Historia de los numeros en las matematicas ccesa007
DemetrioCcesaRayme
1,616 views
50 slides
Nov 08, 2021
Slide 1 of 50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
About This Presentation
documento
Slide Content
FEMATICffi
LOS SÍMBOLOS
Ifustr@nes ¿ls LOWELL HESS
'.''
I
Tlrulo do r¡r¡ libro rn'-lnglór: nAfHEüAflC3
, Tiaduccün d¿
ToMS
R.
loul:o
o-.o*,=ocroN tt't-NovARo, s'A.DE c v
ffirGo. D-F. tméicot
. BARCELOilA
(EsDaña! . BOGOTa (Colomb¡al . SANTIAGO (Ch¡lef
.
ñffi. bga w orgqrp""¡0, an-¡a Novarc' s'A' & c'v." callo t No' 12' Naucblp¿n
ó ¡út4 Eb. & !¡lóxbo. p-
"tüfo "iá*¡"o
@n W-stlmjrffittitl€ ComPnY'
'nc"
de los
E-U-A. Protü*ta h rcprodücc¡Ón totel o psrcial'
Elr rt- ünem"an¿U"as, ¡iáli-O¿" r" é"r"o¡O.t U¡r*¿" iÉ¿et Sa¡er, comta de 10,m
E ün Rl -
*ca rüobbada
*
orsanatción Edtorid t¿ov'ro' s'A' d6 c'v-
' G l!Da, lS. pú Worrsrn ¡g¡¡¡g CoíT€ny' lnc'
Drt¡Em¡dtral*
,L
F--- -
' j,.
I
M
t
IJ HISTORIA DE
POT IRVING ADLER
:'
I,OS NÚMEROS,
Y EL ESPACIO
f
tL?
LOS SÍMBOLOS
Ifustr@nes ¿ls LOWELL HESS
'.''
I
Tlrulo do r¡r¡ libro rn'-lnglór: nAfHEüAflC3
, Tiaduccün d¿
ToMS
R.
loul:o
o-.o*,=ocroN tt't-NovARo, s'A.DE c v
ffirGo. D-F. tméicot
. BARCELOilA
(EsDaña! . BOGOTa (Colomb¡al . SANTIAGO (Ch¡lef
.
ñffi. bga w orgqrp""¡0, an-¡a Novarc' s'A' & c'v." callo t No' 12' Naucblp¿n
ó ¡út4 Eb. & !¡lóxbo. p-
"tüfo "iá*¡"o
@n W-stlmjrffittitl€ ComPnY'
'nc"
de los
E-U-A. Protü*ta h rcprodücc¡Ón totel o psrcial'
Elr rt- ünem"an¿U"as, ¡iáli-O¿" r" é"r"o¡O.t U¡r*¿" iÉ¿et Sa¡er, comta de 10,m
E ün Rl -
*ca rüobbada
*
orsanatción Edtorid t¿ov'ro' s'A' d6 c'v-
' G l!Da, lS. pú Worrsrn ¡g¡¡¡g CoíT€ny' lnc'
Drt¡Em¡dtral*
,L
F--- -
' j,.
I
M
t
IJ HISTORIA DE
POT IRVING ADLER
:'
I,OS NÚMEROS,
Y EL ESPACIO
f
tL?
t-
I PALMO
las Matemáticas
Las matemáticas constituyen una
ciencia que nos enséña a pensar de-
tenidamente en los númerós y en el
espacio. Nos ayuda a llevar la cuenta
en los deportes, a medir el área de un
piso, a calcular los impuestos que de-
bemos pagar, y a deóidirnos á h""",
una compra ventaiosa. De ellas se sir-
ve el ingeniero para diseñar una má-
q_uina. Tanto en el trabaio como en
el ju-ego, a menudo tenemos que res-
ponder a preguntas como,
¿cúántos?,
¿dz qué tam,año?,
¿a qué á¡stanc¡a?
Fara contestar a estas preguntas, es
ne,cesario emplear números; debemos
saber cómo se relacionan los números
entre
_sl,
y cómo encajan unas con
otras las distintas partes de un espa-
cio. Para tener la ceÍteza de q,r"
2
nuestras r_espuestas son las correctas,
tratamos de pensar ordenada y cuida-
d_osamente; al hacer todo esto, em-
pleamos las matemáticas.
En los remotos días en que los
hombres obtenían su alimentd únióa-
mente de la caza y de la recolección
de_ frutos y bayas, surgió la difieul-
tad de cómo llevar un registro de sus
provisiones. Contar, medir y calcular
fueron
_operaciones
más importantes,
a m_edida que los hombres primitivos
se fueron convirtiendo en agriculto-
Ies
y pastores, pues tenían que hacer
Ia medición de sus tierrar y át recuen-
to de los animales de su rebaño. Al
empezar a construir presas y canales
de irrigación, tuvieron q,t"
"ilcular
la
cantidad de tierra qu¿ tenían que
I PALMO
las Matemáticas
Las matemáticas constituyen una
ciencia que nos enséña a pensar de-
tenidamente en los númerós y en el
espacio. Nos ayuda a llevar la cuenta
en los deportes, a medir el área de un
piso, a calcular los impuestos que de-
bemos pagar, y a deóidirnos á h""",
una compra ventaiosa. De ellas se sir-
ve el ingeniero para diseñar una má-
q_uina. Tanto en el trabaio como en
el ju-ego, a menudo tenemos que res-
ponder a preguntas como,
¿cúántos?,
¿dz qué tam,año?,
¿a qué á¡stanc¡a?
Fara contestar a estas preguntas, es
ne,cesario emplear números; debemos
saber cómo se relacionan los números
entre
_sl,
y cómo encajan unas con
otras las distintas partes de un espa-
cio. Para tener la ceÍteza de q,r"
2
nuestras r_espuestas son las correctas,
tratamos de pensar ordenada y cuida-
d_osamente; al hacer todo esto, em-
pleamos las matemáticas.
En los remotos días en que los
hombres obtenían su alimentd únióa-
mente de la caza y de la recolección
de_ frutos y bayas, surgió la difieul-
tad de cómo llevar un registro de sus
provisiones. Contar, medir y calcular
fueron
_operaciones
más importantes,
a m_edida que los hombres primitivos
se fueron convirtiendo en agriculto-
Ies
y pastores, pues tenían que hacer
Ia medición de sus tierrar y át recuen-
to de los animales de su rebaño. Al
empezar a construir presas y canales
de irrigación, tuvieron q,t"
"ilcular
la
cantidad de tierra qu¿ tenían que
Los antiguos mercad,eres, constructores A
naoegantes, empleaban lns matemóticas pora
resohser ws problernas
remover y cuántas piedras y ladrillos
habría que colocar. Los capataces te-
nían que saber de antemano cuánta
comidá habría que almacenar para los
trabaiadores.
Los carpinteros y los albarliles tu-
vieron que hacer cálculos y medicio-
nes al cbnshuír habitaciones para el
pueblo, palacios para sus gobernantes
y grandés tumbas en forma de Pirá-
mides para sus reyes.
Al surgir el comercio, los mercade-
res tuvieron que medir y
Pesar
sus
artículos, ponerles precio, calcular su
costo y sus ganancias.
Los recaudadores de impuestos
necesitaron fiiar las tasas y llevar
registros. Para realizar todas estas
actividades, el hombre inventó la
aritmüi"m, eüe es el estudio de los
números , y la geometría, que estudia
el espacio.
Para predecir los cambios de esta-
ción, toi sacerdotes estudiaban los
movimientos del Sol, la Luna y las es-
trellas. Los navegantes también ob-
servaban el firmamento, guiándose
por la posición de los astros. Y para
ayudar a estos hombres en sus tareas,
se inventó la trigorcmetría, que es el
estudio de la relación entre las dis-
tancias y las direcciones.
Al extenderse el comercio Por
todo
el mundo, tenían que rePetirse a'
menudo los mismos tipos de cáleulos,
por lo eual, para ahorrar üemPo, los
matemáticos establecieron reglas para
efectua¡los y métodos para resolver
muehos problemas en forma ráPida;
tales fueron las bases del ólgebra.
naoegantes, empleaban lns matemóticas pora
resohser ws problernas
remover y cuántas piedras y ladrillos
habría que colocar. Los capataces te-
nían que saber de antemano cuánta
comidá habría que almacenar para los
trabaiadores.
Los carpinteros y los albarliles tu-
vieron que hacer cálculos y medicio-
nes al cbnshuír habitaciones para el
pueblo, palacios para sus gobernantes
y grandés tumbas en forma de Pirá-
mides para sus reyes.
Al surgir el comercio, los mercade-
res tuvieron que medir y
Pesar
sus
artículos, ponerles precio, calcular su
costo y sus ganancias.
Los recaudadores de impuestos
necesitaron fiiar las tasas y llevar
registros. Para realizar todas estas
actividades, el hombre inventó la
aritmüi"m, eüe es el estudio de los
números , y la geometría, que estudia
el espacio.
Para predecir los cambios de esta-
ción, toi sacerdotes estudiaban los
movimientos del Sol, la Luna y las es-
trellas. Los navegantes también ob-
servaban el firmamento, guiándose
por la posición de los astros. Y para
ayudar a estos hombres en sus tareas,
se inventó la trigorcmetría, que es el
estudio de la relación entre las dis-
tancias y las direcciones.
Al extenderse el comercio Por
todo
el mundo, tenían que rePetirse a'
menudo los mismos tipos de cáleulos,
por lo eual, para ahorrar üemPo, los
matemáticos establecieron reglas para
efectua¡los y métodos para resolver
muehos problemas en forma ráPida;
tales fueron las bases del ólgebra.
*t
.:.
Los hombres han empleado los
símbolos .numéricos escriios desde
h""9 siete mil años, aproxim"d"*urr_
te. Con el transcurso iel tiempo, in_
ventaron nuevos y mejores *Ztodos
de escribir los números: Ái-p;i""tp";
.
ctr} tw$il
$wfgiiti'iill
los representaban por rnedio de io"t
siones gl pe-daZos- de madera, o de
líneas dibujadas en el suelo. Todavía
utilizamos este sistema cuando escri-
bimos los numerales ,o*"rro, I, II y
III. También encontramos estar'fitií_
.:.
Los hombres han empleado los
símbolos .numéricos escriios desde
h""9 siete mil años, aproxim"d"*urr_
te. Con el transcurso iel tiempo, in_
ventaron nuevos y mejores *Ztodos
de escribir los números: Ái-p;i""tp";
.
ctr} tw$il
$wfgiiti'iill
los representaban por rnedio de io"t
siones gl pe-daZos- de madera, o de
líneas dibujadas en el suelo. Todavía
utilizamos este sistema cuando escri-
bimos los numerales ,o*"rro, I, II y
III. También encontramos estar'fitií_
NI]MERO
I3 CENTAVOS
SEPARE tOS CENTAVOS EN DOS GRUPOS:
UNO DE DIEZ, Y UNO DE TRES
En los números ardbigos mayues de
g,
el t¡alor ¡le cada dígito ilepenil,e de su posir;itln
ü
T
ü
1
ffil
cAl BlE EL GRUPO DE
POR UNA IAONEDA DE
at,
u¡
o
o
z
3
ú,
z
lt¡
(J
r¡¡
o
tn
z
l¡J
F
z
l¡J
(,
u
n1
?=
O r¡¡
2a
:)
ras, aunque ya transformadas, en los
números arábigos 2 y 3, Empezaron a
usarse eomo conir:ntos de rayitas se-
paradas. Posteriomrente, al escribirse
las rayitas rápidalnente, se unieron en
diferentes sfmbolos.
La nr:meracién arábiga consta sólo
de üez sfmbblos: los dlgitos 0, 1, 2,
3,4,"5,6,'7,8,y 9; pero cón estos Ai"ú
dígitos, podemos formar cualquier ,
número. Lo hace,rros separando las ,l
cifras grandes en gnrpos, tal crmo se-
paramos las eantidades de dinero.
Por eiemplo, podemos separar trece
centavss en dos grupos: r¡no de diez
#
,ffi
#
#
s
$
s
ü
I
3
y otro de tres. Podtrnos ca¡nbiar los
diez centavos por una moneda de üez
centavos. En tal forrra, tendrems
unlo moneda de díez centavos y tres
monedas de un centavo. Y esta canti-
dad la representamos con la cifra 13.
El I escrito en el segundo lugar a
partir de Ia derechq representa un
grupo de diez, asl como una moneda
de diez centavos representa un con-
iunto de diez monedas de un centavo.
De igual modq un número escrito
en el tercer lugar a partir de la dere-
cha representa coniuntos de ciéntos; el
cuarto t"*:, grupos de millares, etc.-
5
I
L-
I3 CENTAVOS
SEPARE tOS CENTAVOS EN DOS GRUPOS:
UNO DE DIEZ, Y UNO DE TRES
En los números ardbigos mayues de
g,
el t¡alor ¡le cada dígito ilepenil,e de su posir;itln
ü
T
ü
1
ffil
cAl BlE EL GRUPO DE
POR UNA IAONEDA DE
at,
u¡
o
o
z
3
ú,
z
lt¡
(J
r¡¡
o
tn
z
l¡J
F
z
l¡J
(,
u
n1
?=
O r¡¡
2a
:)
ras, aunque ya transformadas, en los
números arábigos 2 y 3, Empezaron a
usarse eomo conir:ntos de rayitas se-
paradas. Posteriomrente, al escribirse
las rayitas rápidalnente, se unieron en
diferentes sfmbolos.
La nr:meracién arábiga consta sólo
de üez sfmbblos: los dlgitos 0, 1, 2,
3,4,"5,6,'7,8,y 9; pero cón estos Ai"ú
dígitos, podemos formar cualquier ,
número. Lo hace,rros separando las ,l
cifras grandes en gnrpos, tal crmo se-
paramos las eantidades de dinero.
Por eiemplo, podemos separar trece
centavss en dos grupos: r¡no de diez
#
,ffi
#
#
s
$
s
ü
I
3
y otro de tres. Podtrnos ca¡nbiar los
diez centavos por una moneda de üez
centavos. En tal forrra, tendrems
unlo moneda de díez centavos y tres
monedas de un centavo. Y esta canti-
dad la representamos con la cifra 13.
El I escrito en el segundo lugar a
partir de Ia derechq representa un
grupo de diez, asl como una moneda
de diez centavos representa un con-
iunto de diez monedas de un centavo.
De igual modq un número escrito
en el tercer lugar a partir de la dere-
cha representa coniuntos de ciéntos; el
cuarto t"*:, grupos de millares, etc.-
5
I
L-
ffi
$
--
pn"e no se Pueden o-,Jfffi:l
Ha_gamos una representación obie-
tiva de cualquier número entero em-
pleando hileras de fichas. para
hacer
esto, hay que emplear tantas fichas
como unidades tenga el número.
Una hilera de cuatro fichas puede
separarse en dos hileras de dos fichas
cada una. Si colocamos estas dos hile-
ras una debajo de la otra, Ias fiehas
formarán un rectángulo, de igual mo-
do, se pueden formar rectángulos
con 6, 8, I ó 10 fichas. Por esto, lla-
mamos ruimeros rectangulnres a estos
números. El rectángulJque se puede
formar con el número diez tendiá dos
hileras de cinco fichas. Observemos
que 2 X 5
-
L0. Todos los ruimeros
rectangul,a,res son el producto de dos
o mas nú,meros más pequeños.
Pero hay algunos números que no
podemos descomponer de esta maqe-
ra. Eiemplo: no es posible hacer que
siete fichas formen un rectángulo. Se
pueden distribuir las fichas en siete.
Un número "rectanguhr", o rw prómo, siempre es el produc-to de nítmeros m.as p,equeños
hileras de una fieha cada una, hasta
formar una.hilera o una
"ol"mou
á"
siete fichas. El número 7 no eS urr nú-
mero rectangular. Los números que
no pueden descomponerse de maréra
que formen rectángulos, se llaman
números primos.
. Existe un método sencillo para de-
terminar si un número es rectangular
o primo. Este método recibe el nom-
bre de Criba de Eratóstenes, en honor
del matemático griego que inventó el
sistema dos siglos antes del nacimien-
to de
Jesuoristo. Imaginemos todos
los'números enteros, a partir del dos,
arreglados en una hilera, de menor a
mayor y en orden progresivo. El nú-
mero dos, que encabeza la hilera, es
un número primo. Ahora, contemos
de dos en dós y tachemos cada nú-
mero que obtengamos en esta forma,
descartando así el dos y todos sus
múltiplos. El 4, el6, el d, etc., serán
números rectangulares. De los núme-
i¡
'li
il
#
q
I
{
$t
'",..
I
o
$
--
pn"e no se Pueden o-,Jfffi:l
Ha_gamos una representación obie-
tiva de cualquier número entero em-
pleando hileras de fichas. para
hacer
esto, hay que emplear tantas fichas
como unidades tenga el número.
Una hilera de cuatro fichas puede
separarse en dos hileras de dos fichas
cada una. Si colocamos estas dos hile-
ras una debajo de la otra, Ias fiehas
formarán un rectángulo, de igual mo-
do, se pueden formar rectángulos
con 6, 8, I ó 10 fichas. Por esto, lla-
mamos ruimeros rectangulnres a estos
números. El rectángulJque se puede
formar con el número diez tendiá dos
hileras de cinco fichas. Observemos
que 2 X 5
-
L0. Todos los ruimeros
rectangul,a,res son el producto de dos
o mas nú,meros más pequeños.
Pero hay algunos números que no
podemos descomponer de esta maqe-
ra. Eiemplo: no es posible hacer que
siete fichas formen un rectángulo. Se
pueden distribuir las fichas en siete.
Un número "rectanguhr", o rw prómo, siempre es el produc-to de nítmeros m.as p,equeños
hileras de una fieha cada una, hasta
formar una.hilera o una
"ol"mou
á"
siete fichas. El número 7 no eS urr nú-
mero rectangular. Los números que
no pueden descomponerse de maréra
que formen rectángulos, se llaman
números primos.
. Existe un método sencillo para de-
terminar si un número es rectangular
o primo. Este método recibe el nom-
bre de Criba de Eratóstenes, en honor
del matemático griego que inventó el
sistema dos siglos antes del nacimien-
to de
Jesuoristo. Imaginemos todos
los'números enteros, a partir del dos,
arreglados en una hilera, de menor a
mayor y en orden progresivo. El nú-
mero dos, que encabeza la hilera, es
un número primo. Ahora, contemos
de dos en dós y tachemos cada nú-
mero que obtengamos en esta forma,
descartando así el dos y todos sus
múltiplos. El 4, el6, el d, etc., serán
números rectangulares. De los núme-
i¡
'li
il
#
q
I
{
$t
'",..
I
o
CUENTE
DE DOS EN DOS
CUENTE
DE TRES eñ rnrs
CUENTE
oe c'r.¡éó'e¡¡- cr¡¡co
.,',,' :.,..€.tJF T,E.:.ir,,
DG.l$.l.ET€.,;€$'.
I :.: : :r.i:, r.ri.:. iti:itiliti:.:i
'Í$
L3
ffi
Otr
!i7
\:;**y_*,qrr/
7
Los números primos no se pueden expresar
como el producto de ntimeros más pequeños
I
Med.iante ln. criba d,e Eratóstenes, se pueden determinar los números primos
ros que no hemos tachado, el tres
"ncab"ra
la lista, por lo que éste será
el número primo que sigue al dos.
Luego, tacharemos los números que
vayamos obteniendo al contar de tres
en tres. Se obtendrán así números
enteros como 9 y 15, con los que se
pueden formar rectángulos de tres
hileras. El número que encabeza
ahora la lista es el cinco, el cual es el
tercer número primo. Si continuamos
tachando de esta manera, obtendre-
mos los múltiplos de cada uno de los
números primos, y después de haber
descartado cada familia de números,
el número que encabece la lista será el
siguiente número primo.
DE DOS EN DOS
CUENTE
DE TRES eñ rnrs
CUENTE
oe c'r.¡éó'e¡¡- cr¡¡co
.,',,' :.,..€.tJF T,E.:.ir,,
DG.l$.l.ET€.,;€$'.
