Inecuaciones cuadráticas

1. INECUACIONES CUADRÁTICAS


Las siguientes expresiones x
2
+ 2x < 15 y x
2
≥ 2x + 3 representan
inecuaciones cuadráticas. Una inecuación cuadrática es de la fo
rma ax
2
+ bx + c < 0 (ó>0, ≥ 0, ≤ 0), donde a, b y c son números reales y
a ≠ 0. La inecuación cuadrática está en su forma estándar cuando el
número cero está a un lado de la inecuación. De manera que, la forma
estándar de las dos
inecuaciones anteriormente mencionadas sería: x
2
+ 2x – 15 <
0 y x
2
– 2x – 3 ≥ 0.

Observa que una inecuación cuadrática siempre puede escribirse en
forma estándar, sumando ( o restando) una expresión apropiada a
ambos lados de la inecuación.

A continuación una guía para resolver inecuaciones cuadráticas:

1. Escribe la inecuación en forma estándar.
2. Resuelve la “ecuación asociada” que surge de la forma estándar.
3. Usa las raíces (soluciones) del paso #2 como puntos críticos. Ordena las raíces en
orden ascendente (de menor a mayor) en una recta numérica. Las raíces dividirán la
recta numérica en intervalos abiertos; el signo algebraico del polinomio no puede
cambiar en ninguno de estos intervalos.
4. Prueba cada uno de los intervalos obtenidos en el paso #3, seleccionando
un número en cada intervalo y sustituyéndolo en la variable de la
inecuación. El signo algebraico del valor obtenido es el signo del polinomio
sobre el intervalo completo.
5. Escribe la solución en notación de intervalo y representa la solución en la
recta numérica.

Ejemplos para discusión: Halla la solución de las siguientes
inecuaciones cuadráticas y representarla en la recta numérica.

1) x
2
– 2x > 3
2) 6x
2
+ 7x ≤ 3

Ejercicio de práctica: Halla la solución de las siguientes inecuaciones
cuadráticas y representarla en la recta numérica.

1) x
2
– 2x – 8 < 0
2) x
2
+ 5x - 6 ≥ 0
3) x
2
– 7x ≤ -6

2. La inecuación cuadrática o de segundo grado :
x
2
− 6x + 8 > 0
La resolveremos aplicando los siguientes pasos:
1ºIgualamos el polinomio del primer miembro a cero y obtenemos las
raíces de la ecuación de segundo grado.
x
2
− 6x + 8 = 0



2º Representamos estos valores en la recta real. Tomamos un punto de
cada intervalo y evaluamos el signo en cad a intervalo:

P(0) = 0
2
− 6 · 0 + 8 > 0
P(3) = 3
2
− 6 · 3 + 8 = 17 − 18 < 0
P(5) = 5
2
− 6 · 5 + 8 = 33 − 30 > 0
3º La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que
tengan el mismo signo que el polinomio.

3. S = (-∞, 2) (4, ∞)


x
2
+ 2x +1 ≥ 0
x
2
+ 2x +1 = 0

(x + 1)
2
≥ 0
Como un número elevado al cuadrado es siempre positivo la solución es
Solución
x
2
+ 2x +1 ≥ 0 (x + 1)
2
≥ 0

x
2
+ 2x +1 > 0 (x + 1)
2
> 0

x
2
+ 2x +1 ≤ 0 (x + 1)
2
≤ 0 x = − 1
x
2
+ 2x +1 < 0 (x + 1)
2
< 0

x
2
+ x +1 > 0
x
2
+ x +1 = 0



Cuando no tiene raíces reales, le damos al polinomio cualquier valor si:

4. El signo obtenido coincide con el de la desigualdad, la solución es .
El signo obtenido no coincide con el de la desigualdad, no tiene solución.
Solución
x
2
+ x +1 ≥ 0

x
2
+ x +1 > 0

x
2
+ x +1 ≤ 0

x
2
+ x +1 < 0



Ejercicios de inecuaciones cuadraticas
1 7x
2
+ 21x − 28 < 0
x
2
+3x − 4 < 0
x
2
+3x − 4 = 0

P(−6) = (−6)
2
+3 · (−6)− 4 > 0
P(0) = 0
2
+3 · 0 − 4 < 0
P(3) = 3
2
+3 · 3 − 4 > 0

(−4, 1)
2 −x
2
+ 4x − 7 < 0

5. x
2
− 4x + 7 = 0

P(0) = −0
2
+ 4 ·0 − 7 < 0
S =
3


P(−3) = 4 · (−3)
2
− 16 > 0
P(0) = 4 · 0
2
− 16 < 0
P(3) = 4 · 3
2
− 16 > 0

(-∞ , −2 ] [2, +∞)


44x
2
− 4x + 1 ≤ 0
4x
2
− 4x + 1 = 0

6. 5

Como el primer factor es siempre positivo, sólo tendremos que estudiar el
signo del 2º factor.



P(−17) = (−17)
2
+ 12 · 17 − 64 > 0
P(0) = 0
2
+ 12 · 0 − 64 < 0
P(5) = 5
2
+ 12 · 5 − 64 > 0

(-∞, −16] [4, ∞)

7. 6x
4
− 25x
2
+ 144 < 0
x
4
− 25x
2
+ 144 = 0





(−4, −3) (−3, 3 ) (3, 4) .
7x
4
− 16x
2
− 225 ≥ 0
x
4
− 16x
2
− 225 = 0

8. (x
2
- 25) · (x
2
+ 9) ≥ 0
El segundo factor siempre es positivo y distinto de cero, sólo tenemos que
estudiar el signo del 1
er
factor.
(x
2
− 25) ≥ 0

(-∞, −5] [5, +∞)