈N, entonces no existe una funci´on inyectiva densobre un
subconjunto propioX⊂n.
Demostraci´on:
Por inducci´on sobren.Paran=0,la afirmaci´on es trivialmente cierta.
Supongamos que es cierto paran, probaremos que tambi´en lo es paran+1.
Si la afirmaci´on es falsa paran+ 1, entonces existe una funci´on inyectivafde
n+1enalg´unX⊂n+ 1. Hay dos posibles casos:n∈Xon/∈X.Sin/∈X,
entoncesX⊆n,yf|
nmandansobre el subconjunto propioX\{f(n)}
den,lo cual es imposible. Sin∈X, entoncesn=f(k)paraalg´unk≤n.
Consideremos la funci´ongenndefinida como sigue:
g(i)=
½
f(i),para todoi6 =k,i<n
f(n)sii=k<n.
La funci´onges inyectiva y mandansobreX\{n}, un subconjunto propio de
n; una contradicci´on.
Corolario 7.3(a) Sim6 =n,entoncesnoexisteunabiyecci´on demenn.
(b) Si#(S)=my#(S)=nentoncesm=n.
(c)Nes infinito.
Demostraci´on:
Para ver que(c)se cumple, asumamos que hay una biyecci´onfdeNen alg´un
n∈N.Entoncesf|
nmandansobre un subconjunto propio den,locuales
una contradicci´on.
Teorema 7.4SiXes un conjuntofinito yY⊆X,entoncesYesfinito. M´as
a´un,#(Y)≤#(X).

162. 7.2. Conjuntos Finitos 151
Demostraci´on:
Podemos suponer queY6 =∅.ComoXesfinito,
X={x
0,x1,...,xn−1},
donde (x
i)
n−1
i=0
es una sucesi´on inyectiva. Para mostrar queYesfinito, cons-
truiremos una sucesi´onfinita inyectiva cuyo rango esY. Usaremos el Teorema
de Recursi´on en la versi´on del Ejercicio 5.3.4. Sea
k
0=min{k:x k∈Y},
ysi{k:k>k
i,k<nyx k∈Y}6 =∅,sea
k
i+1=min{k:k>k i,k<n,yx k∈Y}.
Esto define una sucesi´onfinita (k
i)
m−1
i=0
. Al hacery i=xki
para todoi<m,
entoncesY={y
i:i<m}.Sedejadeejerciciomostrarquem≤n.
Teorema 7.5SiXes un conjuntofinito yfes una funci´on, entoncesf(X)
esfinito. M´as a´un,#(f(X))≤#(X).
Demostraci´on:
SeaX={x
0,x1,...,xn−1}. Nuevamente usaremos recursi´on para construir
una sucesi´onfinita e inyectiva cuyo rango esf(X). Ahora usaremos la versi´on
f(n+1) =g(f|
n). La construcci´on es como sigue (los detalles se dejan al
lector):
k
0=0,k i+1es el m´ınimok>k ital quek<nyf(x k)6 =f(x kj
)paratoda
j<i,yy
i=f(x ki
). Entoncesf(X)={y 0,y1,...,ym−1}para alg´unm≤n.
Como una consecuencia, si (a i)
n−1
i=0
es una sucesi´on (inyectiva o no), entonces
el conjunto{a
i:i<n}esfinito.
Cuando fue necesario mostrar un conjunto infinito (el conjunto de todos los
n´umeros naturales), agregamos un axioma que garantizara su existencia. Todas
las posibles construcciones creadas por el Axioma Esquema de Comprensi´on, al
ser aplicadas a conjuntosfinitos, generan conjuntosfinitos. Ahora mostraremos
que siXes un conjuntofinito, entoncesP(X)esfinito, y siXes un sistema
finito de conjuntosfinitos, entonces
S
Xesfinito. Por lo tanto, es necesario
agregar el Axioma de Infinitud.
Lema 7.6SiXyYson conjuntosfinitos, entoncesX∪Yesfinito. M´as a´un,
|X∪Y|≤|X|+|Y|,ysiX∩Y=∅,entonces|X∪Y|=|X|+|Y|.

163. 152 7. Cardinalidad
Es f´acil probar la primera parte del lema, solamente construya una sucesi´on
con rangoX∪Y. Para la segunda parte use inducci´on.
Teorema 7.7SiSesfinito y si cualquierX∈Sesfinito, entonces
S
Ses
finito.
Demostraci´on:
Procederemos por inducci´on sobre el n´umero de elementos deS.Laproposici´on
es cierta si|S|=0.As´ı, supongamos que es cierta para todoScon|S|=n
yseaS={X
0,X1,...,Xn−1,Xn}un conjunto conn+ 1 elementos, con cada
X
i∈Sfinito. Por la hip´otesis de inducci´on,
S
n−1
i=0
Xiesfinito. Como
[
S=
Ã
n−1
[
i=0
Xi
!
∪X
n,
por el Lema 7.6,
S
Sesfinito.
Teorema 7.8SiXesfinito, entoncesP(X)esfinito.
Demostraci´on:
Por inducci´on sobre #(X). Si #(X) = 0, entoncesP(X)={∅}esfinito.
Supongamos queP(X)esfinito cuando #(X)=n,yseaYun conjunto con
n+ 1 elementos:
Y={y
0,y1,...,yn}.
SeaX=Y\{y
n}.NotequeP(Y)=P(X)∪U, donde
U={U∈P(Y):y
n∈U}.
Adem´as, observe que #(U)=#(P(X)) (puesto que una biyecci´on esf(U)=
U\{y
n},para todoU∈U). Por lo tanto,P(Y) es uni´on de dos conjuntos
finitos y as´ıfinito.
Para concluir esta secci´on, discutiremos brevemente otro enfoque de lafini-
tud. En la introducci´on del Cap´ıtulo 5 mencionamos que es posible dar una
definici´on de conjuntofinito sin hacer referencia a los n´umeros naturales. Aqu´ı
hay una de tales definiciones: Un conjuntoXesfinitosi existe una relaci´on¹
sobreXtal que
(a)¹es un orden lineal enX,
(b) todo subconjunto no vac´ıodeXtiene elementos m´aximo y m´ınimo en
el orden¹.

164. 7.2. Conjuntos Finitos 153
Esta definici´on definitud coincide con la que usamos por medio de sucesiones
finitas: SiX={x
0,x1,...,xn−1}, entoncesx 0¹x1¹ ··· ¹x n−1describe
un orden lineal enXcon las propiedades requeridas. Por otro lado, si (X,¹)
satisface (a) y (b), construimos, por recursi´on, una sucesi´onfinita (x
0,x1,...)
como en el Teorema 5.18. La sucesi´on agota todos los elementos deX,deotro
modo el conjunto infinito{x
0,x1,...}no tiene elemento m´aximo enX.
Mencionemos otra definici´on definitud que no involucra a los n´umeros na-
turales. Decimos que un conjuntoXesfinitosi cualquier familia no vac´ıade
subconjuntos deXtiene un elemento⊆-maximal, es decir, si∅6 =U⊆P(X),
entonces existeU∈Utal que para ning´unV∈U,U⊂V. En el Ejercicio 7.2.7
se sugiere c´omo demostrar la equivalencia de esta definici´on con la Definici´on
7.1.
Una ´ultima consideraci´on: Se muestra a partir del Lema 7.2 que siXes
finito, entonces no hay una funci´on biyectiva deXen un subconjunto propio.
Por otro lado, para conjuntos infinitos, como el de los n´umeros naturales,
existen funciones biyectivas sobre subconjuntos propios (por ejemplo,f(n)=
n+ 1). Si uno define a los conjuntosfinitos como aquellos conjuntos que no
son equipotentes con alg´un subconjunto propio, entonces sin el Axioma de
Elecci´on es imposible probar la equivalencia de esta definici´on con la dada en
7.1.
Ejercicios 7.2
1. Pruebe quem≤nen el Teorema 7.4 (Sugerencia: aplique inducci´on,
k
i≥isiempre que est´edefinido, as´ıen particular,m−1≤k m−1≤m.)
2. SeanA6 =∅yn∈N. Demuestre que son equivalentes:
(a) Existef:n→Asobreyectiva.
(b) Existeg:A→ninyectiva.
(c)Aesfinito con a lo m´asnelementos.
3. Pruebe que siX,Yson conjuntosfinitos entoncesX×Yes un conjunto
finito y #(X×Y)=#(X)·#(Y).
4. Demuestre el Lema 7.6.
5. Pruebe que siXtienenelementos entoncesP(X)tiene2
n
elementos.

165. 154 7. Cardinalidad
6. Demuestre que siX,Yson conjuntosfinitos entoncesX
Y
tiene|X|
|Y|
elementos.
7. Demuestre queXesfinito si y s´olosicualquierfamilianovac´ıade
subconjuntos deXtiene un elemento⊆-maximal. (Sugerencia: sea|X|=
nyU⊆P(X). Seamel m´aximo n´umero en{|U|:U∈U}.SiU∈U
y|U|=m, entoncesUes maximal. Por otro lado, siXes infinito, sea
U={Y⊆X:Yesfinito}.)
8. Use el Lema 7.2 y los Ejercicios 3 y 6 para dar demostraciones f´aciles
de la conmutatividad y asociatividad de la suma y multiplicaci´on de
n´umeros naturales, distribuci´on de la multiplicaci´on sobre la suma, y las
propiedades usuales de la exponenciaci´on.
9. Pruebe que siXesfinito y¹,£son dos ordenes totales paraX, entonces
(X,¹)y(X,£) son isomorfos.
10. SeaR⊆A
2
un buen orden. Muestre que salvo queAseafinito,R
−1
no
es un buen orden.
7.3 Cardinalidad en Conjuntos Infinitos
En el Cap´ıtulo 5 dimos una definici´on precisa de la proposici´on “los conjuntos
AyBtienen la misma cantidad de elementos”. Afirmamos que los conjuntosA
yBtienen la misma cardinalidadsi existe una funci´on biyectiva deAenB.En
la secci´on anterior pusimos nuestra atenci´on a los conjuntosfinitos y probamos
algunas de sus propiedades; ahora empezaremos a investigar propiedades de
los conjuntos infinitos. Una definici´on propia del conjunto|X|,el“n´umero”
de elementos del conjuntoX,est´ecnicamente dif´ıcil,porlotanto,lapospon-
dremos para el Cap´ıtulo 9 y nos concentraremos, en la presente secci´on, en la
propiedad “AyBtienen la misma cardinalidad”. Empezamos con la siguiente
definici´on.
Definici´on 7.9Lacardinalidad deAes menor o igual a la cardinalidad de
B,si existe una funci´on inyectiva deAenB.
A pesar de que los objetos|A|y|B|no hayan sido definidos, es conveniente
usar la notaci´on|A|=|B|para expresar “AyBtienen la misma cardinalidad”
y|A|≤|B|para “la cardinalidad deAes menor o igual a la cardinalidad deB”.
Cuando se defina con precisi´on el s´ımbolo|X|, mostraremos que la notaci´on
es consistente con la presente notaci´on, es decir, queAyBson equipotentes

166. 7.3. Cardinalidad en Conjuntos Infinitos 155
si y s´olo si|A|es el mismo conjunto que|B|, etc. El lector puede notar que
para conjuntosfinitosAyBesto es una consecuencia de la Definici´on 7.1 y
del Corolario 7.3.
Algunas propiedades importantes son:
(a)Si|X|=|Y|,entonces|X|≤|Y|y|Y|≤|X|.
(b)Si|X|≤|Y|y|Y|≤|Z|, entonces|X|≤|Z|. En efecto sif:X→Yy
g:Y→Zson funciones inyectivas, entoncesg◦f:X→Zes inyectiva.
(c)Si|X|≤|Y|y|Y|≤|X|, entonces|X|=|Y|. Esto es mucho menos
trivial y posponemos la demostraci´onhastalaSecci´on 7.5.
As´ı,lapropiedad|X|=|Y|es una (clase) relaci´on de equivalencia y|X|≤
|Y|es un orden parcial en la clase de los conjuntos. Una pregunta natural es
cu´ando esta relaci´on es un (clase) orden total, es decir, cu´ando
(d)|X|≤|Y|o|Y|≤|X|se cumple para todoX, Y.
Se sabe que esto no puede demostrarse sin el Axioma de Elecci´on, por ello
lo posponemos para el Cap´ıtulo 9.
Decimos quela cardinalidad deXes menor que la cardinalidad deYy
escribimos|X|<|Y|si|X|≤|Y|,perolarelaci´on|X|=|Y|no se cumple;
esto es, si existe una funci´on inyectiva deXenYy no existe una biyecci´on.
Note que esto no equivale a decir: Existe una funci´on inyectiva deXenY,
pero no sobreY.
Teorema 7.10SiXes infinito, entonces|X|>|n|para todon∈N.
Demostraci´on:
Es suficiente mostrar que|X|≥|n|para todon∈N, lo cual puede realizarse
por inducci´on. Claramente,|0|≤|X|. Supongamos que|X|≥|n|; entonces hay
una funci´on inyectivaf:n→X.ComoXes infinito, existex∈X\ranf.
Definamosg=f∪{(n, x)};g:n+1→Xes inyectiva. Por lo tanto,|X|≥
|n+1|.
Ejercicios 7.3
1. Muestre que:
(a) Si|X|=|Y|y|Y|≤|Z|, entonces|X|≤|Z|.
(b) Si|X|≤|Y|y|Y|<|Z|, entonces|X|<|Z|.

167. 156 7. Cardinalidad
2. SeaSun conjunto, y seaFel conjunto de todos los subconjuntos
finitos deS.Demuestreque|S|≤|F|≤|P(S)|. (Sugerencia:|S|=
|{{a}:a∈S}|.)
3. Muestre que|A|≤
¯
¯A
S
¯
¯para cualquierAy cualquierS6 =∅.
4. Demuestre que|T|≤
¯
¯
S
T
¯
¯
si|S|≥|2|. (Sugerencia:fijeu, v∈Sypara
cadat∈T,consideref
t:T→Stal quef t(t)=u,f t(x)=vde otro
modo.)
5. Demuestre que:
(a) Cualesquiera dos intervalos abiertos de n´umeros reales (a, b)y(c, d)
son equipotentes.
(b)Res equipotente a (0,1).
7.4 Conjuntos Numerables
El Axioma de Infinitud nos provee de un conjunto infinito (el conjunto de los
n´umeros naturales) del cual se desprenden muchos otros conjuntos infinitos. En
esta secci´on investigaremos la cardinalidad deN, esto es, estamos interesados
en conjuntos equipotentes al conjuntoN.
Definici´on 7.11(a) Un conjuntoSesnumerablesi|S|=|N|.
(b) Un conjunto esalom´as numerablesi|S|≤|N|.
As´ı,unconjuntoSes numerable si y s´olo si existe una biyecci´on deNen
S;Sesalom´as numerable si existe una funci´on inyectiva deSenN.
Ejemplo 7.12Tanto el conjunto de los n´umeros naturales pares como el con-
junto de n´umeros naturales impares son numerables, a pesar de ser subcon-
juntos propios deN.
Teorema 7.13Un subconjunto infinito de un conjunto numerable es nume-
rable.
Demostraci´on:
SeaAun conjunto numerable, y seaB⊆Ainfinito. Entonces hay una sucesi´on
inyectiva (a
n)
∞
n=0
cuyo rango esA.Seab 0=ak0
, dondek 0es el m´ınimoktal
quea
k∈B. Teniendo construidob n,seab n+1=akn+1
, dondek n+1es el
m´ınimoktal quea
k∈Bya k6 =bipara todoi≤n.Talkexiste puesto que

168. 7.4. Conjuntos Numerables 157
Bes infinito. La existencia de la sucesi´on (b n)
∞
n=0
se sigue f´acilmente por el
Teorema de Recursi´on 5.17. Es f´acilver(porinducci´on) queB={b
n:n∈N}
yque(b
n)
∞
n=0
es inyectiva. As´ı,Bes numerable.
Ejemplo 7.14El conjunto de los n´umeros primos es numerable. Obs´ervese
que esto implica la existencia de una funci´on biyectiva del conjunto de los
n´umeros naturales en el conjunto de los n´umeros primos.
Si un conjuntoSesalom´as numerable, entonces es equipotente a un
subconjunto de un conjunto numerable; por el Teorema 7.13, ´este es o bien
finito o numerable. As´ıtenemos el siguiente corolario.
Corolario 7.15Unconjuntoesalom´as numerable si y s´olo si es o bien
finitoonumerable.
El rango de una sucesi´on inyectiva es numerable. Si (a
n)
∞
n=0
es una sucesi´on
la cual no es inyectiva, entonces el conjunto{a
n:n∈N}puede serfinito
(por ejemplo, si la sucesi´on es constante). Sin embargo si el rango es infinito,
entonces es numerable.
Teorema 7.16El rango de una sucesi´on(a
n)
∞
n=0
esalom´as numerable; es
decir,finito o numerable. En otras palabras la imagen de un conjunto nume-
rable bajo una funci´onesalom´as numerable.
Demostraci´on:
Por recursi´on construiremos una sucesi´on (b
n)(condominiofinitooinfinito)
la cual es inyectiva y tiene el mismo rango que (a
n)
∞
n=0
.Seab 0=a0, y te-
niendo construidob
n,seab n+1=akn+1
, dondek n+1es el m´ınimoktal que
a
k6=bipara todai≤n. (Si no hay talesk, entonces consideramos la sucesi´on
finita (b
i)i<n+1.) La sucesi´on (b n)
∞
n=0
as´ıconstruida es inyectiva y su rango es
{a
n:n∈N}.
N´otese que una diferencia entre los conjuntosfinitos e infinitoseslasiguien-
te: SiSes un conjunto numerable entoncesSpuede descomponerse en dos
partes ajenas,AyB,talesque|A|=|B|=|S|, que es inconcebible siSes
finito (salvoS=∅). Podemos de hecho hacer algo m´as. Seap
neln-´esimo
n´umero primo y sean
S
n=
n
p
k
n
:k∈N
o
.
Los conjuntosS
n(n∈N) son ajenos por pares e infinitos. As´ıtenemos que
N⊇
S
∞
n=0
Sncon|S n|=|N|.

169. 158 7. Cardinalidad
Los siguientes dos teoremas muestran que las operaciones simples aplicadas
a conjuntos numerables generan conjuntos numerables.
Teorema 7.17La uni´on de dos conjuntos numerables es un conjunto nume-
rable.
Demostraci´on:
SeanA={a
n:n∈N}yB={b n:n∈N}, entonces basta construir una
sucesi´on (c
n)
∞
n=0
como sigue:
c
2k=akyc2k+1=bk
para todok∈N.Ahora,A∪B={c n:n∈N}y como es un conjunto infinito,
es entonces numerable.
Corolario 7.18La uni´on de una familiafinita de conjuntos numerables es
un conjunto numerable.
Uno puede conjeturar que es posible establecer un resultado m´as fuerte, es
decir, demostrar que la uni´on de una familia numerable de conjuntos nume-
rables es un conjunto numerable. Sin embargo, esto puede probarse solamente
usando el Axioma de Elecci´on; de hecho, sin usar el Axioma de Elecci´on no
se puede demostrar el siguiente teorema “evidente”. SiA={A
n:n∈N}y
|A
n|= 2 para cadan,entonces
S
∞
n=0
Anes numerable. (Compare esto con los
Ejercicios 7.4.11 y 7.4.12.)
Teorema 7.19SiAyBson conjuntos numerables, entoncesA×Bes nu-
merable.
Demostraci´on:
Es suficiente mostrar que|N×N|=|N|(ver Ejercicio 7.4.2.)
Consideremos la funci´onf:N×N→Ndada por
f(m, n)=2
m
(2n+1)−1.
Se le pide al lector verificar que esta funci´on es biyectiva.
Corolario 7.20El producto cartesiano de una cantidadfinita de conjuntos
numerables es numerable. Consecuentemente,N
m
es numerable para todom∈
N.
Corolario 7.21El conjunto de los n´umeros enterosZy el conjunto de los
n´umeros racionalesQson numerables.

170. 7.4. Conjuntos Numerables 159
Demostraci´on:
Por el Teorema 7.17,ZyZ\{0}son numerables, as´ıqueelconjuntodeco-
cientesZ×Z\{0}es numerable, y puesto que la proyecci´on natural
deZ×Z\{0}enQes sobreyectiva, por el Teorema 7.16,Qes numerable.
Para que no pensemos que todos los conjuntos infinitos son numerables, he
aqu´ıun importante ejemplo de un conjunto no numerable.
Teorema 7.22El conjunto de los n´umeros realesRes un conjunto no nu-
merable.
Demostraci´on:
Tomemos una sucesi´on cualquiera de n´umeros reales (a
n)
∞
n=0
.Expresemoscada
n´umero reala
nen su expansi´on decimal (ver Teorema 6.48):
a
0=a
(0)
0
.a
(0)
1
a
(0)
2
a
(0)
3
···
a
1=a
(1)
0
.a
(1)
1
a
(1)
2
a
(1)
3
···
a
2=a
(2)
0
.a
(2)
1
a
(2)
2
a
(2)
3
···
···
Seab=b
0.b1b2b3···el n´umero real definido como sigue:
b
n=
(
0,sia
(n)
n
6=0
1,sia
(n)
n
=0.
Entoncesb6 =a
npara cadanyas´ıbno pertenece al rango de la sucesi´on
(a
n)
∞
n=0
, lo cual implica que no existen sucesiones sobreyectivas de n´umeros
reales. Por lo tanto,|N|<|R|;as´ı,Rno es numerable.
Este resultado, original de Cantor, despert´o en su momento una gran con-
troversia; de ´el se concluye que existen diferentes “tama˜nos” de conjuntos
infinitos.

171. 160 7. Cardinalidad
Ejercicios 7.4
1. SeaAun conjunto numerable yx∈A,muestrequeA\{x}es nume-
rable; concluya que un conjunto numerable siempre es equipotente a un
subconjunto propio.
2. Pruebe que si|A
1|=|A 2|y|B 1|=|B 2|, entonces|A 1×B1|=|A 2×B2|.
3. Pruebe que la funci´onfen la demostraci´on del Teorema 7.19 es biyectiva.
4. Un n´umero realxesalgebraicosi es soluci´on de alguna ecuaci´on
a
nx
n
+an−1x
n−1
+···+a 1x+a 0,
donde losa
ison n´umeros enteros. Sixno es algebraico se llamatrascen-
dental.
(a) Muestrequeelconjuntoden´umeros algebraicos es numerable.
(b) Muestre que el conjunto de n´umeros trascendentales es no nume-
rable.
5. Pruebe que el conjunto de todas las l´ıneas rectas del planoR
2
que pasan
por al menos dos puntos con coordenadas racionales es numerable.
6. Para cadan6 =0,demuestrequeelconjunto
[N]
n
={S⊆N:|S|=n}
es numerable. (Sugerencia: [N]
n
es la imagen de un conjunto numerable.)
7. SeaSel conjunto de todas las sucesiones semiconstantes de n´umeros
naturales ((s
n)
∞
n=0
es semiconstante si existen 0∈Ntal que para todo
n≥n
0,sn=sn0
). Demuestre queSes numerable. (Sugerencia: para
s∈Sseaf(s)=
Q
i<n0
p
si
i
, dondep ies eli-´esimo n´umero primo. La
funci´onfes inyectiva.)
8. Pruebe que el conjunto de todas las sucesionesfinitas de n´umeros natura-
lesesnumerable.Despu´es observaremos que el paso a todas las sucesiones
de n´umeros naturales no es numerable.
9. Demuestre que el conjunto de todos los subconjuntosfinitos de n´umeros
naturales es numerable. (Use el Ejercicio 8 y el Teorema 7.16.)

172. 7.5. N´umeros Cardinales 161
10. SeaSun conjunto numerable yRuna relaci´on de equivalencia enS.
Muestre que:
(a) El conjuntoS/Resalom´as numerable.
(b) D´e un ejemplo en el cualS/Rseafinito.
11. Sea{A
n:n∈N}una familia numerable, y sup´ongase que se tiene una
sucesi´on (a
n)
∞
n=0
de enumeraciones de los conjuntosA n;estoes,a n=
(a
n,k)
∞
k=0
yAn={a n,k:k∈N}para cadan∈N.Demuestreque
S
∞
n=0
Anes numerable.
12. Sea (S,≤) un conjunto linealmente ordenado. Sea{A
n:n∈N}un sis-
tema numerable de conjuntosfinitos deS.Demuestreque
S
∞
n=0
Anes
numerable. (Sugerencia: para todon,considerela´unica enumeraci´on
(a
n,k)
k<|A n|deA nen el orden creciente:a n,0<an,1<···<a n,kn−1
dondek n=|A n|.)
13. (a) SeanA,ByCconjuntos tales queC⊆A,A∩B=∅,yByC
numerables. Pruebe que|A∪B|=|A|.
(b) Pruebe que un conjunto que contiene un subconjunto numerable es
equipotente a la uni´on del conjunto y un conjunto numerable.
(c) Pruebe que siAes no numerable yBes numerable, entoncesA\B
es no numerable.
7.5 N´umeros Cardinales
En la Secci´on 3 usamos el s´ımbolo|A|sin hacer una definici´on formal de ´este.
Para lo que sigue es m´as conveniente tener al s´ımbolo|A|como un objeto de
la Teor´ıa de Conjuntos. Por esta raz´on hacemos la siguiente suposici´on.
Suposici´on 7.23Existen conjuntos llamados n´umeros cardinales (o cardi-
nales) con la propiedad de que para cualquier conjuntoX,hay un ´unico car-
dinal|X|(el n´umero cardinal deX), y para cualesquiera conjuntosXyY,
son equipotentes si y s´olo si|X|es igual a|Y|.
Tambi´en en la Secci´on 3 vimos que la relaci´on|X|≤|Y|es un orden parcial
en la ahora clase de los n´umeros cardinales, pero prometimos probar en esta
secci´on que si|X|≤|Y|y|Y|≤|X|,entonces|X|=|Y|; para ello necesitamos
del siguiente lema.
Lema 7.24SiA
1⊆B⊆Ay|A 1|=|A|,entonces|B|=|A|.

173. 162 7. Cardinalidad
Demostraci´on:
Seaf:A→A
1una funci´on biyectiva. Por recursi´on, definamos dos sucesiones
de conjuntos
A
0,A1,..., An,...
y
B
0,B1,..., Bn,...
Sean
A
0=AyB 0=B
y para cadan∈N,
A
n+1=f(A n),B n+1=f(B n). (7.5.1)
ComoA
0⊇B0⊇A1, se sigue de (7.5.1), por inducci´on, que para todan∈N,
A
n⊇Bn⊇An+1. Para cadan∈N,seaC n=An\Bny
C=
∞
[
n=0
Cn,D =A\C
Por (7.5.1) y el hecho de quefes una funci´on inyectiva, tenemos quef(C
n)=
C
n+1;as´ı,
f(C)=
∞
[
n=1
Cn.
Ahora definamosg:A→Bcomo sigue:
g(x)=
½
f(x),six∈C
x, six∈D.
Comog|
Cyg|Dson funciones inyectivas y sus rangos son ajenos, se concluye
queges una funci´on inyectiva deAsobref(C)∪D=B.
Teorema 7.25 (Cantor-Schr¨oder-Bernstein)SiAyBson conjuntos ta-
les que|A|≤|B|y|B|≤|A|,entonces|A|=|B|.
Demostraci´on:
Si|A|≤|B|, entonces existe una funci´on inyectivaf:A→B,ycomo
|B|≤|A|,existeg:B→Ainyectiva. La funci´ong◦f:A→Aes in-
yectiva y|A|=|g◦f(A)|;adem´as,g◦f(A)⊆g(B)⊆A. Luego,|g(B)|=|A|.
Por otro lado,|B|=|g(B)|. Concluimos que|A|=|B|.
Ahora demostraremos el resultado principal de esta secci´on,elc´elebreTeo-
rema “Diagonal” de Cantor, en su forma m´as abstracta.

174. 7.5. N´umeros Cardinales 163
Teorema 7.26 (Cantor)Para todo conjuntoAse tiene:
|A|<|P(A)|.
Demostraci´on:
SiA=∅, entoncesP(A)={∅}yas´ı|A|<|P(A)|.SiA6 =∅,esclaroquela
funci´on
x7 →{x}
es inyectiva, con lo cual|A|≤|P(A)|. Por otra parte, sif:A→P(A)es
cualquier funci´on, entonces el conjunto
S={x∈A:x/∈f(x)}
no est´a en el rango def,deaqu´ıquefno puede ser sobreyectiva. Por lo tanto,
|A|<|P(A)|.
La importancia del Teorema de Cantor es que establece que para cualquier
cardinal|X|hay un cardinal estrictamente mayor,|P(X)|.
Concluimos esta secci´on, peque˜na pero importante, con otro resultado sobre
n´umeros cardinales.
Teorema 7.27SeaFuna familia de conjuntos tal que no hay un cardinal
maximal entre los cardinales de los miembros deF; en otras palabras, siX∈
F,entoncesexisteY∈Ftal que|X|<|Y|.Entonces
S
Ftiene cardinalidad
mayor que cualquier conjunto enF.
Demostraci´on:
SeaS=
S
F.Claramente|X|≤|S|para cadaX∈F. Mostraremos que
no hay unX∈Ftal que|S|≤|X|. Supongamos lo contrario, seaX∈F
con|S|≤|X|, entonces por hip´otesis existeY∈Ftal que|X|<|Y|.Como
|Y|≤|S|, tenemos que|Y|≤|X|, lo cual es una contradicci´on.
Ejercicios 7.5
1. Use el Teorema de Cantor para mostrar que la clase de todos los con-
juntos no es un conjunto.

175. 164 7. Cardinalidad
2. (a) Usando el Teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein, demuestre que
cualquier conjunto abierto de n´umeros reales tiene la misma cardi-
nalidad queR. (Sugerencia: Un conjunto abierto de n´umeros reales
es la uni´on de una familia de intervalos abiertos.)
(b) Muestre que cualquier intervalo abierto contiene n´umeros irraciona-
les.
3. SeaXun conjunto y sup´ongase quef:X→Xes una funci´on inyectiva.
Demuestre queXes infinito.
4. Un conjuntoXse llamainfinito seg´un Dedekindsi existe una funci´on
inyectivaf:X→X.Unconjuntoesfinito seg´un Dedekindsi no es
infinito seg´un Dedekind.
(a) Muestre que todo conjunto numerable es infinito seg´un Dedekind.
(b) Muestre que siXes un conjunto que contiene un subconjunto nu-
merable entonces es infinito seg´un Dedekind.
(c) SiXes un conjunto infinito seg´un Dedekind, entonces contiene un
subconjunto numerable. (Sugerencia: seax∈X\f(X), y defina
x
n+1=f(x n).) As´ı, los conjuntos infinitos seg´un Dedekind son
precisamente los que tienen subconjuntos numerables. Usando el
Axioma de Elecci´on despu´es se ver´aque“infinito” es equivalente a
“infinito seg´un Dedekind”.
5. SeanAyBconjuntos infinitos seg´un Dedekind. Muestre queA∪By
A×Btambi´en son conjuntos infinitos seg´un Dedekind.
6. Pruebe que siAes un conjunto infinito, entoncesP(P(A)) es infinito
seg´un Dedekind. (Sugerencia: para cadan∈N,sea
S
n={X⊂A:|X|=n}.
El conjunto{S
n:n∈N}es numerable.)
7.6 Aritm´etica Cardinal
En esta secci´on definiremos operaciones aritm´eticas (suma, multiplicaci´on y
exponenciaci´on) de n´umeros cardinales e investigaremos sus propiedades.
Para definir la sumaκ+λde dos cardinales usaremos la analog´ıaconlos
conjuntosfinitos: SiAtieneaelementos,Btienebelementos yA∩B=∅,
entoncesA∪Btienea+belementos.

176. 7.6. Aritm´etica Cardinal 165
Definici´on 7.28Si|A|=κ,|B|=λyA∩B=∅,entonces
κ+λ=|A∪B|.
La definici´on anterior supone que existen conjuntos ajenosAyBtales
queκ=|A|yλ=|B|. Esto obviamente es cierto. Por ejemplo tomando
A
1=A×{0}yB 1=B×{1}, entoncesκ=|A 1|=|A|,λ=|B 1|=|B|y
A
1∩B1=∅.Tambi´en, para hacer leg´ıtima esta definici´on debemos mostrar
queκ+λno depende de la elecci´on de los conjuntosAyB.Estoest´a contenido
en el siguiente lema.
Lema 7.29SiA,B,A
0
,B
0
son tales que|A|=|A
0
|,|B|=|B
0
|yA∩B=
∅=A
0
∩B
0
,entonces|A∪B|=|A
0
∪B
0
|.
Demostraci´on:
Seanf:A→A
0
yg=B→B
0
funciones biyectivas. Entoncesf∪g:A∪B→
A
0
∪B
0
es biyectiva.
No solamente la suma de cardinales coincide con la suma ordinaria de
n´umeros en el casofinito, tambi´en se preservan algunas de las propiedades
usuales. Por ejemplo, la suma de n´umeros cardinales es conmutativa y asocia-
tiva:
(a)κ+λ=λ+κ.
(b)κ+(λ+µ)=(κ+λ)+µ.
Estas propiedades se siguen directamente de la definici´on. Similarmente las
siguientes desigualdades se establecen con facilidad.
(c)κ≤κ+λ
(d)Siκ
1≤κ2yλ1≤λ2, entoncesκ 1+λ1≤κ2+λ2.
Sin embargo, no todas las propiedades de la suma de n´umeros naturales son
v´alidas para la suma de cardinales. En particular, las desigualdades estrictas
son raras en el caso de cardinales infinitos y, como ser´a discutido despu´es
(Teorema de K¨onig), las que son v´alidas resultan dif´ıciles de establecer. Como
un ejemplo, tenemos el hecho de que sin6 =0,entoncesn+n>n;porel
contrario, siκes infinito,elAxiomadeElecci´on implica queκ+κ=κ.Ya
hemos visto que|N|+|N|=|N|.
La multiplicaci´on de cardinales est´a nuevamente motivada por las propieda-
des de la multiplicaci´on de n´umeros naturales. SiAyBson conjuntos deay
belementos, respectivamente, entoncesA×Btienea·belementos.

177. 166 7. Cardinalidad
Definici´on 7.30Si|A|=κy|B|=λ,entonces
κ·λ=|A×B|.
Lema 7.31SiA,B,A
0
,B
0
son tales que|A|=|A
0
|y|B|=|B
0
|,entonces
|A×B|=|A
0
×B
0
|.
Demostraci´on:
Seanf:A→A
0
yg:B→B
0
funciones, definamosh:A×B→A
0
×B
0
por
h(a, b)=(f(a),g(b)).
Claramente sifygson funciones biyectivas, tambi´en lo esh.
Este lema garantiza que la definici´on de multiplicaci´on no depende de la
elecci´on de los conjuntosAyB.
Nuevamente la multiplicaci´on tiene algunas propiedades esperadas; en par-
ticular, ´esta es conmutativa y asociativa. M´as a´un, tambi´en se tiene la dis-
tribuci´on sobre la suma.
(e)κ·λ=λ·κ.
(f)κ·(λ·µ)=(κ·λ)·µ.
(g)κ·(λ+µ)=κ·λ+κ·µ.
La ´ultima de las propiedades es una consecuencia de la igualdad
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
que se cumple para cualesquiera conjuntosA,ByC.Tambi´en tenemos:
(h)κ≤κ·λsiλ>0.
(i)Siκ
1≤κ2yλ1≤λ2, entoncesκ 1·λ1≤κ2·λ2.
Para seguir con la analog´ıa probaremos que:
(j)κ+κ=2·κ.

178. 7.6. Aritm´etica Cardinal 167
Demostraci´on:
Si|A|=κ, entonces 2·κes el cardinal de{0,1}×A. Notemos que
{0,1}×A=({0}×A)∪({1}×A),
|{0}×A|=|{1}×A|=κy que los sumandos son ajenos. Por lo tanto,
κ+κ=2·κ.
Como una consecuencia de(j)tenemos:
(k)κ+κ≤κ·κsiκ≥2.
Como en el caso de la suma, la multiplicaci´on de cardinales infinitos tiene
algunas propiedades que difieren de las correspondientes para los n´umeros
naturales. Por ejemplo,|N|·|N|=|N|.
Para definir la exponenciaci´on de n´umeros cardinales observemos que siAy
Bson conjuntosfinitos no ambos vac´ıos, conaybelementos respectivamente,
entoncesa
b
es el n´umero de todas las funciones deBenA.
Definici´on 7.32Si|A|=κy|B|=λ,entonces
κ
λ
=
¯
¯A
B
¯
¯.
La definici´on deκ
λ
no depende de la elecci´on deAyB.
Lema 7.33Si|A|=|A
0
|y|B|=|B
0
|,entonces
¯
¯A
B
¯
¯=
¯
¯
¯A
0
B
0
¯
¯
¯.
Demostraci´on:
Seanf:A→A
0
yg:B→B
0
funciones biyectivas y sea
F:A
B
→A
0
B
0
definida como sigue: Sik∈A
B
,seaF(k)=h, dondeh:B
0
→A
0
es tal que
h(g(b)) =f(k(b)) para todob∈B. EntoncesFes una biyecci´on.
Es f´acil ver desde la definici´on de exponenciaci´on que:
(l)κ≤κ
λ
siλ>0.
(m)λ≤κ
λ
siκ>1.
(n)Siκ
1≤κ2yλ1≤λ2, entoncesκ
λ1
1
≤κ
λ2
2
.

179. 168 7. Cardinalidad
Tambi´en tenemos:
(˜n)κ·κ=κ
2
Para probar(˜n),essuficiente tener una correspondencia entreA×Ayel
conjunto de funciones de{0,1}enA. Esto se estableci´o en el Ejemplo 4.58.
El siguiente teorema establece otras propiedades de la exponenciaci´on.
Teorema 7.34(a)κ
λ+µ
=κ
λ
·κ
µ
.
(b) (κ
λ
)
µ
=κ
λ·µ
.
Demostraci´on:
(a)Seanκ=|K|,λ=|L|,µ=|M|conL∩M=∅. Construiremos una
biyecci´on
F:K
L
×K
M
→K
L∪M
.
Si (f,g)∈K
L
×K
M
,seaF(f,g)=f∪g.Notequef∪ges una funci´on; de
hecho,f∪ges un miembro deK
L∪M
.Adem´as, cualquierh∈K
L∪M
es igual
aF(f,g)paraalg´un (f,g)∈K
L
×K
M
(a saber,f=h| Lyg=h| M). Es
f´acil ver queFes inyectiva.
(b)Ahora construiremos una biyecci´onF:K
L×M
→(K
L
)
M
.Unele-
mento t´ıpico deK
L×M
es una funci´onf:L×M→K.SeaF(f) la funci´on
g:M→K
L
definida para cadam∈Mporg(m)(l)=f(l, m) para cada
l∈L. Dejamos al lector que verifique queFes biyectiva.
Concluimos esta secci´on con el siguiente teorema importante.
Teorema 7.35Si|A|=κ,entonces|P(A)|=2
κ
.
Demostraci´on:
Hay una correspondencia biun´ıvoca entre los subconjuntos deAy las funciones
deAen{0,1}.AcadaB⊆A, le corresponde la funci´on caracter´ıstica deB,
χ
Bque est´adefinida por
χ
B(x)=
½
1,six∈B
0,six/∈B.
Es inmediato que siB6 =C, entoncesχ
B6 =χCy toda funci´onf∈{0,1}
A
es
la funci´on caracter´ıstica de alg´unB⊆A(de hecho,B={x∈A:f(x)=1}).
Porlotanto,lafunci´onF:P(A)→{0,1}
A
definida porF(B)=χ Bes una
biyecci´on entreP(A)y2
A
.

180. 7.7. El Continuo 169
En particular, el Teorema de Cantor ahora tiene la siguiente forma: Para
cualquier cardinalκ,
κ<2
κ
.
Ejercicios 7.6
1. Muestre queκ
0
= 1 para todoκyκ
1
=κpara todoκ>0.
2. Muestre que 1
κ
= 1 para todoκy0
κ
= 0 para todoκ>0.
3. Complete la demostraci´on del Teorema 7.34.
4. Pruebe queκ
κ
≤2
κ·κ
.
5. Pruebe que si|A|≤|B|yA6 =∅, entonces existe una funci´on sobreyectiva
deBenA.Despu´es mostraremos, con ayuda del Axioma de Elecci´on,
que el rec´ıproco tambi´en es cierto: Si hay una funci´on sobreyectiva deB
enA,entonces|A|≤|B|.
6. Demuestre que si existe una funci´on sobreyectiva deBenA, entonces
2
|A|
≤2
|B|
. (Sugerencia: Dada una sobreyecci´ong:B→A,seaf(X)=
g
−1
(X)paratodoX⊆A.)
7. ¿Existe un conjuntoAtal queP(A) sea numerable?
7.7 El Continuo
Por el Teorema Diagonal de Cantor, la cardinalidad del conjunto de los n´ume-
ros reales es mayor que la cardinalidad del conjunto de los n´umeros naturales.
En esta secci´on, analizaremos la cardinalidad deRy estableceremos algunas
propiedades del n´umero cardinal|R|.
Acorde a la Suposici´on 7.23, hay un conjunto|N|,eln´umero cardinal del
conjuntoN(y de todos los conjuntos numerables), el cual denotaremos por
1
ℵ0.
1
ℵes la primera letra del alfabeto hebreo. Cantor es responsable del empleo de la notaci´on.

181. 170 7. Cardinalidad
Recordemos que por los resultados de las Secciones 3 y 4, tenemos que
n<ℵ
0
para cada n´umero naturaln,y
ℵ
0+ℵ0=ℵ0
ℵ0·ℵ0=ℵ0.
El conjuntoRde todos los n´umeros reales, en ocasiones llamadol´ınea real
ocontinuo,tienen´umero cardinal mayor queℵ
0. A partir de los resultados
conocidos acerca de n´umeros cardinales, no es dif´ıcil mostrar que la cardinali-
dad deRes la misma que la deP(N).
Teorema 7.36El n´umero cardinal del continuo es2
ℵ0
.
Demostraci´on:
Una sucesi´onx:N→Qes un subconjunto deN×Q, entonces el conjunto
de todas las sucesiones de CauchyCest´a contenido enP(N×Q), por lo que
|R|=|C/∼|≤|C|≤|P(N×Q)|=2
|N×Q|
=2
ℵ0·ℵ0
=2
ℵ0
.
Por otro lado, 2
ℵ0
=2
|N|
=
¯
¯
¯{0,1}
N
¯
¯
¯≤|R|.
Puesto que hay funciones biyectivas deRen cualquier intervalo abierto, se
sigue que cualquier intervalo abierto tiene la cardinalidad del continuo. Con-
secuentemente, todo conjunto abierto no vac´ıoden´umeros reales tiene cardi-
nalidad 2
ℵ0
.Unotambi´en puede probar (aunque es m´as dif´ıcil) que cualquier
conjunto cerrado de n´umeros reales es a lo m´as numerable o tiene cardinalidad
2
ℵ0
. Una pregunta natural es: ¿Existen conjuntos infinitos de n´umeros reales
de cardinalidad distinta deℵ
0y2
ℵ0
?
La Hip´otesis del ContinuoNo existe un cardinalκtal que
ℵ
0<κ<2
ℵ0
.
La Hip´otesis del Continuo fue formulada por Cantor en 1900. D. Hilbert
la incluy´o como el Problema 1 en su famosa lista de problemas matem´aticos
importantes. K. G¨odel [G
2] en 1939 demostr´o que la hip´otesis del continuo
es consistente con los axiomas de la Teor´ıa de Conjuntos; esto es, usando los
Axiomas de Zermelo-Fraenkel (incluyendo el Axioma de Elecci´on) no se puede

182. 7.7. El Continuo 171
probar que la Hip´otesis del Continuo sea falsa. En 1963, P. J. Cohen [C 4]
demostr´o que la Hip´otesis del Continuo es independiente de los axiomas de
Zermelo-Fraenkel, es decir, que no se puede deducir usando estos axiomas.
Usando las propiedades de los n´umeros cardinales demostradas en las sec-
ciones precedentes y las propiedades especiales deℵ
0, podemos obtener algunos
resultados acerca del cardinal 2
ℵ0
y mostrar que muchos conjuntos interesantes
tienen esta cardinalidad.
Proposici´on 7.37El conjunto de los n´umeros complejos tiene cardinalidad
2
ℵ0
.
Demostraci´on:
Note que los n´umeros complejos pueden ser representados como pares orde-
nados de n´umeros reales y as´ıla cardinalidad del conjunto de los n´umeros
complejos es|R×R|=2
ℵ0
·2
ℵ0
. Ahora el resultado se sigue de:
2
ℵ0
·2
ℵ0
=2
ℵ0+ℵ0
=2
ℵ0
.
Proposici´on 7.38El conjunto de todas las sucesiones de n´umeros naturales
tiene cardinalidad2
ℵ0
.
Demostraci´on:
El conjuntoN
N
tiene cardinalidadℵ
ℵ0
0
. Por un lado,
ℵ
ℵ0
0
≥2
ℵ0
(por(n)de la Secci´on 6), y por otro lado,
ℵ
ℵ0
0
≤(2
ℵ0
)
ℵ0
=2
ℵ0·ℵ0
=2
ℵ0
.
Por lo tanto,
¯
¯N
N
¯
¯=2
ℵ0
.
En conexi´onaestaproposici´on, recuerde que el Ejercicio 7.4.7 implica que
el conjunto de todas las sucesiones semiconstantes de n´umeros naturales es
numerable.
Mientras la cardinalidad del conjunto de todas las sucesiones de n´umeros
naturales es mayor que la cardinalidad deN, encontramos que el conjunto de
todas las sucesiones de n´umeros reales tiene la misma cardinalidad queR:
¯
¯R
N
¯
¯=(2
ℵ0
)
ℵ0
=2
ℵ0·ℵ0
=2
ℵ0
.

183. 172 7. Cardinalidad
En los tres ejemplos anteriores se utiliz´olaigualdad
2
ℵ0
+2
ℵ0
=2
ℵ0
·2
ℵ0
=2
ℵ0
,
la cual puede ser f´acilmente derivada, usando el Teorema de Cantor-Schr¨oder-
Bernstein, y la igualdadℵ
0·ℵ0=ℵ0:
2
ℵ0
≤2
ℵ0
+2
ℵ0
=2·2
ℵ0
≤2
ℵ0
·2
ℵ0
=(2
ℵ0
)
2
≤(2
ℵ0
)
ℵ0
=2
ℵ0·ℵ0
=2
ℵ0
.
El n´umero de funciones deRenR, es decir, la cardinalidad del conjunto
R
R
,es2
ℵ0·2
ℵ
0
, de hecho tenemos:
¯
¯
R
R
¯
¯
=(2
ℵ0
)
2
ℵ
0
=2
ℵ0·2
ℵ
0
=2
2
ℵ
0
.
´
Este es el cardinal del conjunto potencia deRqueporelTeoremadeCantor
es mayor que 2
ℵ0
. Sin embargo, el n´umero de funciones continuas es s´olo 2
ℵ0
.
Proposici´on 7.39El conjunto de todas las funciones continuas deRenR
tiene cardinalidad2
ℵ0
.
Demostraci´on:
Usaremos el hecho de que cualquier funci´on continua enRest´a determinada
por sus valores en un conjunto denso. En particular, por sus valores en el
conjunto de los n´umeros racionales: Sif,g:R→Rson dos funciones con-
tinuas tales que para cualquierr∈Q,f(r)=g(r), entoncesf=g.SeaC
el conjunto de todas las funciones continuas deRenRyseaΨ:C→R
Q
la funci´on definida porΨ(f)=f| Q. Por lo anterior,Ψes inyectiva y as´ı
|C|≤
¯
¯R
Q
¯
¯=2
ℵ0
. Por otro lado,|C|≥2
ℵ0
(considere las funciones cons-
tantes).
El conjunto de todos los n´umeros irracionales es no numerable, ya queR
es no numerable yQes numerable. En efecto, la cardinalidad del conjunto
de los n´umeros irracionales es 2
ℵ0
, pero algunos esfuerzos son necesarios para
demostrarlo. Aqu´ıestablecemos un resultado m´as general.
Proposici´on 7.40SiAes un subconjunto numerable deR,entonces
|R\A|=2
ℵ0
.

184. 7.7. El Continuo 173
Demostraci´on:
Usaremos el hecho de que|R×R|=|R|=2
ℵ0
,y demostraremos que si
A⊆R×Res numerable, entonces
|(R×R)\A|=2
ℵ0
.
SeaP=dom A(la proyecci´on deA):
P={x∈R:(x, y)∈Apara alg´uny}.
Como|A|=ℵ
0,tenemos|P|≤ℵ 0.As´ı,existex 0∈R\P. Consecuentemente,
el conjuntoX={x
0}×Res ajeno aA,yporlotanto,X⊆(R×R)\A.
Claramente,|X|=|R|=2
ℵ0
; con lo cual concluimos que
|(R×R)\A|=2
ℵ0
.
Ejercicios 7.7
1. Muestre que
¯
¯
¯{0,1}
N
¯
¯
¯≤|R|.
2. Muestre que (2
2
ℵ
0
)
2
=2
2
ℵ
0
.
3. Demuestre que la cardinalidad del conjunto de todas las funcionesf:
N→{0,1,...,9}es igual a 2
ℵ0
.
4. Demuestre que la cardinalidad de todas las funciones discontinuas deR
enRes 2
2
ℵ
0
. (Sugerencia: use el Ejercicio 2, y muestre que
¯
¯
R
R
\C
¯
¯
=
2
2
ℵ
0
siempre que|C|≤2
2
ℵ
0
.)
5. ¿Cu´al es la cardinalidad de la familia de conjuntos numerables de n´umeros
reales?
6. Un subconjuntoDde un conjunto ordenado (A,≤)sellamadensosi
para cualesquierax, y∈Aexistez∈Dtal quex<z<y .Demuestre
que un conjunto ordenadoAque tiene un subconjunto denso numerable
tiene cardinalidad no mayor que la del continuo.
7. Muestre que la cardinalidad del conjunto de todos los conjuntos abiertos
deRes 2
ℵ0
.

