IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS

1. Mg. Carlos David Laura Quispe























1.Identidades Pitagoricas.
1.1. 1
22
CosSen ; de donde:
1.2. 
222
11 CosSenCosSen 
1.3. 
222
11 SenCosSenCos 
1.4. 
22
1 SecTg ; 1.5. 
22
1 CscCtg
2.Identidades de Cociente.
2.1.



Cos
Sen
Tg ; 2.2.



Sen
Cos
Ctg

Identidades Trigonométricas
3.Identidades Reciprocas.


Sen
CscCscSen
1
1..1.3 


Cos
SecSecCos
1
1..2.3 


Tg
CtgCtgTg
1
1..3.3 
4.Identidades Adicionales.


CosSen
CscSecCtgTg
.
1
..1.4 
   CosCosSen  11.2.4
2
;    SenSenCos  11.3.4
2

 CosSenCosSen  .21.4.4
    CosSenCosSenCosSen .211.5.4 


TgSec
CtgSec


1
.6.4

Identidades Trigonométricas: Es una igualdad que relaciona funciones trigonométricas de
uno o más arcos, que se verifica para cualquier valor que se asigne a estos arcos y que no
figuren logaritmos ni exponenciales.

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5.Identidades Auxiliares.

  CosxSenxCosxSenxxCosxSen .1.1.5
33

xCosxSenxCosxSen
2244
.21.2.5 
xCosxSenxCosxSen
2266
.31.3.5 
xCosxSenxCosxSenxCosxSen
442288
.2.41.4.5 
xCosxSenxCosxSenxCosxSen
44221010
.5.51.5.5 
xCosxSenxCosxSenxCosxSenxCosxSen
6644221212
.2.9.61.6.5 
xCosxSenxCosxSenxCosxSenxCosxSen
6644221414
.7.14.71.7.5 
CscxSecxCtgxTgx ..8.5 
xCscxSecxCscxSec
2222
..9.5 
12.10.5
244
 xSenxCosxSen
Senx
Cosx
Cosx
Senx 


1
1
.11.5

Cosx
Senx
Senx
Cosx 


1
1
.12.5
SenxCosxCosxSenx 21).(13.5
2

SenxCosxCosxSenx 21).(14.5
2

xSenxCosxCosxSen
2424
.15.5 
xxTgSecxTgxSec
2244
21.16.5 
xxTgSecxTgxSec
2266
31.17.5 
  2.18.5
22
 CosxSenxCosxSenx
  4.18.5
22
 CtgxTgxCtgxTgx
   CosxSenxCosxSenx  1121.19.5
2

   CosxSenxCosxSenx  1121.20.5
2

xxCtgCscxCtgxCsc
2244
21.21.5 
xxCtgCscxCtgxCsc
2266
31.22.5 
xTgxSecxxTgSecxTgxSec
442288
.241..23.5 
xCtgxCscxxCtgCscxCtgxCsc
442288
.241..24.5 

Identidades Trigonométricas Auxiliares

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1. Verificación de Identidades:
1.1. Para demostrar identidades será necesario trabajar sólo con uno de los miembros, de
preferencia el más complejo.
1.2. Transformar el miembro escogido en términos de Seno y Coseno.
1.3.Hacer uso de productos notables algebraicos.
1.4.Cuando haya términos repetidos, puede ser útil factorizar.
1.5.Si hubiera productos indicados, desarrollarlos y simplificar hasta donde sea posible.
1.6.Hacer uso de identidades fundamentales y auxiliares.

2. Problemas de Simplificación:
2.1.En este tipo de aplicaciones de lo que se trata es de reducir al máximo la expresión con
ayuda de las identidades fundamentales o las auxiliares.
2.2.Aplicar lo aprendido en las demostraciones anteriores.

Consideraciones para Resolver Problemas con Identidades
3. Problemas Condicionales:
3.1.Dada una condición, de lo que se trata ahora es de calcular o de reducir una expresión
trigonométrica específica.
3.2.Para este tipo de problemas, se puede trabajar indistintamente con el dato, así como con
la expresión a determinarse.
3.3.También se puede expresar la ecuación condicional en términos de la ecuación que se
quiere hallar o viceversa.
4. Eliminación de Ángulos:
4.1. Cuando se Elimina un solo Arco:
En este caso se necesitan dos condiciones y como éstas son ecuaciones trigonométricas,
de cada condición se obtiene una función trigonométrica que junto con los valores que
estas generan, se reemplazan en la identidad fundamental más conveniente.
Si se tuviese que trabajar simultáneamente con ambas condiciones, expresarlas en
términos de Seno y Coseno para realizar luego con ellas la operación más conveniente,
de tal manera que se elimine el arco que permita hallar una función trigonométrica que
junto con los valores que de ésta se calculen, sean reemplazados en una de dichas
condiciones.
4.2. Cuando se Eliminan dos Arcos: En este caso se necesitan tres condiciones, tales
que se relacionen dichos arcos. De la combinación de dos de ellas, se trata en lo posible
de calcular las funciones trigonométricas de dichos arcos, los cuales se reemplazan
adecuadamente en la tercera condición.
Recordar que para eliminar arcos, se necesita siempre una condición más que el número
de arcos a eliminarse.
Eliminar ángulos implica, determinar una relación algebraica independiente de toda
función trigonométrica, que se obtiene a partir de las relaciones dadas.