I :.: : :r.i:, r.ri.:. iti:itiliti:.:i
'Í$
L3
ffi
Otr
!i7
\:;**y_*,qrr/
7
Los números primos no se pueden expresar
como el producto de ntimeros más pequeños
I
Med.iante ln. criba d,e Eratóstenes, se pueden determinar los números primos
ros que no hemos tachado, el tres
"ncab"ra
la lista, por lo que éste será
el número primo que sigue al dos.
Luego, tacharemos los números que
vayamos obteniendo al contar de tres
en tres. Se obtendrán así números
enteros como 9 y 15, con los que se
pueden formar rectángulos de tres
hileras. El número que encabeza
ahora la lista es el cinco, el cual es el
tercer número primo. Si continuamos
tachando de esta manera, obtendre-
mos los múltiplos de cada uno de los
números primos, y después de haber
descartado cada familia de números,
el número que encabece la lista será el
siguiente número primo.
lf,-
ll
'-:]]
Las Formas de los Números
recibe el nombre de número triangu-
lar. Los primeros cuatro númeios
triangulares son: el l, el 3, el 6 y el
10.
¿Cuál es el séptimo número trian-
gol"t? Una de las maneras de saberlq
consiste en formar el séptimo triángu-
lo y conta¡ el número de fichas que
contiene. Pero existe un método sim-
plificado que podemos aplicar. El
grabado de la página derecha mues-
tra el séptimo triángulo, con otro si-
milar invertido. Los dos triángulos
Los números, como las personas,
tienen variadas formas. Algunos nú-
meros son rectangulares; otros forman
triángulos, cuadrados o cubos.
Nútr,rEnos rRraNcnLAxBs
Se pueden encontrar. números que
forman triángulos colocando hileras
de fichas,
-unas
debaio de otras. Se
pone una ficha'en la primera hilera,
dos enlla segunda, tres en Ia tercera,
y así sucesivamente. El número total
ll
'-:]]
Las Formas de los Números
recibe el nombre de número triangu-
lar. Los primeros cuatro númeios
triangulares son: el l, el 3, el 6 y el
10.
¿Cuál es el séptimo número trian-
gol"t? Una de las maneras de saberlq
consiste en formar el séptimo triángu-
lo y conta¡ el número de fichas que
contiene. Pero existe un método sim-
plificado que podemos aplicar. El
grabado de la página derecha mues-
tra el séptimo triángulo, con otro si-
milar invertido. Los dos triángulos
Los números, como las personas,
tienen variadas formas. Algunos nú-
meros son rectangulares; otros forman
triángulos, cuadrados o cubos.
Nútr,rEnos rRraNcnLAxBs
Se pueden encontrar. números que
forman triángulos colocando hileras
de fichas,
-unas
debaio de otras. Se
pone una ficha'en la primera hilera,
dos enlla segunda, tres en Ia tercera,
y así sucesivamente. El número total
forman un rectángulq por lo que el
número triangulax es la mitad del nú-
mero rectangular. El rectángulo de la
ilustraeión tiene siet€ hileras de ocho
fichas cada una. Por lo tanto, el nú-
mero rectangular es 7 X S, ó sea 56.
Y Ia mitad es 28. De-esto se deduce
que para encontrar un número trian-
gol"t, se multiplica el número de hile-
ras del triángulo por el número próxi-
mo más alto, y luego se divide , el
pr,oducto entre dos. Para déterminar
el octavo número triangular, divida
entre dos el producto d;S X-9.
,¡iú-MEaos crrADRADos
Forniamos los nrlmeros cuadrados
haciendo rectángulos en los que el
número de hileras sea igual al número
de fichas de eada hilera. El cuadrado
más pequeño tiene sólo una hilera;
por lo tanto, el número euadrado más
pequeño es el 1. El siguiente cuadra-
do tiene dos hileras, con dos fichas en
cada hilera, por lo que el siguiente
cuadrado es: 2 X 2, ó sea 4. El ter-
cer número cuadrado es 3 X 3, ó s'ea
9. Para obtener un cuadrado, raul-
tiplique cualquier número por sí
mismo. El séptimo número cuadrado
es 7 X 7, 6 sa 49. Lo llamamos "siete
al cuadrado", y lo expresamos asl'.72,
El pequeño dos escrito en la parte
superior derecha, es una de las mane-
ras de expresar qilé el siete se tomará
dos veees como multiplicador.
Los números cuadrados se relacio-
9
número triangulax es la mitad del nú-
mero rectangular. El rectángulo de la
ilustraeión tiene siet€ hileras de ocho
fichas cada una. Por lo tanto, el nú-
mero rectangular es 7 X S, ó sea 56.
Y Ia mitad es 28. De-esto se deduce
que para encontrar un número trian-
gol"t, se multiplica el número de hile-
ras del triángulo por el número próxi-
mo más alto, y luego se divide , el
pr,oducto entre dos. Para déterminar
el octavo número triangular, divida
entre dos el producto d;S X-9.
,¡iú-MEaos crrADRADos
Forniamos los nrlmeros cuadrados
haciendo rectángulos en los que el
número de hileras sea igual al número
de fichas de eada hilera. El cuadrado
más pequeño tiene sólo una hilera;
por lo tanto, el número euadrado más
pequeño es el 1. El siguiente cuadra-
do tiene dos hileras, con dos fichas en
cada hilera, por lo que el siguiente
cuadrado es: 2 X 2, ó sea 4. El ter-
cer número cuadrado es 3 X 3, ó s'ea
9. Para obtener un cuadrado, raul-
tiplique cualquier número por sí
mismo. El séptimo número cuadrado
es 7 X 7, 6 sa 49. Lo llamamos "siete
al cuadrado", y lo expresamos asl'.72,
El pequeño dos escrito en la parte
superior derecha, es una de las mane-
ras de expresar qilé el siete se tomará
dos veees como multiplicador.
Los números cuadrados se relacio-
9
I
2
'3
4
"6'
7
8
9,
r0
nan con los números impares ( nfrme-
ros que no pueden formar rectángulos
de dos líneas ). Si hacemos una lista
de los números impares, en orden pro-
gresivo, y escogemos cualquiera de
ellos, la suma de esos n{rmeros, incluso
el que hemos escogido, será siempre
un número cuadrado. El grabado nos
lo explica cilaramente.
Los números cuadrados también se
relacionan
-con
los triangulares. Si
'',. ]
1
La suma, de cualquier serie de númergs-
impares consecufrirsos es siempre un n(tmero
cuadradn
-
*-----
-- i: r
:22ó
4
+3+5:31 9
sumarnos cualquier número triangu-
lar con el siguiénte número triangu--lat
mayor, obtendremos invariablemente
un cuadrado.
rv{rrnrnnos cúsrcos
Si empleamos dados en vez de fi-
chas, podemos colocarlos en hileras
para formar un cuadrado, y encima
de éste se pueden poner cuadrados
formados por dados. Cuando el nú-
1+J+$+ 4'¿ 16
2
'3
4
"6'
7
8
9,
r0
nan con los números impares ( nfrme-
ros que no pueden formar rectángulos
de dos líneas ). Si hacemos una lista
de los números impares, en orden pro-
gresivo, y escogemos cualquiera de
ellos, la suma de esos n{rmeros, incluso
el que hemos escogido, será siempre
un número cuadrado. El grabado nos
lo explica cilaramente.
Los números cuadrados también se
relacionan
-con
los triangulares. Si
'',. ]
1
La suma, de cualquier serie de númergs-
impares consecufrirsos es siempre un n(tmero
cuadradn
-
*-----
-- i: r
:22ó
4
+3+5:31 9
sumarnos cualquier número triangu-
lar con el siguiénte número triangu--lat
mayor, obtendremos invariablemente
un cuadrado.
rv{rrnrnnos cúsrcos
Si empleamos dados en vez de fi-
chas, podemos colocarlos en hileras
para formar un cuadrado, y encima
de éste se pueden poner cuadrados
formados por dados. Cuando el nú-
1+J+$+ 4'¿ 16
.q
1
+3
4¿2'
ryffi1
:d s,';,!r, .,tru I
3 i*o',-,;;-.,"$
3
+$
A
9¿ 3'6
10
+S
r¿o 42
10
mero de capas sea igual ai número
de dados que hal' en una hilera, ha-
bremos form¿do un rubo, Ese núrnero
de dados que forma el cubo es un
número cúbico. El número cúbico
rnás pequeño es el L. El segundo es
2 X 2 X 2, o sea 8. Lo llamamos "dos
10
, +15
Q
,
25¿
l::i5É$l,:¿iliilirf,:-.¡,ii¡.:,i1-rliir!i4ii;i;lr;-",jlljtr:!:iiir'i:airi:?¡.
\-
'!.
e,"
?
}
1C
15
¿r1 ctr'l-o'' r'1o reprerentamo.s ¿rsí: ?r]. EI
pequerlo tres que se escribe er, la pilr-
te sr-rpelior clereclia inciicir que ei
dos se en-rpleó colrro niultiplicador tres
\:eces. El quinto número cúbico es
"cinco al cnbo". Se reprcsenta asi: 53
v sigrrific¿r 5 X 5 X. 5, ó sea 125.
2'
53
A-
?*
,t
fr
4q&
;
'!!
¡--. :
\:-1.:.¡
':a. i
¡É!
'!ü
I
¡
:
{
i
j
i
1
+3
4¿2'
ryffi1
:d s,';,!r, .,tru I
3 i*o',-,;;-.,"$
3
+$
A
9¿ 3'6
10
+S
r¿o 42
10
mero de capas sea igual ai número
de dados que hal' en una hilera, ha-
bremos form¿do un rubo, Ese núrnero
de dados que forma el cubo es un
número cúbico. El número cúbico
rnás pequeño es el L. El segundo es
2 X 2 X 2, o sea 8. Lo llamamos "dos
10
, +15
Q
,
25¿
l::i5É$l,:¿iliilirf,:-.¡,ii¡.:,i1-rliir!i4ii;i;lr;-",jlljtr:!:iiir'i:airi:?¡.
\-
'!.
e,"
?
}
1C
15
¿r1 ctr'l-o'' r'1o reprerentamo.s ¿rsí: ?r]. EI
pequerlo tres que se escribe er, la pilr-
te sr-rpelior clereclia inciicir que ei
dos se en-rpleó colrro niultiplicador tres
\:eces. El quinto número cúbico es
"cinco al cnbo". Se reprcsenta asi: 53
v sigrrific¿r 5 X 5 X. 5, ó sea 125.
2'
53
A-
?*
,t
fr
4q&
;
'!!
¡--. :
\:-1.:.¡
':a. i
¡É!
'!ü
I
¡
:
{
i
j
i
los Conejot y las Plantas
Un hombre compró una Pareja
de
coneios y cuidó de ellos. Esta paréja
procreó un par de conejitos
-un
rnes
después, y un segunclo par de cone-
jitoi ai segundo mes. Luego, dejó de
procrear. Cada nueva pareja cle cone-
¡itos tuvo a su vez dos Parejas
de
conejitos en el mismo período y luego
no tuvieron más crías. ¿Cuántas
nue-
vas parejas de conejos tuvo este hom-
bre cada mes?
Para contestar a esta Pregunta,
hagamos un esquema del número de
parejas en cada generación de cone-
ios.
Escribamos el número 1 para re-
presentar la primera pareja con la
qtre el hombre empezíla cría. Anote-
rnor
"n
seguida el número I para de-
signar ccín él la pareja de conejos que
nació al mes.
Al siguiente mes, ambas pareias
tuvieron crías, así que el sigtriente
número es el 2. Hasta ahora tenemos
tres núnleros en el esquema: 1, I y
2. Cada número representa una nue-
va generación. En este.momento, la
primera generación deió de procrear.
La segunda generación (una pareja)
procreó una pareia. La tercera genera-
ción (dos parejas ) produjo, a su vez,
dos nuevas pareias. Por lo tanto, el
número que escribimos es I + 2, 6
EsrA cotuMNA tNDtcA ¡l Húm¡no ToTAt
DE
pAREJAS, PoR
-CADA
ot¡¡rnlclótl
ESTA COTUMNA INDICA
tAS GENERACIONES DE CONEJOS
Un hombre compró una Pareja
de
coneios y cuidó de ellos. Esta paréja
procreó un par de conejitos
-un
rnes
después, y un segunclo par de cone-
jitoi ai segundo mes. Luego, dejó de
procrear. Cada nueva pareja cle cone-
¡itos tuvo a su vez dos Parejas
de
conejitos en el mismo período y luego
no tuvieron más crías. ¿Cuántas
nue-
vas parejas de conejos tuvo este hom-
bre cada mes?
Para contestar a esta Pregunta,
hagamos un esquema del número de
parejas en cada generación de cone-
ios.
Escribamos el número 1 para re-
presentar la primera pareja con la
qtre el hombre empezíla cría. Anote-
rnor
"n
seguida el número I para de-
signar ccín él la pareja de conejos que
nació al mes.
Al siguiente mes, ambas pareias
tuvieron crías, así que el sigtriente
número es el 2. Hasta ahora tenemos
tres núnleros en el esquema: 1, I y
2. Cada número representa una nue-
va generación. En este.momento, la
primera generación deió de procrear.
La segunda generación (una pareja)
procreó una pareia. La tercera genera-
ción (dos parejas ) produjo, a su vez,
dos nuevas pareias. Por lo tanto, el
número que escribimos es I + 2, 6
EsrA cotuMNA tNDtcA ¡l Húm¡no ToTAt
DE
pAREJAS, PoR
-CADA
ot¡¡rnlclótl
ESTA COTUMNA INDICA
tAS GENERACIONES DE CONEJOS
sea 3.. En este momento, la segunda
generación dejó de procrear, pero la
tercera generaciótr (dos pareias) pro-
duio dos pareias y Ia cuarta genera-
ción (tres parejas) proereó tres.pare-
ias, por lo que el número siguiente
que escribiremos será 2 + 3, ó sea 5.
Cada mes, sólo las dos últimas ge-
neraciones tuvieron hiios, así que
podemos obtener el siguiente número
sumando las dos últimas cifras de la
columna. Los números que obtenemos
en esta forma se llaman números de
Fibonacci. Los primeros doce son: 1,
I, 2,3, 5, g,
13, 2r, U,55,
gg y L44.
Estos números tienen propiedades
muy interesantes; surgen a cada mo-
mento en Ia naturalez.a y en el arte.
He aquí una de las propiedades de
estos números. Escoiamos tres núme-
ros cualesquiera, sucesivos. Multipli-
quemos por sí mismo el número de
en medio, y el primero por el tercero.
Los resultados siempre diferirán en
una unidad. Por eiemplo, si escoge.
mos los números de Fibonacci 3, 5 y
8, tendremos: 52 -
5 X 5 -
25, en
tanto que 3 X 8 : 2A. Si los números
elegidos son ó, 8 y 13, se tendrá:
82:64,y 5 X 18 -
65.
Ahora bien, si dividimos cada uno
de los números de Fibonacci entre su
vecino de la derecha, obtenemos una
serie de fracciones:
112 35 8 132134 55 39
-r-, -, -, -,
-t
_, _, _, _,
-
123591321345589144
Estas fracciones describen el crb-
cimiento de las plantas. Cuando na-
gen hojas tt revai en una planta, se
disponen en espiral alrededor del
tallo. La espiral va girando de abaio
hacia arriba; la magnitud de Ia vuelia
de una hoia a Ia siguiente, es una
Las
fracciones de Fibonacci tienen oar'ws
propiedad,es interesantes. tlna d,e ellas se
puede emple_ar para desuibtr las espirales
que forman las hoia"s de Ins plnntas caando
brotan del tallo. La distribución de lns hoias
ntperiores permite que los raqos d,el Sol se
'
filtren ho,sta las hoias más bá¡as
fracción de una rotación completa
alrededor del tallo. Esta fracción es
siempre una de las fracciones de Fi-
bonacci. Las fracciones de Fibonacci
aparecen siempre en la disposición
de las brácteas del cono de un pino
o en la de los flósculos de una floi.
l3
generación dejó de procrear, pero la
tercera generaciótr (dos pareias) pro-
duio dos pareias y Ia cuarta genera-
ción (tres parejas) proereó tres.pare-
ias, por lo que el número siguiente
que escribiremos será 2 + 3, ó sea 5.
Cada mes, sólo las dos últimas ge-
neraciones tuvieron hiios, así que
podemos obtener el siguiente número
sumando las dos últimas cifras de la
columna. Los números que obtenemos
en esta forma se llaman números de
Fibonacci. Los primeros doce son: 1,
I, 2,3, 5, g,
13, 2r, U,55,
gg y L44.
Estos números tienen propiedades
muy interesantes; surgen a cada mo-
mento en Ia naturalez.a y en el arte.
He aquí una de las propiedades de
estos números. Escoiamos tres núme-
ros cualesquiera, sucesivos. Multipli-
quemos por sí mismo el número de
en medio, y el primero por el tercero.
Los resultados siempre diferirán en
una unidad. Por eiemplo, si escoge.
mos los números de Fibonacci 3, 5 y
8, tendremos: 52 -
5 X 5 -
25, en
tanto que 3 X 8 : 2A. Si los números
elegidos son ó, 8 y 13, se tendrá:
82:64,y 5 X 18 -
65.
Ahora bien, si dividimos cada uno
de los números de Fibonacci entre su
vecino de la derecha, obtenemos una
serie de fracciones:
112 35 8 132134 55 39
-r-, -, -, -,
-t
_, _, _, _,
-
123591321345589144
Estas fracciones describen el crb-
cimiento de las plantas. Cuando na-
gen hojas tt revai en una planta, se
disponen en espiral alrededor del
tallo. La espiral va girando de abaio
hacia arriba; la magnitud de Ia vuelia
de una hoia a Ia siguiente, es una
Las
fracciones de Fibonacci tienen oar'ws
propiedad,es interesantes. tlna d,e ellas se
puede emple_ar para desuibtr las espirales
que forman las hoia"s de Ins plnntas caando
brotan del tallo. La distribución de lns hoias
ntperiores permite que los raqos d,el Sol se
'
filtren ho,sta las hoias más bá¡as
fracción de una rotación completa
alrededor del tallo. Esta fracción es
siempre una de las fracciones de Fi-
bonacci. Las fracciones de Fibonacci
aparecen siempre en la disposición
de las brácteas del cono de un pino
o en la de los flósculos de una floi.
l3
I
¡
I
Bl Ángulo Recto
El ángulo que empleamos más a
menudo es el que mide 90 grados. Lo
llamamos ángulo recto.
Los albañiles forman un ángulo
recto por medio de cuerdas. Fijan una
cuerda horizontal con un nivel y co-
locan otra cuerda vertical suspendien-
do un peso o plomada en el extremo
libre. Así forman un ángulo recto
exacto, que los guiará para tender las
hiladas .de ladrillos. De este modo,
los muros de las casas que construyen
estarán derechos y a plorno.
En el antiguo Egipto, los agrimen-
sores formaban un ángulo recto por
el procedimiento de "tender una
soga"; empleaban una cuerda dividi-
da en doce espacios iguales por me-
dio de nudos. Un trabaiador sostenla,
juntos, los dos extremos de la soga, en
tanto que otro sujetaba el nudo que
marcaba tres espacios a partir del
extremo, y un tercer hombre detenía
con la mano el nudo que indicaba
cuatro espacios contados del otro ex-
tremo. Sila cuerda estaba tirar-Ée, se
formaba un ángulo recto.
",,
Una manera de formar un ángulo
recto consiste en doblar una hoia de
papel. Se dobla y se vuelvd'a doblar,
haciendo coincidir los dobleces.
Un ángulo recto mide 90 grados. Los anti-
guos egipcios formaban los á,ngulos rectos
manteniendo tirante urua cuerd,a anudnda
uniformemente
¡
I
Bl Ángulo Recto
El ángulo que empleamos más a
menudo es el que mide 90 grados. Lo
llamamos ángulo recto.
Los albañiles forman un ángulo
recto por medio de cuerdas. Fijan una
cuerda horizontal con un nivel y co-
locan otra cuerda vertical suspendien-
do un peso o plomada en el extremo
libre. Así forman un ángulo recto
exacto, que los guiará para tender las
hiladas .de ladrillos. De este modo,
los muros de las casas que construyen
estarán derechos y a plorno.