185. 174 7. Cardinalidad
8. Muestre que la cardinalidad del conjunto de todos los conjuntosfinitos
deRes 2
ℵ0
.
9. Pruebe que la cardinalidad del conjunto de todas las funciones inyectivas
deNen s´ımismo es 2
ℵ0
.

186. 8
El Axioma de Elecci´on
8.1 Introducci´on
En este cap´ıtulo discutiremos un principio que es de los m´as importantes, y
al mismo tiempo controversiales, de las matem´aticas. En 1904 Ernst Zermelo
en su “Demostraci´on de que todo conjunto puede ser bien ordenado”[Z
1] puso
atenci´on a una suposici´on, la cual se usaba impl´ıcitamente en una variedad
de argumentos matem´aticos. Esta suposici´on no se deduce de los axiomas
previamente conocidos de la matem´aticaodelal´ogica, por lo tanto, debe
ser tomado como un nuevo axioma; Zermelo lo llam´oAxioma de Elecci´on.
El Axioma de Elecci´on es ´util porque muchas proposiciones que parece na-
tural suponer verdaderas, no podr´ıan demostrarse sin su ayuda; adem´as, tiene
implicaciones significativas en muchas ramas de la matem´atica, y consecuen-
cias tan poderosas que algunas veces son dif´ıciles de aceptar; pero no siempre
es indispensable, puesto que los temas en cuyo contexto se plantean dichas
proposiciones contin´uan subsistiendo tambi´en en su ausencia, si bien en forma
algo mutilada. La controversia sobre este principio contin´ua en nuestros d´ıas;
presentaremos algunos de estos aspectos en este cap´ıtulo.
Para ilustrar cu´ando el Axioma de Elecci´on se introduce en los argumentos
matem´aticos examinaremos la siguiente proposici´on.
Proposici´on 8.1Sea(A,≤)un conjunto no vac´ıo parcialmente ordenado y
supongamos queAno tiene elementos maximales, entonces existe una sucesi´on
crecientex
0<x1<x2<···<x n<···de elementos enA.
Demostraci´on:
Aes no vac´ıo por hip´otesis, por lo tanto, podemos seleccionar un elemento
arbitrario deAylellamaremosx
0. Por inducci´on, sup´ongase que tenemos
dadosx
0<x1<···<x n;definamos
A
n={x∈A:x>x n}.
A
nes no vac´ıo, pues si fuera vac´ıo, entoncesx nser´ıaunelementomaximal,
contradiciendo nuestro supuesto. Seleccionemos un elemento arbitrario deA
n

187. 176 8. El Axioma de Elecci´on
yllam´emoslex n+1;as´ıtenemos
x
0<x1<x2<···<x n<xn+1.
Este proceso inductivo define una sucesi´on creciente de longitudn,S
n=
(x
i)
n−1
i=0
,para cadan∈N.Ahora,sihacemosS=
S
S n,entoncesSes la
sucesi´on que buscamos.
Un examen detallado del argumento anterior nos revelar´a que hemos usado
una suposici´on que no es en s´ımisma evidente. En efecto, hemos supuesto que
es posible hacer unasucesi´on infinitade elecciones. Es com´un, en matem´aticas,
hacerunaelecci´on arbitraria (por ejemplo, siempre decimos “seaxun elemento
arbitrario deA”) y la experiencia confirma que podemos hacer una sucesi´on
finita de elecciones; pero una sucesi´on infinita de elecciones nos lleva a repetir
el argumento una cantidad infinita de veces, y nada en nuestra experiencia o
en la l´ogica que habitualmente usamos justifica un proceso de esa naturaleza.
En la prueba de 8.1 fue necesario elegir elementosx
0,x1,x2,etc., en
sucesi´on, donde cada elecci´on depende de la elecci´on anterior. El hecho de
que las elecciones son sucesivas puede parecer el elemento m´as molesto en la
demostraci´on, puesto que esto involucra un factor de tiempo. Sin embargo,
el argumento puede alterarse de tal modo que las elecciones se hagan si-
mult´aneamente e independientes unas de otras.
Admitamos que para cada subconjunto no vac´ıoB⊆A, es posible selec-
cionar un elemento arbitrariof
B, que podemos llamar elrepresentantedeB.
Note que en este caso, cada elecci´on es independiente de las otras; ya que, en
una manera de decirlo, todas las elecciones pueden hacerse simult´aneamente.
RegresandoalapruebadelaProposici´on 8.1, six
nyAnson dados, podemos
definirx
n+1como el representante deA n; en otras palabras, en lugar de selec-
cionar representantes deA
1,A2,A3,etc.,ensucesi´on, tenemos seleccionados
representantes de todos los subconjuntos no vac´ıos deA. De hecho, esto re-
quiere hacer mucho m´as elecciones de las necesarias para nuestro argumento
original, pero es el precio que debemos pagar para substituir las elecciones
sucesivas por elecciones simult´aneas.
El p´arrafo precedente hace ver que la naturaleza sucesiva de las elecciones
no es el enigma del problema; el cuestionamiento es: ¿Podemos hacer infinitas
elecciones?
Es f´acil observar que en ciertos casos particulares la respuesta es “s´ı”. Por
ejemplo, siAes un conjunto bien ordenado, podemos definir el representante de
cada subconjunto no vac´ıoB⊆Acomo el elemento m´ınimo deB.Lasituaci´on
en la Proposici´on 8.1, sin embargo, es completamente diferente, porque no
tenemos alguna regla definida que nos proporcione el representante.

188. 8.2. El Axioma de Elecci´on 177
En la demostraci´on de la Proposici´on 8.1 hablamos de “seleccionar” un ele-
mento deA
n; claramente, es deseable formalizar la noci´on deselecci´oncomo
un nuevo concepto de la Teor´ıa de Conjuntos; la manera de realizarlo es in-
troduciendo el concepto de funci´on selectora de representantes.
Definici´on 8.2SeaAun conjunto. Una funci´onde elecci´onoselectorapara
Aes una funci´onf:P(A)\{∅}→Atalque,paratodo
B∈P(A)\{∅},f(B)=f
B∈B.
Ejemplo 8.3SeaA={a, b, c}.Una funci´on de elecci´on paraAes la funci´on
dada por la siguiente tabla:
B
fB
{a, b, c}a
{a, b}a
{a, c}a
{b, c}c
{a} a
{b} b
{c} c
De hecho, cualquier conjuntofinito tiene una funci´on de elecci´on (ver Ejercicio
8.2.1).
Ejemplo 8.4Si (A,≤) es un conjunto bien ordenado entoncesAtiene una
funci´on de elecci´on.
EnvistadelaDefinici´on 8.2, podemos reformular la pregunta planteada
como: ¿Todo conjunto tiene una funci´on de elecci´on? Necesitamos hacer un
comentario crucial en este punto: la demostraci´on de la Proposici´on 8.1 no
requiere queconstruyamosuna funci´on de elecci´on, ´esta requiere que exista al
menos una funci´on de elecci´on paraA, entonces (en el paso controversial de la
demostraci´on) definimosx
n+1=f(A n+1); si estamos seguros de quefexiste.
Axioma9 (de Elecci´on) Todo conjunto no vac´ıotieneunafunci´on de elec-
ci´on.
8.2 El Axioma de Elecci´on
El Axioma de Elecci´on difieredelosaxiomasZF(axiomas1a8y10)por
asegurar la existencia de un conjunto (es decir, una funci´on de elecci´on) sin des-
cribir a este conjunto como una colecci´on de objetos que tienen una propiedad

189. 178 8. El Axioma de Elecci´on
particular.´Este es precisamente el aspecto del Axioma de Elecci´on que lo hace
inaceptable para un grupo de matem´aticos llamados intuicionistas, quienes
afirman que la existencia matem´atica y la constructibilidad son la misma cosa.
De hecho, es interesante saber cu´ando una proposici´on matem´atica puede ser
demostrada sin usar el Axioma de Elecci´on.
Por otro lado, K. G¨odel [G
2] en 1938 prob´o que el Axioma de Elecci´on es
consistente con los axiomasZF, es decir, no es contradictorio con ellos; tam-
poco es una consecuencia, como lo demostr´oP.J.Cohen[C
4] en 1963. As´ı,este
axioma tiene la misma categor´ıa de otros axiomas famosos en matem´aticas,
como elQuinto Postuladode Euclides. Podemos tener entonces una Teor´ıade
Conjuntos “est´andar”ZFCsi aceptamos el Axioma de Elecci´on, y una Teor´ıa
de Conjuntos “no est´andar” en la cual aceptemos postulados alternativos al
Axioma de Elecci´on.
Es imposible, por las razones del p´arrafo anterior, hacer una decisi´on en
prooencontrabasada en argumentos de l´ogica pura acerca de la validez del
Axioma de Elecci´on. Tambi´en, dado que el Axioma de Elecci´on involucra un
´area de las matem´aticas (a saber, los conjuntos infinitos) que est´a fuera de
nuestra experiencia real, nunca ser´aposibleconfirmar o rechazar al axioma
por “observaci´on”; as´ı, la decisi´on es puramente personal.
En la literatura hay varias formulaciones diferentes del Axioma de Elecci´on
las cuales son equivalentes a nuestro Axioma 9. Aqu´ıpresentaremos seis de
estas proposiciones, otras aparecer´an en las siguientes secciones y en los ejer-
cicios.
Teorema 8.5Las siguientes proposiciones son equivalentes:
(a) El Axioma de Elecci´on.
(b) SiAes una familia no vac´ıa de conjuntos no vac´ıos y ajenos dos a
dos, entonces existe un conjuntoBtal que para todoA∈A,A∩Bes un
conjunto unitario.
(c) Toda funci´on sobreyectiva tiene una inversa derecha.
(d) Si{A
α}
α∈Γ
es tal queA α6 =∅,A α∩Aβ=∅para cualesquieraα,β∈Γ
conα6 =β,entoncesexisteB⊆
S
α∈Γ
Aαtal queB∩A αes unitario para cada
α∈Γ.
(e) Si{A
α}
α∈Γ
es una familia indizada de conjuntos no vac´ıos, entonces
existe una funci´onf:Γ→
S
α∈Γ
Aαtal que para cadaα∈Γ,f(α)∈A α.
(f) Si{A
α}
α∈Γ
es una familia indizada de conjuntos no vac´ıos entonces
Q
α∈Γ
Aα6 =∅.
(g) SiF:X→P(Y)\{∅}es una funci´on, entonces existe una funci´on
f:X→Ytal quef(x)∈F(x)para todox∈X.

190. 8.2. El Axioma de Elecci´on 179
Demostraci´on:
(a)⇒(b). Supongamos queAesunafamilianovac´ıa cuyos elementos son no
vac´ıos y ajenos por pares. SeaA=
S
A;claramenteA⊆P(A). Por(a)existe
una funci´onf:P(A)\{∅}→Atal quef(C)∈Cpara cadaC∈P(A)\{∅}.
SiB=f(A), entoncesBes el conjunto requerido por(b).
(b)⇒(c).Seaf:X→Yuna funci´on sobreyectiva, entoncesA
y=
f
−1
({y})6 =∅para caday∈Y;adem´asy6 =y
0
implica queA y∩Ay
0=∅.
Usando(b)se infiere la existencia de un conjuntoBtal queB∩A
yes unitario
para todoy∈Y.Seax
y∈Xtal queB∩A x={x y}.
Definamosg:Y→Xtal queg(y)=x
y∈B∩A ypara caday∈Y.Es
inmediato quegest´abiendefinida y quef(g(y)) =y;osea,f◦g=Id
Y.
(c)⇒(d).SeaA={A
α}
α∈Γ
tal queA α6 =∅,A α∩Aβ=∅ydefinamos
f:
S
A→Acomof(x)=A
αsix∈A α.Si (x, A α)∈fy(x, A β)∈fentonces
A
α∩Aβ6 =∅,luegoA α=Aβ. Por lo tanto,fes una funci´on que claramente
es sobreyectiva. Usando la hip´otesis existe una funci´ong:A→
S
Atal
quef◦g(A
α)=Id A(Aα)=A α;locualimplicaqueg(A α)∈A α. Tomando
B=g(A) se tiene la conclusi´on.
(d)⇒(e).Sea{A
α}
α∈Γ
una familia indizada de conjuntos no vac´ıos. En-
tonces la familiaA={{α}×A
α}
α∈Γ
cumple las hip´otesis requeridas por(d).
Por lo tanto, existe un conjuntoB⊆
S
Atal queB∩({α}×A
α)={(α,x α)}
para cadaα∈Γ;sea
f={(α,x
α):α∈Γ}.
Entoncesfes una funci´on deΓen
S
α∈Γ
Aαyf(α)=x α∈Aα.
(e)⇒(f).Sea{A
α}
α∈Γ
una familia indizada de conjuntos no vac´ıos, la
funci´on resultante de(e)de hecho es un elemento de
Q
α∈Γ
Aα.
(f)⇒(g).SeaF:X→P(Y)\{∅}yconsideremosA
x=F(x). La hip´otesis
implica que
Q
x∈X
Axes no vac´ıo, es decir, existe
f:X→
[
x∈X
Ax
tal quef(x)∈A x=F(x). Pero
S
x∈X
Ax⊆Y,luegof:X→Yes la funci´on
requerida para establecer(g).
(g)⇒(a). Consideremos la funci´on identidad
Id:P(X)\{∅}→P(X)\{∅}.
Entonces, por hip´otesis, existef:P(X)\{∅}→Xtal que
f(A)∈Id(A)=A;

191. 180 8. El Axioma de Elecci´on
osea,fes una funci´on de elecci´on paraX.
Una implicaci´on del Teorema 8.5 es que para cualquier relaci´on de equiva-
lencia en un conjuntoXexiste un conjunto de representantes para las clases de
equivalencia. En los ejercicios se pide mostrar que la uni´on de una familia nu-
merable de conjuntos numerables es un conjunto numerable; ´esta es tambi´en
una consecuencia del Axioma de Elecci´on. Es importante mostrar que hay
otras (muchas) formulaciones equivalentes del Axioma de Elecci´on
1
, las cuales
tienen aplicaci´on en muy diversas disciplinas matem´aticas; en las pr´oximas
secciones daremos otras formulaciones, algunas aplicaciones y desventajas que
uno sufre al dejar de aceptar el Axioma de Elecci´on. Sierpi´nski fue uno de los
primeros interesados en los problemas relacionados con el Axioma de Elecci´on
y desde 1918 public´o numerosos art´ıculos relacionados a este tema.
Ejercicios 8.2
1. Demuestre que cualquier conjuntofinito tiene una funci´on de elecci´on.
2. Pruebe que si (A,≤) es un conjunto linealmente ordenado y siFes
cualquier familia de subconjuntosfinitos no vac´ıos deA, entonces existe
una funci´onf:F→Atal quef(F)∈Fpara cadaF∈F.(Delos
axiomasZFno se sigue que cualquier conjunto pueda ser linealmente
ordenado.)
3. Pruebe que la uni´on de una familia numerable de conjuntos numerables
es numerable.
4. Pruebe que cualquier conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.
(As´ı, con el Axioma de Elecci´on son equivalentes infinito seg´un Dedekind
einfinito.)
5. Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado no vac´ıo. Muestre que
(A,≤)esbienordenadosiys´olo si no existe una sucesi´on (a
n)
∞
n=0
tal
quea
n+1<anpara cadan∈N. (Ver Ejercicio 4.5.31.)
1
Ver por ejemplo [J2] y [RR], donde hay tambi´en una extensa bibliograf´ıadetrabajos
relacionados con los problemas de la independencia l´ogica del Axioma de Elecci´on y de
varias proposiciones m´as d´ebiles que este axioma.

192. 8.3. Cuatro Equivalencias Importantes 181
6. Demuestre las siguientes leyes distributivas.
\
t∈T
Ã
[
s∈S
At,s
!
=
[
f∈S
T
Ã
\
t∈T
A
t,f(t)
!
[
t∈T
Ã
\
s∈S
At,s
!
=
\
f∈S
T
Ã
[
t∈T
A
t,f(t)
!
.
7. Demuestre que el Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente propo-
sici´on (Bernays, 1941): Para toda relaci´onRexiste una funci´onftal que
dom f=dom Ryf⊆R.
8. Demuestre que el Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente propo-
sici´on (Ward, 1962): El producto cartesiano de una familia de conjuntos
no vac´ıos y mutuamente equipotentes es un conjunto no vac´ıo. (Sugeren-
cia: para una familia{X
α}de conjuntos no vac´ıos, definaY=(
S
α
Xα)
N
yF:Y×X α→Ypor medio deF(f,u)(0) =uyF(f,u)(n+1) =f(n).
UseFpara mostrar que|Y×X
α|≤|Y|; concluya queYes equipotente
aY×X
αyempleelahip´otesis.)
8.3 Cuatro Equivalencias Importantes
Hay muchos problemas en Teor´ıa de Conjuntos, Algebra, An´alisis y otras ra-
mas de las matem´aticas en los cuales el Axioma de Elecci´on o las formas
equivalentes que se presentaron en la secci´on anterior no son inmediatamente
aplicables, pero existen otras equivalencias que son muy importantes por sus
m´ultiples aplicaciones. Para demostrarlas necesitamos algunos resultados y
definiciones preliminares.
Definici´on 8.6SeaFuna familia de conjuntos. Se dice queFes unafamilia
de car´acterfinitosi para cada conjuntoA,se tiene queA∈Fsi y s´olo si cada
subconjuntofinito deApertenece aF.
Lema 8.7SeaFuna familia de car´acterfinito y seaBuna cadena enFcon
respectoalacontenci´on, entonces
S
B∈F.
Demostraci´on:
Es suficiente mostrar que cada subconjuntofinito de
S
Bpertenece aF.Sea
F={x
1,x2,...,xn}⊆
S
B. Entonces, existenB i∈Bparai∈{1,2,...,n}
tal quex
i∈Bi.ComoBes una⊆-cadena, existei 0∈{1,2,...,n}tal que

193. 182 8. El Axioma de Elecci´on
Bi⊆Bi0
para cadai∈{1,2,...,n}. EntoncesF⊆B i0
∈F,peroFes de
car´acterfinito, as´ıqueF∈F. Por lo tanto,
S
B∈F.
Teorema 8.8 (Lema de Tukey-Teichm¨uller)Todafamilianovac´ıade-
car´acterfinito tiene un elemento⊆-maximal.
Demostraci´on:
Supongamos que el resultado es falso, entonces existe una familia no vac´ıaF
de car´acterfinito que no tiene elementos maximales. Para cadaF∈F,sea
A
F={E∈F:F⊂E}.
Entonces{A
F:F∈F}esunafamilianovac´ıa de conjuntos no vac´ıos. Por el
Teorema 8.5(e), existe una funci´onfdefinida enFtal quef(F)∈A
Fpara
cadaF∈F.As´ıtenemos queF⊂f(F)∈Fpara todoF∈F.
Una subfamiliaJdeFse llamaf-inductivasi tiene las siguientes propie-
dades:
(1)∅∈J;
(2)A∈Jimplicaf(A)∈J;
(3)siBes una⊆-cadena contenida enJ, entonces
S
B∈J.
Ya que∅es un conjuntofinito,∅∈F,yporelLema8.7,lafamiliaFes
f-inductiva. As´ı,elsistemadesubfamiliasdeFque sonf-inductivas es no
vac´ıo. Sea
J
0=
\
{J⊆F:Jesf-inductiva}.
Es f´acil ver queJ
0esf-inductiva. As´ı,J 0es la m´ınima familiaf-inductiva, es
decir, cualquier familiaf-inductiva contenida enJ
0, debe serJ 0. Emplearemos
fuertemente este hecho para mostrar queJ
0es una cadena.
Sea
H={A∈J
0:B∈J 0yB⊂Aimplicaf(B)⊆A}.
Se afirma que siA∈HyC∈J
0,entoncesobienC⊆Aof(A)⊆C.Para
probar esta afirmaci´on, seaA∈Hydefinamos
G
A={C∈J 0:C⊆A∨f(A)⊆C}.
Ser´asuficiente mostrar queG
Aesf-inductiva.
Como∅∈J
0y∅⊆A, (1) se satisface. SeaC∈G A, entonces o bienC⊂A,
C=Aof(A)⊆C.SiC⊂A,entoncesf(C)⊆Apuesto queA∈H.Si
C=A, entoncesf(A)⊆f(C). Sif(A)⊆C, entoncesf(A)⊆f(C) puesto

194. 8.3. Cuatro Equivalencias Importantes 183
queC⊂f(C). As´ı, en cualquier casof(C)∈G Ay (2) se satisface. SeaB
una cadena enG
A.Entonces,obienC⊆Apara cadaC∈B, y en tal caso
S
B⊆A; o existeC∈Btal quef(A)⊆C⊆
S
B.As´ı
S
B∈G
Ay(3)se
satisface. Concluimos queG
Aesf-inductiva y as´ıG A=J0.
Ahora afirmamos queH=J
0. Para probar esto, mostraremos queHesf-
inductiva. Como∅no tiene subconjuntos propios,Hsatisface (1) por vacuidad.
Supongamos ahora queA∈HyB∈J
0es tal queB⊂f(A). ComoB∈
J
0=GAy dado que la inclusi´onf(A)⊆Bes imposible, tenemos queB⊆A.
SiB⊂A,entonces,porladefinici´on deH,f(B)⊆A⊂f(A). SiB=A,
entoncesf(B)⊆f(A). En cualquier caso se obtiene quef(B)⊆f(A); as´ı
f(A)∈Hy (2) se satisface paraH. Finalmente, seaBuna cadena enHy
seaB∈J
0tal queB⊂
S
B.Veamosquef(B)⊆
S
B.ComoB∈J 0=GA
para cadaA∈B, tenemos que, o bienB⊆Apara alg´unA∈B,of(A)⊆B
para cadaA∈B.Sila´ultima alternativa fuera cierta, tendr´ıamos que
B⊂
[
B⊆
[
{f(A):A∈B}⊆B,
lo cual es imposible. As´ı,existealg´unA∈Btal queB⊆A.SiB⊂A, entonces
comoA∈H, tenemos quef(B)⊆A⊆
S
B.SiB=A, entoncesB∈Hy
S
B∈J
0=GB.Estoimplicaquef(B)⊆
S
B(
S
B⊆Bes imposible). As´ı
en cualquier caso,f(B)⊆
S
By, por tanto,
S
B∈H.EstomuestraqueH
satisface (3). Por todo lo anterior concluimos queHesf-inductiva yH=J
0.
De los argumentos anteriores podemos inferir que siA∈J
0=HyB∈
J
0=GA, entonces o bienB⊆AoA⊆f(A)⊆B,esdecir,cualesquiera
dos elementos deJ
0son⊆-comparables; con lo cualJ 0es una cadena. Sea
M=
S
J
0. Puesto queJ 0esf-inductiva, (3) implica queM∈J 0. Aplicando
(2) tenemos que
[
J
0=M⊂f(M)∈J 0.
Esta contradicci´on establece el teorema.
Teorema 8.9 (Principio Maximal de Hausdorff)Todo conjunto no va-
c´ıo (parcialmente) ordenado contiene una cadena⊆-maximal.
Demostraci´on:
Sea (X,≤) cualquier conjunto ordenado no vac´ıo. Queremos mostrar queX
contiene una cadena⊆-maximal. Esto se implica f´acilmente del Lema de
Tukey-Teichm¨uller puesto que la familiaCde todas las cadenas enXes no
vac´ıaydecar´acterfinito.

195. 184 8. El Axioma de Elecci´on
Teorema 8.10 (Lema de Kuratowski-Zorn) Cualquier conjunto (parcial-
mente) ordenado y no vac´ıoenelcualtodacadenatieneunacotasuperior
tiene un elemento maximal.
Demostraci´on:
Sea (X,≤) cualquier conjunto ordenado no vac´ıoenelcualcadacadenatiene
una cota superior. Usando el Principio Maximal de Hausdorffexiste una ca-
dena⊆-maximalM⊆X.Seamuna cota superior deM. Entoncesmes un
elemento maximal deX, pues si existe alg´unx∈Xtal quem<x, entonces
M∪{x}es una cadena que contiene propiamente aM. Esto contradice la
maximalidad deM.
El cuarto resultado importante que presentamos en esta secci´on, es una de
las consecuencias m´as importantes del Axioma de Elecci´on y es un ejemplo
fuera de lo com´un de una proposici´on que no es constructiva.
´
Esta asegura
que cualquier conjunto puede ser bien ordenado. Su demostraci´on no propor-
ciona informaci´on alguna de c´omo bien ordenar a los elementos deX;enotras
palabras,noasegura que cualquier conjunto pueda serefectivamentebien or-
denado sino que se limita a asegurar que, entre todas las posibles relaciones
R⊆X×Xhay al menos una que es un buen orden paraX.
Un conjuntofinitoXpuede ser obviamente bien ordenado; por ejemplo,
siX={a, b, c}, entoncesa<b<c es un buen orden deX. Sin embargo,
no ha sido descubierto alg´un m´etodo para bien ordenar conjuntos tales como
R,elconjuntodelosn´umeros reales. En efecto, seg´un la opini´on de muchos
matem´aticos, es imposible construir un buen orden paraR.
Ahora probaremos el Teorema del Buen Orden; note que la demostraci´on
est´a basada fuertemente en el Axioma de Elecci´on.
SeaXun conjunto arbitrario, y seaBla familia de todos los pares (B,G)
dondeBes un subconjunto deXyGes un buen orden paraB. Introducimos
el s´ımbolo¹ydefinimos (B,G)¹(B
0
,G
0
)siys´olo si
B⊆B
0
,G ⊆G
0
,x ∈B,y∈B
0
\B⇒(x, y)∈G
0
(Note que la ´ultima condici´on asegura, intuitivamente, que todos los elementos
deBpreceden a todos los elementos deB
0
\B.)
A(B
0
,G
0
)selellamacontinuaci´onde (B,G). Es f´acil verificar que¹es una
relaci´on de orden enB; los detalles se dejan como ejercicio al lector.
Lema 8.11Sean(B,¹)el conjunto ordenado antes definido,
C={(B
α,Gα)}
α∈I

196. 8.3. Cuatro Equivalencias Importantes 185
una cadena enBy
B=
[
α∈I
Bα,G=
[
α∈I
Gα.
Entonces(B,G)∈B.
Demostraci´on:
ClaramenteB⊆X;as´ınuestro resultado ser´a establecido si podemos mostrar
queGes un buen orden paraB. Primero verifiquemos queGes una relaci´on
de orden.
Reflexividad.x∈Bimplicax∈B
αpara alg´unα∈I, entonces (x, x)∈
G
α⊆G;as´ıGes reflexiva.
Antisimetr´ıa. Si (x, y)∈Gy(y,x)∈G,entonces(x, y)∈G
αy(y,x)∈G β
para algunosα,β∈I;perocomoCes una cadena enB,G α⊆GβoGβ⊆Gα.
Supongamos queG
α⊆Gβ. Entonces (x, y)∈G βy(y,x)∈G β,peroG βes
una relaci´on de orden, as´ıx=y.EstopruebaqueGes antisim´etrica.
Transitividad. Si (x, y)∈Gy(y,z)∈G, entonces existenα,β∈Itales que
(x, y)∈G
αy(y,x)∈G β; nuevamente usando queCes una cadena, podemos
suponer, sin p´erdida de generalidad, queG
α⊆Gβ. Entonces (x, y)∈G βy
(y,z)∈G
βimplica (x, z)∈G β⊆G,locualmuestraqueGes transitiva.
Ahora demostraremos queBest´abienordenadoporG.SeaD⊆B, D6 =∅.
EntoncesD∩B
α0
6 =∅para alg´unα 0∈I;luegoD∩B α0
⊆B α0
.Porlo
tanto,D∩B
α0
tiene un primer elementoben el ordenG α0
; esto es, para todo
y∈D∩B
α0,(b, y)∈G α0. Procedamos a demostrar quebes el primer elemento
deDen (B,G).
Seax∈D.Six∈B
α0
,entonces(b, x)∈G α0
⊆G.Siporelcontrario
x/∈B
α0
entonces, puesto quex∈D⊆B, necesariamentex∈B βpara alg´un
β∈I.AhoracomoB
β*Bα0
, no puede ocurrir que (B β,Gβ)¹(B α0
,Gα0
).
PeroCes una cadena, entonces forzosamente (B
α0
,Gα0
)¹(B β,Gβ). Por la
definici´on de¹,(b, x)∈G
β⊆G. Esto demuestra queb=minDen (B,G).
Lema 8.12SiC,ByGest´an definidos como antes,(B,G)es una cota su-
perior deCen(B,¹).
Demostraci´on:
Sea (B
α,Gα)∈C;claramenteB α⊆ByG α⊆G. Ahora sup´ongase que
x∈B
α,y∈B\B α;ciertamentey∈B βpara alg´unβ∈I.Ahora(B α,Gα)¹
(B
β,Gβ) puesy∈B β\Bα,deaqu´ıresulta que (x, y)∈G β⊆G. Esto es,
(B
α,Gα)¹(B,G).
Teorema 8.13 (del Buen Orden)Todo conjunto puede ser bien ordenado.

197. 186 8. El Axioma de Elecci´on
Demostraci´on:
Por los Lemas 8.11 y 8.12 podemos aplicar el Lema de Kuratowski-Zorn a
(B,¹); as´ıBtiene un elemento¹-maximal (B,G). Mostraremos queB=X,
as´ıXser´abienordenado.SiB⊂X, entonces existex∈X\B. Adjuntando
xcomo ´ultimo elemento deB(ver Ejemplo 4.132), tenemos que
(B,G)≺(B∪{x},G∪{(a, x):a∈B}).
Esto contradice el car´acter maximal de (B,G). Por lo tanto,B=X.
Es claro que el Axioma de Elecci´on puede derivarse del Teorema del Buen
Orden. En efecto, siXes un conjunto no vac´ıo, por el Teorema del
Buen Orden,Xpuede ser bien ordenado; siBes un subconjunto no vac´ıo
deX,seaf(B)=minB. Entoncesfes una funci´on de elecci´on.
Tenemos pues probado el siguiente teorema que resalta los resultados que
presentamos en esta secci´on.
Teorema 8.14Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elecci´on.
(b) El Lema Tukey-Teichm¨uller.
(c) Principio Maximal de Hausdorff.
(d) El Lema de Kuratowski-Zorn.
(e) El Teorema del Buen Orden.
El Teorema del Buen Orden fue propuesto originalmente por Cantor, y
aunque ´el no dio alguna demostraci´on, D. Hilbert en el Congreso Internacional
de Matem´aticas en Par´ıs (1900) se refiri´oalTeoremadelBuenOrdencomo
un resultado de Cantor. Zermelo fue el primero en demostrarlo; sin embargo,
debido a la paradoja de Burali-Forti y a que su demostraci´on hac´ıausode
inducci´on transfinita, esa primera demostraci´on de Zermelo no fue muy acep-
tada. Para responder a las cr´ıticas, en 1908 Zermelo public´o otra demostraci´on
en la que se eliminaba el uso de ordinales. Se dice que la forma axiom´atica
deZermeloparalaTeor´ıa de Conjuntos est´afuertementeinfluenciada por la
segunda demostraci´on ya que, hablando vagamente, ´el seleccion´o las formas
m´as d´ebiles para los axiomas en los cuales pudiera justificar su demostraci´on.
La segunda formulaci´on del Axioma de Elecci´on la realiz´o B. Russell bajo
el nombre de Axioma Multiplicativo (1906). Aunque Russell anunci´oquesu
principio era un sustituto del principio de Zermelo (cre´ıaqueeram´as d´ebil
que el principio de Zermelo). Despu´es, en 1909, F. Hausdorffpropuso el Prin-
cipio Maximal; sin embargo, Hausdorffno lo menciona en su famoso libro

198. 8.3. Cuatro Equivalencias Importantes 187
Mengenlehrede 1914 y aparece hasta la segunda edici´on de 1927. Kuratowski
redescubri´o el Principio Maximal en 1922 y dio otra demostraci´on del Teorema
del Buen Orden. El segundo redescubrimiento lo realiz´o Zorn en 1935, en esta
ocasi´on el Principio Maximal fue decisivamente convincente, el resultado se
conoce como el “Lema de Zorn”. Similarmente Teichm¨uller en 1939 y Tukey
1940 formularon independientemente el otro principio maximal.
Ejercicios 8.3
1. Muestre que la intersecci´on de un sistema de familiasf-inductivas es
una familiaf-inductiva.
2. Muestre que la relaci´on¹(continuaci´on) definida antes del Lema 8.11
es un orden parcial.
3. Demuestre que siApuede ser bien ordenado, entoncesP(A) puede ser
linealmente ordenado. (Sugerencia: considere el primer elemento deX4
Y,paraX, Y⊆A.)
4. Sea (A,≤) un conjunto parcialmente ordenado en el que cualquier cadena
tiene una cota superior. Muestre que para cadaa∈A,existeunelemento
≤-maximalx∈Atal quea≤x.
5. Sea (L,≤) un conjunto linealmente ordenado. Pruebe que existe un con-
juntoW⊆Ltal que≤es un buen orden enWy tal que para cada
x∈Lexiste uny∈Wtal quex≤y.
6. SeaAcualquier conjunto infinito. Demuestre queApuede ser bien orde-
nado de tal manera queAno tenga m´aximo. Tambi´en muestre que hay
un buen orden paraAen el cualAtiene m´aximo.
7. Pruebe que siAes una familia de car´acterfinito, entonces cualquier
X∈Aest´aincluidoenun⊆-maximalY∈A.
8. Demuestre que la siguiente proposici´on es equivalente al Axioma de
Elecci´on: Cualquier familiaFcontiene una subfamilia⊆-maximal con-
sistente de conjuntos ajenos por pares. (Sugerencia: seaSuna familia de
conjuntos ajenos; encuentre una funci´on de elecci´on paraS. Esto puede
obtenerse usando una subfamilia⊆-maximal de conjuntos ajenos de
E={{(0,a),(1,A)}:A∈Sya∈A}.)

199. 188 8. El Axioma de Elecci´on
9. Pruebe que el Principio Maximal de Hausdorffes equivalente a la si-
guiente proposici´on: SiAes una familia tal que para cada cadenaB⊆A,
S
B∈A, entoncesAtiene un elemento⊆-maximal.
10. Demuestre que para cualquier orden¹enA,existeunordenlineal≤
enAtal quea¹bimplicaa≤bpara todoa, b∈A(es decir, cualquier
orden parcial puede extenderse a un orden lineal.) (Sugerencia: seaOla
familia de ordenes deAque contienen a≤. Use el ejercicio anterior para
mostrar queOtiene un elemento⊆-maximal,¹. Si ocurriera quea±b
yb±apara algunosa, b∈A, considere la relaci´on
¹∪{(x, y):x¹ayb¹y}.)
8.4 Uso del Axioma de Elecci´on
Empezamos con algunos resultados ampliamente conocidos en los cuales pocas
veces se enfatiza el uso del Axioma de Elecci´on.
Un n´umero realxest´aenlaclausura
A,de un conjuntoA⊆R,si para
cualquier²>0,
A∩(x−², x+²)6 =∅.
En el siguiente ejemplo se proporciona una caracterizaci´on de los puntos clau-
sura.
Ejemplo 8.15Un n´umero realxest´aenlaclausuradeunconjuntoA⊆R
si y s´olo si existe una sucesi´on de elementos enAqueconvergeax.
Demostraci´on:
⇒]Six∈ A, entonces para cadan∈Npodemos seleccionarx n∈A∩
(x−
1
n
,x+
1
n
); como|x−x n|<
1
n
para cadan∈N,sesiguef´acilmente que
lim
n→∞xn=x.
⇐]Est´a parte de la demostraci´on no hace uso del Axioma de Elecci´on y es
f´acil.
Cuando se demuestra en los cursos ordinarios de C´alculo Diferencial e In-
tegral o An´alisis la proposici´on del Ejemplo 8.15 se pone mucha atenci´on a
la convergencia de la sucesi´on y se deja de lado la elecci´on de sus t´erminos,
siendo que, en realidad, es m´as importante la elecci´on, pues de ella se deduce
la convergencia.
Otro ejemplo similar es la equivalencia entre la definici´on²-δde continuidad
yladefinici´on de continuidad secuencial.

200. 8.4. Uso del Axioma de Elecci´on 189
Ejemplo 8.16Una funci´onf:(a, b)→Res continua en un puntox∈(a, b)
si y s´olo si para cada sucesi´on{x
n}
n∈N
de elementos en (a, b)talquelimx n=
xse tiene que limf(x
n)=f(x).
Demostraci´on:
Demostraremos ´unicamente la parte que hace uso del Axioma de Elecci´on,
es decir, la suficiencia. Sifes discontinua enx∈(a, b), entonces existe un
²>0 tal que para cadan∈N,existex
n∈(a, b)∩(x−
1
n
,x+
1
n
)talque
|f(x)−f(x
n)|≥². Entonces lim n→∞xn=x,peroesfalsoque
lim
n→∞
f(xn)=f(x
˙
).
La compacidad es una de las propiedades topol´ogicas m´as importantes. La
equivalencia entre compacidad y compacidad secuencial enRtambi´en hace
uso del Axioma de Elecci´on.
Ejemplo 8.17Un conjuntoK⊆Res compacto si y s´olositodasucesi´on de
elementos enKtiene una subsucesi´on convergente.
Otras consecuencias ya m´as especiales son las siguientes. Posiblemente, la
m´as famosa de estas consecuencias se debe a Vitali [V] en 1905.
Ejemplo 8.18Existen subconjuntos deRno medibles seg´un Lebesgue.
Demostraci´on:
Seaµla medida de Lebesgue enR.Esconocidoqueµes numerablemente
aditiva, invariante por traslaci´on y queµ([a, b]) =b−apara cualquier intervalo
[a, b].
SeaZun conjunto de representantes de las clases de equivalencia m´odulo
≡en [0,1] dada porx≡ysi y s´olo siy−x∈Q. Utilizando los resultados y
la notaci´on del Ejercicio 4.4.16,
µ([0,1]) =µ


[
r∈Q
Z(r)

=
X
r∈Q
µ(Z(r)).
Comoµ([0,1]) = 1,µ(Z(r
0))6 = 0 al menos para alg´unr 0∈Q.Peroµ(Z(r 0)) =
µ(Z(r)) para cadar∈Qya queµes invariante por traslaciones; con lo cual
µ([0,1]) =∞,que es imposible. Por lo tanto,Zno es medible seg´un Lebesgue.
SeaLuna ret´ıcula (ver Ejercicio 4.5.20), un ideal enLes un subconjunto
propio no vac´ıoIdeLtal que

201. 190 8. El Axioma de Elecci´on
(i)a∈Iyb≤aimplicab∈I;
(ii)a∈Iyb∈Iimplicaa⊥b:= inf{a, b}∈I.
Una ret´ıcula se llamaunitariasi existe un elemento 1∈Ltal que 1⊥a=a
para cadaa∈L.
Ejemplo 8.19Cualquier ret´ıcula unitaria tiene un ideal maximal.
Demostraci´on:
SeaFla familia de todos los ideales en la ret´ıcula dada. La familiaFsatisface
las hip´otesis del Lema de Kuratowski-Zorn y as´ıtiene un elemento maximal.
Ejemplo 8.20 (Bases de Hamel)Todo espacio vectorial tiene una base.
Demostraci´on:
SeaFla familia de todos los subconjuntos de vectores linealmente indepen-
dientes. Obviamente, la familiaFtiene car´acterfinito y as´ıpor el Lema de
Tukey-Teichm¨uller, existe un conjunto⊆-maximal linealmente independiente
ß. Usando la maximalidad, se prueba sin dificultad que ß es una base.
Andreas Blass en 1984 demostr´o que la proposici´on del Ejemplo 8.20 implica
el Axioma de Elecci´on.
Un grupoGes ungrupo libresi tiene un conjunto de generadoresAcon
la siguiente propiedad: Todo elementogdeGdistinto del neutro 1 puede ser
un´ıvocamenteescrito en la forma
a
±1
1
a
±1
2
···a
±1
n
,
donde losa
i∈Ayano aparece adyacente aa
−1
para cualquiera∈A.
Ejemplo 8.21 (Teorema de Nielson-Schreir)Todo subgrupo de un gru-
po libre es un grupo libre.
La demostraci´on de este teorema es dif´ıcil y queda fuera de nuestro alcance.
´
Unicamente mencionaremos que usa el hecho de que el subgrupo dado puede
ser bien ordenado y esto se usa para construir, por inducci´on transfinita, un
conjunto de generadores libres del subgrupo.
Unaclausura algebraicade un campoFes una extensi´onCalgebraicamente
cerrada sobreF,esdecir,uncampoCen el cual todo polinomio no constante
tiene una ra´ızycualquierelementodeCes ra´ızdeunpolinomioconcoefi-
cientes enF.El art´ıculo de Zorn [Z
3], donde introduce su principio maximal,
se dedica a demostrar el siguiente teorema.

202. 8.4. Uso del Axioma de Elecci´on 191
Ejemplo 8.22 (Clausura Algebraica)Todo campo tiene una ´unica (salvo
isomorfismo) clausura algebraica.
El siguiente es otro resultado equivalente al Axioma de Elecci´on; fue estable-
cido por G. Klimovski en 1962 y U. Felgner en 1976.
Ejemplo 8.23Todo grupo contiene un subgrupo abeliano⊆-maximal.
SeaEun espacio vectorial real. Un funcional lineal sobreEes una funci´on
ϕ:E→Rtal que
ϕ(rx+sy)=rϕ(x)+sϕ(y)
para todox, y∈Eyr, s∈R. Una funci´onp:E→Res un funcional sublineal
si
p(x+y)≤p(x)+p(y)
para todox, y∈Ey
p(ry)=rp(x)
para todox∈E,r≥0.
Ejemplo 8.24 (Teorema de Hahn-Banach) Seapun funcional sublineal
sobre unR-espacio vectorialEyseaϕun funcional lineal sobre un subespacio
vectorialVdeEtal queϕ(x)≤p(x)paratodox∈V.Entonces existe un
funcionalΦdefinido sobreEel cual extiende aϕyΦ(x)≤p(x)paratodo
x∈E.
Demostraci´on:
Consid´erese la familiaFde todos los funcionalesψdefinidos sobre un subespa-
cio deE,que extienden aϕy que satisfacenψ(x)≤p(x)paratodox∈domψ.
Definamos≤enFcomoψ≤ψ
0
si y s´olo siψ⊆ψ
0
.Entonces (F,≤)esun
conjunto parcialmente ordenado. SeaCuna cadena enF.Esf´acil verificar que
Ces un sistema compatible de funciones. Entonces
W=
[
{domψ:ψ∈F}
es un subespacio vectorial deEyΨ=
S
Ces un funcional lineal sobreW.M´as
a´un, six∈W,Ψ(x)=ψ(x)paraalg´unψ∈C,yas´ıΨ(x)≤p(x). Aplicando el
Lema de Kuratowski-Zorn vemos queFtiene un elemento maximal, digamos
Φ. Para completar la demostraci´on se necesita demostrar quedomΦ=E.Esta
parte de la demostraci´on no utiliza el Axioma de Elecci´on y, por su extensi´on,
la omitiremos.

203. 192 8. El Axioma de Elecci´on
Por sus bastas consecuencias, el Teorema de Hahn-Banach es de los m´as
importantes en el An´alisis Funcional. En 1970 P. R. Andenaes estableci´ola
siguiente versi´on m´as fuerte del Teorema de Hahn-Banach y J. Lembcke en
1974 demostr´o que el resultado de Andenaes implica el Axioma de Elecci´on.
Ejemplo 8.25SeaXunR-espacio vectorial,Yun subespacio vectorial deX
ySun subconjunto deX.Sup´ongase quep:X→Res un funcional sublineal
sobreXyf:Y→Run funcional lineal tal quef(y)≤p(y).Entonces el
conjuntoZde todas las extensiones linealesp-dominadas defaXtiene un
elementogtalque,paratodoh∈Zque cumpleg(s)≤h(s) para cadas∈S,
se tiene queg=henS.Esto es,gesS-maximal enZ.
En el siguiente ejemplo veremos un conocido resultado del An´alisis Funcional
que implica el Axioma de Elecci´on, seg´undemostraronL.J.BellyFremlinen
1972.
Por unpunto extremode un conjunto convexoKde un espacio vectorial se
entiende un punto que no es interior a cualquier segmento contenido enK.
Ejemplo 8.26La esfera unitaria en el dual de unR-espacio vectorial nor-
mado tiene un punto extremo.
Sea{(X
α,τα)}
α∈Γ
una familia de espacios topol´ogicos. El producto topol´o-
gico de la familia{(X
α,τα)}
α∈Γ
es definida como el producto cartesiano
X=
Y
α∈Γ
Xα
de la familia{X α}
α∈Γ
equipado con la topolog´ıam´as d´ebilquehacealas
proyecciones continuas.
Ejemplo 8.27 (Teorema de Tychonoff)El producto topol´ogico de espa-
cios compactos es compacto.
Una demostraci´on, m´as o menos popular, de este teorema usa la caracte-
rizaci´on de la compacidad porfiltros.
UnfiltroFsobre un conjuntoXes un subconjunto propio no vac´ıodel
conjunto potencia deXtal que:
A∈FyA⊆BimplicaB∈F;
A∈FyB∈FimplicaA∩B∈F.

204. 8.4. Uso del Axioma de Elecci´on 193
UnultrafiltroFsobreX,esunfiltro sobreXtal que para cadaA⊆X,
obienA∈FoX\A∈F.UnafamiliaBesbase defiltrosi la familia de
subconjuntos deXque contienen a interseccionesfinitas de elementos deB,
{A∈P(X):A⊇A
1∩A2∩···∩A k,A1,A2,...,Ak∈B},
es unfiltro sobreX.
Un espacioXes compacto si y s´olo si para cada base defiltroBsobreX,
\©
A:A∈B
ª
(8.4.1)
es no vac´ıa.
Sea (X,τ)=
Q
α∈Γ
(Xα,τα) un producto de espacios compactos. La familia
de todas las bases defiltros sobreXtiene car´acterfinito y as´ıpor el Lema
de Tukey-Teichm¨uller, toda base defiltro est´a incluida en una base defiltro
maximal (un ultrafiltro). Para mostrar que la intersecci´on (8.4.1) es no vac´ıa
siempre queBsea maximal (lo cual es obviamente suficiente), haremos lo
siguiente:
(1) la compacidad de los espacios (X
α,τα) implica que las intersecciones de
las proyeccionesA
α=
T
n
pα(B):B∈B
o
es no vac´ıa;
(2) con el Axioma de Elecci´on nuevamente, tomemosx
α∈Aαpara cadaα,
y
(3) la maximalidad deBimplica que el puntox=(x
α)α∈Γpertenece a la
intersecci´on
T©
A:A∈B
ª
.
Porlotanto,elespacio(X,τ) es compacto.
En 1935 S. Kakutani conjetur´o que el Axioma de Elecci´on es una conse-
cuencia del Teorema de Tychonoff. Quince a˜nos despu´es J. L. Kelley public´o
su famoso art´ıculo donde mostraba que el Teorema de Tychonoffimplica el
Axioma de Elecci´on [K
2]; sin embargo, J. D. Halpern en [H3]mostr´oquela
demostraci´on de Kelley es deficiente. J. ÃLos y C. Ryll-Nardzewski observaron
que la demostraci´on de Kelley muestra que el Teorema de Tychonoffpara es-
pacios compactos de Hausdorffimplica el Axioma de Elecci´on para espacios
compactos de Hausdorffno vac´ıos. Pese a todas estas observaciones, la de-
mostraci´on de Kelley es esencialmente correcta. L. E. Ward en 1962 mostr´o
que una versi´on m´as d´ebil del Teorema de Tychonoffes equivalente al Axioma
de Elecci´on. Posteriormente O. T. Alas en 1969 prob´o que una versi´on a´un
m´as d´ebil era tambi´en equivalente al Axioma de Elecci´on:
Proposici´on 8.28Son equivalentes:
(a) El Axioma de Elecci´on.
(b) El Teorema de Tychonoff.

205. 194 8. El Axioma de Elecci´on
(c) El producto topol´ogico de una familia de espacios topol´ogicos com-
pactos, mutuamente homeomorfos, es compacto.
(d) El producto topol´ogico de un conjunto de espacios mutuamente ho-
meomorfos{(X
α,τα)}, donde cadaτ αtiene tres elementos es compacto en la
topolog´ıa producto.
Demostraci´on:
En el ejemplo anterior se demuestra que el Axioma de Elecci´on implica el
Teorema de Tychonoff. Por otra parte, es claro que el Teorema de Tychonoff
implica(c)y(c)implica(d).As´ıentonces, basta mostrar que(d)implica el
Axioma de Elecci´on; para ello emplearemos la equivalencia del Ejercicio 8.2.8.
Sean{X
α}
α∈I
una familia de conjuntos equipotentes y
a/∈
[
α∈I
Xα.
Para cadaα∈I,seaY
α=Xα∪{a},ydefinaτ α={∅,Y α,{a}}. Entonces
{(Y
α,τα)}
α∈I
satisface las hip´otesis de(d).SeaW=
Q
α∈I
Yαcon la topolog´ıa producto y
defina
Z
α={f∈W:f(α)∈X α}.
Entonces{Z
α}
α∈I
es una familia de cerrados con la propiedad de la inter-
secci´onfinita. Consecuentemente,
\
α∈I
Zα=
Y
α∈I
Xα
es no vac´ıo.
OtrodelosteoremasesencialesdelaTopolog´ıa que necesita del Axioma de
Elecci´on para demostrarse es el siguiente.
Ejemplo 8.29 (Lema de Urysohn) Cerrados ajenos en un espacio topol´o-
gico normal est´an completamente separados.
2
2
L¨auchli construy´oen1962unmodeloenelcualfallaelAxiomadeElecci´on y que contiene
un espacio Hausdorff, normal y localmente compactoXcon m´as de un punto, donde toda
funci´on continuaf:X→Res constante. Se sigue que el Lema de Urysohn no puede
demostrarse sin el Axioma de Elecci´on, y de hecho, que un espacio Hausdorffycompactono
necesariamente es normal.