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2.Fórmulas Fundamentales:
2.1. Sen(x  y) =Sen x .Cos y Cos x .Sen y
2.2. Cos(x  y) = Cos x .Cos y Sen x .Sen y
2.3.
TgyTgx
TgyTgx
yxTg
.1
)(



2.4.
CtgxCtgy
CtgyCtgx
yxCtg


1.
)(


Suma y Diferencia de Ángulos
3.Fórmulas Auxiliares:
3.1. Sen(x +y).Sen(x – y) = xSen
2
– ySen
2
= yCos
2
– xCos
2

3.2. Cos(x +y).Cos(x – y) = xCos
2
– ySen
2
= yCos
2
– xSen
2

3.3. Sen(x +y).Cos(x – y) = Sen x .Cos x + Sen y .Cos y
3.4. Sen(x – y).Cos(x +y) = Sen x .Cos x – Sen y .Cos y
3.5.
TgyTgx
TgyTgx
yxSen
yxSen





)(
)(

3.6.
TgyTgx
TgyTgx
yxCos
yxCos
.1
.1
)(
)(






3.7.
CosySenyCosxSenx
ySenxSen
yxTg
..
22
)(



3.8.
CosySenyCosxSenx
ySenxSen
yxTg
..
22
)(



3.9.
CosyCosx
yxSen
TgyTgx
.
)(

3.10.
SenySenx
xySen
CtgyCtgx
.
)(



1.Suma y Diferencia de Ángulos: Cuando un ángulo está formado por la suma algebraica
de dos o más se denomina ángulo compuesto; así A + B o A – B

5. Mg. Carlos David Laura Quispe























Suma y Diferencia de Ángulos
2.Fórmulas Adicionales:
2.1.. Si: A = a Sen x + b Cos x; a  b  R, x es variable, se cumple:
máxA =
22
ba
mínA =
22
ba
También:
a Sen x + b Cos x =
22
baSen(x + )
donde:
22
ba
b
Sen

 
22
ba
a
Cos


2.2. Si x + y + z = 180°
2.2.1. Tg x + Tg y + Tg z = Tg x . Tg y .Tg z
2.2.2. Ctg x .Ctg y + Ctg y .Ctg z + Ctg x .Ctg z = 1
2.3. Si x + y + z = 90°
2.3.1. Tg x .Tg y + Tg y . Tg z + Tg x .Tg z = 1
2.3.2. Ctg x + Ctg y + Ctg z = Ctg x .Ctg y .Ctg z
2.4. Funciones Trigonométricas de Ángulos Negativos
2.4.1. Sen (–x) = –Sen (x) Ctg (–x) = –Ctg (x)
2.4.2. Cos (–x) = Cos (x) Sec (–x) = Sec (x)
2.4.3. Tg (–x) = –Tg (x) Csc (–x) = –Csc (x)


1. Fórmulas Auxiliares:
1.1.
CosySenx
yxCos
TgyCtgx
.
)(
 ; 1.2.
CosySenx
yxCos
TgyCtgx
.
)(

1.3. y)(xTgx.Tgy.TgTgyTgxy)Tg(x 
1.4. )45(.2  xSenCosxSenx
1.5. )30(.2.3  xSenCosxSenx
1.6. )60(.2.3  xSenCosxSenx
1.7. Sen(x+y+z)=Senx.Cosy.Cosz+Seny.Cosx.Cosz+Senz.Cosx.Cosy–Senx.Sen y .Sen z
1.8. Cos(x+y+z)=Cosx.Cosy.Cosz–Cosx.Seny.Senz–Cosy.Senx.Senz–Cos z .Sen x .Sen y
1.9. Sen(x + y + z) = Cos x .Cos y .Cos z (Tg x + Tg y + Tg z – Tg x .Tg y .Tg z)
1.10. Cos(x + y + z) = Sen x .Sen y .Sen z (Ctg x .Ctg y .tg z – CTg x – Ctg y – Ctg z)

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1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Doble:
1.1.Sen2 = 2SenCos
1.2. Cos2 = Cos
2
 - Sen
2

1.3. Cos2 = 1 – 2Sen
2

1.4. Cos2= 2Cos
2
 - 1
1.5. Tg2 =


2
Tg1
Tg2
; 1.6. Ctg2 =


Ctg2
1Ctg
2


Ángulo Duplo
2.Relaciones Auxiliares: Relacionando “Tg2” con un triángulo rectángulo
obtenemos:

1 + Tg
2

1 - Tg
2

2Tg







2
2
2
1
1
2).;
1
2
2).
Tg
Tg
Cosb
Tg
Tg
Sena





c). 8 xSen
4
= 3 – 4 Cos 2x + Cos 4x ; d). 8 xCos
4
= 3 + 4 Cos 2x + Cos 4x
e).
4
43
44 xCos
xCosxSen

 ; f).
8
435
66 xCos
xCosxSen


g). Ctg x + Tg x = 2 Csc 2x ; h). Ctg x – Tg x = 2 Ctg 2x
i). Tg x = Csc 2x – Ctg 2x ; j). Ctg x = Csc 2x + Ctg 2x
3.Observaciones:
3.1. Primera:



Sen
Sen
CosCosCosCos
n
n
n
)1(
)1(
2
2
2...42



3.2. Segunda:
8
435
.2.2.3;
4
43
.1.2.3
6644 



Cos
CosSen
Cos
CosSen




3.3. Tercera:
 2222 CtgTgCtgCscCtgTg 

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1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple:
1). xSenSenxxSen
3
433 

2). CosxxCosxCos 343
3


3).
xTg
xTgxTg
xTg
2
3
31
3
3




4)
13
3
3
2
3



xCtg
xCtgxCtg
xCtg


2.Relaciones Auxiliares:
1). )122(3  xCosSenxxSen

2). )122(3  xCosCosxxCos

3)











122
122
.3
xCos
xCos
TgxxTg

4). )º60().º60(.43 xSenxSenSenxxSen 


5). )º60().º60(.43 xCosxCosCosxxCos 


6). )º60().º60(.3 xTgxTgTgxxTg 


7). )º60().º60(.3 xCtgxCtgCtgxxCtg 


Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple

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1.Funciones Trigonómetricas del Ángulo Triple:
1)
2
Cosx1
2
x
Sen

 ; 2)
2
Cosx1
2
x
Cos


3)
Cosx1
Cosx1
2
x
Tg


 ; 4)
Cosx1
Cosx1
2
x
Ctg



1)
2
x
2SenCosx1
2
 ; 2)
2
x
2CosCosx1
2
 ; 3) CtgxCscx
2
x
Tg 

4) CtgxCscx
2
x
Ctg  ; 5)
2
x
Tg =
xSen
xCos1
; 6)
2
x
Tg =
xCos1
xSen


7)
2
x
Ctg =
xSen
xCos1
; 8)
2
x
Ctg =
xCos1
xSen



2.Relaciones Auxiliares:
1)
2
x
Sen+
2
x
Cos= xSen1 ; 2)
2
x
Sen –
2
x
Cos = xSen1
3) 





n
2
x
2Sen = xCos22222   ; Para x 






2
π
;0
4) 





n
2
x
2Cos = xCos22222   ; Para x 






2
π
;0
En las fórmulas 11 y 12 se obtienen “n” radicales
5) Caso Particular:












n
2
2
π
2Sen =
2
π
Cos22222  
14) 





1n
2
π
2Sen = 2222   ; n radicales
15) 





1n
2
π
2Cos = 2222   ; n radicales

Funciones Trigonométricas del Ángulo Triple

9. Mg. Carlos David Laura Quispe























1.Transformaciones de Suma o Diferencia a Producto (A>B).
Existe la necesidad de convertir expresiones en factores, con la finalidad de simplificar
ecuaciones algebraicas. Para ello deberán utilizarse procedimientos algebraicos de la
factorización a las funciones trigonométricas. También es conveniente deducir las
conversiones de productos en sumas o diferencias, pues muchas veces se tendrá que
reagrupar términos par volverlos a factorizar.
2.Relaciones Fundamentales:
1). 












2
.
2
2
BA
Cos
BA
SenSenBSenA













2
.
2
2
BA
Sen
BA
CosSenBSenA













2
.
2
2
BA
Cos
BA
CosCosBCosA













2
.
2
2
BA
Sen
BA
SenCosBCosA
3.Transformaciones de Producto a Suma o Diferencia (A>B).
1.    BASenBASenCosBSenA .2
2.    BASenBASenCosASenB .2
3.    BACosBACosCosBCosA .2
4. -    BACosBACosSenBSenA .2
5.
CosB
SenB
CosA
SenA
TgBTgA 
6.
CosB
SenB
CosA
SenA
TgBTgA 
7.
CosBCosA
SenBCosACosBSenA
TgBTgA
.
.. 

8.
CosBCosA
SenBCosACosBSenA
TgBTgA
.
.. 

9.
   
CosBCosA
BASen
TgBTgA
CosBCosA
BASen
TgBTgA
.
.10;
.





Transformaciones Trigonométricas