En el antiguo Egipto, los agrimen-
sores formaban un ángulo recto por
el procedimiento de "tender una
soga"; empleaban una cuerda dividi-
da en doce espacios iguales por me-
dio de nudos. Un trabaiador sostenla,
juntos, los dos extremos de la soga, en
tanto que otro sujetaba el nudo que
marcaba tres espacios a partir del
extremo, y un tercer hombre detenía
con la mano el nudo que indicaba
cuatro espacios contados del otro ex-
tremo. Sila cuerda estaba tirar-Ée, se
formaba un ángulo recto.
",,
Una manera de formar un ángulo
recto consiste en doblar una hoia de
papel. Se dobla y se vuelvd'a doblar,
haciendo coincidir los dobleces.
Un ángulo recto mide 90 grados. Los anti-
guos egipcios formaban los á,ngulos rectos
manteniendo tirante urua cuerd,a anudnda
uniformemente
Los Triángulos y la Distancia
Entre Ia Tierra y Ia Luna
Los triángolor pueden ser de dife-
rentes magnitudes y formas, pero los
tres ángulos de cualquier triángulo
siempre suman el mismo número de
grados. Para darnos cuenta de esto,
cortemos un triángulo de papel; lue-
go, separemos con las tiieras sus tres
ángulos. Coloquemos después lado
con lado y esquina con esquina, y
veremos que la suma de los tres án-
golor es igual a 1800, es decir, for-
marán dos ángulos rectos. Éste es un
dato importante, porque nos permite
averiguar las magnitudes de los án-
gulos de los triángulos, aunque sólo
midamos dos de ellos. Por eiemplo, si
uno de los ángulos mide 40 grados y
el segundo 60, podremos saber cuán-
tos grados mide el tercero, sin que Io
midamos directamente. Bastará con
sumar 40 más 60. y restar el resultadn
de 180. El tercer ángulo, en este
caso, medirá 80 glados.
Este método simplificado tiené es-
pecial utilidad si el tercer ángulo está
fuera de nuestro alcance. Por eiem-
plo, supong¿unos que dos hombres
situados en lugares muy distantes en-
tre sl, en la Tierra, miran hacia la
Luna. La posicién de los dos hombres
y la de la Luna foqman un triángulo.
Como no se puede medir el ángulo
de la Luna, nos valemos, para calcu-
Iarlo, de las dimensiones que tienen
Ios de la Tierra.
Conoeer la magnitud de este tercer
ángulo es importante para los astró-
nomos, para calcular la_distancia que
hay de la Tierra a la Luna. Si ésta
estuviera más distante, el tercer, ángu-
lo sería más pequeño; si estuviera Ímás
cerca, el tercer ángulo sería mayor.
Sea cualquiera el tamaño o ln forma que
tenga un trióngulo, la sama de sas tres
óngulos internos siempre es de 780 grados
';
"-$:'
'iu
.15
Entre Ia Tierra y Ia Luna
Los triángolor pueden ser de dife-
rentes magnitudes y formas, pero los
tres ángulos de cualquier triángulo
siempre suman el mismo número de
grados. Para darnos cuenta de esto,
cortemos un triángulo de papel; lue-
go, separemos con las tiieras sus tres
ángulos. Coloquemos después lado
con lado y esquina con esquina, y
veremos que la suma de los tres án-
golor es igual a 1800, es decir, for-
marán dos ángulos rectos. Éste es un
dato importante, porque nos permite
averiguar las magnitudes de los án-
gulos de los triángulos, aunque sólo
midamos dos de ellos. Por eiemplo, si
uno de los ángulos mide 40 grados y
el segundo 60, podremos saber cuán-
tos grados mide el tercero, sin que Io
midamos directamente. Bastará con
sumar 40 más 60. y restar el resultadn
de 180. El tercer ángulo, en este
caso, medirá 80 glados.
Este método simplificado tiené es-
pecial utilidad si el tercer ángulo está
fuera de nuestro alcance. Por eiem-
plo, supong¿unos que dos hombres
situados en lugares muy distantes en-
tre sl, en la Tierra, miran hacia la
Luna. La posicién de los dos hombres
y la de la Luna foqman un triángulo.
Como no se puede medir el ángulo
de la Luna, nos valemos, para calcu-
Iarlo, de las dimensiones que tienen
Ios de la Tierra.
Conoeer la magnitud de este tercer
ángulo es importante para los astró-
nomos, para calcular la_distancia que
hay de la Tierra a la Luna. Si ésta
estuviera más distante, el tercer, ángu-
lo sería más pequeño; si estuviera Ímás
cerca, el tercer ángulo sería mayor.
Sea cualquiera el tamaño o ln forma que
tenga un trióngulo, la sama de sas tres
óngulos internos siempre es de 780 grados
';
"-$:'
'iu
.15
El Avión y la Puerta
|ulio
estaba construyendo un avión
de iuguete de gran tamaño en la ha-
bitación que le servía de taller. Cuan-
o ya estaba a punto de pegar las
'alas
al fuselaje del aeroplano,
Julio
pensó: "¿Pasará el avión por la puer-
ta en cuanto las alas estén en su lu-
gar? Las alas miden 3L/z metros de
punta a punta, y la puerta 2 metros
de anchura por 3 metros de altura."
]ulio
no podría pasar el avión por
la puerta, a menos que lo inclinara.
Podemos ayudar a
Julio
a resolver
su problema averiguando qué relación
hay entre los lados de un triángulo
rectángulo. Tracemos en una hoia de
papel cuadriculado un triángulo rect-
ángulo"de cuatro unidades de anchu-
ra (primer cateto) por tres unidades
de altura ( segundo cateto
) . Midamos
ahora la hipotenusa (el lado más lar-
go
) . Este último lado tendrá cinco
unidades de longitud. Construyamos
otros dos triángulos rectángulos,
como los del dibuio, y midamos la
hipotenusa de cada uno de los trián-
gulos:
cüeto cateto hipoterutsa
435
8610
t2513
Observemos los números corres-
pondientes a cada triángulo; aparen-
temente no hay relación alguna en-
tre ellos, pero sí existe una relación
escondida entre ellos. Esta saltará a
la vista si elevamos al cuadrado cada
uno de los números.
|ulio
estaba construyendo un avión
de iuguete de gran tamaño en la ha-
bitación que le servía de taller. Cuan-
o ya estaba a punto de pegar las
'alas
al fuselaje del aeroplano,
Julio
pensó: "¿Pasará el avión por la puer-
ta en cuanto las alas estén en su lu-
gar? Las alas miden 3L/z metros de
punta a punta, y la puerta 2 metros
de anchura por 3 metros de altura."
]ulio
no podría pasar el avión por
la puerta, a menos que lo inclinara.
Podemos ayudar a
Julio
a resolver
su problema averiguando qué relación
hay entre los lados de un triángulo
rectángulo. Tracemos en una hoia de
papel cuadriculado un triángulo rect-
ángulo"de cuatro unidades de anchu-
ra (primer cateto) por tres unidades
de altura ( segundo cateto
) . Midamos
ahora la hipotenusa (el lado más lar-
go
) . Este último lado tendrá cinco
unidades de longitud. Construyamos
otros dos triángulos rectángulos,
como los del dibuio, y midamos la
hipotenusa de cada uno de los trián-
gulos:
cüeto cateto hipoterutsa
435
8610
t2513
Observemos los números corres-
pondientes a cada triángulo; aparen-
temente no hay relación alguna en-
tre ellos, pero sí existe una relación
escondida entre ellos. Esta saltará a
la vista si elevamos al cuadrado cada
uno de los números.
wfggffi
wfffiffigéÁ
rlllrltrrr
llltllrrrl
IIIT¡IIIIT
Itlrrltlr
lllllrrrr
IIIIIIITT
rlllllll
tttlllr
lllltlr
Hace 2,500 aiws, Pitógoras formuW un teorema, el cual expresa que un trióngula
rectóngulo, el andtadi de u¡w de los cotetos más el qndrado iIeI segutdn m,teto,
siernpre es ignl al androdo ile Ia hípoterutn
( 2e cateto)
2
(hipoteruna)z
3X3: I 5X 5- ?5,y
6x6-36 10X10-100
5x5-25 13x13-169
Los eiemplos anteriores establecen
una regla que descubrió hace unos
dos mil quinientos arios un matemá-
tico griego llamado Pitágoras. La re-
gla establece que, en todo triángulo
reetángulo, el cuadrado de uno de los
eatetos, más el cuadrado del otro
cateto, es igual al cuadrado de la hi-
potenusa; es decir: (cateto)'+ (cate-
to)'t (hipotenusa)2.
Si aplicamos esta regla, nos ayuda-
rá a resolver el problema de
fulio.
Nos damos cuenta de que la anchu-
ra, la altura y la diagonal de Ia puerta,
forman un triángulo rectángulo. Sus
catetos miden, respectivamente, ? y
3 metros. De aguí resulta:
32 + 22 :9 * d- 13. Como 13 es el
cuadrado de la diagonal por Ia que
el avión debe psü, tenemos que ele-
var al cuadrado la üstancia de punta
(7er. cateto)
2
4x 4- 16
8X 8- M
Lzx12-L44
16+.$- 2,5
et+36-100
LM+ 25
-
169
a punta de las alas, paxa saber si es o
no más pequeña que Ia diagonal de la
puerta. La distancia de punta a pun-
ta de las alas es de 3% metros.
(3r/z)' : yYz X 3L/z =
%x%:as/+:LZT+
Este resultado es menor que 13;
por lo tantq el aeroplano poárá pa-
sar, ladeándolo, por la puerta.
He aquí tres coniuntos de núme-
ros. Sólo dos de ellos obedecen al teo-
remb:de Pitágoys.
.CCuáles
son?
'ffinfu#¿. tp rrur,araal
Io tnc
qpaqo sogtnluoc ssp sonn4td, so.1
r5
vl
r8
L2
15
15
I
8
L2
r7
wfffiffigéÁ
rlllrltrrr
llltllrrrl
IIIT¡IIIIT
Itlrrltlr
lllllrrrr
IIIIIIITT
rlllllll
tttlllr
lllltlr
Hace 2,500 aiws, Pitógoras formuW un teorema, el cual expresa que un trióngula
rectóngulo, el andtadi de u¡w de los cotetos más el qndrado iIeI segutdn m,teto,
siernpre es ignl al androdo ile Ia hípoterutn
( 2e cateto)
2
(hipoteruna)z
3X3: I 5X 5- ?5,y
6x6-36 10X10-100
5x5-25 13x13-169
Los eiemplos anteriores establecen
una regla que descubrió hace unos
dos mil quinientos arios un matemá-
tico griego llamado Pitágoras. La re-
gla establece que, en todo triángulo
reetángulo, el cuadrado de uno de los
eatetos, más el cuadrado del otro
cateto, es igual al cuadrado de la hi-
potenusa; es decir: (cateto)'+ (cate-
to)'t (hipotenusa)2.
Si aplicamos esta regla, nos ayuda-
rá a resolver el problema de
fulio.
Nos damos cuenta de que la anchu-
ra, la altura y la diagonal de Ia puerta,
forman un triángulo rectángulo. Sus
catetos miden, respectivamente, ? y
3 metros. De aguí resulta:
32 + 22 :9 * d- 13. Como 13 es el
cuadrado de la diagonal por Ia que
el avión debe psü, tenemos que ele-
var al cuadrado la üstancia de punta
(7er. cateto)
2
4x 4- 16
8X 8- M
Lzx12-L44
16+.$- 2,5
et+36-100
LM+ 25
-
169
a punta de las alas, paxa saber si es o
no más pequeña que Ia diagonal de la
puerta. La distancia de punta a pun-
ta de las alas es de 3% metros.
(3r/z)' : yYz X 3L/z =
%x%:as/+:LZT+
Este resultado es menor que 13;
por lo tantq el aeroplano poárá pa-
sar, ladeándolo, por la puerta.
He aquí tres coniuntos de núme-
ros. Sólo dos de ellos obedecen al teo-
remb:de Pitágoys.
.CCuáles
son?
'ffinfu#¿. tp rrur,araal
Io tnc
qpaqo sogtnluoc ssp sonn4td, so.1
r5
vl
r8
L2
15
15
I
8
L2
r7
Circulos y
ilIondadientes
En la vida diaria vemos continua-
mente circunferencias y círculos.
Eiemplos de las primeras son el borde
de las tazas y de los platos, una sorti-
ja, etc. De los segundos las monedas,
el Sol y la Luna vistos desde la Tierra.
La distancia que une en línea recta
los extrerúos del círculo, pasando por
su centro, se llama f,oí*utro del
círculo. La línea que limita el círculo,
o sea su perímetro, se llama circunfe-
rencin. Midamos el diámetro de una
moneda y su circunferencia, emplean-
do un cordel para hacer esta última
medición y midiendo con una re¡fa
el pedazo de cordel. Encontraremos
que Ia cireunferencia de la moneda
medirá, aproximadamente, tres veces
más que el diámetro. La circunferen-
cia de cualquier círculo es siempre el
mismo número de veces mayor que
su diámetro. Este número constante
no puede escribirse exactamente co-
mo un número fraccionario o como un
decimal, por lo que utilizamos la letra
griega ,Í (pi) para representarlo.
Equivale a 3L/2, 6 3.L4, aproximada-
mente.
Aunque parez-ca extraño, hay una
forma interesante de calcular el valor
de
'',
arroiando un mondadientes a un
La cirarnferencia, o línea cuÍoa, que limi-
ta al úrcul.o, si,empre es igual al üámetro
maltlpkcado por 3.74, el Á(t¡nero conocido
como pi
il
i,:,l
t
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA
-
2 1r por RADIO
APel -- 7r por RADIO por RADIO
f -
3.141ó APROXTMADAMENTE
ilIondadientes
En la vida diaria vemos continua-
mente circunferencias y círculos.
Eiemplos de las primeras son el borde
de las tazas y de los platos, una sorti-
ja, etc. De los segundos las monedas,
el Sol y la Luna vistos desde la Tierra.
La distancia que une en línea recta
los extrerúos del círculo, pasando por
su centro, se llama f,oí*utro del
círculo. La línea que limita el círculo,
o sea su perímetro, se llama circunfe-
rencin. Midamos el diámetro de una
moneda y su circunferencia, emplean-
do un cordel para hacer esta última
medición y midiendo con una re¡fa
el pedazo de cordel. Encontraremos
que Ia cireunferencia de la moneda
medirá, aproximadamente, tres veces
más que el diámetro. La circunferen-
cia de cualquier círculo es siempre el
mismo número de veces mayor que
su diámetro. Este número constante
no puede escribirse exactamente co-
mo un número fraccionario o como un
decimal, por lo que utilizamos la letra
griega ,Í (pi) para representarlo.
Equivale a 3L/2, 6 3.L4, aproximada-
mente.
Aunque parez-ca extraño, hay una
forma interesante de calcular el valor
de
'',
arroiando un mondadientes a un
La cirarnferencia, o línea cuÍoa, que limi-
ta al úrcul.o, si,empre es igual al üámetro
maltlpkcado por 3.74, el Á(t¡nero conocido
como pi
il
i,:,l
t
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA
-
2 1r por RADIO
APel -- 7r por RADIO por RADIO
f -
3.141ó APROXTMADAMENTE
piso de madera. El piso debe tener
duelas de la misma anehura, y el
mondadientes Ia misma longitud que
la anchura de las duelas. ArroiemoJ el
mondadientes varias veces al piso,
llevemos la cuenta de las veces que
lo arrojqmos y el de las veces que- el
mondadientes' cae en posición irans-.
versal, entre dos ra¡uras. Duplique-
mos el níimero de veces que arroiamos
el mondadientes y dividamos este
número entre el número de veces que
cay6 transversalmente a las ranuras.
EI resultado será el valor de ,,.
Por eiemplo, supongamos que he-
mos arroiado el mondadientes aI piio
cien veces y que eay6 en posición
transversal, en una duela, 62 veees.
Dividamos 200 entre 62. El resultado
es 3.2, aproximadamente. No es éste
un valor muy exacto de o, pero mien-
gras más veces arroiemos al piso el
mondadientes, obtendremos un valor
más exacto. Cuando un mondadientes
gira alrededor de su centro, describe
un círculo. Por esta razfifl, T, que es
una constante del círculo, también
se relaciona con las probabilidades de
que el mondadientes caiga transver-
salmente a las duelas, es decir, per-
pendicular a Ias ranuras.
Otra forma de
-ealcular
7t es me-
diante el uso de los números impares,
l, 3, 5, 7, 9, etc. Eseriba primero las
fracciones Yt,
r/r, ,t'a, t/r,
Yi, etc. Lue-
go, a partir de la primera fracción,
reste Ia segunda, añada la terce-
rL, reste la cuarta, y asl sucesiva-
mente. Suspenda la operación cuando
usted quiera, y multiplique por 4. EI
resultado será un número apioximado
al valor de
''.
Mientras rhayor sea el
número de fraccioner qrrl emplee
usted, más exacto será el valor d" *.
19
duelas de la misma anehura, y el
mondadientes Ia misma longitud que
la anchura de las duelas. ArroiemoJ el
mondadientes varias veces al piso,
llevemos la cuenta de las veces que
lo arrojqmos y el de las veces que- el
mondadientes' cae en posición irans-.
versal, entre dos ra¡uras. Duplique-
mos el níimero de veces que arroiamos
el mondadientes y dividamos este
número entre el número de veces que
cay6 transversalmente a las ranuras.
EI resultado será el valor de ,,.
Por eiemplo, supongamos que he-
mos arroiado el mondadientes aI piio
cien veces y que eay6 en posición
transversal, en una duela, 62 veees.
Dividamos 200 entre 62. El resultado
es 3.2, aproximadamente. No es éste
un valor muy exacto de o, pero mien-
gras más veces arroiemos al piso el
mondadientes, obtendremos un valor
más exacto. Cuando un mondadientes
gira alrededor de su centro, describe
un círculo. Por esta razfifl, T, que es
una constante del círculo, también
se relaciona con las probabilidades de
que el mondadientes caiga transver-
salmente a las duelas, es decir, per-
pendicular a Ias ranuras.
Otra forma de
-ealcular
7t es me-
diante el uso de los números impares,
l, 3, 5, 7, 9, etc. Eseriba primero las
fracciones Yt,
r/r, ,t'a, t/r,
Yi, etc. Lue-
go, a partir de la primera fracción,
reste Ia segunda, añada la terce-
rL, reste la cuarta, y asl sucesiva-
mente. Suspenda la operación cuando
usted quiera, y multiplique por 4. EI
resultado será un número apioximado
al valor de
''.
Mientras rhayor sea el
número de fraccioner qrrl emplee
usted, más exacto será el valor d" *.
19
Lados lguales y Ángulos lguales
Utrq figura geométrica cuyos lados
estén cérrados y sean rectos, se llama
polígorio. Los triángulos y los cua-
drados son polígonos. El número
'de
ángulos que hay en un polígono es el
mismo que el ntlmero de lados.
Existen polígonos que tienen áttgo-
los iguales y lados iguales. Los llama-
mos polígonos regulnres. Un polígono
regular puede tener cualquier número
de lados, a partir de tres. Una for-
ma de construir un polígono regular,
es calcular el número de grados que
debe tener cada ángulo, y trazar estos
ángulos utilizando un transportador y
separando sus lados en distancias
iguales. Para obtener el n{rmero de
grados en la s.nnn. de los ángulos
de cualquier polígono,'reste 2 al nú-
mero de lados y luego multiplique el
resultado por 180. Si la figura consta
de tres lados, los ángulos deberán
sumar 180 grados. ( 3 ángulos, menos
2
-
L.l X 180 : 1800. ) Por lo tanto,
para tres ángulos iguales, dividimos
la suma de los angulos ( 180 ) entre 3.
Esto nos proporciona la medida de
cada ángulo. Por'lo tanto, cada ángu-
lo medir
^
ffi grados. Si la figura geo-
métrica consta de cuatro lados, los
ángulos sumarán 360 grados. (4 ángu-
los menos 2
-
2. 2 X 180
-
360.)
Por tanto, cada uno de los cuatro
ángulos iguales medirá 90 grados.
20
Utrq figura geométrica cuyos lados
estén cérrados y sean rectos, se llama
polígorio. Los triángulos y los cua-
drados son polígonos. El número
'de
ángulos que hay en un polígono es el
mismo que el ntlmero de lados.