206. 8.4. Uso del Axioma de Elecci´on 195
Por completamente separados entendemos que existe una funci´on continua
con valores reales que manda a un conjunto al 0 y el otro al 1.
Sin demostraci´on presentamos el siguiente teorema que establece otras equi-
valencias del Axioma de Elecci´on.
Teorema 8.30El Axioma de Elecci´on es equivalente a las siguientes proposi-
ciones:
(a) Sean≥2yseaAuna familia de conjuntos infinitos. Entonces hay
una funci´onftal que para cadaA∈A,f(A)es una partici´on deAen con-
juntos de cardinalidad entre2yn(Sierpi´nski, 1965; Levy, 1962).
(b) Sim≥1yAes una familia de conjuntos no vac´ıos, entonces hay una
funci´onftal que para cadaA∈A,f(A)esunsubconjuntonovac´ıodeAcon
|f(A)|≤m. (Levy, 1915)
(c) SiRes un orden parcial en un conjunto no vac´ıoXysicualquier
subconjunto que es bien ordenado porRtiene una cota superior, entoncesX
tiene un elementoR-maximal (Kneser, 1950; Szele 1950).
Finalmente dos consecuencias del Axioma de Elecci´on que contrastan con
la intuici´on.
Ejemplo 8.31 (Teorema de Hausdorff)Una esferaSpuede escribirse co-
mo uni´on de conjuntos ajenosA, B, C, Qtales queA, ByCson congruentes
entre s´ı,B∪Ces congruente a cada uno de los conjuntosA, B, CyQes
numerable.
Aqu´ıpor congruente debe entenderse que existe un movimiento r´ıgido deR
3
que transforma uno en el otro. Ahora consid´erese la siguiente relaci´on entre
subconjuntos deR
3
:Sedefine
X≈Y (8.4.2)
si existe una partici´onfinita deX,{X
i}
n
i=0
, y una partici´on del mismo n´umero
de elementos{Y
i}
n
i=0
deY, tal que cadaX ies congruente aY ipara cada
i∈{0,1,...,n}.
Ejemplo 8.32 (Teorema de Banach-Tarski) Cualquier bola compactaD
enR
3
puede descomponerse en conjuntos ajenosUyVtales que
D≈UD ≈V.
As´ı, usando el Axioma de Elecci´on, uno puede cortar una bola en una can-
tidadfinita de piezas y reacomodarlas para tener dos bolas del mismo tama˜no
alaoriginal.

207. 196 8. El Axioma de Elecci´on
Los siguientes lemas establecer´an las pruebas de estos dos teoremas. Sea
Gel producto libre de los grupos{1,φ}y
©
1,ψ,ψ
2
ª
, es decir, el grupo de
todos los productos formales deφ,ψ,ψ
2
, con las relacionesφ
2
=1yψ
3
=1.
Consideraremos dos ejes de rotaci´ona
φ,aψatrav´es del centro de la bolaD,
y consideraremos el grupo de rotaciones generado por la rotaci´onφde 180
◦
alrededor dea φy una rotaci´onψde 120
◦
alrededor dea ψ.
Lema 8.33Podemos determinar los ejesa
φyaψde tal modo que los distintos
elementos deGrepresenten distintas rotaciones generadas porφyψ.
Un esbozo de la demostraci´on es como sigue: Tenemos que determinar el
´anguloθentrea
φyaψde tal modo que ning´un elemento deGdistinto de 1
represente la rotaci´on identidad. Considere un elemento t´ıpico deG;osea,un
producto del tipo
α=φ·ψ
±1
·····φ·ψ
±1
. (8.4.3)
Usando las ecuaciones de transformaciones ortogonales y algo de trigonometr´ıa
elemental, uno puede probar que la ecuaci´on
α=1,
dondeαes alg´un producto del tipo (8.4.3), tiene s´olo una cantidadfinita de
soluciones. Consecuentemente, excepto para un conjunto numerable de valores,
tenemos libertad para seleccionar el ´anguloθque satisfaga el requerimiento.
Consideremos talθ,yseaGel grupo de todas las rotaciones generadas por
φyψ.
Lema 8.34El grupoGpuede descomponerse en tres conjuntos ajenos
G=A
0
∪B
0
∪C
0
tales que
A
0
·φ=B
0
∪C
0
,A
0
·ψ=B
0
,A
0
·ψ
2
=C
0
. (8.4.4)
Demostraci´on:
ConstruiremosA
0
,B
0
,C
0
por recursi´on sobre las longitudes de los elementos
deG.Sea1∈A
0
,φ,ψ∈B
0
yψ
2
∈C
0
y entonces contin´ue como sigue para
cadaα∈G:
αfinaliza con







α∈A
0
α∈B
0
α∈C
0
ψ
±1
:
φ:
αφ∈B
0
αφ∈A
0
αφ∈A
0
½
αψ∈B
0
αψ∈C
0
αψ∈A
0
αψ
−1
∈C
0
αψ
−1
∈A
0
αψ
−1
∈B
0

208. 8.4. Uso del Axioma de Elecci´on 197
Esto garantiza que la condici´on (8.4.4) se satisface.
Hasta ahora, no hemos hecho uso del Axioma de Elecci´on. Para completar
la demostraci´on del Teorema de Hausdorff, usaremos un argumento similar a
la construcci´on de un conjunto no medible de n´umeros reales.
SeaQel conjunto de todos los puntosfijos sobre la esferaSde todas las
rotacionesα∈G. Cada rotaci´on tiene dos puntosfijos; as´ıQes numerable. El
conjuntoS\Qes uni´on de conjuntos ajenos, a saber, de todas las ´orbitasP
x
del grupoG:
P
x={x·α:α∈G}.
Por el Axioma de Elecci´on, hay un conjuntoMtal que contiene exactamente
un elemento de cadaP
x,x∈S\Q.Sihacemos
A=M·A
0
,B =M·B
0
,C =M·C
0
,
se sigue de (8.4.4) queA,B,Cson ajenos, congruentes entre s´ıyB∪Ces
congruente a ellos; m´as a´un,
S=A∪B∪C∪Q.
Esto completa la demostraci´on del Teorema de Hausdorff.
Lema 8.35Sea≈la relaci´on definida en (8.4.2). Entonces:
(a)≈es una relaci´on de equivalencia.
(b) SiXyYson uniones ajenas deX
1,X2yY1,Y2, respectivamente, y
X
i≈Yiparai∈{1,2},entoncesX≈Y.
(c) SiX
1⊆Y⊆XysiX≈X 1entoncesX≈Y.
Demostraci´on:
Las pruebas de(a)y(b)no son dif´ıciles. Para probar(c),seanX=
S
n
i=1
Xi
yX1=
S
n
i=1
X1ital queX ies congruente aX 1ipara cadai∈{1,...,n}.
Seleccione una congruenciaf
i:Xi→X 1ipara cadai,yseaf:X→X 1la
funci´on que coincide conf
ien cadaX i.Ahorasean
X
0=X, X 1=f(X 0),X2=f(X 1),...
Y
0=Y, Y1=f(Y 0),Y2=f(Y 1), ...
Si hacemosZ=
S
∞
n=0
(Xn\Yn),entoncesf(Z)yX\Zson ajenos,Z≈f(Z)
y
X=Z∪(X\Z),Y=f(Z)∪(X\Z).

209. 198 8. El Axioma de Elecci´on
Por lo tanto,X≈Ypor (b).
Ahora probaremos el Teorema de Banach-Tarski. SeaDuna bola compacta
ysea
S=A∪B∪C∪Q
la descomposici´on de la superficie garantizada por el Teorema de Hausdorff.
Tenemos que
D=A
∗
∪B
∗
∪C
∗
∪Q
∗
∪{c}, (8.4.5)
dondeces el centro de la bola y para cadaX⊆S,X
∗
es el conjunto de todos
losx∈D,distintosdec, tales que su proyecci´on sobre la superficie est´aenX.
Claramente,
A
∗
≈B
∗
≈C
∗
≈B
∗
∪C
∗
. (8.4.6)
Sean
U=A
∗
∪Q
∗
∪{c},V =B\U.
De (8.4.6) y del Lema 8.35, tenemos que
A
∗
≈A
∗
∪B
∗
∪C
∗
, (8.4.7)
yas´ı
U≈D.
Ahora es f´acil encontrar alguna rotaci´onα(no enG)talqueQyQ·αsean
ajenos, y as´ı, usandoC
∗
≈A
∗
∪B
∗
∪C
∗
,existeS⊆Ctal queS
∗
≈Q
∗
.Sea
palg´un punto enS\C. Obviamente,
A
∗
∪Q
∗
∪{c}≈B
∗
∪S
∗
∪{p}.
Como
B
∗
∪S
∗
∪{p}⊆V⊆D,
podemos hacer uso de la relaci´onU≈By del Lema 8.35(c), para obtener
V≈D.
Esto completa la demostraci´on.
LosTeoremasdeHausdorffy Banach-Tarski tienen generalizaciones a di-
mensiones superiores; sin embargo, son falsos para dimensiones 1 y 2. Es-
tos teoremas est´an ´ıntimamente relacionados con el problema de la medida,
adem´as de tener consecuencias propias. El lector interesado puede consultar
[W
1].

210. 8.5. El Teorema del Ideal Primo 199
8.5 El Teorema del Ideal Primo
Enlosejemplosdelasecci´on precedente, mostramos que usando el Axioma
de Elecci´on, podemos establecer la existencia de ideales maximales en anillos,
ret´ıculas o ´algebras de conjuntos. Entre los teoremas de este tipo, el Teorema
del Ideal Primo juega un papel particularmente predominante. Primeramente,
porque puede ser usado en muchas demostraciones en lugar del Axioma de
Elecci´on; en segundo lugar, porque es equivalente a muchas otras proposi-
ciones; yfinalmente, porque es esencialmente m´as d´ebil que el Axioma de
Elecci´on.
Definici´on 8.36Un´ algebra booleanaes un conjuntoBcon dos operaciones
binarias + y·(suma y multiplicaci´on booleanas), una operaci´on unitaria−
(complemento) y dos constantes 1,0 que cumplen las siguientes condiciones:
(a)u+u=u=u·u;
(b)u+v=v+uyu·v=v·u;
(c)u+(v+w)=(u+v)+wyu·(v·w)=(u·v)·w;
(d) (u+v)·w=(u·w)+(v·w)y( u·v)+w=(u+w)·(v+w);
(e)u+(u·v)=u=u·(u+v)
(f)u+(−u)=1 y u·(−u)=0;
(g)−(u+v)=−u·−vy−(u·v)=−u+−v;
(h)−(−u)=u;
(i)u·1=uyu+0=u.
Se puede introducir un orden (parcial)≤de manera natural en una ´algebra
booleanaBel cual se introduce en t´erminos de + por
u≤vsi y s´olo siu+v=v
oequivalentemente
u≤vsi y s´olo siu·v=u.
Con este orden, 1 y 0 son el m´aximo y el m´ınimo deB, respectivamente.
Adem´as,u+vyu·vrepresentan el supremo y el ´ınfimo de{u, v}, respectiva-
mente.
En el Ejercicio 4.5.20 se defini´o a una ret´ıcula como un conjunto parcial-
mente ordenado (L,≤) tal que para cadaa, b∈Lexisten
a⊥b=inf{a, b} y a>b=sup{a, b}.

211. 200 8. El Axioma de Elecci´on
Con lo anterior, se puede describir un ´algebra booleana como una ret´ıcula
(B,≤) con elementos m´aximo y m´ınimo, que es distributiva y cada elemento
tiene un complemento, es decir,
(a>b)⊥c=(a⊥c)>(b⊥c),
(a⊥b)>c=(a>c)⊥(b>c),
∀a∈L,∃b∈Ltal quea>b=maxB, a⊥b=minB.
Ejemplo 8.37Para cualquier conjuntoX,P(X)con∪como suma,∩como
multiplicaci´on yX\Acomo el complemento−AdeA∈P(X)esun´algebra
booleana. Aqu´ı≤es simplemente la inclusi´on de conjuntos.
Ejemplo 8.38Salvo queXseafinito, la ret´ıcula de todos los subconjuntos
finitos deXcon la contenci´onesdistributivaperonoesun´algebra booleana.
Definici´on 8.39UnidealIen un ´algebra booleanaBes un subconjunto no
vac´ıodeBtal que:
(a)u∈Iyv≤uimplicav∈I;
(b)u, v∈Iimplicau+v∈I.
Antes de dar ejemplos de ideales observe que cualquier idealIcontiene a 0.
Ejemplo 8.40{0}es el⊆-m´ınimo ideal en cualquier ´algebra BooleanaBy
I=Bes el⊆-m´aximo ideal.A estos ideales les llamaremostrivial e impropio,
respectivamente; todos los otros ideales se llamanpropios.
Ejemplo 8.41Un idealI,no trivial, es propio si y s´olo si 1/∈I.
Ejemplo 8.42En cualquier ´algebra booleana, siu∈B,entonces
{v∈B:v≤u}
es un ideal, llamadoideal principalgenerado poru∈B.
Ejemplo 8.43EnP(X) la familiaIde todos los subconjuntosfinitos deX
es un ideal.
Definici´on 8.44Un ideal propioIse llamaprimosi siempre queu·v∈Ise
tiene queu∈Iov∈I.
Se deduce f´acilmente que siIes un ideal primo, entonces para cadau∈B,
obienu∈I,o−u∈I(puesu·−u=0).Elrec´ıproco tambi´en es cierto, es
decir, siIes un ideal propio tal que para cualquieru∈B,u∈I,o−u∈I,

212. 8.5. El Teorema del Ideal Primo 201
entoncesIes un ideal primo. En efecto, siu·v∈I,perou/∈I,v/∈I, entonces
−u,−v∈I,luego−(u·v)=−u+−v∈I,deaqu´ıque
1=(u·v)+−(u·v)∈I;
lo que contradice queIsea un ideal propio.
Proposici´on 8.45En un ´algebra booleana, un idealIes primo si y s´olo si
es⊆-maximal en la familia de ideales propios, es decir,Ino est´a contenido
propiamente en alg´un ideal propio.
Demostraci´on:
⇐]SeaIun ideal⊆-maximal en la familia de todos los ideales propios de un
´algebra booleanaB. Para mostrar queIes un ideal primo basta probar que
para cadau∈B,obienu∈Io−u∈I.Seau∈By supongamos queu/∈I.
Consideremos el siguiente subconjunto deB:
J={x+y:x≤u, y∈I}.
EntoncesJes un ideal enBya que:
(a) Siz∈Bes tal quez≤x+ypara algunosx≤u,y∈I, entonces
z·(x+y)=z·x+z·y.Perocomoz·x=inf{x, z},z·x≤xydadoque
x≤u,sesiguequez·x≤u.Adem´as, dado queIes un ideal,z·y≤yimplica
z·y∈I.Porlotanto,z∈J.
(b) Six
1≤u, x2≤u, y1,y2∈I,entoncesx 1+x2=sup{x 1,x2}≤uy
y
1+y2∈I,luego
(x
1+y1)+(x 2+y2)=(x 1+x2)+(y 1+y2)∈J.
Tambi´enI⊂J, puesto que claramenteI⊆Jyu∈Jmientras queu/∈I.
As´ıJ=B,dadoqueIes maximal. Por lo tanto, existenx≤u,y∈Itales que
x+y=1.Deestoseconcluyequeu+(x+y)=u+1obienu+y=1+u=1.
Entonces−u=−u·1=−u·(u+y)=(−u·u)+(−u·y)=−u·y;oseaque
−u≤y. Se concluye que−u∈I.
⇒]SiIes un ideal primo yI⊂J, entonces existeu∈J\I.ComoIes
primo,−u∈I,luego1=u+−u∈J;osea,J=B.
Hay nociones duales para ideal e ideal primo.
Definici´on 8.46UnfiltroFen un ´algebra booleana es un subconjunto no
vac´ıotalque:
(a)u∈Fyu≤vimplicav∈F;
(b)u∈Fyv∈Fimplicau·v∈F.

213. 202 8. El Axioma de Elecci´on
{1}yBsonfiltros enB,llamadostrivial e impropio;atodoslosdem´as
filtros les llamaremospropios.Tambi´en por dualidad, unfiltroF,notrivial,
es propio si y s´olo si 0/∈F.
Ejemplo 8.47La colecci´on de conjuntosco-finitos(es decir, conjuntos con
complementofinito) es unfiltro enP(X) para cualquier conjunto (infinito)
X.
Ejemplo 8.48En cualquier ´algebra booleana, siu∈B,entonces
{v∈B:u≤v}
es unfiltro, llamado elfiltroprincipal generado poru∈B.
Ejemplo 8.49SiG⊆P(X) es una familia con lapropiedad de la intersecci´on
finita(es decir, la intersecci´on de cualquier subfamiliafinita deGes no vac´ıa),
entonces existe unfiltro propioFenP(X) que contiene aG.En efecto, basta
consideraralafamiliaFde todos los subconjuntosFdeXcon la propiedad
de que existe un subconjuntofinito{G
1,...Gn}deGtal que
G
1∩...∩G n⊆F.
Definici´on 8.50Unfiltro propioFse llamaultrafiltrosi siempre queu+v∈
Fimplica queu∈Fov∈F.
Tambi´en para unfiltro propioFson equivalentes:
(a)Fes un ultrafiltro,
(b) Para cadau∈B,u∈Fo−u∈F,
(c)Fes⊆-maximal en la familia de todos losfiltros propios.
Ejemplo 8.51Seax∈R,yseaFla colecci´on de todos los subconjuntos
V⊆Rtales que
x∈(x−², x+²)⊆V
para alg´un²>0.Fes unfiltro propio enP(R); pero no es un ultrafiltro ya
que ni{x},niR\{x}son elementos deF.
Lema 8.52Si{I
α}
α
es una⊆-cadena de ideales en un ´algebra BooleanaB
tales queu
0∈B\I αpara cadaα,entonces
S
α
Iαes un ideal enBque no
contiene au
0.

214. 8.5. El Teorema del Ideal Primo 203
Demostraci´on:
(a) Siu∈I=
S
α
Iαyv≤u, entoncesu∈I αpara alg´unα.ComoI αes un
ideal,v∈I
α⊆I.
(b) Siu, v∈I, entonces existenα
1,α2tales queu∈I α1yv∈I α2.Como
{I
α}
α
es una⊆-cadena, podemos suponer sin p´erdida de generalidad queI α1
⊆
I
α2
;as´ı,u+v∈I α2
⊆I.
Es claro queu
0/∈I.
Teorema 8.53 (del Ideal Primo)Toda ´algebra booleana tiene un ideal pri-
mo.
Demostraci´on:
SeanBun ´algebra booleana yu∈Bun elementofijo. Consideremos la fa-
miliaIde todos los ideales enBque no contienen au; por el lema anterior, la
familiaIordenada por contenci´on cumple las hip´otesis del Lema de Kuratowski-
Zorn; as´ıItiene un elemento maximalI, este ideal es un ideal primo.
El Teorema del Ideal Primo es una consecuencia f´acil del Axioma de Elec-
ci´on,peroJ.D.Halperndemostr´oqueelrec´ıprocoesfalso,esdecir,elAxioma
de Elecci´on no puede demostrarse a partir del Teorema del Ideal Primo. En esta
secci´on veremos algunas equivalencias del Teorema del Ideal Primo. Primero
note que el Teorema 8.53 es equivalente a una versi´on aparentemente m´as
fuerte.
Teorema 8.54En cualquier ´algebra booleana, todo ideal propio puede exten-
derse a un ideal primo.
Para mostrar que la versi´on m´as fuerte se sigue de la versi´on d´ebil, tomemos
Bun ´algebra booleanaBeIun ideal enB. Considere la relaci´on de equiva-
lencia
u∼v si y s´olo si (u·−v)+(v·−u)∈I.
SeaCel conjunto de todas las clases de equivalencia [u]ydefina operaciones
+,·y−sobreCcomo sigue:
[u]+[v]=[u+v],[u]·[v]=[u·v],−[u]=[−u].
EntoncesCes un ´algebra booleana, llamadacocientedeB. Por el Teorema del
Ideal Primo,Ctiene un ideal primoK.Noesdif´ıcil verificar que el conjunto
J={u∈B:[u]∈K}

215. 204 8. El Axioma de Elecci´on
es un ideal primo enByqueI⊆J.
Usando la dualidad entre ideales yfiltros, tenemos las siguientes formula-
ciones del Teorema del Ideal Primo.
Teorema 8.55Son equivalentes al Teorema del Ideal Primo:
(a) Toda ´algebra booleana tiene un ultrafiltro.
(b) Cualquierfiltro propio en un ´algebra booleana puede extenderse a un
ultrafiltro.
Un caso especial de ´algebra booleana es el conjuntoP(X)conlasopera-
ciones conjuntistas∪,∩,\;elconceptodefiltro y ultrafiltro coinciden con las
definiciones anteriores (ver despu´es del Teorema de Tychonoff).
Teorema 8.56 (del Ultrafiltro)Todofiltro sobre un conjuntoXpuede ex-
tenderse a un ultrafiltro.
Tenemos demostrado que el Teorema del Ultrafiltro es equivalente al Teo-
rema del Ideal Primo. Sin embargo, la correspondiente versi´on m´as d´ebil del
Teorema del Ultrafiltro:Cada conjunto no vac´ıoXtiene un ultrafiltro sobre
X, es trivialmente cierta sin usar el Axioma de Elecci´on. En efecto, seax∈X,
entonces elfiltro principal generado por{x},
F
x={Y⊆X:x∈Y}
claramente es un ultrafiltro sobreX. Sin embargo, la proposici´on:Cada con-
junto infinitoXtiene un ultrafiltro no principal,noesobvia.S.Feferman
mostr´o en 1964 que es consistente con los axiomasZFque todo ultrafiltro en
Nsea principal. Posteriormente A. Blass en 1977 [B
2], modificando el m´etodo
de Feferman, prob´oquetambi´en es consistente con los axiomasZFque todo
ultrafiltro sobre un conjuntoXsea principal. De lo anterior se deduce que sin
el Axioma de Elecci´on la proposici´on anterior es indemostrable. Pero puede
probarse que es esencialmente una versi´on m´as d´ebilqueelTeoremadelIdeal
Primo (ver [J
2, pag. 132, problema 5]). Un buen ejemplo del empleo de la
proposici´on anterior lo dio Sierpi´nski en 1938 al mostrar que se pueden cons-
truir subconjuntos no medibles deRseg´un Lebesgue si se acepta la existencia
de ultrafiltros libres sobreN. El resultado de Sierpi´nski fue mejorado por Z.
Samadeni en [S
1].
Ahora daremos ejemplos del uso del Teorema del Ideal Primo.
Una familiaAde subconjuntos de un conjunto dadoSes un´ algebra de
conjuntossi:
S∈A,

216. 8.5. El Teorema del Ideal Primo 205
X, Y∈AimplicaX∪Y∈A,X∩Y∈A,
X∈AimplicaS\X∈A.
Unhomomorfismoentre ´algebras booleanasB
1yB2es una funci´onΦ:
B
1→B 2que preserva las operaciones de suma, multiplicaci´on y complemento
de las ´algebrasB
1yB2. Un homomorfismo biyectivo se llamaisomorfismo.Si
existe un isomorfismo las ´algebras se dicenisomorfas.
Ejemplo 8.57 (Teorema de Representaci´on de Stone)Toda ´algebra
booleana es isomorfa a un ´algebra de conjuntos.
Demostraci´on:
SeaBun ´algebra booleana; sea
S={U:Ues un ultrafiltro enB}.
Para cadau∈B,seaΦ(u)={U∈S:u∈U}.Esf´acil ver que
Φ(u+v)=Φ(u)∪Φ(v),
Φ(u·v)=Φ(u)∩Φ(v),
Φ(−u)=S\Φ(u).
Siu6 =v, entoncesu£vov£u. Supongamos queu£v, un argumento
similar se sigue siv£u.Siu·(−v) = 0, entonces
v=v+0=v+(u·(−v)) = (u+v)·(v+(−v)) = (u+v)·1=u+v;
oseau≤v. Por lo tanto,u·(−v)6 =0.SeaF={w∈B:u·(−v)≤w}el
filtro principal generado poru·(−v). ClaramenteFes unfiltro propio; por el
Teorema 8.55(b),Fpuede extenderse a un ultrafiltroU.
Ahora−(u·(−v)) =−u+v/∈U,locualimplicaqueU/∈Φ(−u+v)=
Φ(−u)∪Φ(v), por lo queU∈Φ(u)yU/∈Φ(v). Esto establece la inyectividad
deΦ.As´ı,Φes un isomorfismo deBsobreΦ(B).
Es un hecho notable que el Teorema de Representaci´on de Stone es equiva-
lentealTeoremadelIdealPrimo.
Teorema 8.58El Teorema de Representaci´on de Stone implica el Teorema
del Ideal Primo.

217. 206 8. El Axioma de Elecci´on
Demostraci´on:
SeanBun ´algebra booleana,Fun ´algebra de conjuntos isomorfa aByΦ:
B→Fun isomorfismo. Tomemosp∈
S
Fysea
U={u∈B:p∈Φ(u)}.
No es dif´ıcil mostrar queUes un ideal primo enB.
El Teorema del Ideal Primo tambi´en implica una cuesti´on indecidible enZF,
a saber, cualquier conjunto puede ser totalmente ordenado. De hecho, a partir
del Teorema del Ideal Primo se puededemostrar el Principio de Extensi´on
de Orden que aparece en el siguiente ejemplo y que evidentemente es m´as
fuerte que la proposici´on que asegura la existencia de un orden lineal para
cualquier conjunto; sin embargo, el Principio de Extensi´on de Orden no implica
el Teorema del Ideal Primo (ver [J
2, secci´on 7.2, problemas 7.8 y 5.27]). Si≤
y¹son ´ordenes (parciales) de un conjuntoP, entonces se dice que¹extiende
a≤si para cualesquierap, q∈P,p≤qimplicap¹q.
Ejemplo 8.59 (Principio de Extensi´on de Orden)Todo orden (parcial)
de un conjuntoPpuede extenderse a un orden lineal deP.
Como una aplicaci´ondelTeoremadelIdealPrimoal
´
Algebra tenemos el
siguiente. Un campoFes uncampo ordenadosi hay un orden lineal≤enF
que satisface:
(i) Sia≤b, entoncesa+c≤b+cpara todoc;
(ii) Sia≤byc≥0, entoncesa·c≤b·c.
Ejemplo 8.60 (Teorema de Artin-Schreir)Todo campo en el que -1 no
es suma de cuadrados puede ser ordenado.
Ejemplo 8.61El Teorema del Ideal Primo implica que cualquier producto
topol´ogico de espacios compactos de Hausdorffes no vac´ıo.
Ejemplo 8.62El Teorema del Ideal Primo implica que cualquier producto
topol´ogico de espacios compactos de Hausdorffes compacto.
Otra equivalencia al Teorema del Ideal primo es una versi´on d´ebil del Teo-
rema de Tychonoff.
Teorema 8.63El Teorema del Ideal Primo es equivalente a la siguiente pro-
posici´on: El producto topol´ogico de cualquier familia de espacios discretos con
dos puntos cada uno, es compacto.

218. 8.5. El Teorema del Ideal Primo 207
Ejemplo 8.64El Teorema del Ideal Primo implica el Teorema de Com-
pactaci´on de Stone-
ˇ
Cech.
Ejemplo 8.65El Teorema del Ideal Primo implica el Teorema de Hahn-
Banach.
Podemos decir m´as al respecto. Unamedida(de valores reales) en un ´algebra
booleana es una funci´on no negativaµ:B→Rtal queµ(0) = 0,µ(1) = 1, y
µ(a+b)=µ(a)+µ(b)siemprequea·b= 0. El Teorema de Hahn-Banach es
equivalente a la afirmaci´on de que toda ´algebra booleana admite una medida
con valores reales.
La demostraci´on del Teorema de Hahn-Banach a partir del Teorema del
Ideal Primo fue dada por J. ÃLos y C. Ryll-Nardzewski. Otra versi´on de la
prueba la dio W. A. J. Luxemburg. La equivalencia antes asegurada se debe
a Ryll-Nardzewski y Luxemburg.
Ejercicios 8.5
1. Verifique las afirmaciones de los Ejemplos 8.38, 8.41, 8.42, 8.47, y 8.48.
2. (a) Sup´ongase queFes un ultrafiltro sobre un conjuntoXyseaA∈F.
Demuestre que siB⊆A,entoncesB∈FoA\B∈F.
(b) SiFes un ultrafiltro sobre un conjuntoXy
X=A
1∪A2∪···∪A n.
Muestre que para alg´uni∈{1,...,n},A
i∈F.
(c) Pruebe que siXes un conjuntofinito, entonces cualquier ultrafiltro
sobreXes principal.
3. Demuestre que siUes un ultrafiltro no principal sobre un conjuntoX,
entonces cualquierU∈Ues infinito.
4. Muestre que siIes un ´algebra booleanaB,entoncesB\Ies unfiltro
enB.
5. Complete la demostraci´on de la equivalencia entre el Teorema del Ideal
Primo y el Teorema de Representaci´on de Stone.

219. 208 8. El Axioma de Elecci´on
6. (a) Muestre que hay una correspondencia biyectiva entre los ideales y
losfiltrosenun´algebra booleana.
(b) Muestre que hay una correspondencia biyectiva entre los ideales
primos y los ultrafiltros en un ´algebra booleana.
7. Sup´ongase quef:B
1→B 2es un homomorfismo de ´algebras booleanas.
Pruebe que siJes un ideal (respectivamente, unfiltro) enB
2, entonces
f
−1
(J) es un ideal (respectivamente, unfiltro) enB 1. En particular
I(f)=f
−1
({0}) es un ideal primo enB 1llamadon´ucleodef;F(f)=
f
−1
({1})esunultrafiltro enB 2llamado elco-n´ucleodef.
8. SeaUun ultrafiltro sobre un conjuntoX,yseaf:X→Yuna funci´on.
Muestre que
f
#
U=
©
V⊆Y:f
−1
(V)∈U
ª
es un ultrafiltro sobreY.
9. SeaBun ´algebra booleana. Para cadau∈B,sean:
I
u={x∈B:u·x=0},
F
u={x∈B:u+x=1}.
Muestre que estos conjuntos son, respectivamente, un ideal y unfiltro
enB.
10. Demuestre que siFes unfiltro enB, entonces el m´ınimofiltro que
contiene aF∪{u}es
{y∈B:∃x∈Ftal quey≥x·u}.
11. Uncar´acterde un ´algebra booleanaBes un homomorfismoϕ:B→2.
La colecci´on de todos los car´acteres deBse llamaespectrodeByes
denotado porspec(B)Pruebeque:
(a) Hay una correspondencia biyectiva entrespec(B)ylafamiliade
ultrafiltros enBdada porϕ7 →F(ϕ).
(b) Hay una correspondencia biyectiva entrespec(B)ylafamiliade
todos los ideales primos enBdada porϕ7 →I(ϕ).
(c) La funci´onΦ:B→P(spec(B)) definida por
Φ(u)={ϕ∈spec(B):f(u)=1}
es un homomorfismo entre ´algebras booleanas.

220. 8.5. El Teorema del Ideal Primo 209
12. Demuestre que la siguiente proposici´on es equivalente al Teorema del
Ideal Primo: SiBes un ´algebra booleana yS⊆Bes tal que 0/∈SyS
es cerrado con respecto a·, entonces existe un ideal⊆-maximal ajeno aS.
(Sugerencia: para la necesidad considereJ={u∈B:∃v∈S, u≤−v},
muestre queJes un ideal propio y aplique el Teorema 8.54. Para la
suficiencia considereS={1}.)
13. En este Ejercicio se establece la equivalencia del Teorema del Ideal Primo
con versiones d´ebiles del Teorema de Tychonoff.
(a) SiUes un ultrafiltro sobre un espacio Hausdorff,pruebequela
intersecci´on
T©
A:A∈U
ª
contienealom´as un punto.
(b) Demuestre que el Teorema del Ultrafiltro implica que cualquier pro-
ducto de espacios Hausdorffcompactos es no vac´ıo. (Sugerencia:
seaX=
Q
α∈I
Xα.SeaZel conjunto de todos las funcionesfcon
dom f⊆Iyf(α)∈X
α,yseaZ α={f∈Z:α∈dom f}para cada
α∈I.SeaFelfiltro generado enZporZ
α,α∈I,yseaU⊇Fun
ultrafiltro. SeaU
αla proyecci´on deUsobreX α. Para cadaα∈I,
la intersecci´on
\©
A:A∈U α
ª
contiene exactamente un puntox
α∈Xα.)
(c) Demuestre que el Teorema del Ultrafiltro implica que cualquier pro-
ducto topol´ogico de espacios Hausdorffcompactos, es compacto.
(Sugerencia: el producto es no vac´ıo por el inciso anterior. En la de-
mostraci´on del Teorema de Tychonoffen la Secci´on 8.4, la primera
parte usa ´unicamente el Teorema del Ultrafiltro.ElusodelAxioma
de Elecci´on en el punto (2) es eliminado por el inciso (a).)
(d) Demuestre que la siguiente proposici´on implica el Teorema del Ideal
Primo: El producto topol´ogico de cualquier familia de espacios dis-
cretos con dos puntos cada uno es compacto. (Sugerencia: seaB
un ´algebra booleana, y seaX=
Q
{{u,−u}:u∈B}. Para una
sub´algebrafinitaAdeBy un ideal primoIenA,sean
X
I={x∈X:x(u)∈Ipara cadau∈A}
yX
A=
S
{X I:Ies un ideal primo enA}. La familia
{X
A:Aes una sub´algebrafinita}
es una base defiltro de conjuntos cerrados; de su intersecci´on se
obtiene un ideal primo enB.)

221. 210 8. El Axioma de Elecci´on
(e) Demuestre que la siguiente proposici´on implica el Teorema del Ideal
Primo: El espacio generalizado de Cantor{0,1}
I
es compacto para
cualquierI. (Sugerencia: use esto para demostrar la proposici´on del
inciso (c). Es suficiente mostrar que cualquier producto de conjuntos
de dos elementos cada uno, es no vac´ıo. SeaSun conjunto de pares
(no ordenados) ajenosp={a, b}yseaI=
S
{p:p∈S}.Enel
producto{0,1}
I
, los conjuntosX p={f:f(a)6 =f(b)sip={a, b}}
son cerrados y forman una base defiltro. La intersecci´on propor-
ciona una funci´on de elecci´on paraS.)
14. Use el ejercicio anterior y establezca el Teorema de la Compactaci´on de
Stone-
ˇ
Cech. (Sugerencia:βXes un subconjunto de [0,1]
X
.)
8.6 Otras Proposiciones Relacionadas.
Con frecuencia, especialmente cuando se trabaja con conjuntos de n´umeros
reales, no es necesario usar en plenitud el Axioma de Elecci´on y de hecho es
mucho m´as usada una d´ebil variaci´on de ´este.
Axioma de Elecciones Numerables Para cualquier familia numerable de
conjuntos no vac´ıos{A
n}
n∈N
existe una funci´onf:N→
S
∞
n=0
Antal
quef(n)∈A
n.
Con el Axioma de Elecciones Numerables, pueden demostrarse muchas pro-
posiciones extremadamente ´utiles en el An´alisis Matem´atico, los Ejemplos 8.15,
8.16 y 8.17 pueden demostrarse con ´el.
Teorema 8.66Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) El Axioma de Elecciones Numerables.
(b) Si{A
n}
n∈N
es una familia de conjuntos ajenos, entonces hay una
sucesi´on(x
n)
∞
n=0
tal quex n∈Anpara cadan∈N.
(c) El producto cartesiano de una familia numerable de conjuntos no vac´ıos
es no vac´ıo.
En 1942, P. A. Bernays formul´o el siguiente axioma que es una versi´on m´as
d´ebil que el Axioma de Elecci´on pero m´as fuerte que el Axioma de Elecciones
Numerables (las demostraciones de estas afirmaciones pueden encontrarse en
[J
2];laprimeraenelproblema26delap´agina 85 y la segunda en la secci´on
8.2).

222. 8.6. Otras Proposiciones Relacionadas. 211
Axioma de Elecci´on DependienteSiRes una relaci´on en un conjunto
no vac´ıoXtal que para todox∈X,existey∈Xtal quexRy,entonces
existe una sucesi´on(x
n)
∞
n=0
tal quex nRxn+1.
Teorema 8.67El Axioma de Elecci´on Dependiente implica el Axioma de
Elecciones Numerables.
Demostraci´on:
Sea{A
n}
n∈N
una familia a lo m´as numerable de conjuntos no vac´ıos y seaX
el conjunto de todas las sucesionesfinitass=(a
i)
k
i=0
tales quea 0∈A0,...,
a
k∈Ak.Definamos
sRtsi y s´olo sis=(a
i)
k
i=0
yt=(a i)
k+1
i=0
.
Aplicando el Axioma de Elecci´on Dependiente se obtiene una sucesi´on (a
n)
∞
n=0
tal quea n∈Anpara cadan∈N.
Teorema 8.68Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(a) El Axioma de Elecci´on Dependiente.
(b) Todo conjunto linealmente ordenado que no contiene la imagen de una
sucesi´on estrictamente decreciente es bien ordenado.
(c) SeaRuna relaci´on enAtal que para todox∈Xexistey∈Xtal que
xRy.Sia∈A, entonces hay una sucesi´on(x
n)
∞
n=0
tal quex 0=ayx nRxn+1
para cadan∈N.
Demostraci´on:
(a)⇒(b).Sea(A,≤) un conjunto parcialmente ordenado que no sea bien
ordenado. Entonces existe un subconjunto deA, digamosB,talqueBno tiene
un m´ınimo elemento. Ahora, el dominio del orden dual estricto, restringido a
B,>
B,esB,deotromodoBtendr´ıaunelementominimal.Porhip´otesis,
existe una sucesi´on (y
n)
∞
n=0
enBtal quey n>Byn+1para todon∈N.As´ı,
Acontiene una sucesi´on estrictamente decreciente.
(b)⇒(a).SeanRuna relaci´on enAyXel conjunto de todas las sucesiones
finitasϕenAtales que
ϕ(0)Rϕ(1)Rϕ(2)R···Rϕ(n−1)
(cuandodomϕ=n). Definiendo¹enXporϕ¹ψsi y s´olo siϕ⊇ψ,
tenemos que (X,¹) es un conjunto ordenado, el cual evidentemente no es bien
ordenado. Empleando la hip´otesis, existe una sucesi´on (ϕ
n)
∞
n=0
estrictamente
decreciente enX.Ahora,{ϕ
n:n∈N}es un sistema compatible de funciones,

223. 212 8. El Axioma de Elecci´on
por lo cual,ϕ=
S
∞
n=0
ϕnes una sucesi´on enAtal queϕ(n)Rϕ(n+1)para
cadan∈N.
(a)⇒(c).SeanRuna sucesi´on enAya∈A.Considere
B=
\
{C⊆A:a∈CyR(C)⊆C}.
Es f´acil mostrar que el dominio de la restricci´on deRaBesB. Consecuente-
mente, por hip´otesis, existe una sucesi´on (y
n)
∞
n=0
enBtal quey nRyn+1para
cadan∈N.
Por otra parte, tambi´en puede mostrarse que
B=
∞
[
m=0
R
m
({a}),
dondeR
0
=IdAyR
m+1
=R
m
◦R.As´ı,y 0∈R
m
({a})paraalg´unm∈N,es
decir, existe{z
0,z1,...,zm}⊆Btal quez 0=a,z m=y0y para cadan<m,
z
nRzn+1.Sihacemos
x
n=
½
z
n, paran<m
y
n−m,paran≥m,
entonces es claro quex
0=ayx nRxn+1para todon∈N.
(c)⇒(a).Trivial.
Finalmente consideremos otras dos proposiciones m´as d´ebiles que el Axioma
de Elecci´on.
Axioma de Elecci´on para Conjuntos FinitosPara cualquier familia no
vac´ıaFde conjuntosfinitos no vac´ıos existe una funci´onf:F→
S
F
tal quef(F)∈F.
Axioma de Elecci´onn-FinitoPara cualquier familia no vac´ıaFde con-
juntos denelementos existe una funci´onf:F→
S
Ftal quef(F)∈F.
Renunciar parcialmente al Axioma de Elecci´on y adoptar proposiciones al-
ternativas no nos deja del todo desamparados, los ejemplos anteriores son una
muestra importante de ello. Por otra parte, estas proposiciones, posibles susti-
tutas del Axioma de Elecci´on, no traen consigo resultados tan parad´ojicos
como el Axioma de Elecci´on. Pero estos axiomas m´as d´ebiles que el Axioma
de Elecci´on son insuficientes para las necesidades plenas de las matem´aticas.
A continuaci´on enlistamos las proposiciones alternativas al Axioma de Elec-
ci´on que hemos considerado y mostramos en un diagrama sus relaciones. Como

224. 8.6. Otras Proposiciones Relacionadas. 213
se dijo antes, el Axioma de Elecci´on puede sustituirse por estas u otras proposi-
ciones, y es interesante saber el alcance de estas Teor´ıas de Conjuntos “no
est´andar”.
[AE]Todo conjunto no vac´ıo tiene una funci´on de elecci´on.
[TIP]Toda ´algebra booleana contiene un ideal (propio) primo.
[AED]SiRes una relaci´on en un conjunto no vac´ıoXtal que para todo
x∈X,existey∈Xtal quexRy. Entonces existe una sucesi´on{x
n}tal
quex
nRxn+1.
[AEN]Para cualquier familia numerable de conjuntos no vac´ıos{A
n}
n∈N
existe una funci´onf:N→
S
∞
n=0
Antal quef(n)∈A n.
[PO]Todo conjunto puede ser linealmente ordenado.
[AEF]Para cualquier familiaFde conjuntosfinitos no vac´ıos existe una
funci´onf:F→
S
Ftal quef(F)∈F.
[AEF
n]Cualquier familiaFde conjuntos denelementos, existe una funci´on
f:F→
S
Ftal quef(F)∈F.
AE
⇓
z
}| {
TIP AED
⇓⇓
PO AEN
⇓
AEF
⇓
AEF
n
Ejercicios 8.6
1. Demuestre el Teorema 8.66.
2. Demuestre que el Principio de Ordenaci´onPOimplica el Axioma de
Elecci´on para conjuntos Finitos.
3. Demuestre queAEFimplicaAEF
n.

225. 214 8. El Axioma de Elecci´on
8.7 Matem´aticas sin Elecci´on.
Es muy interesante saber c´omo son las matem´aticas sin el Axioma de Elecci´on.
S.Feferman,comoyasemencion´o, demostr´o que si no se acepta el Axioma de
Elecci´on se puede suponer que todos los ultrafiltros sobre los n´umeros natu-
rales son principales. En esta secci´on daremos otros ejemplos que muestran lo
grave que pueden ser las Matem´aticas sin el Axioma de Elecci´on. Para poder
entenderlos, primero daremos una breve idea de lo que significa “un modelo”.
Esto lo haremos con base a un ejemplo.
Nosotros definimos los conjuntos ordenados como pares (A,≤) dondeAes
un conjunto y≤es una relaci´on reflexiva, antisim´etrica y transitiva enA.
Equivalentemente, un conjunto ordenado es una estructura (A,≤), la cual
satisface los siguientes axiomas:
Axioma de ReflexividadPara cadaa∈A,a≤a.
Axioma de Antisimetr´ıa.Sia, b∈Ay
a≤by b≤a,
entoncesa=b.
Axioma de Transitividad.Para cualesquieraa, b, c∈A,sia≤byb≤c,
entoncesa≤c.
Ahora podemos manifestar que los axiomas anteriores comprenden lateor´ıa
axiom´atica del ordeny que los conjuntos ordenados sonmodelosde esta teor´ıa
axiom´atica. Nuestro an´alogo al Axioma de Elecci´on en nuestra teor´ıadelorden
es el siguiente:
Axioma de LinealidadPara cualesquieraa, b∈Aobiena≤bob≤a.
Si estamos interesados en saber cu´ando el Axioma de Linealidad es consis-
tente e independiente de los otros axiomas de la teor´ıa del orden, necesitamos
dar, por lo menos, dos modelos tal que en uno de ellos satisfaga el Axioma de
Linealidad y en el otro no. Como posibles modelos tenemos los siguientes:
(({0,{0}}),∈)y( P({0,1}),⊆).
Esto nos lleva a concluir la independencia y consistencia del Axioma de Li-
nealidad en nuestra teor´ıa del orden.

226. 8.7. Matem´aticas sin Elecci´on. 215
Cuando se desea investigar fen´omenos “extra˜nos”; por ejemplo, que un
subconjunto en un conjunto ordenado tenga dos distintos elementos maxi-
males, necesitamos construir un modelo, es decir, un conjunto ordenado con
tal propiedad. Un posible modelo es (P({0,1}),⊆) con el subconjuntoX=
P({0,1})\{{0,1}}.Enestemodelo,{0}y{1}son distintos elementos -
maximales deX. Por otra parte, podemos demostrar que dentro de la teor´ıa
del orden con el Axioma de Linealidad esto es imposible; as´ıque la teor´ıadel
orden con linealidad es distinta de la teor´ıa del orden.
Lo anterior es un ejemplo burdo de c´omo se proceder´ıaparaconstruirmode-
losparalaTeor´ıa de Conjuntos
3
.Lat´ecnica para construir tales modelos queda
fuera de nuestro alcance, pero es posible tener una idea, al menos intuitiva, de
lo que significan los siguientes enunciados.
1. Hay un modelo deZFen el cual existe un conjunto infinito de n´umeros
reales sin un subconjunto numerable.
2. Hay un modelo deZFen el cual existe un conjunto de n´umeros reales y
un punto de la clausura para el cual no existen sucesiones (en el conjunto)
convergentes a dicho punto.
3. Hay un modelo deZFtal que los n´umeros reales son uni´on a lo m´as
numerable de conjuntos a lo m´as numerables.
4. Hay un modelo deZFen el que existe un espacio vectorial sin base.
5. Hay un modelo deZFen el cual todo conjunto de n´umeros reales es
medible seg´un Lebesgue.
3
ElEjercicio9.3.8proporcionaunmodelodeZFsin el Axioma de Infinitud.

227. 216 8. El Axioma de Elecci´on

228. 9
Ordinales
9.1 Introducci´on
En el Cap´ıtulo 7 definimos el concepto de cardinalidad, pero la noci´on de
cardinal en s´ımisma permanece velada excepto para los conjuntosfinitos;
esto es, hasta el momento no se tienen buenos representantes para conjuntos
infinitos equipotentes, que desempe˜nenunpapelan´alogo al de los n´umeros
naturales para conjuntosfinitos.
La idea central es generalizar el m´etodo conjuntista de la construcci´on de
los n´umeros naturales, en el cual, un objeto es un n´umero natural si es un
conjunto transitivo, bien ordenado por la relaci´on de pertenencia restringida
y cualquier subconjunto no vac´ıo tiene un elemento m´aximo con respecto a
este orden. As´ı,nes un n´umero natural, implican={0,1,2,...,n−1}.Si
denotamos
ω={0,1,2,...,n,n+1,...},
podemos pensar queωes el primer “n´umero” m´as grande que cualquier n´umero
natural. Llegado a este l´ımite, la operaci´on de sucesor puede ser empleada para
generar “n´umeros” posteriores aωdel siguiente modo:
S(ω)=ω∪{ω}={0,1,2,...,n,...,ω}
S(S(ω)) =S(ω)∪{S(ω)}={0,1,2,...,ω,S(ω)}
etc. Denotando aS(ω)comoω+1,tenemos:
S(ω)=ω+1,
S(S(ω)) = (ω+1)+1=ω+2,
etc.
Ahora tenemos una “sucesi´on” 0,1,2, ...,ω,ω+1,ω+2,ω+3,...,ω+n,
...,paratodon´umero naturaln∈N.Un“n´umeromayor”atodoω+npuede
ser concebido como el conjunto de todos los n´umeros m´as peque˜nos
ω·2=ω+ω={0,1,2,...,ω,ω+1,...,ω+n, . . .}

229. 218 9. Ordinales
ynuevamenteparantendr´ıamos
ω·n={0,1,2,...,ω,...,ω·2,...,ω·(n−1),ω·(n−1) + 1...}
hasta llegar a
ω·ω={0,1,2,...,ω,...,ω·n,...,ω·(n+1),...}.
Los conjuntos generados por este proceso poseen casi todas las propiedades
requeridas por la definici´on de n´umero natural. Son transitivos y est´an lineal-
mente ordenados por∈, es decir,x∈yimplicax⊆y,ysix, y∈zentonces
x<ysi y s´olo six∈
zy
es un orden lineal.
Definici´on 9.1Un conjuntoxes unordinalon´umero ordinalsi y s´olo si:
(a)xes transitivo,
(b)xes bien ordenado por∈
x.
Proposici´on 9.2Los n´umeros naturales son ordinales y hay un ordinal que
no es un n´umero natural, a saber,ω.
El prop´osito de contar es el de comparar el tama˜no de un conjunto con el de
otro conocido. El m´etodo m´as familiar de contar los elementos de un conjunto
es el de arreglarlos en un orden apropiado. La teor´ıadelosn´umeros ordinales
es una ingeniosa abstracci´on del m´etodo, pero se queda un tanto corta en la
realizaci´on del prop´osito. El propio Cantor (su inventor) se dio cuenta que
para conjuntos infinitos el orden no determina por completo la cardinalidad
del conjunto. Esto no quiere decir que los n´umeros ordinales sean in´utiles;
simplemente sucede que su aplicaci´on principal est´a en otra parte. Una muestra
de su uso est´a en la topolog´ıa como fuente de ejemplos y contraejemplos.
9.2 N´umeros Ordinales
Fij´andonos en la construcci´on de los n´umeros ordinales como apareci´oenla
secci´on anterior, se puede observar que siαes un ordinal, entonces su sucesor
tambi´en es un ordinal. Veamos que as´ıes.
Proposici´on 9.3Siαes un n´umero ordinal, entoncesS(α)es tambi´en un
n´umero ordinal.

230. 9.2. N´umeros Ordinales 219
Demostraci´on:
S(α)=α∪{α}es un conjunto transitivo. M´as a´un,α∪{α}es bien ordenado
por∈
S(α),αes su elemento m´aximo yα⊆α∪{α}es el segmento inicial
determinado porα.As´ı,S(α)esunn´umero ordinal.
Denotaremos al sucesor deαporα+1:
α+1=S(α)=α∪{α}.
Sabemos que los n´umeros naturales yωson ordinales. Una diferencia sus-
tancial entre cualquier n´umero naturaln6 =0yωes quentiene un predecesor
inmediato mientras queωno lo tiene. Para distinguir a esta clase de ordinales
hacemos la siguiente definici´on.
Definici´on 9.4Un n´umero ordinalαse llamaordinal sucesorsi para alg´un
ordinalβ,α=β+1.En caso de que no exista un ordinalβdel cualαsea
sucesor, entonces aαse le llamaordinal l´ımite.
Ejemplo 9.5Los n´umeros naturales distintos de cero,ω+1,ω+2,ω·2+1
son ordinales sucesores.0,ω,ω·2,ω·ωson ordinales l´ımite.
Los siguientes tres lemas permitir´an definir un orden en la clase de todos los
ordinales que, como veremos despu´es del siguiente teorema, no es un conjunto.
Lasdemostracionesdelosdosprimeroslemassonid´enticas a la de los Lemas
5.5 y 5.6.
Lema 9.6Cualquier elemento de un n´umero ordinal es un n´umero ordinal.
Lema 9.7Siαes un n´umero ordinal, entoncesα/∈α.Siαyβson dos
n´umeros ordinales entonces es falso que(α∈β∧β∈α).
Lema 9.8Siαyβson ordinales tales queα⊂β,entoncesα∈β.
Demostraci´on:
Seaα⊂β.Entoncesβ\αesunsubconjuntonovac´ıodeβy, por tanto, tiene
un elemento m´ınimoγen el orden∈
β.Notequeγ⊆α;denoseras´ı, entonces
cualquierδ∈γ\αser´ıaunelementodeβ\αmenor queγ(por la transitividad
deβ), lo cual es imposible.
Para completar la demostraci´on, mostremos queα⊆γ(con estoα=γ∈β).
Seaδ∈α. Si ocurrieraδ/∈γ, entonces o bienγ∈δoδ=γ(porqueβest´a
linealmente ordenado por∈
βyγ,δ∈β). Pero esto implica queγ∈α,yaque
αes transitivo; contradiciendo la elecci´on deγ∈β\α.

231. 220 9. Ordinales
Definici´on 9.9Para ordinalesαyβdefinimosα<βsi y s´olo siα∈β.
Obs´ervese que est´e orden extiende al orden que se defini´o para los n´umeros
naturales. El siguiente teorema muestra que≤es de hecho un buen orden.
Teorema 9.10Seanα,β,yγn´umeros ordinales.
(a) Siα<βyβ<γ,entoncesα<γ.
(b)α<βyβ<αno pueden cumplirse simult´aneamente.
(c) Una de las relacionesα<β,α=βoβ<αse satisface.
(d) SeaXun conjunto de n´umeros ordinales entonces(X,≤)es un con-
junto bien ordenado.
(e) Para todo conjunto de ordinalesXhay un ordinalαtal queα/∈X.
(En otras palabras el conjunto de todos los n´umeros ordinales no existe.)
Demostraci´on:
(a)Siα∈βyβ∈γ, entoncesα∈γpuesto queγes transitivo.
(b)Es una consecuencia del Lema 9.7.
(c)Siαyβson ordinales, entoncesα∩βes un n´umero ordinal yα∩β⊆α
yα∩β⊆β.Siα∩β=α,entoncesα⊆β,locualimplicaqueα∈βoα=β.
Similarmente, siα∩β=β,entoncesβ∈αoβ=α.El´unico caso restante es
α∩β⊂αyα∩β⊂β,que no puede ocurrir puesto que entonces obtendr´ıamos
α∩β∈αyα∩β∈β,yas´ıα∩β∈α∩β; contradiciendo el Lema 9.7.
(d)Por el Lema 9.7,<es asim´etrica enX, por (a) es transitiva y por el
Teorema 4.103(b) (X,≤) es un conjunto ordenado. Veamos que (X,≤)esbien
ordenado. SeaA⊆Xno vac´ıo, tomandoα∈Ay considerandoα∩Atenemos:
Siα∩A=∅,entoncesαes el primer elemento deA.
Siα∩A6 =∅,α∩A⊆αtiene un primer elementoβcon el orden∈
α,
entoncesβes el primer elemento deAcon el orden≤.
(e)SeaXun conjunto de n´umeros ordinales. Puesto que todos los elementos
deXson conjuntos transitivos,
S
Xtambi´en es un conjunto transitivo (ver
Ejercicio 5.1.7). Por la parte (d) de este teorema, se tiene que∈es un buen
orden para
S
X. Consecuentemente,
S
Xes un n´umero ordinal. Ahora, sea
α=S(
S
X).αes un ordinal yα/∈Xya que siα∈Xentoncesα⊆
S
X
porelLema9.8;locualimplicaque α=
S
Xoα∈
S
Xyenamboscasos
α∈S(
S
X)=α,que es una contradicci´on.
Definici´on 9.11El n´umero ordinal
S
Xusado en la demostraci´on de la parte
(e) del Teorema 9.10 es llamadosupremodeXy se denota por supX.
La definici´on anterior se justifica observando que
S
Xes el m´ınimo ordinal
mayor o igual que todos los elementos deX. En efecto,α∈Ximplicaα⊆

232. 9.2. N´umeros Ordinales 221
S
X,as´ıα≤
S
X,ysiα≤γpara todoα∈X,entoncesα⊆γpara todo
α∈X,luego
S
X⊆γ, es decir,
S
X≤γ.
Si el conjuntoXtiene un elemento m´aximoβen el orden≤, entonces
supX=β.DeotromodosupX>γpara todoγ∈X(y ´este es el m´ınimo
de tales ordinales). Tambi´en es conveniente observar que todo conjunto de
ordinales tiene un supremo (en el orden≤).
Si denotamos porOrdalaclasedetodoslosn´umeros ordinales (que, como
se demostr´o, no es un conjunto), entonces seg´un nuestro acuerdo de la Secci´on
4.6, podemos decir queOrdes una clase bien ordenada con la propiedad de
la m´axima cota superior (ver Ejercicio 4.5.22).
El ´ultimo teorema de esta secci´on asegura el hecho de que los ordinales son
una generalizaci´on de los n´umeros naturales.
Teorema 9.12Los n´umeros naturales son exactamente los n´umeros ordinales
finitos.
Demostraci´on:
Sabemos que todo n´umero natural es un n´umero ordinal, y de hecho, cualquier
n´umero natural es un conjuntofinito. As´ı,´unicamente probaremos que todo
ordinal que no es un n´umero natural es un conjunto infinito.
Siαes un n´umero ordinal yα/∈N, entonces por el Teorema 9.10 se debe
tener queω≤α(puesto queα≮ω). Dado queαes transitivo,ω⊆α.Por
lo anterior,αtiene un subconjunto infinito; con lo cual se concluye que es
infinito.
Todo n´umero ordinal es un conjunto bien ordenado bajo el ordenamiento∈.
Siαyβson distintos ordinales, entonces ellos no son isomorfos como conjuntos
bien ordenados; puesto que uno es un segmento inicial del otro (Teorema
4.138). Posteriormente probaremos que cualquier conjunto bien ordenado es
isomorfo a un n´umero ordinal. Sin embargo, esto requiere la introducci´on de
otro axioma, y esto se hace en la siguiente secci´on.
Un comentariofinal: el Lema 9.6 establece que cada n´umero ordinalαse
puede expresar como
α={β:β∈Ordyβ<α}.
Si nosotros vemos aαcomo un conjunto de ordinales, entonces siαes
un ordinal sucesor, digamosβ+1,αtiene un elemento m´aximo, a saber,β.
Siαes un ordinal l´ımite, entoncesαno tiene un elemento m´aximo yα=
sup{β:β<α}.
Note tambi´en que 0 es un ordinal l´ımite y que sup∅=0.

233. 222 9. Ordinales
Ejercicios 9.2
1. Muestre que un ordinalαes un n´umero natural si y s´olo si todo subcon-
junto no vac´ıodeαtiene un elemento m´aximo.
2. Demuestre que si un conjunto de ordinalesXno tiene un elemento
m´aximo, entonces supXes un ordinal l´ımite.
3. Pruebe que six⊆Ord, entoncesx∈Ordsi y s´olo sixes transitivo.
4. Seaαes un ordinal l´ımite y seaβ⊆α. Pruebe que si para cadaγ∈α
existeδ∈βtal queγ∈δ, entoncesα=
S
β.
9.3 El Axioma de Reemplazo
Como indicamos en la secci´on precedente, los conjuntos bien ordenados pueden
ser representados por los n´umeros ordinales, es decir, cualquier conjunto bien
ordenado es isomorfo a un ´unico n´umero ordinal. Sin embargo, como tambi´en
afirmamos, requerimos de otro axioma. Veamos por qu´e es necesario.
Para construir una sucesi´on
(∅,{∅},{{∅}},{{{∅}}},...)
podemos definir
a
0=∅,
a
n+1={a n}, para cadan∈N,
siguiendo el patr´on general de definiciones recursivas. La dificultad aqu´ıes
que para aplicar el Teorema de Recursi´on necesitamos un conjuntoA,dado de
antemano,talqueg:N×A→Adefinida porg(n, x)={x}pueda ser usada
para calcular el (n+1)-´esimo t´ermino de la sucesi´on a partir deln-´esimo
t´ermino. Pero no es enteramente obvio c´omo probar desde nuestros axiomas
que exista un conjuntoAtal que
∅∈A,{∅}∈A,{{∅}}∈A,{{{∅}}}∈A, ...
Parece que la definici´on deAmismo requiere de recursi´on.
Consideremos otro ejemplo. En el Cap´ıtulo 5, postulamos la existencia deω;
apartirde´este, los conjuntosω+1=ω∪{ω},ω+2=(ω+1)∪{ω+1}, etc.,
pueden obtenerse f´acilmente por usos repetidos de uni´on y par no ordenado.
En la introducci´on de este cap´ıtulo “definimos”ω+ωcomo el conjunto de

234. 9.3. El Axioma de Reemplazo 223
todos losω+npara todon∈ωy pasamos por alto postular la existencia
deω+ωcomo conjunto. La existencia deω+ωno puede ser demostrada a
partir de los axiomas anteriormente aceptados. Sabemos que a cadan∈ω,le
corresponde un ´unico conjuntoω+n, pero no tenemos alg´un axioma que nos
diga que podemos coleccionar a todoω+nen un conjunto.
Axioma10 (Esquema de Reemplazo) SeaP(x, y)una propiedad tal que
para todoxexiste un ´unicoypara el cualP(x, y)se satisface.
Para todo conjuntoA,existeunconjuntoBtal que, para todox∈A,
existey∈Bpara el cualP(x, y)se satisface.
Se espera que los siguientes comentarios den motivaciones adicionales a la
introducci´on del Axioma Esquema de Reemplazo.
SeaFla (clase) funci´on (en el sentido de la Secci´on 4.6) definida por la
propiedadP(x, y); esto es,F(x)denotaal´unicoypara el cualP(x, y)se
satisface. El correspondiente Axioma de Reemplazo puede usarse como sigue:
Para todo conjuntoAhay un conjuntoBtal que para todo
x∈A,F(x)∈B.
De hecho,Bpuede tambi´en contener elementos que no sean de la formaF(x)
conx∈A; sin embargo, una aplicaci´on del Axioma Esquema de Comprensi´on
muestra que
{y∈B:∃x∈A, y=F(x)}={y∈B:∃x∈A,P(x, y)}
={y:∃x∈A,P(x, y)}
existe. Llamamos a este conjunto laimagendeAporFy denotamos ´este por
{F(x):x∈A}o simplementeF(A).
Una justificaci´on intuitiva para el Axioma Esquema de Reemplazo puede
darse compar´andolo con el Axioma Esquema de Comprensi´on. Este ´ultimo
nos concede ir a trav´es de los elementos deA,verificar para cadax∈Asi
xtiene o no tiene la propiedadP(x), y coleccionar a aquellosxque tienen
la propiedad en un conjunto. De manera enteramente an´aloga, el Axioma Es-
quema de Reemplazo permite ir a trav´es de los elementos deA,ytomarpara
cadax∈Ael correspondienteyque tiene la propiedadP(x, y) y coleccionar
atalesyen un conjunto. Intuitivamente es obvio que el conjuntoF(A)“noes
m´as grande” que el conjuntoA. En contraste, todos los ejemplos conocidos de
“conjuntos parad´ojicos” son “grandes”, digamos del orden de la clase de todos
los conjuntos.

235. 224 9. Ordinales
SeaFnuevamente una (clase) funci´on definida porP.ElAxiomadeReem-
plazo implica que la funci´onFsobre los elementos deApuede ser representada,
o bien “reemplazada”, por una funci´on leg´ıtima, es decir, un conjunto de pares
ordenados. Precisamente,
Para cualquier conjuntoA, hay una funci´onftal quedom f=Ayf(x)=
F(x)paratodox∈A.
Simplemente, seaf={(x, y)∈A×B:P(x, y)}, dondeBes el conjunto
provisto por el Axioma de Reemplazo.
Zermelo, en su axiomatizaci´on de 1908, no dio el Axioma de Reemplazo y
s´olousabaelAxiomaEsquemadeComprensi´ on. El Axioma de Reemplazo
fue propuesto independientemente por Mirimanoff[M
2] en 1917, Skolem [S6]
en 1919 y Fraenkel [F
1] en 1922; sin embargo, el art´ıculo de Fraenkel fue m´as
influyente y por esta raz´on el axioma usualmente es acreditado a Fraenkel. Von
Neumann mostr´o que por medio de la noci´on declasese puede reemplazar el
Axioma Esquema de Reemplazo por una ´unica proposici´on de manera similar
a como se hace con el Axioma Esquema de Comprensi´on (v´ease Ap´endice B).
Ahora enunciaremos formalmente y demostraremos el resultado que anun-
ciamos al inicio de esta secci´on.
Teorema 9.13Todo conjunto bien ordenado es isomorfo a un ´unico n´umero
ordinal.
Demostraci´on:
Sea (W,¹) un conjunto bien ordenado. Dado que dos ordinales isomorfos son
iguales, bastar´aprobarlaexistenciadeunordinalqueseaisomorfoa(W,¹).
Para cadax∈W,seaW
xel segmento inicial deWdeterminado porxysea
Ael conjunto de todos losx∈Wtales que el conjunto bien ordenado (W
x,¹)
es isomorfo a alg´un ordinal. Entonces, para todox∈A, por la observaci´on
anterior sobre ordinales isomorfos, s´olo un ordinal, digamosα
x,esisomorfoa
(W
x,¹).
SeaP(x, y)lapropiedad:“Obienx∈Wyyes el ´unico ordinal isomorfo
a(W
x,¹), ox/∈Wyy=∅”. Aplicando el Axioma Esquema de Reemplazo,
existe una funci´onfdeAen alg´un conjunto de ordinales, definida por:
f={(x,α
x):x∈A,α xisomorfo a (W x,¹)}.
Seaαun ordinal tal queα/∈f(A).
Para completar la demostraci´on usaremos el Teorema 4.138. (α,≤)esun
conjunto bien ordenado, entonces o (α,≤)esisomorfoa(W,¹), y en tal caso

236. 9.3. El Axioma de Reemplazo 225
terminar´ıamos la prueba, o bien (W,¹)esisomorfoaunsegmentoinicialde
α, en tal caso este segmento inicial deαes un n´umero ordinal. La ´ultima
posibilidad es que (α,≤) sea isomorfo a un segmento inicial deW,peroesto
implicar´ıaα∈f(A) contradiciendo la elecci´on deα.
Definici´on 9.14Si (W,¹) es un conjunto bien ordenado, entonces eltipo de
orden de(W,≤)esel´unico n´umero ordinal isomorfo aW.k(W,¹)kdenotar´a
el tipo de orden de (W,¹).
Corolario 9.15Sean(W
1,¹1)y(W 2,¹2)dos conjuntos bien ordenados. En-
tonces(W
1,¹1)es isomorfo a(W 2,¹2)si y s´olo si
k(W
1,¹1)k=k(W 2,¹2)k.
Teorema 9.16Un conjuntoWpuede ser bien ordenado si y s´olo si es equipo-
tente a un n´umero ordinal.
Demostraci´on:
Sea¹un buen orden paraW.Elisomorfismo entre (W,¹)yk(W,¹)kes una
biyecci´on entreWyk(W,¹)k.
Rec´ıprocamente, sif:W→αes una biyecci´on, entonces parax, y∈W,
x¹ysi y s´olo sif(x)≤f(y)
es un buen orden paraW.
Corolario 9.17El Axioma de Elecci´on es equivalente a que todo conjunto es
equipotente a alg´un n´umero ordinal.
Finalizamos esta secci´on con una generalizaci´on del Teorema de Recursi´on
del Cap´ıtulo 5, la cual resuelve la existencia de una sucesi´on (∅,{∅},{{∅}},...).
Teorema 9.18 (de Recursi´on Generalizada)SeaGuna (clase) funci´on.
Para cualquier conjuntoaexiste una ´unica sucesi´on(a
n)
∞
n=0
tal que
(a)a
0=a,
(b)a
n+1=G(a n,n)para todon∈N.
Probaremos este Teorema de Recursi´on Generalizada, como tambi´en el Teo-
rema de Recursi´on Transfinita m´as general, en la siguiente secci´on.

237. 226 9. Ordinales
Ejercicios 9.3
1. Demuestre lo siguiente: SeaP(x, y) una propiedad tal que para todox
hay a lo m´as unytal queP(x, y) se satisface. Entonces para cualquier
conjuntoA,existe un conjuntoBtalque,paratodox∈AsiP(x, y)se
satisface para alg´uny, entoncesP(x, y)sesatisfaceparaalg´uny∈B.
2. Use el Teorema de Recursi´on Generalizada para probar la existencia de
los siguientes conjuntos:
(a) El conjunto{∅,{∅},{{∅}},...}.
(b) El conjunto{N,P(N),P(P(N)),...}.
(c) El conjuntoω+ω=ω∪{ω,ω+1,ω+2,ω+3, ...}.
3. (a) Pruebe que el tipo de orden del conjuntoω×2,con el orden
lexicogr´afico horizontal (ver Ejemplo 4.112 y Ejercicio 4.5.29) es
ω·2=ω+ω,y con el orden lexicogr´afico vertical esω.
(b) Pruebe que el tipo de orden del conjunto 2×ω,con el orden lexi-
cogr´afico horizontal esω,y con el orden lexicogr´afico vertical es
ω·2=ω+ω.
4. Pruebe que si (W,≤) es un conjunto bien ordenado con
k(W,≤)k=α,
entoncesαes un ordinal l´ımite si y s´olo siWno tiene elemento m´aximo.
5. Use el Teorema de Recursi´on Generalizada para definir:
V
0=∅,
V
n+1=P(V n),n∈ω,
V
ω=
S
n∈ω
Vn.
6. Demuestre que
(a) Cualquierx∈V
nesfinito.
(b)V
ωes transitivo.
(c)V
ωes un conjunto inductivo. (Los elementos deV ωse llaman con-
juntoshereditariamentefinitos.)
7. Demuestre que

238. 9.4. Inducci´on y Recursi´on Transfinita 227
(a) Six, y∈V ω, entonces{x, y}∈V ω.
(b) SiX∈V
ω, entonces
S
X∈V ωyP(X)∈V ω.
(c) SiA∈V
ωyfes una funci´on enAtal quef(x)∈V ωpara cada
x∈A, entoncesf(A)∈V
ω.
(d) SiXes un subconjuntofinito deV
ω,entoncesX∈V ω.
8. Demuestre queV
ωes un modelo paraZFsin el Axioma de Infinitud,
donde∈es la pertenencia usual deZFyelt´ermino conjunto es el mismo
que el deZF, es decir, tomando como conjuntos a los objetos deV
ωse
pueden verificar los axiomas del 1 al 10 a excepci´on del 8 y 9.
9.4 Inducci´on y Recursi´on Transfinita
El Principio de Inducci´on y el Teorema de Recursi´on son las principales herra-
mientas para demostrar teoremas acerca de n´umeros naturales y para construir
funciones con dominioN. En esta secci´on, mostraremos c´omo estos resultados
se generalizan a los n´umeros ordinales.
Teorema 9.19 (Principio de Inducci´on Transfinita)SeaP(x)una pro-
piedad (posiblemente con par´ametros). Supongamos que, para todos los n´ume-
ros ordinalesα
siP(β)se cumple para todoβ<α,entoncesP(α)se cumple.(9.4.1)
EntoncesP(α)se cumple para todos los ordinalesα.
Demostraci´on:
Sup´ongase queP(α)fallaparaalg´un ordinalα.Sea
A={β≤α:P(β)falla},
entoncesA6 =∅yas´ıtiene un primer elementoβ
0.
P(β
0)falla,peroP(β)secumpleparatodoβ<β 0,locualcontradicela
hip´otesis (9.4.1).
Algunas veces es conveniente usar el Principio de Inducci´on Transfinita en
una forma que se parezca m´asalaformulaci´on usual del Principio de Inducci´on
paraN. Al hacer esto, debemos tratar a los ordinales sucesores y a los ordinales
l´ımite por separado.

239. 228 9. Ordinales
Teorema 9.20 (Segunda Versi´on del Principio de Inducci´on Trans-
finita)SeaP(x)una propiedad (posiblemente con par´ametros). Supongamos
que:
(a)P(0)se cumple,
(b)P(α)implicaP(α+1)para todos los ordinalesα,
(c) Para todo ordinal l´ımiteα6 =0,siP(β)se cumple para cadaβ<α,
entoncesP(α)se cumple.
EntoncesP(α)se cumple para todos los ordinalesα.
Demostraci´on:
Es suficiente mostrar que(a),(b)y(c)implican (9.4.1). Seaαun ordinal tal
queP(β) se cumple para todoβ<α.Siα= 0, entoncesP(α)secumplepor
(a).Siαes sucesor, es decir, si existeβtal queα=β+ 1, sabemos queP(β)
se cumple y as´ıP(α)secumplepor(b).Siαes un ordinal l´ımite distinto de
0, entoncesP(α) se cumple por(c).
En la Secci´on 5.3 el Teorema de Recursi´on fue derivado del Principio de
Inducci´on. Se demostr´o que si una funci´on est´adefinida en 0, y siempre que
la funci´on est´edefinida enn, su valor enn+ 1 puede determinarse, entonces
existe una funci´on cuyo dominio esN. Alternativamente, siempre que una
funci´on est´edefinida para todos los naturales menores quen,suvaloren
npuede determinarse, entonces existe una funci´on definida sobreN.Ahora
procederemos a generalizar el Teorema de Recursi´on aOrdusando el Principio
de Inducci´on Transfinita. Funciones cuyo dominio es un ordinalαse llaman
sucesiones transfinitas de longitudα.
Teorema 9.21SeaΩun n´umero ordinal, seaAun conjunto y seaS=
S
α<Ω
A
α
el conjunto de todas las sucesiones transfinitas de elementos enA
de longitud menor queΩ.Seag:S→Auna funci´on. Entonces existe una
´unica funci´onf:Ω→Atal que
f(α)=g(f|
α)para todoα<Ω.
El lector puede probar este teorema de manera enteramente an´aloga a la
prueba del Teorema de Recursi´on del Cap´ıtulo 5. No entraremos en los detalles
puesto que el Teorema 9.21 se sigue desde un teorema posterior de recursi´on
transfinita m´as general.
Siϑes un ordinal y sifes una sucesi´on transfinita de longitudϑ.Usaremos
la notaci´on
f=(a
α)α<ϑ.

240. 9.4. Inducci´on y Recursi´on Transfinita 229
ElTeorema9.21aseguraquesiges una funci´on en el conjunto de todas
las sucesiones transfinitas de longitud menor queΩcon valores enA, entonces
hay una sucesi´on transfinita (a
α)α<Ωtal que para todoα<Ω,
a
α=g((a ξ)ξ<α).
Teorema 9.22 (de Recursi´on Transfinita)SiGuna (clase) funci´on, en-
tonces la propiedadPformulada en (9.4.2) define una (clase) funci´onFtal
queF(α)=G(F|
α
)para todos los ordinalesα.
Demostraci´on:
Llamaremos atc´alculo de longitudαbasado enG,sites una funci´on,dom t=
α+1yparatodoβ≤α,t(β)=G(t|
β).
SeaP(x, y)lapropiedad
xes un n´umero ordinal yy=t(x)paraalg´un
c´alculotde longitudxbasado enG,
oxno es un n´umero ordinal yy=∅.



(9.4.2)
Probaremos primero quePdefine una (clase) funci´on.
Tenemos que demostrar que para cadaxhay un ´unicoytal queP(x, y). Esto
es obvio sixno es un n´umero ordinal. Para mostrarlo para los ordinales, es
suficiente probar por inducci´on transfinita que para cualquier ordinalαexiste
un ´unico c´alculo de longitudα.
Hagamos la suposici´on inductiva de que para cadaβ<αexiste un ´unico
c´alculo de longitudβ, y demostremos la existencia y unicidad de un c´alculo
de longitudα.
Existencia.De acuerdo al Axioma Esquema de Reemplazo aplicado a la
propiedad “yes un c´alculo de longitudxox/∈α,y=∅” y al conjuntoα,
existe un conjunto
T={t:tes un c´alculo de longitudβpara alg´unβ<α}.
M´as a´un, la suposici´on inductiva implica que para cadaβ<αexiste un ´unico
t∈Ttal que la longitud detesβ.
Tes un sistema compatible de funciones; sea
t=
S
T.Finalmente,sea
τ=t∪
©
(α,G(t))
ª
. Probaremos queτes un c´alculo de longitudα.
Afirmaci´on:τes una funci´on ydomτ=α+1.
Se tiene quedomt=
S
t∈T
dom t=
S
β<α
(β+1)=α; consecuentemente,
domτ=dom
t∪{α}=α+1.Comoα/∈domt,essuficiente mostrar quet
es una funci´on. Esto se sigue del hecho de queTes un sistema compatible de

241. 230 9. Ordinales
funciones. En efecto, seant 1,t2∈Tarbitrarios, y seandom t 1=β1,dom t2=
β
2. Supongamos, sin p´erdida de generalidad, queβ 1≤β2; entoncesβ 1⊆β2,y
es suficiente probar quet
1(γ)=t 2(γ)paratodoγ<β 1. Usaremos inducci´on
transfinita. Supongamos queγ<β
1yt1(δ)=t 2(δ)paratodoδ<γ. Entonces
t
1|γ=t2|γ, y tenemos que
t
1(γ)=G(t 1|γ)=G(t 2|γ)=t 2(γ).
Lo cual nos lleva a concluir quet
1(γ)=t 2(γ)paratodoγ<β 1. Esto completa
la prueba de la afirmaci´on.
Afirmaci´on:τ(β)=G(τ|
β)paratodoβ≤α.
Esto es claro siβ=α, puesτ(α)=G(
t)=G(τ| α). Siβ<α, tomemos
t∈Ttal queβ∈dom t. Tenemos entonces que:
τ(β)=t(β)=G(t|
β)=G(τ| β)
puesto quetes un c´alculo yt⊆τ.
Las dos afirmaciones anteriores juntas demuestran queτes un c´alculo de
longitudα.
Unicidad.Seaσotro c´alculo de longitudα. Probaremos queτ=σ.Comoτ
yσson funciones ydomτ=α+1 =domσ,essuficiente probar por inducci´on
transfinita queτ(γ)=σ(γ)paratodoγ≤α.
Supongamos queτ(δ)=σ(δ)paratodoδ<γ. Entoncesτ(γ)=G(τ|
γ)=
G(σ|
γ)=σ(γ). Por tanto,τ(γ)=σ(γ)paratodoγ≤α,as´ıτ=σ.
Lo anterior concluye la demostraci´on de quePdefine una (clase) funci´onF.
Note que para cualquier c´alculot,F|
dom t=t. Esto es porque para cualquier
β∈dom t,t
β=t| β+1es obviamente un c´alculo de longitudβ,yas´ı,por
definici´on deF,F(β)=t
β(β)=t(β).
Para probar queF(α)=G(F|
α)paratodoα,seatel ´unico c´alculo de
longitudα, tenemos entonces que:
F(α)=t(α)=G(t|
α)=G(F|
α
).
Necesitamos nuevamente una versi´on param´etrica del Teorema de Recursi´on
Transfinita. SiF(z,x) es una (clase) funci´on de dos variables, escribiremos
F
z(x) en lugar deF(z,x). Note que parazfijo,F zes una (clase) funci´on en
una variable. SiFes definida porH(z,x,y), las notacionesF
z(A)yF z|A
tienen los significados siguientes:
F
z(A)={y:H(z,x,y)paraalg´unx∈A};
F
z|A={(x, y):H(z,x,y)paraalg´unx∈A}.

242. 9.4. Inducci´on y Recursi´on Transfinita 231
Ahora podemos mostrar la versi´on param´etrica del Teorema de Recursi´on
Transfinita.
Teorema 9.23 (Recursi´on Transfinita Param´etrica)SeaGuna (clase)
funci´on de dos variables. La propiedadHformulada en (9.4.3) define una
(clase) funci´onFtal queF(z,α)=G(z,F
z|α)para todos los ordinalesαy
todo conjuntoz.
Demostraci´on:
Llamamos atunc´alculo de longitudαbasado enGyzsites una funci´on,
dom t=α+1yparatodoβ≤α,t(β)=G(z,t|
β).
SeaHla propiedad
xes un n´umero ordinal yy=t(x)paraalg´un
c´alculotde longitudxbasado enGyz
oxno es un n´umero ordinal yy=∅.



(9.4.3)
Entonceszrecorre como un par´ametro a trav´es del resto de la demostraci´on
del Teorema de Recursi´on Transfinita.
Ejercicios 9.4
1. Demuestre el Teorema de Recursi´on Generalizada.
2. Demuestre el Teorema 9.21.
3. Demuestre la siguiente versi´on que generaliza al Teorema de Recursi´on
Transfinita (Teorema de Doble Recursi´on): SeaGuna (clase) funci´on de
dos variables. Entonces existe una (clase) funci´onFtal queF(α,β)=
G(F|
α×β
) para todos los ordinalesαyβ. (Sugerencia: los c´alculos son
ahora funciones con dominio (α+1)×(β+1).)
4. Usando el Teorema de Recursi´on Transfinita Param´etrica muestre que
hay una (clase) funci´on tal que:
(a)F(x,1) = 0 para todox.
(b)F(x, n+1) = 0 si y s´olo si existeny, ztal quex=(y,z)yF(y,n)=
0.

243. 232 9. Ordinales
5. Complete la demostraci´on del Teorema de Recursi´on Transfinita Param´e-
trica.
6. Demuestre que hay una cantidad no numerable de buenos ´ordenes enN
de tal modo que dos diferentes de tales ´ordenes no son isomorfos.
9.5 Aritm´etica Ordinal
Ahora usaremos el Teorema de Recursi´on Transfinita mencionado en la secci´on
anterior para definir suma, multiplicaci´on y exponenciaci´on de n´umeros ordi-
nales. Estas definiciones son amplias generalizaciones de las correspondientes
para n´umeros naturales.
Es necesario distinguir entre ordinales sucesores y ordinales l´ımite en nuestra
construcci´on. Tambi´en conviene reformular el Teorema de Recursi´on con esta
distinci´on en mente.
Teorema 9.24SeanG
1,G2yG3(clase) funciones, y seaGla (clase)
funci´on que define la propiedad definida en (9.5.1). Entonces la propiedad
Pformulada en (9.4.2) (basada enG)define una funci´onFtal que:
(a)F(0) =G
1(∅),
(b)F(α+1)=G
2(F(α))para todoα,
(c)F(α)=G
3(F|
α
)para todo ordinal l´ımiteα6 =0.
Demostraci´on:
Defina una operaci´onGporG(x)=ysi y s´olo si
obien (i) x=∅,y=G
1(∅)
o(ii)



xes una funci´on,dom x=α+1
para alg´un ordinalα6 =0,
y=G
2(x(α))
o (iii)



xes una funci´on,dom x=α
para alg´un ordinal l´ımite
α6 =0,y=G
3(x)
o(iv) xno es nada de lo anterior yy=∅























(9.5.1)
SeaPla propiedad formulada en (9.4.2) de la demostraci´on del Teorema
de Recursi´on (basada enG). La (clase) funci´onFdefinida porPsatisface
F(α)=G(F|
α
)paratodoα.Esf´acil verificar queFtiene las propiedades
requeridas usando la definici´on deG.

244. 9.5. Aritm´etica Ordinal 233
La definici´on de suma de n´umeros ordinales es una aplicaci´on del teorema
anterior. Para cualquier n´umero ordinalβse define una funci´onβ+.
Definici´on 9.25 (Suma de Ordinales)Para todo ordinalβ,
(a)β+0=β.
(b)β+(α+1)=(β+α)+1paratodoα,
(c)β+α=sup{β+γ:γ<α}para todo ordinal l´ımiteα6 =0.
Si hacemosα=0en(b), tenemos la igualdadβ+1 =β+1; el lado izquierdo
denota la suma de los n´umeros ordinalesβy 1, mientras el lado derecho es el
sucesor deβ.
Para ver c´omoladefinici´on de suma es conforme a la versi´on formal del
Teorema de Recursi´on, consideremos (clase) funcionesG
1,G2yG3donde
G
1(z,x)=z,G 2(z,x)=x+1,G 3(z,x) = sup(ran x).
Entonces la forma param´etrica del teorema anterior proporciona una (clase)
funci´onFtal que para todoz
F(z,0) =G
1(z,0) =z.
F(z,α+1)=G
2(z,F z(α)) =F(z,α) + 1, para todoα.
F(z,α)=G
3(z,F z|α) = sup(ran(F z|α))
= sup({F(z,γ):γ<α})
paraα6 =0 l´ımite.











(9.5.2)
Siβyαson ordinales, entonces escribimosβ+αen lugar deF(β,α)yvemos
que las condiciones (9.5.2) son exactamente las propiedades (a), (b) y (c) de
la definici´on.
En las subsecuentes aplicaciones del Teorema de Recursi´on Transfinita usa-
remos la forma abreviada como en la Definici´on 9.25, sin expl´ıcita formulaci´on
de las funcionesG
1,G2yG3.
Por otra parte, obs´ervese que la definici´on de suma de n´umeros ordinales
generaliza la definici´on de suma para n´umeros naturales; de hecho, para n´ume-
ros naturales, la parte (c) de la Definici´on 9.25 no se aplica puesto que ning´un
n´umero natural distinto de cero es un ordinal l´ımite.
Unaconsecuenciade9.25esqueparatodoβ,
(β+1)+1=β+2,
(β+2)+1=β+3,
etc. Tambi´en tenemos (siα=β=ω)
ω+ω=sup{ω+n:n<ω},

245. 234 9. Ordinales
y similarmente,
(ω+ω)+ω=sup{(ω+ω)+n:n<ω}.
En contraste a estos ejemplos, consideremos la sumam+ωparam<ω.
Tenemosm+ω=sup{m+n:n<ω}=ωpuesto que simes un n´umero
natural,m+nes tambi´en un n´umero natural.
La aritm´etica de n´umeros ordinales es m´as dif´ıcil que la aritm´etica de
n´umeros naturales. Una raz´on de ello es que la conmutatividad no se cumple.
Por ejemplo,
m+ω6 =ω+m.
Tambi´en uno puede ver que, mientras 16 = 2, tenemos que
1+ω=2+ω.
As´ı, cancelaciones del lado derecho de sumas de ordinales en ecuaciones y
desigualdades no son permitidas. Sin embargo, la suma de ordinales es asocia-
tiva y se cumple la ley de cancelaci´on izquierda; esto lo probaremos despu´es
de establecer algunos resultados previos.
Teorema 9.26Siαyβson n´umeros ordinales, entonces
α+β=α∪{α+γ:γ<β}.
Demostraci´on:
La prueba es por inducci´on sobreβ. Supongamos que el teorema es cierto para
todoγ<β.
Siβ=0,pordefinici´onα+β=α.Tambi´en, siβ=0,
{α+γ:γ<β}={α+γ:γ∈β}=∅.
Por lo tanto,α∪{α+γ:γ<β}=α.
Siβes un ordinal sucesor, digamosβ=γ+1, entoncesα+β=(α+γ)+1 =
S(α+γ). Empleando la hip´otesis de inducci´on
S(α+γ)=S(α∪{α+δ:δ<γ})
=(α∪{α+δ:δ<γ})∪{α∪{α+δ:δ<γ}}
=α∪{α+δ:δ<γ}∪{α+γ}
=α∪{α+δ:δ<β}.
Siβes un ordinal l´ımite. Entonces,
α+β=sup{α+δ:δ<β}=
[
{α+δ:δ<β} (9.5.3)

246. 9.5. Aritm´etica Ordinal 235
(recuerde cu´al es el supremo de un conjunto de n´umeros ordinales). Por lo
tanto,γ∈α+βsi y s´olo si, existeδ∈βtal queγ∈α+δ. Sin embargo, por
la hip´otesis de inducci´on, siδ∈β, entoncesγ∈α+δsi y s´olo siγ∈αo
existeδ
1<δtal queγ=α+δ 1. Por la linealidad de<tenemos que,δ 1<β;
consecuentemente,
α+β⊆α∪{α+γ:γ<β}.
Por otro lado, de (9.5.3) se deduce queα⊆α+β.Ahorasiγ=α+δ
para alg´unδ<β, entonces, dado queβes un ordinal l´ımite,δ+1<β.Por
definici´on
α+(δ+1)=(α+δ)+1=γ+1,
as´ıγ∈α+(δ+ 1). Por lo tanto, se sigue de (9.5.3) queγ∈α+β.Luego
α∪{α+γ:γ<β}⊆α+β.
Esto completa la demostraci´on.
El Teorema 9.26 puede formularse en t´erminos de conjuntos bien ordenados.
Dados dos conjuntos ordenados (A,≤)y(B,¹) podemos bien ordenar la uni´on
AtB(ver Ejercicio 3.2.11) con la relaci´on¿del Ejercicio 4.5.12.
Teorema 9.27Si(A,≤)y(B,¹)son conjunto bien ordenados con tipos de
ordenk(A,≤)k=αyk(B,¹)k=β,entoncesAtBcon la relaci´on¿antes
descrita, tiene tipo de ordenα+β.
Demostraci´on:
Por hip´otesis, los conjuntos ordenados (A,≤)y(B,¹) son isomorfos a (α,≤)
y(β,≤),respectivamente. Como
α∩{α+γ:γ<β}=∅
yelconjuntoordenado(B,¹)esisomorfoa({α+γ:γ<β},≤), se verifica
sin dificultad que (AtB,¿)esisomorfoa
(α∪{α+γ:γ<β},≤).
Empleando el Teorema 9.26,α∪{α+γ:γ<β}=α+β. Por lo tanto,
k(AtB,¿)k=α+β.
Un caso particular del Teorema 9.27 es tomar a (A,≤)como(α,≤)ya
(B,¹)como(β,≤), lo que permite interpretar la suma de ordinales como el
tipo de orden del conjunto (αtβ,¿). Se le sugiere al lector interpretar con
una gr´afica este resultado

247. 236 9. Ordinales
Proposici´on 9.28(a) Siα 1,α2yβson ordinales, entoncesα 1<α2si y
s´olo siβ+α
1<β+α 2.
(b) Para cualesquiera ordinalesα
1,α2yβ,β+α 1=β+α 2si y s´olo si
α
1=α2.
(c)(α+β)+γ=α+(β+γ)para todos los ordinalesα,βyγ.
Demostraci´on:
(a)Por el Teorema 9.26,β+α
1=β∪{β+γ:γ<α 1}. Por lo tanto, siα 1<α2,
entoncesβ+α
1<β+α 2.
Rec´ıprocamente, supongamos queβ+α
1<β+α 2.Siα 2<α1, la implicaci´on
antes probada muestra queβ+α
2<β+α 1.Comoα 1=α2es tambi´en
imposible (implicaβ+α
1=β+α 2), se concluye por la linealidad de<que
α
1<α2.
(b)Sesiguetrivialmentede(a):Siα
16 =α2,entoncesobienα 1<α2o
α
2<α1y consecuentementeβ+α 1<β+α 2oβ+α 2<β+α 1.Siα 1=α2,
entonces obviamenteβ+α
1=β+α 2.
(c)Use el Teorema 9.26 y la asociatividad de la uni´on. Los detalles se dejan
como ejercicio al lector.
Sabemos queα 1<α2no necesariamente implicaα 1+β<α 2+β,unejemplo
es 1 +ω=2+ω; pero podemos establecer un resultado m´as d´ebil.
Proposici´on 9.29Siα
1,α2son n´umeros ordinales entonces para cualquier
ordinalβ,α
1<α2implicaα 1+β≤α 2+β.
Demostraci´on:
Haremos la demostraci´on por inducci´on transfinita sobreβ. Sup´ongase que
la proposici´on es cierta paraδ<βy supongamosα
1<α2. Por el Teorema
9.26,ξ∈α
1+βsi y s´olo siξ∈α 1oexisteδ<βtal queξ=α 1+δ.Como
α
1<α2tenemos que:ξ<α 1implicaξ<α 2.Siξ=α 1+δdondeδ<β
entonces por la hip´otesis de inducci´onξ≤α
2+δ. En resumen, del Teorema
9.26 se sigue que siξ∈α
1+βentoncesξ∈α 2+β;oseaα 1+β⊆α 2+β.
Luegoα
1+β≤α 2+β.
Teorema 9.30Siαes cualquier n´umero ordinal yβes un ordinal l´ımite,
entoncesα+βes un ordinal l´ımite.
Demostraci´on:
Sup´ongase queγ∈α+β. Nuevamente usando el Teorema 9.26, o bienγ∈α
oexisteδ∈βtal queγ=α+δ. Entonces necesariamente:γ+1∈αo

248. 9.5. Aritm´etica Ordinal 237
γ+1=αoγ+1=(α+δ)+1=α+(δ+1).Dadoqueβes un ordinal
l´ımiteδ∈βimplicaδ+1∈β. Por lo tanto, en cualquier caso,γ+1∈α+β,
es decir,α+βes un ordinal l´ımite.
Corolario 9.31Siαes cualquier n´umero ordinal yβes un ordinal l´ımite,
entonces
α+β=sup{γ:γ<α+β}=
[
{γ:γ<α+β}.
Finalizamos el estudio de la suma de ordinales con un teorema de utilidad
con el cual puede definirse (en algunos casos) la resta de n´umeros ordinales.
Teorema 9.32Siαyβson n´umeros ordinales tales queα≤βentonces
existe un ´unico ordinalγtal queα+γ=β.
Demostraci´on:
La unicidad se sigue de la ley de cancelaci´on izquierda (Proposici´on 9.28(b)).
Siα=β, entonces basta tomarγ= 0. Sup´ongase queα<β, entonces
β\αes un conjunto no vac´ıo y bien ordenado por≤restringido aβ\α.Sea
γ=k(β\α,≤)k, usando el Teorema 9.27 se sigue queα+γ=β.
A continuaci´on damos la definici´on de multiplicaci´on de ordinales.
Definici´on 9.33 (Multiplicaci´on de Ordinales)Para todo ordinalβ:
(a)β·0=0,
(b)β·(α+1)=β·α+βpara todoα,
(c)β·α=sup{β·γ:γ<α}para todo ordinal l´ımiteα6 =0.
Ejemplo 9.34(a)β·1=β·(0 + 1) =β·0+β=β.
(b)β·2=β(1 + 1) =β·1+β=β+β,en particular,ω·2=ω+ω.
(c)β·3=β·(2 + 1) =β·2+β=β+β+β.
(d)β·ω=sup{β·n:n<ω}=sup{β,β+β,β+β+β, ...}
Ejemplo 9.351·α=α.Pero esto requiere una demostraci´on inductiva.
Demostraci´on:
Siα= 0, entonces 1·0=0.Tambi´en paraαsucesor, digamosα=γ+1,
1·(γ+1)=1·γ+1=γ+1=α.Finalmente, siα6 = 0 es un ordinal l´ımite,
1·α=sup{1·γ:γ<α}=sup{γ:γ<α}=α.
Ejemplo 9.362·ω=sup{2·n:n<ω}=ω.Comoω·26 =ω,se concluye
que la multiplicaci´on de ordinales generalmente no es conmutativa.

249. 238 9. Ordinales
Como en el caso de la suma, es ´util describir la multiplicaci´on de n´umeros
ordinales en t´erminos de conjuntos bien ordenados. Primero un lema cuya
demostraci´on se encomienda al lector.
Lema 9.37Sean(X,≤)y(Y,¹)conjuntos bien ordenados y sea¿
hel orden
lexicogr´afico horizontal enX×Y.Entonces:
(a)Wes un segmento inicial deX×Ysi y s´olo si existen un segmento
inicialUdeXy un segmento inicialVdeYtales que
W=(X×V)∪(U×{u}),
dondeu=minY\V.
(b) SiWes un segmento inicial deX×Y, entonces existe un segmento
inicialVdeYtal queX×Ves un segmento inicial deX×YyW⊆X×V.
(c) SiXyYno tienen elementos m´aximos,X×Ytampoco tiene elemento
m´aximo.
Teorema 9.38Sean(X,≤)y(Y,¹)conjuntos bien ordenados con tipos de
ordenαyβ, respectivamente. Si¿
hes el orden lexicogr´afico horizontal, en-
tonces
k(X×Y,¿
h)k=α·β.
Demostraci´on:
Haremos la demostraci´on por inducci´on transfinita sobreβ. Sup´ongase que el
teorema es cierto para todoγ<β.
Siβ= 0, entoncesY=∅, por lo tanto,X×Y=∅,as´ı
k(X×Y,¿
h)k=α·β.
Siβ=γ+ 1, entonces por el Ejercicio 9.3.4,Ytiene un elemento m´aximo,
digamosu.SeaZ=Y\{u}. Entoncesk(Z,¹)k=γ,yporlahip´otesis
inductiva,
k(X×Z,¿
h)k=α·γ.
PeroX×Y=X×(Z∪{u})=(X×Z)∪(X×{u}). Por lo tanto, por el
Lema 9.37(a) y la definici´on de¿
h,
k(X×Y,¿
h)k=α·γ+α=α·β.
Siβes un ordinal l´ımite. Para cadaγ<βexiste un ´unico segmento inicial
ZdeYtal que
k(Z,¹)k=γ.

250. 9.5. Aritm´etica Ordinal 239
Tambi´en se sigue del Lema 9.37(a) queX×Zes un segmento inicial deX×Y.
Por lo tanto, la hip´otesis inductiva implica
k(X×Z,¿
h)k=α·γ.
M´as a´un, puesto queYno tiene elemento m´aximo,X×Ytampoco. Por lo
tanto,k(X×Y,¿
h)kes un ordinal l´ımite, con lo cual
k(X×Y,¿
h)k=
[
{k(W,¿ h)k:Wes segmento inicial deX×Y}.
Por el Lema 9.37, para cadaWsegmento inicial deX×Y,existeunsegmento
inicialVdeYtal queWest´a contenido en el segmento inicialX×VdeX×Y;
luego
k(X×Y,¿
h)k=
S
{k(X×V,¿ h)k:Ves segmento inicial deY}
=
S
{α·γ:γ<β}
=sup{α·γ:γ<β}
=α·β.
Lo cual completa la demostraci´on.
Si cambiamos el orden lexicogr´afico horizontal por el orden lexicogr´afico
vertical entonces
k(X×Y,¿
v)k=β·α
(ver Ejercicios 9.3.3a y 9.5.6).
En los siguientes teoremas estableceremos propiedades de la multiplicaci´on
de ordinales.
´
Unicamente se realizar´an indicaciones de sus demostraciones y
se sugiere que el lector las realice.
Teorema 9.39Para cualesquiera ordinalesα,βyγ,
(α·β)·γ=α·(β·γ).
Demostraci´on:
Use el Teorema 9.38 y el hecho de que (α×β)×γes equipotente aα×(β×γ).
Teorema 9.40Siα6 =0yβes un ordinal l´ımite, o siβ6 =0yαes un ordinal
l´ımite, entoncesα·βes un ordinal l´ımite.