Existen polígonos que tienen áttgo-
los iguales y lados iguales. Los llama-
mos polígonos regulnres. Un polígono
regular puede tener cualquier número
de lados, a partir de tres. Una for-
ma de construir un polígono regular,
es calcular el número de grados que
debe tener cada ángulo, y trazar estos
ángulos utilizando un transportador y
separando sus lados en distancias
iguales. Para obtener el n{rmero de
grados en la s.nnn. de los ángulos
de cualquier polígono,'reste 2 al nú-
mero de lados y luego multiplique el
resultado por 180. Si la figura consta
de tres lados, los ángulos deberán
sumar 180 grados. ( 3 ángulos, menos
2
-
L.l X 180 : 1800. ) Por lo tanto,
para tres ángulos iguales, dividimos
la suma de los angulos ( 180 ) entre 3.
Esto nos proporciona la medida de
cada ángulo. Por'lo tanto, cada ángu-
lo medir
^
ffi grados. Si la figura geo-
métrica consta de cuatro lados, los
ángulos sumarán 360 grados. (4 ángu-
los menos 2
-
2. 2 X 180
-
360.)
Por tanto, cada uno de los cuatro
ángulos iguales medirá 90 grados.
20
l. Trtá";il
'.q,rilát"ro
2. Cuadrado
3. Pentágono regular
4. Hexágono regular
Se pued e trazar un triángulo equi-
látero con regla y compás, por el
método que se ilustra en el grabado.
Para construir un cuadrado, primero
se traza urr círculo. Después, se dobla
el papel en que fue trazado, de ma-
nera que el borde del papel pase por
el centro del círculo" Se dobla nueva-
rnente el papel en forma tal que forrne
un ángulo recto con el centro. Se ex-
tiende ia hoja de papel y se unen los
puntos en que los dobleces crucen el
círculo. Para hacer un pentágono re-
gular, se corta una tira de papel de
anchura uniforme. Después, se hace
un nudo con la tira, tal y como se
muestra en el grabado, y se aplana.
Para construir un hexágono regular,
se traza primero un círculo y luego se
marcar] con el compás partes iguales
de la circunferencia, de la misma an-
chura del radio del círculo con el que
se ha trazado. Habrá seis espacios
iguales; únanse con líneas rectas las
marcas trazadas y se formará un hexá-
gono regular.
NúTAERO
DE ANGUIOS
3
4
b
6
SUl,tA DE
tOS ANGUIO5
EXPR.ESADA
EN GRADOS
180
360
MO
720
DIIAENSIóN
DE CADA
ANGUTO
EXPRESADA
EN GRADOS
60
90
r08
L20
2t
'.q,rilát"ro
2. Cuadrado
3. Pentágono regular
4. Hexágono regular
Se pued e trazar un triángulo equi-
látero con regla y compás, por el
método que se ilustra en el grabado.
Para construir un cuadrado, primero
se traza urr círculo. Después, se dobla
el papel en que fue trazado, de ma-
nera que el borde del papel pase por
el centro del círculo" Se dobla nueva-
rnente el papel en forma tal que forrne
un ángulo recto con el centro. Se ex-
tiende ia hoja de papel y se unen los
puntos en que los dobleces crucen el
círculo. Para hacer un pentágono re-
gular, se corta una tira de papel de
anchura uniforme. Después, se hace
un nudo con la tira, tal y como se
muestra en el grabado, y se aplana.
Para construir un hexágono regular,
se traza primero un círculo y luego se
marcar] con el compás partes iguales
de la circunferencia, de la misma an-
chura del radio del círculo con el que
se ha trazado. Habrá seis espacios
iguales; únanse con líneas rectas las
marcas trazadas y se formará un hexá-
gono regular.
NúTAERO
DE ANGUIOS
3
4
b
6
SUl,tA DE
tOS ANGUIO5
EXPR.ESADA
EN GRADOS
180
360
MO
720
DIIAENSIóN
DE CADA
ANGUTO
EXPRESADA
EN GRADOS
60
90
r08
L20
2t
F'
[a Sal y los Diamantes
Muchos minerales forman hermo-
sos cristales de caras lisas y bordes
agudos. En algunos de estos cristales,
las facetas son polígonos regulares,
que tienen el mismo tamaño y la mis-
ma forma, con el mismo número de
polígonos en cada esquina. Un sólido
construido en esta forma, se llama
sóliiln regulnr.
Hlay exactamente cinco sólidos re-
gulares. Sus nombres nos indican el
número de caras de que se componen.
El tetroed,ro (cuatro car+s) se com-
pone de triángulos, con tres triángu-
los en cada esquina. El hexapdro o
cubo (seis caras) te compone' de
cuadrados, con tres cuadrados en
cada esquina. El octaedro ( ocho ca-
ras ) está compuesto de triángulos,
con cuatro triángulos en cada esquina.
El dodecaed,ro ( doce caras ) está com-
puesto de pentágonos, con tres pentá-
gonos en cada esquina. El icoso¿dro
(veinte caras) se compone de trián-
gulos, con cinco triángulos en cada
esquina.
Muclws mineral.es forman cristales. Unos cuantos,de éstos
son úlidos regul.ares, cayas caras son polígonos regulnres
[a Sal y los Diamantes
Muchos minerales forman hermo-
sos cristales de caras lisas y bordes
agudos. En algunos de estos cristales,
las facetas son polígonos regulares,
que tienen el mismo tamaño y la mis-
ma forma, con el mismo número de
polígonos en cada esquina. Un sólido
construido en esta forma, se llama
sóliiln regulnr.
Hlay exactamente cinco sólidos re-
gulares. Sus nombres nos indican el
número de caras de que se componen.
El tetroed,ro (cuatro car+s) se com-
pone de triángulos, con tres triángu-
los en cada esquina. El hexapdro o
cubo (seis caras) te compone' de
cuadrados, con tres cuadrados en
cada esquina. El octaedro ( ocho ca-
ras ) está compuesto de triángulos,
con cuatro triángulos en cada esquina.
El dodecaed,ro ( doce caras ) está com-
puesto de pentágonos, con tres pentá-
gonos en cada esquina. El icoso¿dro
(veinte caras) se compone de trián-
gulos, con cinco triángulos en cada
esquina.
Muclws mineral.es forman cristales. Unos cuantos,de éstos
son úlidos regul.ares, cayas caras son polígonos regulnres
-t
Una propiedad interesante de to-
dos los sólidos de caras planas es la
de que, si sumamos el número de es-
quinas y el número de caras de cual-
quiera de ellos, obtendremos el nú-
mero de bordes, o aristas, de ese
sólido, más dos. Hagamos Io anterior
con el cubo que aparece en el graba-
do de la págin a 28. Consta de ocho
esquinas y seis caras, por lo que la
suma de estos números es 14. Ahora
contemos el número de bordes. Cons-
ta de 12.
Si examinamos un cristal de sal co-
mún a través de un potente cristal de
aumento, podemos darnos cuenta de
que es un cubo. Un cristal de dia-
mante es un octaedro.
Los sólidos regulares forman atrac-
tivos obietos de ornato. Se venden
como pisapapeles. Hay calendarios
dibujados en dodecaedros, en los que
cada mes está grabado en una cara
diferente. Podemos hacer modelos de
cada uno de los sólidos regulares em-
pleando los patrones que ilustran es-
tas páginas. Primero, se hace un tri-
ángulo equilátero, un cuadrado y un
pentágono regular, en una hoia de
cartón, y después se recortan; a con-
tinuación, s€ repiten estas figuras
como lo indican los grabados.
Sólo hay cinco sólídos regulares. El ietraedro tiene cuatro caras, cáda una
de las cuales es un triángulo. El octaedro es un sólüo regular de ocho caras
Una propiedad interesante de to-
dos los sólidos de caras planas es la
de que, si sumamos el número de es-
quinas y el número de caras de cual-
quiera de ellos, obtendremos el nú-
mero de bordes, o aristas, de ese
sólido, más dos. Hagamos Io anterior
con el cubo que aparece en el graba-
do de la págin a 28. Consta de ocho
esquinas y seis caras, por lo que la
suma de estos números es 14. Ahora
contemos el número de bordes. Cons-
ta de 12.
Si examinamos un cristal de sal co-
mún a través de un potente cristal de
aumento, podemos darnos cuenta de
que es un cubo. Un cristal de dia-
mante es un octaedro.
Los sólidos regulares forman atrac-
tivos obietos de ornato. Se venden
como pisapapeles. Hay calendarios
dibujados en dodecaedros, en los que
cada mes está grabado en una cara
diferente. Podemos hacer modelos de
cada uno de los sólidos regulares em-
pleando los patrones que ilustran es-
tas páginas. Primero, se hace un tri-
ángulo equilátero, un cuadrado y un
pentágono regular, en una hoia de
cartón, y después se recortan; a con-
tinuación, s€ repiten estas figuras
como lo indican los grabados.
Sólo hay cinco sólídos regulares. El ietraedro tiene cuatro caras, cáda una
de las cuales es un triángulo. El octaedro es un sólüo regular de ocho caras
lF.]Tx
SOLIDOS REGULARES
HEXAEDRO (CUBO)
S-e pueQg c_ons!ryir un d.od,ecaed.ro copiand,o sobre un ped,ozo de papel cartoncitln et
desarrollo de dicho sólido que so muestra arriba. (Jtw oez que esté trazado, recorte por
Las líneas gruesos, üblelo por lns líneas delgadas y una los bordes con papel edgo-
mada. Para construir un icosaedro, copie el desarioll.o de dicho sólido iyue aparéce
abaio, g siga Las instrucciones que se'dieron para construir el dodecaedrb
'
ICOSAEDRO
SOLIDOS REGULARES
HEXAEDRO (CUBO)
S-e pueQg c_ons!ryir un d.od,ecaed.ro copiand,o sobre un ped,ozo de papel cartoncitln et
desarrollo de dicho sólido que so muestra arriba. (Jtw oez que esté trazado, recorte por
Las líneas gruesos, üblelo por lns líneas delgadas y una los bordes con papel edgo-
mada. Para construir un icosaedro, copie el desarioll.o de dicho sólido iyue aparéce
abaio, g siga Las instrucciones que se'dieron para construir el dodecaedrb
'
ICOSAEDRO
T
f
i
Las Matemáticas
en la Natur alena
En la naturaleza Podemos
aPreciar
hermosos eiemplos de las cun¡as, PG
llgonos y sólidos que se .estudian en
las matemáticas.
En la esquina superior izquierda de
esta página se muestra el cristal de un
"opo
dé nieve. Todos los coPos de
niéve tienen la forma de un hexágo-
no regular. ]unto 4
copo de nieve
et con[iamos otro hexágono, en la
colmena que construyen las abeias.,
Debaio-del panal vemos la concha
del nautíhn, un animalito que vive
en el mar. Se ha cortado esta concha
transversalmente, Pil& mostrar las
cámaras que contiene. La llnea curva
que marca el límite de dichas cáma-
ras, se llama espiral. En la parte infe-
rior de la página se muestran varias
espirales que se desenvuelven en dos
direcciones a partir del centro de la
flor llamada girasol.
I
,f#/
f
i
Las Matemáticas
en la Natur alena
En la naturaleza Podemos
aPreciar
hermosos eiemplos de las cun¡as, PG
llgonos y sólidos que se .estudian en
las matemáticas.
En la esquina superior izquierda de
esta página se muestra el cristal de un
"opo
dé nieve. Todos los coPos de
niéve tienen la forma de un hexágo-
no regular. ]unto 4
copo de nieve
et con[iamos otro hexágono, en la
colmena que construyen las abeias.,
Debaio-del panal vemos la concha
del nautíhn, un animalito que vive
en el mar. Se ha cortado esta concha
transversalmente, Pil& mostrar las
cámaras que contiene. La llnea curva
que marca el límite de dichas cáma-
ras, se llama espiral. En la parte infe-
rior de la página se muestran varias
espirales que se desenvuelven en dos
direcciones a partir del centro de la
flor llamada girasol.
I
,f#/
I
Cuando se forma¡r los volcanes, la
lava caliente se esparce formando un
cono. En la sección de la galaxia que
aparece arriba, la Luna, el Sol y las
estrellas, son esferas. Podemos apre-
ciar claramente la forma esférica de
la Luna, que es eI cuerpo celeste más
cercano a la Tierra.
El grabado inferior de la izquierda
representa los esqueletos de algunos
radiolarios. Estos son animales mi-
croscópicos que viven en el mar. El
fondo de los océanos Pacífico e lndi
co está cubierto de estos esqueletos,
restos de animales que vivieron hace
millones de años. Cada uno de ellos
es un polígorro simétrico perfecto. El
esqueleto de la parte superior es un
octaedro casi perfecto, o sea, un só-
lido de ocho caras. El del centro, es
un dodecaedro, d€ doce caras; y el
de la parte inferior, un icosáedro, só-
lido de veinte caras.
26
Cuando se forma¡r los volcanes, la
lava caliente se esparce formando un
cono. En la sección de la galaxia que
aparece arriba, la Luna, el Sol y las
estrellas, son esferas. Podemos apre-
ciar claramente la forma esférica de
la Luna, que es eI cuerpo celeste más
cercano a la Tierra.
El grabado inferior de la izquierda
representa los esqueletos de algunos
radiolarios. Estos son animales mi-
croscópicos que viven en el mar. El
fondo de los océanos Pacífico e lndi
co está cubierto de estos esqueletos,
restos de animales que vivieron hace
millones de años. Cada uno de ellos
es un polígorro simétrico perfecto. El
esqueleto de la parte superior es un
octaedro casi perfecto, o sea, un só-
lido de ocho caras. El del centro, es
un dodecaedro, d€ doce caras; y el
de la parte inferior, un icosáedro, só-
lido de veinte caras.
26
:2 + 1,
7-7+4.
+
4
letras en ver,de Números
I
j
-f
+
I
I
I
t
Sabemos que I 2
2+3-3+2,y4*
Podemos hacer que cualquier número
sumado a otro número forme una
igualdad de este tipo. Escribamos
simplemente un primer número, más
un segundo número, antes del signo
de igualdad. En el lado derecho de
dicho signo, invirtamos el orden de los
números.
En lugar de escribir cada miembro
de la igualdad separadamente, pode-
mos escribirlos iuntos. De este modo:
representemos por la letra a cualquier
número, y por la letra b cualquier otro
número. Luego, escribamos simple-
mente: a * b
-
b * a: Al hacer esto,
hemos pasado de la aritmética al
álgebra.
En álgebra empleamos letras que
representan números. Es como si uti-
lizátramos una clave pa,ra expresar
muchas cosas en un espácio redlcido.
En esta clave no utilizamos el signo
X para denotar "veces", porque po-
dríamos confundirlo con la letra Jc.
Indicamos la multiplicación usando
un punto en la parte media entre el
multiplicando y el multiplicador, o
simplemente escribiendo el multipli-
cando y el multiplicador uno a conti-
nuación del otro, sin emplear símbolo
alguno. En esta clave, a' b significa
"el número que representa o,, multipli-
cado por el número que representa
b". También se puede escribir ¿b.
Cuando el mismo factor se emplea
una y otra vez, empleamos la misma
forma abreviada de escribir el pro-
ducto de números cuadrados y cúbi-
Las ecuaciones algebraicas
siguen eI mismo principio
que Ins balanzas. Lo que se
ponga en u,n miembro de la
ecuación, o en un plntlllo
de In balnnza, deberá, set
igual, aI número o aI peso
que hay en el otro miembro,
o plntllln, a fin de que quede
en equikbrio
27
7-7+4.
+
4
letras en ver,de Números
I
j
-f
+
I
I
I
t
Sabemos que I 2
2+3-3+2,y4*
Podemos hacer que cualquier número
sumado a otro número forme una
igualdad de este tipo. Escribamos
simplemente un primer número, más
un segundo número, antes del signo
de igualdad. En el lado derecho de
dicho signo, invirtamos el orden de los
números.
En lugar de escribir cada miembro
de la igualdad separadamente, pode-
mos escribirlos iuntos. De este modo:
representemos por la letra a cualquier
número, y por la letra b cualquier otro
número. Luego, escribamos simple-
mente: a * b
-
b * a: Al hacer esto,
hemos pasado de la aritmética al
álgebra.
En álgebra empleamos letras que
representan números. Es como si uti-
lizátramos una clave pa,ra expresar
muchas cosas en un espácio redlcido.
En esta clave no utilizamos el signo
X para denotar "veces", porque po-
dríamos confundirlo con la letra Jc.
Indicamos la multiplicación usando
un punto en la parte media entre el
multiplicando y el multiplicador, o
simplemente escribiendo el multipli-
cando y el multiplicador uno a conti-
nuación del otro, sin emplear símbolo
alguno. En esta clave, a' b significa
"el número que representa o,, multipli-
cado por el número que representa
b". También se puede escribir ¿b.
Cuando el mismo factor se emplea
una y otra vez, empleamos la misma
forma abreviada de escribir el pro-
ducto de números cuadrados y cúbi-
Las ecuaciones algebraicas
siguen eI mismo principio
que Ins balanzas. Lo que se
ponga en u,n miembro de la
ecuación, o en un plntlllo
de In balnnza, deberá, set
igual, aI número o aI peso
que hay en el otro miembro,
o plntllln, a fin de que quede
en equikbrio
27
cos de las páginas 13 a 15. Cuando
escribimos fra, llamada esta expresión
"equis a la cuarta potenciú', es como
si escribiésemos lc ' Jc x x, ó sea r
como factor cuatro veces.
He aquí un enunciado en clave que
no siempre es cierto: r + 2 : 5.
Esto no es cierto, ya que si a r le
asignamos el valor de 7, 7 + 2 no
es igual a 5. Pero será cierto, si le da-
mos a r el valor de 3. Un enunciado
de este tipo recibe el nombre de
eatnci,ón Resolver una ecuación sig-
nifica obtener el valor que hace que
un enunciado sea cierto.
Una ecuación se asemeia a una
balanza. Se supone que t * 2 equi-
Iibrará el 5, de la forma en que dos
pesas iguales nivelan la balanza. Si
cambiamos una pesa en uno de los
platillos de la balanza, podemos equi-
librarla nuevamente, haciendo que
cambie la otra pesa en la misma can-
tidad. Este Íazonamiento nos indica
cómo resolver una ecuación: simple-
mente modifiquemos ambos miem-
bros de Ia ecuación, en idéntica forma,
sumando o restando, multiplicando o
dividiendo. Como 5 es lo mismo que
3 + z,la ecuaciónx * 2:5 significa
x * 2
-
3 * 2. Si quitamos 2 unida-
des a cada miembro de la ecuación,
quedarán equilibrados ambos miem-
bros, y de esta manera encontramos
que r
-
3 es la solución, es decir, el
valor de la incógnita. Para resolver
la ecuación 3r
-
12, dividimos am-
bos miembros de la ecuación entre 3,
y obtenemos la solución: x : 4.
¿Puede usted'resolver la ecuación
3r
-
4
-
8? Para obtener la solución,
súmese 4 a cada miembro de la ecua-
ción, y luego divídase cada miembro
entre 3.
La palabra á,lgebra fue acuñada
hace unos mil años. Procede del título
de un libro que trataba acerca de las
ecuaciones y que fue escrito por un
matemático árabe, Al-Khowariztni, y
al que llamó al-iabr u:'al-mukabalah.
Cuando el libro fue traducido aI latín,
el título se convirtió en Ladus alge-
brae almucgrabal,a.eque. Al ser tradu-
cido al inglés su nombre fue algiebar
and alrnachabel. Las tres denomina-
ciones se simplificaron y su nombre
actual es álgebra.
escribimos fra, llamada esta expresión
"equis a la cuarta potenciú', es como
si escribiésemos lc ' Jc x x, ó sea r
como factor cuatro veces.
He aquí un enunciado en clave que
no siempre es cierto: r + 2 : 5.
Esto no es cierto, ya que si a r le
asignamos el valor de 7, 7 + 2 no
es igual a 5. Pero será cierto, si le da-
mos a r el valor de 3. Un enunciado
de este tipo recibe el nombre de
eatnci,ón Resolver una ecuación sig-
nifica obtener el valor que hace que
un enunciado sea cierto.