251. 240 9. Ordinales
Demostraci´on:
Use el Lema 9.37 y el Teorema 9.38.
El rec´ıproco del teorema anterior tambi´en es cierto. Ver el Ejercicio 9(c) de
esta secci´on.
Teorema 9.41Siβes un ordinal l´ımite yα6 =0,entonces
αβ=sup{γ:γ<α·β}.
Demostraci´on:
Use el Teorema 9.40, el hecho de que para un ordinal l´ımiteαse tiene que
α=
S
αyladefinici´on.
Teorema 9.42Siα6 =0yβ<γ,entoncesα·β<α·γ.
Demostraci´on:
Se sigue del Lema 9.37(a), del Teorema 9.38 y del hecho de que siα6 =0yβ
es un segmento inicial deγ, entoncesα·βes un segmento inicial deα·γ.
Teorema 9.43Siα6 =0yα·β=α·γ,entoncesβ=γ.
Demostraci´on:
Use el Teorema 9.42 y la linealidad del (clase) orden≤enOrd.
El teorema precedente nos proporciona la ley de cancelaci´on izquierda. La
ley de cancelaci´on derecha no se cumple, ya que
1·ω=ω=2·ω,
pero 16 =2.M´as a´un, este mismo ejemplo demuestra que la multiplicaci´on por
la izquierda no es mon´otona: 1<2, pero 1·ω=2·ω. Sin embargo, podemos
demostrar el siguiente teorema.
Teorema 9.44Siα,βyγson cualesquiera ordinales, entoncesα<βimplica
α·γ≤β·γ.

252. 9.5. Aritm´etica Ordinal 241
Demostraci´on:
“Para variar”, la demostraci´on es por inducci´on transfinita sobreγ. Sup´ongase
que la implicaci´on es cierta para todoδ<γy sup´ongase queα<β.
Siγ= 0, la implicaci´on es trivial.
Siγ=δ+ 1, entonces por la hip´otesis de inducci´on,α·δ≤α·δ.M´as a´un,
por definici´on:
α·γ=α·δ+α
≤β·δ+α
≤β·δ+β
=β·γ.
Siγes un ordinal l´ımite yα=0,entoncesα·γ=0≤β·γ. Supongamos
entonces queα6 = 0. Entonces por el Teorema 9.41 y dado queα<β,α·γy
β·γson ordinales l´ımites. Por lo tanto, por definici´on,
α·γ=sup{α·δ:δ<γ}
≤sup{β·δ:δ<γ}
=β·γ.
A continuaci´on mostraremos que la multiplicaci´on es distributiva con res-
pectoalasumaporelladoizquierdo.Sinembargo,noesdistributivaporel
lado derecho, como lo ilustra el siguiente ejemplo:
(1 + 1)·ω=2·ω=ω
(1·ω)+(1·ω)=ω+ω6 =ω.
Teorema 9.45Para cualesquiera ordinalesα,βyγse cumple:
α·(β+γ)=α·β+α·γ.
Demostraci´on:
Sean (X,≤
1), (Y,≤ 2)y(Z,≤ 3) conjuntos bien ordenados de tipos de ordenα,
βyγ, respectivamente. Si≤es el orden de la uni´on ajenaYtZcomo se dijo
en el Teorema 9.27, y¿es el orden lexicogr´afico horizontal enX×(YtZ).
Entonces
k(X×(YtZ),¿)k=α(β+γ). (9.5.4)
Ahora sean¿
1y¿2los ´ordenes lexicogr´aficos horizontales enX×YyX×Z,
respectivamente, y≤
0
es el orden de la uni´on ajena (X×Y)t(Y×Z), entonces
°
°
¡
(X×Y)t(X×Z),≤
0
¢°
°
=α·γ+β·γ. (9.5.5)

253. 242 9. Ordinales
Se puede verificar que (X×(YtZ),¿)esisomorfoa
¡
(X×Y)t(X×Z),≤
0
¢
.
El resultado se sigue de (9.5.4) y (9.5.5).Terminamos la secci´on definiendo la exponenciaci´on de ordinales y enun-
ciando algunas de sus propiedades.
Definici´on 9.46 (Exponenciaci´on de Ordinales)Para todo ordinalβ,
(a)β
0
=1,
(b)β
α+1
=β
α
·βpara todo ordinalα,
(c)β
α
=sup{β
γ
:γ<α}para todo ordinal l´ımiteα6 =0.
Ejemplo 9.47(a)β
1
=β,β
2
=β·β,β
3
=β
2
·β=β·β·β,etc.
(b)β
ω
=sup{β
n
:n<ω};en particular,
1
ω
=1,
2
ω
=ω,3
ω
=ω,...,n
ω
=ωpara cualquiern∈ω.
ω
ω
=sup{ω
n
:n<ω}>ω.
Teorema 9.48Siβ>1yαes un ordinal l´ımite, entoncesβ
α
es un ordinal
l´ımite.
Teorema 9.49Para cualesquiera ordinalesα,βyγ,
α
β+γ
=α
β
·α
γ
y(α
β
)
γ
=α
βγ
.
Puesto que la multiplicaci´on de n´umeros ordinales no es conmutativa, no es
cierto que (αβ)
γ
=α
γ
·α
β
para cualesquiera ordinalesα,βyγ. Para ver esto,
seaα=ωyβ=γ= 2. Entonces
(ω·2)
2
=(ω·2)·(ω·2)
=ω·(2·ω)·2
=(ω·ω)·2
=ω
2
·2.
Sin embargo,ω
2
·2
2
=ω
2
·46 =ω
2
·2.
Se puede destacar que la aritm´etica ordinal difiere sustancialmente de la
aritm´etica de n´umeros cardinales. Por ejemplo, 2
ω
=ωyω
ω
son ordinales
numerables, mientras 2
ℵ0
=ℵ
ℵ0
0
es no numerable.

254. 9.5. Aritm´etica Ordinal 243
Uno puede usar las operaciones aritm´eticas para generar ordinales cada vez
m´as grandes:
0,1,2,3, ... ,ω,ω+1,ω+2,...,ω·2,ω·2+1, ...,
ω·3, ...,ω·4, ...,ω·ω=ω
2
,ω
2
+1, ...,ω
2
+ω, ...,
ω
2
·2, ...,ω
3
,...ω
4
, ...,ω
ω
,ω
ω
+1, ...,ω
ω
·2, ...,
ω
ω
·ω=ω
ω+1
, ...,ω
ω
2
,...,ω
ω
3
, ...,ω
ω
ω
, ...,ω
ω
ω
ω
, ...
El proceso puede f´acilmente ser continuado. Es costumbre definir
²=sup
©
ω,ω
ω
,ω
ω
ω
, ...
ª
.
Uno puede entonces formar²+1,²+ω,²
ω
,²
²
,²
²
²
, etc.
Ejercicios 9.5
1. Eval´ue las siguientes operaciones:
(a) (ω+1)+ω.
(b)ω+ω
2
.
(c) (ω+1)·ω
2
.
2. Pruebe que para cada ordinalαexisten un ´unico ordinal l´ımiteβyun
´unico n´umero naturalntal queα=β+n. (Sugerencia:
β=sup{γ≤α:γes l´ımite}.)
3. Seanα≤βordinales. Muestre que la ecuaci´onξ+α=βpuede tener 0,
1oinfinitas soluciones.
4. Complete la demostraci´on de la Proposici´on 9.28(c).
5. Demuestre el Lema 9.37.
6. Demuestre que si (X,≤)y(Y,≤) son conjuntos bien ordenados con tipos
de ordenαyβ, respectivamente, entonces el tipo de orden de
(X×Y,¿
v)
esβ·α.

255. 244 9. Ordinales
7. Pruebe cada uno de las siguientes implicaciones.
(a)α6 =0yβ6 =0implicaα·ω
β
=(α+1)·ω
β
.
(b)αβ<αγimplicaβ<γ.
(c)α·β=0siys´olo siα=0oβ=0.
8. Demuestre los Teoremas 9.39 a 9.43.
9. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones.
(a)αes un ordinal l´ımite si y s´olo siα=ω·βpara alg´unβ.
(b) Siαno es un ordinal l´ımite, entonces existe un ´unico ordinalβy
un ´unico n´umero naturaln6 =0talqueα=ω·β+n.
(c) Siαβ6 = 0 es un ordinal l´ımite, entoncesα6 =0yβes un ordinal
l´ımite, oβ6 =0yαes un ordinal l´ımite.
10. Demuestre cada una de las siguientes proposiciones.
(a) Si 1<αyβ<γ, entoncesα
β
<α
γ
.
(b) Siα<β,entoncesα
β
≤α
γ
.
(c) Siα
β
≤α
γ
, entoncesβ<γ.
(d) Siα
γ
<β
γ
, entoncesα<β.
(e) Siα>1yβ>0, entoncesαβ≤α
β
.
(f) Siα>0yβ>1, entoncesα≤β
α
.
(g) Siα<ω
δ
yβ<ω
δ
, entoncesα+β<ω
δ
.
(h) Siα<ω
ω
δ
yβ<ω
ω
δ
,entoncesα·β<ω
ω
δ
.
(i) Sin∈ω,n6 =0yα6 = 0, entoncesnω
α
=ω
α
.
11. Sup´ongase queα=sup{γ
ξ:ξ<ζ}.Demuestreque
(a)β+α=sup{β+γ
ξ:ξ<ζ},
(b)β·α=sup{β·γ
ξ:ξ<ζ},
(c)β
α
=sup{β
γξ:ξ<ζ}.
12. Encuentre un conjunto deAde n´umeros racionales tales que (A,≤
Q)sea
isomorfo a (α,≤),donde
(a)α=ω+1,

256. 9.6. Ordinales Iniciales y Alephs 245
(b)α=ω·2,
(c)α=ω·3,
(d)α=ω
ω
,
(e)α=².
(Sugerencia:
©
n−
1
m
:m∈N\{0}
ª
es isomorfo aω
2
, etc.)
13. Demuestre que si (α,≤)esisomorfoaalg´un conjunto de n´umeros reales
X(ordenado por la restricci´on del orden usual enR) entoncesαes a
lo m´as numerable. (Sugerencia: seafun isomorfismo; para cadaγ<α,
use el intervalo
I
γ={x∈R:f(γ)<x<f(γ+1)}
y la densidad de los racionales.)
14. (Caracterizaci´on de la Exponenciaci´on.) Seanαyβn´umeros ordinales.
Para cadaf:β→α,seas(f)={γ<β:f(γ)=0}.Seas(β,α)=
{f:β→α:s(f)esfinito}.Def´ınase una relaci´on de orden≺ens(β,α)
como sigue:f≺gsi y s´olo si existeγ
0<βtal quef(γ 0)<g(γ 0)y
f(γ)=g(γ)paratodoγ≤γ
0.Muestreque(s(β,α),≺)esisomorfoa
(α
β
,<).
15. Demuestre los Teoremas 9.48 y 9.49.
9.6 Ordinales Iniciales y Alephs
En el Cap´ıtulo 7 empezamos la investigaci´on del concepto de cardinalidad.
Hasta ahora hemos demostrado varios resultados que tienen que ver con el
concepto|X|, la cardinalidad del conjuntoX,peronohemosdefinido expl´ıcita-
mente el objeto|X|, excepto para el caso cuandoXesfinito o numerable.
En la presente secci´on consideraremos el problema de encontrar “represen-
tantes” de cardinalidad. Puesto que los n´umeros naturales desempe˜nan bien
este papel, generalizaremos el m´etodo apoyados en los n´umeros ordinales. Sin
embargo, los n´umeros ordinales no representan cardinalidades, m´as bien, ellos
representan a los conjuntos bien ordenados. Como cualquier conjunto infinito
puede bien ordenarse de muchas maneras distintas, hay muchos n´umeros or-
dinales de la misma cardinalidad;ω,ω+1,ω+ω,ω·ω,ω·ω+ 1, etc. son
todos numerables; esto es,|ω|=|ω+1|=|ω+ω|=|ω·ω|=ℵ
0.

257. 246 9. Ordinales
A pesar de estas dificultades, es f´acil obtener representantes para la car-
dinalidad de conjuntos infinitos; simplemente tomaremos elm´ınimon´umero
ordinal de una cardinalidad dada como el representante de esa cardinalidad.
Definici´on 9.50Un n´umero ordinalαse llamaordinal inicialsi no es equipo-
tente a cualquierβ<α.
En otras palabras,αes un ordinal inicial siαequipotente aβimplicaβ≥α.
Ejemplo 9.51Cada n´umero natural es un ordinal inicial.ωes un ordinal
inicial, puesto queωno es equipotente a cualquier n´umero natural.ω+1 no
es un ordinal inicial. Similarmente, tampoco lo sonω+ω,ω·ω,ω
ω
.
Teorema 9.52Todo conjunto bien ordenado es equipotente a un ´unico ordi-
nal inicial.
Demostraci´on:
Ya sabemos que si (X,≤) es un conjunto bien ordenado, entoncesXes equipo-
tente a alg´un n´umero ordinal. Seaα
0el primer ordinal equipotente aX.En-
toncesα
0es un ordinal inicial, porque siα 0es equipotente aβpara alg´un
β<αentoncesXes equipotente aβ, contradiciendo la elecci´on deα
0.
Siα
06 =α1son ordinales iniciales, ´estos no pueden ser equipotentes, puesto
que si lo son, y digamos,α
0<α1,entoncesα 1no cumple con la definici´on de
ordinal inicial.
Usando el Axioma de Elecci´on podemos derivar el siguiente corolario que nos
permite definir de manera precisa a|X|para cualquier conjuntoXyjustificar
rigurosamente la Suposici´on 7.23.
Corolario 9.53El Axioma de Elecci´on implica que todo conjunto es equipo-
tente a un ordinal inicial.
Definici´on 9.54SiXes un conjunto, eln´umero cardinal deX,denotado
por|X|,es el ´unico ordinal inicial equipotente aX.En particular,|X|=ω
para cualquier conjunto numerable y|X|=npara cualquier conjuntofinito
denelementos; en consistencia con las definiciones previas.
Puesto que∈es un orden lineal (de hecho, un buen orden) en cualquier
conjunto de n´umeros ordinales, tambi´en tenemos el siguiente corolario.
Corolario 9.55El Axioma de Elecci´on implica que para cualesquiera con-
juntosAyBobien|A|≤|B|o|B|≤|A|,esdecir,el(clase)orden≤es
lineal.

258. 9.6. Ordinales Iniciales y Alephs 247
De acuerdo al ´ultimo teorema los n´umeros cardinales son precisamente los
ordinales iniciales. Una cuesti´on natural es: ¿Hay ordinales iniciales diferentes
de los n´umeros naturales yω? El siguiente teorema muestra mucho m´as; sin
hacer uso del Axioma de Elecci´on, nos dice que hay ordinales iniciales arbi-
trariamente grandes.
Definici´on 9.56Para cualquier conjuntoA,sea~(A)elm´ınimo n´umero or-
dinal que no es equipotente a cualquier subconjunto deA.Llamaremos a~(A)
n´umero de Hartog deA.
Por definici´on,~(A)eselm´ınimo ordinalαtal que|α|£|A|. Por otra parte,
del Axioma de Elecci´on se sigue que el n´umerodeHartogexisteparacualquier
conjuntoA;perotambi´en es posible establecer una demostraci´on sin emplear
dicho axioma (ver Ejercicio 9.6.4).
Lema 9.57Para todo conjuntoA,~(A)es un ordinal inicial.
Demostraci´on:
Supongamos queβes equipotente a~(A)paraalg´unβ<~(A). Entoncesβ
es equipotente a un subconjunto deA, por lo que se concluye que~(A)es
equipotente a un subconjunto deA, contradiciendo su definici´on.
Ahora estamos interesados en definir, por recursi´on transfinita, una “escala”
de ordinales iniciales.
Definici´on 9.58
ω
0=ω;
ω
α+1=~(ω α)paratodoα;
ω
α=sup{ω β:β<α}siα6 = 0es un ordinal l´ımite.
NotequedelaDefinici´on 9.56 se sigue que, para cada ordinalα,|ω
α+1|>
|ω
α|yque|ω α|<|ω β|siempre queα<β.
Teorema 9.59(a)ω
αes un n´umero ordinal inicial infinito para cadaα.
(b) SiΩes un n´umero ordinal inicial infinito, entoncesΩ=ω
αpara alg´un
α.

259. 248 9. Ordinales
Demostraci´on:
(a)Se har´a por inducci´on sobreα.El´unico caso no trivial es cuandoα6 =0
es un ordinal l´ımite (por definici´on y por el lema). Sup´ongase que|ω
α|=|γ|
para alg´unγ<ω
α, entonces existe unβ<αtal queγ<ω β(por definici´on de
supremo). Pero, puesto queαes un ordinal l´ımite siβ<αtambi´enβ+1<α,
yestoimplicaque
|ω
α|=|γ|=|ω β|<|ω β+1|≤|ω α|,
que es una contradicci´on.
(b)Por inducci´on se verifica queα≤ω
αpara cadaα. Suponiendo este
preliminar, para todo ordinal inicial infinitoΩexisteαtal queΩ≤ω
α(por
ejemploα=Ω+1).As´ı,essuficiente mostrar que para cada ordinal inicial
Ω≤ω
α, hay un ordinalγ≤αtal queΩ=ω γ.
La demostraci´on procede por inducci´on sobreα. Sup´ongase que la propiedad
es cierta para todoβ<α.
Siα=0,laafirmaci´on es trivialmente cierta.
Siα=β+1 yΩ<ω
α=~(ω β), entoncesΩ≤ω β. Por la hip´otesis de
inducci´on, existeγ≤β<αtal queΩ=ω
γ.
Siα6 = 0 es un ordinal l´ımite yΩ<ω
α=sup{ω β:β<α}, entonces por
definici´on de supremo, existeβ<αtal queΩ<ω
β≤ωαynuevamentela
hip´otesis inductiva nos proporciona unγ<αtal queΩ=ω
γ.
Usando el Axioma de Elecci´on, la conclusi´on de esta secci´on es que cualquier
conjunto infinito es equipotente a un ´unico n´umero ordinal inicial y que los
n´umeros ordinales iniciales son precisamente de la forma
ω
α
cuandoαvar´ıaentodalaclaseOrd. Los ordinales iniciales son, por definici´on,
la cardinalidad de los conjuntos infinitos. Es costumbre llamar a estos n´umeros
ordinalesalephs,ydefinir
ℵ
α=ωα
para cadaα∈Ord.
Los n´umeros cardinales son o bien n´umeros naturales o alephs. En particular
|N|=ℵ
0coincidiendo con nuestro acuerdo previo. El lector tambi´en puede
notar que el orden de los n´umeros cardinales por “tama˜no”, como se hizo en
el Cap´ıtulo 7, coincide con el orden de los n´umeros naturales y con el orden de
los alephs como ordinales, es decir, si|X|=ℵ
αy|Y|=ℵ β,entonces|X|<|Y|

260. 9.6. Ordinales Iniciales y Alephs 249
si y s´olo siℵ α<ℵβ(o seaω α∈ωβ), y similar equivalencia se cumple si uno
oambossonn´umeros naturales.
En el Cap´ıtulo7definimos la suma, multiplicaci´on y exponenciaci´on de
n´umeros cardinales; estas operaciones desafortunadamente son poco compa-
tibles con las correspondientes suma, multiplicaci´on y exponenciaci´on como
n´umeros ordinales. Por ejemplo,ω
α+ωα6 =ωαsi + es la suma de ordinales,
peroω
α+ωα=ωαsi + es la suma de cardinales. La suma de cardinales
es conmutativa, pero la de ordinales no. Para evitar confusiones,se usan los
s´ımbolosω
αcuando se trata de operaciones ordinales y los s´ımbolosℵ αcuando
se refiere a los operaciones cardinales.
Por otra parte, el lector podr´a demostrar sin dificultad que el conjunto de
todos los n´umeros cardinales no existe. Denotaremos porCaralaclasede
todos los n´umeros cardinales.
Uno puede comparar conjuntos por su cardinalidad, es decir, definir las rela-
ciones|X|<|Y|y|X|=|Y|,sindefinir el s´ımbolo|X|.ConelAxiomade
Elecci´on, cualquier conjunto es equipotente a un ´unico aleph, y as´ıuno puede
definir|X|como el aleph correspondiente. Sin el Axioma de Elecci´on es imposi-
ble hacer una definici´on del s´ımbolo|X|enZF. Una de las razones de porque
usar los alephs para definir la cardinalidad de conjuntos, si se acepta el Axioma
de Elecci´on, es que para cualquier ordinalα,ℵ
α=|ωα|,yas´ıla cardinalidad
deℵ
αesℵα. En otras palabras, los n´umeros cardinales son representantes de
las “clases de equivalencia” de conjuntos de la misma cardinalidad.
Finalmente comentaremos que existe tambi´en una definici´on alternativa de
|X|usando el Axioma de Fundaci´on y el concepto de rango de un conjunto
que no trataremos aqu´ıpero puede que encontrarse en [R
2].
Ejercicios 9.6
1. Pruebe que para cadaα,α≤ω
α.
2. SeaXun conjunto numerable de ordinales estrictamente menores queω
1.
Use el Axioma de Elecciones Numerables para mostrar que supX<ω
1.
3. Pruebe que siαyβson ordinales a lo m´as numerables, entoncesα+β,
α·βyα
β
son a lo m´as numerables. (Sugerencia: Use las caracterizaciones
de las operaciones en t´erminos de conjuntos bien ordenados o bien use
inducci´on transfinita.)

261. 250 9. Ordinales
4. Pruebe sin usar el Axioma de Elecci´on que~(A)existeparacadaA.
(Sugerencia: hay un ´unico ordinalαisomorfo aY, dondeYes un sub-
conjunto bien ordenado deA. Use el Axioma Esquema de Reemplazo
para tener un conjunto de ordinales isomorfos a cualquier subconjunto
bien ordenado deA.)
5. Muestre que para cualquier conjuntoA,|A|<|A|+~(A).
6. Sea~
∗
(A)elm´ınimo ordinalαtal que no existen funciones sobreyectivas
deAenα. Demuestre que:
(a) Siα≥~
∗
(A), entonces no existen sobreyecciones deAenα.
(b)~(A)≤~
∗
(A).
(c) SiAes bien ordenable, entonces~(A)=~
∗
(A).
(d)~
∗
(A)existeparatodoAsin usar el Axioma de Elecci´on. (Sugeren-
cia: muestre queα∈~
∗
(A)siys´olo siα=0oαesigualalordinal
isomorfo aW, dondeWes un buen orden de alguna partici´on de
Aen clases de equivalencia.)
7. Demuestre que siα>0, entoncesω
α=ω
ωα
.Losn´umeros con esta
propiedad de llamann´umeros ´epsilon.
8. Encuentre dos conjuntos bien ordenados tales que:
(a) Cada segmento inicial esfinito.
(b) Cada segmento inicial es a lo m´as numerable.
9. Muestre queCarno es un conjunto.
9.7 Suma y Multiplicaci´on de Alephs
La aritm´etica de n´umeros infinitos difiere sustancialmente de la aritm´etica de
n´umerosfinitos y de hecho las reglas para sumar y multiplicar alephs es muy
simple. Por ejemplo:
ℵ
0+n=ℵ 0
para cualquier n´umero naturaln(si aumentamosnelementos a un conjunto
numerables el resultado es un conjunto numerable.) Tambi´en tenemos que
ℵ
0+ℵ0=ℵ0

262. 9.7. Suma y Multiplicaci´on de Alephs 251
ya que, por ejemplo, podemos ver al conjunto de los n´umeros naturales como
la uni´on de dos conjuntos numerables ajenos: los pares y los impares. M´as a´un,
ℵ
0·ℵ0=ℵ0.
El conjunto de todas las parejas de n´umeros naturales es numerable. Ahora
probaremos un teorema general que determina completamente el resultado de
la suma y la multiplicaci´on de alephs.
Teorema 9.60ℵ
α·ℵα=ℵα,paratodoα.
Demostraci´on:
El teorema se probar´a por inducci´on transfinita. Para todoα, construiremos
un buen orden conveniente¹en el conjuntoω
α×ωα, y usaremos la hip´otesis
de inducci´on,ℵ
β·ℵβ≤ℵβpara todoβ<α, para concluir que el tipo de
orden del conjunto bien ordenado (ω
α×ωα,¹)esalom´asω α;conesto,se
seguir´aqueℵ
α·ℵα≤ℵα. Puesto queℵ α·ℵα≥ℵα, podemos concluir que
ℵ
α·ℵα=ℵα.
La primera tarea es construir un buen orden paraω
α×ωα,paratodoα.La
manera de realizar esto es definir una relaci´on¹que ser´a un buen orden en
cualquier conjunto de pares de ordinales, y as´ıentonces, (ω
α×ωα,¹)ser´aun
conjunto bien ordenado.
Definamos (α
1,α2)≺(β 1,β2)siys´olo si:
max{α
1,α2}<max{β 1,β2}
o
max{α
1,α2}=max{β 1,β2}yα 1<β1
obien
max{α
1,α2}=max{β 1,β2}yα 1=β1yα 2<β2.
Veamos que≺es transitivo. Seanα
1,α2,β1,β2,γ1yγ2tales que
(α
1,α2)≺(β 1,β2)≺(γ 1,γ2).
Se sigue de la definici´on de≺que
max{α
1,α2}≤max{β 1,β2}≤max{γ 1,γ2};
por lo que, max{α
1,α2}≤max{γ 1,γ2}.

263. 252 9. Ordinales
Si max{α 1,α2}<max{γ 1,γ2}entonces (α 1,α2)≺(γ 1,γ2). Supongamos
que max{α
1,α2}=max{γ 1,γ2},entoncesα 1≤β1≤γ1.Siα 1<γ1se
obtiene (α
1,α2)≺(γ 1,γ2). De otro modo tenemos queα 1=β1=γ1,as´ıque
necesariamenteα
2<β2<γ2; se sigue nuevamente que (α 1,α2)≺(γ 1,γ2).
La asimetr´ıade≺es clara a partir de su definici´on. Veamos pues que¹es
un buen orden.
SeaX6 =∅un conjunto de pares de ordinales y sea
δ=min{max{α,β}:(α,β)∈X}.
Luego seaY={(α,β)∈X:max{α,β}=δ}.NotequeY6 =∅(pues existe
al menos un (α,β)∈Xtal que max{α,β}=δ).δ<max{α,β}para todo
(α,β)∈X\Yy por lo tanto,
(α,β)≺(α
0
,β
0
)
siempre que (α,β)∈Yy(α
0
,β
0
)∈X\Y. Por lo tanto, el¹-m´ınimo elemento
deY, si existe, es tambi´en el m´ınimo elemento deX.Sean
α
0=min{α:(α,β)∈Y}yZ={(α,β)∈Y:α=α 0}.
El conjuntoZes no vac´ıoy(α,β)¹(α
0
,β
0
)siempreque(α,β)∈Zy(α
0
,β
0
)∈
Y. Finalmente tomemosβ
0=min{β:(α,β)∈Z}.Claramente,(α 0,β0)=
minZysesigueque(α
0,β0)=minX.
Teniendo demostrado que¹es un buen orden para cualquier conjunto de
pares de ordinales, se sigue que es un buen orden paraω
α×ωα(para todoα).
Usaremos esto para probar por inducci´on transfinita sobreαque|ω
α×ωα|≤
ℵ
α.
Ya sabemos queℵ
0·ℵ0=ℵ0,as´ıla afirmaci´on es cierta paraα=0.Sea
α>0 y supongamos queℵ
β·ℵβ≤ℵβpara todoβ<α.
Para demostrar que|ω
α×ωα|≤ℵ αes suficiente mostrar que el tipo de
orden del conjunto bien ordenado (ω
α×ωα,¹)esalom´asω α.
Si el tipo de orden deω
α×ωαfuera mayor queω α, entonces deber´ıaexistir
(α
1,α2)∈ω α×ωαtal que la cardinalidad del segmento inicial determinado
por (α
1,α2),
X
(α1,α2)={(γ 1,γ2)∈ω α×ωα:(γ1,γ2)≺(α 1,α2)},
esℵ
α. Consecuentemente, es suficiente probar que para todo (α 1,α2)∈ω α×ωα
se tiene que
¯
¯X
(α1,α2)
¯
¯<ℵ
α.
Sean (α
1,α2)∈ω α×ωαyβ=max{α 1,α2}+ 1. Entoncesβ∈ω αypara
todo (γ
1,γ2)∈X(α 1,α2),
max{γ
1,γ2}≤max{α 1,α2}<β.

264. 9.7. Suma y Multiplicaci´on de Alephs 253
Apartirdeesta´ultima relaci´on se deduce queγ 1,γ2∈β. Por tanto,X
(α1,α2)⊆
β×β.
Seaγ<αtal que|β|≤ℵ
γ(note que es posible elegirγya queω αes un
ordinal inicial), entonces
¯
¯
X
(α1,α2)
¯
¯
≤|β×β|=|β|·|β|≤ℵ
γ·ℵγ.Pero,porla
hip´otesis inductiva,ℵ
γ·ℵγ≤ℵγ; por lo tanto,
¯
¯
X
(α1,α2)
¯
¯
≤ℵ
γ<ℵα.
Ahora se sigue que|ω
α×ωα|≤ℵ α.As´ıtenemos probado por inducci´on
transfinita queℵ
α·ℵα≤ℵαpara todoα.
Terminemos esta secci´on enumerando algunas consecuencias del Teorema
9.60.
Corolario 9.61Para cualquierαyβtales queα≤β,
ℵ
α·ℵβ=ℵβ.
Tambi´en,
n·ℵ
α=ℵα
para todo n´umero naturaln.
Demostraci´on:
Siα≤β,entonces, por un lado,ℵ
β=1·ℵ β≤ℵα·ℵβ,y por otro lado, por el
Teorema 9.60,ℵ
α·ℵβ≤ℵβ·ℵβ=ℵβ. Similarmente,n·ℵ α=ℵα.
Corolario 9.62Para todoαyβtales queα≤β,
ℵ
α+ℵβ=ℵβ.
Tambi´en
n+ℵ
α=ℵα
para todo n´umero naturaln.
Demostraci´on:
Siα≤β, entoncesℵ
β≤ℵα+ℵβ≤ℵβ+ℵβ=2·ℵ β=ℵβ. La segunda parte
se demuestra de manera similar.

265. 254 9. Ordinales
Ejercicios 9.7
1. Demuestre que:
(a)ℵ
n
α
=ℵαpara todo n´umero naturaln.
(b)|[ℵ
α]
n
|=ℵ α, donde [ℵ α]
n
es la familia de todos los subconjuntos
deω
αformados denelementos.
(c)
¯
¯
¯[ℵ
α]
<ℵ0
¯
¯
¯=ℵ
α, donde [ℵ α]
<ℵ0
es la familia de todos los subconjun-
tosfinitos deω
α.
(Sugerencia: use el Teorema 9.60 e inducci´on.)
2. Siαyβson ordinales y|α|≤ℵ
γy|β|≤ℵ γ, entonces|α+β|≤ℵ γ,
|α·β|≤ℵ
γ,
¯
¯α
β
¯
¯≤ℵ
γ(dondeα+β,α·βyα
β
son las operaciones
ordinales).
3. SiXes un subconjunto deω
αtal que|X|<ℵ α, entonces|ω α\X|=ℵ α.
4. Demuestre que
(a)
¯
¯
¯[ℵ
α]
≤ℵβ
¯
¯
¯≤ℵ
ℵβ
α, donde [ℵ α]
≤ℵβ
es la familia de todos los subcon-
juntos deω
αde cardinalidad menor o igual aℵ β.
(b)
¯
¯
¯[ℵ
α]
ℵβ
¯
¯
¯=ℵ
ℵβ
α, donde [ℵ α]
ℵβ
es la familia de todos los subconjuntos
deω
αde cardinalidadℵ β.
(c)
¯
¯
¯
n
f∈ω
A
α
:A∈[ℵ α]
≤ℵβ
,fes inyectiva
o¯
¯
¯=ℵ
ℵβ
α.
5. Demuestre que la cardinalidad del conjunto de todos los ordinales suce-
sores menores queω
αtiene cardinalidadℵ α.
6. ¿Cu´antos buenos ´ordenes no isomorfos pueden definirse sobreN? (Su-
gerencia: ver Ejercicio 9.4.6.)

266. 10
Teor´ıa de Cardinales
En el Cap´ıtulo7seintrodujolanoci´on de cardinalidad y se asumi´olaexistencia
de un conjunto|X|,llamadoeln´umero cardinal deX. En la Secci´on 9.6 se
formaliz´o, para cada conjuntoX,la existencia del conjunto|X|por medio
del Axioma de Elecci´on y tambi´en se observ´o que es imposible hacer una
definici´on del s´ımbolo|X|sin emplear a dicho axioma. Por otra parte, en
la Secci´on 9.7 se determin´o por completo la aritm´etica de alephs; pero, sin
emplear al Axioma de Elecci´on,tener determinada la aritm´etica de alephs
no implica tener determinada la aritm´etica de n´umeros cardinales.En este
cap´ıtulo mostraremos la estrecha relaci´on entre el Axioma de Elecci´on y los
n´umeros cardinales, probaremos algunas equivalencias del axioma en t´erminos
de cardinales y desarrollaremos temas especiales de la Teor´ıa de Cardinales.
10.1 N´umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´on
En Teor´ıa de Conjuntos con el Axioma de Elecci´on, cualquier conjunto es
equipotente a un aleph y los alephs (como clase) son bien ordenados. Sin el
Axioma de Elecci´on, sin embargo, no es posible demostrar que el ordenamiento
|X|≤|Y|, sea un orden lineal en la clase de todos los n´umeros cardinales. En la
Secci´on 7.3 se estableci´o que el ordenamiento≤tiene las siguientes propiedades
para cualesquiera conjuntosX, Y, Z:
(a)|X|≤|X|;
(b) si|X|≤|Y|y|Y|≤|X|, entonces|X|=|Y|;
(c) si|X|≤|Y|y|Y|≤|Z|,entonces|X|≤|Z|.
As´ı,≤resulta ser un (clase) orden parcial. El Corolario 9.55 nos dice que
el Axioma de Elecci´on implica que ´este es un (clase) orden lineal. En seguida
demostraremos la implicaci´on rec´ıproca.
Lema 10.1Para cualquier conjuntoX,existeunconjuntoden´umeros ordi-
nalesAtal queα∈Asi y s´olo si|α|≤|X|.

267. 256 10. Teor´ıa de Cardinales
Demostraci´on:
SeaXun conjunto y sea
X={R⊆X×X:(dom R, R)esunconjuntobienordenado}.
Para cadaR∈X,existeun´unico n´umero ordinalαtal que
k(dom R, R)k=α.
Defina
F(x)=
½
k(dom R, R)k,six=R∈X
∅, en otro caso.
EntoncesFes una (clase) funci´on, y se sigue del Axioma Esquema de Reem-
plazo queF(X) es un conjunto. Claramente,
{α∈Ord:|α|≤|X|}⊇F(X).
Por otro lado, si|β|≤|X|,entoncesexisteY⊆Xtal que|β|=|Y|.Sea
g:Y→βuna biyecci´on y defina una relaci´onRcomo sigue:
R={(u, v):u, v∈Y∧g(u)≤g(v)}.
Obviamentedom R=Y,(Y,R)esunconjuntobienordenadoyk(Y,R)k=β;
as´ı,F(R)=β. Consecuentemente,
F(X)={α∈Ord:|α|≤|X|}.
Definici´on 10.2Para cualquier conjuntoX,denotamos
Γ(X)={α∈Ord:|α|≤|X|}.
AΓ(X)selellamafunci´on de Hartog.
Γ(X)esunconjuntoden´umeros ordinales, probaremos queΓ(X)esde
hecho un n´umero ordinal.
Proposici´on 10.3Para cadaX,Γ(X)es un n´umero ordinal.

268. 10.1. N´umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´on 257
Demostraci´on:
SeaXun conjunto. Ya queΓ(X)esunconjuntoden´umeros ordinales, para
mostrar queΓ(X)esunn´umero ordinal es suficiente demostrar que es transi-
tivo. Sup´ongase queα∈Γ(X)yqueβ∈α.Entonces|α|≤|X|yβ⊆α;por
lo tanto,|β|≤|X|,as´ıβ∈Γ(X).
Ahora procederemos a mostrar que la tricotom´ıadelordenentren´umeros
cardinales implica el Teorema del Buen Orden.
Teorema 10.4 (Hartog)El Axioma de Elecci´on es equivalente a la afir-
maci´on de que cualesquiera dos n´umeros cardinales son≤-comparables.
Demostraci´on:
Nos resta probar la suficiencia (ver Corolario 9.55). Supongamos que cua-
lesquiera dos n´umeros cardinales son comparables. SeaXun conjunto. Por
hip´otesis, o bien|X|≤|Γ(X)|o|Γ(X)|≤|X|. Puesto queΓ(X)esun
n´umero ordinal, si|Γ(X)|≤|X|, entoncesΓ(X)∈Γ(X); que es imposible
(pues ning´un n´umero ordinal es elemento de s´ımismo). Por lo tanto, se debe
tener|X|≤|Γ(X)|; y esto claramente implica queXpuede ser bien ordenado.
Existen otras versiones de la tricotom´ıaquetambi´en son equivalentes al
Axioma de Elecci´on. Algunas de esas versiones pueden encontrarse en [RR,
pag. 21].
Si el Axioma de Elecci´on no se usa, la aritm´etica cardinal pierde la simpli-
cidad de la aritm´etica cardinal con el Axioma de Elecci´on (ver Secci´on 9.7).
Muchas de las f´ormulas dejan de ser v´alidas y aquellas que se mantienen se
vuelven dif´ıciles de establecer. En lo que resta de esta secci´on presentamos
algunos resultados t´ıpicos de la relaci´on entre el Axioma de Elecci´on y la arit-
m´etica de cardinales.
Para cualquier cardinal infinitoκ,eln´umerodeHartogdeκes~(A), donde
|A|=κ. En vista del Lema 9.57,~(A) es un aleph que denotaremos por
ℵ(κ). Observemos queℵ(κ) tiene la propiedad de ser el m´ınimo aleph tal que
ℵ(κ)£κ.
Lema 10.5Siκes un cardinal infinito, siℵes un aleph y si
κ+ℵ=κ·ℵ, (10.1.1)
entonces, o bienκ≥ℵoκ≤ℵ.Enparticular,si
κ+ℵ(κ)=κ·ℵ(κ), (10.1.2)

269. 258 10. Teor´ıa de Cardinales
entoncesκes un aleph.
Demostraci´on:
SeaKun conjunto tal queκ=|K|,yseaWun conjunto bien ordenado tal
queℵ=|W|.Porlaecuaci´on (10.1.1), existen subconjuntos ajenosK
1yW1de
K×Wtales queK×W=K
1∪W1y|K1|=κ,|W 1|=ℵ.Ahorabien,siexiste
k∈Ktal que (k,w)∈K
1para cualquierw∈W,entoncesκ≥ℵpuesto que
K
1⊇{(k, w):w∈W}. Si por el contrario, cada{k}×W*K 1, entonces, para
cadak∈K, podemos tomar el m´ınimo elementow
kdeWtal que (k, w k)∈W 1.
Resulta ahora queκ≤ℵ,puesto que{(k, w
k):k∈K}⊆W 1.
En el caso particular de la ecuaci´on (10.1.2),κ≥ℵ(κ)esimposible,y
κ≤ℵ(κ)implicaqueκes un aleph.
Usaremos el lema anterior para establecer los siguientes resultados.
Teorema 10.6 (Tarski)El Axioma de Elecci´on es equivalente a que cua-
lesquiera dos n´umeros cardinalesκyλcumplen
κ+λ=κ·λ.
Demostraci´on:
Mostraremos que bajo las hip´otesis del teorema cualquier cardinal infinito es
un aleph. Seaκun cardinal infinito, por el Lema 10.5 se sigue queκ≤ℵ(κ),
lo cual dice queκes un aleph.
Teorema 10.7 (Tarski)El Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente
proposici´on: Para cualquier n´umero cardinal infinitoκ,setienequeκ
2
=κ.
Demostraci´on:
Empleando la misma t´ecnica del teorema anterior, es suficiente mostrar que
κ+ℵ(κ)=κ·ℵ(κ).
Comoκ+ℵ(κ)≤κ·ℵ(κ), debemos probar ´unicamente queκ+ℵ(κ)≥κ·ℵ(κ).
Esto se demuestre como sigue:
κ+ℵ(κ)=(κ+ℵ(κ))
2
=κ
2
+2κ·ℵ(κ)+ℵ(κ)
2
≥κ·ℵ(κ).
El siguiente resultado es de naturaleza similar.
Teorema 10.8 (Tarski)El Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente
proposici´on:κ
2
=λ
2
implicaκ=λ,para cualesquiera n´umeros cardinales
infinitosκyλ.

270. 10.1. N´umeros Cardinales y el Axioma de Elecci´on 259
Demostraci´on:
Nuevamente mostraremos que cualquier n´umero cardinal es un aleph. Seaκ
un cardinal infinito y seaλ=κ
ℵ0
. Basta demostrar queλes un aleph. Primero
note queλ
2
=λpuesto que
λ
2
=
³
κ
ℵ0
´
2
=κ
2ℵ0
=κ
ℵ0
=λ.
As´ıtenemos que
(λ·ℵ(λ))
2
=λ·ℵ(λ).
Ahora mostremos que
(λ+ℵ(λ))
2
=λ·ℵ(λ).
Por un lado tenemos:
(λ+ℵ(λ))
2
=λ
2
+2λ·ℵ(λ)+ℵ(λ)
2
≥λ·ℵ(λ),
y por otro lado,
(λ+ℵ(λ))
2
=λ
2
+2·λ·ℵ(λ)+ℵ(λ)
2
=λ+ℵ(λ)+λ·ℵ(λ)
≤λ·ℵ(λ)+λ+ℵ(λ)
=λ·2ℵ(λ)=λ·ℵ(λ),
y consecuentementeλes un aleph.
Ejercicios 10.1
1. Muestre queΓ(X) es igual al n´umero de Hartog deX.
2. (a) Demuestre que el Axioma de Elecci´on es equivalente a la siguiente
proposici´on: Para cualesquiera cardinalesκyλ,si2κ<κ+λ
entoncesκ<λ.
(b) Demuestre que la proposici´on “si 2κ>κ+λ, entoncesκ>λ” puede
demostrarse sin el Axioma de Elecci´on.
3. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes al Axioma
de Elecci´on.

271. 260 10. Teor´ıa de Cardinales
(a) Para cualesquiera n´umeros cardinales,κ,λyµ, la inecuaci´onκ+
µ<λ+µimplicaκ<λ.
(b) Para cualesquiera n´umeros cardinales,κ,λyµ, la inecuaci´onκ·µ<
λ·µimplicaκ<λ.
(c) Para cualquier n´umero cardinalκ,setiene2·κ=κ.
10.2 Sumas y Productos Infinitos
En esta secci´on procederemos a generalizar la suma de n´umeros cardinales.
Definici´on 10.9Sea{A
i}
i∈I
una familia de conjuntos ajenos por pares, y
sea|A
i|=κ ipara cadai∈I.Definimos lasuma de{κ i}
i∈I
por
X
i∈I
κi=
¯
¯
¯
¯
¯
[
i∈I
Ai
¯
¯
¯
¯
¯
.
La definici´on de
P
i∈I
κiusa conjuntos particularesA i(i∈I). En el caso
finito, cuandoI={1,2},yκ
1+κ2=|A 1∪A2|,demostramos que la elecci´on
deA
1yA2es irrelevante. Para sumas infinitas, se necesita el Axioma de
Elecci´on para demostrar el lema correspondiente. Esta y otras razones nos lle-
van aasumir el Axioma de Elecci´on de ahora en adelante sin decirlo expl´ıcita-
mente.
Lema 10.10Si{A
i}
i∈I
y{A
0
i
}
i∈I
son familias de conjuntos ajenos por pares
tales que|A
i|=|A
0
i
|para todoi∈I,entonces
¯
¯
¯
¯
¯
[
i∈I
Ai
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
[
i∈I
A
0
i
¯
¯
¯
¯
¯
.
Demostraci´on:
Para cadai∈I, seleccione una biyecci´onf
i:Ai→A
0
i
.Entoncesf=
S
i∈I
fi
es una biyecci´on entre
S
i∈I
Aiy
S
i∈I
A
0
i
.
Este lema hace que la definici´on de
P
i∈I
κisea leg´ıtima. Como las uniones
infinitas de conjuntos satisfacen las ley asociativa, se sigue que las
sumas infinitas de cardinales son tambi´en asociativas. La operaci´on
P
tiene
otras propiedades razonables: Siκ
i≤λipara cadai∈I, entonces
P
i∈I
κi≤
P
i∈I
λi. Sin embargo, siκ i<λipara cadai∈I, no necesariamente es cierto
que
P
i∈I
κi<
P
i∈I
λi.

272. 10.2. Sumas y Productos Infinitos 261
Si los sumandos son iguales, entonces tambi´en se tiene lo siguiente como en
el casofinito. Siκ=κ
ipara cadai∈λ, entonces
X
i∈λ
κi=κ+κ+···
|
{z}
λveces
=κ·λ.
No es muy dif´ıcil evaluar sumas infinitas. Por ejemplo, consideremos
1+2+3+ ···+n+··· (n∈N).
Es f´acil ver que esta suma,
P
n∈N
n, es igual aℵ 0. Este hecho se deduce del
siguiente teorema general.
Teorema 10.11Seaλun cardinal infinito, seaκ
αun n´umero cardinal no
nulo para cadaα<λ,yseaκ=sup{κ
a:α<λ}.Entonces
X
α<λ
κα=λ·κ=λ·sup{κ α:α<λ}.
Demostraci´on:
Por un lado,κ
α≤κpara cadaα<λ.Entonces
X
α<λ
κα≤
X
α<λ
κ=κ·λ.
Por otro lado, note queλ=
P
α<λ
1≤
P
α<λ
κα.Tambi´en tenemosκ≤
P
α<λ
κα; en efecto, puesto queκes el supremo de{κ α}
α<λ
, cualquierγmenor
queκes menor que alg´unκ
α,yκα≤
P
α<λ
κα;portanto,κ≤
P
α<λ
κα.Ahora
ya queκyλson menores o iguales que
P
α<λ
κα,sesiguequeκ·λ,quees
el m´aximo de los dos, es tambi´en menor o igual que
P
α<λ
κα. Finalmente,
usando el Teorema de Cantor-Schr¨oder-Bernstein se concluye el teorema.
Corolario 10.12Siκ i(i∈I)sonn´umeros cardinales y|I|≤sup{κ i:i∈I},
entonces
X
i∈I
κi=sup{κ i:i∈I}.
En particular, la igualdad se satisface si todos losκ
ison mutuamente distintos.
El producto de dos n´umeros cardinalesκ
1yκ2es el n´umero cardinal del
producto cartesianoA
1×A2, dondeA 1,A2son conjuntos arbitrarios tales que
|A
1|=κ 1y|A2|=κ 2.Estosegeneralizacomosigue.

273. 262 10. Teor´ıa de Cardinales
Definici´on 10.13Sea{A i}
i∈I
una familia de conjuntos tales que|A i|=κ i
para cadai∈I.Se define elproducto de{κ i}
i∈I
por
Y
i∈I
κi=
¯
¯
¯
¯
¯
Y
i∈I
Ai
¯
¯
¯
¯
¯
.
Se usa el mismo s´ımbolo para el producto de cardinales (el del lado izquierdo)
que para el producto cartesiano de la familia indizada{A
i}
i∈I
(el del lado
derecho). Seg´un el contexto, ser´aclaroelsignificado del s´ımbolo
Q
.
Nuevamente, la definici´on de
Q
i∈I
κino depende de los conjuntos particu-
laresA
i.
Lema 10.14Si{A
i}
i∈I
y{A
0
i
}
i∈I
son tales que|A i|=|A
0
i
|para todoi∈I,
entonces ¯
¯
¯
¯
¯
Y
i∈I
Ai
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
Y
i∈I
A
0
i
¯
¯
¯
¯
¯
.
Demostraci´on:
Para cadai∈I,el´ıjase una biyecci´onf
i:Ai→A
0
i
.Sea
f:
Y
i∈I
Ai→
Y
i∈I
A
0
i
la funci´on cuyai-´esima funci´on coordenada esf i, es decir,f=(f i)
i∈I
.En-
toncesfes una biyecci´on.
Los productos infinitos tambi´en tienen muchas propiedades esperadas; por
ejemplo, si alg´unκ
ies igual a 0, entonces
Q
i∈I
κi= 0. El producto tambi´en
satisface la ley asociativa. Otra propiedad simple es que siκ
i≤λipara todo
i∈I, entonces
Q
i∈I
κi≤
Q
i∈I
λi. Si todos los factoresκ ison el mismo,
digamosκ, entonces
Y
i∈λ
κi=κ·κ····
|
{z}
=κ
λ
λveces
.
Las siguientes reglas que involucran exponenciaci´on son generalizaciones del
casofinito:
Ã
Y
i∈I
κi
!
λ
=
Y
i∈I
(κi)
λ
,
Y
i∈I
(κ
λi
)=κ
P
i∈I
λi
.

274. 10.2. Sumas y Productos Infinitos 263
Losproductosinfinitos de n´umeros cardinales son m´as dif´ıciles de evaluar
que las sumas infinitas de n´umeros cardinales. Pueden demostrarse algunas
reglas simples en algunos casos especiales; por ejemplo, cuando se eval´ua el
producto
Q
α<λ
καde una sucesi´on creciente (κ α)α<λde n´umeros cardinales.
Consideremos el siguiente caso muy especial:
κ=1·2·3····=
∞
Y
n=1
n.
Primero note que
κ=
∞
Y
n=1
n≤
∞
Y
n=1
ℵ0=ℵ
ℵ0
0
=2
ℵ0
.
Rec´ıprocamente,
2
ℵ0
≤
∞
Y
n=1
2≤
∞
Y
n=2
n=
∞
Y
n=1
n=κ
y concluimos que 1·2·3····=2
ℵ0
. En general tenemos el siguiente teorema.
Teorema 10.15Siλes un cardinal infinito,(κ
α)α<λes una sucesi´on no
decreciente de cardinales no nulos yκ=sup{κ
α:α<λ},entonces
Y
α<λ
κα=κ
λ
.
Demostraci´on:
Comoκ
α≤κpara cadaα<λ,tenemosque
Y
α<λ
κα≤
Y
α<λ
κ=κ
λ
Para probar queκ
λ
≤
Q
α<λ
κα, consideremos una partici´on deλenλcon-
juntosA
αde cardinalidadλ:
λ=
[
α<λ
Aα
(ver Ejercicio 10.2.7). Como cadaA βdebe ser no acotado enλydadoqueel
producto de cardinales no nulos es mayor o igual que cada factor, tenemos que
Y
α∈A β
κα≥sup{κ α:α∈A β}=κ,

275. 264 10. Teor´ıa de Cardinales
para cadaα<λ. Usando la asociatividad del producto infinito obtenemos
(ver Ejercicio 10.2.8)
Y
α<λ
κα=
Y
β<λ


Y
α∈A β
κβ

≥
Y
β<λ
κ=κ
λ
.
Ahora demostraremos un importante teorema, el cual puede emplearse para
derivar varias inecuaciones en aritm´etica cardinal.
Teorema 10.16 (K¨onig)Siκ
iyλiparai∈I,sonn´umeros cardinales y si
κ
i<λipara cadai∈I,entonces
X
i∈I
κi<
Y
i∈I
λi.
Demostraci´on:
Mostraremos que
P
i∈I
κi¤
Q
i∈I
λi.Sea{A i}
i∈I
una familia de conjuntos
tales que|A
i|=λ ipara cadai∈I.Essuficiente mostrar que si{B i}
i∈I
es
una familia de subconjuntos deA=
Q
i∈I
Aital que|B i|≤κ ipara cadai∈I,
entonces
S
i∈I
Bi6 =A.
Para cadai∈I, consideremos las proyecci´on deB
isobre eli-´esimo factor
S
i=pi(Bi). Como|B i|<|A i|, tenemos queS i⊂Ai.Ahoraseax=(x i)i∈I∈
Aun elemento tal quex
i/∈Si. Obviamente,xno pertenece a cualquierB i
(i∈I)yas´ı
S
i∈I
Bi6 =A.
El Teorema de K¨onig es una generalizaci´on del Teorema de Cantor el cual
asegura que 2
κ
>κ.Siexpresamosκcomo una suma infinita
κ=1 + 1 + 1 +···
|
{z }
κveces
y2
κ
como un producto infinito
2
κ
=2·2·2····
|
{z}
κveces
,
entonces el Teorema de K¨onig es aplicable ya que 1<2,y obtenemos
κ=
X
i∈κ
1<
Y
i∈κ
2=2
κ
.

276. 10.2. Sumas y Productos Infinitos 265
Ejercicios 10.2
1. Demuestre que si{J
i}
i∈I
es una familia de conjunto ajenos por pares,
J=
S
i∈I
Jyκ j(j∈J)sonn´umeros cardinales, entonces
X
i∈I
(
X
j∈Ji
κj)=
X
j∈J
κj
(asociatividadde
P
).
2. Pruebe que siκ
i≤λipara cadai∈I,entonces
X
i∈I
κi≤
X
i∈I
λi.
3. Encuentre cardinalesκ
nyλn(n∈N)talesqueκ n<λnpara todo
n∈N,pero
P
∞
n=0
κn=
P
∞
n=0
λn.
4. Pruebe queκ+κ+···(λveces) es igual aλ·κ.
5. Demuestre la ley distributiva
λ·
Ã
X
i∈I
κi
!
=
X
i∈I
(λ·κ i).
6. Pruebe que
¯
¯
¯
¯
¯
[
i∈I
Ai
¯
¯
¯
¯
¯
≤
X
i∈I
|Ai|.
7. Demuestre que para cualquierα,ℵ
αpuede representarse como la uni´on
de una familia de cardinalidadℵ
α, formada por subconjuntos de cardi-
nalidadℵ
α. (Sugerencia: ver Teorema 9.60.)
8. Demuestre que si{J
i}
i∈I
es una familia ajena por pares,J=
S
i∈I
Jiy
κ
ison n´umeros cardinales, entonces
Y
i∈I


Y
j∈Ji
κj

=
Y
j∈J
κj
(asociatividadde
Q
).

277. 266 10. Teor´ıa de Cardinales
9. Pruebe que siκ i≤λiparai∈I, entonces
Y
i∈I
κi≤
Y
i∈I
λi.
10. Encuentre cardinalesκ
nyλn(n∈N)talesqueκ n<λn,pero
Q
∞
n=0
κn=
Q
∞
n=0
λn.
11. Pruebe queκ·κ····(λveces) es igual aκ
λ
.
12. Demuestre la f´ormula
Ã
Y
i∈I
κi
!
λ
=
Y
i∈I
(κ
λ
i
).
13. Demuestre la f´ormula
Y
i∈I
(κ
λi
)=κ
P
i∈I
λi
.
14. Demuestre que si 1<κ
i≤λipara cadai∈I, entonces
P
i∈I
κi≤
Q
i∈I
λi.
15. Demuestre que la cardinalidad de
Y
0<α<ω 1
α
es igual a 2
ℵ1
.
16. Demuestre que:
(a)
Q
n<ω
ℵn=ℵ
ℵ0
ω.
(b)
Q
α<ω+ω
ℵα=ℵ
ℵ0
ω+ω
.
10.3 Cardinales Regulares y Singulares
Sea (α v)v<θuna sucesi´on transfinita de n´umeros ordinales de longitudθ.Di-
remos que la sucesi´on (α
v)v<θescrecientesiα v<αµsiempre queν<µ<θ.
Siθes un ordinal l´ımite y si (α
v)v<θes una sucesi´on creciente de ordinales,
definimos
α=lim
v→θ
αv=sup{α v:v<θ}
yllamamosaαell´ımitede la sucesi´on creciente.

278. 10.3. Cardinales Regulares y Singulares 267
Definici´on 10.17Un cardinal infinitoκse llamasingularsi existe una suce-
si´on transfinita creciente (α
ν)ν<θde ordinalesα ν<κcuya longitudθes un
ordinal l´ımite menor queκ,y
κ=lim
ν→θ
αν.
Un cardinal infinito que no es singular se llamaregular.
Por ejemplo, un cardinal singular esℵ
ω: pues
ℵ
ω=lim
n→ω
ℵn,
en dondeω<ℵ
ωyℵn<ℵn+1para cadan<ω.
Similarmente, los cardinalesℵ
ω+ω,ℵω·ω,ℵω1
son singulares: ya que
ℵ
ω+ω=lim
n→ω
ℵω+n,
ℵ
ω·ω=lim
n→ω
ℵω·n,
ℵ
ω1
=lim
α→ω 1
ℵα.
Por otro lado,ℵ
0es un cardinal regular. El siguiente lema nos proporciona
una caracterizaci´on de los cardinales singulares.
Lema 10.18Un cardinal infinitoκes singular si y s´olosiesigualalasuma
de menos queκcardinales menores:κ=
P
ι∈I
κi, donde|I|<κyκ i<κpara
cadai∈I.
Demostraci´on:
⇒]Siκes singular, entonces existe una sucesi´on transfinita creciente tal que
κ=lim
ν→θαν, dondeθ<κyα ν<κpara todoν<θ. Puesto que todo
ordinal es igual al conjunto de todos los ordinales menores, puede probarse
que
κ=
[
ν<θ
αν=
[
ν<θ

α
ν−
[
ξ<ν
αξ

.
Si hacemosA
ν=αν−
S
ξ<ν
αξ, entonces (A ν)v<θes una sucesi´on de menos
queκconjuntos de cardinalidadκ
ν=|A ν|=
¯
¯
¯ν−
S
ξ<ν
αξ
¯
¯
¯≤|α
ν|<κ, y dado
que los conjuntosA
νson ajenos por pares, esto muestra que
κ=
X
ν<θ
κν.

279. 268 10. Teor´ıa de Cardinales
⇐] Supongamos queκ=
P
α<λ
κα, dondeλes un cardinal menor queκy
para todoα<λse tiene queκ
α<κ. Empleando el Teorema 10.11,
κ=
X
α<λ
κα=λ·sup{κ α:α<λ}.
Comoλ<κ, necesariamente tenemos queκ=sup{κ
α:α<λ};conlocual,
el rango de la sucesi´on transfinita (κ
α)α<λtiene supremo igual aκ.Adem´as,
comoκ
α<κpara cadaα<λ, podemos hallar, por inducci´on transfinita, una
subsucesi´on creciente con l´ımiteκ. Claramente la longitud de la subsucesi´on
queseobtieneesθ. Por lo tanto,κes un cardinal singular.
Definici´on 10.19Un cardinal infinitoℵ αse llamacardinal sucesorsi su
´ındiceαes un ordinal sucesor, es decir,ℵ
α=ℵβ+1para alg´unβ.Siαes
un ordinal l´ımite, entoncesℵ
αse llamacardinal l´ımite.
Es valioso observar que siα>0esunordinall´ımite, entoncesℵ
αes el
l´ımite de la sucesi´on (ℵ
β)β<α.Tambi´en tenemos el siguiente teorema que nos
proporciona informaci´on a cerca de los cardinales sucesores.
Teorema 10.20Cualquier cardinal sucesorℵ
α+1es un cardinal regular.
Demostraci´on:
Supongamos lo contrario, es decir, supongamos que existe un cardinal sucesor
ℵ
α+1que puede expresarse como suma de una cantidad menor de cardinales
menores:
ℵ
α+1=
X
i∈I
κi,
donde|I|<ℵ
α+1,yκ i<ℵα+1para cadai∈I.Entonces|I|≤ℵ αyκi≤ℵα
para cadai∈I;porloqueseobtiene
ℵ
α+1=
X
i∈I
κi≤
X
i∈I
ℵα=ℵα·|I|≤ℵ α·ℵα=ℵα.
Esta es una contradicci´on que establece el teorema.
Una conclusi´on del teorema precedente es que todo cardinal singular es un
cardinal l´ımite. Podemos demostrar m´as.
Proposici´on 10.21Hay cardinales singulares arbitrariamente grandes.

280. 10.3. Cardinales Regulares y Singulares 269
Demostraci´on:
Seaℵ
αun cardinal arbitrario. Considere la sucesi´on
ℵ
α,ℵα+1,ℵα+2, ...,ℵ α+n, ...(n<ω).
Entonces
ℵ
α+ω=lim
n→ω
ℵα+n,
y por lo tanto,ℵ
α+ωes un cardinal singular mayor queℵ α.
La regularidad de cardinales fue investigada por Hausdorffquien se pregunt´o
sobre la existencia de cardinales regulares l´ımites. Analicemos un poco este
asunto: Sup´ongase queℵ
αes uno de tales cardinales. Puesto queαes un
ordinal l´ımite, tenemos que
ℵ
α=lim
β→α
ℵβ;
es decir,ℵ
αes el l´ımite de una sucesi´on creciente de longitudα.Yaque
ℵ
α, es regular, necesariamente tenemos queα≥ℵ α, lo cual, aunado con
α≤ℵ
α,nos proporciona
α=ℵ
α. (10.3.1)
Esta propiedad sugiere queℵ
αdebe ser muy grande. Por otra parte, la condi-
ci´on (10.3.1) parece ser muy fuerte, sin embargo no lo es tanto.
Proposici´on 10.22Hay cardinales singularesℵ
αarbitrariamente grandes -
que tienen la propiedadα=ℵ
α.
Demostraci´on:
Seaℵ
γun cardinal arbitrario. Consideremos la siguiente sucesi´on:
α
0=ωγ
α1=ωα0=ωωγ
α2=ωα1=ωωωγ
···
α
n+1=ωαn
···
para todon<ω,yseaα=lim
n→ωαn. Es claro que la sucesi´on (ℵ αn)n<ω
tiene l´ımiteℵ α. Pero entonces tenemos que
ℵ
α=lim
n→ω
ℵα=lim
n→ω
αn+1=α.

281. 270 10. Teor´ıa de Cardinales
Puesto queℵ αes el l´ımite de una sucesi´on de cardinales menores de longitud
ω,´este es singular.
Definici´on 10.23Un cardinal no numerableℵ αqueesalavezuncardinal
l´ımite y regular es llamado(d´ebilmente) inaccesible.
Es imposible demostrar a partir de los axiomasZFCque los cardinales in-
accesibles existen; en otras palabras,puede incluirse como un axioma adicional
para la Teor´ıa de Conjuntos que los cardinales inaccesibles existen.
Definici´on 10.24Siαes un ordinal l´ımite, entonces lacofinalidaddeα,
denotada porcf(α),es el m´ınimo n´umero ordinalθtal queαes el l´ımite de
una sucesi´on creciente de ordinales de longitudθ.
Note quecf(α)esunordinall´ımite y quecf(α)≤α.As´ı,ℵ
αes singular si
cf(α)<αyesregularsicf(α)=α.
Proposici´on 10.25Si un ordinal l´ımiteαno es un n´umero cardinal, en-
toncescf(α)<α.
Demostraci´on:
Seaαun ordinal l´ımite que no sea un n´umero cardinal. Si hacemosκ=|α|,
entonces existe una funci´on inyectiva deκsobreα, o en otras palabras, existe
una sucesi´on inyectiva (α
ν)ν<κde longitudκtal que{α ν:ν<κ}=α.Ahora
podemos hallar (por inducci´on transfinita) una subsucesi´on que sea creciente
ysul´ımite seaα. Dado que la longitud de la subsucesi´on es a lo m´asκ,y
puesto que|α|=κ<α(puesαno es un n´umero cardinal), concluimos que
cf(α)<α.
Corolario 10.26Para cualquier ordinal l´ımiteα,cf(α)=αsi y s´olo siαes
un cardinal regular.
Proposici´on 10.27Para cualquier ordinal l´ımiteα,
cf(cf(α)) =cf(α).
Demostraci´on:
Seaθ=cf(α). Claramente,θes un ordinal l´ımite ycf(θ)≤θ. Demostraremos
quecf(θ)noesmenorqueθ.Siγ=cf(θ)<θ, entonces existe una sucesi´on
creciente de ordinales (ν
ξ)ξ<γtal que su l´ımite lim ξ→γνξ=θ. Puesto que
θ=cf(α), existe una sucesi´on creciente (α
ν)ν<θtal que limν→θαν=α.Pero
entonces la sucesi´on (α
νξ
)ξ<γtiene longitudγ,ylim ξ→γανξ
=α.Comoγ<θ,

282. 10.4. La Hip´otesis Generalizada del Continuo 271
esto es una contradicci´on, ya queθes la m´ınima longitud de una sucesi´on
creciente con l´ımiteα.
Corolario 10.28Para cualquier ordinal l´ımiteα,cf(α)es un cardinal regu-
lar.
Ejercicios 10.3
1. Demuestre quecf(ℵ
ω)=cf(ℵ ω+ω)=ω.
2. Demuestre quecf(ℵ
ω1
)=ω 1,cf(ℵ ω2
)=ω 2.
3. Seaαel n´umero cardinal definido en la demostraci´on de la Proposici´on
10.22. Demuestre quecf(α)=ω.
4. Muestre quecf(α)eselm´ınimoγtal queαes la uni´on deγconjuntos
de cardinalidad menor que|α|.
5. Seaℵ
αun cardinal l´ımite,α>0. Demuestre que hay una sucesi´on cre-
ciente de alephs de longitudcf(ℵ
α)conl´ımiteℵ α.
6. Seaκun cardinal infinito, y seaλ<κun cardinal regular infinito.
Demuestre que existe una sucesi´on creciente (α
ν)
ν<cf(κ) de cardinales
tales que lim
ν→cf(κ) αν=κyλ=cf(α ν)paratodoν<cf(κ).
10.4 La Hip´otesis Generalizada del Continuo
Mientras la suma y multiplicaci´on de n´umeros cardinales es simple (debido al
hecho de queℵ
α+ℵβ=ℵα·ℵβ=max{ℵ α,ℵβ}), la evaluaci´on de la expo-
nenciaci´on de n´umeros cardinales es muy complicada. En la presente secci´on
estudiaremos la operaci´on 2
ℵα
.
PorelTeoremadeCantor,2
ℵα
>ℵα; en otras palabras,
2
ℵα
≥ℵα+1. (10.4.1)
No hay mucho que pueda demostrarse acerca de 2
ℵα
,exceptolasiguiente
propiedad trivial:
2
ℵα
≤2
ℵβ
siempre queα≤β. (10.4.2)
El siguiente hecho es una consecuencia del Teorema de K¨onig.

283. 272 10. Teor´ıa de Cardinales
Proposici´on 10.29Para cualquierα,
cf(2
ℵα
)>ℵ α. (10.4.3)
Demostraci´on:
Seaθ=cf(2
ℵα
).θes un cardinal. As´ı,2
ℵα
es el l´ımite de una sucesi´on creciente
de longitudθ,ysesigueque
2
ℵα
=
X
ν<θ
κν,
donde cadaκ
νes un cardinal menor que 2
ℵα
. Por el Teorema de K¨onig (donde
se poneλ
ν=2
ℵα
para todoν<θ), tenemos que
X
ν<θ
κν<
Y
ν<θ
2
ℵα
y por lo tanto,
2
ℵα
<(2
ℵα
)
θ
.
Ahora, siθes menor o igual aℵ
α, se tendr´ıaque
2
ℵα
<(2
ℵα
)
θ
=2
ℵα·θ
=2
ℵα
,
que es una contradicci´on.
Una consecuencia de la Proposici´on 10.29 es que 2
ℵ0
no puede serℵ ω(puesto
quecf(ℵ
ω)=ℵ 0), pero el lema no previene que 2
ℵ0
seaℵ ω1
. Similarmente,
2
ℵ1
no puede serℵ ω1
,ℵωoℵω+ω.
Las inecuaciones (10.4.1), (10.4.2) y (10.4.3) son las ´unicas propiedades que
pueden demostrarse para la operaci´on 2
ℵα
si el cardinalℵ αes regular. Siℵ α
es singular, entonces varias reglas adicionales son conocidas.
Teorema 10.30Seaℵ
αun cardinal singular. Supongamos que el valor de2
ℵξ
es el mismo para todoξ<α,digamos2
ℵξ=ℵβ. Entonces tambi´en2
ℵα
=ℵβ.
Demostraci´on:
Comoℵ
αes singular, existe por el Lema 10.18, una familia{κ i}
i∈I
de cardi-
nales tales queκ
i<ℵαpara todoi∈I,con|I|=ℵ γ<ℵα,yℵ α=
P
i∈I
κi.
Por la suposici´on, tenemos que 2
κi
=ℵβpara todoi∈I,yque2
ℵγ
=ℵβ.As´ı,
2
ℵα
=2
P
i∈I
κi
=
Q
i∈I
2
κi
=
Q
i∈I
ℵβ
=ℵ
ℵγ
β
=(2
ℵγ
)
ℵγ
=2
ℵγ
=ℵβ.

284. 10.4. La Hip´otesis Generalizada del Continuo 273
La generalizaci´on obvia de la Hip´otesis del Continuo, la cual asegura que
2
ℵ0
=ℵ1, es la siguiente:
Hip´otesis Generalizada del Continuo:Para cualquier ordinalα,se tiene
2
ℵα
=ℵα+1. (10.4.4)
EnlostrabajosdeG¨odel [G
2] de 1939 y Cohen [C4] de 1963, se demostr´oque
la Hip´otesis Generalizada del Continuo es consistente e independiente de los
axiomasZFC.LaHip´otesis Generalizada del Continuo es una proposici´on muy
poderosa. En la siguiente secci´on veremos como simplifica la exponenciaci´on
de n´umeros cardinales. En la presente demostraremos que ella implica al pro-
pio Axioma de Elecci´on; este teorema fue anunciado por A. Lindenbaun y A.
Tarski en 1926, pero el primero en publicar una demostraci´on fue Sierpi´nski
en 1947. La demostraci´on que presentaremos aqu´ıes de E. Specker, publi-
cada en 1954. Antes de formular dicho teorema es necesario hacer una ob-
servaci´on sobre la Hip´otesis Generalizada del Continuo. La forma en que fue
expresada la Hip´otesis Generalizada del Continuo, supone ya al Axioma de
Elecci´on, pero puede ser presentada sin hacer uso de este axioma (en particular,
sin necesidad de suponer que cualquier n´umero cardinal es un aleph). En efecto,
la manera de presentar la Hip´otesis Generalizada del Continuo (HGC) sin usar
el Axioma de Elecci´on es como sigue:Para todos los cardinales infinitosκ,se
tiene que
siκ≤λ≤2
κ
,entoncesλ=κoλ=2
κ
. (10.4.5)
En presencia del Axioma de Elecci´on, (10.4.4) y (10.4.5) son obviamente equi-
valentes. Para demostrar el Teorema 10.32 emplearemos la segunda versi´on.
Antes un lema.
Lema 10.31Siκ≥5,entonces2
κ
£κ
2
.
Demostraci´on:
Seanκun cardinal infinito yXun conjunto con|X|=κ.Seaλ=~(X)
el n´umero de Hartog deX. Supongamos que 2
κ
≤κ
2
. Vamos a obtener una
contradicci´on al construir una sucesi´on inyectiva de elementos deXde longitud
λ.
Seaf:P(X)→X×Xuna funci´on inyectiva, y para cualquier ordinal
infinitoα,seaf
α:α→α×αuna funci´on inyectiva (ver demostraci´on
del Teorema 9.60). Vamos a construir una sucesi´on (x
α)α<λcomo sigue: Se-
leccionemosx
0,x1,x2x3,x4enXde manera arbitraria. Sin≥5, sea

285. 274 10. Teor´ıa de Cardinales
Cn={x 0,...,xn−1}.Como
|P(C
n)|=2
n
>n
2
=|C n×Cn|,
hay un subconjuntoUdeC
ntal quef(U)/∈C n×Cn.SeaUel primero
de tales conjuntos (es decir,U={x
n1
,...,xnk
}, donde{n 1,...,nk}es el
primero en un buen orden dado para la familia de subconjuntosfinitos deN). Si
f(U)=(x, y), entonces tomamosx
n=xen el caso en quex/∈C no tomamos
x
n=ysix∈C n; en cualquier casox n/∈Cn.Paraαun ordinal infinito
conα<λ,seaC
α={x ξ:ξ<α}. A partir defyf α, tenemos una funci´on
inyectivag:α→P(X)talqueg(ξ)=f
−1
(xη,xζ), donde (η,ζ)=f α(ξ). Sea
U={x
ξ∈Cα:xξ/∈g(ξ)},
ysea(x, y)=f(U). Se sigue que (x, y)/∈C
α×Cα,yas´ıpodemos hacer como
antesx
α=xox α=y. De esta manera tenemos la sucesi´on deseada.
Obs´ervese que la elecci´on de las funcionesf αodefinir un buen orden en
la familia de subconjuntosfinitos deN, no hace uso del Axioma de Elecci´on.
En el Teorema 9.60 se demuestra que las funcionesf
αson definibles; por otra
parte, el orden lexicogr´afico puede modificarse para obtener a un buen orden
para [N]
<ℵ0
.
Teorema 10.32La Hip´otesis Generalizada del Continuo implica el Axioma
de Elecci´on.
Demostraci´on:
Seaκun n´umero cardinal. Asumiendo que la Hip´otesis Generalizada del Con-
tinuo se cumple para cualquierλ, demostraremos queκ
2
=κ(ver el segundo
Teorema de Tarski). Primero, se afirma que
κ≤2·κ<2
κ
.
En efecto, dado queκ≤2·κy2·κ≤2
κ
,ycomo2·κ≤κ
2
, tenemos que
2·κ6 =2
κ
por el Lema 10.31. Ahora se sigue de la Hip´otesis Generalizada del
Continuo que
2·κ=κ.
Con lo cual tenemos queκ
2
<2
κ
.Estoesporque
κ
2
≤(2
κ
)
2
=2
2·κ
=2
κ
,
y nuevamente por el Lema 10.31,κ
2
6 =2
κ
.As´ıtenemos que
κ≤κ
2
<2
κ
,
que nos lleva a concluir:κ=κ
2
.

286. 10.5. La HGC y los N´umeros Cardinales 275
Ejercicios 10.4
1. Usando el Axioma de Elecci´on, demuestre la equivalencia entre las dos
versiones de la Hip´otesis Generalizada del Continuo.
2. Pruebe que si 2
ℵ0
>ℵω, entoncesℵ
ℵ0
ω=2
ℵ0
.
10.5 La HGC y los N´umeros Cardinales
En esta secci´on mostraremos como la Hip´otesis Generalizada del Continuo
simplifica la exponenciaci´on de n´umeros cardinales.
Lema 10.33Siα≤β,entoncesℵ
ℵβ
α=2
ℵβ.
Demostraci´on:
Claramente, 2
ℵβ≤ℵ
ℵβ
α.Comoℵ α≤2
ℵβ,tambi´en tenemos
ℵ
ℵβ
α≤(2
ℵα
)
ℵβ
=2
ℵα·ℵβ
=2
ℵβ
.
Lema 10.34Seanα≥βyseaSla familia de todos los subconjuntosX⊆ω α
tales que|X|=ℵ β.Entonces|S|=ℵ
ℵβ
α.
Demostraci´on:
Primero probaremos queℵ
ℵβ
α≤|S|.SeaS
0
la familia de todos los subconjuntos
X⊆ω
β×ωαtales que|X|=ℵ β.Comoℵ β·ℵα=ℵα, tenemos que|S
0
|=|S|.
Ahora, cualquier funci´onf:ω
β→ωαes un miembro de la familiaS
0
y, por
tanto,ω
ωβ
α⊆S
0
. Por lo tanto,ℵ
ℵβ
α≤|S|.
Rec´ıprocamente, siX∈S, entonces existe una funci´onfsobreω
βtal que
Xes el rango def. Tomemos una de talesfpara cadaX∈Syseaf=F(X).
Claramente, siX6 =Yyf=F(X),g=F(Y), tenemos queX=ranfy
Y=rang,as´ıf6 =g. Esto nos muestra queF:S→ω
ωβ
αes una funci´on
inyectiva, y por lo tanto,|S|≤ℵ
ℵβ
α.
Ahora daremos una proposici´on para evaluarℵ
ℵβ
αpara cardinales regulares
ℵ
α,bajolasuposici´on de la Hip´otesis Generalizada del Continuo.
Teorema 10.35Suponiendo la Hip´otesis Generalizada del Continuo, siℵ
α
es un cardinal regular, entonces
ℵ
ℵβ
α=
½
ℵ
α siβ<α,
ℵ
β+1 siβ≥α.

287. 276 10. Teor´ıa de Cardinales
Demostraci´on:
Siβ≥α,entoncesℵ
ℵβ
α=2
ℵβ=ℵβ+1por el Lema 10.33. Seaβ<αyseaB
la colecci´on de todos los subconjuntos acotados deω
α, esto es,
B=
[
δ<ωα
P(δ).
Comoℵ
αes regular, se sigue que cualquier subconjuntoX⊆ω αtal que
|X|=ℵ
βes un subconjunto acotado, y por el Lema 10.34,ℵ
ℵβ
α≤|B|.As´ı,es
suficiente demostrar que|B|≤ℵ
α.
Dado queB=
S
δ<ωα
P(δ), tenemos que
|B|≤
X
δ<ωα
2
|δ|
.
Sin embargo, para cualquier cardinalℵ
γ<ℵα,setieneque
2
ℵγ
=ℵγ+1≤ℵα
yas´ı2
|δ|
≤ℵαpara todoδ<ω α,yobtenemos
|B|≤
X
δ<ωα
2
|δ|
≤
X
δ<ωα
ℵα=ℵα·ℵα=ℵα.
Demostraremos una f´ormula similar (pero un poco m´as complicada) para
cardinales singularesℵ
α; primero es necesario generalizar la Proposici´on 10.29.
Lema 10.36Para cualquier cardinalκ>1ycualquierα,
cf(κ
ℵα
)>ℵ α.
Demostraci´on:
Es exactamente como la demostraci´on de la Proposici´on 10.29, excepto que
2
ℵα
se reemplaza porκ
ℵα
. Los detalles los dejamos para el lector.
Teorema 10.37Suponiendo la Hip´otesis Generalizada del Continuo, siℵ α
es un cardinal singular, entonces
ℵ
ℵβ
α=



ℵ
α siℵβ<cf(ℵ α),
ℵ
α+1 sicf(ℵ α)≤ℵβ≤ℵα,
ℵ
β+1 siℵβ≥ℵα.

288. 10.5. La HGC y los N´umeros Cardinales 277
Demostraci´on:
Siβ≥α, entoncesℵ
ℵβ
α=2
ℵβ=ℵβ+1.Siℵ β<cf(ℵ α), entonces cualquier
subconjuntoX⊆ω
αtal que|X|=ℵ βes un subconjunto acotado, y tenemos
queℵ
ℵβ
α=ℵβpor el argumento empleado para cardinales regulares en el
Teorema 10.35.
As´ı, supongamos quecf(ℵ
α)≤ℵβ≤ℵα. Por una parte tenemos que
ℵ
α≤ℵ
ℵβ
α≤ℵ
ℵα
α
=2
ℵα
=ℵα+1.
Por otra parte, dado queℵ
αes singular,cf(ℵ
ℵβ
α)6 =cf(ℵ α)yporlotanto,
ℵ
ℵβ
α6=ℵα.As´ı, necesariamenteℵ
ℵβ
α=ℵα+1.
Dos consecuencias interesantes de los teoremas anteriores, de hecho de la
Hip´otesis Generalizada del Continuo, son las siguientes igualdades
ℵ
ℵα
α=ℵα+1 (10.5.1)
y
ℵ
ℵα
α+1
=ℵα+1. (10.5.2)
En seguida demostraremos que ambas (10.5.1) y (10.5.2) implican la Hip´otesis
Generalizada del Continuo.
Teorema 10.38La Hip´otesis Generalizada del Continuo es equivalente a la
proposici´onℵ
ℵα
α=ℵα+1para cualquier n´umero ordinalα.
Demostraci´on:
Seaαun n´umero ordinal y supongamos queℵ
ℵα
α=ℵα+1.Entonces
ℵ
α<2
ℵα
≤ℵ
ℵα
α=ℵα+1.
Sin embargo, no hay n´umeros cardinales entreℵ
αyℵα+1,as´ıdebe ocurrir
que
2
ℵα
=ℵα+1.
La otra implicaci´on se deja para el lector (ver Ejercicio 10.5.5).
Teorema 10.39La Hip´otesis Generalizada del Continuo es equivalente a
ℵ
ℵα
α+1
=ℵα+1para cualquier n´umero ordinalα.
Si no suponemos la Hip´otesis Generalizada del Continuo, la situaci´on se
vuelve m´as complicada.

289. 278 10. Teor´ıa de Cardinales
Teorema 10.40 (F´ormula de Hausdorff)Para cualesquiera ordinalesαy
β,
ℵ
ℵβ
α+1
=ℵ
ℵβ
α·ℵα+1.
Demostraci´on:
Siβ≥α+ 1, entoncesℵ
ℵβ
α+1
=2
ℵβ,ℵ
ℵβ
α=2
ℵβ,yℵ α+1≤ℵβ<2
ℵβ;porlo
tanto, la f´ormula es v´alida. As´ı, supongamos queβ≤α.Comoℵ
ℵβ
α≤ℵ
ℵβ
α+1
y
ℵ
α+1≤ℵ
ℵβ
α+1
,essuficiente mostrar que
ℵ
ℵβ
α+1
≤ℵ
ℵβ
α·ℵα+1.
Cada funci´onf:ω
β→ωα+1es acotada, es decir, existeγ<ω α+1tal que
f(ξ)<γpara todoξ<ω
β( puesto queω α+1es regular yω β<ωα+1). Por lo
tanto,
ω
ωβ
α+1
=
[
γ<ω α+1
γ
ωβ
.
Ahora, cualquierγ<ω
α+1tiene cardinalidad|γ|≤ℵ α,yporelEjercicio
10.2.6,
¯
¯
¯
¯
¯
¯
[
ν<ω α+1
γ
ωβ
¯
¯
¯
¯
¯
¯
≤
X
γ<ω α+1
|γ|
ℵβ
≤
X
γ<ω α+1
ℵ
ℵβ
α=ℵ
ℵβ
α·ℵα+1.
Teorema 10.41 (F´ormula Generalizada de Hausdorff)Para cualquier
n´umero naturalnycualesquieraordinalesαyβ,
ℵ
ℵβ
α+n
=ℵ
ℵβ
α·ℵα+n.
Haciendoα= 0 y usando el Lema 10.33, obtenemos el siguiente teorema.
Teorema 10.42 (Formula de Bernstein)Para cualquier n´umero natural
nycualquiern´umero ordinalβ,
ℵ
ℵβ
n=2
ℵβ
·ℵn.
Definici´on 10.43Un cardinal infinitoℵ
αesl´ımite fuerte,si2
ℵβ<ℵαpara
todoβ<α.
Claramente un cardinal que es l´ımite fuerte es un cardinal l´ımite, ya que si
ℵ
α=ℵγ+1,entonces2
ℵγ
≥ℵα. No cualquier cardinal l´ımite es necesariamente
l´ımite fuerte: Si 2
ℵ0
fuera mayor queℵ ω, entoncesℵ ωser´ıaunejemplo.Sin
embargo,si suponemos la Hip´otesis Generalizada del Continuo, entonces todo
cardinal l´ımite es un cardinal l´ımite fuerte.

290. 10.5. La HGC y los N´umeros Cardinales 279
Lema 10.44Siℵ αes un cardinal l´ımite fuerte y siκyλson cardinales
infinitos tales queκ<ℵ
αyλ<ℵ α,entoncesκ
λ
<ℵα.
Demostraci´on:
κ
λ
≤(κ·λ)
κ·λ
=2
κ·λ
<ℵα.
Sierpi´nski y Tarski introdujeron el siguiente tipo de cardinales.
Definici´on 10.45Un n´umero cardinal no numerableκesfuertemente inac-
cesiblesi es regular y l´ımite fuerte.
De acuerdo al comentario que precede al lema, todo cardinal fuertemente
inaccesible es d´ebilmente inaccesible, y si suponemos la Hip´otesis Generalizada
del Continuo, todo cardinal d´ebilmente inaccesible es fuertemente inaccesible.
La raz´on por la cual a tales cardinales se les llama inaccesibles es que ellos
no pueden ser obtenidos por las operaciones conjuntistas usuales a partir de
cardinales menores. Por ejemplo:
SiXtiene cardinalidad menor queκ, entoncesP(X) tiene cardinalidad menor
queκ.
Si cadaX∈Stiene cardinalidad menor queκ,entonces
S
Stiene cardina-
lidad menor queκ.
Si|X|<κyf:X→κes una funci´on cualquiera, entonces supf(X)<κ.
Por lo anterior, no deber sorprender mucho que la existencia de cardinales
inaccesibles sea independiente de los AxiomasZFC.
Ejercicios 10.5
1. Pruebe el Lema 10.36.
2. Demuestre que si 2
ℵβ≥ℵα, entoncesℵ
ℵβ
α=2
ℵβ.
3. Demuestre que si existeγ<αtal queℵ
ℵβ
γ≥ℵα, digamosℵ
ℵβ
γ=ℵδ,
entoncesℵ
ℵβ
α=ℵδ.

291. 280 10. Teor´ıa de Cardinales
4. Seaαun ordinal l´ımite y seaℵ βtal quecf(ℵ β)<ℵ α.Demuestrequesi
ℵ
ℵβ
ξ
≤ℵαpara todoξ<α, entoncesℵ
ℵβ
α=ℵα. (Sugerencia: siX⊆ω α
es tal que|X|=ℵ β,entoncesX⊆ω ξpara alg´unξ<α.)
5. Pruebe las Ecuaciones (10.5.1) y (10.5.2).
6. Demuestre el Teorema 10.39
7. Demuestre la F´ormula Generalizada de Hausdorff. (Sugerencia: use in-
ducci´on sobren.)
8. Demuestre la F´ormula de Bernstein.
9. Pruebe que:
(a)ℵ
ℵ0
1
=2
ℵ0
·ℵ1.
(b)ℵ
ℵ1
0
=2
ℵ1
.
10. Demuestre que la Hip´otesis Generalizada del Continuo es equivalente a
ℵ
ℵα
α+1
<ℵ
ℵα
α+2
.
para cualquier n´umero ordinalα.
11. Siℵ
αes fuertemente inaccesible yβ<α,entoncesℵ
ℵβ
α=ℵα. (Sugeren-
cia: aplique el Ejercicio 4.)
12. Demuestre que
Q
n<ω
ℵn=ℵ
ℵ0
ω. (Sugerencia: seanA i(i<ω) subcon-
juntos infinitos mutuamente ajenos deω. Entonces
Y
n<ω
ℵn≥
Y
i<ω


Y
n∈A i
ℵn

≥
Y
i<ω


X
n∈A i
ℵn

≥
Y
i<ω
ℵω=ℵ
ℵ0
ω.
La demostraci´on de la otra desigualdad es m´as sencilla.)
13. Demuestre queℵ
ℵ1
ω=ℵ
ℵ0
ω·2
ℵ1
. (Sugerencia:
ℵ
ℵ1
ω=
¡P
n<ω
ℵn
¢
ℵ1
≤
¡Q
n<ω
ℵn
¢
ℵ1
=
Q
n<ω
ℵ
ℵ1
n=
Q
n<ω
(ℵn·2
ℵ1
)=
=
¡Q
n<ω
ℵn
¢
·
¡
2
ℵ1
¢
ℵ0
=ℵ
ℵ0
ω·2
ℵ1
.)

292. 10.6. Medidas y Cardinales 281
10.6 Medidas y Cardinales
1
El concepto de medida es uno de los m´as importantes en el An´alisis Abstracto,
es fundamental para el desarrollo de la moderna teor´ıadeintegraci´on. De par-
ticular importancia es lamedida de Lebesguede conjuntos de n´umeros reales.
En el Ejemplo 8.18 se estableci´o que no cualquier conjunto de n´umeros
reales es medible. La medida de Lebesgue es sin duda muy especial ya que
coincide con la longitud de los intervalos y es invariante bajo traslaciones.
Una clase de medida no tan restrictiva es la siguiente.
Definici´on 10.46SeaXun conjunto no vac´ıo. Unamedidaσ-aditivasobre
Xes una funci´onµ:P(X)→[0,1] tal que:
(a)µ(∅)=0,µ(X)=1,
(b) siA⊆B,entoncesµ(A)≤µ(B),
(c)µ({x}) = 0 para cualquierx∈X,
(d) si{A
n}
∞
n=0
es una familia de subconjuntos deXajenos por pares,
entonces
µ
Ã
∞
[
n=0
An
!
=
∞
X
n=0
µ(An).
Como consecuencia de(c)y(d)de la definici´on, cualquier subconjunto a
lo m´as numerable deXtiene medida 0. Por lo tanto, si hay una medida
sobreX, entoncesXes no numerable. Es claro que la existencia de medidas
sobreXdepende ´unicamente de la cardinalidad deX:SiXtiene una medida y
|X|=|X
0
|entoncesX
0
tambi´en tiene una medida. Ya sabemos que la medida
de Lebesgue no puede extenderse aP(R); pero la pregunta es: ¿Existe una
medidaσ-aditiva sobreR? o equivalentemente ¿Existe una medidaσ-aditiva
sobre 2
ℵ0
?
Mostraremos que este cuestionamiento muy natural del An´alisis Abstracto
est´a relacionada con el problema del continuo y sorpresivamente tambi´en con
la materia de los cardinales inaccesibles. Este problema es el punto de partida
para la investigaci´on de loscardinales grandes, una teor´ıa que exploraremos
en las siguientes secciones.
El siguiente teorema fue formulado por Banach y Kuratowski en 1929.
Teorema 10.47Si existe una medidaσ-aditiva sobre2
ℵ0
,entonceslaHip´o-
tesis del Continuo es falsa.
1
Esta secci´on y la siguiente requieren del material sobre ideales yfiltros para el caso
especial del ´algebra BooleanaP(X) expuestos en la Secci´on 8.5.

293. 282 10. Teor´ıa de Cardinales
Demostraci´on:
Supongamos que 2
ℵ0
=ℵ1y que existe una medidaσ-aditiva sobre el con-
juntoω
1.Enel´algebra de conjuntosP(ω 1), consideremos el ideal de todos los
subconjuntos deω
1con medida 0:
I={X⊆ω
1:µ(X)=0}.
Este ideal tiene las siguientes propiedades:
10.47(a)Para cualquierα∈ω
1,{α}∈I.
10.47(b)SiX
n∈Ipara todon∈N, entonces
S
∞
n=0
Xn∈I.
10.47(c)No existeJ, una familia no numerable de subconjuntos mutuamente
ajenos deω
1,talqueX/∈Ipara cualquierX∈J.
Las dos primeras se obtienen de la definici´on de medidaσ-aditiva. Para
10.47(c) sup´ongase queJes una de tales familias de conjuntos mutuamente
ajenos. Para cadan∈N\{0},sea
J
n=
©
X∈J:µ(X)≥
1
n
ª
.
Ya queµ(ω
1)=1,cadaJ ndebe serfinita; adem´as, comoJ=
S
∞
n=1
Jn,se
sigue queJesalom´as numerable.
Ahora construiremos una “matriz” (A
αn)α∈ω 1,n∈ωde subconjuntos deω 1co-
mo sigue: Para cadaξ<ω
1, existe una funci´onf ξ:ω→ω 1tal queξ⊆ranf ξ.
Seleccionemos una de talesf
ξpara cadaξ,ysea
A
αn={ξ<ω 1:fξ(n)=α} (α<ω 1,n<ω).
La matriz (A
αn)α∈ω 1,n∈ωtiene las siguientes propiedades:
10.47(d)Para cadan,siα6 =β,entoncesA
αn∩Aβn=∅.
10.47(e)Para cualquierα,ω
1\
S
∞
n=0
Aαnesalom´as numerable.
En efecto,ξ∈A
αn∩Aβnsignifica quef ξ(n)=αyf ξ(n)=β,luegoα=β.
Por otra parte, el conjunto en 10.47(e) es a lo m´as numerable puesto que est´a
incluido en el conjunto a lo m´as numerableα:Siξ/∈A
αnpara cualquiern,
entoncesα/∈ran f
ξyas´ıξ<α.
Seaα<ω
1fijo.Elconjuntoω 1es uni´on de los conjuntosA αnydeun
conjunto a lo m´as numerable. SiA
αn∈Ipara cadan,entoncesω 1∈Ipor

294. 10.6. Medidas y Cardinales 283
10.47(e), 10.47(a) y 10.47(b). Peroµ(ω 1)=1,porlocual ω 1no pertenece
aI.As´ı, para cadaα<ω
1existe alg´unn α∈Ntal queA αnα/∈I.Puesto
queω
1es no numerable yωs´ılo es, debe existir alg´unmtal que el conjunto
{α:n
α=m}es no numerable. Sea
J={A
αm:nα=m}.
Esta es una familia no numerable de subconjuntos deω
1. Por 10.47(d), los
elementos deJson mutuamente ajenos, yA
αm/∈Ipara cadaA αm∈J.Esto
contradice 10.47(c).
La contradicci´on encontrada nos muestra que la suposici´on de que 2
ℵ0
=ℵ1
debe ser falsa, lo cual demuestra el teorema.
La demostraci´on del teorema anterior puede modificarse para obtener un
resultado m´as trascendente, a saber, la existencia de una medidaσ-aditiva en
un conjuntoX,implicaqueXdebe tener un cardinal gigantesco. Para llegar a
establecer dicho resultado, necesitaremos de algunos resultados preliminares.
Primero supongamos que para alg´un conjuntoXhay una medidaσ-aditiva
µ:P(X)→[0,1]. La demostraci´on del Teorema 10.47 nos proporcion´oun
idealIsobreXque satisface 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c).
Suposici´on 10.48Seaκel m´ınimo cardinal tal que para alg´un conjuntoX
con|X|=κexiste un ideal sobreXcon las propiedades 10.47(a), 10.47(b) y
10.47(c).
Suposici´on 10.49SeaIun ideal sobreX=κcon las propiedades 10.47(a),
10.47(b) y 10.47(c).
Lema 10.50Para cualquierλ<κ,si{A
η}
η<λ
es tal queA η∈Ipara todo
η<λ,entonces
S
η<λ
Aη∈I.
Demostraci´on:
Si el lema es falso, existenλ<κy{A
η}
η<λ
tales queA η∈I,pero
S
η<λ
Aη/∈
I. Suponiendo queλes el m´ınimo ordinal con tal propiedad, tambi´en pode-
mos suponer que los conjuntosA
ηson ajenos por pares, puesto que podemos
reemplazar cadaA
ηporA
0
η
=Aη\
S
{A ν:ν<η}.Observeque
[
η<λ
A
0
η
=
[
η<λ
Aη.
Sea
J=



B⊆λ:
[
η∈B
Aη∈I



.

295. 284 10. Teor´ıa de Cardinales
En el Ejercicio 10.6.1 se pide demostrar queJes un ideal sobreλ. Para cada
η∈λ,{η}∈Jya queA
η∈I;as´ı,Jsatisface 10.47(a). Ahora, siX n∈J
para todon∈ω, entonces
[
η∈X n
Aη∈I
para todon∈ω,ycomoIsatisface 10.47(b) se tiene que
∞
[
n=0
[
η∈X n
Aη∈I.
Pero esto significa que
S
∞
n=0
Xn∈Jpuesto que
∞
[
n=0
[
η∈X n
Aη=
[
(
A η:η∈
∞
[
n=0
Xn
)
.
As´ı,Jsatisface 10.47(b). Finalmente, seaKuna familia no numerable de
subconjuntos mutuamente ajenos deλtal queX/∈Jpara cualquierX∈K.
SiX∈K,entonces
B
X=
[
{A η:η∈X}/∈I.
Dado que{A
η}
η<λ
yKson familias ajenas por pares,K
0
={B X:X∈K}es
una familia no numerable de subconjuntos mutuamente ajenos deκtal que
Y/∈Ipara cualquierY∈K
0
. Esto contradice queIsatisface 10.47(c). Por lo
tanto,Kes a lo mas numerable. As´ı,Jsatisface 10.47(c). Por todo lo anterior,
Jes un ideal sobreλ<κcon las propiedades 10.47(a), 10.47(b) y 10.47(c),
contradiciendo la Suposici´on 10.48.
Corolario 10.51SiY⊆κ,y|Y|<κ,entoncesY∈I.
Corolario 10.52κes un cardinal regular no numerable.
Demostraci´on:
κes no numerable dado que cualquier subconjunto a lo m´as numerable perte-
nece aI.κes regular, puesto que de otro modoκser´ıalauni´on de menos que
κsubconjuntos de cardinalidad menor queκ, y por lo tanto, pertenecer´ıaal
ideal, una contradicci´on.
Teorema 10.53κes d´ebilmente inaccesible.

296. 10.6. Medidas y Cardinales 285
Demostraci´on:
En vista del Corolario 10.52 es suficiente demostrar queκes un cardinal l´ımite.
Supongamos queκ=ℵ
ν+1.
Para cadaξ<κpodemos elegir una funci´onf
ξ:ων→ω ν+1tal queξ⊆
ranf
ξ.Paraα<ω ν+1yη<ω νsea
A
αη={ξ<κ:f ξ(η)=α}.
Como en la demostraci´on del Teorema 10.47, se puede mostrar que la matriz
(A
αη)α,ηtiene las siguientes propiedades:
10.53(a)Para cualquierη,siα6 =β, entoncesA
αη∩Aβη=∅.
10.53(b)Para cualquierα,
¯
¯
¯κ\
S
η<ω ν
Aαν
¯
¯
¯≤ℵ
ν.
Siguiendo la demostraci´on del Teorema 10.47, pero usando el Lema 10.50 en
lugar de 10.47(b), se muestra que para cadaα<ω
ν+1existe alg´unη<ω νtal
queA
αη/∈I. Y el mismo argumento que antes demuestra la existencia de una
familiaJ, de cardinalidadℵ
ν+1(por lo tanto, no numerable), de conjuntos
ajenos por pares que no pertenecen aI. Esto contradice la propiedad 10.47(c),
y por lo tanto,κno puede ser un cardinal sucesor.
Finalmente tenemos el resultado que resume nuestro estudio.
Corolario 10.54Si hay una medidaσ-aditiva sobre un conjuntoX,entonces
existe alg´un cardinal d´ebilmente inaccesibleκ≤|X|.
Corolario 10.55Si existe una medidaσ-aditiva sobre2
ℵ0
,entonces2
ℵ0
≥κ
para alg´un cardinal d´ebilmente inaccesibleκ.
Ejercicios 10.6
1. Pruebe que la familia
J=



B⊆λ:
[
η∈B
Aη∈I



,
que apareci´o en la demostraci´on del Lema 10.50 es un ideal sobreλ.

297. 286 10. Teor´ıa de Cardinales
10.7 Cardinales Medibles
En la secci´on anterior demostramos que la existencia de medidasσ-aditivas
implicalaexistenciadecardinalesd´ebilmente inaccesibles. Este resultado es
solamente un ejemplo de la vasta cantidad de resultados que constituyen la
teor´ıa de los llamados cardinales grandes. En esta secci´on estudiaremos el pro-
totipo m´as conocido de cardinales grandes, los cardinales medibles; cuyo origen
proviene de los trabajos de Banach, Kuratowski, Tarski y Ulam alrededor de
1930.
Definici´on 10.56SeaXun conjunto y seaµuna medidaσ-aditiva sobre
X.Decimos queµes unamedida2-valuadasiµ(A)es0o1paracualquier
A⊆Xy satisface en (a) a (d) de la Definici´on 10.46.
Lema 10.57Siµes una medida2-valuada sobreX,entonces
U={A⊆X:µ(A)=1}
es un ultrafiltro no principal sobreX,ysi{A
n}
∞
n=0
es tal queA n∈Upara
cadan∈N,entonces
T
∞
n=0
An∈U.
Demostraci´on:
La verificaci´on de queUes un ultrafiltro es f´acil, y la dejamos para el lector.
Uno es principal, dado queµno es trivial.Usatisface la segunda parte del
lema porqueµesσ-aditiva.
La propiedad de la segunda parte del Lema 10.57 se llamaσ-completitud.
El rec´ıproco de la primera parte del Lema 10.57 tambi´en es cierto: siUes
un ultrafiltroσ-completo no principal, entonces la funci´onµ:P(X)→{0,1}
definida por
µ(A)=
½
1siA∈U,
0siA/∈U.
es una medida 2-valuada sobreX.
As´ı, el problema de la existencia de una medida 2-valuada es equivalente
al problema de la existencia de ultrafiltrosσ-completos no principales. In-
vestigaremos ahora este problema. Primero generalizaremos la definici´on de
σ-completitud.
Definici´on 10.58Seaκun cardinal no numerable.
(a)UnfiltroFsobreXesκ-completosi para cualquier cardinalλ<κ,si
A
α∈Fpara todaα<λ,entonces
T
α<λ
Aα∈F.