Una ecuación se asemeia a una
balanza. Se supone que t * 2 equi-
Iibrará el 5, de la forma en que dos
pesas iguales nivelan la balanza. Si
cambiamos una pesa en uno de los
platillos de la balanza, podemos equi-
librarla nuevamente, haciendo que
cambie la otra pesa en la misma can-
tidad. Este Íazonamiento nos indica
cómo resolver una ecuación: simple-
mente modifiquemos ambos miem-
bros de Ia ecuación, en idéntica forma,
sumando o restando, multiplicando o
dividiendo. Como 5 es lo mismo que
3 + z,la ecuaciónx * 2:5 significa
x * 2
-
3 * 2. Si quitamos 2 unida-
des a cada miembro de la ecuación,
quedarán equilibrados ambos miem-
bros, y de esta manera encontramos
que r
-
3 es la solución, es decir, el
valor de la incógnita. Para resolver
la ecuación 3r
-
12, dividimos am-
bos miembros de la ecuación entre 3,
y obtenemos la solución: x : 4.
¿Puede usted'resolver la ecuación
3r
-
4
-
8? Para obtener la solución,
súmese 4 a cada miembro de la ecua-
ción, y luego divídase cada miembro
entre 3.
La palabra á,lgebra fue acuñada
hace unos mil años. Procede del título
de un libro que trataba acerca de las
ecuaciones y que fue escrito por un
matemático árabe, Al-Khowariztni, y
al que llamó al-iabr u:'al-mukabalah.
Cuando el libro fue traducido aI latín,
el título se convirtió en Ladus alge-
brae almucgrabal,a.eque. Al ser tradu-
cido al inglés su nombre fue algiebar
and alrnachabel. Las tres denomina-
ciones se simplificaron y su nombre
actual es álgebra.
meridiano de Greenwich, en Ingla-
terra. El almanaque le indica cómo es
el cielo en Greenwich determinado
día del año, o a determinada hora de
un día cualquiera. Mediante toda esta
información, ya puede el navegante
resolver sus problemas.
Veamos cómo puede localizar su
lnsición
en la Tierra. La Tierra es una
ede¡a que gira alrededor de su pro-
pio eie. Este eie apunta casi directa-
mente hacia la estrella polar. El dia-
grrima del pie de la página muestra
a varios observadores situados en di-
ferentes puntos de la Tierra, mirando
haeia la estrella polar. El hombre si-
tuado en el eeuador ve la estrella polar
directamente sobre el horizonte.
Para los demás, 6b estrella forma
un ángulo con el horizonte, mientras
1
t
,i:
:
l
I
i
'l
En el ecuador, un obseroádor oerá la estrella polar en el horizonte. Si aoanzo lwcin
el norte, oerá, que ln estrelln, polnr formn un ángulo_ con el horizonte. Al médir este
ángulo, podrá saber a qué disiancia se encuentro ilel ecuador
La Navegación
Un navegante tiene dos problemas
fundamentales que resolver: uno de
ellos es saber en un momento deter-
minado en qué parte de la Tierra se
encuentra. El otro consiste en calcular
qué curso debe seguir su embarca-
ción para ir de un lugar a otro. Los
utensilios de que dispone para resol-
ver estos problemas son: una bruiula,
un sextante, un reloi y un ahanaque.
La bruiula Ie indiea hacia dó'nde
queda el norte,_parp que pueda medir
correctamente las direcciones. Con su
sextante mide la altura del Sol, la de
la Luna o la de úna estrella que esté
por encima del horizonte. El reloi le
indicará la.hora, respecto de la del
HACIA
29
terra. El almanaque le indica cómo es
el cielo en Greenwich determinado
día del año, o a determinada hora de
un día cualquiera. Mediante toda esta
información, ya puede el navegante
resolver sus problemas.
Veamos cómo puede localizar su
lnsición
en la Tierra. La Tierra es una
ede¡a que gira alrededor de su pro-
pio eie. Este eie apunta casi directa-
mente hacia la estrella polar. El dia-
grrima del pie de la página muestra
a varios observadores situados en di-
ferentes puntos de la Tierra, mirando
haeia la estrella polar. El hombre si-
tuado en el eeuador ve la estrella polar
directamente sobre el horizonte.
Para los demás, 6b estrella forma
un ángulo con el horizonte, mientras
1
t
,i:
:
l
I
i
'l
En el ecuador, un obseroádor oerá la estrella polar en el horizonte. Si aoanzo lwcin
el norte, oerá, que ln estrelln, polnr formn un ángulo_ con el horizonte. Al médir este
ángulo, podrá saber a qué disiancia se encuentro ilel ecuador
La Navegación
Un navegante tiene dos problemas
fundamentales que resolver: uno de
ellos es saber en un momento deter-
minado en qué parte de la Tierra se
encuentra. El otro consiste en calcular
qué curso debe seguir su embarca-
ción para ir de un lugar a otro. Los
utensilios de que dispone para resol-
ver estos problemas son: una bruiula,
un sextante, un reloi y un ahanaque.
La bruiula Ie indiea hacia dó'nde
queda el norte,_parp que pueda medir
correctamente las direcciones. Con su
sextante mide la altura del Sol, la de
la Luna o la de úna estrella que esté
por encima del horizonte. El reloi le
indicará la.hora, respecto de la del
HACIA
29
donde está situado un observatorio al
servicio de las embarcaciones. Su
reloi le indica la hora de ese sitio en
aquel momento. Su almanaque le
muestra cómo es alll el cielo.
La posición de las estrellas en el
firf"*pnto que tiene ante sl el nave-
g4nte, es diferente del que se con-
templa en Greenwich y parece eomo
si hubiera descrito determinado ángu-
lo. La
'magnítud dé este ángulo le
indica la distancia'a la que está del
sitio en que el meridiano de Green-
wich cfirza el paralelo por el que
mas at norte esté sihrado el hom-
bre, más grande será el ángulo. Por
lo tantq al medir este ángulo, el hom-
bre sabe qué tan al norte está Por
encima del ecuador. Si el ángulo es
de 30 grados, el navegante estará a
30 grados de latitud norte. Después,
tiene que averiguar exactamente en
qué punto del.paralelo está su barco.
-
Este paralelo es cruzado en algún
sitio por el meridiano de Greenwich,
navega. Esta información le permite
fiiar su posición. Luego, bastará que
el navegante estudie su carta rnaríti-
ma ( un mapa de los océarios con los
paralelos y los meridianos marcados
en él
) , y averiguará exactamente la
posición en que se encuentra.
Por medio de un relni y un abnanaque
ndutico, un obseroador que sabe a qué dis'
tancia se encuentra del ecuador,
Wede
determfuwr su posición con referencia al
merüiano de Creenwich. Y con ell'o, cono-
cer el punto exacto de la superficie de ln
Tierra ilondp está,
30
servicio de las embarcaciones. Su
reloi le indica la hora de ese sitio en
aquel momento. Su almanaque le
muestra cómo es alll el cielo.
La posición de las estrellas en el
firf"*pnto que tiene ante sl el nave-
g4nte, es diferente del que se con-
templa en Greenwich y parece eomo
si hubiera descrito determinado ángu-
lo. La
'magnítud dé este ángulo le
indica la distancia'a la que está del
sitio en que el meridiano de Green-
wich cfirza el paralelo por el que
mas at norte esté sihrado el hom-
bre, más grande será el ángulo. Por
lo tantq al medir este ángulo, el hom-
bre sabe qué tan al norte está Por
encima del ecuador. Si el ángulo es
de 30 grados, el navegante estará a
30 grados de latitud norte. Después,
tiene que averiguar exactamente en
qué punto del.paralelo está su barco.
-
Este paralelo es cruzado en algún
sitio por el meridiano de Greenwich,
navega. Esta información le permite
fiiar su posición. Luego, bastará que
el navegante estudie su carta rnaríti-
ma ( un mapa de los océarios con los
paralelos y los meridianos marcados
en él
) , y averiguará exactamente la
posición en que se encuentra.
Por medio de un relni y un abnanaque
ndutico, un obseroador que sabe a qué dis'
tancia se encuentra del ecuador,
Wede
determfuwr su posición con referencia al
merüiano de Creenwich. Y con ell'o, cono-
cer el punto exacto de la superficie de ln
Tierra ilondp está,
30
El Número en el Espacio
I
F
.a
{
l
l
t
Muchas ciudades están divididas
en manzanas, por calles que están
dispuestas en una dirección y aveni-
das que cÍúzan las calles en ángulos
rectos. Se puede localizar cualquier
esquina mencionando dos números:
el número de la calle, y el número
de la avenida que la cruza. Así, si
se desea encontrar a un amigo, Por
eiemplo, en la ciudad de Puebla, bas-
tará decir: "Te encontraré cerca de
la biblioteca en la avenida quinta y la
calle cuarenta y dos."
Podemos localizar cualquier asien-
to en un salón de clases, mencionando
dos números: el de la fila y el de la
hilera. En el grabado, las filas están
numeradas de izquierda a derecha y
las hileras de adelante hacia atrás. EI
maestro dice: ' "Alcen la mano los
alumnos cuyos números de fila y de
hilera sumen cinco." Los lugares de
los alumnos que levantaron la mano
están representados por las pareias
de números (4, 1), (3, 2 ), (2, 3) y
(L, 4),
"o
las que el primer número de
cada pareia representa el número
de la fila. Si designamos con la le-
tra f el número de la fila y por h
el número del asiento, podemos des-
cribir estos lugares por medio de la
ecuación, f + h
que los alumnos que han levantado
la mano están colocados en.línea rec-
ta. La ecuación describe los lugares
que forman esta línea, la cual es una
representación de las pareias de nú-
meros descritos por la ecuación.
Lo anterior es un eiemplo de un
importante descubrimiento realizado
hace más de trescientos años por René
Descartes, un gran matemático fran-
cés. Una ecuación con dos datos des-
conocidos puede representarse por
medio de una línea (recta o curva),
llamada grá,fica. También, toda línea
puede describirse mediante una ecua-
ción. La rama de las matemáticas que
se desarrolló a partir de este descubri-
H LERA
HILERA
HILERA
HITERA
A¿,AA-
FILA
3I
FItA
I
F
.a
{
l
l
t
Muchas ciudades están divididas
en manzanas, por calles que están
dispuestas en una dirección y aveni-
das que cÍúzan las calles en ángulos
rectos. Se puede localizar cualquier
esquina mencionando dos números:
el número de la calle, y el número
de la avenida que la cruza. Así, si
se desea encontrar a un amigo, Por
eiemplo, en la ciudad de Puebla, bas-
tará decir: "Te encontraré cerca de
la biblioteca en la avenida quinta y la
calle cuarenta y dos."
Podemos localizar cualquier asien-
to en un salón de clases, mencionando
dos números: el de la fila y el de la
hilera. En el grabado, las filas están
numeradas de izquierda a derecha y
las hileras de adelante hacia atrás. EI
maestro dice: ' "Alcen la mano los
alumnos cuyos números de fila y de
hilera sumen cinco." Los lugares de
los alumnos que levantaron la mano
están representados por las pareias
de números (4, 1), (3, 2 ), (2, 3) y
(L, 4),
"o
las que el primer número de
cada pareia representa el número
de la fila. Si designamos con la le-
tra f el número de la fila y por h
el número del asiento, podemos des-
cribir estos lugares por medio de la
ecuación, f + h
que los alumnos que han levantado
la mano están colocados en.línea rec-
ta. La ecuación describe los lugares
que forman esta línea, la cual es una
representación de las pareias de nú-
meros descritos por la ecuación.
Lo anterior es un eiemplo de un
importante descubrimiento realizado
hace más de trescientos años por René
Descartes, un gran matemático fran-
cés. Una ecuación con dos datos des-
conocidos puede representarse por
medio de una línea (recta o curva),
llamada grá,fica. También, toda línea
puede describirse mediante una ecua-
ción. La rama de las matemáticas que
se desarrolló a partir de este descubri-
H LERA
HILERA
HILERA
HITERA
A¿,AA-
FILA
3I
FItA
X+Y=5
M '' x:t tt Y:4
sr X:2
sr X:3
EN-
sr x:¿l"r!-Y:1
miento, se llama geometrta analítica.
La relación entre una línea y la
ecuación que representa, se muestra
generalmente en esta forma: sobre
una hoia de papel cuadriculado tra-
zamos dos líneas que se cruzan, una
vertical y otra horizontal, y las llama-
mos eies. A continuación, dividimos
cada eie en porciones iguales y los
numeramos a partir de la intersección
llamada origen. A la derecha del ori-
gen anotamos números positivos, y t
la izquierda, negativos. Arriba del
origen, anotamos números positivos,
y debaio, negativos. En esta forma,
cada intersección estará descrita por
una pareia de números, la cual nos
32
indicará si está a la derecha o a Ia
izquierda, o encima o debajo del eje.
A los números de la izquierda o de la
derecha los llamsrrros r; a los supe-
riores o inferiores los llamamos y. Los
números fraccionarios representarán
puntos que se encuentran entre las
rayas de los cuadros.
He aquí algunos ejemplos de ecua-
ciones cuyas gráficas son líneas cur-
vas: Ia grafica de x' * U'
-
25 es
tn círculn. La gráfica de 4x2 + 9U' :
25 es una curva cerrada llamada elip-
se. La gráfica d" A
-
4r
-
x:2 es una
paráboln, o sea una curva similar a
la que describe una pelota cuando se
arroia hacia arriba y hacia adelante.
M
M
M
f;#"
EN.
roN-
Y
CES
I
EN-
ttr!
v
:3
:2
René Descartes descubrió que urua eatación con dos incógnitas podía ser
representada por medio de una gráfica, sobre ln cual cada.línea es utur ecuación
.t
!
.
t
j
t
ri
-2
-3
-4-3-2-l
M '' x:t tt Y:4
sr X:2
sr X:3
EN-
sr x:¿l"r!-Y:1
miento, se llama geometrta analítica.
La relación entre una línea y la
ecuación que representa, se muestra
generalmente en esta forma: sobre
una hoia de papel cuadriculado tra-
zamos dos líneas que se cruzan, una
vertical y otra horizontal, y las llama-
mos eies. A continuación, dividimos
cada eie en porciones iguales y los
numeramos a partir de la intersección
llamada origen. A la derecha del ori-
gen anotamos números positivos, y t
la izquierda, negativos. Arriba del
origen, anotamos números positivos,
y debaio, negativos. En esta forma,
cada intersección estará descrita por
una pareia de números, la cual nos
32
indicará si está a la derecha o a Ia
izquierda, o encima o debajo del eje.
A los números de la izquierda o de la
derecha los llamsrrros r; a los supe-
riores o inferiores los llamamos y. Los
números fraccionarios representarán
puntos que se encuentran entre las
rayas de los cuadros.
He aquí algunos ejemplos de ecua-
ciones cuyas gráficas son líneas cur-
vas: Ia grafica de x' * U'
-
25 es
tn círculn. La gráfica de 4x2 + 9U' :
25 es una curva cerrada llamada elip-
se. La gráfica d" A
-
4r
-
x:2 es una
paráboln, o sea una curva similar a
la que describe una pelota cuando se
arroia hacia arriba y hacia adelante.
M
M
M
f;#"
EN.
roN-
Y
CES
I
EN-
ttr!
v
:3
:2
René Descartes descubrió que urua eatación con dos incógnitas podía ser
representada por medio de una gráfica, sobre ln cual cada.línea es utur ecuación
.t
!
.
t
j
t
ri
-2
-3
-4-3-2-l
-l
¿Cara
o Cruz?
Calcular las probabilidades de que
algo suceda es como adivinar el fu-
turo. Y esto se hace aplicando el
sentido común y la experiencia de
lo que ha ocurrido en el pasado. Para
comprender cómo funciona este eálcu-
lo, observemos un cÍrso muy sencillo
y tratemos de decir lo que sucederá
al arrojar al aire una moneda. La
moneda tiene dos caras, llamad as cora
y cruz; cada una de ellas puede apare-
cer el mismo número de veces que la
otra. Bl sentido común y la experien-
cia nos inücan eüe, en un gran
número de veces que se arroia al aire,
Ias probabilidades son de que la mi-
tad de las veces la moneda caiga de
cora y Ia mitad de cruz. Dicho de otra
m¿ulera, de eada dos 'tiros" uno será
cara. Por lo tanto, las probabilidades
de obtener cura son de
t/2.
Si arroiamos al aire dos monedas,
hay tres resultados posibles: podemos
obtener dos caras, o dos cruces, o una
cora o una cruz. ¿Cuál es la probabi-
lidad de obtener cada ut o de estos
resultados? Por supuesto que no es
uno en tres. Si empleamos dos mone-
das ( digamos un centavo y un dé-
cimo), vemos que en realidad h"y
cuatro posibles resultados. Arroiando
el centavo primero y el décimo des-
pués, podremos obtener cara
-
cara,
o cruz crvz. La probabilidad de
obtener dos cruces es de una a cuatro,
o sea %. La probabilidad de obtener
dos caras es también de
t/+.La
posi-
bilidad de que salga una cara y una
,lsslna
li
ii
t
*
w
t
I
+
M+r&
W
ü
1,t
;,-.';,1,''
u',',
ENTRE ENTNE
44
irF
or .$t*o -TrRos- r$rrrrs
¿Cara
o Cruz?
Calcular las probabilidades de que
algo suceda es como adivinar el fu-
turo. Y esto se hace aplicando el
sentido común y la experiencia de
lo que ha ocurrido en el pasado. Para
comprender cómo funciona este eálcu-
lo, observemos un cÍrso muy sencillo
y tratemos de decir lo que sucederá
al arrojar al aire una moneda. La
moneda tiene dos caras, llamad as cora
y cruz; cada una de ellas puede apare-
cer el mismo número de veces que la
otra. Bl sentido común y la experien-
cia nos inücan eüe, en un gran
número de veces que se arroia al aire,
Ias probabilidades son de que la mi-
tad de las veces la moneda caiga de
cora y Ia mitad de cruz. Dicho de otra
m¿ulera, de eada dos 'tiros" uno será
cara. Por lo tanto, las probabilidades
de obtener cura son de
t/2.
Si arroiamos al aire dos monedas,
hay tres resultados posibles: podemos
obtener dos caras, o dos cruces, o una
cora o una cruz. ¿Cuál es la probabi-
lidad de obtener cada ut o de estos
resultados? Por supuesto que no es
uno en tres. Si empleamos dos mone-
das ( digamos un centavo y un dé-
cimo), vemos que en realidad h"y
cuatro posibles resultados. Arroiando
el centavo primero y el décimo des-
pués, podremos obtener cara
-
cara,
o cruz crvz. La probabilidad de
obtener dos cruces es de una a cuatro,
o sea %. La probabilidad de obtener
dos caras es también de
t/+.La
posi-
bilidad de que salga una cara y una
,lsslna
li
ii
t
*
w
t
I
+
M+r&
W
ü
1,t
;,-.';,1,''
u',',
ENTRE ENTNE
44
irF
or .$t*o -TrRos- r$rrrrs
F
i
=íGü
=l+
3
ENTRE
8
crúz es de dos en cuatro tiros, o sea
Yr.
¿Cuáles
son las probabilidades de
quó caigan dos caras y ula cruz al
arroiar al aire tres monedas? Para con-
testar esta pregunta, debemos obier-
var primero que hay tres maneras de
obtener dos caras y una cwz. Pode-
mos obtener c¿rra
-
cara
-
crrrz, o
cara
-
cÍuz
-
cafa, o cftJz
-cara -
ca'
ra. Comparemos este número con el
número total de maneras en que
pueden caer las tres monedas. Este
número es ocho, ya que cada moneda
puede caer de dos posibles formas, y
2 X 2 X 2
-
8. Por lo tanto, las pro-
babilidades de obtener dos carasl y,
una cruz es
3/s.
Hay una forma directa y sencilla
para obtener las probabilidadés de
cualquier combinaeión especial. Es el
triángul.o il^e Pascal. Pascal fue un
filósofo y matemático fra¡rces del siglo
xvrl que se interesó en un tiempo por
la ruleta y otros iuegos de azar. Este
interés lo conduio al descubrimiento
de algunas reglas importantes aeer-
ca de las probabilidades de obtener
una cara u otra al arroiar una moneda.
34
i
t
ü
ü
I
*
*
*
i
ü
*
*
i
*
t
I
i
*
*
ü
i
*
ü
*
I
*
*
*
Sus descubrímientos se describen en
una formación triangular de números,
que muestra claramente la posibilidad
de obtener cara o crriz o cualquier
combinación de ellas, en determinado
número de tiros.