298. 10.7. Cardinales Medibles 287
(b) Un idealIsobreXesκ-completosi para cualquier cardinalλ<κ,si
A
α∈Ipara todaα<λ,entonces
S
α<λ
Aα∈I.
Laℵ
1-completitud es de hecho laσ-completitud. Ahora formularemos un
lema que est´a estrechamente relacionado con el Lema 10.50
Lema 10.59Si existe un ultrafiltroσ-completo no principal entonces existe
un cardinal no numerableκyunultrafiltroκ-completo no principal.
Demostraci´on:
Seaκel m´ınimo cardinalκtal que existe un ultrafiltroσ-completo no principal
sobreκ,yseaUuno de tales ultrafiltros. Demostraremos queUesκ-completo
(note que al serUσ-completo, se deduce queκes no numerable).
SeaIel ideal dual aU;osea,I=P(X)\U.Ies un ideal primoσ-completo
sobreκ; probaremos queIesκ-completo. Si no lo fuera, entonces existen
λ<κy{A
η}
η<λ
tales queA η∈Ipara cadaη<λpero
S
η<λ
Aη/∈I.Como
en el Lema 10.50, podemos suponer que losA
ηson mutuamente ajenos. Sea
J=



B⊆λ:
[
η∈B
Aη∈I



.
Jes un idealσ-completo no principal; no es principal dado queX
η∈J
para cadaη∈λ.As´ı, el dualP(X)\JdeJes un ultrafiltroσ-completo no
principal sobreλ.
Peroλ<κ; esto contradice la suposici´on de queκes el m´ınimo cardinal so-
bre el cual existe un ultrafiltroσ-completo no principal. As´ı,Uesκ-completo.
Definici´on 10.60Uncardinal mediblees un cardinal no numerableκsobre
el cual existe un ultrafiltroκ-completo no principal.
La discusi´on planteada antes de la Definici´on 10.58 muestra que los cardi-
nales medibles est´an relacionados con el problema de la medida investigado
en la secci´on anterior. La existencia de un cardinal medible es equivalente a
la existencia de una medida 2-valuada. Ulam y Tarski descubrieron que los
cardinales medibles deben ser fuertemente inaccesibles.
Teorema 10.61Cualquier cardinal medible es fuertemente inaccesible.

299. 288 10. Teor´ıa de Cardinales
Demostraci´on:
Seaκun cardinal medible, y seaUun ultrafiltroκ-completo no principal sobre
κ.
SeaIel ideal dual deU;Ies un ideal primo. Cualquier conjunto singular
pertenece aI,yporlaκ-completitud, cualquierA⊂κde cardinalidad menor
queκpertenece aI.Siκfuera singular, el conjuntoκtambi´en pertenecer´ıaa
I,porκ-completitud; contradiciendo queIes un ideal propio (compare con
el Corolario 10.52). Por lo tanto,κes regular.
Ahora supongamos queκno es l´ımite fuerte. Entonces existeλ<κtal que
2
λ
≥κ.As´ı, hay un conjuntoX⊆{0,1}
λ
de cardinalidadκsobre el cual hay
tambi´en un ultrafiltroκ-completo no principal, digamosV. Para cadaα<λ,
exactamente uno de los conjuntos
{f∈X:f(α)=0} y {f∈X:f(α)=1} (10.7.1)
pertenece aV; llamemosA
αa ese conjunto. As´ı, para cadaα<λtenemos
queA
α∈V,yporκ-completitud,X=
T
α<λ
Aαtambi´en es miembro deV.
Pero hay a lo m´as una funci´onf∈Xque pertenece a todoA
α:elvalordef
enαest´a determinado por la elecci´on de uno de los conjuntos en (10.7.1). Por
lo tanto,|X|≤1; lo cual es una contradicci´on. Por lo queκes l´ımite fuerte y
por lo tanto,κes fuertemente inaccesible.
10.8 Otros Cardinales Grandes
Definici´on 10.62Seaκun cardinal infinito. Un´ arbol de alturaκes un con-
juntoTde sucesiones transfinitas con las siguientes propiedades:
(a)dom s <κpara cualquiers∈T,
(b) sis⊆tyt∈T,entoncess∈T,
(c) para cualquierη<κexistes∈Tcondom s=η.
A los elementos de un ´arbolselessuelellamarnodos.Unsucesor de un
nodos∈Tes unat∈Ttal quet⊇sydom t=(dom s)+1.Unarama en
Tes una sucesi´on transfinitabcon la propiedad de que todos los segmentos
iniciales propios debest´an enTperob/∈T.
Teorema 10.63Seaκun cardinal medible. SiTes un ´arbol de alturaκtal
que cada nodo tiene menos queκsucesores, entoncesTtiene una rama de
longitudκ.

300. 10.8. Otros Cardinales Grandes 289
Demostraci´on:
Para cadaα<κ,seaT
αel conjunto de todas lass∈Tde longitudα.Como
κes un cardinal fuertemente inaccesible, se sigue, por inducci´on sobreα,que
|T
α|<κpara todoα<κ. Por lo tanto,|T|≤κ.PorlaDefinici´on 10.62(c),
|T|=κ.SeaUun ultrafiltroκ-completo no principal sobreT.
Encontraremos una rama de longitudκcomo sigue. Por inducci´on sobreα
mostraremos que para cadaαexiste un ´unicos
α∈Ttal que
{t∈T:s
α⊆t}∈U (10.8.1)
yques
α⊂sβcuandoα<β. Primero,s 0=∅.Dadas α, y suponiendo (10.8.1),
notamos que el conjunto{t∈T:s
α⊆t}es la uni´on de{s α}y los conjuntos
{t∈T:u⊆t}dondeucorre sobre todos los sucesores des
α.ComoUes un
ultrafiltroκ-completo ys
αtiene menos queκsucesores, existe un ´unico sucesor
u=s
α+1tal que
{t∈T:s
α+1⊆t}∈U.
Cuandoηes un ordinal l´ımite menor queκysi{s
α}
α<η
⊆Tcumple que
s
α⊂sβsiα<β,ytodosloss αsatisfacen (10.8.1), entonces definimoss η=
S
α<η
sα. Tenemos que
{t∈T:s
η⊆t}=
\
α<η
{t∈T:s α⊆t} (10.8.2)
y puesto queUesκ-completo, el conjunto de (10.8.2) pertenece aU.Esclaro
queb=
S
{s
α:α<κ}es una rama enT,de longitudκ.
Tarski introdujo el siguiente tipo de cardinales.
Definici´on 10.64Un cardinal fuertemente inaccesibleκse llamad´ebilmente
compactosi para cualquier ´arbol de alturaκcon menos deκsucesores en cada
nodo, existe una rama deTde longitudκ.
Los cardinales d´ebilmente compactos son un grupo de cardinales grandes
m´as d´ebiles que los cardinales medibles, pero a´un bastante poderosos. La raz´on
del nombre “d´ebilmente compacto” es que estos cardinales satisfacen un cierto
teorema de compacidad en l´ogica.
Unapreguntanaturaldespu´es de definir a los cardinales d´ebilmente com-
pactos es: ¿Cu´ales son los cardinales compactos? Los cardinales compactos
pueden ser definidos de varias maneras diferentes, para nosotros, la m´as sen-
cillaeslaquesedaent´erminos de una generalizaci´on del Teorema del Ultra-
filtro.

301. 290 10. Teor´ıa de Cardinales
Definici´on 10.65Un cardinal regular no numerableκescompacto(ofuerte-
mente compacto) si para cualquier conjuntoX,todofiltro (propio)κ-completo
sobreXpuede extenderse a un ultrafiltroκ-completo sobreX.
Obviamente, cualquier cardinal compacto es un cardinal medible, porque
cualquier ultrafiltro sobreκque extiende alfiltro
{A⊆κ:|κ\A|<κ},
es no principal.
Definici´on 10.66Seaκun cardinal regular no numerable. Decimos que un
conjuntoC⊆κescerrado y no acotadoenκsi:
(a) Para cualquier sucesi´on de longitudγ<κ,
α
0<α1<···<α ξ<···(ξ<γ),
de elementos deC,se tiene que lim
ξ→γαξ∈C.(Ces cerrado.)
(b) Para cualquierα<κ,existe unβ>αtal queβ∈C.(Ces no
acotado.)
Ejemplo 10.67El conjunto de todos los ordinales l´ımitesα<κes cerrado
y no acotado enκ.
La demostraci´on del siguiente lema es sencilla y preferimos dejarla para el
lector.
Lema 10.68SiCyDson conjuntos cerrados y no acotados, entoncesC∩D
es cerrado no acotado.
La familia de todos los subconjuntos cerrados y no acotados deκtiene la
propiedad de la intersecci´onfinita. Elfiltro generado por los conjuntos cerrados
y no acotados consiste de todos losX⊆κque contienen un subconjunto
cerrado y no acotado. Llamaremos a estefiltro elfiltro cerrado y no acotado
sobreκ.
Definici´on 10.69Seaf:κ→κuna funci´on; decimos que
(a)fescontinuasi
f(α)=lim
ξ→α
f(ξ)
para cualquier ordinal l´ımiteα<κdistinto de 0.
(b)fesnormalsi es creciente y continua.

302. 10.8. Otros Cardinales Grandes 291
El rango de una funci´on normal es un conjunto cerrado y no acotado: las
funcionesf
α(β)=α+β,g α(β)=α·βyh α(β)=α
β
son normales (esto se
siguedeladefinici´on y su monoton´ıa). Por lo tanto, existen muchos conjuntos
cerrados y no acotados. El siguiente resultado nos dice que elfiltro cerrado y
no acotado sobreκesκ-completo.
Proposici´on 10.70La intersecci´on de menos queκsubconjuntos cerrados y
no acotados es un conjunto cerrado y no acotado.
Demostraci´on:
Probaremos, por inducci´on sobreγ<κ, que la intersecci´on de una familia
{C
α}
α<γ
de subconjuntos cerrados no acotados deκes cerrada y no acotada.
El paso de inducci´on para ordinales sucesores lo establece el Lema 10.68. Siγ
es un ordinal l´ımite, suponemos que el lema es v´alido para cualquierα<γ.
Entonces podemos reemplazar cadaC
αpor
T
ξ<α
Cξy obtener una sucesi´on
decreciente con la misma intersecci´on. As´ı, supongamos que
C
0⊇C1⊇···⊇···C α⊇···(α<ξ)
son cerrados no acotados, y seaC=
T
α<γ
Cα.
Es f´acil ver queCes cerrado. Para mostrar queCes no acotado, seaα<κ.
Construiremos una sucesi´on
β
0<β1<···<β ξ<···(ξ<γ)
como sigue: Seaβ
0∈C0tal queβ 0>α, y para cadaξ<γ,seaβ ξ∈Cξtal
que
β
ξ>sup{β ν:ν<ξ}.
Comoκes regular yγ<κ, tal sucesi´on existe y su l´ımiteβes menor queκ.
Para cadaη<γ,βes el l´ımite de una sucesi´on (β
ξ)η<ξ<γ enC η,yas´ıβ∈C η.
Por lo tanto,β∈C.
Definici´on 10.71Seaκun cardinal regular no numerable. Decimos que un
conjuntoS⊆κesestacionario enκsiS∩C6 =∅para cualquier subconjunto
cerrado y no acotado deκ.Un conjunto que no es estacionario se llamar´a
delgado.
Note que la familia de todos los conjuntos delgados es el ideal dual delfiltro
cerrado y no acotado.
Seaκun cardinal fuertemente inaccesible. El conjunto de todos los cardi-
nales menores queκes un subconjunto cerrado y no acotado deκ,yas´ıes

303. 292 10. Teor´ıa de Cardinales
tambi´en el conjuntos de todos los cardinales l´ımite fuerte. En efecto, el con-
junto de todos los cardinales l´ımite fuerte menores queκes cerrado; para
mostrar que es no acotado, siλ<κ, un cardinal l´ımite fuerte mayor queλ
puede obtenerse mediante el l´ımite deλ,2
λ
,2
2
λ
,....
Siκes el m´ınimo cardinal inaccesible (suponiendo su existencia), entonces
todos los cardinales l´ımites fuerte menores queκson singulares, y as´ı,elcon-
junto de todos los cardinales l´ımite fuerte y singulares menores queκes cer-
rado y no acotado. Siκes elα-´esimo cardinal fuertemente inaccesible, donde
α<κ, entonces el conjunto de todos los cardinales regulares menores queκ
sigue siendo delgado. En otras palabras, los cardinales regulares menores que
κforman un conjunto delgado enκ.
Definici´on 10.72Un cardinal fuertemente inaccesibleκse llamacardinal
de Mahlosi el conjunto de todos los cardinales regulares menores queκes
estacionario enκ.
De la discusi´on anterior a la definici´on, se deduce que para un cardinal de
Mahloκ, el conjunto de todos los cardinales fuertemente inaccesibles menores
queκes estacionario, yκes elκ-´esimo cardinal inaccesible.
Definici´on 10.73Uncardinal d´ebilmentedeMahlo, es un cardinalκque
es inaccesible y el conjunto de todos los cardinales regulares menores queκ
es estacionario.
Puede demostrarse que cualquier cardinal d´ebilmente compacto es un cardi-
nal de Mahlo, desgraciadamente la demostraci´on est´a lejos de nuestro alcance.
P. Mahlo se considera el autor de los cardinales d´ebilmentedeMahlo.
´
El no
trabaj´o con cardinales fuertemente inaccesibles.
Seanα,κ,λcardinales yn<ω. La notaci´on deflecha
α→(κ)
n
λ
denota la siguiente relaci´on de partici´on: si{P η}
η<λ
es una partici´on de
[α]
n
={X⊆α:|X|=n},
entonces existenA⊆αyη<λtales que
|A|=κ,y[A]
n
⊆Pη.
Equivalentemente,α→(κ)
n
λ
si para toda funci´onf:[α]
n
→λ,existeA∈[α]
κ
tal quefrestingida a [A]
n
es constante. El conjuntoAse llamahomog´eneo
para la familia{P
η}
η<λ
.

304. 10.8. Otros Cardinales Grandes 293
El siguiente hecho es obvio: siα
0
≥α,κ≤κ
0
,λ
0
≤λ,yα→(κ)
n
λ
entonces
α
0
→(κ
0
)
n
λ
0.
Definici´on 10.74Un cardinal infinitoκes uncardinal de Ramseysi
κ→(κ)
2
2
.
Definici´on 10.75Un cardinal infinitoκes uncardinal de Hausdorffsi para
cualquier orden lineal¹sobreκexiste un subconjunto deκde cardinalidad
κel cual es, o bien ordenado por¹o bien ordenado por el orden dual¹
−1
.
Teorema 10.76Cualquier cardinal de Ramsey es un cardinal de Hausdorff.
Demostraci´on:
Seaκun cardinal de Ramsey y sea¹un orden lineal sobreκ.Pongamos
P
0como el conjunto de todos los pares no ordenados{ξ,ζ}tales que o bien
ξ<ζ<κyξ¹ζoζ<ξ<κyζ¹ξ,yP
1como el conjunto de todos los
{ξ,ζ}tales que o bienξ<ζ<κyζ¹ξoζ<ξ<κyξ<ζ.As´ı,P
0es
el conjunto de pares no ordenados de distintos elementos deκen los cuales el
buen orden deκcoincide con el orden lineal¹yP
1es el conjunto de pares
ordenados en los cuales los dos ordenes difieren. Tenemos que
[κ]
2
=P0∪P1,
ycomoκes un cardinal de Ramsey, existeA⊆κtal que o bien [A]
2
⊆P0o
[A]
2
⊆P1.Si[A]
2
⊆P0entoncesAest´abienordenadopor¹,ysi[A]
2
⊆P1
entoncesAest´a bien ordenado por¹
−1
.
Para demostrar el siguiente teorema, que nos revelar´aeltama˜no de los
cardinales de Hausdorff, necesitaremos de lo siguiente.
Seaαun ordinal. Sia, b∈{0,1}
α
ya6 =bconsideremos
ξ(a, b)=min{ξ<α:a
ξ6 =bξ},
y hacemosa≤bsia=boa6 =bya
ξ(a,b)<b
ξ(a,b).Comoαes un conjunto bien
ordenado,≤est´abiendefinido y es un orden lineal sobre{0,1}
α
.Unelemento
de{0,1}
α
es una sucesi´on di´adica de longitudαy≤es el orden lexicogr´afico
sobre{0,1}
α
.
Lema 10.77SiAes un conjunto bien ordenado bajo el orden lexicogr´afico o
bajo su dual en{0,1}
ωα
,entonces|A|≤ℵ α.

305. 294 10. Teor´ıa de Cardinales
Demostraci´on:
Demostraremos la proposici´on cuandoAes considerado con el orden lexi-
cogr´afico; las modificaciones de la demostraci´on para el caso en queAes bien
ordenado por el orden dual se dejan para el lector.
Supongamos sin p´erdida de generalidad (omitiendo si es necesario una can-
tidadfinita de elementos), queAno tiene elemento m´aximo y queℵ
α<|A|.
Afirmamos que existe un ordinalξ<ω
αpara el cual existen funcionesf,g:
ω
α+1→Atales que
(i)fygson crecientes e inyectivas,
(ii)f(η)<g(η)<f(η+1) y
(iii)ξ(f(η),g(η)) =ξparaη<ω
α+1.
Seas:A→Atal ques(a) es el sucesor inmediato deaenA,ysea
A
ξ={a∈A:ξ(a, s(a)) =ξ}
para cadaξ<ω
α.ComoA=
S
ξ<ωα
Aξ,existeξ<ω αtal que|A ξ|>ω α.
ComoA
ξtambi´en es bien ordenado, existen un ´unico ordinalβyun´unico
isomorfismo de ordenh:β→A
ξ.Notequeω α+1≤β. Hagamos
f=h|
ωα+1 y g=s◦f.
Es claro quef, gyξsatisfacen las condiciones(i)y(iii);yque
f(η)<s(f(η)) =g(η)≤f(η+1)
paraη<ω
α+1;adem´as, comof(η) ξ=0<1=g(η) ξparaη<ω α+1, tenemos
quef(η+1)6 =g(η). La prueba de la afirmaci´on est´a completa.
Ahora seaξel m´ınimo ordinal menor queω
αpara el cual existen las fun-
cionesf,gque satisfacen las condiciones(i),(ii)y(iii).
Sea
B
ζ={g(η):η<ω α+1yξ(g(η),f(η+1))=ζ}
para cadaζ<ξ.Comog(η)
ξ=1,f(η+1) ξ=0yg(η)<f(η+1),sesigue
queξ(g(η),f(η+1))<ξparaη<ω
α+1; por lo tanto,
g
³
{η}
η<ω α+1
´
=
[
ζ<ξ
Bζ.
As´ı,existeζ<ξtal que|B
ζ|=ℵ α+1. Nuevamente, al serB ζun conjunto bien
ordenado, existe un ordinalβ
0
≥ωα+1yunisomorfismo de ordenh
0
:β
0
→B ζ.
Sea
f
0
=h
0
|ωα+1

306. 10.8. Otros Cardinales Grandes 295
ydefinamosg
0
:ωα+1→Amediante
g
0
(η)=f(g
−1
(f
0
(η)) + 1).
Comof
0
³
{η}
η<ω α+1
´
⊆g
³
{η}
η<ω α+1
´
, la funci´ong
0
est´abiendefinida. Es
claro quef
0
yg
0
son funciones crecientes e inyectivas deω α+1enA,f
0
(η)<
g
0
(η)paraη<ω α+1,yξ(f
0
(η),g
0
(η)) =ζparaη<ω α+1; por lo tanto,
g
0
(η)=f(g
−1
(f
0
(η)) + 1)<g(g
−1
(f
0
(η)) + 1)≤f
0
(η+1).
Pero comof
0
(η+1) es el sucesor inmediato def
0
(η)enran f
0
,g(g
−1
(f
0
(η))+1)
es el sucesor inmediato def
0
(η)enran gyran f
0
⊆ran g.
Se sigue queζ,f
0
yg
0
satisfacen las condiciones(i), (ii)y(iii)conζ<ξ;
contradiciendo la elecci´on deξ.
Teorema 10.78Cualquier cardinal de Hausdorffes fuertemente inaccesible.
Demostraci´on:
Seaκun cardinal de Hausdorff.Veamosprimeroqueκes regular. Sup´ongase
quecf(κ)<κysea{A
ξ:ξ<κ}una familia de subconjuntos deκtales que:
|A
ξ|<κpara cadaξ<cf(κ),
A
ξ∩Aζ=∅paraξ<ζ<cf(κ), y
κ=
S
ξ<cf(κ)
Aξ.
Definamos una relaci´on¹enκpor la siguiente regla:η≺η
0
si y s´olo si o
bien existenξ<ξ
0
<cf(κ)talesqueη∈A ξyη
0
∈Aξ
0oexisteξ<cf(κ)
tal queη,η
0
∈Aξyη
0
<η.Entonces¹es un orden lineal sobreκ.SiAes
un subconjunto deκbien ordenado por¹entonces, puesto que¹
−1
es un
buen orden sobreA
ξpara cadaξ<cf(κ), tenemos que|A∩A ξ|<ℵ 0para
ξ<cf(ξ); y por lo tanto,
|A|=
X
ξ<cf(κ)
|A∩A ξ|≤ℵ0·cf(κ)<κ.
SiAes¹
−1
-bien ordenado, entonces existeζ<cf(κ)talqueelelemento
m´aximo deA(en el orden¹)esunelementodeA
ζ. EntoncesA⊆
S
ξ<ζ
Aξ;
por lo tanto,
|A|≤
X
ξ<ζ
|Aξ|<κ.
As´ı,κno es un cardinal de Hausdorff; lo cual es una contradicci´on.

307. 296 10. Teor´ıa de Cardinales
Ahora veamos queκes l´ımite fuerte. Seaλun cardinal tal queκ≤2
λ
.
Entonces hay un subconjuntoAde{0,1}
λ
tal que|A|=κ.ComoAest´a
linealmente ordenado (en el orden inducido por{0,1}
λ
)yκes un cardinal
de Hausdorff, existe un subconjuntoBdeAtal que|B|=κ,yBes bien
ordenado o es bien ordenado bajo el dual del orden lexicogr´afico. De acuerdo
al lema anterior,Bdebe tener cardinalidad a lo m´asλ.As´ı,κ=|B|≤λ.Para terminar con esta secci´on presentamos un teorema que asegura la
equivalencia de tres de los tipos de cardinales antes presentados, a pesar de
estar definidos de manera completamente diferente. Desafortunadamente la
demostraci´on de dicho teorema requiere de un estudio m´as profundo de las
propiedades de estos cardinales.
Teorema 10.79Para cualquier cardinal infinitoκlassiguientesproposicio-
nes son equivalentes:
(a)κes un cardinal d´ebilmente compacto,
(b)κes un cardinal de Ramsey,
(c)κes un cardinal de Hausdorff.
Ejercicios 10.8
1. Demuestre el Lema 10.68.
2. (a) Muestre que el conjunto de puntosfijos (es decir,f(α)=α) de una
funci´on normal es cerrado y no acotado.
(b) Sif:κ→κ, entonces el conjunto de todos losα<κtales que
f({ξ:ξ<α})⊆α
es cerrado y no acotado.
3. Demuestre que siC
α⊆κes cerrado y no acotado para cadaα∈κ,
entonces
n
β∈κ:β∈
T
α∈β
Cα
o
es cerrado y no acotado enκ.
4. Demuestre que siS⊆κ\{0}es estacionario enκyf:S→κes
una funci´on tal quef(α)<αpara todoα∈S, entonces existe un
subconjunto estacionarioS
0
⊆Sde modo quefrestringida aS
0
es
constante.

308. 11
Dos T´opicos Especiales
11.1 El Problema de Souslin
Definici´on 11.1Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado.
(a)Sediceque(A,≤)esdenso si para cualesquieraa, b∈Acona<b
existec∈Atal quea<c<b.
(b)Sediceque(A,≤)esno acotadosi no tiene elementos m´aximo y
m´ınimo.
Vamos a dar otro teorema de Cantor, el cual muestra que cualquier conjunto
numerable linealmente ordenado que es denso y no acotado es isomorfo al
conjunto de los n´umeros racionalesQcon su orden usual.
Teorema 11.2Cualesquiera dos conjuntos linealmente ordenados, numera-
bles, densos y no acotados son isomorfos.
Demostraci´on:
SeanA={a
n:n∈N}yB={b n:n∈N}conjuntos que satisfacen las
suposiciones del teorema. Para simplificar la notaci´on, usaremos el mismo
s´ımbolo para denotar las relaciones de orden en ambos conjuntos.
Definiremos primero dos biyeccionesφ,ψ:N→Nde tal manera que la
funci´onf:A→Bdada porf(a
φ(n))=b
ψ(n)constituya un isomorfismo de
orden. Para este prop´osito, seaφ(0) =ψ(0) = 0. Ahora sean
F
n=
©
k∈N:a k6 =a
φ(j),0≤j≤n
ª
G
n=
©
k∈N:(b
ψ(j)<bk)⇔(a
φ(j)<a
φ(n+1)),0≤j≤n
ª
H
n=
©
k∈N:b k6 =b
ψ(j),0≤j≤n
ª
J
n=
©
k∈N:(a
φ(j)<ak)⇔(b
ψ(j)<b
ψ(n+1)),0≤j≤n
ª
ydefinamos
φ(n+1)=



minF
nsines par yF n6 =∅
minJ
n sines impar yJ n6 =∅
0 en otro caso,

309. 298 11. Dos T´opicos Especiales
ψ(n+1)=



minG
n sines par yG n6 =∅
minH
nsines impar yH n6 =∅
0enotrocaso,
Demostraremos por inducci´on que sin∈Nyj<n,entonces
(a)φ(n)6 =φ(j)
(b)ψ(n)6 =ψ(j)
(c)a
φ(n)≤a
φ(j)si y s´olo sib
ψ(n)≤b
ψ(j) ya
φ(n)≥a
φ(j)si y s´olo si
b
ψ(n)≥b
ψ(j).
Es claro que (a), (b) y (c) se cumplen paran= 0. Sup´ongase quen
0>0
y que (a), (b) y (c) se valen paran<n
0.Sean 0=n
0
+ 1. La demostraci´on
ahora se parte en dos casos acorde a cuandon
0
es par o impar. Consideraremos
´unicamente el primero de los casos.
ComoAes infinito, existen n´umerosktales quea
k6 =a
φ(j)paraj≤n
0
.
Por definici´on,φ(n
0
+ 1) es uno de estos n´umeros. Esto demuestra (a) para
n
0=n
0
+1.
Para demostrar (b) y (c), sean
P=
©
j≤n
0
:a
φ(j)<a
φ(n0)
ª
yQ=
©
j≤n
0
:a
φ(n0)<a
φ(j)
ª
.
As´ı,p∈Pyq∈Qimplicaa
φ(p)<a
φ(q). Por lo tanto, (c) se cumple por la
suposici´on paran<n
0
; obteniendo con esto que
p∈P, q∈Qimplicab
ψ(p)<b
ψ(q). (11.1.1)
Puesto queBes denso, (11.1.1) muestra que existen n´umerosktales que
b
ψ(p)<bkpara cualquierp∈Pyb k<b
ψ(q)para cualquierq∈Q. Se sigue de
la definici´on deψqueψ(n
0) es uno de estos n´umerosk.As´ı,b
ψ(n0)6 =b
ψ(j)para
j∈P∪Q.M´as a´un,b
ψ(n0)<b
ψ(j)si y s´olo sij∈Qsi y s´olo sia
φ(n0)<a
φ(j);
y similarmente para>(tomandoj∈P∪Q). De este modo (b) y (c) est´an
demostradas.
fes un isomorfismo entre los conjuntos
©
a
φ(n):n∈N
ª
y
©
b
ψ(n):n∈N
ª
se deduce las propiedades (a), (b) y (c). Nos resta probar que estos conjuntos
son id´enticos conAyB, respectivamente. En otras palabras queφyψson
sobreyectivas. Consideraremos ´unicamenteφ.
Sup´ongase por el contrario queN\φ(N)6 =∅yseak
0el m´ınimo de este
conjunto. Claramentek
0>0. Parah<k 0,sean hel ´unico n´umero tal que
φ(n
h)=hyseanun n´umero natural par mayor que cualquiern h,conh<k 0.
Comoa
k0
6 =a
φ(j)para todoj≤n,yparacualquierk<k 0existej≤ntal
quea
k=a
φ(j),asaber,j=n k, obtenemos quek 0=minF n.Estoimplicaque
k
0=φ(n+ 1), lo cual contradice quek 0/∈φ(N).

310. 11.1. El Problema de Souslin 299
Definici´on 11.3Sea (A,≤) un conjunto linealmente ordenado que sea denso.
(a) Decimos que (A,≤)escompletosi cualquier subconjunto acotado no
vac´ıodeAtiene supremo.
(b)D⊆Aesdenso enAsi y s´olosiparacualesquieraa, b∈A,existe
d∈Dtal quea<d<b.
En la Secci´on 6.4 hicimos notar que a pesar de que los racionales son un con-
junto denso, existen subconjuntos acotados no vac´ıos que carecen de supremo.
Esta motivaci´on nos llevo a extender el conjuntoQa un conjunto linealmente
ordenado en el que no ocurriera este fen´omeno; as´ıconstruimos aR(por
mediodeclasesdeequivalenciadesucesionesdeCauchy).Elconjuntodelos
n´umeros reales tiene las mismas propiedades (de orden) queQyotram´as, la
completitud. Ahora daremos otro m´etodo de llevar a cabo esta compleci´on.
Definici´on 11.4Una cortadura de Dedekind en un conjunto linealmente or-
denado (X,≤)esunpar(A, B) de subconjuntos no vac´ıos deXtales que:
(a)A∪B=X;
(b)a<bpara cualesquieraa∈Ayb∈B;
(c) si infBexiste, entonces infB∈B(note que supA=infB).
Teorema 11.5Sea(X,≤)un conjunto linealmente ordenado, denso y no aco-
tado. Entonces existe un conjunto linealmente ordenado, completo y no acotado
(
e
X,¹)tal que:
(a)X⊆
e
X,≤y¹coinciden enX.
(b)Xes denso en
e
X.
El conjunto
e
Xes ´unico salvo isomorfismo; m´as a´un, si
e
X
1y
e
X2son dos
de tales conjuntos entonces existe un isomorfismohentre
e
X
1y
e
X2tal que
h(a)=apara todoa∈X.
Demostraci´on:
Sea
e
Xel conjunto de todas las cortaduras de Dedekind enXysea(A, B)¹
(A
0
,B
0
)siys´olo siA⊆A
0
(yB⊇B
0
). El conjunto
e
Xes completo. En efecto,
si{(A
i,Bi)}
i∈I
es un subconjunto acotado de
e
X,entonces
Ã
[
i∈I
Ai,
\
i∈I
Bi
!
es su supremo. Para cualquierp∈X,sean
A
p={x∈X:x<p}yB p={x∈X:x≥p}.

311. 300 11. Dos T´opicos Especiales
EntoncesX
0
={(A p,Bp):p∈X}es isomorfo aXy es denso eneX.
Para demostrar la unicidad de
e
X,sean
e
Xy
e
X
0
dos conjuntos linealmente
ordenados, densos, completos y no acotados, seanXyX
0
densos en
e
Xy
e
X
0
, respectivamente, y seaf:X→X
0
un isomorfismo. Entoncesfpuede
extenderse (un´ıvocamente) a un isomorfismof
∗
:
e
X→
e
X
0
, haciendo
f
∗
(y)=sup{f(x):x∈X, x≤y}.
Esto completa la demostraci´on
A los conjuntos linealmente ordenados que poseen subconjuntos densos nu-
merables se les llamaseparables.As´ı, por el teorema anterior,Res el ´unico
(salvo isomorfismo) conjunto linealmente ordenado que es denso, no acotado,
completo y separable. En 1920 Souslin se pregunt´o si la condici´on de ser
separable puede ser sustituida por una condici´on m´as d´ebil.
Definici´on 11.6Sea (X,≤) un conjunto linealmente ordenado. Si cada colec-
ci´ondeintervalosabiertosajenosesalom´as numerable, entonces se dice que
Xsatisface la condici´on de la cadena contable(c.c.c.).
Claramente cualquier conjunto linealmente ordenado que sea separable sa-
tisface la condici´on de la cadena contable. As´ı, el problema de Souslin es el
siguiente:
Problema de SouslinSeaSun conjunto linealmente ordenado tal que:
(a)Ses denso y no acotado.
(b)Ses completo.
(c)Ssatisface la condici´on de la cadena contable.
¿EsSisomorfoalal´ınea real?
Este problema no puede decidirse en la axiom´aticadelaTeor´ıa de Conjun-
tos. Jech en 1967 y Tennenbaum en 1968 descubrieron modelos en los cuales
el Problema de Souslin tiene soluci´on.
El Problema de Souslin puede reformularse como sigue: ¿Existe un conjunto
linealmente ordenadoSque sea denso y satisfaga la condici´on de la cadena
contable, pero que no sea separable?
A tales conjuntos ordenadosSlos llamamosl´ıneas de Souslin.LaHip´otesis
de Souslin es la siguiente afirmaci´on:
HSNo existen l´ıneas de Souslin.

312. 11.2. El Axioma de Martin 301
Salvo la completitud, removiendo los puntosfinales si es necesario, una l´ınea
de Souslin proporciona un contraejemplo para el problema de Souslin. Por lo
tanto, la investigaci´on se centra en la existencia de l´ıneas de Souslin. Solovay y
Tennenbaum en 1971 mostraron que la existencia de una l´ınea de Souslin no se
puede demostrar enZFC;laconstrucci´on de Tennenbaum tambi´en muestra
que la existencia de una l´ınea de Souslin es independiente de la Hip´otesis
del Continuo y en un modelo de Jensen donde existe una l´ınea de Souslin la
Hip´otesis del Continuo es v´alida.
Las l´ıneas de Souslin han sido usadas en Topolog´ıa de Conjuntos. Muchas
de las construcciones de varios tipos de espacios no separables son imposibles
enZFCsi no se acepta la existencia de l´ıneas de Souslin.
11.2 El Axioma de Martin
La no existencia de una l´ınea de Souslin puede demostrarse con el llamado
Axioma de Martin, el cual fue estudiado e introducido por Solovay y Tennen-
baum en 1971, Martin y Solovay en 1970 y Kunen en 1968. Para formularlo,
introduciremos las siguientes definiciones.
Definici´on 11.7Una relaci´on≤en un conjuntoPes unpre-ordensi es re-
flexiva y transitiva. Al par (P,≤)lellamamosconjunto pre-ordenado.
Como es costumbre, abusaremos de la notaci´on y escribiremosPen vez
de (P,≤) cuando la definici´on del pre-orden≤sea clara dentro del contexto.
Tambi´en, es costumbre llamar a los elementos de un conjunto pre-ordenadoP
condiciones;y decir que una condici´onpextiendea una condici´onqsip≤q.
Obviamente cualquier orden (parcial)esunpre-orden.Unejemplotrivial
de un pre-orden enPesP×P, es decir,p≤qpara cualesquierap, q∈P.
Otra relaci´on¹que es un pre-orden es la que se encuentra en el Ejemplo 4.99.
Definici´on 11.8SeaPun conjunto pre-ordenado.
(a) Dos elementosp, q∈Psoncompatiblessi exister∈Ptal quer≤py
r≤q.
(b) Dos elementosp, q∈Psonincompatiblessi no son compatibles.
(c) Un subconjuntoA⊆Pes unaanticadenasi cualesquiera dos elementos
deAson incompatibles.
(d) Un subconjuntoD⊆Pesdensosi para cualquierp∈P,existed∈D
tal qued≤p.
Es bueno observar que el concepto de compatibilidad es diferente del con-
cepto de comparabilidad que se defini´oenlaSecci´on 4.5, pues puede ocurrir

313. 302 11. Dos T´opicos Especiales
que dos condicionespyqsean compatibles pero que no sean comparables,
es decir,p£qyq£p.Tambi´en, note que aqu´ıel uso de la palabra “denso” es
diferente al uso de esta misma palabra en la secci´on anterior; por ejemplo, en el
conjunto de los n´umeros reales con su orden usual, (−∞,1) es un subconjunto
denso seg´un la definici´on anterior pero obviamente no lo es en el sentido de
la Definici´on 11.3. Otro uso diferente al de la secci´on anterior, aunque con la
misma terminolog´ıa, es el siguiente:
Definici´on 11.9Un conjunto pre-ordenado satisface lacondici´on de la ca-
dena contable(c.c.c.)sitodaanticadenaesalom´as numerable.
Note que trivialmente todo conjunto linealmente ordenado satisface lac.c.c.
como conjunto pre-ordenado. Aqu´ıtambi´en el peso de la tradici´on hist´orica
nos obliga a llamar condici´on de la cadena contable a una propiedad que
en realidad se refiere a anticadenas. El contexto nos permitir´a distinguir con
claridad a cu´alc.c.c.nos referimos.
Ejemplo 11.10SeanXun conjunto no vac´ıoyP=P(X)\{∅}conp≤q
si y s´olo sip⊆q.Entonces dos condicionespyqson incompatibles si y
s´olo sip∩q=∅.A⊆Pes una anticadena si sus elementos son ajenos por
pares; as´ı,Psatisface lac.c.c.si y s´olo si|X|≤ℵ
0.
Ejemplo 11.11Sea (X,τ)unespaciotopol´ogico y
P={p⊆X:p6 =∅,pes abierto enX}. (11.2.1)
Como en el ejemplo anterior, sea≤la contenci´on de conjuntos. Entoncesp, q∈
Pson incompatibles si y s´olo sip∩q=∅.
Si (X,≤) es un conjunto linealmente ordenado, una topolog´ıasobreXpuede
ser introducida declarando como abiertos a todos los subconjuntos deXque
sean uni´on de intervalos abiertos.Xcon esta topolog´ıaτ
≤,(X,τ ≤),se llama
espacio linealmente ordenado. (X,≤)satisfacelac.c.c.,seg´un la Definici´on
11.6, si y s´olo si el conjunto pre-ordenadoPdefinido en el ejemplo anterior
satisface lac.c.c.seg´un la Definici´on 11.9. M´as generalmente, se dice que un
espacio topol´ogico (X,τ)satisface la c.c.c. si el conjunto pre-ordenado (11.2.1)
satisface la c.c.c.(seg´un la Definici´on 11.9).
Ejemplo 11.12SeanBun ´algebra booleana yP=B\{0},con el mismo
orden como enB.Entonces dos condicionespyqson incompatibles si y s´olo
sip·q=0.

314. 11.2. El Axioma de Martin 303
Definici´on 11.13SiDes un subconjunto denso de un conjunto pre-ordenado
P,entonces un subconjuntoGdePse llamafiltroD-gen´ericoenPsi satisface
las siguientes condiciones:
(a) sia∈Gya≤bentoncesb∈G,
(b) sia, b∈Gentonces existec∈Gtal quec≤ayc≤b,
(c)D∩G6 =∅.
SiDes una familia de conjuntos densos enP,entoncesGes unfiltroD-
gen´ericosi es unfiltroD-gen´ericoparacadaD∈D.
Lema 11.14Si(P,≤)es un conjunto ordenado, yDes una familia a lo m´as
numerable de subconjuntos densos deP,entoncesexisteunfiltroD-gen´erico
enP. En efecto, para cualquierp∈P,existeunfiltroD-gen´ericoGenPtal
quep∈G.
Demostraci´on:
SeaD={D
1,D2,...}una familia numerable de conjuntos densos enP.Sean
pun elemento cualquiera dePyp
0=p. Para cadan>0, seap ntal que
p
n≤pn−1ypn∈Dn. Veamos que el conjunto
G={x∈P:x≥p
npara alg´unn∈N}
es unfiltroD-gen´erico enPyquep∈G. En efecto, quep∈Ges claro. Ahora
sir∈P, q∈Gyq≤r;entoncesr∈G(puesto queq∈Gimplicalaexistencia
de unn∈ωtal quep
n≤q). Adem´as, siq 1,q2∈Gexistenm, n∈ωtales
quep
m≤q1ypn≤q2.Sinp´erdida de generalidad supongamos quem≤n.
Entoncesp
m∈Ges una extensi´on com´un aq 1yq2. Finalmente, es obvio que
G∩D
n6 =∅para todon∈ω.
Consideremos la siguiente generalizaci´on.
AM
κSiκes un cardinal infinito y (P,≤) es un conjunto pre-ordenado que
satisface la condici´on de la cadena contable, y siDes una familia de a
lo m´asκsubconjuntos densos deP, entonces existe unfiltroD-gen´erico
enP.
AM
ℵ0
es justamente el Lema 11.14 y es demostrable enZFC.ElAxioma
de Martin asegura queAM
κse cumple para todoκ<2
ℵ0
.
Axioma de MartinSi (P,≤) es un conjunto pre-ordenado que satisface la
condici´on de la cadena contable y siDes una colecci´on de menos que
2
ℵ0
subconjuntos densos deP,entoncesexisteunfiltroD-gen´erico enP.

315. 304 11. Dos T´opicos Especiales
ComoAM ℵ0
siempre es cierto, se sigue que el Axioma de Martin (AM)es
una consecuencia de la Hip´otesis del Continuo. El Axioma de Martin intuiti-
vamentenosdicequeloscardinalesqueseencuentranentreℵ
0y2
ℵ0
tienen
el “mismo comportamiento” queℵ
0,lo cual permite reemplazar a la Hip´otesis
del Continuo en numerosas demostraciones que hacen uso de ella; esto es im-
portante puesto que el Axioma de Martin puede cumplirse aun cuando la
Hip´otesis del Continuo falle. Tambi´en, con frecuencia, una proposici´on que es
cierta asumiendo la Hip´otesis del Continuo puede resultar falsa asumiendo el
Axioma de Martin. Puesto que el Axioma de Martin m´as la negaci´on de la
Hip´otesis del Continuo es consistente con los axiomasZFC, cualesquiera de
tales proposiciones es en s´ımisma independiente deZFC.
Para empezar nuestro estudio del Axioma de Martin analizaremos un tipo
de conjunto pre-ordenado que es muy empleado para distintas aplicaciones de
AM;enestaocasi´on nos aclarar´aporqu´esepide|D|<2
ℵ0
en su formulaci´on.
SeaP=
S
n∈ω
2
n
(el conjunto de todas las sucesionesfinitas de ceros y
unos). Parap, q∈Pdefinimosp≤qsi y s´olo sidom p⊇dom qypes una
extensi´on (como funci´on) deq.Entoncespyqson compatibles si y s´olo si
para cualquiern∈(dom p)∩(dom q)setienequep(n)=q(n), es decir, son
compatibles como funciones. Puesto que|P|=ℵ
0,Psatisface lac.c.c.
Ahora, seaD={D
h:h∈2
ω
}∪{E n:n∈ω}, donde para cadah∈2
ω
,
D
h={p∈P:p6 =h| dom p},
y para cadan∈ω,
E
n={p∈P:n∈dom p}. (11.2.2)
CadaE
nes un subconjunto denso enP:sip∈Pyn/∈dom p,bastadefinir
q:dom p∪{n}→2comoq(k)=p(k) para cadak∈dom pyq(n) = 0; as´ı,
q≤pyq∈E
n.Tambi´en cadaD hes un subconjunto denso enP:sip∈P\D h
yn/∈dom p, claramente podemos tomarq∈E ntal queq≤pyq(n)6 =h(n);
entoncesq∈D
hyq≤p.
Supongamos queGes unfiltroD-gen´erico enP; entonces, en virtud de la
condici´on(b)delaDefinici´on 11.8,Ges un sistema compatible de funciones,
yenvirtuddelacondici´on (c) de la misma definici´on,
f=
[
G:ω→2
es una funci´on. Adem´as, sih:ω→2 es cualquier funci´on, dado que existen
p∈G∩D
nyn∈dom ptales quep(n)6 =h(n), comof(n)=p(n)sesigue
quef6 =h. En resumen,f∈2
ω
pero, para cualquierh∈2
ω
,f6 =h;locuales
imposible. Hemos demostrado entonces la siguiente proposici´on.

316. 11.2. El Axioma de Martin 305
Proposici´on 11.15 AM
2
ℵ
0es falsa.
Corolario 11.16 AM
ℵ1
implica que la Hip´otesis del Continuo es falsa.
Un resultado inmediato es el comportamiento deAM
κpara distintosκ.
Proposici´on 11.17Siℵ
0<κ<κ
0
<2
ℵ0
,entoncesAM κ
0implicaAM κ.
El Lema 11.14 no necesita en absoluto quePsatisfaga lac.c.c.y uno estar´ıa
tentado a fortalecerAM
κquitando este requerimiento. No obstante, como ve-
remos a continuaci´on, paraκ>ℵ
0este fortalecimiento se vuelve inconsistente.
Ejemplo 11.18SeaP=
S
n∈ω
(ω1)
n
(el conjunto de todas las sucesiones
finitas deωenω
1). Parap, q∈Pdefinimosp≤qsi y s´olo sip⊆q.Para cada
α∈ω
1sea
D
α={p∈P:α∈ranp}.
Entonces cadaD
αes denso enP.Supongamos quePsatisface lac.c.c.Sea
D={D
α:α<ω 1}.ApartirdeAM ℵ1
podemos inferir la existencia de un
filtroD-gen´ericoG. Entoncesf=
S
Ges una funci´on con dominio contenido
enωyranf=ω
1.Pero esto es imposible.Por lo tanto, no es posible omitir
lac.c.c.enAM
ℵ1
(y por tanto, enAM κpara cualquierℵ 0<κ<2
ℵ0
).
Hasta aqu´ıpuede considerarse la discusi´on elemental del Axioma de Martin.
Procederemos ahora a dar una breve muestra de c´omo aplicarAM.
Definici´on 11.19Una familiaA⊆P(ω)sellamacasi ajenasi cualquiera de
susmiembrosesinfinito y para cualesquiera dos distintosA, B∈Ase tiene
que|A∩B|<ℵ
0.
Ejemplo 11.20SiAconsiste ´unicamente del conjunto de n´umeros naturales
pares y del conjunto de los n´umeros naturales impares, entoncesAes casi
ajena. M´as generalmente, cualquier familia ajena por pares es una familia casi
ajena.
Ejemplo 11.21Para cadar∈Rexiste una sucesi´on (a
(r)
n
)n∈ωde n´umeros
racionales que converge ar.Seanf:ω→Quna funci´on biyectiva y
A
r=
n
k∈ω:∃n∈ω,f(k)=a
(r)
n
o
,
para cadar∈R.EntoncesA={A
r:r∈R}es una familia casi ajena de
cardinalidad 2
ℵ0
.

317. 306 11. Dos T´opicos Especiales
Definici´on 11.22A⊆P(ω) es unafamilia casi ajena maximalsi no existe
una familia casi ajenaBtal queB⊃A.
Usando el Lema de Kuratowski-Zorn puede demostrarse que siempre que
Asea una familia casi ajena, existe una familia casi ajena maximalBtal
queA⊆B. El Ejemplo 11.20 muestra una familia casi ajena maximalfinita;
aplicaremosAMpara investigar la cardinalidad de una familia casi ajena
maximal infinita.
Proposici´on 11.23No existe una familia casi ajena maximal de cardinalidad
ℵ
0.
Demostraci´on:
SeanA={A
n:n∈ω}una familia casi ajena yB n=An\
S
m<n
Am,para
cadan∈ω.B
n6 =∅puesto queB n=A n\
S
m<n
(An∩Am),|A n|=ℵ 0
y
¯
¯
S
m<n
(An∩Am)
¯
¯
<ℵ 0.Elijamosk n∈Bnpara cadan∈ω.Losk nson
distintos ya que losB
nson ajenos, as´ıD={k n:n∈ω}es infinito y adem´as
sik
n∈Amentoncesm≥n;conestoD∩A m⊆{k n:n<m}. Por lo tanto,
B=A∪{D}es una familia casi ajena que contiene propiamente aA.
Si suponemos la Hip´otesis del Continuo, claramente la cardinalidad de una
familia casi ajena maximal debe ser 2
ℵ0
.AMnos ayudar´aaverqu´e ocurre en
caso de que existan cardinales mayores queℵ
0y menores que 2
ℵ0
.Paraesto
introduciremos un nuevo conjunto pre-ordenado.
Definici´on 11.24ParaA⊆P(ω)sea
P
A=
n
(s, F):s∈[ω]
<ℵ0
,F∈[A]
<ℵ0
o
,
y dados (s
1,F1),(s2,F2)∈P Adefinimos (s 1,F1)≤(s 2,F2)siys´olo si
s
2⊆s1,F2⊆F1y∀x∈F 2,x∩s 1⊆s2.
La intenci´on de las condiciones (s, F)∈P
Aes describir und⊆ωque es
casi ajeno (es decir, tiene intersecci´onfinita) con los elementos deA;(s, F)
“fuerza” a ques⊆dy para cualquierx∈F, d∩x⊆s;as´ı,(s, F) “fuerza”
n/∈dsiempre quen∈x\spara alg´unx∈F.
Dos condiciones (s
1,F1),(s2,F2)∈P Ason compatibles si y s´olo si para
todox∈F
1,x∩s 2⊆s1yparatodox∈F 2,x∩s 1⊆s2.Si´este es el caso
(s
1∪s2,F1∪F2) es una extensi´on com´un.
P
Asatisface lac.c.c.pues si{(s ξ,Fξ):ξ<ω 1}fuera una anticadena, en-
toncess
ξ6 =sξ
0para cadaξ6 =ξ
0
, que es imposible.