Cada hilera del triángulo se obti'e-
ne de la inmediata superior, de esta
manera: se escribe un I en eada ex-
tremo, y debaio de cada par de núme-
ros contiguos, se escribe la suma de
ambos. La primera hilera representa
las probabilidades de que salga cara
o cruz al arrojar una moneda; la se-
gunda hilera, para dos monedas; la
tercera,para tres monedas, qtc.
El primer número de una hilera re-
presenta la probabilidad de obtener
todas c¿uas y una ettrz, y así en forma
sucesiva. Pa¡a ealcular las posibilida-
des al arroiar cuatro monedas, emplee
la cuarta hilera. Para las.probabilida-
des de obtener dos caras y dos ótuees
con cuatro monedas, use el tercer
número de la hilera. Compare este nú-
mero con Ia suma de todos los núme-
ros de la hilera. La probabilidad de
obtener dos caras y dos cruees es de 6
veces en 16, o sea
s/a,
i
=íGü
=l+
3
ENTRE
8
crúz es de dos en cuatro tiros, o sea
Yr.
¿Cuáles
son las probabilidades de
quó caigan dos caras y ula cruz al
arroiar al aire tres monedas? Para con-
testar esta pregunta, debemos obier-
var primero que hay tres maneras de
obtener dos caras y una cwz. Pode-
mos obtener c¿rra
-
cara
-
crrrz, o
cara
-
cÍuz
-
cafa, o cftJz
-cara -
ca'
ra. Comparemos este número con el
número total de maneras en que
pueden caer las tres monedas. Este
número es ocho, ya que cada moneda
puede caer de dos posibles formas, y
2 X 2 X 2
-
8. Por lo tanto, las pro-
babilidades de obtener dos carasl y,
una cruz es
3/s.
Hay una forma directa y sencilla
para obtener las probabilidadés de
cualquier combinaeión especial. Es el
triángul.o il^e Pascal. Pascal fue un
filósofo y matemático fra¡rces del siglo
xvrl que se interesó en un tiempo por
la ruleta y otros iuegos de azar. Este
interés lo conduio al descubrimiento
de algunas reglas importantes aeer-
ca de las probabilidades de obtener
una cara u otra al arroiar una moneda.
34
i
t
ü
ü
I
*
*
*
i
ü
*
*
i
*
t
I
i
*
*
ü
i
*
ü
*
I
*
*
*
Sus descubrímientos se describen en
una formación triangular de números,
que muestra claramente la posibilidad
de obtener cara o crriz o cualquier
combinación de ellas, en determinado
número de tiros.
Cada hilera del triángulo se obti'e-
ne de la inmediata superior, de esta
manera: se escribe un I en eada ex-
tremo, y debaio de cada par de núme-
ros contiguos, se escribe la suma de
ambos. La primera hilera representa
las probabilidades de que salga cara
o cruz al arrojar una moneda; la se-
gunda hilera, para dos monedas; la
tercera,para tres monedas, qtc.
El primer número de una hilera re-
presenta la probabilidad de obtener
todas c¿uas y una ettrz, y así en forma
sucesiva. Pa¡a ealcular las posibilida-
des al arroiar cuatro monedas, emplee
la cuarta hilera. Para las.probabilida-
des de obtener dos caras y dos ótuees
con cuatro monedas, use el tercer
número de la hilera. Compare este nú-
mero con Ia suma de todos los núme-
ros de la hilera. La probabilidad de
obtener dos caras y dos cruees es de 6
veces en 16, o sea
s/a,
\
MONEDA
Si se arroia um rnonedn,la posibilidad ile que caiga de cara es
7 entre 2, ó sea
L/2
Si s¿ tiran das monedns, ln posibilillnd. de obtener dos caros es
7 entre 4; de conseguir utua cara y u¡w cruz, 2 entre 4, ó sea
a/2;
de que salgan dos cntces, T entre 4
Si se arrbian tres monedns,Ins posibílid,ad,es son: tod.as de cara,
7 entre 8; dos caros
A
urw cntrz, 3 entre 8; 2 cruces y 7 cara,
3 entre 8; tod,as de ctttz, 7 entre 8
Sf s¿ tiran antro manedas, enfie 76 de que
todas salgan de caro o todns d,e cruz; 4 entre 76 de obtener
3 caras y u,rx, cruz; ó 3 cruces y 7 cara; 6 entre 76 de obtener 2
cotut y 2 cruces
En chrco tiros, Ias posiülidailes son: 7 entre 32 ¿le que todas
salgan aaro, o tod"as de cruz; 5 entre 32 para 4 caras y 1 cruz,
ó 4 c,ntces y 7 cara; 7O entre 32 pora 3 caras, 2 c:races ó 3 uu-
ces
V 2 caras
U
¡i
H
I
En seis tiros, lns posibílilladcs son que tod.as saXgan caros o
tú"os cn.raes, 7 entre 61; p.ra 5 caras y 7 c.ruz, o al contrarío,
75 ent¡e 64;3 cotos y 3 cnrces, 2O entre 64
jh
2
MONEDAS
3
M.NEDAS
4
M.NEDAS
5
MoNEDAS
6
MoNEDAS
MONEDA
Si se arroia um rnonedn,la posibilidad ile que caiga de cara es
7 entre 2, ó sea
L/2
Si s¿ tiran das monedns, ln posibilillnd. de obtener dos caros es
7 entre 4; de conseguir utua cara y u¡w cruz, 2 entre 4, ó sea
a/2;
de que salgan dos cntces, T entre 4
Si se arrbian tres monedns,Ins posibílid,ad,es son: tod.as de cara,
7 entre 8; dos caros
A
urw cntrz, 3 entre 8; 2 cruces y 7 cara,
3 entre 8; tod,as de ctttz, 7 entre 8
Sf s¿ tiran antro manedas, enfie 76 de que
todas salgan de caro o todns d,e cruz; 4 entre 76 de obtener
3 caras y u,rx, cruz; ó 3 cruces y 7 cara; 6 entre 76 de obtener 2
cotut y 2 cruces
En chrco tiros, Ias posiülidailes son: 7 entre 32 ¿le que todas
salgan aaro, o tod"as de cruz; 5 entre 32 para 4 caras y 1 cruz,
ó 4 c,ntces y 7 cara; 7O entre 32 pora 3 caras, 2 c:races ó 3 uu-
ces
V 2 caras
U
¡i
H
I
En seis tiros, lns posibílilladcs son que tod.as saXgan caros o
tú"os cn.raes, 7 entre 61; p.ra 5 caras y 7 c.ruz, o al contrarío,
75 ent¡e 64;3 cotos y 3 cnrces, 2O entre 64
jh
2
MONEDAS
3
M.NEDAS
4
M.NEDAS
5
MoNEDAS
6
MoNEDAS
t+
I'
I
I
=€.=ffiq.- "ffi.
=*ffi
La Regla de Celculoo
@''M el Aparato que Multiplica
,tf
Cuando resolvemos un problema de
matemáticas, tratamos de hacerlo
de la forma más breve y fácil que sea
oosible. La manera más sencilla de
iesolverlo, no es hacerlo en su totali-
dad, sino sirviéndonos de algún apa-
rato'mecánico.
Se puede construir una sencilla má-
quina sumadora, con dos reglas comu-
nes y eorrientes. Se colocan una enci-
ma de la otra, borde con borde, y ya
está formada una máquina rudimenta-
ria. Si queremos sumar 2y 3, hacemos
coincidir el cero de la regla superior
eon el 2 de la regla inferior. Después,
loealizamos el 3 de la regla de arri-
ba, y la respuesta aparecerá debaio
Iln ytar il"e reglas cornunes y conbntes se prede utíIizor pala &nnar núme*os
de este número, en la regla inferior.
Si hacemos un pequeño cambio en
nuestras reglas, podemos convertirlas
en un aparato que multiplica. Obte-
nemos la clave de eómo eiecutar esto
gracias a lo que aprendimos en la
página f5.
Una forma simplificada de escribir
2 - 2 - 2. 2 es 2a.Como 2 . 2. 2. 2
-
16, 24 es otra forma de expresar 16.
El 4, que nos indica cuántas veces
tenemos que multiplicar 2 por sí mis-
mo, para obtener 16, se llama el loga-
rümo de 16. En igual forma, 23 es otro
modo de expresar 8, y el logaritmo
de ocho es, en este caso, 3. Para multi-
plicar 16 por 8, multiplicamos 2a por
2
+3
5
HAGA COINCIDIR TAS DOS RBGLA EN FORIIA TAL, QUE Et 2 DE
rA REGrA TNFERToR EsrÉ ExActAme¡ne orsfuo DEt cERo
DE TA REGLA SUPERIOR
LUEGO, ABAJO DEt Nú'MERO 3 DE tA REGTA
SUPERIOR, I.EA LA RESPUESTA DE tA SUMA
EN IA REGTA INFERIOR
.:Í'"7
36
I'
I
I
=€.=ffiq.- "ffi.
=*ffi
La Regla de Celculoo
@''M el Aparato que Multiplica
,tf
Cuando resolvemos un problema de
matemáticas, tratamos de hacerlo
de la forma más breve y fácil que sea
oosible. La manera más sencilla de
iesolverlo, no es hacerlo en su totali-
dad, sino sirviéndonos de algún apa-
rato'mecánico.
Se puede construir una sencilla má-
quina sumadora, con dos reglas comu-
nes y eorrientes. Se colocan una enci-
ma de la otra, borde con borde, y ya
está formada una máquina rudimenta-
ria. Si queremos sumar 2y 3, hacemos
coincidir el cero de la regla superior
eon el 2 de la regla inferior. Después,
loealizamos el 3 de la regla de arri-
ba, y la respuesta aparecerá debaio
Iln ytar il"e reglas cornunes y conbntes se prede utíIizor pala &nnar núme*os
de este número, en la regla inferior.
Si hacemos un pequeño cambio en
nuestras reglas, podemos convertirlas
en un aparato que multiplica. Obte-
nemos la clave de eómo eiecutar esto
gracias a lo que aprendimos en la
página f5.
Una forma simplificada de escribir
2 - 2 - 2. 2 es 2a.Como 2 . 2. 2. 2
-
16, 24 es otra forma de expresar 16.
El 4, que nos indica cuántas veces
tenemos que multiplicar 2 por sí mis-
mo, para obtener 16, se llama el loga-
rümo de 16. En igual forma, 23 es otro
modo de expresar 8, y el logaritmo
de ocho es, en este caso, 3. Para multi-
plicar 16 por 8, multiplicamos 2a por
2
+3
5
HAGA COINCIDIR TAS DOS RBGLA EN FORIIA TAL, QUE Et 2 DE
rA REGrA TNFERToR EsrÉ ExActAme¡ne orsfuo DEt cERo
DE TA REGLA SUPERIOR
LUEGO, ABAJO DEt Nú'MERO 3 DE tA REGTA
SUPERIOR, I.EA LA RESPUESTA DE tA SUMA
EN IA REGTA INFERIOR
.:Í'"7
36
!
Urw regln de cálcula sunu, logaritmos para efechnr operacianes de multiplicación
23. Lo anterior equivale a multiplicar
2 - 2 . 2 . zpor 2 " 2 . 2. Substituyendo
la palabra por, obtenemos 2 . 2 . 2
-
2.2.2.2, y el resultado, expresado
en forma abreviada, es 27, ó sea 128,
y su logaritmo es 7.
Observemos que, al multiplicar 16
por I para obtener L28, sumamos
los logaritmos 4 y 3, para obtener 7.
Esta es nuestra clave. Sabemos ya que
d.os reglas pueden, sym?r.las distan-
cias que se miden con ellaE. Por lo
'tanto, haremos una regla especial en
la que Ia distancia de cáda número
respecto del extremo de la regla
sea igual aI logaritmo del número.
O sea" que la regla medirá logaritmos.
Y sumar logarihos equivale a inulti-
plicar süs respectivos números. Una
regla. de este tipo recibe el nombre
de regln dp cóInin.
Dos reglas comunes y corrientes
pueden restar números, así cumo tan-
bién suma¡los. Poi ejemplo, para res-
tar 3 de 5, coloque el 3 de la regla
superior coincidiendo con el 5 de la
regla inferior. El cero de la regla supe-
rior indicará, que la respuesta es 2.
En forma similar, una regla de cálculo
que multiplica números se puede usar
en sentido inverso para efectuar Ia
operación de división.
Las reglas de cálculo se emplean
en muy diversos géneros de activida-
des: en ingenierla,.arquitectur4 im-
prenta,'' y, €n general, son indispensa-
bles para toda persona que flbcesite
frecuentemente hacer cálculos rapi-
dos. Hay muchos tipos de reglas áe
cálculo. Además de la reglp recta que
se describió a¡rteriormente, las hay de
forma circular. Éstas constan de dos
discos impresos, de tamaño disgnto,
que están moRtados sobre un eje
común que les permite girar libre
e independientemente.
"t,
37
Urw regln de cálcula sunu, logaritmos para efechnr operacianes de multiplicación
23. Lo anterior equivale a multiplicar
2 - 2 . 2 . zpor 2 " 2 . 2. Substituyendo
la palabra por, obtenemos 2 . 2 . 2
-
2.2.2.2, y el resultado, expresado
en forma abreviada, es 27, ó sea 128,
y su logaritmo es 7.
Observemos que, al multiplicar 16
por I para obtener L28, sumamos
los logaritmos 4 y 3, para obtener 7.
Esta es nuestra clave. Sabemos ya que
d.os reglas pueden, sym?r.las distan-
cias que se miden con ellaE. Por lo
'tanto, haremos una regla especial en
la que Ia distancia de cáda número
respecto del extremo de la regla
sea igual aI logaritmo del número.
O sea" que la regla medirá logaritmos.
Y sumar logarihos equivale a inulti-
plicar süs respectivos números. Una
regla. de este tipo recibe el nombre
de regln dp cóInin.
Dos reglas comunes y corrientes
pueden restar números, así cumo tan-
bién suma¡los. Poi ejemplo, para res-
tar 3 de 5, coloque el 3 de la regla
superior coincidiendo con el 5 de la
regla inferior. El cero de la regla supe-
rior indicará, que la respuesta es 2.
En forma similar, una regla de cálculo
que multiplica números se puede usar
en sentido inverso para efectuar Ia
operación de división.
Las reglas de cálculo se emplean
en muy diversos géneros de activida-
des: en ingenierla,.arquitectur4 im-
prenta,'' y, €n general, son indispensa-
bles para toda persona que flbcesite
frecuentemente hacer cálculos rapi-
dos. Hay muchos tipos de reglas áe
cálculo. Además de la reglp recta que
se describió a¡rteriormente, las hay de
forma circular. Éstas constan de dos
discos impresos, de tamaño disgnto,
que están moRtados sobre un eje
común que les permite girar libre
e independientemente.
"t,
37
las Ruedas Contadoras
Otro aparato simple que se utiliza
para contar es el oümetro, el cual
se instala en un, automóvil para indi-
car cuántos kilómetros ha recorrido el
vehíeulo. Consta de una serie de rue-
das colocadas una iunto a otra. Llevan
números impresos del I al I en el
canto de eada rueda. Uno de estos
números, €D cada rueda, asoma por
una abertura en el velocímetro del
auto. La rueda de la derecha regis-
tra décimos de kilómetro. Cuando el
vehículo ha reeorrido la décima parte
de un kilómetro, la rueda gira lo sufi-
ciente para hacer que aparezea el
siguiente número en la ventanilla
del odómetro. Después de nueve dé-
cimos de kilómetro, el nhmero I
ap¿uece en la ventanilla. Al pasar el
siguiente décimo, la rueda coloca
Los antornóoiles tienen un
frequeño aproto contado¡ en el tablero, llamado oümetro,
el cual mide la distancia qie el oehícttlan reco¡te y la expreso por medio de númeroi
situados en dkcos giratorios
i
I
I
el cero en su lugar y, almismo tiempo,
hace que gire la rueda próxima un
espacio. El objeto de este movimiento
es cambiar diez espacios de Ia pri-
mera rueda por un espacio de la
segunda. A su vez, la segunda rueda,
deryués
_
de completar una vuelta,
cambia üelz espacios por un espadio
de la tercera rueda. AJí, mientr¿s la
primera rueda registra décimos de
kilómetro, Ia segunda rueda cuen-
ta hlómetros, la tercera marca dece-
nas de kilómetros, Ia euarta indica
centenas de kilómetros, y así sucesiva-
mente. La mayoría de las máquinas
ealculadoras dó oficina funcionin de
manera semeiante a los odómetros.
Son simples máquinas de contar, que
suman números como las personas su-
man cnn los dedos. Cuentan el primer
I Kri tO Ktr...'.
PUNTO
DE PARTIDA
l
ESTA DISTANCIA NO ESTA A ESCALA
Otro aparato simple que se utiliza
para contar es el oümetro, el cual
se instala en un, automóvil para indi-
car cuántos kilómetros ha recorrido el
vehíeulo. Consta de una serie de rue-
das colocadas una iunto a otra. Llevan
números impresos del I al I en el
canto de eada rueda. Uno de estos
números, €D cada rueda, asoma por
una abertura en el velocímetro del
auto. La rueda de la derecha regis-
tra décimos de kilómetro. Cuando el
vehículo ha reeorrido la décima parte
de un kilómetro, la rueda gira lo sufi-
ciente para hacer que aparezea el
siguiente número en la ventanilla
del odómetro. Después de nueve dé-
cimos de kilómetro, el nhmero I
ap¿uece en la ventanilla. Al pasar el
siguiente décimo, la rueda coloca
Los antornóoiles tienen un
frequeño aproto contado¡ en el tablero, llamado oümetro,
el cual mide la distancia qie el oehícttlan reco¡te y la expreso por medio de númeroi
situados en dkcos giratorios
i
I
I
el cero en su lugar y, almismo tiempo,
hace que gire la rueda próxima un
espacio. El objeto de este movimiento
es cambiar diez espacios de Ia pri-
mera rueda por un espacio de la
segunda. A su vez, la segunda rueda,
deryués
_
de completar una vuelta,
cambia üelz espacios por un espadio
de la tercera rueda. AJí, mientr¿s la
primera rueda registra décimos de
kilómetro, Ia segunda rueda cuen-
ta hlómetros, la tercera marca dece-
nas de kilómetros, Ia euarta indica
centenas de kilómetros, y así sucesiva-
mente. La mayoría de las máquinas
ealculadoras dó oficina funcionin de
manera semeiante a los odómetros.
Son simples máquinas de contar, que
suman números como las personas su-
man cnn los dedos. Cuentan el primer
I Kri tO Ktr...'.
PUNTO
DE PARTIDA
l
ESTA DISTANCIA NO ESTA A ESCALA
número, y luego, empiezan en donde
el primer número se quedó. Multipli-
can sumando el mismo número varias
veces. Para multiplicar 4 por 5, por
eiemplo, una calculadora suma 5 +
5+5+5
Las máquinas computadoras fun-
cionan electrónicamente; son las más
rápidas. Tambiéh son máquinas que
cuentan, sólo gu€, en vez de tener
series de ruedas giratorias, están pro-
vistas de series de circuitos electróni-
cos. Llevan la cuenta interrunnpiendo
y estableeiendo la corriente eléctrica
dentro de los circuitos. Así como
en el odómetro una rueda pasa la
cuenta a Ia siguiente, haciéndola girar,
en las computadoras un circuito pasa
la corriente a otro circuito contiguo,
mediante impulsos de electricidad.
Cada ruedá del odómetro tien e diez
divisiones; por tanto, este aparato
forma números de varias cifras en
grupos de diez. Cada circuito en una
computadora electrónica sólo tiene
dos posicidnes, por lo que los números
que forma'son de varias cifras, en
Las calculadoras el.ectrónicas funcionan
sumando
Enoí,an y cortan impulsos de corriente eléct¡ica a
tneros de oarias cifras en grupos de dos
dos cifras
iuntas
a gran oelocid,ad.
urw serie de óircuitos, formando
nú-
grupos de dos. Aunque esto parece
una forma muy lenta de contar, las
computadoras funcionan a alta veloci-
dad, porque la corriente eléctrica viaia
casi tan rápidamente como la luz.