318. 11.2. El Axioma de Martin 307
Ahora siGes unfiltro (es decir, satisface (a) y (b) de la Definici´on 11.8) en
P
Ase define
d
G=
[
{s:∃F∈A,(s, F)∈G}. (11.2.3)
Entonces, siGes unfiltro enP
Ay(s, F)∈G, necesariamente para todo
x∈F, x∩d
G⊆s.Enefecto,si(s
0
,F
0
)∈G, entonces (s, F)y(s
0
,F
0
)son
compatibles. As´ı,paratodox∈F, x∩s
0
⊆s;locualimplicax∩d G⊆s.
Parax∈Adefinimos
D
x={(s, F)∈P A:x∈F}. (11.2.4)
EntoncesD
xes denso enP Apara cadax∈A, pues si (s, F)∈P A,
(s, F∪{x})≤(s, F).
Tambi´en, siGes unfiltro enP
AyG∩D x6 =∅,entonces|x∩d G|<ℵ 0puesto
quex∩d
G⊆sy|s|<ℵ 0.Sinembargo,d Gpuede serfinito e incluso vac´ıo;
porque si existiera alg´unF⊆Atal queω\
S
Ffuerafinito, entonces ning´un
dinfinito podr´ıa ser casi ajeno a todos los elementos deF.
A continuaci´on se demostrar´a que si no existeFtal queω\
S
Fesfinito,
entonces podemos hacer quedsea infinito. M´as generalmente, podemos hacer
quedtenga intersecci´on infinita con cualquier subconjunto deωel cual no
est´a casi cubierto (es decir, a excepci´on de una cantidadfinita de elementos)
por una uni´onfinita de elementos deA.
Teorema 11.25SeanA,C⊆P(ω)tales que|A|≤κ,|C|≤κy, para cada
y∈Cy cadaF⊆A,
|F|≤ℵ
0⇒
¯
¯
¯y\
[
F
¯
¯
¯=ℵ 0.
EntoncesAM
κimplica que existed∈P(ω)tal que
∀x∈A,|d∩x|<ℵ
0y∀y∈C,|d∩y|=ℵ 0.
Demostraci´on:
Paray∈Cyn∈ωsea
E
y
n
={(s, F)∈P A:s∩y*n}.
E
y
n
es denso enP Aya que para cada (s, F)∈P A,|y\
S
F|=ℵ 0; si tomamos
m∈y\
S
Fconm>n, entonces (s∪{m},F)∈E
y
n
es una extensi´on de
(s, F).

319. 308 11. Dos T´opicos Especiales
Sea
D={D
x:x∈A}∪{E
y
n
:y∈C,n∈ω},
donde los conjuntosD
xsonlosquesedefinieron en (11.2.4). PorAM κ,hay
unfiltroD-gen´ericoG. Ya hemos visto que sid
Ges como en (11.2.3), entonces
d
G∩xesfinito para cadax∈A.Siy∈C, entoncesd G∩y*npara todo
n∈ω,yaqueG∩E
y
n
6=∅para cadan∈ω. Por lo cual concluimos qued G∩y
es infinito.
Corolario 11.26SeaA⊆P(ω)una familia casi ajena de cardinalidadκ,
dondeℵ
0≤κ<2
ℵ0
.SuponiendoAM κse tiene queAno es maximal.
Demostraci´on:
SeaC={ω}yseaF∈Afinito. Puesto que|A|=κ, podemos tomarB∈A\F.
ComoAes casi ajena,|B∩
S
F|<ℵ
0.As´ı,|B∩(ω\
S
F)|=ℵ 0; y esto
implica que|ω\
S
F|=ℵ
0. El teorema anterior garantiza que existed⊆ω
infinitoycasiajenoacadaelementodeA.
Corolario 11.27SeaB⊆P(ω)una familia casi ajena de cardinalidadκ,
dondeℵ
0≤κ<2
ℵ0
.SiA⊆By si suponemosAM κ,entoncesexisted⊆ω
tal que para cadax∈A,|d∩x|<ℵ
0y para cadax∈B\A,|d∩x|=ℵ 0.
Demostraci´on:
Aplicar el teorema anterior aC=B\A.
Teorema 11.28Siℵ 0≤κ<2
ℵ0
,AM κimplica que2
κ
=2
ℵ0
.
Demostraci´on:
SeaBuna familia casi ajena de cardinalidadκ.DefinamosΦ:P(ω)→P(B)
por
Φ(d)={x∈B:|d∩x|<ℵ
0}.
El corolario anterior implica queΦes sobreyectiva; as´ı,
2
κ
=|P(B)|≤|P(ω)|=2
ℵ0
.
Corolario 11.29 AMimplica que2
ℵ0
es regular.

320. 11.2. El Axioma de Martin 309
Demostraci´on:
Seaκ<2
ℵ0
. Por la Proposici´on 10.29 tenemos queκ<cf(2
κ
). Adem´as,
AMimplica que 2
κ
=2
ℵ0
,locualsignifica queκ<cf(2
ℵ0
). Por lo tanto,
cf(2
ℵ0
)=2
ℵ0
.
Es consistente conZFCque 2
ℵ0
sea un cardinal singular, tal comoℵ ω1
;
pero, como vimos en la Proposici´on 10.29,cf(2
ℵ0
)>ℵ 0.
De la siguiente aplicaci´on deAMa la topolog´ıasedecidir´aelproblemade
Souslin.
Lema 11.30SupongamosAM
ℵ1
.SiXes un espacio topol´ogico que satisface
la c.c.c. y{U
α:α<ω 1}es una familia de subconjuntos abiertos no vac´ıos,
entonces existeA⊆ω
1no numerable tal que{U α:α∈A}tiene la propiedad
de la intersecci´onfinita.
Demostraci´on:
SeaV
α=
S
γ>α
Uγ.Entoncesα<βimplicaV β⊆Vα. Veamos primero que
existeαtal que para todoβ>α,
Vβ=Vα. (11.2.5)
Si no hay talαpodr´ıamos encontrar una sucesi´on creciente de ordinales
(α
ξ)ξ∈ω1
tal que para cadaξ,
Vαξ+1
6 =Vαξ
, con lo cual,V αξ
\Vαξ+1
6 =∅.
Entonces
©
V
αξ
\
Vαξ+1
:ξ<ω 1
ª
ser´ıa una familia de abiertos no vac´ıos ajena por pares contradiciendo queX
satisface lac.c.c.
Ahorafijemosαde tal forma que satisfaga la ecuaci´on (11.2.5) y sea
P={p⊆V
α:pes abierto yp6 =∅}
con el pre-ordenp≤qsi y s´olo sip⊆q. EntoncesPsatisface lac.c.c.porque
Xla satisface yV
αes abierto. Para cadaβ<ω 1,sea
D
β={p∈P:∃γ>β,p⊆U γ}.
Entonces cadaD
βes denso enP. En efecto, por (11.2.5),
Vα⊆Vβ;as´ı,si
p∈Pentoncesp∩V
β6 =∅con lo cualp∩U γ6 =∅para alg´unγ>βydeaqu´ı
quep∩U
γes una extensi´on depenD β.
SeaD={D
β:β<ω 1}.PorAM ℵ1
,existeunfiltroD-gen´ericoG.Pongamos
A={γ<ω
1:∃p∈G, p⊆U γ}.

321. 310 11. Dos T´opicos Especiales
ComoGes unfiltro,Gtiene la propiedad de la intersecci´onfinita y entonces
tambi´en{U
γ:γ∈A}tiene la propiedad de la intersecci´onfinita. M´as a´un,
para cadaβ<ω
1,Adebe contener alg´unγ>β,yaqueG∩D β6 =∅.Esto
implica queAes no acotado enω
1yporlotanto,|A|=ℵ 1.
Teorema 11.31SupongamosAM ℵ1
.SiXyYson espacios topol´ogicos que
satisfacen la c.c.c., entoncesX×Ytambi´en satisface la c.c.c.
Demostraci´on:
Supongamos queX×Yno satisface lac.c.c.Sea
{W
α:α<ω 1}
una familia ajena por pares de subconjuntos abiertos no vac´ıos deX×Y.
Para cadaαseleccionemosU
α×Vα⊆W αconU α6 =∅6 =V α.Porellema
anterior, seaA⊆ω
1no numerable tal que{U α:α∈A}tiene la propiedad de
la intersecci´onfinita. Siα,β∈Ayα6 =β,entoncesU
α∩Uβ6 =∅;pero
(U
α×Vα)∩(U β∩Vβ)=∅;
as´ıqueV
α∩Vβ=∅.Entonces{V α:α∈A}contradice queYsatisface lac.c.c.
SiXes una l´ınea de Souslin,Xpuede considerarse un espacio topol´ogico
linealmente ordenado (es decir, con la topolog´ıa inducida por su relaci´on de
orden). Obviamente,Xcomo espacio topol´ogico satisface lac.c.c.pero no es
separable (ver Ejemplo 11.11 y el comentario posterior).
Lema 11.32SiXes una l´ınea de Souslin, entoncesX×Xno satisface la
c.c.c.
Demostraci´on:
Sia, b∈Xya<b;(a, b) denotar´a el intervalo abierto{x∈X:a<x<b}.
El conjunto (a, b) puede ser vac´ıo.
Por inducci´on sobreα, se encontrar´ana
α,bα,ycαtales que:
(1)a
α<bα<cα,
(2) (a
α,bα)6 =∅y(b α,cα)6 =∅,
(3) (a
α,cα)∩{b ξ:ξ<α}=∅.

322. 11.2. El Axioma de Martin 311
SeaWel conjunto de puntos aislados deX.ComoXsatisface lac.c.c.
|W|≤ℵ
0. Ahora, supongamos que se han elegidoa ξ,bξ,cξparaξ<α.Como
Xno es separable
X\cl(W∪{b
ξ:ξ<α})
es abierto y no vac´ıo; as´ı, contiene un intervalo abierto no vac´ıo(a
α,cα). Como
(a
α,cα) no tiene puntos aislados es infinito. Seab α∈(aα,cα)talque(a α,bα)6 =
∅y(b
α,cα)6 =∅.
Finalmente, seaU
α=(a α,bα)×(b α,cα). Por (2)U α6 =∅para cadaα.Si
ξ<α,entoncesU
ξ∩Uα=∅yaquepor(3)obien b ξ<aξyentalcaso
(a
ξ,bξ)∩(a α,bα)=∅,ob ξ≥cαyentalcaso(b ξ,cξ)∩(b α,cα)=∅.As´ı,
{U
α:α<ω 1}
impide queX×Xsatisfaga lac.c.c.
Corolario 11.33 AMℵ1
implicaHS.
Demostraci´on:
AM
ℵ1
implica que el producto de espacios que satisfacen lac.c.c.satisface la
c.c.c.Por lo tanto, el corolario se sigue del lema anterior y el Teorema 11.31.
Otra aplicaci´on m´as del Axioma de Martin a la Topolog´ıaeselTeorema
11.34 que exponemos a continuaci´on. Observe que paraκ=ℵ
0,el
Teorema 11.34 es conocido como el Teorema de Baire que puede ser de-
mostrado
(como el Lema 11.14) a partir de los axiomasZFCy sin requerir lac.c.c.
Teorema 11.34SupongamosAM
κ.SiXes un espacio compacto Hausdorff
que satisface la c.c.c. y{U
α:α<κ}es una familia de conjuntos abiertos
densos enX,entonces
\
{U
α:α<κ}6 =∅.
Demostraci´on:
SeaP={p⊆X:pes abierto yp6 =∅}conp≤qsi y s´olo sip⊆q. Entonces
Psatisface lac.c.c.puesto queXsatisface lac.c.c.(ver Ejemplo 11.11 y el
comentario posterior). Para cadaα<κ,sean
D
α={p∈P:
p⊆U α}
yD={D
α:α<κ}. Vamos a demostrar que cadaD αes denso enP.Seaq∈P
cualquiera. ComoU
αes denso en el espacioX,U α∩q6 =∅.Seax∈U α∩q.

323. 312 11. Dos T´opicos Especiales
Puesto queXes Hausdorffy compacto,K=X\(U α∩q) es compacto. Adem´as,
x/∈K;entoncesexistep∈Ptal quex∈pyp∩K=∅. Consecuentemente,
p≤qyp∈D
α.Por lo tanto,D αes denso enP.SiGes unfiltroD-gen´erico
enP, entoncesGtiene la propiedad de la intersecci´onfinita y as´ıpor la
compacidad
\
{
p:p∈G}6 =∅.
Pero
T
{ p:p∈G}⊆
T
{U α:α<κ}. Esto demuestra el teorema.
11.3 Equivalencias del Axioma de Martin
Aunque hay numerosas equivalencias del Axioma de Martin, en esta secci´on
presentaremos dos de las m´as importantes: la topol´ogica y la que se expresa en
t´erminos de ´algebras booleanas. Empezaremos por demostrar que es posible
restringirAM
κa conjuntos pre-ordenados de cardinalidad menor o igual aκ.
Definici´on 11.35Denotaremos porAM
∗
κ
alaproposici´on: Si (P,≤)esun
conjunto pre-ordenado de cardinalidad menor o igual aκ,que satisface la c.c.c.
yDes una familia de a lo m´asκsubconjuntos densos enP, entonces existe
unfiltroD-gen´erico enP.
Lema 11.36SeaAun conjunto. Si
©
f
α∈A
A
:α<κ
ª
es una familia de fun-
ciones yg:A×A→A,entoncesexisteB⊆Acon|B|≤κ,g(B×B)⊆By
f
α(B)⊆Bpara cadaα<κ.EnestecasosedicequeBes cerrado respecto a
la familia{f
α}α∈I∪{g}.
Demostraci´on:
Seana∈A, C
0={a}y
C
n+1=Cn∪g(C n×Cn)∪
[
α<κ
f(Cn).
Ya que la cardinalidad de la imagen de un conjunto bajo una funci´on no excede
la cardinalidad de dicho conjunto, sin dificultad se demuestra, por inducci´on
sobren,que|C
n|≤κpara todon∈ω.SihacemosB=
S
n∈ω
Cn, entonces
|B|≤κ,g(B×B)⊆Byf
α(B)⊆Bpara todoα<κ.
Teorema 11.37Para cualquierκ<2
ℵ0
,AM κes equivalente aAM
∗
κ
.

324. 11.3. Equivalencias del Axioma de Martin 313
Demostraci´on:
QueAM
κimplicaAM
∗
κ
es trivial. SupongamosAM
∗
κ
ysean(Q,≤)uncon-
junto pre-ordenado que satisfaga lac.c.c.yD={D
α:α<κ}una familia de
conjuntos densos enQ.
Para cadaα<κ,seaf
α:Q→Qtal quef α(p)∈D αyfα(p)≤ppara cada
p∈Q.Estosf
αexisten debido a la densidad deD α.Seag:Q×Q→Qtal
que para cualesquierap, q∈Q,
pyqcompatibles⇒g(p, q)<pyg(p, q)≤q.
ExisteP⊆Qde cardinalidad no mayor aκy que es cerrado respecto a la
familia{f
α:α<κ}∪{g}.Entonces:
(1) Para cadaα<κ,D
α∩P6 =∅y es denso enP,
(2)Psatisface lac.c.c.
AplicandoAM
∗
κ
,existeunfiltroD-gen´ericoGenP.Gpuede no serD-
gen´erico enQ;pero
H={q∈Q:∃p∈G, p≤q}
s´ıes unfiltroD-gen´erico enQ.
Recordemos que siBes un ´algebra booleana hay un orden natural enB
inducido por las operaciones binarias deB. A este orden nos referiremos a
continuaci´on.
Definici´on 11.38Un ´algebra booleanaBescompletasi para cualquierA⊆
B,no vac´ıo, existe el supremo deA.
De manera m´as o menos corriente se demuestra que si cada subconjunto
no vac´ıodeBtiene supremo, entonces cada subconjunto no vac´ıodeBtiene
´ınfimo.
Ejemplo 11.39SeanXun espacio topol´ogico y
B={U⊆X:Ues abierto regular}.
1
1
Ues abierto regular siU=int(U).

325. 314 11. Dos T´opicos Especiales
ParaU, V∈Bsean:
U·V=U∩V
U+V=int(U∪V)
−U=int(X\U)
0= ∅
1= X
EntoncesBes un ´algebra booleana completa y para cadaC∈P(B)\{∅},
supC=int(
[
C)yinfC=int(
\
C).
Para aplicaciones al Axioma de Martin no estaremos interesados enBsino
enB\{0}. Abusaremos de notaci´on y diremos que una anticadena enBes un
conjuntoA⊆B\{0}tal que para cualesquieraa, b∈A,
a6 =b⇒a·b=0
(Arealmente es una anticadena enB\{0}). Decimos queBsatisface lac.c.c.si
ys´olo si todas las anticadenas enBson a lo m´as numerables. SeaDuna familia
de conjuntos densos enB\{0}.PorunfiltroD-gen´erico enBentenderemos un
G⊆B\{0},el cual es unfiltro, en el sentido usual para ´algebras booleanas
(ver Definici´on 8.46), que intersecta a cada elemento deD.Noesdif´ıcil ver
que esta noci´on coincide con la dada en la Definici´on 11.8.
Definici´on 11.40Denotaremos porAM
b
κ
alaproposici´on: SiBes un ´alge-
bra booleana completa y que satisface la c.c.c. yDes una familia de a lo m´as
κsubconjuntos densos enB,entonces existe unfiltroD-gen´erico enB.
Teorema 11.41Para cualquierκ<2
ℵ0
,AM κes equivalente aAM
b
κ
.
Demostraci´on:
Es trivial queAM
κimplicaAM
b
κ
. SupongamosAM
b
κ
yseaPun conjunto
pre-ordenado de cardinalidad menor o igual aκ. Para cadap∈P,sea
N
p={q∈P:q≤p}.
Entonces, dado que para cadaq∈P, q∈N
pimplicaN q⊆N p, la familia
{N
p:p∈P}es base para una topolog´ıaenP.SeaBel ´algebra booleana de
conjuntos abiertos regulares enP.Definamosi:P→Bpori(p)=int(
Np)
para cadap∈P. Entonces, para cualesquierap, q∈Pse tiene quep≤q

326. 11.3. Equivalencias del Axioma de Martin 315
implicai(p)≤i(q) (es decir,i(p)·i(q)=i(p)) y sipes incompatible aq,
entoncesi(p)·i(q) = 0. En efecto,i(p)·i(q)=0siys´olo si
int(Np)∩int(Nq)=∅,
que es equivalente aN
p∩Nq=∅y que a su vez es equivalente a quepsea
incompatible conq.
Ahora, siU∈B\{0}yp∈U; entoncesint(
Np)⊆U. Entoncesi(p)⊆Uo
bieni(p)≤U. Por lo tanto,i(P) es denso enB\{0}.
SeaD={D
α:α<κ}una familia de conjuntos densos enP. Entonces,
D
0
={i(D α):α<κ}
es una familia de conjuntos densos enB\{0}.
Ahora,B\{0}satisface lac.c.c.puesto quePla satisface yi(P)esdenso
enB\{0}.Paracada(p, q)∈P×P,seaH
p,qel conjunto de todos losr∈P
tales que o bienr≤pyr≤qores incompatible conpores incompatible
conq. Veamos que para cada (p, q)∈P×P, H
p,qes denso enP.Sir∈Pyr
tiene una extensi´onr
0
incompatible conpoconq,entoncesr
0
∈Hp,qyr
0
≤r.
Si por el contrario no existe talr
0
, entonces en particularres compatible con
pyas´ıexister
1∈Ptal quer 1≤ryr 1≤p; pero necesariamente tambi´enr 1
es compatible conqyas´ıexister 2∈Ptal quer 2≤r1yr2≤q. Puesto que
r
2≤pse tiene quer 2∈Hp,qyr2≤r.
Nuevamentei(H
p,q) es denso enB\{0}.Sea
H=D
0
∪{i(H p,q):(p, q)∈P×P}.
Entonces|H|≤κy usandoAM
b
κ
se infiere la existencia de unfiltroH-gen´erico
FenB\{0}.
SeaG=i
−1
(F). Entonces para cadaα<κ,G∩D α6 =∅y para cada
(p, q)∈P×P, G∩H
p,q6 =∅.M´as a´un,Ges unfiltro enPporque sip∈G
yq∈Pes tal queq≥p, entonces trivialmenteq∈G.Adem´as, sip, q∈G,
comoG∩H
p,q6 =∅,existeunr∈G∩H p,qydadoquei(p),i(q),i(r)∈F
necesariamentep, qyrson compatibles y as´ır≤pyr≤q. Por lo tanto,
existe una extensi´on com´un apyqenG. Consecuentemente,Ges unfiltro
D-gen´erico enP.
Para nuestro ´ultimo teorema necesitaremos introducir el espacio de Stone
asociadoaun´algebra booleana. SiBes un ´algebra booleana, por el Teorema de
Representaci´on de Stone (Ejemplo 8.57) existe un homomorfismo (de ´algebras
booleanas)Φ:B→P(S(B)), donde
S(B)={U⊆B:Ues un ultrafiltro enB}

327. 316 11. Dos T´opicos Especiales
yΦ(u)={U∈S(B):u∈U}para cadau∈B. El espacio de Stone asociado
aBesS(B) tomando como base para una topolog´ıaenS(B)atodoslos
conjuntosΦ(u).
Lema 11.42S(B)es un espacio Hausdorffcompacto.
Demostraci´on:
SeanU, V∈S(B),U6 =V.EntoncesU\V6 =∅,seau∈U\V. A partir de
Φ(−u)=S(B)\Use sigue queΦ(u) es un subconjunto abierto y cerrado
deS(B) que contiene aUynoaV.As´ı,S(B) satisface el axioma de separaci´on
de Hausdorff.
Ahora seaA⊆By sup´ongase que{Φ(a):a∈A}es una cubierta deS(B)
sin subcubiertasfinitas. SeaA
0
={−a:a∈A}. Entonces para todon∈ωy
a
1,...,an∈A,
(−a
1)·(−a 2)·...·(−a n)6 =0,
puesto que de otro modo{Φ(a
k):1≤k≤n}ser´ıa una subcubiertafinita. Sea
F⊆Btal queu∈Fsi y s´olo si existenn∈ωya
1,...,an∈Atales que
(−a
1)·(−a 2)·...·(−a n)≤u.
EntoncesFes unfiltro enB. Por el Teorema 8.55(b), existeU∈S(B)talque
A
0
⊆F⊆U.Como{Φ(a):a∈A}es una cubierta deS(B), hay una∈Atal
queU∈Φ(a), es decir,a∈U.Sesigueque
0=a·(−a)∈U
y esto contradice queUsea un ultrafiltro. As´ı,S(B) es compacto.
Teorema 11.43Para cualquierκ<2
ℵ0
,lassiguientesproposicionesson
equivalentes:
(a)AM
κ
(b)AM
∗
κ
(c)AM
b
κ
(d)Paratodoespaciotopol´ogico compacto Hausdorffque satisface la c.c.c.,
siempre queUseaunafamiliadesubconjuntosabiertosdensosnovac´ıos y
|U|≤κ,secumpleque
T
U6 =∅.
Demostraci´on:
La equivalencia de (a), (b) y (c) ya se ha demostrado y (a) implica (d) es el
Teorema 11.34; por lo tanto, basta demostrar (d) implica (c).

328. 11.3. Equivalencias del Axioma de Martin 317
SeaBun ´algebra booleana completa que satisface lac.c.c.ysea
D={D
α:α<κ}
una familia de conjuntos densos enB\{0}.SeaS(B) el espacio de Stone
asociado aB. Por el lema anterior,S(B) es un espacio compacto Hausdorff.
ComoΦ(u)∩Φ(v)=Φ(u·v),tenemos queΦ(u)∩Φ(v)=∅si y s´olo siu·v=0;
por lo tanto,S(B) satisface lac.c.c.porqueBla satisface.
Para cadaα<κ,seaW
α=
S
{Φ(u):u∈D α}.EntoncesW αes abierto,
no vac´ıo. Adem´as,W
αes denso enS(B) pues siΦ(v) es un abierto b´asico
deS(B), entonces existeu∈D
αtal queu≤v,luegoΦ(u)⊂Φ(v)yas´ı
W
α∩Φ(v)6 =∅. Por hip´otesis,
\
{W
α:α<κ}6 =∅.
SeaG∈
T
{W
α:α<κ}. EntoncesGes unfiltro (de hecho un ultrafiltro)
D-gen´erico enBporque siα<κ,G∈W
αimplica que existeu∈D αtal que
G∈Φ(u)ypordefinici´on deΦ(u)setienequeu∈G; por lo tanto,u∈G∩D
α.
Esto demuestra que (d) implica (c).

329. 318 11. Dos T´opicos Especiales

330. Ap´endice A
Axiomas de Zermelo-Fraenkel
El tratamiento que hemos seguido de la Teor´ıa de Conjuntos dentro de la -
axiom´atica de Zermelo-Fraenkel, ha sido m´as bien informal. La raz´on de ello,
es la vaga noci´on de propiedad que aceptamos; para formalizar (sin que esto
altere los resultados expuestos) debemos dar a los axiomas una forma precisa,
introduciendo las llamadasf´ormulasydesarrollandoalaTeor´ıaAxiom´atica
de Conjuntos dentro del c´a lculo de predicados de primer orden. Todos los
objetos son conjuntos. Un excelente desarrollo de esto puede encontrarse en el
Cap´ıtulo 2 de [KM] o el cap´ıtulo preliminar de [D
3].
Las f´ormulas de la Teor´ıa de Conjuntos son estructuras que parten de las
f´ormulas at´omicas
x∈y, x =y
por medio de los conectivos l´ogicos y los cuantificadores expuestos en la Secci´on
2.1.
Axioma1 (de Existencia) Hay un conjunto que no tiene elementos.
Axioma2(deExtensi´on) Si todo elemento deXes un elemento deYy
todo elemento deYes un elemento deX,entoncesX=Y.
Axioma3(EsquemadeComprensi´on) SeaPuna f´ormula. Para cualquier
conjuntoAhay un conjuntoBtal quex∈Bsi y s´olo six∈Ayxsatisface
la f´ormulaP.
Axioma4(delPar) Para cualesquiera conjuntosaybhay un conjuntoC
tal quex∈Csi y s´olo six=aox=b.
Axioma5(deUni´on) Para cualquier conjuntoS,existeunconjuntoUtal
quex∈Usi y s´olo six∈Xpara alg´unX∈S.
Axioma6(delConjuntoPotencia) Para cualquier conjuntoX,existe un
conjuntoStal queA∈Ssi y s´olo siA⊆X.
Axioma7 (de Fundaci´on) En cada conjunto no vac´ıoAexisteu∈Atal
queuyAson ajenos.

331. 320 Ap´endice A. Axiomas de Zermelo-Fraenkel
Axioma8(deInfinitud) Existe un conjunto inductivo.
Axioma9(EsquemadeReemplazo) SeaP(x, y)una formula tal que para
todoxexiste un ´unicoypara el cualP(x, y)se satisface.
Para todo conjuntoA,existeunconjuntoBtal que, para todox∈A,
existey∈Bpara el cualP(x, y)se satisface.
Axioma10 (de Elecci´on) Todo conjunto no vac´ıotieneunafunci´on de elec-
ci´on.
ZFdenota los axiomas 1 a 9.ZFCdenotaZF +el Axioma de Elecci´on.

332. Ap´endice B
Axiomas Bernays-G¨odel
En esta axiomatizaci´on se consideran dos tipos de objetos:conjuntosyclases.
Axioma1(de Extensi´on de Clases) Si todo elemento deXes un elemento
deY,ytodoelementodeYes un elemento deX,entoncesX=Y.
Axioma2 Cualquier conjunto es una clase.
Axioma3 SiX∈Y,entoncesXes un conjunto.
Axioma4(del Par) Para cualesquiera conjuntosxyyexiste un conjunto
{x, y}.
Axioma5(de Comprensi´on) SiP(x, X 1,...Xn)es una f´ormula donde los
´unicos par´ametros cuantificados son conjuntos, entonces existe una claseY
tal quex∈Ysi y s´olo siP(x, X
1,...Xn).
Axioma6(de Infinitud) Hay un conjunto inductivo.
Axioma7(de Uni´on) Para cualquier conjuntoX,
S
Xes un conjunto.
Axioma8(del Conjunto Potencia) Para cualquier conjuntoX,P(X)es
un conjunto.
Axioma9(de Reemplazo) Si una claseFes una funci´on yXes un con-
junto,F(X)es un conjunto.
Axioma10 (de Fundaci´on) En cada conjunto no vac´ıoXexisteu∈Xtal
queuyXson ajenos.
Axioma11 (de Elecci´on) Hay una funci´onFtal queF(X)∈Xpara cual-
quierconjuntonovac´ıoX.
BGdenota los axiomas 1 a 10 yBGCdenotaBG +el Axioma de Elecci´on.
Puede probarse que si una proposici´on conjuntista es demostrable enZFo
ZFC, entonces tambi´en es demostrable enBG, y respectivamente enBGC.
Rec´ıprocamente, un teorema de Shoenfield asegura que si una proposici´on

333. 322 Ap´endice B. Axiomas Bernays-G¨odel
que involucra ´unicamente a conjuntos como variables es demostrable enBG,
entonces ´esta tambi´en es demostrable enZF. El resultado tambi´en puede ge-
neralizarse aBGCyZFCusando t´ecnicas distintas a las usadas por Shoen-
field.

334. Ap´endice C
Axiomas Adicionales
LostrabajosdeG¨odel y Cohen implican que se puede aumentar como un
nuevoaxiomaparalaTeor´ıa de Conjuntos la proposici´on
2
ℵ0
=ℵ1.
No obstante, tambi´en de los trabajos de Cohen y W. B. Easton se sigue que
para cualquierℵ
αconcf(ℵ α)>ℵ 0,tambi´en
2
ℵ0
=ℵα
es un posible axioma adicional para la Teor´ıa de Conjuntos. En otras pa-
labras,elm´etodo (forcing) inventado por Cohen para la construcci´on de mo-
delos, permite crear modelos para la Teor´ıa de Conjuntos en los cuales hayℵ
α
subconjuntos de n´umeros naturales.
Con todo esto, no existen razones l´ogicas para decidir si aceptamos como un
nuevoaxiomalaHip´otesis del Continuo, otra proposici´on de la forma 2
ℵ0
=ℵα,
o simplemente no aceptamos alguna de estas proposiciones. El problema de
elegir una de las opciones reside en que no son intuitivamente obvias como
los axiomasZFC. Existe peligro que alguna de las opciones nos conduzca a
resultados no deseados; como en el caso del Axioma de Elecci´on que tiene con-
secuencias “parad´ojicas” (es decir, us´andolo podemos obtener resultados que
est´an en conflicto con nuestra intuici´on; por ejemplo, el Teorema de Banach-
Tarski). Sin embargo, la Hip´otesis del Continuo, as´ıcomo la Hip´otesis Genera-
lizada del Continuo, tienen importantes aplicaciones tanto en la propia Teor´ıa
de Conjuntos (ver Secci´on 10.5) como en otras ramas de la Matem´atica. En
resumen, dos posibles axiomas adicionales son los siguientes:
HC2
ℵ0
=ℵ1.
HGCPara cualquierα∈Ord,2
ℵα
=ℵα+1.
Adem´as del famoso Axioma de Martin:

335. 324 Ap´endice C. Axiomas Adicionales
AMSi (P,≤) es un conjunto pre-ordenado que satisface lac.c.c.ysiDes
unafamiliademenosque2
ℵ0
subconjuntos densos deP,entoncesexiste
unfiltroD-gen´erico enP.
ylaHip´otesis de Souslin:
HSNo existen l´ıneas de Souslin.
Las implicaciones entre estos axiomas est´an dadas en el siguiente diagrama.
HGC ⇒HC⇒AM
AM ⇒HS
Igualmente el grupo de los llamadosaxiomas de cardinales grandeses muy
empleado por las valiosas consecuencias que tambi´en aportan tanto a la Teor´ıa
de Conjuntos como a otras ramas de la Matem´atica. Aqu´ıformularemos algu-
nas hip´otesis que involucran tipos de cardinales grandes que fueron presentados
en el Cap´ıtulo 10; pero existen otras proposiciones de este tipo que se sabe
son tanto independientes como consistentes con los axiomasZFC.Hayotras
de las cuales s´oloseconocelaconsistenciaconZFC.Laideaparadescubrir
una de estas hip´otesis es la siguiente: DadaP(κ) una propiedad que involucre
n´umeros cardinales, se investiga cu´andoP(κ)onoP(κ)esciertaparaalguno,
muchos o todos los n´umeros cardinales. Algunas veces se descubre que una
particular propiedadP(κ), comoκ→(κ)
2
2
, es extremadamente extra˜na y que
el m´ınimo n´umero cardinal que satisfaceP(κ)esincre´ıblemente grande, tan
grande que incluso no es posible demostrar, a partir de los axiomasZFC,
que haya un tal cardinalκ.Enestecasolaproposici´on “existe un cardinal
κtal queP(κ)” es llamadahip´otesis de cardinal grande,almenoshastaque
sea refutada, pues obviamente existe la posibilidad de queP(κ) sea tan res-
trictiva que suponer la existencia de unκque satisfagaP(κ)noslleveauna
contradicci´on. Para que una hip´otesis tenga categor´ıa de axioma usualmente
se necesita saber si ella es tanto consistente como independiente aZFC.
CIExisten cardinales inaccesibles.
CFIExisten cardinales fuertemente inaccesibles.
CMExisten cardinales medibles.
CdCExisten cardinales d´ebilmente compactos.
CCExisten cardinales compactos.

336. Ap´endice C. Axiomas Adicionales 325
CMaExisten cardinales de Mahlo.
Las implicaciones que relacionan estos axiomas son las siguientes:
CC⇒CM⇒CdC⇒CMa⇒CFI⇒CI
Una muestra del poder de una de estas hip´otesis es la siguiente: Un famoso
teorema de G¨odel dice que la consistencia deZFCno pude demostrarse a
partir deZFC; sin embargo, s´ıpuede ser demostrada a partir de la uni´on de
ZFCyCI(que denotamos porZFC + CI).
Por otro lado,CIest´alejosdeserlosuficientemente fuerte como para dar
soluci´on incluso a los problemas m´as cl´asicos de la Teor´ıadeConjuntos,pero
las demostraciones de independencia enZFCmantienen su validez enZFC
+CI.
Otra consecuencia deCIes que el continuo puede ser extremadamente
grande. Ya comentamos que el trabajo de Cohen deja abierta la posibilidad
de que 2
ℵ0
=ℵ16o2
ℵ0
=ℵω1; sin embargo, la consistencia deZFC + CI
es equivalente a la consistencia deZFC+“2
ℵ0
es d´ebilmente inaccesible”, y
equivalente a la consistencia deZFC+“∃κ<2
ℵ0
tal queκes d´ebilmente
inaccesible”. Tambi´en, siZFC + CIes consistente, as´ıesZFC + HGC.
Mencionamos ahora otro resultado interesante que tiene relaci´on con la exis-
tencia de un cardinal grande. Si hay un cardinal medible, entonces cualquier
conjunto de n´umeros reales que es la imagen continua del complemento
de una imagen continua de un conjunto de Borel, es medible. Es ciertamente
sorpresivo que la existencia de un cardinal grande implique la medibilidad de
un conjunto de n´umeros reales.
Otro grupo de hip´otesis importantes es el conocido comoprincipios combi-
natorios. No daremos aqu´ıni siquiera una idea de c´omo ´estos surgen, adem´as
de que naturalmente, no es prop´ositodeesteap´endice hacer una amplia lista de
ellos; los que enunciamos se encuentran entre los m´as famosos y que han de-
mostrado ser de gran utilidad.
3Existen conjuntosA
α⊆α,paraα<ω 1,tales que para cadaA⊆ω 1,el
conjunto{α:ω
1:A∩α=A α}es estacionario.
3
+
Existen conjuntosA α⊆P(α), paraα<ω 1,talesque|A α|≤ℵ0ypara
A⊆ω
1, existe un conjunto cerrado y no acotadoC⊆ω 1tal que
(a) para cualquierα∈C, A∩α∈A
α,y
(b) para cualquierα∈C, C∩α∈A
α.

337. 326 Ap´endice C. Axiomas Adicionales
HKExiste una familiaF⊆P(ω 1)talque|F|≥ℵ 2y para cualquierα<
ω
1,|{A∩α:A∈F}|<ℵ 1.
2Existe un conjunto{C
α:α<ω 2,αordinal l´ımite}tal que
(a)C
αes un subconjunto cerrado y no acotado deα,
(b) siβ<αyC
α∩βes cofinal enβ, entoncesC β=Cα∩β,y
(c) sicf(α)≤ℵ
0,entonces|C α|≤ℵ0.
Algunas de las implicaciones existentes son las siguientes:
3
+
⇒ 3⇒HC
⇓⇓
HK ¬HS
Este ap´endice de axiomas adicionales para la Teor´ıa de Conjuntos no puede
finalizar sin el estelarAxioma de Constructibilidad.Lanoci´on de constructibi-
lidadenTeor´ıa de Conjuntos fue introducida por G¨odel en 1938 para demostrar
la consistencia del Axioma de Elecci´on y de la Hip´otesis Generalizada del
Continuo con los axiomasZFyZFC, respectivamente. La motivaci´on para la
noci´on de constructibilidad es m´as o menos como sigue. Trabajando con los
axiomasZF,eluniversoVde todos los conjuntos se “obtiene” comenzando
con el conjunto vac´ıo∅e iterando la operaci´on de tomar conjunto potencia.
De esta manera se obtiene la jerarqu´ıaacumulativa:
V
0=∅
V
α=
[
{P(V β):β<α}.
Y entonces tenemos
V=
[
α∈Ord
Vα.
La raz´on de por qu´e ciertas cuestiones sobre la jerarqu´ıaacumulativanoson
contestables conZFoZFCes el hecho de que la noci´on de conjunto potencia
es bastante vaga; sabemos queP(X)eselconsistedetodoslos subconjuntos de
X;pero¿qu´esignifica aqu´ıtodos?Eluniverso constructible,L,se obtiene al
“hacer preciso” el significado detodosy tomar, para cualquier conjuntoA,
al conjunto potencia deAlo m´as peque˜no posible, sin contradecir a los dem´as
axiomas. A los conjuntos que integranLse les llamaconjuntos construibles.
El Axioma de Constructibilidad postula queVes igual aL.
Axioma de ConstructividadTodo conjunto es construible.

338. Ap´endice C. Axiomas Adicionales 327
Este extra˜no axioma es una herramienta fundamental para la investigaci´on
dentro de la Teor´ıa de Conjuntos. Por ejemplo, tres importantes consecuencias
deV=Lson: el Axioma de Elecci´on,HGCy3
+
.

339. 328 Ap´endice C. Axiomas Adicionales

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347. 336 Bibliograf´ıa
.

348. ´Indice
A
Alas, O. T., 193
aleph, 248
cero, 169
´algebra
booleana, 199
booleana completa, 313
de conjuntos, 204
algoritmo de la divisi´on, 118
Andenaes, P. R., 192
Andr´eka, H., 18
anilloP(X), 28
´arbol, 288
axioma
d´ebil de existencia, 22
d´ebil de uni´on, 22
d´ebil del conjunto potencia, 22
d´ebildelpar,22
de comprensi´on, 321
de constructividad, 326
de elecci´on, 177, 320
de elecci´onn-finito, 212
de elecci´on dependiente, 211
de elecci´on para conjuntosfini-
tos, 212
de elecciones numerables, 210
de existencia, 10, 319
de extensi´on, 10, 319, 321
de fundaci´on, 18, 319, 321
de infinitud, 102, 320
de Martin, 303
de reemplazo, 321
de uni´on, 15, 319
del conjunto potencia, 17, 319
del Par, 319
esquema de comprensi´on, 12, 319
esquema de reemplazo, 223, 320
Axiomas
de Bernays-G¨odel, 321
de cardinales grandes, 324
de Peano, 117
de Zermelo-Fraenkel, 319
B
Banach, S., 281, 286
bases de Hamel, 190
Bell,L.J.,192
Bernays, P. A., 5, 181, 210
Blass, A., 190, 204
Bolzano, B., 2
C
c´alculo
de longitudα, 229
de longitudm,107
cadena, 80
campo ordenado, 206
Cantor, G., 1—4, 170, 186, 218, 297
car´acter de un ´algebra booleana, 208
cardinal
compacto, 290
d´ebilmente compacto, 289
d´ebilmente de Mahlo, 292
d´ebilmente inaccesible, 270
de Hausdorff, 293
de Mahlo, 292
de Ramsey, 293
fuertemente inaccesible, 279
l´ımite, 268
l´ımite fuerte, 278
337

349. 338
´
Indice
medible, 287
regular, 267
secesor, 268
singular, 267
clase, 13
de equivalencia, 70
clausura, 188
algebraica, 191
co-n´ucleo, 208
cofinalidad deα, 270
Cohen, P. J., 171, 178, 323
complemento, 29
respecto de ..., 26
condici´on de la cadena contable, 300,
302
conectivos l´ogicos, 8
conjunto
alom´as numerable, 156
acotado, 109
bien ordenado, 85
cerrado y no acotado, 290
cociente, 71
completo, 299
de ´ındices, 35
de Cantor, 66
de representantes, 72
definici´on de Cantor, 1
delgado, 291
denso, 173, 297
denso en ..., 299
estacionario, 291
finito, 113, 150
finito seg´un Dedekind, 164
inductivo, 101
infinito, 150
infinito seg´un Dedekind, 164
medible seg´un Lebesgue, 189
numerable, 156
ordenado, 77
potencia, 17
pre-ordenado, 301
separable, 300
singular o unitario, 14
transitivo, 98
vac´ıo, 11
conjuntos ajenos, 24
conjuntos equipotentes, 96
conjuntos hereditariamentefinitos,
226
continuaci´on de conjuntos bien or-
denados, 184
continuidad secuencial, 188
cordenada, 30
cortadura de Dedekind, 299
cota
inferior, 81
superior, 81
cuantificadores, 9
D
Dedekind, R., 2—4, 118
diferencia de conjuntos, 25
diferencia sim´etrica, 27
E
Easton,W.B.,323
elemento, 10
m´ınimo, 80
m´aximo, 80
maximal, 80
minimal, 80
elementos comparables, 79
espacio de Stone, 316
espectro de un ´algebra Booleana,
208
F
familia
f-inductiva, 182

350. ´
Indice 339
ajena por pares, 40
casi ajena, 305
de car´acterfinito, 181
de conjuntos, 15
indizada, 35
indizada de conjuntos, 65
Feferman, S., 204, 214
Felgner, U., 191
filtro, 201
κ-completo, 286
D-gen´erico, 303
cerrado y no acotado, 290
principal, 202
sobre un conjunto, 192
f´ormula
de Bernstein, 278
de Hausdorff,278
f´ormulas, 319
Fraenkell, A. A., 224
Frege, G., 69, 99
Fremlin, D. H., 192
funci´on, 49
biyectiva, 55
caracter´ıstica, 50
composici´on, 53
constante, 50
continua, 147, 290
coordenada, 62, 68
creciente, 86
de elecci´on o selectora, 177
de Hartog, 256
decreciente, 86
extensi´on, 52
identidad, 50
inclusi´on, 50
indizadora, 65
inversa, 56
inversa derecha, 58
inversa izquierda, 58
invertible, 55
inyectiva, 55
normal, 290
proyecci´on, 50, 66
proyecci´on natural, 73
que preserva relaciones, 73
restricci´on, 52
sobreyectiva, 55
vac´ıa, 53
funciones compatibles, 60
G
G¨odel, K., 5, 170, 178, 323, 325
H
Halpern, J. D., 193, 203
Hausdorff, F., 27, 43, 79, 186, 269
Hilbert, D., 170, 186
hip´otesis
de cardinal grande, 324
de Souslin, 300
del continuo, 170
generalizada del continuo, 273
I
ideal, 200
κ-completo, 286
primo, 200
principal, 200
´ınfimo, 81
intersecci´on, 23
de una familia, 35
intervalo cerrado, 91
isomorfismo
entre ´algebras booleanas, 205
entre conjuntos ordenados, 84
J
Jech, T., 300
Jensen,R.B.,301

351. 340
´
Indice
K
Kakutani, S., 193
Kelley, J. L., 20, 193
Klimovski, G., 191
Kneser, H., 195
Kronecker, L., 3
Kunen, K., 301
Kuratowski, K., 31, 187, 281, 286
Kurucz, A., 18
L
L¨auchli, H., 194
l´ımite
inferior de una familia, 40
superior de una familia, 40
l´ınea de Souslin, 300
Landau, E., 142
Leibniz, G. W. von, 49
lema
de Kuratowski-Zorn, 183
de Tukey-Teichm¨uller, 182
de Urysohn, 194
Lembcke, J., 192
Levy, A., 195
leyesdeDeMorgan,26
l´ımite
de una sucesi´on creciente de or-
dinales, 266
Lindenbaun, A., 273
Los, J., 193, 207
Luxemburg, W. A. J., 207
M
Mahlo, P., 292
Martin,D.A.,301
mayor entero, 145
medida
σ-aditiva, 281
2-valuada, 286
miembro, 10
Mirimanoff, D., 20, 224
modelo, 214
Morse, A. P., 20
N
N´emeti, I., 18
n´umero
algebraico, 160
cardinal, 246
de Hartog, 247, 259
de Hartog de un cardinal, 257
entero, 122
natural, 98
ordinal, 218
racional, 127
real, 138
trascendental, 160
Neumann, J. von, 4, 5, 20, 99, 224
notaci´on deflecha, 292
n´ucleo, 208
O
operaci´on binaria, 111
orden
de yuxtaposici´on, 89
dual, 89
estricto, 78
inducido, 89
lexicogr´afico horizontal, 79
lexicogr´afico vertical, 79
lineal o total, 79
parcial, 77
pre-, 78, 301
producto, 90
ordinal
inicial, 246
l´ımite, 219
sucesor, 219

352. ´
Indice 341
P
par
no ordenado, 14
ordenado, 30
paradoja, 1
paradoja de Russell, 13
partici´on, 71
Peano, G., 10, 17, 118
pre-orden, 301
principio
de extensi´on de orden, 206
de inducci´on, 103
de inducci´on transfinita, 227
maximal de Hausdorff, 183
principios combinatorios, 325
producto cartesiano, 31
de una familia, 65
propiedad, 8
arquimediana, 130, 140
de densidad, 139
de la intersecci´onfinita, 202
de la m´axima cota inferior, 91
de la m´ınima cota superior, 91
Q
Quine, W. V., 20
R
relaci´on
antisim´etrica, 77
asim´etrica, 78
binaria, 44
campo de una, 45
composici´on, 47
de congruencia m´odulon,71
de equivalencia, 69
de inclusi´on, 45
de orden, 77
de pertenencia, 47
diferencia, 44
dominio de una, 45
identidad, 44
imagen de una, 45
imagen inversa de una, 45
inversa, 46
rango de una, 45
reflexiva, 69
sim´etrica, 69
transitiva, 69
vac´ıa, 44
representaci´on decimal, 145
representante, 176
ret´ıcula, 90
Russell, B., 4, 13, 20, 99, 186
Ryll-Nardzewski, C., 193, 207
S
σ-completitud, 286
Samadeni, Z., 204
Schwarz, H. M., 3
segmento inicial, 85
Sierpi´nski, W., 180, 195, 204, 273,
279
sistema
de conjuntos, 15
de funciones compatibles, 60
Skolem, T., 20, 224
Solovay, R. M., 301
Specker, E., 20, 273
Spivak, M., 142
subconjunto, 16
propio, 78
sucesi´on, 112
de Cauchy, 132, 142
de Fibonacci, 109
finita, 112
l´ımite de una, 142
semiconstante, 160
transfinita, 228
transfinita creciente, 266

353. 342
´
Indice
sucesor de un conjunto, 101
sucesor inmediato, 86
supremo, 81
de un conjunto de ordinales, 220
Szele, T., 195
T
Tarski, A., 273, 279, 286, 287
Teichm¨uler, O., 187
Tennenbaum, S., 300, 301
teorema
de Artin-Schreir, 206
de Banach-Tarski, 195
de Cantor, 163
de Cantor-Schr¨oder-Bernstein,
162
de Hahn-Banach, 191, 207
de Hartog, 257
de Hausdorff,195
de K¨onig, 264
de Nielson-Schreir, 190
de recursi´on, 106
de recursi´on generalizada, 225
de recursi´on param´etrica, 108
de recursi´on transfinita, 229
de recursi´on transfinita param´e-
trica, 231
de representaci´on de Stone, 205
de Tarski, 258
de Tychonoff, 192
del buen orden, 185
del ideal primo, 203
del ultrafiltro, 204
del valor intermedio (ejercicio
9), 147
f´ormula de Bernstein, 278
f´ormula de Hausdorff, 278
terna
no ordenada, 16
ordenada, 30
tipo de orden, 225
Tukey, J. W., 187
U
Ulam, S., 286, 287
ultrafiltro, 202
uni´on, 23
ajena, 34
de una familia, 35
unicidad del campo de los n´umeros
reales, 142
V
Vitali, G., 73, 189
W
Ward, L. E., 181, 193
Weiestrass,K.W.T.,3
Whitehead, A. N., 20
Z
Zermelo, E., 4, 175, 186, 224
Zorn, M., 187, 190