Las computadoras que forman nú-
meros de varias cifras en grupos de
dos, escriben los números en una
fotma especial. Para nosotros, los nú-
meros del 1 al 10 significan un grupo
de diez, y para la computadora, el
dígito I del número 10 expresa un
grupo de dos. En su sistema de escri-
tura, conocida como rutmeroción bi-
naria, el 10 significa dos; el 11 se
escribe tres, y el 100 atatro.
El odómetro, la calculadora y la
computadora electrónica reciben el
nombre de m.óqulnns dl,gttalns, porque
eiecutan todos sus cálculos con los
niimeros dígitos. Existe otto tipo de
aparato que míde, en vez de contar.
Este aparato transforma primero los
números en medidas, como la longi-
tud, el ángulo y las unidades de la
corriente eléctrica. La regla de cálculo
es un ejemplo de este tipo de aparato.
j,,
4i
i,l
39
el primer número se quedó. Multipli-
can sumando el mismo número varias
veces. Para multiplicar 4 por 5, por
eiemplo, una calculadora suma 5 +
5+5+5
Las máquinas computadoras fun-
cionan electrónicamente; son las más
rápidas. Tambiéh son máquinas que
cuentan, sólo gu€, en vez de tener
series de ruedas giratorias, están pro-
vistas de series de circuitos electróni-
cos. Llevan la cuenta interrunnpiendo
y estableeiendo la corriente eléctrica
dentro de los circuitos. Así como
en el odómetro una rueda pasa la
cuenta a Ia siguiente, haciéndola girar,
en las computadoras un circuito pasa
la corriente a otro circuito contiguo,
mediante impulsos de electricidad.
Cada ruedá del odómetro tien e diez
divisiones; por tanto, este aparato
forma números de varias cifras en
grupos de diez. Cada circuito en una
computadora electrónica sólo tiene
dos posicidnes, por lo que los números
que forma'son de varias cifras, en
Las calculadoras el.ectrónicas funcionan
sumando
Enoí,an y cortan impulsos de corriente eléct¡ica a
tneros de oarias cifras en grupos de dos
dos cifras
iuntas
a gran oelocid,ad.
urw serie de óircuitos, formando
nú-
grupos de dos. Aunque esto parece
una forma muy lenta de contar, las
computadoras funcionan a alta veloci-
dad, porque la corriente eléctrica viaia
casi tan rápidamente como la luz.
Las computadoras que forman nú-
meros de varias cifras en grupos de
dos, escriben los números en una
fotma especial. Para nosotros, los nú-
meros del 1 al 10 significan un grupo
de diez, y para la computadora, el
dígito I del número 10 expresa un
grupo de dos. En su sistema de escri-
tura, conocida como rutmeroción bi-
naria, el 10 significa dos; el 11 se
escribe tres, y el 100 atatro.
El odómetro, la calculadora y la
computadora electrónica reciben el
nombre de m.óqulnns dl,gttalns, porque
eiecutan todos sus cálculos con los
niimeros dígitos. Existe otto tipo de
aparato que míde, en vez de contar.
Este aparato transforma primero los
números en medidas, como la longi-
tud, el ángulo y las unidades de la
corriente eléctrica. La regla de cálculo
es un ejemplo de este tipo de aparato.
j,,
4i
i,l
39
t
q#
"&
#
**-$ry6"-"+
#%
#%
ffiffi
%ss$scd
ffi
Las Matemáticas yla IVIúsica
Una nota musical es producida por
una vibración. Por ejemplo, si se es-
tira una cuerda y se pone tensa y
después se puntea, vibrará y produ-
cirá un sonido. Cómo suene la cuerda,
dependerá del número de vibraciones
que ésta produzca. El número de vi-
braciones por segundo se llama
frecuencia de la nota. Cuando una
canción u obra musical se escribe,
generalmente está compuesta de una
familia de notas llamada escaln. para
comprénder cómo Se relacionan en-
tre sí las notas de una escala, haga-
mos una epcala musical.
La nota, más importante de una
escala es aquella en que la canción
termina. Se llama tónica. Escoiamos
como tónica Ia nota que se produce
al vibrar una cuerda 256 veces por
segundo. A esta nota Ia llamam os do.
Si cortamos la cuerda a Ia mitad,
vibrará dos veces más aprisa. La nota
que producirá esta cuerda más cor-
La nota que produce una cuerda de oiolín depende del ntimero de oeces que ésta oibre
vlotoNcEto
vrorí¡l
f
#
F
CONTRABAJO
40
q#
"&
#
**-$ry6"-"+
#%
#%
ffiffi
%ss$scd
ffi
Las Matemáticas yla IVIúsica
Una nota musical es producida por
una vibración. Por ejemplo, si se es-
tira una cuerda y se pone tensa y
después se puntea, vibrará y produ-
cirá un sonido. Cómo suene la cuerda,
dependerá del número de vibraciones
que ésta produzca. El número de vi-
braciones por segundo se llama
frecuencia de la nota. Cuando una
canción u obra musical se escribe,
generalmente está compuesta de una
familia de notas llamada escaln. para
comprénder cómo Se relacionan en-
tre sí las notas de una escala, haga-
mos una epcala musical.
La nota, más importante de una
escala es aquella en que la canción
termina. Se llama tónica. Escoiamos
como tónica Ia nota que se produce
al vibrar una cuerda 256 veces por
segundo. A esta nota Ia llamam os do.
Si cortamos la cuerda a Ia mitad,
vibrará dos veces más aprisa. La nota
que producirá esta cuerda más cor-
La nota que produce una cuerda de oiolín depende del ntimero de oeces que ésta oibre
vlotoNcEto
vrorí¡l
f
#
F
CONTRABAJO
40
Do Re Mi Fa Sol La Si Do
ta también se llama do. Su frecuencia
es de 512 vibraciones por segundo. La
frecuencia de 256 es el doble de 128,
el que a su vez es el doble de 64, etc.
Damos el mismo nombre a estas
notas, porque pensafnos en ellas como
una inismá nota, pero tocadas a dife-
rentés "riiveles".-
^
Hagamos vibrar ahora una cuerda
cuya longitud sea de las dos terceras
partes de la cuerda original. La nota
que se produce es la paribnte más
cercana de la tónica. A esta nota la
llamamo's dominante. Su frecuencia
es
8/z
veees mayor que la frecuencia de
la tónica. Una escala es unn farnilin
de notas en la que cada nota es ln
¿lunfuwnte dp otra nota en eI Wpo
de notas. Para encontrar la domi-
nante de cualquier nota de la eseala,
multiplicamos su frecuencia por
3/2,
ó
por I/2.
Al multiplicar una y otra vez por
3/z
obtenemos una serie de notas, cafla
una de las cuales es la dominante de
Ia que le precede.'Estas notas se lla-
man sol,'re, ln mi y si. Al dividír 256
entre
3/2,
obtenemos L7L,la frecuencia
de la nota fa, de la cual do es la do-
minante. Estas notas forman la escala
de do. ,-
.
Empezamos con la nota dg;cuya
frecuencia es 256. Bl do Sigulente
tiene, a su vez, una frecuencia de 512.
Podemos obtener todos los tonos de
la escala que se encuentran entre
estos dos límites, porquo.'cuando la
frecuencia de una nota es demasiado
alt4 podemos dividirla a Ia mitad, y
obtener otra nota igual, pero de fre-
cuencia menor. La frecuencia de sol
ho es demasiado alta, así que la man-
tenemos. Todas las demrás notas,
excepto fa, son demasiado altas, así
Podemos producir el mismo tono a üferen-
tes "nioelef', acortando por la mitad o
d,upkcando ln langitud de la cuerda de los
instrumentos
que dividimos las frecuencias entre
dos, repetidamente, hasta que la fre-
cuencia quede entre 256 y 5I2. La
frecuencia de fa es demasiado baia,
así que habrá que duplicarla. Ahora,
arregladas las notas en orden de fre-
cuencia, formamos una "escalera" de
notas llamada escaln de do mayor, y
cuyo orden es: Do Qrc), re (288),
ni (3%*), fa (A4, sol (3S4), In
(432),.sí (486) y'do (512). Este es
el or.den de Ias teclas blancas de un
piano.
4t
ta también se llama do. Su frecuencia
es de 512 vibraciones por segundo. La
frecuencia de 256 es el doble de 128,
el que a su vez es el doble de 64, etc.
Damos el mismo nombre a estas
notas, porque pensafnos en ellas como
una inismá nota, pero tocadas a dife-
rentés "riiveles".-
^
Hagamos vibrar ahora una cuerda
cuya longitud sea de las dos terceras
partes de la cuerda original. La nota
que se produce es la paribnte más
cercana de la tónica. A esta nota la
llamamo's dominante. Su frecuencia
es
8/z
veees mayor que la frecuencia de
la tónica. Una escala es unn farnilin
de notas en la que cada nota es ln
¿lunfuwnte dp otra nota en eI Wpo
de notas. Para encontrar la domi-
nante de cualquier nota de la eseala,
multiplicamos su frecuencia por
3/2,
ó
por I/2.
Al multiplicar una y otra vez por
3/z
obtenemos una serie de notas, cafla
una de las cuales es la dominante de
Ia que le precede.'Estas notas se lla-
man sol,'re, ln mi y si. Al dividír 256
entre
3/2,
obtenemos L7L,la frecuencia
de la nota fa, de la cual do es la do-
minante. Estas notas forman la escala
de do. ,-
.
Empezamos con la nota dg;cuya
frecuencia es 256. Bl do Sigulente
tiene, a su vez, una frecuencia de 512.
Podemos obtener todos los tonos de
la escala que se encuentran entre
estos dos límites, porquo.'cuando la
frecuencia de una nota es demasiado
alt4 podemos dividirla a Ia mitad, y
obtener otra nota igual, pero de fre-
cuencia menor. La frecuencia de sol
ho es demasiado alta, así que la man-
tenemos. Todas las demrás notas,
excepto fa, son demasiado altas, así
Podemos producir el mismo tono a üferen-
tes "nioelef', acortando por la mitad o
d,upkcando ln langitud de la cuerda de los
instrumentos
que dividimos las frecuencias entre
dos, repetidamente, hasta que la fre-
cuencia quede entre 256 y 5I2. La
frecuencia de fa es demasiado baia,
así que habrá que duplicarla. Ahora,
arregladas las notas en orden de fre-
cuencia, formamos una "escalera" de
notas llamada escaln de do mayor, y
cuyo orden es: Do Qrc), re (288),
ni (3%*), fa (A4, sol (3S4), In
(432),.sí (486) y'do (512). Este es
el or.den de Ias teclas blancas de un
piano.
4t
Las Ulatemáticas y el Arte
Pintura egípcia antigua trazn-
d.a, sin aplicar la perspec'tioo
Comparemos las dos ilustraciones
de esta págna. La de la parte supe-
rior es una antigrra pintura egipcia.
Las figuras que allí aparecen se ven
planas. Es difícil decir qué partes de
la pintura están más cerca o más leios
del observador. El grabado de la parte
inferior es una pintura de Chirieo, un
artista italiano. Los edificios üenen
relieve. También podemos apreciar
que algunos son más altos que otros,
y que algunos p¿uecen más leianos.
Además, se observa que hay un gran
patio que se extiende, aleiándose del
observador. El espacio en el cuadro
de Chirico es mucho más real que en
la pintura egipcia, porque el pintor
italiano empleó las matemáticas al
En esta obra "Delicias del Poeta.",
d"e Chirico empleó ln perspectioa
para lograr el efecto de profundi-
fud V la distancia
Adquirida por donación de la señorita Litlie P. Büss,
Colección del Museo de A¡te Moderno, Nueva York
Pintura egípcia antigua trazn-
d.a, sin aplicar la perspec'tioo
Comparemos las dos ilustraciones
de esta págna. La de la parte supe-
rior es una antigrra pintura egipcia.
Las figuras que allí aparecen se ven
planas. Es difícil decir qué partes de
la pintura están más cerca o más leios
del observador. El grabado de la parte
inferior es una pintura de Chirieo, un
artista italiano. Los edificios üenen
relieve. También podemos apreciar
que algunos son más altos que otros,
y que algunos p¿uecen más leianos.
Además, se observa que hay un gran
patio que se extiende, aleiándose del
observador. El espacio en el cuadro
de Chirico es mucho más real que en
la pintura egipcia, porque el pintor
italiano empleó las matemáticas al
En esta obra "Delicias del Poeta.",
d"e Chirico empleó ln perspectioa
para lograr el efecto de profundi-
fud V la distancia
Adquirida por donación de la señorita Litlie P. Büss,
Colección del Museo de A¡te Moderno, Nueva York
h"9:I el bosquejo de su obra en tela. cómo aplicó dos
'de
las reglas de la
Alberto Durero- el gran artista ale- p-"rrp".iiu"r
"rrtr"
más le¡o?-esté oo
Táo,
expresó: "La. giometría es e.l gl¡"io, más pequero ap¿¡ecerá. Las
cimiento adecuado de
F
pintura." Hnlas paral"i"s' q"" r" pierden en
}" ^11:1^9""
un cuadro parezca la dist"ir"i*,
";;"
hs vías de un tren,
real, eI pintor
fiene
que pensar en su parece como si Ilegaran a un p""to.
tela como si fuese
'"a
ventan4 a H"y ,^,;il pientes que unen las
través de la cuSl mira lo que está más matemáticas
"Jn
el artt.
-
HL- .
"qoíallá de ella. Razona de'este
-oa"t **o las fracciones de Fibonaeci
"cada plnto_ de la escena envra un (n4ga"-- rzi ,rr""" d" p,rérrt", No
rayo de luz hlcia la person_a que la üdo"s tár rátaog"rár r"ti"st"á"¡b,
está mirando. Estos tayos de luz-p_asan a Ia vista. Hay
{órmas d;üiilg"I",
por la ventana que está entre él o¡o placenter"r,
"í
las cuales Ia razón de
y Ia escena. El sitio donde el rayo de t anchura r f" f""jiñi"r;tb" el
luz cÍuza la ventana, es el i,rg"t
"o*¡r"
l¿ -, ilo aoríao.L"r-irüio-
en el que el punto df d.g{: pto"á" nes de Fibonacci ,"
"pro*iman
a esta
apaxeeer á, en el cuadro." El c-oniunto razón. Entre ;á" glande ,"" .rr"
de ray9,s
Que van de la
"sc"á"
d fracción en la serie, ;;;;állr¿*i
ojo se-ilry" progección. La imagen ma a la media d;;;d;.-E-E
¡¡¡Eu
r'¿
formada donde Ia ventana cruza" Ia Las mat"-ati"", han sido de gran
proyección se llama sección.Imaginar utilidad al ,tte-nrádñi;-il *;rñ*-
cómo se verá el
-corte, T
un-plobIema tiva. y
er arte ha pagado su deuda,
de perspe_cthsa. Las reglas_dé Ia pers- porque
"l
est,ráiá de Ia perspectiva
pect_iva_ fueron establecidas coo la
^conáu¡o
al desar;il d" ;;;t;;""
ayuda de la-geometría. rama
'de
las _"t"_¿n""i-U"*"a"
En el cuadro de chirico 4preciamos geometría pnogiJruo.
:
Las líneas naral¿las dan ta impresión d,e que se ooncentran en un punto al aleiarse
del obsercádor
HORIZONTE
**.*¡ 1;¡11 ¡1,1;;liii#"Ñi+!'i:*'N
;:::'
:::**-* - *:,"¡' $$
---."::.¡ssJ;:-'^"-..- s
RAYOS DE PROYECCIÓN
PTANO DEL GRABADO
43
'de
las reglas de la
Alberto Durero- el gran artista ale- p-"rrp".iiu"r
"rrtr"
más le¡o?-esté oo
Táo,
expresó: "La. giometría es e.l gl¡"io, más pequero ap¿¡ecerá. Las
cimiento adecuado de
F
pintura." Hnlas paral"i"s' q"" r" pierden en
}" ^11:1^9""
un cuadro parezca la dist"ir"i*,
";;"
hs vías de un tren,
real, eI pintor
fiene
que pensar en su parece como si Ilegaran a un p""to.
tela como si fuese
'"a
ventan4 a H"y ,^,;il pientes que unen las
través de la cuSl mira lo que está más matemáticas
"Jn
el artt.
-
HL- .
"qoíallá de ella. Razona de'este
-oa"t **o las fracciones de Fibonaeci
"cada plnto_ de la escena envra un (n4ga"-- rzi ,rr""" d" p,rérrt", No
rayo de luz hlcia la person_a que la üdo"s tár rátaog"rár r"ti"st"á"¡b,
está mirando. Estos tayos de luz-p_asan a Ia vista. Hay
{órmas d;üiilg"I",
por la ventana que está entre él o¡o placenter"r,
"í
las cuales Ia razón de
y Ia escena. El sitio donde el rayo de t anchura r f" f""jiñi"r;tb" el
luz cÍuza la ventana, es el i,rg"t
"o*¡r"
l¿ -, ilo aoríao.L"r-irüio-
en el que el punto df d.g{: pto"á" nes de Fibonacci ,"
"pro*iman
a esta
apaxeeer á, en el cuadro." El c-oniunto razón. Entre ;á" glande ,"" .rr"
de ray9,s
Que van de la
"sc"á"
d fracción en la serie, ;;;;állr¿*i
ojo se-ilry" progección. La imagen ma a la media d;;;d;.-E-E
¡¡¡Eu
r'¿
formada donde Ia ventana cruza" Ia Las mat"-ati"", han sido de gran
proyección se llama sección.Imaginar utilidad al ,tte-nrádñi;-il *;rñ*-
cómo se verá el
-corte, T
un-plobIema tiva. y
er arte ha pagado su deuda,
de perspe_cthsa. Las reglas_dé Ia pers- porque
"l
est,ráiá de Ia perspectiva
pect_iva_ fueron establecidas coo la
^conáu¡o
al desar;il d" ;;;t;;""
ayuda de la-geometría. rama
'de
las _"t"_¿n""i-U"*"a"
En el cuadro de chirico 4preciamos geometría pnogiJruo.
:
Las líneas naral¿las dan ta impresión d,e que se ooncentran en un punto al aleiarse
del obsercádor
HORIZONTE
**.*¡ 1;¡11 ¡1,1;;liii#"Ñi+!'i:*'N
;:::'
:::**-* - *:,"¡' $$
---."::.¡ssJ;:-'^"-..- s
RAYOS DE PROYECCIÓN
PTANO DEL GRABADO
43
^,&
-
YÜ
HNúmeroenlosNaiPes
LV
!trY
Hay muchos trucos de n-aiPes que
," pold"n efectuar aplicando.las ma-
i"ni¿ti""t. El que a continuación pre-
sentamos es sencillo, aunque parece
muy misterioso.
Útilice una baraia de 62 cart*s Y
U"t¿i"itt perfectamente' Pida a algu-
na persona que sePare la baraia en
tres montones, mientras da usted la
Ápdda. Quien
separe las cartas debe-
rf seguir estas instrucciones:
--
Q"E
ponga la- Primera
carta con la
figüa hacia arriba y empiece a contar
"
"p"ttit
det número de esa carta'
"¿iirti¿"dole
que el as vale uno, el
;¡""k"'
once, lá reina doce Y el reY
r3
r2
il
I
44
-
YÜ
HNúmeroenlosNaiPes
LV
!trY
Hay muchos trucos de n-aiPes que
," pold"n efectuar aplicando.las ma-
i"ni¿ti""t. El que a continuación pre-
sentamos es sencillo, aunque parece
muy misterioso.
Útilice una baraia de 62 cart*s Y
U"t¿i"itt perfectamente' Pida a algu-
na persona que sePare la baraia en
tres montones, mientras da usted la
Ápdda. Quien
separe las cartas debe-
rf seguir estas instrucciones:
--
Q"E
ponga la- Primera
carta con la
figüa hacia arriba y empiece a contar
"
"p"ttit
det número de esa carta'
"¿iirti¿"dole
que el as vale uno, el
;¡""k"'
once, lá reina doce Y el reY
r3
r2
il
I
44
-__-
l
l
SU'IAE ET VATOR DE
ESTAS DOS CARTAS
J+8:11
21
-
11
o sEA Er vAroR
I I
DEI "JACK-
Hay, rnuólws
*ryú9{
con twipes que se pucdcn lucer maten&iumetc. En ln otn
se describe los
*i*lu-,
¡eínas y reybs oatei 7r, rz y ls, ,"tp""th;;;;;, gü;;ñ
voltee la crarta de encima de dos de
Ios tres montones. Entonces, dfuá
usted, sin verla, cr¡áI es la carta que
está encima del otro montón.
Para 'adivinar" Ia carta, se hacen
los siguientes cálculos: se suman los
valores de las cartas que se han vuelto
y se añade diez al resultado; luegq se
resta el número de cartas qoe sóbra-
ron. Por eiemplo, si las cartas que se
voltearon fuesen un 3 y un 8, y LI nú-
mero de las cartas que sobraron fuese
32, se suman 3 + I + f0 :21, Lue-
go, se resta 21 de 32 y se obüene ll.
Esta es la respuesta- Así se 'adivind'
que la carta que está encima del ter-
oer montón es un 'iacK.
Lá
IJ
¡
AGREGUE IO
aa . rrr Ftr
J
Y REstE Et REsurTADo l
oel'núrrteno DE NAtpEs
QUE SOBRARON,
t
t
I
trece.
Qo"
cuente más cartas sobre Ia
primera hasta que llegue a trece. Si
la primera carta es seis, por eiemplo,
conta¡á: siete, ocho, nueve, diez, on-
_ce,-
doce y treee. Al llegar a trece,
habrá puesto siete cartas áncima de la
primera. Si la primera carta es un rey,
el cual tiene el valor de trece, ya no
pondrá más cartas encima. Oue vuelva
el montón con las figuras hicia abaio
y eppiece un nuevo montón, contan-
do hasta trece.
Qo"
repita el procedi-
miento hasta que haya tres rnontones
sobre Ia mesa, con las figuras hacia
ab1io.
_Pida
las cartas quelobraron y
cuéntelas. Procure no olvidar este
número. Pida a otra persona que
32
l
l
SU'IAE ET VATOR DE
ESTAS DOS CARTAS
J+8:11
21
-
11
o sEA Er vAroR
I I
DEI "JACK-
Hay, rnuólws
*ryú9{
con twipes que se pucdcn lucer maten&iumetc. En ln otn
se describe los
*i*lu-,
¡eínas y reybs oatei 7r, rz y ls, ,"tp""th;;;;;, gü;;ñ
voltee la crarta de encima de dos de
Ios tres montones. Entonces, dfuá
usted, sin verla, cr¡áI es la carta que
está encima del otro montón.
Para 'adivinar" Ia carta, se hacen
los siguientes cálculos: se suman los
valores de las cartas que se han vuelto
y se añade diez al resultado; luegq se
resta el número de cartas qoe sóbra-
ron. Por eiemplo, si las cartas que se
voltearon fuesen un 3 y un 8, y LI nú-
mero de las cartas que sobraron fuese
32, se suman 3 + I + f0 :21, Lue-
go, se resta 21 de 32 y se obüene ll.
Esta es la respuesta- Así se 'adivind'
que la carta que está encima del ter-
oer montón es un 'iacK.
Lá
IJ
¡
AGREGUE IO
aa . rrr Ftr
J
Y REstE Et REsurTADo l
oel'núrrteno DE NAtpEs
QUE SOBRARON,
t
t
I
trece.
Qo"
cuente más cartas sobre Ia
primera hasta que llegue a trece. Si
la primera carta es seis, por eiemplo,
conta¡á: siete, ocho, nueve, diez, on-
_ce,-
doce y treee. Al llegar a trece,
habrá puesto siete cartas áncima de la
primera. Si la primera carta es un rey,
el cual tiene el valor de trece, ya no
pondrá más cartas encima. Oue vuelva
el montón con las figuras hicia abaio
y eppiece un nuevo montón, contan-
do hasta trece.
Qo"
repita el procedi-
miento hasta que haya tres rnontones
sobre Ia mesa, con las figuras hacia
ab1io.
_Pida
las cartas quelobraron y
cuéntelas. Procure no olvidar este
número. Pida a otra persona que
32
El Razonamiento en las
Matemáticas
averiguar el valor de r, Para
que la
igualdad sea cierta.
La ecuación expresa que el número
que representa 3r * 5 Y el número 20
ó" igirales. Este es el primer esla-
bón á" la cadena. Lo unimos al
segundo eslabón mediante la aYuda
dJ una regla que sabemos que es
cierta. Esta regla nos dice Qü€,
si res-
tamos el mismo número a números
menudo se emplea en matemáticas
es el llamado ,ázoromiento en cade'
rur. En este tipo de comProbación,
llegamos al resultado mediante una
r"ri" de pasos, cada uno de los cuales
conduce al siguiente, como los esla-
bones de una cadena. Utilizamos este
tipo de razonamiento, por ejemplo, al
resolver una ecuación como 3r * 5 :
20. Nuestro problema en este caso es
iguales, obtenemos resultados
iguales'
ñot lo tanto, restemos 5 a ambos nú-
meros, y nuestra ecuación queda como
3x :'i5. Ett" es el segundo eslabón
de la cadena. Lo unimos a un tercer
eslabón aplicando otra regla que tam-
bién sabémos que es cierta. Esta
regla expresa que si dividimos núme-
rol iguales entre el mismo nrimero, se
obtiáen resultados iguales. Por lo
que a
3X+5-20$
3X+5)-5:20-5
3X
=15
3X+ 5 -20
Matemáticas
averiguar el valor de r, Para
que la
igualdad sea cierta.
La ecuación expresa que el número
que representa 3r * 5 Y el número 20
ó" igirales. Este es el primer esla-
bón á" la cadena. Lo unimos al
segundo eslabón mediante la aYuda
dJ una regla que sabemos que es
cierta. Esta regla nos dice Qü€,
si res-
tamos el mismo número a números
menudo se emplea en matemáticas
es el llamado ,ázoromiento en cade'
rur. En este tipo de comProbación,
llegamos al resultado mediante una
r"ri" de pasos, cada uno de los cuales
conduce al siguiente, como los esla-
bones de una cadena. Utilizamos este
tipo de razonamiento, por ejemplo, al
resolver una ecuación como 3r * 5 :
20. Nuestro problema en este caso es
iguales, obtenemos resultados
iguales'
ñot lo tanto, restemos 5 a ambos nú-
meros, y nuestra ecuación queda como
3x :'i5. Ett" es el segundo eslabón
de la cadena. Lo unimos a un tercer
eslabón aplicando otra regla que tam-
bién sabémos que es cierta. Esta
regla expresa que si dividimos núme-
rol iguales entre el mismo nrimero, se
obtiáen resultados iguales. Por lo
que a
3X+5-20$
3X+5)-5:20-5
3X
=15
3X+ 5 -20
i
tanto, dividimos entre 3 y llegamos
al resultado: x, -
5. Este es el iercer
eslabón de la cadena. Los tres esla-
bones expresan que si Br * 5 : 2.A,
entonces r es igual a cinco.
Hay otra forma de comprobar si lo
que afirmamos es cierto, en la que
iniciamos nuestro razonamiento a par-
, tir del,resultado. Es el procedimiénb
de eliminación Bn 'éstá, primero ha-
cemos una lista de resultados, escogi-
dos de modo tal que estemos seguros
de que uno de ellos es el verdaáero.
A continuación, eliminamos todas las
afirmaciones, excepto una, probando
que son falsas. Y Ia afirmacién que no
podamos eliminar será Ia verdadera.
pleaños son en meses diferentes, esto
sería tanto como af. irmar que hay más
de doce meses diferenteJ. y
esto es
imposiblo, yL que sólo hay doce me-
sbs. Por lo tanto, debemos eliminar la
I
segunda aseveración. Ahora estamos
se$uros de que la número uno es la
cierta, porque es la única que quedó.
Existe un tercer tipo de comproba-
ción, en Ia cual una teoría se com-
prueba en dos pasos. Primero, se apli-
can las leyes de Ia probabilidad, pára
sacar conclusiones de la teoría. Lue-
go,
_estas
conclusiqnes se comparan
con los resultados de una serie de ex-
pe¡imentos.' Se determina Ia proba-
Ulidad de que la teoría sea cierta,
3X*5=20 3X
=15
3X +- 3 -
15
'--
3
x:5
. He aquí un ejemplo de razona¡nien-
_to
por eliminación: supongamos que
hry más de doce p"tisoa" en una
habitaeión. Probareiros que por Io
menos dos de ellas cotriplei arios
el mismo mes. Hacemos prlmeto ,rtta
lista de dos aseveraciones. l )
por
lo
menos dos de las person"r q,r" están
en la habitación cumplen añós el mis-
mo m_es. 2 ) No hay dos personas en
la habitación que c,rmpiin años el
mismo mes. Estamos seguros de que
alguna de estas dos á"urr"ra"iones
tiene que ser cierta. Si la aseveración
número dos fuera cierta, Ias personas
que están en la habitación cumplirán
años en meses diferenúes. pero
Ji hay
más de doce personas allí, y sus cum-
¿¡laliz¿¡do cuán bien se aiustan los
resultados a las conclusiones. Supon-
gamos, por ejemplo, que un iugador
apuesta que al aroiar una moneda
cinco veces al aire siempre caerá de
cara. Seghn la ley de las probabilida-
des, cinco caras sucesivás ocurrirán
una vez cada 32 ocasiones en que se
arroie al aire la moneda. Observemos
al iugador arroiar Ia moneda. Cada
vez que lo haga, será un intento o ex-
perimento. Supongamos que Ia arroió
300 veces, y que de ellas, 150 cayeron
de eara. Seglrn lo anterior, los resul-
tados de los experimentos no concuer-
dan con las conclusiones de Ia teoría.
Y de esto deducimos que la teorla es
probablemente falsa.
47
tanto, dividimos entre 3 y llegamos
al resultado: x, -
5. Este es el iercer
eslabón de la cadena. Los tres esla-
bones expresan que si Br * 5 : 2.A,
entonces r es igual a cinco.
Hay otra forma de comprobar si lo
que afirmamos es cierto, en la que
iniciamos nuestro razonamiento a par-
, tir del,resultado. Es el procedimiénb
de eliminación Bn 'éstá, primero ha-
cemos una lista de resultados, escogi-
dos de modo tal que estemos seguros
de que uno de ellos es el verdaáero.
A continuación, eliminamos todas las
afirmaciones, excepto una, probando
que son falsas. Y Ia afirmacién que no
podamos eliminar será Ia verdadera.
pleaños son en meses diferentes, esto
sería tanto como af. irmar que hay más
de doce meses diferenteJ. y
esto es
imposiblo, yL que sólo hay doce me-
sbs. Por lo tanto, debemos eliminar la
I
segunda aseveración. Ahora estamos
se$uros de que la número uno es la
cierta, porque es la única que quedó.
Existe un tercer tipo de comproba-
ción, en Ia cual una teoría se com-
prueba en dos pasos. Primero, se apli-
can las leyes de Ia probabilidad, pára
sacar conclusiones de la teoría. Lue-
go,
_estas
conclusiqnes se comparan
con los resultados de una serie de ex-
pe¡imentos.' Se determina Ia proba-
Ulidad de que la teoría sea cierta,
3X*5=20 3X
=15
3X +- 3 -
15
'--
3
x:5
. He aquí un ejemplo de razona¡nien-
_to
por eliminación: supongamos que
hry más de doce p"tisoa" en una
habitaeión. Probareiros que por Io
menos dos de ellas cotriplei arios
el mismo mes. Hacemos prlmeto ,rtta
lista de dos aseveraciones. l )
por
lo
menos dos de las person"r q,r" están
en la habitación cumplen añós el mis-
mo m_es. 2 ) No hay dos personas en
la habitación que c,rmpiin años el
mismo mes. Estamos seguros de que
alguna de estas dos á"urr"ra"iones
tiene que ser cierta. Si la aseveración
número dos fuera cierta, Ias personas
que están en la habitación cumplirán
años en meses diferenúes. pero
Ji hay
más de doce personas allí, y sus cum-
¿¡laliz¿¡do cuán bien se aiustan los
resultados a las conclusiones. Supon-
gamos, por ejemplo, que un iugador
apuesta que al aroiar una moneda
cinco veces al aire siempre caerá de
cara. Seghn la ley de las probabilida-
des, cinco caras sucesivás ocurrirán
una vez cada 32 ocasiones en que se
arroie al aire la moneda. Observemos
al iugador arroiar Ia moneda. Cada
vez que lo haga, será un intento o ex-
perimento. Supongamos que Ia arroió
300 veces, y que de ellas, 150 cayeron
de eara. Seglrn lo anterior, los resul-
tados de los experimentos no concuer-
dan con las conclusiones de Ia teoría.
Y de esto deducimos que la teorla es
probablemente falsa.
47
La deAplicación
T'¡ n
' .,J
c
las Matemáticas
hoy dia
Las matemáticas son Parte
de nues-
tras actividades diarias. Las amas de
casa emplean las matemáticas cuando
van de compras. ComParan los Pre-
cios, calcuhñ el importe y cuentan el
dinero que les dan de cambio.
Los cóntadores utilizan las matemá-
ticas pana llevar el registro de los
ingresos y de los egresos.
Los torneros usan las matemáticas
para planear sus trabaios. Deben me-
dir y calcular cómo colocar sus herra-
mientas de corte para tornear las
piezas, dándoles la forma y dirnensio-
nes requeridas. r
Los pilotos aplican las matemáticas
para trazar sus rutas. Deben calcular
las distancias y las direcciones para
volar de un aeropuerto a otro.
Los astrónomos se valen de las
matemáticas para averiguar las distan-
cias que nos separan de los astros.
Utilizan fórmulas que les permiten
explicar cómo se formaron las es-
trellas, por qué brillan, y los cambios
que en ellas se producen.
Los físicos se sirven de las matemá-
ticas para explorar los misterios del
átomo. Sus experimentos les propor-
cionan datos, las ecuaciones les per-
miten relacionarlos y esos datos los
conducen a nuevas invenciones.
Así, en distintos modos, las mate-
máticas han moldeado Ia civilización,
tal como la conocemos actualmente.
48
T'¡ n
' .,J
c
las Matemáticas
hoy dia
Las matemáticas son Parte
de nues-
tras actividades diarias. Las amas de
casa emplean las matemáticas cuando
van de compras. ComParan los Pre-
cios, calcuhñ el importe y cuentan el
dinero que les dan de cambio.
Los cóntadores utilizan las matemá-
ticas pana llevar el registro de los
ingresos y de los egresos.
Los torneros usan las matemáticas
para planear sus trabaios. Deben me-
dir y calcular cómo colocar sus herra-
mientas de corte para tornear las
piezas, dándoles la forma y dirnensio-
nes requeridas. r
Los pilotos aplican las matemáticas
para trazar sus rutas. Deben calcular
las distancias y las direcciones para
volar de un aeropuerto a otro.
Los astrónomos se valen de las
matemáticas para averiguar las distan-
cias que nos separan de los astros.
Utilizan fórmulas que les permiten
explicar cómo se formaron las es-
trellas, por qué brillan, y los cambios
que en ellas se producen.
Los físicos se sirven de las matemá-
ticas para explorar los misterios del
átomo. Sus experimentos les propor-
cionan datos, las ecuaciones les per-
miten relacionarlos y esos datos los
conducen a nuevas invenciones.
Así, en distintos modos, las mate-
máticas han moldeado Ia civilización,
tal como la conocemos actualmente.
48
ILIBROS T}F] ft{Tü il}HL.SABEffi
Libros de temas ob¡aioos
Wre ióoenes
lec"tores
' Textos, inter€ssntes, ingttuctivos y amenos:,' Ctda lib'ro ha sido
revisado minuciosamente por un experto en Ia materia ' Bellarnénte
ifu$trádo$''br¡. ctlores- con fotografias, dibu¡x, diagramas y euadr-os
si*ópücos
.r$n
extenso camfp-de faselnantes matelias ' Preparados
bai*ll¿' direcc¡én del doctol llerbert S. Zim, recanocida autoridatl
en I¿f ñanza'de lañ cietcias.
4í"*l*,
I
I
I
I
I
I
i,,,
''
-,
'1
:
: -*"
*"¿¿
*.'!
iiLt
É*
q
I
TÍTULOS DE ESTA COTECCIóN
T EI.
'IIUNDO
DE LAS
HORIIIGAS
2 Er ftiuNDO DE 10S INSEC¡OS
O tA LUNA
4 SUBI'IARINOS
5 Aromos
ó AVES DEI. I'IUNDO
7 moToREs
g I.A VIDA DE tOS REPTITES
O tOS PTANETAS
IO ¡IATEINATICAS
I I tA VIDA DE tos PECES
t2 ROCAS
15 tos vlAJcs DE Los
ANII'tAIES
16 ENERGíA Y POTENCIA
t7 r.A VlSlóN
T8 I.A5 REGIONES POLARES
19 vuEros EsPAclALEs
20 Et MAR
2I LOS PRIMEROS AUTOMóVITES
22 tA HISTORIA DE IO5 TIAPAS
23 ANIMALES PREHISTóRICOS
24 AN¡TÁAIES OUE VUE1AN
25 rvrARrPOSAS Y PArOftllllAS
26 I.AS GRANDES
coNSTRUCCIONES
27 Er f,tAGNETlSllO
28 ET CUERPO HU,I,IANO
29 EAIIENAS Y DE1FINES
=*t
EEXTCTüAL
J\E IAJEOI
Libros de temas ob¡aioos
Wre ióoenes
lec"tores
' Textos, inter€ssntes, ingttuctivos y amenos:,' Ctda lib'ro ha sido
revisado minuciosamente por un experto en Ia materia ' Bellarnénte
ifu$trádo$''br¡. ctlores- con fotografias, dibu¡x, diagramas y euadr-os
si*ópücos
.r$n
extenso camfp-de faselnantes matelias ' Preparados
bai*ll¿' direcc¡én del doctol llerbert S. Zim, recanocida autoridatl
en I¿f ñanza'de lañ cietcias.
4í"*l*,
I
I
I
I
I
I
i,,,
''
-,
'1
:
: -*"
*"¿¿
*.'!
iiLt
É*
q
I
TÍTULOS DE ESTA COTECCIóN
T EI.
'IIUNDO
DE LAS
HORIIIGAS
2 Er ftiuNDO DE 10S INSEC¡OS
O tA LUNA
4 SUBI'IARINOS
5 Aromos
ó AVES DEI. I'IUNDO
7 moToREs
g I.A VIDA DE tOS REPTITES
O tOS PTANETAS
IO ¡IATEINATICAS
I I tA VIDA DE tos PECES
t2 ROCAS
15 tos vlAJcs DE Los
ANII'tAIES
16 ENERGíA Y POTENCIA
t7 r.A VlSlóN
T8 I.A5 REGIONES POLARES
19 vuEros EsPAclALEs
20 Et MAR
2I LOS PRIMEROS AUTOMóVITES
22 tA HISTORIA DE IO5 TIAPAS
23 ANIMALES PREHISTóRICOS
24 AN¡TÁAIES OUE VUE1AN
25 rvrARrPOSAS Y PArOftllllAS
26 I.AS GRANDES
coNSTRUCCIONES
27 Er f,tAGNETlSllO
28 ET CUERPO HU,I,IANO
29 EAIIENAS Y DE1FINES
=*t
EEXTCTüAL
J\E IAJEOI
Tags
Categories
EducationDownload
Download Slideshow Get the original presentation fileQuick Actions
Statistics
- Views 1,616
- Slides 50
- Age 1503 days
Related Slideshows
11
TLE-9-Prepare-Salad-and-Dressing.pptxkkk
MaAngelicaCanceran
61 views
12
LESSON 1 ABOUT MEDIA AND INFORMATION.pptx
JojitGueta
45 views
60
GRADE-8-AQUACULTURE-WEEKQ1.pdfdfawgwyrsewru
MaAngelicaCanceran
76 views
26
Feelings PP Game FOR CHILDREN IN ELEMENTARY SCHOOL.pptx
KaistaGlow
67 views
![Jeopardy_Figures_of_Speech_Template.pptx [Autosaved].pptx](https://slidepub.com/thumb/5828/284015828.jpg)
54
Jeopardy_Figures_of_Speech_Template.pptx [Autosaved].pptx
acecamero20
38 views
7
Jeopardy_Figures_of_Speech.pptxvdsvdsvsdvsd
acecamero20
41 views